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Ábaco Oriental/Métodos Tradicionales/Cómo Tratar con el Desbordamiento

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Este capítulo es para el lector que desee practicar la división tradicional TD en disposición tradicional TDA, así como el resto de técnicas superiores que se basan en ella, usando un antiguo soroban 5+1 o incluso un ábaco moderno 4+1. Si dispone de un ábaco tradicional 5+2 (o 5+3, si es lo suficientemente afortunado), todo es mucho más sencillo y no necesitará nada de lo que sigue.


Introducción

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Excluyendo los métodos especiales de división de los que trataremos en la sección de Métodos Avanzados, hay dos formas básicas de disponer la división sobre el ábaco. Ya las hemos mencionado en la Guia a la División Tradicional:

  • Disposición Moderna (MDA), como la descrita por Kojima[1],
MDA 25÷5=5
Ábaco Comentario
ABCDEF
5   25 El dividendo empieza en E
5  5 Trás la división, el cociente empieza en D
  • Disposición Tradicional (TDA), la usada en libros antiguos como el Jinkoki (塵劫記)[2], o el Panzhu Suanfa (盤珠算法)[3]
TDA 25÷5=5
Ábaco Comentario
ABCDEF
5   25 El dividendo empieza en E
5   5 Trás la división, el cociente empieza en E
 
División según Sunzhi (es decir, la division moderna MD) con varillas de cálculo; tradicionalmente utilizaba tres filas horizontales de dígitos.

MDA parece una disposición perfecta para cualquier método de división; no sólo para el moderno y el tradicional, sino también para cualquiera de la asombrosa variedad de métodos que uno puede imaginar después de leer una página como: La guía definitiva de matemáticas superiores sobre la división larga de enteros [4] o los esbozados en el capítulo: División Moderna, y simplemente usando las cuentas de un ábaco 4+1 (moderno). Por el contrario, TDA es una disposición problemática con cualquier método de división, ya que con frecuencia tiene lugar una colisión entre cociente y dividendo/resto al requerir ambos el uso simultáneo de la misma columna. Por ejemplo, en el caso de la división moderna nos veríamos obligados a posponer la entrada en el ábaco del dígito del cociente provisional hasta que quedase libre la columna correspondiente durante la sustracción del producto de dicho cociente por el divisor. En cuanto a la división tradicional, la aplicación de las reglas de división supone sustituir el primer dígito del dividendo por el cociente provisional y sumar el resto (de la regla) a la columna siguiente; si dicha suma alcanza un valor superior a 9 (hasta 18) tenemos un 1 que desborda dicha columna y que deberíamos sumar como un acarreo a la columna de la izquierda pero que, como dicha columna está ocupada por el cociente, se produce la colisión y el 1 desbordado no tiene adonde ir. Es decir, se necesitan técnicas o ábacos especiales para hacer frente a esta colisión.

Y sin embargo, TDA se ha utilizado durante siglos junto con el método tradicional de división, mientras que MDA parece haber sido relegada al olvido hasta los tiempos modernos y la adopción del ábaco 4+1; y ello a pesar de que MDA es la primera idea que se nos ocurriría si intentásemos adaptar el antiguo método de división de Sunzhi (utilizado con las varillas de cálculo) a una sola fila de dígitos en lugar de las tres habituales. Se desconocen las razones por las que esto ha sido así, y posiblemente seguirán siendo un misterio para siempre dado que ningún autor clásico se tomó la molestia de contárnoslas. No obstante, debemos reconocerle ciertas ventajas a la disposición tradicional TDA:

  • Utiliza una varilla menos menos.
  • El resultado no se desplaza demasiado hacia la izquierda como con MDA; lo cual es de interés en el caso de operaciones encadenadas. Esto, junto con el punto anterior, hace que TDA sea más adecuado para ábacos de pequeño número de columnas, como el tradicional suanpan/soroban de 13 varillas.
  • Ahorra algunos movimientos de cuentas; por ejemplo, en la operación 6231÷93 = 67 usando la división tradicional, se pueden contar 14 movimientos usando TDA frente a los 24 requeridos si usamosMDA.
  • Los desplazamientos de la mano son más cortos.
  • Es menos propenso a errores ya que es necesario saltan menos columas.

¿Son suficientes estas razones para justificar el uso histórico de TDA? Parece necesario aceptarlo.

En cuanto a la forma de hacer frente a la colisión o desbordamiento, esto no es un problema con un ábaco tradicional 5+2 o 5+3; como ya se explicó, las cuentas superiores adicionales se pueden usar para almacenar valores tan altos como 20 en cada columna del ábaco. El problema surge cuando pensamos que los ábacos de tipo 5+1 fueron populares en Japón durante el período Edo y fueron usados con la división tradicional, pero parece que ningún texto japonés antiguo explica cómo tratar con el desbordamiento. La cuestión que trata de resolver este capítulo es esta: ¿Qué se puede hacer con un ábaco 5+1 tradicional o con el moderno 4+1?.

En lo que sigue, se ofrecen tres soluciones a esta cuestión aunque la primera de ellas no es nada recomendable para una práctica habitual.

 
El ganso solitario vuelve a su bandada. Ilustración de un ejercicio tradicional de multiplicación/división con el ábaco. Basado en una pintura de Bian Shoumin 边寿民 (1684–1752).

Usaremos un ejercicio clásico 998001÷999 = 999 como ejemplo para ilustrar las tres alternativas mencionadas. Este ejercicio se llama en chino: Regreso del ganso solitario (孤雁歸隊 Gūyàn guīduì). Si plantea esta división en el ábaco, por ejemplo:

Ábaco
ABCDEFGHIJK
999  998001

y si es lo suficientemente imaginativo, sin duda identificará la cuenta solitaria colocada en K con un ganso solitario que acaba de dejar su bandada en FGH (puede ver el lugar que ocupaba en la parte inferior de la columna H). Para hacerlo volver a su lugar sólo tenemos que completar la división y obtener 999.

Primera forma: Fuerza bruta

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En principio, podríamos sumar el "1 desbordado" en cualquier columna no utilizada, por ejemplo, la de más a la derecha del ábaco; pero esto podría resultar molesto e inconveniente porque tanto la mano como la atención tendrían que ir saltando de un lugar a otro en el ábaco con el riesgo de terminar trabajando en la columna equivocada. Aquí, sin más miramientos, sumaremos el 1 desbordado a la columna del dígito del cociente intermedio recién ingresado. Quizás el lector se sienta aterrado al oír esto y no le faltarán razones para ello, ya que crearemos una entidad híbrida, en parte cociente y en parte dividendo difícil de entender conceptualmente, pero si podemos mantener el valor del cociente intermedio en la memoria por un momento podremos operar como de costumbre y cualquier anomalía desaparecerá del ábaco en segundos. Veámoslo con el ejemplo 998001÷999 = 999 en un ábaco 4+1:

998001÷999 = 999; a lo bruto en un 4+1
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJK
999  998001 Regla: 9/9>9+9, ¡recuerde el cociente 9!
999  998001 cambie el 9 en F por 9
     +9 sume 9 a G
999 1088001 el acarreo corre hacia la izquierda, no se asuste
     -81 reste 9*9=81 de GH
999 1007001
      -81 reste 9*9=81 de HI, fin de la anomalía
999  998901 Regla: 9/9>9+9, ¡recuerde el cociente 9!
999 1007901 el acarreo corre hacia la izquierda, no se asuste
      -81 reste 9*9=81 de HI, fin de la anomalía
999  999801
       -81 reste 9*9=81 de IJ
999  998991 Regla: 8/9>8+8, ¡recuerde el cociente 8!
999  999791
       -72 reste 8*9=72 de IJ
999  999071
        -72 reste 8*9=72 de JK, fin de la anomalía
999  998999 revisión al alza
999  999 ¡Hecho!


En un ábaco 5+1, las cosas son más fáciles. Podemos usar la quinta cuenta para evitar que el acarreo corra hacia la izquierda:

998001÷999 = 999; a lo bruto en un 5+1 (2ª cifra del cociente)
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJK
    ...
999  998901 Regla: 9/9>9+9, ¡recuerde el cociente 9!
999  9T7901
      -81 reste 9*9= 81 de HI
999  999801
    ... ...etc.


Como vemos, es posible hacer las cosas así, pero no parece un método muy atractivo ya que necesitamos memorización y mucha atención para no cometer errores. Por tanto, no se debe intentar este método excepto como ejercicio de concentración. Si hemos traído este método aquí, es principalmente como introducción al siguiente método.

Segunda forma: Cuentas inferiores suspendidas

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Cuentas inferiores suspendidas en ábacos 5+1 y 4+1 y notación subrayada para representarlas.

Si usamos un 5+1, en lugar de empujar la cuenta completamente hacia arriba, sumando efectivamente el 1 desbordado al dígito del cociente provisional como en el caso anterior, parece más razonable empujarlo sólo hasta la mitad, dejando una cuenta inferior suspendida como se ilustra en la parte superior de la imagen a la derecha. Esta cuenta suspendida representará el desbordamiento a la vez que respeta la integridad del dígito del cociente.

Este parece un método perfecto para tratar con el desbordamiento, tanto en la división como en la multiplicación, todo permanece bajo nuestros ojos y nada tiene que ser memorizado. De hecho, cuando se utilizan cuentas inferiores suspendidas no hay necesidad de cuentas superiores adicionales, y el ábaco 5+1 resulta tan potente como los instrumentos 5+2 o 5+3. Esto podría ayudar a explicar por qué el ábaco 5+1 fue tan popular en el pasado y por qué la quinta cuenta inferior sobrevivió durante tanto tiempo. Nótese en la mitad inferior de la figura que, con alguna complicación, este método también se puede extender al ábaco 4+1. A partir de aquí, usaremos dígitos subrayados para representar el desbordamiento de acuerdo con la figura. El subrayado nos recuerda cómo se ve la cuenta suspendida en el ábaco real.

Ábaco 5+1

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Repitamos el ejercicio anterior con esta técnica. El divisor ya no está representado y también se introducen algunos detalles más para ilustrar adicionalmente cómo se puede usar la quinta cuenta inferior en la resta para simplificar algo la operación (como de costumbre, T es 10 inferior: 1 cuenta superior + 5 cuentas inferiores activadas)

998001÷999 = 999 en un 5+1
Ábaco Comentario
ABCDEF
998001
988001 Regla: 9/9>9+9
-8 restar 81 de BC
9T8001
 -1
9T7001
 -8 restar 81 de CD
999001
  -1
998901
997901 Regla: 9/9>9+9
 -8 restar 81 de CD
999901
  -1
999801
  -8 restar 81 de DE
998T01
   -1
998991
998791 Regla: 8/9>8+8
  -7 restar 72 de DE
998T91
   -2
998T71
   -7 restar 72 de EF
9989T1
    -2
998999 Revisar al alza
    -9 (de izquierda a derecha para ahorrar desplazamiento de mano)
998990
   -9
998900
  -9
998000
 +1
999000 ¡Hecho!

Consulte también el capítulo de ejemplos de divisiones para ver ilustrada esta división en ábacos de tipo 5+1, 5+2 y 5+3.

Ábaco 4+1

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Y ahora en un ábaco 4+1. Necesitamos usar el grupo suspendido de cuatro cuentas inferiores como código para 9:

998001/999 en un ábaco 4+1
Ábaco Comentario
ABCDEF
998001
988001 Regla: 9/9>9+9
-81 restar 81 de BC
987001
 -81 restar 81 de CD
998901
997901 Regla: 9/9>9+9
 -81 restar 81 de CD
999801
  -81 restar 81 de DE
998991
998791 Regla: 8/9>8+8
  -72 restar 72 de DE
998071
   -72 restar 72 de EF
998999 Revisar al alza
999000 D¡Hecho!

Si ha intentado este caso, probablemente haya notado que el grupo de cuatro cuentas suspendidas se comporta de la misma manera que la cuenta superior suspendida que se usa en el ábaco 5+2; es decir, con "aritmética inversa", si mueve la cuenta suspendida hacia la barra del ábaco, ¡estará restando en lugar de sumando!

Tercera forma: Memorización

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Se ha dicho anteriormente que usar cuentas inferiores suspendidas parece un método perfecto, ...pero de hecho es algo molesto debido a su inherente lentitud. Siempre es difícil suspender una cuenta, especialmente las pequeñas del ábaco moderno con poco espacio libre en las varillas, y esto a pesar del truco simple de pellizcar la cuenta con dos dedos y luego retirar la mano como si se arrancara una flor. Es cierto que con un ábaco 5+1 no se necesitan cuentas superiores adicionales, pero sin duda, si tiene muchas multiplicaciones o divisiones por hacer, preferirá la velocidad que proporcionan las cuentas adicionales; ya que pocas veces se necesita una suspender una cuenta en el 5+2, y nunca en el 5+3.

En lugar de mover/suspender físicamente la cuenta de desbordamiento, basta pensar que la cuenta ya ha sido suspendida en la columna del cociente, o empujada sobre una varilla imaginaria que sobrevuela alrededor de su ábaco, o simplemente recordar que el “estado de desbordamiento” se ha establecido en ON y que debe ponerse nuevamente en OFF tan pronto como sea posible. Esta última forma es similar al concepto de poner banderas (flags) ON/OFF en la programación de calculadoras electrónicas antiguas. Obviamente, no mover una cuenta es más rápido que mover una cuenta, por lo que nada puede ser más rápido que esta alternativa. Sin embargo, necesitaremos algo de práctica para acostumbrarnos a este método y debemos prepararnos para cometer algunos errores más debido a la memorización; pero memorizar un dígito, como en el método de fuerza bruta, es peor que simplemente memorizar una condición de alerta como se requiere aquí.

No es necesario un nuevo ejemplo para ilustrar esta técnica; los anteriores se pueden seguir bajo esta nueva perspectiva simplemente interpretando los subrayados como: OverflowFlag: ON.

Conclusión

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Hemos visto aquí tres técnicas para tratar con el desbordamiento en ábacos 4+1 y 5+1 que empujan la cuenta desbordada hacia arriba en la columna del cociente intermedio:

  1. Completamente, sumándose efectivamente como un acarreo al cociente
  2. Sólo hasta mitad de camino, dejando una cuenta inferior suspendida
  3. Nada en absoluto (salvo en nuestra mente)

Estos métodos nos brindan la posibilidad de utilizar técnicas y disposiciones tradicionales en cualquier tipo de ábaco, simplemente adaptando la mecánica a la presencia/ausencia de cuentas adicionales. Encontrará esto ventajoso si finalmente termina convencido por las técnicas tradicionales.

Se ha mencionado que ningún texto japonés antiguo explica cómo tratar con el desbordamiento con un ábaco 5+1. Lo más probable es que el método utilizado haya sido uno de los dos últimos presentados aquí. Considere que el segundo método se puede demostrar a otros en solo segundos, y que una vez visto, no se olvida ni requiere más explicaciones; Es tan obvio que no hay mucha necesidad de escribir textos extensos para transmitir ese conocimiento.

Referencias

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  1. ↑ Kojima Takashi (1954). The Japanese Abacus: its Use and Theory. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN 978-0-8048-0278-9. https://archive.org/details/japaneseabacus00taka. 
  2. ↑ Yoshida, Mitsuyoshi (吉田光由) (1634) (en Japonés). Jinkoki (塵劫記). https://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/3508170/7. 
  3. ↑ Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573] (en Chino). Pánzhū Suànfǎ (盤珠算法). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙). 
  4. ↑ «The Definitive Higher Math Guide on Integer Long Division (and Its Variants)». Math Vault. Archivado desde el original, el May 14, 2021.
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