Ábaco Oriental/Métodos Tradicionales/Tablas de División Específicas

Fundamento

editar

Supongamos que tenemos que realizar una gran cantidad de divisiones entre 36525, que podría ser el caso si hacemos cálculos de calendarios. Entonces, podríamos simplificar la tarea creando una tabla de división específica para este divisor siguiendo lo que se indica en el capítulo: Guía a la División Tradicional. Comenzaremos calculando las siguientes tres divisiones euclidianas:

Creando una tabla de división específica para 36525
100000÷36525 200000÷36525 300000÷36525
Cociente Resto Cociente Resto Cociente Resto
2 26950 5 17375 8 07800

Que se pueden resumir en la siguiente tabla de división especializada:

Tabla de dividir por 36525
36525
1/36525>2+26950
2/36525>5+17375
3/36525>8+07800

tabla que también podemos obtener con sólo la primera división, ya que tenemos:

 
por lo que sumando este resultado a sí mismo:
 
pero el resto   es mayor que el divisor, por lo que procede revisar el cociente al alza
 
con lo que hemos obtenido la segunda regla: 2/36525>5+17375. Si ahora sumamos de nuevo el resultado de la primera división tendremos:
 
donde, nuevamente, el resto supera al divisor y necesitamos revisar al alza
 
con lo que ya disponemos de la tercera regla.

Ahora podemos usar esta tabla para hacer divisiones con este divisor sin usar la tabla de multiplicar. Por ejemplo: ¿Cuántos siglos julianos de 36 525 días caben en 1 000 000 de días? Procedemos de forma idéntica a la división tradicional por divisores de un solo dígito:

1000000÷36525
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM
36525 1000000 Regla: 1/36525>2+26950 sobre la columna G
36525 2000000 cambiar 1 en G a 2
      +26950 sumar 26950 a H-L
36525 2269500 Regla: 2/36525>5+17375 sobre la columna H
36525 2569500 cambiar 2 en H a 5
       +17375 sumar 17375 a I-M
36525 2586875 revisar al alza
      +1
       -36525
36525 2650350 revisar al alza
      +1
       -36525
36525 2713825 ¡Hecho! 1000000÷36525=27, resto 13825

¡Y hemos hecho una división por un divisor de cinco dígitos sin usar la tabla de multiplicar!

Tablas de división de dos dígitos

editar

En el pasado se publicaron tablas de división específicas para todos los divisores entre 11 y 99[1].

Reglas de división por dos dígitos
11 12 13 14 15 16 17 18 19
1 9+01 8+04 7+09 7+02 6+10 6+04 5+15 5+10 5+05
21 22 23 24 25 26 27 28 29
1 4+16 4+12 4+08 4+04 4+00 3+22 3+19 3+16 3+13
2 9+11 9+02 8+16 8+08 8+00 7+18 7+11 7+04 6+26
31 32 33 34 35 36 37 38 39
1 3+07 3+04 3+01 2+32 2+30 2+28 2+26 2+24 2+22
2 6+14 6+08 6+02 5+30 5+25 5+20 5+15 5+10 5+05
3 9+21 9+12 9+03 8+28 8+20 8+12 8+04 7+34 7+27
41 42 43 44 45 46 47 48 49
1 2+18 2+16 2+14 2+12 2+10 2+08 2+06 2+04 2+02
2 4+36 4+32 4+28 4+24 4+20 4+16 4+12 4+08 4+04
3 7+13 7+06 6+42 6+36 6+30 6+24 6+18 6+12 6+06
4 9+31 9+22 9+13 9+04 8+40 8+32 8+24 8+16 8+08
51 52 53 54 55 56 57 58 59
1 1+49 1+48 1+47 1+46 1+45 1+44 1+43 1+42 1+41
2 3+47 3+44 3+41 3+38 3+35 3+32 3+29 3+26 3+23
3 5+45 5+40 5+35 5+30 5+25 5+20 5+15 5+10 5+05
4 7+43 7+36 7+29 7+22 7+15 7+08 7+01 6+52 6+46
5 9+41 9+32 9+23 9+14 9+05 8+52 8+44 8+36 8+28
61 62 63 64 65 66 67 68 69
1 1+39 1+38 1+37 1+36 1+35 1+34 1+33 1+32 1+31
2 3+17 3+14 3+11 3+08 3+05 3+02 2+66 2+64 2+62
3 4+56 4+52 4+48 4+44 4+40 4+36 4+32 4+28 4+24
4 6+34 6+28 6+22 6+16 6+10 6+04 5+65 5+60 5+55
5 8+12 8+04 7+59 7+52 7+45 7+38 7+31 7+24 7+17
6 9+51 9+42 9+33 9+24 9+15 9+06 8+64 8+56 8+48
71 72 73 74 75 76 77 78 79
1 1+29 1+28 1+27 1+26 1+25 1+24 1+23 1+22 1+21
2 2+58 2+56 2+54 2+52 2+50 2+48 2+46 2+44 2+42
3 4+16 4+12 4+08 4+04 4+00 3+72 3+69 3+66 3+63
4 5+45 5+40 5+35 5+30 5+25 5+20 5+15 5+10 5+05
5 7+03 6+68 6+62 6+56 6+50 6+44 6+38 6+32 6+26
6 8+32 8+24 8+16 8+08 8+00 7+68 7+61 7+54 7+47
7 9+61 9+52 9+43 9+34 9+25 9+16 9+07 8+76 8+68
81 82 83 84 85 86 87 88 89
1 1+19 1+18 1+17 1+16 1+15 1+14 1+13 1+12 1+11
2 2+38 2+36 2+34 2+32 2+30 2+28 2+26 2+24 2+22
3 3+57 3+54 3+51 3+48 3+45 3+42 3+39 3+36 3+33
4 4+76 4+72 4+68 4+64 4+60 4+56 4+52 4+48 4+44
5 6+14 6+08 6+02 5+80 5+75 5+70 5+65 5+60 5+55
6 7+33 7+26 7+19 7+12 7+05 6+84 6+78 6+72 6+66
7 8+52 8+44 8+36 8+28 8+20 8+12 8+04 7+84 7+77
8 9+71 9+62 9+53 9+44 9+35 9+26 9+17 9+08 8+88
91 92 93 94 95 96 97 98 99
1 1+09 1+08 1+07 1+06 1+05 1+04 1+03 1+02 1+01
2 2+18 2+16 2+14 2+12 2+10 2+08 2+06 2+04 2+02
3 3+27 3+24 3+21 3+18 3+15 3+12 3+09 3+06 3+03
4 4+36 4+32 4+28 4+24 4+20 4+16 4+12 4+08 4+04
5 5+45 5+40 5+35 5+30 5+25 5+20 5+15 5+10 5+05
6 6+54 6+48 6+42 6+36 6+30 6+24 6+18 6+12 6+06
7 7+63 7+56 7+49 7+42 7+35 7+28 7+21 7+14 7+07
8 8+72 8+64 8+56 8+48 8+40 8+32 8+24 8+16 8+08
9 9+81 9+72 9+63 9+54 9+45 9+36 9+27 9+18 9+09

Algunos ejemplos

editar

A continuación se ofrecen unos pocos ejemplos de tablas específicas con las que puede practicar el lector antes de obtener sus propias tablas.

Tabla de división por 99
99
1 1+01
2 2+02
3 3+03
4 4+04
5 5+05
6 6+06
7 7+07
8 8+08
9 9+09

Ejemplo: 9801÷99 = 99

9801÷99
Abacus Comment
ABCDEFGHI
9801   99 Dividend AD, divisor HI
9891   99 A: Rule 9/99>9+09
9899   99 B: Rule 8/99>8+08
+1 revising up
 -99
99     99 Done! No remainder, quotient: 99


Dividir por 𝝅 es común en las aplicaciones, estas son las tablas para tres aproximaciones de este número irracional.

Tabla de división por 𝝅
314 31416 3141593
1 3+058 1 3+05752 1 3+0575221
2 6+116 2 6+11504 2 6+1150442
3 9+174 3 9+17256 3 9+1725663

Finalmente, la tabla de división por 666.

Tabla de división por 666
666
1 1+334
2 3+002
3 4+336
4 6+004
5 7+338
6 9+006

Sin embargo, no es aconsejable dividir por este número; los resultados pueden ser impredecibles…

Tabla de división por 365
365
1/365>2+270
2/365>5+175
3/365>8+080

Este es un número más saludable.

División "corta" y "larga"

editar

En inglés se suele distinguir entre división corta, cuando el divisor es de una sola cifra, y división larga, cuando se trata de divisores con más de un dígito. En el caso de la división tradicional con el ábaco hemos visto que en el primer caso sólo tenemos que utilizar la tabla de división; mientras que en el segundo tenemos que utilizar también la tabla de multiplicar para realizar las divisiones. Con el uso de tablas de dividir específicas podemos dividir por cualquier divisor sin utilizar la tabla de multiplicar y sin importar el número de cifras del divisor; por lo que estamos en una situación semejante a la división corta en este sentido. Podemos, no obstante, hablar también de división larga en este contexto de las tablas de dividir específicas.

Imaginemos que disponemos de las tabla de división por 365 (dada arriba) porque sea habitual que tengamos que dividir por dicho número; e imaginemos asimismo que nos enfrentemos puntualmente a una división por 36525. Como no esperamos tener que hacer muchas divisiones por este número no estamos dispuestos a calcular una tabla de dividir específica para él. Tenemos dos opciones para resolver este problema:

  • Usar 3 como divisor propiamente dicho, (empleando la tabla de dividir por 3) y usar 6525 como multiplicador; tal y como se explicó en la Guía a la División Tradicional.
  • Usar 365 como divisor propiamente dicho, (empleando la tabla de dividir por 365) y usar 25 como multiplicador.

Esta última forma es una extensión del concepto de división larga a las tablas de dividir específicas y nos permite ahorrarnos algunas multiplicaciones al ser el multiplicador 25 más corto que 6525. Veamos cómo realizarla:


Ejemplo: 219150÷36525 = 6

219150÷36525 usando tabla de dividir por 360
Abacus Comment
ABCDEFGHIJKLM Divisor en A-E, dividendo en H-M
36525  219150 H: Regla: 2/365>5+175
36525  519150 Cambiar 2 en H a 5
       +175 sumar 175 a IJK
36525  536650 Restar 5×25 de KLM
         -10
          -25
36525  536525 Revisar al alza H
      +1
       -36525
36525  6 ¡Hecho! Resto nulo. 219150÷36525 = 6
y hemos ahorrado la mitad de las multiplicaciones.

Reglas diagonales

editar

Cabe preguntarse si existe un equivalente a las reglas diagonales: 9/9>9+8, 8/8>9+8, 7/7>9+7, etc. para estas tablas de dividir específicas. Las reglas diagonales se usan en la división tradicional multi dígito cuando el dividendo empieza por el mismo dígito que el divisor siendo menor que éste (caso 2); por ejemplo: 47÷49. La extensión del concepto a las tablas específicas es inmediato; por ejemplo, para la tabla de dividir por 365 tendríamos: 365/365>9+365; regla que podemos usar para la división de 365213475 por 36525 en la forma:

365213475÷36525
Abacus Comment
ABCDEFGHIJKLM Multiplicador en AB, dividendo en E-M
25  365213475 Regla 365/365>9+365
25  365213475 Cambiar 365 en EFG a 900
25  900213475
    +365 sumar 365 a FGH
25  936713475 restar 9×25 de HIJ
      -18
       -45
25  936488475 Regla 3/365>8+080
25  986488475 Cambiar 3 en F a 8
     +080 sumar 080 a GHI
25  987288475 restar 8×25 de IJK
       -16
        -40
25  987268475 Revisar F al alza
    +1
     -36525
25  993615975 Regla 3/365>8+080
25  998615975 Cambiar 3 en G a 8
      +080 sumar 080 a HIJ
25  998695975 restar 8×25 de JKL
        -16
         -40
25  998693975 Revisar F al alza
     +1
      -36525
25  999328725 Regla 3/365>8+080
25  999828725 Cambiar 3 en H a 8
       +080 sumar 080 a IJK
25  999836725 restar 8×25 de KLM
         -16
          -40
25  999836525 Revisar G al alza
      +1
       -36525
25  9999 ¡Hecho! Resto nulo. 365213475÷36525=9999

Pero dichas reglas diagonales, a decir verdad, ni son estrictamente necesarias ni resultarían de uso frecuente. Por ejemplo, en el caso de la división anterior es suficiente emplear la regla: 3/365>8+080

365213475÷36525
Abacus Comment
ABCDEFGHIJKLM Multiplicador en AB, dividendo en E-M
25  365213475 Regla 3/365>8+080
25  865213475 Cambiar 3 en E a 8
25  873213475
    +080 sumar 080 a FGH
25  873213475 restar 8×25 de HIJ
      -16
       -40
25  873013475 Revisar E al alza
   +1
    -36525
25  936488475
     etc. Continuar como arriba

Sin que signifique un exceso de trabajo por comparación a lo hecho arriba. Por otro lado, cuantas más cifras tenga el divisor propiamente dicho, tanto más infrecuente será que nos enfrentemos a un dividendo que comience justamente por los mismos dígitos (1/365 de los casos en el ejemplo); por lo que podemos prescindir de las reglas diagonales si queremos.

Referencias

editar
  1. Martzloff, Jean-Claude (2006) (en Francés). A history of chinese mathematics. Springer. p. 221. ISBN 978-3-540-33782-9. 

Otras lecturas

editar