El ábaco oriental (chino simplificado: 算盘; chino tradicional: 算盤; pinyin: suànpán, japonés: そろばん soroban, simplemente "el ábaco" en este libro de texto) , como un ábaco de cuentas fijas que deslizan sobre varillas, se originó en China en una fecha incierta, pero hacia finales del siglo XVI su uso había desplazado por completo a las varillas de cálculo como instrumento matemático en su país de origen. Desde China su uso se extendió a otros países vecinos, especialmente Japón, Corea y Vietnam, permaneciendo como principal herramienta de cálculo hasta la era electrónica. La forma en que era utilizado, el “Método Tradicional”, se mantuvo estable durante al menos cuatro siglos hasta finales del siglo XIX, cuando se inició una evolución hacia lo que llamamos el “Método Moderno” que, haciendo uso del ábaco moderno, ya hemos estudiado en la sección anterior de este libro.
Ábaco moderno (tipo 4+1).Ábacos tradicionales tipo 5+3 y 5+1.
El ábaco moderno es del tipo 4+1, es decir, tiene cuatro cuentas en la parte inferior y una en la parte superior.
Representación de números en el ábaco moderno (4+1)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Esto es todo lo que se necesita para poder realizar aritmética decimal. Sin embargo, los ábacos tradicionales tenían cuentas adicionales, siendo el más frecuente el tipo 5+2 (aunque el tipo 5+1 también fue popular en Japón) y ocasionalmente el tipo 5+3.
Ábaco chino tradicional 5+2 ilustrando el uso de cuentas suspendidas
Con tres cuentas superiores podemos representar hasta 20 en una sola varilla, lo cual es conveniente, como veremos, para las técnicas tradicionales de división y multiplicación. Con dos cuentas superiores podemos lograr lo mismo usando la cuenta suspendida (懸珠, Xuán zhū en chino[1], kenshu en japonés), una forma de simular la tercera cuenta para las raras ocasiones en que ésta se necesita (ver en la figura la representación de los números de 15 a 20).
Representación de números en un ábaco tradicional (5+2)
0
1
2
3
4
5
5
6
7
8
9
10
10
11
12
13
14
15
15
16
17
18
19
20
Con una quinta cuenta inferior, tenemos dos formas diferentes de representar los números 5, 10 y 15. Esto significa que tenemos opciones entre las que podemos elegir la que más nos convenga. En el caso de la suma y la resta, la posibilidad de elegir entre dos representaciones para 5 y 10 nos permitirá simplificar un poco los cálculos.
Las técnicas tradicionales se pueden utilizar en cualquier tipo de ábaco, con la excepción obvia del uso de la quinta cuenta inferior en un ábaco que no la tiene (4+1), la diferencia entre tener o no cuentas superiores adicionales es más una cuestión de comodidad y fiabilidad que de eficiencia o capacidades.
El método tradicional se utilizó durante al menos cuatro siglos, cubriendo las dinastías Ming y Qing en China y el período Edo en Japón. A partir de la Restauración Meiji en Japón, los estudiantes del ábaco empezaron a cambiar en el sentido de que ya sabían cómo realizar cálculos con papel y lápiz antes de comenzar a estudiar el ábaco, mientras que los estudiantes de épocas anteriores no sabían nada sobre aritmética; para la mayoría, el ábaco era la única forma de matemáticas que iban a conocer. Esto provocó una lenta adaptación de la enseñanza y los métodos del ábaco a los nuevos tiempos y circunstancias, dando lugar, después de varias décadas, a lo que ahora llamamos el Método Moderno; de hecho, un método simplificado.
En el idioma inglés, las siguientes dos obras de Takashi Kojima se citan con frecuencia en referencia al método moderno:
Es importante mencionarlos porque, aparte de su contenido, constituyen la primera difusión del uso del ábaco oriental hacia occidente. Todavía se pueden encontrar varias ediciones de estos libros, incluidos los formatos de libros electrónicos, y el primero se puede consultar en línea en archive.org.
Hoy en día, el método moderno puede parecer óptimo en muchos sentidos y podemos pensar que algunas "rarezas" del método tradicional, especialmente la forma de organizar la división en el ábaco, carecen de sentido práctico; pero si el método tradicional se mantuvo estable durante siglos, siendo usado por millones de personas (incluidas grandes figuras de las matemáticas como Seki Takakazu), sólo puede ser porque también fue considerado óptimo en su tiempo. Simplemente, el criterio de optimalidad de los antiguos difería del que podamos tener hoy.
Desafortunadamente, nadie en el pasado se molestó en describir "por qué" se hacían las cosas de tal modo, los autores clásicos solamente escribieron sobre "cómo" hacer las cosas, de modo que nosotros sólo podemos especular sobre las razones subyacentes a algunas de estas técnicas antiguas.
Principales diferencias entre los métodos tradicionales y modernos
Estos son los tres puntos más importantes que diferencian las técnicas tradicionales de las modernas:
El uso de la quinta cuenta inferior en suma y resta para simplificar un poco ambas operaciones, lo cual se extiende a todo lo que se puede hacer con el ábaco ya que todo depende en última instancia de la suma y la resta.
El uso de un método de división usando una tabla de división que elimina el esfuerzo mental requerido para determinar la cifra del cociente provisional. Este método ( kijohou , guīchúfǎ 帰除法) descrito por primera vez en la Iluminación Matemática ( Suànxué Qǐméng , 算學啟蒙) por Zhū Shìjié 朱士傑 (1299)[4] para su uso con varillas de cálculo reemplazó al antiguo método de división basado en la tabla de multiplicar y cuyo origen se remonta al menos al siglo III, al libro The Mathematical Classic of Master Sun (Sūnzǐ Suànjīng 孫子算經)[5][6]. Este antiguo método, que es la base de los métodos cortos y largos de división escrita, ha reemplazado a su vez al método tradicional de división en los tiempos modernos. Es decir, ¡Los tiempos modernos nos han devuelto a lo antiguo!
Los métodos tradicionales y modernos también difieren en la forma en que se organiza la operación de división en el ábaco. La disposición de división tradicional es algo más compacta que la moderna y también más problemática ya que requiere (o se beneficia) del uso de cuentas más altas adicionales. Esta disposición de la división a su vez condiciona la forma en que se organizan la multiplicación y las raíces.
Como se mencionó anteriormente, ningún autor en el pasado ha escrito sobre por qué se hacían las cosas de aquella manera, solo sobre cómo hacer las cosas; así que solamente podemos elucubrar para tratar de entender por qué. Pero el lector verá a lo largo de este libro que las técnicas tradicionales suponen, en comparación con las modernas, una reducción del esfuerzo mental necesario para utilizar el ábaco. Esto es especialmente claro en el caso de la división que utiliza una tabla de división, pero también en el resto de técnicas que se describirán ya que efectivamente implican una reducción en el número y/o la extensión de "gestos" necesarios para completar una operación. Aquí llamamos gesto a:
movimientos de dedos o cuentas
desplazamientos de manos
cambios de dirección
salto de varillas (es decir, cambiar la posición de la mano de una varilla a otra barra no adyacente)
y cada uno de estos gestos:
como proceso físico, tarda un tiempo en completarse,
como lo controla nuestro cerebro, requiere nuestra atención, consumiendo energía (mental o bioquímica),
como lo hacemos seres humanos (no máquinas), tiene la posibilidad de hacerse de manera incorrecta, introduciendo errores.
de manera que podemos esperar, al reducir el número y extensión de estos gestos, un cálculo algo más rápido, más relajado y fiable.
Teniendo en cuenta lo anterior, se tiene la tentación de pensar que al adoptar este principio de mínimo esfuerzo, las técnicas tradicionales evolucionaron en el sentido de facilitar la vida con el ábaco, lo que podría explicar su vigencia a lo largo de los siglos, pero esto no es más que un conjetura sin soporte documental.
Si pensamos en el método moderno, polarizado hacia la sencillez, la velocidad y la eficacia, podríamos decir que es el "método del velocista" mientras que el método tradicional es el "método del corredor de maratón".
El lector, después de seguir este libro, podrá sacar sus propias conclusiones al respecto.
Puede ser interesante saber que en el pasado la gente aprendía el ábaco sin tener conocimientos previos de matemáticas, en particular sin conocer nada como una tabla de sumar o restar; en su lugar, memorizaban una serie de reglas mnemotécnicas, versos o rimas, frases cortas en chino que indicaban qué cuentas tenían que moverse para realizar la suma o resta de un dígito a otro dígito[7][8][1]; ya lo hemos mencionado al tratar de la suma y la resta con el ábaco moderno, y si el lector compra un ábaco tradicional chino (suanpan) es posible que reciba con el mismo un librillo en inglés: The Fundamental Operations in Bead Arithmetic, How to Use the Chinese Abacus de Kwa Tak Ming[9], un manual escrito para promover el uso del ábaco en Filipinas que contiene una curiosa versión inglesa de las mencionadas rimas. Una vez que los estudiantes aprendían a sumar y restar con este tipo de reglas, comenzaban a memorizar las tablas de multiplicación y división, también en forma de versos o rimas. En total, aprender los conceptos básicos del ábaco requería memorizar alrededor de 150 reglas que debían recitarse o cantarse mientras se aplicaban.
En el presente libro, nosotros hemos reducido a tres el número de reglas a memorizar para el aprendizaje de las dos operaciones básicas de adición y sustracción, pero a costa de memorizar también parejas de números complementarios. Como estudiantes modernos del ábaco partimos con un conocimiento previo de aritmética y no tendremos que memorizar reglas o rimas para multiplicar; ya hemos memorizado la tabla de multiplicar que además nos ayudará a dividir, pero si deseamos aprender el método tradicional de división sí que tendremos que memorizar una cincuentena de reglas. Pero no se preocupe, se pueden aprender gradualmente y su esfuerzo se verá recompensado con una fascinante facilidad para dividir.
Tablas de procedimientos y algunos términos y notaciones
Como de costumbre, en este libro usaremos tablas para describir los procedimientos en el ábaco, por ejemplo:
Ejemplo de tabla de procedimiento
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJKLM
896 412
Esta vez el divisor va a la izquierda y el dividendo a la derecha.
896 512
Columna E: regla 4/8> 5 + 0, cambie 4 en E por 5, agregue 0 a F
896 512
no se puede restar E × B = 5 × 9 = 45 de FG,
-1
revisar hacia abajo E: restar 1 de E,
+8
sumar 8 a F
896 492
etc.
etc.
Donde, a la izquierda, se muestra la evolución dígito a dígito del estado del ábaco o la operación de suma o resta actual junto con comentarios a la derecha sobre lo que se está haciendo. Las columnas del ábaco están etiquetadas con letras en la parte superior (los espacios en blanco representan barras no utilizadas).
Esta representación, perfecta para el ábaco moderno, necesita un par de refinamientos para adaptarla al ábaco tradicional.
Una columna de un ábaco tradicional puede contener un número mayor que 9 y no es posible escribir sus dos dígitos en nuestra tabla sin alterar su alineación vertical. Para evitar esto, usaremos notación de subrayado para valores entre 10 y 19 y el primer dígito (uno) estará representado por un subrayado en la columna anterior (consulte el capítulo sobre cómo tratar con el desbordamiento para una razón). Por ejemplo, la situación que se representa a continuación ocurre poco después de comenzar la división tradicional de 998001 por 999
A
B
C
D
E
F
G
H
I
K
J
L
M
9
18
9
0
0
1
0
0
0
0
9
9
9
and is represented in procedure table as
Notación de subrayado
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJKLM
988001 999
Valor en B es 18
Notación relativa al uso de la quinta cuenta inferior.Como se vio arriba, los números 5, 10 y 15 tienen dos representaciones posibles: usar o no la quinta cuenta inferior. Cuando sea pertinente distinguir entre los dos, usaremos los siguientes códigos:
F: para denotar un cinco inferior (cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de:
5: cinco superiores (una cuenta superior activada).
T: diez en una varilla (una cuenta superior y cinco cuentas inferiores activadas). En el ábaco de tipo 5 + 2, también es un diez inferior en lugar de una t y un diez superior (dos cuentas superiores activadas).
Q: quince inferiores en una varilla (dos cuentas superiores y cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de q quince superior (cuenta superior suspendida en el 5 + 2 , tres cuentas superiores activadas en el 5 + 3).
Con cualquier tipo de ábaco, la suma se simula reuniendo los conjuntos de contadores que representan los dos sumandos, mientras que la resta se simula eliminando del conjunto de contadores que representan el minuendo un conjunto de contadores que representan el sustraendo. La suma y la resta son las dos únicas operaciones posibles en cualquier tipo de ábaco. Todo lo demás tiene que descomponerse en una secuencia de suma y resta.
Apenas hay diferencia entre sumar y restar con un ábaco moderno o uno tradicional, si el lector ya sabe realizar estas dos operaciones con fluidez con un ábaco moderno, podrá hacer lo mismo con uno tradicional. Los únicos dos puntos adicionales a considerar son:
el uso de la quinta cuenta inferior para simplificar las operaciones.
la operación inversa: combinar las direcciones de trabajo hacia la derecha y hacia la izquierda para evitar desplazamientos de la mano.
de los cuales el primero es, con mucho, el más importante.
La quinta cuenta inferior se puede utilizar en operaciones de suma y resta al igual que sus compañeras. Su uso se demuestra en algunos libros antiguos como: Métodos computacionales con las cuentas en una bandeja (Pánzhū Suànfǎ 盤珠算法) by Xú Xīnlǔ 徐心魯 (1573)[1], pero con el tiempo dejó de aparecer en los manuales. Esto no debe sorprender demasiado, no se trata de una técnica esencial sino más bien de un truco para aligerar o hacer más cómodas las operaciones con el ábaco y su uso se puede demostrar directamente con el ábaco y transmitirse de forma oral más fácilmente que plasmándolo en un libro. No olvidemos que los antiguos libros chino-japoneses sobre el ábaco eran realmente concisos; practicamente recordatorios o formularios, ya que la enseñanza oral era considerada fundamental.
Algunos libros antiguos sobre el ábaco, por ejemplo, "Pista Matemática" (Shùxué Tōngguǐ 數學通軌) de Kē Shàngqiān (柯尚遷) (1578)[2], enseñan la suma usando una dirección de operación alterna con la obvia intención de ahorrar movimientos de la mano. Si el lector ya ha estudiado el ábaco moderno, sabe por qué es preferible operar de izquierda a derecha y esto no es solo una cuestión exclusiva del ábaco; en el siglo XIX, el conocido astrónomo canadiense-estadounidense Simon Newcomb, una reconocida computadora humana, recomendaba sumar y restar de izquierda a derecha en cálculo escrito en la introducción de sus tablas de logaritmos[3] si se quería llegar a ser eficiente en el cálculo manual.
Por tanto, la alternancia de operación debe considerarse como una cuestión secundaria. Si se menciona aquí es porque, a pesar de su limitada utilidad, es un ejercicio muy interesante que puede resultar bastante difícil al principio para quien ya está habituado a trabajar de izquierda a derecha, quizás un pequeño desafío que puede llevar al lector a interesantes reflexiones sobre el orden de movimiento de los dedos; en particular, sobre si los acarreos deben realizarse "antes" o "después".
En el capítulo dedicado a las variantes del ejercicio 123456789 se propone propone su práctica diaria como una forma de perfeccionar nuestra "comprensión de las cuentas".
Ábacos con cinco cuentas inferiores, Museo Ridai de Ciencia Moderna, Tokio (Japón)El ábaco oriental como heredero de las varillas de cálculo
Es un misterio por qué los ábacos tradicionales chinos y japoneses tenían cinco cuentas en su parte inferior, ya que solo se requieren cuatro desde el punto de vista de la representación de números decimales. Como ningún documento antiguo existente parece explicarlo, este misterio probablemente dure para siempre y tendremos que conformarnos con nuestras propias conjeturas para tratar de comprender su origen. En esta línea, podríamos pensar que, cuando aparecieron por primera vez, los ábacos de cuentas fijas fueron concebidos a imagen y semejanza de las varillas de cálculo, de las que heredaron todos los algoritmos. Con las varillas de cálculo, el uso de cinco barras para representar el número cinco era obligatorio para evitar la ambigüedad entre uno y cinco, al menos inicialmente, cuando no se usaba una representación del cero ni un tablero cuadriculado al estilo japonés. Equipar el ábaco con cinco cuentas inferiores permite una manipulación paralela o similar de cuentas y varillas, aportando algún tipo de compatibilidad de "hardware" y "software" a los ábacos de cuentas fijas; de hecho, los primeros libros chinos sobre el ábaco también se ocupaban de las varillas de cálculo, por lo que ambos instrumentos eran aprendidos al mismo tiempo. También podríamos invocar un cierto deseo de compatibilidad entre el ábaco y el sistema de notación derivado de las varillas de cálculo que, de una forma u otra, ha estado en uso hasta los tiempos modernos. Si fuéramos a anotar nuestros resultados usando tal notación, estaríamos interesados en cambiar los cincos de nuestro ábaco para que estén representados por las cinco cuentas inferiores con el fin de evitar errores de transcripción catastróficos.
Las varillas de cálculo, el ábaco más versátil y poderoso de la historia, tenía un defecto: es extremadamente lento de manipular. Como se ha explicado en la sección anterior de este libro, no es una sorpresa que los antiguos matemáticos chinos inventaran la tabla de multiplicar para acelerar la multiplicación y que también descubrieran el uso de dicha tabla de multiplicar para acelerar la división. No ha de ser, por tanto, una sorpresa que también descubrieran que las operaciones de suma y resta se podían simplificar un poco al usar la quinta cuenta inferior del ábaco. Realmente tenían que ser muy sensibles a la lentitud.
A continuación, se presenta un pequeño conjunto de reglas para el uso de la quinta cuenta junto con su razón de ser y alcance de uso. Estas reglas no se establecen explícitamente en ninguna de las obras clásicas, pero se pueden inferir de las demostraciones de suma y resta presentes en ellas[1], especialmente en el: Métodos computacionales con las cuentas en una bandeja (Pánzhū Suànfǎ 盤珠算法) de Xú Xīnlǔ 徐心魯 (1573)[2], por cierto, el libro más antiguo que se conoce enteramente dedicado al ábaco.
Notación relacionada con el uso de la quinta cuenta inferior
En lo que sigue usaremos los siguiente conceptos y forma de notación en referencia al uso (o no) de la quinta cuenta inferior (véase la figura acompañante a la derecha).
F: para denotar un cinco inferior (cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de:
5: cinco superiores (una cuenta superior activada).
T: diez en una varilla (una cuenta superior y cinco cuentas inferiores activadas). En el ábaco de tipo 5 + 2, también es un diez inferior en lugar de t un diez superior (dos cuentas superiores activadas).
Q: quince inferior en una varilla (dos cuentas superiores y cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de q quince superior (cuenta superior suspendida en el 5+2, tres cuentas superiores activadas en el 5+3).
acarreo: esto representa el número 1 cuando se debe agregar a una columna como un acarreo desde la derecha (adición).
El objetivo de la regla a1 es simplemente procurar dejar siempre una cuenta inferior sin usar a nuestra disposición para el caso de que la columna actual tenga que recibir posteriormente un acarreo desde la derecha, mientras que las reglas a2 y a3 dictan el uso de la quinta cuenta ante tal situación. Entonces, podemos esperar obtener:
una reducción del número de movimientos de dedos porque evitamos tratar con las cuentas superiores e inferiores a la vez
evitar algunos saltos de varillas y reducir el intervalo de desplazamiento izquierda-derecha de la mano
cortar cualquier "acarreo múltiple" hacia la izquierda (piense en 99999 + 1 = 999T0 en lugar de 99999 + 1 = 100000)
Las ventajas anteriores se obtienen automáticamente mediante el uso de las reglas a2 y a3, pero la regla a1 es de naturaleza diferente. La regla a1 es una previsión para el futuro, simplificará las cosas si un acarreo futuro realmente cae en la columna actual (lo que ocurre aproximadamente el 50% de las veces en promedio), pero no simplificará nada en caso contrario. La regla a1 es una especie de apuesta (las reglas para la resta a continuación también son de la misma naturaleza).
Las reglas a1, a2 y a3 son para columnas que pueden recibir un acarreo, lo que excluye la última columna a la derecha en la operación normal (es decir, operando de izquierda a derecha).
En la operación inversa (operando de derecha a izquierda), ninguna columna recibirá posteriormente un acarreo desde la derecha, por lo que la regla a1 no es aplicable, pero las reglas a2 y a3 siempre deberán usarse. (Esto se menciona porque una técnica antigua, ahora caída en el olvido, utilizaba la operación hacia la izquierda en alternancia con la operación normal en sumas y restas de varios números para evitar largos desplazamientos de la mano. No es de utilidad general, pero sí un ejercicio extremadamente interesante y recomendable para un usuario avanzado para mejorar su "comprensión de las cuentas").
Excepcionalmente, si sabe que alguna columna nunca recibirá un acarreo, también podemos olvidarlos de la regla a1. (Esto puede parece un comentario extraño aquí, pero debemos hacerlo para lo que seguirá).
s1 Utilice siempre cinco inferiores (F) en lugar de cinco superiores (5). Por ejemplo: 7-2 = F
A
A
A
A - 2 =
no
7
F
5
s2 Nunca deje una varilla despejada (0) si puede tomar prestado de la varilla inmediatamente a la izquierda (¡pero no de una más lejana!), deje T en su lugar, es decir, por ejemplo: 27-7 = 1T
A
B
A
B
B - 7 =
2
7
1
T
en lugar de 27-7 = 20.
A
B
A
B
B - 7 =
2
7
2
0
Observación
Estas dos reglas no se aplican a las varillas de las que está tomando prestado; es decir, 112-7 = 10F
Ambas reglas tienden a dejar cuentas inferiores activadas a nuestra disposición para el caso en que necesitemos tomar prestado de ellas en el futuro (es como tener dinero suelto en el bolsillo por si acaso), ahorrándonos algunos movimientos y/o desplazamientos de la mano más anchos o más complejos, como tomar prestado de columnas no adyacentes o saltar varillas.
Una vez más, la columna de la derecha está fuera del alcance de estas reglas, ya que nunca tomaremos prestado de ella.
Además, en la operación hacia la izquierda o inversa, nunca tomaremos prestado de la columna actual, por lo que estas reglas no se aplican (lo que puede verse como una razón adicional para preferir la operación hacia la derecha en el uso normal).
Diagramas del Panzhu Suanfa de Xu Xinlu (1573) para el ejercicio 123456879 (adición)Diagramas del Panzhu Suanfa de Xu Xinlu (1573) para el ejercicio 123456879 (sustracción)
Era común en los libros antiguos sobre el ábaco demostrar la suma y la resta mediante el conocido ejercicio que consiste en sumar el número 123456789 nueve veces a un ábaco puesto a cero hasta llegar al número 1111111101, y luego borrarlo nuevamente restando el mismo número nueve veces. Este ejercicio parece tener el nombre chino: "Jiǔ pán qīng" 九 盤 清, que significa algo así como "limpiar las nueve bandejas".
Precisamente, las reglas de uso de la quinta cuenta inferior ofrecidas aquí se han inferido de la demostración de suma y resta que aparece en el Panzhu Suanfa[2] de Xu Xinlu, por lo que nada mejor que emplear este ejercicio como prueba de dichas reglas. En particular, las reglas permiten reconstruir la serie de resultados intermedios que aparecen en el mencionado libro[4] tras cada adición o sustracción del número 12345689.
Para la suma:
en este punto, agregar 123456789 una vez más da como resultado 1111111101, pero este número aparece en el Panzhu Suanfa como:
TTTTTTTT1
es decir, el ábaco presenta este aspecto:
T
T
T
T
T
T
T
T
1
que no se puede obtener mediante el uso de las reglas anteriores únicamente. Una situación similar ocurre al repetir este ejercicio pero comenzando con 999999999 en lugar de un ábaco despejado (ver Tabla 2), llegando a 1TTTTTTTT0. Es por esto por lo que incluimos el último comentario sobre el alcance de las reglas de adición anteriores. Puede ser que, por inspección o intuición, nos demos cuenta de que usar la quinta cuenta aquí no genera ningún acarreo, por lo que podemos prescindir de la regla a1 y proceder a este resultado, ...un tanto teatral por lo demás.
A partir de aquí, por sustracción deberíamos obtener:
Como se puede ver, pocas F y T aparecen en los resultados intermedios de esta parte del ejercicio, pero algunas más aparecen durante el cálculo (Tabla 1), siendo inmediatamente convertidas a 4 y 9 al tomar prestado, que es el propósito para el cual fueron introducidas. Las F y T que quedan en los resultados intermedios son sólo las no utilizadas.
Veamos a continuación el detalle del ejercicio. El lector debería estudiarlo detenidamente.
Una vez que comprenda y domine el presente ejercicio, puede extenderlo para ampliar su práctica de uso de la quinta cuenta sin mas que repetirlo sobre un fondo 111111111, 222222222,..., 999999999 en lugar de 000000000. Se ofrecen a continuación los resultados parciales.
Por supuesto, las reglas para la suma también se pueden usar directamente en la multiplicación y las reglas para la resta en la división, raíces, etc. Ya lo sabe, todo lo que se puede hacer en el ábaco consiste en una sucesión de sumas y restas.
Adicionalmente, aunque la división tradicional se estudiará en capítulos posteriores, podemos dejar indicada aquí una regla adicional que le es específica y a la que podrá referirse tras estudiar la tabla de división; con ábacos 5+2 o 5+3:
k1: Utilice siempre cinco, diez y quince inferiores (F, T, Q) cuando sume al resto durante la aplicación de las reglas de división.
Esto es así porque, aunque estemos sumando a una varilla, lo siguiente que haremos será empezar a restar de la misma (si el divisor tiene más de un dígito). Es una especie de extensión de la primera regla para la resta (s1). Por ejemplo, iniciando la división87÷98:
87÷98
Ábaco
Comentario
ABCDEFG
87 98
Dividendo: AB, divisor: FG
8Q 98
A: Regla 8/9>8+8
-64
886 98
etc.
Justo después de la aplicación de la regla de división 8/9>8+8 deberíamos tener:
Regla: 8/9>8+8
A
B
C
D
E
F
G
8
Q
0
0
0
9
8
Por cierto, a veces puede encontrar algo contradictorio el uso de la segunda regla para la resta (s2) en la división tradicional. Por ejemplo, 1167/32 = 36.46875
1167/32 = 36.46875
Ábaco
Comentario
ABCDEFG
32 1167
regla 1/3>3+1
32 3267
-3*2=-6 in F, use la regla s2
-6
32 31T7
Ahora bien, ¿qué regla de división debería usarse aquí? 1/3>3+1 o 2/3>6+2? De hecho, podemos usar cualquiera de ellas y revisarlas según sea necesario, pero es más rápido darse cuenta de que el resto es en realidad 3207, de modo que la segunda regla de división es la adecuada, así que simplemente cambie las columnas EF a 62 y continue...
Ábaco
Comentario
ABCDEFG
32 3627
...
Finalmente, si está utilizando el método de multiplicación tradicional o similar en un 5+2, puede encontrarse con un desbordamiento en algunas columnas, por lo que la regla adicional:
Está claro que el uso de la quinta cuenta puede reducir el número de movimientos de cuentas o de los dedos requeridos en algunos cálculos (piense en 99999 + 1 = 999T0 frente a 99999 + 1 = 100000). Una estimación basada en el ejercicio 123456789 y algunos de sus derivados conduce a una reducción del 10% en promedio (contando los movimientos simultáneos de las cuentas superior e inferior por separado). Esta es una reducción modesta, pero la ventaja de la quinta cuenta va más allá de simplemente reducir el número de movimientos de los dedos, ya que también reduce el número y/o la extensión de otros gestos de la mano requeridos en los cálculos (desplazamientos, cambios de dirección, saltos de varillas, ...). Como ya se ha indicado en otra parte, cada gesto:
como proceso físico, tarda un tiempo en completarse,
como lo controla nuestro cerebro, requiere nuestra atención, consumiendo energía (mental o bioquímica),
como lo hacemos seres humanos (no máquinas), tiene la posibilidad de hacerse de manera incorrecta, introduciendo errores.
Bajo esta óptica, podemos esperar entonces que el uso de la quinta cuenta resulte en un cálculo algo más rápido, más relajado y fiable al reducir el número total de gestos requeridos. No es fácil medir esta triple ventaja utilizando un solo parámetro.
Saltar columnas parece haber sido visto tradicionalmente como algo que debe evitarse como una posible fuente de errores[1][3]. Sin este concepto, la regla de resta (s2) no se puede entender ya que no siempre conduce a una reducción en el número de movimientos de los dedos, pero siempre reduce el rango de movimiento de la mano y la necesidad de saltar barras.
En cualquier caso, la ventaja de usar la quinta cuenta, aunque no despreciable, es solo modesta, y cada uno debe decidir si vale la pena usarla o no. Después de acostumbrarse y dominar el uso de la quinta cuenta, no hay mejor prueba de su eficiencia que usar nuevamente un ábaco moderno 4+1, y ser sensible al trabajo adicional requerido para completar las mismas tareas con él.
Puede practicar online el uso de la quinta cuenta con Soroban Trainer (ver capítulo: Introducción) usando este fichero 123456789-5bead.sbk que tendrá que descargar a su ordenador y después subirlo a Soroban Trainer (Es un archivo de texto que puede inspeccionar con cualquier editor de texto y que puede descargar de forma segura a su computadora.).
Como hemos visto en el capítulo anterior, el "ejercicio 123456789", que consiste en sumar ese número nueve veces a un ábaco a cero hasta llegar al número 1111111101 y luego restarlo nueve veces hasta que el ábaco se despeje nuevamente, se viene utilizando desde la antigüedad para ilustrar y practicar la suma y la resta. Es un ejercicio conveniente porque:
es lo suficientemente largo como para que no sea un ejercicio trivial
si no volvemos al valor inicial (cero) es señal de que nos hemos equivocado por el camino
no necesitamos ni libro ni hoja de ejercicios
utiliza muchos de los casos elementales de suma y resta de un dígito a otro dígito
pero también tiene un par de inconvenientes:
no usa todos los pares de dígitos (por ejemplo, un 3 nunca se suma a un 5)
después de repetirlo varias veces, se comienza a memorizar mecánicamente el ejercicio, de modo que ya no estamos practicando sumas y restas
Para evitar estos dos problemas podemos modificar el ejercicio de varias formas.
Ya se ha mencionado en el capítulo anterior. En lugar de usar un ábaco puesto a cero, llenamos 9 columnas del mismo con un dígito (111111111, 222222222, etc.) y procedemos a sumar y luego restar nueve veces el número 123456789. Con esto multiplicamos por 10 el número de ejercicios a nuestra disposición y podremos estar seguros de que ahora recorremos todos los casos posibles de suma y resta dígito por dígito a la vez que la memorización mecánica se hace más difícil.
La siguiente tabla contiene los valores intermedios del ejercicio como referencia. Estos valores se recorren de arriba hacia abajo durante la fase de adición y de abajo hacia arriba en la de sustracción.
Ejercicio 123456789 sobre un fondo Resultados intermedios
+1..9
0
1
2
3
4
+1..9
0
000000000
111111111
222222222
333333333
444444444
0
1
123456789
234567900
345679011
456790122
567901233
1
2
246913578
358024689
469135800
580246911
691358022
2
3
370370367
481481478
592592589
703703700
814814811
3
4
493827156
604938267
716049378
827160489
938271600
4
5
617283945
728395056
839506167
950617278
1061728389
5
6
740740734
851851845
962962956
1074074067
1185185178
6
7
864197523
975308634
1086419745
1197530856
1308641967
7
8
987654312
1098765423
1209876534
1320987645
1432098756
8
9
1111111101
1222222212
1333333323
1444444434
1555555545
9
Ejercicio 123456789 sobre un fondo Resultados intermedios (continuación)
En lugar de usar el número 123456789, podemos pensar en usar cualquier otra permutación de estos dígitos que podamos recordar fácilmente; por ejemplo, 987654321, la única que consideraremos aquí. Esto nos ofrece otros 10 ejercicios independientes para la práctica de suma y resta. La siguiente tabla nos muestra los valores intermedios de esta nueva serie de ejercicios utilizando un fondo.
En total, ya tenemos 20 ejercicios diferentes.
Ejercicio 987654321 sobre un fondo Resultados intermedios
+9..1
0
1
2
3
4
+9..1
0
000000000
111111111
222222222
333333333
444444444
0
1
987654321
1098765432
1209876543
1320987654
1432098765
1
2
1975308642
2086419753
2197530864
2308641975
2419753086
2
3
2962962963
3074074074
3185185185
3296296296
3407407407
3
4
3950617284
4061728395
4172839506
4283950617
4395061728
4
5
4938271605
5049382716
5160493827
5271604938
5382716049
5
6
5925925926
6037037037
6148148148
6259259259
6370370370
6
7
6913580247
7024691358
7135802469
7246913580
7358024691
7
8
7901234568
8012345679
8123456790
8234567901
8345679012
8
9
8888888889
9000000000
9111111111
9222222222
9333333333
9
Ejercicio 987654321 sobre un fondo Resultados intermedios (continuación)
Si empezamos restando los números 123456879 o 987654321 y completamos el ejercicio con su suma dispondremos de otros 20 ejercicios independientes, pero tarde o temprano nos aparecerán resultados intermedios negativos. Existe una forma de representar números negativos en el ábaco, frecuentemente referida como "el otro lado" del ábaco, que estudiaremos en la sección sobre técnicas avanzadas, pero de momento es preferible mantenerse dentro de los números positivos. Para lograrlo, necesitaremos introducir un uno dos columnas a la izquierda de donde vayamos a empezar el ejercicio; por ejemplo, usando un fondo de treses:
Write caption here!
A
B
C
D
E
F
G
H
I
K
J
L
M
0
0
1
0
3
3
3
3
3
3
3
3
3
con un 1 en la columna C. Es decir, usamos el número 10 000 000 000 o como punto de partida al que sumaremos el fondo que corresponda. De este modo tendremos de dónde tomar prestado durante la sustracción y trabajaremos con números positivos durante todo el ejercicio.
Las tablas siguientes contienen los resultados intermedios para los ejercicios 123456798 y 987654321. Nótese que las tablas no contienen a la columna C; de hecho, no es necesario introducir físicamente un 1 allí, simplemente podemos tomar prestado de dicha columna cuando lo necesitemos (sí, de la nada) y tarde o temprano, a lo largo del ejercicio, llevaremos un acarreo a dicha columna devolviendo lo que tomamos prestado aunque tampoco lo hagamos constar en el ábaco. Si procedemos así, sin poner físicamente el 1 en la columna C, nos estaremos aproximando al uso del "otro lado del ábaco" para los números negativos. Vuelva por aquí cuando haya leído el capítulo correspondiente.
Ejercicio 123456789 comenzando con sustracción Resultados intermedios
-1..9
0
1
2
3
4
-1..9
0
000000000
111111111
222222222
333333333
444444444
0
1
9876543211
9987654322
98765433
209876544
320987655
1
2
9753086422
9864197533
9975308644
86419755
197530866
2
3
9629629633
9740740744
9851851855
9962962966
74074077
3
4
9506172844
9617283955
9728395066
9839506177
9950617288
4
5
9382716055
9493827166
9604938277
9716049388
9827160499
5
6
9259259266
9370370377
9481481488
9592592599
9703703710
6
7
9135802477
9246913588
9358024699
9469135810
9580246921
7
8
9012345688
9123456799
9234567910
9345679021
9456790132
8
9
8888888899
9000000010
9111111121
9222222232
9333333343
9
Ejercicio 123456789 comenzando con sustracción Resultados intermedios (continuación)
-1..9
5
6
7
8
9
-1..9
0
555555555
666666666
777777777
888888888
999999999
0
1
432098766
543209877
654320988
765432099
876543210
1
2
308641977
419753088
530864199
641975310
753086421
2
3
185185188
296296299
407407410
518518521
629629632
3
4
61728399
172839510
283950621
395061732
506172843
4
5
9938271610
49382721
160493832
271604943
382716054
5
6
9814814821
9925925932
37037043
148148154
259259265
6
7
9691358032
9802469143
9913580254
24691365
135802476
7
8
9567901243
9679012354
9790123465
9901234576
12345687
8
9
9444444454
9555555565
9666666676
9777777787
9888888898
9
Ejercicio 987654321 comenzando con sustracción Resultados intermedios
-9..1
0
1
2
3
4
-9..1
0
000000000
111111111
222222222
333333333
444444444
0
1
9012345679
9123456790
9234567901
9345679012
9456790123
1
2
8024691358
8135802469
8246913580
8358024691
8469135802
2
3
7037037037
7148148148
7259259259
7370370370
7481481481
3
4
6049382716
6160493827
6271604938
6382716049
6493827160
4
5
5061728395
5172839506
5283950617
5395061728
5506172839
5
6
4074074074
4185185185
4296296296
4407407407
4518518518
6
7
3086419753
3197530864
3308641975
3419753086
3530864197
7
8
2098765432
2209876543
2320987654
2432098765
2543209876
8
9
1111111111
1222222222
1333333333
1444444444
1555555555
9
Ejercicio 987654321 comenzando con sustracción Resultados intermedios (continuación)
Esta es la propuesta más interesante en el contexto de los métodos tradicionales. Los cuarenta ejercicios anteriores se pueden realizar utilizando la quinta cuenta inferior como se explica en detalle en el capítulo anterior; esto le permitirá dominar esta técnica tradicional. Consulte el capítulo anterior sobre la 5ª cuenta para los resultados intermedios del ejercicio 123456789.
Y finalmente, ¿por qué no? Aunque solamente sea por el placer de superar una dificultad diferente, podemos combinar los ejercicios anteriores con una dirección de operación alterna, de izquierda a derecha y de derecha a izquierda, como se explica en el capítulo introductorio de Particularidades Tradicionales de la Adición y la Sustracción.
Ejemplo de operación alternada
Abacus
Comment
ABCDEFGHIJ
Ábaco puesto a cero
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9
123456789
Primer paso completado
+9
+8
+7
+6
+5
+4
+3
+2
+1
246913578
Segundo paso completado
etc.
Con esto, podría dar un paso más en su comprensión de la mecánica de las cuentas.
Con los 160 ejercicios aquí presentados, ya no tiene excusa, puede practicar sumas y restas durante horas en cualquier momento, sin hojas de ejercicios, quizás mientras está cómodamente sentado en su sofá, con su ábaco apoyado en las rodillas y mientras ve la televisión...
División según Sunzi de 309 por 7 usando varillas de cálculo
De las cuatro operaciones aritméticas fundamentales, la división es probablemente la más difícil de aprender y realizar. Al ser básicamente una secuencia de restas, existe una gran cantidad de algoritmos o métodos para realizarla y muchos de estos métodos se han utilizado con el ábaco.[1][2]. De estos, dos destacan por su eficiencia y deben considerarse los principales:
El método de división moderno (MD), shojohou en japonés, shāng chúfǎ en chino (商除法); el más antiguo de los dos, su origen se remonta al menos a los siglos III al V d.C., como se cita en el libro: El Clásico Matemático del Maestro Sun (Sūnzǐ Suànjīng 孫子算經). Si lo llamamos moderno es porque es el que se enseña habitualmente en la actualidad al ser el más parecido a la división con papel y lápiz. Este método de división se basa en el uso de la tabla de multiplicar. Durante el período Edo fue introducido en Japón por Momokawa Jihei.[3], pero no ganó popularidad[4] hasta el siglo XX con el desarrollo de lo que hemos venido llamando Método Moderno.
El método de división tradicional (TD), kijohou (帰除法) en japonés, guī chú (帰除) en chino , descrito por primera vez en la Ilustración matemática (Suànxué Qǐméng, 算學啟蒙) de Zhū Shìjié 朱士傑 (1299)[5]. Su principal peculiaridad es que utiliza una tabla de división además de la tabla de multiplicar, lo que ahorra el esfuerzo mental de determinar qué cifra provisional del cociente tenemos que probar. Además, podemos crear tablas de división especiales para divisores de varios dígitos; lo que nos ahorrará el uso de la tabla de multiplicar.
Ambos métodos se utilizaron por primera vez en China con varillas de cálculo.
En los capítulos siguientes nos ocupamos del método tradicional de división, asumiendo que el lector ya tiene experiencia con el método moderno de división.
En este capítulo tratamos de mostrar cómo los métodos modernos y tradicionales, aparentemente tan diferentes, están realmente estrechamente relacionados, a la vez que tratamos de justificar por qué se inventó este método.
Cómo hacer frente a la disposición tradicional de la división (TDA) utilizando diferentes tipos de ábaco, especialmente el moderno 4+1 y el tradicional japonés 5+1.
Es conveniente que el lector tenga fresco en la memoria el capítulo sobre la división moderna de la sección: Métodos del Ábaco Moderno; en particular lo que allí llamamos:
El punto clave
Uno de los puntos clave del aprendizaje del ábaco es ser conscientes de que este instrumento nos permite corregir algunas cosas de forma muy rápida y sin dejar rastros, lo que convierte al ábaco en un instrumento especialmente indicado para procedimientos de prueba y error. Esto nos es especialmente útil en el caso de la división. Si tenemos que dividir , en lugar de forzar nuestra mente tratando de encontrar la cifra correcta del cociente, simplemente elegimos una cifra aproximada provisional o interina simplificando el problema original a y la probamos intentando restar el trozo (cociente provisional)✕79283 del dividendo; al hacerlo, ocurrirá una de las siguientes situaciones:
El dígito del cociente provisional es correcto
Es excesivo y debemos revisarlo a la baja
Es insuficiente y debemos revisarlo al alza
ya que es este punto clave lo que nos señala la tremenda similitud entre las dos aproximaciones, tradicional y moderna, a la división; así como la pequeña diferencia que nos conducirá a un algoritmo completamente diferente. Recordemos también uno de los ejemplos vistos en dicho capítulo:
En lugar de intentar resolver directamente el problema original 1225÷35 o la aproximación utilizada en MD 12÷3, simplificamos aún más y tratamos de resolver 10÷3; es decir, utilizamos un enfoque más crudo del problema original al ignorar el segundo dígito del dividendo, por lo que debemos prepararnos para revisar el cociente intermedio con más frecuencia. Con este cambio de enfoque de 12÷3 a 10÷3 estamos adoptando la filosofía de TD; la cual es sólo una ligera variación de la técnica de división por trozos utilizada en MD. Es por esta razón por lo que podemos considerar ambas técnicas de división como parientes cercanos, miembros de la familia de algoritmos de división por trozos.
Por supuesto, si el lector ya ha desarrollado cierta habilidad dividiendo por el método moderno, no hallará ninguna dificultad en aplicar esta nueva aproximación. Así, el ejemplo anterior discurriría de la forma:
1225÷35 con la nueva filosofía
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJ
35 1225
10÷3↦3 por la tabla de multiplicar
+3
cociente provisional en F
35 31225
sustraer 3✕35 from GHI,
-09
primero 3✕3 from GH
35 3 325
-15
luego 3✕5 from HI
35 3175
ok.
35 3 175
10÷3↦3 por la tabla de multiplicar
+3
cociente provisional en G
35 33175
sustraer 3✕35 from HIJ,
-09
primero 3✕3 de HI
35 33 85
-15
ahora 3✕5 de IJ
35 33 70
resto mayor que el divisor (35)
+1-35
revisamos al alza
35 34 35
resto igual que el divisor (35)
+1-35
revisamos al alza otra vez
35 35
resto nulo, hecho! 1225÷35 = 35
Fíjese en que
MD y TD (tal y como se ha explicado hasta ahora) se pueden entremezclar libremente durante el mismo problema de división. Este es un ejercicio interesante y recomendable que permite comparar ambas estrategias una junto a la otra.
TD utiliza una aproximación más simple y por defecto del problema original que MD, por lo que podemos prever algunos pros y contras
Pros
Algunos pueden encontrar este enfoque más simple
Será necesario revisar a la baja con menos frecuencia (revisar hacia a la baja suele ser más difícil y propenso a errores que revisar al alza)
Contras
Necesitamos revisar el cociente provisional con más frecuencia, ya que la aproximación seguida es mas rudimentaria, lo cual es un problema de eficiencia.
Los dos pros anteriores probablemente jugaron un papel en el desarrollo de la técnica sofisticada que conocemos como división tradicional, pero entender por qué fue el método preferido durante siglos, a pesar del contra anterior, requiere reflexionar sobre el origen del esfuerzo mental realizado durante la división y descubrir la belleza oculta de TD.
Cuando aprendemos la tabla de multiplicar, memorizamos una secuencia de frases como:
“nueve por nueve, ochenta y uno”
“nueve por ocho, setenta y dos”
...
El orden en el que se aprenden estas frases puede variar, pero la estructura de las frases es similar en muchos idiomas, al menos en español e inglés al igual que en chino y japonés. Consiste en una etiqueta que contiene los dos factores a multiplicar seguidos del producto. Tan pronto como pensamos en la etiqueta, ésta, actuando como una invocación, trae a nuestra conciencia el valor del producto. Representémoslo de la siguiente manera (lea ➡ como la invocación):
Lengua
Etiqueta
Producto
Español
nueve por nueve
➡
ochenta y uno
Inglés
nine times nine
➡
eighty-one
Chino
九九
➡
八十一
Japonés
くく
➡
はちじゅういち
Symbólico
9✕9
➡
81
¿Cómo usamos esta tabla de multiplicar durante la división? Pensemos en nuestro ejemplo anterior usando shojohou o el método de división moderno: 17÷3↦5, de la tabla de multiplicación por tres necesitamos el producto más grande que se puede restar de 17. Necesitamos escanear en nuestra memoria (representado por ⤷) al menos parte de dicha tabla y por cada producto rescatado, ver si es menor de 17 y elegir el máximo de los productos menores que 17. Un proceso complicado que se puede representar como:
3✕1
➡
3
3✕2
➡
6
⤷
3✕3
➡
9
sí
⤷
3✕4
➡
12
sí
⤷
3✕5
➡
15
sí
¡seleccionamos este!
⤷
3✕6
➡
18
no
3✕7
➡
21
3✕8
➡
24
3✕9
➡
27
Este proceso consume tiempo y energía. Los especialistas en informática pueden encontrar una similitud entre este proceso y la búsqueda en una tabla de una base de datos relacional por datos en una columna no indexada; la ineficacia de tal búsqueda es bien conocida. La creación de un nuevo índice para esa tabla en función de la columna y los criterios de búsqueda puede mejorar drásticamente las cosas. ¿Podemos hacer algo similar en nuestro caso para que la división sea más cómoda?
Indexando la tabla de multiplicar; la tabla de dividir
Para hacer algo similar a indexar la tabla de multiplicar en términos de los productos para facilitar la búsqueda, debemos memorizar frases nuevas que contengan esos productos como etiquetas; es decir, frases que comiencen con ellos; por ejemplo:
Etiqueta
Cociente
3/3
1
6/3
2
9/3
3
12/3
4
15/3
5
18/3
6
21/3
7
24/3
8
27/3
9
Es decir, tenemos que memorizar una tabla de división, lo cual es un trabajo duro. Piense también que la tabla anterior no es óptima en el sentido de que faltan muchos de los números entre 1 y 29; quizás deberíamos memorizar una tabla del siguiente estilo en su lugar:
Etiqueta
Cociente
Resto
1/3
0
1
2/3
0
2
3/3
1
0
4/3
1
1
5/3
1
2
…
…
…
27/3
9
0
28/3
9
1
29/3
9
2
donde la tercera columna contiene los restos de la división euclídea. Probablemente esté de acuerdo en que memorizar una tabla de este tipo está fuera del alcance de la mayoría de las personas (¡piense en la tabla para 9!).
Si dedicásemos toda una vida a dividir con el ábaco usando el método moderno terminaríamos enfrentándonos con todas las divisiones elementales posibles del tipo ab÷c, donde a, b y c son dígitos y ab<c0, aproximadamente unas 360 en total. Sin embargo, si usásemos la división tradicional tal y como se ha explicado aquí hasta ahora, nos enfrentaríamos con todas las divisiones elementales del tipo a0÷c, es decir 10✕a÷c con a0<c0, ¡sólo 36 en total! Esto hace viable la memorización de una tabla de división. De hecho, para dividir por 3 basta con memorizar:
Etiqueta
Cociente
Resto
10/3
3
1
20/3
6
2
o, en una forma simbólica más compacta
Regla
1/3 > 3+1
2/3 > 6+2
que podemos usar directamente para resolver nuestro ejemplo sin pensar, simplemente eligiendo la cifra sugerida por la regla como cociente intermedio:
1225÷35 = 35 usando reglas de división
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJ
35 1225
Regla: 1/3 > 3+1
+3
cociente interino 3 en F
35 31225
sustraer 3✕35 de GHI,
-09
primero 3✕3 de GH
35 3 325
-15
después 3✕5 de HI
35 3 175
ok.
35 3 175
Regla: 1/3 > 3+1
+3
cociente interino 3 en G
35 33175
sustraer 3✕35 from HIJ,
-09
primero 3✕3 de HI
35 33 85
-15
ahora 3✕5 de IJ
35 33 70
resto mayor que el divisor (35)
+1-35
revisando al alza
35 34 35
resto igual al divisor (35)
+1-35
revisando al alza otra vez
35 35
Resto nulo, ¡hecho! 1225÷35 = 35
pero aún no hemos hecho uso del resto que aparece en las reglas después del signo más, por lo que todavía no estamos usando la mecánica completa de la división tradicional; ese y otros temas se cubrirán en el próximo capítulo.
Concluyamos el presente capítulo ofreciendo una primera visión de la tabla de división completa utilizada en TD. Todos los elementos se obtienen de los términos a0÷c por división euclídea.
Tabla de División
1/9>1+1
2/9>2+2
3/9>3+3
4/9>4+4
5/9>5+5
6/9>6+6
7/9>7+7
8/9>8+8
9/9>9+9
1/8>1+2
2/8>2+4
3/8>3+6
4/8>5+0
5/8>6+2
6/8>7+4
7/8>8+6
8/8>9+8
1/7>1+3
2/7>2+6
3/7>4+2
4/7>5+5
5/7>7+1
6/7>8+4
7/7>9+7
1/6>1+4
2/6>3+2
3/6>5+0
4/6>6+4
5/6>8+2
6/6>9+6
1/5>2+0
2/5>4+0
3/5>6+0
4/5>8+0
5/5>9+5
1/4>2+2
2/4>5+0
3/4>7+2
4/4>9+4
1/3>3+1
2/3>6+2
3/3>9+3
1/2>5+0
2/2>9+2
1/1>9+1
El lector probablemente se sentirá sorprendido al contemplar los elementos de la diagonal señalados en gris tales como 9/9>9+9, 8/8>9+8, etc. La división euclídea de 90 por 9 da un cociente de 10 y un resto de cero, ¿Por qué se indica aquí un cociente de 9 y un resto de 9? Como veremos, tales reglas son especiales en cierto sentido.
El método de división tradicional (TD), kijohou , guī chúfǎ (帰除法), es uno de los dos métodos principales de división utilizados con el ábaco. Este método utiliza tanto la tabla de multiplicar como una tabla de división específica y ha sido el método estándar estudiado con el ábaco durante al menos 4 siglos, perdiendo popularidad en la década de 1930 por las razones que ya han sido comentadas. Como algoritmo de división dígito a dígito lo hemos presentado en el capítulo anterior comparándolo al método de división moderno; haciendo hincapié en su especial característica: no requiere pensar en qué dígito provisional probar, sino sólo seguir las reglas. En el presente capítulo veremos cómo llevarlo efectivamente a la práctica con el ábaco.
En el capítulo anterior se ha introducido la siguiente tabla de división o tabla de dividir (八算, Hassan en japonés, Bāsuàn en chino):
Tabla de División
1/9>1+1
2/9>2+2
3/9>3+3
4/9>4+4
5/9>5+5
6/9>6+6
7/9>7+7
8/9>8+8
9/9>9+9
1/8>1+2
2/8>2+4
3/8>3+6
4/8>5+0
5/8>6+2
6/8>7+4
7/8>8+6
8/8>9+8
1/7>1+3
2/7>2+6
3/7>4+2
4/7>5+5
5/7>7+1
6/7>8+4
7/7>9+7
1/6>1+4
2/6>3+2
3/6>5+0
4/6>6+4
5/6>8+2
6/6>9+6
1/5>2+0
2/5>4+0
3/5>6+0
4/5>8+0
5/5>9+5
1/4>2+2
2/4>5+0
3/4>7+2
4/4>9+4
1/3>3+1
2/3>6+2
3/3>9+3
1/2>5+0
2/2>9+2
1/1>9+1
donde cada celda es el resultado de la división euclídea:
(: cociente, : resto, dígitos de 1 a 9) expresado en la forma por razones que veremos a continuación. Esto significa que se cumple lo siguiente:
Aunque ya hemos señalado al final del capítulo anterior que las reglas diagonales (en gris) son especiales; son un tanto excepcionales en el sentido de que que el resto de la división euclídea siempre es menor que el divisor, lo cual no es el caso aquí, por lo que estas reglas no son el resultado de una división euclídea en sentido estricto aunque satisfagan la ecuación anterior. En breve podremos explicar su especial naturaleza.
La tabla tiene tres zonas que corresponden a lo siguiente: Si el divisor tiene cifras y lo comparamos con los primeros dígitos del dividendo contados desde la izquierda (añadiendo ceros finales si fuera necesario), pueden ocurrir tres casos:
que el dividendo sea mayor o igual que el divisor (ej. )
que el dividendo sea menor que el divisor y el primer dígito del divisor sea igual al primer dígito del dividendo (por ejemplo, )
que el dividendo sea menor que el divisor y el primer dígito del divisor sea mayor que el primer dígito del dividendo (por ejemplo, )
Las tres zonas de la tabla se corresponden con estos tres casos:
Las celdas en blanco bajo la diagonal de la tabla de división corresponden al caso 1. Podrían rellenarse al estilo de las tablas que se pueden ver en otros lugares[1], pero las dejamos vacías aquí por simplicidad. Si durante la división caemos en esta zona, procederemos, al menos por ahora, simplemente revisando al alza el dígito anterior del cociente tal y como veremos en los ejemplos que seguirán.
Los elementos diagonales (en gris) corresponden al caso 2, lo cual sólo puede ocurrir si el divisor tiene al menos dos dígitos.
Finalmente, los demás elementos no diagonales corresponden al caso 3, que puede considerarse el más importante de estudiar.
Ahora sí, ya podemos explicar lo que las reglas diagonales tienen de especial. Si pensamos en el ejemplo dado arriba: , si tratamos de aplicar la filosofía de la división tradicional, tal y como se introdujo en el capítulo anterior, deberíamos simplificar el problema a , lo que nos conduce a un cociente de 10 y un resto nulo; pero dicho cociente de 10 es excesivo de entrada ya que y no podríamos restarlo del dividendo. Estamos forzados, por tanto, a revisar a la baja el divisor y considerar 9, en lugar de 10, como cociente provisional y aceptar 6 como resto de la división . Podemos entender por tanto las reglas diagonales como el resultado de una división euclídea, en sentido estricto, inmediatamente seguida de una revisión a la baja.
No hay duda de que memorizar la tabla de división requiere una inversión de tiempo y esfuerzo. Por ello, al lector le interesaría probar el método para saber si le interesa o no antes de realizar dicha inversión. Afortunadamente, las reglas de división por nueve, cinco y dos tienen una estructura muy simple que permiten memorizarlas casi instantáneamente (ver más abajo); también los elementos diagonales para divisores de varios dígitos se pueden retener inmediatamente. Esto significa que podemos aprender esta técnica tradicional sin mucho esfuerzo utilizando divisores que comienzan con 9, 5 o 2 y así poder decidir si vale la pena dedicar tiempo a aprender toda la tabla o no. En lo que sigue usaremos ejemplos basados en tales divisores.
Supongamos que vamos a dividir 35 entre 9, la regla 3/9>3+3 nos dice que debemos usar 3 como cociente intermedio y el siguiente paso será restar el producto 3✕9 = 27 de 35, dejando un resto de 8. Si también memorizamos los restos, podemos ahorrarnos este paso de multiplicación de la siguiente manera: quitamos, limpiamos o borramos el primer dígito del dividendo, en este caso 3, luego sumamos el resto (3) a la siguiente cifra (5) del dividendo. De esta forma obtenemos el mismo resultado pero sin utilizar la tabla de multiplicar. Con divisores de un dígito nunca tendremos que recurrir a la tabla de multiplicar, y en el caso de divisores con varias cifras, procediendo de la misma forma, nos ahorraremos una de las multiplicaciones necesarias. Lo veremos en el ábaco a continuación, pero primero necesitamos añadir algo sobre cómo vamos a organizar la división en el ábaco.
Se supone que el lector ya ha estudiado el método moderno del ábaco y la división moderna tal como se ha explicado en la sección precedente de este libro y que se corresponde con el método divulgado en lengua inglesa por Takashi Kojima.[2]. En particular, ya conoce cómo organizar la división sobre un ábaco 4+1, por lo que en los ejemplos siguientes ilustraremos la división tradicional usando la misma disposición con la que ya está familiarizado para que pueda seguirla más fácilmente y usar su ábaco de tipo 4+1 habitual si lo desea. Llamaremos a esta organización Disposición moderna de la división (o MDA, por sus siglas en inglés), pero esta disposición no es la forma en que la división se organizaba tradicionalmente en el ábaco. Más adelante, presentaremos la Disposición tradicional de la división (TDA) que, como veremos, tiene algunas ventajas y algunos inconvenientes, incluyendo la necesidad (o al menos la conveniencia) de utilizar un ábaco especializado con cuentas superiores adicionales.
Mientras use MDA puede usar las mismas reglas que ya conoce sobre la posición de la varilla unitaria si las necesita.
Veamos ahora el caso de la división 35÷9 del párrafo anterior, primero sin usar los restos (de la regla):
35÷9 sin usar los restos (de la regla)
Ábaco
Comentario
ABCDEFGH
9 35
Divisor en A, dividendo en GH, regla: 3/9>3+3
+3
cociente provisional 3 en E
9 335
-27
restar 3✕9=27 de GH
9 3 8
nuevo resto/dividendo en H
...
...
Y ahora usando los restos:
35÷9 usando los restos (de la regla)
Ábaco
Comentario
ABCDEFGH
9 35
Divisor en A, dividendo en GH, regla: 3/9>3+3
+3
cociente provisional 3 en E
9 335
-3
borrar primer dígito del dividendo en G
9 3 5
9 +3
sumar el resto 3 de la regla a H
9 3 8
nuevo resto/dividendo en H
...
...
es decir
Cuando se usa MDA, la regla a/b>q+r se debe leer: "introducir q como dígito provisional del cociente a la izquierda de a, borrar a y sumar r a la cifra de la derecha”
El número 123456789 se ha utilizado tradicionalmente para demostrar el uso de las tablas de multiplicar y dividir en libros antiguos chinos[3] y japoneses[4][5]. Aquí lo usaremos con los "divisores fáciles" 9, 5 y 2.
Considere, por ejemplo, , en este caso es conveniente pensar en el divisor como compuesto por un divisor propiamente dicho (el primer dígito) seguido de un multiplicador (el resto de los dígitos del divisor), es decir, , donde es el divisor (9) y es el multiplicador (728). Los nombres en chino y japonés para este método de división (帰除 Guīchú en chino, 帰除法 Kijohou en japonés) se refieren a esto: 帰, Guī , Ki es el divisor propiamente dicho y 除, chú , jo es el multiplicador[6].
En este caso, la forma de actuar es la siguiente:
Primero consideramos solo el divisor y hacemos exactamente lo mismo que en el caso del divisor de un solo dígito, es decir, seguimos la regla de división: obtenemos el cociente intermedio y sumamos el resto (de la regla) a la columna adyacente
Luego restamos el producto del dividendo si podemos; de lo contrario, tenemos que revisar a la baja y devolver al resto o dividendo usando las siguientes reglas:
Reglas para revisar a la baja
Mientras se divide por:
Revisar q a:
Sumar al resto:
1
q-1
+1
2
q-1
+2
3
q-1
+3
4
q-1
+4
5
q-1
+5
6
q-1
+6
7
q-1
+7
8
q-1
+8
9
q-1
+9
Con esto, devolveremos al resto o dividendo lo que hemos restado de más al usar la regla de división errónea; pero si el multiplicador tiene más de una cifra y ya hemos procesado varias de ellas cuando reparamos en que el cociente provisional es excesivo, también tendremos que devolver lo sustraído de más sumando los dígitos que hemos usado del multiplicador (véase el ejemplo más abajo).
revisión a la baja devolviendo el exceso restado de IJK
5928 3 5951
-24
continuando normalmente, restar 3✕8=24 de KL
5928 3 5927
Regla 5/5>9+5
...
etc.
En este ejemplo el divisor es 5 y el multiplicador es 928. Cuando reparamos en que 4 es un cociente excesivo ya hemos restado del dividendo el producto de 4 por las dos primeras cifras del multiplicador (92); por lo tanto, para revisar a la baja y devolver al dividendo lo que hemos sustraído de más, deberemos:
Sumar 5 a la primera cifra del dividendo en I (de acuerdo a la tabla de arriba) para corregir lo que la aplicación de la regla se ha llevado de más.
Sumar las cifras usadas del multiplicador (92) a JK, que es lo que nos hemos llevado de más al sustraer en lugar de .
Ambas cosas combinadas se traducen en la suma de 592 al resto realizada arriba en IJK.
Como se comentó anteriormente, hay dos formas básicas de organizar los problemas generales de división. Veámoslos uno al lado del otro:
Disposición moderna de la división (MDA), como lo explica Kojima[2] y como se ha explicado en el capítulo correspondiente de este libro,
MDA 25÷5=5
Ábaco
Comentario
ABCDEF
5 25
El dividendo empieza en E
5 5
Trás la división el cociente empieza en D
Disposición tradicional de la división (TDA), usada en los libros antiguos desde los tiempos de las varillas de cálculo[7] hasta la primera parte del siglo XX[8],
TDA 25÷5=5
Ábaco
Comentario
ABCDEF
5 25
El dividendo empieza en E
5 5
Trás la división el cociente empieza en E
Hasta ahora hemos utilizado MDA con la división tradicional sin ningún problema. TDA, sin embargo, es problemático con cualquier método de división, incluido el tradicional. Esta naturaleza problemática se debe a una colisión entre el divisor y el dividendo/resto que ocurre con frecuencia (es decir, ambos requieren el uso simultáneo de la misma columna), y se necesitan técnicas o ábacos especiales para hacer frente a esta colisión. A pesar de esto, la TDA se ha utilizado durante siglos junto con el método tradicional de división, al menos desde el siglo XIII, mientras que el MDA se ha dejado de lado hasta los tiempos modernos. Está claro que se pueden reconocer ciertas ventajas a TDA, pero no está tan claro que sean suficientes para justificar su uso histórico:
Utiliza una varilla menos
El resultado no se desplaza demasiado hacia la izquierda como en MDA, lo cual es de interés en el caso de operaciones encadenadas. Esto y el puntos anterior hacen que TDA sea más adecuado para ábacos con un número reducido de columnas, como el tradicional suanpan/soroban de 13 varillas.
Ahorra algunos movimientos de los dedos; por ejemplo, la operación 6231÷93 = 67 puede hacerse en 14 movimientos usando la división tradicional con TDA mientras que son necesarios 24 con MDA.
Los desplazamientos de las manos son más cortos.
Es menos propenso a errores ya que se saltan menos columnas.
Suanpan mostrando de 8 a 20 de izquierda a derecha, ilustrando el uso de las cuentas adicionales y "suspendidas".
La forma de tratar con la colisión mencionada es aceptar que la primera columna del dividendo o resto, después de la aplicación de las reglas de división, puede desbordar y tomar temporalmente un valor superior a 9 (hasta 18 es necesario en algunos casos), al tiempo que proporcionar algún mecanismo para hacer frente a tal desbordamiento. Curiosamente, parece que ningún texto antiguo explica cómo hacer esto último, aunque está claro que en el caso de un ábaco 5+2 o 5+3 usaremos las cuentas superiores adicionales para representar los valores de 10 a 20 en la columna desbordada, recurriendo a la cuenta suspendida (懸珠 xuán zhū en chino , kenshu en japonés) en el caso del ábaco 5+2. La tercera cuenta o la cuenta suspendida se requiere sólo en aproximadamente el 1% de los casos, lo que justifica la adopción del modelo 5+2 como el estándar en lugar del 5+3. En un capítulo posterior veremos cómo hacer frente al desbordamiento en un ábaco con sólo una cuenta superior.
Cuando se usa TDA
la regla a/b>q+r debe leerse: "cambiar a a q como dígito del cociente intermedio y sumar r a la cifra de la derecha".
Con TDA, la regla para encontrar la columna unidad es la siguiente
La columna de las unidades de los cocientes se ubica columnas a la izquierda de la columna de las unidades del dividendo; donde es el número de dígitos del divisor a la izquierda de su punto decimal (¡que puede ser negativo!).
La siguiente tabla muestra los valores de para algunos divisores:
Divisor
n
32.7
2
3.27
1
0.327
0
0.00327
-2
Para ver ejemplos de TD usando TDA, consulte el capítulo: Ejemplos de división tradicional.
Acerca de la eficiencia de la división tradicional
Como puede ver en los ejemplos con divisores de un solo dígito, la eficiencia de TD se deteriora a medida que el divisor comienza con cifras más bajas, en el sentido de que tenemos que revisar al alza con más frecuencia. Podemos decir que la eficiencia es nula cuando el divisor empieza por 1; de hecho, ni siquiera tenemos reglas de división excepto 1/1> 9+1 (que es "estadísticamente" excesiva, consulte el capítulo: Aprender la tabla de división). Para este último caso, el truco es dividir por 2 in situ (capítulo: División por potencias de dos) tanto el divisor como el dividendo, lo cual es muy rápido, y proceder a dividir ambos resultados normalmente; ahora el divisor comenzará con un dígito entre 5 y 9 y la división tradicional resultará más eficiente. Por ejemplo:
Para dividir in situ por dos, simplemente trabaje de derecha a izquierda borrando un dígito de cada vez y sumando en su lugar su mitad:
Ilustrando la división in situ por 2
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHI
16 128
División por 2 in situ
16 124
mitad de 8
16 114
mitad de 2
16 64
mitad de 1
13 64
mitad de 6
8 64
mitad de 1
8 64
Regla 6/8>7+4
8 7 8
+1-8
revisión al alza
8 8
¡Hecho!
En otros casos, nuestra intuición y experiencia con MD podrían ayudarnos.
Esta menor eficiencia de TD en comparación con MD es el precio a pagar para ahorrarnos el trabajo mental de deducir la cifra del cociente provisional que tenemos que probar.
La tabla de división contiene 45 reglas, incluidos los 9 elementos diagonales para divisores de varios dígitos.
Tabla de División (八算, Hassan, Bā suàn)
1/9>1+1
2/9>2+2
3/9>3+3
4/9>4+4
5/9>5+5
6/9>6+6
7/9>7+7
8/9>8+8
9/9>9+9
1/8>1+2
2/8>2+4
3/8>3+6
4/8>5+0
5/8>6+2
6/8>7+4
7/8>8+6
8/8>9+8
1/7>1+3
2/7>2+6
3/7>4+2
4/7>5+5
5/7>7+1
6/7>8+4
7/7>9+7
1/6>1+4
2/6>3+2
3/6>5+0
4/6>6+4
5/6>8+2
6/6>9+6
1/5>2+0
2/5>4+0
3/5>6+0
4/5>8+0
5/5>9+5
1/4>2+2
2/4>5+0
3/4>7+2
4/4>9+4
1/3>3+1
2/3>6+2
3/3>9+3
1/2>5+0
2/2>9+2
1/1>9+1
La misma cantidad de elementos independientes que encontramos en la tabla de multiplicar (dada la conmutatividad de esta operación) cuya memorización fue una de las hazañas de nuestra infancia en la escuela. Memorizar la tabla de división es, por tanto, una tarea similar a aprender la tabla de multiplicar.
Estas reglas:
Desde un punto de vista operativo, estas reglas deben leerse o interpretarse de manera ligeramente diferente dependiendo de si usamos la disposición de división tradicional (TDA) o la moderna (MDA).
cuando se usa MDA, se debe leer la regla a / b> q + r: “poner q como dígito del cociente intermedio a la izquierda, borrar a y sumar r a la derecha ”
Cuando se usa TDA, se debe leer la regla a / b> q + r: “cambiar a por q como dígito del cociente intermedio y sumar r a la derecha ”
Desde un punto de vista teórico, cada regla expresa el resultado de una división euclidiana:
(: cociente, : resto, dígitos del 1 al 9) o, de manera equivalente,
Si pensamos en este último punto, de hecho no es necesario memorizar las reglas de división ya que las podemos obtener in situ, cuando las necesitemos, mediante un simple proceso mental. Pero entonces estaríamos haciendo un esfuerzo mental similar al requerido con el método moderno de división y no estaríamos disfrutando de la gran ventaja que nos ofrece el método tradicional. Sin duda, la eficacia y bondad del método tradicional solo se logra memorizando las reglas, y sólo debemos recurrir al proceso mental mencionado cuando alguna regla se resiste a venir a la memoria durante la fase de aprendizaje.
Afortunadamente, una serie de patrones que aparecen en la tabla de división vienen en nuestra ayuda haciéndonos más fácil aprenderla, dejando solo 14 reglas duras de un total de 45.
En el capítulo: Guía para la división tradicional ya mencionamos que las reglas de división por 9, 5 y 2, así como las reglas diagonales, tienen una estructura particularmente simple que permiten una memorización casi inmediata.
Reglas fáciles de memorizar
Diagonal
División por 9
División por 5
División por 2
1/1>9+1
1/9>1+1
1/5>2+0
1/2>5+0
2/2>9+2
2/9>2+2
2/5>4+0
3/3>9+3
3/9>3+3
3/5>6+0
4/4>9+4
4/9>4+4
4/5>8+0
5/5>9+5
5/9>5+5
6/6>9+6
6/9>6+6
7/7>9+7
7/9>7+7
8/8>9+8
8/9>8+8
9/9>9+9
Por esta razón, los ejemplos presentados en dicho capítulo sólo hicieron uso de divisores con 2,5 y 9 como primer dígito. Si practica varios ejemplos con tales divisores, no le será difícil memorizar estas 22 reglas (¡casi la mitad del total!); lo que supone una drástica reducción del trabajo a realizar y no la única ayuda a recibir.
De las reglas restantes, las de división por 8 es la serie más larga pero no la más difícil, ya que tiene una estructura interna:
Reglas de división por 8
1/8>1+2
5/8>6+2
2/8>2+4
6/8>7+4
3/8>3+6
7/8>8+6
4/8>5+0
Dejando a un lado 4/8>5+0 (piense en esto como 8x5 = 40), las dos sub-series 1, 2, 3 y 5, 6, 7 tienen los mismos residuos y los cocientes son tan simples como 1, 2, 3 y 6, 7, 8; así que, sin duda, esta no será la serie que le resultará más difícil de aprender.
Finalmente, como último recurso para aprender, observe la siguiente serie de términos adyacentes a la diagonal de la tabla.
Reglas subdiagonales
4/5>8+0
5/6>8+2
6/7>8+4
7/8>8+6
8/9>8+8
En realidad, solo hay dos reglas nuevas aquí, pero captar la estructura de la tabla anterior también lo ayudará a memorizar las reglas para los divisores 5, 8 y 9.
Lo que sigue es una simple nota histórica con poca o ninguna relevancia práctica.
La tabla de multiplicar estudiada por el lector probablemente contiene los 81 productos de dos dígitos en cualquier orden; es decir, incluye tanto 8x9 = 72 como 9x8 = 72, lo cual es innecesario dada la conmutatividad de la multiplicación. Por el contrario, en chino o japonés sólo contenía uno de los términos de estos pares 8x9 = 72; siempre con el primer factor menor o igual que el segundo[1][2]. Por otro lado, las reglas de división se enunciaron dando primero el divisor que siempre es mayor que el dividendo, a excepción de las reglas que hemos llamado diagonales en las que es igual. Esto permite concebir una tabla combinada de multiplicación-división que cubra todo el "espacio" de pares de dígitos como operandos:
Tabla combinada de multiplicación y división
9✕9 81
9\8 8+8
9\7 7+7
9\6 6+6
9\5 5+5
9\4 4+4
9\3 3+3
9\2 2+2
9\1 1+1
8✕9 72
8✕8 64
8\7 8+6
8\6 7+4
8\5 6+2
8\4 5+0
8\3 3+6
8\2 2+4
8\1 1+2
7✕9 63
7✕8 56
7✕7 49
7\6 8+4
7\5 7+1
7\4 5+5
7\3 4+2
7\2 2+6
7\1 1+3
6✕9 54
6✕8 48
6✕7 42
6✕6 36
6\5 8+2
6\4 6+4
6\3 5+0
6\2 3+2
6\1 1+4
5✕9 45
5✕8 40
5✕7 35
5✕6 30
5✕5 25
5\4 8+0
5\3 6+0
5\2 4+0
5\1 2+0
4✕9 36
4✕8 32
4✕7 28
4✕6 24
4✕5 20
4✕4 16
4\3 7+2
4\2 5+0
4\1 2+2
3✕9 27
3✕8 24
3✕7 21
3✕6 18
3✕5 15
3✕4 12
3✕3 9
3\2 2+6
3\1 3+1
2✕9 18
2✕8 16
2✕7 14
2✕6 12
2✕5 10
2✕4 8
2✕3 6
2✕2 4
2\1 5+0
1✕9 9
1✕8 8
1✕7 7
1✕6 6
1✕5 5
1✕4 4
1✕3 3
1✕2 2
1✕1 1
Donde hemos alterado la redacción de nuestras reglas de división para adaptarlas al orden de los argumentos utilizados en chino. Para resaltar este hecho, hemos reemplazado "/" por "\", por lo que las reglas de división tal como aparecen en la tabla anterior deben interpretarse en la forma: Lea a \ b c + d: como: a cabe en b0c veces dejando d como resto.
La tabla combinada tiene 81 elementos o reglas, a las que debemos sumar las reglas diagonales
Diagonal
1/1>9+1
2/2>9+2
3/3>9+3
4/4>9+4
5/5>9+5
6/6>9+6
7/7>9+7
8/8>9+8
9/9>9+9
y las reglas de revisión dadas en el capítulo anterior.
Reglas para revisar a la baja
Mientras se divide por:
Revisar q a:
Sumar al resto:
1
q-1
+1
2
q-1
+2
3
q-1
+3
4
q-1
+4
5
q-1
+5
6
q-1
+6
7
q-1
+7
8
q-1
+8
9
q-1
+9
que eran estudiadas por separado. Esto suma un total de 99 reglas a las que podemos sumar las aproximadamente 50 reglas de suma y resta. El aprendizaje tradicional del ábaco consistía fundamentalmente en la memorización y práctica de estas 150 reglas.
Lo que sigue es una cuestión que surge de la práctica. Las reglas de la diagonal para los divisores 1 y 2
Reglas diagonales para 1 y 2
2/2>9+2
1/1>9+1
son "excesivas" en el sentido de que a menudo nos vemos obligados a revisar el divisor a la baja varias veces. En la práctica, las siguientes dos reglas "estadísticas" (por darles un nombre) se comportan mejor permitiendo un cálculo más rápido.
Este capítulo es para el lector que desee practicar la división tradicional TD en disposición tradicional TDA, así como el resto de técnicas superiores que se basan en ella, usando un antiguo soroban 5+1 o incluso un ábaco moderno 4+1. Si dispone de un ábaco tradicional 5+2 (o 5+3, si es lo suficientemente afortunado), todo es mucho más sencillo y no necesitará nada de lo que sigue.
Excluyendo los métodos especiales de división de los que trataremos en la sección de Métodos Avanzados, hay dos formas básicas de disponer la división sobre el ábaco. Ya las hemos mencionado en la Guia a la División Tradicional:
Disposición Moderna (MDA), como la descrita por Kojima[1],
MDA 25÷5=5
Ábaco
Comentario
ABCDEF
5 25
El dividendo empieza en E
5 5
Trás la división, el cociente empieza en D
Disposición Tradicional (TDA), la usada en libros antiguos como el Jinkoki (塵劫記)[2], o el Panzhu Suanfa (盤珠算法)[3]
TDA 25÷5=5
Ábaco
Comentario
ABCDEF
5 25
El dividendo empieza en E
5 5
Trás la división, el cociente empieza en E
División según Sunzhi (es decir, la division modernaMD) con varillas de cálculo; tradicionalmente utilizaba tres filas horizontales de dígitos.
MDA parece una disposición perfecta para cualquier método de división; no sólo para el moderno y el tradicional, sino también para cualquiera de la asombrosa variedad de métodos que uno puede imaginar después de leer una página como: La guía definitiva de matemáticas superiores sobre la división larga de enteros [4] o los esbozados en el capítulo: División Moderna, y simplemente usando las cuentas de un ábaco 4+1 (moderno). Por el contrario, TDA es una disposición problemática con cualquier método de división, ya que con frecuencia tiene lugar una colisión entre cociente y dividendo/resto al requerir ambos el uso simultáneo de la misma columna. Por ejemplo, en el caso de la división moderna nos veríamos obligados a posponer la entrada en el ábaco del dígito del cociente provisional hasta que quedase libre la columna correspondiente durante la sustracción del producto de dicho cociente por el divisor. En cuanto a la división tradicional, la aplicación de las reglas de división supone sustituir el primer dígito del dividendo por el cociente provisional y sumar el resto (de la regla) a la columna siguiente; si dicha suma alcanza un valor superior a 9 (hasta 18) tenemos un 1 que desborda dicha columna y que deberíamos sumar como un acarreo a la columna de la izquierda pero que, como dicha columna está ocupada por el cociente, se produce la colisión y el 1 desbordado no tiene adonde ir. Es decir, se necesitan técnicas o ábacos especiales para hacer frente a esta colisión.
Y sin embargo, TDA se ha utilizado durante siglos junto con el método tradicional de división, mientras que MDA parece haber sido relegada al olvido hasta los tiempos modernos y la adopción del ábaco 4+1; y ello a pesar de que MDA es la primera idea que se nos ocurriría si intentásemos adaptar el antiguo método de división de Sunzhi (utilizado con las varillas de cálculo) a una sola fila de dígitos en lugar de las tres habituales. Se desconocen las razones por las que esto ha sido así, y posiblemente seguirán siendo un misterio para siempre dado que ningún autor clásico se tomó la molestia de contárnoslas. No obstante, debemos reconocerle ciertas ventajas a la disposición tradicional TDA:
Utiliza una varilla menos menos.
El resultado no se desplaza demasiado hacia la izquierda como con MDA; lo cual es de interés en el caso de operaciones encadenadas. Esto, junto con el punto anterior, hace que TDA sea más adecuado para ábacos de pequeño número de columnas, como el tradicional suanpan/soroban de 13 varillas.
Ahorra algunos movimientos de cuentas; por ejemplo, en la operación 6231÷93 = 67 usando la división tradicional, se pueden contar 14 movimientos usando TDA frente a los 24 requeridos si usamosMDA.
Los desplazamientos de la mano son más cortos.
Es menos propenso a errores ya que es necesario saltan menos columas.
¿Son suficientes estas razones para justificar el uso histórico de TDA? Parece necesario aceptarlo.
En cuanto a la forma de hacer frente a la colisión o desbordamiento, esto no es un problema con un ábaco tradicional 5+2 o 5+3; como ya se explicó, las cuentas superiores adicionales se pueden usar para almacenar valores tan altos como 20 en cada columna del ábaco. El problema surge cuando pensamos que los ábacos de tipo 5+1 fueron populares en Japón durante el período Edo y fueron usados con la división tradicional, pero parece que ningún texto japonés antiguo explica cómo tratar con el desbordamiento. La cuestión que trata de resolver este capítulo es esta: ¿Qué se puede hacer con un ábaco 5+1 tradicional o con el moderno 4+1?.
En lo que sigue, se ofrecen tres soluciones a esta cuestión aunque la primera de ellas no es nada recomendable para una práctica habitual.
El ganso solitario vuelve a su bandada. Ilustración de un ejercicio tradicional de multiplicación/división con el ábaco. Basado en una pintura de Bian Shoumin 边寿民 (1684–1752).
Usaremos un ejercicio clásico 998001÷999 = 999 como ejemplo para ilustrar las tres alternativas mencionadas. Este ejercicio se llama en chino: Regreso del ganso solitario (孤雁歸隊 Gūyàn guīduì). Si plantea esta división en el ábaco, por ejemplo:
Ábaco
ABCDEFGHIJK
999 998001
y si es lo suficientemente imaginativo, sin duda identificará la cuenta solitaria colocada en K con un ganso solitario que acaba de dejar su bandada en FGH (puede ver el lugar que ocupaba en la parte inferior de la columna H). Para hacerlo volver a su lugar sólo tenemos que completar la división y obtener 999.
En principio, podríamos sumar el "1 desbordado" en cualquier columna no utilizada, por ejemplo, la de más a la derecha del ábaco; pero esto podría resultar molesto e inconveniente porque tanto la mano como la atención tendrían que ir saltando de un lugar a otro en el ábaco con el riesgo de terminar trabajando en la columna equivocada. Aquí, sin más miramientos, sumaremos el 1 desbordado a la columna del dígito del cociente intermedio recién ingresado. Quizás el lector se sienta aterrado al oír esto y no le faltarán razones para ello, ya que crearemos una entidad híbrida, en parte cociente y en parte dividendo difícil de entender conceptualmente, pero si podemos mantener el valor del cociente intermedio en la memoria por un momento podremos operar como de costumbre y cualquier anomalía desaparecerá del ábaco en segundos. Veámoslo con el ejemplo 998001÷999 = 999 en un ábaco 4+1:
998001÷999 = 999; a lo bruto en un 4+1
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJK
999 998001
Regla: 9/9>9+9, ¡recuerde el cociente 9!
999 998001
cambie el 9 en F por 9
+9
sume 9 a G
999 1088001
el acarreo corre hacia la izquierda, no se asuste
-81
reste 9*9=81 de GH
999 1007001
-81
reste 9*9=81 de HI, fin de la anomalía
999 998901
Regla: 9/9>9+9, ¡recuerde el cociente 9!
999 1007901
el acarreo corre hacia la izquierda, no se asuste
-81
reste 9*9=81 de HI, fin de la anomalía
999 999801
-81
reste 9*9=81 de IJ
999 998991
Regla: 8/9>8+8, ¡recuerde el cociente 8!
999 999791
-72
reste 8*9=72 de IJ
999 999071
-72
reste 8*9=72 de JK, fin de la anomalía
999 998999
revisión al alza
999 999
¡Hecho!
En un ábaco 5+1, las cosas son más fáciles. Podemos usar la quinta cuenta para evitar que el acarreo corra hacia la izquierda:
998001÷999 = 999; a lo bruto en un 5+1 (2ª cifra del cociente)
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJK
...
999 998901
Regla: 9/9>9+9, ¡recuerde el cociente 9!
999 9T7901
-81
reste 9*9= 81 de HI
999 999801
...
...etc.
Como vemos, es posible hacer las cosas así, pero no parece un método muy atractivo ya que necesitamos memorización y mucha atención para no cometer errores. Por tanto, no se debe intentar este método excepto como ejercicio de concentración. Si hemos traído este método aquí, es principalmente como introducción al siguiente método.
Cuentas inferiores suspendidas en ábacos 5+1 y 4+1 y notación subrayada para representarlas.
Si usamos un 5+1, en lugar de empujar la cuenta completamente hacia arriba, sumando efectivamente el 1 desbordado al dígito del cociente provisional como en el caso anterior, parece más razonable empujarlo sólo hasta la mitad, dejando una cuenta inferior suspendida como se ilustra en la parte superior de la imagen a la derecha. Esta cuenta suspendida representará el desbordamiento a la vez que respeta la integridad del dígito del cociente.
Este parece un método perfecto para tratar con el desbordamiento, tanto en la división como en la multiplicación, todo permanece bajo nuestros ojos y nada tiene que ser memorizado. De hecho, cuando se utilizan cuentas inferiores suspendidas no hay necesidad de cuentas superiores adicionales, y el ábaco 5+1 resulta tan potente como los instrumentos 5+2 o 5+3. Esto podría ayudar a explicar por qué el ábaco 5+1 fue tan popular en el pasado y por qué la quinta cuenta inferior sobrevivió durante tanto tiempo. Nótese en la mitad inferior de la figura que, con alguna complicación, este método también se puede extender al ábaco 4+1. A partir de aquí, usaremos dígitos subrayados para representar el desbordamiento de acuerdo con la figura. El subrayado nos recuerda cómo se ve la cuenta suspendida en el ábaco real.
Repitamos el ejercicio anterior con esta técnica. El divisor ya no está representado y también se introducen algunos detalles más para ilustrar adicionalmente cómo se puede usar la quinta cuenta inferior en la resta para simplificar algo la operación (como de costumbre, T es 10 inferior: 1 cuenta superior + 5 cuentas inferiores activadas)
998001÷999 = 999 en un 5+1
Ábaco
Comentario
ABCDEF
998001
988001
Regla: 9/9>9+9
-8
restar 81 de BC
9T8001
-1
9T7001
-8
restar 81 de CD
999001
-1
998901
997901
Regla: 9/9>9+9
-8
restar 81 de CD
999901
-1
999801
-8
restar 81 de DE
998T01
-1
998991
998791
Regla: 8/9>8+8
-7
restar 72 de DE
998T91
-2
998T71
-7
restar 72 de EF
9989T1
-2
998999
Revisar al alza
-9
(de izquierda a derecha para ahorrar desplazamiento de mano)
998990
-9
998900
-9
998000
+1
999000
¡Hecho!
Consulte también el capítulo de ejemplos de divisiones para ver ilustrada esta división en ábacos de tipo 5+1, 5+2 y 5+3.
Y ahora en un ábaco 4+1. Necesitamos usar el grupo suspendido de cuatro cuentas inferiores como código para 9:
998001/999 en un ábaco 4+1
Ábaco
Comentario
ABCDEF
998001
988001
Regla: 9/9>9+9
-81
restar 81 de BC
987001
-81
restar 81 de CD
998901
997901
Regla: 9/9>9+9
-81
restar 81 de CD
999801
-81
restar 81 de DE
998991
998791
Regla: 8/9>8+8
-72
restar 72 de DE
998071
-72
restar 72 de EF
998999
Revisar al alza
999000
D¡Hecho!
Si ha intentado este caso, probablemente haya notado que el grupo de cuatro cuentas suspendidas se comporta de la misma manera que la cuenta superior suspendida que se usa en el ábaco 5+2; es decir, con "aritmética inversa", si mueve la cuenta suspendida hacia la barra del ábaco, ¡estará restando en lugar de sumando!
Se ha dicho anteriormente que usar cuentas inferiores suspendidas parece un método perfecto, ...pero de hecho es algo molesto debido a su inherente lentitud. Siempre es difícil suspender una cuenta, especialmente las pequeñas del ábaco moderno con poco espacio libre en las varillas, y esto a pesar del truco simple de pellizcar la cuenta con dos dedos y luego retirar la mano como si se arrancara una flor. Es cierto que con un ábaco 5+1 no se necesitan cuentas superiores adicionales, pero sin duda, si tiene muchas multiplicaciones o divisiones por hacer, preferirá la velocidad que proporcionan las cuentas adicionales; ya que pocas veces se necesita una suspender una cuenta en el 5+2, y nunca en el 5+3.
En lugar de mover/suspender físicamente la cuenta de desbordamiento, basta pensar que la cuenta ya ha sido suspendida en la columna del cociente, o empujada sobre una varilla imaginaria que sobrevuela alrededor de su ábaco, o simplemente recordar que el “estado de desbordamiento” se ha establecido en ON y que debe ponerse nuevamente en OFF tan pronto como sea posible. Esta última forma es similar al concepto de poner banderas (flags) ON/OFF en la programación de calculadoras electrónicas antiguas. Obviamente, no mover una cuenta es más rápido que mover una cuenta, por lo que nada puede ser más rápido que esta alternativa. Sin embargo, necesitaremos algo de práctica para acostumbrarnos a este método y debemos prepararnos para cometer algunos errores más debido a la memorización; pero memorizar un dígito, como en el método de fuerza bruta, es peor que simplemente memorizar una condición de alerta como se requiere aquí.
No es necesario un nuevo ejemplo para ilustrar esta técnica; los anteriores se pueden seguir bajo esta nueva perspectiva simplemente interpretando los subrayados como: OverflowFlag: ON.
Hemos visto aquí tres técnicas para tratar con el desbordamiento en ábacos 4+1 y 5+1 que empujan la cuenta desbordada hacia arriba en la columna del cociente intermedio:
Completamente, sumándose efectivamente como un acarreo al cociente
Sólo hasta mitad de camino, dejando una cuenta inferior suspendida
Nada en absoluto (salvo en nuestra mente)
Estos métodos nos brindan la posibilidad de utilizar técnicas y disposiciones tradicionales en cualquier tipo de ábaco, simplemente adaptando la mecánica a la presencia/ausencia de cuentas adicionales. Encontrará esto ventajoso si finalmente termina convencido por las técnicas tradicionales.
Se ha mencionado que ningún texto japonés antiguo explica cómo tratar con el desbordamiento con un ábaco 5+1. Lo más probable es que el método utilizado haya sido uno de los dos últimos presentados aquí. Considere que el segundo método se puede demostrar a otros en solo segundos, y que una vez visto, no se olvida ni requiere más explicaciones; Es tan obvio que no hay mucha necesidad de escribir textos extensos para transmitir ese conocimiento.
En este capítulo se ofrecen una serie de ejemplos de división tradicional (TD) usando la disposición tradicional de la división (TDA) en la forma de tablas de procedimiento. También hay disponible una versión gráfica de estos ejercicios (como ficheros PDF externos) ilustrando su ejecución en diversos formatos de ábacos, pero de momento sólo están disponibles en inglés.
Como ya se ha mencionado, el número 123456789 se ha utilizado para demostrar la multiplicación y la división en muchos libros antiguos sobre el ábaco; algunos, como el Panzhu Suanfa[1], comienzan con la multiplicación tradicional (vea el capítulo correspondiente en este libro) de dicho número por un dígito y posteriormente usan la división para devolver el ábaco a su estado original; otros, como el Jinkoki [2], lo hacen al revés, comenzando con la división y terminando el ejercicio con la multiplicación. Nosotros veremos aquí la división de 123456789 por los ocho divisores de un dígito 2, 3,...9.
El número 123456789 es divisible entre 3, 9 y 13717421, por lo que las divisiones entre 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9 tienen resultados con expansión decimal finita (2 y 5 son divisores de la base decimal o radix 10). Sólo la división por 7 conduce a un resultado con un número infinito de decimales, por lo que aquí lo interumpiremos y daremos un resto.
Desafortunadamente, este ejercicio no usa todas las reglas de división, pero es un buen comienzo y permite practicar sin una hoja de ejercicios.
En este caso extendemos la división hasta el final del ábaco, utilizando para los últimos dígitos la técnica presentada en el capítulo sobre Operaciones Abreviadas.
División de 412 por 896
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJKLM
896 412
Esta vez el divisor va a la izquierda y el dividendo a la derecha.
896 512
Columna E: regla 4/8>5+0, cambiar 4 en E a 5, sumar 0 a F
896 492
no se puede restar E×B=5×9=45 de FG, revisar a la baja E: restar 1 de E, sumar 8 a F
896 456
restar E×B=4×9=36 de FG
896 4536
restar E×C=4×6=24 de GH
896 4656
Columna F: regla 5/8>6+2, cambiar 5 en F a 6, sumar 2 a G
896 4602
restar F×B=6×9=54 de GH
896 4582
no se puede restar F×C=6×6=36 de HI, revisar a la baja F: restar 1 de F, sumar 8 a G
896 4591
y sumar 9 a H para devolver el exceso 89 restardo de GH
896 4588
Continuar normalmente y restar F×C=3×6=30 de HI
896 45916
Columna G: regla 8/8>9+8, cambiar 8 en G a 9, sumar 8 a H
896 45979
restar G×B=9×9=81 de HI
896 459736
restar G×C=9×6=54 de IJ
896 459896
Columna H: regla 7/8>8+6, cambiar 7 en H a 8, sumar 6 a I
896 459824
restar H×B=8×9=72 de IJ
896 4598192
restar H×C=8×6=48 de JK
896 4598112
Columna I: regla 1/8>1+2, cambiar 1 en I a 1, sumar 2 a J
896 4598103
restar I×B=1×9=9 de JK
896 45981024
restar I×C=1×6=6 de KL
896 45982128
revisar al alza I: sumar 1 a I, restar 896 de JKL
896 45982148
Columna J: regla 1/8>1+2, cambiar 1 en J a 1, sumar 2 a K
896 45982139
restar J×B=1×9=9 de KL
896 459821384
restar J×C=1×6=6 de LM
896 459821344
Columna K: regla 3/8>3+6, cambiar 3 en K a 3, sumar 6 a L
896 459821317
restar K×B=3×9=27 de LM
896 459821315
restar K×C=3×6=18 de M …a partir de ahora esto es aproximado
896 459821425
revisar al alza K: sumar 1 a K, restar 896 de LM…
896 459821429
Columna L: regla 2/8>2+4, cambiar 2 en L a 2, sumar 4 a M
896 459821427
restar L×B=2×9=18 de M…
896 459821428
Columna M: regla 7/8>8+6, cambiar 7 en M a 8, sumar 4 a … ¡Hecho! 412/896=0.459821428
Soroban Trainer mostrando un ábaco tipo 5+2 usando la cuenta superior suspendida.
Puede practicar la división tradicional en línea con Soroban Trainer usando este fichero: kijoho-1digit.sbk que debe descargar a su computadora y luego enviarlo a Soroban Trainer (es un archivo de texto que puede inspeccionar con cualquier editor de texto y que puede descargar de manera segura a su computadora).
Supongamos que tenemos que realizar una gran cantidad de divisiones entre 36525, que podría ser el caso si hacemos cálculos de calendarios. Entonces, podríamos simplificar la tarea creando una tabla de división específica para este divisor siguiendo lo que se indica en el capítulo: Guía a la División Tradicional. Comenzaremos calculando las siguientes tres divisiones euclidianas:
Creando una tabla de división específica para 36525
100000÷36525
200000÷36525
300000÷36525
Cociente
Resto
Cociente
Resto
Cociente
Resto
2
26950
5
17375
8
07800
Que se pueden resumir en la siguiente tabla de división especializada:
Tabla de dividir por 36525
36525
1/36525>2+26950
2/36525>5+17375
3/36525>8+07800
tabla que también podemos obtener con sólo la primera división, ya que tenemos:
por lo que sumando este resultado a sí mismo:
pero el resto es mayor que el divisor, por lo que procede revisar el cociente al alza
con lo que hemos obtenido la segunda regla: 2/36525>5+17375. Si ahora sumamos de nuevo el resultado de la primera división tendremos:
donde, nuevamente, el resto supera al divisor y necesitamos revisar al alza
con lo que ya disponemos de la tercera regla.
Ahora podemos usar esta tabla para hacer divisiones con este divisor sin usar la tabla de multiplicar. Por ejemplo: ¿Cuántos siglos julianos de 36 525 días caben en 1 000 000 de días? Procedemos de forma idéntica a la división tradicional por divisores de un solo dígito:
1000000÷36525
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJKLM
36525 1000000
Regla: 1/36525>2+26950 sobre la columna G
36525 2000000
cambiar 1 en G a 2
+26950
sumar 26950 a H-L
36525 2269500
Regla: 2/36525>5+17375 sobre la columna H
36525 2569500
cambiar 2 en H a 5
+17375
sumar 17375 a I-M
36525 2586875
revisar al alza
+1
-36525
36525 2650350
revisar al alza
+1
-36525
36525 2713825
¡Hecho! 1000000÷36525=27, resto 13825
¡Y hemos hecho una división por un divisor de cinco dígitos sin usar la tabla de multiplicar!
En inglés se suele distinguir entre división corta, cuando el divisor es de una sola cifra, y división larga, cuando se trata de divisores con más de un dígito. En el caso de la división tradicional con el ábaco hemos visto que en el primer caso sólo tenemos que utilizar la tabla de división; mientras que en el segundo tenemos que utilizar también la tabla de multiplicar para realizar las divisiones. Con el uso de tablas de dividir específicas podemos dividir por cualquier divisor sin utilizar la tabla de multiplicar y sin importar el número de cifras del divisor; por lo que estamos en una situación semejante a la división corta en este sentido. Podemos, no obstante, hablar también de división larga en este contexto de las tablas de dividir específicas.
Imaginemos que disponemos de las tabla de división por 365 (dada arriba) porque sea habitual que tengamos que dividir por dicho número; e imaginemos asimismo que nos enfrentemos puntualmente a una división por 36525. Como no esperamos tener que hacer muchas divisiones por este número no estamos dispuestos a calcular una tabla de dividir específica para él. Tenemos dos opciones para resolver este problema:
Usar 3 como divisor propiamente dicho, (empleando la tabla de dividir por 3) y usar 6525 como multiplicador; tal y como se explicó en la Guía a la División Tradicional.
Usar 365 como divisor propiamente dicho, (empleando la tabla de dividir por 365) y usar 25 como multiplicador.
Esta última forma es una extensión del concepto de división larga a las tablas de dividir específicas y nos permite ahorrarnos algunas multiplicaciones al ser el multiplicador 25 más corto que 6525. Veamos cómo realizarla:
Ejemplo: 219150÷36525 = 6
219150÷36525 usando tabla de dividir por 360
Abacus
Comment
ABCDEFGHIJKLM
Divisor en A-E, dividendo en H-M
36525 219150
H: Regla: 2/365>5+175
36525 519150
Cambiar 2 en H a 5
+175
sumar 175 a IJK
36525 536650
Restar 5×25 de KLM
-10
-25
36525 536525
Revisar al alza H
+1
-36525
36525 6
¡Hecho! Resto nulo. 219150÷36525 = 6
y hemos ahorrado la mitad de las multiplicaciones.
Cabe preguntarse si existe un equivalente a las reglas diagonales: 9/9>9+8, 8/8>9+8, 7/7>9+7, etc. para estas tablas de dividir específicas. Las reglas diagonales se usan en la división tradicional multi dígito cuando el dividendo empieza por el mismo dígito que el divisor siendo menor que éste (caso 2); por ejemplo: 47÷49. La extensión del concepto a las tablas específicas es inmediato; por ejemplo, para la tabla de dividir por 365 tendríamos: 365/365>9+365; regla que podemos usar para la división de 365213475 por 36525 en la forma:
365213475÷36525
Abacus
Comment
ABCDEFGHIJKLM
Multiplicador en AB, dividendo en E-M
25 365213475
Regla 365/365>9+365
25 365213475
Cambiar 365 en EFG a 900
25 900213475
+365
sumar 365 a FGH
25 936713475
restar 9×25 de HIJ
-18
-45
25 936488475
Regla 3/365>8+080
25 986488475
Cambiar 3 en F a 8
+080
sumar 080 a GHI
25 987288475
restar 8×25 de IJK
-16
-40
25 987268475
Revisar F al alza
+1
-36525
25 993615975
Regla 3/365>8+080
25 998615975
Cambiar 3 en G a 8
+080
sumar 080 a HIJ
25 998695975
restar 8×25 de JKL
-16
-40
25 998693975
Revisar F al alza
+1
-36525
25 999328725
Regla 3/365>8+080
25 999828725
Cambiar 3 en H a 8
+080
sumar 080 a IJK
25 999836725
restar 8×25 de KLM
-16
-40
25 999836525
Revisar G al alza
+1
-36525
25 9999
¡Hecho! Resto nulo. 365213475÷36525=9999
Pero dichas reglas diagonales, a decir verdad, ni son estrictamente necesarias ni resultarían de uso frecuente. Por ejemplo, en el caso de la división anterior es suficiente emplear la regla: 3/365>8+080
365213475÷36525
Abacus
Comment
ABCDEFGHIJKLM
Multiplicador en AB, dividendo en E-M
25 365213475
Regla 3/365>8+080
25 865213475
Cambiar 3 en E a 8
25 873213475
+080
sumar 080 a FGH
25 873213475
restar 8×25 de HIJ
-16
-40
25 873013475
Revisar E al alza
+1
-36525
25 936488475
etc.
Continuar como arriba
Sin que signifique un exceso de trabajo por comparación a lo hecho arriba. Por otro lado, cuantas más cifras tenga el divisor propiamente dicho, tanto más infrecuente será que nos enfrentemos a un dividendo que comience justamente por los mismos dígitos (1/365 de los casos en el ejemplo); por lo que podemos prescindir de las reglas diagonales si queremos.
Una fracción cuyo denominador solo contiene 2 y 5 como divisores tiene una representación decimal finita. Esto permite una división fácil por potencias de dos o cinco si tenemos las fracciones tabuladas (o memorizadas) donde es una de tales potencias de dos o cinco.
Por ejemplo, dado
Entonces
Lo cual se puede hacer fácilmente en el ábaco trabajando de derecha a izquierda del siguiente modo:
Para cada dígito del numerador
Borrar el dígito
Sumar en el ábaco la fracción correspondiente al dígito de trabajo comenzando por la columna que ocupaba
137÷8 usando fracciones
Ábaco
Comentario
ABCDEF
--+---
Columna unidad
137
Dividendo 137 en A-C como guía
7
borrar 7 en C
+0875
sumar 7/8 en C-F
130875
3
borrar 3 en B
+0375
sumar 3/8 en B-E
104625
1
borrar 1 en A
+0125
sumar 1/8 en A-D
17125
¡Hecho!
--+---
Columna unidad
Solo necesitamos tener las fracciones correspondientes tabuladas o memorizadas, como en la tabla a continuación.
En el pasado, tanto en China como en Japón, se utilizaban unidades monetarias y de medida que estaban relacionadas por un factor de 16[1][2][3], un factor que al comenzar con uno hace que la división normal resulte incómoda. Por esta razón el método presentado aquí fue popular para tales divisiones.
Desplazamiento a la izquierda de la columna unidad
Para las divisiones por 2, 4 y 8 la columna unidad no cambia de posición, pero para la divisiones por 16, 32 y 64 se desplaza una columna a la izquierda como vemos en los siguientes ejemplos.
El caso de la división por 2 es especialmente importante; ya ha sido mencionado como división in situ para transformar una división por un número que comience por uno en una división más cómoda que empiece por un dígito de 5 a 9. También le será útil a la hora de realizar raíces cuadradas por el método del semi-resto (半九九法, hankukuho en japonés, Bàn jiǔjiǔ fǎ en chino)[4] como puede consultar en el capítulo correspondiente. Sin duda, es un método muy eficaz y rápido de dividir entre dos.
Siendo un caso particular de lo explicado en el apartado anterior, para dividir un número por dos in situ:
Procedemos dígito a dígito de derecha a izquierda en la forma
borrando el dígito
sumando su mitad comenzando con la columna que ocupaba
Por ejemplo,123456789÷2:
123456789÷2 in situ
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJ
123456789
9
borrar 9 en I
+45
sumar su mitad en IJ
1234567845
8
borrar 8 en H
+40
sumar su mitad en HI
1234567445
7
borrar 7 en G
+35
sumar su mitad en GH
1234563945
6
borrar 6 en F
+3
sumar su mitad en FG
1234533945
5
borrar 5 en E
+25
sumar su mitad en EF
1234283945
4
borrar 4 en D
+2
sumar su mitad en DE
1232283945
3
borrar 3 en C
+15
sumar su mitad en CD
1217283945
2
borrar 2 en B
+1
sumar su mitad en BC
1117283945
1
borrar 1 en A
+05
sumar su mitad en AB.
617283945
¡Hecho!
Recordemos que la varilla unidad no cambia de posición tras esta división.
Sin duda podríamos repetir aquí el tratamiento anterior con las potencias de 5, dado que sus fracciones son también de desarrollo decimal finito al ser 5 divisor de 10.
Fracciones de potencias de 5
D
D/5
D/25
D/125
D/625
1
0.2
0.04
0.008
0.0016
2
0.4
0.08
0.016
0.0032
3
0.6
0.12
0.024
0.0048
4
0.8
0.16
0.032
0.0064
5
1.0
0.20
0.040
0.0080
6
1.2
0.24
0.048
0.0096
7
1.4
0.28
0.056
0.0112
8
1.6
0.32
0.064
0.0128
9
1.8
0.36
0.072
0.0144
Pero tampoco hay duda de que, en lugar de memorizar nuevas fracciones, es preferible recurrir a que:
Dividir por 5 es lo mismo que multiplicar por 2 y dividir por 10
Dividir por 25 es lo mismo que multiplicar por 4 y dividir por 100
Dividir por 125 es lo mismo que multiplicar por 8 y dividir por 1000
etc.
o bien
Dividir por 5 es lo mismo que multiplicar por 2 y dividir por 10
Dividir por 25 es lo mismo que multiplicar por 2 dos veces y dividir por 100
Dividir por 125 es lo mismo que multiplicar por 2 tres veces y dividir por 1000
etc.
y que multiplicar por 2 in situ es extraordinariamente rápido con el ábaco; sólo hay que invertir la división por 2 in situ vista arriba:
Trabajando de izquierda a derecha, para cada dígito
Borrar el dígito de trabajo
sumar su doble en el ábaco empezando en la columna de su izquierda
61728394.5×2 in situ
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJ
617283945
6
Borrar 6 en B
+12
sumar su doble en AB
1217283945
1
Borrar 1 en C
+02
sumar su doble en BC
1227283945
7
Borrar 7 en D
+14
sumar su doble en CD
1234283945
2
Borrar 2 en E
+04
sumar su doble en DE
1234483945
8
Borrar 8 en F
+16
sumar su doble en EF
1234563945
3
Borrar 3 en G
+06
sumar su doble en FG
1234566945
9
Borrar 9 en H
+18
sumar su doble en GH
1234567845
4
Borrar 4 en I
+08
sumar su doble en HI
1234567885
5
Borrar 5 en J
+10
Sumar su doble en IJ
1234567890
¡Hecho!
123456789
61728394.5×2 = 123456789
Estas técnicas podrán serle de utilidad para transformar raíces cuadradas y cúbicas que puedan comenzar por 1 en otras más cómodas (raíces cuadradas y cúbicas dependen esencialmente de la división y esta es incómoda cuando el divisor empieza por 1).
Como ya se ha indicado en este libro, el ábaco no conserva memoria de lo que hemos hecho sobre él, a diferencia del cálculo escrito, por lo que la revisión de los cálculos para comprobar su corrección se ha hecho tradicionalmente a través de estos dos recursos:
Repetir las operaciones y comprobar que nos conducen a los mismos resultados
Deshacer el trabajo aplicando las operaciones inversas hasta encontrar los operandos de partida
o bien una combinación de ambos. Nos centramos aquí en la última opción.
La suma y la resta son operaciones inversas; por ejemplo: y si ahora restamos obtenemos el operando de partida. Sobre el ábaco:
Comprobando la suma con la resta
Ábaco
Comentario
ABC
422
+3
Sumar 313 a ABC
+1
+3
735
Resultado de 422+313
-3
Verificación restando 313 de ABC
-1
-3
422
Sumando original en su posición de partida
y, como podemos ver, no solo obtenemos el valor inicial sino que también lo obtenemos en su posición original. Por ello decimos que suma y resta son operaciones inversas no sólo en sentido matemático sino también abacístico.
A su vez, la multiplicación y la división también son operaciones inversas en sentido matemático; es decir, si
donde es el cociente de dividir por y es el resto, podemos invertir la operación en la forma:
por ejemplo: donde es el cociente y el resto, y podemos invertir la operación en la forma . En el ábaco, utilizando los métodos modernos de división y multiplicación:
4727÷72 usando el método moderno
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHI
4727÷72
72 4727
Dividendo:F-I, divisor:AB
72 64727
6 como cociente provisional
-42
restar 6✕7=42 de FG
-12
restar 6✕2=12 de GH
72 6 407
72 65407
5 como cociente provisional
-35
restar 5✕7=35 de GH
-10
restar 5✕2=10 de HI
72 65 47
Fin: cociente=65, resto=47
72 65 47
Comprobando por multiplicación
+35
sumar 5✕7=35 a GH
+10
sumar 5✕2=10 a HI
72 65407
72 6 407
borrar F
+42
sumar 6✕7=42 a FG
+12
sumar 6✕2=12 a GH
72 64727
borrar E
72 4727
¡Hecho!
y comprobamos también que la multiplicación y división en el ábaco realizadas de acuerdo al Método Moderno son también operaciones inversas en el sentido abacístico al devolvernos el operando original a su posición de partida.
Nótese la posición relativa de los operandos y los resultados utilizando el método moderno:
Posición relativa de operandos y resultados (método moderno)
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHI
4727÷72
72 4727
Divisor y dividendo
72 65 47
Divisor: AB, cociente: EF, resto: HI
Ahora intentemos lo mismo con el método tradicional de división (TD) y el arreglo de división tradicional (TDA).
4727÷72, División tradicional y disposición tradicional (TDA)
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHI
4727÷72
72 4727
Dividendo:F-I, divisor:AB
72 5227
Regla: 4/7>5+5 (¡desbordamiento!)
-10
Restar 5✕2=10 de GH
72 5127
+1
Revisar al alza F
-72
Restar 72 de GH
72 6407
72 6557
Regla: 4/7>5+5
-10
Restar 5✕2=10 de HI
72 6547
Fin: cociente=65, resto=47
ahora la posición relativa de los operandos y los resultados es diferente:
Posición relativa de operandos y resultados (método tradicional)
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHI
4727÷72
72 4727
Divisor y dividendo
72 6547
Divisor: AB, cociente: FG, resto: HI
Si queremos revertir la operación por multiplicación no podemos usar la multiplicación moderna, necesitamos suprimir una columna durante la multiplicación. Una forma de proceder podría ser esta:
Memorizar el dígito del multiplicando a usar
Borrarlo
Sumar los productos parciales
de este modo:
Invirtiendo la división tradicional con TDA
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHI
72 6547
Reversion por multiplicación
72 6 47
Borrar G y recordar 5
+35
Sumar 5✕7=35 a GH
+10
Sumar 5✕2=10 a HI
72 6407
72 407
Borrar F y recordar 6
+42
Sumar 6✕7=42 a FG
+12
Sumar 6✕2=12 a GH
72 4727
¡Hecho!
y también hemos revertido la operación y devuelto el ábaco a su estado original. De esta forma se procede exactamente igual que con la multiplicación moderna, previamente liberando y reutilizando el espacio que ocupa el dígito en uso del multiplicando. Sin embargo, memorizar y mantener algo en la memoria mientras se trabaja con el ábaco abre una puerta a cometer errores y es deseable minimizar esta posibilidad tratando de mantener el dígito en la memoria durante el menor tiempo posible. Esto se logra alterando el orden en el que sumamos los productos parciales:
Introduciendo la multiplicación tradicional
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHI
72 6547
Reversión por multiplicación
+10
Sumar 5✕2=10 a HI
+35
Borrar G y sumar 5✕7=35 a GH
72 6407
+12
Sumar 6✕2=12 a GH
+42
Borrar F y sumar 6✕7=42 a FG
72 4727
¡Hecho!
Como podemos ver, hemos retrasado el borrado del dígito en uso hasta el último momento posible. Esta es la base del método tradicional de multiplicación.
El método tradicional de multiplicación se introdujo por primera vez utilizando varillas de cálculo.[1] y la mejor manera de presentarlo al abacista moderno es considerar que un multiplicador de varios dígitos consta de una cabeza (el primer dígito de la izquierda) y un cuerpo (el resto de los dígitos); por ejemplo: 4567✕23, considerando 4567 como el multiplicador, su cabeza es 4 y el cuerpo 567. Entonces, para cada dígito del multiplicando (de derecha a izquierda):
proceder como en la multiplicación moderna con el producto del dígito del multiplicando por el cuerpo del multiplicador
después borrar el dígito del multiplicando en uso y sumar su producto por la cabeza del multiplicador a la columna que se acaba de liberar y la adyacente a su derecha
4567✕23 Método tradicional
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJKL
Multiplicando:FG, Multiplicador: A-D
4567 23
Cabeza: A (4), Cuerpo: BCD (567)
+15
Sumar 3✕5=15 a IJ
+18
Sumar 3✕6=18 a JK
+21
Sumar 3✕7=21 a KL
+12
Borrar H y sumar 3✕4=12 a HI
4567 213701
+10
Sumar 2✕5=10 a HI
+12
Sumar 2✕6=12 a IJ
+14
Sumar 2✕7=14 a JK
+08
Borrar G y sumar 3✕4=12 a GH
4567 10F041
¡Hecho!
donde el resultado 10F041 se obtiene si usa la 5ª cuenta inferior, 105041 de otro modo.
Pero las cosas no siempre son tan sencillas como en el ejemplo anterior; si tanto el multiplicando como el multiplicador contienen dígitos altos (7, 8, 9), es posible que tengamos problemas de desbordamiento y debamos solucionarlos, como en el caso 999✕999 = 998001:
999✕999 Multiplicación tradicional
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJK
Multiplicando:A-C, Multiplicador: I-K
999 999
Cabeza: I (9), Cuerpo: JK (99)
+81
Sumar 9✕9=81 a DE
+81
Sumar 9✕9=81 a EF
+81
Borrar C y sumar 9✕9=81 a CD
998991 999
+81
Sumar 9✕9=81 a CD
+81
Sumar 9✕9=81 a DE
+81
Borrar B y sumar 9✕9=81 a BC
988901 999
(¡desbordamiento!)
+81
Sumar 9✕9=81 a BC
+81
Sumar 9✕9=81 a CD
+81
Borrar A y sumar 9✕9=81 a AB
888001 999
(¡desbordamiento doble!)
998001 999
Resultado normalizado, ¡Hecho!
Lo más conveniente, como en el caso de la división, es disponer de cuentas superiores adicionales, es decir, de un ábaco tipo 5+2 o 5+3 si se es suficientemente afortunado. Con el 5+2 alcanzaríamos el resultado:
Resultado de 999✕999 antes de la normalización
A
B
C
D
E
F
G
H
I
K
J
8
18
18
0
0
1
0
0
9
9
9
que será preciso normalizar o estandarizar para su lectura a:
Resultado de 999✕999 después de la normalización
A
B
C
D
E
F
G
H
I
K
J
9
9
8
0
0
1
0
0
9
9
9
Para los ábacos 4+1 y 5+1, puede ser mejor usar la alternativa descrita en la sección anterior, borrando el dígito de trabajo del multiplicando al principio (o cuando sea necesario) para tener espacio para albergar los resultados parciales; por ejemplo:
999✕999 Multiplicación tradicional para el 4+1 o 5+1
Mientras que la división tradicional supone un enfoque radicalmente diferente de la operación por comparación a la división moderna, la multiplicación tradicional sólo supone una adaptación de las las habilidades adquiridas con la multiplicación moderna a una nueva disposición de la operación sobre el ábaco.
No es necesario, por tanto, ofrecer una larga serie de ejercicios para esta forma de multiplicar; pero sí es necesario que el lector practique el uso de las cuentas adicionales si dispone de un ábaco 5+2 ya que la multiplicación puede presentar algo más de complicación que la división en este aspecto. Aparte del caso visto arriba de 999×999=998001, el lector debería practicar su versión corta 99×99=9801 y la larga 9999×9999=99980001; así como los dos ejercicios tradicionales derivados 898×989=888122 usando uno u otro número como multiplicando. En general, debería proponerse ejercicios que contengan dígitos altos (7, 8, 9).
Puesto que en la multiplicación tradicional hemos suprimido una columna por comparación a la multiplicación moderna, la regla para encontrar la columna unidad queda en la forma:
La columna de las unidades del producto se encuentra columnas a la derecha de la columna de las unidades del multiplicando; donde es el número de dígitos del multiplicador a la izquierda de su punto decimal (¡que podría ser negativo!).
Compárese con la dada en el capítulo sobre la Multiplicación Moderna.
Tomemos un ejemplo: . Hacemos esta multiplicación sumando los 12 productos parciales que resultan de la expansión:
Es decir, todos los productos enumerados en esta tabla:
Productos parciales de 345✕6789
✕
o bien:
Productos parciales de 345✕6789
✕
donde los productos parciales están expresados como productos que obtenemos usando la tabla de multiplicar de un dígito y determinadas potencias de 10 que nos indican en qué posición decimal (columna) debemos sumar dichos productos.
Pero estos 12 productos se pueden sumar en cualquiera de los (12 factorial) formas de ordenarlos, por lo que podríamos decir que hay, al menos, casi 500 millones de formas de calcular el producto de los dos números dados.
Pero está claro que, de esta inmensa cantidad de formas de sumar secuencialmente productos parciales, solo unas pocas pueden ser generadas y seguidas de manera eficiente y segura por el cerebro humano. Pero estas pocas siguen siendo muchas ... sobre todo si pensamos que también podemos elegir si introducir o no multiplicando y multiplicador en el ábaco y por dónde empezar a sumar los productos parciales con respecto a dichos operandos. En la sección de Métodos Avanzados veremos algunas formas adicionales de multiplicación.
Kojima, Takashi (1963). «III Other multiplication methods». Advanced Abacus: Theory and Practice. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN978-0-8048-0003-7.
La obtención de raíces cuadradas y cúbicas son las operaciones más complejas estudiadas dentro de la Aritmética Elemental. El ábaco oriental se presta muy bien a la obtención de raíces cuadradas mediante un procedimiento directo y eficiente; pero lamentablemente no se puede decir lo mismo respecto de la obtención de raíces cúbicas que, si bien son posibles, requieren un camino tortuoso, lleno de idas y venidas, y muy propenso a errores.
Cargill Gilston Knott (1856 - 1922), uno de los padres de la sismología moderna, fue un físico y matemático escocés que se sirvió durante nueve años como profesor de matemáticas, acústica y electromagnetismo en la Universidad Imperial de Tokio; tras lo cual fue condecorado con la Orden del Sol Naciente por el Emperador Meiji en 1891. Durante su estancia en Japón entró en contacto con el ábaco japonés que estudió en profundidad y sin duda utilizó profesionalmente en su propio trabajo como profesor e investigador. El resultado de su estudio fue un famoso artículo de 55 páginas.[1] escrito en 1885 que durante mucho tiempo ha sido el relato mejor informado en inglés, así como referencia obligada, sobre la historia y los fundamentos del soroban; la visión de un científico y matemático occidental.
desarrollan y amplían la visión de Knott sobre los métodos tradicionales de obtención de raíces; constando de una introducción teórica seguida de una descripción del procedimiento de cálculo y una serie de ejemplos.
Obtener raíces cuadradas y cúbicas con el ábaco puede ser un proceso algo largo y durante la fase de aprendizaje es interesante disponer de una herramienta que nos permita controlar si lo estamos haciendo correctamente.
Para raíces cuadradas, puede probar el excelente Tutor de raíz cuadrada con Kijoho de Masaaki Murakami, una aplicación en JavaScript que puede ejecutar directamente en su navegador o bien descargarlo a su computadora desde su repositorio en GitHub. Sólo ha de ingresar el radicando en el pequeño cuadro de entrada de la izquierda y presionar repetidamente el botón "NEXT" en la pantalla, o la tecla "RETURN", para asistir al desarrollo del proceso paso a paso.
Desafortunadamente, no tenemos nada parecido al software anterior para raíces cúbicas, pero puede utilizar el siguiente código BC que también puede serle útil con las raíces cuadradas.
Copie y pegue lo siguiente en un archivo de texto llamado: knott.bc:
/* Functions to help to learn/verify square and cube roots a la Knott with the abacus, soroban, suanpan. See: https://jccabacus.blogspot.com/2021/06/roots-la-knott.html as a reference. Jesús Cabrera, June 2021 CC0 1.0 Universal (CC0 1.0) Public Domain Dedication Use at your oun risk!*/define int(x){
# Integer part of x
auto os,r
os=scale;scale=0
r=x/1scale= os
return(r)}define cbrt(x){
# Cube root of x
return(e(l(x)/3))}define knott2(r0, y0, alpha){/* Square root following Cargill G. Knott steps See example of use in file sr200703.bc use: $ sr200703.bc |bc -l knott.bc*/auto so, div
so =scale;/* Store old scale value */scale=1
a =10*y0
div =100*r0+ alpha/2print"New dividend: ",div/1,"\n"
b = int(div/(a))
tf = div -b*a -b^2/2if(tf<0){
b=b-1;print"Revising down, b = ",b,"\n"
tf = div -b*a -b^2/2}print"New root: ", a+b,", New half-remainder: ", tf/1print"\n==================\n\n"scale= so;/* restore old scale value */return}define knott3(r0, y0, alpha){/* Cube root following Cargill G. Knott steps See example of use in file cr488931400152.bc use: $ cat cr488931400152.bc |bc -l knott.bc*/auto so, div, ta, tb, tc, td, te
so =scale;/* Store old scale value */scale=0
a =10*y0
div =1000*r0+ alpha
print"New dividend: ",div,"\n\n"
ta = div/y0; rem1= div % y0print"a) /a: ", ta," rem1: ", rem1,"\n"
tb =(10*ta)/3; rem2=(10*ta)%3print"b) /3: ", tb," rem2: ", rem2,"\n"
b = tb/(100*a)print" b = ",b,"\n"
tc = tb - b*(a+b)*100print"d) : ",tc,"\n"
b = tb/(100*(a+b))print" b = ",b,"\n"
tc = tb - b*(a+b)*100print"d) : ",tc,"\n"if(b==10){/* Trick to avoid some problems */
b =9print"b: ",b,"\n"
tc = tb - b*(a+b)*100print"d) tc: ",tc,"\n"}
td = tc*3+rem2print"e) *3: ",td,"\n"
te =(td/10)*y0+rem1print"f) *a: ",te,"\n"
tf = te - b^3print"g) -b^3: ",tf,"\n"print"\nNew root: ",(a+b)," New remainder: ",tf,"\n\n"print"==================\n\n"scale= so;/* restore old scale value */return}
Contiene ejemplo de raíz cuadrada (). Copie el siguiente texto y péguelo en un fichero de texto con el nombre sr200703.bc; úselo de acuerdo a las instrucciones contenidas en el propio fichero.
/* Example: square root of 200703 Use: $ cat sr200703.bc |bc -l knott.bc or $ bc -l knott.bc < sr200703.bc*/print"\nSquare root of ",200703," = ",sqrt(200703),"\n\n"/* Decompose in pairs of digits (will be alpha): 20, 07, 03 Initialize (first step)*/
alpha =20
b = int(sqrt(alpha))
r0= alpha - b^2
a =0
tf = r0/2print"First root: ", b,", First half-remainder: ", tf,"\n"print"==================\n\n"/* Main: Repeat for each pair of digits (alpha)...*/
alpha =07
mute=knott2(tf, a+b, alpha)
alpha =03
mute=knott2(tf, a+b, alpha)/* For additional digits continue with alpha = 00*/
alpha =00
mute=knott2(tf, a+b, alpha)
alpha =00
mute=knott2(tf, a+b, alpha)
alpha =00
mute=knott2(tf, a+b, alpha)
alpha =00
mute=knott2(tf, a+b, alpha)
Salida
Square root of 200703 = 447.99888392718122931160
First root: 4, First half-remainder: 2.00000000000000000000
==================
New dividend: 203.5
Revising down, b = 4
New root: 44, New half-remainder: 35.5
==================
New dividend: 3551.5
Revising down, b = 7
New root: 447, New half-remainder: 447.0
==================
New dividend: 44700.0
Revising down, b = 9
New root: 4479, New half-remainder: 4429.5
==================
New dividend: 442950.0
New root: 44799, New half-remainder: 39799.5
==================
New dividend: 3979950.0
New root: 447998, New half-remainder: 395998.0
==================
New dividend: 39599800.0
New root: 4479988, New half-remainder: 3759928.0
==================
Contiene ejemplo de raíz cúbica (). Copie el siguiente texto y péguelo en un fichero de texto con el nombre cr488931400152.bc; úselo de acuerdo a las instrucciones contenidas en el propio fichero.
/* Example: cube root of 488931400152 Use: $ cat cr488931400152.bc |bc -l knott.bc or $ bc -l knott.bc < cr488931400152.bc*/print"\nCube root of ",488931400152," = ", cbrt(488931400152),"\n\n"/* Decompose in triplets (will be alpha): # 488, 931, 400, 152 Initialize (first step)*/
alpha =488
b = int(cbrt(alpha))
r0= alpha - b^3
a =0
tf = r0print"First root: ", b,", First remainder: ", r0,"\n"print"==================\n\n"/* Main: Repeat for each triplet (alpha)...*/
alpha =931
mute = knott3(tf, a+b, alpha)
alpha =400
mute = knott3(tf, a+b, alpha)
alpha =152
mute = knott3(tf, a+b, alpha)/* For additional digits continue with alpha = 000*/
Salida
Cube root of 488931400152 = 7877.99999999999999999871
First root: 7, First remainder: 145
==================
New dividend: 145931
a) /a: 20847 rem1: 2
b) /3: 69490 rem2: 0
b = 9
d) : -1610
b = 8
d) : 7090
e) *3: 21270
f) *a: 14891
g) -b^3: 14379
New root: 78 New remainder: 14379
==================
New dividend: 14379400
a) /a: 184351 rem1: 22
b) /3: 614503 rem2: 1
b = 7
d) : 63603
b = 7
d) : 63603
e) *3: 190810
f) *a: 1488340
g) -b^3: 1487997
New root: 787 New remainder: 1487997
==================
New dividend: 1487997152
a) /a: 1890720 rem1: 512
b) /3: 6302400 rem2: 0
b = 8
d) : 0
b = 8
d) : 0
e) *3: 0
f) *a: 512
g) -b^3: 0
New root: 7878 New remainder: 0
==================
Sea el número del que queremos obtener la raíz cuadrada ; Consideremos su expansión decimal, por ejemplo: y separemos sus dígitos en grupos de dos alrededor del punto decimal de la siguiente manera
o, en otras palabras, definamos la secuencia de números enteros :
y construyamos la secuencia recursivamente desde
y sea la parte entera de la raíz cuadrada de
es decir, es el entero más grande cuyo cuadrado no es mayor que . Finalmente, llamemos restos a las diferencias.
Para nuestro ejemplo tenemos:
0
0
0
0
1
4
4
2
0
2
56
456
21
15
3
78
45678
213
309
4
90
4567890
2137
1121
5
12
456789012
21372
26628
etc.
Vemos que, por construcción, crece como (dos dígitos más en cada paso), de hecho, la secuencia ; es decir: (0, 400, 456, 456.78, 456.7890, etc.) tiende a o . Por comparación, , como la parte entera de la raíz cuadrada de , crece sólo como (un dígito más en cada paso). Como es el entero más grande cuyo cuadrado no es mayor que tenemos como arriba pero
por definición de , o
Multiplicando por tenemos:
pero como crece sólo como , el segundo término tiende a cero como . Con lo cual
y con lo que tenemos:
Para otros números, los factores anteriores son: y , donde es el número de grupos de dos dígitos a la izquierda del punto decimal, negativo si el punto decimal precede grupos nulos antes de encontrar el primer grupo no nulo (por ejemplo, para , para , etc.).
Ésta es la base de los métodos manuales tradicionales de obtener raíces cuadradas; sea con papel y lápiz o con ábaco.
Para y , es trivial encontrar tal que su cuadrado no exceda mediante el uso de la tabla de cuadrados de la derecha que ya tenemos memorizada, dado que es solo un subconjunto de la tabla de multiplicar. En el caso del ejemplo, encontramos .
Para , tenemos , como definimos arriba, y tratamos de construir en la forma:
donde es un entero de un dígito de 0 a 9. Para obtenerlo, tenemos que elegir el mayor entero de 0 a 9 tal que:
o
si escribimos: . Desarrollando el binomio anterior tendremos:
o lo que es lo mismo
El lado izquierdo de la expresión anterior puede verse simplemente como el resto anterior con el siguiente grupo de dos dígitos agregado a su derecha, y el paréntesis del último término como el doble de la raíz anterior con el dígito b agregado a su derecha. En nuestro ejemplo, para tenemos 56 a la izquierda y la expresión anterior es
lo cual sólo es cierto para o por lo tanto, 1 es la siguiente cifra de nuestra raíz, pero ¿Cómo podemos proceder en el caso general sin tener que explorar sistemáticamente todas las posibilidades ()?
y es la estrategia que se suele utilizar con papel y lápiz y también se puede implementar, por supuesto, sobre el ábaco. En la expresión anterior, si vemos la parte izquierda como dividendo y la expresión entre paréntesis de la derecha como divisor, es el primer dígito de la división:
pero como aún no conocemos , aproximamos la división usando sólo la parte principal del divisor
lo cual nos da una pista de cuál podría ser el valor de , pero necesitamos:
Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, corregirlo al alza o a la baja según sea necesario.
Obtener el nuevo resto para preparar el cálculo del siguiente dígito de la raíz.
Ambos pasos requieren restar ; es decir, y , de ; comprobando que el resultado no es negativo y es menor que (de lo contrario, tendríamos que revisar al alza o a la baja). Tras sustraer estas dos cantidades en las condiciones indicadas, lo que nos queda es el nuevo resto . Cabe señalar que, a medida que avanzamos en los cálculos ( aumentando) es una contribución cada vez más pequeña al divisor ; por lo que el proceso indicado arriba se parecerá cada vez más a una mera división.
Este es el método propuesto por Takashi Kojima en su segundo libro: Advanced Abacus - Theory and Practice[2], y que puede ver descrito en Square roots as solved by Kojima[3] en la web de Totton heffelfinger, Obras a las que remito al lector para explicaciones y ejemplos prácticos. Veamos aquí cómo se podría iniciar el cálculo en nuestro ejemplo:
Ábaco neperiano dispuesto para ayudar con el tercer dígito de la raíz del ejemplo
Preparando el divisor; primeros tres dígitos de ;
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJKLM
4567890123
El radicando empieza en CD (primer grupo)
2
Primer dígito de la raíz en B
-4
Restar el cuadrado de B del primer grupo
2 567890123
Resto nulo
4 567890123
Doblar B. Agregar el siguiente grupo (56) al resto
41 567890123
5/4≈1, probar 1 como siguiente dígito de la raíz
-4
Continuar la división por 41, restar 1✕41 de EF
-1
41 157890123
15 nuevo resto
42 157890123
Doblar el segundo dígito de la raíz
42 157890123
Unir el siguiente grupo (78) al resto
423157890123
157/42≈3, probar 3 como siguiente dígito de la raíz
-12
Continuar la división por 423, restar 3✕423 de E-H
-06
-09
423 30990123
309 nuevo resto
426 30990123
Doblar el tercer dígito de la raíz
426 30990123
Añadir el siguiente grupo (90) al resto
etc.
Como puede verse, el doble de la raíz va apareciendo a la izquierda del ábaco en sustitución del radicando/resto y los grupos de dos dígitos sin usar. Esto es contrario a lo que ocurre con el resto de operaciones elementales sobre el ábaco, donde el resultado buscado —no su doble— reemplaza al operando (o a uno de ellos). Esto puede haber sido una razón para que el método tradicionalmente preferido para obtener raíces cuadradas haya sido el de preparar el dividendo, donde veremos que la raíz aparece directamente sobre el ábaco y no su doble; pero en realidad existe otro motivo, de índole práctica, mucho más poderoso y que comentaremos más abajo, en la Conclusión de este capítulo.
Cabe mencionar aquí que el ábaco neperiano contaba con una tablilla especial rotulada N2 para ayudar en el cálculo escrito de raíces cuadradas. En la figura de la derecha podemos ver el ábaco configurado para obtener la tercera cifra de la raíz del ejemplo, donde las varillas 4 y 2 representan el doble de la raíz obtenida previamente. Podemos ver que para N = 3, la cantidad a sustraer del resto es 1269 que "cabe" en el resto 1578; pero que para N = 4, la cantidad 1696 no cabría, lo cual indica que la siguiente cifra de la raíz es efectivamente un 3.
Esta expresión modificada nos permitirá obtener directamente en el ábaco la raíz cuadrada (no su doble) siguiendo prácticamente el mismo procedimiento anterior, sin más que mantener en nuestro instrumento los restos y grupos de dos dígitos sin usar divididos por 2. Como se puede ver en la expresión anterior, despreciando el término obtenemos una estimación de simplemente dividiendo el semi resto extendido: por la raíz anterior (de hecho, ); tras lo cual, necesitamos nuevamente:
Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, corregirlo al alza o a la baja según sea necesario.
Obtener el siguiente semi resto para preparar el cálculo del siguiente dígito de la raíz.
Esto se hace restando así como del semi resto, para lo cual es conveniente memorizar la tabla de semi cuadrados de la derecha, comprobando que no obtenemos resultados negativos y que no podríamos revisar al alza.
Afortunadamente, dado que 2 es un divisor de nuestra base (10), las fracciones decimales de la tabla de semi cuadrados tienen una expresión finita; lo que no sucederá cuando intentemos extender este procedimiento a raíces cúbicas y tengamos que tratar con tercios de cubos. Según Knott, esto hace que las raíces cúbicas sean un problema que no se adapta bien al tratamiento con ábaco.
Aquí se presentan tres ejemplos; para ver ejemplos adicionales consulte el apartado Otras lecturas y especialmente el de Recursos externos a continuación.
En este ejemplo tenemos dos grupos de dos cifras: 09 y 61. El primer grupo nos informa que el primer dígito de la raíz es 3.
Hay dos formas de comenzar en el ábaco con las raíces cuadradas:
Alineando los grupos a la izquierda desde la columna B y usando la división tradicional para obtener el semi-resto.
A
B
C
D
E
...
0
9
6
1
Esta es la forma que aparece en libros antiguos y también la utilizada en el Tutor de raíz cuadrada de Murakami con Kijoho (véase Recursos externos más abajo).
Usando división tradicional para obtener el semi resto
Ábaco
Comentario
ABCDE
0961
Alinear el radicando con B
30961
Poner el primer dígito de la raíz en A
-9
restar el cuadrado del primer dígito de la raíz (9)
30061
30305
Dividir el resto B-E por 2 (división tradicional)
Alinear los grupos a la izquierda del ábaco desde la columna A y usar la división in situ para obtener el semi resto.
A
B
C
D
E
...
0
9
6
1
Esta forma es algo más rápida
Usando división in situ
Ábaco
Comentario
ABCDE
0961
Alinear el radicando con A
-9
Restar el cuadrado del primer dígito de la raíz (9)
0061
0305
División in situ por 2 del resto
30305
Anotar el primer dígito de la raíz en A
A partir de aquí coincide el estado del ábaco y podemos continuar:
Continuación
Ábaco
Comentario
ABCDE
30305
+1
Dividir el semi resto B-E por 3. (revisar B al alza)
Radicando con los pares de dígitos alineados en AB, CD, etc.
-4
Restar 2^2 del primer grupo
567890123
2839450615
Dividir por 2 el resto y los demás pares de dígitos
2 2839450615
Escribir la primera cifra de la raíz en A
+1
Dividir BCD por A (revisar al alza B)
-2
-05
Restar B^2/2=0.5 de D
21 789450615
+3
Dividir CDEF por AB (revisar al alza C tres veces)
-6
-3
-45
Restar C^2/2=4.5 de F
213154950615
213554950615
Dividir DEFGH por ABC. D: Rule 1/2>5+0
-5
Restar DxB=5 de EF
-15
Restar DxC=15 de FG
213548450615
+2
revisar al alza D dos veces
-426
213705850615
-245
Restar 7^2/2=24.5 de H
21370560F615
Raíz hasta ahora: 21.37
etc.
etc.
La raíz 2137… ( de hecho, 21.37…) va apareciendo a la izquierda. En este punto, si divide E-L (semi resto y demás dígitos) por A-D (la raíz hasta ahora) obteniendo 4 cifras del cociente (tantas como actualmente tiene la raíz) tendrá los dígitos: 2623; es decir, aproximadamente las siguientes cuatro cifras de la raíz (21.372623). Vea el capítulo: Operaciones abreviadas para detalles
Por supuesto es posible obtener las raíces cuadradas siguiendo la estrategia de preparar el dividendo haciendo uso de la división moderna (MD) y de la disposición moderna de la división (MDA)[4]; sólo hay que dejar una columna adicional a la izquierda del radicando para ello. Por ejemplo:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
0
9
9
8
0
0
1
0
0
Raíz cuadrada de 998001; división moderna con MDA
Ábaco
Comentario
ABCDEFGH
998001
Radicando alineado en B-G
-81
Restar 9^2 del primer grupo en BC
188001
9188001
Inscribir primer dígito de la raíz en A
9 940005
Dividir in situ B-G por 2
99940005
Probar 9 como segunda cifra de la raíz (inscribir en B)
-81
Restar B×A=9×9=81 de CD
99130005
-405
Restar B^2/2=9^2/2=40.5 de DE
99 89505
99989505
Probar 9 como tercera cifra de la raíz
-81
Restar C×A=9×9=81 de DE
-81
Restar C×B=9×9=81 de EF
999 405
-405
Restar C^2/2=9^2/2=40.5 de FG
999
(semi)resto nulo. ¡Hecho! la raíz es 999
También podemos usar la división normal por 2 en lugar de in situ; observe el nuevo alineamiento del radicando:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
0
0
0
9
9
8
0
0
1
0
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHI
998001
Radicando alineado en D-I
-81
Restar 9^2 del primer grupo en DE
188001
9 188001
Inscribir primer dígito de la raíz en A
9 940005
Dividir normalmente D-I por 2
99940005
Probar 9 como segunda cifra de la raíz (inscribir en B)
El método explicado como: Preparar el dividendo se conoce como 半九九法 ( Hankukuhou en japonés, Bàn jiǔjiǔ fǎ en chino) lo que podemos traducir libremente aquí como Método del semi resto y es, con mucho, el más conveniente, al menos por dos razones:
La raíz, y no su doble, reemplaza al operando (radicando) como en el resto de operaciones básicas con el ábaco.
(La más importante) Dado que dividir por números que comienzan con 1 es incómodo, pensemos en lo siguiente:
El primer grupo de dos dígitos tendrá un valor entre 1 y 99 y determinará la primera cifra de la raíz cuadrada. Para valores del primer par entre 25 y 99 (75% de los casos), el primer dígito de la raíz estará comprendido entre 5 y 9 y su doble empezará por uno. Por lo tanto, si usamos el método preparar el divisor, estaremos dividiendo por números que comienzan con 1 en el 75% de los casos. Por el contrario, si utilizamos el método preparando el dividendo, sólo en el caso de que el primer grupo sea 1, 2 o 3 (3% de los casos) tendremos que dividir por números que empiecen por uno.
Por lo que no hay duda de que el método del “medio resto” o de “preparación del dividendo” nos será más confortable en la mayoría de casos.
Tutor de raíz cuadrada con Kijoho (división tradicional) de M. Murakami, una aplicación de JavaScript que puede ejecutar directamente en su navegador o descargar a su computadora desde su repositorio en GitHub. Sólo hay que ingresar el radicando en el pequeño cuadro de entrada de la izquierda y presionar repetidamente el botón "Next" en la pantalla para asistir al desarrollo del proceso paso a paso. Con esto se pueden generar tantos ejemplos o ejercicios como se desee.
Sea el número del que queremos obtener la raíz cúbica ; Consideremos su expresión decimal, por ejemplo: y separemos sus dígitos en grupos de tres alrededor del punto decimal de la siguiente manera:
o, en otras palabras, definamos la secuencia de enteros
y construyamos la secuencia recursivamente desde
y sea la parte entera de la raíz cúbica de
es decir, es el entero más grande cuyo cubo no es mayor que . Finalmente, llamemos restos a las diferencias.
Para nuestro ejemplo tenemos:
0
0
0
0
1
456
456
7
113
2
789
456789
77
256
3
012
456789012
770
256012
4
300
456789012300
7701
78119199
5
000
456789012300000
77014
6949021256
⋯
Veamos que, por construcción, crece como (tres dígitos más en cada paso), de hecho, la secuencia , es decir: 0, 400, 456, 456.789, 456.789012, etc. tiende a ( ). En comparación, , como la parte entera de la raíz cúbica de , crece solo como (un dígito más en cada paso). Como es el entero más grande cuyo cubo no es mayor que , tenemos como arriba, pero
por definición de , o
multiplicando por
pero como crece sólo como , el segundo término tiende a cero como .
y de forma que tenemos
Para otros números, los factores de arriba son: y , donde es el número de grupos de tres cifras a la izquierda del punto decimal, negativo si éste es seguido por grupos 000 (ej. para , para , etc.).
Esta es la base de los métodos tradicionales de obtener la raíz cúbica manualmente.
Para es trivial encontrar tal que su cubo no exceda usando la siguiente tabla que puede retenerse en la memoria fácilmente. En el caso del ejemplo es .
Para , tenemos tal y como se ha dicho arriba y tratamos de construir en la forma:
donde es un número entero de un dígito que va de 0 a 9. Para obtenerlo tenemos que elegir el dígito más grande de 0 a 9 de modo que:
o
si escribimos . Desarrollando el cubo del binomio tenemos
o
El lado izquierdo de la expresión anterior puede verse simplemente como el resto anterior con el siguiente grupo de tres dígitos añadido. Si evaluamos el término de la derecha para cada valor de y lo comparamos con el término de la izquierda, tenemos:
0
0
≤ 113789
1
14911
≤ 113789
2
30248
≤ 113789
3
46017
≤ 113789
4
62224
≤ 113789
5
78875
≤ 113789
6
95976
≤ 113789
7
113533
≤ 113789
⬅
8
131552
> 113789
9
150039
> 113789
y está claro que la siguiente cifra de nuestra raíz es un 7 pero, ¿cómo podemos proceder en el caso general sin tener que explorar sistemáticamente todas las posibilidades () ?
Y es la estrategia que se suele utilizar con papel y lápiz y también se puede implementar, por supuesto, sobre el ábaco. En la expresión anterior, si vemos la parte izquierda como dividendo y el paréntesis como divisor, es el primer dígito de la división:
pero como aún no conocemos , lo aproximamos usando sólo la parte principal del divisor
Esto nos da una idea de cuál podría ser el valor de , pero necesitaremos:
Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, revisarlo al alza o a la baja según sea necesario.
Obtener el nuevo resto para preparar el cálculo del siguiente dígito de la raíz.
Puede verse un ejemplo en el blog Diario de Tone[2], ver también Método moderno abajo.
preparamos el dividendo dividiendo (el siguiente grupo de tres dígitos agregado al resto anterior) por
Como de costumbre, no conocemos y no podemos evaluar el paréntesis de la derecha, pero podemos obtener una pista sobre el valor de aproximando el paréntesis por su parte principal
y utilizándolo como divisor de prueba, de forma que
Tras lo cual, necesitamos nuevamente:
Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, corregirlo hacia al alza o a la baja según sea necesario.
Obtener el siguiente resto para preparar la obtención del siguiente dígito de la raíz evaluando .
Tenga en cuenta que:
El divisor 3 está involucrado en el dividendo preparado y esto conduce a fracciones decimales no finitas.
La división por no sólo empeora lo anterior, sino que también hace que el dividendo preparado sea específico para el paso actual, ya que el valor de evoluciona con el cálculo de las diferentes cifras de la raíz.
Esto no ocurría en el cálculo de raíces cuadradas y, como consecuencia, el proceso de obtención de raíces cúbicas es mucho más complicado y requiere un ciclo complejo de fases de preparación-restauración del dividendo que, siguiendo a Knott, podemos representar mediante el siguiente esquema :
Fase
Operación
a
Dividir por .
b
Dividir por 3.
c
Obtener como el primer dígito de la división de lo anterior por .
d
Restar (Equivalente a restar y de ).
e
Multiplicar por 3.
f
Multiplicar por .
g
Restar .
En nuestro ejemplo (), usando la división tradicional (TD) y el arreglo de división tradicional (TDA) como lo hace Knott, trabajando los dos primeros dígitos:
Raíz cúbica de 456.7890123
Ábaco
Comentario
ABCDEFG
456789
Primer grupo del radicando alineado con B
-343
Restar 7^3=343 del primer grupo
113789
Primer resto
7113789
7 en A como primer dígito de la raíz; considerar el segundo grupo
7113789
a) Dividir B-G por 7 (nota 1)
7162554
b) Dividir B-G por 3 (nota 2)
7541835
c) Dividir B por A (una cifra de cociente) (nota 3)
7751835
d) Restar 7*7=49 de CD
77 2835
e) Multiplicar CDEF por 3. Sumar 3✕283 a CDEFG
77 854
f) Multiplicar CDEF por 7. Sumar 7✕85 a CDEFG
77 599
-343
g) Restar 7^3=343 a CDEFG
77 256
Nuevo resto
...
Raíz obtenida hasta ahora: 7.7
Notas
No es necesario extender la división por 7 más allá del grupo actual de tres dígitos. El 4 en G es un resto de división que significa 4/7.
Lo mismo puede decirse de la división por 3. Se realiza hasta la columna F y el resto (1) se agrega temporalmente a la columna G. El valor (5) en dicha columna es un extraño híbrido que significa 1/3 y 4/7. No importa, esta extraña situación será corregida en los pasos e y f.
Aquí, al aplicar la regla 5/7>7+1, ya hemos restado , por lo que en el paso siguiente (d) sólo nos falta restar
Miembros del Soroban & Abacus Group han modificado la técnica descrita por Knott para adaptarla al uso del ábaco y método modernos[3]. El resultado es supuestamente más rápido a expensas de ser menos compacto y requerir un ábaco con más varillas para almacenar datos intermedios. También se pierde la sencillez de tener el resultado sustituyendo directamente al radicando.
También puede encontrar una compilación de métodos modernos para raíces cuadradas y cúbicas en Tone Nikki (とね日記)[2] de un blogger japonés (el nombre del autor no parece estar disponible).
Los siguientes ejemplos se presentan utilizando la división tradicional (TD) y la disposición de división tradicional (TDA). Las fases del ciclo de preparación-restauración de dividendos están etiquetadas con a), b), etc. como se ha hecho en el ejemplo previo.
Otro ejemplo similar al anterior (el radicando es el cubo de un número de dos cifras).
Ábaco
Comentario
ABCDEFG
Raíz cúbica de 830584
830584
Introducir 830584 alineando el primer grupo con B
-729
Restar 9^3=729 de BCD
101584
101: Primer resto
9101584
Poner 9 en A como primer dígito de la raíz y considerar el siguiente grupo second group
9101584
a) Dividir C-F por 9 (G contendrá el resto)
9112871
b) Dividir C-F por 3
9376232
c) Dividir B por 9 (A)
9416232
d) Restar 4^2=16 de CD
94 232
e) Multiplicar 23x3 en EFG (sumando el resto en G)
94 71
f) Multiplicar 07x9 en EFG
94 64
g) Restar 4^3= 64 de FG
94
resto 0; ¡Hecho! La raíz es: 94
La raíz es 94.
Es tal vez conveniente que el lector practique ejemplos como este antes de intentar obtener más cifras de la raíz. Al final de este capítulo se incluye una tabla de cubos de números de dos cifras que le pueden ser de ayuda para este fin.
En este caso, el radicando no es un cubo perfecto, la raíz es un número irracional con infinitos decimales comprendido entre 8 y 9. Empezamos calculando las dos primeras cifras de la raíz.
Ábaco
Comentario
ABCDEFG
Raíz cúbica de 666
666
Introducir 666 en BCD
+
(columna unidad)
-512
Restar 8^3=512 de BCD
154
Primer resto
8154
Poner 8 en A como primer dígito de la raíz
8154000
Añadir 000 como nuevo grupo
8154000
a) Dividir B-F por 8 (A)
8192500
b) Dividir B-F por 3
8641662
c) Dividir B por 8 (A)
8781662
d) Restar B^2=49 de CD
8732662
e) Multiplicar C-F por 3 en C-G
87 9800
f) Multiplicar C-F por 8 (A) en C-G
87 7840
g) Restar B^3=343 de EFG
87 7497
Raíz hasta ahora: 8.7, resto: 7.497
+
(columna unidad)
Ahora continuamos usando operaciones abreviadas. Necesitamos dividir el resto (7497) por tres veces el cuadrado de la raíz actual ()
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJKLM
87 7497
87 7497------
Elevar 87 al cuadrado (binomio de Newton)
+49
7^2
+112
2*7*8
+64
8^2
87 7497 7569
multiplicar por 3 (sumando el doble)
+14
+10
+12
+18
87 7497 22707
Dividir 7497/22707, obteniendo dos cifras del cociente
El primer triplete, 110, está entre 64 y 125, por lo que la raíz cúbica de 110 591 estará entre 40 y 50. Por tanto, el primer dígito de la raíz es 4
Primer dígito:
Raíz cúbica de 110591: Primer dígito
Ábaco
Comentario
ABCDEFG
110591
Primer triplete alineado con B
-64
Restar 6^3=216 de BCD
46591
46: Primer resto
46591
Inscribir 4 en A como primera cifra de la raíz y considerar el segundo grupo
4 46591
¡Primer dígito listo!
Segundo dígito:
Raíz cúbica de 110591: Segundo dígito
Ábaco
Comentario
ABCDEFG
4 46591
a) Dividir B-F por 4 (A)
4116473
b) Dividir B-F por 3
4388234
c) Dividir B por 4 (A)
4868234
d) Restar BxB=64 de CD
48 4234
e) Multiplicar C-F por 3 en C-G
48 1273
f) Multiplicar C-F por 4 (A) en C-G
48 511
g) ¡No se puede restar 8^3=512 de EFG! Marcha atras (ver nota al final)
48 511
-f) Dividir C-F por 4 (A)
48 1273
-e) Dividir C-F por 3
48 4234
-d) sumar 8x8=64 a CD
4868234
-c) Revisar B a la baja
-1
+4
47T8234
d) Restar BxB=49 de CD (T=10)
4759234
e) Multiplicar C-F por 3 en C-G
4717773
f) Multiplicar C-F por 4 (A) en C-G
47 7111
g) Restar B^3=343 de EFG
47 6768
¡Segundo dígito listo! Resto: 6768
Tercer dígito:
Raíz cúbica de 110591: Tercer dígito
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJ
47 6768000
Añadir 000 al resto anterior
47 6768000
a) Dividir C-H por 47 (AB)
4714400000
b) Dividir C-H 3
4748000000
c) Dividir C por 47 (AB)
4795700000
d) Restar C^2=81 de EF
4794890000
e) Multiplicar D-H por 3 en D-I
4792298300
f) Multiplicar D-H por 47 (AB) en D-J
479 689490
g) Restar C^3=729 de HIJ
479 688761
¡Tercer dígito listo! resto: 688761
Cuarto dígito:
Raíz cúbica de 110591: Cuarto dígito
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJKLM
479 688761000
Añadir 000 al resto anterior
479 688761000
a) Dividir D-J por 479
4791437914194
b) Dividir D-J por 3
4794793046394
c) Dividir D por 479 1d
4799482046394
d) Restar 9^2=81 de GH
4799473946394
e) Multiplicar E-J por 3 en E-K
4799142184194
f) Multiplicar E-J por 479 en E-M
4799 68106330
g) Restar -D^3=729 de KLM
4799 68105601
¡Cuarto dígito listo! resto: 68105601
Ahora terminamos el cálculo usando operaciones abreviadas. Necesitamos dividir el resto (68105601) por tres veces el cuadrado de la raíz actual (4799). Los primeros cuatro dígitos del resultado se añaden a continuación de los ya obtenidos; por ejemplo:
Raíz cúbica de 110591: Continuación usando operaciones abreviadas
Ábaco
Comentario
ABCDEFGHIJKLM
4799 68105601
Dividir E-M por 4799
479914191623
Dividir E-M por 4799
47992957204
Dividir E-M por 3
47999857
Compárese este resultado con
Como podemos ver, hemos obtenido un resultado con 7 cifras correctas.
Nota
Encontramos arriba que con la raíz 48 no podíamos restar , o nos encontraríamos con un resto negativo (-1). Esto puede parecer desafortunado, ya que nos obligó a deshacer parte del trabajo y corregir la nueva cifra de la raíz a la baja, pero en la práctica lo que encontramos es un resultado afortunado: el pequeño resto negativo (-1) nos indica que 48 es una excelente aproximación (por exceso) a la raíz, abriendo una nueva forma de resolver el problema. De hecho, lo que tenemos es:
o
donde podemos usar
de forma que
compárese con . ¡De este modo podríamos haber logrado una gran precisión con poco esfuerzo!
El ábaco se estudia actualmente como un arte tradicional o como un medio para desarrollar habilidades numéricas y cognitivas en general, no se espera de él que, en la era de las computadoras, se use como calculadora para resolver problemas del mundo real. Pero si ese fuera el caso y tuviéramos que resolver una gran cantidad de raíces cúbicas (algo inusual), es posible que desee pasar de los métodos tradicionales, o la aritmética básica, a los métodos modernos de análisis numérico y probar el Método de Newton-Raphson. Puede encontrar una adaptación de este método al ábaco jccAbacus[4] en el capítulo Método de Newton para Raíces Cuadradas, Cúbicas y Quintas de la sección sobre Técnicas avanzadas.
El método tradicional de obtener raíces cúbicas con el ábaco es complejo. No es mala idea entrenarse obteniendo el segundo dígito de la raíz antes de intentar pasar al tercero o cuarto. Para esto puede serle útil la siguiente tabla de cubos de números de dos cifras no terminados en cero.
Con un ábaco 5+2
Con un ábaco 5+1
Con un ábaco 5+3
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{488931400152}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ab2da10cf7782cc3f41bbdad8744b48074e527)
![{\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be50c0a49b200fb46800951d0268b0a9d4e3fdda)
![{\displaystyle y_{i}=\lfloor {\sqrt[{3}]{x}}_{i}\rfloor }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6b74c3db5ed9d039940654a5f656b7a4a6324a)
![{\displaystyle y_{i}\cdot 10^{1-i}\to y={\sqrt[{3}]{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19b59d6c6ea22c81e4704d3a2678d5861c339f7)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{666}}=8.7328917}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5729ad823780f5c1171e0ce28be7d60240908ce)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{110591}}=47.9998553236\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58759cfd56f5119a684ff8c3f2a44f644f9eb5ee)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{110591}}=48{\sqrt[{3}]{1-{\frac {1}{48^{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dfc416a4ded744ab4cef22da345dd34f371ff44)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1-a}}\approx 1-{\frac {a}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de6d21a4b1501b0c5a428fe6307c7f861239ca8f)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{110591}}=48{\sqrt[{3}]{1-{\frac {1}{48^{3}}}}}\approx 48\left(1-{\frac {1}{3\cdot 48^{3}}}\right)=48-{\frac {1}{3\cdot 48^{2}}}=47.999855324}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0886d419a1837fa53ce9da9caed1312594d81565)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{110591}}=47.999855323638}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b059f89e7e920214a3c8a3da6d8fa20f8bf068d)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{250047}}=60+3=63}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b9cd87a0ad9a4aedc9f6022f2257d3303482db)