Ábaco Oriental/Técnicas Avanzadas/Números Negativos

Introducción

La totalidad de los problemas aritméticos pueden resolverse usando sólo números positivos, por lo que podríamos decir que, en cierto sentido los números negativos son innecesarios. Tal vez sea esta la razón por la cual, a pesar de ser conocidos desde la antigüedad (aparecen por primera vez en Los nueve capítulos sobre el arte matemático de la Dinastía Zhou hace más de 2000 años, y después en las obras de matemáticos hindúes, persas, árabes e incluso en la de Fibonacci), no hayan sido muy apreciados por los matemáticos occidentales hasta el siglo XIX. Pero es indudable que los números negativos permiten dar una solución más sencilla a algunos problemas y ensanchan enormemente el pensamiento matemático, preparando el camino del resto de generalizaciones que han conformado las Matemáticas Modernas. En el ábaco pasa lo mismo, podemos prescindir totalmente de los números negativos pero nos ayudarán a resolver más fácil y elegantemente algunos problemas y, sobre todo, nos darán una nueva visión, más profunda, de la Aritmética de Cuentas.

Además de las cuestiones tratadas en este capítulo, encontrará otros usos de los números negativos en el ábaco en el capítulo Métodos Especiales de División.

Método de los complementos

Aritmética con número fijo de dígitos

Ábaco binario mostrando los números 1 al 6 y su codificación en binario

Un ábaco y una computadora se parecen mucho... En el corazón de la computadora, su CPU, la unidad de aritmética y lógica ALU contiene varios registros, memorias ultrarápidas destinadas a almacenar transitoriamente los operandos sobre los que se va a trabajar, que son equivalentes, desde el punto de vista lógico, a ábacos binarios (o de tipo 0+1) como el de la figura. Tales ábacos, con sólo una cuenta por columna, pueden representar sólo un dígito binario, 0 o 1 (bit) en cada una de ellas y el número de columnas o bits de cada registro es limitado, siendo 8, 16, 32 y 64 valores frecuentemente usados en el diseño de procesadores. El tamaño de los registros de una CPU limita el tamaño de los números que puede manejar directamente, lo cual no suele ser un problema si ese tamaño resulta suficiente para las aplicaciones. Nuestro ábaco es semejante a un registro en el sentido de que también está limitado a un número fijo de columnas, aunque cada columna puede contener un dígito decimal en lugar de binario; al igual que los registros de la CPU, sólo podremos trabajar en nuestro ábaco con números de hasta cierto tamaño.

Tiene pues sentido plantearse algunas cuestiones relativas a los cálculos aritméticos con un número limitado de dígitos; por ejemplo, si estamos limitados a cinco dígitos podemos representar hasta el número $99999$, pero ¿qué pasaría si sumamos este número a sí mismo?

$$99999+99999=199998=1\{99998\}$$

Se produciría un desbordamiento y el 1 inicial no cabe en nuestro ábaco o registro, sólo los dígitos entre llaves serían almacenados o visibles para nosotros:

$$99999+99999=99998$$

Esto es claramente una barbaridad, y un problema para nosotros si tenemos que sumar tales números con una lógica (tamaño de registro o de ábaco) tan limitada; pero a su vez nos abre la posibilidad de codificar números negativos donde en principio sólo podríamos tener números positivos y también la posibilidad de reducir la sustracción a la adición (lo cual a nosotros no nos interesa para nada pues ya sabemos restar con nuestro ábaco, pero ha ahorrado mucha circuitería en muchas CPUs). La clave va a consistir en el concepto de número complementario de $n$ cifras.

Definición de complemento de n dígitos

Dado un número entero $x$, positivo y menor que $10^{n}$, definamos su complemento de $n$ dígitos $^{n}C_{x}$ como:

$$^{n}C_{x}=10^{n}-x$$

por ejemplo, el complemento de cinco dígitos de 147

$$^{5}C_{147}=10^{5}-147=100000-147=99853$$

Complemento del complemento de n dígitos

Reordenando la expresión:

$$^{n}C_{x}=10^{n}-x$$

como

$$x=10^{n}-{}^{n}C_{x}$$

tenemos que

$$x={}^{n}C_{{}^{n}C_{x}}$$

es decir, el complemento del complemento de un número es el número de partida; para el ejemplo:

$$147={}^{5}C_{^{5}C_{147}}={}^{5}C_{99853}=10^{5}-99853=147$$

Obtención

Frecuentemente, en lo que sigue, tendremos necesidad de obtener mentalmente el complemento de un número. Hacer la resta mentalmente puede ser complicado por los acarreos (tomar prestado), así que la forma más sencilla de obtener $^{n}C_{x}$ será:

$$^{n}C_{x}=10^{n}-x=(10^{n}-1)-x+1$$

ya que número $(10^{n}-1)$ es $999\cdots 9$ con exactamente $n$ dígitos; por ejemplo, $(10^{5}-1)=99999$, y esto nos que permite restarle $x$ dígito a dígito sin acarreos

$$^{5}C_{147}=10^{5}-147=100000-147=99999-147+1=99999-00147+1=99853$$

y la resta $99999-00147$ se puede hacer dígito a dígito sin acarreo

$$99999-00147=[9-0][9-0][9-1][9-4][9-7]=99852$$

o lo que es igual, sustituyendo cada dígito del número por su complemento a 9 dado en la tabla

Complementos a 9

0 - 9

1 - 8

2 - 7

3 - 6

4 - 5

(que nos sería práctico memorizar) con lo que sólo nos falta añadir la unidad para obtener el complemento al número dado de dígitos

$$^{5}C_{147}=99999-00147+1=99852+1=99853$$

Recíprocamente, si tenemos el complemento de un número, podremos conocer éste como el complemento del complemento dado en virtud de lo dicho en el apartado anterior; ejemplo, dado ${}^{5}C_{x}=99853$:

$$x={}^{5}C_{{}^{5}C_{x}}={}^{5}C_{99853}=99999-99853+1=00146+1=147$$

Esto es otra operación que tendremos que hacer mentalmente con frecuencia y que resolveremos usando los complementos a nueve.

Ampliación y reducción de un complemento

Supongamos conocido ${}^{n}C_{x}$ y que deseamos obtener ${}^{m}C_{x}$ con $m>n$; por definición:

$${}^{m}C_{x}=10^{m}-x=$$ $$=10^{m}-10^{n}+10^{n}-x=10^{m}-10^{n}+{}^{n}C_{x}=$$ $$=(10^{m-n}-1)\cdot 10^{n}+{}^{n}C_{x}$$

pero $(10^{m-n}-1)\cdot 10^{n}$ es el número formado por $m-n$ nueves seguido de $n$ ceros, por lo que obtendremos ${}^{m}C_{x}$ simplemente anteponiendo $m-n$ nueves a ${}^{n}C_{x}$; por ejemplo:

$${}^{7}C_{147}=9900000+{}^{5}C_{147}=9900000+99853=9999853$$

De la misma forma, podemos reducir un complemento si podemos suprimir nueves de la izquierda del mismo; por ejemplo, dado ${}^{5}C_{147}=99853$, tendremos:

$${}^{3}C_{147}={}^{5}C_{147}-99000=99853-99000=853$$

Significado

Si sumamos un número a su complemento obtenemos:

$$x+{}^{n}C_{x}=x+10^{n}-x=10^{n}$$

por lo que $^{n}C_{x}$, en esta aritmética de $n$ dígitos se comporta como el inverso aditivo de x; es decir, como $-x$, siendo, por tanto, una representación operativa de este ya que el $1$ inicial de $10^{n}$ queda fuera del rango de dígitos que vemos y sólo nos serán visibles los $n$ ceros que le siguen. En el ejemplo de cinco dígitos:

$$147+{}^{5}C_{147}=147+10^{5}-147=100000=1\{00000\}$$

donde sólo vemos los dígitos entre llavecitas y por lo tanto el resultado es $0$.

Suma de un complemento

Sea $y>x$, calculemos la suma $y+{}^{n}C_{x}$; por definición de ${}^{n}C_{x}$ será:

$$y+{}^{n}C_{x}=10^{n}+(y-x)>10^{n}$$

pero como sólo nos resultan visibles $n$ cifras, perdemos de vista el acarreo y el resultado que obtenemos es:

$$y+{}^{n}C_{x}=y-x$$

Ejemplo: con $n=5$, $y=200$ y $x=147$

$$200+{}^{5}C_{147}=200+99853=1\{00053\}=53=200-147$$

Supongamos ahora que $y<x$:

$$y+{}^{n}C_{x}=10^{n}+(y-x)=10^{n}-(x-y)={}^{n}C_{x-y}<10^{n}$$

no hay desbordamiento por acarreo y lo que obtenemos es el complementario de la diferencia $y-x$ cambiada de signo.

Ejemplo: con $n=5$ $y=100$ y $x=147$

$$100+{}^{5}C_{147}=100+99853=00053=99953={}^{5}C_{47}<10^{5}$$

Es decir, en ambos casos el proceso nos resuelve la diferencia $y-x$, pero nos presenta el resultado de un modo u otro dependiendo de si este es positivo o negativo (o lo que es lo mismo, si hay acarreo o no). En el caso de una computadora, esto requerirá reservar un bit del registro para dicho acarreo; en nuestro caso, una columna adicional del ábaco o bien, en la mayoría de las ocasiones, llevar la cuenta mentalmente de si hay o no acarreo.

Esta es la forma en la que la sustracción puede reducirse a la adición, tal y como mencionamos más arriba.

Ábacos y números negativos

A continuación veremos el modo de aplicar lo anterior sobre el ábaco con el fin de poder incluir números negativos en la aritmética de cuentas.

El otro lado del ábaco

Empecemos por introducir el concepto de las dos caras o lados del ábaco y cómo leerlas.

Complementos y el ábaco moderno

Ingresemos el número $147$ alineado a la derecha en un ábaco moderno (tipo 4+1) de cinco columnas:

147 en un 4+1

	A	B	C	D	E
	0	0	1	4	7

Interpretamos que la disposición de cuentas presentadas en la figura corresponde al número $147$ en las columnas CDE sin más que sumar, para cada posición decimal (columnas o varillas), el valor atribuido a cada una de las cuentas activadas. Si hacemos lo mismo pero con las cuentas desactivadas, obtendremos $99852$, número que se relaciona con el anterior en el sentido de que cada dígito ha sido sustituido por su complemento a 9 (dado que que la suma del valor atribuido a todas las cuentas de una columna es nueve). Por tanto, y de acuerdo a lo tratado arriba, sólo nos faltaría sumar $1$ al número así leído para conocer el complemento de 5 cifras del número $147$ (${}^{5}C_{147}=99853$). A falta de otra denominación, cuando hagamos esto diremos que hemos leído el Otro Lado del ábaco como contrapuesto a la lectura de Este Lado del ábaco.

Las dos lecturas del ábaco

	A	B	C	D	E
	0	0	1	4	7	¡Lectura en Este Lado!
	9	9	8	5	3	¡Lectura del Otro Lado!

También, limitando la lectura, habríamos podido determinar ${}^{4}C_{147}=9853$ y ${}^{3}C_{147}=853$.

Recíprocamente, si tenemos ${}^{5}C_{147}=99853$ en nuestro ábaco, la lectura del otro lado nos dará su complemento que, como sabemos, es el número original $147$

99853 en un ábaco 4+1

	A	B	C	D	E
	9	9	8	5	3	¡Lectura en Este Lado!
	0	0	1	4	7	¡Lectura del Otro Lado!

Complementos y el ábaco tradicional

Desafortunadamente, si empleamos un ábaco diferente, un 5+1, 5+2 o 5+3, no podremos leer el otro lado contando las cuentas desactivadas; tendríamos que excluir mentalmente las cuentas adicionales, lo cual podría resultarnos confuso y proclive a errores. Con estos ábacos resultará más sencillo sustituir mentalmente cada dígito de este lado por su complemento a 9 y añadir 1 al total.

147 en un ábaco 5+2

	A	B	C	D	E
	0	0	1	4	7	¡Lectura en Este Lado!
	9	9	8	5	3	¡Lectura del Otro Lado!

Éste es el método universal, aplicable tanto a cualquier tipo de ábaco como al cálculo con papel y lápiz, por lo que merece la pena esforzarse en seguirlo.

99853 en un ábaco 5+2

	A	B	C	D	E
	9	9	8	5	3	¡Lectura en Este Lado!
	0	0	1	4	7	¡Lectura del Otro Lado!

Suma y Resta

Un ábaco sólo soporta las operaciones de suma y resta; todo lo demás, multiplicación, división, raíces, etc. debe reducirse a una secuencia estructurada de sumas y restas. Podremos ingresar al otro lado desde cualquier operación aritmética, pero siempre ocurrirá cuando debamos restar de una cantidad reflejada directamente en el ábaco otra de mayor valor dando un resultado negativo; por ejemplo en la operación $77-94=-17$. Diremos que hemos entrado en el otro lado porque a partir de ese momento, si queremos leer el resultado representado en el ábaco, deberemos leer el complemento de las cuentas activas como se ha explicado arriba; que hemos salido del otro lado o vuelto a este lado cuando los resultados a leer son positivos y podemos hacer la lectura directa de las cuentas activas.

Veamos el ejemplo de la operación mencionada $77-94=-17$:

77-94=-17

Ábaco	Comentario
ABCDEF
77
(-94)	No podemos restar!
+1000	Tomamos prestado 1000 de la nada...
1077
-94	Ahora si podemos restar
983	Hemos ingresado al otro lado
>>-17	Lectura del otro lado

Veamos qué hemos hecho aquí. Al no poder restar 94 de 77, hemos tomado prestado de la nada, por decirlo de alguna forma, 1000 que, añadido a 77, nos da 1077, cantidad de la que sí podemos restar 94. Al añadir 1000 y restar 94 a 77, le hemos sumado $1000-94=906={}^{3}C_{94}$ a 77, por lo que el resultado es el complemento de la diferencia según se ha discutido en el apartado del Método de los complementos; es decir:

$$77+{}^{3}C_{94}={}^{3}C_{94-77}$$

que es lo único que da sentido a tomado prestado de la nada; en realidad no estamos tomando nada prestado (sería injustificable desde el punto de vista matemático), lo que hacemos es cambiar de modo de operación formando directamente sobre el ábaco el complemento ${}^{3}C_{94}$ a la par que lo sumamos a 77. Al cambiar de modo hemos entrado en el otro lado y a partir de ese momento debemos hacer las lecturas del otro lado para conocer los resultados.

Nota:

Inicialmente podrá el lector añadir físicamente el 1 a la columna B arriba, pero debería esforzarse un no añadir un 1 que va a ser retirado inmediatamente para ahorrar tiempo, por no mencionar que esa columna podría estar previamente ocupada como ocurrirá en Revisión a la baja desde el otro lado. Introduzca ese uno, y los que necesitará en este tipo de cálculo, sólo en su mente.

Si al resultado anterior sumamos, por ejemplo, 104 tendríamos $77-94+104=87$, un resultado positivo:

77-94+104=-17

Ábaco	Comentario
ABCDEF
77
(-94)	No podemos restar!
+1000	Tomamos prestado 1000 de la nada...
1077
-94	Ahora si podemos restar 94
983	Hemos ingresado al otro lado!
>>-17	Lectura del otro lado
+104	Sumamos
1087
-1000	Devolvemos lo que tomamos prestado de la nada
87	Hemos vuelto a este lado!

Observe el lector como al sumar 104 se produce un acarreo más allá de la frontera de tres dígitos de los complementos que estamos usando aquí (un desbordamiento), lo cual, de acuerdo a lo expresado en Método de los complementos debemos ignorar por no sernos visible, indicándonos que el resultado es positivo y hemos vuelto a este lado del ábaco. Ignorar ese acarreo equivale al devolver lo que hemos tomado prestado indicado en la tabla anterior.

Nota:

Por el mismo motivo expresado en la nota anterior, deberíamos evitar llevar el acarreo físicamente a la columna B; ¡hagámoslo sólo en nuestra mente!

Veamos otro ejemplo. Supongamos que nos están dictando números y nos han pedido restar 94 de 77 y que ya lo hemos resuelto como acabamos de ver y en nuestro ábaco figura 983, supongamos que ahora nos piden restar 1727 de dicho resultado...

77-94-1727=-1744

Ábaco	Comentario
ABCDEF
77
(-94)	No podemos restar!
+1000	Tomamos prestado 1000 de la nada...
1077
-94	Ahora si podemos restar 94
983	Hemos ingresado al otro lado!
>>-17	Lectura del otro lado
983
(-1727)	No podemos restar!
+9	Complemento de 4 cifras
9983
-1727	Ahora si podemos restar 1727
8256	Seguimos en el otro lado
>-1744	Lectura del otro lado

Al sumar 9 en B, estamos utilizando lo dicho en Ampliación y reducción de un complemento y transformamos un complemento de 3 dígitos en otro de 4, lo que permite continuar la operación y obtener -1744. Seguimos en el otro lado y sólo podríamos salir por un acarreo a la columna B al sumar una cantidad suficientemente grande; por ejemplo 1744 (para comprobar que hemos leído correctamente el otro lado), deberíamos obtener 1{0000}, donde el 1 es el acarreo a B que nos saca del otro lado y las cifras visibles (entre llaves) nos indican que el resultado es 0 en este lado.

Multiplicación

No es de esperar que lo que sigue sea de mucha aplicación, pero sí una forma de ampliar nuestra comprensión de los números complementarios y del ábaco.

Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos. Deseamos formar el producto $(-a)\cdot b$ y para ello contaremos con la representación de $-a$ en la forma de complemento:

$${}^{k}C_{a}=10^{k}-a$$

donde $k$ es el número de dígitos de $a$, y también contaremos con el complemento de $b$:

$${}^{l}C_{b}=10^{l}-b$$

donde $l$ es el número de dígitos de $b$. Formemos el producto:

$$p=b\cdot {}^{k}C_{a}=b\cdot 10^{k}+b\cdot (-a)=b\cdot 10^{k}-a\cdot b$$

Sumemos ahora ${}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}$ al primer y último término de la expresión anterior:

$$p+{}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}={}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}+b\cdot 10^{k}-a\cdot b=10^{k+l}-b\cdot 10^{k}+b\cdot 10^{k}-a\cdot b$$

con lo que tenemos:

$$p+{}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}=10^{k+l}-a\cdot b={}^{k+l}C_{a\cdot b}$$

es decir, la cantidad $p+{}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}$ es el complemento de $k+l$ dígitos del producto buscado.

Veamos un ejemplo: $a=12$ con (${}^{2}C_{12}=88$) y $b=62$ con (${}^{2}C_{62}=38$); entonces será: $(-a)\cdot b=-12\cdot 62=-744$. Tendremos:

$$p=b\cdot {}^{k}C_{a}=62\cdot {}^{2}C_{12}=62\cdot 88=5456$$

y

$${}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}={}^{2}C_{62}\cdot 10^{2}=3800$$

por lo que

$$p+{}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}=5456+3800=9256$$

que es el complemento de cuatro cifras de $a\cdot b=744$ por lo que

$$(-a)\cdot b=-744$$

Sobre el ábaco:

(-12) x 62 = -744

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
62   12	b y a
62   88	b y 2Cb
...	Multiplicación moderna
62    5456	p
+3800	2Cbx10k
62    9256
>>-744	Lectura del otro lado

Nótese que, a efectos prácticos, sumar ${}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}$ equivale a restar $b$ de los dígitos de la izquierda de $p$

(-12) x 62 = -744

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
62   12	b y a
62   88	b y 2Cb
...	Multiplicación moderna
62    5456	p
-62	Restar b tomando prestado de la nada
62    9256
>>-744	Lectura del otro lado

División

Si la división es la operación inversa de la multiplicación, para dividir $(-744)/62$ deberemos invertir los pasos dados en el apartado anterior; así, si hemos terminado antes restando el multiplicador de los dígitos de la izquierda del producto, tomando prestado de la nada, empezaremos ahora sumando el divisor a los dígitos de la izquierda del dividendo acarreando a la nada. Tenemos $a=744,b=62$; calculemos: $q=(-a)/b$:

(-744)/62 = -12

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
62     744	a y b
62    9256	b y 4C744
+62	Sumar b acarreando a la nada
62    5456
...	División moderna
62   88	Cociente
>>-12	Lectura del otro lado

Probablemente se pregunte por qué hemos formado ${}^{4}C_{744}=9256$ en el ábaco en lugar de ${}^{3}C_{744}=256$ que es más sencillo. Recuerde lo dicho para la multiplicación: el producto nos aparece como un complemento de $k+l$ cifras donde $k$ y $l$ son los números de dígitos del multiplicando y del multiplicador; por esto no nos sirve ${}^{3}C_{744}$ aquí y necesitamos ampliar a ${}^{4}C_{744}$. Puede emplear este argumento para decidir en cada caso que complemento usar o bien seguir la siguiente:

Regla práctica:

Sume mentalmente el divisor a los dígitos de la izquierda del complemento a dividir, si se produce acarreo (a la nada), podemos proceder; en caso contrario añada un 9 a la izquierda del complemento a dividir y proceda.

Por ejemplo: $-132/11=-12$, ${}^{3}C_{132}=868$, $868+110=0{978}$ y no hay acarreo pero $9868+1100=1{0968}$ sí da lugar a acarreo. Procedemos entonces a dividir $968/11=88$ y, leyendo el otro lado de $88$, tendremos la respuesta $-12$.

Otras lecturas

• Murakami, Masaaki (2019). «The Other Side of Soroban» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el 1 de Agosto de 2021.
• Tejón, Fernando; Heffelfinger, Totton (2005). «Complementary Numbers (Simplifying Subtraction & The Negative Answer)» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el 21 de Diciembre de 2018.

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Ábaco Oriental▶[+6] Índice, Introducción, Página de edición, Enlaces, Texto completo

La humanidad ha utilizado ábacos, de un tipo u otro, desde los albores de la civilización para satisfacer sus necesidades de cálculo y contabilidad. La versión moderna del ábaco oriental, originario de China, todavía se utiliza hoy en día en todo el mundo para ayudar a los niños a mejorar su comprensión y habilidades numéricas. La Aritmética con Cuentas (珠算; léase zhūsuàn en chino, shuzan en japonés), o arte del uso del ábaco oriental, ha sido inscrito en 2013 en la Lista Representativa del Patrimonio Cultural Inmaterial de la Humanidad de la UNESCO.▶

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