Ábaco Oriental/Texto completo

Ábacos en General

Tableta proto-cuneiforme: relato administrativo de la distribución de cebada con impresión de sello cilíndrico de una figura masculina, perros de caza y jabalíes. Probablemente de la ciudad de Uruk. Período Jemdet-Nasr circa 3100-2900 BCE. El carácter SANGA aparece abajo en el centro-izquierda

File:Cuneiform tablet- administrative account of barley distribution with cylinder seal impression of a male figure, hunting dogs, and boars MET DT847.jpg

El caracter: SANGA.

Cuando los humanos se reunieron en grupos lo suficientemente grandes para que las operaciones de trueque o comercio adquirieran cierta importancia, surgió la necesidad de una contabilidad básica que a su vez requería poder contar hasta números altos, realizar operaciones aritméticas básicas y mantener un registro permanente de las transacciones. Así, tanto la aritmética como la escritura parecen tener un origen común en esta necesidad.

En cuanto a las operaciones aritméticas básicas, “parecen haber sido realizadas universalmente utilizando algún tipo de ábaco” y quizás el primer testimonio histórico de su uso se encuentra en el carácter proto-cuneiforme: SANGA , que apareció como parte de la firma de los escribas sumerios en tablillas de arcilla hace unos 5000 años y que los asiriólogos identifican con tal dispositivo.

¿Qué es un ábaco?

Un ábaco es una herramienta o instrumento en el que los números se representan físicamente de una manera que permite manipularlos para simular mecánicamente operaciones aritméticas.

En un ábaco, los números están representados por "contadores" o "fichas" (guijarros, semillas, conchas, monedas y similares, varillas, etc.) a los que se les asigna un valor numérico. Los contadores no tienen que ser todos idénticos o tener el mismo valor asignado. Para representar un número simplemente colocamos juntos, sobre una mesa o cualquier superficie adecuada, los contadores necesarios de forma similar a como tomaríamos una serie de monedas y billetes para llegar a una determinada cantidad de dinero; en realidad es el mismo proceso.

La suma se simula reuniendo los conjuntos de contadores que representan los dos sumandos, mientras que la resta se simula eliminando del conjunto de contadores que representan el minuendo un conjunto de contadores que representan el sustraendo. Consideremos el caso más simple en el que solo usamos contadores idénticos con un valor asignado de uno.

En la imagen de arriba hemos dispuesto cuatro contadores de valor uno para representar el número 4 (izquierda-a), después de adjuntar otros tres contadores (izquierda-b) que representan el número 3 tenemos una representación del número 7 (izquierda-c) ; es decir, la suma 4+3. De manera similar, si partimos de la representación del número 7 (derecha-a) y eliminamos un conjunto de fichas que representan el número 4 (derecha-b), lo que queda en la mesa es 3 o el resultado de la resta 7-4 (derecha-c).

Para realizar las operaciones anteriores no es necesario saber nada sobre las tablas de sumar o restar, en particular no se necesita saber que 4+3 = 7 o 7-4 = 3, solo se necesita saber cómo manipular los contadores. En realidad, es el ábaco el que permite "descubrir" que el resultado de 4+3 es 7 y el de 7-4 es 3. Este es un punto esencial sobre el uso de los ábacos al que volveremos en el capítulo dedicado a la suma y la resta.

Se considera comúnmente que en Aritmética hay cuatro operaciones fundamentales: Suma, Resta, Multiplicación y División, y que cualquier otro cálculo (por ejemplo, obtener una raíz cuadrada) de un modo u otro se reduce a una secuencia de estas cuatro operaciones fundamentales. Pero también se puede considerar la multiplicación como una suma repetida y la división como una resta repetida, de modo que cualquier cálculo aritmético, en realidad, se reduce en última instancia a una secuencia de sumas y restas. Por lo tanto, con un ábaco como el del ejemplo que permita sumar y restar se puede realizar en principio cualquier cálculo aritmético, aunque esto podría ser extremadamente difícil, o quizás imposible, sin algunos refinamientos que tenemos que introducir.

Con el ábaco utilizado en el ejemplo anterior (sólo contadores idénticos con valor asignado uno), es evidente que si comenzamos a trabajar con números progresivamente más grandes, nuestra mesa (ábaco) acabará abarrotada de contadores haciendo impracticable su uso e interpretación. Necesitamos una forma de reducir el número de objetos físicos (contadores) a manipular y mantenerlo dentro de unos límites que nos resulten cómodos. Para esto hay un par de soluciones:

• Utilizar contadores físicamente diferentes con diferentes valores asignados. Este es el sistema más primitivo, utilizado por los sumerios hace más de 5000 años y todavía vigente, ya que el uso de monedas y billetes de diferentes valores nominales en cualquier sistema monetario actual se corresponde perfectamente con esta idea.
• Definir regiones espaciales en nuestra mesa (ábaco) para que un mismo contador represente un valor u otro según la región que ocupe.

Veamos un ejemplo: En la figura anterior hemos sumado 7+7 (a y b) con nuestro ábaco primitivo, y vemos que 14, el resultado, se muestra como una mesa repleta de contadores (c). Podemos reemplazar algunos de estos contadores con uno físicamente diferente que tenga asignado un valor más alto, por ejemplo 10 (el valor de reemplazo). Con esto, el estado de nuestro ábaco (d) se hace más fácil de interpretar; se ha simplificado ya que se han sustituido 10 contadores de valor 1 por un solo contador de valor 10. Esta sería la primera de las soluciones apuntadas arriba.

Alternativamente, podemos considerar el ábaco dividido en dos regiones espaciales y utilizar contadores idénticos a los que asociaremos un valor u otro según la región en la que lo ubiquemos. En (e) en la figura anterior, el ábaco se ha dividido en dos regiones, izquierda y derecha, separadas por una línea vertical doble. Si asignamos un valor de uno a los contadores ubicados a la derecha y 10 a los ubicados a la izquierda, el número 14 estaría representado como se ilustra. Esta forma de proceder es preferible a la anterior ya que podemos repetir el proceso, definiendo tantas regiones como necesitemos con los valores de reemplazo que nos convengan, permitiéndonos representar números arbitrariamente grandes con contadores de un solo tipo; por ejemplo, en (f) hemos representado 114 con tan sólo 6 contadores usando tres regiones y dos valores de reemplazo de 10. Estamos asistiendo aquí al nacimiento de la notación posicional!

Antes de continuar conviene indicar que existen dos tipos principales de ábacos:

Ábaco de mesa europeo. Un ábaco de contadores libres usando monedas de 0,01 € como contadores (Número representado: 1724).

• Ábaco de contadores libres o ábaco de mesa: los contadores son independientes y normalmente se mantienen separados en una caja o bolsa y se colocan o quitan de la mesa según sea necesario. Es el tipo más primitivo y el que hemos considerado aquí hasta ahora.
• Ábaco de cuentas fijas: Los contadores, llamados cuentas en este contexto, están siempre presentes, integrados en un marco y pueden deslizarse desde una posición inactiva a una activa a lo largo de ranuras, rieles, cuerdas, alambres o varillas. Este es el tipo más sofisticado de ábaco, portátil, compacto, y que permite un cálculo más rápido. Como veremos, el ábaco oriental, al que está dedicado este libro, es de este tipo.

Ábaco ruso schoty

Ábaco escolar

Ahora podemos mencionar al ábaco ruso (Schoty) , al ábaco iraní (chortkeh) y al ábaco escolar como ejemplos de ábacos de cuentas fijas que se ajustan a lo que hemos explicado hasta ahora. Los tres consisten en un marco de madera con alambres dispuestos horizontalmente a lo largo del cual se ensartan diez cuentas en el caso del ábaco ruso y el escolar y nueve en el ábaco iraní. Las cuentas pueden deslizarse desde una posición inactiva (derecha) a una posición activada (izquierda) y cada alambre o varilla representa una de las regiones mencionadas anteriormente, con un valor de reemplazo de 10; de modo que una cuenta en cada uno de los alambres tiene un valor asociado diez veces más alto que el de las cuentas en el alambre inmediatamente inferior.

Estos ábacos tienen todo lo necesario para permitir operaciones aritméticas con números expresados ​​en notación decimal: varias varillas para representar potencias sucesivas de diez y 9 cuentas para representar los dígitos del 0 al 9 (por conveniencia, el ábaco ruso y el escolar tienen una cuenta más de lo estrictamente necesario). Si lo desea, puede probar un simulador de ábaco ruso en este enlace.

Pero todavía necesitamos un último refinamiento para comprender completamente el ábaco de Asia oriental.

Subitización: A medida que aumenta el número de objetos, se vuelve más difícil para un observador apreciar instantáneamente cuántos están presentes sin contar.

Subitización es un término de origen inglés (Subitizing) que representa la apreciación rápida, precisa y segura que podemos hacer del número de una pequeña cantidad de objetos. Podemos hacer tal apreciación si el número de objetos a contar es 4 o 5 como máximo; a partir de ahí, tendremos que invertir tiempo en contar. En los ábacos de Rusia e Irán y en el escolar tenemos 9 o 10 cuentas por varilla, por lo que la lectura del número representado puede estar más allá de este límite de subitización de 4 o 5. Esto se alivia utilizando cuentas de dos colores diferentes como se ilustra en las imágenes anteriores, pero también hay un par de técnicas adicionales que no solo nos permiten permanecer dentro de los límites de la subitización, sino que también reducen la cantidad de cuentas necesarias en el ábaco.

En la imagen superior (a) tenemos el número 18 representado en dos regiones (barras, columnas, alambres...); una de ellas contiene 8 contadores que están por encima del límite de subitización. Para simplificar la lectura del ábaco podemos:

• Utilizar un tipo diferente de contador con un valor de reemplazo de, por ejemplo, cinco (b).
• Subdividir las regiones o barras en dos zonas: una en la que un contador toma el valor uno y la otra en la que toma el valor cinco (c, d).

En cualquier caso, no necesitamos tener más de cuatro contadores idénticos por región para poder representar números en notación decimal, por lo que tenemos garantizada la lectura rápida del ábaco. Cuando usamos 5 como el segundo valor de reemplazo, estamos usando una notación decimal biquinaria para los números. Ejemplos de ambas soluciones son las varillas de cálculo y el ábaco oriental.

Varillas de cálculo

Sangi (算木): Varillas de cálculo estilo japonés sobre un tablero. Cada casilla puede albergar un dígito.

Las varillas de cálculo son un ábaco tipo mesa, o ábaco de contadores libres, en los que los contadores son pequeñas varillas de madera, bambú, hueso, etc. que se disponen sobre una superficie plana, utilizando o no un tablero con casillas o escaques. Este ábaco que dominó las matemáticas chinas durante al menos 14 siglos y las matemáticas japonesas hasta la Restauración Meiji (a mediados del siglo XIX), es probablemente el más versátil que ha existido alguna vez, ya que nos permite distribuir dígitos en dos dimensiones, aunque desafortunadamente también es muy lento de manipular.

En la figura anterior (a) usamos barras dispuestas verticalmente (𝍩) como contadores de valor uno para representar el número 18. En (b) usamos una barra dispuesta horizontalmente (𝍠) como contador de valor cinco y en (c) usamos una disposición más compacta con alternancia de orientación, o no, dependiendo de si usamos una mesa lisa o un tablero con casillas. Los dígitos del 1 al 9 se representan como:

(ver detalles en Wikipedia)

Por ejemplo, el número 1547 se expresaría:

El cero estaba representado por una celda vacía en el tablero o por un espacio u otro objeto (por ejemplo, una ficha de Go) en la mesa. Adicionalmente, se solían utilizar varillas de dos colores diferentes para distinguir números positivos y negativos.

Es interesante mencionar que este es el único ábaco que se conoce que usa la orientación de los contadores para asignarles un valor u otro; pero encontramos un paralelo a este concepto, si no un precedente, muchos siglos antes de la aparición de las varillas de cálculo en los numerales babilónicos utilizados para escribir números en notación sexagesimal. Cada dígito babilónico estaba constituido por una serie de impresiones del borde de un estilo de caña sobre arcilla fresca con valor unitario si la impresión era vertical. (, , , , ..., ), y con valor diez si las impresiones se realizaban girando el estilo 45 grados o más en sentido antihorario (, , , , ). El número decimal 1547 se expresa en sexagesimal en la forma 25:47, donde "25" y "47" son dos dígitos sexagesimales escritos como: and

La misma apariencia de estos dígitos sugiere su representación inmediata en un ábaco de mesa usando varillas de cálculo.

El ábaco oriental

Reconstrucción de un ábaco romano. El original, de bronce, se encuentra en la Biblioteca Nacional de Francia.

La segunda de las soluciones mencionadas es la adoptada tanto por el ábaco romano como por los ábacos aparecidos en China.

Si bien se conocen algunos ejemplos de ábaco romano como el de la figura, donde las cuentas se deslizan a lo largo de ranuras, no se sabe nada con certeza sobre el origen del ábaco oriental y si éste podría estar inspirado en aquel. Una frase confusa del Shushu Jiyi (術數紀遺) de Xu Yue (徐岳), que quizás data del siglo II, a menudo se cita como la descripción de un dispositivo de cálculo que podríamos identificar con un ábaco y que se ha interpretado de diferentes maneras; por ejemplo, como en la figura (a) anterior. En esta interpretación de un primer ábaco chino como ábaco de mesa, la parte central se divide en una serie de columnas de dos partes; la superior asignaría un valor de 5 a cada cuenta y la inferior un valor de 1, mientras que las cuentas inactivas (sin usar) esperan dispersas por encima y por debajo de la parte central.

Ábaco chino tradicional (suanpan) 5+2 ilustrando el uso de la cuenta suspendida

Ábacos tipo 5+1 y 5+3, Museo Ridai de Ciencia Moderna, Tokio (Japón)

Ábaco moderno 4+1 estilo japonés (soroban)

Se desconoce cuándo apareció el ábaco de cuentas ensartadas a lo largo de varillas, pero cuando este ábaco sustituyó en China a las varillas de cálculo a lo largo del siglo XVI, no tenía cuatro cuentas inferiores y una superior como el ábaco romano (nos referiremos a esta disposición como un ábaco tipo 4+1) sino cinco en la parte inferior y dos en la parte superior (ábaco tipo 5+2), separadas por una barra horizontal. Las cuentas adicionales, no necesarias para el cálculo con números decimales, se introdujeron por conveniencia para adaptar al ábaco los algoritmos que se habían desarrollado con las varillas de cálculo. Históricamente, se han utilizado los cuatro tipos de ábaco descritos en la figura siguiente:

Simbólicamente, las áreas superior e inferior del ábaco han sido designadas Cielo (天, Tiān en chino, Ten en japonés) y Tierra (地, De en chino, Chi en japonés).

En la primera sección de este libro nos centraremos en el uso del ábaco tipo 4+1 o ábaco moderno, siguiendo lo que llamaremos el método moderno. Si entiende los principios en los que se basa cualquier ábaco y aprende a usar el ábaco moderno, no tendrá dificultad en imaginar cómo puede usarse cualquier otro tipo de ábaco, al menos para operaciones elementales de suma y resta. Esto podría incluir, ¿por qué no? el siguiente ábaco para cálculos sexagesimales conjeturado por Woods como el ábaco babilónico, basado en lo que sabemos sobre las matemáticas en Mesopotamia ... ¡y en los errores detectados que cometieron los escribas y sus aprendices!

Primer Plano del Ábaco Oriental

Descripción del ábaco oriental

Ábaco chino tradicional (suanpan) de 13 varillas tipo 5+2.

El ábaco oriental consta de las siguientes partes hechas de madera, bambú, metal, plástico, etc.:

• Un marco rectangular.
• Un cierto número de varillas paralelas los lados más cortos del marco a lo largo de las cuales se ensartan las cuentas. El número de varillas es tradicionalmente impar, y suele estar comprendido entre 9 y 27.
• Una barra o viga, paralela a los lados más largos del marco, divide el ábaco y las varillas en dos partes: una superior más estrecha, el Cielo, y una más ancha abajo, la Tierra.
• Cuentas superiores, es decir, las de la región superior de las varillas, a las que se asigna un valor de 5 cuando se activan.
• Cuentas inferiores, las de la región inferior de las varillas a las que se asigna un valor de 1 cuando se activan.
• Algunos ábacos modernos pueden incluir un botón de reinicio para devolver las cuentas a su posición inactiva (ver más abajo).

• 

  Ábaco moderno estilo japonés (soroban) de 23 varillas con botón de reinicio y marcas unitarias sobre la barra.

  Los ábacos modernos también suelen presentar algún tipo de marcas unitarias cada tres varillas para facilitar la alineación de los números así como la lectura de los mismos. Son convenientes para ábacos con un número elevado de varillas (17-27), pero no son esenciales. Para algunos es una molestia.

Un soroban moderno (4+1) de 17 varillas con marcas unitarias sobre la barra central

Es conveniente señalar que los ábacos chinos suelen tener cuentas de formas redondeadas mientras que los japoneses las tiene de forma bicónica, como puede apreciarse en las imágenes anteriores.

Cuentas activas e inactivas

Las cuentas se consideran inactivas mientras están separadas de la barra o viga central. El ábaco de la siguiente figura se ha restablecido o borrado y todas sus cuentas están inactivas. Se puede considerar que todas las barras contienen ceros.

Un ábaco puesto a cero

	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Cuando movemos las cuentas hacia la barra central las consideramos activas y es entonces cuando adquieren el valor asignado 5 (las superiores) o 1 (las inferiores). Esto es lo que nos permite representar números. Con un ábaco moderno tipo 4+ 1 podemos formar exactamente los diez dígitos del 0 al 9 necesarios para realizar cálculos con números decimales, y estos dígitos tienen una representación única.

Representación de dígitos en un ábaco moderno 4+1

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Pero con un ábaco tradicional 5+2, y usando la cuenta suspendida, podemos representar números hasta 20 en cada varilla!

Representación de dígitos en un ábaco tradicional 5+2

	0	1	2	3	4	5	5	6	7	8	9	10

	10	11	12	13	14	15	15	16	17	18	19	20

Observe las tres peculiaridades del ábaco tradicional:

• La posibilidad de representar números de 10 a 20 en una sola varilla. Esto es importante en algunas técnicas tradicionales de multiplicación y división que son explicadas en la sección pertinente de este libro.
• El uso de la cuenta suspendida para representar los números del 15 al 20. De hecho, el ábaco tradicional debería tener tres cuentas en la parte superior (ábaco tipo 5+3) para ser usado con las técnicas tradicionales de multiplicación y división, pero el uso de la tercera bola superior resulta muy esporádico y compensa prescindir de dicha tercera cuenta simulándola con la cuenta suspendida.
• El hecho de que los números 5, 10 y 15 se pueden representar de dos formas diferentes: usando la quinta cuenta inferior o no. Este hecho puede usarse para simplificar un poco las operaciones de suma y resta como podrá verse en el capítulo dedicado al uso de la quinta cuenta inferior.

Puesta a cero del ábaco

Después de terminar un cálculo y antes de comenzar uno nuevo, será necesario restablecer el ábaco a su estado inicial (todas las cuentas inactivas).

• Si su ábaco tiene un botón de reinicio, simplemente presiónelo y tendrá su ábaco listo para un nuevo uso.
• Con un ábaco de estilo japonés moderno (soroban, con cuentas bicónicas) esto se consigue de una forma muy rápida y eficaz. Simplemente incline el ábaco hacia usted hasta que todas las cuentas caigan a su posición más baja y devuelva el ábaco a su posición habitual sobre la mesa. Luego, con un movimiento rápido, deslice la uña de su dedo índice derecho de izquierda a derecha, justo por encima de la viga central, para empujar las cuentas superiores hacia arriba.
• Con un ábaco de estilo tradicional chino (suanpan con cuentas redondeadas) la maniobra anterior puede no funcionar correctamente; pero si el ábaco es lo suficientemente grande, hay otro procedimiento que representa un pequeño desafío de habilidad interesante en sí mismo:
  • Tome el ábaco con ambas manos por los lados cortos del marco e inclínelo hacia usted unos 45 grados hasta que caigan las cuentas.
  • Desde esa posición y sin mover los antebrazos, fuerce una rotación brusca del ábaco a la posición horizontal con un giro de sus muñecas. Si el eje de rotación definido por sus muñecas pasa por la más alta de las cuentas inferiores, la fuerza centrífuga llevará a las superiores a su posición inactiva.
  • Vuelva a poner el ábaco sobre la mesa.

Probablemente necesitará algo de tiempo para perfeccionar esta técnica.

• Finalmente, si todo lo anterior falla, como último recurso, puede usar los dedos de su mano como una escoba para barrer las cuentas a su posición inactiva.

Moviendo las cuentas

Hasta finales del siglo XIX en Japón, ningún autor antiguo se molestó en escribir sobre cómo se deben manipular las cuentas; pero seguramente la técnica se transmitió por vía oral.

Para empezar, digamos que los ábacos modernos son tan ligeros que es necesario sujetarlos con la mano izquierda para estabilizarlos y evitar que se muevan sobre la mesa al manipular las cuentas. Esto tendría consecuencias desastrosas si ese movimiento induce el desplazamiento de otras cuentas distintas a las que queremos mover. En comparación, otros ábacos tradicionales son tan pesados que permanecen estables por sí mismos, lo que le permite usar su mano izquierda para otros fines, como por ejemplo seguir una lista de números en un libro de contabilidad; además, podría utilizar uno de estos ábacos como pisapapeles para estabilizar una pila de facturas, etc.

Así pues, emplearemos la mano izquierda para estabilizar el ábaco sobre la mesa mientras que usaremos la mano derecha para la manipulación de las cuentas. Mencionemos sin embargo que, en algunas regiones de Asia, se enseña a mover las cuentas usando ambas manos.

Qué dedos usar

Para ábacos modernos con una longitud de varilla de aproximadamente 6 cm, se recomienda utilizar dos dedos: el pulgar y el índice de la mano derecha.

• Use su dedo índice para mover las cuentas superiores hacia arriba y hacia abajo y para mover las cuentas inferiores hacia abajo.
• Use su pulgar para mover las cuentas inferiores hacia arriba.

Pero algunos maestros muy experimentados solo usan el dedo índice ...

Para ábacos tradicionales más grandes, se recomienda usar tres dedos: pulgar, índice y dedo medio de la mano derecha.

• Use su dedo medio para mover las cuentas superiores hacia arriba y hacia abajo.
• Use su dedo índice para mover las cuentas inferiores hacia abajo.
• Use su pulgar para mover las cuentas inferiores hacia arriba

Movimientos combinados

Cuando la operación afecte tanto a las cuentas superiores como a las inferiores, intente seguir las reglas de la tabla siguiente. Algunos movimientos pueden realizarse simultáneamente y otros deben realizarse en rápida sucesión en el orden indicado.

Movimientos combinados de cuentas superiores e inferiores

Para mover → y ↓	Cuenta superior hacia arriba	Cuenta superior hacia abajo
Cuenta(s) inferior(es) hacia arriba	Hágalo simultáneamente	Hágalo simultáneamente
Cuenta(s) inferior(es) hacia abajo	Primero la(s) cuenta(s) inferior(es), luego la superior	Primero la cuenta superior, luego la(s) inferior(es)

Ejercicios

• Ingrese los dígitos del 1 al 9 de izquierda a derecha en cualquier lugar de su ábaco (moderno o tradicional) usando las reglas anteriores.

Write caption here!

1	2	3	4	5	6	7	8	9

luego, elimínelos de izquierda a derecha utilizando también las reglas anteriores.

• Ingrese tres o más seises consecutivos de izquierda a derecha y límpielos en rápida sucesión de izquierda a derecha.

Write caption here!

A	B	C
6	6	6

Este ejercicio debería repetirlo diariamente unas cuantas veces hasta que pueda hacerlo casi sin mirar el ábaco.

Adición y Sustracción

Introducción

Como ya se ha dicho en el capítulo Conceptos Básicos de este libro, la suma y la resta son las dos únicas operaciones que se pueden realizar en el ábaco; todo lo demás debe reducirse a una secuencia de tales sumas y restas, por lo que aprender estas dos operaciones es el paso más fundamental en el estudio del ábaco.

Aprender a sumar y restar con el ábaco es otro caso de aprendizaje psicomotor, similar a aprender a bailar, montar en bicicleta, conducir o aprender un instrumento musical.

• En una primera fase se necesita un esfuerzo cognitivo continuo tratando de determinar cuál es el siguiente movimiento que se tiene que hacer.
• Posteriormente, se tiende a pensar menos mientras los movimientos van surgiendo de una forma cada vez más automática.
• Finalmente, los movimientos surgirán espontáneamente, se tendrán definitivamente programados en la corteza cerebral motora y no habrá que volver a pensar en ellos. No obstante, se podrán perfeccionar a lo largo de toda la vida.

Sí, estudiar el ábaco es como aprender a tocar un instrumento musical, pero aprender el ábaco es mucho más fácil y rápido que aprender a tocar la viola y el progreso se puede notar día a día.

En lo que sigue nos ocuparemos de la suma y la resta conjuntamente; en efecto, sería muy difícil separar el aprendizaje de una de estas operaciones de la otra ya que, como veremos, cuando estamos sumando pasamos la mitad del tiempo restando números complementarios y viceversa, cuando estamos restando pasamos la mitad del tiempo sumando dichos números complementarios.

También se ha anticipado en el capítulo citado de este libro que no es necesario saber sumar y restar para usar un ábaco, solo saber manipular las cuentas o contadores. De hecho, durante siglos se enseñó el ábaco a personas que no tenían conocimientos previos de aritmética, y que el único conocimiento que tendrían de ella a lo largo de su vida sería el uso del propio ábaco. Aprendieron a sumar y restar memorizando una larga serie de, llamémoslo, versos, rimas o reglas destinadas a ser cantadas o recitadas a medida que se practicaban. Por ejemplo, tomándolas del Pánzhū Suànfǎ de Xú Xīnlǔ, el primer libro completamente dedicado al ábaco publicado en 1573 (finales de la dinastía Ming), y traducido libremente del chino:

Las dos primeras páginas del Pánzhū Suànfǎ 盤珠算法 (1573)

Reglas para la suma de un dígito (Xú Xīnlǔ, 1573)
1 activar 1, 1 activar 5 desactivar 4, 1 restar 9 llevar 1
2 activar 2, 2 activar 5 desactivar 3, 2 restar 8 llevar 1
3 activar 3, 3 activar 5 desactivar 2, 3 restar 7 llevar 1
4 activar 4, 4 activar 5 desactivar 1, 4 restar 6 llevar 1
5 activar 5, 5 desactivar 5 llevar 1
6 activar 6, 6 activar 1 desactivar 5 llevar 1, 6 restar 4 llevar 1
7 activar 7, 7 activar 2 desactivar 5 llevar 1, 7 restar 3 llevar 1
8 activar 8, 8 activar 3 desactivar 5 llevar 1, 8 restar 2 llevar 1
9 activar 9, 9 activar 4 desactivar 5 llevar 1, 9 restar 1 llevar 1

Reglas para la resta de un dígito (Xú Xīnlǔ, 1573)
1 desactivar 1, 1 tomar 1 sumar 9, 1 activar 4 desactivar 5
2 desactivar 2, 2 tomar 1 sumar 8, 2 activar 3 desactivar 5
3 desactivar 3, 3 tomar 1 sumar 7, 3 activar 2 desactivar 5
4 desactivar 4, 4 tomar 1 sumar 6, 4 activar 1 desactivar 5
5 desactivar 5, 5 tomar 1 sumar 5
6 desactivar 6, 6 tomar 1 sumar 4
7 desactivar 7, 7 tomar 1 sumar 3
8 desactivar 8, 8 tomar 1 sumar 2
9 desactivar 9, 9 tomar 1 sumar 1

Lo cual, obviamente, nos informa de qué cuentas tenemos que mover para sumar o restar un dígito. Por ejemplo, la tercera línea de la tabla de suma contiene tres reglas para intentar sumar un 3:

• 3 activar 3, es decir, simplemente activar tres cuentas inferiores.
• 3 activar 5 desactivar 2, es decir, activar una cuenta superior y desactivar dos inferiores.
• 3 restar 7 lleva 1, es decir, restar 7 y acarrear (sumar) 1 a la columna de la izquierda.

que se aplican, por ejemplo, a los siguientes casos:

1+3

A		A
	3 activar 3
1		4

3+3

A		A
	3 activar 5 desactivar 2
3		6

9+3

A	B		A	B
		3 restar 7 acarrear 1
0	9		1	2

Comprenderá mejor estas reglas más adelante, pero no se preocupe de todos modos, no tendrá que seguir estas 48 reglas, ya que irá por un camino más fácil memorizando solo seis reglas que, además, se pueden resumir en sólo tres.

Suma y resta de un dígito

El primer paso para aprender a sumar y restar con un ábaco es aprender a sumar o restar uno de los 9 dígitos 1, 2,..., 9 a/de cualquier otro 0, 1, 2,..., 9; en total 180 casos que recorreremos en nuestra práctica diaria hasta que los tengamos integrados en nuestra memoria motora. Después de esto, sumar o restar números de varios dígitos será tan simple como iterar este proceso de manera ordenada para todos los dígitos del sumando o sustraendo.

Lo que necesita saber

Para tratar los 180 casos mencionados anteriormente sin memorizar las 48 reglas del Panzhu Suanfa, necesitamos memorizar algunos datos casi triviales:

• las cuentas necesarias para formar un dígito.
• los complementos a 5 de los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5
• los complementos a 10 de los dígitos 1, 2, ..., 10

Cuentas necesarias para formar un dígito

Recuerde lo que se dijo en los Conceptos Básicos de este libro: "La suma se simula reuniendo los conjuntos de contadores que representan a los dos sumandos, mientras que la resta se simula eliminando del conjunto de contadores que representan al minuendo un conjunto de contadores que representan al sustraendo" . Por lo tanto, necesitamos saber las cuentas que componen cada dígito para poder sumarlas o restarlas, pero esto ya lo sabemos por la figura:

Representación de números en un ábaco moderno 4+1

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

o en forma de tabla:

Cuentas necesarias para formar un dígito

Dígito	Superiores	inferiores
1	0	1
2	0	2
3	0	3
4	0	4
5	1	0
6	1	1
7	1	2
8	1	3
9	1	4

Números complementarios

También necesitamos memorizar dos tipos de parejas de dígitos:

• Números complementarios a 5
• Números complementarios a 10

Estos son las parejas de dígitos que juntos suman 5 o 10. Siempre los podemos encontrar mentalmente con nuestro conocimiento de suma y resta, pero con la práctica terminarán sólidamente instalados en nuestra memoria sin la necesidad de "calcularlos" mentalmente. Son la base de la mecánica del ábaco.

Números complementarios a 5

0 - 5

1 - 4

2 - 3

Números complementarios a 10

0 - 10

1 - 9

2 - 8

3 - 7

4 - 6

5 - 5

En una etapa posterior, para tratar con números negativos, también necesitará manejar números complementarios a 9:

Números complementarios a 9

0 - 9

1 - 8

2 - 7

3 - 6

4 - 5

Pero por ahora puede olvidarse de ellos sin problemas.

Las reglas a utilizar

La mecánica de la suma y la resta se basa en tres reglas que se probarán en secuencia tomando en cuenta lo siguiente:

• Sólo si una regla fracasa (porque no dispongamos de las cuentas necesarias para completar la operación) procederemos a probar con la siguiente regla.
• La segunda de las reglas solo funciona para los dígitos 1, 2, 3 y 4.
• La tercera regla descompone la operación en otras dos "más simples" : un acarreo a la columna directamente a la izquierda, sea llevar (sumar 1) o tomar prestado (restar 1) de esa columna, más una operación del tipo opuesto (es decir, una resta si estamos sumando o una suma si estamos restando). En este caso:
  • La primera operación, con la columna de la izquierda (llevar o tomar prestado), es trivial la mayor parte de las veces, pero no siempre.
  • La segunda operación (la opuesta a la inicial) culminará usando las reglas 1 o 2 (nunca 3) de la operación contraria; es decir, la operación acabará aquí.
  • Necesitaremos decidir en qué orden haremos estas dos operaciones.

Reglas para la suma

Estas son las reglas para la suma de un dígito:

1	Trate de añadir las cuentas necesarias
2	Trate de añadir 5 (una cuenta superior) y retirar el complementario a 5 (cuentas inferiores)
3	Lleve 1 a la izquierda y reste el complementario a 10

Reglas para la resta

Y estas son las reglas para su sustracción:

1	Trate de retirar las cuentas necesarias
2	Trate de retirar 5 (cuenta superior) y añadir el complementario a 5 (cuentas inferiores)
3	Tome prestado 1 de la izquierda y sume el complementario a 10

Reglas conjuntas de suma y resta

Las reglas anteriores para la suma y la resta son de estructura idéntica, por lo que podemos fusionarlas en:

1	Trate de añadir/retirar las cuentas necesarias
2	Trate de añadir/retirar 5 (cuenta superior) y retirar/añadir el complementario a 5 (cuentas inferiores)
3	Lleve/tome prestado 1 de la izquierda y reste/sume el complementario a 10

¡y así sólo tendremos tres reglas que memorizar! Estas reglas nos ayudarán en la fase inicial de nuestra práctica a decidir qué cuentas hemos de mover, pero con el tiempo las iremos necesitando cada vez menos, conforme vayamos integrando en nuestra memoria motora cada uno de los 180 casos de suma y resta de un dígito y, con la práctica, llegaremos a prescindir totalmente de ellas. Entonces podremos decir que hemos aprendido a sumar y restar con el ábaco.

Las reglas anteriores nos muestran la absoluta simetría de las operaciones de suma y resta con el ábaco y justifican que tratemos ambas operaciones conjuntamente.

Orden de las operaciones

Antes de pasar a algunos ejemplos preliminares tenemos que decidir qué orden de operación usar en caso de llegar a la regla 3, lo que sucederá la mitad de las veces. Esta regla nos lleva a dividir el problema original en dos partes, con suerte más simples: un acarreo (llevada o préstamo) y una operación del tipo opuesto a la que estamos realizando. ¿Qué hacemos primero?

El método estándar japonés que se enseña actualmente y desde finales del siglo XIX propone realizar primero el préstamo y luego la suma del número complementario en el caso de la resta (lo cual recibe el nombre de sakidama 先珠 en japonés), mientras que en el caso de la suma, la resta del número complementario se hace primero y luego se lleva 1 a la columna de la izquierda (atodama 後珠). Esto parece inspirado en la estructura de las reglas / versos / rimas chinas utilizadas para enseñar el ábaco desde la antigüedad, pero no parece haber ninguna razón lógica convincente para hacerlo y no todos están de acuerdo..

Como veremos, con el ábaco se trabaja de izquierda a derecha durante la suma y resta de números de varios dígitos, por lo que parece natural intentar respetar este movimiento de izquierda a derecha de la mano sin molestarla con continuas idas y venidas a la columna de la izquierda. Usar siempre sakidama (llevar y tomar prestado primero), tanto para la suma como para la esta, parece lo más natural.

No hace falta decir que si tiene un profesor o un entrenador debe seguir escrupulosamente sus instrucciones, pero si es autodidacta no dude en experimentar hasta encontrar su camino.

Por cierto, en algunos países asiáticos se enseña a usar la mano izquierda para llevar y tomar prestado.

Algunos ejemplos preliminares

Ejemplo

Ponga un 1 en una columna de su ábaco y súmele 3:

1. ¿Tenemos a nuestra disposición (inactivas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para sumarlas al 1 de nuestro ábaco? ¡Sí!
2. * entonces, las activamos y hemos completado la operación con la primera regla.

1+3

A		A
	Regla 1
1		4

---

Ejemplo

Entre 3 en una columna de su ábaco y súmele otro 3:

1. ¿Tenemos a nuestra disposición (inactivas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para sumarlas a las 3 de nuestro ábaco? ¡No!
2. * entonces, pasamos a la segunda regla.
3. Como el sumando 3 es menor que 5 podemos probar la segunda regla: ¿Tenemos a nuestra disposición (inactiva) una cuenta superior? ¡Sí!
4. * entonces, aplicamos la segunda regla: activamos la cuenta superior y retiramos dos cuentas inferiores (el complemento a 5 del sumando 3).

3+3

A		A
	Regla 2
3		6

---

Ejemplo

Ponga 9 en una columna de su ábaco y sume 3:

1. ¿Tenemos a nuestra disposición (inactivas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para sumarlas a las 3 de nuestro ábaco? ¡No!
2. * entonces, pasamos a la segunda regla.
3. Como el sumando 3 es menor que 5 podemos probar la segunda regla: ¿Tenemos a nuestra disposición (inactiva) una cuenta superior? ¡No!
4. * Entonces procedemos a la tercera regla:
5. Sume 1 a la columna A y reste 7 (el complemento a 10 de 3) de B
   1. ¿Tenemos a nuestra disposición (activas, estamos restando ahora de la columna B) las cuentas necesarias (una cuenta superior y 2 inferiores) para retirarlas del 9 de nuestro ábaco? ¡Sí!
   2. * entonces, retírelas y habremos completado esta parte de la operación con la primera regla.

9+3

A	B		A	B
		Regla 3
0	9		1	2

Como puede ver, las reglas utilizadas aquí son las mismas que aparecieron en el Panzhu Suanfa de Xu Xinlu, ¡pero condensadas en sólo tres reglas gracias al concepto de números complementarios!

Veamos ahora los movimientos inversos para la resta:

---

Ejemplo

Ingrese 4 en una columna de su ábaco y reste 3 de la misma:

1. ¿Tenemos a nuestra disposición (activas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para retirarlas de las 4 en nuestro ábaco? ¡Sí!
2. * entonces, las desactivamos y habremos completado la operación con la primera regla.

4-3

A		A
	Regla 1
4		1

---

Ejemplo

Entre 6 en una columna de su ábaco y reste 3 de ella:

1. ¿Tenemos a nuestra disposición (activas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para restarlas a las 6 de nuestro ábaco? ¡No!
2. * entonces, pasamos a la segunda regla.
3. Como el sustraendo 3 es menor que 5 podemos probar la segunda regla: ¿Tenemos a nuestra disposición (activa) una cuenta superior? ¡Sí!
4. * Entonces aplicamos la segunda regla: desactivamos la cuenta superior y agregamos dos cuentas inferiores (el complemento a 5 del sustraendo 3).

6-3

A		A
	Regla 2
6		3

---

Ejemplo

Entre 12 en un par de columnas de su ábaco (AB) y reste 3 de B:

1. ¿Tenemos a nuestra disposición (activas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para retirarlas de B? ¡No!
2. * Entonces, intentamos la segunda regla.
3. Como el sustraendo 3 es menor que 5 podemos probar la segunda regla: ¿Tenemos a nuestra disposición (activa) una cuenta superior? ¡No!
4. * Entonces, pasamos a la tercera regla:
5. Tome prestado (reste) 1 de A y sume 7 (el complemento a 10 de 3) a B
   1. ¿Tenemos a nuestra disposición (inactivas, estamos sumando ahora) Las cuentas necesarias (una cuenta superior y 2 inferiores) para agregarlas a las 2 en B? ¡Sí!
   2. * entonces, actívelas y habremos completado esta parte de la operación con la primera regla.

12-3

A	B		A	B
		Regla 3
1	2		0	9

Tipos de suma y resta de un solo dígito

La siguiente tabla muestra para cada una de las 180 operaciones elementales de suma y resta qué regla nos resuelve el problema. Puede serle útil durante sus primeras prácticas, para elegir qué dígitos sumar o restar.

Tipos de suma y resta de un solo dígito

Suma												Resta
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
+1	1	1	1	1	2	1	1	1	1	3		-1	3	1	1	1	1	2	1	1	1	1
+2	1	1	1	2	2	1	1	1	3	3		-2	3	3	1	1	1	2	2	1	1	1
+3	1	1	2	2	2	1	1	3	3	3		-3	3	3	3	1	1	2	2	2	1	1
+4	1	2	2	2	2	1	3	3	3	3		-4	3	3	3	3	1	2	2	2	2	1
+5	1	1	1	1	1	3	3	3	3	3		-5	3	3	3	3	3	1	1	1	1	1
+6	1	1	1	1	3	3	3	3	3	3		-6	3	3	3	3	3	3	1	1	1	1
+7	1	1	1	3	3	3	3	3	3	3		-7	3	3	3	3	3	3	3	1	1	1
+8	1	1	3	3	3	3	3	3	3	3		-8	3	3	3	3	3	3	3	3	1	1
+9	1	3	3	3	3	3	3	3	3	3		-9	3	3	3	3	3	3	3	3	3	1

Como puede ver, las tablas anteriores para la suma y la resta son imágenes especulares entre sí. Observe también cómo la mitad de los casos corresponden a la regla tres, es decir, requieren acarreos, y de ellos, los marcados en negrita, terminan con una operación de tipo 2 opuesta. Verifique también cómo la regla 2 solo afecta la suma o resta de dígitos menores que 5.

Ejemplos

Estudie detenidamente los siguientes ejemplos.

Ejemplo

Ponga 5 en una columna de su ábaco y sume 7:

En este ejemplo, que requiere un acarreo (regla 3), la resta del número complementario a su vez requiere el uso de la regla 2, que afecta a la cuenta superior.

5+7

A	B		A	B
		Regla 3 seguida de regla 2
0	5		1	2

Ejemplo

Entre 95 en el ábaco y súmele 7:

Ahora el acarreo conduce a otra operación de tipo 3, que requiere a su vez un nuevo acarreo. En esta operación se ven afectadas tres columnas del ábaco.

95+7

A	B	C		A	B	C
			Regla 3 + regla 3
0	9	5		1	0	2

Ejemplo

Entre 999995 en el ábaco y súmele 7:

Se trata de una situación extrema, extrapolación del caso anterior, que conviene estudiar detenidamente. ¡El acarreo se extiende o corre a través de las columnas de la izquierda hasta que encuentra un hueco para alojarse!

999995+7

A	B	C	D	E	F	G		A	B	C	D	E	F	G
							Regla 3 + Regla 3 +...
0	9	9	9	9	9	5		1	0	0	0	0	0	2

Piense que, si tuviéramos a nuestra disposición una quinta cuenta inferior, como en el caso del ábaco tradicional, podríamos haber evitado este "acarreo" al menos temporalmente.

999995+7 en un ábaco tipo 5+2

A	B	C	D	E	F		A	B	C	D	E	F
						Regla 3
9	9	9	9	9	5		9	9	9	9	10	2

Para obtener detalles sobre el uso de la quinta bola inferior, puede consultar el capítulo correspondiente una vez que haya adquirido suficiente práctica.

Ejemplo

Entre 50 en su ábaco y reste 3:

En este caso de una operación de tipo 3, el acarreo (préstamo) a su vez requiere una operación de tipo 2 (que afecta a la cuenta superior).

50-3

A	B		A	B
		...
5	0		4	7

Ejemplo

Introduzca 10006 en su ábaco y reste 7:

Finalmente, este es un caso de "pedir prestado" donde tenemos que viajar lejos hacia la izquierda para encontrar algo de lo que poder restar. Estudie también este caso detenidamente.

10006-7

A	B	C	D	E		A	B	C	D
					...
1	0	0	0	6		0	9	9	9	9

Se trata también de una situación que se intenta paliar con el uso de una quinta cuenta inferior en los ábacos tradicionales.

Dos consejos

Hasta aquí nuestras explicaciones teóricas o intelectuales sobre el ábaco. Ahora ya sabe lo que "es" el ábaco oriental y está en camino. Este conocimiento intelectual será su guía durante sus primeros pasos, pero con la práctica, los movimientos de las cuentas se convertirán en una segunda naturaleza para usted y nunca volverá a pensar en todas estas reglas (al menos, hasta que escriba su primer libro sobre el ábaco). Para lograr esto necesitará practicar y practicar y te ofrecemos un par de consejos importantes que le ayudarán a completar el camino que está tomando ahora.

• Nunca lea los resultados intermedios. Este es un mal hábito que no conduce a nada, sólo a perder tiempo y energía mental, y lo que quiere es adquirir rapidez y confort en el uso del ábaco. Su ábaco está ahí para mantener sus números seguros sin que tenga que preocuparse de ellos. Debería limitarse a "reaccionar" a la disposición de las cuentas sin ser consciente del número que estas representan.
• Olvídese de las tablas de sumar y restar, salvo lo que hemos extraído de ellas en forma de números complementarios a 5 y 10. En particular, nunca piense: "Tengo que sumar 7+8, esto da 15, luego tiene que aparecer un quince en el ábaco". Si hace esto, estará "pensando" mientras suma y resta, y eso lo cansará y lo frenará. Si tiene que pensar en algo, piense en las reglas de movimiento de las cuentas y no en los números, ...hasta que sea capaz de sumar y restar mecánicamente mientras piensa en cualquier otra cosa.

Si no sigue estos consejos, probablemente desarrollará un mal hábito que puede ser muy difícil de corregir posteriormente, como ocurre con los malos hábitos que se adquieren, por ejemplo, al estudiar un instrumento musical.

Y ahora la práctica

Sus primeros ejercicios deben ser lo más simples posible y nada parece más fácil que elegir aleatoriamente dos dígitos, por ejemplo: 6 y 8, y tratar de sumarlos o restarlos (quizás agregando un uno delante del primer número si al restar el segundo necesita tomar prestado). Puede utilizar la tabla de tipos de operaciones explicada anteriormente en este capítulo para conocer de antemano el tipo de operación a realizar.

Posteriormente, se debe proceder a una práctica sistemática de los 180 casos de suma y resta de un solo dígito, para lo cual se propone el siguiente ejercicio que también servirá como introducción a la suma y resta de números de varios dígitos.

Comience con el ábaco en el siguiente estado, con el número 123456789, y agregue el mismo dígito a cada una de las nueve columnas B - J procediendo de izquierda a derecha

Ejercicio de suma: inicio

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Por ejemplo, para sumar 1 a cada uno de los dígito de 123456789; es decir, para sumar 111111111 a 123456798, siga los pasos indicados en la siguiente tabla

111111111 + 123456798

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
123456789	Empezar con esto
+1	Sumar 1 a B (Tipo 1)
+1	Sumar 1 a C (Tipo 1)
+1	Sumar 1 a D (Tipo 1)
+1	Sumar 1 a E (Tipo 1)
+1	Sumar 1 a F (Tipo 1)
+1	Sumar 1 a G (Tipo 1)
+1	Sumar 1 a H (Tipo 1)
+1	Sumar 1 a I (Tipo 1)
+1	Sumar 1 a J (Tipo 3 con doble acarreo)
234567900	Resultado
ABCDEFGHIJ

y debería llegar al resultado indicado: 123456789 + 111111111 =234567900. La siguiente tabla muestra los resultados de sumar 111111111, 222222222, ... 999999999 a 1234568789.

 123456789 +ddddddddd

d	Resultado
1	234567900
2	345679011
3	456790122
4	567901233
5	679012344
6	790123455
7	901234566
8	1012345677
9	1123456788

En cuanto a la resta, añadiremos un 1 adicional a la columna A para futuros acarreos:

Ejercicio de resta: inicio

A	B	C	D	E	F	G	H	I	K
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9

y procederemos de forma similar

Subtracting digit 1 from B-J

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
1123456789	Inicio
-1	Restar 1 de B (Tipo 1)
-1	Restar 1 de C (Tipo 1)
-1	Restar 1 de D (Tipo 1)
-1	Restar 1 de E (Tipo 1)
-1	Restar 1 de F (Tipo 2)
-1	Restar 1 de G (Tipo 1)
-1	Restar 1 de H (Tipo 1)
-1	Restar 1 de I (Tipo 1)
-1	Restar 1 de J (Tipo 3)
1012345678	Resultado
ABCDEFGHIJ

y deberiamos obtener: 1012345678 = 1123456789-111111111. Para el resto de dígitos, la siguiente tabla muestra los resultados de restar 111111111, 222222222, ... 999999999 de 1123456789.

1123456789
-ddddddddd

d	Resultado
1	1012345678
2	901234567
3	790123456
4	679012345
5	567901234
6	456790123
7	345679012
8	234567901
9	123456790

Durante un tiempo debería practicar estos ejercicios a diario hasta que note que poco a poco va sustituyendo su trabajo intelectual (pensando en las reglas a utilizar) por una respuesta mecánica instintiva.

Sumas y restas de varios dígitos

Trabajar siempre de izquierda a derecha

En castellano, los números se nombran comenzando con la potencia más alta de diez; 327 es "trescientos veintisiete" y no "siete veinte trescientos". Este es el caso de muchos otros idiomas, incluidos el chino y el japonés, pero no de otros como los de la familia semítica. Esta es la razón principal por la que en el ábaco la suma o resta de números de varios dígitos se trabaja de izquierda a derecha; esto hará las cosas más sencillas, tanto si tenemos que leer los números de una lista como si alguien nos los dicta.

Por ejemplo, obtengamos 44 + 78. Comencemos con un ábaco puesto a cero e introduzcamos el primer sumando 44 en cualquier lugar del mismo (alineado con una marca de varilla unitaria si lo desea, esto es conveniente pero no esencial)

Ponga a cero el ábaco

A	B	C
0	0	0

ponga 4 (40) en B

Entre 40

A	B	C
0	4	0

ahora 4 en C

Entre 4

A	B	C
0	4	4

ahora sume 7 (70) a B

+70 70

A	B	C
1	1	4

por último sume 8 a C

+8

A	B	C
1	2	2

El resultado: 122 aparece en ABC.

En una forma más compacta:

44 + 78

Abacus	Comment
ABC
.	Marca unidad en C
4	Entre 4 en B (40)
44	Entre 4 en C
+7	Sume 7 a B (70)
114
+8	Sume 8 a C
122	Resultado
.	Marca unidad en C

---

Otro ejemplo. Supongamos que tenemos que obtener el total de estas cantidades en euros:

Suma

7.77 €
11.99 €
69.62 €
54.43 €
-96.99 €
Total
46.82 €

Comience poniendo a cero su ábaco e introduzca el primer número (de izquierda a derecha). Puede alinearlo con algunos de los marcadores de puntos unitarios si lo desea.

Tras introducir el primer sumando

A	B	C	D	E	F
0	0	7	7	7	0

Caption text

Ábaco	Comentario
ABCDEF
.  .	Marca unidad
777	Entre 7.77 €
+1	Sumar 11.99 €
+1
+9
+9
1976	Resultado intermedio
+6	Sumar 69.62 €
+9
+6
+2
8938	Resultado intermedio
+5	Sumar 54.43 €
+4
+4
+3
14381	Resultado intermedio
-9	Restar 96.99 #
-6
-9
-9
4682	Total: 46.82 €
.  .	Marca unidad

Resultado final

A	B	C	D	E	F
0	4	6	8	2	0

Formas de practicar la suma y la resta

Con hojas de ejercicios

Debería comenzar su práctica sumando y restando series cortas de números enteros pequeños; por ejemplo, de 3 a 5 números de 2 o 3 dígitos. Por ejemplo:

594 807 -660 -466   275

880 343 -181 -580   462

480 879 -472 19   906

336 309 450 -335   760

480 -269 -122 780   869

963 744 -154 -811   742

29 261 909 186   1385

373 -163 423 -445   188

Aumente progresivamente el tamaño de estas series hasta llegar a 10 números y, a partir de aquí, aumente progresivamente el tamaño de los números a sumar / restar a 5 o 6 dígitos. Por ejemplo:

514299 127127 774517 -895449 907858 67913 -918061 930513 -582082 -722266   204369

375287 611780 -312229 618415 -78719 -467463 -406146 481087 958663 216295   1996970

351129 806691 600755 -368489 815758 573731 51556 668536 -609796 713031   3602902

882678 876701 -365479 -157706 17497 999762 -262868 -910991 -56430 -333692   689472

758320 769094 991286 -49973 74914 -590317 644711 -900673 -449638 -380293   867431

562337 315480 -540643 513724 -651332 359925 285750 883744 -591941 75119   1212163

388730 -287030 -11891 323483 212117 373242 118641 -693301 442672 -370874   495789

798306 -483827 572862 840450 452414 -298427 503089 175358 918199 315118   3793542

Por lo tanto, necesitará colecciones de problemas de este tipo que puede generar con algunas utilidades gratuitas en Internet .

Con este tipo de práctica desarrollarás dos habilidades diferentes

• Sumar y restar eficientemente con el ábaco.
• leer números de un vistazo y guardarlos en la memoria el tiempo suficiente para trabajarlos en el ábaco.

Esto último es fundamental para, por ejemplo, hacer uso del ábaco en contabilidad.

Sin hojas de ejercicios

El ejercicio 123456789

En los libros antiguos sobre el ábaco era común demostrar la suma y la resta mediante un conocido ejercicio que consiste en sumar el número 123456789 nueve veces a un ábaco puesto a cero hasta llegar al número 1111111101, y luego borrarlo nuevamente restando el mismo número otras nueve veces. Este es un ejercicio conveniente porque usa muchos de los 180 casos de suma y resta de 1 dígito (pero no todos) y permite practicar la suma y resta con el ábaco solo, sin hojas de ejercicios en papel, pero no es un ejercicio elemental dada su longitud. Necesitará, por lo tanto, algo de tiempo de práctica para completarlo sin errores.

A lo largo de este ejercicio se obtienen los siguientes resultados parciales:

000000000
123456789
246913578
370370367
493827156
617283945
740740734
864197523
987654312
1111111101

Para más detalles, consulte el capítulo: [[../../Métodos Tradicionales/Variantes del Ejercicio 123456789|Variantes del Ejercicio 123456789]].

Sumas y restas con otros ábacos

Todo lo que aprenda sobre el ábaco oriental funcionará bien con otros tipos de ábaco o al menos simplificará su aprendizaje. Recuerde que las operaciones básicas del ábaco son la suma y la resta y todo lo demás debe reducirse a una secuencia de estas dos operaciones y al problema de cómo organizar tal secuencia de operaciones en el ábaco.

Varillas de cálculo

Las varillas de cálculo son otro ejemplo de un ábaco bi-quinario, por lo que se aplican las mismas tres reglas de suma y resta estudiadas aquí. Solo tiene que tener en cuenta que los conceptos de activar/desactivar cuentas se traducen en colocar/retirar varillas de la mesa y que "tener a nuestra disposición" varillas para añadir no se refiere al montón de varillas listas para usar que tenemos en la caja, sino a "encajar" dentro de los límites de representación de los números (una varillas de valor 5 y 5 varillas de valor 1 como máximo).

Ábaco ruso

El ábaco ruso (Schoty) no es un ábaco bi-quinario; por lo que la segunda de las reglas de suma y resta que se dan aquí no funciona. todo se resuelve con la ayuda de la primera y la tercera reglas exclusivamente.

Recursos externos

• Uitti, Stephen. «Soroban Sheets (Addition and subtraction)». Soroban.
• Uitti, Stephen. «Soroban Sheets (Multiplication)». Soroban.
• «The generator». Practicing the soroban.

Multiplicación Moderna

Debería lograr algunas habilidades básicas de suma y resta antes de intentar la multiplicación.

Introducción

El concepto básico de multiplicación de números naturales es el de una suma repetida.

$$a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}$$

Por ejemplo, para multiplicar 47 por 23 solo es necesario sumar 23 47 veces o sumar 47 23 veces; lo podemos hacer con nuestro ábaco:

Multiplicación como suma repetida

Ábaco	Comentario
ABCDEFHIJ
.  .  .	Marcas de unidad
+1   +47	Sumar 1 a C y 47 a IJ
1    47
+1   +47	Sumar 1 a C y 47 a IJ
2    94
+1   +47	Sumar 1 a C y 47 a IJ
3   141
...	Continuar del mismo modo 19 veces...!
22  1034
+1   +47	Sumar 1 a C y 47 a IJ
23  1081	Fin. 23×47=1081
.  .  .	Marcas de unidad

Donde repetimos 23 veces la suma de 47 a las columnas IJ mientras sumamos 1 a C para tener un "contador" a nuestra disposición. ¡Pero esto es tremendamente lento! Una forma más eficiente de hacer lo mismo puede ser la siguiente:

Las calculadoras mecánicas del pasado empleaban el procedimiento de la izquierda para multiplicar

Una forma más conveniente

Ábaco	Comentario
ABCDEFHIJ
.  .  .	Marcas unidad
+1   +47	Sumar 1 a C y 47 a IJ
1    47
+1   +47	Sumar 1 a C y 47 a IJ
2    94
+1   +47	Sumar 1 a C y 47 a IJ
3   141
+1   +47	Sumar 1 a B y 47 a HI
13   511
+1   +47	Sumar 1 a B y 47 a HI
23  1081	Fin. 23×47=1081
.  .  .	Marcas unidad

Donde esta vez, después de agregar 47 tres veces a IJ (y 1 a C), nos hemos desplazado una columna a la izquierda y hemos comenzado a agregar 47 a las columnas HI (y 1 a B). Sumar 47 en HI equivale a sumar 470 = 10 × 47 a HIJ (10 a BC) reduciendo drásticamente el número de operaciones a realizar, porque después de hacerlo solo dos veces llegamos a 23 en el contador BC y 1081 en GHIJ, el resultado final. Esta forma de multiplicar fue la habitual en las calculadoras mecánicas que aparecieron a finales del siglo XIX y que se siguieron utilizando hasta la década de los 70. Pero esto sigue siendo excesivamente lento.

Piense que el ábaco tal como lo conocemos ahora permite sumar muy rápido, pero que antes de su invención se usaban varillas de cálculo que son extraordinariamente lentas de manejar. Por lo tanto, no es sorprendente que los matemáticos chinos, buscando abreviar los cálculos, finalmente inventaran la tabla de multiplicar decimal, tal como la conocemos nosotros, unos siglos antes de nuestra era.

La tabla de multiplicar

Tiras de bambú conteniendo la tabla de multiplicar decimal más antigua conocida, datada por radiocarbono en el 305±30 antes de nuestra era

Esta es la tabla de multiplicar decimal como la aprendemos en la escuela:

Tabla de multiplicar decimal

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Pero viviendo en la era de las computadoras, lo más probable es que pronto comencemos a usar una calculadora electrónica y en la edad adulta hagamos pocas multiplicaciones a mano. A menudo, muchos de nosotros, incluso los matemáticos, no tenemos la tabla de multiplicar "fresca" en la memoria y esto puede ser una mala noticia para quien se inicia: si se quiere multiplicar (y dividir) de manera eficiente con un ábaco, es necesario "refrescar" la tabla de multiplicar en la memoria y esto puede requerir un cierto tiempo de práctica.

Usando la tabla de multiplicar podemos resolver el problema de multiplicación $47\times 23$ en la forma:

$$47\times 23=(40+7)\times (20+3)=$$

$$=40\times 20+40\times 3+7\times 20+7\times 3=$$

$$=(4\times 2)\times 100+(4\times 3)\times 10+(7\times 2)\times 10+(7\times 3)$$

es decir, solo tenemos que recuperar los productos parciales: $(4\times 2)=8,(4\times 3)=12,(7\times 2)=14,(7\times 3)=21$ de la tabla de multiplicar y sumarlos en los lugares correctos, como hacemos con papel y lápiz

   47
  ×23
-----
   21
  12   (×10)
  14   (×10)
+ 8    (×100)
-----
 1081

Esto es absolutamente paralelo al método de multiplicación que vamos a seguir con el ábaco.

El método de multiplicación moderno

Cuando multiplicamos dos números $a$ y $b$, llamamos a ambos números factores y producto al resultado $a\times b$, pero también es común llamar multiplicando a uno de los factores y multiplicador al otro. Sin embargo, a la hora de multiplicar con el ábaco:

Multiplicando

Es el factor que vamos a manipular sobre el ábaco y que nos guiará para obtener los productos parciales de forma ordenada y alinearlos correctamente para su suma en las posiciones correctas.

Multiplicador

Es el factor que no vamos a manipular sobre el ábaco. de hecho no es obligatorio ni siquiera ingresarlo (pero es conveniente). Por lo general, será el factor con menos dígitos de los dos.

Disposición de multiplicación

Hay dos formas de introducir ambos factores en el ábaco que pueden considerarse prácticamente equivalentes; Cada uno de ellos tiene sus propias ventajas y desventajas. Lo mismo puede decirse de la división que estudiaremos en el próximo capítulo. Siéntase libre de experimentar con ambos arreglos.

Disposición china tradicional

El multiplicando se pone a la izquierda en el ábaco y el multiplicador lo suficientemente alejado del mismo. Al menos tantas columnas como dígitos tenga el multiplicador más dos, o mejor tres, deben dejarse libres a la derecha del multiplicando.

Ejemplo

Disposición china tradicional
multiplicando: 345, multiplicador: 67

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M
	3	4	5									6	7

o en forma de tabla:

Disposición china tradicional
multiplicando: 345, multiplicador: 67

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
345        67

Disposición tradicional japonesa

Esta es la forma inversa. El multiplicador se sitúa a la izquierda y el multiplicando a la derecha, dejando al menos dos columnas vacías en el medio. Necesitamos tener al menos tantas columnas libres a la derecha del multiplicador como el número de dígitos del multiplicador más uno.

Disposición tradicional japonesa
multiplicando: 345, multiplicador: 67

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M
	6	7			3	4	5

o en forma de tabla:

Traditional Japanese arrangement
multiplicand: 345, multiplier: 67

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
67  345

Esta es la forma que ha sido más popular en Japón. y terminó siendo importada también a China. También es la disposición que usaremos en este capítulo.

Multiplicación de 1 dígito × 1 dígito

Por supuesto, esto es tan trivial que no necesitamos un ábaco, pero sirve para introducir el resto de ejemplos. Supongamos que tenemos que multiplicar$7\times 8$, tomemos 7 como multiplicador, 8 como multiplicando y adoptemos disposición japonesa que acabamos de explicar; es decir, partimos de:

7×8=56

	A	B	C	D	E	F	G
	7			8

y procedamos del siguiente modo:

7×8=56

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
7  8	Planteando el problema
+56	Multiplicar D×A y sumarlo a EF
7  856
7  856	Borrar D
7   56	Resultado: 7×8=56 en EF

Resultado final

	A	B	C	D	E	F	G
	7				5	6

Sí, tiene razón; es usted quien hizo la multiplicación, no el ábaco. En el siguiente ejemplo sin embargo, el ábaco comienza a mostrar su utilidad.

Multiplicación de 1 dígito × 2 dígitos

Multipliquemos: $7\times 83$, el multiplicando será 83.

7×83

	A	B	C	D	E	F	G	H
	7			8	3

7×83

Ábaco	Comentario
ABCDEFGH
7  83	Planteo
+21	Multiplicar E × A y sumarlo a FG
7  8321
7  8321	Borrar E
7  8 21
+56	Multiplicar D × A y sumarlo a EF
7  8581
7  8581	Borrar D
7   581	Resultado: 7×83=581

7×83 Resultado

	A	B	C	D	E	F	G	H
	7				5	8	1

Al menos, el ábaco ha servido para sumar los dos productos parciales enFG y EF.

Multiplicación de 2 dígitos × 2 dígitos

Ahora multipliquemos $79\times 83$.

79×83

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
	7	9			8	3

Caption text

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
79  83	Planteo
+21	Multiplicar F×A y sumarlo a GH
+27	Multiplicar F×B y sumarlo a HI
79  83237
79  83237	Borrar F
79  8 237
+56	Multiplicar E×A y sumarlo a FG
+72	Multiplicar E×B y sumarlo a GH
79  86557
79  86557	Borrar E
79   6557	Resultado: 79×83=6557 en FGHI

79×83 Resultado

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
	7	9				6	5	5	7

Multiplicación de varios dígitos

Generalizando lo visto en los ejemplos anteriores:

Para cada dígito del multiplicando, comenzando por la derecha

• Multiplicar el dígito actual del multiplicando por los dígitos del multiplicador (de izquierda a derecha), sumando el primer producto parcial a las dos columnas a la derecha del dígito actual del multiplicando, y el resto de los productos desplazandonos sucesivamente una columna a la derecha cada vez.
• Borrar el dígito multiplicando actual.

Veámoslo con el siguiente ejemplo: $799\times 835=667165$:

799×835

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L
	7	9	9			8	3	5

799×835

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKL
799  835	Planteamiento
+35	Multiplicar H×A y sumarlo a IJ
+45	Multiplicar H×B y sumarlo a JK
+45	Multiplicar H×C y sumarlo a KL
799  8353995
799  8353995	Borrar H
799  83 3995
+21	Multiplicar G×A y sumarlo a HI
+27	Multiplicar G×B y sumarlo a IJ
+27	Multiplicar G×C y sumarlo a JK
799  8327965
799  8327965	Borrar G
799  8 27965
+56	Multiplicar F×A y sumarlo a GH
+72	Multiplicar F×B y sumarlo a HI
+72	Multiplicar F×C y sumarlo a IJ
799  8667165
799  8667165	Borrar F
799   667165	Resultado: 799×835=667165

799×835 Resultado

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L
	7	9	9				6	5	7	1	6	5

Ceros embebidos

Sea particularmente cuidadoso cuando alguno de los factores tiene ceros internos; por ejemplo:

3075×2707

A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M	N	O
3	0	7	5			2	7	0	7

3075×2707

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
3075  2707	Planteamiento
+21	Multiplicar JxA, y sumarlo a KL
+49	Multiplicar JxC, y sumarlo a MN!
+35	Multiplicar JxD, y sumarlo a NO
3075  270721525
3075  270721525	Borrar J
3075  27  21525
+21	Multiplicar HxA, y sumarlo a IJ
+49	Multiplicar HxC, y sumarlo a KL!
+35	Multiplicar HxD, y sumarlo a LM
3075  272174025
3075  272174025	Borrar H
3075  2 2174025
+06	Multiplicar GxA, y sumarlo a HI
+14	Multiplicar GxC, y sumarlo a JK!
+10	Multiplicar GxD, y sumarlo a KL
3075  2 8324025
3075  2 8324025	Borrar G
3075    8324025	Resultado: 3075×2707=8324025

3075×2707 Resultado

A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M	N	O
3	0	7	5					8	3	2	4	0	2	5

La columna de la unidad y los decimales

Por favor, revise todos los ejemplos vistos hasta ahora y compruebe que, en todos los casos:

La columna de las unidades del producto se ubica $n+1$ columnas a la derecha de la columna de la unidades del multiplicando; donde $n$ es el número de dígitos del multiplicador.

Esta es una regla general para la multiplicación de números naturales siguiendo el método moderno de multiplicación que estamos estudiando. Es conveniente tener en cuenta esta regla ya que el producto podría tener ceros al final, como en el caso $32\times 1625=52000$; lo que podría confundirle. Por ejemplo:

32×1625

A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L
3	2			1	6	2	5u

En el diagrama anterior, la barra unitaria del multiplicando es la columna H (señalada con un punto blanco en la barra). Después de la multiplicación, el ábaco muestra:

32×1625 Resultado: 52000

A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L
3	2					5	2	0	0	0u

Necesita saber que la barra unitaria del resultado es $n+1=2+1=3$ varillas a la derecha de H (es decir, en J) para leer correctamente el resultado 52000.

Podemos extender esta regla a números decimales :

La columna de las unidades del producto se encuentra $n+1$ columnas a la derecha de la columna de las unidades del multiplicando; donde $n$ es el número de dígitos del multiplicador a la izquierda de su punto decimal (¡que podría ser negativo!).

La siguiente tabla muestra los valores $n$ para algunos multiplicadores:

Multiplicadores	n
32.7	2
3.27	1
0.327	0
0.00327	-2

Multipliquemos $0.0032\times 16.25$; La varilla de las unidades es F.

0.0032×16.25

A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L
3	2			1	6	2	5

y para el multiplicador $0.0032$, tenemos $n=-2$

0.0032×16.25 Resultado: 0.052

A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L
3	2			0	0	5	2

de modo que la barra unitaria del producto es $n+1=-2+1=-1$ barras a la derecha de F, es decir, una barra a su izquierda ( E ) y el resultado debe leerse como $0.052$.

Recursos externos

Hojas de ejercicios

• Uitti, Stephen. «Soroban Sheets (Multiplication)». Soroban.
• «The generator». Practicing the soroban.

Otras lecturas

• «Multiplication». The Japanese Abacus: its Use and Theory. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. 1954. ISBN 978-0-8048-0278-9. https://archive.org/details/japaneseabacus00taka/page/52/mode/2up. 
• Heffelfinger, Totton (2004). «Multiplication». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el June 29, 2021.

División Moderna

Introducción y primeros métodos

División euclidiana

Si consideramos dos números naturales $a$ y $b$, la división de $a$ por $b$ (indicado como $a/b$ o $a\div b$) responde a la pregunta de cuántas veces el número $b$ está contenido en el número $a$. El número $a$ en $a/b$ es el dividendo y $b$ el divisor. La respuesta o resultado $q=a/b$ se denomina cociente.

Tomemos $a=1225$ y $b=35$ como ejemplo. No hay forma más sencilla de proceder para responder a la pregunta que mediante la resta repetida, contando el número de veces que podemos restar el divisor del dividendo. Podemos hacerlo directamente sobre el ábaco usando una columna como contador:

1225÷35 = 35, primera forma

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKL
35      1225
+1   -35	Restar 35 de KL, sumar 1 al contador en F
35   1  1190
+1   -35	Restar 35 de KL, sumar 1 al contador en F
35   2  1155
+1   -35	Restar 35 de KL, sumar 1 al contador en F
35   3  1120
...	Continuar 33 veces mas del mismo modo...
35  33    70
+1   -35	Restar 35 de KL, sumar 1 al contador en F
35  34    35
+1   -35	Restar 35 de KL, sumar 1 al contador en F
35  35    00	Hecho!, el cociente es 35 en EF

Así descubrimos que el número $35$ está contenido exactamente $35$ veces en $1225$, ya que no podemos continuar restando $35$ sin empezar a tratar con números negativos. Por lo tanto, en este ejemplo, el cociente es: $q=35$.

Como podemos ver, en este caso podemos escribir $1225=35\times 35$, o bien:

$$a=q\times b$$

lo que no podemos esperar en el caso general. Si repitiéramos el proceso con $a=1240$, veríamos que después de restar $35$ por $35$ nos quedaría $15$ en el ábaco, del que no podríamos seguir restando $35$ sin introducir números negativos. Por lo tanto, tenemos que $1240=35\times 35+15$; es decir, el resultado de dividir $1240$ por $35$ da un cociente de $35$ dejando un resto de $15$. En general tendremos:

$$a=q\times b+r$$

dónde:

• $a$: dividendo
• $b$: divisor
• $q$: cociente
• $r$: resto

En el caso de que el resto sea cero, decimos que la división es exacta y el dividendo es un múltiplo del divisor.

Este es el concepto de división euclidiana para números naturales a la que se puede reducir la división de números con fracciones decimales sin más que multiplicar $a$ y/o $b$ por potencias de 10 adecuadas y después ajustar el punto decimal en el resultado.

Algunas mejoras: métodos de división a trozos

El procedimiento seguido en la sección anterior es el más simple posible conceptualmente, pero es extraordinariamente largo e ineficiente. En lugar de comenzar directamente restando el divisor $b$ ($35$) del dividendo, comencemos preguntando qué potencia de 10 veces el divisor podemos restar del dividendo; en nuestro caso: ¿podemos restar 3500, 350 o solo 35? Claramente podemos restar 350 y comenzaremos a restar trozos de 350 , y cuando no podamos continuar, comenzaremos a restar trozos de 35 de la siguiente manera:

1225÷35 = 35, una gran mejora

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
35   1225	Comienzo, contador en D
35  1 875	Restar 35 de GH, sumar 1 al contador D
35  2 525	Restar 35 de GH, sumar 1 al contador D
35  3 175	Restar 35 de GH, sumar 1 al contador D
35  31140	Restar 35 de HI, sumar 1 al contador E
35  32105	Restar 35 de HI, sumar 1 al contador E
35  33 70	Restar 35 de HI, sumar 1 al contador E
35  34 35	Restar 35 de HI, sumar 1 al contador E
35  35 00	Restar 35 de HI, sumar 1 al contador E
35  35	Sin resto, hecho!. El cociente es 35

Lo cual ha sido mucho más rápido. Como ve en el proceso anterior, hemos reducido intencionadamente la distancia entre el contador y el dividendo tanto como nos ha sido posible. Esto quizás oscurezca un poco el proceso, pero nos acerca a lo que haremos habitualmente con el método de división moderno que explicamos más abajo. Estudie el cálculo anterior cuidadosamente usando su propio ábaco. El método de división que hemos seguido aquí es el usado por las calculadoras mecánicas que mencionamos en el capítulo dedicado a la multiplicación.

Continuemos desde aquí buscando aún más eficiencia.

Si podemos duplicar fácilmente el divisor y retenerlo en la memoria, podemos acortar la operación restando trozos de una o dos veces el divisor.

Veces	Trozo
1	35
2	70

1225÷35 = 35, algo más sofisticado

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
35   1225	Comienzo, contador en D
35  2 525	Restar 70 de GH, sumar 2 al contador en D
35  3 175	Restar 35 de GH, sumar 1 al contador en D
35  32105	Restar 70 de HI, sumar 2 al contador en E
35  34 35	Restar 70 de HI, sumar 2 al contador en E
35  35 00	Restar 35 de HI, sumar 1 al contador en E
35  35	Sin resto. Hecho, El cociente es 35

O incluso mejor si podemos construir una tabla como la de abajo doblando el divisor tres veces:

Veces	Trozo
1	35
2	70
4	140
8	280

1225÷35 = 35, un método muy efectivo

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
35   1225	Comienzo, contador en D
35  2 525	Restar 70 de GH, sumar 2 al contador en D
35  3 175	Restar 35 de GH, sumar 1 al contador en D
35  34 35	Restar 140 de HI, sumar 4 al contador en E
35  35 00	Restar 35 de HI, sumar 1 al contador en E
35  35	Sin resto. Hecho, El cociente es 35

que es algo más corto y, claramente, nada podría ser más rápido que tener una tabla de multiplicar completa del divisor.

Tabla de multiplicación del divisor

Si disponemos de la tabla de múltiplos del divisor, en nuestro caso 35

Tabla de multiplicar por 35

Veces	Trozo
1	35
2	70
3	105
4	140
5	175
6	210
7	245
8	280
9	315

entonces podemos abreviar las cosas aún más.

1225÷35 = 35, el método más corto

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
35   1225	Comienzo, contador en D
35  3 175	Restar 105 de GH, sumar 3 al contador en D
35  35 00	Restar 175 de HI, sumar 5 al contador en E
35  35	Resto nulo. Hecho, el cociente es 35

No hay duda, este es un método de división óptimo, ya que nada puede ser más rápido y cómodo... una vez que tengamos una tabla como la de arriba. Pero calcular la tabla de multiplicar de un divisor lleva tiempo, requiere papel y lápiz para anotarla y este trabajo adicional sólo estaría justificado si tenemos una gran cantidad de divisiones por hacer con el mismo divisor común.

En 1617 John Napier (Neper), el padre de los logaritmos, presentó un invento para aliviar este problema que consiste en una serie de tablillas, conocidas como ábaco neperiano o tablas neperianas, con la tabla de multiplicar de un dígito escrita en ellos y que podían combinarse para obtener la tabla de multiplicar de cualquier número. Por ejemplo, en nuestro caso

Juego chino de tablas neperianas

Tabla de multiplicar por 35 usando las tablas neperianas

	1	35
	2	70
	3	105
	4	140
	5	175
	6	210
	7	245
	8	280
	9	315

No hay duda de que tal invento se extendió muy pronto a Oriente de mano de los misioneros Jesuitas y se usó junto con el ábaco, pero este uso debe considerarse excepcional; no todo el mundo tenía tablillas neperianas al alcance de la mano. Se necesita otra herramienta y esa herramienta es la tradicional tabla de multiplicar de 1 dígito que se aprende de memoria y que vamos a usar como aproximación a la tabla de multiplicar específica del divisor (la que se usó arriba), esta tabla nos guiará para elegir el dígito del cociente que debemos probar.

Cabe señalar que los procedimientos anteriores no agotan las posibilidades de los métodos de división por trozos.

División moderna

División moderna vs tradicional

El método moderno de división se llama así porque, a lo largo de la primera mitad del siglo XX, su uso ha desplazado al del método tradicional, pero de hecho es mucho más antiguo que éste, habiendo sido desplazado por él en el siglo XIII. Una característica del método moderno es el uso de la tabla de multiplicar de 1 dígito como guía para la elección de la cifra provisional que tenemos que probar como cociente y para el cálculo del trozo que tenemos que restar del dividendo.

Tabla de multiplicar decimal

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

En comparación, el método tradicional utiliza tanto una tabla de división especial como guía para la cifra provisional del cociente como la tabla de multiplicar para calcular la parte a sustraer.

La razón principal por la que el método moderno comenzó a desplazar al método tradicional en Japón, después de la Restauración Meiji, es que puede ser aprendido de manera más fácil y rápida por quienes ya saben dividir con papel y lápiz al no requerir la memorización de una compleja tabla de división. Por otro lado, anticipemos que el método tradicional hace de la división un proceso completamente automatizado, sin necesidad de pensar; solo hay que seguir las reglas para obtener el resultado, lo que permite realizar la operación sin ningún cansancio mental. Trataremos sobre esta división tradicional el la sección de este libro dedicada a los métodos tradicionales.

Punto clave de la división con el ábaco

Uno de los puntos clave del aprendizaje del ábaco es ser conscientes de que este instrumento nos permite corregir algunas cosas de forma muy rápida y sin dejar rastros, lo que convierte al ábaco en un instrumento especialmente indicado para procedimientos de prueba y error. Esto nos es especialmente útil en el caso de la división. Si tenemos que dividir $634263\div 79283$, en lugar de forzar nuestra mente tratando de encontrar la cifra correcta del cociente, simplemente elegimos una cifra aproximada provisional o interina simplificando el problema original a $63\div 7$ y la probamos intentando restar el trozo (cociente provisional)✕79283 del dividendo; al hacerlo, ocurrirá una de las siguientes situaciones:

El dígito del cociente intermedio es correcto

es decir, podemos restar el fragmento (dígito del cociente intermedio) ✕ (divisor), pero no podemos restar el cociente una vez más porque el resto es menor que el divisor.

Es insuficiente y debemos revisarlo al alza

podemos restar el fragmento (dígito intermedio del cociente) ✕ (divisor), pero aún podemos restar el cociente una vez más porque el resto es mayor o igual que el divisor. Agregamos uno al cociente intermedio y restamos el divisor nuevamente del resto.

Es excesivo y debemos revisarlo a la baja.

esta es la situación más compleja y propensa a errores. Por lo general, descubrimos demasiado tarde (en medio de la resta de fragmentos) que la cifra intermedia es excesiva y tenemos que retroceder, restar uno del cociente y restaurar el dividendo/resto agregándole lo que se le ha restado en exceso antes de que podamos seguir.

Por tanto, el proceso de obtención de un dígito del cociente tiene dos fases (prueba y error):

1. Elegir un dígito de cociente provisional.
2. Probar si es correcto y modificarlo si no lo es.

Una vez que hayamos encontrado la cifra correcta, generalmente tendremos un resto distinto de cero que actuará como dividendo si queremos extender la división al siguiente dígito del cociente.

Veremos todo esto a lo largo de los ejemplos que siguen, pero primero, necesitamos algunas palabras sobre cómo organizar la división en el ábaco.

Disposición en el ábaco de la división moderna

El dividendo es el término activo con el que vamos a trabajar en el ábaco, el divisor es inactivo y permanecerá invariable durante la operación, de hecho no es imprescindible introducirlo en el ábaco pero sí recomendable, especialmente para los principiantes. Como en el caso de la multiplicación, existen dos estilos para colocar dividendo y divisor en el ábaco, cada uno con sus ventajas y desventajas. Siéntase libre de probar ambas formas.

Disposición tradicional china

El divisor se sitúa en el extremo derecho del ábaco mientras que el dividendo se coloca hacia la izquierda, dejando al menos dos columnas libres a su izquierda.

1225÷35 Disposición al estilo chino

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M
			1	2	2	5						3	5

Disposición tradicional japonesa

El divisor va al extremo izquierdo del ábaco mientras que el dividendo se sitúa a su derecha, dejando al menos cuatro columnas libres entre los dos términos.

1225÷35 Disposición al estilo japonés

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M
	3	5					1	2	2	5

En este capítulo usaremos el estilo japonés para los ejemplos, pero siéntase libre de probar ambos.

Colocando la cifra del cociente

La cifra del cociente intermedio se coloca en una de las dos columnas directamente a la izquierda del dividendo. Para decidir en cuál, necesitamos comparar el divisor con un número igual de cifras de los primeros dígitos del dividendo, agregando ceros a su derecha si fuera necesario; llamemos a estas cifras el dividendo de trabajo:

Dividendo de trabajo mayor o igual que el divisor

esto significa que el divisor cabe en el dividendo de trabajo y el cociente, es decir, el número de veces que el divisor entra en el dividendo de trabajo, se sitúa en la segunda columna a la izquierda del primer dígito del dividendo

Ejemplo: 827÷46. El dividendo de trabajo 82 es mayor que el divisor 46, luego el cociente intermedio va a la segunda columna a la izquierda del dividendo. La tabla de multiplicar sugiere que usemos 2 como cociente provisional (simplificando 827÷46 a 8÷4)

827÷46

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
46    827
46  2 827	Situamos el cociente provisional 2 en E

Dividendo de trabajo menor que el divisor

esto significa que el divisor no cabe en el dividendo de trabajo. En este caso, necesitamos incluir el siguiente dígito del dividendo, o un cero si no quedan más, en nuestro dividendo de trabajo, y el cociente, el número de veces que el divisor entra en este dividendo de trabajo ampliado, se sitúa en la columna directamente a la izquierda del primer dígito del dividendo

Ejemplo: 18÷467, el dividendo de trabajo 180 es menor que 467, entonces lo ampliamos a 1800 y el cociente provisional se situará en la primera columna a la izquierda del dividendo. La tabla de multiplicar sugiere que usemos 4 como cociente intermedio después de simplificar 1800÷467 a 18÷4.

Caption text

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
467    18
467   418	Situamos el cociente provisional 4 en G

Ejemplos

Debe comenzar haciendo ejercicios con divisores de un solo dígito y luego probar con divisores de dos, tres, etc. cifras. Con divisores de un dígito, nunca debería tener que revisar al alza o la baja. Por ejemplo, empiece por dividir 123456789 por los dígitos 2, 3, ..., 9. Veamos la división por 9 aquí.

Ejemplo: 123456789÷9 = 13717421

• Por favor lea el símbolo "->" como: "la tabla de multiplicar sugiere usar ...".
• Como verá, en todos los casos excepto en el último, el dividendo de trabajo es menor que el divisor y necesitamos expandirlo a dos dígitos.

123456789÷9 = 13717421

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
9    123456789	12/9 -> 1 como cociente provisional
9   1123456789	situar cociente prov. en E
-9	restar 9✕1=9 de FG
9   1 33456789	33/9 -> 3 como cociente provisional
9   1333456789	situar cociente prov. en F
-27	restar 9✕3=27 de GH
9   13 6456789	64/9 -> 7 como cociente provisional
9   1376456789	situar cociente prov. en G
-63	restar 9✕7=63 de HI
9   137 156789	15/9 -> 1 como cociente provisional
9   1371156789	situar cociente prov. en H
-9	restar 9✕1=9 de IJ
9   1371 66789	66/9 -> 7 como cociente provisional
9   1371766789	situar cociente prov. en I
-63	restar 9✕7=63 de JK
9   13717 3789	37/9 -> 4 como cociente provisional
9   1371743789	situar cociente prov. en J
-36	restar 9✕4=36 de KL
9   137174 189	18/9 -> 2 como cociente provisional
9   1371742189	situar cociente prov. en K
-18	restar 9✕2=18 de LM
9   1371742  9	9/9 -> 1 como cociente provisional
9   13717421 9	situar cociente prov. en L
-9	restar 9✕1=9 de MN
9   13717421	Resto nulo, hecho! 123456789÷9 = 13717421

123456789 es un número curioso, es precisamente el producto de 9 por 13717421, ¡un número primo grande!

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Ejemplo: 1225 ÷ 35 = 35 Divisor de dos dígitos. Revisando al alza y a la baja

1225÷35 = 35

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
35    1225	12÷3↦4 como cociente provisional
+4	situar cociente prov. en F
35   41225	Tratar de restar 4✕35 de GHI,
-12	primero 4✕3 de GH
35   40025	ahora 4✕5 de HI
-20	¡No se puede!
-1	Revisar a la baja la cifra del cociente
35   30025
+3	Devolver lo sustraido en exceso de GH[1]
35   30325
-15	continuar normalmente: restar 3✕5 de HI
35   3 175	17÷3↦5 como cociente provisional
+5	situar cociente prov. en G
35   35175	Tratar de restar 5✕35 de HIJ
-15	primero 5✕3 de HI
35   35025
-25	ahora 5✕5 de IJ
35   35	Resto nulo, fin! 1225÷35 = 35

Nota:

1

Hemos restado 4 × 3 = 12 de 'FGH' , pero si el dígito del cociente correcto es 3, deberíamos haber restado 3 × 3 = 9, por lo que restamos 3 en exceso (solo el primer dígito del divisor ). Debemos devolver este exceso antes de continuar.

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Ahora, supongamos que después de nuestra "mala experiencia" revisando a la baja la primera cifra del cociente, y en exceso de prudencia, elegimos 4 como segundo cociente provisional en lugar de 5 como sugiere la tabla de multiplicar. Esta sería la continuación:

1225÷35 = 35, segundo dígito del cociente, ejemplo de revisión al alza

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
35   3 175	17÷3 -> 5, pero usaremos 4 4!
+4	situar cociente prov. en G
35   34175	Tratamos de sustraer 4✕35 de HIJ
-12	primero 4✕3 = 12 de HI
-20	ahora 4✕5 = 20 de IJ
35   34 20	¡Resto mayor o igual al divisor!
+1	Revisar al alza G
-20	restar divisor del resto HI
35   34	Resto nulo, fin! 1225÷35 = 35

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Ejemplo 1÷327

Hasta ahora hemos considerado divisiones entre números naturales con cocientes y residuos, así como números naturales, pero podemos operar con números decimales exactamente como lo hacemos en el cálculo escrito con división larga. Por ejemplo, encontremos el inverso de 327; es decir, 1/327 en un ábaco con 13 columnas.

1÷327 = 0.00305810...

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
327    1	10/3 -> 3 como cociente provisional
327   31	situar cociente prov. en G
-09	restar 3✕3=9 de HI
327   3 1
-06	restar 3✕2=6 de IJ
327   3  4
-21	restar 3✕7=21 de JK
327   3  19	19/3 -> 6 como cociente provisional
327   30619	situar cociente prov. en I
-18	restar 6✕3=18 de JK
327   306 1
-12	no se puede restar 6✕2=12 de KL!
-1	revisar a la baja I
+3	restaurar el exceso sustraido de JK
327   305 4
-10	continuar normalmente, restar 5✕2=10 de KL
327   305 30
-35	restar 5✕7=35 de LM
327   305 265	36/3 -> 8 como cociente provisional
327   3058265	situar cociente prov. en J
-24	restar 8✕3=24 de KL
327   3058 25
-16	restar 8✕2=16 de LM
327   3058  9	Resultado hasta aquí: 3058

Hemos obtenido $3058$ como los primeros dígitos de $1/327$, pero $1/327\approx 1/300=1/(3\cdot 100)=(1/3)\cdot 0.01\approx 0.33\cdot 0.01=0.0033$ por lo que nuestro resultado es en realidad $0.003058$. Mas abajo daremos una regla para encontrar la varilla unidad de la división.

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Ejemplo: 634263 ÷ 79283 = 7,999987 ..., un caso complicado

Finalmente, obtengamos el primer dígito del cociente de esta división especialmente maliciosa.

634263÷79283 = 7,999987...

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
79283  634263	63/7 -> Probamos 9
79283 9634263
-63	restar 9*7=63 de HI
79283 9004263
-81	no se puede restar 9*9=81 de IJ!
-1	revisar D a la baja
+7	restaurar lo restado en exceso del dividendo
79283 8 74263
-72	continuar restando 8x9=72 de IJ
79283 8 02263
-16	restar 8*2=16 de JK
79283 8 00663
-64	restar 8*8=64 de KL
79283 8 00023	no se puede restar 9*3=27 de LM!
-1	revisar D a la baja
+7928	restaurar lo restado en exceso del dividendo
79283 7 79303
-21	continuar restando 7x3=21 de LM
79283 7 79282	cociente: 7, resto: 79283

No hay duda de que en este caso redondear el divisor 79283 a 80000 nos habría dado mejores resultados ya que 63÷8 sugiere usar 7 (la cifra correcta) como dígito del cociente provisional.

634263÷79283 = 7,999987..., divisor redondeado

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
79283  634263	63/8 -> probamos 7
7634263
-49	restar 7*7=49 del dividendo HI
79283 7144263
-63	restar 7*9=63 del dividendo IJ
79283 7 81263
-14	restar 7*2=14 del dividendo JK
79283 7 79863
-56	restar 7*8=56 del dividendo KL
79283 7 79303
-21	restar 7*3=21 del dividendo LM
79283 7 79282	cociente: 7, resto: 79283

La varilla unidad y los decimales

La contrapartida de la regla para encontrar la varilla unidad en el caso de la multiplicación es la siguiente regla para la división:

La columna de las unidades de los cocientes se ubica $n+1$ columnas a la izquierda de la columna de las unidades del dividendo; donde $n$ es el número de dígitos del divisor a la izquierda de su punto decimal (¡que puede ser negativo!).

La siguiente tabla muestra los valores de $n$ para algunos divisores:

Divisor	n
32.7	2
3.27	1
0.327	0
0.00327	-2

Ejemplo: 1/327 (lo hemos visto arriba)

1/327; columna unidad

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
327    1	el divisor tiene 3 dígitos. n=3
.	varilla unidad del dividendo
...
327   3058  9	Fin de la división. Resultado: 3058
.	varilla unidad del dividendo
<---	desplazarla n+1 = 4 posiciones a la izquierda
.	varilla unidad del cociente
3058	por lo tanto, ésto...
.003058	... debe leerse: 0.003058

Multiplicación y división como operaciones inversas

En los cálculos escritos siempre podemos revisar nuestro trabajo para asegurarnos de que no hemos cometido errores y que el resultado obtenido es el correcto. En los cálculos con el ábaco esto no es posible ya que el ábaco no guarda memoria del pasado y de los resultados intermedios. Podemos recurrir a algunos artificios como la prueba del nueve o del once, pero la forma tradicional de verificar los resultados con el ábaco ha sido repetir los cálculos o deshacerlos.

Deshacer sumas y restas es tan simple como partir del resultado y restar lo que hemos sumado y sumar lo que hemos restado; Si hacemos tanto el cálculo como la verificación correctamente, deberíamos terminar con un ábaco limpio, puesto a cero. Para verificar una multiplicación usaremos la división y, recíprocamente, para verificar una división usaremos la multiplicación, sumando el resto si lo hay. Después de hacer esto, devolveremos el ábaco a su estado inicial con los dos operandos originales en sus posiciones de partida. Veamos un ejemplo:

Comprobando 2461÷64 por multiplicación

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
64    2461	24/6 -> 4 como cociente provisional
42461	situar cociente prov. en F
-24	restar 4✕6=24 del dividendo GH
64   4  61
-16	no se puede restar 4✕4=16 del dividendo HI
-1	revisar cociente a la baja
64   3  61
+6	restaurar lo restado en exceso del dividendo GH
64   3 661
-12	continuar normalmente, restar 3✕4=12 del dividendo HI
64   3 541	54/6 -> 9, pero vamos a usar 8
64   38541
-48	restar 8✕6=48 del dividendo HI
64   38 61
-32	restar 8✕4=32 del dividendo IJ
64   38 29	cociente: 38, resa 29
	La revisión por multiplicación empieza aquí
+48	sumar 8✕6=48 a HI
64   38509
+32	sumar 8✕4=32 a IJ
64   38541
64   3 541	borrar G
+18	sumar 3✕6=18 a GH
64   32341
+12	sumar 3✕4=12 a HI
64   32461
64    2461	borrar F. Estado inicial!

En este libro se ha sugerido usar el número 123456789 para sus primeros ejercicios tanto de multiplicación como de división por un solo dígito. Intente combinarlos con la operación inversa; por ejemplo: divida 123456789 por 9 para obtener 13717421 y multiplique este resultado por 9 para que 123456789 vuelva a la misma posición inicial en el ábaco. O bien comience multiplicando 123456789 por 9 para obtener 1111111101 y luego divida este resultado por 9 para volver al punto de partida. Pruebe todos los dígitos del 2 al 9. Es un buen ejercicio de rutina.

Recursos externos

Hojas de ejercicios

• «The generator». Practicing the soroban.

Otras lecturas

• «Division». The Japanese Abacus: its Use and Theory. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. 1954. ISBN 978-0-8048-0278-9. https://archive.org/details/japaneseabacus00taka/page/64/mode/2up. 
• Heffelfinger, Totton (2004). «Division». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el June 29, 2021.
• Siqueira, Edvaldo (2004). «Decimals & Division». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el May 6, 2021.

Introducción a los Métodos Tradicionales

Ábaco moderno frente al tradicional

El ábaco oriental (chino simplificado: 算盘; chino tradicional: 算盤; pinyin: suànpán, japonés: そろばん soroban, simplemente "el ábaco" en este libro de texto) , como un ábaco de cuentas fijas que deslizan sobre varillas, se originó en China en una fecha incierta, pero hacia finales del siglo XVI su uso había desplazado por completo a las varillas de cálculo como instrumento matemático en su país de origen. Desde China su uso se extendió a otros países vecinos, especialmente Japón, Corea y Vietnam, permaneciendo como principal herramienta de cálculo hasta la era electrónica. La forma en que era utilizado, el “Método Tradicional”, se mantuvo estable durante al menos cuatro siglos hasta finales del siglo XIX, cuando se inició una evolución hacia lo que llamamos el “Método Moderno” que, haciendo uso del ábaco moderno, ya hemos estudiado en la sección anterior de este libro.

Ábaco moderno (tipo 4+1).

Ábacos tradicionales tipo 5+3 y 5+1.

El ábaco moderno es del tipo 4+1, es decir, tiene cuatro cuentas en la parte inferior y una en la parte superior.

Representación de números en el ábaco moderno
(4+1)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Esto es todo lo que se necesita para poder realizar aritmética decimal. Sin embargo, los ábacos tradicionales tenían cuentas adicionales, siendo el más frecuente el tipo 5+2 (aunque el tipo 5+1 también fue popular en Japón) y ocasionalmente el tipo 5+3.

Ábaco chino tradicional 5+2 ilustrando el uso de cuentas suspendidas

Con tres cuentas superiores podemos representar hasta 20 en una sola varilla, lo cual es conveniente, como veremos, para las técnicas tradicionales de división y multiplicación. Con dos cuentas superiores podemos lograr lo mismo usando la cuenta suspendida (懸珠, Xuán zhū en chino, kenshu en japonés), una forma de simular la tercera cuenta para las raras ocasiones en que ésta se necesita (ver en la figura la representación de los números de 15 a 20).

Representación de números en un ábaco tradicional (5+2)

	0	1	2	3	4	5	5	6	7	8	9	10

	10	11	12	13	14	15	15	16	17	18	19	20

Con una quinta cuenta inferior, tenemos dos formas diferentes de representar los números 5, 10 y 15. Esto significa que tenemos opciones entre las que podemos elegir la que más nos convenga. En el caso de la suma y la resta, la posibilidad de elegir entre dos representaciones para 5 y 10 nos permitirá simplificar un poco los cálculos.

Las técnicas tradicionales se pueden utilizar en cualquier tipo de ábaco, con la excepción obvia del uso de la quinta cuenta inferior en un ábaco que no la tiene (4+1), la diferencia entre tener o no cuentas superiores adicionales es más una cuestión de comodidad y fiabilidad que de eficiencia o capacidades.

Métodos modernos y tradicionales

El método tradicional se utilizó durante al menos cuatro siglos, cubriendo las dinastías Ming y Qing en China y el período Edo en Japón. A partir de la Restauración Meiji en Japón, los estudiantes del ábaco empezaron a cambiar en el sentido de que ya sabían cómo realizar cálculos con papel y lápiz antes de comenzar a estudiar el ábaco, mientras que los estudiantes de épocas anteriores no sabían nada sobre aritmética; para la mayoría, el ábaco era la única forma de matemáticas que iban a conocer. Esto provocó una lenta adaptación de la enseñanza y los métodos del ábaco a los nuevos tiempos y circunstancias, dando lugar, después de varias décadas, a lo que ahora llamamos el Método Moderno; de hecho, un método simplificado.

En el idioma inglés, las siguientes dos obras de Takashi Kojima se citan con frecuencia en referencia al método moderno:

• The Japanese Abacus: its Use and Theory
• Advanced Abacus: Theory and Practice

Es importante mencionarlos porque, aparte de su contenido, constituyen la primera difusión del uso del ábaco oriental hacia occidente. Todavía se pueden encontrar varias ediciones de estos libros, incluidos los formatos de libros electrónicos, y el primero se puede consultar en línea en archive.org.

Hoy en día, el método moderno puede parecer óptimo en muchos sentidos y podemos pensar que algunas "rarezas" del método tradicional, especialmente la forma de organizar la división en el ábaco, carecen de sentido práctico; pero si el método tradicional se mantuvo estable durante siglos, siendo usado por millones de personas (incluidas grandes figuras de las matemáticas como Seki Takakazu), sólo puede ser porque también fue considerado óptimo en su tiempo. Simplemente, el criterio de optimalidad de los antiguos difería del que podamos tener hoy.

Desafortunadamente, nadie en el pasado se molestó en describir "por qué" se hacían las cosas de tal modo, los autores clásicos solamente escribieron sobre "cómo" hacer las cosas, de modo que nosotros sólo podemos especular sobre las razones subyacentes a algunas de estas técnicas antiguas.

Principales diferencias entre los métodos tradicionales y modernos

Estos son los tres puntos más importantes que diferencian las técnicas tradicionales de las modernas:

• El uso de la quinta cuenta inferior en suma y resta para simplificar un poco ambas operaciones, lo cual se extiende a todo lo que se puede hacer con el ábaco ya que todo depende en última instancia de la suma y la resta.
• El uso de un método de división usando una tabla de división que elimina el esfuerzo mental requerido para determinar la cifra del cociente provisional. Este método ( kijohou , guīchúfǎ 帰除法) descrito por primera vez en la Iluminación Matemática ( Suànxué Qǐméng , 算學啟蒙) por Zhū Shìjié 朱士傑 (1299) para su uso con varillas de cálculo reemplazó al antiguo método de división basado en la tabla de multiplicar y cuyo origen se remonta al menos al siglo III, al libro The Mathematical Classic of Master Sun (Sūnzǐ Suànjīng 孫子算經). Este antiguo método, que es la base de los métodos cortos y largos de división escrita, ha reemplazado a su vez al método tradicional de división en los tiempos modernos. Es decir, ¡Los tiempos modernos nos han devuelto a lo antiguo!
• Los métodos tradicionales y modernos también difieren en la forma en que se organiza la operación de división en el ábaco. La disposición de división tradicional es algo más compacta que la moderna y también más problemática ya que requiere (o se beneficia) del uso de cuentas más altas adicionales. Esta disposición de la división a su vez condiciona la forma en que se organizan la multiplicación y las raíces.

El principio de mínimo esfuerzo

Como se mencionó anteriormente, ningún autor en el pasado ha escrito sobre por qué se hacían las cosas de aquella manera, solo sobre cómo hacer las cosas; así que solamente podemos elucubrar para tratar de entender por qué. Pero el lector verá a lo largo de este libro que las técnicas tradicionales suponen, en comparación con las modernas, una reducción del esfuerzo mental necesario para utilizar el ábaco. Esto es especialmente claro en el caso de la división que utiliza una tabla de división, pero también en el resto de técnicas que se describirán ya que efectivamente implican una reducción en el número y/o la extensión de "gestos" necesarios para completar una operación. Aquí llamamos gesto a:

• movimientos de dedos o cuentas
• desplazamientos de manos
• cambios de dirección
• salto de varillas (es decir, cambiar la posición de la mano de una varilla a otra barra no adyacente)

y cada uno de estos gestos:

• como proceso físico, tarda un tiempo en completarse,
• como lo controla nuestro cerebro, requiere nuestra atención, consumiendo energía (mental o bioquímica),
• como lo hacemos seres humanos (no máquinas), tiene la posibilidad de hacerse de manera incorrecta, introduciendo errores.

de manera que podemos esperar, al reducir el número y extensión de estos gestos, un cálculo algo más rápido, más relajado y fiable.

Teniendo en cuenta lo anterior, se tiene la tentación de pensar que al adoptar este principio de mínimo esfuerzo, las técnicas tradicionales evolucionaron en el sentido de facilitar la vida con el ábaco, lo que podría explicar su vigencia a lo largo de los siglos, pero esto no es más que un conjetura sin soporte documental.

Si pensamos en el método moderno, polarizado hacia la sencillez, la velocidad y la eficacia, podríamos decir que es el "método del velocista" mientras que el método tradicional es el "método del corredor de maratón".

El lector, después de seguir este libro, podrá sacar sus propias conclusiones al respecto.

Aprendiendo el ábaco en el pasado

Puede ser interesante saber que en el pasado la gente aprendía el ábaco sin tener conocimientos previos de matemáticas, en particular sin conocer nada como una tabla de sumar o restar; en su lugar, memorizaban una serie de reglas mnemotécnicas, versos o rimas, frases cortas en chino que indicaban qué cuentas tenían que moverse para realizar la suma o resta de un dígito a otro dígito; ya lo hemos mencionado al tratar de la suma y la resta con el ábaco moderno, y si el lector compra un ábaco tradicional chino (suanpan) es posible que reciba con el mismo un librillo en inglés:  The Fundamental Operations in Bead Arithmetic, How to Use the Chinese Abacus de Kwa Tak Ming, un manual escrito para promover el uso del ábaco en Filipinas que contiene una curiosa versión inglesa de las mencionadas rimas. Una vez que los estudiantes aprendían a sumar y restar con este tipo de reglas, comenzaban a memorizar las tablas de multiplicación y división, también en forma de versos o rimas. En total, aprender los conceptos básicos del ábaco requería memorizar alrededor de 150 reglas que debían recitarse o cantarse mientras se aplicaban.

En el presente libro, nosotros hemos reducido a tres el número de reglas a memorizar para el aprendizaje de las dos operaciones básicas de adición y sustracción, pero a costa de memorizar también parejas de números complementarios. Como estudiantes modernos del ábaco partimos con un conocimiento previo de aritmética y no tendremos que memorizar reglas o rimas para multiplicar; ya hemos memorizado la tabla de multiplicar que además nos ayudará a dividir, pero si deseamos aprender el método tradicional de división sí que tendremos que memorizar una cincuentena de reglas. Pero no se preocupe, se pueden aprender gradualmente y su esfuerzo se verá recompensado con una fascinante facilidad para dividir.

Tablas de procedimientos y algunos términos y notaciones

Como de costumbre, en este libro usaremos tablas para describir los procedimientos en el ábaco, por ejemplo:

Ejemplo de tabla de procedimiento

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
896 412	Esta vez el divisor va a la izquierda y el dividendo a la derecha.
896 512	Columna E: regla 4/8> 5 + 0, cambie 4 en E por 5, agregue 0 a F
896 512	no se puede restar E × B = 5 × 9 = 45 de FG,
-1	revisar hacia abajo E: restar 1 de E,
+8	sumar 8 a F
896 492
etc.	etc.

Donde, a la izquierda, se muestra la evolución dígito a dígito del estado del ábaco o la operación de suma o resta actual junto con comentarios a la derecha sobre lo que se está haciendo. Las columnas del ábaco están etiquetadas con letras en la parte superior (los espacios en blanco representan barras no utilizadas).

Esta representación, perfecta para el ábaco moderno, necesita un par de refinamientos para adaptarla al ábaco tradicional.

• Una columna de un ábaco tradicional puede contener un número mayor que 9 y no es posible escribir sus dos dígitos en nuestra tabla sin alterar su alineación vertical. Para evitar esto, usaremos notación de subrayado para valores entre 10 y 19 y el primer dígito (uno) estará representado por un subrayado en la columna anterior (consulte el capítulo sobre cómo tratar con el desbordamiento para una razón). Por ejemplo, la situación que se representa a continuación ocurre poco después de comenzar la división tradicional de 998001 por 999

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M
	9	18	9	0	0	1	0	0	0	0	9	9	9

and is represented in procedure table as

Notación de subrayado

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
988001    999	Valor en B es 18

• 

  Notación relativa al uso de la quinta cuenta inferior.

  Como se vio arriba, los números 5, 10 y 15 tienen dos representaciones posibles: usar o no la quinta cuenta inferior. Cuando sea pertinente distinguir entre los dos, usaremos los siguientes códigos:
  • F: para denotar un cinco inferior (cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de:
  • 5: cinco superiores (una cuenta superior activada).
  • T: diez en una varilla (una cuenta superior y cinco cuentas inferiores activadas). En el ábaco de tipo 5 + 2, también es un diez inferior en lugar de una t y un diez superior (dos cuentas superiores activadas).
  • Q: quince inferiores en una varilla (dos cuentas superiores y cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de q quince superior (cuenta superior suspendida en el 5 + 2 , tres cuentas superiores activadas en el 5 + 3).

Recursos externos

Entrenador Soroban

Soroban Trainer mostrando un ábaco tipo 5+2 usando la cuenta superior suspendida.

Si está interesado en las técnicas tradicionales pero aún no tiene un ábaco tradicional, puede utilizar la aplicación JavaScript

 Soroban Trainer 

• Puede ejecutarlo directamente desde GitHub en su navegador
• o puede descargarlo a su computadora desde su repositorio en GitHub.

Particularidades Tradicionales de la Adición y la Sustracción

Introducción

Con cualquier tipo de ábaco, la suma se simula reuniendo los conjuntos de contadores que representan los dos sumandos, mientras que la resta se simula eliminando del conjunto de contadores que representan el minuendo un conjunto de contadores que representan el sustraendo. La suma y la resta son las dos únicas operaciones posibles en cualquier tipo de ábaco. Todo lo demás tiene que descomponerse en una secuencia de suma y resta.

Apenas hay diferencia entre sumar y restar con un ábaco moderno o uno tradicional, si el lector ya sabe realizar estas dos operaciones con fluidez con un ábaco moderno, podrá hacer lo mismo con uno tradicional. Los únicos dos puntos adicionales a considerar son:

• el uso de la quinta cuenta inferior para simplificar las operaciones.
• la operación inversa: combinar las direcciones de trabajo hacia la derecha y hacia la izquierda para evitar desplazamientos de la mano.

de los cuales el primero es, con mucho, el más importante.

Quinta cuenta inferior

Páginas iniciales del Pánzhū Suànfǎ 盤珠算法 (1573)

La quinta cuenta inferior se puede utilizar en operaciones de suma y resta al igual que sus compañeras. Su uso se demuestra en algunos libros antiguos como: Métodos computacionales con las cuentas en una bandeja (Pánzhū Suànfǎ 盤珠算法) by Xú Xīnlǔ 徐心魯 (1573), pero con el tiempo dejó de aparecer en los manuales. Esto no debe sorprender demasiado, no se trata de una técnica esencial sino más bien de un truco para aligerar o hacer más cómodas las operaciones con el ábaco y su uso se puede demostrar directamente con el ábaco y transmitirse de forma oral más fácilmente que plasmándolo en un libro. No olvidemos que los antiguos libros chino-japoneses sobre el ábaco eran realmente concisos; practicamente recordatorios o formularios, ya que la enseñanza oral era considerada fundamental.

Operación inversa (de derecha a izquierda)

Algunos libros antiguos sobre el ábaco, por ejemplo, "Pista Matemática" (Shùxué Tōngguǐ 數學通軌) de Kē Shàngqiān (柯尚遷) (1578), enseñan la suma usando una dirección de operación alterna con la obvia intención de ahorrar movimientos de la mano. Si el lector ya ha estudiado el ábaco moderno, sabe por qué es preferible operar de izquierda a derecha y esto no es solo una cuestión exclusiva del ábaco; en el siglo XIX, el conocido astrónomo canadiense-estadounidense Simon Newcomb, una reconocida computadora humana, recomendaba sumar y restar de izquierda a derecha en cálculo escrito en la introducción de sus tablas de logaritmos si se quería llegar a ser eficiente en el cálculo manual.

Por tanto, la alternancia de operación debe considerarse como una cuestión secundaria. Si se menciona aquí es porque, a pesar de su limitada utilidad, es un ejercicio muy interesante que puede resultar bastante difícil al principio para quien ya está habituado a trabajar de izquierda a derecha, quizás un pequeño desafío que puede llevar al lector a interesantes reflexiones sobre el orden de movimiento de los dedos; en particular, sobre si los acarreos deben realizarse "antes" o "después".

En el capítulo dedicado a las variantes del ejercicio 123456789 se propone propone su práctica diaria como una forma de perfeccionar nuestra "comprensión de las cuentas".

Uso de la 5ª Cuenta Inferior

Introducción

Ábacos con cinco cuentas inferiores, Museo Ridai de Ciencia Moderna, Tokio (Japón)

El ábaco oriental como heredero de las varillas de cálculo

Es un misterio por qué los ábacos tradicionales chinos y japoneses tenían cinco cuentas en su parte inferior, ya que solo se requieren cuatro desde el punto de vista de la representación de números decimales. Como ningún documento antiguo existente parece explicarlo, este misterio probablemente dure para siempre y tendremos que conformarnos con nuestras propias conjeturas para tratar de comprender su origen. En esta línea, podríamos pensar que, cuando aparecieron por primera vez, los ábacos de cuentas fijas fueron concebidos a imagen y semejanza de las varillas de cálculo, de las que heredaron todos los algoritmos. Con las varillas de cálculo, el uso de cinco barras para representar el número cinco era obligatorio para evitar la ambigüedad entre uno y cinco, al menos inicialmente, cuando no se usaba una representación del cero ni un tablero cuadriculado al estilo japonés. Equipar el ábaco con cinco cuentas inferiores permite una manipulación paralela o similar de cuentas y varillas, aportando algún tipo de compatibilidad de "hardware" y "software" a los ábacos de cuentas fijas; de hecho, los primeros libros chinos sobre el ábaco también se ocupaban de las varillas de cálculo, por lo que ambos instrumentos eran aprendidos al mismo tiempo. También podríamos invocar un cierto deseo de compatibilidad entre el ábaco y el sistema de notación derivado de las varillas de cálculo que, de una forma u otra, ha estado en uso hasta los tiempos modernos. Si fuéramos a anotar nuestros resultados usando tal notación, estaríamos interesados en cambiar los cincos de nuestro ábaco para que estén representados por las cinco cuentas inferiores con el fin de evitar errores de transcripción catastróficos.

Las varillas de cálculo, el ábaco más versátil y poderoso de la historia, tenía un defecto: es extremadamente lento de manipular. Como se ha explicado en la sección anterior de este libro, no es una sorpresa que los antiguos matemáticos chinos inventaran la tabla de multiplicar para acelerar la multiplicación y que también descubrieran el uso de dicha tabla de multiplicar para acelerar la división. No ha de ser, por tanto, una sorpresa que también descubrieran que las operaciones de suma y resta se podían simplificar un poco al usar la quinta cuenta inferior del ábaco. Realmente tenían que ser muy sensibles a la lentitud.

A continuación, se presenta un pequeño conjunto de reglas para el uso de la quinta cuenta junto con su razón de ser y alcance de uso. Estas reglas no se establecen explícitamente en ninguna de las obras clásicas, pero se pueden inferir de las demostraciones de suma y resta presentes en ellas, especialmente en el: Métodos computacionales con las cuentas en una bandeja (Pánzhū Suànfǎ 盤珠算法) de Xú Xīnlǔ 徐心魯 (1573), por cierto, el libro más antiguo que se conoce enteramente dedicado al ábaco.

Algunos términos y notación

Notación relacionada con el uso de la quinta cuenta inferior

En lo que sigue usaremos los siguiente conceptos y forma de notación en referencia al uso (o no) de la quinta cuenta inferior (véase la figura acompañante a la derecha).

• F: para denotar un cinco inferior (cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de:
• 5: cinco superiores (una cuenta superior activada).
• T: diez en una varilla (una cuenta superior y cinco cuentas inferiores activadas). En el ábaco de tipo 5 + 2, también es un diez inferior en lugar de t un diez superior (dos cuentas superiores activadas).
• Q: quince inferior en una varilla (dos cuentas superiores y cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de q quince superior (cuenta superior suspendida en el 5+2, tres cuentas superiores activadas en el 5+3).
• acarreo: esto representa el número 1 cuando se debe agregar a una columna como un acarreo desde la derecha (adición).

Reglas para la adición

• a1: No utilice nunca la quinta cuenta, excepto en los dos casos siguientes:
  • a2: 4 + acarreo = F
  • a3: 9 + acarreo = T

Es decir, al sumar 1 a una varilla se actúa como de costumbre, por ejemplo:

A		A
	A + 1 =
4		5

y

A	B		A	B
		B + 1 =
0	9		1	0

pero al sumar 1 como resultado de un acarreo o llevada, se usa la quinta cuenta inferior en la forma:

A	B		A	B
		B + 5 =
4	6		F	1

y

A	B		A	B
		B + 5 =
9	6		T	1

Puede ver las reglas de adición anteriores mencionadas de una manera ligeramente diferente por Chen.

La lógica de estas reglas

El objetivo de la regla a1 es simplemente procurar dejar siempre una cuenta inferior sin usar a nuestra disposición para el caso de que la columna actual tenga que recibir posteriormente un acarreo desde la derecha, mientras que las reglas a2 y a3 dictan el uso de la quinta cuenta ante tal situación. Entonces, podemos esperar obtener:

• una reducción del número de movimientos de dedos porque evitamos tratar con las cuentas superiores e inferiores a la vez
• evitar algunos saltos de varillas y reducir el intervalo de desplazamiento izquierda-derecha de la mano
• cortar cualquier "acarreo múltiple" hacia la izquierda (piense en 99999 + 1 = 999T0 en lugar de 99999 + 1 = 100000)

La ventaja

Las ventajas anteriores se obtienen automáticamente mediante el uso de las reglas a2 y a3, pero la regla a1 es de naturaleza diferente. La regla a1 es una previsión para el futuro, simplificará las cosas si un acarreo futuro realmente cae en la columna actual (lo que ocurre aproximadamente el 50% de las veces en promedio), pero no simplificará nada en caso contrario. La regla a1 es una especie de apuesta (las reglas para la resta a continuación también son de la misma naturaleza).

El ámbito de uso

Las reglas a1, a2 y a3 son para columnas que pueden recibir un acarreo, lo que excluye la última columna a la derecha en la operación normal (es decir, operando de izquierda a derecha).

En la operación inversa (operando de derecha a izquierda), ninguna columna recibirá posteriormente un acarreo desde la derecha, por lo que la regla a1 no es aplicable, pero las reglas a2 y a3 siempre deberán usarse. (Esto se menciona porque una técnica antigua, ahora caída en el olvido, utilizaba la operación hacia la izquierda en alternancia con la operación normal en sumas y restas de varios números para evitar largos desplazamientos de la mano. No es de utilidad general, pero sí un ejercicio extremadamente interesante y recomendable para un usuario avanzado para mejorar su "comprensión de las cuentas").

Excepcionalmente, si sabe que alguna columna nunca recibirá un acarreo, también podemos olvidarlos de la regla a1. (Esto puede parece un comentario extraño aquí, pero debemos hacerlo para lo que seguirá).

Reglas para la sustracción

• s1 Utilice siempre cinco inferiores (F) en lugar de cinco superiores (5). Por ejemplo: 7-2 = F

A		A		A
	A - 2 =		no
7		F		5

• s2 Nunca deje una varilla despejada (0) si puede tomar prestado de la varilla inmediatamente a la izquierda (¡pero no de una más lejana!), deje T en su lugar, es decir, por ejemplo: 27-7 = 1T

A	B		A	B
		B - 7 =
2	7		1	T

en lugar de 27-7 = 20.

A	B		A	B
		B - 7 =
2	7		2	0

Observación

Estas dos reglas no se aplican a las varillas de las que está tomando prestado; es decir, 112-7 = 10F

A	B	C		A	B	C		A	B	C
			ABC - 7 =				no
1	1	2		1	0	F		0	T	F

y 62-7 = 5F (no FF).

A	B		A	B		A	B
		AB - 7 =			no
6	2		5	F		F	F

La lógica de estas reglas

Ambas reglas tienden a dejar cuentas inferiores activadas a nuestra disposición para el caso en que necesitemos tomar prestado de ellas en el futuro (es como tener dinero suelto en el bolsillo por si acaso), ahorrándonos algunos movimientos y/o desplazamientos de la mano más anchos o más complejos, como tomar prestado de columnas no adyacentes o saltar varillas.

La ventaja

No se obtiene automáticamente, sólo cuando necesitamos tomar prestado de la varilla actual. En esto es similar a la regla de adición a1.

El ámbito de uso

Una vez más, la columna de la derecha está fuera del alcance de estas reglas, ya que nunca tomaremos prestado de ella.

Además, en la operación hacia la izquierda o inversa, nunca tomaremos prestado de la columna actual, por lo que estas reglas no se aplican (lo que puede verse como una razón adicional para preferir la operación hacia la derecha en el uso normal).

Ejemplo de uso de las reglas

Diagramas del Panzhu Suanfa de Xu Xinlu (1573) para el ejercicio 123456879 (adición)

Diagramas del Panzhu Suanfa de Xu Xinlu (1573) para el ejercicio 123456879 (sustracción)

Era común en los libros antiguos sobre el ábaco demostrar la suma y la resta mediante el conocido ejercicio que consiste en sumar el número 123456789 nueve veces a un ábaco puesto a cero hasta llegar al número 1111111101, y luego borrarlo nuevamente restando el mismo número nueve veces. Este ejercicio parece tener el nombre chino: "Jiǔ pán qīng" 九 盤 清, que significa algo así como "limpiar las nueve bandejas".

Precisamente, las reglas de uso de la quinta cuenta inferior ofrecidas aquí se han inferido de la demostración de suma y resta que aparece en el Panzhu Suanfa de Xu Xinlu, por lo que nada mejor que emplear este ejercicio como prueba de dichas reglas. En particular, las reglas permiten reconstruir la serie de resultados intermedios que aparecen en el mencionado libro tras cada adición o sustracción del número 12345689. Para la suma:

      000000000, 123456789, 246913F78, 36T36T367, 4938271F6,
      617283945, 74073T734, 864197F23, 9876F4312,    ...    

en este punto, agregar 123456789 una vez más da como resultado 1111111101, pero este número aparece en el Panzhu Suanfa como:

      TTTTTTTT1

es decir, el ábaco presenta este aspecto:

	T	T	T	T	T	T	T	T	1

que no se puede obtener mediante el uso de las reglas anteriores únicamente. Una situación similar ocurre al repetir este ejercicio pero comenzando con 999999999 en lugar de un ábaco despejado (ver Tabla 2), llegando a 1TTTTTTTT0. Es por esto por lo que incluimos el último comentario sobre el alcance de las reglas de adición anteriores. Puede ser que, por inspección o intuición, nos demos cuenta de que usar la quinta cuenta aquí no genera ningún acarreo, por lo que podemos prescindir de la regla a1 y proceder a este resultado, ...un tanto teatral por lo demás.

A partir de aquí, por sustracción deberíamos obtener:

      TTTTTTTT1, 9876F4312, 864197523, 740740734, 61728394F,
      493827156, 36T370367, 246913578, 123456789, 000000000

Como se puede ver, pocas F y T aparecen en los resultados intermedios de esta parte del ejercicio, pero algunas más aparecen durante el cálculo (Tabla 1), siendo inmediatamente convertidas a 4 y 9 al tomar prestado, que es el propósito para el cual fueron introducidas. Las F y T que quedan en los resultados intermedios son sólo las no utilizadas.

Veamos a continuación el detalle del ejercicio. El lector debería estudiarlo detenidamente.

Suma

Panzhu Suanfa: Suma (ejercicio 123456789).

ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI  
---------       ---------       ---------       ---------       ---------  
000000000       123456789       246913F78       36T36T367       4938271F6  
100000000  A+1  223456789  A+1  346913F78  A+1  46T36T367  A+1  5938271F6  A+1
120000000  B+2  243456789  B+2  366913F78  B+2  48T36T367  B+2  6138271F6  B+2
123000000  C+3  246456789  C+3  369913F78  C+3  49336T367  C+3  6168271F6  C+3
123400000  D+4  246856789  D+4  36T313F78  D+4  49376T367  D+4  6172271F6  D+4
123450000  E+5  246906789  E+5  36T363F78  E+5  49381T367  E+5  6172771F6  E+5
123456000  F+6  246912789  F+6  36T369F78  F+6  493826367  F+6  6172831F6  F+6
123456700  G+7  246913489  G+7  36T36T278  G+7  493827067  G+7  6172838F6  G+7
123456780  H+8  246913F69  H+8  36T36T358  H+8  493827147  H+8  617283936  H+8
123456789  I+9  246913F78  I+9  36T36T367  I+9  4938271F6  I+9  617283945  I+9
                  
ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI      
---------       ---------       ---------       ---------      
617283945       74073T734       864197F23       9876F4312      
717283945  A+1  84073T734  A+1  964197F23  A+1  T876F4312  A+1    
737283945  B+2  86073T734  B+2  984197F23  B+2  TT76F4312  B+2    
740283945  C+3  86373T734  C+3  987197F23  C+3  TTT6F4312  C+3    
740683945  D+4  86413T734  D+4  987597F23  D+4  TTTTF4312  D+4    
740733945  E+5  86418T734  E+5  987647F23  E+5  TTTTT4312  E+5    
740739945  F+6  864196734  F+6  9876F3F23  F+6  TTTTTT312  F+6    
74073T645  G+7  864197434  G+7  9876F4223  G+7  TTTTTTT12  G+7    
74073T725  H+8  864197F14  H+8  9876F4303  H+8  TTTTTTT92  H+8    
74073T734  I+9  864197F23  I+9  9876F4312  I+9  TTTTTTTT1  I+9   

Resta

Panzhu Suanfa: Resta (ejercicio 123456789).

ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI  
---------       ---------       ---------       ---------       ---------  
TTTTTTTT1       9876F4312       864197523       740740734       61728394F  
9TTTTTTT1  A-1  8876F4312  A-1  764197523  A-1  640740734  A-1  F1728394F  A-1
98TTTTTT1  B-2  8676F4312  B-2  744197523  B-2  620740734  B-2  49728394F  B-2
987TTTTT1  C-3  8646F4312  C-3  741197523  C-3  617740734  C-3  49428394F  C-3
9876TTTT1  D-4  8642F4312  D-4  740797523  D-4  617340734  D-4  49388394F  D-4
9876FTTT1  E-5  8641T4312  E-5  740747523  E-5  617290734  E-5  49383394F  E-5
9876F4TT1  F-6  864198312  F-6  740741523  F-6  617284734  F-6  49382794F  F-6
9876F43T1  G-7  864197612  G-7  740740823  G-7  617283T34  G-7  49382724F  G-7
9876F4321  H-8  864197532  H-8  740740743  H-8  6172839F4  H-8  49382716F  H-8
9876F4312  I-9  864197523  I-9  740740734  I-9  61728394F  I-9  493827156  I-9
                  
ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI       ABCDEFGHI      
---------       ---------       ---------       ---------      
493827156       36T370367       246913578       123456789      
393827156  A-1  26T370367  A-1  146913578  A-1  023456789  A-1    
373827156  B-2  24T370367  B-2  126913578  B-2  003456789  B-2    
36T827156  C-3  247370367  C-3  123913578  C-3  000456789  C-3    
36T427156  D-4  246970367  D-4  123F13578  D-4  000056789  D-4    
36T377156  E-5  246920367  E-5  123463578  E-5  000006789  E-5    
36T371156  F-6  246914367  F-6  123457578  F-6  000000789  F-6    
36T370456  G-7  246913667  G-7  123456878  G-7  000000089  G-7    
36T370376  H-8  246913587  H-8  123456798  H-8  000000009  H-8    
36T370367  I-9  246913578  I-9  123456789  I-9  000000000  I-9    

Extensión del ejemplo

Una vez que comprenda y domine el presente ejercicio, puede extenderlo para ampliar su práctica de uso de la quinta cuenta sin mas que repetirlo sobre un fondo 111111111, 222222222,..., 999999999 en lugar de 000000000. Se ofrecen a continuación los resultados parciales.

    0          1           2           3           4
000000000  0111111111  0222222222  0333333333  0444444444
123456789  02345678T0  0345678T11  045678T122  05678T1233
246913F78  0357T24689  046913F7T0  057T246911  0691357T22
36T36T367  0481481478  0592592F89  06T36T36T0  0814814811
4938271F6  0604938267  0715T49378  082715T489  09392715T0
617283945  0728394TF6  08394T6167  09F0617278  1061738389
74073T734  08F18F1845  09629629F6  1074073T67  118F18F178
864197F23  097F308634  1086419745  1197F2T8F6  1308641967
9876F4312  109876F423  1209876F34  1320987645  14320987F6
TTTTTTTT1  1222222212  1333333323  1444444434  1555FFFF45
9876F4312  1098765423  1209876534  132098764F  1432098756
864197523  097F308634  108641974F  1197F30856  1308641967
740740734  08F18F184F  0962962956  0T74074067  118F18F178
61728394F  072839F056  0839F06167  09F0617278  0T61728389
493827156  05T4938267  0716049378  0827160489  093827159T
36T370367  0481481478  0592592589  06T370369T  0814814811
246913578  0357T24689  046913579T  0F7T246911  0691358022
123456789  023456789T  0345678T11  04F678T122  0F678T1233
000000000  0111111111  0222222222  0333333333  0444444444
        
    5          6           7           8           9
0555555555  0666666666  0777777777  0888888888  0999999999
0678T12344  078T1234F5  08T1234F66  0T1234F677  11234F6788
07T2469133  091357T244  0T246913F5  11357T2466  1246913F77
0925925922  1036T36T33  1148148144  12592592F5  136T36T366
1049382711  115T493822  12715T4933  1382715T44  14938271F5
11728394T0  128394T611  1394T61722  1F06172833  1617283944
1296296289  14073T73T0  1F18F18F11  1629629622  174073T733
14197F2T78  1530864189  164197F2T0  17F3086411  1864197F22
1543209867  1654320978  176F431T89  1876F431T0  19876F4311
16666666F6  1777777767  1888888878  1999999989  1TTTTTTTT0
1F43209867  16F4320978  176F432089  1876F4319T  19876F4311
14197F3078  1F30864189  164197529T  17F3086411  1864197522
1296296289  140740739T  1F18F18F11  1629629622  1740740733
117283949T  12839F0611  139F061722  14T6172833  1617283944
0T49382711  115T493822  1271604933  1382716044  149382715F
0925925922  0T36T37033  1148148144  125925925F  136T370366
07T2469133  0913580244  0T2469135F  11357T2466  1246913577
0678T12344  078T12345F  08T1234566  0T12345677  1123456788
0FFF55555F  0666666666  0777777777  0888888888  0999999999

Reglas adicionales

Por supuesto, las reglas para la suma también se pueden usar directamente en la multiplicación y las reglas para la resta en la división, raíces, etc. Ya lo sabe, todo lo que se puede hacer en el ábaco consiste en una sucesión de sumas y restas.

Adicionalmente, aunque la división tradicional se estudiará en capítulos posteriores, podemos dejar indicada aquí una regla adicional que le es específica y a la que podrá referirse tras estudiar la tabla de división; con ábacos 5+2 o 5+3:

• k1: Utilice siempre cinco, diez y quince inferiores (F, T, Q) cuando sume al resto durante la aplicación de las reglas de división.

Esto es así porque, aunque estemos sumando a una varilla, lo siguiente que haremos será empezar a restar de la misma (si el divisor tiene más de un dígito). Es una especie de extensión de la primera regla para la resta (s1). Por ejemplo, iniciando la división87÷98:

87÷98

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
87   98	Dividendo: AB, divisor: FG
8Q   98	A: Regla 8/9>8+8
-64
886  98	etc.

Justo después de la aplicación de la regla de división 8/9>8+8 deberíamos tener:

Regla: 8/9>8+8

	A	B	C	D	E	F	G
	8	Q	0	0	0	9	8

Por cierto, a veces puede encontrar algo contradictorio el uso de la segunda regla para la resta (s2) en la división tradicional. Por ejemplo, 1167/32 = 36.46875

1167/32 = 36.46875

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
32 1167	regla 1/3>3+1
32 3267	-3*2=-6 in F, use la regla s2
-6
32 31T7

Ahora bien, ¿qué regla de división debería usarse aquí? 1/3>3+1 o 2/3>6+2? De hecho, podemos usar cualquiera de ellas y revisarlas según sea necesario, pero es más rápido darse cuenta de que el resto es en realidad 3207, de modo que la segunda regla de división es la adecuada, así que simplemente cambie las columnas EF a 62 y continue...

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
32 3627
...

Finalmente, si está utilizando el método de multiplicación tradicional o similar en un 5+2, puede encontrarse con un desbordamiento en algunas columnas, por lo que la regla adicional:

• m1 [14] + acarreo = Q

debe tambien considerarse.

Acerca de la ventaja

Está claro que el uso de la quinta cuenta puede reducir el número de movimientos de cuentas o de los dedos requeridos en algunos cálculos (piense en 99999 + 1 = 999T0 frente a 99999 + 1 = 100000). Una estimación basada en el ejercicio 123456789 y algunos de sus derivados conduce a una reducción del 10% en promedio (contando los movimientos simultáneos de las cuentas superior e inferior por separado). Esta es una reducción modesta, pero la ventaja de la quinta cuenta va más allá de simplemente reducir el número de movimientos de los dedos, ya que también reduce el número y/o la extensión de otros gestos de la mano requeridos en los cálculos (desplazamientos, cambios de dirección, saltos de varillas, ...). Como ya se ha indicado en otra parte, cada gesto:

• como proceso físico, tarda un tiempo en completarse,
• como lo controla nuestro cerebro, requiere nuestra atención, consumiendo energía (mental o bioquímica),
• como lo hacemos seres humanos (no máquinas), tiene la posibilidad de hacerse de manera incorrecta, introduciendo errores.

Bajo esta óptica, podemos esperar entonces que el uso de la quinta cuenta resulte en un cálculo algo más rápido, más relajado y fiable al reducir el número total de gestos requeridos. No es fácil medir esta triple ventaja utilizando un solo parámetro.

Saltar columnas parece haber sido visto tradicionalmente como algo que debe evitarse como una posible fuente de errores. Sin este concepto, la regla de resta (s2) no se puede entender ya que no siempre conduce a una reducción en el número de movimientos de los dedos, pero siempre reduce el rango de movimiento de la mano y la necesidad de saltar barras.

En cualquier caso, la ventaja de usar la quinta cuenta, aunque no despreciable, es solo modesta, y cada uno debe decidir si vale la pena usarla o no. Después de acostumbrarse y dominar el uso de la quinta cuenta, no hay mejor prueba de su eficiencia que usar nuevamente un ábaco moderno 4+1, y ser sensible al trabajo adicional requerido para completar las mismas tareas con él.

Otras lecturas

• Heffelfinger, Totton (2011). «The 5 Earth Bead Advantage». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.

Recursos externos

Puede practicar online el uso de la quinta cuenta con Soroban Trainer (ver capítulo: [[../../Introducción#Recursos externos|Introducción]]) usando este fichero 123456789-5bead.sbk que tendrá que descargar a su ordenador y después subirlo a Soroban Trainer (Es un archivo de texto que puede inspeccionar con cualquier editor de texto y que puede descargar de forma segura a su computadora.).

Variantes del Ejercicio 123456789

	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Introducción

Como hemos visto en el capítulo anterior, el "ejercicio 123456789", que consiste en sumar ese número nueve veces a un ábaco a cero hasta llegar al número 1111111101 y luego restarlo nueve veces hasta que el ábaco se despeje nuevamente, se viene utilizando desde la antigüedad para ilustrar y practicar la suma y la resta. Es un ejercicio conveniente porque:

• es lo suficientemente largo como para que no sea un ejercicio trivial
• si no volvemos al valor inicial (cero) es señal de que nos hemos equivocado por el camino
• no necesitamos ni libro ni hoja de ejercicios
• utiliza muchos de los casos elementales de suma y resta de un dígito a otro dígito

pero también tiene un par de inconvenientes:

• no usa todos los pares de dígitos (por ejemplo, un 3 nunca se suma a un 5)
• después de repetirlo varias veces, se comienza a memorizar mecánicamente el ejercicio, de modo que ya no estamos practicando sumas y restas

Para evitar estos dos problemas podemos modificar el ejercicio de varias formas.

Usando un fondo

Ya se ha mencionado en el capítulo anterior. En lugar de usar un ábaco puesto a cero, llenamos 9 columnas del mismo con un dígito (111111111, 222222222, etc.) y procedemos a sumar y luego restar nueve veces el número 123456789. Con esto multiplicamos por 10 el número de ejercicios a nuestra disposición y podremos estar seguros de que ahora recorremos todos los casos posibles de suma y resta dígito por dígito a la vez que la memorización mecánica se hace más difícil.

La siguiente tabla contiene los valores intermedios del ejercicio como referencia. Estos valores se recorren de arriba hacia abajo durante la fase de adición y de abajo hacia arriba en la de sustracción.

Ejercicio 123456789 sobre un fondo
Resultados intermedios

+1..9	0	1	2	3	4	+1..9
0	000000000	111111111	222222222	333333333	444444444	0
1	123456789	234567900	345679011	456790122	567901233	1
2	246913578	358024689	469135800	580246911	691358022	2
3	370370367	481481478	592592589	703703700	814814811	3
4	493827156	604938267	716049378	827160489	938271600	4
5	617283945	728395056	839506167	950617278	1061728389	5
6	740740734	851851845	962962956	1074074067	1185185178	6
7	864197523	975308634	1086419745	1197530856	1308641967	7
8	987654312	1098765423	1209876534	1320987645	1432098756	8
9	1111111101	1222222212	1333333323	1444444434	1555555545	9

Ejercicio 123456789 sobre un fondo
Resultados intermedios (continuación)

+1..9	5	6	7	8	9	+1..9
0	555555555	666666666	777777777	888888888	999999999	0
1	679012344	790123455	901234566	1012345677	1123456788	1
2	802469133	913580244	1024691355	1135802466	1246913577	2
3	925925922	1037037033	1148148144	1259259255	1370370366	3
4	1049382711	1160493822	1271604933	1382716044	1493827155	4
5	1172839500	1283950611	1395061722	1506172833	1617283944	5
6	1296296289	1407407400	1518518511	1629629622	1740740733	6
7	1419753078	1530864189	1641975300	1753086411	1864197522	7
8	1543209867	1654320978	1765432089	1876543200	1987654311	8
9	1666666656	1777777767	1888888878	1999999989	2111111100	9

Ejercicio 987654321

En lugar de usar el número 123456789, podemos pensar en usar cualquier otra permutación de estos dígitos que podamos recordar fácilmente; por ejemplo, 987654321, la única que consideraremos aquí. Esto nos ofrece otros 10 ejercicios independientes para la práctica de suma y resta. La siguiente tabla nos muestra los valores intermedios de esta nueva serie de ejercicios utilizando un fondo.

En total, ya tenemos 20 ejercicios diferentes.

Ejercicio 987654321 sobre un fondo
Resultados intermedios

+9..1	0	1	2	3	4	+9..1
0	000000000	111111111	222222222	333333333	444444444	0
1	987654321	1098765432	1209876543	1320987654	1432098765	1
2	1975308642	2086419753	2197530864	2308641975	2419753086	2
3	2962962963	3074074074	3185185185	3296296296	3407407407	3
4	3950617284	4061728395	4172839506	4283950617	4395061728	4
5	4938271605	5049382716	5160493827	5271604938	5382716049	5
6	5925925926	6037037037	6148148148	6259259259	6370370370	6
7	6913580247	7024691358	7135802469	7246913580	7358024691	7
8	7901234568	8012345679	8123456790	8234567901	8345679012	8
9	8888888889	9000000000	9111111111	9222222222	9333333333	9

Ejercicio 987654321 sobre un fondo
Resultados intermedios (continuación)

+9..1	5	6	7	8	9	+9..1
0	555555555	666666666	777777777	888888888	999999999	0
1	1543209876	1654320987	1765432098	1876543209	1987654320	1
2	2530864197	2641975308	2753086419	2864197530	2975308641	2
3	3518518518	3629629629	3740740740	3851851851	3962962962	3
4	4506172839	4617283950	4728395061	4839506172	4950617283	4
5	5493827160	5604938271	5716049382	5827160493	5938271604	5
6	6481481481	6592592592	6703703703	6814814814	6925925925	6
7	7469135802	7580246913	7691358024	7802469135	7913580246	7
8	8456790123	8567901234	8679012345	8790123456	8901234567	8
9	9444444444	9555555555	9666666666	9777777777	9888888888	9

Empezando con la sustracción

Si empezamos restando los números 123456879 o 987654321 y completamos el ejercicio con su suma dispondremos de otros 20 ejercicios independientes, pero tarde o temprano nos aparecerán resultados intermedios negativos. Existe una forma de representar números negativos en el ábaco, frecuentemente referida como "el otro lado" del ábaco, que estudiaremos en la sección sobre técnicas avanzadas, pero de momento es preferible mantenerse dentro de los números positivos. Para lograrlo, necesitaremos introducir un uno dos columnas a la izquierda de donde vayamos a empezar el ejercicio; por ejemplo, usando un fondo de treses:

Write caption here!

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M
	0	0	1	0	3	3	3	3	3	3	3	3	3

con un 1 en la columna C. Es decir, usamos el número 10 000 000 000 o $10^{10}$ como punto de partida al que sumaremos el fondo que corresponda. De este modo tendremos de dónde tomar prestado durante la sustracción y trabajaremos con números positivos durante todo el ejercicio.

Las tablas siguientes contienen los resultados intermedios para los ejercicios 123456798 y 987654321. Nótese que las tablas no contienen a la columna C; de hecho, no es necesario introducir físicamente un 1 allí, simplemente podemos tomar prestado de dicha columna cuando lo necesitemos (sí, de la nada) y tarde o temprano, a lo largo del ejercicio, llevaremos un acarreo a dicha columna devolviendo lo que tomamos prestado aunque tampoco lo hagamos constar en el ábaco. Si procedemos así, sin poner físicamente el 1 en la columna C, nos estaremos aproximando al uso del "otro lado del ábaco" para los números negativos. Vuelva por aquí cuando haya leído el capítulo correspondiente.

Ejercicio 123456789 comenzando con sustracción
Resultados intermedios

-1..9	0	1	2	3	4	-1..9
0	000000000	111111111	222222222	333333333	444444444	0
1	9876543211	9987654322	98765433	209876544	320987655	1
2	9753086422	9864197533	9975308644	86419755	197530866	2
3	9629629633	9740740744	9851851855	9962962966	74074077	3
4	9506172844	9617283955	9728395066	9839506177	9950617288	4
5	9382716055	9493827166	9604938277	9716049388	9827160499	5
6	9259259266	9370370377	9481481488	9592592599	9703703710	6
7	9135802477	9246913588	9358024699	9469135810	9580246921	7
8	9012345688	9123456799	9234567910	9345679021	9456790132	8
9	8888888899	9000000010	9111111121	9222222232	9333333343	9

Ejercicio 123456789 comenzando con sustracción
Resultados intermedios (continuación)

-1..9	5	6	7	8	9	-1..9
0	555555555	666666666	777777777	888888888	999999999	0
1	432098766	543209877	654320988	765432099	876543210	1
2	308641977	419753088	530864199	641975310	753086421	2
3	185185188	296296299	407407410	518518521	629629632	3
4	61728399	172839510	283950621	395061732	506172843	4
5	9938271610	49382721	160493832	271604943	382716054	5
6	9814814821	9925925932	37037043	148148154	259259265	6
7	9691358032	9802469143	9913580254	24691365	135802476	7
8	9567901243	9679012354	9790123465	9901234576	12345687	8
9	9444444454	9555555565	9666666676	9777777787	9888888898	9

Ejercicio 987654321 comenzando con sustracción
Resultados intermedios

-9..1	0	1	2	3	4	-9..1
0	000000000	111111111	222222222	333333333	444444444	0
1	9012345679	9123456790	9234567901	9345679012	9456790123	1
2	8024691358	8135802469	8246913580	8358024691	8469135802	2
3	7037037037	7148148148	7259259259	7370370370	7481481481	3
4	6049382716	6160493827	6271604938	6382716049	6493827160	4
5	5061728395	5172839506	5283950617	5395061728	5506172839	5
6	4074074074	4185185185	4296296296	4407407407	4518518518	6
7	3086419753	3197530864	3308641975	3419753086	3530864197	7
8	2098765432	2209876543	2320987654	2432098765	2543209876	8
9	1111111111	1222222222	1333333333	1444444444	1555555555	9

Ejercicio 987654321 comenzando con sustracción
Resultados intermedios (continuación)

-9..1	5	6	7	8	9	-9..1
0	555555555	666666666	777777777	888888888	999999999	0
1	9567901234	9679012345	9790123456	9901234567	12345678	1
2	8580246913	8691358024	8802469135	8913580246	9024691357	2
3	7592592592	7703703703	7814814814	7925925925	8037037036	3
4	6604938271	6716049382	6827160493	6938271604	7049382715	4
5	5617283950	5728395061	5839506172	5950617283	6061728394	5
6	4629629629	4740740740	4851851851	4962962962	5074074073	6
7	3641975308	3753086419	3864197530	3975308641	4086419752	7
8	2654320987	2765432098	2876543209	2987654320	3098765431	8
9	1666666666	1777777777	1888888888	1999999999	2111111110	9

Usando la quinta cuenta inferior

Esta es la propuesta más interesante en el contexto de los métodos tradicionales. Los cuarenta ejercicios anteriores se pueden realizar utilizando la quinta cuenta inferior como se explica en detalle en el capítulo anterior; esto le permitirá dominar esta técnica tradicional. Consulte el capítulo anterior sobre la 5ª cuenta para los resultados intermedios del ejercicio 123456789.

¡Con esto, sumamos un total de 80 ejercicios!

Usando dirección de operación alterna

Y finalmente, ¿por qué no? Aunque solamente sea por el placer de superar una dificultad diferente, podemos combinar los ejercicios anteriores con una dirección de operación alterna, de izquierda a derecha y de derecha a izquierda, como se explica en el capítulo introductorio de Particularidades Tradicionales de la Adición y la Sustracción.

Ejemplo de operación alternada

Abacus	Comment
ABCDEFGHIJ
	Ábaco puesto a cero
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9
123456789	Primer paso completado
+9
+8
+7
+6
+5
+4
+3
+2
+1
246913578	Segundo paso completado
etc.

Con esto, podría dar un paso más en su comprensión de la mecánica de las cuentas.

Conclusión

Con los 160 ejercicios aquí presentados, ya no tiene excusa, puede practicar sumas y restas durante horas en cualquier momento, sin hojas de ejercicios, quizás mientras está cómodamente sentado en su sofá, con su ábaco apoyado en las rodillas y mientras ve la televisión...

¡Esta es una puerta a la maestría!

Sinopsis de la División Tradicional

Introducción

División según Sunzi de 309 por 7 usando varillas de cálculo

De las cuatro operaciones aritméticas fundamentales, la división es probablemente la más difícil de aprender y realizar. Al ser básicamente una secuencia de restas, existe una gran cantidad de algoritmos o métodos para realizarla y muchos de estos métodos se han utilizado con el ábaco.. De estos, dos destacan por su eficiencia y deben considerarse los principales:

• El método de división moderno (MD), shojohou en japonés, shāng chúfǎ en chino (商除法); el más antiguo de los dos, su origen se remonta al menos a los siglos III al V d.C., como se cita en el libro: El Clásico Matemático del Maestro Sun (Sūnzǐ Suànjīng 孫子算經). Si lo llamamos moderno es porque es el que se enseña habitualmente en la actualidad al ser el más parecido a la división con papel y lápiz. Este método de división se basa en el uso de la tabla de multiplicar. Durante el período Edo fue introducido en Japón por Momokawa Jihei., pero no ganó popularidad hasta el siglo XX con el desarrollo de lo que hemos venido llamando Método Moderno.
• El método de división tradicional (TD), kijohou (帰除法) en japonés, guī chú (帰除) en chino , descrito por primera vez en la Ilustración matemática (Suànxué Qǐméng, 算學啟蒙) de Zhū Shìjié 朱士傑 (1299). Su principal peculiaridad es que utiliza una tabla de división además de la tabla de multiplicar, lo que ahorra el esfuerzo mental de determinar qué cifra provisional del cociente tenemos que probar. Además, podemos crear tablas de división especiales para divisores de varios dígitos; lo que nos ahorrará el uso de la tabla de multiplicar.

Ambos métodos se utilizaron por primera vez en China con varillas de cálculo.

En los capítulos siguientes nos ocupamos del método tradicional de división, asumiendo que el lector ya tiene experiencia con el método moderno de división.

Capítulos

División moderna y tradicional; parientes cercanos

En este capítulo tratamos de mostrar cómo los métodos modernos y tradicionales, aparentemente tan diferentes, están realmente estrechamente relacionados, a la vez que tratamos de justificar por qué se inventó este método.

Guía a la división tradicional

Aquí veremos cómo utilizar el método tradicional.

Aprendiendo la tabla de división

Contiene algunas indicaciones que pueden facilitarle la memorización de la tabla de división.

Tratando con el desbordamiento

Cómo hacer frente a la disposición tradicional de la división (TDA) utilizando diferentes tipos de ábaco, especialmente el moderno 4+1 y el tradicional japonés 5+1.

Ejemplos de división tradicional

Un conjunto básico de ejemplos para ilustrar todo lo anterior.

Tablas de división generalizadas

Tablas de división para divisores de varios dígitos, lo que permite dividir por ellos sin recurrir a la tabla de multiplicar.

División por potencias de dos

Otro método de división tradicional diferente de 帰除法 basado en fracciones; una forma de división in situ.

Division Moderna y Tradicional; Parientes Próximos

División Moderna (商除法)

Es conveniente que el lector tenga fresco en la memoria el capítulo sobre la división moderna de la sección: Métodos del Ábaco Moderno; en particular lo que allí llamamos:

El punto clave

Uno de los puntos clave del aprendizaje del ábaco es ser conscientes de que este instrumento nos permite corregir algunas cosas de forma muy rápida y sin dejar rastros, lo que convierte al ábaco en un instrumento especialmente indicado para procedimientos de prueba y error. Esto nos es especialmente útil en el caso de la división. Si tenemos que dividir $634263\div 79283$, en lugar de forzar nuestra mente tratando de encontrar la cifra correcta del cociente, simplemente elegimos una cifra aproximada provisional o interina simplificando el problema original a $63\div 7$ y la probamos intentando restar el trozo (cociente provisional)✕79283 del dividendo; al hacerlo, ocurrirá una de las siguientes situaciones:

• El dígito del cociente provisional es correcto
• Es excesivo y debemos revisarlo a la baja
• Es insuficiente y debemos revisarlo al alza

ya que es este punto clave lo que nos señala la tremenda similitud entre las dos aproximaciones, tradicional y moderna, a la división; así como la pequeña diferencia que nos conducirá a un algoritmo completamente diferente. Recordemos también uno de los ejemplos vistos en dicho capítulo:

División Moderna: 1225÷35 = 35

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
35    1225	12÷3↦4 como cociente provisional
+4	situar cociente prov. en F
35   41225	Tratar de restar 4✕35 de GHI,
-12	primero 4✕3 de GH
35   40025	ahora 4✕5 de HI
-20	¡No se puede!
-1	Revisar a la baja la cifra del cociente
35   30025
+3	Devolver lo sustraído en exceso de GH
35   30325
-15	continuar normalmente: restar 3✕5 de HI
35   3 175	17÷3↦5 como cociente provisional
+5	situar cociente prov. en G
35   35175	Tratar de restar 5✕35 de HIJ
-15	primero 5✕3 de HI
35   35025
-25	ahora 5✕5 de IJ
35   35	Resto nulo, fin! 1225÷35 = 35

División tradicional (帰除法)

En lugar de intentar resolver directamente el problema original 1225÷35 o la aproximación utilizada en MD 12÷3, simplificamos aún más y tratamos de resolver 10÷3; es decir, utilizamos un enfoque más crudo del problema original al ignorar el segundo dígito del dividendo, por lo que debemos prepararnos para revisar el cociente intermedio con más frecuencia. Con este cambio de enfoque de 12÷3 a 10÷3 estamos adoptando la filosofía de TD; la cual es sólo una ligera variación de la técnica de división por trozos utilizada en MD. Es por esta razón por lo que podemos considerar ambas técnicas de división como parientes cercanos, miembros de la familia de algoritmos de división por trozos.

Por supuesto, si el lector ya ha desarrollado cierta habilidad dividiendo por el método moderno, no hallará ninguna dificultad en aplicar esta nueva aproximación. Así, el ejemplo anterior discurriría de la forma:

1225÷35 con la nueva filosofía

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
35    1225	10÷3↦3 por la tabla de multiplicar
+3	cociente provisional en F
35   31225	sustraer 3✕35 from GHI,
-09	primero 3✕3 from GH
35   3 325
-15	luego 3✕5 from HI
35    3175	ok.
35   3 175	10÷3↦3 por la tabla de multiplicar
+3	cociente provisional en G
35   33175	sustraer 3✕35 from HIJ,
-09	primero 3✕3 de HI
35   33 85
-15	ahora 3✕5 de IJ
35   33 70	resto mayor que el divisor (35)
+1-35	revisamos al alza
35   34 35	resto igual que el divisor (35)
+1-35	revisamos al alza otra vez
35   35	resto nulo, hecho! 1225÷35 = 35

Fíjese en que

• MD y TD (tal y como se ha explicado hasta ahora) se pueden entremezclar libremente durante el mismo problema de división. Este es un ejercicio interesante y recomendable que permite comparar ambas estrategias una junto a la otra.
• TD utiliza una aproximación más simple y por defecto del problema original que MD, por lo que podemos prever algunos pros y contras
  • Pros
    • Algunos pueden encontrar este enfoque más simple
    • Será necesario revisar a la baja con menos frecuencia (revisar hacia a la baja suele ser más difícil y propenso a errores que revisar al alza)
  • Contras
    • Necesitamos revisar el cociente provisional con más frecuencia, ya que la aproximación seguida es mas rudimentaria, lo cual es un problema de eficiencia.

Los dos pros anteriores probablemente jugaron un papel en el desarrollo de la técnica sofisticada que conocemos como división tradicional, pero entender por qué fue el método preferido durante siglos, a pesar del contra anterior, requiere reflexionar sobre el origen del esfuerzo mental realizado durante la división y descubrir la belleza oculta de TD.

La fuente del esfuerzo mental

Cuando aprendemos la tabla de multiplicar, memorizamos una secuencia de frases como:

“nueve por nueve, ochenta y uno”

“nueve por ocho, setenta y dos”

...

El orden en el que se aprenden estas frases puede variar, pero la estructura de las frases es similar en muchos idiomas, al menos en español e inglés al igual que en chino y japonés. Consiste en una etiqueta que contiene los dos factores a multiplicar seguidos del producto. Tan pronto como pensamos en la etiqueta, ésta, actuando como una invocación, trae a nuestra conciencia el valor del producto. Representémoslo de la siguiente manera (lea ➡ como la invocación):

Lengua	Etiqueta		Producto
Español	nueve por nueve	➡	ochenta y uno
Inglés	nine times nine	➡	eighty-one
Chino	九九	➡	八十一
Japonés	くく	➡	はちじゅういち
Symbólico	9✕9	➡	81

¿Cómo usamos esta tabla de multiplicar durante la división? Pensemos en nuestro ejemplo anterior usando shojohou o el método de división moderno: 17÷3↦5, de la tabla de multiplicación por tres necesitamos el producto más grande que se puede restar de 17. Necesitamos escanear en nuestra memoria (representado por ⤷) al menos parte de dicha tabla y por cada producto rescatado, ver si es menor de 17 y elegir el máximo de los productos menores que 17. Un proceso complicado que se puede representar como:

	3✕1	➡	3
	3✕2	➡	6
⤷	3✕3	➡	9	sí
⤷	3✕4	➡	12	sí
⤷	3✕5	➡	15	sí	¡seleccionamos este!
⤷	3✕6	➡	18	no
	3✕7	➡	21
	3✕8	➡	24
	3✕9	➡	27

Este proceso consume tiempo y energía. Los especialistas en informática pueden encontrar una similitud entre este proceso y la búsqueda en una tabla de una base de datos relacional por datos en una columna no indexada; la ineficacia de tal búsqueda es bien conocida. La creación de un nuevo índice para esa tabla en función de la columna y los criterios de búsqueda puede mejorar drásticamente las cosas. ¿Podemos hacer algo similar en nuestro caso para que la división sea más cómoda?

Indexando la tabla de multiplicar; la tabla de dividir

Para hacer algo similar a indexar la tabla de multiplicar en términos de los productos para facilitar la búsqueda, debemos memorizar frases nuevas que contengan esos productos como etiquetas; es decir, frases que comiencen con ellos; por ejemplo:

Etiqueta	Cociente
3/3	1
6/3	2
9/3	3
12/3	4
15/3	5
18/3	6
21/3	7
24/3	8
27/3	9

Es decir, tenemos que memorizar una tabla de división, lo cual es un trabajo duro. Piense también que la tabla anterior no es óptima en el sentido de que faltan muchos de los números entre 1 y 29; quizás deberíamos memorizar una tabla del siguiente estilo en su lugar:

Etiqueta	Cociente	Resto
1/3	0	1
2/3	0	2
3/3	1	0
4/3	1	1
5/3	1	2
…	…	…
27/3	9	0
28/3	9	1
29/3	9	2

donde la tercera columna contiene los restos de la división euclídea. Probablemente esté de acuerdo en que memorizar una tabla de este tipo está fuera del alcance de la mayoría de las personas (¡piense en la tabla para 9!).

La belleza oculta de la división tradicional

Si dedicásemos toda una vida a dividir con el ábaco usando el método moderno terminaríamos enfrentándonos con todas las divisiones elementales posibles del tipo ab÷c, donde a, b y c son dígitos y ab<c0, aproximadamente unas 360 en total. Sin embargo, si usásemos la división tradicional tal y como se ha explicado aquí hasta ahora, nos enfrentaríamos con todas las divisiones elementales del tipo a0÷c, es decir 10✕a÷c con a0<c0, ¡sólo 36 en total! Esto hace viable la memorización de una tabla de división. De hecho, para dividir por 3 basta con memorizar:

Etiqueta	Cociente	Resto
10/3	3	1
20/3	6	2

o, en una forma simbólica más compacta

Regla
1/3 > 3+1
2/3 > 6+2

que podemos usar directamente para resolver nuestro ejemplo sin pensar, simplemente eligiendo la cifra sugerida por la regla como cociente intermedio:

1225÷35 = 35 usando reglas de división

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
35    1225	Regla: 1/3 > 3+1
+3	cociente interino 3 en F
35   31225	sustraer 3✕35 de GHI,
-09	primero 3✕3 de GH
35   3 325
-15	después 3✕5 de HI
35   3 175	ok.
35   3 175	Regla: 1/3 > 3+1
+3	cociente interino 3 en G
35   33175	sustraer 3✕35 from HIJ,
-09	primero 3✕3 de HI
35   33 85
-15	ahora 3✕5 de IJ
35   33 70	resto mayor que el divisor (35)
+1-35	revisando al alza
35   34 35	resto igual al divisor (35)
+1-35	revisando al alza otra vez
35   35	Resto nulo, ¡hecho! 1225÷35 = 35

pero aún no hemos hecho uso del resto que aparece en las reglas después del signo más, por lo que todavía no estamos usando la mecánica completa de la división tradicional; ese y otros temas se cubrirán en el próximo capítulo.

La tabla de división

Concluyamos el presente capítulo ofreciendo una primera visión de la tabla de división completa utilizada en TD. Todos los elementos se obtienen de los términos a0÷c por división euclídea.

Tabla de División

1/9>1+1	2/9>2+2	3/9>3+3	4/9>4+4	5/9>5+5	6/9>6+6	7/9>7+7	8/9>8+8	9/9>9+9
1/8>1+2	2/8>2+4	3/8>3+6	4/8>5+0	5/8>6+2	6/8>7+4	7/8>8+6	8/8>9+8
1/7>1+3	2/7>2+6	3/7>4+2	4/7>5+5	5/7>7+1	6/7>8+4	7/7>9+7
1/6>1+4	2/6>3+2	3/6>5+0	4/6>6+4	5/6>8+2	6/6>9+6
1/5>2+0	2/5>4+0	3/5>6+0	4/5>8+0	5/5>9+5
1/4>2+2	2/4>5+0	3/4>7+2	4/4>9+4
1/3>3+1	2/3>6+2	3/3>9+3
1/2>5+0	2/2>9+2
1/1>9+1

El lector probablemente se sentirá sorprendido al contemplar los elementos de la diagonal señalados en gris tales como 9/9>9+9, 8/8>9+8, etc. La división euclídea de 90 por 9 da un cociente de 10 y un resto de cero, ¿Por qué se indica aquí un cociente de 9 y un resto de 9? Como veremos, tales reglas son especiales en cierto sentido.

Otras lecturas

• «The Definitive Higher Math Guide on Integer Long Division (and Its Variants)». Math Vault. Archivado desde el original, el May 14, 2021.
• Knott, Cargill G. (1886). «The Abacus, in its Historic and Scientific Aspects». Transactions of the Asiatic Society of Japan 14:  pp. 18-73. https://archive.org/details/in.gov.ignca.26020/page/17/mode/2up.  deals with traditional division
• Totton Heffelfinger (2013). «Suan Pan and the Unit Rod - Division». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
• Totton Heffelfinger (2013). «Short Division Techniques - Chinese Suan Pan». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
• Totton Heffelfinger (2013). «Long Division Techniques - Chinese Suan Pan». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
• Totton Heffelfinger (2013). «Chinese Division Rules on a Soroban». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.

Guía a la División Tradicional

Introducción

El método de división tradicional (TD), kijohou , guī chúfǎ (帰除法), es uno de los dos métodos principales de división utilizados con el ábaco. Este método utiliza tanto la tabla de multiplicar como una tabla de división específica y ha sido el método estándar estudiado con el ábaco durante al menos 4 siglos, perdiendo popularidad en la década de 1930 por las razones que ya han sido comentadas. Como algoritmo de división dígito a dígito lo hemos presentado en el capítulo anterior comparándolo al método de división moderno; haciendo hincapié en su especial característica: no requiere pensar en qué dígito provisional probar, sino sólo seguir las reglas. En el presente capítulo veremos cómo llevarlo efectivamente a la práctica con el ábaco.

La tabla de división

En el capítulo anterior se ha introducido la siguiente tabla de división o tabla de dividir (八算, Hassan en japonés, Bāsuàn en chino):

Tabla de División

1/9>1+1	2/9>2+2	3/9>3+3	4/9>4+4	5/9>5+5	6/9>6+6	7/9>7+7	8/9>8+8	9/9>9+9
1/8>1+2	2/8>2+4	3/8>3+6	4/8>5+0	5/8>6+2	6/8>7+4	7/8>8+6	8/8>9+8
1/7>1+3	2/7>2+6	3/7>4+2	4/7>5+5	5/7>7+1	6/7>8+4	7/7>9+7
1/6>1+4	2/6>3+2	3/6>5+0	4/6>6+4	5/6>8+2	6/6>9+6
1/5>2+0	2/5>4+0	3/5>6+0	4/5>8+0	5/5>9+5
1/4>2+2	2/4>5+0	3/4>7+2	4/4>9+4
1/3>3+1	2/3>6+2	3/3>9+3
1/2>5+0	2/2>9+2
1/1>9+1

donde cada celda es el resultado de la división euclídea:

$$(10\times a)/b=q,r$$

($q$: cociente, $r$: resto, $a,b$ dígitos de 1 a 9) expresado en la forma $a/b>q+r$ por razones que veremos a continuación. Esto significa que se cumple lo siguiente:

$$10a=q\cdot b+r$$

Aunque ya hemos señalado al final del capítulo anterior que las reglas diagonales (en gris) son especiales; son un tanto excepcionales en el sentido de que que el resto de la división euclídea siempre es menor que el divisor, lo cual no es el caso aquí, por lo que estas reglas no son el resultado de una división euclídea en sentido estricto aunque satisfagan la ecuación anterior. En breve podremos explicar su especial naturaleza.

La tabla tiene tres zonas que corresponden a lo siguiente: Si el divisor tiene $n$ cifras y lo comparamos con los $n$ primeros dígitos del dividendo contados desde la izquierda (añadiendo ceros finales si fuera necesario), pueden ocurrir tres casos:

1. que el dividendo sea mayor o igual que el divisor (ej. $770/689$)
2. que el dividendo sea menor que el divisor y el primer dígito del divisor sea igual al primer dígito del dividendo (por ejemplo, $670/689$)
3. que el dividendo sea menor que el divisor y el primer dígito del divisor sea mayor que el primer dígito del dividendo (por ejemplo, $570/689$)

Las tres zonas de la tabla se corresponden con estos tres casos:

• Las celdas en blanco bajo la diagonal de la tabla de división corresponden al caso 1. Podrían rellenarse al estilo de las tablas que se pueden ver en otros lugares, pero las dejamos vacías aquí por simplicidad. Si durante la división caemos en esta zona, procederemos, al menos por ahora, simplemente revisando al alza el dígito anterior del cociente tal y como veremos en los ejemplos que seguirán.
• Los elementos diagonales (en gris) corresponden al caso 2, lo cual sólo puede ocurrir si el divisor tiene al menos dos dígitos.
• Finalmente, los demás elementos no diagonales corresponden al caso 3, que puede considerarse el más importante de estudiar.

Ahora sí, ya podemos explicar lo que las reglas diagonales tienen de especial. Si pensamos en el ejemplo dado arriba: $670/689$, si tratamos de aplicar la filosofía de la división tradicional, tal y como se introdujo en el capítulo anterior, deberíamos simplificar el problema a $60/6$, lo que nos conduce a un cociente de 10 y un resto nulo; pero dicho cociente de 10 es excesivo de entrada ya que $10\times 689=6890>6700$ y no podríamos restarlo del dividendo. Estamos forzados, por tanto, a revisar a la baja el divisor y considerar 9, en lugar de 10, como cociente provisional y aceptar 6 como resto de la división $60/6$. Podemos entender por tanto las reglas diagonales como el resultado de una división euclídea, en sentido estricto, inmediatamente seguida de una revisión a la baja.

No hay duda de que memorizar la tabla de división requiere una inversión de tiempo y esfuerzo. Por ello, al lector le interesaría probar el método para saber si le interesa o no antes de realizar dicha inversión. Afortunadamente, las reglas de división por nueve, cinco y dos tienen una estructura muy simple que permiten memorizarlas casi instantáneamente (ver más abajo); también los elementos diagonales para divisores de varios dígitos se pueden retener inmediatamente. Esto significa que podemos aprender esta técnica tradicional sin mucho esfuerzo utilizando divisores que comienzan con 9, 5 o 2 y así poder decidir si vale la pena dedicar tiempo a aprender toda la tabla o no. En lo que sigue usaremos ejemplos basados en tales divisores.

Reglas fáciles de memorizar

Diagonal	División por 9	División por 5	División por 2
1/1>9+1	1/9>1+1	1/5>2+0	1/2>5+0
2/2>9+2	2/9>2+2	2/5>4+0
3/3>9+3	3/9>3+3	3/5>6+0
4/4>9+4	4/9>4+4	4/5>8+0
5/5>9+5	5/9>5+5
6/6>9+6	6/9>6+6
7/7>9+7	7/9>7+7
8/8>9+8	8/9>8+8
9/9>9+9

¿Por qué las reglas de división incluyen restos?

Supongamos que vamos a dividir 35 entre 9, la regla 3/9>3+3 nos dice que debemos usar 3 como cociente intermedio y el siguiente paso será restar el producto 3✕9 = 27 de 35, dejando un resto de 8. Si también memorizamos los restos, podemos ahorrarnos este paso de multiplicación de la siguiente manera: quitamos, limpiamos o borramos el primer dígito del dividendo, en este caso 3, luego sumamos el resto (3) a la siguiente cifra (5) del dividendo. De esta forma obtenemos el mismo resultado pero sin utilizar la tabla de multiplicar. Con divisores de un dígito nunca tendremos que recurrir a la tabla de multiplicar, y en el caso de divisores con varias cifras, procediendo de la misma forma, nos ahorraremos una de las multiplicaciones necesarias. Lo veremos en el ábaco a continuación, pero primero necesitamos añadir algo sobre cómo vamos a organizar la división en el ábaco.

Disposición moderna de la división (MDA)

Se supone que el lector ya ha estudiado el método moderno del ábaco y la división moderna tal como se ha explicado en la sección precedente de este libro y que se corresponde con el método divulgado en lengua inglesa por Takashi Kojima.. En particular, ya conoce cómo organizar la división sobre un ábaco 4+1, por lo que en los ejemplos siguientes ilustraremos la división tradicional usando la misma disposición con la que ya está familiarizado para que pueda seguirla más fácilmente y usar su ábaco de tipo 4+1 habitual si lo desea. Llamaremos a esta organización Disposición moderna de la división (o MDA, por sus siglas en inglés), pero esta disposición no es la forma en que la división se organizaba tradicionalmente en el ábaco. Más adelante, presentaremos la Disposición tradicional de la división (TDA) que, como veremos, tiene algunas ventajas y algunos inconvenientes, incluyendo la necesidad (o al menos la conveniencia) de utilizar un ábaco especializado con cuentas superiores adicionales.

Mientras use MDA puede usar las mismas reglas que ya conoce sobre la posición de la varilla unitaria si las necesita.

Veamos ahora el caso de la división 35÷9 del párrafo anterior, primero sin usar los restos (de la regla):

35÷9 sin usar los restos (de la regla)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGH
9     35	Divisor en A, dividendo en GH, regla: 3/9>3+3
+3	cociente provisional 3 en E
9    335
-27	restar 3✕9=27 de GH
9    3 8	nuevo resto/dividendo en H
...	...

Y ahora usando los restos:

35÷9 usando los restos (de la regla)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGH
9     35	Divisor en A, dividendo en GH, regla: 3/9>3+3
+3	cociente provisional 3 en E
9    335
-3	borrar primer dígito del dividendo en G
9    3 5
9     +3	sumar el resto 3 de la regla a H
9    3 8	nuevo resto/dividendo en H
...	...

es decir

Cuando se usa MDA, la regla a/b>q+r se debe leer: "introducir q como dígito provisional del cociente a la izquierda de a, borrar a y sumar r a la cifra de la derecha”

Divisores de un dígito

El número 123456789 se ha utilizado tradicionalmente para demostrar el uso de las tablas de multiplicar y dividir en libros antiguos chinos y japoneses. Aquí lo usaremos con los "divisores fáciles" 9, 5 y 2.

Ejemplo: 123456789÷9=13717421

123456789÷9=13717421

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ	(divisor no indicado)
123456789	Regla 1/9>1+1
+1	cociente provisional 1 en A
-1	borrar B
+1	añadir resto 1 al dígito adyacente
1 33456789	Regla 3/9>3+3
13 6456789	Regla 6/9>6+6
1361056789
+1-9	revisión al alza
137 156789	Regla 1/9>1+1
1371 66789	Regla 6/9>6+6
1371612789
+1-9	revisión al alza
13717 3789	Regla 3/9>3+3
1371731089
+1-9	revisión al alza
137174 189	Regla 1/9>1+1
1371741 99
+1-9	revisión al alza
1371742  9
+1-9	revisión al alza
13717421	¡Hecho!

Ejemplo: 123456789÷5=24691357.8

123456789÷5=24691357.8

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ	(divisor no indicado)
123456789	Regla 1/5>2+0
2 23456789	Regla 2/5>4+0
24 3456789	Regla 3/5>6+0
246 456789	Regla 4/5>8+0
2468 56789
+1-5	revisión al alza
2469  6789
+1-5	revisión al alza
24691 1789	Regla 1/5>2+0
246912 789
+1-5	revisión al alza
246913 289	Regla 2/5>4+0
2469134 89
+1-5	revisión al alza
2469135 39	Regla 3/5>6+0
24691356 9
+1-5	revisión al alza
24691357 4	Regla 3/5>6+0
246913578	¡Hecho!

Ejemplo: 123456789÷2=61728394.5

123456789÷2=61728394.5

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ	(divisor no indicado)
123456789	Regla 1/2>5+0
5 23456789
+1-2	revisión al alza
6  3456789
+1-2	revisión al alza
61 1456789	Regla 1/2>5+0
615 456789
+2-4	revisión al alza dos veces
617  56789
+2-4	revisión al alza dos veces
6172 16789	Regla 1/2>5+0
61725 6789
+3-6	revisión al alza tres veces
61728  789
+3-6	revisión al alza tres veces
617283 189	Regla 1/2>5+0
6172835 89
+4-8	revisión al alza cuatro veces
6172839  9
+4-8	revisión al alza cuatro veces
61728394 1	Regla 1/2>5+0
617283945	¡Hecho!

Divisores de varios dígitos

Considere, por ejemplo, $359936/9728=37$, en este caso es conveniente pensar en el divisor como compuesto por un divisor propiamente dicho (el primer dígito) seguido de un multiplicador (el resto de los dígitos del divisor), es decir, $9728=dmmm$, donde $d$ es el divisor (9) y $mmm$ es el multiplicador (728). Los nombres en chino y japonés para este método de división (帰除 Guīchú en chino, 帰除法 Kijohou en japonés) se refieren a esto: 帰, Guī , Ki es el divisor propiamente dicho y 除, chú , jo es el multiplicador.

En este caso, la forma de actuar es la siguiente:

1. Primero consideramos solo el divisor $d$ y hacemos exactamente lo mismo que en el caso del divisor de un solo dígito, es decir, seguimos la regla de división: obtenemos el cociente intermedio $q$ y sumamos el resto (de la regla) a la columna adyacente
2. Luego restamos el producto $q\times {\text{multiplicador}}$ del dividendo si podemos; de lo contrario, tenemos que revisar a la baja $q$ y devolver $d$ al resto o dividendo usando las siguientes reglas:

Reglas para revisar a la baja

Mientras se divide por:	Revisar q a:	Sumar al resto:
1	q-1	+1
2	q-1	+2
3	q-1	+3
4	q-1	+4
5	q-1	+5
6	q-1	+6
7	q-1	+7
8	q-1	+8
9	q-1	+9

Con esto, devolveremos al resto o dividendo lo que hemos restado de más al usar la regla de división errónea; pero si el multiplicador tiene más de una cifra y ya hemos procesado varias de ellas cuando reparamos en que el cociente provisional es excesivo, también tendremos que devolver lo sustraído de más sumando los dígitos que hemos usado del multiplicador (véase el ejemplo $23712/5928$ más abajo).

Ejemplo: 359936÷9728=37

Veamos primero el caso mencionado arriba $359936/9728=37$

359936÷9728=37

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Divisor:9, Multiplicador: 728
9728   359936	Regla 3/9>3+3
9728  3 89936	cociente 3 en G, borrar H y sumar 3 a I
-2184	restar 3✕multiplicador 3✕728=2184 de I-L
9728  3 68096	Regla 6/9>6+6
9728  3614096	cociente 6 en H, borrar I y sumar 6 a J
-4368	restar 6✕multiplier 6✕728=4368 de J-M
9728  36 9728	revisión al alza
+1-9728
9728  37	¡Hecho!

Ejemplo 235÷59=3.98… (revisión a la baja)

235÷59=3.98…

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ	Divisor:5, Multiplicador: 9
59   235	Regla 2/5>4+0
59  4 35	cociente 4 a E, borrar F y sumar 0 a G
-36	no se puede restar 4✕multiplicador 4✕9=36 de GH!
-1+5	revisión a la baja siguiendo las reglas dadas arriba
59  3 85
-27	restar 3✕multiplicador 3✕9=27 de GH
59  3 58	Regla 5/5>9+5
59  3913	cociente 9 a F, borrar G y sumar 5 a H
-81	restar 9✕multiplicador 9✕9=81 de HI
59  39 49	Regla 4/5>8+0
...	etc.

Ejemplo: 23711÷5928=3,9998… (revisión a la baja)

3711÷5928=3,9998…

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMN	Divisor: 5, Multiplicador: 928
5928   23711	Regla 2/5>4+0
5928  4 3711	cociente 4 a G, borrar H y sumar 0 a I
-36	restar 4✕9=36 de IJ
5928  4  111
-8	restar 4✕2=8 de JK
5928  4   31
-32	no se puede restar 4✕8=32 de KL!
-1+592	revisión a la baja devolviendo el exceso restado de IJK
5928  3 5951
-24	continuando normalmente, restar 3✕8=24 de KL
5928  3 5927	Regla 5/5>9+5
...	etc.

En este ejemplo el divisor es 5 y el multiplicador es 928. Cuando reparamos en que 4 es un cociente excesivo ya hemos restado del dividendo el producto de 4 por las dos primeras cifras del multiplicador (92); por lo tanto, para revisar a la baja y devolver al dividendo lo que hemos sustraído de más, deberemos:

• Sumar 5 a la primera cifra del dividendo en I (de acuerdo a la tabla de arriba) para corregir lo que la aplicación de la regla se ha llevado de más.
• Sumar las cifras usadas del multiplicador (92) a JK, que es lo que nos hemos llevado de más al sustraer $4\times 92=368$ en lugar de $3\times 92=276$.

Ambas cosas combinadas se traducen en la suma de 592 al resto realizada arriba en IJK.

Disposición tradicional de la división (TDA)

Como se comentó anteriormente, hay dos formas básicas de organizar los problemas generales de división. Veámoslos uno al lado del otro:

• Disposición moderna de la división (MDA), como lo explica Kojima y como se ha explicado en el capítulo correspondiente de este libro,

MDA 25÷5=5

Ábaco	Comentario
ABCDEF
5   25	El dividendo empieza en E
5  5	Trás la división el cociente empieza en D

• Disposición tradicional de la división (TDA), usada en los libros antiguos desde los tiempos de las varillas de cálculo hasta la primera parte del siglo XX,

TDA 25÷5=5

Ábaco	Comentario
ABCDEF
5   25	El dividendo empieza en E
5   5	Trás la división el cociente empieza en E

Hasta ahora hemos utilizado MDA con la división tradicional sin ningún problema. TDA, sin embargo, es problemático con cualquier método de división, incluido el tradicional. Esta naturaleza problemática se debe a una colisión entre el divisor y el dividendo/resto que ocurre con frecuencia (es decir, ambos requieren el uso simultáneo de la misma columna), y se necesitan técnicas o ábacos especiales para hacer frente a esta colisión. A pesar de esto, la TDA se ha utilizado durante siglos junto con el método tradicional de división, al menos desde el siglo XIII, mientras que el MDA se ha dejado de lado hasta los tiempos modernos. Está claro que se pueden reconocer ciertas ventajas a TDA, pero no está tan claro que sean suficientes para justificar su uso histórico:

• Utiliza una varilla menos
• El resultado no se desplaza demasiado hacia la izquierda como en MDA, lo cual es de interés en el caso de operaciones encadenadas. Esto y el puntos anterior hacen que TDA sea más adecuado para ábacos con un número reducido de columnas, como el tradicional suanpan/soroban de 13 varillas.
• Ahorra algunos movimientos de los dedos; por ejemplo, la operación 6231÷93 = 67 puede hacerse en 14 movimientos usando la división tradicional con TDA mientras que son necesarios 24 con MDA.
• Los desplazamientos de las manos son más cortos.
• Es menos propenso a errores ya que se saltan menos columnas.

Suanpan mostrando de 8 a 20 de izquierda a derecha, ilustrando el uso de las cuentas adicionales y "suspendidas".

La forma de tratar con la colisión mencionada es aceptar que la primera columna del dividendo o resto, después de la aplicación de las reglas de división, puede desbordar y tomar temporalmente un valor superior a 9 (hasta 18 es necesario en algunos casos), al tiempo que proporcionar algún mecanismo para hacer frente a tal desbordamiento. Curiosamente, parece que ningún texto antiguo explica cómo hacer esto último, aunque está claro que en el caso de un ábaco 5+2 o 5+3 usaremos las cuentas superiores adicionales para representar los valores de 10 a 20 en la columna desbordada, recurriendo a la cuenta suspendida (懸珠 xuán zhū en chino , kenshu en japonés) en el caso del ábaco 5+2. La tercera cuenta o la cuenta suspendida se requiere sólo en aproximadamente el 1% de los casos, lo que justifica la adopción del modelo 5+2 como el estándar en lugar del 5+3. En un capítulo posterior veremos cómo hacer frente al desbordamiento en un ábaco con sólo una cuenta superior.

Cuando se usa TDA

la regla a/b>q+r debe leerse: "cambiar a a q como dígito del cociente intermedio y sumar r a la cifra de la derecha".

Con TDA, la regla para encontrar la columna unidad es la siguiente

La columna de las unidades de los cocientes se ubica $n$ columnas a la izquierda de la columna de las unidades del dividendo; donde $n$ es el número de dígitos del divisor a la izquierda de su punto decimal (¡que puede ser negativo!).

La siguiente tabla muestra los valores de $n$ para algunos divisores:

Divisor	n
32.7	2
3.27	1
0.327	0
0.00327	-2

Para ver ejemplos de TD usando TDA, consulte el capítulo: Ejemplos de división tradicional.

Acerca de la eficiencia de la división tradicional

Como puede ver en los ejemplos con divisores de un solo dígito, la eficiencia de TD se deteriora a medida que el divisor comienza con cifras más bajas, en el sentido de que tenemos que revisar al alza con más frecuencia. Podemos decir que la eficiencia es nula cuando el divisor empieza por 1; de hecho, ni siquiera tenemos reglas de división excepto 1/1> 9+1 (que es "estadísticamente" excesiva, consulte el capítulo: Aprender la tabla de división). Para este último caso, el truco es dividir por 2 in situ (capítulo: División por potencias de dos) tanto el divisor como el dividendo, lo cual es muy rápido, y proceder a dividir ambos resultados normalmente; ahora el divisor comenzará con un dígito entre 5 y 9 y la división tradicional resultará más eficiente. Por ejemplo: $128/16$

Para dividir in situ por dos, simplemente trabaje de derecha a izquierda borrando un dígito de cada vez y sumando en su lugar su mitad:

Ilustrando la división in situ por 2

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
16    128	División por 2 in situ
16    124	mitad de 8
16    114	mitad de 2
16     64	mitad de 1
13     64	mitad de 6
8     64	mitad de 1
8     64	Regla 6/8>7+4
8    7 8
+1-8	revisión al alza
8    8	¡Hecho!

$128/16=(128/2)/(16/2)=64/8=8$

En otros casos, nuestra intuición y experiencia con MD podrían ayudarnos.

Esta menor eficiencia de TD en comparación con MD es el precio a pagar para ahorrarnos el trabajo mental de deducir la cifra del cociente provisional que tenemos que probar.

Otras lecturas

• Knott, Cargill G. (1886). «The Abacus, in its Historic and Scientific Aspects». Transactions of the Asiatic Society of Japan 14:  pp. 18-73. https://archive.org/details/in.gov.ignca.26020/page/17/mode/2up.  deals with traditional division
• Totton Heffelfinger (2013). «Suan Pan and the Unit Rod - Division». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
• Totton Heffelfinger (2013). «Short Division Techniques - Chinese Suan Pan». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
• Totton Heffelfinger (2013). «Long Division Techniques - Chinese Suan Pan». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
• Totton Heffelfinger (2013). «Chinese Division Rules on a Soroban». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.

Aprendiendo la Tabla de División

Memorización de la tabla de división.

La tabla de división contiene 45 reglas, incluidos los 9 elementos diagonales para divisores de varios dígitos.

Tabla de División (八算, Hassan, Bā suàn)

1/9>1+1	2/9>2+2	3/9>3+3	4/9>4+4	5/9>5+5	6/9>6+6	7/9>7+7	8/9>8+8	9/9>9+9
1/8>1+2	2/8>2+4	3/8>3+6	4/8>5+0	5/8>6+2	6/8>7+4	7/8>8+6	8/8>9+8
1/7>1+3	2/7>2+6	3/7>4+2	4/7>5+5	5/7>7+1	6/7>8+4	7/7>9+7
1/6>1+4	2/6>3+2	3/6>5+0	4/6>6+4	5/6>8+2	6/6>9+6
1/5>2+0	2/5>4+0	3/5>6+0	4/5>8+0	5/5>9+5
1/4>2+2	2/4>5+0	3/4>7+2	4/4>9+4
1/3>3+1	2/3>6+2	3/3>9+3
1/2>5+0	2/2>9+2
1/1>9+1

La misma cantidad de elementos independientes que encontramos en la tabla de multiplicar (dada la conmutatividad de esta operación) cuya memorización fue una de las hazañas de nuestra infancia en la escuela. Memorizar la tabla de división es, por tanto, una tarea similar a aprender la tabla de multiplicar.

Estas reglas:

• Desde un punto de vista operativo, estas reglas deben leerse o interpretarse de manera ligeramente diferente dependiendo de si usamos la disposición de división tradicional (TDA) o la moderna (MDA).
  • cuando se usa MDA, se debe leer la regla a / b> q + r: “poner q como dígito del cociente intermedio a la izquierda, borrar a y sumar r a la derecha ”
  • Cuando se usa TDA, se debe leer la regla a / b> q + r: “cambiar a por q como dígito del cociente intermedio y sumar r a la derecha ”
• Desde un punto de vista teórico, cada regla expresa el resultado de una división euclidiana:

$$(10\times a)/b=q,r$$

($q$: cociente, $r$: resto, $a,b$ dígitos del 1 al 9) o, de manera equivalente,

$$10a=q\cdot b+r$$

Si pensamos en este último punto, de hecho no es necesario memorizar las reglas de división ya que las podemos obtener in situ, cuando las necesitemos, mediante un simple proceso mental. Pero entonces estaríamos haciendo un esfuerzo mental similar al requerido con el método moderno de división y no estaríamos disfrutando de la gran ventaja que nos ofrece el método tradicional. Sin duda, la eficacia y bondad del método tradicional solo se logra memorizando las reglas, y sólo debemos recurrir al proceso mental mencionado cuando alguna regla se resiste a venir a la memoria durante la fase de aprendizaje.

Afortunadamente, una serie de patrones que aparecen en la tabla de división vienen en nuestra ayuda haciéndonos más fácil aprenderla, dejando solo 14 reglas duras de un total de 45.

Reglas fáciles

En el capítulo: Guía para la división tradicional ya mencionamos que las reglas de división por 9, 5 y 2, así como las reglas diagonales, tienen una estructura particularmente simple que permiten una memorización casi inmediata.

Reglas fáciles de memorizar

Diagonal	División por 9	División por 5	División por 2
1/1>9+1	1/9>1+1	1/5>2+0	1/2>5+0
2/2>9+2	2/9>2+2	2/5>4+0
3/3>9+3	3/9>3+3	3/5>6+0
4/4>9+4	4/9>4+4	4/5>8+0
5/5>9+5	5/9>5+5
6/6>9+6	6/9>6+6
7/7>9+7	7/9>7+7
8/8>9+8	8/9>8+8
9/9>9+9

Por esta razón, los ejemplos presentados en dicho capítulo sólo hicieron uso de divisores con 2,5 y 9 como primer dígito. Si practica varios ejemplos con tales divisores, no le será difícil memorizar estas 22 reglas (¡casi la mitad del total!); lo que supone una drástica reducción del trabajo a realizar y no la única ayuda a recibir.

Division by 8

De las reglas restantes, las de división por 8 es la serie más larga pero no la más difícil, ya que tiene una estructura interna:

Reglas de división por 8

1/8>1+2	5/8>6+2
2/8>2+4	6/8>7+4
3/8>3+6	7/8>8+6
4/8>5+0

Dejando a un lado 4/8>5+0 (piense en esto como 8x5 = 40), las dos sub-series 1, 2, 3 y 5, 6, 7 tienen los mismos residuos y los cocientes son tan simples como 1, 2, 3 y 6, 7, 8; así que, sin duda, esta no será la serie que le resultará más difícil de aprender.

Reglas subdiagonales

Finalmente, como último recurso para aprender, observe la siguiente serie de términos adyacentes a la diagonal de la tabla.

Reglas subdiagonales

4/5>8+0

5/6>8+2

6/7>8+4

7/8>8+6

8/9>8+8

En realidad, solo hay dos reglas nuevas aquí, pero captar la estructura de la tabla anterior también lo ayudará a memorizar las reglas para los divisores 5, 8 y 9.

Reglas "duras"

En resumen, de las 45 reglas incluidas en la tabla de división, 31 caen dentro de uno de los patrones anteriores (en gris)

Tabla de División (八算, Hassan, Bā suàn)

1/9>1+1	2/9>2+2	3/9>3+3	4/9>4+4	5/9>5+5	6/9>6+6	7/9>7+7	8/9>8+8	9/9>9+9
1/8>1+2	2/8>2+4	3/8>3+6	4/8>5+0	5/8>6+2	6/8>7+4	7/8>8+6	8/8>9+8
1/7>1+3	2/7>2+6	3/7>4+2	4/7>5+5	5/7>7+1	6/7>8+4	7/7>9+7
1/6>1+4	2/6>3+2	3/6>5+0	4/6>6+4	5/6>8+2	6/6>9+6
1/5>2+0	2/5>4+0	3/5>6+0	4/5>8+0	5/5>9+5
1/4>2+2	2/4>5+0	3/4>7+2	4/4>9+4
1/3>3+1	2/3>6+2	3/3>9+3
1/2>5+0	2/2>9+2
1/1>9+1

y nos quedamos con sólo 14 reglas "duras" o difíciles que tendremos que memorizar sin otra ayuda. Esto ya no parece un gran trabajo.

La tabla combinada de multiplicación y división

Lo que sigue es una simple nota histórica con poca o ninguna relevancia práctica.

La tabla de multiplicar estudiada por el lector probablemente contiene los 81 productos de dos dígitos en cualquier orden; es decir, incluye tanto 8x9 = 72 como 9x8 = 72, lo cual es innecesario dada la conmutatividad de la multiplicación. Por el contrario, en chino o japonés sólo contenía uno de los términos de estos pares 8x9 = 72; siempre con el primer factor menor o igual que el segundo. Por otro lado, las reglas de división se enunciaron dando primero el divisor que siempre es mayor que el dividendo, a excepción de las reglas que hemos llamado diagonales en las que es igual. Esto permite concebir una tabla combinada de multiplicación-división que cubra todo el "espacio" de pares de dígitos como operandos:

Tabla combinada de multiplicación y división

9✕9 81	9\8 8+8	9\7 7+7	9\6 6+6	9\5 5+5	9\4 4+4	9\3 3+3	9\2 2+2	9\1 1+1
8✕9 72	8✕8 64	8\7 8+6	8\6 7+4	8\5 6+2	8\4 5+0	8\3 3+6	8\2 2+4	8\1 1+2
7✕9 63	7✕8 56	7✕7 49	7\6 8+4	7\5 7+1	7\4 5+5	7\3 4+2	7\2 2+6	7\1 1+3
6✕9 54	6✕8 48	6✕7 42	6✕6 36	6\5 8+2	6\4 6+4	6\3 5+0	6\2 3+2	6\1 1+4
5✕9 45	5✕8 40	5✕7 35	5✕6 30	5✕5 25	5\4 8+0	5\3 6+0	5\2 4+0	5\1 2+0
4✕9 36	4✕8 32	4✕7 28	4✕6 24	4✕5 20	4✕4 16	4\3 7+2	4\2 5+0	4\1 2+2
3✕9 27	3✕8 24	3✕7 21	3✕6 18	3✕5 15	3✕4 12	3✕3  9	3\2 2+6	3\1 3+1
2✕9 18	2✕8 16	2✕7 14	2✕6 12	2✕5 10	2✕4  8	2✕3  6	2✕2  4	2\1 5+0
1✕9  9	1✕8  8	1✕7  7	1✕6  6	1✕5  5	1✕4  4	1✕3  3	1✕2  2	1✕1  1

Donde hemos alterado la redacción de nuestras reglas de división para adaptarlas al orden de los argumentos utilizados en chino. Para resaltar este hecho, hemos reemplazado "/" por "\", por lo que las reglas de división tal como aparecen en la tabla anterior deben interpretarse en la forma: Lea a \ b c + d: como: a cabe en b0 c veces dejando d como resto.

La tabla combinada tiene 81 elementos o reglas, a las que debemos sumar las reglas diagonales

Diagonal
1/1>9+1
2/2>9+2
3/3>9+3
4/4>9+4
5/5>9+5
6/6>9+6
7/7>9+7
8/8>9+8
9/9>9+9

y las reglas de revisión dadas en el capítulo anterior.

Reglas para revisar a la baja

Mientras se divide por:	Revisar q a:	Sumar al resto:
1	q-1	+1
2	q-1	+2
3	q-1	+3
4	q-1	+4
5	q-1	+5
6	q-1	+6
7	q-1	+7
8	q-1	+8
9	q-1	+9

que eran estudiadas por separado. Esto suma un total de 99 reglas a las que podemos sumar las aproximadamente 50 reglas de suma y resta. El aprendizaje tradicional del ábaco consistía fundamentalmente en la memorización y práctica de estas 150 reglas.

Reglas estadísticas

Lo que sigue es una cuestión que surge de la práctica. Las reglas de la diagonal para los divisores 1 y 2

Reglas diagonales para 1 y 2

2/2>9+2

1/1>9+1

son "excesivas" en el sentido de que a menudo nos vemos obligados a revisar el divisor a la baja varias veces. En la práctica, las siguientes dos reglas "estadísticas" (por darles un nombre) se comportan mejor permitiendo un cálculo más rápido.

Reglas estadísticas

2/2>7+6

1/1>7+3

Pruébelas en algún momento durante su práctica.

Cómo Tratar con el Desbordamiento

Este capítulo es para el lector que desee practicar la división tradicional TD en disposición tradicional TDA, así como el resto de técnicas superiores que se basan en ella, usando un antiguo soroban 5+1 o incluso un ábaco moderno 4+1. Si dispone de un ábaco tradicional 5+2 (o 5+3, si es lo suficientemente afortunado), todo es mucho más sencillo y no necesitará nada de lo que sigue.

Introducción

Excluyendo los métodos especiales de división de los que trataremos en la sección de Métodos Avanzados, hay dos formas básicas de disponer la división sobre el ábaco. Ya las hemos mencionado en la Guia a la División Tradicional:

• Disposición Moderna (MDA), como la descrita por Kojima,

MDA 25÷5=5

Ábaco	Comentario
ABCDEF
5   25	El dividendo empieza en E
5  5	Trás la división, el cociente empieza en D

• Disposición Tradicional (TDA), la usada en libros antiguos como el Jinkoki (塵劫記), o el Panzhu Suanfa (盤珠算法)

TDA 25÷5=5

Ábaco	Comentario
ABCDEF
5   25	El dividendo empieza en E
5   5	Trás la división, el cociente empieza en E

División según Sunzhi (es decir, la division moderna MD) con varillas de cálculo; tradicionalmente utilizaba tres filas horizontales de dígitos.

MDA parece una disposición perfecta para cualquier método de división; no sólo para el moderno y el tradicional, sino también para cualquiera de la asombrosa variedad de métodos que uno puede imaginar después de leer una página como: La guía definitiva de matemáticas superiores sobre la división larga de enteros o los esbozados en el capítulo: División Moderna, y simplemente usando las cuentas de un ábaco 4+1 (moderno). Por el contrario, TDA es una disposición problemática con cualquier método de división, ya que con frecuencia tiene lugar una colisión entre cociente y dividendo/resto al requerir ambos el uso simultáneo de la misma columna. Por ejemplo, en el caso de la división moderna nos veríamos obligados a posponer la entrada en el ábaco del dígito del cociente provisional hasta que quedase libre la columna correspondiente durante la sustracción del producto de dicho cociente por el divisor. En cuanto a la división tradicional, la aplicación de las reglas de división supone sustituir el primer dígito del dividendo por el cociente provisional y sumar el resto (de la regla) a la columna siguiente; si dicha suma alcanza un valor superior a 9 (hasta 18) tenemos un 1 que desborda dicha columna y que deberíamos sumar como un acarreo a la columna de la izquierda pero que, como dicha columna está ocupada por el cociente, se produce la colisión y el 1 desbordado no tiene adonde ir. Es decir, se necesitan técnicas o ábacos especiales para hacer frente a esta colisión.

Y sin embargo, TDA se ha utilizado durante siglos junto con el método tradicional de división, mientras que MDA parece haber sido relegada al olvido hasta los tiempos modernos y la adopción del ábaco 4+1; y ello a pesar de que MDA es la primera idea que se nos ocurriría si intentásemos adaptar el antiguo método de división de Sunzhi (utilizado con las varillas de cálculo) a una sola fila de dígitos en lugar de las tres habituales. Se desconocen las razones por las que esto ha sido así, y posiblemente seguirán siendo un misterio para siempre dado que ningún autor clásico se tomó la molestia de contárnoslas. No obstante, debemos reconocerle ciertas ventajas a la disposición tradicional TDA:

• Utiliza una varilla menos menos.
• El resultado no se desplaza demasiado hacia la izquierda como con MDA; lo cual es de interés en el caso de operaciones encadenadas. Esto, junto con el punto anterior, hace que TDA sea más adecuado para ábacos de pequeño número de columnas, como el tradicional suanpan/soroban de 13 varillas.
• Ahorra algunos movimientos de cuentas; por ejemplo, en la operación 6231÷93 = 67 usando la división tradicional, se pueden contar 14 movimientos usando TDA frente a los 24 requeridos si usamosMDA.
• Los desplazamientos de la mano son más cortos.
• Es menos propenso a errores ya que es necesario saltan menos columas.

¿Son suficientes estas razones para justificar el uso histórico de TDA? Parece necesario aceptarlo.

En cuanto a la forma de hacer frente a la colisión o desbordamiento, esto no es un problema con un ábaco tradicional 5+2 o 5+3; como ya se explicó, las cuentas superiores adicionales se pueden usar para almacenar valores tan altos como 20 en cada columna del ábaco. El problema surge cuando pensamos que los ábacos de tipo 5+1 fueron populares en Japón durante el período Edo y fueron usados con la división tradicional, pero parece que ningún texto japonés antiguo explica cómo tratar con el desbordamiento. La cuestión que trata de resolver este capítulo es esta: ¿Qué se puede hacer con un ábaco 5+1 tradicional o con el moderno 4+1?.

En lo que sigue, se ofrecen tres soluciones a esta cuestión aunque la primera de ellas no es nada recomendable para una práctica habitual.

El ganso solitario vuelve a su bandada. Ilustración de un ejercicio tradicional de multiplicación/división con el ábaco. Basado en una pintura de Bian Shoumin 边寿民 (1684–1752).

Usaremos un ejercicio clásico 998001÷999 = 999 como ejemplo para ilustrar las tres alternativas mencionadas. Este ejercicio se llama en chino: Regreso del ganso solitario (孤雁歸隊 Gūyàn guīduì). Si plantea esta división en el ábaco, por ejemplo:

Ábaco
ABCDEFGHIJK
999  998001

y si es lo suficientemente imaginativo, sin duda identificará la cuenta solitaria colocada en K con un ganso solitario que acaba de dejar su bandada en FGH (puede ver el lugar que ocupaba en la parte inferior de la columna H). Para hacerlo volver a su lugar sólo tenemos que completar la división y obtener 999.

Primera forma: Fuerza bruta

En principio, podríamos sumar el "1 desbordado" en cualquier columna no utilizada, por ejemplo, la de más a la derecha del ábaco; pero esto podría resultar molesto e inconveniente porque tanto la mano como la atención tendrían que ir saltando de un lugar a otro en el ábaco con el riesgo de terminar trabajando en la columna equivocada. Aquí, sin más miramientos, sumaremos el 1 desbordado a la columna del dígito del cociente intermedio recién ingresado. Quizás el lector se sienta aterrado al oír esto y no le faltarán razones para ello, ya que crearemos una entidad híbrida, en parte cociente y en parte dividendo difícil de entender conceptualmente, pero si podemos mantener el valor del cociente intermedio en la memoria por un momento podremos operar como de costumbre y cualquier anomalía desaparecerá del ábaco en segundos. Veámoslo con el ejemplo 998001÷999 = 999 en un ábaco 4+1:

998001÷999 = 999; a lo bruto en un 4+1

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
999  998001	Regla: 9/9>9+9, ¡recuerde el cociente 9!
999  998001	cambie el 9 en F por 9
+9	sume 9 a G
999 1088001	el acarreo corre hacia la izquierda, no se asuste
-81	reste 9*9=81 de GH
999 1007001
-81	reste 9*9=81 de HI, fin de la anomalía
999  998901	Regla: 9/9>9+9, ¡recuerde el cociente 9!
999 1007901	el acarreo corre hacia la izquierda, no se asuste
-81	reste 9*9=81 de HI, fin de la anomalía
999  999801
-81	reste 9*9=81 de IJ
999  998991	Regla: 8/9>8+8, ¡recuerde el cociente 8!
999  999791
-72	reste 8*9=72 de IJ
999  999071
-72	reste 8*9=72 de JK, fin de la anomalía
999  998999	revisión al alza
999  999	¡Hecho!

En un ábaco 5+1, las cosas son más fáciles. Podemos usar la quinta cuenta para evitar que el acarreo corra hacia la izquierda:

998001÷999 = 999; a lo bruto en un 5+1 (2ª cifra del cociente)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
...
999  998901	Regla: 9/9>9+9, ¡recuerde el cociente 9!
999  9T7901
-81	reste 9*9= 81 de HI
999  999801
...	...etc.

Como vemos, es posible hacer las cosas así, pero no parece un método muy atractivo ya que necesitamos memorización y mucha atención para no cometer errores. Por tanto, no se debe intentar este método excepto como ejercicio de concentración. Si hemos traído este método aquí, es principalmente como introducción al siguiente método.

Segunda forma: Cuentas inferiores suspendidas

Cuentas inferiores suspendidas en ábacos 5+1 y 4+1 y notación subrayada para representarlas.

Si usamos un 5+1, en lugar de empujar la cuenta completamente hacia arriba, sumando efectivamente el 1 desbordado al dígito del cociente provisional como en el caso anterior, parece más razonable empujarlo sólo hasta la mitad, dejando una cuenta inferior suspendida como se ilustra en la parte superior de la imagen a la derecha. Esta cuenta suspendida representará el desbordamiento a la vez que respeta la integridad del dígito del cociente.

Este parece un método perfecto para tratar con el desbordamiento, tanto en la división como en la multiplicación, todo permanece bajo nuestros ojos y nada tiene que ser memorizado. De hecho, cuando se utilizan cuentas inferiores suspendidas no hay necesidad de cuentas superiores adicionales, y el ábaco 5+1 resulta tan potente como los instrumentos 5+2 o 5+3. Esto podría ayudar a explicar por qué el ábaco 5+1 fue tan popular en el pasado y por qué la quinta cuenta inferior sobrevivió durante tanto tiempo. Nótese en la mitad inferior de la figura que, con alguna complicación, este método también se puede extender al ábaco 4+1. A partir de aquí, usaremos dígitos subrayados para representar el desbordamiento de acuerdo con la figura. El subrayado nos recuerda cómo se ve la cuenta suspendida en el ábaco real.

Ábaco 5+1

Repitamos el ejercicio anterior con esta técnica. El divisor ya no está representado y también se introducen algunos detalles más para ilustrar adicionalmente cómo se puede usar la quinta cuenta inferior en la resta para simplificar algo la operación (como de costumbre, T es 10 inferior: 1 cuenta superior + 5 cuentas inferiores activadas)

998001÷999 = 999 en un 5+1

Ábaco	Comentario
ABCDEF
998001
988001	Regla: 9/9>9+9
-8	restar 81 de BC
9T8001
-1
9T7001
-8	restar 81 de CD
999001
-1
998901
997901	Regla: 9/9>9+9
-8	restar 81 de CD
999901
-1
999801
-8	restar 81 de DE
998T01
-1
998991
998791	Regla: 8/9>8+8
-7	restar 72 de DE
998T91
-2
998T71
-7	restar 72 de EF
9989T1
-2
998999	Revisar al alza
-9	(de izquierda a derecha para ahorrar desplazamiento de mano)
998990
-9
998900
-9
998000
+1
999000	¡Hecho!

Consulte también el capítulo de ejemplos de divisiones para ver ilustrada esta división en ábacos de tipo 5+1, 5+2 y 5+3.

Ábaco 4+1

Y ahora en un ábaco 4+1. Necesitamos usar el grupo suspendido de cuatro cuentas inferiores como código para 9:

998001/999 en un ábaco 4+1

Ábaco	Comentario
ABCDEF
998001
988001	Regla: 9/9>9+9
-81	restar 81 de BC
987001
-81	restar 81 de CD
998901
997901	Regla: 9/9>9+9
-81	restar 81 de CD
999801
-81	restar 81 de DE
998991
998791	Regla: 8/9>8+8
-72	restar 72 de DE
998071
-72	restar 72 de EF
998999	Revisar al alza
999000	D¡Hecho!

Si ha intentado este caso, probablemente haya notado que el grupo de cuatro cuentas suspendidas se comporta de la misma manera que la cuenta superior suspendida que se usa en el ábaco 5+2; es decir, con "aritmética inversa", si mueve la cuenta suspendida hacia la barra del ábaco, ¡estará restando en lugar de sumando!

Tercera forma: Memorización

Se ha dicho anteriormente que usar cuentas inferiores suspendidas parece un método perfecto, ...pero de hecho es algo molesto debido a su inherente lentitud. Siempre es difícil suspender una cuenta, especialmente las pequeñas del ábaco moderno con poco espacio libre en las varillas, y esto a pesar del truco simple de pellizcar la cuenta con dos dedos y luego retirar la mano como si se arrancara una flor. Es cierto que con un ábaco 5+1 no se necesitan cuentas superiores adicionales, pero sin duda, si tiene muchas multiplicaciones o divisiones por hacer, preferirá la velocidad que proporcionan las cuentas adicionales; ya que pocas veces se necesita una suspender una cuenta en el 5+2, y nunca en el 5+3.

En lugar de mover/suspender físicamente la cuenta de desbordamiento, basta pensar que la cuenta ya ha sido suspendida en la columna del cociente, o empujada sobre una varilla imaginaria que sobrevuela alrededor de su ábaco, o simplemente recordar que el “estado de desbordamiento” se ha establecido en ON y que debe ponerse nuevamente en OFF tan pronto como sea posible. Esta última forma es similar al concepto de poner banderas (flags) ON/OFF en la programación de calculadoras electrónicas antiguas. Obviamente, no mover una cuenta es más rápido que mover una cuenta, por lo que nada puede ser más rápido que esta alternativa. Sin embargo, necesitaremos algo de práctica para acostumbrarnos a este método y debemos prepararnos para cometer algunos errores más debido a la memorización; pero memorizar un dígito, como en el método de fuerza bruta, es peor que simplemente memorizar una condición de alerta como se requiere aquí.

No es necesario un nuevo ejemplo para ilustrar esta técnica; los anteriores se pueden seguir bajo esta nueva perspectiva simplemente interpretando los subrayados como: OverflowFlag: ON.

Conclusión

Hemos visto aquí tres técnicas para tratar con el desbordamiento en ábacos 4+1 y 5+1 que empujan la cuenta desbordada hacia arriba en la columna del cociente intermedio:

1. Completamente, sumándose efectivamente como un acarreo al cociente
2. Sólo hasta mitad de camino, dejando una cuenta inferior suspendida
3. Nada en absoluto (salvo en nuestra mente)

Estos métodos nos brindan la posibilidad de utilizar técnicas y disposiciones tradicionales en cualquier tipo de ábaco, simplemente adaptando la mecánica a la presencia/ausencia de cuentas adicionales. Encontrará esto ventajoso si finalmente termina convencido por las técnicas tradicionales.

Se ha mencionado que ningún texto japonés antiguo explica cómo tratar con el desbordamiento con un ábaco 5+1. Lo más probable es que el método utilizado haya sido uno de los dos últimos presentados aquí. Considere que el segundo método se puede demostrar a otros en solo segundos, y que una vez visto, no se olvida ni requiere más explicaciones; Es tan obvio que no hay mucha necesidad de escribir textos extensos para transmitir ese conocimiento.

Ejemplos de División Tradicional

En este capítulo se ofrecen una serie de ejemplos de división tradicional (TD) usando la disposición tradicional de la división (TDA) en la forma de tablas de procedimiento. También hay disponible una versión gráfica de estos ejercicios (como ficheros PDF externos) ilustrando su ejecución en diversos formatos de ábacos, pero de momento sólo están disponibles en inglés.

Divisores de un dígito

Como ya se ha mencionado, el número 123456789 se ha utilizado para demostrar la multiplicación y la división en muchos libros antiguos sobre el ábaco; algunos, como el Panzhu Suanfa, comienzan con la multiplicación tradicional (vea el capítulo correspondiente en este libro) de dicho número por un dígito y posteriormente usan la división para devolver el ábaco a su estado original; otros, como el Jinkoki , lo hacen al revés, comenzando con la división y terminando el ejercicio con la multiplicación. Nosotros veremos aquí la división de 123456789 por los ocho divisores de un dígito 2, 3,...9.

El número 123456789 es divisible entre 3, 9 y 13717421, por lo que las divisiones entre 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9 tienen resultados con expansión decimal finita (2 y 5 son divisores de la base decimal o radix 10). Sólo la división por 7 conduce a un resultado con un número infinito de decimales, por lo que aquí lo interumpiremos y daremos un resto.

Desafortunadamente, este ejercicio no usa todas las reglas de división, pero es un buen comienzo y permite practicar sin una hoja de ejercicios.

123456789 dividido por 9

123456789 dividido por 9

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Divisor 9 en M
123456789   9	Columna A: Usar regla 1/9>1+1
133456789   9	Cambiar 1 en A en 1 y sumar 1 a B
136456789   9	Columna B: Usar regla 3/9>3+3 Cambiar 3 en B en 3 y sumar 3 a C
136T56789   9	Columna C: Usar regla 6/9>6+6 Cambiar 6 en C en 6 y sumar 6 a D
136056789   9	(Igual que arriba)
137156789   9	Revisar al alza
137166789   9	Columna D: Usar regla 1/9>1+1 Cambiar 1 en D en 1 y sumar 1 a E
137162789   9	Columna E: Usar regla 6/9>6+6 Cambiar 6 en E en 6 y sumar 6 a F
137173789   9	Revisar al alza
137173089   9	Columna F: Usar regla 3/9>3+3 Cambiar 3 en F en 3 y sumar 3 a G
137174189   9	Revisar al alza
137174199   9	Columna G: Usar regla 1/9>1+1 Cambiar 1 en G en 1 y sumar 1 a H
137174209   9	Revisar al alza
137174210   9	Revisar al alza. Done! 123456789/9=13717421

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 9 (en inglés).

123456789 dividido por 8

123456789 dividido por 8

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
123456789   8	Dividendo en A-I, divisor 8 en M
143456789   8	Columna A: regla 1/8>1+2, Cambiar 1 en A en 1, sumar 2 a B
153456789   8	Columna B: regla 4/8>5+0, Cambiar 4 en B en 5, sumar 0 a C
153T56789   8	Columna C: regla 3/8>3+6, Cambiar 3 en C en 3, sumar 6 a D
153056789   8	(igual que arriba)
154256789   8	Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 8 de D
154296789   8	Columna D: regla 2/8>2+4, Cambiar 2 en D en 2, sumar 4 a E
154316789   8	Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 8 de E
154318789   8	Columna E: regla 1/8>1+2, Cambiar 1 en E en 1, sumar 2 a F
154320789   8	Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 8 de F
154320849   8	Columna G: regla 7/8>8+6, Cambiar 7 en G en 8, sumar 6 a H
154320969   8	Revisar al alza G, sumar 1 a G, restar 8 de H
154320973   8	Columna H: regla 6/8>7+4, Cambiar 6 en H en 7, sumar 4 a I
154320985   8	Revisar al alza H, sumar 1 a H, restar 8 de I
1543209862  8	Columna I: regla 5/8>6+2, Cambiar 5 en I en 6, sumar 2 a J
15432098624 8	Columna J: regla 2/8>2+4, Cambiar 2 en J en 2, sumar 4 a K
15432098625 8	Columna K: regla 4/8>5+0, Cambiar 4 en K en 5, sumar 0 a L. ¡Hecho! 123456789/9=15432098.625

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 8 (en inglés).

123456789 dividido por 7

123456789 dividido por 7

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
123456789   7	Dividendo en A-I, divisor 7 en M
153456789   7	Columna A: regla 1/7>1+3, Cambiar 1 en A en 1, sumar 3 a B
174456789   7	Columna B: regla 5/7>7+1, Cambiar 5 en B en 7, sumar 1 a C
175956789   7	Columna C: regla 4/7>5+5, Cambiar 4 en C en 5, sumar 5 a D
176256789   7	Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 7 de D
176256789   7	Columna D: regla 2/7>2+6, Cambiar 2 en D en 2, sumar 6 a E
176346789   7	Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 7 de E
176351789   7	Columna E: regla 4/7>5+5, Cambiar 4 en E en 5, sumar 5 a F
176364789   7	Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 7 de F
176365289   7	Columna F: regla 4/7>5+5, Cambiar 4 en F en 5, sumar 5 a G
176366589   7	Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 7 de G
176366799   7	Columna G: regla 5/7>7+1, Cambiar 5 en G en 7, sumar 1 a H
176366829   7	Revisar al alza G, sumar 1 a G, restar 7 de H
176366825   7	Columna H: regla 2/7>2+6, Cambiar 2 en H en 2, sumar 6 a I
176366841   7	Revisar al alza H dos veces, sumar 2 a H, restar 14 de I. ¡Paramos aquí! 123456789/9=17636684, resto = 1

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 7 (en inglés).

123456789 dividido por 6

123456789 dividido por 6

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Dividendo en A-I, divisor 6 en M
123456789   6
163456789   6	Columna A: regla 1/6>1+4, Cambiar 1 en A en 1, sumar 4 a B
203456789   6	Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 6 de B
205456789   6	Columna C: regla 3/6>5+0, Cambiar 3 en C en 5, sumar 0 a D
205696789   6	Columna D: regla 4/6>6+4, Cambiar 4 en D en 6, sumar 4 a E
205736789   6	Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 6 de E
205756789   6	Columna E: regla 3/6>5+0, Cambiar 3 en E en 5, sumar 0 a F
205760789   6	Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 6 de F
205761189   6	Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 6 de G
205761129   6	Columna G: regla 1/6>1+4, Cambiar 1 en G en 1, sumar 4 a H
205761309   6	Revisar al alza G twice, sumar 2 a G, restar 12 de H
205761313   6	Revisar al alza H, sumar 1 a H, restar 6 de I
205761315   6	Columna I: regla 3/6>5+0, Cambiar 3 en I en 5, sumar 0 a J. ¡Hecho! 123456789/6=20576131.5

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 6 (en inglés).

123456789 dividido por 5

123456789 dividido por 5

Abacus	Comment
ABCDEFGHIJKLM
123456789   5	Dividendo en A-I, divisor 5 en M
223456789   5	Columna A: regla 1/5>2+0, Cambiar 1 en A en 2, sumar 0 a B
243456789   5	Columna B: regla 2/5>4+0, Cambiar 2 en B en 4, sumar 0 a C
246456789   5	Columna C: regla 3/5>6+0, Cambiar 3 en C en 6, sumar 0 a D
246856789   5	Columna D: regla 4/5>8+0, Cambiar 4 en D en 8, sumar 0 a E
246906789   5	Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 5 de E
246911789   5	Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 5 de F
246912789   5	Columna F: regla 1/5>2+0, Cambiar 1 en F en 2, sumar 0 a G
246913289   5	Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 5 de G
246913489   5	Columna G: regla 2/5>4+0, Cambiar 2 en G en 4, sumar 0 a H
246913539   5	Revisar al alza G, sumar 1 a G, restar 5 de H
246913569   5	Columna H: regla 3/5>6+0, Cambiar 3 en H en 6, sumar 0 a I
246913574   5	Revisar al alza H, sumar 1 a H, restar 5 de I
246913578   5	Columna I: regla 4/5>8+0, Cambiar 4 en I en 8, sumar 0 a J. ¡Hecho! 123456789/5=24691357.8

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 5 (en inglés).

123456789 dividido por 4

123456789 dividido por 4

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Dividendo en A-I, divisor 4 en M
123456789   4
243456789   4	Columna A: regla 1/4>2+2, Cambiar 1 en A en 2, sumar 2 a B
303456789   4	Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 4 de B
307656789   4	Columna C: regla 3/4>7+2, Cambiar 3 en C en 7, sumar 2 a D
308256789   4	Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 4 de D
308556789   4	Columna D: regla 2/4>5+0, Cambiar 2 en D en 5, sumar 0 a E
308616789   4	Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 4 de E
308628789   4	Columna E: regla 1/4>2+2, Cambiar 1 en E en 2, sumar 2 a F
308640789   4	Revisar al alza E dos veces, sumar 2 a E, restar 8 de F
308641389   4	Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 4 de G
3086417T9   4	Columna G: regla 3/4>7+2, Cambiar 3 en G en 7, sumar 2 a H
308641929   4	Revisar al alza G dos veces, sumar 2 a G, restar 8 de H
308641959   4	Columna H: regla 2/4>5+0, Cambiar 2 en H en 5, sumar 0 a I
308641971   4	Revisar al alza H dos veces, sumar 2 a H, restar 8 de I
3086419722  4	Columna I: regla 1/4>2+2, Cambiar 1 en I en 2, sumar 2 a J
3086419725  4	Columna J: regla 2/4>5+0, Cambiar 2 en J en 5, sumar 0 a K. ¡Hecho! 123456789/4=30864197.25

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 4 (en inglés).

123456789 dividido por 3

123456789 dividido por 3

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Dividendo en A-I, divisor 3 en M
123456789   3
333456789   3	Columna A: regla 1/3>3+1, Cambiar 1 en A a 3, sumar 1 a B
403456789   3	Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 3 de B
410456789   3	Revisar al alza B, sumar 1 a B, restar 3 de C
411156789   3	Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 3 de D
411366789   3	Columna D: regla 1/3>3+1, Cambiar 1 en D a 3, sumar 1 a E
411506789   3	Revisar al alza D dos veces, sumar 2 a D, restar 6 de E
411520789   3	Revisar al alza E dos veces, sumar 2 a E, restar 6 de F
411522189   3	Revisar al alza F dos veces, sumar 2 a F, restar 6 de G
411522399   3	Columna G: regla 1/3>3+1, Cambiar 1 en G a 3, sumar 1 a H
411522609   3	Revisar al alza G tres veces, sumar 3 a G, restar 9 de H
411522630   3	Revisar al alza H tres veces, sumar 3 a H, restar 9 de I. ¡Hecho! 123456789/3=41152263

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 3 (en ingles).

123456789 divided by 2

123456789 dividido por 2

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Dividendo en A-I, divisor 2 en M
123456789   2
523456789   2	Columna A: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en A a 5, sumar 0 a B
603456789   2	Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 2 de B
611456789   2	Revisar al alza B, sumar 1 a B, restar 2 de C
615456789   2	Columna C: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en C a 5, sumar 0 a D
617056789   2	Revisar al alza C dos veces, sumar 2 a C, restar 4 de D
617216789   2	Revisar al alza D dos veces, sumar 2 a D, restar 4 de E
617256789   2	Columna E: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en E a 5, sumar 0 a F
617280789   2	Revisar al alza E tres veces, sumar 3 a E, restar 6 de F
617283189   2	Revisar al alza F tres veces, sumar 3 a F, restar 6 de G
617283589   2	Columna G: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en G a 5, sumar 0 a H
617283909   2	Revisar al alza G four times, sumar 4 a G, restar 8 de H
617283941   2	Revisar al alza H four times, sumar 4 a H, restar 8 de I
617283945   2	Columna I: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en I a 5, sumar 0 a J. ¡Hecho! 123456789/2=61728394.5

División tradicional (帰除法) de 123456789 por 2

Divisores de varios dígitos (división larga)

División de 998001 por 999

División de 998001 por 999

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Dividendo en A-F, divisor in K-M
998001    999
988001    999	Regla: 9/9>9+9
-8	Restar 81 de BC
9T8001    999
-1
9T7001    999
-8	Restar 81 de CD
999001    999
-1
998901    999
997901    999	Regla: 9/9>9+9
-8	Restar 81 de CD
999901    999
-1
999801    999
-8	Restar 81 de DE
998T01    999
-1
998991    999
998791    999	Regla: 8/9>8+8
-7	Restar 72 de DE
998T91    999
-2
998T71    999
-7	Restar 72 de EF
9989T1    999
-2
998999    999
-9	Revisar al alza (de izquierda a derecha para ahorrar desplazamientos)
998990    999
-9
998900    999
-9
998000    999
+1
999000    999	¡Hecho! 998001/999 = 999

• División de 998001 por 999
• 
  Con un ábaco 5+2
• 
  Con un ábaco 5+1
• 
  Con un ábaco 5+3

División de 888122 por 989

División de 888122 por989

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Dividendo 888122 en A-F, divisor 989 en K-M
888122    989
868122    989	A: Regla: 8/9>8+8 cambiar 8 en A a 8 y sumar 8 a B
804122    989	Restar A×L=8×8=64 de BC
896922    989	Restar A×M=8×9=72 de CD
895922    989	B: Regla: 9/9>9+9 cambiar 9 en B a 9 y sumar 9 a C
898722    989	Restar B×L=9×8=72 de CD
897912    989	Restar B×M=9×9=81 de DE
897612    989	C: Regla: 7/9>7+7 cambiar 7 en B a 7 y sumar 7 a D
897052    989	Restar C×L=7×8=56 de DE
897989    989	Restar C×M=7×9=63 de EF
898000    989	Revisar al alza: sumar 1 a C y restar 989 de DEF. Resto nulo 888122/989 = 898. ¡Hecho!

División tradicional (帰除法) de 888122 por 989

División de 888122 por 898

División de 888122 por 898

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Dividendo 888122 en A-F, divisor 898 en K-M
888122    898
968122    898	A: Regla: 8/8>9+8, cambiar 8 en A a 9 y sumar 8 a B
987122    898	Restar A×L=9×9=81 de BC
979922    898	Restar A×M=9×8=72 de CD
985922    898	B: Regla: 7/8>8+6, cambiar 7 en B a 8 y sumar 6 a C
988722    898	Restar B×L=8×9=72 de CD
988082    898	Restar B×M=8×8=64 de DE
989882    898	C: Regla: 8/8>9+8, cambiar 8 en C a 9 y sumar 8 a D
989072    898	Restar C×L=9×9=81 de DE
989000    898	Restar C×M=9×8=72 de EF. Remainder en DEF is zero, so that 888122/898 = 989. ¡Hecho!

División tradicional (帰除法) de 888122 por 898

División de 412 por 896

En este caso extendemos la división hasta el final del ábaco, utilizando para los últimos dígitos la técnica presentada en el capítulo sobre Operaciones Abreviadas.

División de 412 por 896

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
896 412	Esta vez el divisor va a la izquierda y el dividendo a la derecha.
896 512	Columna E: regla 4/8>5+0, cambiar 4 en E a 5, sumar 0 a F
896 492	no se puede restar E×B=5×9=45 de FG, revisar a la baja E: restar 1 de E, sumar 8 a F
896 456	restar E×B=4×9=36 de FG
896 4536	restar E×C=4×6=24 de GH
896 4656	Columna F: regla 5/8>6+2, cambiar 5 en F a 6, sumar 2 a G
896 4602	restar F×B=6×9=54 de GH
896 4582	no se puede restar F×C=6×6=36 de HI, revisar a la baja F: restar 1 de F, sumar 8 a G
896 4591	y sumar 9 a H para devolver el exceso 89 restardo de GH
896 4588	Continuar normalmente y restar F×C=3×6=30 de HI
896 45916	Columna G: regla 8/8>9+8, cambiar 8 en G a 9, sumar 8 a H
896 45979	restar G×B=9×9=81 de HI
896 459736	restar G×C=9×6=54 de IJ
896 459896	Columna H: regla 7/8>8+6, cambiar 7 en H a 8, sumar 6 a I
896 459824	restar H×B=8×9=72 de IJ
896 4598192	restar H×C=8×6=48 de JK
896 4598112	Columna I: regla 1/8>1+2, cambiar 1 en I a 1, sumar 2 a J
896 4598103	restar I×B=1×9=9 de JK
896 45981024	restar I×C=1×6=6 de KL
896 45982128	revisar al alza I: sumar 1 a I, restar 896 de JKL
896 45982148	Columna J: regla 1/8>1+2, cambiar 1 en J a 1, sumar 2 a K
896 45982139	restar J×B=1×9=9 de KL
896 459821384	restar J×C=1×6=6 de LM
896 459821344	Columna K: regla 3/8>3+6, cambiar 3 en K a 3, sumar 6 a L
896 459821317	restar K×B=3×9=27 de LM
896 459821315	restar K×C=3×6=18 de M …a partir de ahora esto es aproximado
896 459821425	revisar al alza K: sumar 1 a K, restar 896 de LM…
896 459821429	Columna L: regla 2/8>2+4, cambiar 2 en L a 2, sumar 4 a M
896 459821427	restar L×B=2×9=18 de M…
896 459821428	Columna M: regla 7/8>8+6, cambiar 7 en M a 8, sumar 4 a … ¡Hecho! 412/896=0.459821428

División tradicional (帰除法) de 412 by por 896

Recursos externos

Soroban Trainer mostrando un ábaco tipo 5+2 usando la cuenta superior suspendida.

Puede practicar la división tradicional en línea con Soroban Trainer usando este fichero: kijoho-1digit.sbk que debe descargar a su computadora y luego enviarlo a Soroban Trainer (es un archivo de texto que puede inspeccionar con cualquier editor de texto y que puede descargar de manera segura a su computadora).

Sobre Soroban Trainer

• Puede ejecutarlo directamente desde GitHub en su navegador
• o puede descargarlo a su computadora desde su repositorio en GitHub.

Tablas de División Específicas

Fundamento

Supongamos que tenemos que realizar una gran cantidad de divisiones entre 36525, que podría ser el caso si hacemos cálculos de calendarios. Entonces, podríamos simplificar la tarea creando una tabla de división específica para este divisor siguiendo lo que se indica en el capítulo: Guía a la División Tradicional. Comenzaremos calculando las siguientes tres divisiones euclidianas:

Creando una tabla de división específica para 36525

100000÷36525		200000÷36525		300000÷36525
Cociente	Resto	Cociente	Resto	Cociente	Resto
2	26950	5	17375	8	07800

Que se pueden resumir en la siguiente tabla de división especializada:

Tabla de dividir por 36525

36525
1/36525>2+26950
2/36525>5+17375
3/36525>8+07800

tabla que también podemos obtener con sólo la primera división, ya que tenemos: $$100000=2\times 36525+26950$$ por lo que sumando este resultado a sí mismo: $$200000=4\times 36525+43900$$ pero el resto $43900$ es mayor que el divisor, por lo que procede revisar el cociente al alza $$200000=(4+1)\times 36525+(43900-36525)=5\times 36525+17375$$ con lo que hemos obtenido la segunda regla: 2/36525>5+17375. Si ahora sumamos de nuevo el resultado de la primera división tendremos: $$300000=(5+2)\times 36525+(17375+26950)=7\times 36525+44325$$ donde, nuevamente, el resto supera al divisor y necesitamos revisar al alza $$300000=(7+1)\times 36525+(44325-36525)=8\times 36525+07800$$ con lo que ya disponemos de la tercera regla.

Ahora podemos usar esta tabla para hacer divisiones con este divisor sin usar la tabla de multiplicar. Por ejemplo: ¿Cuántos siglos julianos de 36 525 días caben en 1 000 000 de días? Procedemos de forma idéntica a la división tradicional por divisores de un solo dígito:

1000000÷36525

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
36525 1000000	Regla: 1/36525>2+26950 sobre la columna G
36525 2000000	cambiar 1 en G a 2
+26950	sumar 26950 a H-L