Ábaco Oriental/Métodos Tradicionales/Texto completo

Introducción a los Métodos Tradicionales

Ábaco moderno frente al tradicional

El ábaco oriental (chino simplificado: 算盘; chino tradicional: 算盤; pinyin: suànpán, japonés: そろばん soroban, simplemente "el ábaco" en este libro de texto) , como un ábaco de cuentas fijas que deslizan sobre varillas, se originó en China en una fecha incierta, pero hacia finales del siglo XVI su uso había desplazado por completo a las varillas de cálculo como instrumento matemático en su país de origen. Desde China su uso se extendió a otros países vecinos, especialmente Japón, Corea y Vietnam, permaneciendo como principal herramienta de cálculo hasta la era electrónica. La forma en que era utilizado, el “Método Tradicional”, se mantuvo estable durante al menos cuatro siglos hasta finales del siglo XIX, cuando se inició una evolución hacia lo que llamamos el “Método Moderno” que, haciendo uso del ábaco moderno, ya hemos estudiado en la sección anterior de este libro.

Ábaco moderno (tipo 4+1).

Ábacos tradicionales tipo 5+3 y 5+1.

El ábaco moderno es del tipo 4+1, es decir, tiene cuatro cuentas en la parte inferior y una en la parte superior.

Representación de números en el ábaco moderno
(4+1)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Esto es todo lo que se necesita para poder realizar aritmética decimal. Sin embargo, los ábacos tradicionales tenían cuentas adicionales, siendo el más frecuente el tipo 5+2 (aunque el tipo 5+1 también fue popular en Japón) y ocasionalmente el tipo 5+3.

Ábaco chino tradicional 5+2 ilustrando el uso de cuentas suspendidas

Con tres cuentas superiores podemos representar hasta 20 en una sola varilla, lo cual es conveniente, como veremos, para las técnicas tradicionales de división y multiplicación. Con dos cuentas superiores podemos lograr lo mismo usando la cuenta suspendida (懸珠, Xuán zhū en chino, kenshu en japonés), una forma de simular la tercera cuenta para las raras ocasiones en que ésta se necesita (ver en la figura la representación de los números de 15 a 20).

Representación de números en un ábaco tradicional (5+2)

	0	1	2	3	4	5	5	6	7	8	9	10

	10	11	12	13	14	15	15	16	17	18	19	20

Con una quinta cuenta inferior, tenemos dos formas diferentes de representar los números 5, 10 y 15. Esto significa que tenemos opciones entre las que podemos elegir la que más nos convenga. En el caso de la suma y la resta, la posibilidad de elegir entre dos representaciones para 5 y 10 nos permitirá simplificar un poco los cálculos.

Las técnicas tradicionales se pueden utilizar en cualquier tipo de ábaco, con la excepción obvia del uso de la quinta cuenta inferior en un ábaco que no la tiene (4+1), la diferencia entre tener o no cuentas superiores adicionales es más una cuestión de comodidad y fiabilidad que de eficiencia o capacidades.

Métodos modernos y tradicionales

El método tradicional se utilizó durante al menos cuatro siglos, cubriendo las dinastías Ming y Qing en China y el período Edo en Japón. A partir de la Restauración Meiji en Japón, los estudiantes del ábaco empezaron a cambiar en el sentido de que ya sabían cómo realizar cálculos con papel y lápiz antes de comenzar a estudiar el ábaco, mientras que los estudiantes de épocas anteriores no sabían nada sobre aritmética; para la mayoría, el ábaco era la única forma de matemáticas que iban a conocer. Esto provocó una lenta adaptación de la enseñanza y los métodos del ábaco a los nuevos tiempos y circunstancias, dando lugar, después de varias décadas, a lo que ahora llamamos el Método Moderno; de hecho, un método simplificado.

En el idioma inglés, las siguientes dos obras de Takashi Kojima se citan con frecuencia en referencia al método moderno:

• The Japanese Abacus: its Use and Theory
• Advanced Abacus: Theory and Practice

Es importante mencionarlos porque, aparte de su contenido, constituyen la primera difusión del uso del ábaco oriental hacia occidente. Todavía se pueden encontrar varias ediciones de estos libros, incluidos los formatos de libros electrónicos, y el primero se puede consultar en línea en archive.org.

Hoy en día, el método moderno puede parecer óptimo en muchos sentidos y podemos pensar que algunas "rarezas" del método tradicional, especialmente la forma de organizar la división en el ábaco, carecen de sentido práctico; pero si el método tradicional se mantuvo estable durante siglos, siendo usado por millones de personas (incluidas grandes figuras de las matemáticas como Seki Takakazu), sólo puede ser porque también fue considerado óptimo en su tiempo. Simplemente, el criterio de optimalidad de los antiguos difería del que podamos tener hoy.

Desafortunadamente, nadie en el pasado se molestó en describir "por qué" se hacían las cosas de tal modo, los autores clásicos solamente escribieron sobre "cómo" hacer las cosas, de modo que nosotros sólo podemos especular sobre las razones subyacentes a algunas de estas técnicas antiguas.

Principales diferencias entre los métodos tradicionales y modernos

Estos son los tres puntos más importantes que diferencian las técnicas tradicionales de las modernas:

• El uso de la quinta cuenta inferior en suma y resta para simplificar un poco ambas operaciones, lo cual se extiende a todo lo que se puede hacer con el ábaco ya que todo depende en última instancia de la suma y la resta.
• El uso de un método de división usando una tabla de división que elimina el esfuerzo mental requerido para determinar la cifra del cociente provisional. Este método ( kijohou , guīchúfǎ 帰除法) descrito por primera vez en la Iluminación Matemática ( Suànxué Qǐméng , 算學啟蒙) por Zhū Shìjié 朱士傑 (1299) para su uso con varillas de cálculo reemplazó al antiguo método de división basado en la tabla de multiplicar y cuyo origen se remonta al menos al siglo III, al libro The Mathematical Classic of Master Sun (Sūnzǐ Suànjīng 孫子算經). Este antiguo método, que es la base de los métodos cortos y largos de división escrita, ha reemplazado a su vez al método tradicional de división en los tiempos modernos. Es decir, ¡Los tiempos modernos nos han devuelto a lo antiguo!
• Los métodos tradicionales y modernos también difieren en la forma en que se organiza la operación de división en el ábaco. La disposición de división tradicional es algo más compacta que la moderna y también más problemática ya que requiere (o se beneficia) del uso de cuentas más altas adicionales. Esta disposición de la división a su vez condiciona la forma en que se organizan la multiplicación y las raíces.

El principio de mínimo esfuerzo

Como se mencionó anteriormente, ningún autor en el pasado ha escrito sobre por qué se hacían las cosas de aquella manera, solo sobre cómo hacer las cosas; así que solamente podemos elucubrar para tratar de entender por qué. Pero el lector verá a lo largo de este libro que las técnicas tradicionales suponen, en comparación con las modernas, una reducción del esfuerzo mental necesario para utilizar el ábaco. Esto es especialmente claro en el caso de la división que utiliza una tabla de división, pero también en el resto de técnicas que se describirán ya que efectivamente implican una reducción en el número y/o la extensión de "gestos" necesarios para completar una operación. Aquí llamamos gesto a:

• movimientos de dedos o cuentas
• desplazamientos de manos
• cambios de dirección
• salto de varillas (es decir, cambiar la posición de la mano de una varilla a otra barra no adyacente)

y cada uno de estos gestos:

• como proceso físico, tarda un tiempo en completarse,
• como lo controla nuestro cerebro, requiere nuestra atención, consumiendo energía (mental o bioquímica),
• como lo hacemos seres humanos (no máquinas), tiene la posibilidad de hacerse de manera incorrecta, introduciendo errores.

de manera que podemos esperar, al reducir el número y extensión de estos gestos, un cálculo algo más rápido, más relajado y fiable.

Teniendo en cuenta lo anterior, se tiene la tentación de pensar que al adoptar este principio de mínimo esfuerzo, las técnicas tradicionales evolucionaron en el sentido de facilitar la vida con el ábaco, lo que podría explicar su vigencia a lo largo de los siglos, pero esto no es más que un conjetura sin soporte documental.

Si pensamos en el método moderno, polarizado hacia la sencillez, la velocidad y la eficacia, podríamos decir que es el "método del velocista" mientras que el método tradicional es el "método del corredor de maratón".

El lector, después de seguir este libro, podrá sacar sus propias conclusiones al respecto.

Aprendiendo el ábaco en el pasado

Puede ser interesante saber que en el pasado la gente aprendía el ábaco sin tener conocimientos previos de matemáticas, en particular sin conocer nada como una tabla de sumar o restar; en su lugar, memorizaban una serie de reglas mnemotécnicas, versos o rimas, frases cortas en chino que indicaban qué cuentas tenían que moverse para realizar la suma o resta de un dígito a otro dígito; ya lo hemos mencionado al tratar de la suma y la resta con el ábaco moderno, y si el lector compra un ábaco tradicional chino (suanpan) es posible que reciba con el mismo un librillo en inglés:  The Fundamental Operations in Bead Arithmetic, How to Use the Chinese Abacus de Kwa Tak Ming, un manual escrito para promover el uso del ábaco en Filipinas que contiene una curiosa versión inglesa de las mencionadas rimas. Una vez que los estudiantes aprendían a sumar y restar con este tipo de reglas, comenzaban a memorizar las tablas de multiplicación y división, también en forma de versos o rimas. En total, aprender los conceptos básicos del ábaco requería memorizar alrededor de 150 reglas que debían recitarse o cantarse mientras se aplicaban.

En el presente libro, nosotros hemos reducido a tres el número de reglas a memorizar para el aprendizaje de las dos operaciones básicas de adición y sustracción, pero a costa de memorizar también parejas de números complementarios. Como estudiantes modernos del ábaco partimos con un conocimiento previo de aritmética y no tendremos que memorizar reglas o rimas para multiplicar; ya hemos memorizado la tabla de multiplicar que además nos ayudará a dividir, pero si deseamos aprender el método tradicional de división sí que tendremos que memorizar una cincuentena de reglas. Pero no se preocupe, se pueden aprender gradualmente y su esfuerzo se verá recompensado con una fascinante facilidad para dividir.

Tablas de procedimientos y algunos términos y notaciones

Como de costumbre, en este libro usaremos tablas para describir los procedimientos en el ábaco, por ejemplo:

Ejemplo de tabla de procedimiento

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
896 412	Esta vez el divisor va a la izquierda y el dividendo a la derecha.
896 512	Columna E: regla 4/8> 5 + 0, cambie 4 en E por 5, agregue 0 a F
896 512	no se puede restar E × B = 5 × 9 = 45 de FG,
-1	revisar hacia abajo E: restar 1 de E,
+8	sumar 8 a F
896 492
etc.	etc.

Donde, a la izquierda, se muestra la evolución dígito a dígito del estado del ábaco o la operación de suma o resta actual junto con comentarios a la derecha sobre lo que se está haciendo. Las columnas del ábaco están etiquetadas con letras en la parte superior (los espacios en blanco representan barras no utilizadas).

Esta representación, perfecta para el ábaco moderno, necesita un par de refinamientos para adaptarla al ábaco tradicional.

• Una columna de un ábaco tradicional puede contener un número mayor que 9 y no es posible escribir sus dos dígitos en nuestra tabla sin alterar su alineación vertical. Para evitar esto, usaremos notación de subrayado para valores entre 10 y 19 y el primer dígito (uno) estará representado por un subrayado en la columna anterior (consulte el capítulo sobre cómo tratar con el desbordamiento para una razón). Por ejemplo, la situación que se representa a continuación ocurre poco después de comenzar la división tradicional de 998001 por 999

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M
	9	18	9	0	0	1	0	0	0	0	9	9	9

and is represented in procedure table as

Notación de subrayado

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
988001    999	Valor en B es 18

• 

  Notación relativa al uso de la quinta cuenta inferior.

  Como se vio arriba, los números 5, 10 y 15 tienen dos representaciones posibles: usar o no la quinta cuenta inferior. Cuando sea pertinente distinguir entre los dos, usaremos los siguientes códigos:
  • F: para denotar un cinco inferior (cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de:
  • 5: cinco superiores (una cuenta superior activada).
  • T: diez en una varilla (una cuenta superior y cinco cuentas inferiores activadas). En el ábaco de tipo 5 + 2, también es un diez inferior en lugar de una t y un diez superior (dos cuentas superiores activadas).
  • Q: quince inferiores en una varilla (dos cuentas superiores y cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de q quince superior (cuenta superior suspendida en el 5 + 2 , tres cuentas superiores activadas en el 5 + 3).

Recursos externos

Entrenador Soroban

Soroban Trainer mostrando un ábaco tipo 5+2 usando la cuenta superior suspendida.

Si está interesado en las técnicas tradicionales pero aún no tiene un ábaco tradicional, puede utilizar la aplicación JavaScript

 Soroban Trainer 

• Puede ejecutarlo directamente desde GitHub en su navegador
• o puede descargarlo a su computadora desde su repositorio en GitHub.

Particularidades Tradicionales de la Adición y la Sustracción

Introducción

Con cualquier tipo de ábaco, la suma se simula reuniendo los conjuntos de contadores que representan los dos sumandos, mientras que la resta se simula eliminando del conjunto de contadores que representan el minuendo un conjunto de contadores que representan el sustraendo. La suma y la resta son las dos únicas operaciones posibles en cualquier tipo de ábaco. Todo lo demás tiene que descomponerse en una secuencia de suma y resta.

Apenas hay diferencia entre sumar y restar con un ábaco moderno o uno tradicional, si el lector ya sabe realizar estas dos operaciones con fluidez con un ábaco moderno, podrá hacer lo mismo con uno tradicional. Los únicos dos puntos adicionales a considerar son:

• el uso de la quinta cuenta inferior para simplificar las operaciones.
• la operación inversa: combinar las direcciones de trabajo hacia la derecha y hacia la izquierda para evitar desplazamientos de la mano.

de los cuales el primero es, con mucho, el más importante.

Quinta cuenta inferior

Páginas iniciales del Pánzhū Suànfǎ 盤珠算法 (1573)

La quinta cuenta inferior se puede utilizar en operaciones de suma y resta al igual que sus compañeras. Su uso se demuestra en algunos libros antiguos como: Métodos computacionales con las cuentas en una bandeja (Pánzhū Suànfǎ 盤珠算法) by Xú Xīnlǔ 徐心魯 (1573), pero con el tiempo dejó de aparecer en los manuales. Esto no debe sorprender demasiado, no se trata de una técnica esencial sino más bien de un truco para aligerar o hacer más cómodas las operaciones con el ábaco y su uso se puede demostrar directamente con el ábaco y transmitirse de forma oral más fácilmente que plasmándolo en un libro. No olvidemos que los antiguos libros chino-japoneses sobre el ábaco eran realmente concisos; practicamente recordatorios o formularios, ya que la enseñanza oral era considerada fundamental.

Operación inversa (de derecha a izquierda)

Algunos libros antiguos sobre el ábaco, por ejemplo, "Pista Matemática" (Shùxué Tōngguǐ 數學通軌) de Kē Shàngqiān (柯尚遷) (1578), enseñan la suma usando una dirección de operación alterna con la obvia intención de ahorrar movimientos de la mano. Si el lector ya ha estudiado el ábaco moderno, sabe por qué es preferible operar de izquierda a derecha y esto no es solo una cuestión exclusiva del ábaco; en el siglo XIX, el conocido astrónomo canadiense-estadounidense Simon Newcomb, una reconocida computadora humana, recomendaba sumar y restar de izquierda a derecha en cálculo escrito en la introducción de sus tablas de logaritmos si se quería llegar a ser eficiente en el cálculo manual.

Por tanto, la alternancia de operación debe considerarse como una cuestión secundaria. Si se menciona aquí es porque, a pesar de su limitada utilidad, es un ejercicio muy interesante que puede resultar bastante difícil al principio para quien ya está habituado a trabajar de izquierda a derecha, quizás un pequeño desafío que puede llevar al lector a interesantes reflexiones sobre el orden de movimiento de los dedos; en particular, sobre si los acarreos deben realizarse "antes" o "después".

En el capítulo dedicado a las variantes del ejercicio 123456789 se propone propone su práctica diaria como una forma de perfeccionar nuestra "comprensión de las cuentas".

Uso de la 5ª Cuenta Inferior

Introducción

Ábacos con cinco cuentas inferiores, Museo Ridai de Ciencia Moderna, Tokio (Japón)

El ábaco oriental como heredero de las varillas de cálculo

Es un misterio por qué los ábacos tradicionales chinos y japoneses tenían cinco cuentas en su parte inferior, ya que solo se requieren cuatro desde el punto de vista de la representación de números decimales. Como ningún documento antiguo existente parece explicarlo, este misterio probablemente dure para siempre y tendremos que conformarnos con nuestras propias conjeturas para tratar de comprender su origen. En esta línea, podríamos pensar que, cuando aparecieron por primera vez, los ábacos de cuentas fijas fueron concebidos a imagen y semejanza de las varillas de cálculo, de las que heredaron todos los algoritmos. Con las varillas de cálculo, el uso de cinco barras para representar el número cinco era obligatorio para evitar la ambigüedad entre uno y cinco, al menos inicialmente, cuando no se usaba una representación del cero ni un tablero cuadriculado al estilo japonés. Equipar el ábaco con cinco cuentas inferiores permite una manipulación paralela o similar de cuentas y varillas, aportando algún tipo de compatibilidad de "hardware" y "software" a los ábacos de cuentas fijas; de hecho, los primeros libros chinos sobre el ábaco también se ocupaban de las varillas de cálculo, por lo que ambos instrumentos eran aprendidos al mismo tiempo. También podríamos invocar un cierto deseo de compatibilidad entre el ábaco y el sistema de notación derivado de las varillas de cálculo que, de una forma u otra, ha estado en uso hasta los tiempos modernos. Si fuéramos a anotar nuestros resultados usando tal notación, estaríamos interesados en cambiar los cincos de nuestro ábaco para que estén representados por las cinco cuentas inferiores con el fin de evitar errores de transcripción catastróficos.

Las varillas de cálculo, el ábaco más versátil y poderoso de la historia, tenía un defecto: es extremadamente lento de manipular. Como se ha explicado en la sección anterior de este libro, no es una sorpresa que los antiguos matemáticos chinos inventaran la tabla de multiplicar para acelerar la multiplicación y que también descubrieran el uso de dicha tabla de multiplicar para acelerar la división. No ha de ser, por tanto, una sorpresa que también descubrieran que las operaciones de suma y resta se podían simplificar un poco al usar la quinta cuenta inferior del ábaco. Realmente tenían que ser muy sensibles a la lentitud.

A continuación, se presenta un pequeño conjunto de reglas para el uso de la quinta cuenta junto con su razón de ser y alcance de uso. Estas reglas no se establecen explícitamente en ninguna de las obras clásicas, pero se pueden inferir de las demostraciones de suma y resta presentes en ellas, especialmente en el: Métodos computacionales con las cuentas en una bandeja (Pánzhū Suànfǎ 盤珠算法) de Xú Xīnlǔ 徐心魯 (1573), por cierto, el libro más antiguo que se conoce enteramente dedicado al ábaco.

Algunos términos y notación

Notación relacionada con el uso de la quinta cuenta inferior

En lo que sigue usaremos los siguiente conceptos y forma de notación en referencia al uso (o no) de la quinta cuenta inferior (véase la figura acompañante a la derecha).

• F: para denotar un cinco inferior (cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de:
• 5: cinco superiores (una cuenta superior activada).
• T: diez en una varilla (una cuenta superior y cinco cuentas inferiores activadas). En el ábaco de tipo 5 + 2, también es un diez inferior en lugar de t un diez superior (dos cuentas superiores activadas).
• Q: quince inferior en una varilla (dos cuentas superiores y cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de q quince superior (cuenta superior suspendida en el 5+2, tres cuentas superiores activadas en el 5+3).
• acarreo: esto representa el número 1 cuando se debe agregar a una columna como un acarreo desde la derecha (adición).

Reglas para la adición

• a1: No utilice nunca la quinta cuenta, excepto en los dos casos siguientes:
  • a2: 4 + acarreo = F
  • a3: 9 + acarreo = T

Es decir, al sumar 1 a una varilla se actúa como de costumbre, por ejemplo:

A		A
	A + 1 =
4		5

y

A	B		A	B
		B + 1 =
0	9		1	0

pero al sumar 1 como resultado de un acarreo o llevada, se usa la quinta cuenta inferior en la forma:

A	B		A	B
		B + 5 =
4	6		F	1

y

A	B		A	B
		B + 5 =
9	6		T	1

Puede ver las reglas de adición anteriores mencionadas de una manera ligeramente diferente por Chen.

La lógica de estas reglas

El objetivo de la regla a1 es simplemente procurar dejar siempre una cuenta inferior sin usar a nuestra disposición para el caso de que la columna actual tenga que recibir posteriormente un acarreo desde la derecha, mientras que las reglas a2 y a3 dictan el uso de la quinta cuenta ante tal situación. Entonces, podemos esperar obtener:

• una reducción del número de movimientos de dedos porque evitamos tratar con las cuentas superiores e inferiores a la vez
• evitar algunos saltos de varillas y reducir el intervalo de desplazamiento izquierda-derecha de la mano
• cortar cualquier "acarreo múltiple" hacia la izquierda (piense en 99999 + 1 = 999T0 en lugar de 99999 + 1 = 100000)

La ventaja

Las ventajas anteriores se obtienen automáticamente mediante el uso de las reglas a2 y a3, pero la regla a1 es de naturaleza diferente. La regla a1 es una previsión para el futuro, simplificará las cosas si un acarreo futuro realmente cae en la columna actual (lo que ocurre aproximadamente el 50% de las veces en promedio), pero no simplificará nada en caso contrario. La regla a1 es una especie de apuesta (las reglas para la resta a continuación también son de la misma naturaleza).

El ámbito de uso

Las reglas a1, a2 y a3 son para columnas que pueden recibir un acarreo, lo que excluye la última columna a la derecha en la operación normal (es decir, operando de izquierda a derecha).

En la operación inversa (operando de derecha a izquierda), ninguna columna recibirá posteriormente un acarreo desde la derecha, por lo que la regla a1 no es aplicable, pero las reglas a2 y a3 siempre deberán usarse. (Esto se menciona porque una técnica antigua, ahora caída en el olvido, utilizaba la operación hacia la izquierda en alternancia con la operación normal en sumas y restas de varios números para evitar largos desplazamientos de la mano. No es de utilidad general, pero sí un ejercicio extremadamente interesante y recomendable para un usuario avanzado para mejorar su "comprensión de las cuentas").

Excepcionalmente, si sabe que alguna columna nunca recibirá un acarreo, también podemos olvidarlos de la regla a1. (Esto puede parece un comentario extraño aquí, pero debemos hacerlo para lo que seguirá).

Reglas para la sustracción

• s1 Utilice siempre cinco inferiores (F) en lugar de cinco superiores (5). Por ejemplo: 7-2 = F

A		A		A
	A - 2 =		no
7		F		5

• s2 Nunca deje una varilla despejada (0) si puede tomar prestado de la varilla inmediatamente a la izquierda (¡pero no de una más lejana!), deje T en su lugar, es decir, por ejemplo: 27-7 = 1T

A	B		A	B
		B - 7 =
2	7		1	T

en lugar de 27-7 = 20.

A	B		A	B
		B - 7 =
2	7		2	0

Observación

Estas dos reglas no se aplican a las varillas de las que está tomando prestado; es decir, 112-7 = 10F

A	B	C		A	B	C		A	B	C
			ABC - 7 =				no
1	1	2		1	0	F		0	T	F

y 62-7 = 5F (no FF).

A	B		A	B		A	B
		AB - 7 =			no
6	2		5	F		F	F

La lógica de estas reglas

Ambas reglas tienden a dejar cuentas inferiores activadas a nuestra disposición para el caso en que necesitemos tomar prestado de ellas en el futuro (es como tener dinero suelto en el bolsillo por si acaso), ahorrándonos algunos movimientos y/o desplazamientos de la mano más anchos o más complejos, como tomar prestado de columnas no adyacentes o saltar varillas.

La ventaja

No se obtiene automáticamente, sólo cuando necesitamos tomar prestado de la varilla actual. En esto es similar a la regla de adición a1.

El ámbito de uso

Una vez más, la columna de la derecha está fuera del alcance de estas reglas, ya que nunca tomaremos prestado de ella.

Además, en la operación hacia la izquierda o inversa, nunca tomaremos prestado de la columna actual, por lo que estas reglas no se aplican (lo que puede verse como una razón adicional para preferir la operación hacia la derecha en el uso normal).

Ejemplo de uso de las reglas

Diagramas del Panzhu Suanfa de Xu Xinlu (1573) para el ejercicio 123456879 (adición)

Diagramas del Panzhu Suanfa de Xu Xinlu (1573) para el ejercicio 123456879 (sustracción)

Era común en los libros antiguos sobre el ábaco demostrar la suma y la resta mediante el conocido ejercicio que consiste en sumar el número 123456789 nueve veces a un ábaco puesto a cero hasta llegar al número 1111111101, y luego borrarlo nuevamente restando el mismo número nueve veces. Este ejercicio parece tener el nombre chino: "Jiǔ pán qīng" 九 盤 清, que significa algo así como "limpiar las nueve bandejas".

Precisamente, las reglas de uso de la quinta cuenta inferior ofrecidas aquí se han inferido de la demostración de suma y resta que aparece en el Panzhu Suanfa de Xu Xinlu, por lo que nada mejor que emplear este ejercicio como prueba de dichas reglas. En particular, las reglas permiten reconstruir la serie de resultados intermedios que aparecen en el mencionado libro tras cada adición o sustracción del número 12345689. Para la suma:

      000000000, 123456789, 246913F78, 36T36T367, 4938271F6,
      617283945, 74073T734, 864197F23, 9876F4312,    ...    

en este punto, agregar 123456789 una vez más da como resultado 1111111101, pero este número aparece en el Panzhu Suanfa como:

      TTTTTTTT1

es decir, el ábaco presenta este aspecto:

	T	T	T	T	T	T	T	T	1

que no se puede obtener mediante el uso de las reglas anteriores únicamente. Una situación similar ocurre al repetir este ejercicio pero comenzando con 999999999 en lugar de un ábaco despejado (ver Tabla 2), llegando a 1TTTTTTTT0. Es por esto por lo que incluimos el último comentario sobre el alcance de las reglas de adición anteriores. Puede ser que, por inspección o intuición, nos demos cuenta de que usar la quinta cuenta aquí no genera ningún acarreo, por lo que podemos prescindir de la regla a1 y proceder a este resultado, ...un tanto teatral por lo demás.

A partir de aquí, por sustracción deberíamos obtener:

      TTTTTTTT1, 9876F4312, 864197523, 740740734, 61728394F,
      493827156, 36T370367, 246913578, 123456789, 000000000

Como se puede ver, pocas F y T aparecen en los resultados intermedios de esta parte del ejercicio, pero algunas más aparecen durante el cálculo (Tabla 1), siendo inmediatamente convertidas a 4 y 9 al tomar prestado, que es el propósito para el cual fueron introducidas. Las F y T que quedan en los resultados intermedios son sólo las no utilizadas.

Veamos a continuación el detalle del ejercicio. El lector debería estudiarlo detenidamente.

Suma

Panzhu Suanfa: Suma (ejercicio 123456789).

ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI  
---------       ---------       ---------       ---------       ---------  
000000000       123456789       246913F78       36T36T367       4938271F6  
100000000  A+1  223456789  A+1  346913F78  A+1  46T36T367  A+1  5938271F6  A+1
120000000  B+2  243456789  B+2  366913F78  B+2  48T36T367  B+2  6138271F6  B+2
123000000  C+3  246456789  C+3  369913F78  C+3  49336T367  C+3  6168271F6  C+3
123400000  D+4  246856789  D+4  36T313F78  D+4  49376T367  D+4  6172271F6  D+4
123450000  E+5  246906789  E+5  36T363F78  E+5  49381T367  E+5  6172771F6  E+5
123456000  F+6  246912789  F+6  36T369F78  F+6  493826367  F+6  6172831F6  F+6
123456700  G+7  246913489  G+7  36T36T278  G+7  493827067  G+7  6172838F6  G+7
123456780  H+8  246913F69  H+8  36T36T358  H+8  493827147  H+8  617283936  H+8
123456789  I+9  246913F78  I+9  36T36T367  I+9  4938271F6  I+9  617283945  I+9
                  
ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI      
---------       ---------       ---------       ---------      
617283945       74073T734       864197F23       9876F4312      
717283945  A+1  84073T734  A+1  964197F23  A+1  T876F4312  A+1    
737283945  B+2  86073T734  B+2  984197F23  B+2  TT76F4312  B+2    
740283945  C+3  86373T734  C+3  987197F23  C+3  TTT6F4312  C+3    
740683945  D+4  86413T734  D+4  987597F23  D+4  TTTTF4312  D+4    
740733945  E+5  86418T734  E+5  987647F23  E+5  TTTTT4312  E+5    
740739945  F+6  864196734  F+6  9876F3F23  F+6  TTTTTT312  F+6    
74073T645  G+7  864197434  G+7  9876F4223  G+7  TTTTTTT12  G+7    
74073T725  H+8  864197F14  H+8  9876F4303  H+8  TTTTTTT92  H+8    
74073T734  I+9  864197F23  I+9  9876F4312  I+9  TTTTTTTT1  I+9   

Resta

Panzhu Suanfa: Resta (ejercicio 123456789).

ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI  
---------       ---------       ---------       ---------       ---------  
TTTTTTTT1       9876F4312       864197523       740740734       61728394F  
9TTTTTTT1  A-1  8876F4312  A-1  764197523  A-1  640740734  A-1  F1728394F  A-1
98TTTTTT1  B-2  8676F4312  B-2  744197523  B-2  620740734  B-2  49728394F  B-2
987TTTTT1  C-3  8646F4312  C-3  741197523  C-3  617740734  C-3  49428394F  C-3
9876TTTT1  D-4  8642F4312  D-4  740797523  D-4  617340734  D-4  49388394F  D-4
9876FTTT1  E-5  8641T4312  E-5  740747523  E-5  617290734  E-5  49383394F  E-5
9876F4TT1  F-6  864198312  F-6  740741523  F-6  617284734  F-6  49382794F  F-6
9876F43T1  G-7  864197612  G-7  740740823  G-7  617283T34  G-7  49382724F  G-7
9876F4321  H-8  864197532  H-8  740740743  H-8  6172839F4  H-8  49382716F  H-8
9876F4312  I-9  864197523  I-9  740740734  I-9  61728394F  I-9  493827156  I-9
                  
ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI      
---------       ---------       ---------       ---------      
493827156       36T370367       246913578       123456789      
393827156  A-1  26T370367  A-1  146913578  A-1  023456789  A-1    
373827156  B-2  24T370367  B-2  126913578  B-2  003456789  B-2    
36T827156  C-3  247370367  C-3  123913578  C-3  000456789  C-3    
36T427156  D-4  246970367  D-4  123F13578  D-4  000056789  D-4    
36T377156  E-5  246920367  E-5  123463578  E-5  000006789  E-5    
36T371156  F-6  246914367  F-6  123457578  F-6  000000789  F-6    
36T370456  G-7  246913667  G-7  123456878  G-7  000000089  G-7    
36T370376  H-8  246913587  H-8  123456798  H-8  000000009  H-8    
36T370367  I-9  246913578  I-9  123456789  I-9  000000000  I-9    

Extensión del ejemplo

Una vez que comprenda y domine el presente ejercicio, puede extenderlo para ampliar su práctica de uso de la quinta cuenta sin mas que repetirlo sobre un fondo 111111111, 222222222,..., 999999999 en lugar de 000000000. Se ofrecen a continuación los resultados parciales.

    0          1           2           3           4
000000000  0111111111  0222222222  0333333333  0444444444
123456789  02345678T0  0345678T11  045678T122  05678T1233
246913F78  0357T24689  046913F7T0  057T246911  0691357T22
36T36T367  0481481478  0592592F89  06T36T36T0  0814814811
4938271F6  0604938267  0715T49378  082715T489  09392715T0
617283945  0728394TF6  08394T6167  09F0617278  1061738389
74073T734  08F18F1845  09629629F6  1074073T67  118F18F178
864197F23  097F308634  1086419745  1197F2T8F6  1308641967
9876F4312  109876F423  1209876F34  1320987645  14320987F6
TTTTTTTT1  1222222212  1333333323  1444444434  1555FFFF45
9876F4312  1098765423  1209876534  132098764F  1432098756
864197523  097F308634  108641974F  1197F30856  1308641967
740740734  08F18F184F  0962962956  0T74074067  118F18F178
61728394F  072839F056  0839F06167  09F0617278  0T61728389
493827156  05T4938267  0716049378  0827160489  093827159T
36T370367  0481481478  0592592589  06T370369T  0814814811
246913578  0357T24689  046913579T  0F7T246911  0691358022
123456789  023456789T  0345678T11  04F678T122  0F678T1233
000000000  0111111111  0222222222  0333333333  0444444444
        
    5          6           7           8           9
0555555555  0666666666  0777777777  0888888888  0999999999
0678T12344  078T1234F5  08T1234F66  0T1234F677  11234F6788
07T2469133  091357T244  0T246913F5  11357T2466  1246913F77
0925925922  1036T36T33  1148148144  12592592F5  136T36T366
1049382711  115T493822  12715T4933  1382715T44  14938271F5
11728394T0  128394T611  1394T61722  1F06172833  1617283944
1296296289  14073T73T0  1F18F18F11  1629629622  174073T733
14197F2T78  1530864189  164197F2T0  17F3086411  1864197F22
1543209867  1654320978  176F431T89  1876F431T0  19876F4311
16666666F6  1777777767  1888888878  1999999989  1TTTTTTTT0
1F43209867  16F4320978  176F432089  1876F4319T  19876F4311
14197F3078  1F30864189  164197529T  17F3086411  1864197522
1296296289  140740739T  1F18F18F11  1629629622  1740740733
117283949T  12839F0611  139F061722  14T6172833  1617283944
0T49382711  115T493822  1271604933  1382716044  149382715F
0925925922  0T36T37033  1148148144  125925925F  136T370366
07T2469133  0913580244  0T2469135F  11357T2466  1246913577
0678T12344  078T12345F  08T1234566  0T12345677  1123456788
0FFF55555F  0666666666  0777777777  0888888888  0999999999

Reglas adicionales

Por supuesto, las reglas para la suma también se pueden usar directamente en la multiplicación y las reglas para la resta en la división, raíces, etc. Ya lo sabe, todo lo que se puede hacer en el ábaco consiste en una sucesión de sumas y restas.

Adicionalmente, aunque la división tradicional se estudiará en capítulos posteriores, podemos dejar indicada aquí una regla adicional que le es específica y a la que podrá referirse tras estudiar la tabla de división; con ábacos 5+2 o 5+3:

• k1: Utilice siempre cinco, diez y quince inferiores (F, T, Q) cuando sume al resto durante la aplicación de las reglas de división.

Esto es así porque, aunque estemos sumando a una varilla, lo siguiente que haremos será empezar a restar de la misma (si el divisor tiene más de un dígito). Es una especie de extensión de la primera regla para la resta (s1). Por ejemplo, iniciando la división87÷98:

87÷98

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
87   98	Dividendo: AB, divisor: FG
8Q   98	A: Regla 8/9>8+8
-64
886  98	etc.

Justo después de la aplicación de la regla de división 8/9>8+8 deberíamos tener:

Regla: 8/9>8+8

	A	B	C	D	E	F	G
	8	Q	0	0	0	9	8

Por cierto, a veces puede encontrar algo contradictorio el uso de la segunda regla para la resta (s2) en la división tradicional. Por ejemplo, 1167/32 = 36.46875

1167/32 = 36.46875

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
32 1167	regla 1/3>3+1
32 3267	-3*2=-6 in F, use la regla s2
-6
32 31T7

Ahora bien, ¿qué regla de división debería usarse aquí? 1/3>3+1 o 2/3>6+2? De hecho, podemos usar cualquiera de ellas y revisarlas según sea necesario, pero es más rápido darse cuenta de que el resto es en realidad 3207, de modo que la segunda regla de división es la adecuada, así que simplemente cambie las columnas EF a 62 y continue...

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
32 3627
...

Finalmente, si está utilizando el método de multiplicación tradicional o similar en un 5+2, puede encontrarse con un desbordamiento en algunas columnas, por lo que la regla adicional:

• m1 [14] + acarreo = Q

debe tambien considerarse.

Acerca de la ventaja

Está claro que el uso de la quinta cuenta puede reducir el número de movimientos de cuentas o de los dedos requeridos en algunos cálculos (piense en 99999 + 1 = 999T0 frente a 99999 + 1 = 100000). Una estimación basada en el ejercicio 123456789 y algunos de sus derivados conduce a una reducción del 10% en promedio (contando los movimientos simultáneos de las cuentas superior e inferior por separado). Esta es una reducción modesta, pero la ventaja de la quinta cuenta va más allá de simplemente reducir el número de movimientos de los dedos, ya que también reduce el número y/o la extensión de otros gestos de la mano requeridos en los cálculos (desplazamientos, cambios de dirección, saltos de varillas, ...). Como ya se ha indicado en otra parte, cada gesto:

• como proceso físico, tarda un tiempo en completarse,
• como lo controla nuestro cerebro, requiere nuestra atención, consumiendo energía (mental o bioquímica),
• como lo hacemos seres humanos (no máquinas), tiene la posibilidad de hacerse de manera incorrecta, introduciendo errores.

Bajo esta óptica, podemos esperar entonces que el uso de la quinta cuenta resulte en un cálculo algo más rápido, más relajado y fiable al reducir el número total de gestos requeridos. No es fácil medir esta triple ventaja utilizando un solo parámetro.

Saltar columnas parece haber sido visto tradicionalmente como algo que debe evitarse como una posible fuente de errores. Sin este concepto, la regla de resta (s2) no se puede entender ya que no siempre conduce a una reducción en el número de movimientos de los dedos, pero siempre reduce el rango de movimiento de la mano y la necesidad de saltar barras.

En cualquier caso, la ventaja de usar la quinta cuenta, aunque no despreciable, es solo modesta, y cada uno debe decidir si vale la pena usarla o no. Después de acostumbrarse y dominar el uso de la quinta cuenta, no hay mejor prueba de su eficiencia que usar nuevamente un ábaco moderno 4+1, y ser sensible al trabajo adicional requerido para completar las mismas tareas con él.

Otras lecturas

• Heffelfinger, Totton (2011). «The 5 Earth Bead Advantage». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.

Recursos externos

Puede practicar online el uso de la quinta cuenta con Soroban Trainer (ver capítulo: Introducción) usando este fichero 123456789-5bead.sbk que tendrá que descargar a su ordenador y después subirlo a Soroban Trainer (Es un archivo de texto que puede inspeccionar con cualquier editor de texto y que puede descargar de forma segura a su computadora.).

Variantes del Ejercicio 123456789

	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Introducción

Como hemos visto en el capítulo anterior, el "ejercicio 123456789", que consiste en sumar ese número nueve veces a un ábaco a cero hasta llegar al número 1111111101 y luego restarlo nueve veces hasta que el ábaco se despeje nuevamente, se viene utilizando desde la antigüedad para ilustrar y practicar la suma y la resta. Es un ejercicio conveniente porque:

• es lo suficientemente largo como para que no sea un ejercicio trivial
• si no volvemos al valor inicial (cero) es señal de que nos hemos equivocado por el camino
• no necesitamos ni libro ni hoja de ejercicios
• utiliza muchos de los casos elementales de suma y resta de un dígito a otro dígito

pero también tiene un par de inconvenientes:

• no usa todos los pares de dígitos (por ejemplo, un 3 nunca se suma a un 5)
• después de repetirlo varias veces, se comienza a memorizar mecánicamente el ejercicio, de modo que ya no estamos practicando sumas y restas

Para evitar estos dos problemas podemos modificar el ejercicio de varias formas.

Usando un fondo

Ya se ha mencionado en el capítulo anterior. En lugar de usar un ábaco puesto a cero, llenamos 9 columnas del mismo con un dígito (111111111, 222222222, etc.) y procedemos a sumar y luego restar nueve veces el número 123456789. Con esto multiplicamos por 10 el número de ejercicios a nuestra disposición y podremos estar seguros de que ahora recorremos todos los casos posibles de suma y resta dígito por dígito a la vez que la memorización mecánica se hace más difícil.

La siguiente tabla contiene los valores intermedios del ejercicio como referencia. Estos valores se recorren de arriba hacia abajo durante la fase de adición y de abajo hacia arriba en la de sustracción.

Ejercicio 123456789 sobre un fondo
Resultados intermedios

+1..9	0	1	2	3	4	+1..9
0	000000000	111111111	222222222	333333333	444444444	0
1	123456789	234567900	345679011	456790122	567901233	1
2	246913578	358024689	469135800	580246911	691358022	2
3	370370367	481481478	592592589	703703700	814814811	3
4	493827156	604938267	716049378	827160489	938271600	4
5	617283945	728395056	839506167	950617278	1061728389	5
6	740740734	851851845	962962956	1074074067	1185185178	6
7	864197523	975308634	1086419745	1197530856	1308641967	7
8	987654312	1098765423	1209876534	1320987645	1432098756	8
9	1111111101	1222222212	1333333323	1444444434	1555555545	9

Ejercicio 123456789 sobre un fondo
Resultados intermedios (continuación)

+1..9	5	6	7	8	9	+1..9
0	555555555	666666666	777777777	888888888	999999999	0
1	679012344	790123455	901234566	1012345677	1123456788	1
2	802469133	913580244	1024691355	1135802466	1246913577	2
3	925925922	1037037033	1148148144	1259259255	1370370366	3
4	1049382711	1160493822	1271604933	1382716044	1493827155	4
5	1172839500	1283950611	1395061722	1506172833	1617283944	5
6	1296296289	1407407400	1518518511	1629629622	1740740733	6
7	1419753078	1530864189	1641975300	1753086411	1864197522	7
8	1543209867	1654320978	1765432089	1876543200	1987654311	8
9	1666666656	1777777767	1888888878	1999999989	2111111100	9

Ejercicio 987654321

En lugar de usar el número 123456789, podemos pensar en usar cualquier otra permutación de estos dígitos que podamos recordar fácilmente; por ejemplo, 987654321, la única que consideraremos aquí. Esto nos ofrece otros 10 ejercicios independientes para la práctica de suma y resta. La siguiente tabla nos muestra los valores intermedios de esta nueva serie de ejercicios utilizando un fondo.

En total, ya tenemos 20 ejercicios diferentes.

Ejercicio 987654321 sobre un fondo
Resultados intermedios

+9..1	0	1	2	3	4	+9..1
0	000000000	111111111	222222222	333333333	444444444	0
1	987654321	1098765432	1209876543	1320987654	1432098765	1
2	1975308642	2086419753	2197530864	2308641975	2419753086	2
3	2962962963	3074074074	3185185185	3296296296	3407407407	3
4	3950617284	4061728395	4172839506	4283950617	4395061728	4
5	4938271605	5049382716	5160493827	5271604938	5382716049	5
6	5925925926	6037037037	6148148148	6259259259	6370370370	6
7	6913580247	7024691358	7135802469	7246913580	7358024691	7
8	7901234568	8012345679	8123456790	8234567901	8345679012	8
9	8888888889	9000000000	9111111111	9222222222	9333333333	9

Ejercicio 987654321 sobre un fondo
Resultados intermedios (continuación)

+9..1	5	6	7	8	9	+9..1
0	555555555	666666666	777777777	888888888	999999999	0
1	1543209876	1654320987	1765432098	1876543209	1987654320	1
2	2530864197	2641975308	2753086419	2864197530	2975308641	2
3	3518518518	3629629629	3740740740	3851851851	3962962962	3
4	4506172839	4617283950	4728395061	4839506172	4950617283	4
5	5493827160	5604938271	5716049382	5827160493	5938271604	5
6	6481481481	6592592592	6703703703	6814814814	6925925925	6
7	7469135802	7580246913	7691358024	7802469135	7913580246	7
8	8456790123	8567901234	8679012345	8790123456	8901234567	8
9	9444444444	9555555555	9666666666	9777777777	9888888888	9

Empezando con la sustracción

Si empezamos restando los números 123456879 o 987654321 y completamos el ejercicio con su suma dispondremos de otros 20 ejercicios independientes, pero tarde o temprano nos aparecerán resultados intermedios negativos. Existe una forma de representar números negativos en el ábaco, frecuentemente referida como "el otro lado" del ábaco, que estudiaremos en la sección sobre técnicas avanzadas, pero de momento es preferible mantenerse dentro de los números positivos. Para lograrlo, necesitaremos introducir un uno dos columnas a la izquierda de donde vayamos a empezar el ejercicio; por ejemplo, usando un fondo de treses:

Write caption here!

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M
	0	0	1	0	3	3	3	3	3	3	3	3	3

con un 1 en la columna C. Es decir, usamos el número 10 000 000 000 o $10^{10}$ como punto de partida al que sumaremos el fondo que corresponda. De este modo tendremos de dónde tomar prestado durante la sustracción y trabajaremos con números positivos durante todo el ejercicio.

Las tablas siguientes contienen los resultados intermedios para los ejercicios 123456798 y 987654321. Nótese que las tablas no contienen a la columna C; de hecho, no es necesario introducir físicamente un 1 allí, simplemente podemos tomar prestado de dicha columna cuando lo necesitemos (sí, de la nada) y tarde o temprano, a lo largo del ejercicio, llevaremos un acarreo a dicha columna devolviendo lo que tomamos prestado aunque tampoco lo hagamos constar en el ábaco. Si procedemos así, sin poner físicamente el 1 en la columna C, nos estaremos aproximando al uso del "otro lado del ábaco" para los números negativos. Vuelva por aquí cuando haya leído el capítulo correspondiente.

Ejercicio 123456789 comenzando con sustracción
Resultados intermedios

-1..9	0	1	2	3	4	-1..9
0	000000000	111111111	222222222	333333333	444444444	0
1	9876543211	9987654322	98765433	209876544	320987655	1
2	9753086422	9864197533	9975308644	86419755	197530866	2
3	9629629633	9740740744	9851851855	9962962966	74074077	3
4	9506172844	9617283955	9728395066	9839506177	9950617288	4
5	9382716055	9493827166	9604938277	9716049388	9827160499	5
6	9259259266	9370370377	9481481488	9592592599	9703703710	6
7	9135802477	9246913588	9358024699	9469135810	9580246921	7
8	9012345688	9123456799	9234567910	9345679021	9456790132	8
9	8888888899	9000000010	9111111121	9222222232	9333333343	9

Ejercicio 123456789 comenzando con sustracción
Resultados intermedios (continuación)

-1..9	5	6	7	8	9	-1..9
0	555555555	666666666	777777777	888888888	999999999	0
1	432098766	543209877	654320988	765432099	876543210	1
2	308641977	419753088	530864199	641975310	753086421	2
3	185185188	296296299	407407410	518518521	629629632	3
4	61728399	172839510	283950621	395061732	506172843	4
5	9938271610	49382721	160493832	271604943	382716054	5
6	9814814821	9925925932	37037043	148148154	259259265	6
7	9691358032	9802469143	9913580254	24691365	135802476	7
8	9567901243	9679012354	9790123465	9901234576	12345687	8
9	9444444454	9555555565	9666666676	9777777787	9888888898	9

Ejercicio 987654321 comenzando con sustracción
Resultados intermedios

-9..1	0	1	2	3	4	-9..1
0	000000000	111111111	222222222	333333333	444444444	0
1	9012345679	9123456790	9234567901	9345679012	9456790123	1
2	8024691358	8135802469	8246913580	8358024691	8469135802	2
3	7037037037	7148148148	7259259259	7370370370	7481481481	3
4	6049382716	6160493827	6271604938	6382716049	6493827160	4
5	5061728395	5172839506	5283950617	5395061728	5506172839	5
6	4074074074	4185185185	4296296296	4407407407	4518518518	6
7	3086419753	3197530864	3308641975	3419753086	3530864197	7
8	2098765432	2209876543	2320987654	2432098765	2543209876	8
9	1111111111	1222222222	1333333333	1444444444	1555555555	9

Ejercicio 987654321 comenzando con sustracción
Resultados intermedios (continuación)

-9..1	5	6	7	8	9	-9..1
0	555555555	666666666	777777777	888888888	999999999	0
1	9567901234	9679012345	9790123456	9901234567	12345678	1
2	8580246913	8691358024	8802469135	8913580246	9024691357	2
3	7592592592	7703703703	7814814814	7925925925	8037037036	3
4	6604938271	6716049382	6827160493	6938271604	7049382715	4
5	5617283950	5728395061	5839506172	5950617283	6061728394	5
6	4629629629	4740740740	4851851851	4962962962	5074074073	6
7	3641975308	3753086419	3864197530	3975308641	4086419752	7
8	2654320987	2765432098	2876543209	2987654320	3098765431	8
9	1666666666	1777777777	1888888888	1999999999	2111111110	9

Usando la quinta cuenta inferior

Esta es la propuesta más interesante en el contexto de los métodos tradicionales. Los cuarenta ejercicios anteriores se pueden realizar utilizando la quinta cuenta inferior como se explica en detalle en el capítulo anterior; esto le permitirá dominar esta técnica tradicional. Consulte el capítulo anterior sobre la 5ª cuenta para los resultados intermedios del ejercicio 123456789.

¡Con esto, sumamos un total de 80 ejercicios!

Usando dirección de operación alterna

Y finalmente, ¿por qué no? Aunque solamente sea por el placer de superar una dificultad diferente, podemos combinar los ejercicios anteriores con una dirección de operación alterna, de izquierda a derecha y de derecha a izquierda, como se explica en el capítulo introductorio de Particularidades Tradicionales de la Adición y la Sustracción.

Ejemplo de operación alternada

Abacus	Comment
ABCDEFGHIJ
	Ábaco puesto a cero
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9
123456789	Primer paso completado
+9
+8
+7
+6
+5
+4
+3
+2
+1
246913578	Segundo paso completado
etc.

Con esto, podría dar un paso más en su comprensión de la mecánica de las cuentas.

Conclusión

Con los 160 ejercicios aquí presentados, ya no tiene excusa, puede practicar sumas y restas durante horas en cualquier momento, sin hojas de ejercicios, quizás mientras está cómodamente sentado en su sofá, con su ábaco apoyado en las rodillas y mientras ve la televisión...

¡Esta es una puerta a la maestría!

Sinopsis de la División Tradicional

Introducción

División según Sunzi de 309 por 7 usando varillas de cálculo

De las cuatro operaciones aritméticas fundamentales, la división es probablemente la más difícil de aprender y realizar. Al ser básicamente una secuencia de restas, existe una gran cantidad de algoritmos o métodos para realizarla y muchos de estos métodos se han utilizado con el ábaco.. De estos, dos destacan por su eficiencia y deben considerarse los principales:

• El método de división moderno (MD), shojohou en japonés, shāng chúfǎ en chino (商除法); el más antiguo de los dos, su origen se remonta al menos a los siglos III al V d.C., como se cita en el libro: El Clásico Matemático del Maestro Sun (Sūnzǐ Suànjīng 孫子算經). Si lo llamamos moderno es porque es el que se enseña habitualmente en la actualidad al ser el más parecido a la división con papel y lápiz. Este método de división se basa en el uso de la tabla de multiplicar. Durante el período Edo fue introducido en Japón por Momokawa Jihei., pero no ganó popularidad hasta el siglo XX con el desarrollo de lo que hemos venido llamando Método Moderno.
• El método de división tradicional (TD), kijohou (帰除法) en japonés, guī chú (帰除) en chino , descrito por primera vez en la Ilustración matemática (Suànxué Qǐméng, 算學啟蒙) de Zhū Shìjié 朱士傑 (1299). Su principal peculiaridad es que utiliza una tabla de división además de la tabla de multiplicar, lo que ahorra el esfuerzo mental de determinar qué cifra provisional del cociente tenemos que probar. Además, podemos crear tablas de división especiales para divisores de varios dígitos; lo que nos ahorrará el uso de la tabla de multiplicar.

Ambos métodos se utilizaron por primera vez en China con varillas de cálculo.

En los capítulos siguientes nos ocupamos del método tradicional de división, asumiendo que el lector ya tiene experiencia con el método moderno de división.

Capítulos

División moderna y tradicional; parientes cercanos

En este capítulo tratamos de mostrar cómo los métodos modernos y tradicionales, aparentemente tan diferentes, están realmente estrechamente relacionados, a la vez que tratamos de justificar por qué se inventó este método.

Guía a la división tradicional

Aquí veremos cómo utilizar el método tradicional.

Aprendiendo la tabla de división

Contiene algunas indicaciones que pueden facilitarle la memorización de la tabla de división.

Tratando con el desbordamiento

Cómo hacer frente a la disposición tradicional de la división (TDA) utilizando diferentes tipos de ábaco, especialmente el moderno 4+1 y el tradicional japonés 5+1.

Ejemplos de división tradicional

Un conjunto básico de ejemplos para ilustrar todo lo anterior.

Tablas de división generalizadas

Tablas de división para divisores de varios dígitos, lo que permite dividir por ellos sin recurrir a la tabla de multiplicar.

División por potencias de dos

Otro método de división tradicional diferente de 帰除法 basado en fracciones; una forma de división in situ.

Division Moderna y Tradicional; Parientes Próximos

División Moderna (商除法)

Es conveniente que el lector tenga fresco en la memoria el capítulo sobre la división moderna de la sección: Métodos del Ábaco Moderno; en particular lo que allí llamamos:

El punto clave

Uno de los puntos clave del aprendizaje del ábaco es ser conscientes de que este instrumento nos permite corregir algunas cosas de forma muy rápida y sin dejar rastros, lo que convierte al ábaco en un instrumento especialmente indicado para procedimientos de prueba y error. Esto nos es especialmente útil en el caso de la división. Si tenemos que dividir $634263\div 79283$, en lugar de forzar nuestra mente tratando de encontrar la cifra correcta del cociente, simplemente elegimos una cifra aproximada provisional o interina simplificando el problema original a $63\div 7$ y la probamos intentando restar el trozo (cociente provisional)✕79283 del dividendo; al hacerlo, ocurrirá una de las siguientes situaciones:

• El dígito del cociente provisional es correcto
• Es excesivo y debemos revisarlo a la baja
• Es insuficiente y debemos revisarlo al alza

ya que es este punto clave lo que nos señala la tremenda similitud entre las dos aproximaciones, tradicional y moderna, a la división; así como la pequeña diferencia que nos conducirá a un algoritmo completamente diferente. Recordemos también uno de los ejemplos vistos en dicho capítulo:

División Moderna: 1225÷35 = 35

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
35    1225	12÷3↦4 como cociente provisional
+4	situar cociente prov. en F
35   41225	Tratar de restar 4✕35 de GHI,
-12	primero 4✕3 de GH
35   40025	ahora 4✕5 de HI
-20	¡No se puede!
-1	Revisar a la baja la cifra del cociente
35   30025
+3	Devolver lo sustraído en exceso de GH
35   30325
-15	continuar normalmente: restar 3✕5 de HI
35   3 175	17÷3↦5 como cociente provisional
+5	situar cociente prov. en G
35   35175	Tratar de restar 5✕35 de HIJ
-15	primero 5✕3 de HI
35   35025
-25	ahora 5✕5 de IJ
35   35	Resto nulo, fin! 1225÷35 = 35

División tradicional (帰除法)

En lugar de intentar resolver directamente el problema original 1225÷35 o la aproximación utilizada en MD 12÷3, simplificamos aún más y tratamos de resolver 10÷3; es decir, utilizamos un enfoque más crudo del problema original al ignorar el segundo dígito del dividendo, por lo que debemos prepararnos para revisar el cociente intermedio con más frecuencia. Con este cambio de enfoque de 12÷3 a 10÷3 estamos adoptando la filosofía de TD; la cual es sólo una ligera variación de la técnica de división por trozos utilizada en MD. Es por esta razón por lo que podemos considerar ambas técnicas de división como parientes cercanos, miembros de la familia de algoritmos de división por trozos.

Por supuesto, si el lector ya ha desarrollado cierta habilidad dividiendo por el método moderno, no hallará ninguna dificultad en aplicar esta nueva aproximación. Así, el ejemplo anterior discurriría de la forma:

1225÷35 con la nueva filosofía

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
35    1225	10÷3↦3 por la tabla de multiplicar
+3	cociente provisional en F
35   31225	sustraer 3✕35 from GHI,
-09	primero 3✕3 from GH
35   3 325
-15	luego 3✕5 from HI
35    3175	ok.
35   3 175	10÷3↦3 por la tabla de multiplicar
+3	cociente provisional en G
35   33175	sustraer 3✕35 from HIJ,
-09	primero 3✕3 de HI
35   33 85
-15	ahora 3✕5 de IJ
35   33 70	resto mayor que el divisor (35)
+1-35	revisamos al alza
35   34 35	resto igual que el divisor (35)
+1-35	revisamos al alza otra vez
35   35	resto nulo, hecho! 1225÷35 = 35

Fíjese en que

• MD y TD (tal y como se ha explicado hasta ahora) se pueden entremezclar libremente durante el mismo problema de división. Este es un ejercicio interesante y recomendable que permite comparar ambas estrategias una junto a la otra.
• TD utiliza una aproximación más simple y por defecto del problema original que MD, por lo que podemos prever algunos pros y contras
  • Pros
    • Algunos pueden encontrar este enfoque más simple
    • Será necesario revisar a la baja con menos frecuencia (revisar hacia a la baja suele ser más difícil y propenso a errores que revisar al alza)
  • Contras
    • Necesitamos revisar el cociente provisional con más frecuencia, ya que la aproximación seguida es mas rudimentaria, lo cual es un problema de eficiencia.

Los dos pros anteriores probablemente jugaron un papel en el desarrollo de la técnica sofisticada que conocemos como división tradicional, pero entender por qué fue el método preferido durante siglos, a pesar del contra anterior, requiere reflexionar sobre el origen del esfuerzo mental realizado durante la división y descubrir la belleza oculta de TD.

La fuente del esfuerzo mental

Cuando aprendemos la tabla de multiplicar, memorizamos una secuencia de frases como:

“nueve por nueve, ochenta y uno”

“nueve por ocho, setenta y dos”

...

El orden en el que se aprenden estas frases puede variar, pero la estructura de las frases es similar en muchos idiomas, al menos en español e inglés al igual que en chino y japonés. Consiste en una etiqueta que contiene los dos factores a multiplicar seguidos del producto. Tan pronto como pensamos en la etiqueta, ésta, actuando como una invocación, trae a nuestra conciencia el valor del producto. Representémoslo de la siguiente manera (lea ➡ como la invocación):

Lengua	Etiqueta		Producto
Español	nueve por nueve	➡	ochenta y uno
Inglés	nine times nine	➡	eighty-one
Chino	九九	➡	八十一
Japonés	くく	➡	はちじゅういち
Symbólico	9✕9	➡	81

¿Cómo usamos esta tabla de multiplicar durante la división? Pensemos en nuestro ejemplo anterior usando shojohou o el método de división moderno: 17÷3↦5, de la tabla de multiplicación por tres necesitamos el producto más grande que se puede restar de 17. Necesitamos escanear en nuestra memoria (representado por ⤷) al menos parte de dicha tabla y por cada producto rescatado, ver si es menor de 17 y elegir el máximo de los productos menores que 17. Un proceso complicado que se puede representar como:

	3✕1	➡	3
	3✕2	➡	6
⤷	3✕3	➡	9	sí
⤷	3✕4	➡	12	sí
⤷	3✕5	➡	15	sí	¡seleccionamos este!
⤷	3✕6	➡	18	no
	3✕7	➡	21
	3✕8	➡	24
	3✕9	➡	27

Este proceso consume tiempo y energía. Los especialistas en informática pueden encontrar una similitud entre este proceso y la búsqueda en una tabla de una base de datos relacional por datos en una columna no indexada; la ineficacia de tal búsqueda es bien conocida. La creación de un nuevo índice para esa tabla en función de la columna y los criterios de búsqueda puede mejorar drásticamente las cosas. ¿Podemos hacer algo similar en nuestro caso para que la división sea más cómoda?

Indexando la tabla de multiplicar; la tabla de dividir

Para hacer algo similar a indexar la tabla de multiplicar en términos de los productos para facilitar la búsqueda, debemos memorizar frases nuevas que contengan esos productos como etiquetas; es decir, frases que comiencen con ellos; por ejemplo:

Etiqueta	Cociente
3/3	1
6/3	2
9/3	3
12/3	4
15/3	5
18/3	6
21/3	7
24/3	8
27/3	9

Es decir, tenemos que memorizar una tabla de división, lo cual es un trabajo duro. Piense también que la tabla anterior no es óptima en el sentido de que faltan muchos de los números entre 1 y 29; quizás deberíamos memorizar una tabla del siguiente estilo en su lugar:

Etiqueta	Cociente	Resto
1/3	0	1
2/3	0	2
3/3	1	0
4/3	1	1
5/3	1	2
…	…	…
27/3	9	0
28/3	9	1
29/3	9	2

donde la tercera columna contiene los restos de la división euclídea. Probablemente esté de acuerdo en que memorizar una tabla de este tipo está fuera del alcance de la mayoría de las personas (¡piense en la tabla para 9!).

La belleza oculta de la división tradicional

Si dedicásemos toda una vida a dividir con el ábaco usando el método moderno terminaríamos enfrentándonos con todas las divisiones elementales posibles del tipo ab÷c, donde a, b y c son dígitos y ab<c0, aproximadamente unas 360 en total. Sin embargo, si usásemos la división tradicional tal y como se ha explicado aquí hasta ahora, nos enfrentaríamos con todas las divisiones elementales del tipo a0÷c, es decir 10✕a÷c con a0<c0, ¡sólo 36 en total! Esto hace viable la memorización de una tabla de división. De hecho, para dividir por 3 basta con memorizar:

Etiqueta	Cociente	Resto
10/3	3	1
20/3	6	2

o, en una forma simbólica más compacta

Regla
1/3 > 3+1
2/3 > 6+2

que podemos usar directamente para resolver nuestro ejemplo sin pensar, simplemente eligiendo la cifra sugerida por la regla como cociente intermedio:

1225÷35 = 35 usando reglas de división

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
35    1225	Regla: 1/3 > 3+1
+3	cociente interino 3 en F
35   31225	sustraer 3✕35 de GHI,
-09	primero 3✕3 de GH
35   3 325
-15	después 3✕5 de HI
35   3 175	ok.
35   3 175	Regla: 1/3 > 3+1
+3	cociente interino 3 en G
35   33175	sustraer 3✕35 from HIJ,
-09	primero 3✕3 de HI
35   33 85
-15	ahora 3✕5 de IJ
35   33 70	resto mayor que el divisor (35)
+1-35	revisando al alza
35   34 35	resto igual al divisor (35)
+1-35	revisando al alza otra vez
35   35	Resto nulo, ¡hecho! 1225÷35 = 35

pero aún no hemos hecho uso del resto que aparece en las reglas después del signo más, por lo que todavía no estamos usando la mecánica completa de la división tradicional; ese y otros temas se cubrirán en el próximo capítulo.

La tabla de división

Concluyamos el presente capítulo ofreciendo una primera visión de la tabla de división completa utilizada en TD. Todos los elementos se obtienen de los términos a0÷c por división euclídea.

Tabla de División

1/9>1+1	2/9>2+2	3/9>3+3	4/9>4+4	5/9>5+5	6/9>6+6	7/9>7+7	8/9>8+8	9/9>9+9
1/8>1+2	2/8>2+4	3/8>3+6	4/8>5+0	5/8>6+2	6/8>7+4	7/8>8+6	8/8>9+8
1/7>1+3	2/7>2+6	3/7>4+2	4/7>5+5	5/7>7+1	6/7>8+4	7/7>9+7
1/6>1+4	2/6>3+2	3/6>5+0	4/6>6+4	5/6>8+2	6/6>9+6
1/5>2+0	2/5>4+0	3/5>6+0	4/5>8+0	5/5>9+5
1/4>2+2	2/4>5+0	3/4>7+2	4/4>9+4
1/3>3+1	2/3>6+2	3/3>9+3
1/2>5+0	2/2>9+2
1/1>9+1

El lector probablemente se sentirá sorprendido al contemplar los elementos de la diagonal señalados en gris tales como 9/9>9+9, 8/8>9+8, etc. La división euclídea de 90 por 9 da un cociente de 10 y un resto de cero, ¿Por qué se indica aquí un cociente de 9 y un resto de 9? Como veremos, tales reglas son especiales en cierto sentido.

Otras lecturas

• «The Definitive Higher Math Guide on Integer Long Division (and Its Variants)». Math Vault. Archivado desde el original, el May 14, 2021.
• Knott, Cargill G. (1886). «The Abacus, in its Historic and Scientific Aspects». Transactions of the Asiatic Society of Japan 14:  pp. 18-73. https://archive.org/details/in.gov.ignca.26020/page/17/mode/2up.  deals with traditional division
• Totton Heffelfinger (2013). «Suan Pan and the Unit Rod - Division». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
• Totton Heffelfinger (2013). «Short Division Techniques - Chinese Suan Pan». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
• Totton Heffelfinger (2013). «Long Division Techniques - Chinese Suan Pan». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
• Totton Heffelfinger (2013). «Chinese Division Rules on a Soroban». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.

Guía a la División Tradicional

Introducción

El método de división tradicional (TD), kijohou , guī chúfǎ (帰除法), es uno de los dos métodos principales de división utilizados con el ábaco. Este método utiliza tanto la tabla de multiplicar como una tabla de división específica y ha sido el método estándar estudiado con el ábaco durante al menos 4 siglos, perdiendo popularidad en la década de 1930 por las razones que ya han sido comentadas. Como algoritmo de división dígito a dígito lo hemos presentado en el capítulo anterior comparándolo al método de división moderno; haciendo hincapié en su especial característica: no requiere pensar en qué dígito provisional probar, sino sólo seguir las reglas. En el presente capítulo veremos cómo llevarlo efectivamente a la práctica con el ábaco.

La tabla de división

En el capítulo anterior se ha introducido la siguiente tabla de división o tabla de dividir (八算, Hassan en japonés, Bāsuàn en chino):

Tabla de División

1/9>1+1	2/9>2+2	3/9>3+3	4/9>4+4	5/9>5+5	6/9>6+6	7/9>7+7	8/9>8+8	9/9>9+9
1/8>1+2	2/8>2+4	3/8>3+6	4/8>5+0	5/8>6+2	6/8>7+4	7/8>8+6	8/8>9+8
1/7>1+3	2/7>2+6	3/7>4+2	4/7>5+5	5/7>7+1	6/7>8+4	7/7>9+7
1/6>1+4	2/6>3+2	3/6>5+0	4/6>6+4	5/6>8+2	6/6>9+6
1/5>2+0	2/5>4+0	3/5>6+0	4/5>8+0	5/5>9+5
1/4>2+2	2/4>5+0	3/4>7+2	4/4>9+4
1/3>3+1	2/3>6+2	3/3>9+3
1/2>5+0	2/2>9+2
1/1>9+1

donde cada celda es el resultado de la división euclídea:

$$(10\times a)/b=q,r$$

($q$: cociente, $r$: resto, $a,b$ dígitos de 1 a 9) expresado en la forma $a/b>q+r$ por razones que veremos a continuación. Esto significa que se cumple lo siguiente:

$$10a=q\cdot b+r$$

Aunque ya hemos señalado al final del capítulo anterior que las reglas diagonales (en gris) son especiales; son un tanto excepcionales en el sentido de que que el resto de la división euclídea siempre es menor que el divisor, lo cual no es el caso aquí, por lo que estas reglas no son el resultado de una división euclídea en sentido estricto aunque satisfagan la ecuación anterior. En breve podremos explicar su especial naturaleza.

La tabla tiene tres zonas que corresponden a lo siguiente: Si el divisor tiene $n$ cifras y lo comparamos con los $n$ primeros dígitos del dividendo contados desde la izquierda (añadiendo ceros finales si fuera necesario), pueden ocurrir tres casos:

1. que el dividendo sea mayor o igual que el divisor (ej. $770/689$)
2. que el dividendo sea menor que el divisor y el primer dígito del divisor sea igual al primer dígito del dividendo (por ejemplo, $670/689$)
3. que el dividendo sea menor que el divisor y el primer dígito del divisor sea mayor que el primer dígito del dividendo (por ejemplo, $570/689$)

Las tres zonas de la tabla se corresponden con estos tres casos:

• Las celdas en blanco bajo la diagonal de la tabla de división corresponden al caso 1. Podrían rellenarse al estilo de las tablas que se pueden ver en otros lugares, pero las dejamos vacías aquí por simplicidad. Si durante la división caemos en esta zona, procederemos, al menos por ahora, simplemente revisando al alza el dígito anterior del cociente tal y como veremos en los ejemplos que seguirán.
• Los elementos diagonales (en gris) corresponden al caso 2, lo cual sólo puede ocurrir si el divisor tiene al menos dos dígitos.
• Finalmente, los demás elementos no diagonales corresponden al caso 3, que puede considerarse el más importante de estudiar.

Ahora sí, ya podemos explicar lo que las reglas diagonales tienen de especial. Si pensamos en el ejemplo dado arriba: $670/689$, si tratamos de aplicar la filosofía de la división tradicional, tal y como se introdujo en el capítulo anterior, deberíamos simplificar el problema a $60/6$, lo que nos conduce a un cociente de 10 y un resto nulo; pero dicho cociente de 10 es excesivo de entrada ya que $10\times 689=6890>6700$ y no podríamos restarlo del dividendo. Estamos forzados, por tanto, a revisar a la baja el divisor y considerar 9, en lugar de 10, como cociente provisional y aceptar 6 como resto de la división $60/6$. Podemos entender por tanto las reglas diagonales como el resultado de una división euclídea, en sentido estricto, inmediatamente seguida de una revisión a la baja.

No hay duda de que memorizar la tabla de división requiere una inversión de tiempo y esfuerzo. Por ello, al lector le interesaría probar el método para saber si le interesa o no antes de realizar dicha inversión. Afortunadamente, las reglas de división por nueve, cinco y dos tienen una estructura muy simple que permiten memorizarlas casi instantáneamente (ver más abajo); también los elementos diagonales para divisores de varios dígitos se pueden retener inmediatamente. Esto significa que podemos aprender esta técnica tradicional sin mucho esfuerzo utilizando divisores que comienzan con 9, 5 o 2 y así poder decidir si vale la pena dedicar tiempo a aprender toda la tabla o no. En lo que sigue usaremos ejemplos basados en tales divisores.

Reglas fáciles de memorizar

Diagonal	División por 9	División por 5	División por 2
1/1>9+1	1/9>1+1	1/5>2+0	1/2>5+0
2/2>9+2	2/9>2+2	2/5>4+0
3/3>9+3	3/9>3+3	3/5>6+0
4/4>9+4	4/9>4+4	4/5>8+0
5/5>9+5	5/9>5+5
6/6>9+6	6/9>6+6
7/7>9+7	7/9>7+7
8/8>9+8	8/9>8+8
9/9>9+9

¿Por qué las reglas de división incluyen restos?

Supongamos que vamos a dividir 35 entre 9, la regla 3/9>3+3 nos dice que debemos usar 3 como cociente intermedio y el siguiente paso será restar el producto 3✕9 = 27 de 35, dejando un resto de 8. Si también memorizamos los restos, podemos ahorrarnos este paso de multiplicación de la siguiente manera: quitamos, limpiamos o borramos el primer dígito del dividendo, en este caso 3, luego sumamos el resto (3) a la siguiente cifra (5) del dividendo. De esta forma obtenemos el mismo resultado pero sin utilizar la tabla de multiplicar. Con divisores de un dígito nunca tendremos que recurrir a la tabla de multiplicar, y en el caso de divisores con varias cifras, procediendo de la misma forma, nos ahorraremos una de las multiplicaciones necesarias. Lo veremos en el ábaco a continuación, pero primero necesitamos añadir algo sobre cómo vamos a organizar la división en el ábaco.

Disposición moderna de la división (MDA)

Se supone que el lector ya ha estudiado el método moderno del ábaco y la división moderna tal como se ha explicado en la sección precedente de este libro y que se corresponde con el método divulgado en lengua inglesa por Takashi Kojima.. En particular, ya conoce cómo organizar la división sobre un ábaco 4+1, por lo que en los ejemplos siguientes ilustraremos la división tradicional usando la misma disposición con la que ya está familiarizado para que pueda seguirla más fácilmente y usar su ábaco de tipo 4+1 habitual si lo desea. Llamaremos a esta organización Disposición moderna de la división (o MDA, por sus siglas en inglés), pero esta disposición no es la forma en que la división se organizaba tradicionalmente en el ábaco. Más adelante, presentaremos la Disposición tradicional de la división (TDA) que, como veremos, tiene algunas ventajas y algunos inconvenientes, incluyendo la necesidad (o al menos la conveniencia) de utilizar un ábaco especializado con cuentas superiores adicionales.

Mientras use MDA puede usar las mismas reglas que ya conoce sobre la posición de la varilla unitaria si las necesita.

Veamos ahora el caso de la división 35÷9 del párrafo anterior, primero sin usar los restos (de la regla):

35÷9 sin usar los restos (de la regla)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGH
9     35	Divisor en A, dividendo en GH, regla: 3/9>3+3
+3	cociente provisional 3 en E
9    335
-27	restar 3✕9=27 de GH
9    3 8	nuevo resto/dividendo en H
...	...

Y ahora usando los restos:

35÷9 usando los restos (de la regla)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGH
9     35	Divisor en A, dividendo en GH, regla: 3/9>3+3
+3	cociente provisional 3 en E
9    335
-3	borrar primer dígito del dividendo en G
9    3 5
9     +3	sumar el resto 3 de la regla a H
9    3 8	nuevo resto/dividendo en H
...	...

es decir

Cuando se usa MDA, la regla a/b>q+r se debe leer: "introducir q como dígito provisional del cociente a la izquierda de a, borrar a y sumar r a la cifra de la derecha”

Divisores de un dígito

El número 123456789 se ha utilizado tradicionalmente para demostrar el uso de las tablas de multiplicar y dividir en libros antiguos chinos y japoneses. Aquí lo usaremos con los "divisores fáciles" 9, 5 y 2.

Ejemplo: 123456789÷9=13717421

123456789÷9=13717421

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ	(divisor no indicado)
123456789	Regla 1/9>1+1
+1	cociente provisional 1 en A
-1	borrar B
+1	añadir resto 1 al dígito adyacente
1 33456789	Regla 3/9>3+3
13 6456789	Regla 6/9>6+6
1361056789
+1-9	revisión al alza
137 156789	Regla 1/9>1+1
1371 66789	Regla 6/9>6+6
1371612789
+1-9	revisión al alza
13717 3789	Regla 3/9>3+3
1371731089
+1-9	revisión al alza
137174 189	Regla 1/9>1+1
1371741 99
+1-9	revisión al alza
1371742  9
+1-9	revisión al alza
13717421	¡Hecho!

Ejemplo: 123456789÷5=24691357.8

123456789÷5=24691357.8

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ	(divisor no indicado)
123456789	Regla 1/5>2+0
2 23456789	Regla 2/5>4+0
24 3456789	Regla 3/5>6+0
246 456789	Regla 4/5>8+0
2468 56789
+1-5	revisión al alza
2469  6789
+1-5	revisión al alza
24691 1789	Regla 1/5>2+0
246912 789
+1-5	revisión al alza
246913 289	Regla 2/5>4+0
2469134 89
+1-5	revisión al alza
2469135 39	Regla 3/5>6+0
24691356 9
+1-5	revisión al alza
24691357 4	Regla 3/5>6+0
246913578	¡Hecho!

Ejemplo: 123456789÷2=61728394.5

123456789÷2=61728394.5

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ	(divisor no indicado)
123456789	Regla 1/2>5+0
5 23456789
+1-2	revisión al alza
6  3456789
+1-2	revisión al alza
61 1456789	Regla 1/2>5+0
615 456789
+2-4	revisión al alza dos veces
617  56789
+2-4	revisión al alza dos veces
6172 16789	Regla 1/2>5+0
61725 6789
+3-6	revisión al alza tres veces
61728  789
+3-6	revisión al alza tres veces
617283 189	Regla 1/2>5+0
6172835 89
+4-8	revisión al alza cuatro veces
6172839  9
+4-8	revisión al alza cuatro veces
61728394 1	Regla 1/2>5+0
617283945	¡Hecho!

Divisores de varios dígitos

Considere, por ejemplo, $359936/9728=37$, en este caso es conveniente pensar en el divisor como compuesto por un divisor propiamente dicho (el primer dígito) seguido de un multiplicador (el resto de los dígitos del divisor), es decir, $9728=dmmm$, donde $d$ es el divisor (9) y $mmm$ es el multiplicador (728). Los nombres en chino y japonés para este método de división (帰除 Guīchú en chino, 帰除法 Kijohou en japonés) se refieren a esto: 帰, Guī , Ki es el divisor propiamente dicho y 除, chú , jo es el multiplicador.

En este caso, la forma de actuar es la siguiente:

1. Primero consideramos solo el divisor $d$ y hacemos exactamente lo mismo que en el caso del divisor de un solo dígito, es decir, seguimos la regla de división: obtenemos el cociente intermedio $q$ y sumamos el resto (de la regla) a la columna adyacente
2. Luego restamos el producto $q\times {\text{multiplicador}}$ del dividendo si podemos; de lo contrario, tenemos que revisar a la baja $q$ y devolver $d$ al resto o dividendo usando las siguientes reglas:

Reglas para revisar a la baja

Mientras se divide por:	Revisar q a:	Sumar al resto:
1	q-1	+1
2	q-1	+2
3	q-1	+3
4	q-1	+4
5	q-1	+5
6	q-1	+6
7	q-1	+7
8	q-1	+8
9	q-1	+9

Con esto, devolveremos al resto o dividendo lo que hemos restado de más al usar la regla de división errónea; pero si el multiplicador tiene más de una cifra y ya hemos procesado varias de ellas cuando reparamos en que el cociente provisional es excesivo, también tendremos que devolver lo sustraído de más sumando los dígitos que hemos usado del multiplicador (véase el ejemplo $23712/5928$ más abajo).

Ejemplo: 359936÷9728=37

Veamos primero el caso mencionado arriba $359936/9728=37$

359936÷9728=37

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Divisor:9, Multiplicador: 728
9728   359936	Regla 3/9>3+3
9728  3 89936	cociente 3 en G, borrar H y sumar 3 a I
-2184	restar 3✕multiplicador 3✕728=2184 de I-L
9728  3 68096	Regla 6/9>6+6
9728  3614096	cociente 6 en H, borrar I y sumar 6 a J
-4368	restar 6✕multiplier 6✕728=4368 de J-M
9728  36 9728	revisión al alza
+1-9728
9728  37	¡Hecho!

Ejemplo 235÷59=3.98… (revisión a la baja)

235÷59=3.98…

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ	Divisor:5, Multiplicador: 9
59   235	Regla 2/5>4+0
59  4 35	cociente 4 a E, borrar F y sumar 0 a G
-36	no se puede restar 4✕multiplicador 4✕9=36 de GH!
-1+5	revisión a la baja siguiendo las reglas dadas arriba
59  3 85
-27	restar 3✕multiplicador 3✕9=27 de GH
59  3 58	Regla 5/5>9+5
59  3913	cociente 9 a F, borrar G y sumar 5 a H
-81	restar 9✕multiplicador 9✕9=81 de HI
59  39 49	Regla 4/5>8+0
...	etc.

Ejemplo: 23711÷5928=3,9998… (revisión a la baja)

3711÷5928=3,9998…

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMN	Divisor: 5, Multiplicador: 928
5928   23711	Regla 2/5>4+0
5928  4 3711	cociente 4 a G, borrar H y sumar 0 a I
-36	restar 4✕9=36 de IJ
5928  4  111
-8	restar 4✕2=8 de JK
5928  4   31
-32	no se puede restar 4✕8=32 de KL!
-1+592	revisión a la baja devolviendo el exceso restado de IJK
5928  3 5951
-24	continuando normalmente, restar 3✕8=24 de KL
5928  3 5927	Regla 5/5>9+5
...	etc.

En este ejemplo el divisor es 5 y el multiplicador es 928. Cuando reparamos en que 4 es un cociente excesivo ya hemos restado del dividendo el producto de 4 por las dos primeras cifras del multiplicador (92); por lo tanto, para revisar a la baja y devolver al dividendo lo que hemos sustraído de más, deberemos:

• Sumar 5 a la primera cifra del dividendo en I (de acuerdo a la tabla de arriba) para corregir lo que la aplicación de la regla se ha llevado de más.
• Sumar las cifras usadas del multiplicador (92) a JK, que es lo que nos hemos llevado de más al sustraer $4\times 92=368$ en lugar de $3\times 92=276$.

Ambas cosas combinadas se traducen en la suma de 592 al resto realizada arriba en IJK.

Disposición tradicional de la división (TDA)

Como se comentó anteriormente, hay dos formas básicas de organizar los problemas generales de división. Veámoslos uno al lado del otro:

• Disposición moderna de la división (MDA), como lo explica Kojima y como se ha explicado en el capítulo correspondiente de este libro,

MDA 25÷5=5

Ábaco	Comentario
ABCDEF
5   25	El dividendo empieza en E
5  5	Trás la división el cociente empieza en D

• Disposición tradicional de la división (TDA), usada en los libros antiguos desde los tiempos de las varillas de cálculo hasta la primera parte del siglo XX,

TDA 25÷5=5

Ábaco	Comentario
ABCDEF
5   25	El dividendo empieza en E
5   5	Trás la división el cociente empieza en E

Hasta ahora hemos utilizado MDA con la división tradicional sin ningún problema. TDA, sin embargo, es problemático con cualquier método de división, incluido el tradicional. Esta naturaleza problemática se debe a una colisión entre el divisor y el dividendo/resto que ocurre con frecuencia (es decir, ambos requieren el uso simultáneo de la misma columna), y se necesitan técnicas o ábacos especiales para hacer frente a esta colisión. A pesar de esto, la TDA se ha utilizado durante siglos junto con el método tradicional de división, al menos desde el siglo XIII, mientras que el MDA se ha dejado de lado hasta los tiempos modernos. Está claro que se pueden reconocer ciertas ventajas a TDA, pero no está tan claro que sean suficientes para justificar su uso histórico:

• Utiliza una varilla menos
• El resultado no se desplaza demasiado hacia la izquierda como en MDA, lo cual es de interés en el caso de operaciones encadenadas. Esto y el puntos anterior hacen que TDA sea más adecuado para ábacos con un número reducido de columnas, como el tradicional suanpan/soroban de 13 varillas.
• Ahorra algunos movimientos de los dedos; por ejemplo, la operación 6231÷93 = 67 puede hacerse en 14 movimientos usando la división tradicional con TDA mientras que son necesarios 24 con MDA.
• Los desplazamientos de las manos son más cortos.
• Es menos propenso a errores ya que se saltan menos columnas.

Suanpan mostrando de 8 a 20 de izquierda a derecha, ilustrando el uso de las cuentas adicionales y "suspendidas".

La forma de tratar con la colisión mencionada es aceptar que la primera columna del dividendo o resto, después de la aplicación de las reglas de división, puede desbordar y tomar temporalmente un valor superior a 9 (hasta 18 es necesario en algunos casos), al tiempo que proporcionar algún mecanismo para hacer frente a tal desbordamiento. Curiosamente, parece que ningún texto antiguo explica cómo hacer esto último, aunque está claro que en el caso de un ábaco 5+2 o 5+3 usaremos las cuentas superiores adicionales para representar los valores de 10 a 20 en la columna desbordada, recurriendo a la cuenta suspendida (懸珠 xuán zhū en chino , kenshu en japonés) en el caso del ábaco 5+2. La tercera cuenta o la cuenta suspendida se requiere sólo en aproximadamente el 1% de los casos, lo que justifica la adopción del modelo 5+2 como el estándar en lugar del 5+3. En un capítulo posterior veremos cómo hacer frente al desbordamiento en un ábaco con sólo una cuenta superior.

Cuando se usa TDA

la regla a/b>q+r debe leerse: "cambiar a a q como dígito del cociente intermedio y sumar r a la cifra de la derecha".

Con TDA, la regla para encontrar la columna unidad es la siguiente

La columna de las unidades de los cocientes se ubica $n$ columnas a la izquierda de la columna de las unidades del dividendo; donde $n$ es el número de dígitos del divisor a la izquierda de su punto decimal (¡que puede ser negativo!).

La siguiente tabla muestra los valores de $n$ para algunos divisores:

Divisor	n
32.7	2
3.27	1
0.327	0
0.00327	-2

Para ver ejemplos de TD usando TDA, consulte el capítulo: Ejemplos de división tradicional.

Acerca de la eficiencia de la división tradicional

Como puede ver en los ejemplos con divisores de un solo dígito, la eficiencia de TD se deteriora a medida que el divisor comienza con cifras más bajas, en el sentido de que tenemos que revisar al alza con más frecuencia. Podemos decir que la eficiencia es nula cuando el divisor empieza por 1; de hecho, ni siquiera tenemos reglas de división excepto 1/1> 9+1 (que es "estadísticamente" excesiva, consulte el capítulo: Aprender la tabla de división). Para este último caso, el truco es dividir por 2 in situ (capítulo: División por potencias de dos) tanto el divisor como el dividendo, lo cual es muy rápido, y proceder a dividir ambos resultados normalmente; ahora el divisor comenzará con un dígito entre 5 y 9 y la división tradicional resultará más eficiente. Por ejemplo: $128/16$

Para dividir in situ por dos, simplemente trabaje de derecha a izquierda borrando un dígito de cada vez y sumando en su lugar su mitad:

Ilustrando la división in situ por 2

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
16    128	División por 2 in situ
16    124	mitad de 8
16    114	mitad de 2
16     64	mitad de 1
13     64	mitad de 6
8     64	mitad de 1
8     64	Regla 6/8>7+4
8    7 8
+1-8	revisión al alza
8    8	¡Hecho!

$128/16=(128/2)/(16/2)=64/8=8$

En otros casos, nuestra intuición y experiencia con MD podrían ayudarnos.

Esta menor eficiencia de TD en comparación con MD es el precio a pagar para ahorrarnos el trabajo mental de deducir la cifra del cociente provisional que tenemos que probar.

Otras lecturas

• Knott, Cargill G. (1886). «The Abacus, in its Historic and Scientific Aspects». Transactions of the Asiatic Society of Japan 14:  pp. 18-73. https://archive.org/details/in.gov.ignca.26020/page/17/mode/2up.  deals with traditional division
• Totton Heffelfinger (2013). «Suan Pan and the Unit Rod - Division». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
• Totton Heffelfinger (2013). «Short Division Techniques - Chinese Suan Pan». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
• Totton Heffelfinger (2013). «Long Division Techniques - Chinese Suan Pan». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
• Totton Heffelfinger (2013). «Chinese Division Rules on a Soroban». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.

Aprendiendo la Tabla de División

Memorización de la tabla de división.

La tabla de división contiene 45 reglas, incluidos los 9 elementos diagonales para divisores de varios dígitos.

Tabla de División (八算, Hassan, Bā suàn)

1/9>1+1	2/9>2+2	3/9>3+3	4/9>4+4	5/9>5+5	6/9>6+6	7/9>7+7	8/9>8+8	9/9>9+9
1/8>1+2	2/8>2+4	3/8>3+6	4/8>5+0	5/8>6+2	6/8>7+4	7/8>8+6	8/8>9+8
1/7>1+3	2/7>2+6	3/7>4+2	4/7>5+5	5/7>7+1	6/7>8+4	7/7>9+7
1/6>1+4	2/6>3+2	3/6>5+0	4/6>6+4	5/6>8+2	6/6>9+6
1/5>2+0	2/5>4+0	3/5>6+0	4/5>8+0	5/5>9+5
1/4>2+2	2/4>5+0	3/4>7+2	4/4>9+4
1/3>3+1	2/3>6+2	3/3>9+3
1/2>5+0	2/2>9+2
1/1>9+1

La misma cantidad de elementos independientes que encontramos en la tabla de multiplicar (dada la conmutatividad de esta operación) cuya memorización fue una de las hazañas de nuestra infancia en la escuela. Memorizar la tabla de división es, por tanto, una tarea similar a aprender la tabla de multiplicar.

Estas reglas:

• Desde un punto de vista operativo, estas reglas deben leerse o interpretarse de manera ligeramente diferente dependiendo de si usamos la disposición de división tradicional (TDA) o la moderna (MDA).
  • cuando se usa MDA, se debe leer la regla a / b> q + r: “poner q como dígito del cociente intermedio a la izquierda, borrar a y sumar r a la derecha ”
  • Cuando se usa TDA, se debe leer la regla a / b> q + r: “cambiar a por q como dígito del cociente intermedio y sumar r a la derecha ”
• Desde un punto de vista teórico, cada regla expresa el resultado de una división euclidiana:

$$(10\times a)/b=q,r$$

($q$: cociente, $r$: resto, $a,b$ dígitos del 1 al 9) o, de manera equivalente,

$$10a=q\cdot b+r$$

Si pensamos en este último punto, de hecho no es necesario memorizar las reglas de división ya que las podemos obtener in situ, cuando las necesitemos, mediante un simple proceso mental. Pero entonces estaríamos haciendo un esfuerzo mental similar al requerido con el método moderno de división y no estaríamos disfrutando de la gran ventaja que nos ofrece el método tradicional. Sin duda, la eficacia y bondad del método tradicional solo se logra memorizando las reglas, y sólo debemos recurrir al proceso mental mencionado cuando alguna regla se resiste a venir a la memoria durante la fase de aprendizaje.

Afortunadamente, una serie de patrones que aparecen en la tabla de división vienen en nuestra ayuda haciéndonos más fácil aprenderla, dejando solo 14 reglas duras de un total de 45.

Reglas fáciles

En el capítulo: Guía para la división tradicional ya mencionamos que las reglas de división por 9, 5 y 2, así como las reglas diagonales, tienen una estructura particularmente simple que permiten una memorización casi inmediata.

Reglas fáciles de memorizar

Diagonal	División por 9	División por 5	División por 2
1/1>9+1	1/9>1+1	1/5>2+0	1/2>5+0
2/2>9+2	2/9>2+2	2/5>4+0
3/3>9+3	3/9>3+3	3/5>6+0
4/4>9+4	4/9>4+4	4/5>8+0
5/5>9+5	5/9>5+5
6/6>9+6	6/9>6+6
7/7>9+7	7/9>7+7
8/8>9+8	8/9>8+8
9/9>9+9

Por esta razón, los ejemplos presentados en dicho capítulo sólo hicieron uso de divisores con 2,5 y 9 como primer dígito. Si practica varios ejemplos con tales divisores, no le será difícil memorizar estas 22 reglas (¡casi la mitad del total!); lo que supone una drástica reducción del trabajo a realizar y no la única ayuda a recibir.

Division by 8

De las reglas restantes, las de división por 8 es la serie más larga pero no la más difícil, ya que tiene una estructura interna:

Reglas de división por 8

1/8>1+2	5/8>6+2
2/8>2+4	6/8>7+4
3/8>3+6	7/8>8+6
4/8>5+0

Dejando a un lado 4/8>5+0 (piense en esto como 8x5 = 40), las dos sub-series 1, 2, 3 y 5, 6, 7 tienen los mismos residuos y los cocientes son tan simples como 1, 2, 3 y 6, 7, 8; así que, sin duda, esta no será la serie que le resultará más difícil de aprender.

Reglas subdiagonales

Finalmente, como último recurso para aprender, observe la siguiente serie de términos adyacentes a la diagonal de la tabla.

Reglas subdiagonales

4/5>8+0

5/6>8+2

6/7>8+4

7/8>8+6

8/9>8+8

En realidad, solo hay dos reglas nuevas aquí, pero captar la estructura de la tabla anterior también lo ayudará a memorizar las reglas para los divisores 5, 8 y 9.

Reglas "duras"

En resumen, de las 45 reglas incluidas en la tabla de división, 31 caen dentro de uno de los patrones anteriores (en gris)

Tabla de División (八算, Hassan, Bā suàn)

1/9>1+1	2/9>2+2	3/9>3+3	4/9>4+4	5/9>5+5	6/9>6+6	7/9>7+7	8/9>8+8	9/9>9+9
1/8>1+2	2/8>2+4	3/8>3+6	4/8>5+0	5/8>6+2	6/8>7+4	7/8>8+6	8/8>9+8
1/7>1+3	2/7>2+6	3/7>4+2	4/7>5+5	5/7>7+1	6/7>8+4	7/7>9+7
1/6>1+4	2/6>3+2	3/6>5+0	4/6>6+4	5/6>8+2	6/6>9+6
1/5>2+0	2/5>4+0	3/5>6+0	4/5>8+0	5/5>9+5
1/4>2+2	2/4>5+0	3/4>7+2	4/4>9+4
1/3>3+1	2/3>6+2	3/3>9+3
1/2>5+0	2/2>9+2
1/1>9+1

y nos quedamos con sólo 14 reglas "duras" o difíciles que tendremos que memorizar sin otra ayuda. Esto ya no parece un gran trabajo.

La tabla combinada de multiplicación y división

Lo que sigue es una simple nota histórica con poca o ninguna relevancia práctica.

La tabla de multiplicar estudiada por el lector probablemente contiene los 81 productos de dos dígitos en cualquier orden; es decir, incluye tanto 8x9 = 72 como 9x8 = 72, lo cual es innecesario dada la conmutatividad de la multiplicación. Por el contrario, en chino o japonés sólo contenía uno de los términos de estos pares 8x9 = 72; siempre con el primer factor menor o igual que el segundo. Por otro lado, las reglas de división se enunciaron dando primero el divisor que siempre es mayor que el dividendo, a excepción de las reglas que hemos llamado diagonales en las que es igual. Esto permite concebir una tabla combinada de multiplicación-división que cubra todo el "espacio" de pares de dígitos como operandos:

Tabla combinada de multiplicación y división

9✕9 81	9\8 8+8	9\7 7+7	9\6 6+6	9\5 5+5	9\4 4+4	9\3 3+3	9\2 2+2	9\1 1+1
8✕9 72	8✕8 64	8\7 8+6	8\6 7+4	8\5 6+2	8\4 5+0	8\3 3+6	8\2 2+4	8\1 1+2
7✕9 63	7✕8 56	7✕7 49	7\6 8+4	7\5 7+1	7\4 5+5	7\3 4+2	7\2 2+6	7\1 1+3
6✕9 54	6✕8 48	6✕7 42	6✕6 36	6\5 8+2	6\4 6+4	6\3 5+0	6\2 3+2	6\1 1+4
5✕9 45	5✕8 40	5✕7 35	5✕6 30	5✕5 25	5\4 8+0	5\3 6+0	5\2 4+0	5\1 2+0
4✕9 36	4✕8 32	4✕7 28	4✕6 24	4✕5 20	4✕4 16	4\3 7+2	4\2 5+0	4\1 2+2
3✕9 27	3✕8 24	3✕7 21	3✕6 18	3✕5 15	3✕4 12	3✕3  9	3\2 2+6	3\1 3+1
2✕9 18	2✕8 16	2✕7 14	2✕6 12	2✕5 10	2✕4  8	2✕3  6	2✕2  4	2\1 5+0
1✕9  9	1✕8  8	1✕7  7	1✕6  6	1✕5  5	1✕4  4	1✕3  3	1✕2  2	1✕1  1

Donde hemos alterado la redacción de nuestras reglas de división para adaptarlas al orden de los argumentos utilizados en chino. Para resaltar este hecho, hemos reemplazado "/" por "\", por lo que las reglas de división tal como aparecen en la tabla anterior deben interpretarse en la forma: Lea a \ b c + d: como: a cabe en b0 c veces dejando d como resto.

La tabla combinada tiene 81 elementos o reglas, a las que debemos sumar las reglas diagonales

Diagonal
1/1>9+1
2/2>9+2
3/3>9+3
4/4>9+4
5/5>9+5
6/6>9+6
7/7>9+7
8/8>9+8
9/9>9+9

y las reglas de revisión dadas en el capítulo anterior.

Reglas para revisar a la baja

Mientras se divide por:	Revisar q a:	Sumar al resto:
1	q-1	+1
2	q-1	+2
3	q-1	+3
4	q-1	+4
5	q-1	+5
6	q-1	+6
7	q-1	+7
8	q-1	+8
9	q-1	+9

que eran estudiadas por separado. Esto suma un total de 99 reglas a las que podemos sumar las aproximadamente 50 reglas de suma y resta. El aprendizaje tradicional del ábaco consistía fundamentalmente en la memorización y práctica de estas 150 reglas.

Reglas estadísticas

Lo que sigue es una cuestión que surge de la práctica. Las reglas de la diagonal para los divisores 1 y 2

Reglas diagonales para 1 y 2

2/2>9+2

1/1>9+1

son "excesivas" en el sentido de que a menudo nos vemos obligados a revisar el divisor a la baja varias veces. En la práctica, las siguientes dos reglas "estadísticas" (por darles un nombre) se comportan mejor permitiendo un cálculo más rápido.

Reglas estadísticas

2/2>7+6

1/1>7+3

Pruébelas en algún momento durante su práctica.

Cómo Tratar con el Desbordamiento

Este capítulo es para el lector que desee practicar la división tradicional TD en disposición tradicional TDA, así como el resto de técnicas superiores que se basan en ella, usando un antiguo soroban 5+1 o incluso un ábaco moderno 4+1. Si dispone de un ábaco tradicional 5+2 (o 5+3, si es lo suficientemente afortunado), todo es mucho más sencillo y no necesitará nada de lo que sigue.

Introducción

Excluyendo los métodos especiales de división de los que trataremos en la sección de Métodos Avanzados, hay dos formas básicas de disponer la división sobre el ábaco. Ya las hemos mencionado en la Guia a la División Tradicional:

• Disposición Moderna (MDA), como la descrita por Kojima,

MDA 25÷5=5

Ábaco	Comentario
ABCDEF
5   25	El dividendo empieza en E
5  5	Trás la división, el cociente empieza en D

• Disposición Tradicional (TDA), la usada en libros antiguos como el Jinkoki (塵劫記), o el Panzhu Suanfa (盤珠算法)

TDA 25÷5=5

Ábaco	Comentario
ABCDEF
5   25	El dividendo empieza en E
5   5	Trás la división, el cociente empieza en E

División según Sunzhi (es decir, la division moderna MD) con varillas de cálculo; tradicionalmente utilizaba tres filas horizontales de dígitos.

MDA parece una disposición perfecta para cualquier método de división; no sólo para el moderno y el tradicional, sino también para cualquiera de la asombrosa variedad de métodos que uno puede imaginar después de leer una página como: La guía definitiva de matemáticas superiores sobre la división larga de enteros o los esbozados en el capítulo: División Moderna, y simplemente usando las cuentas de un ábaco 4+1 (moderno). Por el contrario, TDA es una disposición problemática con cualquier método de división, ya que con frecuencia tiene lugar una colisión entre cociente y dividendo/resto al requerir ambos el uso simultáneo de la misma columna. Por ejemplo, en el caso de la división moderna nos veríamos obligados a posponer la entrada en el ábaco del dígito del cociente provisional hasta que quedase libre la columna correspondiente durante la sustracción del producto de dicho cociente por el divisor. En cuanto a la división tradicional, la aplicación de las reglas de división supone sustituir el primer dígito del dividendo por el cociente provisional y sumar el resto (de la regla) a la columna siguiente; si dicha suma alcanza un valor superior a 9 (hasta 18) tenemos un 1 que desborda dicha columna y que deberíamos sumar como un acarreo a la columna de la izquierda pero que, como dicha columna está ocupada por el cociente, se produce la colisión y el 1 desbordado no tiene adonde ir. Es decir, se necesitan técnicas o ábacos especiales para hacer frente a esta colisión.

Y sin embargo, TDA se ha utilizado durante siglos junto con el método tradicional de división, mientras que MDA parece haber sido relegada al olvido hasta los tiempos modernos y la adopción del ábaco 4+1; y ello a pesar de que MDA es la primera idea que se nos ocurriría si intentásemos adaptar el antiguo método de división de Sunzhi (utilizado con las varillas de cálculo) a una sola fila de dígitos en lugar de las tres habituales. Se desconocen las razones por las que esto ha sido así, y posiblemente seguirán siendo un misterio para siempre dado que ningún autor clásico se tomó la molestia de contárnoslas. No obstante, debemos reconocerle ciertas ventajas a la disposición tradicional TDA:

• Utiliza una varilla menos menos.
• El resultado no se desplaza demasiado hacia la izquierda como con MDA; lo cual es de interés en el caso de operaciones encadenadas. Esto, junto con el punto anterior, hace que TDA sea más adecuado para ábacos de pequeño número de columnas, como el tradicional suanpan/soroban de 13 varillas.
• Ahorra algunos movimientos de cuentas; por ejemplo, en la operación 6231÷93 = 67 usando la división tradicional, se pueden contar 14 movimientos usando TDA frente a los 24 requeridos si usamosMDA.
• Los desplazamientos de la mano son más cortos.
• Es menos propenso a errores ya que es necesario saltan menos columas.

¿Son suficientes estas razones para justificar el uso histórico de TDA? Parece necesario aceptarlo.

En cuanto a la forma de hacer frente a la colisión o desbordamiento, esto no es un problema con un ábaco tradicional 5+2 o 5+3; como ya se explicó, las cuentas superiores adicionales se pueden usar para almacenar valores tan altos como 20 en cada columna del ábaco. El problema surge cuando pensamos que los ábacos de tipo 5+1 fueron populares en Japón durante el período Edo y fueron usados con la división tradicional, pero parece que ningún texto japonés antiguo explica cómo tratar con el desbordamiento. La cuestión que trata de resolver este capítulo es esta: ¿Qué se puede hacer con un ábaco 5+1 tradicional o con el moderno 4+1?.

En lo que sigue, se ofrecen tres soluciones a esta cuestión aunque la primera de ellas no es nada recomendable para una práctica habitual.

El ganso solitario vuelve a su bandada. Ilustración de un ejercicio tradicional de multiplicación/división con el ábaco. Basado en una pintura de Bian Shoumin 边寿民 (1684–1752).

Usaremos un ejercicio clásico 998001÷999 = 999 como ejemplo para ilustrar las tres alternativas mencionadas. Este ejercicio se llama en chino: Regreso del ganso solitario (孤雁歸隊 Gūyàn guīduì). Si plantea esta división en el ábaco, por ejemplo:

Ábaco
ABCDEFGHIJK
999  998001

y si es lo suficientemente imaginativo, sin duda identificará la cuenta solitaria colocada en K con un ganso solitario que acaba de dejar su bandada en FGH (puede ver el lugar que ocupaba en la parte inferior de la columna H). Para hacerlo volver a su lugar sólo tenemos que completar la división y obtener 999.

Primera forma: Fuerza bruta

En principio, podríamos sumar el "1 desbordado" en cualquier columna no utilizada, por ejemplo, la de más a la derecha del ábaco; pero esto podría resultar molesto e inconveniente porque tanto la mano como la atención tendrían que ir saltando de un lugar a otro en el ábaco con el riesgo de terminar trabajando en la columna equivocada. Aquí, sin más miramientos, sumaremos el 1 desbordado a la columna del dígito del cociente intermedio recién ingresado. Quizás el lector se sienta aterrado al oír esto y no le faltarán razones para ello, ya que crearemos una entidad híbrida, en parte cociente y en parte dividendo difícil de entender conceptualmente, pero si podemos mantener el valor del cociente intermedio en la memoria por un momento podremos operar como de costumbre y cualquier anomalía desaparecerá del ábaco en segundos. Veámoslo con el ejemplo 998001÷999 = 999 en un ábaco 4+1:

998001÷999 = 999; a lo bruto en un 4+1

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
999  998001	Regla: 9/9>9+9, ¡recuerde el cociente 9!
999  998001	cambie el 9 en F por 9
+9	sume 9 a G
999 1088001	el acarreo corre hacia la izquierda, no se asuste
-81	reste 9*9=81 de GH
999 1007001
-81	reste 9*9=81 de HI, fin de la anomalía
999  998901	Regla: 9/9>9+9, ¡recuerde el cociente 9!
999 1007901	el acarreo corre hacia la izquierda, no se asuste
-81	reste 9*9=81 de HI, fin de la anomalía
999  999801
-81	reste 9*9=81 de IJ
999  998991	Regla: 8/9>8+8, ¡recuerde el cociente 8!
999  999791
-72	reste 8*9=72 de IJ
999  999071
-72	reste 8*9=72 de JK, fin de la anomalía
999  998999	revisión al alza
999  999	¡Hecho!

En un ábaco 5+1, las cosas son más fáciles. Podemos usar la quinta cuenta para evitar que el acarreo corra hacia la izquierda:

998001÷999 = 999; a lo bruto en un 5+1 (2ª cifra del cociente)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
...
999  998901	Regla: 9/9>9+9, ¡recuerde el cociente 9!
999  9T7901
-81	reste 9*9= 81 de HI
999  999801
...	...etc.

Como vemos, es posible hacer las cosas así, pero no parece un método muy atractivo ya que necesitamos memorización y mucha atención para no cometer errores. Por tanto, no se debe intentar este método excepto como ejercicio de concentración. Si hemos traído este método aquí, es principalmente como introducción al siguiente método.

Segunda forma: Cuentas inferiores suspendidas

Cuentas inferiores suspendidas en ábacos 5+1 y 4+1 y notación subrayada para representarlas.

Si usamos un 5+1, en lugar de empujar la cuenta completamente hacia arriba, sumando efectivamente el 1 desbordado al dígito del cociente provisional como en el caso anterior, parece más razonable empujarlo sólo hasta la mitad, dejando una cuenta inferior suspendida como se ilustra en la parte superior de la imagen a la derecha. Esta cuenta suspendida representará el desbordamiento a la vez que respeta la integridad del dígito del cociente.

Este parece un método perfecto para tratar con el desbordamiento, tanto en la división como en la multiplicación, todo permanece bajo nuestros ojos y nada tiene que ser memorizado. De hecho, cuando se utilizan cuentas inferiores suspendidas no hay necesidad de cuentas superiores adicionales, y el ábaco 5+1 resulta tan potente como los instrumentos 5+2 o 5+3. Esto podría ayudar a explicar por qué el ábaco 5+1 fue tan popular en el pasado y por qué la quinta cuenta inferior sobrevivió durante tanto tiempo. Nótese en la mitad inferior de la figura que, con alguna complicación, este método también se puede extender al ábaco 4+1. A partir de aquí, usaremos dígitos subrayados para representar el desbordamiento de acuerdo con la figura. El subrayado nos recuerda cómo se ve la cuenta suspendida en el ábaco real.

Ábaco 5+1

Repitamos el ejercicio anterior con esta técnica. El divisor ya no está representado y también se introducen algunos detalles más para ilustrar adicionalmente cómo se puede usar la quinta cuenta inferior en la resta para simplificar algo la operación (como de costumbre, T es 10 inferior: 1 cuenta superior + 5 cuentas inferiores activadas)

998001÷999 = 999 en un 5+1

Ábaco	Comentario
ABCDEF
998001
988001	Regla: 9/9>9+9
-8	restar 81 de BC
9T8001
-1
9T7001
-8	restar 81 de CD
999001
-1
998901
997901	Regla: 9/9>9+9
-8	restar 81 de CD
999901
-1
999801
-8	restar 81 de DE
998T01
-1
998991
998791	Regla: 8/9>8+8
-7	restar 72 de DE
998T91
-2
998T71
-7	restar 72 de EF
9989T1
-2
998999	Revisar al alza
-9	(de izquierda a derecha para ahorrar desplazamiento de mano)
998990
-9
998900
-9
998000
+1
999000	¡Hecho!

Consulte también el capítulo de ejemplos de divisiones para ver ilustrada esta división en ábacos de tipo 5+1, 5+2 y 5+3.

Ábaco 4+1

Y ahora en un ábaco 4+1. Necesitamos usar el grupo suspendido de cuatro cuentas inferiores como código para 9:

998001/999 en un ábaco 4+1

Ábaco	Comentario
ABCDEF
998001
988001	Regla: 9/9>9+9
-81	restar 81 de BC
987001
-81	restar 81 de CD
998901
997901	Regla: 9/9>9+9
-81	restar 81 de CD
999801
-81	restar 81 de DE
998991
998791	Regla: 8/9>8+8
-72	restar 72 de DE
998071
-72	restar 72 de EF
998999	Revisar al alza
999000	D¡Hecho!

Si ha intentado este caso, probablemente haya notado que el grupo de cuatro cuentas suspendidas se comporta de la misma manera que la cuenta superior suspendida que se usa en el ábaco 5+2; es decir, con "aritmética inversa", si mueve la cuenta suspendida hacia la barra del ábaco, ¡estará restando en lugar de sumando!

Tercera forma: Memorización

Se ha dicho anteriormente que usar cuentas inferiores suspendidas parece un método perfecto, ...pero de hecho es algo molesto debido a su inherente lentitud. Siempre es difícil suspender una cuenta, especialmente las pequeñas del ábaco moderno con poco espacio libre en las varillas, y esto a pesar del truco simple de pellizcar la cuenta con dos dedos y luego retirar la mano como si se arrancara una flor. Es cierto que con un ábaco 5+1 no se necesitan cuentas superiores adicionales, pero sin duda, si tiene muchas multiplicaciones o divisiones por hacer, preferirá la velocidad que proporcionan las cuentas adicionales; ya que pocas veces se necesita una suspender una cuenta en el 5+2, y nunca en el 5+3.

En lugar de mover/suspender físicamente la cuenta de desbordamiento, basta pensar que la cuenta ya ha sido suspendida en la columna del cociente, o empujada sobre una varilla imaginaria que sobrevuela alrededor de su ábaco, o simplemente recordar que el “estado de desbordamiento” se ha establecido en ON y que debe ponerse nuevamente en OFF tan pronto como sea posible. Esta última forma es similar al concepto de poner banderas (flags) ON/OFF en la programación de calculadoras electrónicas antiguas. Obviamente, no mover una cuenta es más rápido que mover una cuenta, por lo que nada puede ser más rápido que esta alternativa. Sin embargo, necesitaremos algo de práctica para acostumbrarnos a este método y debemos prepararnos para cometer algunos errores más debido a la memorización; pero memorizar un dígito, como en el método de fuerza bruta, es peor que simplemente memorizar una condición de alerta como se requiere aquí.

No es necesario un nuevo ejemplo para ilustrar esta técnica; los anteriores se pueden seguir bajo esta nueva perspectiva simplemente interpretando los subrayados como: OverflowFlag: ON.

Conclusión

Hemos visto aquí tres técnicas para tratar con el desbordamiento en ábacos 4+1 y 5+1 que empujan la cuenta desbordada hacia arriba en la columna del cociente intermedio:

1. Completamente, sumándose efectivamente como un acarreo al cociente
2. Sólo hasta mitad de camino, dejando una cuenta inferior suspendida
3. Nada en absoluto (salvo en nuestra mente)

Estos métodos nos brindan la posibilidad de utilizar técnicas y disposiciones tradicionales en cualquier tipo de ábaco, simplemente adaptando la mecánica a la presencia/ausencia de cuentas adicionales. Encontrará esto ventajoso si finalmente termina convencido por las técnicas tradicionales.

Se ha mencionado que ningún texto japonés antiguo explica cómo tratar con el desbordamiento con un ábaco 5+1. Lo más probable es que el método utilizado haya sido uno de los dos últimos presentados aquí. Considere que el segundo método se puede demostrar a otros en solo segundos, y que una vez visto, no se olvida ni requiere más explicaciones; Es tan obvio que no hay mucha necesidad de escribir textos extensos para transmitir ese conocimiento.

Ejemplos de División Tradicional

En este capítulo se ofrecen una serie de ejemplos de división tradicional (TD) usando la disposición tradicional de la división (TDA) en la forma de tablas de procedimiento. También hay disponible una versión gráfica de estos ejercicios (como ficheros PDF externos) ilustrando su ejecución en diversos formatos de ábacos, pero de momento sólo están disponibles en inglés.

Divisores de un dígito

Como ya se ha mencionado, el número 123456789 se ha utilizado para demostrar la multiplicación y la división en muchos libros antiguos sobre el ábaco; algunos, como el Panzhu Suanfa, comienzan con la multiplicación tradicional (vea el capítulo correspondiente en este libro) de dicho número por un dígito y posteriormente usan la división para devolver el ábaco a su estado original; otros, como el Jinkoki , lo hacen al revés, comenzando con la división y terminando el ejercicio con la multiplicación. Nosotros veremos aquí la división de 123456789 por los ocho divisores de un dígito 2, 3,...9.

El número 123456789 es divisible entre 3, 9 y 13717421, por lo que las divisiones entre 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9 tienen resultados con expansión decimal finita (2 y 5 son divisores de la base decimal o radix 10). Sólo la división por 7 conduce a un resultado con un número infinito de decimales, por lo que aquí lo interumpiremos y daremos un resto.

Desafortunadamente, este ejercicio no usa todas las reglas de división, pero es un buen comienzo y permite practicar sin una hoja de ejercicios.

123456789 dividido por 9

123456789 dividido por 9

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Divisor 9 en M
123456789   9	Columna A: Usar regla 1/9>1+1
133456789   9	Cambiar 1 en A en 1 y sumar 1 a B
136456789   9	Columna B: Usar regla 3/9>3+3 Cambiar 3 en B en 3 y sumar 3 a C
136T56789   9	Columna C: Usar regla 6/9>6+6 Cambiar 6 en C en 6 y sumar 6 a D
136056789   9	(Igual que arriba)
137156789   9	Revisar al alza
137166789   9	Columna D: Usar regla 1/9>1+1 Cambiar 1 en D en 1 y sumar 1 a E
137162789   9	Columna E: Usar regla 6/9>6+6 Cambiar 6 en E en 6 y sumar 6 a F
137173789   9	Revisar al alza
137173089   9	Columna F: Usar regla 3/9>3+3 Cambiar 3 en F en 3 y sumar 3 a G
137174189   9	Revisar al alza
137174199   9	Columna G: Usar regla 1/9>1+1 Cambiar 1 en G en 1 y sumar 1 a H
137174209   9	Revisar al alza
137174210   9	Revisar al alza. Done! 123456789/9=13717421

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 9 (en inglés).

123456789 dividido por 8

123456789 dividido por 8

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
123456789   8	Dividendo en A-I, divisor 8 en M
143456789   8	Columna A: regla 1/8>1+2, Cambiar 1 en A en 1, sumar 2 a B
153456789   8	Columna B: regla 4/8>5+0, Cambiar 4 en B en 5, sumar 0 a C
153T56789   8	Columna C: regla 3/8>3+6, Cambiar 3 en C en 3, sumar 6 a D
153056789   8	(igual que arriba)
154256789   8	Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 8 de D
154296789   8	Columna D: regla 2/8>2+4, Cambiar 2 en D en 2, sumar 4 a E
154316789   8	Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 8 de E
154318789   8	Columna E: regla 1/8>1+2, Cambiar 1 en E en 1, sumar 2 a F
154320789   8	Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 8 de F
154320849   8	Columna G: regla 7/8>8+6, Cambiar 7 en G en 8, sumar 6 a H
154320969   8	Revisar al alza G, sumar 1 a G, restar 8 de H
154320973   8	Columna H: regla 6/8>7+4, Cambiar 6 en H en 7, sumar 4 a I
154320985   8	Revisar al alza H, sumar 1 a H, restar 8 de I
1543209862  8	Columna I: regla 5/8>6+2, Cambiar 5 en I en 6, sumar 2 a J
15432098624 8	Columna J: regla 2/8>2+4, Cambiar 2 en J en 2, sumar 4 a K
15432098625 8	Columna K: regla 4/8>5+0, Cambiar 4 en K en 5, sumar 0 a L. ¡Hecho! 123456789/9=15432098.625

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 8 (en inglés).

123456789 dividido por 7

123456789 dividido por 7

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
123456789   7	Dividendo en A-I, divisor 7 en M
153456789   7	Columna A: regla 1/7>1+3, Cambiar 1 en A en 1, sumar 3 a B
174456789   7	Columna B: regla 5/7>7+1, Cambiar 5 en B en 7, sumar 1 a C
175956789   7	Columna C: regla 4/7>5+5, Cambiar 4 en C en 5, sumar 5 a D
176256789   7	Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 7 de D
176256789   7	Columna D: regla 2/7>2+6, Cambiar 2 en D en 2, sumar 6 a E
176346789   7	Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 7 de E
176351789   7	Columna E: regla 4/7>5+5, Cambiar 4 en E en 5, sumar 5 a F
176364789   7	Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 7 de F
176365289   7	Columna F: regla 4/7>5+5, Cambiar 4 en F en 5, sumar 5 a G
176366589   7	Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 7 de G
176366799   7	Columna G: regla 5/7>7+1, Cambiar 5 en G en 7, sumar 1 a H
176366829   7	Revisar al alza G, sumar 1 a G, restar 7 de H
176366825   7	Columna H: regla 2/7>2+6, Cambiar 2 en H en 2, sumar 6 a I
176366841   7	Revisar al alza H dos veces, sumar 2 a H, restar 14 de I. ¡Paramos aquí! 123456789/9=17636684, resto = 1

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 7 (en inglés).

123456789 dividido por 6

123456789 dividido por 6

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Dividendo en A-I, divisor 6 en M
123456789   6
163456789   6	Columna A: regla 1/6>1+4, Cambiar 1 en A en 1, sumar 4 a B
203456789   6	Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 6 de B
205456789   6	Columna C: regla 3/6>5+0, Cambiar 3 en C en 5, sumar 0 a D
205696789   6	Columna D: regla 4/6>6+4, Cambiar 4 en D en 6, sumar 4 a E
205736789   6	Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 6 de E
205756789   6	Columna E: regla 3/6>5+0, Cambiar 3 en E en 5, sumar 0 a F
205760789   6	Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 6 de F
205761189   6	Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 6 de G
205761129   6	Columna G: regla 1/6>1+4, Cambiar 1 en G en 1, sumar 4 a H
205761309   6	Revisar al alza G twice, sumar 2 a G, restar 12 de H
205761313   6	Revisar al alza H, sumar 1 a H, restar 6 de I
205761315   6	Columna I: regla 3/6>5+0, Cambiar 3 en I en 5, sumar 0 a J. ¡Hecho! 123456789/6=20576131.5

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 6 (en inglés).

123456789 dividido por 5

123456789 dividido por 5

Abacus	Comment
ABCDEFGHIJKLM
123456789   5	Dividendo en A-I, divisor 5 en M
223456789   5	Columna A: regla 1/5>2+0, Cambiar 1 en A en 2, sumar 0 a B
243456789   5	Columna B: regla 2/5>4+0, Cambiar 2 en B en 4, sumar 0 a C
246456789   5	Columna C: regla 3/5>6+0, Cambiar 3 en C en 6, sumar 0 a D
246856789   5	Columna D: regla 4/5>8+0, Cambiar 4 en D en 8, sumar 0 a E
246906789   5	Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 5 de E
246911789   5	Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 5 de F
246912789   5	Columna F: regla 1/5>2+0, Cambiar 1 en F en 2, sumar 0 a G
246913289   5	Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 5 de G
246913489   5	Columna G: regla 2/5>4+0, Cambiar 2 en G en 4, sumar 0 a H
246913539   5	Revisar al alza G, sumar 1 a G, restar 5 de H
246913569   5	Columna H: regla 3/5>6+0, Cambiar 3 en H en 6, sumar 0 a I
246913574   5	Revisar al alza H, sumar 1 a H, restar 5 de I
246913578   5	Columna I: regla 4/5>8+0, Cambiar 4 en I en 8, sumar 0 a J. ¡Hecho! 123456789/5=24691357.8

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 5 (en inglés).

123456789 dividido por 4

123456789 dividido por 4

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Dividendo en A-I, divisor 4 en M
123456789   4
243456789   4	Columna A: regla 1/4>2+2, Cambiar 1 en A en 2, sumar 2 a B
303456789   4	Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 4 de B
307656789   4	Columna C: regla 3/4>7+2, Cambiar 3 en C en 7, sumar 2 a D
308256789   4	Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 4 de D
308556789   4	Columna D: regla 2/4>5+0, Cambiar 2 en D en 5, sumar 0 a E
308616789   4	Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 4 de E
308628789   4	Columna E: regla 1/4>2+2, Cambiar 1 en E en 2, sumar 2 a F
308640789   4	Revisar al alza E dos veces, sumar 2 a E, restar 8 de F
308641389   4	Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 4 de G
3086417T9   4	Columna G: regla 3/4>7+2, Cambiar 3 en G en 7, sumar 2 a H
308641929   4	Revisar al alza G dos veces, sumar 2 a G, restar 8 de H
308641959   4	Columna H: regla 2/4>5+0, Cambiar 2 en H en 5, sumar 0 a I
308641971   4	Revisar al alza H dos veces, sumar 2 a H, restar 8 de I
3086419722  4	Columna I: regla 1/4>2+2, Cambiar 1 en I en 2, sumar 2 a J
3086419725  4	Columna J: regla 2/4>5+0, Cambiar 2 en J en 5, sumar 0 a K. ¡Hecho! 123456789/4=30864197.25

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 4 (en inglés).

123456789 dividido por 3

123456789 dividido por 3

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Dividendo en A-I, divisor 3 en M
123456789   3
333456789   3	Columna A: regla 1/3>3+1, Cambiar 1 en A a 3, sumar 1 a B
403456789   3	Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 3 de B
410456789   3	Revisar al alza B, sumar 1 a B, restar 3 de C
411156789   3	Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 3 de D
411366789   3	Columna D: regla 1/3>3+1, Cambiar 1 en D a 3, sumar 1 a E
411506789   3	Revisar al alza D dos veces, sumar 2 a D, restar 6 de E
411520789   3	Revisar al alza E dos veces, sumar 2 a E, restar 6 de F
411522189   3	Revisar al alza F dos veces, sumar 2 a F, restar 6 de G
411522399   3	Columna G: regla 1/3>3+1, Cambiar 1 en G a 3, sumar 1 a H
411522609   3	Revisar al alza G tres veces, sumar 3 a G, restar 9 de H
411522630   3	Revisar al alza H tres veces, sumar 3 a H, restar 9 de I. ¡Hecho! 123456789/3=41152263

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 3 (en ingles).

123456789 divided by 2

123456789 dividido por 2

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Dividendo en A-I, divisor 2 en M
123456789   2
523456789   2	Columna A: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en A a 5, sumar 0 a B
603456789   2	Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 2 de B
611456789   2	Revisar al alza B, sumar 1 a B, restar 2 de C
615456789   2	Columna C: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en C a 5, sumar 0 a D
617056789   2	Revisar al alza C dos veces, sumar 2 a C, restar 4 de D
617216789   2	Revisar al alza D dos veces, sumar 2 a D, restar 4 de E
617256789   2	Columna E: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en E a 5, sumar 0 a F
617280789   2	Revisar al alza E tres veces, sumar 3 a E, restar 6 de F
617283189   2	Revisar al alza F tres veces, sumar 3 a F, restar 6 de G
617283589   2	Columna G: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en G a 5, sumar 0 a H
617283909   2	Revisar al alza G four times, sumar 4 a G, restar 8 de H
617283941   2	Revisar al alza H four times, sumar 4 a H, restar 8 de I
617283945   2	Columna I: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en I a 5, sumar 0 a J. ¡Hecho! 123456789/2=61728394.5

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 2

Divisores de varios dígitos (división larga)

División de 998001 por 999

División de 998001 por 999

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Dividendo en A-F, divisor in K-M
998001    999
988001    999	Regla: 9/9>9+9
-8	Restar 81 de BC
9T8001    999
-1
9T7001    999
-8	Restar 81 de CD
999001    999
-1
998901    999
997901    999	Regla: 9/9>9+9
-8	Restar 81 de CD
999901    999
-1
999801    999
-8	Restar 81 de DE
998T01    999
-1
998991    999
998791    999	Regla: 8/9>8+8
-7	Restar 72 de DE
998T91    999
-2
998T71    999
-7	Restar 72 de EF
9989T1    999
-2
998999    999
-9	Revisar al alza (de izquierda a derecha para ahorrar desplazamientos)
998990    999
-9
998900    999
-9
998000    999
+1
999000    999	¡Hecho! 998001/999 = 999

• División de 998001 por 999
• 
  Con un ábaco 5+2
• 
  Con un ábaco 5+1
• 
  Con un ábaco 5+3

División de 888122 por 989

División de 888122 por989

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Dividendo 888122 en A-F, divisor 989 en K-M
888122    989
868122    989	A: Regla: 8/9>8+8 cambiar 8 en A a 8 y sumar 8 a B
804122    989	Restar A×L=8×8=64 de BC
896922    989	Restar A×M=8×9=72 de CD
895922    989	B: Regla: 9/9>9+9 cambiar 9 en B a 9 y sumar 9 a C
898722    989	Restar B×L=9×8=72 de CD
897912    989	Restar B×M=9×9=81 de DE
897612    989	C: Regla: 7/9>7+7 cambiar 7 en B a 7 y sumar 7 a D
897052    989	Restar C×L=7×8=56 de DE
897989    989	Restar C×M=7×9=63 de EF
898000    989	Revisar al alza: sumar 1 a C y restar 989 de DEF. Resto nulo 888122/989 = 898. ¡Hecho!

División tradicional (帰除法) de 888122 por 989

División de 888122 por 898

División de 888122 por 898

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Dividendo 888122 en A-F, divisor 898 en K-M
888122    898
968122    898	A: Regla: 8/8>9+8, cambiar 8 en A a 9 y sumar 8 a B
987122    898	Restar A×L=9×9=81 de BC
979922    898	Restar A×M=9×8=72 de CD
985922    898	B: Regla: 7/8>8+6, cambiar 7 en B a 8 y sumar 6 a C
988722    898	Restar B×L=8×9=72 de CD
988082    898	Restar B×M=8×8=64 de DE
989882    898	C: Regla: 8/8>9+8, cambiar 8 en C a 9 y sumar 8 a D
989072    898	Restar C×L=9×9=81 de DE
989000    898	Restar C×M=9×8=72 de EF. Remainder en DEF is zero, so that 888122/898 = 989. ¡Hecho!

División tradicional (帰除法) de 888122 por 898

División de 412 por 896

En este caso extendemos la división hasta el final del ábaco, utilizando para los últimos dígitos la técnica presentada en el capítulo sobre Operaciones Abreviadas.

División de 412 por 896

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
896 412	Esta vez el divisor va a la izquierda y el dividendo a la derecha.
896 512	Columna E: regla 4/8>5+0, cambiar 4 en E a 5, sumar 0 a F
896 492	no se puede restar E×B=5×9=45 de FG, revisar a la baja E: restar 1 de E, sumar 8 a F
896 456	restar E×B=4×9=36 de FG
896 4536	restar E×C=4×6=24 de GH
896 4656	Columna F: regla 5/8>6+2, cambiar 5 en F a 6, sumar 2 a G
896 4602	restar F×B=6×9=54 de GH
896 4582	no se puede restar F×C=6×6=36 de HI, revisar a la baja F: restar 1 de F, sumar 8 a G
896 4591	y sumar 9 a H para devolver el exceso 89 restardo de GH
896 4588	Continuar normalmente y restar F×C=3×6=30 de HI
896 45916	Columna G: regla 8/8>9+8, cambiar 8 en G a 9, sumar 8 a H
896 45979	restar G×B=9×9=81 de HI
896 459736	restar G×C=9×6=54 de IJ
896 459896	Columna H: regla 7/8>8+6, cambiar 7 en H a 8, sumar 6 a I
896 459824	restar H×B=8×9=72 de IJ
896 4598192	restar H×C=8×6=48 de JK
896 4598112	Columna I: regla 1/8>1+2, cambiar 1 en I a 1, sumar 2 a J
896 4598103	restar I×B=1×9=9 de JK
896 45981024	restar I×C=1×6=6 de KL
896 45982128	revisar al alza I: sumar 1 a I, restar 896 de JKL
896 45982148	Columna J: regla 1/8>1+2, cambiar 1 en J a 1, sumar 2 a K
896 45982139	restar J×B=1×9=9 de KL
896 459821384	restar J×C=1×6=6 de LM
896 459821344	Columna K: regla 3/8>3+6, cambiar 3 en K a 3, sumar 6 a L
896 459821317	restar K×B=3×9=27 de LM
896 459821315	restar K×C=3×6=18 de M …a partir de ahora esto es aproximado
896 459821425	revisar al alza K: sumar 1 a K, restar 896 de LM…
896 459821429	Columna L: regla 2/8>2+4, cambiar 2 en L a 2, sumar 4 a M
896 459821427	restar L×B=2×9=18 de M…
896 459821428	Columna M: regla 7/8>8+6, cambiar 7 en M a 8, sumar 4 a … ¡Hecho! 412/896=0.459821428

División tradicional (帰除法) de 412 by por 896

Recursos externos

Soroban Trainer mostrando un ábaco tipo 5+2 usando la cuenta superior suspendida.

Puede practicar la división tradicional en línea con Soroban Trainer usando este fichero: kijoho-1digit.sbk que debe descargar a su computadora y luego enviarlo a Soroban Trainer (es un archivo de texto que puede inspeccionar con cualquier editor de texto y que puede descargar de manera segura a su computadora).

Sobre Soroban Trainer

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Tablas de División Específicas

Fundamento

Supongamos que tenemos que realizar una gran cantidad de divisiones entre 36525, que podría ser el caso si hacemos cálculos de calendarios. Entonces, podríamos simplificar la tarea creando una tabla de división específica para este divisor siguiendo lo que se indica en el capítulo: Guía a la División Tradicional. Comenzaremos calculando las siguientes tres divisiones euclidianas:

Creando una tabla de división específica para 36525

100000÷36525		200000÷36525		300000÷36525
Cociente	Resto	Cociente	Resto	Cociente	Resto
2	26950	5	17375	8	07800

Que se pueden resumir en la siguiente tabla de división especializada:

Tabla de dividir por 36525

36525
1/36525>2+26950
2/36525>5+17375
3/36525>8+07800

tabla que también podemos obtener con sólo la primera división, ya que tenemos:

$$100000=2\times 36525+26950$$

por lo que sumando este resultado a sí mismo:

$$200000=4\times 36525+43900$$

pero el resto $43900$ es mayor que el divisor, por lo que procede revisar el cociente al alza

$$200000=(4+1)\times 36525+(43900-36525)=5\times 36525+17375$$

con lo que hemos obtenido la segunda regla: 2/36525>5+17375. Si ahora sumamos de nuevo el resultado de la primera división tendremos:

$$300000=(5+2)\times 36525+(17375+26950)=7\times 36525+44325$$

donde, nuevamente, el resto supera al divisor y necesitamos revisar al alza

$$300000=(7+1)\times 36525+(44325-36525)=8\times 36525+07800$$

con lo que ya disponemos de la tercera regla.

Ahora podemos usar esta tabla para hacer divisiones con este divisor sin usar la tabla de multiplicar. Por ejemplo: ¿Cuántos siglos julianos de 36 525 días caben en 1 000 000 de días? Procedemos de forma idéntica a la división tradicional por divisores de un solo dígito:

1000000÷36525

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
36525 1000000	Regla: 1/36525>2+26950 sobre la columna G
36525 2000000	cambiar 1 en G a 2
+26950	sumar 26950 a H-L
36525 2269500	Regla: 2/36525>5+17375 sobre la columna H
36525 2569500	cambiar 2 en H a 5
+17375	sumar 17375 a I-M
36525 2586875	revisar al alza
+1
-36525
36525 2650350	revisar al alza
+1
-36525
36525 2713825	¡Hecho! 1000000÷36525=27, resto 13825

¡Y hemos hecho una división por un divisor de cinco dígitos sin usar la tabla de multiplicar!

Tablas de división de dos dígitos

En el pasado se publicaron tablas de división específicas para todos los divisores entre 11 y 99.

Reglas de división por dos dígitos

	11	12	13	14	15	16	17	18	19
1	9+01	8+04	7+09	7+02	6+10	6+04	5+15	5+10	5+05
	21	22	23	24	25	26	27	28	29
1	4+16	4+12	4+08	4+04	4+00	3+22	3+19	3+16	3+13
2	9+11	9+02	8+16	8+08	8+00	7+18	7+11	7+04	6+26
	31	32	33	34	35	36	37	38	39
1	3+07	3+04	3+01	2+32	2+30	2+28	2+26	2+24	2+22
2	6+14	6+08	6+02	5+30	5+25	5+20	5+15	5+10	5+05
3	9+21	9+12	9+03	8+28	8+20	8+12	8+04	7+34	7+27
	41	42	43	44	45	46	47	48	49
1	2+18	2+16	2+14	2+12	2+10	2+08	2+06	2+04	2+02
2	4+36	4+32	4+28	4+24	4+20	4+16	4+12	4+08	4+04
3	7+13	7+06	6+42	6+36	6+30	6+24	6+18	6+12	6+06
4	9+31	9+22	9+13	9+04	8+40	8+32	8+24	8+16	8+08
	51	52	53	54	55	56	57	58	59
1	1+49	1+48	1+47	1+46	1+45	1+44	1+43	1+42	1+41
2	3+47	3+44	3+41	3+38	3+35	3+32	3+29	3+26	3+23
3	5+45	5+40	5+35	5+30	5+25	5+20	5+15	5+10	5+05
4	7+43	7+36	7+29	7+22	7+15	7+08	7+01	6+52	6+46
5	9+41	9+32	9+23	9+14	9+05	8+52	8+44	8+36	8+28
	61	62	63	64	65	66	67	68	69
1	1+39	1+38	1+37	1+36	1+35	1+34	1+33	1+32	1+31
2	3+17	3+14	3+11	3+08	3+05	3+02	2+66	2+64	2+62
3	4+56	4+52	4+48	4+44	4+40	4+36	4+32	4+28	4+24
4	6+34	6+28	6+22	6+16	6+10	6+04	5+65	5+60	5+55
5	8+12	8+04	7+59	7+52	7+45	7+38	7+31	7+24	7+17
6	9+51	9+42	9+33	9+24	9+15	9+06	8+64	8+56	8+48
	71	72	73	74	75	76	77	78	79
1	1+29	1+28	1+27	1+26	1+25	1+24	1+23	1+22	1+21
2	2+58	2+56	2+54	2+52	2+50	2+48	2+46	2+44	2+42
3	4+16	4+12	4+08	4+04	4+00	3+72	3+69	3+66	3+63
4	5+45	5+40	5+35	5+30	5+25	5+20	5+15	5+10	5+05
5	7+03	6+68	6+62	6+56	6+50	6+44	6+38	6+32	6+26
6	8+32	8+24	8+16	8+08	8+00	7+68	7+61	7+54	7+47
7	9+61	9+52	9+43	9+34	9+25	9+16	9+07	8+76	8+68
	81	82	83	84	85	86	87	88	89
1	1+19	1+18	1+17	1+16	1+15	1+14	1+13	1+12	1+11
2	2+38	2+36	2+34	2+32	2+30	2+28	2+26	2+24	2+22
3	3+57	3+54	3+51	3+48	3+45	3+42	3+39	3+36	3+33
4	4+76	4+72	4+68	4+64	4+60	4+56	4+52	4+48	4+44
5	6+14	6+08	6+02	5+80	5+75	5+70	5+65	5+60	5+55
6	7+33	7+26	7+19	7+12	7+05	6+84	6+78	6+72	6+66
7	8+52	8+44	8+36	8+28	8+20	8+12	8+04	7+84	7+77
8	9+71	9+62	9+53	9+44	9+35	9+26	9+17	9+08	8+88
	91	92	93	94	95	96	97	98	99
1	1+09	1+08	1+07	1+06	1+05	1+04	1+03	1+02	1+01
2	2+18	2+16	2+14	2+12	2+10	2+08	2+06	2+04	2+02
3	3+27	3+24	3+21	3+18	3+15	3+12	3+09	3+06	3+03
4	4+36	4+32	4+28	4+24	4+20	4+16	4+12	4+08	4+04
5	5+45	5+40	5+35	5+30	5+25	5+20	5+15	5+10	5+05
6	6+54	6+48	6+42	6+36	6+30	6+24	6+18	6+12	6+06
7	7+63	7+56	7+49	7+42	7+35	7+28	7+21	7+14	7+07
8	8+72	8+64	8+56	8+48	8+40	8+32	8+24	8+16	8+08
9	9+81	9+72	9+63	9+54	9+45	9+36	9+27	9+18	9+09

Algunos ejemplos

A continuación se ofrecen unos pocos ejemplos de tablas específicas con las que puede practicar el lector antes de obtener sus propias tablas.

Tabla de división por 99

99
1	1+01
2	2+02
3	3+03
4	4+04
5	5+05
6	6+06
7	7+07
8	8+08
9	9+09

Ejemplo: 9801÷99 = 99

9801÷99

Abacus	Comment
ABCDEFGHI
9801   99	Dividend AD, divisor HI
9891   99	A: Rule 9/99>9+09
9899   99	B: Rule 8/99>8+08
+1	revising up
-99
99     99	Done! No remainder, quotient: 99

Dividir por 𝝅 es común en las aplicaciones, estas son las tablas para tres aproximaciones de este número irracional.

Tabla de división por 𝝅

314			31416			3141593
1	3+058		1	3+05752		1	3+0575221
2	6+116		2	6+11504		2	6+1150442
3	9+174		3	9+17256		3	9+1725663

Finalmente, la tabla de división por 666.

Tabla de división por 666

666
1	1+334
2	3+002
3	4+336
4	6+004
5	7+338
6	9+006

Sin embargo, no es aconsejable dividir por este número; los resultados pueden ser impredecibles…

Tabla de división por 365

365
1/365>2+270
2/365>5+175
3/365>8+080

Este es un número más saludable.

División "corta" y "larga"

En inglés se suele distinguir entre división corta, cuando el divisor es de una sola cifra, y división larga, cuando se trata de divisores con más de un dígito. En el caso de la división tradicional con el ábaco hemos visto que en el primer caso sólo tenemos que utilizar la tabla de división; mientras que en el segundo tenemos que utilizar también la tabla de multiplicar para realizar las divisiones. Con el uso de tablas de dividir específicas podemos dividir por cualquier divisor sin utilizar la tabla de multiplicar y sin importar el número de cifras del divisor; por lo que estamos en una situación semejante a la división corta en este sentido. Podemos, no obstante, hablar también de división larga en este contexto de las tablas de dividir específicas.

Imaginemos que disponemos de las tabla de división por 365 (dada arriba) porque sea habitual que tengamos que dividir por dicho número; e imaginemos asimismo que nos enfrentemos puntualmente a una división por 36525. Como no esperamos tener que hacer muchas divisiones por este número no estamos dispuestos a calcular una tabla de dividir específica para él. Tenemos dos opciones para resolver este problema:

• Usar 3 como divisor propiamente dicho, (empleando la tabla de dividir por 3) y usar 6525 como multiplicador; tal y como se explicó en la Guía a la División Tradicional.
• Usar 365 como divisor propiamente dicho, (empleando la tabla de dividir por 365) y usar 25 como multiplicador.

Esta última forma es una extensión del concepto de división larga a las tablas de dividir específicas y nos permite ahorrarnos algunas multiplicaciones al ser el multiplicador 25 más corto que 6525. Veamos cómo realizarla:

Ejemplo: 219150÷36525 = 6

219150÷36525 usando tabla de dividir por 360

Abacus	Comment
ABCDEFGHIJKLM	Divisor en A-E, dividendo en H-M
36525  219150	H: Regla: 2/365>5+175
36525  519150	Cambiar 2 en H a 5
+175	sumar 175 a IJK
36525  536650	Restar 5×25 de KLM
-10
-25
36525  536525	Revisar al alza H
+1
-36525
36525  6	¡Hecho! Resto nulo. 219150÷36525 = 6

y hemos ahorrado la mitad de las multiplicaciones.

Reglas diagonales

Cabe preguntarse si existe un equivalente a las reglas diagonales: 9/9>9+8, 8/8>9+8, 7/7>9+7, etc. para estas tablas de dividir específicas. Las reglas diagonales se usan en la división tradicional multi dígito cuando el dividendo empieza por el mismo dígito que el divisor siendo menor que éste (caso 2); por ejemplo: 47÷49. La extensión del concepto a las tablas específicas es inmediato; por ejemplo, para la tabla de dividir por 365 tendríamos: 365/365>9+365; regla que podemos usar para la división de 365213475 por 36525 en la forma:

365213475÷36525

Abacus	Comment
ABCDEFGHIJKLM	Multiplicador en AB, dividendo en E-M
25  365213475	Regla 365/365>9+365
25  365213475	Cambiar 365 en EFG a 900
25  900213475
+365	sumar 365 a FGH
25  936713475	restar 9×25 de HIJ
-18
-45
25  936488475	Regla 3/365>8+080
25  986488475	Cambiar 3 en F a 8
+080	sumar 080 a GHI
25  987288475	restar 8×25 de IJK
-16
-40
25  987268475	Revisar F al alza
+1
-36525
25  993615975	Regla 3/365>8+080
25  998615975	Cambiar 3 en G a 8
+080	sumar 080 a HIJ
25  998695975	restar 8×25 de JKL
-16
-40
25  998693975	Revisar F al alza
+1
-36525
25  999328725	Regla 3/365>8+080
25  999828725	Cambiar 3 en H a 8
+080	sumar 080 a IJK
25  999836725	restar 8×25 de KLM
-16
-40
25  999836525	Revisar G al alza
+1
-36525
25  9999	¡Hecho! Resto nulo. 365213475÷36525=9999

Pero dichas reglas diagonales, a decir verdad, ni son estrictamente necesarias ni resultarían de uso frecuente. Por ejemplo, en el caso de la división anterior es suficiente emplear la regla: 3/365>8+080

365213475÷36525

Abacus	Comment
ABCDEFGHIJKLM	Multiplicador en AB, dividendo en E-M
25  365213475	Regla 3/365>8+080
25  865213475	Cambiar 3 en E a 8
25  873213475
+080	sumar 080 a FGH
25  873213475	restar 8×25 de HIJ
-16
-40
25  873013475	Revisar E al alza
+1
-36525
25  936488475
etc.	Continuar como arriba

Sin que signifique un exceso de trabajo por comparación a lo hecho arriba. Por otro lado, cuantas más cifras tenga el divisor propiamente dicho, tanto más infrecuente será que nos enfrentemos a un dividendo que comience justamente por los mismos dígitos (1/365 de los casos en el ejemplo); por lo que podemos prescindir de las reglas diagonales si queremos.

Otras lecturas

• Murakami, Masaaki (2020). «Specially Crafted Division Tables» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el 1 de Agosto de 2021.

División por Potencias de 2

Introducción

Una fracción cuyo denominador solo contiene 2 y 5 como divisores tiene una representación decimal finita. Esto permite una división fácil por potencias de dos o cinco si tenemos las fracciones $1/n,2/n,\cdots 9/n$ tabuladas (o memorizadas) donde $n$ es una de tales potencias de dos o cinco.

Por ejemplo, dado

$$137=1\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+7\cdot 10^{0}$$

Entonces

$${\frac {137}{8}}={\frac {1\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+7\cdot 10^{0}}{8}}={\frac {1}{8}}\cdot 10^{2}+{\frac {3}{8}}\cdot 10^{1}+{\frac {7}{8}}\cdot 10^{0}=$$

$$=(0.125)\cdot 10^{2}+(0.375)\cdot 10^{1}+(0.875)10^{0}=12.5+3.75+0.875=17.125$$

Lo cual se puede hacer fácilmente en el ábaco trabajando de derecha a izquierda del siguiente modo:

Para cada dígito del numerador

1. Borrar el dígito
2. Sumar en el ábaco la fracción correspondiente al dígito de trabajo comenzando por la columna que ocupaba

137÷8 usando fracciones

Ábaco	Comentario
ABCDEF
--+---	Columna unidad
137	Dividendo 137 en A-C como guía
7	borrar 7 en C
+0875	sumar 7/8 en C-F
130875
3	borrar 3 en B
+0375	sumar 3/8 en B-E
104625
1	borrar 1 en A
+0125	sumar 1/8 en A-D
17125	¡Hecho!
--+---	Columna unidad

Solo necesitamos tener las fracciones correspondientes tabuladas o memorizadas, como en la tabla a continuación.

Potencias de dos

En el pasado, tanto en China como en Japón, se utilizaban unidades monetarias y de medida que estaban relacionadas por un factor de 16, un factor que al comenzar con uno hace que la división normal resulte incómoda. Por esta razón el método presentado aquí fue popular para tales divisiones.

Tabla de fracciones

Fracciones de potencias de 2

D	D/2	D/4	D/8	D/16	D/32	D/64
1	05	025	0125	0625	03125	015625
2	10	050	0250	1250	06250	031250
3	15	075	0375	1875	09375	046875
4	20	100	0500	2500	12500	062500
5	25	125	0625	3125	15625	078125
6	30	150	0750	3750	18750	093750
7	35	175	0875	4375	21875	109375
8	40	200	1000	5000	25000	125000
9	45	225	1125	5625	28125	140625
				1	1	1
				Desplazamiento a la izquierda de la columna unidad

Para las divisiones por 2, 4 y 8 la columna unidad no cambia de posición, pero para la divisiones por 16, 32 y 64 se desplaza una columna a la izquierda como vemos en los siguientes ejemplos.

Ejemplos de uso

137/2

ABCD
--+-
137
7
+35
3
+15
1
+05
--+-
0685
68.5

137/4

ABCDE
--+--
137
7
+175
3
+075
1
+025
--+--
03425
34.25

137/8

ABCDEF
--+---
137
7
+0875
3
+0375
1
+0125
--+---
017125
17.125

137/16

ABCDEF
--+---
137
7
+4375
3
+1875
1
+0625
-+----
085625
8.5625

137/32

ABCDEFG
--+----
137
7
+21875
3
+09375
1
+03125
-+-----
0428125
4.28125

137/64

ABCDEFGH
--+-----
137
7	Borrar 7 en C
+109375
3	Borrar 3 en B
+046875
1	Borrar 1 en A
+015625
-+------
02140625
2.140625

"+" indica la posición de la columna unidad antes y después de la operación.

División por 2 in situ

El caso de la división por 2 es especialmente importante; ya ha sido mencionado como división in situ para transformar una división por un número que comience por uno en una división más cómoda que empiece por un dígito de 5 a 9. También le será útil a la hora de realizar raíces cuadradas por el método del semi-resto (半九九法, hankukuho en japonés, Bàn jiǔjiǔ fǎ en chino) como puede consultar en el capítulo correspondiente. Sin duda, es un método muy eficaz y rápido de dividir entre dos.

Siendo un caso particular de lo explicado en el apartado anterior, para dividir un número por dos in situ:

Procedemos dígito a dígito de derecha a izquierda en la forma

1. borrando el dígito
2. sumando su mitad comenzando con la columna que ocupaba

Por ejemplo,123456789÷2:

123456789÷2 in situ

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
123456789
9	borrar 9 en I
+45	sumar su mitad en IJ
1234567845
8	borrar 8 en H
+40	sumar su mitad en HI
1234567445
7	borrar 7 en G
+35	sumar su mitad en GH
1234563945
6	borrar 6 en F
+3	sumar su mitad en FG
1234533945
5	borrar 5 en E
+25	sumar su mitad en EF
1234283945
4	borrar 4 en D
+2	sumar su mitad en DE
1232283945
3	borrar 3 en C
+15	sumar su mitad en CD
1217283945
2	borrar 2 en B
+1	sumar su mitad en BC
1117283945
1	borrar 1 en A
+05	sumar su mitad en AB.
617283945	¡Hecho!

Recordemos que la varilla unidad no cambia de posición tras esta división.

Potencias de cinco y multiplicación por 2 in situ

Sin duda podríamos repetir aquí el tratamiento anterior con las potencias de 5, dado que sus fracciones son también de desarrollo decimal finito al ser 5 divisor de 10.

Fracciones de potencias de 5

D	D/5	D/25	D/125	D/625
1	0.2	0.04	0.008	0.0016
2	0.4	0.08	0.016	0.0032
3	0.6	0.12	0.024	0.0048
4	0.8	0.16	0.032	0.0064
5	1.0	0.20	0.040	0.0080
6	1.2	0.24	0.048	0.0096
7	1.4	0.28	0.056	0.0112
8	1.6	0.32	0.064	0.0128
9	1.8	0.36	0.072	0.0144

Pero tampoco hay duda de que, en lugar de memorizar nuevas fracciones, es preferible recurrir a que:

• Dividir por 5 es lo mismo que multiplicar por 2 y dividir por 10
• Dividir por 25 es lo mismo que multiplicar por 4 y dividir por 100
• Dividir por 125 es lo mismo que multiplicar por 8 y dividir por 1000
• etc.

o bien

• Dividir por 5 es lo mismo que multiplicar por 2 y dividir por 10
• Dividir por 25 es lo mismo que multiplicar por 2 dos veces y dividir por 100
• Dividir por 125 es lo mismo que multiplicar por 2 tres veces y dividir por 1000
• etc.

y que multiplicar por 2 in situ es extraordinariamente rápido con el ábaco; sólo hay que invertir la división por 2 in situ vista arriba:

Trabajando de izquierda a derecha, para cada dígito

1. Borrar el dígito de trabajo
2. sumar su doble en el ábaco empezando en la columna de su izquierda

61728394.5×2 in situ

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
617283945
6	Borrar 6 en B
+12	sumar su doble en AB
1217283945
1	Borrar 1 en C
+02	sumar su doble en BC
1227283945
7	Borrar 7 en D
+14	sumar su doble en CD
1234283945
2	Borrar 2 en E
+04	sumar su doble en DE
1234483945
8	Borrar 8 en F
+16	sumar su doble en EF
1234563945
3	Borrar 3 en G
+06	sumar su doble en FG
1234566945
9	Borrar 9 en H
+18	sumar su doble en GH
1234567845
4	Borrar 4 en I
+08	sumar su doble en HI
1234567885
5	Borrar 5 en J
+10	Sumar su doble en IJ
1234567890	¡Hecho!
123456789	61728394.5×2 = 123456789

Estas técnicas podrán serle de utilidad para transformar raíces cuadradas y cúbicas que puedan comenzar por 1 en otras más cómodas (raíces cuadradas y cúbicas dependen esencialmente de la división y esta es incómoda cuando el divisor empieza por 1).

Multiplicación Tradicional

Introducción

Como ya se ha indicado en este libro, el ábaco no conserva memoria de lo que hemos hecho sobre él, a diferencia del cálculo escrito, por lo que la revisión de los cálculos para comprobar su corrección se ha hecho tradicionalmente a través de estos dos recursos:

• Repetir las operaciones y comprobar que nos conducen a los mismos resultados
• Deshacer el trabajo aplicando las operaciones inversas hasta encontrar los operandos de partida

o bien una combinación de ambos. Nos centramos aquí en la última opción.

La suma y la resta son operaciones inversas; por ejemplo: $422+313=735$ y si ahora restamos $735-313=422$ obtenemos el operando de partida. Sobre el ábaco:

Comprobando la suma con la resta

Ábaco	Comentario
ABC
422
+3	Sumar 313 a ABC
+1
+3
735	Resultado de 422+313
-3	Verificación restando 313 de ABC
-1
-3
422	Sumando original en su posición de partida

y, como podemos ver, no solo obtenemos el valor inicial sino que también lo obtenemos en su posición original. Por ello decimos que suma y resta son operaciones inversas no sólo en sentido matemático sino también abacístico.

A su vez, la multiplicación y la división también son operaciones inversas en sentido matemático; es decir, si $a/b=q,r$ donde $q$ es el cociente de dividir $a$ por $b$ y $r$ es el resto, podemos invertir la operación en la forma: $a=q\times b+r$ por ejemplo: $4727/72=65.47$ donde $65$ es el cociente y $47$ el resto, y podemos invertir la operación en la forma $4727=65\times 72+47$ . En el ábaco, utilizando los métodos modernos de división y multiplicación:

4727÷72 usando el método moderno

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI	4727÷72
72   4727	Dividendo:F-I, divisor:AB
72  64727	6 como cociente provisional
-42	restar 6✕7=42 de FG
-12	restar 6✕2=12 de GH
72  6 407
72  65407	5 como cociente provisional
-35	restar 5✕7=35 de GH
-10	restar 5✕2=10 de HI
72  65 47	Fin: cociente=65, resto=47
72  65 47	Comprobando por multiplicación
+35	sumar 5✕7=35 a GH
+10	sumar 5✕2=10 a HI
72  65407
72  6 407	borrar F
+42	sumar 6✕7=42 a FG
+12	sumar 6✕2=12 a GH
72  64727	borrar E
72   4727	¡Hecho!

y comprobamos también que la multiplicación y división en el ábaco realizadas de acuerdo al Método Moderno son también operaciones inversas en el sentido abacístico al devolvernos el operando original $4727$a su posición de partida.

Nótese la posición relativa de los operandos y los resultados utilizando el método moderno:

Posición relativa de operandos y resultados (método moderno)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI	4727÷72
72   4727	Divisor y dividendo
72  65 47	Divisor: AB, cociente: EF, resto: HI

Ahora intentemos lo mismo con el método tradicional de división (TD) y el arreglo de división tradicional (TDA).

4727÷72, División tradicional y disposición tradicional (TDA)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI	4727÷72
72   4727	Dividendo:F-I, divisor:AB
72   5227	Regla: 4/7>5+5 (¡desbordamiento!)
-10	Restar 5✕2=10 de GH
72   5127
+1	Revisar al alza F
-72	Restar 72 de GH
72   6407
72   6557	Regla: 4/7>5+5
-10	Restar 5✕2=10 de HI
72   6547	Fin: cociente=65, resto=47

ahora la posición relativa de los operandos y los resultados es diferente:

Posición relativa de operandos y resultados (método tradicional)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI	4727÷72
72   4727	Divisor y dividendo
72   6547	Divisor: AB, cociente: FG, resto: HI

Si queremos revertir la operación por multiplicación no podemos usar la multiplicación moderna, necesitamos suprimir una columna durante la multiplicación. Una forma de proceder podría ser esta:

1. Memorizar el dígito del multiplicando a usar
2. Borrarlo
3. Sumar los productos parciales

de este modo:

Invirtiendo la división tradicional con TDA

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
72   6547	Reversion por multiplicación
72   6 47	Borrar G y recordar 5
+35	Sumar 5✕7=35 a GH
+10	Sumar 5✕2=10 a HI
72   6407
72    407	Borrar F y recordar 6
+42	Sumar 6✕7=42 a FG
+12	Sumar 6✕2=12 a GH
72   4727	¡Hecho!

y también hemos revertido la operación y devuelto el ábaco a su estado original. De esta forma se procede exactamente igual que con la multiplicación moderna, previamente liberando y reutilizando el espacio que ocupa el dígito en uso del multiplicando. Sin embargo, memorizar y mantener algo en la memoria mientras se trabaja con el ábaco abre una puerta a cometer errores y es deseable minimizar esta posibilidad tratando de mantener el dígito en la memoria durante el menor tiempo posible. Esto se logra alterando el orden en el que sumamos los productos parciales:

Introduciendo la multiplicación tradicional

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
72   6547	Reversión por multiplicación
+10	Sumar 5✕2=10 a HI
+35	Borrar G y sumar 5✕7=35 a GH
72   6407
+12	Sumar 6✕2=12 a GH
+42	Borrar F y sumar 6✕7=42 a FG
72   4727	¡Hecho!

Como podemos ver, hemos retrasado el borrado del dígito en uso hasta el último momento posible. Esta es la base del método tradicional de multiplicación.

Método de multiplicación tradicional

El método tradicional de multiplicación se introdujo por primera vez utilizando varillas de cálculo. y la mejor manera de presentarlo al abacista moderno es considerar que un multiplicador de varios dígitos consta de una cabeza (el primer dígito de la izquierda) y un cuerpo (el resto de los dígitos); por ejemplo: 4567✕23, considerando 4567 como el multiplicador, su cabeza es 4 y el cuerpo 567. Entonces, para cada dígito del multiplicando (de derecha a izquierda):

• proceder como en la multiplicación moderna con el producto del dígito del multiplicando por el cuerpo del multiplicador
• después borrar el dígito del multiplicando en uso y sumar su producto por la cabeza del multiplicador a la columna que se acaba de liberar y la adyacente a su derecha

4567✕23 Método tradicional

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKL	Multiplicando:FG, Multiplicador: A-D
4567  23	Cabeza: A (4), Cuerpo: BCD (567)
+15	Sumar 3✕5=15 a IJ
+18	Sumar 3✕6=18 a JK
+21	Sumar 3✕7=21 a KL
+12	Borrar H y sumar 3✕4=12 a HI
4567  213701
+10	Sumar 2✕5=10 a HI
+12	Sumar 2✕6=12 a IJ
+14	Sumar 2✕7=14 a JK
+08	Borrar G y sumar 3✕4=12 a GH
4567  10F041	¡Hecho!

donde el resultado 10F041 se obtiene si usa la 5ª cuenta inferior, 105041 de otro modo.

Pero las cosas no siempre son tan sencillas como en el ejemplo anterior; si tanto el multiplicando como el multiplicador contienen dígitos altos (7, 8, 9), es posible que tengamos problemas de desbordamiento y debamos solucionarlos, como en el caso 999✕999 = 998001:

999✕999 Multiplicación tradicional

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK	Multiplicando:A-C, Multiplicador: I-K
999     999	Cabeza: I (9), Cuerpo: JK (99)
+81	Sumar 9✕9=81 a DE
+81	Sumar 9✕9=81 a EF
+81	Borrar C y sumar 9✕9=81 a CD
998991  999
+81	Sumar 9✕9=81 a CD
+81	Sumar 9✕9=81 a DE
+81	Borrar B y sumar 9✕9=81 a BC
988901  999	(¡desbordamiento!)
+81	Sumar 9✕9=81 a BC
+81	Sumar 9✕9=81 a CD
+81	Borrar A y sumar 9✕9=81 a AB
888001  999	(¡desbordamiento doble!)
998001  999	Resultado normalizado, ¡Hecho!

Lo más conveniente, como en el caso de la división, es disponer de cuentas superiores adicionales, es decir, de un ábaco tipo 5+2 o 5+3 si se es suficientemente afortunado. Con el 5+2 alcanzaríamos el resultado:

Resultado de 999✕999 antes de la normalización

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J
	8	18	18	0	0	1	0	0	9	9	9

que será preciso normalizar o estandarizar para su lectura a:

Resultado de 999✕999 después de la normalización

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J
	9	9	8	0	0	1	0	0	9	9	9

Para los ábacos 4+1 y 5+1, puede ser mejor usar la alternativa descrita en la sección anterior, borrando el dígito de trabajo del multiplicando al principio (o cuando sea necesario) para tener espacio para albergar los resultados parciales; por ejemplo:

999✕999 Multiplicación tradicional para el 4+1 o 5+1

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK	Multiplicando:A-C, Multiplicador: I-K
999     999
+81	Borrar C, recordar 9 y sumar 9✕9=81 a CD
+81	Sumar 9✕9=81 a DE
+81	Sumar 9✕9=81 a EF
998991  999
+81	Borrar B, recordar 9 y sumar 9✕9=81 a BC
+81	Sumar 9✕9=81 a CD
+81	Sumar 9✕9=81 a DE
998901  999
+81	Borrar A, recordar 9 y sumar 9✕9=81 a AB
+81	Sumar 9✕9=81 a BC
+81	Sumar 9✕9=81 a CD
998001  999	¡Hecho!

Ejercicios propuestos

Mientras que la división tradicional supone un enfoque radicalmente diferente de la operación por comparación a la división moderna, la multiplicación tradicional sólo supone una adaptación de las las habilidades adquiridas con la multiplicación moderna a una nueva disposición de la operación sobre el ábaco.

No es necesario, por tanto, ofrecer una larga serie de ejercicios para esta forma de multiplicar; pero sí es necesario que el lector practique el uso de las cuentas adicionales si dispone de un ábaco 5+2 ya que la multiplicación puede presentar algo más de complicación que la división en este aspecto. Aparte del caso visto arriba de 999×999=998001, el lector debería practicar su versión corta 99×99=9801 y la larga 9999×9999=99980001; así como los dos ejercicios tradicionales derivados 898×989=888122 usando uno u otro número como multiplicando. En general, debería proponerse ejercicios que contengan dígitos altos (7, 8, 9).

Multiplicación tradicional y la columna unidad

Puesto que en la multiplicación tradicional hemos suprimido una columna por comparación a la multiplicación moderna, la regla para encontrar la columna unidad queda en la forma:

La columna de las unidades del producto se encuentra $n$ columnas a la derecha de la columna de las unidades del multiplicando; donde $n$ es el número de dígitos del multiplicador a la izquierda de su punto decimal (¡que podría ser negativo!).

Compárese con la dada en el capítulo sobre la Multiplicación Moderna.

Colofón: ¿Cuántos métodos de multiplicación hay?

Tomemos un ejemplo: $345\times 6789=2342205$. Hacemos esta multiplicación sumando los 12 productos parciales que resultan de la expansión:

$$345\times 6789=(300+40+5)\times (6000+700+80+9)=300\times 6000+300\times 700+\cdots +5\times 9$$

Es decir, todos los productos enumerados en esta tabla:

Productos parciales de 345✕6789

✕	$6000$	$700$	$80$	$9$
$300$	$1800000$	$210000$	$24000$	$2700$
$40$	$240000$	$28000$	$3200$	$360$
$5$	$30000$	$3500$	$400$	$45$

o bien:

Productos parciales de 345✕6789

✕	$6\cdot 10^{3}$	$7\cdot 10^{2}$	$8\cdot 10^{1}$	$9\cdot 10^{0}$
$3\cdot 10^{2}$	$18\cdot 10^{5}$	$21\cdot 10^{4}$	$24\cdot 10^{3}$	$27\cdot 10^{2}$
$4\cdot 10^{1}$	$24\cdot 10^{4}$	$28\cdot 10^{3}$	$32\cdot 10^{2}$	$36\cdot 10^{1}$
$5\cdot 10^{0}$	$30\cdot 10^{3}$	$35\cdot 10^{2}$	$40\cdot 10^{1}$	$45\cdot 10^{0}$

donde los productos parciales están expresados como productos que obtenemos usando la tabla de multiplicar de un dígito y determinadas potencias de 10 que nos indican en qué posición decimal (columna) debemos sumar dichos productos.

Pero estos 12 productos se pueden sumar en cualquiera de los ${\textstyle 12!}$ (12 factorial) ${\textstyle =1\times 2\times 3\times \cdots \times 12=479\ ,001\,600}$ formas de ordenarlos, por lo que podríamos decir que hay, al menos, casi 500 millones de formas de calcular el producto de los dos números dados.

Pero está claro que, de esta inmensa cantidad de formas de sumar secuencialmente productos parciales, solo unas pocas pueden ser generadas y seguidas de manera eficiente y segura por el cerebro humano. Pero estas pocas siguen siendo muchas ... sobre todo si pensamos que también podemos elegir si introducir o no multiplicando y multiplicador en el ábaco y por dónde empezar a sumar los productos parciales con respecto a dichos operandos. En la sección de Métodos Avanzados veremos algunas formas adicionales de multiplicación.

Otras lecturas

• Kojima, Takashi (1963). «III Other multiplication methods». Advanced Abacus: Theory and Practice. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN 978-0-8048-0003-7. 

• Totton Heffelfinger (2004). «Traditional Multiplication techniques for Chinese Suan Pan - The Extra Bead and the Suspended Bead». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.

• Totton Heffelfinger (2013). «Suan Pan and the Unit Rod - Multiplication». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.

Raíces

Introducción

Cargill Gilston Knott

La obtención de raíces cuadradas y cúbicas son las operaciones más complejas estudiadas dentro de la Aritmética Elemental. El ábaco oriental se presta muy bien a la obtención de raíces cuadradas mediante un procedimiento directo y eficiente; pero lamentablemente no se puede decir lo mismo respecto de la obtención de raíces cúbicas que, si bien son posibles, requieren un camino tortuoso, lleno de idas y venidas, y muy propenso a errores.

Cargill Gilston Knott (1856 - 1922), uno de los padres de la sismología moderna, fue un físico y matemático escocés que se sirvió durante nueve años como profesor de matemáticas, acústica y electromagnetismo en la Universidad Imperial de Tokio; tras lo cual fue condecorado con la Orden del Sol Naciente por el Emperador Meiji en 1891. Durante su estancia en Japón entró en contacto con el ábaco japonés que estudió en profundidad y sin duda utilizó profesionalmente en su propio trabajo como profesor e investigador. El resultado de su estudio fue un famoso artículo de 55 páginas. escrito en 1885 que durante mucho tiempo ha sido el relato mejor informado en inglés, así como referencia obligada, sobre la historia y los fundamentos del soroban; la visión de un científico y matemático occidental.

Capítulos

Los dos capítulos siguientes de este libro:

• Raíces Cuadradas
• Raíces Cúbicas

desarrollan y amplían la visión de Knott sobre los métodos tradicionales de obtención de raíces; constando de una introducción teórica seguida de una descripción del procedimiento de cálculo y una serie de ejemplos.

Posteriormente, si desespera con el método tradicional de obtener raíces cúbicas... lo cual es fácil que ocurra, en la sección Técnicas Avanzadas encontrará el capítulo: Método de Newton para Raíces Cuadradas, Cúbicas y Quintas con una forma mucho más eficiente y sencilla de obtener raíces cúbicas.

Comprobando sus ejercicios

Obtener raíces cuadradas y cúbicas con el ábaco puede ser un proceso algo largo y durante la fase de aprendizaje es interesante disponer de una herramienta que nos permita controlar si lo estamos haciendo correctamente.

Raíces cuadradas

Para raíces cuadradas, puede probar el excelente Tutor de raíz cuadrada con Kijoho de Masaaki Murakami, una aplicación en JavaScript que puede ejecutar directamente en su navegador o bien descargarlo a su computadora desde su repositorio en GitHub. Sólo ha de ingresar el radicando en el pequeño cuadro de entrada de la izquierda y presionar repetidamente el botón "NEXT" en la pantalla, o la tecla "RETURN", para asistir al desarrollo del proceso paso a paso.

Raíces cúbicas

Desafortunadamente, no tenemos nada parecido al software anterior para raíces cúbicas, pero puede utilizar el siguiente código BC que también puede serle útil con las raíces cuadradas.

Archivo knott.bc

Copie y pegue lo siguiente en un archivo de texto llamado: knott.bc:

---

/*
   Functions to help to learn/verify square and cube roots a la Knott
   with the abacus, soroban, suanpan.

   See: https://jccabacus.blogspot.com/2021/06/roots-la-knott.html
   as a reference.

   Jesús Cabrera, June 2021
   CC0 1.0 Universal (CC0 1.0) Public Domain Dedication

   Use at your oun risk!
*/

define int(x) 
{

# Integer part of x

    auto os,r
    os=scale; scale=0
    r=x/1
    scale= os
    return (r)
}

define cbrt(x)
{

# Cube root of x

    return (e(l(x)/3))
}

define knott2(r0, y0, alpha)
{

/*
    Square root following Cargill G. Knott steps

    See example of use in file sr200703.bc
        use: $ sr200703.bc |bc -l knott.bc
*/
    auto so, div
    
    so = scale; /* Store old scale value */
    scale = 1

    a = 10*y0
    div = 100*r0 + alpha/2
    print "New dividend: ",div/1,"\n"
    b = int(div/(a))
    tf = div -b*a -b^2/2
    if (tf<0){
        b=b-1;print "Revising down, b = ",b, "\n"
        tf = div -b*a -b^2/2
    }
    print "New root: ", a+b,", New half-remainder: ", tf/1
    print "\n==================\n\n"
    scale = so; /* restore old scale value */

    return
}


define knott3(r0, y0, alpha)
{

/*
    Cube root following Cargill G. Knott steps

    See example of use in file cr488931400152.bc
        use: $ cat cr488931400152.bc |bc -l knott.bc

*/
    auto so, div, ta, tb, tc, td, te
    
    so = scale; /* Store old scale value */
    scale = 0

    a = 10*y0
    div = 1000*r0 + alpha
    print "New dividend: ",div,"\n\n"

    ta = div/y0; rem1 = div % y0
    print "a) /a:   ", ta, "   rem1: ", rem1, "\n"
    tb = (10*ta)/3; rem2 = (10*ta) % 3
    print "b) /3:   ", tb, "   rem2: ", rem2, "\n"
    b = tb/(100*a)
    print "     b = ",b,"\n"
    tc = tb - b*(a+b)*100
    print "d)   :   ",tc,"\n"
    b = tb/(100*(a+b))
    print "     b = ",b,"\n"
    tc = tb - b*(a+b)*100
    print "d)   :   ",tc,"\n"
    if(b==10){ 
    /* Trick to avoid some problems */
        b = 9
        print "b: ",b,"\n"
        tc = tb - b*(a+b)*100
        print "d) tc:   ",tc,"\n"
    }
    td = tc*3 +rem2
    print "e) *3:   ",td,"\n"
    te = (td/10)*y0 +rem1
    print "f) *a:   ",te,"\n"
    tf = te - b^3
    print "g) -b^3: ",tf,"\n"
    print "\nNew root: ",(a+b)," New remainder: ",tf,"\n\n"
    print "==================\n\n"
    scale = so; /* restore old scale value */

    return
}

---

Fichero: sr200703.bc

Contiene ejemplo de raíz cuadrada (${\sqrt {200703}}$). Copie el siguiente texto y péguelo en un fichero de texto con el nombre sr200703.bc; úselo de acuerdo a las instrucciones contenidas en el propio fichero.

---

/* 
    Example: square root of 200703 
    
        Use:
        $ cat sr200703.bc |bc -l knott.bc
    or
        $ bc -l knott.bc < sr200703.bc
*/

print "\nSquare root of ", 200703, " = ", sqrt(200703), "\n\n"

/* 
    Decompose in pairs of digits (will be alpha): 20, 07, 03 


    Initialize (first step)
*/
alpha = 20
    b = int(sqrt(alpha))
    r0 = alpha - b^2
    a = 0
    tf = r0/2
    print "First root: ", b, ", First half-remainder: ", tf, "\n"
    print "==================\n\n"

/*  
    Main:
        Repeat for each pair of digits (alpha)...
*/

alpha =07
    mute=knott2(tf, a+b, alpha)
alpha =03
    mute=knott2(tf, a+b, alpha)
/*
    For additional digits continue with alpha = 00
*/
alpha =00
    mute=knott2(tf, a+b, alpha)
alpha =00
    mute=knott2(tf, a+b, alpha)
alpha =00
    mute=knott2(tf, a+b, alpha)
alpha =00
    mute=knott2(tf, a+b, alpha)

---

Salida

---

Square root of 200703 = 447.99888392718122931160

First root: 4, First half-remainder: 2.00000000000000000000
==================

New dividend: 203.5
Revising down, b = 4
New root: 44, New half-remainder: 35.5
==================

New dividend: 3551.5
Revising down, b = 7
New root: 447, New half-remainder: 447.0
==================

New dividend: 44700.0
Revising down, b = 9
New root: 4479, New half-remainder: 4429.5
==================

New dividend: 442950.0
New root: 44799, New half-remainder: 39799.5
==================

New dividend: 3979950.0
New root: 447998, New half-remainder: 395998.0
==================

New dividend: 39599800.0
New root: 4479988, New half-remainder: 3759928.0
==================

---

Fichero cr488931400152.bc

Contiene ejemplo de raíz cúbica (${\sqrt[{3}]{488931400152}}$). Copie el siguiente texto y péguelo en un fichero de texto con el nombre cr488931400152.bc; úselo de acuerdo a las instrucciones contenidas en el propio fichero.

---

/*
    Example: cube root of 488931400152
    
    Use:
        $ cat cr488931400152.bc |bc -l knott.bc
    or
        $ bc -l knott.bc < cr488931400152.bc
*/

print "\nCube root of ", 488931400152, " = ", cbrt(488931400152), "\n\n"

/*
    Decompose in triplets (will be alpha): #   488, 931, 400, 152 

    Initialize (first step)
*/

alpha = 488
    b = int(cbrt(alpha))
    r0 = alpha - b^3
    a = 0
    tf = r0
    print "First root: ", b, ", First remainder: ", r0, "\n"
    print "==================\n\n"

/*
    Main: 
        Repeat for each triplet (alpha)...
*/

alpha = 931
    mute = knott3(tf, a+b, alpha)
alpha = 400
    mute = knott3(tf, a+b, alpha)
alpha = 152
    mute = knott3(tf, a+b, alpha)

/*
    For additional digits continue with alpha = 000
*/

---

Salida

---

Cube root of 488931400152 = 7877.99999999999999999871

First root: 7, First remainder: 145
==================

New dividend: 145931

a) /a:   20847   rem1: 2
b) /3:   69490   rem2: 0
     b = 9
d)   :   -1610
     b = 8
d)   :   7090
e) *3:   21270
f) *a:   14891
g) -b^3: 14379

New root: 78 New remainder: 14379

==================

New dividend: 14379400

a) /a:   184351   rem1: 22
b) /3:   614503   rem2: 1
     b = 7
d)   :   63603
     b = 7
d)   :   63603
e) *3:   190810
f) *a:   1488340
g) -b^3: 1487997

New root: 787 New remainder: 1487997

==================

New dividend: 1487997152

a) /a:   1890720   rem1: 512
b) /3:   6302400   rem2: 0
     b = 8
d)   :   0
     b = 8
d)   :   0
e) *3:   0
f) *a:   512
g) -b^3: 0

New root: 7878 New remainder: 0

==================

---

Raíces Cuadradas

Teoría

Sea $x$ el número del que queremos obtener la raíz cuadrada ${\textstyle y={\sqrt {x}}}$; Consideremos su expansión decimal, por ejemplo: ${\textstyle x=456.7890123}$ y separemos sus dígitos en grupos de dos alrededor del punto decimal de la siguiente manera

$$x=456.7890123=4\cdot 56.78\cdot 90\cdot 12\cdot 30\cdot 00\cdot 00\cdots$$

o, en otras palabras, definamos la secuencia de números enteros $\alpha _{i}$:

$$\alpha _{1}=4,\alpha _{2}=56,\alpha _{3}=78,\alpha _{4}=90,\alpha _{5}=12,\alpha _{6}=30,\alpha _{7}=00,\cdots$$

y construyamos la secuencia ${\textstyle x_{i}}$ recursivamente desde ${\textstyle x_{0}=0}$

$$x_{i}=100x_{i-1}+\alpha _{i}$$

y sea $y_{i}$ la parte entera de la raíz cuadrada de $x_{i}$

$$y_{i}=\lfloor {\sqrt {x}}_{i}\rfloor$$

es decir, $y_{i}$ es el entero más grande cuyo cuadrado no es mayor que $x_{i}$. Finalmente, llamemos restos a las diferencias.

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{2}\geq 0$$

Para nuestro ejemplo tenemos:

$i$	$\alpha _{i}$	$x_{i}$	$y_{i}$	$r_{i}$
0		0	0	0
1	4	4	2	0
2	56	456	21	15
3	78	45678	213	309
4	90	4567890	2137	1121
5	12	456789012	21372	26628
etc.

Vemos que, por construcción, $x_{i}$ crece como $10^{2i}$ (dos dígitos más en cada paso), de hecho, la secuencia $x_{i}\cdot 10^{4-2i}$; es decir: (0, 400, 456, 456.78, 456.7890, etc.) tiende a $x$ ${\textstyle \left(x_{i}\cdot 10^{4-2i}\rightarrow x\right)}$ o ${\textstyle x=\left(\lim _{i\to \infty }x_{i}\cdot 10^{4-2i}\right)}$. Por comparación, $y_{i}$, como la parte entera de la raíz cuadrada de $x_{i}$, crece sólo como $10^{i}$ (un dígito más en cada paso). Como $y_{i}$ es el entero más grande cuyo cuadrado no es mayor que $x_{i}$ tenemos $r_{i}=x_{i}-y_{i}^{2}\geq 0$ como arriba pero

$$x_{i}-(y_{i}+1)^{2}=x_{i}-y_{i}^{2}-2y_{i}-1<0$$

por definición de $y_{i}$, o

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{2}<2y_{1}+1$$

Multiplicando por $10^{4-2i}$ tenemos:

$$x_{i}\cdot 10^{4-2i}-(y_{i}\cdot 10^{2-i})^{2}<(2y_{i}+1)\cdot 10^{4-2i}$$

pero como $y_{i}$ crece sólo como $10^{i}$, el segundo término tiende a cero como $10^{-i}$. Con lo cual

$$x_{i}\cdot 10^{4-2i}-(y_{i}\cdot 10^{2-i})^{2}\rightarrow 0$$

y $x_{i}\cdot 10^{4-2i}\rightarrow x$ con lo que tenemos:

$$y_{i}\cdot 10^{2-i}\rightarrow y={\sqrt {x}}$$

Para otros números, los factores anteriores son: $10^{2k-2i}$ y $10^{ki}$, donde $k$ es el número de grupos de dos dígitos a la izquierda del punto decimal, negativo si el punto decimal precede grupos nulos antes de encontrar el primer grupo no nulo (por ejemplo, $k=-1$ para $x=0.00456$, $k=-2$ para $x=0.00000456$, etc.).

Ésta es la base de los métodos manuales tradicionales de obtener raíces cuadradas; sea con papel y lápiz o con ábaco.

Procedimiento

Comenzamos con $i=0$, $x_{0}=0$, $y_{0}=0$, $r_{0}=0$.

Primer dígito

Tabla de cuadrados

$b$	$b^{2}$
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81

Para $i=1$ y $x_{1}=\alpha _{1}$, es trivial encontrar $y_{1}$ tal que su cuadrado no exceda $x_{1}$ mediante el uso de la tabla de cuadrados de la derecha que ya tenemos memorizada, dado que es solo un subconjunto de la tabla de multiplicar. En el caso del ejemplo, encontramos $y_{1}=2$.

Dígitos siguientes

Para $i>1$, tenemos $x_{i}=100x_{i-1}+\alpha _{i}$, como definimos arriba, y tratamos de construir $y_{i}$ en la forma:

$$y_{i}=10y_{i-1}+b$$

donde $b$ es un entero de un dígito de 0 a 9. Para obtenerlo, tenemos que elegir el mayor entero de 0 a 9 tal que:

$$x_{i}-y_{i}^{2}=x_{i}-(10y_{i-1}+b)^{2}\leq 0$$

o

$$x_{i}-(a+b)^{2}\leq 0$$

si escribimos: $a=10y_{i-1}$. Desarrollando el binomio anterior tendremos:

$$x_{i}-a^{2}-2ab-b^{2}=100x_{i-1}+\alpha _{i}-(10y_{i-1})^{2}-2ab-b^{2}\leq 0$$

o lo que es lo mismo

$$100r_{i-1}+\alpha _{i}\geq 2ab+b^{2}=(2a+b)b=(20y_{i-1}+b)b$$

El lado izquierdo de la expresión anterior puede verse simplemente como el resto anterior con el siguiente grupo de dos dígitos agregado a su derecha, y el paréntesis del último término como el doble de la raíz anterior con el dígito b agregado a su derecha. En nuestro ejemplo, para $i=2$ tenemos 56 a la izquierda y la expresión anterior es

$$56\geq (40+b)b$$

lo cual sólo es cierto para $b=0$ o $b=1$ por lo tanto, 1 es la siguiente cifra de nuestra raíz, pero ¿Cómo podemos proceder en el caso general sin tener que explorar sistemáticamente todas las posibilidades ($b=0,1,\cdots ,9$)?

Aquí Knott distingue dos enfoques diferentes:

• Preparar el divisor
• Preparar el dividendo

que exploramos a continuación.

Preparar el divisor

Esto se corresponde con la expresión anterior:

$$100r_{i-1}+\alpha _{i}\geq (20y_{i-1}+b)b$$

y es la estrategia que se suele utilizar con papel y lápiz y también se puede implementar, por supuesto, sobre el ábaco. En la expresión anterior, si vemos la parte izquierda como dividendo y la expresión entre paréntesis de la derecha como divisor, $b$ es el primer dígito de la división:

$$b=(100r_{i-1}+\alpha _{i})/(20y_{i-1}+b)$$

pero como aún no conocemos $b$, aproximamos la división usando sólo la parte principal del divisor

$$b=(100r_{i-1}+\alpha _{i})/(20y_{i-1})$$

lo cual nos da una pista de cuál podría ser el valor de $b$, pero necesitamos:

1. Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, corregirlo al alza o a la baja según sea necesario.
2. Obtener el nuevo resto para preparar el cálculo del siguiente dígito de la raíz.

Ambos pasos requieren restar $(20y_{i-1}+b)b$; es decir, $20y_{i-1}b$ y $b^{2}$, de $100r_{i-1}+\alpha _{i}$; comprobando que el resultado no es negativo y es menor que $2y_{i}+1$ (de lo contrario, tendríamos que revisar $b$ al alza o a la baja). Tras sustraer estas dos cantidades en las condiciones indicadas, lo que nos queda es el nuevo resto $r_{i}$. Cabe señalar que, a medida que avanzamos en los cálculos ($i$ aumentando) $b$ es una contribución cada vez más pequeña al divisor $(20y_{i-1}+b)$; por lo que el proceso indicado arriba se parecerá cada vez más a una mera división.

Este es el método propuesto por Takashi Kojima en su segundo libro: Advanced Abacus - Theory and Practice, y que puede ver descrito en Square roots as solved by Kojima en la web de Totton heffelfinger, Obras a las que remito al lector para explicaciones y ejemplos prácticos. Veamos aquí cómo se podría iniciar el cálculo en nuestro ejemplo: $x=456.7890123$

Ábaco neperiano dispuesto para ayudar con el tercer dígito de la raíz del ejemplo

Preparando el divisor; primeros tres dígitos de ${\sqrt {456.7890123}}$;

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
4567890123	El radicando empieza en CD (primer grupo)
2	Primer dígito de la raíz en B
-4	Restar el cuadrado de B del primer grupo
2  567890123	Resto nulo
4  567890123	Doblar B. Agregar el siguiente grupo (56) al resto
41 567890123	5/4≈1, probar 1 como siguiente dígito de la raíz
-4	Continuar la división por 41, restar 1✕41 de EF
-1
41 157890123	15 nuevo resto
42 157890123	Doblar el segundo dígito de la raíz
42 157890123	Unir el siguiente grupo (78) al resto
423157890123	157/42≈3, probar 3 como siguiente dígito de la raíz
-12	Continuar la división por 423, restar 3✕423 de E-H
-06
-09
423 30990123	309 nuevo resto
426 30990123	Doblar el tercer dígito de la raíz
426 30990123	Añadir el siguiente grupo (90) al resto
etc.

Como puede verse, el doble de la raíz va apareciendo a la izquierda del ábaco en sustitución del radicando/resto y los grupos de dos dígitos sin usar. Esto es contrario a lo que ocurre con el resto de operaciones elementales sobre el ábaco, donde el resultado buscado —no su doble— reemplaza al operando (o a uno de ellos). Esto puede haber sido una razón para que el método tradicionalmente preferido para obtener raíces cuadradas haya sido el de preparar el dividendo, donde veremos que la raíz aparece directamente sobre el ábaco y no su doble; pero en realidad existe otro motivo, de índole práctica, mucho más poderoso y que comentaremos más abajo, en la Conclusión de este capítulo.

Cabe mencionar aquí que el ábaco neperiano contaba con una tablilla especial rotulada N² para ayudar en el cálculo escrito de raíces cuadradas. En la figura de la derecha podemos ver el ábaco configurado para obtener la tercera cifra de la raíz del ejemplo, donde las varillas 4 y 2 representan el doble de la raíz obtenida previamente. Podemos ver que para N = 3, la cantidad a sustraer del resto es 1269 que "cabe" en el resto 1578; pero que para N = 4, la cantidad 1696 no cabría, lo cual indica que la siguiente cifra de la raíz es efectivamente un 3.

Preparar el dividendo

Tabla de semi cuadrados

$b$	$b^{2}/2$
1	0.5
2	2
3	4.5
4	8
5	12.5
6	18
7	24.5
8	32
9	40.5

Partimos de nuevo de la expresión:

$$100r_{i-1}+\alpha _{i}\geq (20y_{i-1}+b)b=20y_{i-1}b+b^{2}$$

dividiéndola por 2

$$(100r_{i-1}+\alpha _{i})/2\geq 10y_{i-1}b+b^{2}/2$$

Esta expresión modificada nos permitirá obtener directamente en el ábaco la raíz cuadrada (no su doble) siguiendo prácticamente el mismo procedimiento anterior, sin más que mantener en nuestro instrumento los restos y grupos de dos dígitos sin usar divididos por 2. Como se puede ver en la expresión anterior, despreciando el término ${\textstyle b^{2}/2}$ obtenemos una estimación de $b$ simplemente dividiendo el semi resto extendido: $(100r_{i-1}+\alpha _{i})/2$ por la raíz anterior $y_{i-1}$ (de hecho, $10y_{i-1}$); tras lo cual, necesitamos nuevamente:

1. Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, corregirlo al alza o a la baja según sea necesario.
2. Obtener el siguiente semi resto para preparar el cálculo del siguiente dígito de la raíz.

Esto se hace restando $10y_{i-1}b$ así como ${\textstyle b^{2}/2}$ del semi resto, para lo cual es conveniente memorizar la tabla de semi cuadrados de la derecha, comprobando que no obtenemos resultados negativos y que no podríamos revisar $b$ al alza.

Afortunadamente, dado que 2 es un divisor de nuestra base (10), las fracciones decimales de la tabla de semi cuadrados tienen una expresión finita; lo que no sucederá cuando intentemos extender este procedimiento a raíces cúbicas y tengamos que tratar con tercios de cubos. Según Knott, esto hace que las raíces cúbicas sean un problema que no se adapta bien al tratamiento con ábaco.

Ejemplos

Aquí se presentan tres ejemplos; para ver ejemplos adicionales consulte el apartado Otras lecturas y especialmente el de Recursos externos a continuación.

Raíz cuadrada de 961

En este ejemplo tenemos dos grupos de dos cifras: 09 y 61. El primer grupo nos informa que el primer dígito de la raíz es 3.

Hay dos formas de comenzar en el ábaco con las raíces cuadradas:

• Alineando los grupos a la izquierda desde la columna B y usando la división tradicional para obtener el semi-resto.

	A	B	C	D	E
						...
		0	9	6	1

Esta es la forma que aparece en libros antiguos y también la utilizada en el Tutor de raíz cuadrada de Murakami con Kijoho (véase Recursos externos más abajo).

Usando división tradicional para obtener el semi resto

Ábaco	Comentario
ABCDE
0961	Alinear el radicando con B
30961	Poner el primer dígito de la raíz en A
-9	restar el cuadrado del primer dígito de la raíz (9)
30061
30305	Dividir el resto B-E por 2 (división tradicional)

• Alinear los grupos a la izquierda del ábaco desde la columna A y usar la división in situ para obtener el semi resto.

	A	B	C	D	E
						...
	0	9	6	1

Esta forma es algo más rápida

Usando división in situ

Ábaco	Comentario
ABCDE
0961	Alinear el radicando con A
-9	Restar el cuadrado del primer dígito de la raíz (9)
0061
0305	División in situ por 2 del resto
30305	Anotar el primer dígito de la raíz en A

A partir de aquí coincide el estado del ábaco y podemos continuar:

Continuación

Ábaco	Comentario
ABCDE
30305
+1	Dividir el semi resto B-E por 3. (revisar B al alza)
-3
31005
-05	restar b^2/2 =0.5 de D
31000	Semi resto nulo, ¡Hecho! La raíz es 31
31	La raíz es 31

Raíz cuadrada de 998001

${\sqrt {998001}}=999$

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
998001	Radicando en A-F
-81	Restar 9^2=81 de primer grupo en AB
188001
940005	Dividir el resto por 2 in situ in situ
9940005	Entrar el primer dígito de la raíz (9) en A
9930005	B: Regla: 9/9>9+9
-405	Restar 9^2/2=40.5 de D
9989505
9987505	C: Regla: 8/9>8+8
-72	Restar CxB=72 de DE
998T305	Revisar C al alza
+1
-99
9990405
-405	Restar 9^2/2=40.5 from F
9990000	El resto es 0. ¡Hecho!
999	Raíz: 999

Raíz de 456.7890123

Nuestro ejemplo anterior ...

Primeros 4 dígitos de ${\sqrt {456.7890123}}=21.3726229\cdots$

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKL
04567890123	Radicando con los pares de dígitos alineados en AB, CD, etc.
-4	Restar 2^2 del primer grupo
567890123
2839450615	Dividir por 2 el resto y los demás pares de dígitos
2 2839450615	Escribir la primera cifra de la raíz en A
+1	Dividir BCD por A (revisar al alza B)
-2
-05	Restar B^2/2=0.5 de D
21 789450615
+3	Dividir CDEF por AB (revisar al alza C tres veces)
-6
-3
-45	Restar C^2/2=4.5 de F
213154950615
213554950615	Dividir DEFGH por ABC. D: Rule 1/2>5+0
-5	Restar DxB=5 de EF
-15	Restar DxC=15 de FG
213548450615
+2	revisar al alza D dos veces
-426
213705850615
-245	Restar 7^2/2=24.5 de H
21370560F615	Raíz hasta ahora: 21.37
etc.	etc.

La raíz 2137… ( de hecho, 21.37…) va apareciendo a la izquierda. En este punto, si divide E-L (semi resto y demás dígitos) por A-D (la raíz hasta ahora) obteniendo 4 cifras del cociente (tantas como actualmente tiene la raíz) tendrá los dígitos: 2623; es decir, aproximadamente las siguientes cuatro cifras de la raíz (21.372623). Vea el capítulo: Operaciones abreviadas para detalles

Usando el método moderno

Por supuesto es posible obtener las raíces cuadradas siguiendo la estrategia de preparar el dividendo haciendo uso de la división moderna (MD) y de la disposición moderna de la división (MDA); sólo hay que dejar una columna adicional a la izquierda del radicando para ello. Por ejemplo:

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
	0	9	9	8	0	0	1	0	0

Raíz cuadrada de 998001; división moderna con MDA

Ábaco	Comentario
ABCDEFGH
998001	Radicando alineado en B-G
-81	Restar 9^2 del primer grupo en BC
188001
9188001	Inscribir primer dígito de la raíz en A
9 940005	Dividir in situ B-G por 2
99940005	Probar 9 como segunda cifra de la raíz (inscribir en B)
-81	Restar B×A=9×9=81 de CD
99130005
-405	Restar B^2/2=9^2/2=40.5 de DE
99 89505
99989505	Probar 9 como tercera cifra de la raíz
-81	Restar C×A=9×9=81 de DE
-81	Restar C×B=9×9=81 de EF
999  405
-405	Restar C^2/2=9^2/2=40.5 de FG
999	(semi)resto nulo. ¡Hecho! la raíz es 999

También podemos usar la división normal por 2 en lugar de in situ; observe el nuevo alineamiento del radicando:

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
	0	0	0	9	9	8	0	0	1	0

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
998001	Radicando alineado en D-I
-81	Restar 9^2 del primer grupo en DE
188001
9  188001	Inscribir primer dígito de la raíz en A
9 940005	Dividir normalmente D-I por 2
99940005	Probar 9 como segunda cifra de la raíz (inscribir en B)
...	etc.

Conclusión

El método explicado como: Preparar el dividendo se conoce como 半九九法 ( Hankukuhou en japonés, Bàn jiǔjiǔ fǎ en chino) lo que podemos traducir libremente aquí como Método del semi resto y es, con mucho, el más conveniente, al menos por dos razones:

1. La raíz, y no su doble, reemplaza al operando (radicando) como en el resto de operaciones básicas con el ábaco.
2. (La más importante) Dado que dividir por números que comienzan con 1 es incómodo, pensemos en lo siguiente:

El primer grupo de dos dígitos tendrá un valor entre 1 y 99 y determinará la primera cifra de la raíz cuadrada. Para valores del primer par entre 25 y 99 (75% de los casos), el primer dígito de la raíz estará comprendido entre 5 y 9 y su doble empezará por uno. Por lo tanto, si usamos el método preparar el divisor, estaremos dividiendo por números que comienzan con 1 en el 75% de los casos. Por el contrario, si utilizamos el método preparando el dividendo, sólo en el caso de que el primer grupo sea 1, 2 o 3 (3% de los casos) tendremos que dividir por números que empiecen por uno.

Por lo que no hay duda de que el método del “medio resto” o de “preparación del dividendo” nos será más confortable en la mayoría de casos.

Otras lecturas

• Siqueira, Edvaldo. «Kato Fukutaro's Square Roots». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.

• Treadwell, Steve (2015). «Improvements to the Kato Method for Finding Square Roots». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.
• Square root (半九九法); the traditional way using traditional division in jccAbacus

Recursos externos

• Tutor de raíz cuadrada con Kijoho (división tradicional) de M. Murakami, una aplicación de JavaScript que puede ejecutar directamente en su navegador o descargar a su computadora desde su repositorio en GitHub. Sólo hay que ingresar el radicando en el pequeño cuadro de entrada de la izquierda y presionar repetidamente el botón "Next" en la pantalla para asistir al desarrollo del proceso paso a paso. Con esto se pueden generar tantos ejemplos o ejercicios como se desee.

Raíces Cúbicas

Teoría

Sea $x$ el número del que queremos obtener la raíz cúbica $y={\sqrt[{3}]{x}}$; Consideremos su expresión decimal, por ejemplo: $x=456.7890123$ y separemos sus dígitos en grupos de tres alrededor del punto decimal de la siguiente manera:

$$x=456.7890123=456.789\cdot 012\cdot 300\cdot 000$$

o, en otras palabras, definamos la secuencia de enteros $\alpha _{i}$

$$\alpha _{1}=456,\alpha _{2}=789,\alpha _{3}=012,\alpha _{4}=300,\alpha _{5}=000\cdots$$

y construyamos la secuencia $x_{i}$ recursivamente desde $x_{0}=0$

$$x_{i}=1000x_{i-1}+\alpha _{i}$$

y sea $y_{i}$ la parte entera de la raíz cúbica de $x_{i}$

$$y_{i}=\lfloor {\sqrt[{3}]{x}}_{i}\rfloor$$

es decir, $y_{i}$ es el entero más grande cuyo cubo no es mayor que $x_{i}$. Finalmente, llamemos restos a las diferencias.

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{3}\geq 0$$

Para nuestro ejemplo tenemos:

$i$	$\alpha _{i}$	$x_{i}$	$y_{i}$	$r_{i}$
0		0	0	0
1	456	456	7	113
2	789	456789	77	256
3	012	456789012	770	256012
4	300	456789012300	7701	78119199
5	000	456789012300000	77014	6949021256
⋯

Veamos que, por construcción, $x_{i}$ crece como $10^{3i}$ (tres dígitos más en cada paso), de hecho, la secuencia $x_{i}10^{3-3i}$, es decir: 0, 400, 456, 456.789, 456.789012, etc. tiende a $x$ ($x_{i}10^{3-3i}\to x$ ). En comparación, $y_{i}$, como la parte entera de la raíz cúbica de $x_{i}$, crece solo como $10^{i}$ (un dígito más en cada paso). Como $y_{i}$ es el entero más grande cuyo cubo no es mayor que $x_{i}$, tenemos $r_{i}=xi-y_{i}^{3}\geq 0$ como arriba, pero

$$x_{i}-(y_{i}+1)^{3}=x_{i}-y_{i}^{3}-3y_{i}^{2}-3y_{i}-1<0$$

por definición de $y_{i}$, o

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{3}<3y_{i}^{2}+3y_{i}+1$$

multiplicando por $10^{3-3i}$

$$x_{i}\cdot 10^{3-3i}-(y_{i}\cdot 10^{1-i})^{3}<(3y_{i}^{2}+3yi+1)\cdot 10^{3-3i}$$

pero como  $y_{i}$ crece sólo como $10^{i}$, el segundo término tiende a cero como $10^{-i}$.  

$$x_{i}\cdot 10^{3-3i}-(y_{i}\cdot 10^{1-i})^{3}\to 0$$

y $x_{i}\cdot 10^{3-3i}\to x$ de forma que tenemos

$$y_{i}\cdot 10^{1-i}\to y={\sqrt[{3}]{x}}$$

Para otros números, los factores de arriba son: $10^{3k-3i}$ y $10^{k-i}$, donde $k$ es el número de grupos de tres cifras a la izquierda del punto decimal, negativo si éste es seguido por grupos 000 (ej. $k=0$ para $x=0.00456$, $k=-2$ para $x=0.000000456$, etc.).

Esta es la base de los métodos tradicionales de obtener la raíz cúbica manualmente.

Procedimiento

Empezamos con $i=0,x_{0}=0,y_{0}=0,r_{0}=0$.

Primer dígito

Tabla de cubos

$b$	$b^{3}$
1	1
2	8
3	27
4	64
5	125
6	216
7	343
8	512
9	729

Para $i=1,x_{1}=\alpha _{1}$ es trivial encontrar $y_{1}$ tal que su cubo no exceda $x_{1}$ usando la siguiente tabla que puede retenerse en la memoria fácilmente. En el caso del ejemplo es $y_{1}=7$.

Dígitos siguientes

Para $i>1$, tenemos $x_{i}=1000x_{i-1}+\alpha _{i}$ tal y como se ha dicho arriba y tratamos de construir $y_{i}$ en la forma:

$$y_{i}=10y_{i-1}+b$$

donde $b$ es un número entero de un dígito que va de 0 a 9. Para obtenerlo tenemos que elegir el dígito más grande de 0 a 9 de modo que:

$$x_{i}-y_{i}^{3}=x_{i}-(10y_{i-1}+b)^{3}\geq 0$$

o

$$x_{i}-(a+b)^{3}\geq 0$$

si escribimos $a=10y_{i-1}$. Desarrollando el cubo del binomio tenemos

$$x_{i}-a^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}=1000x_{i-1}+\alpha _{i}-(10y_{i-1})^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}\geq 0$$

o

$$1000r_{i-1}+\alpha _{i}\geq 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(3a^{2}+3ab+b^{2})b$$

El lado izquierdo de la expresión anterior puede verse simplemente como el resto anterior con el siguiente grupo de tres dígitos añadido. Si evaluamos el término de la derecha para cada valor de $b$ y lo comparamos con el término de la izquierda, tenemos:

$a=10y_{i-1}=70$

$b$	$(3a^{2}+3ab+b^{2})b$	$1000r_{i-1}+\alpha _{i}$
0	0	≤ 113789
1	14911	≤ 113789
2	30248	≤ 113789
3	46017	≤ 113789
4	62224	≤ 113789
5	78875	≤ 113789
6	95976	≤ 113789
7	113533	≤ 113789	⬅
8	131552	> 113789
9	150039	> 113789

y está claro que la siguiente cifra de nuestra raíz es un 7 pero, ¿cómo podemos proceder en el caso general sin tener que explorar sistemáticamente todas las posibilidades ($b=0,1,\cdots ,9$) ?

Aquí Knott distingue dos estrategias:

• Preparar el divisor
• Preparar el dividendo

que pasamos a discutir.

Preparando el divisor

Esto se corresponde con la expresión anterior

$$1000r_{i-1}+\alpha _{i}\geq 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(3a^{2}+3ab+b^{2})b$$

Y es la estrategia que se suele utilizar con papel y lápiz y también se puede implementar, por supuesto, sobre el ábaco. En la expresión anterior, si vemos la parte izquierda como dividendo y el paréntesis como divisor, $b$ es el primer dígito de la división:

$$b=(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/(3a^{2}+3ab+b^{2})$$

pero como aún no conocemos $b$, lo aproximamos usando sólo la parte principal del divisor

$$b=(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/(3a^{2})=(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/(300y_{i-1}^{2})$$

Esto nos da una idea de cuál podría ser el valor de $b$, pero necesitaremos:

1. Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, revisarlo al alza o a la baja según sea necesario.
2. Obtener el nuevo resto para preparar el cálculo del siguiente dígito de la raíz.

Puede verse un ejemplo en el blog Diario de Tone, ver también Método moderno abajo.

Preparando el dividendo

Empezando de nuevo con

$$1000r_{i-1}+\alpha _{i}\geq (3a^{2}+3ab+b^{2})b=3a\left(a+b+{\frac {b}{3a^{2}}}\right)b$$

preparamos el dividendo dividiendo $1000r_{i-1}+\alpha _{i}$ (el siguiente grupo de tres dígitos agregado al resto anterior) por $3a$

$$(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/3a\geq \left(a+b+{\frac {b}{3a^{2}}}\right)b$$

Como de costumbre, no conocemos $b$ y no podemos evaluar el paréntesis de la derecha, pero podemos obtener una pista sobre el valor de $b$ aproximando el paréntesis por su parte principal $a$

$$\left(a+b+{\frac {b}{3a^{2}}}\right)\approx a$$

y utilizándolo como divisor de prueba, de forma que

$$b\approx (1000r_{i-1}+\alpha _{i})/3a^{2}$$

Tras lo cual, necesitamos nuevamente:

1. Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, corregirlo hacia al alza o a la baja según sea necesario.
2. Obtener el siguiente resto para preparar la obtención del siguiente dígito de la raíz evaluando $1000r_{i-1}+\alpha _{i}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}$.

Tenga en cuenta que:

• El divisor 3 está involucrado en el dividendo preparado y esto conduce a fracciones decimales no finitas.
• La división por $a$ no sólo empeora lo anterior, sino que también hace que el dividendo preparado sea específico para el paso actual, ya que el valor de $a$ evoluciona con el cálculo de las diferentes cifras de la raíz.

Esto no ocurría en el cálculo de raíces cuadradas y, como consecuencia, el proceso de obtención de raíces cúbicas es mucho más complicado y requiere un ciclo complejo de fases de preparación-restauración del dividendo que, siguiendo a Knott, podemos representar mediante el siguiente esquema :

Fase	Operación
a	Dividir por $a$.
b	Dividir por 3.
c	Obtener $b$ como el primer dígito de la división de lo anterior por $a$.
d	Restar $b(a+b)$ (Equivalente a restar $3a^{2}b$ y $3ab^{2}$ de $1000r_{i-1}+\alpha _{i}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}$).
e	Multiplicar por 3.
f	Multiplicar por $a$.
g	Restar $b^{3}$.

En nuestro ejemplo ($x=456.7890123$), usando la división tradicional (TD) y el arreglo de división tradicional (TDA) como lo hace Knott, trabajando los dos primeros dígitos:

Raíz cúbica de 456.7890123

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
456789	Primer grupo del radicando alineado con B
-343	Restar 7^3=343 del primer grupo
113789	Primer resto
7113789	7 en A como primer dígito de la raíz; considerar el segundo grupo
7113789	a) Dividir B-G por 7 (nota 1)
7162554	b) Dividir B-G por 3 (nota 2)
7541835	c) Dividir B por A (una cifra de cociente) (nota 3)
7751835	d) Restar 7*7=49 de CD
77 2835	e) Multiplicar CDEF por 3. Sumar 3✕283 a CDEFG
77  854	f) Multiplicar CDEF por 7. Sumar 7✕85 a CDEFG
77  599
-343	g) Restar 7^3=343 a CDEFG
77  256	Nuevo resto
...	Raíz obtenida hasta ahora: 7.7

Notas

1. No es necesario extender la división por 7 más allá del grupo actual de tres dígitos. El 4 en G es un resto de división que significa 4/7.
2. Lo mismo puede decirse de la división por 3. Se realiza hasta la columna F y el resto (1) se agrega temporalmente a la columna G. El valor (5) en dicha columna es un extraño híbrido que significa 1/3 y 4/7. No importa, esta extraña situación será corregida en los pasos e y f.
3. Aquí, al aplicar la regla 5/7>7+1, ya hemos restado $b\cdot a$, por lo que en el paso siguiente (d) sólo nos falta restar $b^{2}$

Método moderno

Miembros del Soroban & Abacus Group han modificado la técnica descrita por Knott para adaptarla al uso del ábaco y método modernos. El resultado es supuestamente más rápido a expensas de ser menos compacto y requerir un ábaco con más varillas para almacenar datos intermedios. También se pierde la sencillez de tener el resultado sustituyendo directamente al radicando.

También puede encontrar una compilación de métodos modernos para raíces cuadradas y cúbicas en Tone Nikki (とね日記) de un blogger japonés (el nombre del autor no parece estar disponible).

Ejemplos de raíces cúbicas

Los siguientes ejemplos se presentan utilizando la división tradicional (TD) y la disposición de división tradicional (TDA). Las fases del ciclo de preparación-restauración de dividendos están etiquetadas con a), b), etc. como se ha hecho en el ejemplo previo.

Raíz cúbica de 157464

Ábaco	Comentario
ABCDEFG	Raíz cúbica de 157464
157464	Ingrese 157464 alineando el primer grupo (157) con B
-125	Restar 5^3=125 de BCD
32464	Primer resto: 32
5 32464	Poner 5 en A como primer dígito de la raíz y considerar el segundo grupo
5 32464	a) Dividir C-F por 5 (G contendrá el resto de la división)
5 64924	b) Dividir C-F por 3
5216404	c) Dividir B por 5
5416404	d) Restar 4^2=16 de CD
54  404	e) Multiplicar 40x3 en EFG (sumándolo al resto en G)
54  124	f) Multiplicar 12x5 en EFG
54   64	g) Restar 4^3=64 de FG
54	Resto 0; ¡Hecho! La raíz es: 54

Claramente, si el resto es cero y no hay más grupos (no nulos) para agregar, el número es un cubo perfecto y hemos acabado. La raíz es 54.

Raíz cúbica de 830584

Otro ejemplo similar al anterior (el radicando es el cubo de un número de dos cifras).

Ábaco	Comentario
ABCDEFG	Raíz cúbica de 830584
830584	Introducir 830584 alineando el primer grupo con B
-729	Restar 9^3=729 de BCD
101584	101: Primer resto
9101584	Poner 9 en A como primer dígito de la raíz y considerar el siguiente grupo second group
9101584	a) Dividir C-F por 9 (G contendrá el resto)
9112871	b) Dividir C-F por 3
9376232	c) Dividir B por 9 (A)
9416232	d) Restar 4^2=16 de CD
94  232	e) Multiplicar 23x3 en EFG (sumando el resto en G)
94   71	f) Multiplicar 07x9 en EFG
94   64	g) Restar 4^3= 64 de FG
94	resto 0; ¡Hecho! La raíz es: 94

La raíz es 94.

Es tal vez conveniente que el lector practique ejemplos como este antes de intentar obtener más cifras de la raíz. Al final de este capítulo se incluye una tabla de cubos de números de dos cifras que le pueden ser de ayuda para este fin.

Raíz cúbica de 666

En este caso, el radicando no es un cubo perfecto, la raíz es un número irracional con infinitos decimales comprendido entre 8 y 9. Empezamos calculando las dos primeras cifras de la raíz.

Ábaco	Comentario
ABCDEFG	Raíz cúbica de 666
666	Introducir 666 en BCD
+	(columna unidad)
-512	Restar 8^3=512 de BCD
154	Primer resto
8154	Poner 8 en A como primer dígito de la raíz
8154000	Añadir 000 como nuevo grupo
8154000	a) Dividir B-F por 8 (A)
8192500	b) Dividir B-F por 3
8641662	c) Dividir B por 8 (A)
8781662	d) Restar B^2=49 de CD
8732662	e) Multiplicar C-F por 3 en C-G
87 9800	f) Multiplicar C-F por 8 (A) en C-G
87 7840	g) Restar B^3=343 de EFG
87 7497	Raíz hasta ahora: 8.7, resto: 7.497
+	(columna unidad)

Ahora continuamos usando operaciones abreviadas. Necesitamos dividir el resto (7497) por tres veces el cuadrado de la raíz actual ($3\cdot 87^{2}=22707$)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
87 7497
87 7497------	Elevar 87 al cuadrado (binomio de Newton)
+49	7^2
+112	2*7*8
+64	8^2
87 7497  7569	multiplicar por 3 (sumando el doble)
+14
+10
+12
+18
87 7497 22707	Dividir 7497/22707, obteniendo dos cifras del cociente
...
8733	Raíz: 8.733 (Compárese a: ${\sqrt[{3}]{666}}=8.7328917$)

Raíz cúbica de 237176659 (tres cifras)

Tenemos tres grupos: 237, 176 y 659.

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ	Raíz cúbica de 237176659
237176659	Primer grupo alineado con B
-216	Restar 6^3=216 de BCD
21176659	21: Primer resto
21176659	Anotar 6 en A como primer dígito de la raíz y considerar el segundo grupo
6 21176659	a) Dividir B-F por 6 (A)
6 35292659	b) Dividir B-F por 3
6117633659	c) Dividir B por 6 (A)
6157633659	d) Restar B^2=1 de CD
6156633659	e) Multiplicar C-F por 3 en C-G
6116992659	f) Multiplicar C-F por 8 (A) en C-G
6110196659	g) Restar B^3=343 de EFG
6110195659	Raíz hasta ahora 61, resto 10195
----------
6110195659	Considerar el tercer grupo
6110195659	a) Dividir C-H por 61 (AB)
6116714158	b) Dividir C-H por 3
6155713678	c) Dividir C por 61 (AB)
6190813678	d) Restar CxC=81 de EF
619   3678	e) Multiplicar D-H por 3 en D-I
619   1158	f) Multiplicar D-H por 61 (AB) en D-J
619    729	g) Restar C^3=729 de HIJ
619    000	¡Hecho! Resto nulo
----------	La raíz es: 619

El número es un cubo perfecto.

Raíz cúbica de 110591 (ocho cifras)

Este número es: $110591=48^{3}-1$.

El primer triplete, 110, está entre 64 y 125, por lo que la raíz cúbica de 110 591 estará entre 40 y 50. Por tanto, el primer dígito de la raíz es 4

Primer dígito:

Raíz cúbica de 110591: Primer dígito

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
110591	Primer triplete alineado con B
-64	Restar 6^3=216 de BCD
46591	46: Primer resto
46591	Inscribir 4 en A como primera cifra de la raíz y considerar el segundo grupo
4 46591	¡Primer dígito listo!

Segundo dígito:

Raíz cúbica de 110591: Segundo dígito

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
4 46591	a) Dividir B-F por 4 (A)
4116473	b) Dividir B-F por 3
4388234	c) Dividir B por 4 (A)
4868234	d) Restar BxB=64 de CD
48 4234	e) Multiplicar C-F por 3 en C-G
48 1273	f) Multiplicar C-F por 4 (A) en C-G
48  511	g) ¡No se puede restar 8^3=512 de EFG! Marcha atras (ver nota al final)
48  511	-f) Dividir C-F por 4 (A)
48 1273	-e) Dividir C-F por 3
48 4234	-d) sumar 8x8=64 a CD
4868234	-c) Revisar B a la baja
-1
+4
47T8234	d) Restar BxB=49 de CD (T=10)
4759234	e) Multiplicar C-F por 3 en C-G
4717773	f) Multiplicar C-F por 4 (A) en C-G
47 7111	g) Restar B^3=343 de EFG
47 6768	¡Segundo dígito listo! Resto: 6768

Tercer dígito:

Raíz cúbica de 110591: Tercer dígito

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
47 6768000	Añadir 000 al resto anterior
47 6768000	a) Dividir C-H por 47 (AB)
4714400000	b) Dividir C-H 3
4748000000	c) Dividir C por 47 (AB)
4795700000	d) Restar C^2=81 de EF
4794890000	e) Multiplicar D-H por 3 en D-I
4792298300	f) Multiplicar D-H por 47 (AB) en D-J
479 689490	g) Restar C^3=729 de HIJ
479 688761	¡Tercer dígito listo! resto: 688761

Cuarto dígito:

Raíz cúbica de 110591: Cuarto dígito

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
479 688761000	Añadir 000 al resto anterior
479 688761000	a) Dividir D-J por 479
4791437914194	b) Dividir D-J por 3
4794793046394	c) Dividir D por 479 1d
4799482046394	d) Restar 9^2=81 de GH
4799473946394	e) Multiplicar E-J por 3 en E-K
4799142184194	f) Multiplicar E-J por 479 en E-M
4799 68106330	g) Restar -D^3=729 de KLM
4799 68105601	¡Cuarto dígito listo! resto: 68105601

Ahora terminamos el cálculo usando operaciones abreviadas. Necesitamos dividir el resto (68105601) por tres veces el cuadrado de la raíz actual (4799). Los primeros cuatro dígitos del resultado se añaden a continuación de los ya obtenidos; por ejemplo:

Raíz cúbica de 110591: Continuación usando operaciones abreviadas

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
4799 68105601	Dividir E-M por 4799
479914191623	Dividir E-M por 4799
47992957204	Dividir E-M por 3
47999857	Compárese este resultado con ${\sqrt[{3}]{110591}}=47.9998553236\cdots$

Como podemos ver, hemos obtenido un resultado con 7 cifras correctas.

Nota

Encontramos arriba que con la raíz 48 no podíamos restar $8^{3}=512$, o nos encontraríamos con un resto negativo (-1). Esto puede parecer desafortunado, ya que nos obligó a deshacer parte del trabajo y corregir la nueva cifra de la raíz a la baja, pero en la práctica lo que encontramos es un resultado afortunado: el pequeño resto negativo (-1) nos indica que 48 es una excelente aproximación (por exceso) a la raíz, abriendo una nueva forma de resolver el problema. De hecho, lo que tenemos es:

$$110591=48^{3}-1=48^{3}\left(1-{\frac {1}{48^{3}}}\right)$$

o

$${\sqrt[{3}]{110591}}=48{\sqrt[{3}]{1-{\frac {1}{48^{3}}}}}$$

donde podemos usar

$${\sqrt[{3}]{1-a}}\approx 1-{\frac {a}{3}}$$

de forma que

$${\sqrt[{3}]{110591}}=48{\sqrt[{3}]{1-{\frac {1}{48^{3}}}}}\approx 48\left(1-{\frac {1}{3\cdot 48^{3}}}\right)=48-{\frac {1}{3\cdot 48^{2}}}=47.999855324$$

compárese con ${\sqrt[{3}]{110591}}=47.999855323638$. ¡De este modo podríamos haber logrado una gran precisión con poco esfuerzo!

De la aritmética elemental al análisis numérico

El ábaco se estudia actualmente como un arte tradicional o como un medio para desarrollar habilidades numéricas y cognitivas en general, no se espera de él que, en la era de las computadoras, se use como calculadora para resolver problemas del mundo real. Pero si ese fuera el caso y tuviéramos que resolver una gran cantidad de raíces cúbicas (algo inusual), es posible que desee pasar de los métodos tradicionales, o la aritmética básica, a los métodos modernos de análisis numérico y probar el Método de Newton-Raphson. Puede encontrar una adaptación de este método al ábaco jccAbacus en el capítulo Método de Newton para Raíces Cuadradas, Cúbicas y Quintas de la sección sobre Técnicas avanzadas.

Apéndice: Cubos de números de dos dígitos

El método tradicional de obtener raíces cúbicas con el ábaco es complejo. No es mala idea entrenarse obteniendo el segundo dígito de la raíz antes de intentar pasar al tercero o cuarto. Para esto puede serle útil la siguiente tabla de cubos de números de dos cifras no terminados en cero.

Cubos de números de dos cifras

	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
10	1331	1728	2197	2744	3375	4096	4913	5832	6859
20	9261	10648	12167	13824	15625	17576	19683	21952	24389
30	29791	32768	35937	39304	42875	46656	50653	54872	59319
40	68921	74088	79507	85184	91125	97336	103823	110592	117649
50	132651	140608	148877	157464	166375	175616	185193	195112	205379
60	226981	238328	250047	262144	274625	287496	300763	314432	328509
70	357911	373248	389017	405224	421875	438976	456533	474552	493039
80	531441	551368	571787	592704	614125	636056	658503	681472	704969
90	753571	778688	804357	830584	857375	884736	912673	941192	970299

Ejemplo: ${\sqrt[{3}]{250047}}=60+3=63$