Ábaco Oriental/Técnicas Avanzadas/Métodos Especiales de División

Introducción

Se presentan a continuación algunos métodos especiales de división que nos permitirán ahorrar cierta cantidad de trabajo en determinadas circunstancias.

También presentamos un método general, el de división con cociente excesivo, válido en todos los casos y que usaremos en conjunción con los métodos elementales de división (moderno o tradicional). En realidad, este método, más que un método de división en sí mismo, puede considerarse como la imagen especular de los métodos habituales en el otro lado del ábaco, donde podremos entrar y salir a voluntad para trabajar con restos negativos si encontramos alguna ventaja en ello. En todo caso, será un buen banco de prueba para nuestra comprensión del proceso de división.

Divisor ligeramente mayor que la unidad

Al igual que hicimos en el caso de la multiplicación por un número ligeramente mayor que la unidad, aclaremos antes de empezar que por divisor ligeramente mayor que la unidad queremos decir que éste es de la forma: $(1+x)\cdot 10^{k}$, con $x$ una cantidad pequeña positiva $0<x\ll 1$ y $k$ cualquier entero. Es decir, que en el ejemplo que sigue, 1.03 podría ser igualmente 103, 10300 o 0.00000103 ya que el término $10^{k}$ afecta sólo a la posición del punto decimal en el resultado de la división y no a la secuencia de dígitos que obtendremos en el proceso.

El punto clave de esta división es que, en la mayoría de los casos, el primer dígito del dividendo se corresponde con el dígito del cociente por ser el divisor próximo a la unidad, y que dicho dígito desaparecerá del dividendo cuando restemos el producto de la cifra del cociente por el divisor para establecer el resto. Por lo tanto, ahorraremos trabajo si en lugar de borrar ese dígito del dividendo y escribir el mismo en otra parte como cociente, lo reciclamos y lo consideramos convertido en cociente; por ejemplo: 7416÷103

7416÷103, división especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
3   7416	7 como dígito del cociente
-21	Restar 7x3 de HI
3   7206	2 como dígito del cociente
-06	Restar 2x3 de IJ
3   72	Resto nulo, resultado en GH

donde hemos abreviado la escritura del divisor omitiendo el 1 por no intervenir en los cálculos. Nótese que, con la posición del cociente relativa a la posición del dividendo, esta división no se ha realizado ni con la disposición moderna de la división (MDA) ni con la tradicional (TDA), sino con una nueva disposición que es la inversa abacística de la multiplicación con multiplicador ligeramente mayor que la unidad:

72×103, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
3   72
+06	Sumar 2x3 en IJ
3   7206
+21	Sumar 7x3 en HI
3   7416	Resultado en G-J

Nótese también que la cantidad $x$ no tiene por qué limitarse a un dígito:

3696÷112, división especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
12   3696	3 como dígito del cociente
-3	Restar 3x1 de H
-06	Restar 3x2 de HI
12   3336	3 como dígito del cociente
-3	Restar 3x1 de I
-06	Restar 3x2 de IJ
12   33	Resto nulo, resultado en GH

Pero $x$ sí tiene un límite borroso en cuanto al mayor valor que puede tomar; es difícil seguir este procedimiento abreviado de dividir si $x>0.2$.

Por otro lado, no siempre se cumplirá lo dicho arriba de que el primer dígito del dividendo se corresponda con el dígito del cociente como ha ocurrido en los ejemplos anteriores, con frecuencia necesitaremos revisar a la baja dicho cociente. Por ejemplo: 8034÷103, inicialmente supondríamos que la cifra del cociente es 8, pero rápidamente veremos que 8 es excesivo y que la cifra del cociente a emplear es 7. Para tratar con esta situación, supondremos que el 1 que nos sobra del primer dígito del dividendo forma parte de la columna siguiente como desbordamiento y lo trataremos como tal; por ejemplo, con un ábaco tradicional con cuentas adicionales podríamos cambiar el planteamiento inicial:

8034÷103, disposición inicial

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J
	0	0	3	0	0	0	8	0	3	4	0

por este otro

8034÷103, disposición modificada

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J
	0	0	3	0	0	0	7	T	3	4	0

y proceder:

8034÷103, división especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
3   8034	8 como dígito del cociente
-24	Restar 8x3 de HI ¡Excesivo!
3   7T34	Transformamos el dividendo, 7 como dígito del cociente
-21	Restar 7x3 de HI
3   7824	8 como dígito del cociente
-24	Restar 8x3 de IJ
3   78	Resto nulo, resultado en GH

Otra forma de tratar con el desbordamiento sería:

8034÷103, división especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
3   8034	8 como dígito del cociente
-24	Restar 8x3 de HI ¡Excesivo!
3   7794	no importa, restamos de todos modos (Nota)
+3	devolvemos lo restado en exceso
3   7824	8 como dígito del cociente
-24	Restar 8x3 de IJ
3   78	Resto nulo, resultado en GH

Nota:

Al tomar el 8 inicial como cociente (y considerarlo suprimido del dividendo) hemos restado 8×103 de la cabecera del dividendo, pero esto es excesivo ya que el verdadero cociente es 7 y deberíamos haber restado 7×103; es decir 103 menos, por lo que habrá que devolver esta cantidad. En realidad, el 103 restado en exceso lo hemos restado tomando prestado de la nada (ver capítulo sobre números negativos, el 79 que aparece en las columnas HI representa a -21); por lo que al sumar el 100 de 103, restituimos (a la nada) el uno que hemos tomado prestado y sólo nos falta devolver el 3 (-21+103=82 en HI). Consulte también los apartados: Revisión a la baja desde el otro lado y División con cociente excesivo.

Para terminar este apartado añadimos un ejemplo extremo, en el que $x=0.3$, para mostrar la clase de dificultades que surgen si $x$ no es pequeño. Es interesante comprenderlo bien porque en ocasiones también pueden surgir estas dificultades con valores más moderados de $x$ y conviene saber salir del paso. Para tener más claro qué es lo que se va a hacer, conviene tener presente la división $10257/13$ resuelta por el método moderno:

10257/13 = 789, método moderno

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
13   10257
13  710257	Probar 7 como cociente
-07	Restar 7x1 de FG
-21	Restar 7x3 de GH
13  7 1157
13  781157	Probar 8 como cociente
-08	Restar 8x1 de GH
-24	Restar 8x3 de HI
13  78 117
13  789117	Probar 9 como cociente
-09	Restar 9x1 de HI
-27	Restar 9x3 de IJ
13  789	Resto nulo. Cociente:789

A continuación sigue la división hecha por este método especial. Lo que hacemos es, fundamentalmente, lo mismo que con la división moderna pero los cocientes son anotados dos columnas a la derecha, lo que resultará confuso al principio.

10257/13 = 789, división especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
3   10257	Considerar 1 en F como desbordamiento (nota 1)
3   00257	Probamos 9 como cociente
-27	Restar 9x3 de GH
3    7557	Excesivo, queda 7 en G
----------
3   00257	Probamos 8 como cociente
-24	Restar 8x3 de GH
3    7857	Excesivo, queda 7 en G
----------
3   00257	Probamos 7 como cociente
-21	Restar 7x3 de GH
3    8157	Cabe, columna H desbordada (nota 2), seguimos
3    7157	Probamos 9 como cociente
-27	Restar 9x3 de HI
3    7887	Excesivo, queda 8 en H
----------
3    7157	Probamos 8 como cociente
-24	Restar 8x3 de HI
3    7917	Cabe, columna I desbordada (nota 3), seguimos
----------
3    7817	Probamos 9 como cociente
-27	Restar 9x3 de IJ
3    789	Cabe, resto nulo, hecho.

Nota 1:

Según la técnica que estamos tratando, la primera cifra del dividendo es una pista a la cifra del cociente que tenemos que intentar, pero en este caso no sirve porque 10 entre 13 no cabe y tenemos que pensar en 102/13 que nos lleva a una cifra alta. Por eso conviene pensar que el 1 inicial es el desbordamiento de la columna de la derecha; o lo que es lo mismo, que el primer dígito del dividendo es 10 en G. En un ábaco tradicional sería más sencillo entender el proceso ya que cambiaríamos el dividendo de esto:

F	G	H	I	J
1	0	2	5	7

a esto otro:

F	G	H	I	J
0	10	2	5	7

Ahora, el primer dígito del dividendo (10 en G) debería guiarnos a la cifra de cociente que debemos intentar; pero, no sirviendo 10 por lo que acabamos de decir, ensayamos 9. Pero 9 resulta excesivo ya que al sustraer 9×3 de GH nos quedaría 7 en lugar de 9 en G; por lo que pasamos a intentar 8 como cociente, que tampoco nos sirve por idéntico motivo, y luego 7.

Nota 2:

Nos sirve 7 como cociente porque, tras restar 7×3 de GH, nos quedaría 8 en G que puede ser interpretado como 7 (la cifra del cociente) más el desbordamiento de la columna H. En un ábaco tradicional tendríamos:

F	G	H	I	J
0	7	11	5	7

Nota 3:

Aquí ocurre lo mismo que en el caso anterior. Nos sirve 8 como cociente porque, tras restar 8×3 de HI, nos quedaría 9 en H que puede ser interpretado como 8 (la cifra del cociente) más el desbordamiento de la columna I.En un ábaco tradicional tendríamos:

F	G	H	I	J
0	7	8	11	7

La clave:

Al probar un cociente y restar el producto de esa cifra del cociente por $x$ pueden ocurrir tres cosas:

• En la columna del cociente aparece una cifra menor que la del cociente que estamos probando. La cifra del cociente es excesiva y tenemos que probar otra más baja.
• En la columna del cociente aparece la cifra que estamos probando. Entonces, todo ha ido bien y podemos continuar la división.
• En la columna del cociente aparece la cifra que estamos probando más 1. Todo ha ido bien, la cifra probada del cociente era correcta, pero la unidad de más indica que la columna de la derecha (resto) está desbordada y deberemos ensayar cifras altas para el siguiente dígito del cociente. En un ábaco tradicional quitaríamos el uno que sobra de la cifra del cociente y sumaríamos 10 a la columna de la derecha (como en los diagramas anteriores); en un ábaco moderno tenemos que hacerlo mentalmente.

Como puede verse, lo que se pierde en este método cuando $x$ no es pequeño es la simplicidad de que la primera cifra del resto sea un buen indicador de la cifra del cociente a ensayar.

Divisor ligeramente menor que la unidad

Al igual que en la sección anterior y por idéntico motivo, como divisor ligeramente menor que la unidad queremos decir que es de la forma: $(1-x)\cdot 10^{k}$, con $x$ una cantidad pequeña positiva $0<x\ll 1$ y $k$ un entero arbitrario. También, como en el método anterior, al ser el divisor próximo a la unidad se tendrá que en la mayoría de los casos la primera cifra del dividendo coincidirá con la del cociente que deberemos probar; por lo que el principal trabajo a realizar en éste método será la determinación del resto o siguiente dividendo.

Si $a$ es el dividendo, $b$ el divisor y $q$ un cociente, se cumplirá:

$$a=q\cdot b+r$$

donde $r$ es el resto asociado al cociente $q$. Introduzcamos ahora $b=(1-x)$

$$a=q\cdot (1-x)+r=q-q\cdot x+r$$

por lo que

$$r=a-q+q\cdot x$$

Ejemplo $403/97=403/(100-3)=4.03/(1-0.03)$, cociente $4$ entonces:

$$r=4.03-4+4\cdot 0.03=0.15$$

y, como puede verse, el efecto de $-q$ en $r=a-q+q\cdot x$ es el de cancelar el primer dígito del dividendo, por lo que bastará sumar $q\cdot x$ a lo que queda del dividendo para obtener el resto (o nuevo dividendo) $r$ y poder continuar con la división si procede.

403÷97=4.03÷(1-0.03)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMN	Como divisor sólo anotamos la parte negativa
3  403	4 como cociente
+12	Sumar 4x3 en GH
3  415	1 como cociente
+03	Sumar 3x3 en HI
3  4153	5 como cociente
+15	Sumar 5x3 en IJ
3  41545	4 como cociente
+12	Sumar 4x3 en JK
3  415462	6 como cociente
+18	Sumar 6x3 en KL
3  4154638	3 como cociente
+09	Sumar 3x3 en LM
3  41546389	8 como cociente
+24	Sumar 8x3 en LM
3  415463814	Desbordamiento!
+1	Revisar L al alza
-97
3  415463917	Etc. cociente en F-L, resto en MN

Este método es llamado también: División por números complementarios. Al igual que el método anterior, este método es difícil de seguir si $x$ es grande, el límite (borroso) es $x\approx 0.2$. Por supuesto, $x$ no está limitado a un dígito.

1056÷88=1056/(100-12)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
12  1056	1 como cociente
+12	Sumar 1x12 a GH
12  1176	1 como cociente
+12	Sumar 1x12 a HI
12  1188
+1	Revisar G al alza
-88
12  1200	Resto nulo, resultado en FG

División redondeando el divisor a múltiplo de 10

La presente técnica, que puede considerarse una extensión de la anterior, se usará en conjunción con la división normal, moderna o tradicional, con divisores ligeramente inferiores a una múltiplo de 10; por ejemplo 4997 que puede ponerse como 5000-3. Al escribirlo e esta forma, con una parte positiva y otra negativa, reducimos el número de cifras diferentes de cero por las que multiplicar y restar; reduciéndose el número de operaciones a efectuar.

164901÷4997=164901÷(5000-3), división moderna especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Divisor en A-D. A es positivo, D es negativo!
5  3   164901	16÷5 -> 3
5  3  3164901
-15	Restar 3x5 de HI
+09	Sumar 3x3 en KL
5  3  3 14991	14÷5 -> 2
5  3  3214991
-10	Restar 2x5 de IJ
+06	Sumar 2x3 en LM
5  3  32 4997	Revisar al alza H
+1
-4997
5  3  33	Resto nulo, resultado en GH

o bien, con la división tradicional:

164901÷4997=164901÷(5000-3), división tradicional especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Divisor en A-D. A es positivo, D es negativo!
5  3   164901	Regla 1/5>2+0
5  3   264901
+06	Sumar 2x3 en KL
5  3   264961	Revisar H al alza
+1
-4997
5  3   314991	Regla 1/5>2+0
5  3   324991
+06	Sumar 2x3 en LM
5  3   324997	Revisar I al alza
+1
-4997
5  3   33	Resto nulo, resultado en HI

En ambos casos, se ha reducido el número de dígitos no nulos del divisor de 4 a dos, por lo que la división nos cuesta sólo la mitad de trabajo. Por supuesto, la parte negativa del divisor no está restringida a un dígito... ¡ni la positiva tampoco!

1077736÷48988=1077736÷(49000-12)
División tradicional

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNOP
49 12    1077736	Regla: 1/4>2+2
49 12    2277736
-18	Restar 2x9 de KL
+24	Sumar 2x12 en NO
49 12    2 97976
49 12    2297976	Revisar K al alza dos veces
+24	Sumar 2x12 en OP (Nota)
-98	Restar 2x49 de LM
49 12    22	Resto nulo, resultado en JK

Nota:

Aquí se procesa primero la parte negativa para evitar que el dividendo se haga temporalmente negativo; pero no hay ningún inconveniente en seguir el orden habitual y usar el otro lado del ábaco.

1077736÷48988=1077736÷(49000-12)
División tradicional y números negativos

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNOP
...	Terminación alternativa
49 12    2297976	Revisar K al alza dos veces
-98	Restar 2x49 de LM
49 12    2199976	En el otro lado!
>>>-24	Lectura: -24
+24	Sumar 2x12 en OP
49 12    22	De vuelta a este lado. Resto nulo, resultado en JK

Revisión a la baja desde el otro lado

Revisar a la baja un cociente provisional cuando estamos trabajando la obtención del nuevo dividendo (resto) es siempre algo un tanto molesto por requerir una atención extra. Tenemos que

1. disminuir en una unidad la cifra del cociente,
2. devolver al resto lo que hemos restado en exceso por haber adoptado un cociente excesivo y
3. continuar normalmente a partir de ahí.

Una secuencia de operaciones que se presta fácilmente a que cometamos algún error. Por ejemplo, en el caso de la división 1479889÷37, que también veremos en el apartado siguiente, suponiendo que por error de apreciación usamos 4 como cifra del cociente a probar en lugar de la correcta (3):

1479889÷37, revisión a la baja normal

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMN
37   1479889	14/3->4
37  41479889
-12	Restar 4x3 de FG
37  4 279889
-28	¡Excesivo!
-1	Revisar E a la baja
37  3 279889
+3	Devolver lo restado de más
37  3 579889
-21	Continuar normalmente, restar 3x7 de GH
37  3 369889
...	Etc.

Una alternativa conceptualmente más sencilla, aunque quizás algo más larga, es no interrumpir la obtención del resto, forzar la sustracción aunque nos lleve transitoriamente al otro lado o reverso del ábaco (números negativos); esto no será un problema ya que volveremos a este lado o anverso del ábaco (números positivos) inmediatamente. Por ejemplo, en la división anterior:

1479889÷37, revisión a la baja desde el otro lado

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMN
37   1479889	14/3->4
37  41479889
-12	Restar 4x3 de FG
37  4 279889
-28	¡Excesivo!, forzamos al otro lado
37  49999889	-1 en F-H (!)
-1	Revisar E a la baja
37  39999889
+37	Sumar el divisor (omitir acarreo)
37  3 369889	¡Hemos salido del otro lado!
...	Continuar división

Como puede verse, al permitirnos entrar al otro lado no hemos interrumpido la secuencia normal de operaciones, aunque normalmente moveremos más cuentas por este camino. Según los gustos personales esto podría resultarnos más cómodo. Pruébelo y decida.

División con cociente excesivo

Fundamento

Reflexionemos de nuevo sobre la división. Cuando tratamos de resolver una división $a/b$, buscamos un cociente $Q=a/b$ tal que

Exp. 1

$$a=Q\cdot b$$.

Para ello, en los métodos elementales del cálculo escrito o todos los que hemos desarrollado hasta ahora para el ábaco, seguimos una técnica iterativa basada en la división con resto que nos permite acceder a un nuevo dígito de $Q$ en cada paso. La división con resto nos dice que $q$ es un cociente de $a/b$ si

Exp. 2

$$a=q\cdot b+d$$

donde

Exp. 3

$$d=a-q\cdot b$$

es el resto de la división. Sin duda el lector habrá notado que con estas definiciones cualquier número arbitrario $q$ sirve como cociente de $a/b$ ya que siempre podemos calcular el resto $d$ usando la expresión 3 de forma que la expresión 2 se satisfaga. Por tanto, un método de división paso a paso basado en la división con resto dependerá de una juiciosa elección de una serie de cocientes $q_{1},q_{2},q_{3},\cdots$ tal que los correspondientes restos $d_{1},d_{2},d_{3},\cdots$ sean progresivamente más pequeño; que tiendan a cero

Exp. 4

$$d_{1},d_{2},d_{3},\cdots \to 0$$,

con lo que los cocientes tenderán a $Q$

Exp. 5

$$q_{1},q_{2},q_{3},\cdots \to Q$$

La forma de actuar en un método paso a paso para ir obteniendo sucesivamente los dígitos de $Q$ será elegir el $q_{1}$ de entre unos candidatos adecuados que haga mínimo el resto

$$d_{1}=a-q_{1}\cdot b$$

sin hacerlo negativo. Los candidatos a $q_{1}$ serán de la forma un dígito del 1 al 9 multiplicado por una potencia de 10 (lo veremos en el ejemplo que sigue). Tras esto, repetimos el proceso con el nuevo dividendo (el resto) $d_{1}$ obteniendo $q_{d1}$ y un nuevo resto:

$$d_{2}=d_{1}-q_{d1}\cdot b$$

con lo que será:

$$q_{2}=q_{1}+q_{d1}$$

si repetimos ahora para $d_{2}$, obtenemos $q_{d2}$ y

$$d_{3}=d_{2}-q_{d2}\cdot b$$

$$q_{3}=q_{2}+q_{d2}=q_{1}+q_{d1}+q_{d2}$$

y así hasta que el resto sea nulo y

$$Q=q_{1}+q_{d1}+q_{d2}+\cdots +q_{dn}$$

o decidamos terminar con cierta aproximación

$$Q\approx q_{1}+q_{d1}+q_{d2}+\cdots +q_{dn}$$

Veamos un ejemplo para aclarar lo anterior, la división $1479889/37$: Como valor de $q_{1}$ elegiremos de entre los valores $10000,20000,\cdots ,90000$ el que haga mínimo el resto $d_{1}$ sin entrar en la zona negativa; de acuerdo a la tabla :

q1	d1
10000	1109889
20000	739889
30000	369889
40000	-111
50000	-370111
60000	-740111
70000	-1110111
80000	-1480111
90000	-1850111

la elección corresponde a $q_{1}=30000$ y el nuevo dividendo $d_{1}=369889$. A continuación repetiremos el proceso partiendo de $d_{1}$ para obtener $q_{d1},q_{d2},\cdots$, teniéndose:

Cocientes		Restos
q1:  30000	q1:  30000	d1: 369889
qd1:  9000	q2:  39000	d2:  36889
qd2:   900	q3:  39900	d3:   3589
qd3:    90	q4:  39990	d4:    259
qd4:     7	q5:  39997	d5:      0

por lo que el número $1479889$ era divisible por $37$ y el cociente exacto es:

$$Q=q_{5}=q_{1}+q_{d1}+\cdots +q_{d4}=39997$$

Esto es básicamente lo que hacemos con cualquiera de los métodos de división vistos hasta ahora como la división moderna o la tradicional.

Ahora tratamos de lo fundamental en relación al nuevo método de división con cociente excesivo que vamos a introducir. En lo anterior, la restricción de elegir el mínimo resto positivo es artificial e innecesaria. Que el resto sea mínimo sí es esencial para que podamos acercarnos a $Q$, pero que sea positivo es consecuencia únicamente de que, normalmente, nos enseñan a dividir antes de hablarnos de números negativos, y de la larga tradición que procede de los tiempos en que los números negativos eran mal comprendidos y poco usados. Si quitamos esta restricción y en su lugar elegimos el mínimo en valor absoluto de los restos, admitiendo que tanto estos como los cocientes puedan ser negativos, podemos llevarnos una agradable sorpresa. En el caso del ejemplo, tomando $q_{1}=40000$ nos lleva a:

Cocientes		Restos
q1:  40000	q1:  40000	d1: -111
qd1:    -3	q2:  39997	d2:    0

Podemos llevar esta forma de trabajar al ábaco si nos permitimos entrar y salir del Otro Lado; es decir, usar restos y cocientes negativos. Podemos entrar y salir del otro lado a voluntad, simplemente eligiendo un cociente excesivo (una unidad mayor que el requerido) positivo o negativo.

Entraremos al otro lado:

cada vez que al forzar la sustracción necesitemos tomar prestado de la última cifra del cociente

Saldremos del otro lado:

cada vez que al forzar la sustracción de cantidades negativas (adición, por ser los cocientes negativos) necesitemos acarrear a la última cifra del cociente

Ejemplos

1479889÷37, división con cociente excesivo
(División moderna)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKL
37   1479889	14/3->4
37  41479889
-12	Restar 4x3 de FG
37  4 279889
-28	Restar 4x7 de GH
37  39999889
>>>-111	Otro lado, -11/3->(-3)
-3
37  39996889
+09	Restar -3x3 de JK (sumar 3x3)
37  39996979
+21	Restar -3x7 de KL (sumar 3x7)
37  39997000	Este lado, resto nulo, cociente en E-I

Podemos también usar la división tradicional, pero tengamos en cuenta que una regla de división a/b>c+d, en el otro lado, se transforma en -a/b>(9-c)-d, es decir, sustituimos el primer dígito del dividendo por el complemento a nueve de c y restamos d del siguiente dígito (en el ejemplo de abajo 1/3>3+1 se convierte en -1/3>6-1). Podríamos hablar por tanto de reglas de división negativas.

1479889÷37, división con cociente excesivo
(División tradicional)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMN
37   1479889	Regla: 1/3>3+1
37   3579889
-12	Restar 3x3 de FG
37   3369889
+1	Forzamos la entrada al otro lado
-37
37   3999889
>>>-111	Regla: -1/3>6-1 (otro lado)
37   3999679
+21	Sumar 3x7 a KL
37   3999700	¡Hemos salido del otro lado!
	Resto nulo, cociente en F-J

¿Cuándo usar el método?

El método de división por cociente excesivo no es un método especial en el sentido de que sólo sea aplicable bajo determinadas circunstancias; se trata de un método general, avanzado, aplicable en todos los casos. Que sea práctico o no, eso ya es otra cuestión que quizás tenga algo de personal; lo que está claro es que, con su práctica, se puede alcanzar un grado de comprensión de la operación de división que no sería posible practicando sólo los métodos elementales moderno o tradicional.

De los ejemplos anteriores, se deduce que el método será práctico cuando el dividendo sea sólo ligeramente menor que el divisor, lo que permite augurar algunos nueves seguidos en el cociente y un cálculo más breve. Por ejemplo: 998001÷999, el primer dividendo 998 es casi igual al divisor 999, una buena oportunidad de entrar al otro lado:

998001÷999, usando cociente excesivo
División moderna

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
999    998001	Dividendo casi igual al divisor!
999   T998001	Cociente excesivo T (10)
-9990	Restar Tx999 de H-K
999   9999001	Otro lado!
>>>-999	Lectura: -999
-1	-999/999 =-1, revisar al alza I (negativo!)
999   9989001
+999	Restar -1x999 (sumar +999) de K-M
999   999	Este lado! resto nulo, resultado en G-I

y ahora con división tradicional: 9998001÷9999

9998001÷9999, usando cociente excesivo
División tradicional

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMN
9999  99980001	Regla: 9/9>9+9
9999  9898   1
-8991	Restar 9x999 de H-K
9999  99989001	Forzar entrada al otro lado
+1	revisando G al alza
9999  T9989001
-9999	restar 9999 de H-K
9999  99990001	En el otro lado!
>>>-9999	Lectura: -9999
-1	Revisar J al alza (negativo!)
9999  99980001
+9999	Restar -1x9999 (sumar +9999) de K-N
9999  99990000	De vuelta en este lado!
9999  9999	Resto nulo, resultado en G-J

Pero insistiendo una vez más, se trata de un método general y podemos entrar y salir del otro lado cuando queramos.

7÷37=0.189189189..., usando cociente excesivo
División moderna

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMN
37    7
37  2 7	Cociente excesivo 2
-74	Restar 2x37 de GH
37  1996	En el otro lado!
>>>-4	Lectura: -4;
-1	Revisar F al alza (negativo!)
+37
37  18997
>>>-3	Lectura: -3; -30/37 -> -8
-8
37  18917
+296	Restar -8x37 de I-K
37  1891996
>>>-4	Lectura: -4; (repetición)
-1	Revisar I al alza (negativo!)
+37
37  18918997
-1	Revisar I al alza otra vez
+37	para salir del otro lado
37  18918 34	De vuelta en este lado!
...	Etc.

Otras lecturas

• Kojima, Takashi (1963). Advanced Abacus: Theory and Practice. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN 978-0-8048-0003-7. 
• Murakami, Masaaki (2019). «帰一法除法 (Division by Complementary Numbers)» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el 1 de Agosto de 2021.
• Murakami, Masaaki (2019). «Division with Excessive Quotient» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el 1 de Agosto de 2021.

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Ábaco Oriental▶[+6] Índice, Introducción, Página de edición, Enlaces, Texto completo

La humanidad ha utilizado ábacos, de un tipo u otro, desde los albores de la civilización para satisfacer sus necesidades de cálculo y contabilidad. La versión moderna del ábaco oriental, originario de China, todavía se utiliza hoy en día en todo el mundo para ayudar a los niños a mejorar su comprensión y habilidades numéricas. La Aritmética con Cuentas (珠算; léase zhūsuàn en chino, shuzan en japonés), o arte del uso del ábaco oriental, ha sido inscrito en 2013 en la Lista Representativa del Patrimonio Cultural Inmaterial de la Humanidad de la UNESCO.▶

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