Ábaco Oriental/Métodos Tradicionales/Raíces Cúbicas

Teoría

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Sea   el número del que queremos obtener la raíz cúbica  ; Consideremos su expresión decimal, por ejemplo:   y separemos sus dígitos en grupos de tres alrededor del punto decimal de la siguiente manera:

 

o, en otras palabras, definamos la secuencia de enteros  

 

y construyamos la secuencia   recursivamente desde  

 

y sea   la parte entera de la raíz cúbica de  

 

es decir,   es el entero más grande cuyo cubo no es mayor que  . Finalmente, llamemos restos a las diferencias.

 

Para nuestro ejemplo tenemos:

         
0 0 0 0
1 456 456 7 113
2 789 456789 77 256
3 012 456789012 770 256012
4 300 456789012300 7701 78119199
5 000 456789012300000 77014 6949021256

Veamos que, por construcción,   crece como   (tres dígitos más en cada paso), de hecho, la secuencia  , es decir: 0, 400, 456, 456.789, 456.789012, etc. tiende a   (  ). En comparación,  , como la parte entera de la raíz cúbica de  , crece solo como   (un dígito más en cada paso). Como   es el entero más grande cuyo cubo no es mayor que  , tenemos   como arriba, pero

 

por definición de  , o

 

multiplicando por  

 

pero como    crece sólo como  , el segundo término tiende a cero como  .  

 

y   de forma que tenemos

 

Para otros números, los factores de arriba son:   y  , donde   es el número de grupos de tres cifras a la izquierda del punto decimal, negativo si éste es seguido por grupos 000 (ej.   para  ,   para  , etc.).

Esta es la base de los métodos tradicionales de obtener la raíz cúbica manualmente.

Procedimiento

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Empezamos con  .

Primer dígito

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Tabla de cubos
   
1 1
2 8
3 27
4 64
5 125
6 216
7 343
8 512
9 729

Para   es trivial encontrar   tal que su cubo no exceda   usando la siguiente tabla que puede retenerse en la memoria fácilmente. En el caso del ejemplo es  .

Dígitos siguientes

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Para  , tenemos   tal y como se ha dicho arriba y tratamos de construir   en la forma:

 

donde   es un número entero de un dígito que va de 0 a 9. Para obtenerlo tenemos que elegir el dígito más grande de 0 a 9 de modo que:

 

o

 

si escribimos  . Desarrollando el cubo del binomio tenemos

 

o

 

El lado izquierdo de la expresión anterior puede verse simplemente como el resto anterior con el siguiente grupo de tres dígitos añadido. Si evaluamos el término de la derecha para cada valor de   y lo comparamos con el término de la izquierda, tenemos:

 
     
0 0 ≤ 113789
1 14911 ≤ 113789
2 30248 ≤ 113789
3 46017 ≤ 113789
4 62224 ≤ 113789
5 78875 ≤ 113789
6 95976 ≤ 113789
7 113533 ≤ 113789  ⬅
8 131552 > 113789
9 150039 > 113789

y está claro que la siguiente cifra de nuestra raíz es un 7 pero, ¿cómo podemos proceder en el caso general sin tener que explorar sistemáticamente todas las posibilidades ( ) ?

Aquí Knott[1] distingue dos estrategias:

  • Preparar el divisor
  • Preparar el dividendo

que pasamos a discutir.

Preparando el divisor

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Esto se corresponde con la expresión anterior

 

Y es la estrategia que se suele utilizar con papel y lápiz y también se puede implementar, por supuesto, sobre el ábaco. En la expresión anterior, si vemos la parte izquierda como dividendo y el paréntesis como divisor,   es el primer dígito de la división:

 

pero como aún no conocemos  , lo aproximamos usando sólo la parte principal del divisor

 

Esto nos da una idea de cuál podría ser el valor de  , pero necesitaremos:

  1. Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, revisarlo al alza o a la baja según sea necesario.
  2. Obtener el nuevo resto para preparar el cálculo del siguiente dígito de la raíz.

Puede verse un ejemplo en el blog Diario de Tone[2], ver también Método moderno abajo.

Preparando el dividendo

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Empezando de nuevo con

 

preparamos el dividendo dividiendo   (el siguiente grupo de tres dígitos agregado al resto anterior) por  

 

Como de costumbre, no conocemos   y no podemos evaluar el paréntesis de la derecha, pero podemos obtener una pista sobre el valor de   aproximando el paréntesis por su parte principal  

 

y utilizándolo como divisor de prueba, de forma que

 

Tras lo cual, necesitamos nuevamente:

  1. Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, corregirlo hacia al alza o a la baja según sea necesario.
  2. Obtener el siguiente resto para preparar la obtención del siguiente dígito de la raíz evaluando  .

Tenga en cuenta que:

  • El divisor 3 está involucrado en el dividendo preparado y esto conduce a fracciones decimales no finitas.
  • La división por   no sólo empeora lo anterior, sino que también hace que el dividendo preparado sea específico para el paso actual, ya que el valor de   evoluciona con el cálculo de las diferentes cifras de la raíz.

Esto no ocurría en el cálculo de raíces cuadradas y, como consecuencia, el proceso de obtención de raíces cúbicas es mucho más complicado y requiere un ciclo complejo de fases de preparación-restauración del dividendo que, siguiendo a Knott, podemos representar mediante el siguiente esquema :

Fase Operación
a Dividir por  .
b Dividir por 3.
c Obtener   como el primer dígito de la división de lo anterior por  .
d Restar   (Equivalente a restar   y   de  ).
e Multiplicar por 3.
f Multiplicar por  .
g Restar  .

En nuestro ejemplo ( ), usando la división tradicional (TD) y el arreglo de división tradicional (TDA) como lo hace Knott, trabajando los dos primeros dígitos:

Raíz cúbica de 456.7890123
Ábaco Comentario
ABCDEFG
 456789 Primer grupo del radicando alineado con B
-343 Restar 7^3=343 del primer grupo
 113789 Primer resto
7113789 7 en A como primer dígito de la raíz; considerar el segundo grupo
7113789 a) Dividir B-G por 7 (nota 1)
7162554 b) Dividir B-G por 3 (nota 2)
7541835 c) Dividir B por A (una cifra de cociente) (nota 3)
7751835 d) Restar 7*7=49 de CD
77 2835 e) Multiplicar CDEF por 3. Sumar 3✕283 a CDEFG
77  854 f) Multiplicar CDEF por 7. Sumar 7✕85 a CDEFG
77  599
   -343 g) Restar 7^3=343 a CDEFG
77  256 Nuevo resto
  ... Raíz obtenida hasta ahora: 7.7
Notas
  1. No es necesario extender la división por 7 más allá del grupo actual de tres dígitos. El 4 en G es un resto de división que significa 4/7.
  2. Lo mismo puede decirse de la división por 3. Se realiza hasta la columna F y el resto (1) se agrega temporalmente a la columna G. El valor (5) en dicha columna es un extraño híbrido que significa 1/3 y 4/7. No importa, esta extraña situación será corregida en los pasos e y f.
  3. Aquí, al aplicar la regla 5/7>7+1, ya hemos restado  , por lo que en el paso siguiente (d) sólo nos falta restar  

Método moderno

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Miembros del Soroban & Abacus Group han modificado la técnica descrita por Knott para adaptarla al uso del ábaco y método modernos[3]. El resultado es supuestamente más rápido a expensas de ser menos compacto y requerir un ábaco con más varillas para almacenar datos intermedios. También se pierde la sencillez de tener el resultado sustituyendo directamente al radicando.

También puede encontrar una compilación de métodos modernos para raíces cuadradas y cúbicas en Tone Nikki (とね日記)[2] de un blogger japonés (el nombre del autor no parece estar disponible).

Ejemplos de raíces cúbicas

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Los siguientes ejemplos se presentan utilizando la división tradicional (TD) y la disposición de división tradicional (TDA). Las fases del ciclo de preparación-restauración de dividendos están etiquetadas con a), b), etc. como se ha hecho en el ejemplo previo.

Raíz cúbica de 157464

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Ábaco Comentario
ABCDEFG Raíz cúbica de 157464
 157464 Ingrese 157464 alineando el primer grupo (157) con B
-125 Restar 5^3=125 de BCD
  32464 Primer resto: 32
5 32464 Poner 5 en A como primer dígito de la raíz y considerar el segundo grupo
5 32464 a) Dividir C-F por 5 (G contendrá el resto de la división)
5 64924 b) Dividir C-F por 3
5216404 c) Dividir B por 5
5416404 d) Restar 4^2=16 de CD
54  404 e) Multiplicar 40x3 en EFG (sumándolo al resto en G)
54  124 f) Multiplicar 12x5 en EFG
54   64 g) Restar 4^3=64 de FG
54 Resto 0; ¡Hecho! La raíz es: 54

Claramente, si el resto es cero y no hay más grupos (no nulos) para agregar, el número es un cubo perfecto y hemos acabado. La raíz es 54.

Raíz cúbica de 830584

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Otro ejemplo similar al anterior (el radicando es el cubo de un número de dos cifras).

Ábaco Comentario
ABCDEFG Raíz cúbica de 830584
 830584 Introducir 830584 alineando el primer grupo con B
-729 Restar 9^3=729 de BCD
 101584 101: Primer resto
9101584 Poner 9 en A como primer dígito de la raíz y considerar el siguiente grupo second group
9101584 a) Dividir C-F por 9 (G contendrá el resto)
9112871 b) Dividir C-F por 3
9376232 c) Dividir B por 9 (A)
9416232 d) Restar 4^2=16 de CD
94  232 e) Multiplicar 23x3 en EFG (sumando el resto en G)
94   71 f) Multiplicar 07x9 en EFG
94   64 g) Restar 4^3= 64 de FG
94 resto 0; ¡Hecho! La raíz es: 94


La raíz es 94.

Es tal vez conveniente que el lector practique ejemplos como este antes de intentar obtener más cifras de la raíz. Al final de este capítulo se incluye una tabla de cubos de números de dos cifras que le pueden ser de ayuda para este fin.

Raíz cúbica de 666

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En este caso, el radicando no es un cubo perfecto, la raíz es un número irracional con infinitos decimales comprendido entre 8 y 9. Empezamos calculando las dos primeras cifras de la raíz.

Ábaco Comentario
ABCDEFG Raíz cúbica de 666
 666 Introducir 666 en BCD
   + (columna unidad)
-512 Restar 8^3=512 de BCD
 154 Primer resto
8154 Poner 8 en A como primer dígito de la raíz
8154000 Añadir 000 como nuevo grupo
8154000 a) Dividir B-F por 8 (A)
8192500 b) Dividir B-F por 3
8641662 c) Dividir B por 8 (A)
8781662 d) Restar B^2=49 de CD
8732662 e) Multiplicar C-F por 3 en C-G
87 9800 f) Multiplicar C-F por 8 (A) en C-G
87 7840 g) Restar B^3=343 de EFG
87 7497 Raíz hasta ahora: 8.7, resto: 7.497
   + (columna unidad)

Ahora continuamos usando operaciones abreviadas. Necesitamos dividir el resto (7497) por tres veces el cuadrado de la raíz actual ( )

Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM
87 7497
87 7497------ Elevar 87 al cuadrado (binomio de Newton)
          +49 7^2
        +112 2*7*8
        +64 8^2
87 7497  7569 multiplicar por 3 (sumando el doble)
       +14
        +10
         +12
          +18
87 7497 22707 Dividir 7497/22707, obteniendo dos cifras del cociente
...
8733 Raíz: 8.733 (Compárese a:  )

Raíz cúbica de 237176659 (tres cifras)

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Tenemos tres grupos: 237, 176 y 659.

Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJ Raíz cúbica de 237176659
 237176659 Primer grupo alineado con B
-216 Restar 6^3=216 de BCD
  21176659 21: Primer resto
  21176659 Anotar 6 en A como primer dígito de la raíz y considerar el segundo grupo
6 21176659 a) Dividir B-F por 6 (A)
6 35292659 b) Dividir B-F por 3
6117633659 c) Dividir B por 6 (A)
6157633659 d) Restar B^2=1 de CD
6156633659 e) Multiplicar C-F por 3 en C-G
6116992659 f) Multiplicar C-F por 8 (A) en C-G
6110196659 g) Restar B^3=343 de EFG
6110195659 Raíz hasta ahora 61, resto 10195
----------
6110195659 Considerar el tercer grupo
6110195659 a) Dividir C-H por 61 (AB)
6116714158 b) Dividir C-H por 3
6155713678 c) Dividir C por 61 (AB)
6190813678 d) Restar CxC=81 de EF
619   3678 e) Multiplicar D-H por 3 en D-I
619   1158 f) Multiplicar D-H por 61 (AB) en D-J
619    729 g) Restar C^3=729 de HIJ
619    000 ¡Hecho! Resto nulo
---------- La raíz es: 619

El número es un cubo perfecto.

Raíz cúbica de 110591 (ocho cifras)

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Este número es:  .

El primer triplete, 110, está entre 64 y 125, por lo que la raíz cúbica de 110 591 estará entre 40 y 50. Por tanto, el primer dígito de la raíz es 4

Primer dígito:

Raíz cúbica de 110591: Primer dígito
Ábaco Comentario
ABCDEFG
 110591 Primer triplete alineado con B
 -64 Restar 6^3=216 de BCD
  46591 46: Primer resto
  46591 Inscribir 4 en A como primera cifra de la raíz y considerar el segundo grupo
4 46591 ¡Primer dígito listo!

Segundo dígito:

Raíz cúbica de 110591: Segundo dígito
Ábaco Comentario
ABCDEFG
4 46591 a) Dividir B-F por 4 (A)
4116473 b) Dividir B-F por 3
4388234 c) Dividir B por 4 (A)
4868234 d) Restar BxB=64 de CD
48 4234 e) Multiplicar C-F por 3 en C-G
48 1273 f) Multiplicar C-F por 4 (A) en C-G
48  511 g) ¡No se puede restar 8^3=512 de EFG! Marcha atras (ver nota al final)
48  511 -f) Dividir C-F por 4 (A)
48 1273 -e) Dividir C-F por 3
48 4234 -d) sumar 8x8=64 a CD
4868234 -c) Revisar B a la baja
-1
 +4
47T8234 d) Restar BxB=49 de CD (T=10)
4759234 e) Multiplicar C-F por 3 en C-G
4717773 f) Multiplicar C-F por 4 (A) en C-G
47 7111 g) Restar B^3=343 de EFG
47 6768 ¡Segundo dígito listo! Resto: 6768


Tercer dígito:

Raíz cúbica de 110591: Tercer dígito
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJ
47 6768000 Añadir 000 al resto anterior
47 6768000 a) Dividir C-H por 47 (AB)
4714400000 b) Dividir C-H 3
4748000000 c) Dividir C por 47 (AB)
4795700000 d) Restar C^2=81 de EF
4794890000 e) Multiplicar D-H por 3 en D-I
4792298300 f) Multiplicar D-H por 47 (AB) en D-J
479 689490 g) Restar C^3=729 de HIJ
479 688761 ¡Tercer dígito listo! resto: 688761


Cuarto dígito:

Raíz cúbica de 110591: Cuarto dígito
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM
479 688761000 Añadir 000 al resto anterior
479 688761000 a) Dividir D-J por 479
4791437914194 b) Dividir D-J por 3
4794793046394 c) Dividir D por 479 1d
4799482046394 d) Restar 9^2=81 de GH
4799473946394 e) Multiplicar E-J por 3 en E-K
4799142184194 f) Multiplicar E-J por 479 en E-M
4799 68106330 g) Restar -D^3=729 de KLM
4799 68105601 ¡Cuarto dígito listo! resto: 68105601


Ahora terminamos el cálculo usando operaciones abreviadas. Necesitamos dividir el resto (68105601) por tres veces el cuadrado de la raíz actual (4799). Los primeros cuatro dígitos del resultado se añaden a continuación de los ya obtenidos; por ejemplo:

Raíz cúbica de 110591: Continuación usando operaciones abreviadas
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM
4799 68105601 Dividir E-M por 4799
479914191623 Dividir E-M por 4799
47992957204 Dividir E-M por 3
47999857 Compárese este resultado con  


Como podemos ver, hemos obtenido un resultado con 7 cifras correctas.


Nota
Encontramos arriba que con la raíz 48 no podíamos restar  , o nos encontraríamos con un resto negativo (-1). Esto puede parecer desafortunado, ya que nos obligó a deshacer parte del trabajo y corregir la nueva cifra de la raíz a la baja, pero en la práctica lo que encontramos es un resultado afortunado: el pequeño resto negativo (-1) nos indica que 48 es una excelente aproximación (por exceso) a la raíz, abriendo una nueva forma de resolver el problema. De hecho, lo que tenemos es:
 
o
 
donde podemos usar
 
de forma que
 
compárese con  . ¡De este modo podríamos haber logrado una gran precisión con poco esfuerzo!

De la aritmética elemental al análisis numérico

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El ábaco se estudia actualmente como un arte tradicional o como un medio para desarrollar habilidades numéricas y cognitivas en general, no se espera de él que, en la era de las computadoras, se use como calculadora para resolver problemas del mundo real. Pero si ese fuera el caso y tuviéramos que resolver una gran cantidad de raíces cúbicas (algo inusual), es posible que desee pasar de los métodos tradicionales, o la aritmética básica, a los métodos modernos de análisis numérico y probar el Método de Newton-Raphson. Puede encontrar una adaptación de este método al ábaco jccAbacus[4] en el capítulo Método de Newton para Raíces Cuadradas, Cúbicas y Quintas de la sección sobre Técnicas avanzadas.

Apéndice: Cubos de números de dos dígitos

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El método tradicional de obtener raíces cúbicas con el ábaco es complejo. No es mala idea entrenarse obteniendo el segundo dígito de la raíz antes de intentar pasar al tercero o cuarto. Para esto puede serle útil la siguiente tabla de cubos de números de dos cifras no terminados en cero.


Cubos de números de dos cifras
+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
10 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859
20 9261 10648 12167 13824 15625 17576 19683 21952 24389
30 29791 32768 35937 39304 42875 46656 50653 54872 59319
40 68921 74088 79507 85184 91125 97336 103823 110592 117649
50 132651 140608 148877 157464 166375 175616 185193 195112 205379
60 226981 238328 250047 262144 274625 287496 300763 314432 328509
70 357911 373248 389017 405224 421875 438976 456533 474552 493039
80 531441 551368 571787 592704 614125 636056 658503 681472 704969
90 753571 778688 804357 830584 857375 884736 912673 941192 970299


Ejemplo:  

Referencias

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  1. Knott, Cargill G. (1886). «The Abacus, in its Historic and Scientific Aspects». Transactions of the Asiatic Society of Japan 14:  pp. 18-73. https://archive.org/details/in.gov.ignca.26020/page/17/mode/2up. 
  2. 2,0 2,1 Tone? (2017). «Square root and Cube root using Abacus» (en inglés). とね日記.
  3. Baggs, Shane (2011). «Cube Roots» (en inglés). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.
  4. Cabrera, Jesús (2021). «Newton's method for abacus; square, cubic and fifth roots». jccAbacus.