Ábaco Oriental/Métodos Tradicionales/Division Moderna y Tradicional; Parientes Próximos
División Moderna (商除法)
editarEs conveniente que el lector tenga fresco en la memoria el capítulo sobre la división moderna de la sección: Métodos del Ábaco Moderno; en particular lo que allí llamamos:
- El punto clave
- Uno de los puntos clave del aprendizaje del ábaco es ser conscientes de que este instrumento nos permite corregir algunas cosas de forma muy rápida y sin dejar rastros, lo que convierte al ábaco en un instrumento especialmente indicado para procedimientos de prueba y error. Esto nos es especialmente útil en el caso de la división. Si tenemos que dividir , en lugar de forzar nuestra mente tratando de encontrar la cifra correcta del cociente, simplemente elegimos una cifra aproximada provisional o interina simplificando el problema original a y la probamos intentando restar el trozo (cociente provisional)✕79283 del dividendo; al hacerlo, ocurrirá una de las siguientes situaciones:
- El dígito del cociente provisional es correcto
- Es excesivo y debemos revisarlo a la baja
- Es insuficiente y debemos revisarlo al alza
ya que es este punto clave lo que nos señala la tremenda similitud entre las dos aproximaciones, tradicional y moderna, a la división; así como la pequeña diferencia que nos conducirá a un algoritmo completamente diferente. Recordemos también uno de los ejemplos vistos en dicho capítulo:
| Ábaco | Comentario |
|---|---|
| ABCDEFGHIJ | |
| 35 1225 | 12÷3↦4 como cociente provisional |
| +4 | situar cociente prov. en F |
| 35 41225 | Tratar de restar 4✕35 de GHI, |
| -12 | primero 4✕3 de GH |
| 35 40025 | ahora 4✕5 de HI |
| -20 | ¡No se puede! |
| -1 | Revisar a la baja la cifra del cociente |
| 35 30025 | |
| +3 | Devolver lo sustraído en exceso de GH |
| 35 30325 | |
| -15 | continuar normalmente: restar 3✕5 de HI |
| 35 3 175 | 17÷3↦5 como cociente provisional |
| +5 | situar cociente prov. en G |
| 35 35175 | Tratar de restar 5✕35 de HIJ |
| -15 | primero 5✕3 de HI |
| 35 35025 | |
| -25 | ahora 5✕5 de IJ |
| 35 35 | Resto nulo, fin! 1225÷35 = 35 |
División tradicional (帰除法)
editarEn lugar de intentar resolver directamente el problema original 1225÷35 o la aproximación utilizada en MD 12÷3, simplificamos aún más y tratamos de resolver 10÷3; es decir, utilizamos un enfoque más crudo del problema original al ignorar el segundo dígito del dividendo, por lo que debemos prepararnos para revisar el cociente intermedio con más frecuencia. Con este cambio de enfoque de 12÷3 a 10÷3 estamos adoptando la filosofía de TD; la cual es sólo una ligera variación de la técnica de división por trozos utilizada en MD. Es por esta razón por lo que podemos considerar ambas técnicas de división como parientes cercanos, miembros de la familia de algoritmos de división por trozos.
Por supuesto, si el lector ya ha desarrollado cierta habilidad dividiendo por el método moderno, no hallará ninguna dificultad en aplicar esta nueva aproximación. Así, el ejemplo anterior discurriría de la forma:
| Ábaco | Comentario |
|---|---|
| ABCDEFGHIJ | |
| 35 1225 | 10÷3↦3 por la tabla de multiplicar |
| +3 | cociente provisional en F |
| 35 31225 | sustraer 3✕35 from GHI, |
| -09 | primero 3✕3 from GH |
| 35 3 325 | |
| -15 | luego 3✕5 from HI |
| 35 3175 | ok. |
| 35 3 175 | 10÷3↦3 por la tabla de multiplicar |
| +3 | cociente provisional en G |
| 35 33175 | sustraer 3✕35 from HIJ, |
| -09 | primero 3✕3 de HI |
| 35 33 85 | |
| -15 | ahora 3✕5 de IJ |
| 35 33 70 | resto mayor que el divisor (35) |
| +1-35 | revisamos al alza |
| 35 34 35 | resto igual que el divisor (35) |
| +1-35 | revisamos al alza otra vez |
| 35 35 | resto nulo, hecho! 1225÷35 = 35 |
Fíjese en que
- MD y TD (tal y como se ha explicado hasta ahora) se pueden entremezclar libremente durante el mismo problema de división. Este es un ejercicio interesante y recomendable que permite comparar ambas estrategias una junto a la otra.
- TD utiliza una aproximación más simple y por defecto del problema original que MD, por lo que podemos prever algunos pros y contras
- Pros
- Algunos pueden encontrar este enfoque más simple
- Será necesario revisar a la baja con menos frecuencia (revisar hacia a la baja suele ser más difícil y propenso a errores que revisar al alza)
- Contras
- Necesitamos revisar el cociente provisional con más frecuencia, ya que la aproximación seguida es mas rudimentaria, lo cual es un problema de eficiencia.
- Pros
Los dos pros anteriores probablemente jugaron un papel en el desarrollo de la técnica sofisticada que conocemos como división tradicional, pero entender por qué fue el método preferido durante siglos, a pesar del contra anterior, requiere reflexionar sobre el origen del esfuerzo mental realizado durante la división y descubrir la belleza oculta de TD.
La fuente del esfuerzo mental
editarCuando aprendemos la tabla de multiplicar, memorizamos una secuencia de frases como:
- “nueve por nueve, ochenta y uno”
- “nueve por ocho, setenta y dos”
- ...
El orden en el que se aprenden estas frases puede variar, pero la estructura de las frases es similar en muchos idiomas, al menos en español e inglés al igual que en chino y japonés. Consiste en una etiqueta que contiene los dos factores a multiplicar seguidos del producto. Tan pronto como pensamos en la etiqueta, ésta, actuando como una invocación, trae a nuestra conciencia el valor del producto. Representémoslo de la siguiente manera (lea ➡ como la invocación):
| Lengua | Etiqueta | Producto | |
|---|---|---|---|
| Español | nueve por nueve | ➡ | ochenta y uno |
| Inglés | nine times nine | ➡ | eighty-one |
| Chino | 九九 | ➡ | 八十一 |
| Japonés | くく | ➡ | はちじゅういち |
| Symbólico | 9✕9 | ➡ | 81 |
¿Cómo usamos esta tabla de multiplicar durante la división? Pensemos en nuestro ejemplo anterior usando shojohou o el método de división moderno: 17÷3↦5, de la tabla de multiplicación por tres necesitamos el producto más grande que se puede restar de 17. Necesitamos escanear en nuestra memoria (representado por ⤷) al menos parte de dicha tabla y por cada producto rescatado, ver si es menor de 17 y elegir el máximo de los productos menores que 17. Un proceso complicado que se puede representar como:
| 3✕1 | ➡ | 3 | |||
| 3✕2 | ➡ | 6 | |||
| ⤷ | 3✕3 | ➡ | 9 | sí | |
| ⤷ | 3✕4 | ➡ | 12 | sí | |
| ⤷ | 3✕5 | ➡ | 15 | sí | ¡seleccionamos este! |
| ⤷ | 3✕6 | ➡ | 18 | no | |
| 3✕7 | ➡ | 21 | |||
| 3✕8 | ➡ | 24 | |||
| 3✕9 | ➡ | 27 |
Este proceso consume tiempo y energía. Los especialistas en informática pueden encontrar una similitud entre este proceso y la búsqueda en una tabla de una base de datos relacional por datos en una columna no indexada; la ineficacia de tal búsqueda es bien conocida. La creación de un nuevo índice para esa tabla en función de la columna y los criterios de búsqueda puede mejorar drásticamente las cosas. ¿Podemos hacer algo similar en nuestro caso para que la división sea más cómoda?
Indexando la tabla de multiplicar; la tabla de dividir
editarPara hacer algo similar a indexar la tabla de multiplicar en términos de los productos para facilitar la búsqueda, debemos memorizar frases nuevas que contengan esos productos como etiquetas; es decir, frases que comiencen con ellos; por ejemplo:
| Etiqueta | Cociente |
|---|---|
| 3/3 | 1 |
| 6/3 | 2 |
| 9/3 | 3 |
| 12/3 | 4 |
| 15/3 | 5 |
| 18/3 | 6 |
| 21/3 | 7 |
| 24/3 | 8 |
| 27/3 | 9 |
Es decir, tenemos que memorizar una tabla de división, lo cual es un trabajo duro. Piense también que la tabla anterior no es óptima en el sentido de que faltan muchos de los números entre 1 y 29; quizás deberíamos memorizar una tabla del siguiente estilo en su lugar:
| Etiqueta | Cociente | Resto |
|---|---|---|
| 1/3 | 0 | 1 |
| 2/3 | 0 | 2 |
| 3/3 | 1 | 0 |
| 4/3 | 1 | 1 |
| 5/3 | 1 | 2 |
| … | … | … |
| 27/3 | 9 | 0 |
| 28/3 | 9 | 1 |
| 29/3 | 9 | 2 |
donde la tercera columna contiene los restos de la división euclídea. Probablemente esté de acuerdo en que memorizar una tabla de este tipo está fuera del alcance de la mayoría de las personas (¡piense en la tabla para 9!).
La belleza oculta de la división tradicional
editarSi dedicásemos toda una vida a dividir con el ábaco usando el método moderno terminaríamos enfrentándonos con todas las divisiones elementales posibles del tipo ab÷c, donde a, b y c son dígitos y ab<c0, aproximadamente unas 360 en total. Sin embargo, si usásemos la división tradicional tal y como se ha explicado aquí hasta ahora, nos enfrentaríamos con todas las divisiones elementales del tipo a0÷c, es decir 10✕a÷c con a0<c0, ¡sólo 36 en total! Esto hace viable la memorización de una tabla de división. De hecho, para dividir por 3 basta con memorizar:
| Etiqueta | Cociente | Resto |
|---|---|---|
| 10/3 | 3 | 1 |
| 20/3 | 6 | 2 |
o, en una forma simbólica más compacta
| Regla |
|---|
| 1/3 > 3+1 |
| 2/3 > 6+2 |
que podemos usar directamente para resolver nuestro ejemplo sin pensar, simplemente eligiendo la cifra sugerida por la regla como cociente intermedio:
| Ábaco | Comentario |
|---|---|
| ABCDEFGHIJ | |
| 35 1225 | Regla: 1/3 > 3+1 |
| +3 | cociente interino 3 en F |
| 35 31225 | sustraer 3✕35 de GHI, |
| -09 | primero 3✕3 de GH |
| 35 3 325 | |
| -15 | después 3✕5 de HI |
| 35 3 175 | ok. |
| 35 3 175 | Regla: 1/3 > 3+1 |
| +3 | cociente interino 3 en G |
| 35 33175 | sustraer 3✕35 from HIJ, |
| -09 | primero 3✕3 de HI |
| 35 33 85 | |
| -15 | ahora 3✕5 de IJ |
| 35 33 70 | resto mayor que el divisor (35) |
| +1-35 | revisando al alza |
| 35 34 35 | resto igual al divisor (35) |
| +1-35 | revisando al alza otra vez |
| 35 35 | Resto nulo, ¡hecho! 1225÷35 = 35 |
pero aún no hemos hecho uso del resto que aparece en las reglas después del signo más, por lo que todavía no estamos usando la mecánica completa de la división tradicional; ese y otros temas se cubrirán en el próximo capítulo.
La tabla de división
editarConcluyamos el presente capítulo ofreciendo una primera visión de la tabla de división completa utilizada en TD. Todos los elementos se obtienen de los términos a0÷c por división euclídea.
| 1/9>1+1 | 2/9>2+2 | 3/9>3+3 | 4/9>4+4 | 5/9>5+5 | 6/9>6+6 | 7/9>7+7 | 8/9>8+8 | 9/9>9+9 |
| 1/8>1+2 | 2/8>2+4 | 3/8>3+6 | 4/8>5+0 | 5/8>6+2 | 6/8>7+4 | 7/8>8+6 | 8/8>9+8 | |
| 1/7>1+3 | 2/7>2+6 | 3/7>4+2 | 4/7>5+5 | 5/7>7+1 | 6/7>8+4 | 7/7>9+7 | ||
| 1/6>1+4 | 2/6>3+2 | 3/6>5+0 | 4/6>6+4 | 5/6>8+2 | 6/6>9+6 | |||
| 1/5>2+0 | 2/5>4+0 | 3/5>6+0 | 4/5>8+0 | 5/5>9+5 | ||||
| 1/4>2+2 | 2/4>5+0 | 3/4>7+2 | 4/4>9+4 | |||||
| 1/3>3+1 | 2/3>6+2 | 3/3>9+3 | ||||||
| 1/2>5+0 | 2/2>9+2 | |||||||
| 1/1>9+1 |
El lector probablemente se sentirá sorprendido al contemplar los elementos de la diagonal señalados en gris tales como 9/9>9+9, 8/8>9+8, etc. La división euclídea de 90 por 9 da un cociente de 10 y un resto de cero, ¿Por qué se indica aquí un cociente de 9 y un resto de 9? Como veremos, tales reglas son especiales en cierto sentido.
Otras lecturas
editar- «The Definitive Higher Math Guide on Integer Long Division (and Its Variants)». Math Vault. Archivado desde el original, el May 14, 2021.
- Knott, Cargill G. (1886). «The Abacus, in its Historic and Scientific Aspects». Transactions of the Asiatic Society of Japan 14: pp. 18-73. https://archive.org/details/in.gov.ignca.26020/page/17/mode/2up. deals with traditional division
- Totton Heffelfinger (2013). «Suan Pan and the Unit Rod - Division». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
- Totton Heffelfinger (2013). «Short Division Techniques - Chinese Suan Pan». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
- Totton Heffelfinger (2013). «Long Division Techniques - Chinese Suan Pan». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
- Totton Heffelfinger (2013). «Chinese Division Rules on a Soroban». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
