Ábaco Oriental/Técnicas Avanzadas/Texto completo

Operaciones Abreviadas

Introducción

Este capítulo es un tanto especial en el sentido de que su contenido no es específico del ábaco, sino que se trata de un recurso para acortar operaciones aritméticas tanto en el cálculo escrito como con ábaco. Lo incluimos en este libro porque, a lo largo del mismo, hacemos un uso esporádico de estas operaciones abreviadas.

Esta cuestión puede encontrarse en algunos libros de aritmética de la era anterior a la informática. La motivación es la siguiente. Supongamos que medimos el lado de un cuadrado y obtenemos ${\textstyle l=864\,{\text{mm}}}$ y queremos calcular su área ${\textstyle S}$

$$S={l}^{2}=l\cdot l=864\cdot 864=746496\,{\text{mm}}^{2}$$

un resultado con 6 dígitos, pero si hemos medido el lado del cuadrado con una cinta métrica que solo aprecia milímetros, lo que podemos decir es que el valor del lado está entre ${\textstyle 863.5}$ y ${\textstyle 864.5}$, es decir:

$$l=864.0\pm 0.5\,{\text{mm}}$$

De modo que ${\textstyle S}$ será un valor entre ${863.5}^{2}=745632.25$ y ${864.5}^{2}=747360.25$. Esto significa que solo conocemos con certeza los dos primeros dígitos del resultado S (74) y que el tercer dígito probablemente sea un 6; el resto de los dígitos de la multiplicación no tienen sentido (decimos que no son significativos) y no debemos incluirlos en nuestro resultado. Deberíamos escribir:

$$S=746\cdot {10}^{3}\,{\text{mm}}^{2}=7.46\cdot {10}^{5}\,{\text{mm}}^{2}$$

siendo ${\textstyle 746}$ las cifras significativas de nuestro resultado. Entonces, si sólo tres de las seis cifras del producto ${\textstyle 864\cdot 864}$ son significativas, ¿por qué calcular las seis?

Para eso están las operaciones abreviadas.

Cabe decir que el razonamiento anterior se extiende a la división, raíces etc. En líneas generales, un resultado no tiene más cifras significativas que el menor número de ellas entre los operandos; por ejemplo, si dividimos un número con 8 cifras significativas por otro que sólo tiene 2, el resultado tiene sólo 2 dígitos significativos y sería un trabajo estéril obtener 8 dígitos del cociente.

En este capítulo seguiremos los ejemplos que aparecen en Matemáticas de Antonino Goded Mur (en adelante simplemente Matemáticas ), un pequeño manual que formaba parte de la colección: Compendios CHOP, que tan popular fue durante parte del siglo XX en España. Veremos cómo se pueden hacer estas operaciones abreviadas con el ábaco.

Multiplicación

En Matemáticas se propone el siguiente procedimiento para la multiplicación:

Multiplicación

Se escribe el producto del multiplicando por la primera cifra del multiplicador,
se escribe debajo el producto del multiplicando amputado de su última cifra por la segunda del multiplicador,
se escribe debajo el producto del multiplicando amputado de sus dos últimas cifras por la tercera del multiplicador
y así sucesivamente

Proponiendo el ejemplo 6665x1375 y la siguiente forma escrita de realizarlo por comparación a la multiplicación normal:

Ejemplo

6665   x 1375  ———————    33325   46655  19995      6665    ———————  9164375	6665 x 1375   ————   6665   1999    466     33   ————   9163
Operación normal	Operación abreviada

Lo importante a considerar aquí es que, de todos los productos parciales que hemos de sumar para obtener el producto:

Productos parciales de 6665x1375

✕	$6\cdot 10^{3}$	$6\cdot 10^{2}$	$6\cdot 10^{1}$	$5\cdot 10^{0}$
$1\cdot 10^{3}$	$6\cdot 10^{6}$	$6\cdot 10^{5}$	$6\cdot 10^{4}$	$5\cdot 10^{3}$
$3\cdot 10^{2}$	$18\cdot 10^{5}$	$18\cdot 10^{4}$	$18\cdot 10^{3}$	$15\cdot 10^{2}$
$7\cdot 10^{1}$	$42\cdot 10^{4}$	$42\cdot 10^{3}$	$42\cdot 10^{2}$	$35\cdot 10^{1}$
$5\cdot 10^{0}$	$30\cdot 10^{3}$	$30\cdot 10^{2}$	$30\cdot 10^{1}$	$25\cdot 10^{0}$

debemos tomar en consideración aquellos que tienen potencias de 10 elevadas, los situados por encima de la diagonal en gris, retener sólo el primer dígito de los de dicha diagonal y olvidarnos de los que están por debajo. De esta forma, ahorraremos cierto trabajo.

En el ábaco, este problema se puede resolver de varias maneras; por ejemplo, adaptando la multiplicación moderna:

6666x1375 Multiplicación moderna

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
6665  1375	Planteamiento
+330	Sumar 5✕66 a K-M
-5	Borrar J
6665  137 330
+4662	Sumar 7✕666=4662 a J-M
-7	Borrar I
6665  13 4992
+19995	Sumar 3✕6665=19995 a I-M
-3	Borrar H
6665  1 24987
+6665	Sumar 1✕6665=6665 a H-L
-1	Borrar G
6665    91637	Resultado
6665    9164	Resultado redondeado a 4 cifras

e incluso la multiplicación tradicional, borrando primero el dígito del multiplicando y luego sumando los productos parciales desplazados una columna a la izquierda respecto al caso anterior

6666x1375 Multiplicación tradicional

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKL
6665  1375	Planteamiento
-5	Borrar J
+330	Sumar 5✕66 a J-L
6665  137330
-7	Borrar I
+4662	Sumar 7✕666=4662 a I-L
6665  134992
-3	Borrar H
+19995	Sumar 3✕6665=19995 a H-L
6665  124987
-1	Borrar G
+6665	Sumar 1✕6665=6665 a G-K
6665   91637	Resultado
6665   9164	Resultado redondeado a 4 cifras

En todos los casos, tendremos que ser cuidadosos con la posición de la varilla unidad; no olvidemos que $6666\times 1375=9164375$ y que el resultado obtenido en el ábaco: $9164$ es en realidad: $9164\cdot 10^{3}=9.164\cdot 10^{6}$.

También podemos hacer lo mismo usando métodos de multiplicación que comienzen trabajando con las cifras de la izquierda del multiplicando (vease el capítulo Métodos Especiales de Multiplicación); por ejemplo, utilizando la "Multiplicación que comienza con los dígitos más altos del multiplicador y el multiplicando" de Kojima, explicada en su segundo libro., donde dice: "Como la operación comienza multiplicando los primeros dígitos del multiplicador y el multiplicando, es conveniente para las aproximaciones"; es decir, justamente se adapta a nuestro problema. También podemos probar la multiplicación multifactorial o similar; por ejemplo:

6666x1375 Multiplicación comenzando por la izquierda

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
6665     1375	Planteamiento
.        .	Varilla unidad
-1	Borrar J
+6665	Sumar 1✕6665 a G-J
6665  6665375
+18	Sumar 3✕6 a GH
+18	Sumar 3✕6 a HI
+18	Sumar 3✕6 a IJ
-3	Borrar K
+15	Sumar 3✕5 a JK
6665  8664575
666   8664575	Borrar D
+42	Sumar 7✕6 a HI
+42	Sumar 7✕6 a IJ
+42	Sumar 7✕6 a JK
-7	Borrar L
666   91307 5
66    91307 5	Borrar C
+30	Sumar 5✕6 a IJ
+30	Sumar 5✕6 a JK
-5	Borrar M
66    91637	Resultado
.        .	Varilla unidad
9164	Resultado redondeado a 4 cifras

División

En Matemáticas se propone el siguiente procedimiento para la división:

División

El primer dígito del cociente se encuentra como de costumbre,
el resto se divide por el divisor sin su último dígito,
el nuevo resto por el divisor sin sus dos últimos dígitos
y así sucesivamente.

Ejemplo

4567.8     |95.62  743.00    ——————   73.660    47.77    6.7250             .0326	4567.8   |95.62                    743.0   ——————   |95.6             73.8    4       —————  |95        7.3             7     ———   |9     .1                    7    ——                                 8
Operación normal	Operación abreviada

Como puede verse, la secuencia potencialmente infinita de pasos de división larga, en los que en cada uno se obtiene una nueva cifra del cociente, se reemplaza por una secuencia finita de divisiones por un divisor que se reduce en un dígito de cada vez y en la que obtenemos un solo dígito del cociente. Podemos llevar a cabo esta secuencia de divisiones usando el método de dividir que prefiramos; por ejemplo, usando la división tradicional (TD) y la disposición tradicional de la división (TDA):

4567.8/95.62

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
9562 45678
.      .	Columna unidad
-4	Regla: 4/9>4+4
+44
9562 49678
-20	Restar 4x5 de GH
-24	Restar 4x6 de HI
-8	Restar 4x2 de IJ
9562 47430
-7	Regla: 7/9>7+7
+77
9562 47130
-35	Restar 7x5 de HI
-42	Restar 7x6 de IJ
9562 47738
-7	Regla: 7/9>7+7
+77
9562 47708
-35	Restar 7x5 de IJ
9562 47773
-7	Regla: 7/9>7+7
+77
9562 47770
+1	Revisar al alza
-7
9562 47783
.    .	Columna unidad

Raíz cuadrada

Matematicas

Se sigue el método corriente hasta haber rebasado la mitad de las cifras de la raíz, obteniéndose las siguientes dividiendo el resto seguido de los periodos no empleados por el duplo de la raíz hallada, seguida de tantos ceros como periodos se han agregado

Ejemplo ${\sqrt {123456789}}$

Raíz cuadrada de 123456789

__________       \/123456789| 11111            |-------  -1        |                --        |         023      | 21x1     -21      |         ---      |          0245    | 221x1    -221    |          ----    |           02467  | 2221x1     -2221  |           -----  |            024689| 22221x1      -22221|              ------|               02468|	______ \/12345 |111         |---  -1     |                --     |   023   |21x1   -21   |   ---   |    0245 |221x1    -221 |    ---- |     024 |  -->   246789|22200                        ------                   24789 11                    2589          _________  ==>   \/123456789 = 11111
Operación normal	Operación abreviada
${\textstyle {\sqrt {123456789}}=11111.11106\cdots }$

Quizás la forma más sencilla de justificar esta forma de abreviar la raíz cuadrada sea la siguiente:

Si $a$ es un valor aproximado de la raíz de $A$, entonces podemos escribir

$${\sqrt {A}}=a+b=a\left(1+(b/a)\right)$$

donde $b$ es una pequeña corrección a $a$ y el cociente $\left(b/a\right)$ será una cantidad mucho menor que $1$: $\left(b/a\right)\ll 1$. Entonces podemos escribir: $$A=a^{2}\left(1+(b/a)\right)^{2}=a^{2}\left(1+2(b/a)+(b/a)^{2}\right)$$ pero si $\left(b/a\right)\ll 1$, entonces $\left(b/a\right)^{2}\ll \left(b/a\right)$ y despreciando este término podemos escribir:

$$A\approx a^{2}\left(1+2(b/a)\right)$$

o bien

$$A-a^{2}=r=2ab$$

donde $r$ es el residuo que nos queda tras calcular $a$; por lo que tenemos la aproximación utilizada en el método abreviado:

$$b={\frac {r}{2a}}$$

Si consideramos que, por ejemplo, hemos determinado $a$ con cinco cifras, entonces $\left(b/a\right)<10^{-5}$ y $\left(b/a\right)^{2}<10^{-10}$, lo que justifica que al despreciar este último termino podamos calcular $b$ con cinco cifras; es decir que el método abreviado nos permita doblar la precisión de la raíz ya obtenida con una simple división.

Lo anterior también puede justificarse de varias otras formas, por ejemplo, utilizando el desarrollo en serie de Taylor o el método de Newton de resolución de ecuaciones; lo cual es quizás interesante de mencionar por lo que comentaremos después sobre las raíces cúbicas.

A continuación ilustramos el proceso utilizando el método del medio resto (半九九法,hankukuhou en japonés) como se explica en el capítulo: Raíz Cuadrada, que requiere cambiar el resto a su mitad y doble de la raíz a simplemente la raíz en el párrafo de Matemáticas anterior. Tenga en cuenta que la segunda fase, la división, se puede hacer en forma de división abreviada ya que solo tiene sentido obtener un número limitado de cifras de su cociente. Como consecuencia, obtener las últimas cifras de la raíz cuesta cada vez menos trabajo y tiempo por lo que podemos llamar a esta división la fase acelerada de la extracción de raíces.

Ejemplo ${\sqrt {123456789}}$

Raíz cuadrada de 123456789 usando 半九九法 (hankukuhou) y división moderna

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
123456789	Problema planteado como de costumbre
23456789	Restar el cuadrado de 1 del primer grupo
117283945	Dividir el resto por 2 in situ
1 117283945	Anotar 1 como primer dígito de la raíz en A
11 17283945	Nuevo dígito de la raíz 1 en B (revisión al alza)
-1
-5	Restar la mitad del cuadrado de 1 de D
11 12283945
111 2283945	Nuevo dígito de la raíz 1 en C (revising up)
-11
-5	Restar la mitad del cuadrado de 1 de F
111 1233945	Ahora comienza la segunda fase o fase acelerada
+1	Dividir 123 por 111
-111
1111 123945
+1	Dividir 12 into 11
-11
11111 13945	Listo ¡ahora tenemos 5 dígitos de la raíz!

Raíz cúbica

Matemáticas

Se sigue el método corriente hasta rebasar la mitad de las cifras de la raíz, obteniéndose las siguientes dividiendo el resto seguido de los periodos no usados por el triplo del cuadrado de la raíz seguido de tantos ceros como periodos se han agregado.

Ejemplo ${\sqrt[{3}]{1234567890123}}$

3_____________ \/1234567890123|10727               ------	3_____________ \/1234567890123|107       9524      ----     9524890123 |3434700           -------- 2655490      27 2512001
Operación normal	Operación abreviada

Al igual que en el caso de la raíz cuadrada, la aproximación utilizada aquí se puede justificar del siguiente modo:

Si $a$ es un valor aproximado de la raíz cúbica de $A$, entonces podemos escribir

$${\sqrt[{3}]{A}}=a+b=a\left(1+(b/a)\right)$$

donde $b$ es una pequeña corrección a $a$ y el cociente $\left(b/a\right)$ será una cantidad mucho menor que $1$: $\left(b/a\right)\ll 1$. Entonces podemos escribir: $$A=a^{3}\left(1+(b/a)\right)^{3}=a^{3}\left(1+3(b/a)+3(b/a)^{2}+(b/a)^{3}\right)$$ pero si $\left(b/a\right)\ll 1$, entonces $\left(b/a\right)^{3}\ll \left(b/a\right)^{2}\ll \left(b/a\right)$ y despreciando estos dos términos podemos escribir:

$$A\approx a^{3}\left(1+3(b/a)\right)$$

o bien

$$A-a^{3}=r=3a^{2}b$$

donde $r$ es el residuo que nos queda tras calcular $a$; por lo que tenemos la aproximación utilizada en el método abreviado:

$$b={\frac {r}{3a^{2}}}$$

que también nos permite doblar la precisión de la raíz cúbica ya obtenida con una división.

Al igual que en el caso de la raíz cuadrada, esta operación abreviada también se puede justificar de varias maneras, incluyendo el método de Newton que, por cierto y con mucho, es la mejor forma de obtener raíces cúbicas con el ábaco.; si bien no es una técnica tradicional, es mucho más eficiente que cualquier método tradicional y, si lo usamos, podemos decir que en cierto sentido estamos usando un método abreviado desde el principio (véase el capítulo: Método de Newton para Raíces Cuadradas, Cúbicas y Quintas. Pero veamos un ejemplo utilizando un método tradicional: la raíz cúbica de 666. Seguimos aquí el método explicado por Cargill G. Knott (capítulo: Raíces Cúbicas).

Obviamente, la raíz cúbica de 666 está entre 8 y 9 por estar en el rango 512-728.

Raíz cúbica de 666

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
666	Entrar 666 en BCD
+	(Columna unidad)
-512	Restar 83=512 de BCD
154
8154	Entrar 8 en A. Dividir B-F por 8 (A)
8192500	Dividir B-F por 3
8641662	Dividir B por 8 (A)
8781662	Restar B2=49 de CD
8732662	Multiplicar C-F por 3 en C-G
87 9800	Multiplicar C-F por 8 (A) en C-G
87 7840	Restar B3=343 de EFG
87 7497	Raíz: 8.7, Resto: 7.497

Así que hemos obtenido 8.7 como raíz hasta ahora, dejando un resto de 7.497. Para aplicar el atajo necesitamos formar el divisor $3\times 8.7^{2}$; Usaremos el binomio de Newton para formar el cuadrado y lo multiplicaremos por tres sumando el doble del valor obtenido.

Uso del método abreviado

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
87 7497	Elevando al cuadrado 8.7
+49
-112
+64
87 7497  7569	Multiplicarlo por 3
+14
+10
+12
+18
87 7497 22707	Dividir 7.497 por 227.07 (¡La división puede ser abreviada!)
8733----22707	obteniendo sólo dos cifras del cociente

Alternativamente, también se puede dividir dos veces por 8.7 y luego por 3 para obtener el mismo resultado. Compare el resultado 8.733 con ${\sqrt[{3}]{666}}=8,7328917\cdots$

Otras abreviaturas útiles

Lo que sigue es otro tipo de cálculo abreviado o aproximaciones completamente diferentes de lo anterior pero que pueden resultar útiles en la práctica. Todas estas expresiones son consecuencia del teorema de Taylor.

Para $a,b\ll 1$ ${\displaystyle }$

• $(1\pm a)(1\pm b)\approx 1\pm a\pm b$ 
  • ej: $1.005\times 0.996\approx 1.001$
• $(1\pm a)/(1\pm b)\approx 1\pm a\mp b$
• $(1\pm a)^{n}\approx 1+n\cdot a$
  • ej: $1.005^{3}\approx 1.015,\,0.995^{3}\approx 0.985$
• ${\sqrt[{n}]{1\pm a}}\approx 1\pm a/n$
  • ej: ${\sqrt[{3}]{1.006}}\approx 1.002$
• $1/(1\pm a)\approx 1\mp a$
  • ej:$1/1.003\approx 0.997,\,1/0.997\approx 1.003$
• $1/(1\pm a)^{n}\approx 1\mp n\cdot a$
• …

Números Negativos

Introducción

La totalidad de los problemas aritméticos pueden resolverse usando sólo números positivos, por lo que podríamos decir que, en cierto sentido los números negativos son innecesarios. Tal vez sea esta la razón por la cual, a pesar de ser conocidos desde la antigüedad (aparecen por primera vez en Los nueve capítulos sobre el arte matemático de la Dinastía Zhou hace más de 2000 años, y después en las obras de matemáticos hindúes, persas, árabes e incluso en la de Fibonacci), no hayan sido muy apreciados por los matemáticos occidentales hasta el siglo XIX. Pero es indudable que los números negativos permiten dar una solución más sencilla a algunos problemas y ensanchan enormemente el pensamiento matemático, preparando el camino del resto de generalizaciones que han conformado las Matemáticas Modernas. En el ábaco pasa lo mismo, podemos prescindir totalmente de los números negativos pero nos ayudarán a resolver más fácil y elegantemente algunos problemas y, sobre todo, nos darán una nueva visión, más profunda, de la Aritmética de Cuentas.

Además de las cuestiones tratadas en este capítulo, encontrará otros usos de los números negativos en el ábaco en el capítulo Métodos Especiales de División.

Método de los complementos

Aritmética con número fijo de dígitos

Ábaco binario mostrando los números 1 al 6 y su codificación en binario

Un ábaco y una computadora se parecen mucho... En el corazón de la computadora, su CPU, la unidad de aritmética y lógica ALU contiene varios registros, memorias ultrarápidas destinadas a almacenar transitoriamente los operandos sobre los que se va a trabajar, que son equivalentes, desde el punto de vista lógico, a ábacos binarios (o de tipo 0+1) como el de la figura. Tales ábacos, con sólo una cuenta por columna, pueden representar sólo un dígito binario, 0 o 1 (bit) en cada una de ellas y el número de columnas o bits de cada registro es limitado, siendo 8, 16, 32 y 64 valores frecuentemente usados en el diseño de procesadores. El tamaño de los registros de una CPU limita el tamaño de los números que puede manejar directamente, lo cual no suele ser un problema si ese tamaño resulta suficiente para las aplicaciones. Nuestro ábaco es semejante a un registro en el sentido de que también está limitado a un número fijo de columnas, aunque cada columna puede contener un dígito decimal en lugar de binario; al igual que los registros de la CPU, sólo podremos trabajar en nuestro ábaco con números de hasta cierto tamaño.

Tiene pues sentido plantearse algunas cuestiones relativas a los cálculos aritméticos con un número limitado de dígitos; por ejemplo, si estamos limitados a cinco dígitos podemos representar hasta el número $99999$, pero ¿qué pasaría si sumamos este número a sí mismo?

$$99999+99999=199998=1\{99998\}$$

Se produciría un desbordamiento y el 1 inicial no cabe en nuestro ábaco o registro, sólo los dígitos entre llaves serían almacenados o visibles para nosotros:

$$99999+99999=99998$$

Esto es claramente una barbaridad, y un problema para nosotros si tenemos que sumar tales números con una lógica (tamaño de registro o de ábaco) tan limitada; pero a su vez nos abre la posibilidad de codificar números negativos donde en principio sólo podríamos tener números positivos y también la posibilidad de reducir la sustracción a la adición (lo cual a nosotros no nos interesa para nada pues ya sabemos restar con nuestro ábaco, pero ha ahorrado mucha circuitería en muchas CPUs). La clave va a consistir en el concepto de número complementario de $n$ cifras.

Definición de complemento de n dígitos

Dado un número entero $x$, positivo y menor que $10^{n}$, definamos su complemento de $n$ dígitos $^{n}C_{x}$ como:

$$^{n}C_{x}=10^{n}-x$$

por ejemplo, el complemento de cinco dígitos de 147

$$^{5}C_{147}=10^{5}-147=100000-147=99853$$

Complemento del complemento de n dígitos

Reordenando la expresión:

$$^{n}C_{x}=10^{n}-x$$

como

$$x=10^{n}-{}^{n}C_{x}$$

tenemos que

$$x={}^{n}C_{{}^{n}C_{x}}$$

es decir, el complemento del complemento de un número es el número de partida; para el ejemplo:

$$147={}^{5}C_{^{5}C_{147}}={}^{5}C_{99853}=10^{5}-99853=147$$

Obtención

Frecuentemente, en lo que sigue, tendremos necesidad de obtener mentalmente el complemento de un número. Hacer la resta mentalmente puede ser complicado por los acarreos (tomar prestado), así que la forma más sencilla de obtener $^{n}C_{x}$ será:

$$^{n}C_{x}=10^{n}-x=(10^{n}-1)-x+1$$

ya que número $(10^{n}-1)$ es $999\cdots 9$ con exactamente $n$ dígitos; por ejemplo, $(10^{5}-1)=99999$, y esto nos que permite restarle $x$ dígito a dígito sin acarreos

$$^{5}C_{147}=10^{5}-147=100000-147=99999-147+1=99999-00147+1=99853$$

y la resta $99999-00147$ se puede hacer dígito a dígito sin acarreo

$$99999-00147=[9-0][9-0][9-1][9-4][9-7]=99852$$

o lo que es igual, sustituyendo cada dígito del número por su complemento a 9 dado en la tabla

Complementos a 9

0 - 9

1 - 8

2 - 7

3 - 6

4 - 5

(que nos sería práctico memorizar) con lo que sólo nos falta añadir la unidad para obtener el complemento al número dado de dígitos

$$^{5}C_{147}=99999-00147+1=99852+1=99853$$

Recíprocamente, si tenemos el complemento de un número, podremos conocer éste como el complemento del complemento dado en virtud de lo dicho en el apartado anterior; ejemplo, dado ${}^{5}C_{x}=99853$:

$$x={}^{5}C_{{}^{5}C_{x}}={}^{5}C_{99853}=99999-99853+1=00146+1=147$$

Esto es otra operación que tendremos que hacer mentalmente con frecuencia y que resolveremos usando los complementos a nueve.

Ampliación y reducción de un complemento

Supongamos conocido ${}^{n}C_{x}$ y que deseamos obtener ${}^{m}C_{x}$ con $m>n$; por definición:

$${}^{m}C_{x}=10^{m}-x=$$ $$=10^{m}-10^{n}+10^{n}-x=10^{m}-10^{n}+{}^{n}C_{x}=$$ $$=(10^{m-n}-1)\cdot 10^{n}+{}^{n}C_{x}$$

pero $(10^{m-n}-1)\cdot 10^{n}$ es el número formado por $m-n$ nueves seguido de $n$ ceros, por lo que obtendremos ${}^{m}C_{x}$ simplemente anteponiendo $m-n$ nueves a ${}^{n}C_{x}$; por ejemplo:

$${}^{7}C_{147}=9900000+{}^{5}C_{147}=9900000+99853=9999853$$

De la misma forma, podemos reducir un complemento si podemos suprimir nueves de la izquierda del mismo; por ejemplo, dado ${}^{5}C_{147}=99853$, tendremos:

$${}^{3}C_{147}={}^{5}C_{147}-99000=99853-99000=853$$

Significado

Si sumamos un número a su complemento obtenemos:

$$x+{}^{n}C_{x}=x+10^{n}-x=10^{n}$$

por lo que $^{n}C_{x}$, en esta aritmética de $n$ dígitos se comporta como el inverso aditivo de x; es decir, como $-x$, siendo, por tanto, una representación operativa de este ya que el $1$ inicial de $10^{n}$ queda fuera del rango de dígitos que vemos y sólo nos serán visibles los $n$ ceros que le siguen. En el ejemplo de cinco dígitos:

$$147+{}^{5}C_{147}=147+10^{5}-147=100000=1\{00000\}$$

donde sólo vemos los dígitos entre llavecitas y por lo tanto el resultado es $0$.

Suma de un complemento

Sea $y>x$, calculemos la suma $y+{}^{n}C_{x}$; por definición de ${}^{n}C_{x}$ será:

$$y+{}^{n}C_{x}=10^{n}+(y-x)>10^{n}$$

pero como sólo nos resultan visibles $n$ cifras, perdemos de vista el acarreo y el resultado que obtenemos es:

$$y+{}^{n}C_{x}=y-x$$

Ejemplo: con $n=5$, $y=200$ y $x=147$

$$200+{}^{5}C_{147}=200+99853=1\{00053\}=53=200-147$$

Supongamos ahora que $y<x$:

$$y+{}^{n}C_{x}=10^{n}+(y-x)=10^{n}-(x-y)={}^{n}C_{x-y}<10^{n}$$

no hay desbordamiento por acarreo y lo que obtenemos es el complementario de la diferencia $y-x$ cambiada de signo.

Ejemplo: con $n=5$ $y=100$ y $x=147$

$$100+{}^{5}C_{147}=100+99853=00053=99953={}^{5}C_{47}<10^{5}$$

Es decir, en ambos casos el proceso nos resuelve la diferencia $y-x$, pero nos presenta el resultado de un modo u otro dependiendo de si este es positivo o negativo (o lo que es lo mismo, si hay acarreo o no). En el caso de una computadora, esto requerirá reservar un bit del registro para dicho acarreo; en nuestro caso, una columna adicional del ábaco o bien, en la mayoría de las ocasiones, llevar la cuenta mentalmente de si hay o no acarreo.

Esta es la forma en la que la sustracción puede reducirse a la adición, tal y como mencionamos más arriba.

Ábacos y números negativos

A continuación veremos el modo de aplicar lo anterior sobre el ábaco con el fin de poder incluir números negativos en la aritmética de cuentas.

El otro lado del ábaco

Empecemos por introducir el concepto de las dos caras o lados del ábaco y cómo leerlas.

Complementos y el ábaco moderno

Ingresemos el número $147$ alineado a la derecha en un ábaco moderno (tipo 4+1) de cinco columnas:

147 en un 4+1

	A	B	C	D	E
	0	0	1	4	7

Interpretamos que la disposición de cuentas presentadas en la figura corresponde al número $147$ en las columnas CDE sin más que sumar, para cada posición decimal (columnas o varillas), el valor atribuido a cada una de las cuentas activadas. Si hacemos lo mismo pero con las cuentas desactivadas, obtendremos $99852$, número que se relaciona con el anterior en el sentido de que cada dígito ha sido sustituido por su complemento a 9 (dado que que la suma del valor atribuido a todas las cuentas de una columna es nueve). Por tanto, y de acuerdo a lo tratado arriba, sólo nos faltaría sumar $1$ al número así leído para conocer el complemento de 5 cifras del número $147$ (${}^{5}C_{147}=99853$). A falta de otra denominación, cuando hagamos esto diremos que hemos leído el Otro Lado del ábaco como contrapuesto a la lectura de Este Lado del ábaco.

Las dos lecturas del ábaco

	A	B	C	D	E
	0	0	1	4	7	¡Lectura en Este Lado!
	9	9	8	5	3	¡Lectura del Otro Lado!

También, limitando la lectura, habríamos podido determinar ${}^{4}C_{147}=9853$ y ${}^{3}C_{147}=853$.

Recíprocamente, si tenemos ${}^{5}C_{147}=99853$ en nuestro ábaco, la lectura del otro lado nos dará su complemento que, como sabemos, es el número original $147$

99853 en un ábaco 4+1

	A	B	C	D	E
	9	9	8	5	3	¡Lectura en Este Lado!
	0	0	1	4	7	¡Lectura del Otro Lado!

Complementos y el ábaco tradicional

Desafortunadamente, si empleamos un ábaco diferente, un 5+1, 5+2 o 5+3, no podremos leer el otro lado contando las cuentas desactivadas; tendríamos que excluir mentalmente las cuentas adicionales, lo cual podría resultarnos confuso y proclive a errores. Con estos ábacos resultará más sencillo sustituir mentalmente cada dígito de este lado por su complemento a 9 y añadir 1 al total.

147 en un ábaco 5+2

	A	B	C	D	E
	0	0	1	4	7	¡Lectura en Este Lado!
	9	9	8	5	3	¡Lectura del Otro Lado!

Éste es el método universal, aplicable tanto a cualquier tipo de ábaco como al cálculo con papel y lápiz, por lo que merece la pena esforzarse en seguirlo.

99853 en un ábaco 5+2

	A	B	C	D	E
	9	9	8	5	3	¡Lectura en Este Lado!
	0	0	1	4	7	¡Lectura del Otro Lado!

Suma y Resta

Un ábaco sólo soporta las operaciones de suma y resta; todo lo demás, multiplicación, división, raíces, etc. debe reducirse a una secuencia estructurada de sumas y restas. Podremos ingresar al otro lado desde cualquier operación aritmética, pero siempre ocurrirá cuando debamos restar de una cantidad reflejada directamente en el ábaco otra de mayor valor dando un resultado negativo; por ejemplo en la operación $77-94=-17$. Diremos que hemos entrado en el otro lado porque a partir de ese momento, si queremos leer el resultado representado en el ábaco, deberemos leer el complemento de las cuentas activas como se ha explicado arriba; que hemos salido del otro lado o vuelto a este lado cuando los resultados a leer son positivos y podemos hacer la lectura directa de las cuentas activas.

Veamos el ejemplo de la operación mencionada $77-94=-17$:

77-94=-17

Ábaco	Comentario
ABCDEF
77
(-94)	No podemos restar!
+1000	Tomamos prestado 1000 de la nada...
1077
-94	Ahora si podemos restar
983	Hemos ingresado al otro lado
>>-17	Lectura del otro lado

Veamos qué hemos hecho aquí. Al no poder restar 94 de 77, hemos tomado prestado de la nada, por decirlo de alguna forma, 1000 que, añadido a 77, nos da 1077, cantidad de la que sí podemos restar 94. Al añadir 1000 y restar 94 a 77, le hemos sumado $1000-94=906={}^{3}C_{94}$ a 77, por lo que el resultado es el complemento de la diferencia según se ha discutido en el apartado del Método de los complementos; es decir:

$$77+{}^{3}C_{94}={}^{3}C_{94-77}$$

que es lo único que da sentido a tomado prestado de la nada; en realidad no estamos tomando nada prestado (sería injustificable desde el punto de vista matemático), lo que hacemos es cambiar de modo de operación formando directamente sobre el ábaco el complemento ${}^{3}C_{94}$ a la par que lo sumamos a 77. Al cambiar de modo hemos entrado en el otro lado y a partir de ese momento debemos hacer las lecturas del otro lado para conocer los resultados.

Nota:

Inicialmente podrá el lector añadir físicamente el 1 a la columna B arriba, pero debería esforzarse un no añadir un 1 que va a ser retirado inmediatamente para ahorrar tiempo, por no mencionar que esa columna podría estar previamente ocupada como ocurrirá en Revisión a la baja desde el otro lado. Introduzca ese uno, y los que necesitará en este tipo de cálculo, sólo en su mente.

Si al resultado anterior sumamos, por ejemplo, 104 tendríamos $77-94+104=87$, un resultado positivo:

77-94+104=-17

Ábaco	Comentario
ABCDEF
77
(-94)	No podemos restar!
+1000	Tomamos prestado 1000 de la nada...
1077
-94	Ahora si podemos restar 94
983	Hemos ingresado al otro lado!
>>-17	Lectura del otro lado
+104	Sumamos
1087
-1000	Devolvemos lo que tomamos prestado de la nada
87	Hemos vuelto a este lado!

Observe el lector como al sumar 104 se produce un acarreo más allá de la frontera de tres dígitos de los complementos que estamos usando aquí (un desbordamiento), lo cual, de acuerdo a lo expresado en Método de los complementos debemos ignorar por no sernos visible, indicándonos que el resultado es positivo y hemos vuelto a este lado del ábaco. Ignorar ese acarreo equivale al devolver lo que hemos tomado prestado indicado en la tabla anterior.

Nota:

Por el mismo motivo expresado en la nota anterior, deberíamos evitar llevar el acarreo físicamente a la columna B; ¡hagámoslo sólo en nuestra mente!

Veamos otro ejemplo. Supongamos que nos están dictando números y nos han pedido restar 94 de 77 y que ya lo hemos resuelto como acabamos de ver y en nuestro ábaco figura 983, supongamos que ahora nos piden restar 1727 de dicho resultado...

77-94-1727=-1744

Ábaco	Comentario
ABCDEF
77
(-94)	No podemos restar!
+1000	Tomamos prestado 1000 de la nada...
1077
-94	Ahora si podemos restar 94
983	Hemos ingresado al otro lado!
>>-17	Lectura del otro lado
983
(-1727)	No podemos restar!
+9	Complemento de 4 cifras
9983
-1727	Ahora si podemos restar 1727
8256	Seguimos en el otro lado
>-1744	Lectura del otro lado

Al sumar 9 en B, estamos utilizando lo dicho en Ampliación y reducción de un complemento y transformamos un complemento de 3 dígitos en otro de 4, lo que permite continuar la operación y obtener -1744. Seguimos en el otro lado y sólo podríamos salir por un acarreo a la columna B al sumar una cantidad suficientemente grande; por ejemplo 1744 (para comprobar que hemos leído correctamente el otro lado), deberíamos obtener 1{0000}, donde el 1 es el acarreo a B que nos saca del otro lado y las cifras visibles (entre llaves) nos indican que el resultado es 0 en este lado.

Multiplicación

No es de esperar que lo que sigue sea de mucha aplicación, pero sí una forma de ampliar nuestra comprensión de los números complementarios y del ábaco.

Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos. Deseamos formar el producto $(-a)\cdot b$ y para ello contaremos con la representación de $-a$ en la forma de complemento:

$${}^{k}C_{a}=10^{k}-a$$

donde $k$ es el número de dígitos de $a$, y también contaremos con el complemento de $b$:

$${}^{l}C_{b}=10^{l}-b$$

donde $l$ es el número de dígitos de $b$. Formemos el producto:

$$p=b\cdot {}^{k}C_{a}=b\cdot 10^{k}+b\cdot (-a)=b\cdot 10^{k}-a\cdot b$$

Sumemos ahora ${}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}$ al primer y último término de la expresión anterior:

$$p+{}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}={}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}+b\cdot 10^{k}-a\cdot b=10^{k+l}-b\cdot 10^{k}+b\cdot 10^{k}-a\cdot b$$

con lo que tenemos:

$$p+{}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}=10^{k+l}-a\cdot b={}^{k+l}C_{a\cdot b}$$

es decir, la cantidad $p+{}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}$ es el complemento de $k+l$ dígitos del producto buscado.

Veamos un ejemplo: $a=12$ con (${}^{2}C_{12}=88$) y $b=62$ con (${}^{2}C_{62}=38$); entonces será: $(-a)\cdot b=-12\cdot 62=-744$. Tendremos:

$$p=b\cdot {}^{k}C_{a}=62\cdot {}^{2}C_{12}=62\cdot 88=5456$$

y

$${}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}={}^{2}C_{62}\cdot 10^{2}=3800$$

por lo que

$$p+{}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}=5456+3800=9256$$

que es el complemento de cuatro cifras de $a\cdot b=744$ por lo que

$$(-a)\cdot b=-744$$

Sobre el ábaco:

(-12) x 62 = -744

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
62   12	b y a
62   88	b y 2Cb
...	Multiplicación moderna
62    5456	p
+3800	2Cbx10k
62    9256
>>-744	Lectura del otro lado

Nótese que, a efectos prácticos, sumar ${}^{l}C_{b}\cdot 10^{k}$ equivale a restar $b$ de los dígitos de la izquierda de $p$

(-12) x 62 = -744

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
62   12	b y a
62   88	b y 2Cb
...	Multiplicación moderna
62    5456	p
-62	Restar b tomando prestado de la nada
62    9256
>>-744	Lectura del otro lado

División

Si la división es la operación inversa de la multiplicación, para dividir $(-744)/62$ deberemos invertir los pasos dados en el apartado anterior; así, si hemos terminado antes restando el multiplicador de los dígitos de la izquierda del producto, tomando prestado de la nada, empezaremos ahora sumando el divisor a los dígitos de la izquierda del dividendo acarreando a la nada. Tenemos $a=744,b=62$; calculemos: $q=(-a)/b$:

(-744)/62 = -12

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
62     744	a y b
62    9256	b y 4C744
+62	Sumar b acarreando a la nada
62    5456
...	División moderna
62   88	Cociente
>>-12	Lectura del otro lado

Probablemente se pregunte por qué hemos formado ${}^{4}C_{744}=9256$ en el ábaco en lugar de ${}^{3}C_{744}=256$ que es más sencillo. Recuerde lo dicho para la multiplicación: el producto nos aparece como un complemento de $k+l$ cifras donde $k$ y $l$ son los números de dígitos del multiplicando y del multiplicador; por esto no nos sirve ${}^{3}C_{744}$ aquí y necesitamos ampliar a ${}^{4}C_{744}$. Puede emplear este argumento para decidir en cada caso que complemento usar o bien seguir la siguiente:

Regla práctica:

Sume mentalmente el divisor a los dígitos de la izquierda del complemento a dividir, si se produce acarreo (a la nada), podemos proceder; en caso contrario añada un 9 a la izquierda del complemento a dividir y proceda.

Por ejemplo: $-132/11=-12$, ${}^{3}C_{132}=868$, $868+110=0{978}$ y no hay acarreo pero $9868+1100=1{0968}$ sí da lugar a acarreo. Procedemos entonces a dividir $968/11=88$ y, leyendo el otro lado de $88$, tendremos la respuesta $-12$.

Otras lecturas

• Murakami, Masaaki (2019). «The Other Side of Soroban» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el 1 de Agosto de 2021.
• Tejón, Fernando; Heffelfinger, Totton (2005). «Complementary Numbers (Simplifying Subtraction & The Negative Answer)» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el 21 de Diciembre de 2018.

Métodos Especiales de Multiplicación

Introducción

Como se expresó en el capítulo dedicado a la multiplicación tradicional, el número de formas posibles de realizar una multiplicación en el ábaco puede ser muy elevado, aunque sólo una pequeña fracción de ellas puedan ser fácilmente desarrolladas por un operador humano y podamos considerarlas prácticas. No obstante, el número de estas formas prácticas de efectuar la multiplicación sigue siendo importante y de ellas sólo hemos tratado dos en este libro: la multiplicación moderna y la tradicional.

Los métodos de multiplicación usados en el ábaco pueden ser de dos categorías:

• Métodos Genéricos: permiten multiplicar dos números cualesquiera dados. Ejemplos: los dos vistos hasta ahora.
• Métodos Especiales: sólo son aplicables bajo determinadas condiciones; por ejemplo, cuando el multiplicador es próximo a la unidad, o acaba en uno, etc.

En lo que sigue introduciremos algunos de estos métodos adicionales, pero estarémos lejos de agotar el tema. El lector puede acudir a las lecturas adicionales para descubrir nuevas variantes.

Multiplicación multifactorial

Se presentan a continuación dos métodos generales (pueden usarse en todos los casos) para multiplicar números procesando las cifras del multiplicando de izquierda a derecha; lo cual es particularmente útil cuando se han de multiplicar varios factores (multifactorial) o cuando se busca un valor aproximado del producto (Véase el capítulo sobre operaciones abreviadas). Ejemplo: 37×47×65

Método 1

Nota:

Procure siempre dejar suficiente espacio entre multiplicando y multiplicador; especialmente si va a multiplicar varios factores como es aquí el caso.

37×47×65, multiplicación multifactorial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
47           37	Multiplicador en A-E, multiplicando en NO
+12	Sumar 3×4 en LM
+21	Borrar 3 (N), sumar 3×7 en MN
47         1417
+28	Sumar 7×4 en MN
+49	Borrar 7 (O), sumar 7×7 en NO
47         1739	Resultado en LO
65         1739	Ahora multiplicamos por 65 en HI
+06	Sumar 1×6 en JK
+05	Borrar 1 (L), sumar 1×5 en KL
65        65739
+42	Sumar 7×6 en KL
+35	Borrar 7 (M), sumar 7×5 en LM
65       110539
+18	Sumar 3×6 en LM
+15	Borrar 3 (M), sumar 3×5 en MN
65       112459
+54	Sumar 9×6 en MN
+45	Borrar 9 (O), sumar 9×5 en NO
65       113035	Resultado en I-O

Método 2

En lugar de ir borrando las cifras del multiplicando para añadir el ultimo producto parcial que le corresponde, como hemos hecho arriba, podemos disminuir el multiplicador en una unidad y limitarnos a sumar sin borrar nada; por ejemplo: 37×47

37×47, multiplicación multifactorial (otra forma)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
46           37	Multiplicador menos 1 en A-E, multiplicando en NO
+12	Sumar 3×4 en LM
+18	Sumar 3×6 en MN
46         1417
+28	Sumar 7×4 en MN
+42	Sumar 7×6 en NO
46         1739	Resultado en LO

Multiplicador terminado en 1

Si uno de los factores acaba en uno podemos ahorrar algún trabajo empleando el método 1 de multiplicación multifactorial explicado arriba. Por ejemplo, 481×76; procederíamos del siguiente modo omitiendo el 1 final de 481:

481×76, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
48     76	Multiplicador, omitido el 1, en AB; multiplicando en HI
+28	Sumar 7×4 en EF
+56	Sumar 7×8 en FG
48  33676
+24	Sumar 6×4 en FG
+48	Sumar 6×8 en GH
48  36556	Resultado en E-I

Es decir:

• No borramos los dígitos del multiplicando
• No olvidamos que el multiplicador tiene un dígito más de los inscritos en el ábaco a la hora de decidir dónde sumar los productos parciales

Multiplicador que comienza con 1

Del mismo modo, podemos ahorrar cierto trabajo cuando el multiplicador empieza por 1 si usamos la multiplicación tradicional y no borramos los dígitos del multiplicando. Por ejemplo, 175×73:

175×73

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
75  73	No necesitamos el 1 en A
+15	Sumar 3×5 en HI
+21	Sumar 3×7 en GH
75  7525
+35	Sumar 7×5 en GH
+49	Sumar 7×7 en FG
75 12775	Resultado en E-I

a

Multiplicador ligeramente mayor que la unidad

Aclaremos antes de empezar que por multiplicador ligeramente mayor que la unidad queremos decir que uno de los factores a multiplicar, el que señalamos como multiplicador, es de la forma: $(1+x)\cdot 10^{k}$, con $x$ una cantidad pequeña positiva $0<x\ll 1$ y $k$ cualquier entero. Es decir, que en el ejemplo que sigue, 1.03 podría ser igualmente 103, 10300 o 0.00000103 ya que el término $10^{k}$ afecta sólo a la posición del punto decimal en el resultado y no a la secuencia de dígitos que se obtiene en la multiplicación.

Dicho lo anterior, consideremos la multiplicación: 7×1.03; podríamos realizarla usando el método moderno en la forma:

7×1.03, multiplicación moderna

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
103    7	Multiplicador en A-C, multiplicando en H
+07	Sumar 7×1 en IJ
+21	Sumar 7×3 en KL y borrar H
721	Resultado en J-L

Como vemos, realizar esta multiplicación en el ábaco consiste en sumar los dos productos parciales 7×1=7 y 7×3=21 en determinados lugares del ábaco. No sería muy diferente usando la multiplicación tradicional:

7×1.03, multiplicación tradicional

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
103    7	Multiplicador en A-C, multiplicando en H
+21	Sumar 7×3 en JK y borrar H
+07	Sumar 7×1 en HI
721	Resultado en I-K

Reparemos en que en ambos casos tenemos que inscribir un 7 en el ábaco como resultado de sumar el primer producto parcial y que también tenemos que borrar un 7 correspondiente al multiplicando. Claramente ahorraremos cierto tiempo y trabajo si evitamos esto; lo único que tenemos que hacer es considerar que el 7 ya inscrito (multiplicando) se transforma en el 7 (producto parcial) y lo que nos falta por hacer es simplemente añadir el otro producto parcial en el lugar correcto:

7×1.03, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
103    7	Multiplicador en A-C, multiplicando en H
+21	Sumar 7×3 en JK y borrar H
721	Resultado en H-J

Nótese que no se opera con el 1 del multiplicador, por lo que es habitual no inscribirlo en el ábaco para sólo tener a la vista los dígitos con los que tenemos que operar; es decir repitiendo el proceso anterior:

7×1.03, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
003    7	Multiplicador en A-C, multiplicando en H
+21	Sumar 7×3 en JK
721	Resultado en H-J

Podríamos haber inscrito el 3 en la columna A (como también podríamos prescindir de inscribirlo), pero es recomendable, al menos al principio, ponerlo en la manera indicada en la columna C ya que esa posición nos guiará acerca de en qué columna tenemos que añadir los productos parciales. Esto será mas claro en los casos que veremos a continuación.

El término $x$ del multiplicador $1+x$ no tiene que ser de un sólo dígito; por ejemplo 7×1.137 ($x=0.137$):

7×1.137, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
137   7	Multiplicador en A-D, multiplicando en H
+07	Sumar 7×1 en HI
+21	Sumar 7×3 en IJ
+49	Sumar 7×7 en JK
7959	Resultado en H-K

Nota

Como puede verse, los productos parciales se suman, respecto del multiplicando, una posición a la izquierda comparado con la multiplicación tradicional y dos comparado con la moderna. ¡Téngalo en cuenta a la hora de determinar la varilla o columna unidad!

Extendamos ahora este procedimiento a multiplicando de varios dígitos; por ejemplo:123×1.075=132.225, donde procederemos dígito a dígito del multiplicando y de derecha a izquierda:

123×1.075, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
75   123	Multiplicador en A-D, multiplicando en H
+21	Sumar 3x7 en KL
+15	Sumar 3x5 en LM
75   123225
+14	Sumar 2x7 en JK
+10	Sumar 2x5 en KL
75   124725
+07	Sumar 1x7 en IJ
+05	Sumar 1x5 en JK
75   132225	Resultado en H-M

Pero no nos engañemos, este no es un método general de multiplicación y podemos encontrarnos con dificultades; por ejemplo:394×1.075=423.550, en este caso se puede resolver fácilmente usando un ábaco tradicional 5+2 gracias a sus cuentas adicionales que nos permitirán hacer frente al desbordamiento:

394×1.075, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
75   394	Multiplicador en A-D, multiplicando en H
+28	Sumar 4x7 en KL
+20	Sumar 4x5 en LM
75   394300
+63	Sumar 9x7 en JK
+45	Sumar 9x5 en KL
75   391050	¡Desbordamiento!
+63	Sumar 3x7 en IJ
+45	Sumar 3x5 en JK
75   313550	¡Desbordamiento!
75   423550	Resultado normalizado en H-M

pero este problema sería especialmente difícil en un ábaco moderno 4+1. Más aún, si $x$ es grande, digamos de aproximadamente 0.2, las cosas son complicadas con cualquier tipo de ábaco; por lo que este método de multiplicación es limitado. No obstante supone una considerable simplificación en algunos casos y resulta especialmente indicado para tratar operaciones con pequeños porcentajes.

Multiplicador ligeramente menor que la unidad

Al igual que en la sección anterior y por idéntico motivo, como multiplicador ligeramente menor que la unidad queremos decir que es de la forma: $(1-x)\cdot 10^{k}$, con $x$ una cantidad pequeña positiva $0<x\ll 1$ y $k$ cualquier entero.

Consideremos ahora la multiplicación: $7\times 0.97$; podríamos realizarla usando el método moderno o tradicional, pero es más sencillo considerar $7\times 0.97=7\times (1-0.03)=7-7\times 0.03$, de modo que al 7 ya puesto en el ábaco sólo tendremos que restarle el producto $7\times 0.03$ en el lugar adecuado:

7×0.97, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
3   7	Multiplicador en A-C, multiplicando en H
-21	Restar 3×7 de EF
3   679	Resultado en D-F

Nota:

En este tipo de multiplicación no perdamos de vista que la cantidad anotada en el ábaco como multiplicador (el 3 en C en el caso anterior) es una cantidad negativa. Esto es lo que justifica que restemos productos parciales en lugar de sumarlos.

Compárese el trabajo realizado con el necesario para realizar la multiplicación moderna o tradicional de 7×0.97. Otro ejemplo con multiplicando de varias cifras $999\times 999=1000\times 999\times (0.999)=1000\times 999\times (1-0.001)=998001$:

999×999, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
1   999	Multiplicador en A-C, multiplicando en H-J
-09	Restar 9×1 de LM
-09	Restar 9×1 de KL
-09	Restar 9×1 de JK
1   998001	Resultado en H-M

Obsérvese cómo hemos trabajado las cifras del multiplicando de derecha a izquierda.

Del mismo modo que la multiplicación del apartado anterior, el término $x$ no está limitado a una cifra; por ejemplo: $7\times 0.987=7\times (1-0.013)=6.909$:

7×0.987, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
13   7	Multiplicador en A-D, multiplicando en H
-07	Restar 7×1 de IJ
-21	Restar 7×3 de JK
13   6909	Resultado en H-K

En este caso tras restar 7×1 de IJ tenemos que memorizar la cifra 7 para continuar.

En el siguiente ejemplo, tanto multiplicando como multiplicador tienen más de un dígito:

37×0.987, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
13  37	Multiplicador en A-D, multiplicando en H
-09	Restar 7×1 de IJ
-09	Restar 7×3 de JK
13  36909
-03	Restar 3×1 de IJ
-09	Restar 3×3 de JK
13  36519	Resultado en G-K

Obsérvese cómo hemos trabajado las cifras del multiplicando de derecha a izquierda y las del multiplicador de izquierda a derecha.

Multiplicación redondeando el multiplicador a potencia de 10

El método anterior puede generalizarse en cierta forma cuando el multiplicador puede redondearse a una potencia de 10. Por ejemplo, $37\times 27997$ que puede escribirse: $37\times (28000-3)=37\times 28000-37\times 3$ y podemos hacer las dos multiplicaciones y restarlas en la misma operación:

37×27997, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
28  3  37	Multiplicador en A-E, multiplicando en HI
+14	Sumar 7×2 en JK
+56	Sumar 7×8 en KL
-21	Restar 7×3 de NO
28  3  37195979
28  3  3 195979	Borrar 7 en I
+06	Sumar 3×2 en IJ
+24	Sumar 3×8 en JK
-09	Restar 3×3 de MN
28  3  31035889
28  3   1035889	Borrar 3 en H, resultado en I-O

Nota:

28 en AB es positivo, 3 en E es negativo.

Como puede verse, el proceso indicado es mucho más breve que la multiplicación directa de $37\times 27997$.

Elevación al cuadrado

La potenciación es un ejercicio reiterado de multiplicación por el mismo factor. Así, por ejemplo, $347^{4}=347\times 347\times 347\times 347$, lo que significa que, desde el punto de vista del cálculo manual, se trata de una operación tediosa incluso con pequeños valores del exponente. En lo que sigue nos limitaremos a la elevación al cuadrado, operación que puede simplificarse algo con ayuda del binomio de Newton:

$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b=2$$

Probablemente encontrará esto útil si se decide a extraer raíces cúbicas con el método de Newton.

Caso de numero de dos cifras

Ejemplo: $48^{2}=3204$

$48=40+8$ por lo que tomaremos $a=40=4\cdot 10$ y $b=8$; por lo que $48^{2}=16\cdot 10^{2}+2\cdot 32\cdot 10+64$, lo cual puede llevarse al ábaco de dos formas distintas: trabajando de derecha a izquierda o de izquierda a derecha

Cuadrado de 48, de derecha a izquierda

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
48
+64	Sumar 8^2=64 en HI
+32	Sumar 8x4=32 en GH
+32	Sumar 8x4=32 en GH una segunda vez
+16	Sumar 4^2=16 en FG
48   2304	resultado en F-I

Nota:

No es necesario introducir la base 48 en el ábaco.

Cuadrado de 48, de izquierda a derecha

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
48
+16	Sumar 4^2=16 en FG
+32	Sumar 8x4=32 en GH
+32	Sumar 8x4=32 en GH una segunda vez
+64	Sumar 8^2=64 en HI
48   2304	resultado en F-I

Caso de numero de tres o más cifras

Ejemplo: $438^{2}=191844$

En este caso, para trabajar de derecha izquierda tomaremos: $a=430=43\cdot 10$ y $b=8$; lo cual exigirá la evaluación de $43^{2}$ por el procedimiento anterior

Caption text

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
438
+64	Sumar 8^2=64 en JK
+24	Sumar 3x8=24 en IJ
+24	Sumar 3x8=24 en IJ una segunda vez
+32	Sumar 4^8=32 en HI
+32	Sumar 4^8=32 en HI una segunda vez
438    6944	Ahora sumamos a^2=43^2 a partir de I
+09	Sumar 3^2=09 en HI
+12	Sumar 4x3=12 en GH
+12	Sumar 4x3=12 en GH una segunda vez
+16	Sumar 4^2=16 en FG
438  191844	Resultado en F-K

y para trabajar de izquierda a derecha: $a=400=4\cdot 10^{2}$ y $b=38$; lo cual exigirá la evaluación de $38^{2}$ por el procedimiento del apartado anterior

438^2=191844, de izquierda a derecha

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
438
+16	Sumar 4^2=16 en FG
+12	Sumar 4x3=12 en GH
+12	Sumar 4x3=12 en GH una segunda vez
+32	Sumar 4^8=32 en HI
+32	Sumar 4^8=32 en HI una segunda vez
438  1904	Ahora sumamos b^2=38^2 a partir de I
+09	Sumar 3^2=09 en HI
+24	Sumar 3x8=24 en IJ
+24	Sumar 3x8=24 en IJ una segunda vez
+64	Sumar 8^2=64 en JK
438  191844	Resultado en F-K

De la misma forma podemos trabajar con números con un número mayor de cifras; por ejemplo cinco, lo que exigiría calcular:

el cuadrado de un número de cuatro cifras,

lo que exigiría a su vez calcular el cuadrado de un número de tres cifras,

lo que exigiría a su vez calcular el cuadrado de un número de dos cifras,

...

Estos cuadrados deberá empezar a calcularlos dos columnas a la derecha del cuadrado anterior si trabaja de izquierda a derecha, a la izquierda si trabaja de derecha a izquierda.

Valores aproximados

Hemos visto en los ejemplos anteriores que podemos elevar un número al cuadrado trabajando en cualquiera de las dos direcciones: de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. En principio, ambas formas de trabajo son equivalentes e inicialmente deberíamos practicar las dos aunque al final nos acabemos decantando por la que nos resulte más fácil. Hay sin embargo una situación en la que la simetría de ambos procedimientos se rompe y sólo podremos seguir un camino: cuando deseemos conocer sólo una aproximación al cuadrado y queramos abreviar la operación, tendremos que trabajar de izquierda a derecha.

Un ejemplo de la situación descrita podría ser el siguiente. Deseamos calcular la raíz quinta de 2500 siguiendo el método de Newton. Imaginemos que ya hemos obtenido una aproximación de dos cifras (4.8) a dicha raíz y queremos mejorarla con una nueva iteración siguiendo $x_{k+1}=\left(4x_{k}+{A}/{x_{k}^{4}}\right)/5$ con $A=2500$ y $x_{k}=4.8$. Pero $x_{k}^{4}$ tiene 7 cifras ($5308416$) y no las necesitamos todas dado que si nuestra raíz actual tiene dos dígitos significativos no podemos esperar mas de cuatro en la nueva aproximación, por lo que conocer 4-5 cifras de $x_{k}^{4}$ es suficiente y deseamos abreviar los cálculos en lo posible. supongamos que ya hemos obtenido $4.8^{2}=2304$ como ya hemos hecho arriba, entonces continuaríamos:

4.8^4, aproximado

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
2304
+04	Sumar 2^2=04 en FG
+06	Sumar 2x3=06 en GH
+06	Sumar 2x3=06 en GH una segunda vez
+08	Sumar 2x4=08 en IJ
+08	Sumar 2x4=08 en IJ una segunda vez
2304  5216	Ahora sumamos b^2=304^2 a partir de I
+09	Sumar 3^2=09 en HI
+12	Sumar 3x4=12 en JK
+12	Sumar 3x4=12 en JK una segunda vez
2304  53084	y podemos cortar aquí

Con lo que ya tenemos los primeros dígitos de $4.8^{4}$ y podemos ahorrar algún trabajo. Esto sólo podemos lograrlo trabajando de izquierda a derecha.

Otras lecturas

• Kojima, Takashi (1963). Advanced Abacus: Theory and Practice. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN 978-0-8048-0003-7. 
• Murakami, Masaaki (2019). «Multiplication with Excessive multiplicand» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el 1 de Agosto de 2021.
• Murakami, Masaaki (2019). «Six multiplication methods» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el 1 de Agosto de 2021.
• Hosking, Rosalie Joan (2018). «Elementary Soroban Arithmetic Techniques in Edo Period Japan» (PDF). Mathematical Association of America. Archivado desde el original, el 4 de Marzo de 2021.

Métodos Especiales de División

Introducción

Se presentan a continuación algunos métodos especiales de división que nos permitirán ahorrar cierta cantidad de trabajo en determinadas circunstancias.

También presentamos un método general, el de división con cociente excesivo, válido en todos los casos y que usaremos en conjunción con los métodos elementales de división (moderno o tradicional). En realidad, este método, más que un método de división en sí mismo, puede considerarse como la imagen especular de los métodos habituales en el otro lado del ábaco, donde podremos entrar y salir a voluntad para trabajar con restos negativos si encontramos alguna ventaja en ello. En todo caso, será un buen banco de prueba para nuestra comprensión del proceso de división.

Divisor ligeramente mayor que la unidad

Al igual que hicimos en el caso de la multiplicación por un número ligeramente mayor que la unidad, aclaremos antes de empezar que por divisor ligeramente mayor que la unidad queremos decir que éste es de la forma: $(1+x)\cdot 10^{k}$, con $x$ una cantidad pequeña positiva $0<x\ll 1$ y $k$ cualquier entero. Es decir, que en el ejemplo que sigue, 1.03 podría ser igualmente 103, 10300 o 0.00000103 ya que el término $10^{k}$ afecta sólo a la posición del punto decimal en el resultado de la división y no a la secuencia de dígitos que obtendremos en el proceso.

El punto clave de esta división es que, en la mayoría de los casos, el primer dígito del dividendo se corresponde con el dígito del cociente por ser el divisor próximo a la unidad, y que dicho dígito desaparecerá del dividendo cuando restemos el producto de la cifra del cociente por el divisor para establecer el resto. Por lo tanto, ahorraremos trabajo si en lugar de borrar ese dígito del dividendo y escribir el mismo en otra parte como cociente, lo reciclamos y lo consideramos convertido en cociente; por ejemplo: 7416÷103

7416÷103, división especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
3   7416	7 como dígito del cociente
-21	Restar 7x3 de HI
3   7206	2 como dígito del cociente
-06	Restar 2x3 de IJ
3   72	Resto nulo, resultado en GH

donde hemos abreviado la escritura del divisor omitiendo el 1 por no intervenir en los cálculos. Nótese que, con la posición del cociente relativa a la posición del dividendo, esta división no se ha realizado ni con la disposición moderna de la división (MDA) ni con la tradicional (TDA), sino con una nueva disposición que es la inversa abacística de la multiplicación con multiplicador ligeramente mayor que la unidad:

72×103, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
3   72
+06	Sumar 2x3 en IJ
3   7206
+21	Sumar 7x3 en HI
3   7416	Resultado en G-J

Nótese también que la cantidad $x$ no tiene por qué limitarse a un dígito:

3696÷112, división especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
12   3696	3 como dígito del cociente
-3	Restar 3x1 de H
-06	Restar 3x2 de HI
12   3336	3 como dígito del cociente
-3	Restar 3x1 de I
-06	Restar 3x2 de IJ
12   33	Resto nulo, resultado en GH

Pero $x$ sí tiene un límite borroso en cuanto al mayor valor que puede tomar; es difícil seguir este procedimiento abreviado de dividir si $x>0.2$.

Por otro lado, no siempre se cumplirá lo dicho arriba de que el primer dígito del dividendo se corresponda con el dígito del cociente como ha ocurrido en los ejemplos anteriores, con frecuencia necesitaremos revisar a la baja dicho cociente. Por ejemplo: 8034÷103, inicialmente supondríamos que la cifra del cociente es 8, pero rápidamente veremos que 8 es excesivo y que la cifra del cociente a emplear es 7. Para tratar con esta situación, supondremos que el 1 que nos sobra del primer dígito del dividendo forma parte de la columna siguiente como desbordamiento y lo trataremos como tal; por ejemplo, con un ábaco tradicional con cuentas adicionales podríamos cambiar el planteamiento inicial:

8034÷103, disposición inicial

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J
	0	0	3	0	0	0	8	0	3	4	0

por este otro

8034÷103, disposición modificada

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J
	0	0	3	0	0	0	7	T	3	4	0

y proceder:

8034÷103, división especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
3   8034	8 como dígito del cociente
-24	Restar 8x3 de HI ¡Excesivo!
3   7T34	Transformamos el dividendo, 7 como dígito del cociente
-21	Restar 7x3 de HI
3   7824	8 como dígito del cociente
-24	Restar 8x3 de IJ
3   78	Resto nulo, resultado en GH

Otra forma de tratar con el desbordamiento sería:

8034÷103, división especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
3   8034	8 como dígito del cociente
-24	Restar 8x3 de HI ¡Excesivo!
3   7794	no importa, restamos de todos modos (Nota)
+3	devolvemos lo restado en exceso
3   7824	8 como dígito del cociente
-24	Restar 8x3 de IJ
3   78	Resto nulo, resultado en GH

Nota:

Al tomar el 8 inicial como cociente (y considerarlo suprimido del dividendo) hemos restado 8×103 de la cabecera del dividendo, pero esto es excesivo ya que el verdadero cociente es 7 y deberíamos haber restado 7×103; es decir 103 menos, por lo que habrá que devolver esta cantidad. En realidad, el 103 restado en exceso lo hemos restado tomando prestado de la nada (ver capítulo sobre números negativos, el 79 que aparece en las columnas HI representa a -21); por lo que al sumar el 100 de 103, restituimos (a la nada) el uno que hemos tomado prestado y sólo nos falta devolver el 3 (-21+103=82 en HI). Consulte también los apartados: Revisión a la baja desde el otro lado y División con cociente excesivo.

Para terminar este apartado añadimos un ejemplo extremo, en el que $x=0.3$, para mostrar la clase de dificultades que surgen si $x$ no es pequeño. Es interesante comprenderlo bien porque en ocasiones también pueden surgir estas dificultades con valores más moderados de $x$ y conviene saber salir del paso. Para tener más claro qué es lo que se va a hacer, conviene tener presente la división $10257/13$ resuelta por el método moderno:

10257/13 = 789, método moderno

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
13   10257
13  710257	Probar 7 como cociente
-07	Restar 7x1 de FG
-21	Restar 7x3 de GH
13  7 1157
13  781157	Probar 8 como cociente
-08	Restar 8x1 de GH
-24	Restar 8x3 de HI
13  78 117
13  789117	Probar 9 como cociente
-09	Restar 9x1 de HI
-27	Restar 9x3 de IJ
13  789	Resto nulo. Cociente:789

A continuación sigue la división hecha por este método especial. Lo que hacemos es, fundamentalmente, lo mismo que con la división moderna pero los cocientes son anotados dos columnas a la derecha, lo que resultará confuso al principio.

10257/13 = 789, división especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
3   10257	Considerar 1 en F como desbordamiento (nota 1)
3   00257	Probamos 9 como cociente
-27	Restar 9x3 de GH
3    7557	Excesivo, queda 7 en G
----------
3   00257	Probamos 8 como cociente
-24	Restar 8x3 de GH
3    7857	Excesivo, queda 7 en G
----------
3   00257	Probamos 7 como cociente
-21	Restar 7x3 de GH
3    8157	Cabe, columna H desbordada (nota 2), seguimos
3    7157	Probamos 9 como cociente
-27	Restar 9x3 de HI
3    7887	Excesivo, queda 8 en H
----------
3    7157	Probamos 8 como cociente
-24	Restar 8x3 de HI
3    7917	Cabe, columna I desbordada (nota 3), seguimos
----------
3    7817	Probamos 9 como cociente
-27	Restar 9x3 de IJ
3    789	Cabe, resto nulo, hecho.

Nota 1:

Según la técnica que estamos tratando, la primera cifra del dividendo es una pista a la cifra del cociente que tenemos que intentar, pero en este caso no sirve porque 10 entre 13 no cabe y tenemos que pensar en 102/13 que nos lleva a una cifra alta. Por eso conviene pensar que el 1 inicial es el desbordamiento de la columna de la derecha; o lo que es lo mismo, que el primer dígito del dividendo es 10 en G. En un ábaco tradicional sería más sencillo entender el proceso ya que cambiaríamos el dividendo de esto:

F	G	H	I	J
1	0	2	5	7

a esto otro:

F	G	H	I	J
0	10	2	5	7

Ahora, el primer dígito del dividendo (10 en G) debería guiarnos a la cifra de cociente que debemos intentar; pero, no sirviendo 10 por lo que acabamos de decir, ensayamos 9. Pero 9 resulta excesivo ya que al sustraer 9×3 de GH nos quedaría 7 en lugar de 9 en G; por lo que pasamos a intentar 8 como cociente, que tampoco nos sirve por idéntico motivo, y luego 7.

Nota 2:

Nos sirve 7 como cociente porque, tras restar 7×3 de GH, nos quedaría 8 en G que puede ser interpretado como 7 (la cifra del cociente) más el desbordamiento de la columna H. En un ábaco tradicional tendríamos:

F	G	H	I	J
0	7	11	5	7

Nota 3:

Aquí ocurre lo mismo que en el caso anterior. Nos sirve 8 como cociente porque, tras restar 8×3 de HI, nos quedaría 9 en H que puede ser interpretado como 8 (la cifra del cociente) más el desbordamiento de la columna I.En un ábaco tradicional tendríamos:

F	G	H	I	J
0	7	8	11	7

La clave:

Al probar un cociente y restar el producto de esa cifra del cociente por $x$ pueden ocurrir tres cosas:

• En la columna del cociente aparece una cifra menor que la del cociente que estamos probando. La cifra del cociente es excesiva y tenemos que probar otra más baja.
• En la columna del cociente aparece la cifra que estamos probando. Entonces, todo ha ido bien y podemos continuar la división.
• En la columna del cociente aparece la cifra que estamos probando más 1. Todo ha ido bien, la cifra probada del cociente era correcta, pero la unidad de más indica que la columna de la derecha (resto) está desbordada y deberemos ensayar cifras altas para el siguiente dígito del cociente. En un ábaco tradicional quitaríamos el uno que sobra de la cifra del cociente y sumaríamos 10 a la columna de la derecha (como en los diagramas anteriores); en un ábaco moderno tenemos que hacerlo mentalmente.

Como puede verse, lo que se pierde en este método cuando $x$ no es pequeño es la simplicidad de que la primera cifra del resto sea un buen indicador de la cifra del cociente a ensayar.

Divisor ligeramente menor que la unidad

Al igual que en la sección anterior y por idéntico motivo, como divisor ligeramente menor que la unidad queremos decir que es de la forma: $(1-x)\cdot 10^{k}$, con $x$ una cantidad pequeña positiva $0<x\ll 1$ y $k$ un entero arbitrario. También, como en el método anterior, al ser el divisor próximo a la unidad se tendrá que en la mayoría de los casos la primera cifra del dividendo coincidirá con la del cociente que deberemos probar; por lo que el principal trabajo a realizar en éste método será la determinación del resto o siguiente dividendo.

Si $a$ es el dividendo, $b$ el divisor y $q$ un cociente, se cumplirá:

$$a=q\cdot b+r$$

donde $r$ es el resto asociado al cociente $q$. Introduzcamos ahora $b=(1-x)$

$$a=q\cdot (1-x)+r=q-q\cdot x+r$$

por lo que

$$r=a-q+q\cdot x$$

Ejemplo $403/97=403/(100-3)=4.03/(1-0.03)$, cociente $4$ entonces:

$$r=4.03-4+4\cdot 0.03=0.15$$

y, como puede verse, el efecto de $-q$ en $r=a-q+q\cdot x$ es el de cancelar el primer dígito del dividendo, por lo que bastará sumar $q\cdot x$ a lo que queda del dividendo para obtener el resto (o nuevo dividendo) $r$ y poder continuar con la división si procede.

403÷97=4.03÷(1-0.03)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMN	Como divisor sólo anotamos la parte negativa
3  403	4 como cociente
+12	Sumar 4x3 en GH
3  415	1 como cociente
+03	Sumar 3x3 en HI
3  4153	5 como cociente
+15	Sumar 5x3 en IJ
3  41545	4 como cociente
+12	Sumar 4x3 en JK
3  415462	6 como cociente
+18	Sumar 6x3 en KL
3  4154638	3 como cociente
+09	Sumar 3x3 en LM
3  41546389	8 como cociente
+24	Sumar 8x3 en LM
3  415463814	Desbordamiento!
+1	Revisar L al alza
-97
3  415463917	Etc. cociente en F-L, resto en MN

Este método es llamado también: División por números complementarios. Al igual que el método anterior, este método es difícil de seguir si $x$ es grande, el límite (borroso) es $x\approx 0.2$. Por supuesto, $x$ no está limitado a un dígito.

1056÷88=1056/(100-12)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
12  1056	1 como cociente
+12	Sumar 1x12 a GH
12  1176	1 como cociente
+12	Sumar 1x12 a HI
12  1188
+1	Revisar G al alza
-88
12  1200	Resto nulo, resultado en FG

División redondeando el divisor a múltiplo de 10

La presente técnica, que puede considerarse una extensión de la anterior, se usará en conjunción con la división normal, moderna o tradicional, con divisores ligeramente inferiores a una múltiplo de 10; por ejemplo 4997 que puede ponerse como 5000-3. Al escribirlo e esta forma, con una parte positiva y otra negativa, reducimos el número de cifras diferentes de cero por las que multiplicar y restar; reduciéndose el número de operaciones a efectuar.

164901÷4997=164901÷(5000-3), división moderna especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Divisor en A-D. A es positivo, D es negativo!
5  3   164901	16÷5 -> 3
5  3  3164901
-15	Restar 3x5 de HI
+09	Sumar 3x3 en KL
5  3  3 14991	14÷5 -> 2
5  3  3214991
-10	Restar 2x5 de IJ
+06	Sumar 2x3 en LM
5  3  32 4997	Revisar al alza H
+1
-4997
5  3  33	Resto nulo, resultado en GH

o bien, con la división tradicional:

164901÷4997=164901÷(5000-3), división tradicional especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Divisor en A-D. A es positivo, D es negativo!
5  3   164901	Regla 1/5>2+0
5  3   264901
+06	Sumar 2x3 en KL
5  3   264961	Revisar H al alza
+1
-4997
5  3   314991	Regla 1/5>2+0
5  3   324991
+06	Sumar 2x3 en LM
5  3   324997	Revisar I al alza
+1
-4997
5  3   33	Resto nulo, resultado en HI

En ambos casos, se ha reducido el número de dígitos no nulos del divisor de 4 a dos, por lo que la división nos cuesta sólo la mitad de trabajo. Por supuesto, la parte negativa del divisor no está restringida a un dígito... ¡ni la positiva tampoco!

1077736÷48988=1077736÷(49000-12)
División tradicional

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNOP
49 12    1077736	Regla: 1/4>2+2
49 12    2277736
-18	Restar 2x9 de KL
+24	Sumar 2x12 en NO
49 12    2 97976
49 12    2297976	Revisar K al alza dos veces
+24	Sumar 2x12 en OP (Nota)
-98	Restar 2x49 de LM
49 12    22	Resto nulo, resultado en JK

Nota:

Aquí se procesa primero la parte negativa para evitar que el dividendo se haga temporalmente negativo; pero no hay ningún inconveniente en seguir el orden habitual y usar el otro lado del ábaco.

1077736÷48988=1077736÷(49000-12)
División tradicional y números negativos

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNOP
...	Terminación alternativa
49 12    2297976	Revisar K al alza dos veces
-98	Restar 2x49 de LM
49 12    2199976	En el otro lado!
>>>-24	Lectura: -24
+24	Sumar 2x12 en OP
49 12    22	De vuelta a este lado. Resto nulo, resultado en JK

Revisión a la baja desde el otro lado

Revisar a la baja un cociente provisional cuando estamos trabajando la obtención del nuevo dividendo (resto) es siempre algo un tanto molesto por requerir una atención extra. Tenemos que

1. disminuir en una unidad la cifra del cociente,
2. devolver al resto lo que hemos restado en exceso por haber adoptado un cociente excesivo y
3. continuar normalmente a partir de ahí.

Una secuencia de operaciones que se presta fácilmente a que cometamos algún error. Por ejemplo, en el caso de la división 1479889÷37, que también veremos en el apartado siguiente, suponiendo que por error de apreciación usamos 4 como cifra del cociente a probar en lugar de la correcta (3):

1479889÷37, revisión a la baja normal

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMN
37   1479889	14/3->4
37  41479889
-12	Restar 4x3 de FG
37  4 279889
-28	¡Excesivo!
-1	Revisar E a la baja
37  3 279889
+3	Devolver lo restado de más
37  3 579889
-21	Continuar normalmente, restar 3x7 de GH
37  3 369889
...	Etc.

Una alternativa conceptualmente más sencilla, aunque quizás algo más larga, es no interrumpir la obtención del resto, forzar la sustracción aunque nos lleve transitoriamente al otro lado o reverso del ábaco (números negativos); esto no será un problema ya que volveremos a este lado o anverso del ábaco (números positivos) inmediatamente. Por ejemplo, en la división anterior:

1479889÷37, revisión a la baja desde el otro lado

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMN
37   1479889	14/3->4
37  41479889
-12	Restar 4x3 de FG
37  4 279889
-28	¡Excesivo!, forzamos al otro lado
37  49999889	-1 en F-H (!)
-1	Revisar E a la baja
37  39999889
+37	Sumar el divisor (omitir acarreo)
37  3 369889	¡Hemos salido del otro lado!
...	Continuar división

Como puede verse, al permitirnos entrar al otro lado no hemos interrumpido la secuencia normal de operaciones, aunque normalmente moveremos más cuentas por este camino. Según los gustos personales esto podría resultarnos más cómodo. Pruébelo y decida.

División con cociente excesivo

Fundamento

Reflexionemos de nuevo sobre la división. Cuando tratamos de resolver una división $a/b$, buscamos un cociente $Q=a/b$ tal que

Exp. 1

$$a=Q\cdot b$$.

Para ello, en los métodos elementales del cálculo escrito o todos los que hemos desarrollado hasta ahora para el ábaco, seguimos una técnica iterativa basada en la división con resto que nos permite acceder a un nuevo dígito de $Q$ en cada paso. La división con resto nos dice que $q$ es un cociente de $a/b$ si

Exp. 2

$$a=q\cdot b+d$$

donde

Exp. 3

$$d=a-q\cdot b$$

es el resto de la división. Sin duda el lector habrá notado que con estas definiciones cualquier número arbitrario $q$ sirve como cociente de $a/b$ ya que siempre podemos calcular el resto $d$ usando la expresión 3 de forma que la expresión 2 se satisfaga. Por tanto, un método de división paso a paso basado en la división con resto dependerá de una juiciosa elección de una serie de cocientes $q_{1},q_{2},q_{3},\cdots$ tal que los correspondientes restos $d_{1},d_{2},d_{3},\cdots$ sean progresivamente más pequeño; que tiendan a cero

Exp. 4

$$d_{1},d_{2},d_{3},\cdots \to 0$$,

con lo que los cocientes tenderán a $Q$

Exp. 5

$$q_{1},q_{2},q_{3},\cdots \to Q$$

La forma de actuar en un método paso a paso para ir obteniendo sucesivamente los dígitos de $Q$ será elegir el $q_{1}$ de entre unos candidatos adecuados que haga mínimo el resto

$$d_{1}=a-q_{1}\cdot b$$

sin hacerlo negativo. Los candidatos a $q_{1}$ serán de la forma un dígito del 1 al 9 multiplicado por una potencia de 10 (lo veremos en el ejemplo que sigue). Tras esto, repetimos el proceso con el nuevo dividendo (el resto) $d_{1}$ obteniendo $q_{d1}$ y un nuevo resto:

$$d_{2}=d_{1}-q_{d1}\cdot b$$

con lo que será:

$$q_{2}=q_{1}+q_{d1}$$

si repetimos ahora para $d_{2}$, obtenemos $q_{d2}$ y

$$d_{3}=d_{2}-q_{d2}\cdot b$$

$$q_{3}=q_{2}+q_{d2}=q_{1}+q_{d1}+q_{d2}$$

y así hasta que el resto sea nulo y

$$Q=q_{1}+q_{d1}+q_{d2}+\cdots +q_{dn}$$

o decidamos terminar con cierta aproximación

$$Q\approx q_{1}+q_{d1}+q_{d2}+\cdots +q_{dn}$$

Veamos un ejemplo para aclarar lo anterior, la división $1479889/37$: Como valor de $q_{1}$ elegiremos de entre los valores $10000,20000,\cdots ,90000$ el que haga mínimo el resto $d_{1}$ sin entrar en la zona negativa; de acuerdo a la tabla :

q1	d1
10000	1109889
20000	739889
30000	369889
40000	-111
50000	-370111
60000	-740111
70000	-1110111
80000	-1480111
90000	-1850111

la elección corresponde a $q_{1}=30000$ y el nuevo dividendo $d_{1}=369889$. A continuación repetiremos el proceso partiendo de $d_{1}$ para obtener $q_{d1},q_{d2},\cdots$, teniéndose:

Cocientes		Restos
q1:  30000	q1:  30000	d1: 369889
qd1:  9000	q2:  39000	d2:  36889
qd2:   900	q3:  39900	d3:   3589
qd3:    90	q4:  39990	d4:    259
qd4:     7	q5:  39997	d5:      0

por lo que el número $1479889$ era divisible por $37$ y el cociente exacto es:

$$Q=q_{5}=q_{1}+q_{d1}+\cdots +q_{d4}=39997$$

Esto es básicamente lo que hacemos con cualquiera de los métodos de división vistos hasta ahora como la división moderna o la tradicional.

Ahora tratamos de lo fundamental en relación al nuevo método de división con cociente excesivo que vamos a introducir. En lo anterior, la restricción de elegir el mínimo resto positivo es artificial e innecesaria. Que el resto sea mínimo sí es esencial para que podamos acercarnos a $Q$, pero que sea positivo es consecuencia únicamente de que, normalmente, nos enseñan a dividir antes de hablarnos de números negativos, y de la larga tradición que procede de los tiempos en que los números negativos eran mal comprendidos y poco usados. Si quitamos esta restricción y en su lugar elegimos el mínimo en valor absoluto de los restos, admitiendo que tanto estos como los cocientes puedan ser negativos, podemos llevarnos una agradable sorpresa. En el caso del ejemplo, tomando $q_{1}=40000$ nos lleva a:

Cocientes		Restos
q1:  40000	q1:  40000	d1: -111
qd1:    -3	q2:  39997	d2:    0

Podemos llevar esta forma de trabajar al ábaco si nos permitimos entrar y salir del Otro Lado; es decir, usar restos y cocientes negativos. Podemos entrar y salir del otro lado a voluntad, simplemente eligiendo un cociente excesivo (una unidad mayor que el requerido) positivo o negativo.

Entraremos al otro lado:

cada vez que al forzar la sustracción necesitemos tomar prestado de la última cifra del cociente

Saldremos del otro lado:

cada vez que al forzar la sustracción de cantidades negativas (adición, por ser los cocientes negativos) necesitemos acarrear a la última cifra del cociente

Ejemplos

1479889÷37, división con cociente excesivo
(División moderna)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKL
37   1479889	14/3->4
37  41479889
-12	Restar 4x3 de FG
37  4 279889
-28	Restar 4x7 de GH
37  39999889
>>>-111	Otro lado, -11/3->(-3)
-3
37  39996889
+09	Restar -3x3 de JK (sumar 3x3)
37  39996979
+21	Restar -3x7 de KL (sumar 3x7)
37  39997000	Este lado, resto nulo, cociente en E-I

Podemos también usar la división tradicional, pero tengamos en cuenta que una regla de división a/b>c+d, en el otro lado, se transforma en -a/b>(9-c)-d, es decir, sustituimos el primer dígito del dividendo por el complemento a nueve de c y restamos d del siguiente dígito (en el ejemplo de abajo 1/3>3+1 se convierte en -1/3>6-1). Podríamos hablar por tanto de reglas de división negativas.

1479889÷37, división con cociente excesivo
(División tradicional)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMN
37   1479889	Regla: 1/3>3+1
37   3579889
-12	Restar 3x3 de FG
37   3369889
+1	Forzamos la entrada al otro lado
-37
37   3999889
>>>-111	Regla: -1/3>6-1 (otro lado)
37   3999679
+21	Sumar 3x7 a KL
37   3999700	¡Hemos salido del otro lado!
	Resto nulo, cociente en F-J

¿Cuándo usar el método?

El método de división por cociente excesivo no es un método especial en el sentido de que sólo sea aplicable bajo determinadas circunstancias; se trata de un método general, avanzado, aplicable en todos los casos. Que sea práctico o no, eso ya es otra cuestión que quizás tenga algo de personal; lo que está claro es que, con su práctica, se puede alcanzar un grado de comprensión de la operación de división que no sería posible practicando sólo los métodos elementales moderno o tradicional.

De los ejemplos anteriores, se deduce que el método será práctico cuando el dividendo sea sólo ligeramente menor que el divisor, lo que permite augurar algunos nueves seguidos en el cociente y un cálculo más breve. Por ejemplo: 998001÷999, el primer dividendo 998 es casi igual al divisor 999, una buena oportunidad de entrar al otro lado:

998001÷999, usando cociente excesivo
División moderna

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
999    998001	Dividendo casi igual al divisor!
999   T998001	Cociente excesivo T (10)
-9990	Restar Tx999 de H-K
999   9999001	Otro lado!
>>>-999	Lectura: -999
-1	-999/999 =-1, revisar al alza I (negativo!)
999   9989001
+999	Restar -1x999 (sumar +999) de K-M
999   999	Este lado! resto nulo, resultado en G-I

y ahora con división tradicional: 9998001÷9999

9998001÷9999, usando cociente excesivo
División tradicional

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMN
9999  99980001	Regla: 9/9>9+9
9999  9898   1
-8991	Restar 9x999 de H-K
9999  99989001	Forzar entrada al otro lado
+1	revisando G al alza
9999  T9989001
-9999	restar 9999 de H-K
9999  99990001	En el otro lado!
>>>-9999	Lectura: -9999
-1	Revisar J al alza (negativo!)
9999  99980001
+9999	Restar -1x9999 (sumar +9999) de K-N
9999  99990000	De vuelta en este lado!
9999  9999	Resto nulo, resultado en G-J

Pero insistiendo una vez más, se trata de un método general y podemos entrar y salir del otro lado cuando queramos.

7÷37=0.189189189..., usando cociente excesivo
División moderna

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMN
37    7
37  2 7	Cociente excesivo 2
-74	Restar 2x37 de GH
37  1996	En el otro lado!
>>>-4	Lectura: -4;
-1	Revisar F al alza (negativo!)
+37
37  18997
>>>-3	Lectura: -3; -30/37 -> -8
-8
37  18917
+296	Restar -8x37 de I-K
37  1891996
>>>-4	Lectura: -4; (repetición)
-1	Revisar I al alza (negativo!)
+37
37  18918997
-1	Revisar I al alza otra vez
+37	para salir del otro lado
37  18918 34	De vuelta en este lado!
...	Etc.

Otras lecturas

• Kojima, Takashi (1963). Advanced Abacus: Theory and Practice. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN 978-0-8048-0003-7. 
• Murakami, Masaaki (2019). «帰一法除法 (Division by Complementary Numbers)» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el 1 de Agosto de 2021.
• Murakami, Masaaki (2019). «Division with Excessive Quotient» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el 1 de Agosto de 2021.

Método de Newton para Raíces Cuadradas, Cúbicas y Quintas

Introducción

El Método de Newton para obtener raíces no es un método tradicional en el contexto del ábaco, pero sí es un método muy antiguo; de hecho, es anterior a Newton en muchos siglos, recibiendo también el nombre de Método de Herón e incluso de Método Babilónico aunque no haya evidencia de su uso por parte de ningún escriba babilónico. Si esta forma de obtener raíces se llama método de Newton, es únicamente porque puede derivarse como un caso particular del método más general de Newton-Raphson para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones genéricas. En cualquier caso, este método parece ser mucho más antiguo que cualquier ábaco oriental de cuentas fijas.

Se trata de un método iterativo para obtener raíces enésimas en el que, partiendo de una aproximación inicial a la raíz $x_{0}$, se construyen aproximaciones sucesivas a la misma de acuerdo a la expresión:

$$x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left((n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}\right)$$

de forma que la secuencia de valores obtenidos: $x_{0},x_{1},\cdots x_{k},\cdots$ se aproxima continuamente al valor de la raíz $x={\sqrt[{n}]{A}}$ ; siendo cada término $x_{k}$ una mejor aproximación a ésta que el término anterior. Decimos que la secuencia $x_{0},x_{1},\cdots x_{k},\cdots$ tiende o converge a la raíz $x_{0},x_{1},\cdots \to x={\sqrt[{n}]{A}}$ o que la raíz es el límite de $x_{k}$ cuando $k$ tiende a infinito:

$$\lim _{k\to \infty }x_{k}={\sqrt[{n}]{A}}$$

como será más claro en un ejemplo posterior que además nos mostrará la vertiginosa velocidad a la que la secuencia $x_{k}$ se acerca a la raíz; tanto que, en el ábaco, nos bastarán dos o tres iteraciones para alcanzar 4-8 dígitos de precisión.

La expresión general anterior para la raíz enésima toma las formas particulares:

Método de Newton para $n=2,3{\text{ y }}5$

Raíz cuadrada: $x={\sqrt {A}}$	$x_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{k}+{A}/{x_{k}}\right)$
Raíz cúbica: $x={\sqrt[{3}]{A}}$	$x_{k+1}={\frac {1}{3}}\left(2x_{k}+{A}/{x_{k}^{2}}\right)$
Raíz quinta: $x={\sqrt[{5}]{A}}$	$x_{k+1}={\frac {1}{5}}\left(4x_{k}+{A}/{x_{k}^{4}}\right)$

La aparición del término $x^{n-1}$ limita en la práctica la utilidad de este método para valores elevados de $n$, ya que requiere de un algoritmo eficiente para su evaluación, lo cual no es trivial ni en el cálculo manual ni con la computadora.

Tras un poco de experimentación, el lector podrá usar cómodamente este método para obtener raíces cuadradas y cúbicas y, con un poco de esfuerzo adicional, raíces quintas. Cabe decir sin embargo, que este método no parece representar ninguna ventaja especial frente al método para raíces cuadradas explicado en la sección anterior (método del semi resto) en cuanto a cantidad de cálculo necesario para obtener las primeras cifras de la raíz. Es para raíces cúbicas donde el método se muestra claramente superior a las técnicas tradicionales por su sencillez, eficiencia y resistencia a errores. Para las raíces quintas, las cosas son un poco más complicadas y tal vez no deberían intentarse hasta que se dominen bien las raíces cúbicas.

Dado lo anterior, nos centraremos aquí principalmente en dichas raíces cúbicas.

Raíces cúbicas

Antes de empezar

Tabla de cubos

$b$	$b^{3}$
1	1
2	8
3	27
4	64
5	125
6	216
7	343
8	512
9	729

Como cuestión previa, si nos proponemos obtener raíces cúbicas, tengamos en cuenta que cualquier número real $A$ se puede escribir en notación de ingeniería como:

$$A=A'\times 10^{3m}$$

Con $1\leq A'<1000$ y $m$ un número entero (positivo o negativo); con lo que su raíz cúbica puede escribirse

$${\sqrt[{3}]{A}}={\sqrt[{3}]{A'}}\times 10^{m}$$

Lo que significa que podemos restringirnos a considerar sólo el problema para ${\sqrt[{3}]{A'}}$, es decir, obtener raíces cúbicas de números comprendidos entre 0 y 1000, teniéndose que:

$$1\leq {\sqrt[{3}]{A'}}<10$$

Por ejemplo, el radicando $60698457$ que se cita más abajo, puede escribirse: $60.698457\times 10^{6}$ y ${\sqrt[{3}]{60698457}}={\sqrt[{3}]{60.698457}}\times 10^{2}$, con ${\sqrt[{3}]{60.698457}}=3.93$, es decir: ${\sqrt[{3}]{60698457}}=3.93\times 10^{2}=393$.

Una vez que nos centramos en las raíces cúbicas de números entre 0 y 1000, conviene memorizar desde el principio la tabla de cubos de la derecha para elegir el valor inicial a utilizar.

Ejemplo usando la calculadora bc

Antes que nada, veamos un ejemplo de una raíz cúbica usando una calculadora para poner de manifiesto la “belleza oculta” de este tipo de método. En particular, aquí hemos se ha usado la utilidad de consola bc, disponible para todos los sistemas operativos, por permitir trabajar con precisión arbitraria; lo que nos permitirá seguir un ejemplo con un número exagerado de decimales. Calculemos:

$$x={\sqrt[{3}]{A}}={\sqrt[{3}]{100\pi }}$$

Como comienzo, evaluamos $100\pi$ con 40 decimales:

$$A=100\pi =314.1592653589793238462643383279502884196800$$

así como su raíz cúbica:

$$x={\sqrt[{3}]{A}}={\sqrt[{3}]{100\pi }}=6.7980333511054289727967487123991688962876$$

A continuación, trataremos de aproximarnos a este valor de la raíz usando el método de Newton. De acuerdo con la tabla de cubos dada arriba, elegiremos $7$ como valor inicial aproximado de la raíz  $x_{0}$ ya que su cubo $343$ es el valor tabulado más próximo al radicando $100\pi$. Con este valor $x_{0}=7.0$ inicial, usando: ${\textstyle x_{k+1}=\left(2x_{k}+{A}/{x_{k}^{2}}\right)/3}$ obtenemos con 30 decimales:

$x_{0}$	7.0
$x_{1}$	6.803804526251560026165063526040
$x_{2}$	6.798038244991678152259576056269
$x_{3}$	6.798033351108952065196287174827
$x_{4}$	6.798033351105428972796750538247
$x_{5}$	6.798033351105428972796748712399
$x$	6.798033351105428972796748712399

Donde los dígitos que aparecen repetidos en la siguiente iteración se han subrayado para revelar la “belleza oculta” de este método que mencionamos anteriormente: la convergencia es cuadrática, lo que significa que el número de dígitos correctos del resultado básicamente se duplica en cada iteración. Esto marca una gran diferencia con los métodos tradicionales o los métodos aritméticos elementales donde sólo se obtiene una nueva cifra del resultado en cada paso (convergencia lineal).

Ejemplo de cálculo manual

Las computadoras no sufren por manejar un número excesivo de decimales, nosotros sí. Por tanto, conviene decidir qué queremos obtener de un cálculo antes de realizarlo a mano, ya sea con papel y lápiz o con el ábaco, y proceder en consecuencia. En el caso de las raíces, esto tiene dos aspectos:

• ¿Cuántas cifras queremos que tenga nuestro resultado?
• ¿Cuántas cifras debemos manipular durante los cálculos intermedios para obtener lo anterior?

La mayoría de los cálculos prácticos utilizan números del mundo real obtenidos por medición, y las medidas son siempre de precisión limitada. Las medidas usuales suelen tener tres dígitos significativos, excepcionalmente cuatro, y sólo mediciones muy cuidadosas, con protocolos muy exigentes que pueden extenderse a lo largo de años, conducen a resultados con más cifras significativas. Esta es la razón por la que las tablas de logaritmos con cuatro decimales, las reglas de cálculo y las operaciones abreviadas fueron tan útiles y populares en el pasado; sólo los problemas de matemática pura, astronomía, geodesia, topografía, navegación, etc. necesitaban más precisión.

Propongámonos, por ejemplo, obtener raíces cúbicas hasta cuatro cifras significativas; lo que no significa que no podamos cambiar de opinión más adelante y continuar los cálculos hasta conseguir mayor precisión. Tomemos esto como una respuesta a la primera de las dos cuestiones anteriores.

En cuanto a la segunda cuestión, no es necesario utilizar más de uno o dos dígitos decimales adicionales en los cálculos intermedios. Así, si queremos un resultado con cuatro cifras significativas, sólo tendremos que utilizar cinco o seis dígitos en los cálculos intermedios. Es interesante recalcar esto porque con los métodos tradicionales uno se acostumbra a problemas como hallar la raíz cúbica de 60698457, un número con 8 dígitos, y se espera que, con los métodos tradicionales, se demuestre que el número dado es un cubo perfecto y que su raíz cúbica es exactamente 393, lo que requerirá usar las 8 cifras del radicando. Pero los cubos perfectos son escasos y casi todas las raíces cúbicas con las que nos podamos enfrentar en la práctica son números irracionales cuya representación consiste en una sucesión infinita de dígitos sin repetición. El método de Newton supone un cambio de paradigma respecto a los métodos tradicionales; en lugar de buscar las cifras exactas o correctas del resultado, nos limitamos a buscar una aproximación útil con un número dado de dígitos; y para esto quiźas no necesitemos trabajar con todas las cifras del radicando. Por ejemplo, para obtener una aproximación de tres dígitos a la raíz cúbica de 60698457 sólo necesitamos trabajar con cuatro cifras como podemos comprobar redondeando el número a cuatro dígitos significativos (60700000) y calculando su raíz cúbica con una calculadora electrónica; el resultado que obtenemos, 393.003330089, es correcto a tres dígitos (en realidad a cinco).

Dicho todo esto, intentemos ahora obtener manualmente la raíz cúbica de $A=100\pi$ con cuatro dígitos de precisión. Podríamos repetir los cálculos realizados anteriormente con la utilidad bc pero con un número menor de lugares decimales (usando $a=314.1592654$ como valor aproximado de $A=100\pi$) y seguir manualmente el mismo proceso que podríamos programar en una computadora con lo que obtendríamos:

Método de Newton Vertical
$a=314.1592654$

$x_{0}$	7
$x_{1}$	6.803805
$x_{2}$	6.798038
$x_{3}$	6.798033
$x_{4}$	6.798033

proceso que, en ausencia de otro nombre, llamaremos aquí: Método de Newton Vertical (por la disposición de la tabla anterior). Pero lo que es adecuado para una computadora no necesariamente lo es para nosotros los humanos. Fijémonos en la fila $x_{1}=6.803805$ de la tabla anterior; partiendo de una aproximación inicial (7) a la raíz, hemos obtenido una nueva aproximación (6.803805) y si ahora seguimos ciegamente el método de Newton, como lo hace la computadora, en la próxima iteración tendremos que dividir dos veces por 6.803805 o bien obtener su cuadrado y dividir por él. Pero si partimos de una aproximación de un dígito a la raíz (7), sólo podemos esperar que el nuevo valor ($x_{1}=6.803805$) tenga una precisión de dos dígitos a lo sumo (por lo dicho sobre convergencia cuadrática) por lo que sería una pérdida de tiempo y esfuerzo emprender divisiones por el valor completo (6, 803805). Lo práctico para nosotros los humanos será redondear el resultado a $x_{1}\approx 6.8$ y usarlo como un nuevo valor inicial $x_{0}=x_{1}\approx 6.8$ y repetir el proceso obteniendo un nuevo valor $x_{1}$:

Método de Newton Horizontal $a=314.16$

$x_{0}$	7	6.8	6.798
$x_{1}$	6.803810	6.798039	6.798039

Proceso que llamaremos aquí: Método de Newton Horizontal para distinguirlo del anterior. De este modo obtenemos una nueva solución $x_{1}$ que podría tener alrededor de cuatro cifras significativas. Ahora, redondeando nuevamente a estas cuatro cifras, tendremos una nueva $x_{0}$ para continuar, y así sucesivamente. Es de esperar que esta forma de proceder nos ahorre mucho trabajo y tiempo.

Vemos que, en este caso, la meta de cuatro dígitos se alcanza después de solo dos rondas o iteraciones y que nos ha bastado usar 5 dígitos del radicando ($a=314.16$). En el Apéndice veremos cómo desarrollar este proceso en el ábaco.

Es de destacar que si en cualquier momento cambiamos de opinión y queremos 8 dígitos del resultado en lugar de 4, el trabajo hecho hasta ahora no se pierde, todo lo que tenemos que hacer es usar 9 o 10 dígitos en lugar de 5 para el radicando y usar la última raíz obtenida (redondeada) como el nuevo valor inicial $x_{0}$.

Por cierto, en cada iteración debemos elegir una de las siguientes alternativas:

• Dividir una vez por el cuadrado de $x_{0}$
• Dividir dos veces por $x_{0}$

Normalmente, la primera opción resulta rápida para las dos primeras iteraciones, pero a partir de ahí la segunda parece más adecuada. Esto es una cuestión de gusto o preferencia personal.

Ejemplos en el ábaco

El uso del método de Newton es, básicamente, una secuencia de divisiones. El lector ya conoce su ábaco, cómo dividir y cómo organizar las operaciones según sus gustos personales, por eso no parece especialmente importante dar ejemplos concretos de aplicación con el ábaco; cada cual debería organizar los cálculos como más cómodo le resulte, empleando el método de división que prefiera. No hay, por tanto, una forma estándar de organizar estos cálculos en el ábaco; no obstante, en el Apéndice, se incluye un ejemplo usando la división tradicional (TD) y la disposición tradicional de la división (TDA) que permite demostrar que un pequeño ábaco de solo 13 varillas es suficiente para lograr un resultado bastante preciso; tenga o no cuentas adicionales. Esto marca una gran diferencia con los métodos tradicionales.

Lo que quizás es más importante con este método es que el lector se entrene y experimente con papel y una calculadora, o con una hoja de cálculo, para asegurarse de que asimila la esencia del método y lo dicho acerca de número de dígitos a usar, precisión etc. lo cual le facilitará el llevarlo a efecto en el ábaco. Aquí tiene una propuesta del tipo de ejercicio que podría intentar para este fin:

A:	123.456789	a:	123.4	123.457	123.456789
Raíz cúbica:	4.97933859218174	x0:	5	4.98	4.9793
		x1:	4.98	4.979	4.979338592
A:	234.567891	a:	234.5	234.5	234.567891
Raíz cúbica:	6.16722113576207	x0:	6	6.2	6.167
		x1:	6.17	6.167	6.167221144
A:	345.678912	a:	345.7	345.679	234.567891
Raíz cúbica:	7.01817665163704	x0:	7	7.02	6.167
		x1:	7.02	7.018	6.167221144
A:	456.789123	a:	457	456.79	456.789123
Raíz cúbica:	7.70143967570938	x0:	8	7.7	7.701
		x1:	7.71	7.701	7.701439701
A:	567.891234	a:	567.9	567.89	567.891234
Raíz cúbica:	8.28110684986205	x0:	9	8.3	8.281
		x1:	8.34	8.281	8.281106851
A:	678.912345	a:	678.9	678.91	678.912345
Raíz cúbica:	8.7889683778839	x0:	9	8.8	8.789
		x1:	8.79	8.789	8.788968378
A:	789.123456	a:	789.1	789.12	789.123456
Raíz cúbica:	9.24091518455268	x0:	9	9.3	9.241
		x1:	9.25	9.241	9.240915185
A:	891.234567	a:	891.2	891.23	891.234567
Raíz cúbica:	9.6234473398081	x0:	10	9.6	9.623
		x1:	9.64	9.623	9.623447361
A:	912.345678	a:	912.3	912.34	912.345678
Raíz cúbica:	9.69884025529398	x0:	10	9.7	9.699
		x1:	9.71	9.699	9.698840258

Extensión a otras raíces de orden primo

Raíces quintas

Tabla de potencias cuartas y quintas

$d$	$d^{4}$	$d^{5}$
1	1	1
2	16	32
3	81	243
4	256	1024
5	625	3125
6	1296	7776
7	2401	16807
8	4096	32768
9	6561	59049

Para extender el método a la raíz quinta , comencemos por considerar que cualquier número real $A$ puede escribirse como

$$A=A'\times 10^{5m}$$

donde $1\leq A'<100000$ y $m$ es un número entero (positivo o negativo); por lo que se puede escribir la raíz quinta:

$${\sqrt[{5}]{A}}={\sqrt[{5}]{A'}}\times 10^{m}$$

por lo que que podemos restringirnos a considerar sólo el problema para ${\sqrt[{5}]{A'}}$ ', es decir, obtener la raíz cúbica de números comprendidos entre 0 y 100 000 que estará comprendida en el intervalo:

$$1\leq {\sqrt[{5}]{A'}}<10$$

Resultará útil, si no memorizar, tener a mano la tabla de potencias cuartas y quintas de la derecha.

Recordando que para raíces quintas $x_{k+1}=\left(4x_{k}+{A}/{x_{k}^{4}}\right)/5$, habrá que decidir en cada iteración una de las siguientes alternativas

• Dividir cuatro veces por la raíz anterior $x_{k}$.
• Dividir dos veces por el cuadrado de la raíz anterior $x_{k}^{2}$.
• Dividir una vez por la cuarta potencia de la raíz anterior $x_{k}^{4}$.

lo cual significa un grado de complicación y cantidad de trabajo mayor que en el caso de raíces cúbicas.

Veamos el ejemplo de $A=100\pi$ (cuya raíz quinta es ${\sqrt[{5}]{100\pi }}=3.15812979\cdots$) usando $a=314.16$ como aproximación. Por la tabla anterior vemos que la raíz quinta de $A$ es algo mayor que tres, por lo que elegimos $x_{0}=3$. Usando $x_{0}^{4}=81$ (de la tabla), llegamos rápidamente a $x_{1}=3.1757$, por lo que una mejor aproximación a la raíz es $3.2$

Raíz quinta de $A=100\pi$
a=314.16

x0	3	3.2	3.16
x1	3.1757	3.1592	3.1581

Si intentamos una ronda más con este nuevo valor inicial, después de un poco de trabajo tendremos 3.1592, que tiene casi cuatro dígitos correctos (es solo 0.001 de la raíz verdadera o un error de 0.03%).

Raíces séptimas

En principio, es posible extender el método a raíces de orden primo superiores (para raíces cuyo orden tiene divisores, siempre será más sencillo realizar una serie de raíces en cadena de órdenes primos más pequeños; por ejemplo, para la raíz duodécima de 2 será preferible evaluar

$${\sqrt[{12}]{2}}={\sqrt {\sqrt {\sqrt[{3}]{2}}}}$$

que tratar de obtener directamente la raíz duodécima). En la práctica, sin embargo, ya hemos visto la complicación que aparece con raíces quintas, complicación que se agravaría para raíces séptimas y que en el caso general procede de la presencia del término $x_{k}^{n-1}$ en la expresión de $x_{k+1}$ que es costoso de evaluar, suponiendo un límite efectivo a la aplicación del método de Newton tanto en cálculo manual (ábaco o escrito) como con las computadoras.

El lector puede convencerse por si mismo de lo anterior intentando alguna raíz séptima por su cuenta, pero si desea obtener raíces de órdenes elevados con su ábaco, lo mejor será que use el cálculo logarítmico. Aunque no expresamente recogido en los manuales sobre el ábaco, el cálculo logarítmico se extendió rápidamente por Oriente, de la mano de misioneros y embajadores científicos Jesuitas, casi inmediatamente tras su invención y se usó en conjunción con el ábaco que resultó ser un auxiliar formidable al simplificar y acelerar las sencillas transformaciones aritméticas requeridas por aquél. Si no le atrae la idea de importar a su ábaco logaritmos procedentes de una fuente externa (tablas o calculadora), puede tratar de obtenerlos directamente sobre el ábaco. En el capítulo Método RADIX para Obtener Logaritmos Decimales se explicará una técnica que, por ejemplo, le permitirá obtener una raíz séptima en pocos minutos.

Conclusiones

El método de Newton sobre el ábaco, en comparación con los métodos tradicionales, tiene una serie de ventajas y desventajas. La siguiente lista probablemente sea incompleta.

Pros

• Es más fácil de recordar.
• Es rápido, a menudo tres iteraciones conducen a una raíz de 7-8 dígitos.
• Es compacto, para 7-8 dígitos sólo necesita un ábaco de 15-17 varillas si se usa la división moderna, tal vez 13 varillas sean suficientes usando la división tradicional (TD) en disposición tradicional (TDA). Para el mismo propósito, usando los métodos tradicionales, necesitaría un ábaco con muchas más varillas.
• Pequeños errores se "planchan" con las siguientes iteraciones y desaparecen (equivalen a tomar un valor inicial $x_{0}$ distinto del óptimo), no se vuelven catastróficos como sería el caso de los métodos tradicionales.
• Como este método es principalmente una secuencia de divisiones, puede utilizar su ábaco favorito, algoritmo de división y arreglo de operaciones para adaptarlo a sus gustos personales.

Contras

• No es fácil saber cuántos dígitos del resultado son correctos sin una iteración adicional, pero sus habilidades numéricas le ayudarán y lo harán más interesante.
• No es fácil saber si un número dado es un cuadrado, cubo, etc. perfecto o no.
• El radicando debe introducirse varias veces en el ábaco; por lo que habrá que memorizarlo o tenerlo disponible por escrito, etc.
• Sobre el ábaco, el resultado no sustituye al radicando como en el método tradicional y al igual que que ocurre con el resto de las operaciones aritméticas elementales donde el resultado ocupa el lugar de uno de los operandos.

Apéndice: Ejemplo del método de Newton (raíz cúbica) en un ábaco de 13 varillas

Raíz cúbica de $A=100\pi$ usando división tradicional (TD) y la disposición tradicional de la división (TDA) para lograr compacidad. Se puede usar cualquier tipo de ábaco si sabe cómo tratar con el desbordamiento. En principio, nos proponemos obtener cuatro dígitos de la raíz, por lo que nos basaremos en la aproximación $a=314.16$ al radicando $A$. De acuerdo a la tabla de cubos, podemos tomar $x_{0}=7$ como primera versión de la raíz.

Raíz cúbica de $A=100\pi$ (4 cifras)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
49   31416	Radicando en F-J, para ser dividido por 7x7=49
.     .	Varillas unidad
49   73416	Regla: 3/4>7+2
-1	Revisión a la baja
+4
49   67416
-54	Restar 6x9 de GH
49   62016
49   65016	Regla: 2/4>5+0
-1	Revisión a la baja
+4
49   64416
-36	Restar 4x9 de HI
49   64056	56 > 49
+1	Revisión al alza de H
-49
49   64107	Tres dígitos del cociente son suficientes
641	Borrando resto y divisor
.	Varilla unidad
+14	Sumar el doble de la raíz anterior
2041
3   2041	Dividir por 3 3
3   6241	Regla: 2/3>6+2
3   6661	Regla: 2/3>6+2
3   6801	Revisar al alza dos veces
3   6803	Regla: 1/3>3+... four quotient digits, stop
.	Varilla unidad
6803	Borrar A, Nueva raiz ≈ 6.8
36  6803	elevando al cuadrado 6.8, poner 6x6 en AB
+96	Sumar 2x6x8 a BC
+64	Sumar 8x8 a CD
46246803
46246803   68	Por conveniencia, poner nueva raíz en LM
4624       68	Borrar cosas viejas...
4624       68
4624 31416 68	poner radicando nuevamente, a dividir ahora por 46.24
.   .     .	Varilla unidad
4624 73416 68	Regla: 3/4>7+2
-1	Revisión a la baja
+4
4624 67416 68
ABCDEFGHIJKLM
4624 67416 68
-36	Restar 6x624 de G-J
-12
-24
4624 63672 68
4624 67872 68	Regla: 3/4>7+2
-42	Restar 7x624 de H-K
-14
-28
4624 67435268
4624 67975268	Regla: 4/4>9+4
-54	Restar 9x624 de H-K
-18
-36	No queda sitio! Seguimos con división aproximada
4624 67919068	Siguiente, Regla: 1/4>2+2, pero esto trae consigo...
4624 67921068	OverflowFlag ON! Memorícelo o use cuentas adicionales
	o suspendidas!
-12	Restar 2x624 de J-M, OverflowFlag OFF!
-04	No queda sitio! Aproximando!
-08	No queda sitio! Aproximando!
4624 67929868	Revisar al alza dos veces
+2
-9248
4624 67940568	Revisión al alza de J
+1
-4
4624 67941168
67941 68	Borrar resto y divisor
.   .     .	Varilla unidad
67941136	Doble la raíz antigua sumándola a si misma
+136	Sumar el resultado a E-G y borrar KLM
203941
3   203941	Dividir por 3
3   679803	Resultado de la división.
.   .	Varilla unidads. Nueva raiz ≈ 6.798

A partir de aquí, si desea continuar para lograr mayor precisión, puede empezar de nuevo utilizando $a=314.15927$ y $x_{0}=6.798$.

Raíz cúbica de $A=100\pi$ (continuación)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Para continuar, poner nueva raíz en A-D y el radicando en F-M
6798 31415927	8 dígitos del radicando
.      .	Varilla unidad. Empiece dividiendo el radicando dos veces por
etc...	67.98 (en lugar de elevar al cuadrado este número y dividir por él) hay suficiente espacio para llegar a una raíz de 6-7 dígitos usando división abreviada cuando sea necesario.

Nota:

Para elevar un número al cuadrado en el ábaco, puede seguir el procedimiento descrito en el capítulo: Métodos Especiales de Multiplicación.

Método RADIX para Logaritmos y Antilogaritmos Decimales

Introducción

La resolución manual de ciertos problemas requiere el uso de logaritmos; por ejemplo, problemas de raíces o potencias complicadas, o de valor del dinero en el tiempo (TVM), etc. Con el ábaco, al igual que en el cálculo escrito, hay dos posibles enfoques para el uso de logaritmos:

• Importar los logaritmos desde una tabla o calculadora externa.
• Obtener los logaritmos directamente.

La primera opción es la práctica, la que ha sido utilizado durante siglos en el cálculo logarítmico, pero tiene el inconveniente de hacer que el trabajo con el ábaco resulte poco menos que trivial y poco atractivo para el abacista del siglo XXI.  Por otro lado, el más purista podría quejarse del uso de recursos externos a su ábaco.

La segunda opción, interesante en sí misma, representa una cantidad extraordinaria de trabajo; razón por la cual muchas personas en el pasado pasaron décadas de su vida construyendo tablas de logaritmos para simplificar el trabajo de otros. Solamente en las raras ocasiones en las que se requería mayor precisión de la que podían proporcionar las tablas de logaritmos disponibles, se procedía a la obtención directa de logaritmos de mayor precisión.

Afortunadamente, existe una tercera vía intermedia entre las dos anteriores: el método Radix, que permite obtener logaritmos y antilogaritmos de cualquier número utilizando una tabla de datos externos reducida y con una cantidad razonable de trabajo. Además, este método puede resultar atractivo para el abacista ya que pasará la mayor parte del tiempo practicando dos métodos especiales, a saber: multiplicación y división por números ligeramente mayores que uno, introducidos en los capítulos: Métodos Especiales de Multiplicación y Métodos Especiales de División. Justamente este método Radix era el mejor recurso para los casos indicados de necesitar mayor precisión que la ofrecida por las tablas disponibles.

A continuación, nos centraremos en la obtención de logaritmos y antilogaritmos decimales de 5 dígitos por este método. Se necesitará una pequeña tabla de datos que puede ser copiada o impresa en una tarjeta y guardada junto a su ábaco. No se desanime si la explicación es larga, el método tarda más en explicarse que en llevarse a la práctica; por ejemplo, obtener una raíz séptima sólo toma unos minutos (al menos en los días buenos). Empecemos.

Antes de empezar

Cualquier número real positivo $x$ se puede escribir (notación científica) en la forma: $x=x'\cdot 10^{k}$, donde $1\leq x'<10$ y $k$ es un número entero, por lo tanto su logaritmo se puede escribir: $\log _{10}x=k+\log _{10}x'$. Por ejemplo, para los números $7447$ y $0.007447$ tenemos:

$x$	$x'\cdot 10^{k}$	$\log _{10}x$
$7447$	$7.447\cdot 10^{3}$	$3+\log _{10}7.447$
$0.007447$	$7.447\cdot 10^{-3}$	$-3+\log _{10}7.447$

Por lo tanto, al igual que se hacía en las antiguas tablas de logaritmos, nos ocuparemos sólo de los números comprendidos entre $1$ y $10$.

El Método Radix

Fundamento

El método radix se basa en el conocimiento de un conjunto de números especiales o rádices para los que son conocidos sus logaritmos. El origen del término es la palabra latina para raíz: radix (plural: radices), ya que el primer conjunto de números especiales usados ​​por H. Briggs, padre de los logaritmos decimales, fue el de las raíces cuadradas sucesivas del número $10$ para las cuales los logaritmos decimales son triviales $\log _{10}{\sqrt[{n}]{10}}=1/n$:

La Tabla Radix original

Radix	r	$\log _{10}r$
${\sqrt[{1}]{10}}$	10	1
${\sqrt[{2}]{10}}$	3.16227766	0.5
${\sqrt[{4}]{10}}$	1.77827941	0.25
${\sqrt[{8}]{10}}$	1.333521432	0.125
${\sqrt[{16}]{10}}$	1.154781985	0.0625
etc.	...	...

El uso de esta tabla era el siguiente: supongamos que se pueda factorizar nuestro número $x'$ en la forma

$$x'=f_{1}\cdot f_{2}\cdot \cdots f_{n}$$

donde $f_{1},f_{2},\cdots f_{n}$ son algunos de los rádices de la tabla anterior, entonces:

$$\log _{10}x'=\log _{10}f_{1}+\log _{10}f_{2}+\cdots +\log _{10}f_{n}$$

y como los logaritmos de los rádices figuran en la tabla anterior el problema estaría resuelto. Pero esto no va a ser el caso general, lo que podemos esperar es poder escribir $x'$

como

$$x'=f_{1}\cdot f_{2}\cdot \cdots f_{n}\cdot R$$

donde $R$ es un factor residual, un último factor no incluido en la tabla y para el cual se desconoce su logaritmo. Pero si $R$ es un número muy cercano a $1$, entonces habremos aproximado $x'$ como un producto de nuestros números especiales

$$x'\approx f_{1}\cdot f_{2}\cdot \cdots f_{n}$$

y si $R$ es lo suficientemente cercano a la unidad, su logaritmo será lo suficientemente cercano a cero para poder ser despreciado con una precisión dada, teniéndose finalmente:

$$\log _{10}x'\approx \log _{10}f_{1}+\log _{10}f_{2}+\cdots +\log _{10}f_{n}$$

Este tipo de aproximación es posible porque la secuencia de rádices se acercan continuamente a la unidad mientras que sus respectivos logaritmos se acercan a cero. En un ejemplo que seguirá, veremos cómo es posible obtener la factorización de arriba con un sencillo proceso que puede ser seguido con cualquier número; pero antes de seguir, es preciso decir que la tabla Radix anterior, si bien tiene valor histórico ya que permitió a Briggs obtener los primeros logaritmos decimales, no es la más adecuada para el cálculo manual. Se atribuye a William Oughtred, inventor de la regla de cálculo, la introducción de otros rádices más convenientes que, limitados a cinco cifras, son los siguientes:

Nuevos rádices

1	1.1	1.01	1.001	1.0001	1.00001
2	1.2	1.02	1.002	1.0002	1.00002
3	1.3	1.03	1.003	1.0003	1.00003
4	1.4	1.04	1.004	1.0004	1.00004
5	1.5	1.05	1.005	1.0005	1.00005
6	1.6	1.06	1.006	1.0006	1.00006
7	1.7	1.07	1.007	1.0007	1.00007
8	1.8	1.08	1.008	1.0008	1.00008
9	1.9	1.09	1.009	1.0009	1.00009

que requirieron el laborioso cálculo de sus logaritmos decimales (limitados aquí a cinco cifras):

Tabla RADIX de cinco dígitos

		0	1	2	3	4
1	0.00000	0.04139	0.00432	0.00043	0.00004	0.00000
2	0.30103	0.07918	0.00860	0.00087	0.00009	0.00001
3	0.47712	0.11394	0.01284	0.00130	0.00013	0.00001
4	0.60206	0.14613	0.01703	0.00173	0.00017	0.00002
5	0.69897	0.17609	0.02119	0.00217	0.00022	0.00002
6	0.77815	0.20412	0.02531	0.00260	0.00026	0.00003
7	0.84510	0.23045	0.02938	0.00303	0.00030	0.00003
8	0.90309	0.25527	0.03342	0.00346	0.00035	0.00003
9	0.95424	0.27875	0.03743	0.00389	0.00039	0.00004

que, después de multiplicar por 100 000, se pueden expresar en una forma más compacta como:

Tabla RADIX (condensada)

		0	1	2	3	4
1	0	4139	432	43	4	0
2	30103	7918	860	87	9	1
3	47712	11394	1284	130	13	1
4	60206	14613	1703	173	17	2
5	69897	17609	2119	217	22	2
6	77815	20412	2531	260	26	3
7	84510	23045	2938	303	30	3
8	90309	25527	3342	346	35	3
9	95424	27875	3743	389	39	4

tabla que podríamos imprimir o copiar en una tarjeta para usarla junto con nuestro ábaco (La fila superior en las dos últimas tablas expresa el número de ceros tras el punto decimal en los rádices mientras que la primera columna contiene el dígito que las caracteriza). Aquí, de nuevo, la secuencia de rádices o números especiales, leídos por columnas de abajo hacia arriba y de izquierda a derecha, se aproxima continuamente a $1$ mientras que la secuencia de sus respectivos logaritmos se acerca a $0$.

Tomemos $x'=7.447$ como ejemplo, este número se puede escribir:  

$$7.447=7\cdot 1.06\cdot 1.003\cdot 1.0006\cdot 1.00003\cdot 1.000006881$$

como puede verificarse con cualquier calculadora. El logaritmo decimal del último factor es

$$\log _{10}1,000006881\cdots \approx 0.000002988\cdots <5\cdot 10^{-6}$$

de modo que, si cinco cifras son suficiente precisión para nosotros, podremos despreciar dicho factor teniéndose:

$$\log _{10}7.447\approx \log _{10}7+\log _{10}1.06+\log _{10}1.003+\log _{10}1.0006+\log _{10}1.00003$$

Si tomamos de la tabla Radix los logaritmos de cada uno de estos factores y los sumamos:

$r$	$\log _{10}$
7	84510
1.06	2531
1.003	130
1.0006	26
1.00003	1
Suma:	87198

tendremos:

$$\log _{10}7.447\approx 0.87198$$

que podemos comparar a $\log _{10}7.447=0.8719813538433693567562170315301823\cdots$ y comprobar que hemos conseguido cinco cifras de precisión.

A continuación veremos cómo obtener la factorización de cualquier número.

Método

Obtención de logaritmos

La factorización anterior del número cuyo logaritmo buscamos se obtiene por división repetida. Por ejemplo, dado $x'=7.447$, como primer paso lo dividiremos por sí mismo truncado a un dígito, es decir, por $7$

$$7.447/7=1.063857143\cdots$$

o

$$7.477\approx 7\cdot 1.063857143$$

Ahora, como segundo paso,se debe dividir el cociente anterior $1.063857143$ por sí mismo truncado a dos dígitos, pero como este número es 1,0 no hay nada que hacer y pasamos a la tercera etapa dividiendo por el cociente truncado a tres dígitos, es decir, por $1.06$

$$1.063857143/1.06=1.003638814\cdots$$

es decir:

$$7.447\approx 7\cdot 1,06\cdot 1.003638814$$

para el cuarto paso continuamos con la división del cociente anterior $1.003638814$ por sí mismo, ahora truncado a cuatro dígitos

$$1.003638814/1.003=1.000636903\cdots$$

es decir

$$7,447\approx 7\cdot 1,06\cdot 1,003\cdot 1,000636903$$

en el quinto paso, dividimos $1,000636903$ por sí mismo truncado a cinco dígitos:

$$1.000636903/1.0006=1.000036881\cdots$$

$$7.447\approx 7\cdot 1.06\cdot 1.003\cdot 1.0006\cdot 1.000036881$$

y finalmente, un último y sexto paso

$$1.000036881/1.00003=1.000006881\cdots$$

$$7.447\approx 7\cdot 1.06\cdot 1.003\cdot 1.0006\cdot 1.00003\cdot 1.000006881$$

y terminamos aquí. Ahora solo tenemos que recolectar los logaritmos de los factores de la tabla Radix y sumarlos para obtener el logaritmo requerido.

$$\log _{10}7.447\approx 0.87198$$

Nota:

La larga secuencia de divisiones necesaria para factorizar un número se ve notablemente agilizada y facilitada en el ábaco por el método del divisor ligeramente mayor que la unidad.

Uso de los logaritmos

Usualmente, nos interesamos en el logaritmo de un número para hacer algo práctico con él; aquí, para seguir con el ejemplo, vamos a usarlo para encontrar la raíz séptima de $7447=7.447\cdot 10^{3}$.

$$\log _{10}7447=3+\log _{10}7.447=3+0.87198=3.87198$$

$$\log _{10}({\sqrt[{7}]{7447}})=(\log _{10}7447)/7=3.87198/7=0.55314$$

quedando ahora el problema de encontrar el correspondiente antilogaritmo para conocer la raíz buscada.

Obtención de antilogaritmos

Continuando con el ejemplo, necesitamos obtener ahora el antilogaritmo del último número. Para ello, tenemos que descomponer el número $0.55314$ como la suma de los logaritmos de algunos de los factores o números especiales de la tabla Radix. Primero vemos que el mayor logaritmo que podemos restar sin obtener un resultado negativo es $0.47712$ (que corresponde al factor $3$), con lo cual obtenemos $0.07602$ como diferencia. De esta última cantidad, a su vez, podemos restar $0.04139$ (correspondiente al factor $1.1$) quedando $0.03463$, y así sucesivamente, como se ilustra en la siguiente tabla:

Log	Restar	Factor
0.55314	0.47712	3
0.07602	0.04139	1.1
0.03463	0.03342	1.08
0.00121	0.00087	1.002
0.00034	0.00030	1.0007
0.00004	0.00004	1.00009

Lo que nos permite escribir:

$$\log _{10}\left({\sqrt[{7}]{7447}}\right)\approx \log _{10}3+\log _{10}1.1+\log _{10}1.08+\log _{10}1.002+\log _{10}1.0007+\log _{10}1.00009$$

o, lo que es lo mismo,

$${\sqrt[{7}]{7447}}\approx 3\cdot 1.1\cdot 1.08\cdot 1.002\cdot 1.0007\cdot 1.00009$$

que, una vez hechas las multiplicaciones, nos conduce al valor:

$${\sqrt[{7}]{7447}}\approx 3.573949416$$

que podemos comparar con el valor de la raíz séptima ${\sqrt[{7}]{7447}}=3.5738818\cdots$, resultando ser correcto en 4 o 5 dígitos.

El método Radix sobre con el ábaco

Obtención de logaritmos

Para realizar el procedimiento anterior sobre el ábaco, cada uno podrá utilizar diferentes métodos de división, disposición de operaciones, tipo de ábaco, etc. dependiendo de sus gustos personales. La forma de organizar las operaciones que se presenta a continuación es muy compacta pero no necesariamente tiene por qué ser la mejor para todos. Como se verá, un ábaco de 15 columnas es suficiente para hacer estos cálculos y quizás también uno de sólo 13. La primera división será normal y puede hacerse por el método moderno o el tradicional, las restantes deberán hacerse utilizando el método del divisor ligeramente mayor que la unidad por su simplicidad y rapidez.

Logaritmo de 7.447 método Radix, 1ª división: tradicional

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
7447	Anote 7 en A
7    1063857143	División normal por 7, anote 6 en C
706  1003638814	División especial por 1.06, anote 3 en D
7063 1000636903	División especial por 1.0006, anote 6 en E
706361000036881	Siguiente divisor es 1.00003...
70636	... simplemente borre el resto F-0
706363	y anote 3 en F como último dígito

El proceso es idéntico empezando con la división moderna, sólo que habría empezar una columna más a la derecha.

Logaritmo de 7.447 método Radix, 1ª división: moderna

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
7447	Anote 7 en A
7    1063857143	División normal por 7, anote 6 en C
706  1003638814	División especial por 1.06, anote 3 en D
7063 1000636903	División especial por 1.0006, anote 6 en E
706361000036881	Siguiente divisor es 1.00003...
70636	... simplemente borre el resto F-0
706363	y anote 3 en F

En el lado izquierdo del ábaco, de A a F se han formado las cifras $706363$, que podemos leer como el número decimal $7.06363$, pero por supuesto no es un número en absoluto, es solo una escritura condensada o mnemotécnica conveniente para la expresión:

$$7\cdot 1.06\cdot 1.003\cdot 1.0006\cdot 1.00003$$

Nota:

Si llamamos $A=7.447$ entonces $A^{f}=7.06363$ (la ${}^{f}$ significa factorizado) se ha obtenido de $A$ mediante el proceso anterior de factorización, pero $A$ a su vez puede obtenerse (aproximadamente) de $A^{f}$ en la forma que veremos al tratar del antilogaritmo, por lo que existe cierta correspondencia entre los dos términos que podemos representar como:

$$A\leftrightarrow A^{f}$$

En el Apéndice A, encontrará una tabla de pares de tales números $A-A^{f}$que le ayudarán a practicar este proceso de factorización y su inversión.

Continuamos reuniendo los logaritmos de los factores de la tabla Radix y los sumamos en las columnas JKLMNO

Recolectando logaritmos de los factores

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
706363
+84510	Logaritmo de 7
+2531	Logaritmo de 1.06
+130	Logaritmo de 1.003
+26	Logaritmo de 1.0006
+1	Logaritmo de 1.00003
706363    87198	Logaritmo de 7.447
+        +	Columnas unidad

Ahora podemos borrar 87198 de A-F. Finalmente, tenemos que:

$$\log _{10}7.447\approx 0.87198$$

Nota:

En ocasiones resultará que la segunda división, la primera especial, no será fácil o realizable usando el método especial debido a que el divisor no es suficientemente cercano a uno; por ejemplo, para el número $2.6$, si dividimos por $2$ nos resulta $1.3$. En lugar de hacer una segunda división normal, puede intentar este camino:

• Haga la primera división del número por sí mismo truncado a una cifra más uno y multiplique el resultado por $10$, en el ejemplo $10\cdot (2.6/3)=8.66666666$. Este resultado ya es tratable al ser $8.66666666/8=1.0833\cdots$
• Obtenga el logaritmo del nuevo número $\log _{10}8.66666666=0.93785$
• Obtenga el logaritmo del número original como $\log _{10}2.6=\log _{10}3+\log _{10}8.66666666-1=0.41497$

Uso de los logaritmos

Si ahora seguimos con el ejemplo de cálculo de la raíz séptima de 7447, dado que

$$\log _{10}7447=3+log_{10}7.447$$

Añadimos 3 al resultado anterior y lo dividimos por 7

Caption text

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
87198	Logaritmo de 7.447
+3	Logaritmo de 1000
387198	Logaritmo de 7447
.	Columna unidad
7        387198	Ponga el divisor 7 en algún lugar si lo desea
/7	Divida J-O por 7 para obtener:
7        55314	Logaritmo de la raíz séptima de 7447
.       .	Columna unidad

entonces tenemos

$$\log _{10}\left({\sqrt[{7}]{7447}}\right)=(\log _{10}7447)/7=3.87198/7=0.55314$$

en JKLMN.

Obtención de antilogaritmos

Para obtener el antilogaritmo de la cantidad anterior, seguimos el proceso inverso al de calcular logaritmos. En cada etapa restamos el mayor logaritmo presente en la tabla Radix que sea menor que el valor que queda en el ábaco e ingresamos un mnemónico del factor correspondiente.

Buscando factores

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
7        55314	logaritmo de la raíz séptima de 7447
55314	Borrar A
.	Unit rod
-47712	Restar logaritmo de 3
3         7602	Anotar 3 en A
-4139	Restar logaritmo de 1.1
31        3463	Anotar 1 en B
-3342	Restar logaritmo de 1.08
318        121	Anotar 8 en C
-87	Restar logaritmo de 1.002
3182        34	Anotar 2 en D
-30	Restar logaritmo de 1.0007
31827        4	Anotar 7 en E
-4	Restar logaritmo de 1.00009
318279	Anotar 9 en F

De modo que hemos recogido $318279$ (o $3.18279$) en A-F como abreviatura o recordatorio de:

$$3\cdot 1.1\cdot 1.08\cdot 1.002\cdot 1.0007\cdot 1.00009$$

Es decir, del último cálculo que nos resta por hacer:

Caption text

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
318279 3	Copiar A a H
+      +	Varillas unidad
318279 33	Tras multiplicación especial por 1.1
318279 3564	Tras multiplicación especial por 1.08
318279 3571128	Tras multiplicación especial por 1.002
318279 35736278	Tras multiplicación especial por 1.0007
318279 35739494	Tras multiplicación especial por 1.00009
318279 35739	Redondeo a 5 cifras. Fin.
+	Varilla unidad del resultado

Finalmente, tenemos

$${\sqrt[{7}]{7447}}=3.5739$$

Comparar con

$${\sqrt[{7}]{7447}}=3,5738818\cdots$$

Otras lecturas

• Flower, Robert (1771). The Radix. A New Way of Making Logarithms... in five problems. Londres: J. Beecroft. https://books.google.es/books/about/The_Radix_A_New_Way_of_Making_Logarithms.html?id=mYpaAAAAcAAJ&redir_esc=y. 
• Lupton, Sydney (Jul 1913). «Notes on the Radix Method of Calculating Logarithms» (en Ingles). The Mathematical Gazette 7 (106):  p. 147-150. doi:10.2307/3605088. https://www.jstor.org/stable/3605088. 
• Roegel, Denis (2011). «A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica logarithmica (1624).». LOCOMAT project. Archivado desde el original, el 29 de Julio de 2021.
• Laporte, Jacques (2014). «The Radix Method». Jacques Laporte's Home on the Web. Archivado desde el original, el 2 de Octubre de 2016.

Apéndice A

Pares $A\leftrightarrow A^{f}$

$A$	$A^{f}$	$A$	$A^{f}$	$A$	$A^{f}$	$A$	$A^{f}$	$A$	$A^{f}$
4.17189	4.04285	2.29060	2.14113	1.04659	1.04633	1.36943	1.35324	7.86385	7.12125
4.67685	4.16275	5.16372	5.03266	5.79831	5.15403	7.04412	7.00630	2.43038	2.21263
9.60365	9.06666	3.40265	3.13107	1.06830	1.06781	1.59324	1.56203	5.05585	5.01115
4.09355	4.02331	2.80847	2.40302	7.03101	7.00442	4.06989	4.01739	1.84582	1.82534
8.90113	8.11147	2.88304	2.42946	2.83821	2.41361	1.84988	1.82755	2.93607	2.44826
4.74550	4.17795	1.09832	1.09763	2.38007	2.18171	6.19995	6.03322	6.57473	6.09531
3.61705	3.20473	2.27024	2.13187	2.23942	2.11783	9.83595	9.09264	1.05463	1.05441
1.34184	1.33212	9.93629	9.10366	8.03035	8.00379	2.35336	2.16915	1.28182	1.26771
9.06939	9.00770	2.05286	2.02630	2.26568	2.12965	6.84595	6.13705	1.77715	1.74517
3.45179	3.14576	3.27494	3.09151	1.24866	1.24053	3.85600	3.27103	1.28472	1.27056
5.39677	5.07873	9.18344	9.02037	5.79272	5.15306	4. 36.599	4.09137	4.49722	4.12205
7.02972	7.00424	1.22332	1.21933	2.51469	2.24748	4.34138	4.08494	3.88231	3.27786
1.42789	1.41981	3.15237	3.05075	4.91375	4.22362	1.18935	1.18113	1.19216	1.18350
1.67375	1.64585	8.29751	8.03697	8.52988	8.06587	4.09687	4.02413	3.31497	3.10453
2.90368	2.43681	6.30653	6.05103	1.35283	1.34061	1.56770	1.54493	6.08271	6.01374
6.49005	6.08155	7.43773	7.06238	3.29883	3.09881	1.69325	1.65788	8.62439	8.07751
2.96800	2.46000	9.19384	9.02151	2.63768	2.31444	6.17543	6.02905	1.16747	1.16126
2.69545	2.33651	4.41406	4.10319	1.99068	1.94742	3.23954	3.07920	3.45985	3.14811
2.10857	2.05407	1.41602	1.41142	4.41893	4.10430	2.83271	2.41166	1.47162	1.45110
5.71552	5.13891	2.89104	2.43243	4.23742	4.05890	1.09177	1.09162	4.51555	4.12613
1.25023	1.24178	1.63053	1.61898	2.35108	2.16818	4.46367	4.11442	2.41599	2.20665
2.69042	2.33463	1.02298	1.02291	9.20120	9.02231	6.17930	6.02968	7.00842	7.00120
7.81141	7.11442	5.76492	5.14784	1.03009	1.03008	3.46349	3.14917	7.26571	7.03772
2.41321	2. 20.550	6.15088	6.02504	1.37315	1.35596	1.70173	1.70101	3.04836	3.01606
1.35950	1.34554	2.52705	2.25279	1.29474	1.27836	2.73273	2.35100	3.51611	3.16517
7.65032	7.09266	6.22593	6.03742	1.14929	1.14462	6.13905	6.02311	4.27147	4.06741
5.88506	5.17001	6.80772	6.13142	1.00799	1.00798	2.10955	2.05454	1.54209	1.52789
1.84159	1.82304	5.85712	5.16464	1.58256	1.55479	8.76653	8.09533	1.13953	1.13575
3.25911	3.08589	3.47696	3.15344	8.82462	8.10279	6.91399	6.14728	4.52649	4.12857
1.86741	1.83723	1.19165	1.18307	3.50688	3.16253	3.02441	3.00813	3.13302	3.04417
3.64380	3.21214	1.74269	1.72501	8.24788	8.03095	3.21964	3.07300	2.99542	2.46923
1.27878	1.26532	6.95433	6.15351	3.42022	3.13624	3.20609	3.06820	2.12522	2.06246
9.42543	9.04698	2.82294	2.40819	7.08805	7.01255	9.05484	9.00609	1.57501	1.55001
1.31738	1.31333	7.90844	7.12692	5.96431	5.18409	5.56086	5.11105	8.63572	8.07883
3.72464	3.23448	1.96017	1.93162	1.27999	1.26627	1.18029	1.17279	2.64196	2.31607
3.20983	3.06937	1.05217	1.05206	2.15875	2.07875	2. 07.870	2.03907	5.32279	5.06429
2.10760	2.05361	1.12346	1.12129	9.79080	9.08728	1.09649	1.09595	1.20539	1.20449
8.65334	8.08154	4.87294	4.21514	4.66657	4.16055	1.28452	1.27040	4.73984	4.17675
1.06697	1.06657	7.81288	7.11461	2.03967	2.01973	2.12189	2.06088	2.36093	2.17294
1.15697	1.15170	4.72064	4.17268	6.62132	6.10322	6.14115	6.02345	2.04996	2.02488
1.96287	1.93299	5.92080	5.17608	8.68776	8.08552	2.35985	2.17248	3.57533	3.18317
3.41811	3.13561	1.25009	1.24167	4.48268	4.11869	4.27201	4.06754	6.20615	6.03423
1.25262	1.24369	1.55821	1.53854	1.40506	1.40361	2.20712	2.10323	8.73994	8.09228
5.34800	5.06905	4.01149	4.00287	2.58202	2.27545	3.17669	3.05847	3.22276	3.07397
5.05718	5.01142	1.32853	1.32191	1.99776	1.95138	6.55713	6.09261	1.49243	1.46568

Apéndice B

La siguiente tabla, incluida a título de curiosidad, es una recreación con la computadora de la tabla Radix que figura en la última página de las Tablas de logaritmos de 7 cifras de Ludwig Schrön, publicada por Librería General De Victoriano Suárez en 1953. Esta tabla permitía obtener logaritmos y antilogaritmos de números con hasta 11 dígitos por el método explicado en este capítulo.

Tabla Radix para 10 dígitos

	1	0.00000	00000	00000	000			1	0.00000	04342	94264	756
	2	0.30102	99956	63981	194			2	0.00000	08685	88095	218
	3	0.47712	12547	19662	436			3	0.00000	13028	81491	388
	4	0.60205	99913	27962	389			4	0.00000	17371	74453	266
-	5	0.69897	00043	36018	803		5	5	0.00000	21714	66980	853
	6	0.77815	12503	83643	630			6	0.00000	26057	59074	149
	7	0.84509	80400	14256	829			7	0.00000	30400	50733	157
	8	0.90308	99869	91943	584			8	0.00000	34743	41957	876
	9	0.95424	25094	39324	872			9	0.00000	39086	32748	307
	1	0.04139	26851	58225	040			1	0.00000	00434	29446	018
	2	0.07918	12460	47624	827			2	0.00000	00868	58887	694
	3	0.11394	33523	06836	769			3	0.00000	01302	88325	027
	4	0.14612	80356	78238	025			4	0.00000	01737	17758	017
0	5	0.17609	12590	55681	241		6	5	0.00000	02171	47186	664
	6	0.20411	99826	55924	780			6	0.00000	02605	76610	968
	7	0.23044	89213	78273	928			7	0.00000	03040	06030	930
	8	0.25527	25051	03306	069			8	0.00000	03474	35446	548
	9	0.27875	36009	52828	960			9	0.00000	03908	64857	823
	1	0.00432	13737	82642	573			1	0.00000	00043	42944	797
	2	0.00860	01717	61917	561			2	0.00000	00086	85889	551
	3	0.01283	72247	05172	204			3	0.00000	00130	28834	261
	4	0.01703	33392	98780	354			4	0.00000	00173	71778	928
1	5	0.02118	92990	69938	072		7	5	0.00000	00217	14723	552
	6	0.02530	58652	64770	240			6	0.00000	00260	57668	132
	7	0.02938	37776	85209	640			7	0.00000	00304	00612	669
	8	0.03342	37554	86949	701			8	0.00000	00347	43557	162
	9	0.03742	64979	40623	634			9	0.00000	00390	86501	612
	1	0.00043	40774	79318	640			1	0.00000	00004	34294	481
	2	0.00086	77215	31226	912			2.	0.00000	00008	68588	962
	3	0.00130	09330	20418	118			3	0.00000	00013	02883	443
	4	0.00173	37128	09000	529			4	0.00000	00017	37177	924
2	5	0.00216	60617	56507	675		8	5	0.00000	00021	71472	403
	6	0.00259	79807	19908	591			6.	0.00000	00026	05766	883
	7	0.00302	94705	53618	007			7	0.00000	00030	40061	362
	8	0.00346	05321	09506	485			8	0.00000	00034	74355	841
	9	0.00389	11662	36910	521			9	0.00000	00039	08650	319
	1	0.00004	34272	76862	669			1	0.00000	00000	43429	447
	2	0.00008	68502	11648	956			2	0.00000	00000	86858	895
	3	0.00013	02688	05227	060			3	0.00000	00001	30288	344
	4	0.00017	36830	58464	918			4	0.00000	00001	73717	792
3	5	0.00021	70929	72230	207		9	5	0.00000	00002	17147	240
	6	0.00026	04985	47390	346			6	0.00000	00002	60576	688
	7	0.00030	38997	84812	491			7	0.00000	00003	04006	136
	8	0.00034	72966	85363	540			8	0.00000	00003	47435	585
	9	0.00039	06892	49910	131			9	0.00000	00003	90865	033
	1	0.00000	43429	23104	453
	2	0.00000	86858	02780	326
	3	0.00001	30286	39028	488
	4	0.00001	73714	31849	808
4	5	0.00002	17141	81245	155
	6	0.00002	60568	87215	395
	7	0.00003	03995	49761	398
	8	0.00003	47421	68884	033
	9	0.00003	90847	44584	167

Fases Lunares y Mareas Oceánicas

Ábaco de mareas

Introducción

El ábaco de mareas era una calculadora analógica mecánica diseñada para estimar la hora de las mareas oceánicas a partir del aspecto observado de la Luna (fase). Por lo general, se construía sobre el reverso de las nocturlabios, que a su vez eran instrumentos de observación y cálculo para obtener la hora solar local a partir de la posición relativa observada de ciertas estrellas y fecha. Ambos tipos de instrumentos fueron diseñados para su uso en el mar a bordo de embarcaciones. Inspirándonos en tales instrumentos, podemos utilizar nuestro ábaco para obtener horarios de marea aproximados para cualquier día y lugar de la costa con poco esfuerzo, solo tenemos que conocer o ajustar un parámetro local. Pero en lugar de observar la fase de la Luna calcularemos un parámetro relacionado con ella: la edad de la Luna.

Edad de la Luna

Evolución de la fase lunar a lo largo del mes lunar (tal como se ve desde el hemisferio norte)

Los astrónomos usan el término edad de la Luna en dos sentidos completamente diferentes:

• el tiempo transcurrido desde la formación de nuestro satélite, que los astrofísicos estiman en 4.530 millones de años aproximadamente.
• el número de días transcurridos desde la última luna nueva.

Utilizaremos este último concepto relacionado con la fase lunar. El mes lunar (período sinódico lunar), o tiempo de recurrencia de las fases de la luna, oscila en torno a un valor medio de 29.530588861 días (29 d 12 h 44 m 2.8016 s) que aquí redondeamos a 30 días por simplicidad en lo que sigue. De acuerdo con esto tenemos aproximadamente:

Edad de la Luna, fase y porcentaje del disco iluminado por el Sol

Edad de la Luna (días)	Fase lunar	Iluminación del disco
0	Luna nueva	0%
7-8	Cuarto creciente	50%
15	Luna llena	100%
22-23	Cuarto decreciente	50%

Fase lunar en función de la edad de la Luna (Hemisferio Norte)

0		7.5		15		22.5		29-0

Fase lunar en función de la edad de la Luna (Hemisferio Sur)

0		7.5		15		22.5		30-0

Calcular la edad de la luna en una fecha determinada es un proceso muy complicado si queremos hacerlo con precisión, ya que depende de la movimiento orbital de la Luna alrededor de la Tierra y el de la Tierra alrededor del Sol y ambos (especialmente el de la Luna) son muy complejos, pero si nos conformamos con una precisión de uno o dos días podremos utilizar un algoritmo sencillo.

Algoritmo Oni Oni Nishi

Veamos ahora el sencillo algoritmo Oni, Oni, Nishi del astrónomo japonés Gen'ichiro Hori (堀源一郎) para fechas entre los años 1750 y 2200.

Para cualquier fecha dd-mm-aaaa del intervalo anterior

Corrección por mes

Ene	Feb	Mar	Abr	May	Jun	Jul	Ago	Set	Oct	Nov	Dic
0	2	0	2	2	4	5	6	7	8	9	10

1. Restar 11 del año: aaaa-11
2. Dividir el valor obtenido por 19 y retener el resto
3. Multiplicar el resto anterior por 11
4. Agregar la corrección del mes mes mm dado en la tabla de la derecha
5. Sumar el día del mes dd
6. Dividir por 30 y retener el resto como edad de la luna

Nota:

El nombre del algoritmo es una regla nemotécnica para recordar la tabla de correcciones del mes dada arriba.Las correcciones de enero a junio son 0, 2, 0, 2, 2, 4; cero puede pronunciarse en japonés: O, dos: ni y cuatro shi; con lo que las correcciones indicadas forman las palabras: Oni, Oni, Nishi (鬼、鬼、西) con el significado: demonio, demonio, oeste. De julio en adelante, las correcciones son correlativas.

Por ejemplo, el día 12-04-2021 a las 02:32 UTC  fue luna nueva (edad de la luna 0 o 30). Podemos hacer las divisiones siguiendo el método que prefiramos; aquí usaremos la división tradicional y una tabla de división específica para la división por 19:

División por 19

Regla
1/19>5+05

Algoritmo oni oni nishi para el 12 de Abril de 2021

Ábaco	Comentario
ABCDE
2021	Año
-11	Restar 11
2010	Dividir por 19
+1	Revisar A al alza
-19
1 110	Regla: 1/19>5+05 sobre C
1 515	Resto: 15
15	Borrar ABC
+150	Multiplicar por 11 añadiendo 10✕15=150
165
+2	Sumar corrección del mes de Abril: 2
+12	Sumar el día del mes: 12
179	Dividir por 30, regla: 1/3>3+1 sobre C
389	Revisar al alza dos veces twice
+2
-60
529	Resto: 29

por lo que obtenemos 29 como edad de la luna para la fecha indicada. El valor exacto sería 30 o 0 ya que fue un día de novilunio.

Ábaco de mareas

Las mareas oceánicas son el resultado de la atracción gravitatoria combinada del Sol y, especialmente, la Luna sobre las aguas de los océanos. El estado de las mismas en un lugar de la Tierra dependerá principalmente de la posición de la Luna y el Sol respecto a dicho lugar; lo cual, a su vez, depende de los dos movimientos orbitales de la Luna alrededor de la Tierra y de esta alrededor del Sol, así como de la rotación de la Tierra alrededor de su eje. El lector podrá, por tanto, imaginar el grado de complejidad que tiene la predicción de los horarios de marea para un lugar dado de la Tierra. Aquí nosotros renunciamos a tal tipo de cálculo y nos vamos a basar en un hecho simple que puede observar a lo largo de su vida cualquiera que viva en zona costera: las mareas bajas ocurren siempre cierto tiempo después del orto y ocaso lunar y las mareas altas el mismo tiempo después del tránsito de la Luna por el meridiano superior o inferior, o lo que es lo mismo, cuando pasa al norte o sur de nuestra posición. El antiguo ábaco de marea mencionado al principio se basaba justamente en este hecho y en que la hora a la que ocurren estos ortos, ocasos y tránsitos están relacionados con la fase lunar.

Renunciando a dar aquí ninguna otra teoría, si $E$ es la Edad de la Luna determinada arriba, entonces podemos usar

$$H=(24/30)\cdot E+K=0.8\cdot E+K$$

como un ábaco de tiempo de mareas donde:

1. al multiplicar $E$ por $(24/30)$ lo que hacemos es mapear el ciclo lunar de 30 días en un ciclo diurno de 24 horas (un poco extraño pero es así)
2. $K$ es una constante específica para cada ubicación (de hecho, hay 4 de esas constantes, una para cada una de las mareas altas/bajas que ocurren en un día si las mareas son de tipo semidiurno con dos pleamares y dos bajamares al día como ocurre en la mayor parte del planeta)

El antiguo ábaco de mareas implementaba mecánicamente el cálculo de la expresión anterior.

Como puede verse, una vez obtenida la edad de la luna por el algoritmo dado arriba, el cálculo de los horarios de mareas es trivial sobre el ábaco una vez que se conozcan las constantes $K$ a emplear para una localidad determinada. Estas constantes podrían determinarse aproximadamente por observación de las mareas pero quizás el mejor método sea basarse en unas tablas de marea que aparezcan en algún almanaque náutico para la localidad que nos interese. Haga lo siguiente:

1. Localice los días de luna llena del año del almanaque.
2. Para cada uno de esos días anote la hora de la primera marea alta después del mediodía.
3. Asegúrese de que las horas están en una escala de tiempo uniforme. Si está al uso un horario de invierno y otro de verano, convierta todas las horas a horario de invierno o de verano según prefiera.
4. Observe que la marea seleccionada ocurre a aproximadamente a la misma hora dentro del año, dentro de un margen de aproximadamente una hora.
5. Promedie las horas así obtenidas.
6. Como en el plenilunio la edad de la luna es de 15 días, reste 12 horas del promedio anterior ($0.8\cdot 15=12$). El resultado es la $K$ que corresponde a la primera marea alta tras el mediodía los días de plenilunio.

Si las mareas son de tipo semidiurno, la marea anterior es precedida y seguida por una bajamar con un intervalo aproximado de 6 horas y 13 minutos, y será precedida y seguida por otra pleamar a una distancia de aproximadamente 12 horas y 25 minutos de la primera, por lo que no es necesario repetir el cálculo anterior para las otras mareas que ocurren en el día (determinar las otras 3 constantes $K$).

Ejemplo de aplicación

La siguiente tabla recoge las horas oficiales de la marea alta después del mediodía para los 13 plenilunios del año 2020 para Mazagón, una localidad en la costa atlántica del sur de España. El horario de verano se ha pasado a horario de invierno para tener todas la mareas referidas a la misma escala de tiempo.

Mazagón, Hora de la pleamar después del mediodía en 2020

Plenilunios	Hora oficial	Hora de invierno	Minutos
10 Ene 20	15:07	15:07	7
9 Feb 20	15:38	15:38	38
9 Mar 20	15:20	15:20	20
8 Abr 20	16:40	15:40	40
7 May 20	16:17	15:17	17
6 Jun 20	16:42	15:42	42
5 Jul 20	16:29	15:29	29
4 Ago 20	16:56	15:56	56
2 Sep 20	16:34	15:34	34
2 Oct 20	16:38	15:38	38
31 Oct 20	15:10	15:10	10
30 Nov 20	15:16	15:16	16
29 Dic 20	14:58	14:58	-2

Como puede verse, con las horas en la misma escala de horario de invierno, la marea de referencia ocurre aproximadamente a la misma hora dentro de un margen de una hora. Promediando los minutos, la hora media de la marea resulta ser las 15 horas 26.5 minutos, por lo que restando 12 horas tenemos:

$$K=3.5{\text{ horas}}$$

con suficiente precisión, ya que la desviación estándar de los minutos es de 17 minutos. Nuestro ábaco de mareas quedará finalmente para esta localidad como:

$$H=0.8\cdot E+3.5{\text{ horas}}$$

Por ejemplo, para el 4 de diciembre de 2021 (novilunio) se tiene $E=29$ días lo que conduce a una marea alta a las 2:42 AM (horario de invierno). Efectivamente, el almanaque indica marea alta a las 2:43 AM, lo que es un perfecto acuerdo pero que debe ser considerado como meramente anecdótico. Piense que $E$ puede tener un error de dos días, lo que significa 1.6 horas para la marea, y que la expresión usada sólo toma en cuenta el principal factor que determina el horario de mareas dejando de lado muchos otros importantes y complejos. Esto significa que podemos incurrir en errores que pueden superar las dos horas y, que si bien el ábaco de marea fue un instrumento auxiliar de navegación de cierta popularidad en el siglo XV, hoy tenemos mejores recursos a emplear para una navegación segura. Cuide de su barco y no emplee este algoritmo más que para disfrutar de su ábaco.