Ábaco Oriental/Métodos Tradicionales/Raíces Cúbicas

Teoría

Sea $x$ el número del que queremos obtener la raíz cúbica $y={\sqrt[{3}]{x}}$; Consideremos su expresión decimal, por ejemplo: $x=456.7890123$ y separemos sus dígitos en grupos de tres alrededor del punto decimal de la siguiente manera:

$$x=456.7890123=456.789\cdot 012\cdot 300\cdot 000$$

o, en otras palabras, definamos la secuencia de enteros $\alpha _{i}$

$$\alpha _{1}=456,\alpha _{2}=789,\alpha _{3}=012,\alpha _{4}=300,\alpha _{5}=000\cdots$$

y construyamos la secuencia $x_{i}$ recursivamente desde $x_{0}=0$

$$x_{i}=1000x_{i-1}+\alpha _{i}$$

y sea $y_{i}$ la parte entera de la raíz cúbica de $x_{i}$

$$y_{i}=\lfloor {\sqrt[{3}]{x}}_{i}\rfloor$$

es decir, $y_{i}$ es el entero más grande cuyo cubo no es mayor que $x_{i}$. Finalmente, llamemos restos a las diferencias.

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{3}\geq 0$$

Para nuestro ejemplo tenemos:

$i$	$\alpha _{i}$	$x_{i}$	$y_{i}$	$r_{i}$
0		0	0	0
1	456	456	7	113
2	789	456789	77	256
3	012	456789012	770	256012
4	300	456789012300	7701	78119199
5	000	456789012300000	77014	6949021256
⋯

Veamos que, por construcción, $x_{i}$ crece como $10^{3i}$ (tres dígitos más en cada paso), de hecho, la secuencia $x_{i}10^{3-3i}$, es decir: 0, 400, 456, 456.789, 456.789012, etc. tiende a $x$ ($x_{i}10^{3-3i}\to x$ ). En comparación, $y_{i}$, como la parte entera de la raíz cúbica de $x_{i}$, crece solo como $10^{i}$ (un dígito más en cada paso). Como $y_{i}$ es el entero más grande cuyo cubo no es mayor que $x_{i}$, tenemos $r_{i}=xi-y_{i}^{3}\geq 0$ como arriba, pero

$$x_{i}-(y_{i}+1)^{3}=x_{i}-y_{i}^{3}-3y_{i}^{2}-3y_{i}-1<0$$

por definición de $y_{i}$, o

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{3}<3y_{i}^{2}+3y_{i}+1$$

multiplicando por $10^{3-3i}$

$$x_{i}\cdot 10^{3-3i}-(y_{i}\cdot 10^{1-i})^{3}<(3y_{i}^{2}+3yi+1)\cdot 10^{3-3i}$$

pero como  $y_{i}$ crece sólo como $10^{i}$, el segundo término tiende a cero como $10^{-i}$.  

$$x_{i}\cdot 10^{3-3i}-(y_{i}\cdot 10^{1-i})^{3}\to 0$$

y $x_{i}\cdot 10^{3-3i}\to x$ de forma que tenemos

$$y_{i}\cdot 10^{1-i}\to y={\sqrt[{3}]{x}}$$

Para otros números, los factores de arriba son: $10^{3k-3i}$ y $10^{k-i}$, donde $k$ es el número de grupos de tres cifras a la izquierda del punto decimal, negativo si éste es seguido por grupos 000 (ej. $k=0$ para $x=0.00456$, $k=-2$ para $x=0.000000456$, etc.).

Esta es la base de los métodos tradicionales de obtener la raíz cúbica manualmente.

Procedimiento

Empezamos con $i=0,x_{0}=0,y_{0}=0,r_{0}=0$.

Primer dígito

Tabla de cubos

$b$	$b^{3}$
1	1
2	8
3	27
4	64
5	125
6	216
7	343
8	512
9	729

Para $i=1,x_{1}=\alpha _{1}$ es trivial encontrar $y_{1}$ tal que su cubo no exceda $x_{1}$ usando la siguiente tabla que puede retenerse en la memoria fácilmente. En el caso del ejemplo es $y_{1}=7$.

Dígitos siguientes

Para $i>1$, tenemos $x_{i}=1000x_{i-1}+\alpha _{i}$ tal y como se ha dicho arriba y tratamos de construir $y_{i}$ en la forma:

$$y_{i}=10y_{i-1}+b$$

donde $b$ es un número entero de un dígito que va de 0 a 9. Para obtenerlo tenemos que elegir el dígito más grande de 0 a 9 de modo que:

$$x_{i}-y_{i}^{3}=x_{i}-(10y_{i-1}+b)^{3}\geq 0$$

o

$$x_{i}-(a+b)^{3}\geq 0$$

si escribimos $a=10y_{i-1}$. Desarrollando el cubo del binomio tenemos

$$x_{i}-a^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}=1000x_{i-1}+\alpha _{i}-(10y_{i-1})^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}\geq 0$$

o

$$1000r_{i-1}+\alpha _{i}\geq 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(3a^{2}+3ab+b^{2})b$$

El lado izquierdo de la expresión anterior puede verse simplemente como el resto anterior con el siguiente grupo de tres dígitos añadido. Si evaluamos el término de la derecha para cada valor de $b$ y lo comparamos con el término de la izquierda, tenemos:

$a=10y_{i-1}=70$

$b$	$(3a^{2}+3ab+b^{2})b$	$1000r_{i-1}+\alpha _{i}$
0	0	≤ 113789
1	14911	≤ 113789
2	30248	≤ 113789
3	46017	≤ 113789
4	62224	≤ 113789
5	78875	≤ 113789
6	95976	≤ 113789
7	113533	≤ 113789	⬅
8	131552	> 113789
9	150039	> 113789

y está claro que la siguiente cifra de nuestra raíz es un 7 pero, ¿cómo podemos proceder en el caso general sin tener que explorar sistemáticamente todas las posibilidades ($b=0,1,\cdots ,9$) ?

Aquí Knott distingue dos estrategias:

• Preparar el divisor
• Preparar el dividendo

que pasamos a discutir.

Preparando el divisor

Esto se corresponde con la expresión anterior

$$1000r_{i-1}+\alpha _{i}\geq 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(3a^{2}+3ab+b^{2})b$$

Y es la estrategia que se suele utilizar con papel y lápiz y también se puede implementar, por supuesto, sobre el ábaco. En la expresión anterior, si vemos la parte izquierda como dividendo y el paréntesis como divisor, $b$ es el primer dígito de la división:

$$b=(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/(3a^{2}+3ab+b^{2})$$

pero como aún no conocemos $b$, lo aproximamos usando sólo la parte principal del divisor

$$b=(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/(3a^{2})=(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/(300y_{i-1}^{2})$$

Esto nos da una idea de cuál podría ser el valor de $b$, pero necesitaremos:

1. Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, revisarlo al alza o a la baja según sea necesario.
2. Obtener el nuevo resto para preparar el cálculo del siguiente dígito de la raíz.

Puede verse un ejemplo en el blog Diario de Tone, ver también Método moderno abajo.

Preparando el dividendo

Empezando de nuevo con

$$1000r_{i-1}+\alpha _{i}\geq (3a^{2}+3ab+b^{2})b=3a\left(a+b+{\frac {b}{3a^{2}}}\right)b$$

preparamos el dividendo dividiendo $1000r_{i-1}+\alpha _{i}$ (el siguiente grupo de tres dígitos agregado al resto anterior) por $3a$

$$(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/3a\geq \left(a+b+{\frac {b}{3a^{2}}}\right)b$$

Como de costumbre, no conocemos $b$ y no podemos evaluar el paréntesis de la derecha, pero podemos obtener una pista sobre el valor de $b$ aproximando el paréntesis por su parte principal $a$

$$\left(a+b+{\frac {b}{3a^{2}}}\right)\approx a$$

y utilizándolo como divisor de prueba, de forma que

$$b\approx (1000r_{i-1}+\alpha _{i})/3a^{2}$$

Tras lo cual, necesitamos nuevamente:

1. Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, corregirlo hacia al alza o a la baja según sea necesario.
2. Obtener el siguiente resto para preparar la obtención del siguiente dígito de la raíz evaluando $1000r_{i-1}+\alpha _{i}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}$.

Tenga en cuenta que:

• El divisor 3 está involucrado en el dividendo preparado y esto conduce a fracciones decimales no finitas.
• La división por $a$ no sólo empeora lo anterior, sino que también hace que el dividendo preparado sea específico para el paso actual, ya que el valor de $a$ evoluciona con el cálculo de las diferentes cifras de la raíz.

Esto no ocurría en el cálculo de raíces cuadradas y, como consecuencia, el proceso de obtención de raíces cúbicas es mucho más complicado y requiere un ciclo complejo de fases de preparación-restauración del dividendo que, siguiendo a Knott, podemos representar mediante el siguiente esquema :

Fase	Operación
a	Dividir por $a$.
b	Dividir por 3.
c	Obtener $b$ como el primer dígito de la división de lo anterior por $a$.
d	Restar $b(a+b)$ (Equivalente a restar $3a^{2}b$ y $3ab^{2}$ de $1000r_{i-1}+\alpha _{i}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}$).
e	Multiplicar por 3.
f	Multiplicar por $a$.
g	Restar $b^{3}$.

En nuestro ejemplo ($x=456.7890123$), usando la división tradicional (TD) y el arreglo de división tradicional (TDA) como lo hace Knott, trabajando los dos primeros dígitos:

Raíz cúbica de 456.7890123

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
456789	Primer grupo del radicando alineado con B
-343	Restar 7^3=343 del primer grupo
113789	Primer resto
7113789	7 en A como primer dígito de la raíz; considerar el segundo grupo
7113789	a) Dividir B-G por 7 (nota 1)
7162554	b) Dividir B-G por 3 (nota 2)
7541835	c) Dividir B por A (una cifra de cociente) (nota 3)
7751835	d) Restar 7*7=49 de CD
77 2835	e) Multiplicar CDEF por 3. Sumar 3✕283 a CDEFG
77  854	f) Multiplicar CDEF por 7. Sumar 7✕85 a CDEFG
77  599
-343	g) Restar 7^3=343 a CDEFG
77  256	Nuevo resto
...	Raíz obtenida hasta ahora: 7.7

Notas

1. No es necesario extender la división por 7 más allá del grupo actual de tres dígitos. El 4 en G es un resto de división que significa 4/7.
2. Lo mismo puede decirse de la división por 3. Se realiza hasta la columna F y el resto (1) se agrega temporalmente a la columna G. El valor (5) en dicha columna es un extraño híbrido que significa 1/3 y 4/7. No importa, esta extraña situación será corregida en los pasos e y f.
3. Aquí, al aplicar la regla 5/7>7+1, ya hemos restado $b\cdot a$, por lo que en el paso siguiente (d) sólo nos falta restar $b^{2}$

Método moderno

Miembros del Soroban & Abacus Group han modificado la técnica descrita por Knott para adaptarla al uso del ábaco y método modernos. El resultado es supuestamente más rápido a expensas de ser menos compacto y requerir un ábaco con más varillas para almacenar datos intermedios. También se pierde la sencillez de tener el resultado sustituyendo directamente al radicando.

También puede encontrar una compilación de métodos modernos para raíces cuadradas y cúbicas en Tone Nikki (とね日記) de un blogger japonés (el nombre del autor no parece estar disponible).

Ejemplos de raíces cúbicas

Los siguientes ejemplos se presentan utilizando la división tradicional (TD) y la disposición de división tradicional (TDA). Las fases del ciclo de preparación-restauración de dividendos están etiquetadas con a), b), etc. como se ha hecho en el ejemplo previo.

Raíz cúbica de 157464

Ábaco	Comentario
ABCDEFG	Raíz cúbica de 157464
157464	Ingrese 157464 alineando el primer grupo (157) con B
-125	Restar 5^3=125 de BCD
32464	Primer resto: 32
5 32464	Poner 5 en A como primer dígito de la raíz y considerar el segundo grupo
5 32464	a) Dividir C-F por 5 (G contendrá el resto de la división)
5 64924	b) Dividir C-F por 3
5216404	c) Dividir B por 5
5416404	d) Restar 4^2=16 de CD
54  404	e) Multiplicar 40x3 en EFG (sumándolo al resto en G)
54  124	f) Multiplicar 12x5 en EFG
54   64	g) Restar 4^3=64 de FG
54	Resto 0; ¡Hecho! La raíz es: 54

Claramente, si el resto es cero y no hay más grupos (no nulos) para agregar, el número es un cubo perfecto y hemos acabado. La raíz es 54.

Raíz cúbica de 830584

Otro ejemplo similar al anterior (el radicando es el cubo de un número de dos cifras).

Ábaco	Comentario
ABCDEFG	Raíz cúbica de 830584
830584	Introducir 830584 alineando el primer grupo con B
-729	Restar 9^3=729 de BCD
101584	101: Primer resto
9101584	Poner 9 en A como primer dígito de la raíz y considerar el siguiente grupo second group
9101584	a) Dividir C-F por 9 (G contendrá el resto)
9112871	b) Dividir C-F por 3
9376232	c) Dividir B por 9 (A)
9416232	d) Restar 4^2=16 de CD
94  232	e) Multiplicar 23x3 en EFG (sumando el resto en G)
94   71	f) Multiplicar 07x9 en EFG
94   64	g) Restar 4^3= 64 de FG
94	resto 0; ¡Hecho! La raíz es: 94

La raíz es 94.

Es tal vez conveniente que el lector practique ejemplos como este antes de intentar obtener más cifras de la raíz. Al final de este capítulo se incluye una tabla de cubos de números de dos cifras que le pueden ser de ayuda para este fin.

Raíz cúbica de 666

En este caso, el radicando no es un cubo perfecto, la raíz es un número irracional con infinitos decimales comprendido entre 8 y 9. Empezamos calculando las dos primeras cifras de la raíz.

Ábaco	Comentario
ABCDEFG	Raíz cúbica de 666
666	Introducir 666 en BCD
+	(columna unidad)
-512	Restar 8^3=512 de BCD
154	Primer resto
8154	Poner 8 en A como primer dígito de la raíz
8154000	Añadir 000 como nuevo grupo
8154000	a) Dividir B-F por 8 (A)
8192500	b) Dividir B-F por 3
8641662	c) Dividir B por 8 (A)
8781662	d) Restar B^2=49 de CD
8732662	e) Multiplicar C-F por 3 en C-G
87 9800	f) Multiplicar C-F por 8 (A) en C-G
87 7840	g) Restar B^3=343 de EFG
87 7497	Raíz hasta ahora: 8.7, resto: 7.497
+	(columna unidad)

Ahora continuamos usando operaciones abreviadas. Necesitamos dividir el resto (7497) por tres veces el cuadrado de la raíz actual ($3\cdot 87^{2}=22707$)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
87 7497
87 7497------	Elevar 87 al cuadrado (binomio de Newton)
+49	7^2
+112	2*7*8
+64	8^2
87 7497  7569	multiplicar por 3 (sumando el doble)
+14
+10
+12
+18
87 7497 22707	Dividir 7497/22707, obteniendo dos cifras del cociente
...
8733	Raíz: 8.733 (Compárese a: ${\sqrt[{3}]{666}}=8.7328917$)

Raíz cúbica de 237176659 (tres cifras)

Tenemos tres grupos: 237, 176 y 659.

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ	Raíz cúbica de 237176659
237176659	Primer grupo alineado con B
-216	Restar 6^3=216 de BCD
21176659	21: Primer resto
21176659	Anotar 6 en A como primer dígito de la raíz y considerar el segundo grupo
6 21176659	a) Dividir B-F por 6 (A)
6 35292659	b) Dividir B-F por 3
6117633659	c) Dividir B por 6 (A)
6157633659	d) Restar B^2=1 de CD
6156633659	e) Multiplicar C-F por 3 en C-G
6116992659	f) Multiplicar C-F por 8 (A) en C-G
6110196659	g) Restar B^3=343 de EFG
6110195659	Raíz hasta ahora 61, resto 10195
----------
6110195659	Considerar el tercer grupo
6110195659	a) Dividir C-H por 61 (AB)
6116714158	b) Dividir C-H por 3
6155713678	c) Dividir C por 61 (AB)
6190813678	d) Restar CxC=81 de EF
619   3678	e) Multiplicar D-H por 3 en D-I
619   1158	f) Multiplicar D-H por 61 (AB) en D-J
619    729	g) Restar C^3=729 de HIJ
619    000	¡Hecho! Resto nulo
----------	La raíz es: 619

El número es un cubo perfecto.

Raíz cúbica de 110591 (ocho cifras)

Este número es: $110591=48^{3}-1$.

El primer triplete, 110, está entre 64 y 125, por lo que la raíz cúbica de 110 591 estará entre 40 y 50. Por tanto, el primer dígito de la raíz es 4

Primer dígito:

Raíz cúbica de 110591: Primer dígito

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
110591	Primer triplete alineado con B
-64	Restar 6^3=216 de BCD
46591	46: Primer resto
46591	Inscribir 4 en A como primera cifra de la raíz y considerar el segundo grupo
4 46591	¡Primer dígito listo!

Segundo dígito:

Raíz cúbica de 110591: Segundo dígito

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
4 46591	a) Dividir B-F por 4 (A)
4116473	b) Dividir B-F por 3
4388234	c) Dividir B por 4 (A)
4868234	d) Restar BxB=64 de CD
48 4234	e) Multiplicar C-F por 3 en C-G
48 1273	f) Multiplicar C-F por 4 (A) en C-G
48  511	g) ¡No se puede restar 8^3=512 de EFG! Marcha atras (ver nota al final)
48  511	-f) Dividir C-F por 4 (A)
48 1273	-e) Dividir C-F por 3
48 4234	-d) sumar 8x8=64 a CD
4868234	-c) Revisar B a la baja
-1
+4
47T8234	d) Restar BxB=49 de CD (T=10)
4759234	e) Multiplicar C-F por 3 en C-G
4717773	f) Multiplicar C-F por 4 (A) en C-G
47 7111	g) Restar B^3=343 de EFG
47 6768	¡Segundo dígito listo! Resto: 6768

Tercer dígito:

Raíz cúbica de 110591: Tercer dígito

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
47 6768000	Añadir 000 al resto anterior
47 6768000	a) Dividir C-H por 47 (AB)
4714400000	b) Dividir C-H 3
4748000000	c) Dividir C por 47 (AB)
4795700000	d) Restar C^2=81 de EF
4794890000	e) Multiplicar D-H por 3 en D-I
4792298300	f) Multiplicar D-H por 47 (AB) en D-J
479 689490	g) Restar C^3=729 de HIJ
479 688761	¡Tercer dígito listo! resto: 688761

Cuarto dígito:

Raíz cúbica de 110591: Cuarto dígito

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
479 688761000	Añadir 000 al resto anterior
479 688761000	a) Dividir D-J por 479
4791437914194	b) Dividir D-J por 3
4794793046394	c) Dividir D por 479 1d
4799482046394	d) Restar 9^2=81 de GH
4799473946394	e) Multiplicar E-J por 3 en E-K
4799142184194	f) Multiplicar E-J por 479 en E-M
4799 68106330	g) Restar -D^3=729 de KLM
4799 68105601	¡Cuarto dígito listo! resto: 68105601

Ahora terminamos el cálculo usando operaciones abreviadas. Necesitamos dividir el resto (68105601) por tres veces el cuadrado de la raíz actual (4799). Los primeros cuatro dígitos del resultado se añaden a continuación de los ya obtenidos; por ejemplo:

Raíz cúbica de 110591: Continuación usando operaciones abreviadas

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
4799 68105601	Dividir E-M por 4799
479914191623	Dividir E-M por 4799
47992957204	Dividir E-M por 3
47999857	Compárese este resultado con ${\sqrt[{3}]{110591}}=47.9998553236\cdots$

Como podemos ver, hemos obtenido un resultado con 7 cifras correctas.

Nota

Encontramos arriba que con la raíz 48 no podíamos restar $8^{3}=512$, o nos encontraríamos con un resto negativo (-1). Esto puede parecer desafortunado, ya que nos obligó a deshacer parte del trabajo y corregir la nueva cifra de la raíz a la baja, pero en la práctica lo que encontramos es un resultado afortunado: el pequeño resto negativo (-1) nos indica que 48 es una excelente aproximación (por exceso) a la raíz, abriendo una nueva forma de resolver el problema. De hecho, lo que tenemos es:

$$110591=48^{3}-1=48^{3}\left(1-{\frac {1}{48^{3}}}\right)$$

o

$${\sqrt[{3}]{110591}}=48{\sqrt[{3}]{1-{\frac {1}{48^{3}}}}}$$

donde podemos usar

$${\sqrt[{3}]{1-a}}\approx 1-{\frac {a}{3}}$$

de forma que

$${\sqrt[{3}]{110591}}=48{\sqrt[{3}]{1-{\frac {1}{48^{3}}}}}\approx 48\left(1-{\frac {1}{3\cdot 48^{3}}}\right)=48-{\frac {1}{3\cdot 48^{2}}}=47.999855324$$

compárese con ${\sqrt[{3}]{110591}}=47.999855323638$. ¡De este modo podríamos haber logrado una gran precisión con poco esfuerzo!

De la aritmética elemental al análisis numérico

El ábaco se estudia actualmente como un arte tradicional o como un medio para desarrollar habilidades numéricas y cognitivas en general, no se espera de él que, en la era de las computadoras, se use como calculadora para resolver problemas del mundo real. Pero si ese fuera el caso y tuviéramos que resolver una gran cantidad de raíces cúbicas (algo inusual), es posible que desee pasar de los métodos tradicionales, o la aritmética básica, a los métodos modernos de análisis numérico y probar el Método de Newton-Raphson. Puede encontrar una adaptación de este método al ábaco jccAbacus en el capítulo Método de Newton para Raíces Cuadradas, Cúbicas y Quintas de la sección sobre Técnicas avanzadas.

Apéndice: Cubos de números de dos dígitos

El método tradicional de obtener raíces cúbicas con el ábaco es complejo. No es mala idea entrenarse obteniendo el segundo dígito de la raíz antes de intentar pasar al tercero o cuarto. Para esto puede serle útil la siguiente tabla de cubos de números de dos cifras no terminados en cero.

Cubos de números de dos cifras

	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
10	1331	1728	2197	2744	3375	4096	4913	5832	6859
20	9261	10648	12167	13824	15625	17576	19683	21952	24389
30	29791	32768	35937	39304	42875	46656	50653	54872	59319
40	68921	74088	79507	85184	91125	97336	103823	110592	117649
50	132651	140608	148877	157464	166375	175616	185193	195112	205379
60	226981	238328	250047	262144	274625	287496	300763	314432	328509
70	357911	373248	389017	405224	421875	438976	456533	474552	493039
80	531441	551368	571787	592704	614125	636056	658503	681472	704969
90	753571	778688	804357	830584	857375	884736	912673	941192	970299

Ejemplo: ${\sqrt[{3}]{250047}}=60+3=63$

Referencias

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Ábaco Oriental▶[+6] Índice, Introducción, Página de edición, Enlaces, Texto completo

La humanidad ha utilizado ábacos, de un tipo u otro, desde los albores de la civilización para satisfacer sus necesidades de cálculo y contabilidad. La versión moderna del ábaco oriental, originario de China, todavía se utiliza hoy en día en todo el mundo para ayudar a los niños a mejorar su comprensión y habilidades numéricas. La Aritmética con Cuentas (珠算; léase zhūsuàn en chino, shuzan en japonés), o arte del uso del ábaco oriental, ha sido inscrito en 2013 en la Lista Representativa del Patrimonio Cultural Inmaterial de la Humanidad de la UNESCO.▶

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