Ábaco Oriental/Métodos Tradicionales/División por Potencias de 2

Introducción

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Una fracción cuyo denominador solo contiene 2 y 5 como divisores tiene una representación decimal finita. Esto permite una división fácil por potencias de dos o cinco si tenemos las fracciones   tabuladas (o memorizadas) donde   es una de tales potencias de dos o cinco.

Por ejemplo, dado

 

Entonces

 

 

Lo cual se puede hacer fácilmente en el ábaco trabajando de derecha a izquierda del siguiente modo:

Para cada dígito del numerador
  1. Borrar el dígito
  2. Sumar en el ábaco la fracción correspondiente al dígito de trabajo comenzando por la columna que ocupaba
137÷8 usando fracciones
Ábaco Comentario
 ABCDEF
 --+--- Columna unidad
 137 Dividendo 137 en A-C como guía
   7 borrar 7 en C
  +0875 sumar 7/8 en C-F
 130875
  3 borrar 3 en B
 +0375 sumar 3/8 en B-E
 104625
 1 borrar 1 en A
+0125 sumar 1/8 en A-D
  17125 ¡Hecho!
 --+--- Columna unidad

Solo necesitamos tener las fracciones correspondientes tabuladas o memorizadas, como en la tabla a continuación.

Potencias de dos

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En el pasado, tanto en China como en Japón, se utilizaban unidades monetarias y de medida que estaban relacionadas por un factor de 16[1][2][3], un factor que al comenzar con uno hace que la división normal resulte incómoda. Por esta razón el método presentado aquí fue popular para tales divisiones.

Tabla de fracciones

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Fracciones de potencias de 2
D D/2 D/4 D/8 D/16 D/32 D/64
1 05 025 0125 0625 03125 015625
2 10 050 0250 1250 06250 031250
3 15 075 0375 1875 09375 046875
4 20 100 0500 2500 12500 062500
5 25 125 0625 3125 15625 078125
6 30 150 0750 3750 18750 093750
7 35 175 0875 4375 21875 109375
8 40 200 1000 5000 25000 125000
9 45 225 1125 5625 28125 140625
1 1 1
Desplazamiento a la izquierda
de la columna unidad

Para las divisiones por 2, 4 y 8 la columna unidad no cambia de posición, pero para la divisiones por 16, 32 y 64 se desplaza una columna a la izquierda como vemos en los siguientes ejemplos.

Ejemplos de uso

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137/2
 ABCD
 --+-
 137
   7
  +35
  3
 +15
 1
+05
 --+-
 0685
68.5
137/4
 ABCDE
 --+--
 137
   7
  +175
  3
 +075
 1
+025
 --+--
 03425
34.25
137/8
 ABCDEF
 --+---
 137
   7
  +0875
  3
 +0375
 1
+0125
 --+---
 017125
17.125
137/16
 ABCDEF
 --+---
 137
   7
  +4375
  3
 +1875
 1
+0625
 -+----
 085625
8.5625
137/32
 ABCDEFG
 --+----
 137
   7
  +21875
  3
 +09375
 1
+03125
 -+-----
 0428125
4.28125
137/64
 ABCDEFGH
 --+-----
 137
   7 Borrar 7 en C
  +109375
  3 Borrar 3 en B
 +046875
 1 Borrar 1 en A
+015625
 -+------
 02140625
2.140625
"+" indica la posición de la columna unidad antes y después de la operación.

División por 2 in situ

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El caso de la división por 2 es especialmente importante; ya ha sido mencionado como división in situ para transformar una división por un número que comience por uno en una división más cómoda que empiece por un dígito de 5 a 9. También le será útil a la hora de realizar raíces cuadradas por el método del semi-resto (半九九法, hankukuho en japonés, Bàn jiǔjiǔ fǎ en chino)[4] como puede consultar en el capítulo correspondiente. Sin duda, es un método muy eficaz y rápido de dividir entre dos.

Siendo un caso particular de lo explicado en el apartado anterior, para dividir un número por dos in situ:

Procedemos dígito a dígito de derecha a izquierda en la forma
  1. borrando el dígito
  2. sumando su mitad comenzando con la columna que ocupaba

Por ejemplo,123456789÷2:

123456789÷2 in situ
Ábaco Comentario
 ABCDEFGHIJ
 123456789
         9 borrar 9 en I
        +45 sumar su mitad en IJ
 1234567845
        8 borrar 8 en H
       +40 sumar su mitad en HI
 1234567445
       7 borrar 7 en G
      +35 sumar su mitad en GH
 1234563945
      6 borrar 6 en F
     +3 sumar su mitad en FG
 1234533945
     5 borrar 5 en E
    +25 sumar su mitad en EF
 1234283945
    4 borrar 4 en D
   +2 sumar su mitad en DE
 1232283945
   3 borrar 3 en C
  +15 sumar su mitad en CD
 1217283945
  2 borrar 2 en B
 +1 sumar su mitad en BC
 1117283945
 1 borrar 1 en A
+05 sumar su mitad en AB.
  617283945 ¡Hecho!

Recordemos que la varilla unidad no cambia de posición tras esta división.

Potencias de cinco y multiplicación por 2 in situ

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Sin duda podríamos repetir aquí el tratamiento anterior con las potencias de 5, dado que sus fracciones son también de desarrollo decimal finito al ser 5 divisor de 10.

Fracciones de potencias de 5
D D/5 D/25 D/125 D/625
1 0.2 0.04 0.008 0.0016
2 0.4 0.08 0.016 0.0032
3 0.6 0.12 0.024 0.0048
4 0.8 0.16 0.032 0.0064
5 1.0 0.20 0.040 0.0080
6 1.2 0.24 0.048 0.0096
7 1.4 0.28 0.056 0.0112
8 1.6 0.32 0.064 0.0128
9 1.8 0.36 0.072 0.0144

Pero tampoco hay duda de que, en lugar de memorizar nuevas fracciones, es preferible recurrir a que:

  • Dividir por 5 es lo mismo que multiplicar por 2 y dividir por 10
  • Dividir por 25 es lo mismo que multiplicar por 4 y dividir por 100
  • Dividir por 125 es lo mismo que multiplicar por 8 y dividir por 1000
  • etc.

o bien

  • Dividir por 5 es lo mismo que multiplicar por 2 y dividir por 10
  • Dividir por 25 es lo mismo que multiplicar por 2 dos veces y dividir por 100
  • Dividir por 125 es lo mismo que multiplicar por 2 tres veces y dividir por 1000
  • etc.

y que multiplicar por 2 in situ es extraordinariamente rápido con el ábaco; sólo hay que invertir la división por 2 in situ vista arriba:

Trabajando de izquierda a derecha, para cada dígito
  1. Borrar el dígito de trabajo
  2. sumar su doble en el ábaco empezando en la columna de su izquierda
61728394.5×2 in situ
Ábaco Comentario
 ABCDEFGHIJ
  617283945
  6 Borrar 6 en B
+12 sumar su doble en AB
 1217283945
   1 Borrar 1 en C
 +02 sumar su doble en BC
 1227283945
    7 Borrar 7 en D
  +14 sumar su doble en CD
 1234283945
     2 Borrar 2 en E
   +04 sumar su doble en DE
 1234483945
      8 Borrar 8 en F
    +16 sumar su doble en EF
 1234563945
       3 Borrar 3 en G
     +06 sumar su doble en FG
 1234566945
        9 Borrar 9 en H
      +18 sumar su doble en GH
 1234567845
         4 Borrar 4 en I
       +08 sumar su doble en HI
 1234567885
          5 Borrar 5 en J
        +10 Sumar su doble en IJ
 1234567890 ¡Hecho!
 123456789 61728394.5×2 = 123456789

Estas técnicas podrán serle de utilidad para transformar raíces cuadradas y cúbicas que puedan comenzar por 1 en otras más cómodas (raíces cuadradas y cúbicas dependen esencialmente de la división y esta es incómoda cuando el divisor empieza por 1).

Referencias

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  1. Williams, Samuel Wells; Morrison, John Robert (1856). A Chinese commercial guide. Canton: Printed at the office of the Chinese Repository. p. 298. https://archive.org/details/chinesecommercia00willuoft/page/298/mode/2up. 
  2. Murakami, Masaaki (2020). «Specially Crafted Division Tables» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.
  3. Kwa Tak Ming (1922) (PDF). The Fundamental Operations in Bead Arithmetic, How to Use the Chinese Abacus. San Francisco: Service Supply Co.. https://archive.computerhistory.org/resources/access/text/2016/12/B1671.01-05-01-acc.pdf. 
  4. Siqueira, Edvaldo. «Kato Fukutaro's Square Roots». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.