Ábaco Oriental/Texto completo
Ábacos en General
editarCuando los humanos se reunieron en grupos lo suficientemente grandes para que las operaciones de trueque o comercio adquirieran cierta importancia, surgió la necesidad de una contabilidad básica que a su vez requería poder contar hasta números altos, realizar operaciones aritméticas básicas y mantener un registro permanente de las transacciones. Así, tanto la aritmética como la escritura parecen tener un origen común en esta necesidad.
En cuanto a las operaciones aritméticas básicas, “parecen haber sido realizadas universalmente utilizando algún tipo de ábaco”[1] y quizás el primer testimonio histórico de su uso se encuentra en el carácter proto-cuneiforme: SANGA , que apareció como parte de la firma de los escribas sumerios en tablillas de arcilla hace unos 5000 años y que los asiriólogos identifican con tal dispositivo[1].
¿Qué es un ábaco?
editarUn ábaco es una herramienta o instrumento en el que los números se representan físicamente de una manera que permite manipularlos para simular mecánicamente operaciones aritméticas.
En un ábaco, los números están representados por "contadores" o "fichas" (guijarros, semillas, conchas, monedas y similares, varillas, etc.) a los que se les asigna un valor numérico. Los contadores no tienen que ser todos idénticos o tener el mismo valor asignado. Para representar un número simplemente colocamos juntos, sobre una mesa o cualquier superficie adecuada, los contadores necesarios de forma similar a como tomaríamos una serie de monedas y billetes para llegar a una determinada cantidad de dinero; en realidad es el mismo proceso.
La suma se simula reuniendo los conjuntos de contadores que representan los dos sumandos, mientras que la resta se simula eliminando del conjunto de contadores que representan el minuendo un conjunto de contadores que representan el sustraendo. Consideremos el caso más simple en el que solo usamos contadores idénticos con un valor asignado de uno.
En la imagen de arriba hemos dispuesto cuatro contadores de valor uno para representar el número 4 (izquierda-a), después de adjuntar otros tres contadores (izquierda-b) que representan el número 3 tenemos una representación del número 7 (izquierda-c) ; es decir, la suma 4+3. De manera similar, si partimos de la representación del número 7 (derecha-a) y eliminamos un conjunto de fichas que representan el número 4 (derecha-b), lo que queda en la mesa es 3 o el resultado de la resta 7-4 (derecha-c).
Para realizar las operaciones anteriores no es necesario saber nada sobre las tablas de sumar o restar, en particular no se necesita saber que 4+3 = 7 o 7-4 = 3, solo se necesita saber cómo manipular los contadores. En realidad, es el ábaco el que permite "descubrir" que el resultado de 4+3 es 7 y el de 7-4 es 3. Este es un punto esencial sobre el uso de los ábacos al que volveremos en el capítulo dedicado a la suma y la resta.
Se considera comúnmente que en Aritmética hay cuatro operaciones fundamentales: Suma, Resta, Multiplicación y División, y que cualquier otro cálculo (por ejemplo, obtener una raíz cuadrada) de un modo u otro se reduce a una secuencia de estas cuatro operaciones fundamentales. Pero también se puede considerar la multiplicación como una suma repetida y la división como una resta repetida, de modo que cualquier cálculo aritmético, en realidad, se reduce en última instancia a una secuencia de sumas y restas. Por lo tanto, con un ábaco como el del ejemplo que permita sumar y restar se puede realizar en principio cualquier cálculo aritmético, aunque esto podría ser extremadamente difícil, o quizás imposible, sin algunos refinamientos que tenemos que introducir.
Con el ábaco utilizado en el ejemplo anterior (sólo contadores idénticos con valor asignado uno), es evidente que si comenzamos a trabajar con números progresivamente más grandes, nuestra mesa (ábaco) acabará abarrotada de contadores haciendo impracticable su uso e interpretación. Necesitamos una forma de reducir el número de objetos físicos (contadores) a manipular y mantenerlo dentro de unos límites que nos resulten cómodos. Para esto hay un par de soluciones:
- Utilizar contadores físicamente diferentes con diferentes valores asignados. Este es el sistema más primitivo, utilizado por los sumerios hace más de 5000 años y todavía vigente, ya que el uso de monedas y billetes de diferentes valores nominales en cualquier sistema monetario actual se corresponde perfectamente con esta idea.
- Definir regiones espaciales en nuestra mesa (ábaco) para que un mismo contador represente un valor u otro según la región que ocupe.
Veamos un ejemplo: En la figura anterior hemos sumado 7+7 (a y b) con nuestro ábaco primitivo, y vemos que 14, el resultado, se muestra como una mesa repleta de contadores (c). Podemos reemplazar algunos de estos contadores con uno físicamente diferente que tenga asignado un valor más alto, por ejemplo 10 (el valor de reemplazo). Con esto, el estado de nuestro ábaco (d) se hace más fácil de interpretar; se ha simplificado ya que se han sustituido 10 contadores de valor 1 por un solo contador de valor 10. Esta sería la primera de las soluciones apuntadas arriba.
Alternativamente, podemos considerar el ábaco dividido en dos regiones espaciales y utilizar contadores idénticos a los que asociaremos un valor u otro según la región en la que lo ubiquemos. En (e) en la figura anterior, el ábaco se ha dividido en dos regiones, izquierda y derecha, separadas por una línea vertical doble. Si asignamos un valor de uno a los contadores ubicados a la derecha y 10 a los ubicados a la izquierda, el número 14 estaría representado como se ilustra. Esta forma de proceder es preferible a la anterior ya que podemos repetir el proceso, definiendo tantas regiones como necesitemos con los valores de reemplazo que nos convengan, permitiéndonos representar números arbitrariamente grandes con contadores de un solo tipo; por ejemplo, en (f) hemos representado 114 con tan sólo 6 contadores usando tres regiones y dos valores de reemplazo de 10. Estamos asistiendo aquí al nacimiento de la notación posicional!
Antes de continuar conviene indicar que existen dos tipos principales de ábacos:
- Ábaco de contadores libres o ábaco de mesa: los contadores son independientes y normalmente se mantienen separados en una caja o bolsa y se colocan o quitan de la mesa según sea necesario. Es el tipo más primitivo y el que hemos considerado aquí hasta ahora.
- Ábaco de cuentas fijas: Los contadores, llamados cuentas en este contexto, están siempre presentes, integrados en un marco y pueden deslizarse desde una posición inactiva a una activa a lo largo de ranuras, rieles, cuerdas, alambres o varillas. Este es el tipo más sofisticado de ábaco, portátil, compacto, y que permite un cálculo más rápido. Como veremos, el ábaco oriental, al que está dedicado este libro, es de este tipo.
Ahora podemos mencionar al ábaco ruso (Schoty) , al ábaco iraní (chortkeh) y al ábaco escolar como ejemplos de ábacos de cuentas fijas que se ajustan a lo que hemos explicado hasta ahora. Los tres consisten en un marco de madera con alambres dispuestos horizontalmente a lo largo del cual se ensartan diez cuentas en el caso del ábaco ruso y el escolar y nueve en el ábaco iraní. Las cuentas pueden deslizarse desde una posición inactiva (derecha) a una posición activada (izquierda) y cada alambre o varilla representa una de las regiones mencionadas anteriormente, con un valor de reemplazo de 10; de modo que una cuenta en cada uno de los alambres tiene un valor asociado diez veces más alto que el de las cuentas en el alambre inmediatamente inferior.
Estos ábacos tienen todo lo necesario para permitir operaciones aritméticas con números expresados en notación decimal: varias varillas para representar potencias sucesivas de diez y 9 cuentas para representar los dígitos del 0 al 9 (por conveniencia, el ábaco ruso y el escolar tienen una cuenta más de lo estrictamente necesario). Si lo desea, puede probar un simulador de ábaco ruso en este enlace.
Pero todavía necesitamos un último refinamiento para comprender completamente el ábaco de Asia oriental.
Subitización es un término de origen inglés (Subitizing) que representa la apreciación rápida, precisa y segura que podemos hacer del número de una pequeña cantidad de objetos. Podemos hacer tal apreciación si el número de objetos a contar es 4 o 5 como máximo; a partir de ahí, tendremos que invertir tiempo en contar. En los ábacos de Rusia e Irán y en el escolar tenemos 9 o 10 cuentas por varilla, por lo que la lectura del número representado puede estar más allá de este límite de subitización de 4 o 5. Esto se alivia utilizando cuentas de dos colores diferentes como se ilustra en las imágenes anteriores, pero también hay un par de técnicas adicionales que no solo nos permiten permanecer dentro de los límites de la subitización, sino que también reducen la cantidad de cuentas necesarias en el ábaco.
En la imagen superior (a) tenemos el número 18 representado en dos regiones (barras, columnas, alambres...); una de ellas contiene 8 contadores que están por encima del límite de subitización. Para simplificar la lectura del ábaco podemos:
- Utilizar un tipo diferente de contador con un valor de reemplazo de, por ejemplo, cinco (b).
- Subdividir las regiones o barras en dos zonas: una en la que un contador toma el valor uno y la otra en la que toma el valor cinco (c, d).
En cualquier caso, no necesitamos tener más de cuatro contadores idénticos por región para poder representar números en notación decimal, por lo que tenemos garantizada la lectura rápida del ábaco. Cuando usamos 5 como el segundo valor de reemplazo, estamos usando una notación decimal biquinaria para los números. Ejemplos de ambas soluciones son las varillas de cálculo y el ábaco oriental.
Varillas de cálculo
editarLas varillas de cálculo son un ábaco tipo mesa, o ábaco de contadores libres, en los que los contadores son pequeñas varillas de madera, bambú, hueso, etc. que se disponen sobre una superficie plana, utilizando o no un tablero con casillas o escaques. Este ábaco que dominó las matemáticas chinas durante al menos 14 siglos y las matemáticas japonesas hasta la Restauración Meiji (a mediados del siglo XIX), es probablemente el más versátil que ha existido alguna vez, ya que nos permite distribuir dígitos en dos dimensiones, aunque desafortunadamente también es muy lento de manipular.
En la figura anterior (a) usamos barras dispuestas verticalmente (𝍩) como contadores de valor uno para representar el número 18. En (b) usamos una barra dispuesta horizontalmente (𝍠) como contador de valor cinco y en (c) usamos una disposición más compacta con alternancia de orientación, o no, dependiendo de si usamos una mesa lisa o un tablero con casillas. Los dígitos del 1 al 9 se representan como:
(ver detalles en Wikipedia)
Por ejemplo, el número 1547 se expresaría:
El cero estaba representado por una celda vacía en el tablero o por un espacio u otro objeto (por ejemplo, una ficha de Go) en la mesa. Adicionalmente, se solían utilizar varillas de dos colores diferentes para distinguir números positivos y negativos.
Es interesante mencionar que este es el único ábaco que se conoce que usa la orientación de los contadores para asignarles un valor u otro; pero encontramos un paralelo a este concepto, si no un precedente, muchos siglos antes de la aparición de las varillas de cálculo en los numerales babilónicos utilizados para escribir números en notación sexagesimal. Cada dígito babilónico estaba constituido por una serie de impresiones del borde de un estilo de caña sobre arcilla fresca con valor unitario si la impresión era vertical. (, , , , ..., ), y con valor diez si las impresiones se realizaban girando el estilo 45 grados o más en sentido antihorario (, , , , ). El número decimal 1547 se expresa en sexagesimal en la forma 25:47, donde "25" y "47" son dos dígitos sexagesimales escritos como: and
La misma apariencia de estos dígitos sugiere su representación inmediata en un ábaco de mesa usando varillas de cálculo.
El ábaco oriental
editarLa segunda de las soluciones mencionadas es la adoptada tanto por el ábaco romano como por los ábacos aparecidos en China.
Si bien se conocen algunos ejemplos de ábaco romano como el de la figura, donde las cuentas se deslizan a lo largo de ranuras, no se sabe nada con certeza sobre el origen del ábaco oriental y si éste podría estar inspirado en aquel. Una frase confusa del Shushu Jiyi (術數紀遺) de Xu Yue (徐岳), que quizás data del siglo II, a menudo se cita como la descripción de un dispositivo de cálculo que podríamos identificar con un ábaco y que se ha interpretado de diferentes maneras[2]; por ejemplo, como en la figura (a) anterior. En esta interpretación de un primer ábaco chino como ábaco de mesa, la parte central se divide en una serie de columnas de dos partes; la superior asignaría un valor de 5 a cada cuenta y la inferior un valor de 1, mientras que las cuentas inactivas (sin usar) esperan dispersas por encima y por debajo de la parte central[3].
Se desconoce cuándo apareció el ábaco de cuentas ensartadas a lo largo de varillas, pero cuando este ábaco sustituyó en China a las varillas de cálculo a lo largo del siglo XVI, no tenía cuatro cuentas inferiores y una superior como el ábaco romano (nos referiremos a esta disposición como un ábaco tipo 4+1) sino cinco en la parte inferior y dos en la parte superior (ábaco tipo 5+2), separadas por una barra horizontal. Las cuentas adicionales, no necesarias para el cálculo con números decimales, se introdujeron por conveniencia para adaptar al ábaco los algoritmos que se habían desarrollado con las varillas de cálculo. Históricamente, se han utilizado los cuatro tipos de ábaco descritos en la figura siguiente:
Simbólicamente, las áreas superior e inferior del ábaco han sido designadas Cielo (天, Tiān en chino, Ten en japonés) y Tierra (地, De en chino, Chi en japonés).
En la primera sección de este libro nos centraremos en el uso del ábaco tipo 4+1 o ábaco moderno, siguiendo lo que llamaremos el método moderno. Si entiende los principios en los que se basa cualquier ábaco y aprende a usar el ábaco moderno, no tendrá dificultad en imaginar cómo puede usarse cualquier otro tipo de ábaco, al menos para operaciones elementales de suma y resta. Esto podría incluir, ¿por qué no? el siguiente ábaco para cálculos sexagesimales conjeturado por Woods[1] como el ábaco babilónico, basado en lo que sabemos sobre las matemáticas en Mesopotamia ... ¡y en los errores detectados que cometieron los escribas y sus aprendices!
Referencias
editar- ↑ 1,0 1,1 1,2 Woods, Christopher (2017). «The Abacus in Mesopotamia: Considerations from a Comparative Perspective». En Feliu, Lluis; Karahashi, Fumi; Rubio, Gonzalo (en Inglés). The First Ninety Years: A Sumerian Celebration in Honor of Miguel Civil. De Gruiter. ISBN 9781501511738.
- ↑ Martzloff, Jean-Claude (2006). A history of chinese mathematics. Springer. ISBN 978-3-540-33782-9.
- ↑ Kojima, Takashi (1963). Advanced Abacus: Theory and Practice. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN 978-0-8048-0003-7.
Primer Plano del Ábaco Oriental
editarDescripción del ábaco oriental
editarEl ábaco oriental consta de las siguientes partes hechas de madera, bambú, metal, plástico, etc.:
- Un marco rectangular.
- Un cierto número de varillas paralelas los lados más cortos del marco a lo largo de las cuales se ensartan las cuentas. El número de varillas es tradicionalmente impar, y suele estar comprendido entre 9 y 27.
- Una barra o viga, paralela a los lados más largos del marco, divide el ábaco y las varillas en dos partes: una superior más estrecha, el Cielo, y una más ancha abajo, la Tierra.
- Cuentas superiores, es decir, las de la región superior de las varillas, a las que se asigna un valor de 5 cuando se activan.
- Cuentas inferiores, las de la región inferior de las varillas a las que se asigna un valor de 1 cuando se activan.
- Algunos ábacos modernos pueden incluir un botón de reinicio para devolver las cuentas a su posición inactiva (ver más abajo).
- Los ábacos modernos también suelen presentar algún tipo de marcas unitarias cada tres varillas para facilitar la alineación de los números así como la lectura de los mismos. Son convenientes para ábacos con un número elevado de varillas (17-27), pero no son esenciales. Para algunos es una molestia.
Es conveniente señalar que los ábacos chinos suelen tener cuentas de formas redondeadas mientras que los japoneses las tiene de forma bicónica, como puede apreciarse en las imágenes anteriores.
Cuentas activas e inactivas
editarLas cuentas se consideran inactivas mientras están separadas de la barra o viga central. El ábaco de la siguiente figura se ha restablecido o borrado y todas sus cuentas están inactivas. Se puede considerar que todas las barras contienen ceros.
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Cuando movemos las cuentas hacia la barra central las consideramos activas y es entonces cuando adquieren el valor asignado 5 (las superiores) o 1 (las inferiores). Esto es lo que nos permite representar números. Con un ábaco moderno tipo 4+ 1 podemos formar exactamente los diez dígitos del 0 al 9 necesarios para realizar cálculos con números decimales, y estos dígitos tienen una representación única.
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Pero con un ábaco tradicional 5+2, y usando la cuenta suspendida, podemos representar números hasta 20 en cada varilla!
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
Observe las tres peculiaridades del ábaco tradicional:
- La posibilidad de representar números de 10 a 20 en una sola varilla. Esto es importante en algunas técnicas tradicionales de multiplicación y división que son explicadas en la sección pertinente de este libro.
- El uso de la cuenta suspendida para representar los números del 15 al 20. De hecho, el ábaco tradicional debería tener tres cuentas en la parte superior (ábaco tipo 5+3) para ser usado con las técnicas tradicionales de multiplicación y división, pero el uso de la tercera bola superior resulta muy esporádico y compensa prescindir de dicha tercera cuenta simulándola con la cuenta suspendida.
- El hecho de que los números 5, 10 y 15 se pueden representar de dos formas diferentes: usando la quinta cuenta inferior o no. Este hecho puede usarse para simplificar un poco las operaciones de suma y resta como podrá verse en el capítulo dedicado al uso de la quinta cuenta inferior.
Puesta a cero del ábaco
editarDespués de terminar un cálculo y antes de comenzar uno nuevo, será necesario restablecer el ábaco a su estado inicial (todas las cuentas inactivas).
- Si su ábaco tiene un botón de reinicio, simplemente presiónelo y tendrá su ábaco listo para un nuevo uso.
- Con un ábaco de estilo japonés moderno (soroban, con cuentas bicónicas) esto se consigue de una forma muy rápida y eficaz. Simplemente incline el ábaco hacia usted hasta que todas las cuentas caigan a su posición más baja y devuelva el ábaco a su posición habitual sobre la mesa. Luego, con un movimiento rápido, deslice la uña de su dedo índice derecho de izquierda a derecha, justo por encima de la viga central, para empujar las cuentas superiores hacia arriba.
- Con un ábaco de estilo tradicional chino (suanpan con cuentas redondeadas) la maniobra anterior puede no funcionar correctamente; pero si el ábaco es lo suficientemente grande, hay otro procedimiento que representa un pequeño desafío de habilidad interesante en sí mismo:
- Tome el ábaco con ambas manos por los lados cortos del marco e inclínelo hacia usted unos 45 grados hasta que caigan las cuentas.
- Desde esa posición y sin mover los antebrazos, fuerce una rotación brusca del ábaco a la posición horizontal con un giro de sus muñecas. Si el eje de rotación definido por sus muñecas pasa por la más alta de las cuentas inferiores, la fuerza centrífuga llevará a las superiores a su posición inactiva.
- Vuelva a poner el ábaco sobre la mesa.
- Probablemente necesitará algo de tiempo para perfeccionar esta técnica.
- Finalmente, si todo lo anterior falla, como último recurso, puede usar los dedos de su mano como una escoba para barrer las cuentas a su posición inactiva.
Moviendo las cuentas
editarHasta finales del siglo XIX en Japón, ningún autor antiguo se molestó en escribir sobre cómo se deben manipular las cuentas; pero seguramente la técnica se transmitió por vía oral.
Para empezar, digamos que los ábacos modernos son tan ligeros que es necesario sujetarlos con la mano izquierda para estabilizarlos y evitar que se muevan sobre la mesa al manipular las cuentas. Esto tendría consecuencias desastrosas si ese movimiento induce el desplazamiento de otras cuentas distintas a las que queremos mover. En comparación, otros ábacos tradicionales son tan pesados que permanecen estables por sí mismos, lo que le permite usar su mano izquierda para otros fines, como por ejemplo seguir una lista de números en un libro de contabilidad; además, podría utilizar uno de estos ábacos como pisapapeles para estabilizar una pila de facturas, etc.
Así pues, emplearemos la mano izquierda para estabilizar el ábaco sobre la mesa mientras que usaremos la mano derecha para la manipulación de las cuentas. Mencionemos sin embargo que, en algunas regiones de Asia, se enseña a mover las cuentas usando ambas manos.
Qué dedos usar
editarPara ábacos modernos con una longitud de varilla de aproximadamente 6 cm, se recomienda utilizar dos dedos: el pulgar y el índice de la mano derecha.
- Use su dedo índice para mover las cuentas superiores hacia arriba y hacia abajo y para mover las cuentas inferiores hacia abajo.
- Use su pulgar para mover las cuentas inferiores hacia arriba.
Pero algunos maestros muy experimentados solo usan el dedo índice ...
Para ábacos tradicionales más grandes, se recomienda usar tres dedos: pulgar, índice y dedo medio de la mano derecha.
- Use su dedo medio para mover las cuentas superiores hacia arriba y hacia abajo.
- Use su dedo índice para mover las cuentas inferiores hacia abajo.
- Use su pulgar para mover las cuentas inferiores hacia arriba
Movimientos combinados
editarCuando la operación afecte tanto a las cuentas superiores como a las inferiores, intente seguir las reglas de la tabla siguiente. Algunos movimientos pueden realizarse simultáneamente y otros deben realizarse en rápida sucesión en el orden indicado.
Para mover →
y ↓ |
Cuenta superior hacia arriba | Cuenta superior hacia abajo |
---|---|---|
Cuenta(s) inferior(es) hacia arriba | Hágalo simultáneamente | Hágalo simultáneamente |
Cuenta(s) inferior(es) hacia abajo | Primero la(s) cuenta(s) inferior(es), luego la superior | Primero la cuenta superior, luego la(s) inferior(es) |
Ejercicios
editar- Ingrese los dígitos del 1 al 9 de izquierda a derecha en cualquier lugar de su ábaco (moderno o tradicional) usando las reglas anteriores.
- luego, elimínelos de izquierda a derecha utilizando también las reglas anteriores.
- Ingrese tres o más seises consecutivos de izquierda a derecha y límpielos en rápida sucesión de izquierda a derecha.
- Este ejercicio debería repetirlo diariamente unas cuantas veces hasta que pueda hacerlo casi sin mirar el ábaco.
Adición y Sustracción
editarIntroducción
editarComo ya se ha dicho en el capítulo Conceptos Básicos de este libro, la suma y la resta son las dos únicas operaciones que se pueden realizar en el ábaco; todo lo demás debe reducirse a una secuencia de tales sumas y restas, por lo que aprender estas dos operaciones es el paso más fundamental en el estudio del ábaco.
Aprender a sumar y restar con el ábaco es otro caso de aprendizaje psicomotor, similar a aprender a bailar, montar en bicicleta, conducir o aprender un instrumento musical.
- En una primera fase se necesita un esfuerzo cognitivo continuo tratando de determinar cuál es el siguiente movimiento que se tiene que hacer.
- Posteriormente, se tiende a pensar menos mientras los movimientos van surgiendo de una forma cada vez más automática.
- Finalmente, los movimientos surgirán espontáneamente, se tendrán definitivamente programados en la corteza cerebral motora y no habrá que volver a pensar en ellos. No obstante, se podrán perfeccionar a lo largo de toda la vida.
Sí, estudiar el ábaco es como aprender a tocar un instrumento musical, pero aprender el ábaco es mucho más fácil y rápido que aprender a tocar la viola y el progreso se puede notar día a día.
En lo que sigue nos ocuparemos de la suma y la resta conjuntamente; en efecto, sería muy difícil separar el aprendizaje de una de estas operaciones de la otra ya que, como veremos, cuando estamos sumando pasamos la mitad del tiempo restando números complementarios y viceversa, cuando estamos restando pasamos la mitad del tiempo sumando dichos números complementarios.
También se ha anticipado en el capítulo citado de este libro que no es necesario saber sumar y restar para usar un ábaco, solo saber manipular las cuentas o contadores. De hecho, durante siglos se enseñó el ábaco a personas que no tenían conocimientos previos de aritmética, y que el único conocimiento que tendrían de ella a lo largo de su vida sería el uso del propio ábaco. Aprendieron a sumar y restar memorizando una larga serie de, llamémoslo, versos, rimas o reglas destinadas a ser cantadas o recitadas a medida que se practicaban. Por ejemplo, tomándolas del Pánzhū Suànfǎ de Xú Xīnlǔ[1], el primer libro completamente dedicado al ábaco publicado en 1573 (finales de la dinastía Ming), y traducido libremente del chino:
Reglas para la suma de un dígito (Xú Xīnlǔ, 1573) |
---|
1 activar 1, 1 activar 5 desactivar 4, 1 restar 9 llevar 1 |
2 activar 2, 2 activar 5 desactivar 3, 2 restar 8 llevar 1 |
3 activar 3, 3 activar 5 desactivar 2, 3 restar 7 llevar 1 |
4 activar 4, 4 activar 5 desactivar 1, 4 restar 6 llevar 1 |
5 activar 5, 5 desactivar 5 llevar 1 |
6 activar 6, 6 activar 1 desactivar 5 llevar 1, 6 restar 4 llevar 1 |
7 activar 7, 7 activar 2 desactivar 5 llevar 1, 7 restar 3 llevar 1 |
8 activar 8, 8 activar 3 desactivar 5 llevar 1, 8 restar 2 llevar 1 |
9 activar 9, 9 activar 4 desactivar 5 llevar 1, 9 restar 1 llevar 1 |
Reglas para la resta de un dígito (Xú Xīnlǔ, 1573) |
---|
1 desactivar 1, 1 tomar 1 sumar 9, 1 activar 4 desactivar 5 |
2 desactivar 2, 2 tomar 1 sumar 8, 2 activar 3 desactivar 5 |
3 desactivar 3, 3 tomar 1 sumar 7, 3 activar 2 desactivar 5 |
4 desactivar 4, 4 tomar 1 sumar 6, 4 activar 1 desactivar 5 |
5 desactivar 5, 5 tomar 1 sumar 5 |
6 desactivar 6, 6 tomar 1 sumar 4 |
7 desactivar 7, 7 tomar 1 sumar 3 |
8 desactivar 8, 8 tomar 1 sumar 2 |
9 desactivar 9, 9 tomar 1 sumar 1 |
Lo cual, obviamente, nos informa de qué cuentas tenemos que mover para sumar o restar un dígito. Por ejemplo, la tercera línea de la tabla de suma contiene tres reglas para intentar sumar un 3:
- 3 activar 3, es decir, simplemente activar tres cuentas inferiores.
- 3 activar 5 desactivar 2, es decir, activar una cuenta superior y desactivar dos inferiores.
- 3 restar 7 lleva 1, es decir, restar 7 y acarrear (sumar) 1 a la columna de la izquierda.
que se aplican, por ejemplo, a los siguientes casos:
A | A | |
---|---|---|
3 activar 3 | ||
1 | 4 |
A | A | |
---|---|---|
3 activar 5 desactivar 2 | ||
3 | 6 |
A | B | A | B | |
---|---|---|---|---|
3 restar 7 acarrear 1 | ||||
0 | 9 | 1 | 2 |
Comprenderá mejor estas reglas más adelante, pero no se preocupe de todos modos, no tendrá que seguir estas 48 reglas, ya que irá por un camino más fácil memorizando solo seis reglas que, además, se pueden resumir en sólo tres.
Suma y resta de un dígito
editarEl primer paso para aprender a sumar y restar con un ábaco es aprender a sumar o restar uno de los 9 dígitos 1, 2,..., 9 a/de cualquier otro 0, 1, 2,..., 9; en total 180 casos que recorreremos en nuestra práctica diaria hasta que los tengamos integrados en nuestra memoria motora. Después de esto, sumar o restar números de varios dígitos será tan simple como iterar este proceso de manera ordenada para todos los dígitos del sumando o sustraendo.
Lo que necesita saber
editarPara tratar los 180 casos mencionados anteriormente sin memorizar las 48 reglas del Panzhu Suanfa, necesitamos memorizar algunos datos casi triviales:
- las cuentas necesarias para formar un dígito.
- los complementos a 5 de los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5
- los complementos a 10 de los dígitos 1, 2, ..., 10
Cuentas necesarias para formar un dígito
editarRecuerde lo que se dijo en los Conceptos Básicos de este libro: "La suma se simula reuniendo los conjuntos de contadores que representan a los dos sumandos, mientras que la resta se simula eliminando del conjunto de contadores que representan al minuendo un conjunto de contadores que representan al sustraendo" . Por lo tanto, necesitamos saber las cuentas que componen cada dígito para poder sumarlas o restarlas, pero esto ya lo sabemos por la figura:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
o en forma de tabla:
Dígito | Superiores | inferiores |
---|---|---|
1 | 0 | 1 |
2 | 0 | 2 |
3 | 0 | 3 |
4 | 0 | 4 |
5 | 1 | 0 |
6 | 1 | 1 |
7 | 1 | 2 |
8 | 1 | 3 |
9 | 1 | 4 |
Números complementarios
editarTambién necesitamos memorizar dos tipos de parejas de dígitos:
- Números complementarios a 5
- Números complementarios a 10
Estos son las parejas de dígitos que juntos suman 5 o 10. Siempre los podemos encontrar mentalmente con nuestro conocimiento de suma y resta, pero con la práctica terminarán sólidamente instalados en nuestra memoria sin la necesidad de "calcularlos" mentalmente. Son la base de la mecánica del ábaco.
0 - 5 | 1 - 4 | 2 - 3 |
0 - 10 | 1 - 9 | 2 - 8 | 3 - 7 | 4 - 6 | 5 - 5 |
En una etapa posterior, para tratar con números negativos, también necesitará manejar números complementarios a 9:
0 - 9 | 1 - 8 | 2 - 7 | 3 - 6 | 4 - 5 |
Pero por ahora puede olvidarse de ellos sin problemas.
Las reglas a utilizar
editarLa mecánica de la suma y la resta se basa en tres reglas que se probarán en secuencia tomando en cuenta lo siguiente:
- Sólo si una regla fracasa (porque no dispongamos de las cuentas necesarias para completar la operación) procederemos a probar con la siguiente regla.
- La segunda de las reglas solo funciona para los dígitos 1, 2, 3 y 4.
- La tercera regla descompone la operación en otras dos "más simples" : un acarreo a la columna directamente a la izquierda, sea llevar (sumar 1) o tomar prestado (restar 1) de esa columna, más una operación del tipo opuesto (es decir, una resta si estamos sumando o una suma si estamos restando). En este caso:
- La primera operación, con la columna de la izquierda (llevar o tomar prestado), es trivial la mayor parte de las veces, pero no siempre.
- La segunda operación (la opuesta a la inicial) culminará usando las reglas 1 o 2 (nunca 3) de la operación contraria; es decir, la operación acabará aquí.
- Necesitaremos decidir en qué orden haremos estas dos operaciones.
Reglas para la suma
editarEstas son las reglas para la suma de un dígito:
1 | Trate de añadir las cuentas necesarias |
---|---|
2 | Trate de añadir 5 (una cuenta superior) y retirar el complementario a 5 (cuentas inferiores) |
3 | Lleve 1 a la izquierda y reste el complementario a 10 |
Reglas para la resta
editarY estas son las reglas para su sustracción:
1 | Trate de retirar las cuentas necesarias |
---|---|
2 | Trate de retirar 5 (cuenta superior) y añadir el complementario a 5 (cuentas inferiores) |
3 | Tome prestado 1 de la izquierda y sume el complementario a 10 |
Reglas conjuntas de suma y resta
editarLas reglas anteriores para la suma y la resta son de estructura idéntica, por lo que podemos fusionarlas en:
1 | Trate de añadir/retirar las cuentas necesarias |
---|---|
2 | Trate de añadir/retirar 5 (cuenta superior) y retirar/añadir el complementario a 5 (cuentas inferiores) |
3 | Lleve/tome prestado 1 de la izquierda y reste/sume el complementario a 10 |
¡y así sólo tendremos tres reglas que memorizar! Estas reglas nos ayudarán en la fase inicial de nuestra práctica a decidir qué cuentas hemos de mover, pero con el tiempo las iremos necesitando cada vez menos, conforme vayamos integrando en nuestra memoria motora cada uno de los 180 casos de suma y resta de un dígito y, con la práctica, llegaremos a prescindir totalmente de ellas. Entonces podremos decir que hemos aprendido a sumar y restar con el ábaco.
Las reglas anteriores nos muestran la absoluta simetría de las operaciones de suma y resta con el ábaco y justifican que tratemos ambas operaciones conjuntamente.
Orden de las operaciones
editarAntes de pasar a algunos ejemplos preliminares tenemos que decidir qué orden de operación usar en caso de llegar a la regla 3, lo que sucederá la mitad de las veces. Esta regla nos lleva a dividir el problema original en dos partes, con suerte más simples: un acarreo (llevada o préstamo) y una operación del tipo opuesto a la que estamos realizando. ¿Qué hacemos primero?
El método estándar japonés que se enseña actualmente y desde finales del siglo XIX propone realizar primero el préstamo y luego la suma del número complementario en el caso de la resta (lo cual recibe el nombre de sakidama 先珠 en japonés), mientras que en el caso de la suma, la resta del número complementario se hace primero y luego se lleva 1 a la columna de la izquierda (atodama 後珠)[2]. Esto parece inspirado en la estructura de las reglas / versos / rimas chinas utilizadas para enseñar el ábaco desde la antigüedad, pero no parece haber ninguna razón lógica convincente para hacerlo y no todos están de acuerdo.[3].
Como veremos, con el ábaco se trabaja de izquierda a derecha durante la suma y resta de números de varios dígitos, por lo que parece natural intentar respetar este movimiento de izquierda a derecha de la mano sin molestarla con continuas idas y venidas a la columna de la izquierda. Usar siempre sakidama (llevar y tomar prestado primero), tanto para la suma como para la esta, parece lo más natural.
No hace falta decir que si tiene un profesor o un entrenador debe seguir escrupulosamente sus instrucciones, pero si es autodidacta no dude en experimentar hasta encontrar su camino.
Por cierto, en algunos países asiáticos se enseña a usar la mano izquierda para llevar y tomar prestado.
Algunos ejemplos preliminares
editar- Ejemplo
- Ponga un 1 en una columna de su ábaco y súmele 3:
- ¿Tenemos a nuestra disposición (inactivas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para sumarlas al 1 de nuestro ábaco? ¡Sí!
- * entonces, las activamos y hemos completado la operación con la primera regla.
A | A | |
---|---|---|
Regla 1 | ||
1 | 4 |
- Ejemplo
- Entre 3 en una columna de su ábaco y súmele otro 3:
- ¿Tenemos a nuestra disposición (inactivas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para sumarlas a las 3 de nuestro ábaco? ¡No!
- * entonces, pasamos a la segunda regla.
- Como el sumando 3 es menor que 5 podemos probar la segunda regla: ¿Tenemos a nuestra disposición (inactiva) una cuenta superior? ¡Sí!
- * entonces, aplicamos la segunda regla: activamos la cuenta superior y retiramos dos cuentas inferiores (el complemento a 5 del sumando 3).
A | A | |
---|---|---|
Regla 2 | ||
3 | 6 |
- Ejemplo
- Ponga 9 en una columna de su ábaco y sume 3:
- ¿Tenemos a nuestra disposición (inactivas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para sumarlas a las 3 de nuestro ábaco? ¡No!
- * entonces, pasamos a la segunda regla.
- Como el sumando 3 es menor que 5 podemos probar la segunda regla: ¿Tenemos a nuestra disposición (inactiva) una cuenta superior? ¡No!
- * Entonces procedemos a la tercera regla:
- Sume 1 a la columna A y reste 7 (el complemento a 10 de 3) de B
- ¿Tenemos a nuestra disposición (activas, estamos restando ahora de la columna B) las cuentas necesarias (una cuenta superior y 2 inferiores) para retirarlas del 9 de nuestro ábaco? ¡Sí!
- * entonces, retírelas y habremos completado esta parte de la operación con la primera regla.
A | B | A | B | |
---|---|---|---|---|
Regla 3 | ||||
0 | 9 | 1 | 2 |
Como puede ver, las reglas utilizadas aquí son las mismas que aparecieron en el Panzhu Suanfa de Xu Xinlu, ¡pero condensadas en sólo tres reglas gracias al concepto de números complementarios!
Veamos ahora los movimientos inversos para la resta:
- Ejemplo
- Ingrese 4 en una columna de su ábaco y reste 3 de la misma:
- ¿Tenemos a nuestra disposición (activas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para retirarlas de las 4 en nuestro ábaco? ¡Sí!
- * entonces, las desactivamos y habremos completado la operación con la primera regla.
A | A | |
---|---|---|
Regla 1 | ||
4 | 1 |
- Ejemplo
- Entre 6 en una columna de su ábaco y reste 3 de ella:
- ¿Tenemos a nuestra disposición (activas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para restarlas a las 6 de nuestro ábaco? ¡No!
- * entonces, pasamos a la segunda regla.
- Como el sustraendo 3 es menor que 5 podemos probar la segunda regla: ¿Tenemos a nuestra disposición (activa) una cuenta superior? ¡Sí!
- * Entonces aplicamos la segunda regla: desactivamos la cuenta superior y agregamos dos cuentas inferiores (el complemento a 5 del sustraendo 3).
A | A | |
---|---|---|
Regla 2 | ||
6 | 3 |
- Ejemplo
- Entre 12 en un par de columnas de su ábaco (AB) y reste 3 de B:
- ¿Tenemos a nuestra disposición (activas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para retirarlas de B? ¡No!
- * Entonces, intentamos la segunda regla.
- Como el sustraendo 3 es menor que 5 podemos probar la segunda regla: ¿Tenemos a nuestra disposición (activa) una cuenta superior? ¡No!
- * Entonces, pasamos a la tercera regla:
- Tome prestado (reste) 1 de A y sume 7 (el complemento a 10 de 3) a B
- ¿Tenemos a nuestra disposición (inactivas, estamos sumando ahora) Las cuentas necesarias (una cuenta superior y 2 inferiores) para agregarlas a las 2 en B? ¡Sí!
- * entonces, actívelas y habremos completado esta parte de la operación con la primera regla.
A | B | A | B | |
---|---|---|---|---|
Regla 3 | ||||
1 | 2 | 0 | 9 |
Tipos de suma y resta de un solo dígito
editarLa siguiente tabla muestra para cada una de las 180 operaciones elementales de suma y resta qué regla nos resuelve el problema. Puede serle útil durante sus primeras prácticas, para elegir qué dígitos sumar o restar.
Suma | Resta | |||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||
+1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 | -1 | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
+2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 3 | 3 | -2 | 3 | 3 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | |
+3 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 3 | 3 | 3 | -3 | 3 | 3 | 3 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | |
+4 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | -4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | |
+5 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | -5 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
+6 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | -6 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
+7 | 1 | 1 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | -7 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 | 1 | 1 | |
+8 | 1 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | -8 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 | 1 | |
+9 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | -9 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 |
Como puede ver, las tablas anteriores para la suma y la resta son imágenes especulares entre sí. Observe también cómo la mitad de los casos corresponden a la regla tres, es decir, requieren acarreos, y de ellos, los marcados en negrita, terminan con una operación de tipo 2 opuesta. Verifique también cómo la regla 2 solo afecta la suma o resta de dígitos menores que 5.
Ejemplos
editarEstudie detenidamente los siguientes ejemplos.
- Ejemplo
- Ponga 5 en una columna de su ábaco y sume 7:
En este ejemplo, que requiere un acarreo (regla 3), la resta del número complementario a su vez requiere el uso de la regla 2, que afecta a la cuenta superior.
A | B | A | B | |
---|---|---|---|---|
Regla 3 seguida de regla 2 | ||||
0 | 5 | 1 | 2 |
- Ejemplo
- Entre 95 en el ábaco y súmele 7:
Ahora el acarreo conduce a otra operación de tipo 3, que requiere a su vez un nuevo acarreo. En esta operación se ven afectadas tres columnas del ábaco.
A | B | C | A | B | C | |
---|---|---|---|---|---|---|
Regla 3 + regla 3 | ||||||
0 | 9 | 5 | 1 | 0 | 2 |
- Ejemplo
- Entre 999995 en el ábaco y súmele 7:
Se trata de una situación extrema, extrapolación del caso anterior, que conviene estudiar detenidamente. ¡El acarreo se extiende o corre a través de las columnas de la izquierda hasta que encuentra un hueco para alojarse!
A | B | C | D | E | F | G | A | B | C | D | E | F | G | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Regla 3 + Regla 3 +... | ||||||||||||||
0 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
Piense que, si tuviéramos a nuestra disposición una quinta cuenta inferior, como en el caso del ábaco tradicional, podríamos haber evitado este "acarreo" al menos temporalmente.
A | B | C | D | E | F | A | B | C | D | E | F | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Regla 3 | ||||||||||||
9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 5 | 9 | 9 | 9 | 9 | 10 | 2 |
Para obtener detalles sobre el uso de la quinta bola inferior, puede consultar el capítulo correspondiente una vez que haya adquirido suficiente práctica.
- Ejemplo
- Entre 50 en su ábaco y reste 3:
En este caso de una operación de tipo 3, el acarreo (préstamo) a su vez requiere una operación de tipo 2 (que afecta a la cuenta superior).
A | B | A | B | |
---|---|---|---|---|
... | ||||
5 | 0 | 4 | 7 |
- Ejemplo
- Introduzca 10006 en su ábaco y reste 7:
Finalmente, este es un caso de "pedir prestado" donde tenemos que viajar lejos hacia la izquierda para encontrar algo de lo que poder restar. Estudie también este caso detenidamente.
A | B | C | D | E | A | B | C | D | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
... | ||||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 6 | 0 | 9 | 9 | 9 | 9 |
Se trata también de una situación que se intenta paliar con el uso de una quinta cuenta inferior en los ábacos tradicionales.
Dos consejos
editarHasta aquí nuestras explicaciones teóricas o intelectuales sobre el ábaco. Ahora ya sabe lo que "es" el ábaco oriental y está en camino. Este conocimiento intelectual será su guía durante sus primeros pasos, pero con la práctica, los movimientos de las cuentas se convertirán en una segunda naturaleza para usted y nunca volverá a pensar en todas estas reglas (al menos, hasta que escriba su primer libro sobre el ábaco). Para lograr esto necesitará practicar y practicar y te ofrecemos un par de consejos importantes que le ayudarán a completar el camino que está tomando ahora.
- Nunca lea los resultados intermedios. Este es un mal hábito que no conduce a nada, sólo a perder tiempo y energía mental, y lo que quiere es adquirir rapidez y confort en el uso del ábaco. Su ábaco está ahí para mantener sus números seguros sin que tenga que preocuparse de ellos. Debería limitarse a "reaccionar" a la disposición de las cuentas sin ser consciente del número que estas representan.
- Olvídese de las tablas de sumar y restar, salvo lo que hemos extraído de ellas en forma de números complementarios a 5 y 10. En particular, nunca piense: "Tengo que sumar 7+8, esto da 15, luego tiene que aparecer un quince en el ábaco". Si hace esto, estará "pensando" mientras suma y resta, y eso lo cansará y lo frenará. Si tiene que pensar en algo, piense en las reglas de movimiento de las cuentas y no en los números, ...hasta que sea capaz de sumar y restar mecánicamente mientras piensa en cualquier otra cosa.
Si no sigue estos consejos, probablemente desarrollará un mal hábito que puede ser muy difícil de corregir posteriormente, como ocurre con los malos hábitos que se adquieren, por ejemplo, al estudiar un instrumento musical.
Y ahora la práctica
editarSus primeros ejercicios deben ser lo más simples posible y nada parece más fácil que elegir aleatoriamente dos dígitos, por ejemplo: 6 y 8, y tratar de sumarlos o restarlos (quizás agregando un uno delante del primer número si al restar el segundo necesita tomar prestado). Puede utilizar la tabla de tipos de operaciones explicada anteriormente en este capítulo para conocer de antemano el tipo de operación a realizar.
Posteriormente, se debe proceder a una práctica sistemática de los 180 casos de suma y resta de un solo dígito, para lo cual se propone el siguiente ejercicio que también servirá como introducción a la suma y resta de números de varios dígitos.
Comience con el ábaco en el siguiente estado, con el número 123456789, y agregue el mismo dígito a cada una de las nueve columnas B - J procediendo de izquierda a derecha
A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Por ejemplo, para sumar 1 a cada uno de los dígito de 123456789; es decir, para sumar 111111111 a 123456798, siga los pasos indicados en la siguiente tabla
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJ | |
123456789 | Empezar con esto |
+1 | Sumar 1 a B (Tipo 1) |
+1 | Sumar 1 a C (Tipo 1) |
+1 | Sumar 1 a D (Tipo 1) |
+1 | Sumar 1 a E (Tipo 1) |
+1 | Sumar 1 a F (Tipo 1) |
+1 | Sumar 1 a G (Tipo 1) |
+1 | Sumar 1 a H (Tipo 1) |
+1 | Sumar 1 a I (Tipo 1) |
+1 | Sumar 1 a J (Tipo 3 con doble acarreo) |
234567900 | Resultado |
ABCDEFGHIJ |
y debería llegar al resultado indicado: 123456789 + 111111111 =234567900. La siguiente tabla muestra los resultados de sumar 111111111, 222222222, ... 999999999 a 1234568789.
d | Resultado |
---|---|
1 | 234567900 |
2 | 345679011 |
3 | 456790122 |
4 | 567901233 |
5 | 679012344 |
6 | 790123455 |
7 | 901234566 |
8 | 1012345677 |
9 | 1123456788 |
En cuanto a la resta, añadiremos un 1 adicional a la columna A para futuros acarreos:
A | B | C | D | E | F | G | H | I | K |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
y procederemos de forma similar
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJ | |
1123456789 | Inicio |
-1 | Restar 1 de B (Tipo 1) |
-1 | Restar 1 de C (Tipo 1) |
-1 | Restar 1 de D (Tipo 1) |
-1 | Restar 1 de E (Tipo 1) |
-1 | Restar 1 de F (Tipo 2) |
-1 | Restar 1 de G (Tipo 1) |
-1 | Restar 1 de H (Tipo 1) |
-1 | Restar 1 de I (Tipo 1) |
-1 | Restar 1 de J (Tipo 3) |
1012345678 | Resultado |
ABCDEFGHIJ |
y deberiamos obtener: 1012345678 = 1123456789-111111111. Para el resto de dígitos, la siguiente tabla muestra los resultados de restar 111111111, 222222222, ... 999999999 de 1123456789.
d | Resultado |
---|---|
1 | 1012345678 |
2 | 901234567 |
3 | 790123456 |
4 | 679012345 |
5 | 567901234 |
6 | 456790123 |
7 | 345679012 |
8 | 234567901 |
9 | 123456790 |
Durante un tiempo debería practicar estos ejercicios a diario hasta que note que poco a poco va sustituyendo su trabajo intelectual (pensando en las reglas a utilizar) por una respuesta mecánica instintiva.
Sumas y restas de varios dígitos
editarTrabajar siempre de izquierda a derecha
editarEn castellano, los números se nombran comenzando con la potencia más alta de diez; 327 es "trescientos veintisiete" y no "siete veinte trescientos". Este es el caso de muchos otros idiomas, incluidos el chino y el japonés, pero no de otros como los de la familia semítica. Esta es la razón principal por la que en el ábaco la suma o resta de números de varios dígitos se trabaja de izquierda a derecha; esto hará las cosas más sencillas, tanto si tenemos que leer los números de una lista como si alguien nos los dicta.
Por ejemplo, obtengamos 44 + 78. Comencemos con un ábaco puesto a cero e introduzcamos el primer sumando 44 en cualquier lugar del mismo (alineado con una marca de varilla unitaria si lo desea, esto es conveniente pero no esencial)
A | B | C |
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
ponga 4 (40) en B
A | B | C |
---|---|---|
0 | 4 | 0 |
ahora 4 en C
A | B | C |
---|---|---|
0 | 4 | 4 |
ahora sume 7 (70) a B
A | B | C |
---|---|---|
1 | 1 | 4 |
por último sume 8 a C
A | B | C |
---|---|---|
1 | 2 | 2 |
El resultado: 122 aparece en ABC.
En una forma más compacta:
Abacus | Comment |
---|---|
ABC | |
. | Marca unidad en C |
4 | Entre 4 en B (40) |
44 | Entre 4 en C |
+7 | Sume 7 a B (70) |
114 | |
+8 | Sume 8 a C |
122 | Resultado |
. | Marca unidad en C |
Otro ejemplo. Supongamos que tenemos que obtener el total de estas cantidades en euros:
7.77 € |
11.99 € |
69.62 € |
54.43 € |
-96.99 € |
Total |
---|
46.82 € |
Comience poniendo a cero su ábaco e introduzca el primer número (de izquierda a derecha). Puede alinearlo con algunos de los marcadores de puntos unitarios si lo desea.
A | B | C | D | E | F |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 7 | 7 | 7 | 0 |
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEF | |
. . | Marca unidad |
777 | Entre 7.77 € |
+1 | Sumar 11.99 € |
+1 | |
+9 | |
+9 | |
1976 | Resultado intermedio |
+6 | Sumar 69.62 € |
+9 | |
+6 | |
+2 | |
8938 | Resultado intermedio |
+5 | Sumar 54.43 € |
+4 | |
+4 | |
+3 | |
14381 | Resultado intermedio |
-9 | Restar 96.99 # |
-6 | |
-9 | |
-9 | |
4682 | Total: 46.82 € |
. . | Marca unidad |
A | B | C | D | E | F |
---|---|---|---|---|---|
0 | 4 | 6 | 8 | 2 | 0 |
Formas de practicar la suma y la resta
editarCon hojas de ejercicios
editarDebería comenzar su práctica sumando y restando series cortas de números enteros pequeños; por ejemplo, de 3 a 5 números de 2 o 3 dígitos. Por ejemplo:
594
807 -660 -466 275 |
880
343 -181 -580 462 |
480
879 -472 19 906 |
336
309 450 -335 760 |
480
-269 -122 780 869 |
963
744 -154 -811 742 |
29
261 909 186 1385 |
373
-163 423 -445 188 |
Aumente progresivamente el tamaño de estas series hasta llegar a 10 números y, a partir de aquí, aumente progresivamente el tamaño de los números a sumar / restar a 5 o 6 dígitos. Por ejemplo:
514299
127127 774517 -895449 907858 67913 -918061 930513 -582082 -722266 204369 |
375287
611780 -312229 618415 -78719 -467463 -406146 481087 958663 216295 1996970 |
351129
806691 600755 -368489 815758 573731 51556 668536 -609796 713031 3602902 |
882678
876701 -365479 -157706 17497 999762 -262868 -910991 -56430 -333692 689472 |
758320
769094 991286 -49973 74914 -590317 644711 -900673 -449638 -380293 867431 |
562337
315480 -540643 513724 -651332 359925 285750 883744 -591941 75119 1212163 |
388730
-287030 -11891 323483 212117 373242 118641 -693301 442672 -370874 495789 |
798306
-483827 572862 840450 452414 -298427 503089 175358 918199 315118 3793542 |
Por lo tanto, necesitará colecciones de problemas de este tipo que puede generar con algunas utilidades gratuitas en Internet[4] [5] [6].
Con este tipo de práctica desarrollarás dos habilidades diferentes
- Sumar y restar eficientemente con el ábaco.
- leer números de un vistazo y guardarlos en la memoria el tiempo suficiente para trabajarlos en el ábaco.
Esto último es fundamental para, por ejemplo, hacer uso del ábaco en contabilidad.
Sin hojas de ejercicios
editarEl ejercicio 123456789
editarEn los libros antiguos sobre el ábaco era común demostrar la suma y la resta mediante un conocido ejercicio que consiste en sumar el número 123456789 nueve veces a un ábaco puesto a cero hasta llegar al número 1111111101, y luego borrarlo nuevamente restando el mismo número otras nueve veces. Este es un ejercicio conveniente porque usa muchos de los 180 casos de suma y resta de 1 dígito (pero no todos) y permite practicar la suma y resta con el ábaco solo, sin hojas de ejercicios en papel, pero no es un ejercicio elemental dada su longitud. Necesitará, por lo tanto, algo de tiempo de práctica para completarlo sin errores.
A lo largo de este ejercicio se obtienen los siguientes resultados parciales:
000000000 |
123456789 |
246913578 |
370370367 |
493827156 |
617283945 |
740740734 |
864197523 |
987654312 |
1111111101 |
Para más detalles, consulte el capítulo: [[../../Métodos Tradicionales/Variantes del Ejercicio 123456789|Variantes del Ejercicio 123456789]].
Sumas y restas con otros ábacos
editarTodo lo que aprenda sobre el ábaco oriental funcionará bien con otros tipos de ábaco o al menos simplificará su aprendizaje. Recuerde que las operaciones básicas del ábaco son la suma y la resta y todo lo demás debe reducirse a una secuencia de estas dos operaciones y al problema de cómo organizar tal secuencia de operaciones en el ábaco.
Varillas de cálculo
editarLas varillas de cálculo son otro ejemplo de un ábaco bi-quinario, por lo que se aplican las mismas tres reglas de suma y resta estudiadas aquí. Solo tiene que tener en cuenta que los conceptos de activar/desactivar cuentas se traducen en colocar/retirar varillas de la mesa y que "tener a nuestra disposición" varillas para añadir no se refiere al montón de varillas listas para usar que tenemos en la caja, sino a "encajar" dentro de los límites de representación de los números (una varillas de valor 5 y 5 varillas de valor 1 como máximo).
Ábaco ruso
editarEl ábaco ruso (Schoty) no es un ábaco bi-quinario; por lo que la segunda de las reglas de suma y resta que se dan aquí no funciona. todo se resuelve con la ayuda de la primera y la tercera reglas exclusivamente.
Recursos externos
editar- Uitti, Stephen. «Soroban Sheets (Addition and subtraction)». Soroban.
- Uitti, Stephen. «Soroban Sheets (Multiplication)». Soroban.
- «The generator». Practicing the soroban.
Referencias
editar- ↑ Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573] (en Chino). Pánzhū Suànfǎ (盤珠算法). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙).
- ↑ Kojima Takashi (1954). The Japanese Abacus: its Use and Theory. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN 978-0-8048-0278-9. https://archive.org/details/japaneseabacus00taka.
- ↑ Abraham, Ralph (2011). «Smart Moves». The Soroban Site of the Visual Math Institute. Archivado desde el original, el 18 de Enero de 2020. Consultado el 20 de Septiembre de 2021.
- ↑ Uitti, Stephen. «Soroban Sheets (Addition and subtraction)». Soroban.
- ↑ Uitti, Stephen. «Soroban Sheets (Multiplication)». Soroban.
- ↑ «The generator». Practicing the soroban.
Multiplicación Moderna
editar
Debería lograr algunas habilidades básicas de suma y resta antes de intentar la multiplicación. |
Introducción
editarEl concepto básico de multiplicación de números naturales es el de una suma repetida.
Por ejemplo, para multiplicar 47 por 23 solo es necesario sumar 23 47 veces o sumar 47 23 veces; lo podemos hacer con nuestro ábaco:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFHIJ | |
. . . | Marcas de unidad |
+1 +47 | Sumar 1 a C y 47 a IJ |
1 47 | |
+1 +47 | Sumar 1 a C y 47 a IJ |
2 94 | |
+1 +47 | Sumar 1 a C y 47 a IJ |
3 141 | |
... | Continuar del mismo modo
19 veces...! |
22 1034 | |
+1 +47 | Sumar 1 a C y 47 a IJ |
23 1081 | Fin. 23×47=1081 |
. . . | Marcas de unidad |
Donde repetimos 23 veces la suma de 47 a las columnas IJ mientras sumamos 1 a C para tener un "contador" a nuestra disposición. ¡Pero esto es tremendamente lento! Una forma más eficiente de hacer lo mismo puede ser la siguiente:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFHIJ | |
. . . | Marcas unidad |
+1 +47 | Sumar 1 a C y 47 a IJ |
1 47 | |
+1 +47 | Sumar 1 a C y 47 a IJ |
2 94 | |
+1 +47 | Sumar 1 a C y 47 a IJ |
3 141 | |
+1 +47 | Sumar 1 a B y 47 a HI |
13 511 | |
+1 +47 | Sumar 1 a B y 47 a HI |
23 1081 | Fin. 23×47=1081 |
. . . | Marcas unidad |
Donde esta vez, después de agregar 47 tres veces a IJ (y 1 a C), nos hemos desplazado una columna a la izquierda y hemos comenzado a agregar 47 a las columnas HI (y 1 a B). Sumar 47 en HI equivale a sumar 470 = 10 × 47 a HIJ (10 a BC) reduciendo drásticamente el número de operaciones a realizar, porque después de hacerlo solo dos veces llegamos a 23 en el contador BC y 1081 en GHIJ, el resultado final. Esta forma de multiplicar fue la habitual en las calculadoras mecánicas que aparecieron a finales del siglo XIX y que se siguieron utilizando hasta la década de los 70. Pero esto sigue siendo excesivamente lento.
Piense que el ábaco tal como lo conocemos ahora permite sumar muy rápido, pero que antes de su invención se usaban varillas de cálculo que son extraordinariamente lentas de manejar. Por lo tanto, no es sorprendente que los matemáticos chinos, buscando abreviar los cálculos, finalmente inventaran la tabla de multiplicar decimal, tal como la conocemos nosotros, unos siglos antes de nuestra era.
La tabla de multiplicar
editarEsta es la tabla de multiplicar decimal como la aprendemos en la escuela:
× | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 |
4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 |
5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 |
7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 |
8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 |
9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
Pero viviendo en la era de las computadoras, lo más probable es que pronto comencemos a usar una calculadora electrónica y en la edad adulta hagamos pocas multiplicaciones a mano. A menudo, muchos de nosotros, incluso los matemáticos, no tenemos la tabla de multiplicar "fresca" en la memoria y esto puede ser una mala noticia para quien se inicia: si se quiere multiplicar (y dividir) de manera eficiente con un ábaco, es necesario "refrescar" la tabla de multiplicar en la memoria y esto puede requerir un cierto tiempo de práctica.
Usando la tabla de multiplicar podemos resolver el problema de multiplicación en la forma:
es decir, solo tenemos que recuperar los productos parciales: de la tabla de multiplicar y sumarlos en los lugares correctos, como hacemos con papel y lápiz
47 ×23 ----- 21 12 (×10) 14 (×10) + 8 (×100) ----- 1081
Esto es absolutamente paralelo al método de multiplicación que vamos a seguir con el ábaco.
El método de multiplicación moderno
editarCuando multiplicamos dos números y , llamamos a ambos números factores y producto al resultado , pero también es común llamar multiplicando a uno de los factores y multiplicador al otro. Sin embargo, a la hora de multiplicar con el ábaco:
- Multiplicando
- Es el factor que vamos a manipular sobre el ábaco y que nos guiará para obtener los productos parciales de forma ordenada y alinearlos correctamente para su suma en las posiciones correctas.
- Multiplicador
- Es el factor que no vamos a manipular sobre el ábaco. de hecho no es obligatorio ni siquiera ingresarlo (pero es conveniente). Por lo general, será el factor con menos dígitos de los dos.
Disposición de multiplicación
editarHay dos formas de introducir ambos factores en el ábaco que pueden considerarse prácticamente equivalentes; Cada uno de ellos tiene sus propias ventajas y desventajas. Lo mismo puede decirse de la división que estudiaremos en el próximo capítulo. Siéntase libre de experimentar con ambos arreglos.
Disposición china tradicional
editarEl multiplicando se pone a la izquierda en el ábaco y el multiplicador lo suficientemente alejado del mismo. Al menos tantas columnas como dígitos tenga el multiplicador más dos, o mejor tres, deben dejarse libres a la derecha del multiplicando.
- Ejemplo
A | B | C | D | E | F | G | H | I | K | J | L | M | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
o en forma de tabla:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | |
345 67 |
Disposición tradicional japonesa
editarEsta es la forma inversa. El multiplicador se sitúa a la izquierda y el multiplicando a la derecha, dejando al menos dos columnas vacías en el medio. Necesitamos tener al menos tantas columnas libres a la derecha del multiplicador como el número de dígitos del multiplicador más uno.
A | B | C | D | E | F | G | H | I | K | J | L | M | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
6 | 7 | 3 | 4 | 5 |
o en forma de tabla:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | |
67 345 |
Esta es la forma que ha sido más popular en Japón.[1] y terminó siendo importada también a China. También es la disposición que usaremos en este capítulo.
Multiplicación de 1 dígito × 1 dígito
editarPor supuesto, esto es tan trivial que no necesitamos un ábaco, pero sirve para introducir el resto de ejemplos. Supongamos que tenemos que multiplicar, tomemos 7 como multiplicador, 8 como multiplicando y adoptemos disposición japonesa que acabamos de explicar; es decir, partimos de:
A | B | C | D | E | F | G | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
7 | 8 |
y procedamos del siguiente modo:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFG | |
7 8 | Planteando el problema |
+56 | Multiplicar D×A y sumarlo a EF |
7 856 | |
7 |
Borrar D |
7 56 | Resultado: 7×8=56 en EF |
A | B | C | D | E | F | G | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
7 | 5 | 6 |
Sí, tiene razón; es usted quien hizo la multiplicación, no el ábaco. En el siguiente ejemplo sin embargo, el ábaco comienza a mostrar su utilidad.
Multiplicación de 1 dígito × 2 dígitos
editarMultipliquemos: , el multiplicando será 83.
A | B | C | D | E | F | G | H | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
7 | 8 | 3 |
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGH | |
7 83 | Planteo |
+21 | Multiplicar E × A y sumarlo a FG |
7 8321 | |
7 8 |
Borrar E |
7 8 21 | |
+56 | Multiplicar D × A y sumarlo a EF |
7 8581 | |
7 |
Borrar D |
7 581 | Resultado: 7×83=581 |
A | B | C | D | E | F | G | H | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
7 | 5 | 8 | 1 |
Al menos, el ábaco ha servido para sumar los dos productos parciales enFG y EF.
Multiplicación de 2 dígitos × 2 dígitos
editarAhora multipliquemos .
A | B | C | D | E | F | G | H | I | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
7 | 9 | 8 | 3 |
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHI | |
79 83 | Planteo |
+21 | Multiplicar F×A y sumarlo a GH |
+27 | Multiplicar F×B y sumarlo a HI |
79 83237 | |
79 8 |
Borrar F |
79 8 237 | |
+56 | Multiplicar E×A y sumarlo a FG |
+72 | Multiplicar E×B y sumarlo a GH |
79 86557 | |
79 |
Borrar E |
79 6557 | Resultado: 79×83=6557 en FGHI |
A | B | C | D | E | F | G | H | I | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
7 | 9 | 6 | 5 | 5 | 7 |
Multiplicación de varios dígitos
editarGeneralizando lo visto en los ejemplos anteriores:
- Para cada dígito del multiplicando, comenzando por la derecha
-
- Multiplicar el dígito actual del multiplicando por los dígitos del multiplicador (de izquierda a derecha), sumando el primer producto parcial a las dos columnas a la derecha del dígito actual del multiplicando, y el resto de los productos desplazandonos sucesivamente una columna a la derecha cada vez.
- Borrar el dígito multiplicando actual.
Veámoslo con el siguiente ejemplo: :
A | B | C | D | E | F | G | H | I | K | J | L | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
7 | 9 | 9 | 8 | 3 | 5 |
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKL | |
799 835 | Planteamiento |
+35 | Multiplicar H×A y sumarlo a IJ |
+45 | Multiplicar H×B y sumarlo a JK |
+45 | Multiplicar H×C y sumarlo a KL |
799 8353995 | |
799 83 |
Borrar H |
799 83 3995 | |
+21 | Multiplicar G×A y sumarlo a HI |
+27 | Multiplicar G×B y sumarlo a IJ |
+27 | Multiplicar G×C y sumarlo a JK |
799 8327965 | |
799 8 |
Borrar G |
799 8 27965 | |
+56 | Multiplicar F×A y sumarlo a GH |
+72 | Multiplicar F×B y sumarlo a HI |
+72 | Multiplicar F×C y sumarlo a IJ |
799 8667165 | |
799 |
Borrar F |
799 667165 | Resultado: 799×835=667165 |
A | B | C | D | E | F | G | H | I | K | J | L | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
7 | 9 | 9 | 6 | 5 | 7 | 1 | 6 | 5 |
Ceros embebidos
editarSea particularmente cuidadoso cuando alguno de los factores tiene ceros internos; por ejemplo:
A | B | C | D | E | F | G | H | I | K | J | L | M | N | O |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | 0 | 7 | 5 | 2 | 7 | 0 | 7 |
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLMNO | |
3075 2707 | Planteamiento |
+21 | Multiplicar JxA, y sumarlo a KL |
+49 | Multiplicar JxC, y sumarlo a MN! |
+35 | Multiplicar JxD, y sumarlo a NO |
3075 270721525 | |
3075 270 |
Borrar J |
3075 27 21525 | |
+21 | Multiplicar HxA, y sumarlo a IJ |
+49 | Multiplicar HxC, y sumarlo a KL! |
+35 | Multiplicar HxD, y sumarlo a LM |
3075 2 |
|
3075 272174025 | Borrar H |
3075 2 2174025 | |
+06 | Multiplicar GxA, y sumarlo a HI |
+14 | Multiplicar GxC, y sumarlo a JK! |
+10 | Multiplicar GxD, y sumarlo a KL |
3075 2 8324025 | |
3075 |
Borrar G |
3075 8324025 | Resultado: 3075×2707=8324025 |
A | B | C | D | E | F | G | H | I | K | J | L | M | N | O |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | 0 | 7 | 5 | 8 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2 | 5 |
La columna de la unidad y los decimales
editarPor favor, revise todos los ejemplos vistos hasta ahora y compruebe que, en todos los casos:
La columna de las unidades del producto se ubica columnas a la derecha de la columna de la unidades del multiplicando; donde es el número de dígitos del multiplicador. |
Esta es una regla general para la multiplicación de números naturales siguiendo el método moderno de multiplicación que estamos estudiando. Es conveniente tener en cuenta esta regla ya que el producto podría tener ceros al final, como en el caso ; lo que podría confundirle. Por ejemplo:
A | B | C | D | E | F | G | H | I | K | J | L |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | 2 | 1 | 6 | 2 | 5u |
En el diagrama anterior, la barra unitaria del multiplicando es la columna H (señalada con un punto blanco en la barra). Después de la multiplicación, el ábaco muestra:
A | B | C | D | E | F | G | H | I | K | J | L |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | 2 | 5 | 2 | 0 | 0 | 0u |
Necesita saber que la barra unitaria del resultado es varillas a la derecha de H (es decir, en J) para leer correctamente el resultado 52000.
Podemos extender esta regla a números decimales :
La columna de las unidades del producto se encuentra columnas a la derecha de la columna de las unidades del multiplicando; donde es el número de dígitos del multiplicador a la izquierda de su punto decimal (¡que podría ser negativo!). |
La siguiente tabla muestra los valores para algunos multiplicadores:
Multiplicadores | n |
---|---|
32.7 | 2 |
3.27 | 1 |
0.327 | 0 |
0.00327 | -2 |
Multipliquemos ; La varilla de las unidades es F.
A | B | C | D | E | F | G | H | I | K | J | L |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | 2 | 1 | 6 | 2 | 5 |
y para el multiplicador , tenemos
A | B | C | D | E | F | G | H | I | K | J | L |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | 2 | 0 | 0 | 5 | 2 |
de modo que la barra unitaria del producto es barras a la derecha de F, es decir, una barra a su izquierda ( E ) y el resultado debe leerse como .
Referencias
editar- ↑ The Japanese Abacus: its Use and Theory. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. 1954. ISBN 978-0-8048-0278-9. https://archive.org/details/japaneseabacus00taka.
Recursos externos
editarHojas de ejercicios
- Uitti, Stephen. «Soroban Sheets (Multiplication)». Soroban.
- «The generator». Practicing the soroban.
Otras lecturas
editar- «Multiplication». The Japanese Abacus: its Use and Theory. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. 1954. ISBN 978-0-8048-0278-9. https://archive.org/details/japaneseabacus00taka/page/52/mode/2up.
- Heffelfinger, Totton (2004). «Multiplication». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el June 29, 2021.
División Moderna
editarIntroducción y primeros métodos
editarDivisión euclidiana
editarSi consideramos dos números naturales y , la división de por (indicado como o ) responde a la pregunta de cuántas veces el número está contenido en el número . El número en es el dividendo y el divisor. La respuesta o resultado se denomina cociente.
Tomemos y como ejemplo. No hay forma más sencilla de proceder para responder a la pregunta que mediante la resta repetida, contando el número de veces que podemos restar el divisor del dividendo. Podemos hacerlo directamente sobre el ábaco usando una columna como contador:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKL | |
35 1225 | |
+1 -35 | Restar 35 de KL, sumar 1 al contador en F |
35 1 1190 | |
+1 -35 | Restar 35 de KL, sumar 1 al contador en F |
35 2 1155 | |
+1 -35 | Restar 35 de KL, sumar 1 al contador en F |
35 3 1120 | |
... | Continuar 33 veces mas del mismo modo... |
35 33 70 | |
+1 -35 | Restar 35 de KL, sumar 1 al contador en F |
35 34 35 | |
+1 -35 | Restar 35 de KL, sumar 1 al contador en F |
35 35 00 | Hecho!, el cociente es 35 en EF |
Así descubrimos que el número está contenido exactamente veces en , ya que no podemos continuar restando sin empezar a tratar con números negativos. Por lo tanto, en este ejemplo, el cociente es: .
Como podemos ver, en este caso podemos escribir , o bien:
lo que no podemos esperar en el caso general. Si repitiéramos el proceso con , veríamos que después de restar por nos quedaría en el ábaco, del que no podríamos seguir restando sin introducir números negativos. Por lo tanto, tenemos que ; es decir, el resultado de dividir por da un cociente de dejando un resto de . En general tendremos:
dónde:
- : dividendo
- : divisor
- : cociente
- : resto
En el caso de que el resto sea cero, decimos que la división es exacta y el dividendo es un múltiplo del divisor.
Este es el concepto de división euclidiana para números naturales a la que se puede reducir la división de números con fracciones decimales sin más que multiplicar y/o por potencias de 10 adecuadas y después ajustar el punto decimal en el resultado.
Algunas mejoras: métodos de división a trozos
editarEl procedimiento seguido en la sección anterior es el más simple posible conceptualmente, pero es extraordinariamente largo e ineficiente. En lugar de comenzar directamente restando el divisor () del dividendo, comencemos preguntando qué potencia de 10 veces el divisor podemos restar del dividendo; en nuestro caso: ¿podemos restar 3500, 350 o solo 35? Claramente podemos restar 350 y comenzaremos a restar trozos de 350 , y cuando no podamos continuar, comenzaremos a restar trozos de 35 de la siguiente manera:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHI | |
35 1225 | Comienzo, contador en D |
35 1 875 | Restar 35 de GH, sumar 1 al contador D |
35 2 525 | Restar 35 de GH, sumar 1 al contador D |
35 3 175 | Restar 35 de GH, sumar 1 al contador D |
35 31140 | Restar 35 de HI, sumar 1 al contador E |
35 32105 | Restar 35 de HI, sumar 1 al contador E |
35 33 70 | Restar 35 de HI, sumar 1 al contador E |
35 34 35 | Restar 35 de HI, sumar 1 al contador E |
35 35 00 | Restar 35 de HI, sumar 1 al contador E |
35 35 | Sin resto, hecho!. El cociente es 35 |
Lo cual ha sido mucho más rápido. Como ve en el proceso anterior, hemos reducido intencionadamente la distancia entre el contador y el dividendo tanto como nos ha sido posible. Esto quizás oscurezca un poco el proceso, pero nos acerca a lo que haremos habitualmente con el método de división moderno que explicamos más abajo. Estudie el cálculo anterior cuidadosamente usando su propio ábaco. El método de división que hemos seguido aquí es el usado por las calculadoras mecánicas que mencionamos en el capítulo dedicado a la multiplicación.
Continuemos desde aquí buscando aún más eficiencia.
Si podemos duplicar fácilmente el divisor y retenerlo en la memoria, podemos acortar la operación restando trozos de una o dos veces el divisor.
Veces | Trozo |
---|---|
1 | 35 |
2 | 70 |
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHI | |
35 1225 | Comienzo, contador en D |
35 2 525 | Restar 70 de GH, sumar 2 al contador en D |
35 3 175 | Restar 35 de GH, sumar 1 al contador en D |
35 32105 | Restar 70 de HI, sumar 2 al contador en E |
35 34 35 | Restar 70 de HI, sumar 2 al contador en E |
35 35 00 | Restar 35 de HI, sumar 1 al contador en E |
35 35 | Sin resto. Hecho, El cociente es 35 |
O incluso mejor si podemos construir una tabla como la de abajo doblando el divisor tres veces[1]:
Veces | Trozo |
---|---|
1 | 35 |
2 | 70 |
4 | 140 |
8 | 280 |
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHI | |
35 1225 | Comienzo, contador en D |
35 2 525 | Restar 70 de GH, sumar 2 al contador en D |
35 3 175 | Restar 35 de GH, sumar 1 al contador en D |
35 34 35 | Restar 140 de HI, sumar 4 al contador en E |
35 35 00 | Restar 35 de HI, sumar 1 al contador en E |
35 35 | Sin resto. Hecho, El cociente es 35 |
que es algo más corto y, claramente, nada podría ser más rápido que tener una tabla de multiplicar completa del divisor.
Tabla de multiplicación del divisor
editarSi disponemos de la tabla de múltiplos del divisor, en nuestro caso 35
Veces | Trozo |
---|---|
1 | 35 |
2 | 70 |
3 | 105 |
4 | 140 |
5 | 175 |
6 | 210 |
7 | 245 |
8 | 280 |
9 | 315 |
entonces podemos abreviar las cosas aún más.
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHI | |
35 1225 | Comienzo, contador en D |
35 3 175 | Restar 105 de GH, sumar 3 al contador en D |
35 35 00 | Restar 175 de HI, sumar 5 al contador en E |
35 35 | Resto nulo. Hecho, el cociente es 35 |
No hay duda, este es un método de división óptimo, ya que nada puede ser más rápido y cómodo... una vez que tengamos una tabla como la de arriba. Pero calcular la tabla de multiplicar de un divisor lleva tiempo, requiere papel y lápiz para anotarla y este trabajo adicional sólo estaría justificado si tenemos una gran cantidad de divisiones por hacer con el mismo divisor común.
En 1617 John Napier (Neper), el padre de los logaritmos, presentó un invento para aliviar este problema que consiste en una serie de tablillas, conocidas como ábaco neperiano o tablas neperianas, con la tabla de multiplicar de un dígito escrita en ellos y que podían combinarse para obtener la tabla de multiplicar de cualquier número. Por ejemplo, en nuestro caso
1 | 35 | |
2 | 70 | |
3 | 105 | |
4 | 140 | |
5 | 175 | |
6 | 210 | |
7 | 245 | |
8 | 280 | |
9 | 315 |
No hay duda de que tal invento se extendió muy pronto a Oriente de mano de los misioneros Jesuitas[2] y se usó junto con el ábaco, pero este uso debe considerarse excepcional; no todo el mundo tenía tablillas neperianas al alcance de la mano. Se necesita otra herramienta y esa herramienta es la tradicional tabla de multiplicar de 1 dígito que se aprende de memoria y que vamos a usar como aproximación a la tabla de multiplicar específica del divisor (la que se usó arriba), esta tabla nos guiará para elegir el dígito del cociente que debemos probar.
Cabe señalar que los procedimientos anteriores no agotan las posibilidades de los métodos de división por trozos[3].
División moderna
editarDivisión moderna vs tradicional
editarEl método moderno de división se llama así porque, a lo largo de la primera mitad del siglo XX, su uso ha desplazado al del método tradicional, pero de hecho es mucho más antiguo que éste, habiendo sido desplazado por él en el siglo XIII. Una característica del método moderno es el uso de la tabla de multiplicar de 1 dígito como guía para la elección de la cifra provisional que tenemos que probar como cociente y para el cálculo del trozo que tenemos que restar del dividendo.
× | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 |
4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 |
5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 |
7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 |
8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 |
9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
En comparación, el método tradicional utiliza tanto una tabla de división especial como guía para la cifra provisional del cociente como la tabla de multiplicar para calcular la parte a sustraer.
La razón principal por la que el método moderno comenzó a desplazar al método tradicional en Japón, después de la Restauración Meiji, es que puede ser aprendido de manera más fácil y rápida por quienes ya saben dividir con papel y lápiz al no requerir la memorización de una compleja tabla de división. Por otro lado, anticipemos que el método tradicional hace de la división un proceso completamente automatizado, sin necesidad de pensar; solo hay que seguir las reglas para obtener el resultado, lo que permite realizar la operación sin ningún cansancio mental. Trataremos sobre esta división tradicional el la sección de este libro dedicada a los métodos tradicionales.
Punto clave de la división con el ábaco
editarUno de los puntos clave del aprendizaje del ábaco es ser conscientes de que este instrumento nos permite corregir algunas cosas de forma muy rápida y sin dejar rastros, lo que convierte al ábaco en un instrumento especialmente indicado para procedimientos de prueba y error. Esto nos es especialmente útil en el caso de la división. Si tenemos que dividir , en lugar de forzar nuestra mente tratando de encontrar la cifra correcta del cociente, simplemente elegimos una cifra aproximada provisional o interina simplificando el problema original a y la probamos intentando restar el trozo (cociente provisional)✕79283 del dividendo; al hacerlo, ocurrirá una de las siguientes situaciones:
- El dígito del cociente intermedio es correcto
- es decir, podemos restar el fragmento (dígito del cociente intermedio) ✕ (divisor), pero no podemos restar el cociente una vez más porque el resto es menor que el divisor.
- Es insuficiente y debemos revisarlo al alza
- podemos restar el fragmento (dígito intermedio del cociente) ✕ (divisor), pero aún podemos restar el cociente una vez más porque el resto es mayor o igual que el divisor. Agregamos uno al cociente intermedio y restamos el divisor nuevamente del resto.
- Es excesivo y debemos revisarlo a la baja.
- esta es la situación más compleja y propensa a errores. Por lo general, descubrimos demasiado tarde (en medio de la resta de fragmentos) que la cifra intermedia es excesiva y tenemos que retroceder, restar uno del cociente y restaurar el dividendo/resto agregándole lo que se le ha restado en exceso antes de que podamos seguir.
Por tanto, el proceso de obtención de un dígito del cociente tiene dos fases (prueba y error):
- Elegir un dígito de cociente provisional.
- Probar si es correcto y modificarlo si no lo es.
Una vez que hayamos encontrado la cifra correcta, generalmente tendremos un resto distinto de cero que actuará como dividendo si queremos extender la división al siguiente dígito del cociente.
Veremos todo esto a lo largo de los ejemplos que siguen, pero primero, necesitamos algunas palabras sobre cómo organizar la división en el ábaco.
Disposición en el ábaco de la división moderna
editarEl dividendo es el término activo con el que vamos a trabajar en el ábaco, el divisor es inactivo y permanecerá invariable durante la operación, de hecho no es imprescindible introducirlo en el ábaco pero sí recomendable, especialmente para los principiantes. Como en el caso de la multiplicación, existen dos estilos para colocar dividendo y divisor en el ábaco, cada uno con sus ventajas y desventajas. Siéntase libre de probar ambas formas.
Disposición tradicional china
editarEl divisor se sitúa en el extremo derecho del ábaco mientras que el dividendo se coloca hacia la izquierda, dejando al menos dos columnas libres a su izquierda.
A | B | C | D | E | F | G | H | I | K | J | L | M | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 2 | 5 | 3 | 5 |
Disposición tradicional japonesa
editarEl divisor va al extremo izquierdo del ábaco mientras que el dividendo se sitúa a su derecha, dejando al menos cuatro columnas libres entre los dos términos.
A | B | C | D | E | F | G | H | I | K | J | L | M | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | 5 | 1 | 2 | 2 | 5 |
En este capítulo usaremos el estilo japonés para los ejemplos, pero siéntase libre de probar ambos.
Colocando la cifra del cociente
editarLa cifra del cociente intermedio se coloca en una de las dos columnas directamente a la izquierda del dividendo. Para decidir en cuál, necesitamos comparar el divisor con un número igual de cifras de los primeros dígitos del dividendo, agregando ceros a su derecha si fuera necesario; llamemos a estas cifras el dividendo de trabajo:
- Dividendo de trabajo mayor o igual que el divisor
- esto significa que el divisor cabe en el dividendo de trabajo y el cociente, es decir, el número de veces que el divisor entra en el dividendo de trabajo, se sitúa en la segunda columna a la izquierda del primer dígito del dividendo
- Ejemplo: 827÷46. El dividendo de trabajo 82 es mayor que el divisor 46, luego el cociente intermedio va a la segunda columna a la izquierda del dividendo. La tabla de multiplicar sugiere que usemos 2 como cociente provisional (simplificando 827÷46 a 8÷4)
827÷46 Ábaco Comentario ABCDEFGHIJKLM 46 827 46 2 827 Situamos el cociente provisional 2 en E
- Dividendo de trabajo menor que el divisor
- esto significa que el divisor no cabe en el dividendo de trabajo. En este caso, necesitamos incluir el siguiente dígito del dividendo, o un cero si no quedan más, en nuestro dividendo de trabajo, y el cociente, el número de veces que el divisor entra en este dividendo de trabajo ampliado, se sitúa en la columna directamente a la izquierda del primer dígito del dividendo
- Ejemplo: 18÷467, el dividendo de trabajo 180 es menor que 467, entonces lo ampliamos a 1800 y el cociente provisional se situará en la primera columna a la izquierda del dividendo. La tabla de multiplicar sugiere que usemos 4 como cociente intermedio después de simplificar 1800÷467 a 18÷4.
Caption text Ábaco Comentario ABCDEFGHIJKLM 467 18 467 418 Situamos el cociente provisional 4 en G
Ejemplos
editarDebe comenzar haciendo ejercicios con divisores de un solo dígito y luego probar con divisores de dos, tres, etc. cifras. Con divisores de un dígito, nunca debería tener que revisar al alza o la baja. Por ejemplo, empiece por dividir 123456789 por los dígitos 2, 3, ..., 9. Veamos la división por 9 aquí.
Ejemplo: 123456789÷9 = 13717421
editar- Por favor lea el símbolo "->" como: "la tabla de multiplicar sugiere usar ...".
- Como verá, en todos los casos excepto en el último, el dividendo de trabajo es menor que el divisor y necesitamos expandirlo a dos dígitos.
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLMNO | |
9 123456789 | 12/9 -> 1 como cociente provisional |
9 1123456789 | situar cociente prov. en E |
-9 | restar 9✕1=9 de FG |
9 1 33456789 | 33/9 -> 3 como cociente provisional |
9 1333456789 | situar cociente prov. en F |
-27 | restar 9✕3=27 de GH |
9 13 6456789 | 64/9 -> 7 como cociente provisional |
9 1376456789 | situar cociente prov. en G |
-63 | restar 9✕7=63 de HI |
9 137 156789 | 15/9 -> 1 como cociente provisional |
9 1371156789 | situar cociente prov. en H |
-9 | restar 9✕1=9 de IJ |
9 1371 66789 | 66/9 -> 7 como cociente provisional |
9 1371766789 | situar cociente prov. en I |
-63 | restar 9✕7=63 de JK |
9 13717 3789 | 37/9 -> 4 como cociente provisional |
9 1371743789 | situar cociente prov. en J |
-36 | restar 9✕4=36 de KL |
9 137174 189 | 18/9 -> 2 como cociente provisional |
9 1371742189 | situar cociente prov. en K |
-18 | restar 9✕2=18 de LM |
9 1371742 9 | 9/9 -> 1 como cociente provisional |
9 13717421 9 | situar cociente prov. en L |
-9 | restar 9✕1=9 de MN |
9 13717421 | Resto nulo, hecho!
123456789÷9 = 13717421 |
123456789 es un número curioso, es precisamente el producto de 9 por 13717421, ¡un número primo grande!
Ejemplo: 1225 ÷ 35 = 35 Divisor de dos dígitos. Revisando al alza y a la baja
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJ | |
35 1225 | 12÷3↦4 como cociente provisional |
+4 | situar cociente prov. en F |
35 41225 | Tratar de restar 4✕35 de GHI, |
-12 | primero 4✕3 de GH |
35 40025 | ahora 4✕5 de HI |
-20 | ¡No se puede! |
-1 | Revisar a la baja la cifra del cociente |
35 30025 | |
+3 | Devolver lo sustraido en exceso de GH[1] |
35 30325 | |
-15 | continuar normalmente: restar 3✕5 de HI |
35 3 175 | 17÷3↦5 como cociente provisional |
+5 | situar cociente prov. en G |
35 35175 | Tratar de restar 5✕35 de HIJ |
-15 | primero 5✕3 de HI |
35 35025 | |
-25 | ahora 5✕5 de IJ |
35 35 | Resto nulo, fin! 1225÷35 = 35 |
Hemos restado 4 × 3 = 12 de 'FGH' , pero si el dígito del cociente correcto es 3, deberíamos haber restado 3 × 3 = 9, por lo que restamos 3 en exceso (solo el primer dígito del divisor ). Debemos devolver este exceso antes de continuar.
Ahora, supongamos que después de nuestra "mala experiencia" revisando a la baja la primera cifra del cociente, y en exceso de prudencia, elegimos 4 como segundo cociente provisional en lugar de 5 como sugiere la tabla de multiplicar. Esta sería la continuación:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHI | |
35 3 175 | 17÷3 -> 5, pero usaremos 4 4! |
+4 | situar cociente prov. en G |
35 34175 | Tratamos de sustraer 4✕35 de HIJ |
-12 | primero 4✕3 = 12 de HI |
-20 | ahora 4✕5 = 20 de IJ |
35 34 20 | ¡Resto mayor o igual al divisor! |
+1 | Revisar al alza G |
-20 | restar divisor del resto HI |
35 34 | Resto nulo, fin! 1225÷35 = 35 |
Ejemplo 1÷327
editarHasta ahora hemos considerado divisiones entre números naturales con cocientes y residuos, así como números naturales, pero podemos operar con números decimales exactamente como lo hacemos en el cálculo escrito con división larga. Por ejemplo, encontremos el inverso de 327; es decir, 1/327 en un ábaco con 13 columnas.
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | |
327 1 | 10/3 -> 3 como cociente provisional |
327 31 | situar cociente prov. en G |
-09 | restar 3✕3=9 de HI |
327 3 1 | |
-06 | restar 3✕2=6 de IJ |
327 3 4 | |
-21 | restar 3✕7=21 de JK |
327 3 19 | 19/3 -> 6 como cociente provisional |
327 30619 | situar cociente prov. en I |
-18 | restar 6✕3=18 de JK |
327 306 1 | |
-12 | no se puede restar 6✕2=12 de KL! |
-1 | revisar a la baja I |
+3 | restaurar el exceso sustraido de JK |
327 305 4 | |
-10 | continuar normalmente, restar 5✕2=10 de KL |
327 305 30 | |
-35 | restar 5✕7=35 de LM |
327 305 265 | 36/3 -> 8 como cociente provisional |
327 3058265 | situar cociente prov. en J |
-24 | restar 8✕3=24 de KL |
327 3058 25 | |
-16 | restar 8✕2=16 de LM |
327 3058 9 | Resultado hasta aquí: 3058 |
Hemos obtenido como los primeros dígitos de , pero por lo que nuestro resultado es en realidad . Mas abajo daremos una regla para encontrar la varilla unidad de la división.
Ejemplo: 634263 ÷ 79283 = 7,999987 ..., un caso complicado
editarFinalmente, obtengamos el primer dígito del cociente de esta división especialmente maliciosa.
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | |
79283 634263 | 63/7 -> Probamos 9 |
79283 9634263 | |
-63 | restar 9*7=63 de HI |
79283 9004263 | |
-81 | no se puede restar 9*9=81 de IJ! |
-1 | revisar D a la baja |
+7 | restaurar lo restado en exceso del dividendo |
79283 8 74263 | |
-72 | continuar restando 8x9=72 de IJ |
79283 8 02263 | |
-16 | restar 8*2=16 de JK |
79283 8 00663 | |
-64 | restar 8*8=64 de KL |
79283 8 00023 | no se puede restar 9*3=27 de LM! |
-1 | revisar D a la baja |
+7928 | restaurar lo restado en exceso del dividendo |
79283 7 79303 | |
-21 | continuar restando 7x3=21 de LM |
79283 7 79282 | cociente: 7, resto: 79283 |
No hay duda de que en este caso redondear el divisor 79283 a 80000 nos habría dado mejores resultados ya que 63÷8 sugiere usar 7 (la cifra correcta) como dígito del cociente provisional.
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | |
79283 634263 | 63/8 -> probamos 7 |
7634263 | |
-49 | restar 7*7=49 del dividendo HI |
79283 7144263 | |
-63 | restar 7*9=63 del dividendo IJ |
79283 7 81263 | |
-14 | restar 7*2=14 del dividendo JK |
79283 7 79863 | |
-56 | restar 7*8=56 del dividendo KL |
79283 7 79303 | |
-21 | restar 7*3=21 del dividendo LM |
79283 7 79282 | cociente: 7, resto: 79283 |
La varilla unidad y los decimales
editarLa contrapartida de la regla para encontrar la varilla unidad en el caso de la multiplicación es la siguiente regla para la división:
La columna de las unidades de los cocientes se ubica columnas a la izquierda de la columna de las unidades del dividendo; donde es el número de dígitos del divisor a la izquierda de su punto decimal (¡que puede ser negativo!). |
La siguiente tabla muestra los valores de para algunos divisores:
Divisor | n |
---|---|
32.7 | 2 |
3.27 | 1 |
0.327 | 0 |
0.00327 | -2 |
Ejemplo: 1/327 (lo hemos visto arriba)
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | |
327 1 | el divisor tiene 3 dígitos. n=3 |
. | varilla unidad del dividendo |
... | |
327 3058 9 | Fin de la división. Resultado: 3058 |
. | varilla unidad del dividendo |
<--- | desplazarla n+1 = 4 posiciones a la izquierda |
. | varilla unidad del cociente |
3058 | por lo tanto, ésto... |
.003058 | ... debe leerse: 0.003058 |
Multiplicación y división como operaciones inversas
editarEn los cálculos escritos siempre podemos revisar nuestro trabajo para asegurarnos de que no hemos cometido errores y que el resultado obtenido es el correcto. En los cálculos con el ábaco esto no es posible ya que el ábaco no guarda memoria del pasado y de los resultados intermedios. Podemos recurrir a algunos artificios como la prueba del nueve o del once, pero la forma tradicional de verificar los resultados con el ábaco ha sido repetir los cálculos o deshacerlos.
Deshacer sumas y restas es tan simple como partir del resultado y restar lo que hemos sumado y sumar lo que hemos restado; Si hacemos tanto el cálculo como la verificación correctamente, deberíamos terminar con un ábaco limpio, puesto a cero. Para verificar una multiplicación usaremos la división y, recíprocamente, para verificar una división usaremos la multiplicación, sumando el resto si lo hay. Después de hacer esto, devolveremos el ábaco a su estado inicial con los dos operandos originales en sus posiciones de partida. Veamos un ejemplo:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJ | |
64 2461 | 24/6 -> 4 como cociente provisional |
42461 | situar cociente prov. en F |
-24 | restar 4✕6=24 del dividendo GH |
64 4 61 | |
-16 | no se puede restar 4✕4=16 del dividendo HI |
-1 | revisar cociente a la baja |
64 3 61 | |
+6 | restaurar lo restado en exceso del dividendo GH |
64 3 661 | |
-12 | continuar normalmente, restar 3✕4=12 del dividendo HI |
64 3 541 | 54/6 -> 9, pero vamos a usar 8 |
64 38541 | |
-48 | restar 8✕6=48 del dividendo HI |
64 38 61 | |
-32 | restar 8✕4=32 del dividendo IJ |
64 38 29 | cociente: 38, resa 29 |
La revisión por multiplicación empieza aquí | |
+48 | sumar 8✕6=48 a HI |
64 38509 | |
+32 | sumar 8✕4=32 a IJ |
64 38541 | |
64 3 541 | borrar G |
+18 | sumar 3✕6=18 a GH |
64 32341 | |
+12 | sumar 3✕4=12 a HI |
64 32461 | |
64 2461 | borrar F. Estado inicial! |
En este libro se ha sugerido usar el número 123456789 para sus primeros ejercicios tanto de multiplicación como de división por un solo dígito. Intente combinarlos con la operación inversa; por ejemplo: divida 123456789 por 9 para obtener 13717421 y multiplique este resultado por 9 para que 123456789 vuelva a la misma posición inicial en el ábaco. O bien comience multiplicando 123456789 por 9 para obtener 1111111101 y luego divida este resultado por 9 para volver al punto de partida. Pruebe todos los dígitos del 2 al 9. Es un buen ejercicio de rutina.
Referencias
editar- ↑ Wilson, Jeff. «Long Division Teaching Aid, "Double Division"». Double Division. Archivado desde el original, el March 02, 2021.
- ↑ *Michael R. Williams, Michael R. (1990). «Early Calculation». En Aspray, William. Computing Before Computers. Iowa State University Press,. ISBN 0-8138-0047-1. http://ed-thelen.org/comp-hist/CBC.html.
- ↑ «The Definitive Higher Math Guide on Integer Long Division (and Its Variants)». Math Vault. Archivado desde el original, el May 14, 2021.
Recursos externos
editarHojas de ejercicios
- «The generator». Practicing the soroban.
Otras lecturas
editar- «Division». The Japanese Abacus: its Use and Theory. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. 1954. ISBN 978-0-8048-0278-9. https://archive.org/details/japaneseabacus00taka/page/64/mode/2up.
- Heffelfinger, Totton (2004). «Division». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el June 29, 2021.
- Siqueira, Edvaldo (2004). «Decimals & Division». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el May 6, 2021.
Introducción a los Métodos Tradicionales
editarÁbaco moderno frente al tradicional
editarEl ábaco oriental (chino simplificado: 算盘; chino tradicional: 算盤; pinyin: suànpán, japonés: そろばん soroban, simplemente "el ábaco" en este libro de texto) , como un ábaco de cuentas fijas que deslizan sobre varillas, se originó en China en una fecha incierta, pero hacia finales del siglo XVI su uso había desplazado por completo a las varillas de cálculo como instrumento matemático en su país de origen. Desde China su uso se extendió a otros países vecinos, especialmente Japón, Corea y Vietnam, permaneciendo como principal herramienta de cálculo hasta la era electrónica. La forma en que era utilizado, el “Método Tradicional”, se mantuvo estable durante al menos cuatro siglos hasta finales del siglo XIX, cuando se inició una evolución hacia lo que llamamos el “Método Moderno” que, haciendo uso del ábaco moderno, ya hemos estudiado en la sección anterior de este libro.
El ábaco moderno es del tipo 4+1, es decir, tiene cuatro cuentas en la parte inferior y una en la parte superior.
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Esto es todo lo que se necesita para poder realizar aritmética decimal. Sin embargo, los ábacos tradicionales tenían cuentas adicionales, siendo el más frecuente el tipo 5+2 (aunque el tipo 5+1 también fue popular en Japón) y ocasionalmente el tipo 5+3.
Con tres cuentas superiores podemos representar hasta 20 en una sola varilla, lo cual es conveniente, como veremos, para las técnicas tradicionales de división y multiplicación. Con dos cuentas superiores podemos lograr lo mismo usando la cuenta suspendida (懸珠, Xuán zhū en chino[1], kenshu en japonés), una forma de simular la tercera cuenta para las raras ocasiones en que ésta se necesita (ver en la figura la representación de los números de 15 a 20).
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
Con una quinta cuenta inferior, tenemos dos formas diferentes de representar los números 5, 10 y 15. Esto significa que tenemos opciones entre las que podemos elegir la que más nos convenga. En el caso de la suma y la resta, la posibilidad de elegir entre dos representaciones para 5 y 10 nos permitirá simplificar un poco los cálculos.
Las técnicas tradicionales se pueden utilizar en cualquier tipo de ábaco, con la excepción obvia del uso de la quinta cuenta inferior en un ábaco que no la tiene (4+1), la diferencia entre tener o no cuentas superiores adicionales es más una cuestión de comodidad y fiabilidad que de eficiencia o capacidades.
Métodos modernos y tradicionales
editarEl método tradicional se utilizó durante al menos cuatro siglos, cubriendo las dinastías Ming y Qing en China y el período Edo en Japón. A partir de la Restauración Meiji en Japón, los estudiantes del ábaco empezaron a cambiar en el sentido de que ya sabían cómo realizar cálculos con papel y lápiz antes de comenzar a estudiar el ábaco, mientras que los estudiantes de épocas anteriores no sabían nada sobre aritmética; para la mayoría, el ábaco era la única forma de matemáticas que iban a conocer. Esto provocó una lenta adaptación de la enseñanza y los métodos del ábaco a los nuevos tiempos y circunstancias, dando lugar, después de varias décadas, a lo que ahora llamamos el Método Moderno; de hecho, un método simplificado.
En el idioma inglés, las siguientes dos obras de Takashi Kojima se citan con frecuencia en referencia al método moderno:
Es importante mencionarlos porque, aparte de su contenido, constituyen la primera difusión del uso del ábaco oriental hacia occidente. Todavía se pueden encontrar varias ediciones de estos libros, incluidos los formatos de libros electrónicos, y el primero se puede consultar en línea en archive.org.
Hoy en día, el método moderno puede parecer óptimo en muchos sentidos y podemos pensar que algunas "rarezas" del método tradicional, especialmente la forma de organizar la división en el ábaco, carecen de sentido práctico; pero si el método tradicional se mantuvo estable durante siglos, siendo usado por millones de personas (incluidas grandes figuras de las matemáticas como Seki Takakazu), sólo puede ser porque también fue considerado óptimo en su tiempo. Simplemente, el criterio de optimalidad de los antiguos difería del que podamos tener hoy.
Desafortunadamente, nadie en el pasado se molestó en describir "por qué" se hacían las cosas de tal modo, los autores clásicos solamente escribieron sobre "cómo" hacer las cosas, de modo que nosotros sólo podemos especular sobre las razones subyacentes a algunas de estas técnicas antiguas.
Principales diferencias entre los métodos tradicionales y modernos
editarEstos son los tres puntos más importantes que diferencian las técnicas tradicionales de las modernas:
- El uso de la quinta cuenta inferior en suma y resta para simplificar un poco ambas operaciones, lo cual se extiende a todo lo que se puede hacer con el ábaco ya que todo depende en última instancia de la suma y la resta.
- El uso de un método de división usando una tabla de división que elimina el esfuerzo mental requerido para determinar la cifra del cociente provisional. Este método ( kijohou , guīchúfǎ 帰除法) descrito por primera vez en la Iluminación Matemática ( Suànxué Qǐméng , 算學啟蒙) por Zhū Shìjié 朱士傑 (1299)[4] para su uso con varillas de cálculo reemplazó al antiguo método de división basado en la tabla de multiplicar y cuyo origen se remonta al menos al siglo III, al libro The Mathematical Classic of Master Sun (Sūnzǐ Suànjīng 孫子算經)[5][6]. Este antiguo método, que es la base de los métodos cortos y largos de división escrita, ha reemplazado a su vez al método tradicional de división en los tiempos modernos. Es decir, ¡Los tiempos modernos nos han devuelto a lo antiguo!
- Los métodos tradicionales y modernos también difieren en la forma en que se organiza la operación de división en el ábaco. La disposición de división tradicional es algo más compacta que la moderna y también más problemática ya que requiere (o se beneficia) del uso de cuentas más altas adicionales. Esta disposición de la división a su vez condiciona la forma en que se organizan la multiplicación y las raíces.
El principio de mínimo esfuerzo
editarComo se mencionó anteriormente, ningún autor en el pasado ha escrito sobre por qué se hacían las cosas de aquella manera, solo sobre cómo hacer las cosas; así que solamente podemos elucubrar para tratar de entender por qué. Pero el lector verá a lo largo de este libro que las técnicas tradicionales suponen, en comparación con las modernas, una reducción del esfuerzo mental necesario para utilizar el ábaco. Esto es especialmente claro en el caso de la división que utiliza una tabla de división, pero también en el resto de técnicas que se describirán ya que efectivamente implican una reducción en el número y/o la extensión de "gestos" necesarios para completar una operación. Aquí llamamos gesto a:
- movimientos de dedos o cuentas
- desplazamientos de manos
- cambios de dirección
- salto de varillas (es decir, cambiar la posición de la mano de una varilla a otra barra no adyacente)
y cada uno de estos gestos:
- como proceso físico, tarda un tiempo en completarse,
- como lo controla nuestro cerebro, requiere nuestra atención, consumiendo energía (mental o bioquímica),
- como lo hacemos seres humanos (no máquinas), tiene la posibilidad de hacerse de manera incorrecta, introduciendo errores.
de manera que podemos esperar, al reducir el número y extensión de estos gestos, un cálculo algo más rápido, más relajado y fiable.
Teniendo en cuenta lo anterior, se tiene la tentación de pensar que al adoptar este principio de mínimo esfuerzo, las técnicas tradicionales evolucionaron en el sentido de facilitar la vida con el ábaco, lo que podría explicar su vigencia a lo largo de los siglos, pero esto no es más que un conjetura sin soporte documental.
Si pensamos en el método moderno, polarizado hacia la sencillez, la velocidad y la eficacia, podríamos decir que es el "método del velocista" mientras que el método tradicional es el "método del corredor de maratón".
El lector, después de seguir este libro, podrá sacar sus propias conclusiones al respecto.
Aprendiendo el ábaco en el pasado
editarPuede ser interesante saber que en el pasado la gente aprendía el ábaco sin tener conocimientos previos de matemáticas, en particular sin conocer nada como una tabla de sumar o restar; en su lugar, memorizaban una serie de reglas mnemotécnicas, versos o rimas, frases cortas en chino que indicaban qué cuentas tenían que moverse para realizar la suma o resta de un dígito a otro dígito[7][8][1]; ya lo hemos mencionado al tratar de la suma y la resta con el ábaco moderno, y si el lector compra un ábaco tradicional chino (suanpan) es posible que reciba con el mismo un librillo en inglés: The Fundamental Operations in Bead Arithmetic, How to Use the Chinese Abacus de Kwa Tak Ming[9], un manual escrito para promover el uso del ábaco en Filipinas que contiene una curiosa versión inglesa de las mencionadas rimas. Una vez que los estudiantes aprendían a sumar y restar con este tipo de reglas, comenzaban a memorizar las tablas de multiplicación y división, también en forma de versos o rimas. En total, aprender los conceptos básicos del ábaco requería memorizar alrededor de 150 reglas que debían recitarse o cantarse mientras se aplicaban.
En el presente libro, nosotros hemos reducido a tres el número de reglas a memorizar para el aprendizaje de las dos operaciones básicas de adición y sustracción, pero a costa de memorizar también parejas de números complementarios. Como estudiantes modernos del ábaco partimos con un conocimiento previo de aritmética y no tendremos que memorizar reglas o rimas para multiplicar; ya hemos memorizado la tabla de multiplicar que además nos ayudará a dividir, pero si deseamos aprender el método tradicional de división sí que tendremos que memorizar una cincuentena de reglas. Pero no se preocupe, se pueden aprender gradualmente y su esfuerzo se verá recompensado con una fascinante facilidad para dividir.
Tablas de procedimientos y algunos términos y notaciones
editarComo de costumbre, en este libro usaremos tablas para describir los procedimientos en el ábaco, por ejemplo:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | |
896 412 | Esta vez el divisor va a la izquierda y el dividendo a la derecha. |
896 512 | Columna E: regla 4/8> 5 + 0, cambie 4 en E por 5, agregue 0 a F |
896 512 | no se puede restar E × B = 5 × 9 = 45 de FG, |
-1 | revisar hacia abajo E: restar 1 de E, |
+8 | sumar 8 a F |
896 492 | |
etc. | etc. |
Donde, a la izquierda, se muestra la evolución dígito a dígito del estado del ábaco o la operación de suma o resta actual junto con comentarios a la derecha sobre lo que se está haciendo. Las columnas del ábaco están etiquetadas con letras en la parte superior (los espacios en blanco representan barras no utilizadas).
Esta representación, perfecta para el ábaco moderno, necesita un par de refinamientos para adaptarla al ábaco tradicional.
- Una columna de un ábaco tradicional puede contener un número mayor que 9 y no es posible escribir sus dos dígitos en nuestra tabla sin alterar su alineación vertical. Para evitar esto, usaremos notación de subrayado para valores entre 10 y 19 y el primer dígito (uno) estará representado por un subrayado en la columna anterior (consulte el capítulo sobre cómo tratar con el desbordamiento para una razón). Por ejemplo, la situación que se representa a continuación ocurre poco después de comenzar la división tradicional de 998001 por 999
A | B | C | D | E | F | G | H | I | K | J | L | M | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
9 | 18 | 9 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 |
- and is represented in procedure table as
Notación de subrayado Ábaco Comentario ABCDEFGHIJKLM 988001 999 Valor en B es 18
- Como se vio arriba, los números 5, 10 y 15 tienen dos representaciones posibles: usar o no la quinta cuenta inferior. Cuando sea pertinente distinguir entre los dos, usaremos los siguientes códigos:
- F: para denotar un cinco inferior (cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de:
- 5: cinco superiores (una cuenta superior activada).
- T: diez en una varilla (una cuenta superior y cinco cuentas inferiores activadas). En el ábaco de tipo 5 + 2, también es un diez inferior en lugar de una t y un diez superior (dos cuentas superiores activadas).
- Q: quince inferiores en una varilla (dos cuentas superiores y cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de q quince superior (cuenta superior suspendida en el 5 + 2 , tres cuentas superiores activadas en el 5 + 3).
Recursos externos
editarEntrenador Soroban
editarSi está interesado en las técnicas tradicionales pero aún no tiene un ábaco tradicional, puede utilizar la aplicación JavaScript
Soroban Trainer
- Puede ejecutarlo directamente desde GitHub en su navegador
- o puede descargarlo a su computadora desde su repositorio en GitHub.
Referencias
editar- ↑ 1,0 1,1 Chen, Yifu (2013) (en Francés). L’étude des Différents Modes de Déplacement des Boules du Boulier et de l’Invention de la Méthode de Multiplication Kongpan Qianchengfa et son Lien avec le Calcul Mental. Université Paris-Diderot (Paris 7). p. 40. http://www.theses.fr/2013PA070061.
- ↑ Kojima Takashi (1954). The Japanese Abacus: its Use and Theory. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN 978-0-8048-0278-9. https://archive.org/details/japaneseabacus00taka.
- ↑ Kojima Takashi (1963). Advanced Abacus: Theory and Practice. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN 978-0-8048-0003-7.
- ↑ Zhū Shìjié 朱士傑 (1993) [1299] (en Chino). Suànxué Qǐméng (算學啟蒙). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙).
- ↑ Ang Tian Se; Lam Lay Yong (2004). Fleeting Footsteps; Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China. World Scientific Publishing Company. ISBN 981-238-696-3. https://www.worldscientific.com/doi/suppl/10.1142/5425/suppl_file/5425_chap1.pdf.
- ↑ Sunzi 孫子 (3rd to 5th centuries AD) (en Chino). 孫子算經. https://zh.wikisource.org/wiki/%E5%AD%AB%E5%AD%90%E7%AE%97%E7%B6%93.
- ↑ Suzuki, Hisao (鈴木 久男) (1982). «Chuugoku ni okeru shuzan kagen-hou 中国における珠算加減法 [Abacus addition and subtraction methods in China]» (en Japonés). Kokushikan University School of Political Science and Economics 57 (3). ISSN 0586-9749. http://id.nii.ac.jp/1410/00008407/.
- ↑ Chen, Yifu (2018). «The Education of Abacus Addition in China and Japan Prior to the Early 20th Century». Computations and Computing Devices in Mathematics Education Before the Advent of Electronic Calculators. Springer Publishing. ISBN 978-3-319-73396-8. https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-319-73396-8.
- ↑ Kwa Tak Ming (1922) (PDF). The Fundamental Operations in Bead Arithmetic, How to Use the Chinese Abacus. San Francisco: Service Supply Co.. https://archive.computerhistory.org/resources/access/text/2016/12/B1671.01-05-01-acc.pdf.
Particularidades Tradicionales de la Adición y la Sustracción
editarIntroducción
editarCon cualquier tipo de ábaco, la suma se simula reuniendo los conjuntos de contadores que representan los dos sumandos, mientras que la resta se simula eliminando del conjunto de contadores que representan el minuendo un conjunto de contadores que representan el sustraendo. La suma y la resta son las dos únicas operaciones posibles en cualquier tipo de ábaco. Todo lo demás tiene que descomponerse en una secuencia de suma y resta.
Apenas hay diferencia entre sumar y restar con un ábaco moderno o uno tradicional, si el lector ya sabe realizar estas dos operaciones con fluidez con un ábaco moderno, podrá hacer lo mismo con uno tradicional. Los únicos dos puntos adicionales a considerar son:
- el uso de la quinta cuenta inferior para simplificar las operaciones.
- la operación inversa: combinar las direcciones de trabajo hacia la derecha y hacia la izquierda para evitar desplazamientos de la mano.
de los cuales el primero es, con mucho, el más importante.
Quinta cuenta inferior
editarLa quinta cuenta inferior se puede utilizar en operaciones de suma y resta al igual que sus compañeras. Su uso se demuestra en algunos libros antiguos como: Métodos computacionales con las cuentas en una bandeja (Pánzhū Suànfǎ 盤珠算法) by Xú Xīnlǔ 徐心魯 (1573)[1], pero con el tiempo dejó de aparecer en los manuales. Esto no debe sorprender demasiado, no se trata de una técnica esencial sino más bien de un truco para aligerar o hacer más cómodas las operaciones con el ábaco y su uso se puede demostrar directamente con el ábaco y transmitirse de forma oral más fácilmente que plasmándolo en un libro. No olvidemos que los antiguos libros chino-japoneses sobre el ábaco eran realmente concisos; practicamente recordatorios o formularios, ya que la enseñanza oral era considerada fundamental.
Operación inversa (de derecha a izquierda)
editarAlgunos libros antiguos sobre el ábaco, por ejemplo, "Pista Matemática" (Shùxué Tōngguǐ 數學通軌) de Kē Shàngqiān (柯尚遷) (1578)[2], enseñan la suma usando una dirección de operación alterna con la obvia intención de ahorrar movimientos de la mano. Si el lector ya ha estudiado el ábaco moderno, sabe por qué es preferible operar de izquierda a derecha y esto no es solo una cuestión exclusiva del ábaco; en el siglo XIX, el conocido astrónomo canadiense-estadounidense Simon Newcomb, una reconocida computadora humana, recomendaba sumar y restar de izquierda a derecha en cálculo escrito en la introducción de sus tablas de logaritmos[3] si se quería llegar a ser eficiente en el cálculo manual.
Por tanto, la alternancia de operación debe considerarse como una cuestión secundaria. Si se menciona aquí es porque, a pesar de su limitada utilidad, es un ejercicio muy interesante que puede resultar bastante difícil al principio para quien ya está habituado a trabajar de izquierda a derecha, quizás un pequeño desafío que puede llevar al lector a interesantes reflexiones sobre el orden de movimiento de los dedos; en particular, sobre si los acarreos deben realizarse "antes" o "después".
En el capítulo dedicado a las variantes del ejercicio 123456789 se propone propone su práctica diaria como una forma de perfeccionar nuestra "comprensión de las cuentas".
Referencias
editar- ↑ Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573] (en Chino). Pánzhū Suànfǎ (盤珠算法). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙).
- ↑ Kē Shàngqiān (柯尚遷) (1993) [1578] (en Chino). Shùxué Tōngguǐ (數學通軌). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙).
- ↑ Newcomb, Simon (c1882). Logarithmic and other mathematical tables with examples of their use and hints on the art of computation. New York: Henry Holt and Company. https://archive.org/details/logarithmicother00newcrich/page/n5/mode/2up.
Uso de la 5ª Cuenta Inferior
editarIntroducción
editarEs un misterio por qué los ábacos tradicionales chinos y japoneses tenían cinco cuentas en su parte inferior, ya que solo se requieren cuatro desde el punto de vista de la representación de números decimales. Como ningún documento antiguo existente parece explicarlo, este misterio probablemente dure para siempre y tendremos que conformarnos con nuestras propias conjeturas para tratar de comprender su origen. En esta línea, podríamos pensar que, cuando aparecieron por primera vez, los ábacos de cuentas fijas fueron concebidos a imagen y semejanza de las varillas de cálculo, de las que heredaron todos los algoritmos. Con las varillas de cálculo, el uso de cinco barras para representar el número cinco era obligatorio para evitar la ambigüedad entre uno y cinco, al menos inicialmente, cuando no se usaba una representación del cero ni un tablero cuadriculado al estilo japonés. Equipar el ábaco con cinco cuentas inferiores permite una manipulación paralela o similar de cuentas y varillas, aportando algún tipo de compatibilidad de "hardware" y "software" a los ábacos de cuentas fijas; de hecho, los primeros libros chinos sobre el ábaco también se ocupaban de las varillas de cálculo, por lo que ambos instrumentos eran aprendidos al mismo tiempo. También podríamos invocar un cierto deseo de compatibilidad entre el ábaco y el sistema de notación derivado de las varillas de cálculo que, de una forma u otra, ha estado en uso hasta los tiempos modernos. Si fuéramos a anotar nuestros resultados usando tal notación, estaríamos interesados en cambiar los cincos de nuestro ábaco para que estén representados por las cinco cuentas inferiores con el fin de evitar errores de transcripción catastróficos.
Las varillas de cálculo, el ábaco más versátil y poderoso de la historia, tenía un defecto: es extremadamente lento de manipular. Como se ha explicado en la sección anterior de este libro, no es una sorpresa que los antiguos matemáticos chinos inventaran la tabla de multiplicar para acelerar la multiplicación y que también descubrieran el uso de dicha tabla de multiplicar para acelerar la división. No ha de ser, por tanto, una sorpresa que también descubrieran que las operaciones de suma y resta se podían simplificar un poco al usar la quinta cuenta inferior del ábaco. Realmente tenían que ser muy sensibles a la lentitud.
A continuación, se presenta un pequeño conjunto de reglas para el uso de la quinta cuenta junto con su razón de ser y alcance de uso. Estas reglas no se establecen explícitamente en ninguna de las obras clásicas, pero se pueden inferir de las demostraciones de suma y resta presentes en ellas[1], especialmente en el: Métodos computacionales con las cuentas en una bandeja (Pánzhū Suànfǎ 盤珠算法) de Xú Xīnlǔ 徐心魯 (1573)[2], por cierto, el libro más antiguo que se conoce enteramente dedicado al ábaco.
Algunos términos y notación
editarEn lo que sigue usaremos los siguiente conceptos y forma de notación en referencia al uso (o no) de la quinta cuenta inferior (véase la figura acompañante a la derecha).
- F: para denotar un cinco inferior (cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de:
- 5: cinco superiores (una cuenta superior activada).
- T: diez en una varilla (una cuenta superior y cinco cuentas inferiores activadas). En el ábaco de tipo 5 + 2, también es un diez inferior en lugar de t un diez superior (dos cuentas superiores activadas).
- Q: quince inferior en una varilla (dos cuentas superiores y cinco cuentas inferiores activadas) en lugar de q quince superior (cuenta superior suspendida en el 5+2, tres cuentas superiores activadas en el 5+3).
- acarreo: esto representa el número 1 cuando se debe agregar a una columna como un acarreo desde la derecha (adición).
Reglas para la adición
editar- a1: No utilice nunca la quinta cuenta, excepto en los dos casos siguientes:
- a2: 4 + acarreo = F
- a3: 9 + acarreo = T
Es decir, al sumar 1 a una varilla se actúa como de costumbre, por ejemplo:
A | A | |
---|---|---|
A + 1 = | ||
4 | 5 |
y
A | B | A | B | |
---|---|---|---|---|
B + 1 = | ||||
0 | 9 | 1 | 0 |
pero al sumar 1 como resultado de un acarreo o llevada, se usa la quinta cuenta inferior en la forma:
A | B | A | B | |
---|---|---|---|---|
B + 5 = | ||||
4 | 6 | F | 1 |
y
A | B | A | B | |
---|---|---|---|---|
B + 5 = | ||||
9 | 6 | T | 1 |
Puede ver las reglas de adición anteriores mencionadas de una manera ligeramente diferente por Chen[3].
La lógica de estas reglas
editarEl objetivo de la regla a1 es simplemente procurar dejar siempre una cuenta inferior sin usar a nuestra disposición para el caso de que la columna actual tenga que recibir posteriormente un acarreo desde la derecha, mientras que las reglas a2 y a3 dictan el uso de la quinta cuenta ante tal situación. Entonces, podemos esperar obtener:
- una reducción del número de movimientos de dedos porque evitamos tratar con las cuentas superiores e inferiores a la vez
- evitar algunos saltos de varillas y reducir el intervalo de desplazamiento izquierda-derecha de la mano
- cortar cualquier "acarreo múltiple" hacia la izquierda (piense en 99999 + 1 = 999T0 en lugar de 99999 + 1 = 100000)
La ventaja
editarLas ventajas anteriores se obtienen automáticamente mediante el uso de las reglas a2 y a3, pero la regla a1 es de naturaleza diferente. La regla a1 es una previsión para el futuro, simplificará las cosas si un acarreo futuro realmente cae en la columna actual (lo que ocurre aproximadamente el 50% de las veces en promedio), pero no simplificará nada en caso contrario. La regla a1 es una especie de apuesta (las reglas para la resta a continuación también son de la misma naturaleza).
El ámbito de uso
editarLas reglas a1, a2 y a3 son para columnas que pueden recibir un acarreo, lo que excluye la última columna a la derecha en la operación normal (es decir, operando de izquierda a derecha).
En la operación inversa (operando de derecha a izquierda), ninguna columna recibirá posteriormente un acarreo desde la derecha, por lo que la regla a1 no es aplicable, pero las reglas a2 y a3 siempre deberán usarse. (Esto se menciona porque una técnica antigua, ahora caída en el olvido, utilizaba la operación hacia la izquierda en alternancia con la operación normal en sumas y restas de varios números para evitar largos desplazamientos de la mano. No es de utilidad general, pero sí un ejercicio extremadamente interesante y recomendable para un usuario avanzado para mejorar su "comprensión de las cuentas").
Excepcionalmente, si sabe que alguna columna nunca recibirá un acarreo, también podemos olvidarlos de la regla a1. (Esto puede parece un comentario extraño aquí, pero debemos hacerlo para lo que seguirá).
Reglas para la sustracción
editar- s1 Utilice siempre cinco inferiores (F) en lugar de cinco superiores (5). Por ejemplo: 7-2 = F
- s2 Nunca deje una varilla despejada (0) si puede tomar prestado de la varilla inmediatamente a la izquierda (¡pero no de una más lejana!), deje T en su lugar, es decir, por ejemplo: 27-7 = 1T
- en lugar de 27-7 = 20.
- Observación
- Estas dos reglas no se aplican a las varillas de las que está tomando prestado; es decir, 112-7 = 10F
- y 62-7 = 5F (no FF).
La lógica de estas reglas
editarAmbas reglas tienden a dejar cuentas inferiores activadas a nuestra disposición para el caso en que necesitemos tomar prestado de ellas en el futuro (es como tener dinero suelto en el bolsillo por si acaso), ahorrándonos algunos movimientos y/o desplazamientos de la mano más anchos o más complejos, como tomar prestado de columnas no adyacentes o saltar varillas.
La ventaja
editarNo se obtiene automáticamente, sólo cuando necesitamos tomar prestado de la varilla actual. En esto es similar a la regla de adición a1.
El ámbito de uso
editarUna vez más, la columna de la derecha está fuera del alcance de estas reglas, ya que nunca tomaremos prestado de ella.
Además, en la operación hacia la izquierda o inversa, nunca tomaremos prestado de la columna actual, por lo que estas reglas no se aplican (lo que puede verse como una razón adicional para preferir la operación hacia la derecha en el uso normal).
Ejemplo de uso de las reglas
editarEra común en los libros antiguos sobre el ábaco demostrar la suma y la resta mediante el conocido ejercicio que consiste en sumar el número 123456789 nueve veces a un ábaco puesto a cero hasta llegar al número 1111111101, y luego borrarlo nuevamente restando el mismo número nueve veces. Este ejercicio parece tener el nombre chino: "Jiǔ pán qīng" 九 盤 清, que significa algo así como "limpiar las nueve bandejas".
Precisamente, las reglas de uso de la quinta cuenta inferior ofrecidas aquí se han inferido de la demostración de suma y resta que aparece en el Panzhu Suanfa[2] de Xu Xinlu, por lo que nada mejor que emplear este ejercicio como prueba de dichas reglas. En particular, las reglas permiten reconstruir la serie de resultados intermedios que aparecen en el mencionado libro[4] tras cada adición o sustracción del número 12345689. Para la suma:
000000000, 123456789, 246913F78, 36T36T367, 4938271F6, 617283945, 74073T734, 864197F23, 9876F4312, ...
en este punto, agregar 123456789 una vez más da como resultado 1111111101, pero este número aparece en el Panzhu Suanfa como:
TTTTTTTT1
es decir, el ábaco presenta este aspecto:
T | T | T | T | T | T | T | T | 1 |
que no se puede obtener mediante el uso de las reglas anteriores únicamente. Una situación similar ocurre al repetir este ejercicio pero comenzando con 999999999 en lugar de un ábaco despejado (ver Tabla 2), llegando a 1TTTTTTTT0. Es por esto por lo que incluimos el último comentario sobre el alcance de las reglas de adición anteriores. Puede ser que, por inspección o intuición, nos demos cuenta de que usar la quinta cuenta aquí no genera ningún acarreo, por lo que podemos prescindir de la regla a1 y proceder a este resultado, ...un tanto teatral por lo demás.
A partir de aquí, por sustracción deberíamos obtener:
TTTTTTTT1, 9876F4312, 864197523, 740740734, 61728394F, 493827156, 36T370367, 246913578, 123456789, 000000000
Como se puede ver, pocas F y T aparecen en los resultados intermedios de esta parte del ejercicio, pero algunas más aparecen durante el cálculo (Tabla 1), siendo inmediatamente convertidas a 4 y 9 al tomar prestado, que es el propósito para el cual fueron introducidas. Las F y T que quedan en los resultados intermedios son sólo las no utilizadas.
Veamos a continuación el detalle del ejercicio. El lector debería estudiarlo detenidamente.
Suma
editarABCDEFGHI ABCDEFGHI ABCDEFGHI ABCDEFGHI ABCDEFGHI --------- --------- --------- --------- --------- 000000000 123456789 246913F78 36T36T367 4938271F6 100000000 A+1 223456789 A+1 346913F78 A+1 46T36T367 A+1 5938271F6 A+1 120000000 B+2 243456789 B+2 366913F78 B+2 48T36T367 B+2 6138271F6 B+2 123000000 C+3 246456789 C+3 369913F78 C+3 49336T367 C+3 6168271F6 C+3 123400000 D+4 246856789 D+4 36T313F78 D+4 49376T367 D+4 6172271F6 D+4 123450000 E+5 246906789 E+5 36T363F78 E+5 49381T367 E+5 6172771F6 E+5 123456000 F+6 246912789 F+6 36T369F78 F+6 493826367 F+6 6172831F6 F+6 123456700 G+7 246913489 G+7 36T36T278 G+7 493827067 G+7 6172838F6 G+7 123456780 H+8 246913F69 H+8 36T36T358 H+8 493827147 H+8 617283936 H+8 123456789 I+9 246913F78 I+9 36T36T367 I+9 4938271F6 I+9 617283945 I+9 ABCDEFGHI ABCDEFGHI ABCDEFGHI ABCDEFGHI --------- --------- --------- --------- 617283945 74073T734 864197F23 9876F4312 717283945 A+1 84073T734 A+1 964197F23 A+1 T876F4312 A+1 737283945 B+2 86073T734 B+2 984197F23 B+2 TT76F4312 B+2 740283945 C+3 86373T734 C+3 987197F23 C+3 TTT6F4312 C+3 740683945 D+4 86413T734 D+4 987597F23 D+4 TTTTF4312 D+4 740733945 E+5 86418T734 E+5 987647F23 E+5 TTTTT4312 E+5 740739945 F+6 864196734 F+6 9876F3F23 F+6 TTTTTT312 F+6 74073T645 G+7 864197434 G+7 9876F4223 G+7 TTTTTTT12 G+7 74073T725 H+8 864197F14 H+8 9876F4303 H+8 TTTTTTT92 H+8 74073T734 I+9 864197F23 I+9 9876F4312 I+9 TTTTTTTT1 I+9
Resta
editarABCDEFGHI ABCDEFGHI ABCDEFGHI ABCDEFGHI ABCDEFGHI --------- --------- --------- --------- --------- TTTTTTTT1 9876F4312 864197523 740740734 61728394F 9TTTTTTT1 A-1 8876F4312 A-1 764197523 A-1 640740734 A-1 F1728394F A-1 98TTTTTT1 B-2 8676F4312 B-2 744197523 B-2 620740734 B-2 49728394F B-2 987TTTTT1 C-3 8646F4312 C-3 741197523 C-3 617740734 C-3 49428394F C-3 9876TTTT1 D-4 8642F4312 D-4 740797523 D-4 617340734 D-4 49388394F D-4 9876FTTT1 E-5 8641T4312 E-5 740747523 E-5 617290734 E-5 49383394F E-5 9876F4TT1 F-6 864198312 F-6 740741523 F-6 617284734 F-6 49382794F F-6 9876F43T1 G-7 864197612 G-7 740740823 G-7 617283T34 G-7 49382724F G-7 9876F4321 H-8 864197532 H-8 740740743 H-8 6172839F4 H-8 49382716F H-8 9876F4312 I-9 864197523 I-9 740740734 I-9 61728394F I-9 493827156 I-9 ABCDEFGHI ABCDEFGHI ABCDEFGHI ABCDEFGHI --------- --------- --------- --------- 493827156 36T370367 246913578 123456789 393827156 A-1 26T370367 A-1 146913578 A-1 023456789 A-1 373827156 B-2 24T370367 B-2 126913578 B-2 003456789 B-2 36T827156 C-3 247370367 C-3 123913578 C-3 000456789 C-3 36T427156 D-4 246970367 D-4 123F13578 D-4 000056789 D-4 36T377156 E-5 246920367 E-5 123463578 E-5 000006789 E-5 36T371156 F-6 246914367 F-6 123457578 F-6 000000789 F-6 36T370456 G-7 246913667 G-7 123456878 G-7 000000089 G-7 36T370376 H-8 246913587 H-8 123456798 H-8 000000009 H-8 36T370367 I-9 246913578 I-9 123456789 I-9 000000000 I-9
Extensión del ejemplo
editarUna vez que comprenda y domine el presente ejercicio, puede extenderlo para ampliar su práctica de uso de la quinta cuenta sin mas que repetirlo sobre un fondo 111111111, 222222222,..., 999999999 en lugar de 000000000. Se ofrecen a continuación los resultados parciales.
0 1 2 3 4 000000000 0111111111 0222222222 0333333333 0444444444 123456789 02345678T0 0345678T11 045678T122 05678T1233 246913F78 0357T24689 046913F7T0 057T246911 0691357T22 36T36T367 0481481478 0592592F89 06T36T36T0 0814814811 4938271F6 0604938267 0715T49378 082715T489 09392715T0 617283945 0728394TF6 08394T6167 09F0617278 1061738389 74073T734 08F18F1845 09629629F6 1074073T67 118F18F178 864197F23 097F308634 1086419745 1197F2T8F6 1308641967 9876F4312 109876F423 1209876F34 1320987645 14320987F6 TTTTTTTT1 1222222212 1333333323 1444444434 1555FFFF45 9876F4312 1098765423 1209876534 132098764F 1432098756 864197523 097F308634 108641974F 1197F30856 1308641967 740740734 08F18F184F 0962962956 0T74074067 118F18F178 61728394F 072839F056 0839F06167 09F0617278 0T61728389 493827156 05T4938267 0716049378 0827160489 093827159T 36T370367 0481481478 0592592589 06T370369T 0814814811 246913578 0357T24689 046913579T 0F7T246911 0691358022 123456789 023456789T 0345678T11 04F678T122 0F678T1233 000000000 0111111111 0222222222 0333333333 0444444444 5 6 7 8 9 0555555555 0666666666 0777777777 0888888888 0999999999 0678T12344 078T1234F5 08T1234F66 0T1234F677 11234F6788 07T2469133 091357T244 0T246913F5 11357T2466 1246913F77 0925925922 1036T36T33 1148148144 12592592F5 136T36T366 1049382711 115T493822 12715T4933 1382715T44 14938271F5 11728394T0 128394T611 1394T61722 1F06172833 1617283944 1296296289 14073T73T0 1F18F18F11 1629629622 174073T733 14197F2T78 1530864189 164197F2T0 17F3086411 1864197F22 1543209867 1654320978 176F431T89 1876F431T0 19876F4311 16666666F6 1777777767 1888888878 1999999989 1TTTTTTTT0 1F43209867 16F4320978 176F432089 1876F4319T 19876F4311 14197F3078 1F30864189 164197529T 17F3086411 1864197522 1296296289 140740739T 1F18F18F11 1629629622 1740740733 117283949T 12839F0611 139F061722 14T6172833 1617283944 0T49382711 115T493822 1271604933 1382716044 149382715F 0925925922 0T36T37033 1148148144 125925925F 136T370366 07T2469133 0913580244 0T2469135F 11357T2466 1246913577 0678T12344 078T12345F 08T1234566 0T12345677 1123456788 0FFF55555F 0666666666 0777777777 0888888888 0999999999
Reglas adicionales
editarPor supuesto, las reglas para la suma también se pueden usar directamente en la multiplicación y las reglas para la resta en la división, raíces, etc. Ya lo sabe, todo lo que se puede hacer en el ábaco consiste en una sucesión de sumas y restas.
Adicionalmente, aunque la división tradicional se estudiará en capítulos posteriores, podemos dejar indicada aquí una regla adicional que le es específica y a la que podrá referirse tras estudiar la tabla de división; con ábacos 5+2 o 5+3:
- k1: Utilice siempre cinco, diez y quince inferiores (F, T, Q) cuando sume al resto durante la aplicación de las reglas de división.
Esto es así porque, aunque estemos sumando a una varilla, lo siguiente que haremos será empezar a restar de la misma (si el divisor tiene más de un dígito). Es una especie de extensión de la primera regla para la resta (s1). Por ejemplo, iniciando la división87÷98:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFG | |
87 98 | Dividendo: AB, divisor: FG |
8Q 98 | A: Regla 8/9>8+8 |
-64 | |
886 98 | etc. |
Justo después de la aplicación de la regla de división 8/9>8+8 deberíamos tener:
A | B | C | D | E | F | G | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
8 | Q | 0 | 0 | 0 | 9 | 8 |
Por cierto, a veces puede encontrar algo contradictorio el uso de la segunda regla para la resta (s2) en la división tradicional. Por ejemplo, 1167/32 = 36.46875
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFG | |
32 1167 | regla 1/3>3+1 |
32 3267 | -3*2=-6 in F, use la regla s2 |
-6 | |
32 31T7 |
Ahora bien, ¿qué regla de división debería usarse aquí? 1/3>3+1 o 2/3>6+2? De hecho, podemos usar cualquiera de ellas y revisarlas según sea necesario, pero es más rápido darse cuenta de que el resto es en realidad 3207, de modo que la segunda regla de división es la adecuada, así que simplemente cambie las columnas EF a 62 y continue...
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFG | |
32 3627 | |
... |
Finalmente, si está utilizando el método de multiplicación tradicional o similar en un 5+2, puede encontrarse con un desbordamiento en algunas columnas, por lo que la regla adicional:
- m1 [14] + acarreo = Q
debe tambien considerarse.
Acerca de la ventaja
editarEstá claro que el uso de la quinta cuenta puede reducir el número de movimientos de cuentas o de los dedos requeridos en algunos cálculos (piense en 99999 + 1 = 999T0 frente a 99999 + 1 = 100000). Una estimación basada en el ejercicio 123456789 y algunos de sus derivados conduce a una reducción del 10% en promedio (contando los movimientos simultáneos de las cuentas superior e inferior por separado). Esta es una reducción modesta, pero la ventaja de la quinta cuenta va más allá de simplemente reducir el número de movimientos de los dedos, ya que también reduce el número y/o la extensión de otros gestos de la mano requeridos en los cálculos (desplazamientos, cambios de dirección, saltos de varillas, ...). Como ya se ha indicado en otra parte, cada gesto:
- como proceso físico, tarda un tiempo en completarse,
- como lo controla nuestro cerebro, requiere nuestra atención, consumiendo energía (mental o bioquímica),
- como lo hacemos seres humanos (no máquinas), tiene la posibilidad de hacerse de manera incorrecta, introduciendo errores.
Bajo esta óptica, podemos esperar entonces que el uso de la quinta cuenta resulte en un cálculo algo más rápido, más relajado y fiable al reducir el número total de gestos requeridos. No es fácil medir esta triple ventaja utilizando un solo parámetro.
Saltar columnas parece haber sido visto tradicionalmente como algo que debe evitarse como una posible fuente de errores[1][3]. Sin este concepto, la regla de resta (s2) no se puede entender ya que no siempre conduce a una reducción en el número de movimientos de los dedos, pero siempre reduce el rango de movimiento de la mano y la necesidad de saltar barras.
En cualquier caso, la ventaja de usar la quinta cuenta, aunque no despreciable, es solo modesta, y cada uno debe decidir si vale la pena usarla o no. Después de acostumbrarse y dominar el uso de la quinta cuenta, no hay mejor prueba de su eficiencia que usar nuevamente un ábaco moderno 4+1, y ser sensible al trabajo adicional requerido para completar las mismas tareas con él.
Referencias
editar- ↑ 1,0 1,1 Chen Yifu (2013) (en Francés). L’étude des Différents Modes de Déplacement des Boules du Boulier et de l’Invention de la Méthode de Multiplication Kongpan Qianchengfa et son Lien avec le Calcul Mental. Université Paris-Diderot (Paris 7). http://www.theses.fr/2013PA070061.
- ↑ 2,0 2,1 Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573] (en Chino). Pánzhū Suànfǎ (盤珠算法). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙).
- ↑ 3,0 3,1 Chen Yifu (2018). «The Education of Abacus Addition in China and Japan Prior to the Early 20th Century». En Volkov, Alexei; Freiman, Viktor. Computations and Computing Devices in Mathematics Education Before the Advent of Electronic Calculators. Springer Publishing. ISBN 978-3-319-73396-8. https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-319-73396-8.
- ↑ Suzuki, Hisao (鈴木 久男) (1982). «Chuugoku ni okeru shuzan kagen-hou 中国における珠算加減法» (en Japonés). Kokushikan University School of Political Science and Economics 57 (3). ISSN 0586-9749. http://id.nii.ac.jp/1410/00008407/.
Otras lecturas
editar- Heffelfinger, Totton (2011). «The 5 Earth Bead Advantage». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.
Recursos externos
editarPuede practicar online el uso de la quinta cuenta con Soroban Trainer (ver capítulo: [[../../Introducción#Recursos externos|Introducción]]) usando este fichero 123456789-5bead.sbk que tendrá que descargar a su ordenador y después subirlo a Soroban Trainer (Es un archivo de texto que puede inspeccionar con cualquier editor de texto y que puede descargar de forma segura a su computadora.).
Variantes del Ejercicio 123456789
editar1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Introducción
editarComo hemos visto en el capítulo anterior, el "ejercicio 123456789", que consiste en sumar ese número nueve veces a un ábaco a cero hasta llegar al número 1111111101 y luego restarlo nueve veces hasta que el ábaco se despeje nuevamente, se viene utilizando desde la antigüedad para ilustrar y practicar la suma y la resta. Es un ejercicio conveniente porque:
- es lo suficientemente largo como para que no sea un ejercicio trivial
- si no volvemos al valor inicial (cero) es señal de que nos hemos equivocado por el camino
- no necesitamos ni libro ni hoja de ejercicios
- utiliza muchos de los casos elementales de suma y resta de un dígito a otro dígito
pero también tiene un par de inconvenientes:
- no usa todos los pares de dígitos (por ejemplo, un 3 nunca se suma a un 5)
- después de repetirlo varias veces, se comienza a memorizar mecánicamente el ejercicio, de modo que ya no estamos practicando sumas y restas
Para evitar estos dos problemas podemos modificar el ejercicio de varias formas.
Usando un fondo
editarYa se ha mencionado en el capítulo anterior. En lugar de usar un ábaco puesto a cero, llenamos 9 columnas del mismo con un dígito (111111111, 222222222, etc.) y procedemos a sumar y luego restar nueve veces el número 123456789. Con esto multiplicamos por 10 el número de ejercicios a nuestra disposición y podremos estar seguros de que ahora recorremos todos los casos posibles de suma y resta dígito por dígito a la vez que la memorización mecánica se hace más difícil.
La siguiente tabla contiene los valores intermedios del ejercicio como referencia. Estos valores se recorren de arriba hacia abajo durante la fase de adición y de abajo hacia arriba en la de sustracción.
+1..9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | +1..9 |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 000000000 | 111111111 | 222222222 | 333333333 | 444444444 | 0 |
1 | 123456789 | 234567900 | 345679011 | 456790122 | 567901233 | 1 |
2 | 246913578 | 358024689 | 469135800 | 580246911 | 691358022 | 2 |
3 | 370370367 | 481481478 | 592592589 | 703703700 | 814814811 | 3 |
4 | 493827156 | 604938267 | 716049378 | 827160489 | 938271600 | 4 |
5 | 617283945 | 728395056 | 839506167 | 950617278 | 1061728389 | 5 |
6 | 740740734 | 851851845 | 962962956 | 1074074067 | 1185185178 | 6 |
7 | 864197523 | 975308634 | 1086419745 | 1197530856 | 1308641967 | 7 |
8 | 987654312 | 1098765423 | 1209876534 | 1320987645 | 1432098756 | 8 |
9 | 1111111101 | 1222222212 | 1333333323 | 1444444434 | 1555555545 | 9 |
+1..9 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | +1..9 |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 555555555 | 666666666 | 777777777 | 888888888 | 999999999 | 0 |
1 | 679012344 | 790123455 | 901234566 | 1012345677 | 1123456788 | 1 |
2 | 802469133 | 913580244 | 1024691355 | 1135802466 | 1246913577 | 2 |
3 | 925925922 | 1037037033 | 1148148144 | 1259259255 | 1370370366 | 3 |
4 | 1049382711 | 1160493822 | 1271604933 | 1382716044 | 1493827155 | 4 |
5 | 1172839500 | 1283950611 | 1395061722 | 1506172833 | 1617283944 | 5 |
6 | 1296296289 | 1407407400 | 1518518511 | 1629629622 | 1740740733 | 6 |
7 | 1419753078 | 1530864189 | 1641975300 | 1753086411 | 1864197522 | 7 |
8 | 1543209867 | 1654320978 | 1765432089 | 1876543200 | 1987654311 | 8 |
9 | 1666666656 | 1777777767 | 1888888878 | 1999999989 | 2111111100 | 9 |
Ejercicio 987654321
editarEn lugar de usar el número 123456789, podemos pensar en usar cualquier otra permutación de estos dígitos que podamos recordar fácilmente; por ejemplo, 987654321, la única que consideraremos aquí. Esto nos ofrece otros 10 ejercicios independientes para la práctica de suma y resta. La siguiente tabla nos muestra los valores intermedios de esta nueva serie de ejercicios utilizando un fondo.
En total, ya tenemos 20 ejercicios diferentes.
+9..1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | +9..1 |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 000000000 | 111111111 | 222222222 | 333333333 | 444444444 | 0 |
1 | 987654321 | 1098765432 | 1209876543 | 1320987654 | 1432098765 | 1 |
2 | 1975308642 | 2086419753 | 2197530864 | 2308641975 | 2419753086 | 2 |
3 | 2962962963 | 3074074074 | 3185185185 | 3296296296 | 3407407407 | 3 |
4 | 3950617284 | 4061728395 | 4172839506 | 4283950617 | 4395061728 | 4 |
5 | 4938271605 | 5049382716 | 5160493827 | 5271604938 | 5382716049 | 5 |
6 | 5925925926 | 6037037037 | 6148148148 | 6259259259 | 6370370370 | 6 |
7 | 6913580247 | 7024691358 | 7135802469 | 7246913580 | 7358024691 | 7 |
8 | 7901234568 | 8012345679 | 8123456790 | 8234567901 | 8345679012 | 8 |
9 | 8888888889 | 9000000000 | 9111111111 | 9222222222 | 9333333333 | 9 |
+9..1 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | +9..1 |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 555555555 | 666666666 | 777777777 | 888888888 | 999999999 | 0 |
1 | 1543209876 | 1654320987 | 1765432098 | 1876543209 | 1987654320 | 1 |
2 | 2530864197 | 2641975308 | 2753086419 | 2864197530 | 2975308641 | 2 |
3 | 3518518518 | 3629629629 | 3740740740 | 3851851851 | 3962962962 | 3 |
4 | 4506172839 | 4617283950 | 4728395061 | 4839506172 | 4950617283 | 4 |
5 | 5493827160 | 5604938271 | 5716049382 | 5827160493 | 5938271604 | 5 |
6 | 6481481481 | 6592592592 | 6703703703 | 6814814814 | 6925925925 | 6 |
7 | 7469135802 | 7580246913 | 7691358024 | 7802469135 | 7913580246 | 7 |
8 | 8456790123 | 8567901234 | 8679012345 | 8790123456 | 8901234567 | 8 |
9 | 9444444444 | 9555555555 | 9666666666 | 9777777777 | 9888888888 | 9 |
Empezando con la sustracción
editarSi empezamos restando los números 123456879 o 987654321 y completamos el ejercicio con su suma dispondremos de otros 20 ejercicios independientes, pero tarde o temprano nos aparecerán resultados intermedios negativos. Existe una forma de representar números negativos en el ábaco, frecuentemente referida como "el otro lado" del ábaco, que estudiaremos en la sección sobre técnicas avanzadas, pero de momento es preferible mantenerse dentro de los números positivos. Para lograrlo, necesitaremos introducir un uno dos columnas a la izquierda de donde vayamos a empezar el ejercicio; por ejemplo, usando un fondo de treses:
A | B | C | D | E | F | G | H | I | K | J | L | M | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 0 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
con un 1 en la columna C. Es decir, usamos el número 10 000 000 000 o como punto de partida al que sumaremos el fondo que corresponda. De este modo tendremos de dónde tomar prestado durante la sustracción y trabajaremos con números positivos durante todo el ejercicio.
Las tablas siguientes contienen los resultados intermedios para los ejercicios 123456798 y 987654321. Nótese que las tablas no contienen a la columna C; de hecho, no es necesario introducir físicamente un 1 allí, simplemente podemos tomar prestado de dicha columna cuando lo necesitemos (sí, de la nada) y tarde o temprano, a lo largo del ejercicio, llevaremos un acarreo a dicha columna devolviendo lo que tomamos prestado aunque tampoco lo hagamos constar en el ábaco. Si procedemos así, sin poner físicamente el 1 en la columna C, nos estaremos aproximando al uso del "otro lado del ábaco" para los números negativos. Vuelva por aquí cuando haya leído el capítulo correspondiente.
-1..9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | -1..9 |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 000000000 | 111111111 | 222222222 | 333333333 | 444444444 | 0 |
1 | 9876543211 | 9987654322 | 98765433 | 209876544 | 320987655 | 1 |
2 | 9753086422 | 9864197533 | 9975308644 | 86419755 | 197530866 | 2 |
3 | 9629629633 | 9740740744 | 9851851855 | 9962962966 | 74074077 | 3 |
4 | 9506172844 | 9617283955 | 9728395066 | 9839506177 | 9950617288 | 4 |
5 | 9382716055 | 9493827166 | 9604938277 | 9716049388 | 9827160499 | 5 |
6 | 9259259266 | 9370370377 | 9481481488 | 9592592599 | 9703703710 | 6 |
7 | 9135802477 | 9246913588 | 9358024699 | 9469135810 | 9580246921 | 7 |
8 | 9012345688 | 9123456799 | 9234567910 | 9345679021 | 9456790132 | 8 |
9 | 8888888899 | 9000000010 | 9111111121 | 9222222232 | 9333333343 | 9 |
-1..9 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | -1..9 |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 555555555 | 666666666 | 777777777 | 888888888 | 999999999 | 0 |
1 | 432098766 | 543209877 | 654320988 | 765432099 | 876543210 | 1 |
2 | 308641977 | 419753088 | 530864199 | 641975310 | 753086421 | 2 |
3 | 185185188 | 296296299 | 407407410 | 518518521 | 629629632 | 3 |
4 | 61728399 | 172839510 | 283950621 | 395061732 | 506172843 | 4 |
5 | 9938271610 | 49382721 | 160493832 | 271604943 | 382716054 | 5 |
6 | 9814814821 | 9925925932 | 37037043 | 148148154 | 259259265 | 6 |
7 | 9691358032 | 9802469143 | 9913580254 | 24691365 | 135802476 | 7 |
8 | 9567901243 | 9679012354 | 9790123465 | 9901234576 | 12345687 | 8 |
9 | 9444444454 | 9555555565 | 9666666676 | 9777777787 | 9888888898 | 9 |
-9..1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | -9..1 |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 000000000 | 111111111 | 222222222 | 333333333 | 444444444 | 0 |
1 | 9012345679 | 9123456790 | 9234567901 | 9345679012 | 9456790123 | 1 |
2 | 8024691358 | 8135802469 | 8246913580 | 8358024691 | 8469135802 | 2 |
3 | 7037037037 | 7148148148 | 7259259259 | 7370370370 | 7481481481 | 3 |
4 | 6049382716 | 6160493827 | 6271604938 | 6382716049 | 6493827160 | 4 |
5 | 5061728395 | 5172839506 | 5283950617 | 5395061728 | 5506172839 | 5 |
6 | 4074074074 | 4185185185 | 4296296296 | 4407407407 | 4518518518 | 6 |
7 | 3086419753 | 3197530864 | 3308641975 | 3419753086 | 3530864197 | 7 |
8 | 2098765432 | 2209876543 | 2320987654 | 2432098765 | 2543209876 | 8 |
9 | 1111111111 | 1222222222 | 1333333333 | 1444444444 | 1555555555 | 9 |
-9..1 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | -9..1 |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 555555555 | 666666666 | 777777777 | 888888888 | 999999999 | 0 |
1 | 9567901234 | 9679012345 | 9790123456 | 9901234567 | 12345678 | 1 |
2 | 8580246913 | 8691358024 | 8802469135 | 8913580246 | 9024691357 | 2 |
3 | 7592592592 | 7703703703 | 7814814814 | 7925925925 | 8037037036 | 3 |
4 | 6604938271 | 6716049382 | 6827160493 | 6938271604 | 7049382715 | 4 |
5 | 5617283950 | 5728395061 | 5839506172 | 5950617283 | 6061728394 | 5 |
6 | 4629629629 | 4740740740 | 4851851851 | 4962962962 | 5074074073 | 6 |
7 | 3641975308 | 3753086419 | 3864197530 | 3975308641 | 4086419752 | 7 |
8 | 2654320987 | 2765432098 | 2876543209 | 2987654320 | 3098765431 | 8 |
9 | 1666666666 | 1777777777 | 1888888888 | 1999999999 | 2111111110 | 9 |
Usando la quinta cuenta inferior
editarEsta es la propuesta más interesante en el contexto de los métodos tradicionales. Los cuarenta ejercicios anteriores se pueden realizar utilizando la quinta cuenta inferior como se explica en detalle en el capítulo anterior; esto le permitirá dominar esta técnica tradicional. Consulte el capítulo anterior sobre la 5ª cuenta para los resultados intermedios del ejercicio 123456789.
¡Con esto, sumamos un total de 80 ejercicios!
Usando dirección de operación alterna
editarY finalmente, ¿por qué no? Aunque solamente sea por el placer de superar una dificultad diferente, podemos combinar los ejercicios anteriores con una dirección de operación alterna, de izquierda a derecha y de derecha a izquierda, como se explica en el capítulo introductorio de Particularidades Tradicionales de la Adición y la Sustracción.
Abacus | Comment |
---|---|
ABCDEFGHIJ | |
Ábaco puesto a cero | |
+1 | |
+2 | |
+3 | |
+4 | |
+5 | |
+6 | |
+7 | |
+8 | |
+9 | |
123456789 | Primer paso completado |
+9 | |
+8 | |
+7 | |
+6 | |
+5 | |
+4 | |
+3 | |
+2 | |
+1 | |
246913578 | Segundo paso completado |
etc. |
Con esto, podría dar un paso más en su comprensión de la mecánica de las cuentas.
Conclusión
editarCon los 160 ejercicios aquí presentados, ya no tiene excusa, puede practicar sumas y restas durante horas en cualquier momento, sin hojas de ejercicios, quizás mientras está cómodamente sentado en su sofá, con su ábaco apoyado en las rodillas y mientras ve la televisión...
¡Esta es una puerta a la maestría!
Sinopsis de la División Tradicional
editarIntroducción
editarDe las cuatro operaciones aritméticas fundamentales, la división es probablemente la más difícil de aprender y realizar. Al ser básicamente una secuencia de restas, existe una gran cantidad de algoritmos o métodos para realizarla y muchos de estos métodos se han utilizado con el ábaco.[1][2]. De estos, dos destacan por su eficiencia y deben considerarse los principales:
- El método de división moderno (MD), shojohou en japonés, shāng chúfǎ en chino (商除法); el más antiguo de los dos, su origen se remonta al menos a los siglos III al V d.C., como se cita en el libro: El Clásico Matemático del Maestro Sun (Sūnzǐ Suànjīng 孫子算經). Si lo llamamos moderno es porque es el que se enseña habitualmente en la actualidad al ser el más parecido a la división con papel y lápiz. Este método de división se basa en el uso de la tabla de multiplicar. Durante el período Edo fue introducido en Japón por Momokawa Jihei.[3], pero no ganó popularidad[4] hasta el siglo XX con el desarrollo de lo que hemos venido llamando Método Moderno.
- El método de división tradicional (TD), kijohou (帰除法) en japonés, guī chú (帰除) en chino , descrito por primera vez en la Ilustración matemática (Suànxué Qǐméng, 算學啟蒙) de Zhū Shìjié 朱士傑 (1299)[5]. Su principal peculiaridad es que utiliza una tabla de división además de la tabla de multiplicar, lo que ahorra el esfuerzo mental de determinar qué cifra provisional del cociente tenemos que probar. Además, podemos crear tablas de división especiales para divisores de varios dígitos; lo que nos ahorrará el uso de la tabla de multiplicar.
Ambos métodos se utilizaron por primera vez en China con varillas de cálculo.
En los capítulos siguientes nos ocupamos del método tradicional de división, asumiendo que el lector ya tiene experiencia con el método moderno de división.
Capítulos
editarDivisión moderna y tradicional; parientes cercanos
editarEn este capítulo tratamos de mostrar cómo los métodos modernos y tradicionales, aparentemente tan diferentes, están realmente estrechamente relacionados, a la vez que tratamos de justificar por qué se inventó este método.
Guía a la división tradicional
editarAquí veremos cómo utilizar el método tradicional.
Aprendiendo la tabla de división
editarContiene algunas indicaciones que pueden facilitarle la memorización de la tabla de división.
Tratando con el desbordamiento
editarCómo hacer frente a la disposición tradicional de la división (TDA) utilizando diferentes tipos de ábaco, especialmente el moderno 4+1 y el tradicional japonés 5+1.
Ejemplos de división tradicional
editarUn conjunto básico de ejemplos para ilustrar todo lo anterior.
Tablas de división generalizadas
editarTablas de división para divisores de varios dígitos, lo que permite dividir por ellos sin recurrir a la tabla de multiplicar.
División por potencias de dos
editarOtro método de división tradicional diferente de 帰除法 basado en fracciones; una forma de división in situ.
Referencias
editar- ↑ Suzuki, Hisao (鈴木 久男) (1980). «Chūgoku ni okeru josan-hō no kigen (1 ) 中国における除算法の起源(1) [Origin of Division Method in China (1)]» (en Japonés). Kokushikan University School of Political Science and Economics 55 (2). ISSN 0586-9749. https://kokushikan.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=8365&item_no=1&page_id=13&block_id=21.
- ↑ Suzuki, Hisao (鈴木 久男) (1981). «Chūgoku ni okeru josan-hō no kigen (2 ) 中国における除算法の起源(2) [Origin of Division Method in China (2)]» (en Japonés). Kokushikan University School of Political Science and Economics 56 (1). ISSN 0586-9749. https://kokushikan.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=8365&item_no=1&page_id=13&block_id=21.
- ↑ Momokawa, Jihei (百川治兵衛) (1645) (en Japonés). Kamei Zan (亀井算). http://base1.nijl.ac.jp/iview/Frame.jsp?DB_ID=G0003917KTM&C_CODE=THKW-06252&IMG_SIZE=&PROC_TYPE=null&SHOMEI=%E3%80%90%E4%BA%80%E4%BA%95%E7%AE%97%E3%80%91&REQUEST_MARK=null&OWNER=null&BID=null&IMG_NO=1.
- ↑ Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914). A history of Japanese mathematics. Chicago: The Open court publishing company. p. 43-44. https://archive.org/details/historyofjapanes00smitiala/page/42/mode/2up.
- ↑ Zhū Shìjié 朱士傑 (1993) [1299] (en Chino). Suànxué Qǐméng (算學啟蒙). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙).
Division Moderna y Tradicional; Parientes Próximos
editarDivisión Moderna (商除法)
editarEs conveniente que el lector tenga fresco en la memoria el capítulo sobre la división moderna de la sección: Métodos del Ábaco Moderno; en particular lo que allí llamamos:
- El punto clave
- Uno de los puntos clave del aprendizaje del ábaco es ser conscientes de que este instrumento nos permite corregir algunas cosas de forma muy rápida y sin dejar rastros, lo que convierte al ábaco en un instrumento especialmente indicado para procedimientos de prueba y error. Esto nos es especialmente útil en el caso de la división. Si tenemos que dividir , en lugar de forzar nuestra mente tratando de encontrar la cifra correcta del cociente, simplemente elegimos una cifra aproximada provisional o interina simplificando el problema original a y la probamos intentando restar el trozo (cociente provisional)✕79283 del dividendo; al hacerlo, ocurrirá una de las siguientes situaciones:
- El dígito del cociente provisional es correcto
- Es excesivo y debemos revisarlo a la baja
- Es insuficiente y debemos revisarlo al alza
ya que es este punto clave lo que nos señala la tremenda similitud entre las dos aproximaciones, tradicional y moderna, a la división; así como la pequeña diferencia que nos conducirá a un algoritmo completamente diferente. Recordemos también uno de los ejemplos vistos en dicho capítulo:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJ | |
35 1225 | 12÷3↦4 como cociente provisional |
+4 | situar cociente prov. en F |
35 41225 | Tratar de restar 4✕35 de GHI, |
-12 | primero 4✕3 de GH |
35 40025 | ahora 4✕5 de HI |
-20 | ¡No se puede! |
-1 | Revisar a la baja la cifra del cociente |
35 30025 | |
+3 | Devolver lo sustraído en exceso de GH |
35 30325 | |
-15 | continuar normalmente: restar 3✕5 de HI |
35 3 175 | 17÷3↦5 como cociente provisional |
+5 | situar cociente prov. en G |
35 35175 | Tratar de restar 5✕35 de HIJ |
-15 | primero 5✕3 de HI |
35 35025 | |
-25 | ahora 5✕5 de IJ |
35 35 | Resto nulo, fin! 1225÷35 = 35 |
División tradicional (帰除法)
editarEn lugar de intentar resolver directamente el problema original 1225÷35 o la aproximación utilizada en MD 12÷3, simplificamos aún más y tratamos de resolver 10÷3; es decir, utilizamos un enfoque más crudo del problema original al ignorar el segundo dígito del dividendo, por lo que debemos prepararnos para revisar el cociente intermedio con más frecuencia. Con este cambio de enfoque de 12÷3 a 10÷3 estamos adoptando la filosofía de TD; la cual es sólo una ligera variación de la técnica de división por trozos utilizada en MD. Es por esta razón por lo que podemos considerar ambas técnicas de división como parientes cercanos, miembros de la familia de algoritmos de división por trozos.
Por supuesto, si el lector ya ha desarrollado cierta habilidad dividiendo por el método moderno, no hallará ninguna dificultad en aplicar esta nueva aproximación. Así, el ejemplo anterior discurriría de la forma:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJ | |
35 1225 | 10÷3↦3 por la tabla de multiplicar |
+3 | cociente provisional en F |
35 31225 | sustraer 3✕35 from GHI, |
-09 | primero 3✕3 from GH |
35 3 325 | |
-15 | luego 3✕5 from HI |
35 3175 | ok. |
35 3 175 | 10÷3↦3 por la tabla de multiplicar |
+3 | cociente provisional en G |
35 33175 | sustraer 3✕35 from HIJ, |
-09 | primero 3✕3 de HI |
35 33 85 | |
-15 | ahora 3✕5 de IJ |
35 33 70 | resto mayor que el divisor (35) |
+1-35 | revisamos al alza |
35 34 35 | resto igual que el divisor (35) |
+1-35 | revisamos al alza otra vez |
35 35 | resto nulo, hecho! 1225÷35 = 35 |
Fíjese en que
- MD y TD (tal y como se ha explicado hasta ahora) se pueden entremezclar libremente durante el mismo problema de división. Este es un ejercicio interesante y recomendable que permite comparar ambas estrategias una junto a la otra.
- TD utiliza una aproximación más simple y por defecto del problema original que MD, por lo que podemos prever algunos pros y contras
- Pros
- Algunos pueden encontrar este enfoque más simple
- Será necesario revisar a la baja con menos frecuencia (revisar hacia a la baja suele ser más difícil y propenso a errores que revisar al alza)
- Contras
- Necesitamos revisar el cociente provisional con más frecuencia, ya que la aproximación seguida es mas rudimentaria, lo cual es un problema de eficiencia.
- Pros
Los dos pros anteriores probablemente jugaron un papel en el desarrollo de la técnica sofisticada que conocemos como división tradicional, pero entender por qué fue el método preferido durante siglos, a pesar del contra anterior, requiere reflexionar sobre el origen del esfuerzo mental realizado durante la división y descubrir la belleza oculta de TD.
La fuente del esfuerzo mental
editarCuando aprendemos la tabla de multiplicar, memorizamos una secuencia de frases como:
- “nueve por nueve, ochenta y uno”
- “nueve por ocho, setenta y dos”
- ...
El orden en el que se aprenden estas frases puede variar, pero la estructura de las frases es similar en muchos idiomas, al menos en español e inglés al igual que en chino y japonés. Consiste en una etiqueta que contiene los dos factores a multiplicar seguidos del producto. Tan pronto como pensamos en la etiqueta, ésta, actuando como una invocación, trae a nuestra conciencia el valor del producto. Representémoslo de la siguiente manera (lea ➡ como la invocación):
Lengua | Etiqueta | Producto | |
---|---|---|---|
Español | nueve por nueve | ➡ | ochenta y uno |
Inglés | nine times nine | ➡ | eighty-one |
Chino | 九九 | ➡ | 八十一 |
Japonés | くく | ➡ | はちじゅういち |
Symbólico | 9✕9 | ➡ | 81 |
¿Cómo usamos esta tabla de multiplicar durante la división? Pensemos en nuestro ejemplo anterior usando shojohou o el método de división moderno: 17÷3↦5, de la tabla de multiplicación por tres necesitamos el producto más grande que se puede restar de 17. Necesitamos escanear en nuestra memoria (representado por ⤷) al menos parte de dicha tabla y por cada producto rescatado, ver si es menor de 17 y elegir el máximo de los productos menores que 17. Un proceso complicado que se puede representar como:
3✕1 | ➡ | 3 | |||
3✕2 | ➡ | 6 | |||
⤷ | 3✕3 | ➡ | 9 | sí | |
⤷ | 3✕4 | ➡ | 12 | sí | |
⤷ | 3✕5 | ➡ | 15 | sí | ¡seleccionamos este! |
⤷ | 3✕6 | ➡ | 18 | no | |
3✕7 | ➡ | 21 | |||
3✕8 | ➡ | 24 | |||
3✕9 | ➡ | 27 |
Este proceso consume tiempo y energía. Los especialistas en informática pueden encontrar una similitud entre este proceso y la búsqueda en una tabla de una base de datos relacional por datos en una columna no indexada; la ineficacia de tal búsqueda es bien conocida. La creación de un nuevo índice para esa tabla en función de la columna y los criterios de búsqueda puede mejorar drásticamente las cosas. ¿Podemos hacer algo similar en nuestro caso para que la división sea más cómoda?
Indexando la tabla de multiplicar; la tabla de dividir
editarPara hacer algo similar a indexar la tabla de multiplicar en términos de los productos para facilitar la búsqueda, debemos memorizar frases nuevas que contengan esos productos como etiquetas; es decir, frases que comiencen con ellos; por ejemplo:
Etiqueta | Cociente |
---|---|
3/3 | 1 |
6/3 | 2 |
9/3 | 3 |
12/3 | 4 |
15/3 | 5 |
18/3 | 6 |
21/3 | 7 |
24/3 | 8 |
27/3 | 9 |
Es decir, tenemos que memorizar una tabla de división, lo cual es un trabajo duro. Piense también que la tabla anterior no es óptima en el sentido de que faltan muchos de los números entre 1 y 29; quizás deberíamos memorizar una tabla del siguiente estilo en su lugar:
Etiqueta | Cociente | Resto |
---|---|---|
1/3 | 0 | 1 |
2/3 | 0 | 2 |
3/3 | 1 | 0 |
4/3 | 1 | 1 |
5/3 | 1 | 2 |
… | … | … |
27/3 | 9 | 0 |
28/3 | 9 | 1 |
29/3 | 9 | 2 |
donde la tercera columna contiene los restos de la división euclídea. Probablemente esté de acuerdo en que memorizar una tabla de este tipo está fuera del alcance de la mayoría de las personas (¡piense en la tabla para 9!).
La belleza oculta de la división tradicional
editarSi dedicásemos toda una vida a dividir con el ábaco usando el método moderno terminaríamos enfrentándonos con todas las divisiones elementales posibles del tipo ab÷c, donde a, b y c son dígitos y ab<c0, aproximadamente unas 360 en total. Sin embargo, si usásemos la división tradicional tal y como se ha explicado aquí hasta ahora, nos enfrentaríamos con todas las divisiones elementales del tipo a0÷c, es decir 10✕a÷c con a0<c0, ¡sólo 36 en total! Esto hace viable la memorización de una tabla de división. De hecho, para dividir por 3 basta con memorizar:
Etiqueta | Cociente | Resto |
---|---|---|
10/3 | 3 | 1 |
20/3 | 6 | 2 |
o, en una forma simbólica más compacta
Regla |
---|
1/3 > 3+1 |
2/3 > 6+2 |
que podemos usar directamente para resolver nuestro ejemplo sin pensar, simplemente eligiendo la cifra sugerida por la regla como cociente intermedio:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJ | |
35 1225 | Regla: 1/3 > 3+1 |
+3 | cociente interino 3 en F |
35 31225 | sustraer 3✕35 de GHI, |
-09 | primero 3✕3 de GH |
35 3 325 | |
-15 | después 3✕5 de HI |
35 3 175 | ok. |
35 3 175 | Regla: 1/3 > 3+1 |
+3 | cociente interino 3 en G |
35 33175 | sustraer 3✕35 from HIJ, |
-09 | primero 3✕3 de HI |
35 33 85 | |
-15 | ahora 3✕5 de IJ |
35 33 70 | resto mayor que el divisor (35) |
+1-35 | revisando al alza |
35 34 35 | resto igual al divisor (35) |
+1-35 | revisando al alza otra vez |
35 35 | Resto nulo, ¡hecho! 1225÷35 = 35 |
pero aún no hemos hecho uso del resto que aparece en las reglas después del signo más, por lo que todavía no estamos usando la mecánica completa de la división tradicional; ese y otros temas se cubrirán en el próximo capítulo.
La tabla de división
editarConcluyamos el presente capítulo ofreciendo una primera visión de la tabla de división completa utilizada en TD. Todos los elementos se obtienen de los términos a0÷c por división euclídea.
1/9>1+1 | 2/9>2+2 | 3/9>3+3 | 4/9>4+4 | 5/9>5+5 | 6/9>6+6 | 7/9>7+7 | 8/9>8+8 | 9/9>9+9 |
1/8>1+2 | 2/8>2+4 | 3/8>3+6 | 4/8>5+0 | 5/8>6+2 | 6/8>7+4 | 7/8>8+6 | 8/8>9+8 | |
1/7>1+3 | 2/7>2+6 | 3/7>4+2 | 4/7>5+5 | 5/7>7+1 | 6/7>8+4 | 7/7>9+7 | ||
1/6>1+4 | 2/6>3+2 | 3/6>5+0 | 4/6>6+4 | 5/6>8+2 | 6/6>9+6 | |||
1/5>2+0 | 2/5>4+0 | 3/5>6+0 | 4/5>8+0 | 5/5>9+5 | ||||
1/4>2+2 | 2/4>5+0 | 3/4>7+2 | 4/4>9+4 | |||||
1/3>3+1 | 2/3>6+2 | 3/3>9+3 | ||||||
1/2>5+0 | 2/2>9+2 | |||||||
1/1>9+1 |
El lector probablemente se sentirá sorprendido al contemplar los elementos de la diagonal señalados en gris tales como 9/9>9+9, 8/8>9+8, etc. La división euclídea de 90 por 9 da un cociente de 10 y un resto de cero, ¿Por qué se indica aquí un cociente de 9 y un resto de 9? Como veremos, tales reglas son especiales en cierto sentido.
Otras lecturas
editar- «The Definitive Higher Math Guide on Integer Long Division (and Its Variants)». Math Vault. Archivado desde el original, el May 14, 2021.
- Knott, Cargill G. (1886). «The Abacus, in its Historic and Scientific Aspects». Transactions of the Asiatic Society of Japan 14: pp. 18-73. https://archive.org/details/in.gov.ignca.26020/page/17/mode/2up. deals with traditional division
- Totton Heffelfinger (2013). «Suan Pan and the Unit Rod - Division». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
- Totton Heffelfinger (2013). «Short Division Techniques - Chinese Suan Pan». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
- Totton Heffelfinger (2013). «Long Division Techniques - Chinese Suan Pan». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
- Totton Heffelfinger (2013). «Chinese Division Rules on a Soroban». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
Guía a la División Tradicional
editarIntroducción
editarEl método de división tradicional (TD), kijohou , guī chúfǎ (帰除法), es uno de los dos métodos principales de división utilizados con el ábaco. Este método utiliza tanto la tabla de multiplicar como una tabla de división específica y ha sido el método estándar estudiado con el ábaco durante al menos 4 siglos, perdiendo popularidad en la década de 1930 por las razones que ya han sido comentadas. Como algoritmo de división dígito a dígito lo hemos presentado en el capítulo anterior comparándolo al método de división moderno; haciendo hincapié en su especial característica: no requiere pensar en qué dígito provisional probar, sino sólo seguir las reglas. En el presente capítulo veremos cómo llevarlo efectivamente a la práctica con el ábaco.
La tabla de división
editarEn el capítulo anterior se ha introducido la siguiente tabla de división o tabla de dividir (八算, Hassan en japonés, Bāsuàn en chino):
1/9>1+1 | 2/9>2+2 | 3/9>3+3 | 4/9>4+4 | 5/9>5+5 | 6/9>6+6 | 7/9>7+7 | 8/9>8+8 | 9/9>9+9 |
1/8>1+2 | 2/8>2+4 | 3/8>3+6 | 4/8>5+0 | 5/8>6+2 | 6/8>7+4 | 7/8>8+6 | 8/8>9+8 | |
1/7>1+3 | 2/7>2+6 | 3/7>4+2 | 4/7>5+5 | 5/7>7+1 | 6/7>8+4 | 7/7>9+7 | ||
1/6>1+4 | 2/6>3+2 | 3/6>5+0 | 4/6>6+4 | 5/6>8+2 | 6/6>9+6 | |||
1/5>2+0 | 2/5>4+0 | 3/5>6+0 | 4/5>8+0 | 5/5>9+5 | ||||
1/4>2+2 | 2/4>5+0 | 3/4>7+2 | 4/4>9+4 | |||||
1/3>3+1 | 2/3>6+2 | 3/3>9+3 | ||||||
1/2>5+0 | 2/2>9+2 | |||||||
1/1>9+1 |
donde cada celda es el resultado de la división euclídea:
(: cociente, : resto, dígitos de 1 a 9) expresado en la forma por razones que veremos a continuación. Esto significa que se cumple lo siguiente:
Aunque ya hemos señalado al final del capítulo anterior que las reglas diagonales (en gris) son especiales; son un tanto excepcionales en el sentido de que que el resto de la división euclídea siempre es menor que el divisor, lo cual no es el caso aquí, por lo que estas reglas no son el resultado de una división euclídea en sentido estricto aunque satisfagan la ecuación anterior. En breve podremos explicar su especial naturaleza.
La tabla tiene tres zonas que corresponden a lo siguiente: Si el divisor tiene cifras y lo comparamos con los primeros dígitos del dividendo contados desde la izquierda (añadiendo ceros finales si fuera necesario), pueden ocurrir tres casos:
- que el dividendo sea mayor o igual que el divisor (ej. )
- que el dividendo sea menor que el divisor y el primer dígito del divisor sea igual al primer dígito del dividendo (por ejemplo, )
- que el dividendo sea menor que el divisor y el primer dígito del divisor sea mayor que el primer dígito del dividendo (por ejemplo, )
Las tres zonas de la tabla se corresponden con estos tres casos:
- Las celdas en blanco bajo la diagonal de la tabla de división corresponden al caso 1. Podrían rellenarse al estilo de las tablas que se pueden ver en otros lugares[1], pero las dejamos vacías aquí por simplicidad. Si durante la división caemos en esta zona, procederemos, al menos por ahora, simplemente revisando al alza el dígito anterior del cociente tal y como veremos en los ejemplos que seguirán.
- Los elementos diagonales (en gris) corresponden al caso 2, lo cual sólo puede ocurrir si el divisor tiene al menos dos dígitos.
- Finalmente, los demás elementos no diagonales corresponden al caso 3, que puede considerarse el más importante de estudiar.
Ahora sí, ya podemos explicar lo que las reglas diagonales tienen de especial. Si pensamos en el ejemplo dado arriba: , si tratamos de aplicar la filosofía de la división tradicional, tal y como se introdujo en el capítulo anterior, deberíamos simplificar el problema a , lo que nos conduce a un cociente de 10 y un resto nulo; pero dicho cociente de 10 es excesivo de entrada ya que y no podríamos restarlo del dividendo. Estamos forzados, por tanto, a revisar a la baja el divisor y considerar 9, en lugar de 10, como cociente provisional y aceptar 6 como resto de la división . Podemos entender por tanto las reglas diagonales como el resultado de una división euclídea, en sentido estricto, inmediatamente seguida de una revisión a la baja.
No hay duda de que memorizar la tabla de división requiere una inversión de tiempo y esfuerzo. Por ello, al lector le interesaría probar el método para saber si le interesa o no antes de realizar dicha inversión. Afortunadamente, las reglas de división por nueve, cinco y dos tienen una estructura muy simple que permiten memorizarlas casi instantáneamente (ver más abajo); también los elementos diagonales para divisores de varios dígitos se pueden retener inmediatamente. Esto significa que podemos aprender esta técnica tradicional sin mucho esfuerzo utilizando divisores que comienzan con 9, 5 o 2 y así poder decidir si vale la pena dedicar tiempo a aprender toda la tabla o no. En lo que sigue usaremos ejemplos basados en tales divisores.
Diagonal | División por 9 | División por 5 | División por 2 |
---|---|---|---|
1/1>9+1 | 1/9>1+1 | 1/5>2+0 | 1/2>5+0 |
2/2>9+2 | 2/9>2+2 | 2/5>4+0 | |
3/3>9+3 | 3/9>3+3 | 3/5>6+0 | |
4/4>9+4 | 4/9>4+4 | 4/5>8+0 | |
5/5>9+5 | 5/9>5+5 | ||
6/6>9+6 | 6/9>6+6 | ||
7/7>9+7 | 7/9>7+7 | ||
8/8>9+8 | 8/9>8+8 | ||
9/9>9+9 |
¿Por qué las reglas de división incluyen restos?
editarSupongamos que vamos a dividir 35 entre 9, la regla 3/9>3+3 nos dice que debemos usar 3 como cociente intermedio y el siguiente paso será restar el producto 3✕9 = 27 de 35, dejando un resto de 8. Si también memorizamos los restos, podemos ahorrarnos este paso de multiplicación de la siguiente manera: quitamos, limpiamos o borramos el primer dígito del dividendo, en este caso 3, luego sumamos el resto (3) a la siguiente cifra (5) del dividendo. De esta forma obtenemos el mismo resultado pero sin utilizar la tabla de multiplicar. Con divisores de un dígito nunca tendremos que recurrir a la tabla de multiplicar, y en el caso de divisores con varias cifras, procediendo de la misma forma, nos ahorraremos una de las multiplicaciones necesarias. Lo veremos en el ábaco a continuación, pero primero necesitamos añadir algo sobre cómo vamos a organizar la división en el ábaco.
Disposición moderna de la división (MDA)
editarSe supone que el lector ya ha estudiado el método moderno del ábaco y la división moderna tal como se ha explicado en la sección precedente de este libro y que se corresponde con el método divulgado en lengua inglesa por Takashi Kojima.[2]. En particular, ya conoce cómo organizar la división sobre un ábaco 4+1, por lo que en los ejemplos siguientes ilustraremos la división tradicional usando la misma disposición con la que ya está familiarizado para que pueda seguirla más fácilmente y usar su ábaco de tipo 4+1 habitual si lo desea. Llamaremos a esta organización Disposición moderna de la división (o MDA, por sus siglas en inglés), pero esta disposición no es la forma en que la división se organizaba tradicionalmente en el ábaco. Más adelante, presentaremos la Disposición tradicional de la división (TDA) que, como veremos, tiene algunas ventajas y algunos inconvenientes, incluyendo la necesidad (o al menos la conveniencia) de utilizar un ábaco especializado con cuentas superiores adicionales.
Mientras use MDA puede usar las mismas reglas que ya conoce sobre la posición de la varilla unitaria si las necesita.
Veamos ahora el caso de la división 35÷9 del párrafo anterior, primero sin usar los restos (de la regla):
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGH | |
9 35 | Divisor en A, dividendo en GH, regla: 3/9>3+3 |
+3 | cociente provisional 3 en E |
9 335 | |
-27 | restar 3✕9=27 de GH |
9 3 8 | nuevo resto/dividendo en H |
... | ... |
Y ahora usando los restos:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGH | |
9 35 | Divisor en A, dividendo en GH, regla: 3/9>3+3 |
+3 | cociente provisional 3 en E |
9 335 | |
-3 | borrar primer dígito del dividendo en G |
9 3 5 | |
9 +3 | sumar el resto 3 de la regla a H |
9 3 8 | nuevo resto/dividendo en H |
... | ... |
- es decir
- Cuando se usa MDA, la regla a/b>q+r se debe leer: "introducir q como dígito provisional del cociente a la izquierda de a, borrar a y sumar r a la cifra de la derecha”
Divisores de un dígito
editarEl número 123456789 se ha utilizado tradicionalmente para demostrar el uso de las tablas de multiplicar y dividir en libros antiguos chinos[3] y japoneses[4][5]. Aquí lo usaremos con los "divisores fáciles" 9, 5 y 2.
Ejemplo: 123456789÷9=13717421
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJ | (divisor no indicado) |
123456789 | Regla 1/9>1+1 |
+1 | cociente provisional 1 en A |
-1 | borrar B |
+1 | añadir resto 1 al dígito adyacente |
1 33456789 | Regla 3/9>3+3 |
13 6456789 | Regla 6/9>6+6 |
1361056789 | |
+1-9 | revisión al alza |
137 156789 | Regla 1/9>1+1 |
1371 66789 | Regla 6/9>6+6 |
1371612789 | |
+1-9 | revisión al alza |
13717 3789 | Regla 3/9>3+3 |
1371731089 | |
+1-9 | revisión al alza |
137174 189 | Regla 1/9>1+1 |
1371741 99 | |
+1-9 | revisión al alza |
1371742 9 | |
+1-9 | revisión al alza |
13717421 | ¡Hecho! |
Ejemplo: 123456789÷5=24691357.8
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJ | (divisor no indicado) |
123456789 | Regla 1/5>2+0 |
2 23456789 | Regla 2/5>4+0 |
24 3456789 | Regla 3/5>6+0 |
246 456789 | Regla 4/5>8+0 |
2468 56789 | |
+1-5 | revisión al alza |
2469 6789 | |
+1-5 | revisión al alza |
24691 1789 | Regla 1/5>2+0 |
246912 789 | |
+1-5 | revisión al alza |
246913 289 | Regla 2/5>4+0 |
2469134 89 | |
+1-5 | revisión al alza |
2469135 39 | Regla 3/5>6+0 |
24691356 9 | |
+1-5 | revisión al alza |
24691357 4 | Regla 3/5>6+0 |
246913578 | ¡Hecho! |
Ejemplo: 123456789÷2=61728394.5
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJ | (divisor no indicado) |
123456789 | Regla 1/2>5+0 |
5 23456789 | |
+1-2 | revisión al alza |
6 3456789 | |
+1-2 | revisión al alza |
61 1456789 | Regla 1/2>5+0 |
615 456789 | |
+2-4 | revisión al alza dos veces |
617 56789 | |
+2-4 | revisión al alza dos veces |
6172 16789 | Regla 1/2>5+0 |
61725 6789 | |
+3-6 | revisión al alza tres veces |
61728 789 | |
+3-6 | revisión al alza tres veces |
617283 189 | Regla 1/2>5+0 |
6172835 89 | |
+4-8 | revisión al alza cuatro veces |
6172839 9 | |
+4-8 | revisión al alza cuatro veces |
61728394 1 | Regla 1/2>5+0 |
617283945 | ¡Hecho! |
Divisores de varios dígitos
editarConsidere, por ejemplo, , en este caso es conveniente pensar en el divisor como compuesto por un divisor propiamente dicho (el primer dígito) seguido de un multiplicador (el resto de los dígitos del divisor), es decir, , donde es el divisor (9) y es el multiplicador (728). Los nombres en chino y japonés para este método de división (帰除 Guīchú en chino, 帰除法 Kijohou en japonés) se refieren a esto: 帰, Guī , Ki es el divisor propiamente dicho y 除, chú , jo es el multiplicador[6].
En este caso, la forma de actuar es la siguiente:
- Primero consideramos solo el divisor y hacemos exactamente lo mismo que en el caso del divisor de un solo dígito, es decir, seguimos la regla de división: obtenemos el cociente intermedio y sumamos el resto (de la regla) a la columna adyacente
- Luego restamos el producto del dividendo si podemos; de lo contrario, tenemos que revisar a la baja y devolver al resto o dividendo usando las siguientes reglas:
Reglas para revisar a la baja Mientras se divide por: Revisar q a: Sumar al resto: 1 q-1 +1 2 q-1 +2 3 q-1 +3 4 q-1 +4 5 q-1 +5 6 q-1 +6 7 q-1 +7 8 q-1 +8 9 q-1 +9
Con esto, devolveremos al resto o dividendo lo que hemos restado de más al usar la regla de división errónea; pero si el multiplicador tiene más de una cifra y ya hemos procesado varias de ellas cuando reparamos en que el cociente provisional es excesivo, también tendremos que devolver lo sustraído de más sumando los dígitos que hemos usado del multiplicador (véase el ejemplo más abajo).
Ejemplo: 359936÷9728=37
editarVeamos primero el caso mencionado arriba
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | Divisor:9, Multiplicador: 728 |
9728 359936 | Regla 3/9>3+3 |
9728 3 89936 | cociente 3 en G, borrar H y sumar 3 a I |
-2184 | restar 3✕multiplicador 3✕728=2184 de I-L |
9728 3 68096 | Regla 6/9>6+6 |
9728 3614096 | cociente 6 en H, borrar I y sumar 6 a J |
-4368 | restar 6✕multiplier 6✕728=4368 de J-M |
9728 36 9728 | revisión al alza |
+1-9728 | |
9728 37 | ¡Hecho! |
Ejemplo 235÷59=3.98… (revisión a la baja)
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJ | Divisor:5, Multiplicador: 9 |
59 235 | Regla 2/5>4+0 |
59 4 35 | cociente 4 a E, borrar F y sumar 0 a G |
-36 | no se puede restar 4✕multiplicador 4✕9=36 de GH! |
-1+5 | revisión a la baja siguiendo las reglas dadas arriba |
59 3 85 | |
-27 | restar 3✕multiplicador 3✕9=27 de GH |
59 3 58 | Regla 5/5>9+5 |
59 3913 | cociente 9 a F, borrar G y sumar 5 a H |
-81 | restar 9✕multiplicador 9✕9=81 de HI |
59 39 49 | Regla 4/5>8+0 |
... | etc. |
Ejemplo: 23711÷5928=3,9998… (revisión a la baja)
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLMN | Divisor: 5, Multiplicador: 928 |
5928 23711 | Regla 2/5>4+0 |
5928 4 3711 | cociente 4 a G, borrar H y sumar 0 a I |
-36 | restar 4✕9=36 de IJ |
5928 4 111 | |
-8 | restar 4✕2=8 de JK |
5928 4 31 | |
-32 | no se puede restar 4✕8=32 de KL! |
-1+592 | revisión a la baja devolviendo el exceso restado de IJK |
5928 3 5951 | |
-24 | continuando normalmente, restar 3✕8=24 de KL |
5928 3 5927 | Regla 5/5>9+5 |
... | etc. |
En este ejemplo el divisor es 5 y el multiplicador es 928. Cuando reparamos en que 4 es un cociente excesivo ya hemos restado del dividendo el producto de 4 por las dos primeras cifras del multiplicador (92); por lo tanto, para revisar a la baja y devolver al dividendo lo que hemos sustraído de más, deberemos:
- Sumar 5 a la primera cifra del dividendo en I (de acuerdo a la tabla de arriba) para corregir lo que la aplicación de la regla se ha llevado de más.
- Sumar las cifras usadas del multiplicador (92) a JK, que es lo que nos hemos llevado de más al sustraer en lugar de .
Ambas cosas combinadas se traducen en la suma de 592 al resto realizada arriba en IJK.
Disposición tradicional de la división (TDA)
editarComo se comentó anteriormente, hay dos formas básicas de organizar los problemas generales de división. Veámoslos uno al lado del otro:
- Disposición moderna de la división (MDA), como lo explica Kojima[2] y como se ha explicado en el capítulo correspondiente de este libro,
MDA 25÷5=5 Ábaco Comentario ABCDEF 5 25 El dividendo empieza en E 5 5 Trás la división el cociente empieza en D
- Disposición tradicional de la división (TDA), usada en los libros antiguos desde los tiempos de las varillas de cálculo[7] hasta la primera parte del siglo XX[8],
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEF | |
5 25 | El dividendo empieza en E |
5 5 | Trás la división el cociente empieza en E |
Hasta ahora hemos utilizado MDA con la división tradicional sin ningún problema. TDA, sin embargo, es problemático con cualquier método de división, incluido el tradicional. Esta naturaleza problemática se debe a una colisión entre el divisor y el dividendo/resto que ocurre con frecuencia (es decir, ambos requieren el uso simultáneo de la misma columna), y se necesitan técnicas o ábacos especiales para hacer frente a esta colisión. A pesar de esto, la TDA se ha utilizado durante siglos junto con el método tradicional de división, al menos desde el siglo XIII, mientras que el MDA se ha dejado de lado hasta los tiempos modernos. Está claro que se pueden reconocer ciertas ventajas a TDA, pero no está tan claro que sean suficientes para justificar su uso histórico:
- Utiliza una varilla menos
- El resultado no se desplaza demasiado hacia la izquierda como en MDA, lo cual es de interés en el caso de operaciones encadenadas. Esto y el puntos anterior hacen que TDA sea más adecuado para ábacos con un número reducido de columnas, como el tradicional suanpan/soroban de 13 varillas.
- Ahorra algunos movimientos de los dedos; por ejemplo, la operación 6231÷93 = 67 puede hacerse en 14 movimientos usando la división tradicional con TDA mientras que son necesarios 24 con MDA.
- Los desplazamientos de las manos son más cortos.
- Es menos propenso a errores ya que se saltan menos columnas.
La forma de tratar con la colisión mencionada es aceptar que la primera columna del dividendo o resto, después de la aplicación de las reglas de división, puede desbordar y tomar temporalmente un valor superior a 9 (hasta 18 es necesario en algunos casos), al tiempo que proporcionar algún mecanismo para hacer frente a tal desbordamiento. Curiosamente, parece que ningún texto antiguo explica cómo hacer esto último, aunque está claro que en el caso de un ábaco 5+2 o 5+3 usaremos las cuentas superiores adicionales para representar los valores de 10 a 20 en la columna desbordada, recurriendo a la cuenta suspendida (懸珠 xuán zhū en chino , kenshu en japonés) en el caso del ábaco 5+2. La tercera cuenta o la cuenta suspendida se requiere sólo en aproximadamente el 1% de los casos, lo que justifica la adopción del modelo 5+2 como el estándar en lugar del 5+3. En un capítulo posterior veremos cómo hacer frente al desbordamiento en un ábaco con sólo una cuenta superior.
- Cuando se usa TDA
la regla a/b>q+r debe leerse: "cambiar a a q como dígito del cociente intermedio y sumar r a la cifra de la derecha". |
- Con TDA, la regla para encontrar la columna unidad es la siguiente
La columna de las unidades de los cocientes se ubica columnas a la izquierda de la columna de las unidades del dividendo; donde es el número de dígitos del divisor a la izquierda de su punto decimal (¡que puede ser negativo!). |
La siguiente tabla muestra los valores de para algunos divisores:
Divisor | n |
---|---|
32.7 | 2 |
3.27 | 1 |
0.327 | 0 |
0.00327 | -2 |
Para ver ejemplos de TD usando TDA, consulte el capítulo: Ejemplos de división tradicional.
Acerca de la eficiencia de la división tradicional
editarComo puede ver en los ejemplos con divisores de un solo dígito, la eficiencia de TD se deteriora a medida que el divisor comienza con cifras más bajas, en el sentido de que tenemos que revisar al alza con más frecuencia. Podemos decir que la eficiencia es nula cuando el divisor empieza por 1; de hecho, ni siquiera tenemos reglas de división excepto 1/1> 9+1 (que es "estadísticamente" excesiva, consulte el capítulo: Aprender la tabla de división). Para este último caso, el truco es dividir por 2 in situ (capítulo: División por potencias de dos) tanto el divisor como el dividendo, lo cual es muy rápido, y proceder a dividir ambos resultados normalmente; ahora el divisor comenzará con un dígito entre 5 y 9 y la división tradicional resultará más eficiente. Por ejemplo:
Para dividir in situ por dos, simplemente trabaje de derecha a izquierda borrando un dígito de cada vez y sumando en su lugar su mitad:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHI | |
16 128 | División por 2 in situ |
16 124 | mitad de 8 |
16 114 | mitad de 2 |
16 64 | mitad de 1 |
13 64 | mitad de 6 |
8 64 | mitad de 1 |
8 64 | Regla 6/8>7+4 |
8 7 8 | |
+1-8 | revisión al alza |
8 8 | ¡Hecho! |
En otros casos, nuestra intuición y experiencia con MD podrían ayudarnos.
Esta menor eficiencia de TD en comparación con MD es el precio a pagar para ahorrarnos el trabajo mental de deducir la cifra del cociente provisional que tenemos que probar.
Referencias
editar- ↑ «割り算九九 (Warizan kuku, Tabla de dividir)» (en japonés). Wikipedia en japonés.
- ↑ 2,0 2,1 The Japanese Abacus: its Use and Theory. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. 1954. ISBN 978-0-8048-0278-9. https://archive.org/details/japaneseabacus00taka.
- ↑ Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573] (en Chino). Pánzhū Suànfǎ (盤珠算法). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙).
- ↑ Yoshida, Mitsuyoshi (吉田光由) (1634) (en Japonés). Jinkoki (塵劫記). https://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/3508170/7.
- ↑ Shinoda, Shosaku (篠田正作) (1895) (en Japonés). Jitsuyo Sanjutsu (実用算術). https://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/827128/5?tocOpened=1&itemId=info%3Andljp%2Fpid%2F827128&contentNo=5&__lang=en.
- ↑ Lisheng Feng (2020). «Traditional Chinese Calculation Method with Abacus». En Jueming Hua; Lisheng Feng. Thirty Great Inventions of China. Jointly published by Springer Publishing and Elephant Press Co., Ltd. ISBN 978-981-15-6525-0. https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-981-15-6525-0.
- ↑ Zhū Shìjié 朱士傑 (1993) [1299] (en Chino). Suànxué Qǐméng (算學啟蒙). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙).
- ↑ Kwa Tak Ming (1922) (PDF). The Fundamental Operations in Bead Arithmetic, How to Use the Chinese Abacus. San Francisco: Service Supply Co.. https://archive.computerhistory.org/resources/access/text/2016/12/B1671.01-05-01-acc.pdf.
Otras lecturas
editar- Knott, Cargill G. (1886). «The Abacus, in its Historic and Scientific Aspects». Transactions of the Asiatic Society of Japan 14: pp. 18-73. https://archive.org/details/in.gov.ignca.26020/page/17/mode/2up. deals with traditional division
- Totton Heffelfinger (2013). «Suan Pan and the Unit Rod - Division». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
- Totton Heffelfinger (2013). «Short Division Techniques - Chinese Suan Pan». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
- Totton Heffelfinger (2013). «Long Division Techniques - Chinese Suan Pan». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
- Totton Heffelfinger (2013). «Chinese Division Rules on a Soroban». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 3, 2021.
Aprendiendo la Tabla de División
editarMemorización de la tabla de división.
editarLa tabla de división contiene 45 reglas, incluidos los 9 elementos diagonales para divisores de varios dígitos.
1/9>1+1 | 2/9>2+2 | 3/9>3+3 | 4/9>4+4 | 5/9>5+5 | 6/9>6+6 | 7/9>7+7 | 8/9>8+8 | 9/9>9+9 |
1/8>1+2 | 2/8>2+4 | 3/8>3+6 | 4/8>5+0 | 5/8>6+2 | 6/8>7+4 | 7/8>8+6 | 8/8>9+8 | |
1/7>1+3 | 2/7>2+6 | 3/7>4+2 | 4/7>5+5 | 5/7>7+1 | 6/7>8+4 | 7/7>9+7 | ||
1/6>1+4 | 2/6>3+2 | 3/6>5+0 | 4/6>6+4 | 5/6>8+2 | 6/6>9+6 | |||
1/5>2+0 | 2/5>4+0 | 3/5>6+0 | 4/5>8+0 | 5/5>9+5 | ||||
1/4>2+2 | 2/4>5+0 | 3/4>7+2 | 4/4>9+4 | |||||
1/3>3+1 | 2/3>6+2 | 3/3>9+3 | ||||||
1/2>5+0 | 2/2>9+2 | |||||||
1/1>9+1 |
La misma cantidad de elementos independientes que encontramos en la tabla de multiplicar (dada la conmutatividad de esta operación) cuya memorización fue una de las hazañas de nuestra infancia en la escuela. Memorizar la tabla de división es, por tanto, una tarea similar a aprender la tabla de multiplicar.
Estas reglas:
- Desde un punto de vista operativo, estas reglas deben leerse o interpretarse de manera ligeramente diferente dependiendo de si usamos la disposición de división tradicional (TDA) o la moderna (MDA).
- cuando se usa MDA, se debe leer la regla a / b> q + r: “poner q como dígito del cociente intermedio a la izquierda, borrar a y sumar r a la derecha ”
- Cuando se usa TDA, se debe leer la regla a / b> q + r: “cambiar a por q como dígito del cociente intermedio y sumar r a la derecha ”
- Desde un punto de vista teórico, cada regla expresa el resultado de una división euclidiana:
- (: cociente, : resto, dígitos del 1 al 9) o, de manera equivalente,
Si pensamos en este último punto, de hecho no es necesario memorizar las reglas de división ya que las podemos obtener in situ, cuando las necesitemos, mediante un simple proceso mental. Pero entonces estaríamos haciendo un esfuerzo mental similar al requerido con el método moderno de división y no estaríamos disfrutando de la gran ventaja que nos ofrece el método tradicional. Sin duda, la eficacia y bondad del método tradicional solo se logra memorizando las reglas, y sólo debemos recurrir al proceso mental mencionado cuando alguna regla se resiste a venir a la memoria durante la fase de aprendizaje.
Afortunadamente, una serie de patrones que aparecen en la tabla de división vienen en nuestra ayuda haciéndonos más fácil aprenderla, dejando solo 14 reglas duras de un total de 45.
Reglas fáciles
editarEn el capítulo: Guía para la división tradicional ya mencionamos que las reglas de división por 9, 5 y 2, así como las reglas diagonales, tienen una estructura particularmente simple que permiten una memorización casi inmediata.
Diagonal | División por 9 | División por 5 | División por 2 |
---|---|---|---|
1/1>9+1 | 1/9>1+1 | 1/5>2+0 | 1/2>5+0 |
2/2>9+2 | 2/9>2+2 | 2/5>4+0 | |
3/3>9+3 | 3/9>3+3 | 3/5>6+0 | |
4/4>9+4 | 4/9>4+4 | 4/5>8+0 | |
5/5>9+5 | 5/9>5+5 | ||
6/6>9+6 | 6/9>6+6 | ||
7/7>9+7 | 7/9>7+7 | ||
8/8>9+8 | 8/9>8+8 | ||
9/9>9+9 |
Por esta razón, los ejemplos presentados en dicho capítulo sólo hicieron uso de divisores con 2,5 y 9 como primer dígito. Si practica varios ejemplos con tales divisores, no le será difícil memorizar estas 22 reglas (¡casi la mitad del total!); lo que supone una drástica reducción del trabajo a realizar y no la única ayuda a recibir.
Division by 8
editarDe las reglas restantes, las de división por 8 es la serie más larga pero no la más difícil, ya que tiene una estructura interna:
1/8>1+2 | 5/8>6+2 |
2/8>2+4 | 6/8>7+4 |
3/8>3+6 | 7/8>8+6 |
4/8>5+0 |
Dejando a un lado 4/8>5+0 (piense en esto como 8x5 = 40), las dos sub-series 1, 2, 3 y 5, 6, 7 tienen los mismos residuos y los cocientes son tan simples como 1, 2, 3 y 6, 7, 8; así que, sin duda, esta no será la serie que le resultará más difícil de aprender.
Reglas subdiagonales
editarFinalmente, como último recurso para aprender, observe la siguiente serie de términos adyacentes a la diagonal de la tabla.
4/5>8+0 |
5/6>8+2 |
6/7>8+4 |
7/8>8+6 |
8/9>8+8 |
En realidad, solo hay dos reglas nuevas aquí, pero captar la estructura de la tabla anterior también lo ayudará a memorizar las reglas para los divisores 5, 8 y 9.
Reglas "duras"
editarEn resumen, de las 45 reglas incluidas en la tabla de división, 31 caen dentro de uno de los patrones anteriores (en gris)
1/9>1+1 | 2/9>2+2 | 3/9>3+3 | 4/9>4+4 | 5/9>5+5 | 6/9>6+6 | 7/9>7+7 | 8/9>8+8 | 9/9>9+9 |
1/8>1+2 | 2/8>2+4 | 3/8>3+6 | 4/8>5+0 | 5/8>6+2 | 6/8>7+4 | 7/8>8+6 | 8/8>9+8 | |
1/7>1+3 | 2/7>2+6 | 3/7>4+2 | 4/7>5+5 | 5/7>7+1 | 6/7>8+4 | 7/7>9+7 | ||
1/6>1+4 | 2/6>3+2 | 3/6>5+0 | 4/6>6+4 | 5/6>8+2 | 6/6>9+6 | |||
1/5>2+0 | 2/5>4+0 | 3/5>6+0 | 4/5>8+0 | 5/5>9+5 | ||||
1/4>2+2 | 2/4>5+0 | 3/4>7+2 | 4/4>9+4 | |||||
1/3>3+1 | 2/3>6+2 | 3/3>9+3 | ||||||
1/2>5+0 | 2/2>9+2 | |||||||
1/1>9+1 |
y nos quedamos con sólo 14 reglas "duras" o difíciles que tendremos que memorizar sin otra ayuda. Esto ya no parece un gran trabajo.
La tabla combinada de multiplicación y división
editarLo que sigue es una simple nota histórica con poca o ninguna relevancia práctica.
La tabla de multiplicar estudiada por el lector probablemente contiene los 81 productos de dos dígitos en cualquier orden; es decir, incluye tanto 8x9 = 72 como 9x8 = 72, lo cual es innecesario dada la conmutatividad de la multiplicación. Por el contrario, en chino o japonés sólo contenía uno de los términos de estos pares 8x9 = 72; siempre con el primer factor menor o igual que el segundo[1][2]. Por otro lado, las reglas de división se enunciaron dando primero el divisor que siempre es mayor que el dividendo, a excepción de las reglas que hemos llamado diagonales en las que es igual. Esto permite concebir una tabla combinada de multiplicación-división que cubra todo el "espacio" de pares de dígitos como operandos:
9✕9 81 | 9\8 8+8 | 9\7 7+7 | 9\6 6+6 | 9\5 5+5 | 9\4 4+4 | 9\3 3+3 | 9\2 2+2 | 9\1 1+1 |
8✕9 72 | 8✕8 64 | 8\7 8+6 | 8\6 7+4 | 8\5 6+2 | 8\4 5+0 | 8\3 3+6 | 8\2 2+4 | 8\1 1+2 |
7✕9 63 | 7✕8 56 | 7✕7 49 | 7\6 8+4 | 7\5 7+1 | 7\4 5+5 | 7\3 4+2 | 7\2 2+6 | 7\1 1+3 |
6✕9 54 | 6✕8 48 | 6✕7 42 | 6✕6 36 | 6\5 8+2 | 6\4 6+4 | 6\3 5+0 | 6\2 3+2 | 6\1 1+4 |
5✕9 45 | 5✕8 40 | 5✕7 35 | 5✕6 30 | 5✕5 25 | 5\4 8+0 | 5\3 6+0 | 5\2 4+0 | 5\1 2+0 |
4✕9 36 | 4✕8 32 | 4✕7 28 | 4✕6 24 | 4✕5 20 | 4✕4 16 | 4\3 7+2 | 4\2 5+0 | 4\1 2+2 |
3✕9 27 | 3✕8 24 | 3✕7 21 | 3✕6 18 | 3✕5 15 | 3✕4 12 | 3✕3 9 | 3\2 2+6 | 3\1 3+1 |
2✕9 18 | 2✕8 16 | 2✕7 14 | 2✕6 12 | 2✕5 10 | 2✕4 8 | 2✕3 6 | 2✕2 4 | 2\1 5+0 |
1✕9 9 | 1✕8 8 | 1✕7 7 | 1✕6 6 | 1✕5 5 | 1✕4 4 | 1✕3 3 | 1✕2 2 | 1✕1 1 |
Donde hemos alterado la redacción de nuestras reglas de división para adaptarlas al orden de los argumentos utilizados en chino. Para resaltar este hecho, hemos reemplazado "/" por "\", por lo que las reglas de división tal como aparecen en la tabla anterior deben interpretarse en la forma: Lea a \ b c + d: como: a cabe en b0 c veces dejando d como resto.
La tabla combinada tiene 81 elementos o reglas, a las que debemos sumar las reglas diagonales
Diagonal |
---|
1/1>9+1 |
2/2>9+2 |
3/3>9+3 |
4/4>9+4 |
5/5>9+5 |
6/6>9+6 |
7/7>9+7 |
8/8>9+8 |
9/9>9+9 |
y las reglas de revisión dadas en el capítulo anterior.
Mientras se divide por: | Revisar q a: | Sumar al resto: |
---|---|---|
1 | q-1 | +1 |
2 | q-1 | +2 |
3 | q-1 | +3 |
4 | q-1 | +4 |
5 | q-1 | +5 |
6 | q-1 | +6 |
7 | q-1 | +7 |
8 | q-1 | +8 |
9 | q-1 | +9 |
que eran estudiadas por separado. Esto suma un total de 99 reglas a las que podemos sumar las aproximadamente 50 reglas de suma y resta. El aprendizaje tradicional del ábaco consistía fundamentalmente en la memorización y práctica de estas 150 reglas.
Reglas estadísticas
editarLo que sigue es una cuestión que surge de la práctica. Las reglas de la diagonal para los divisores 1 y 2
2/2>9+2 |
1/1>9+1 |
son "excesivas" en el sentido de que a menudo nos vemos obligados a revisar el divisor a la baja varias veces. En la práctica, las siguientes dos reglas "estadísticas" (por darles un nombre) se comportan mejor permitiendo un cálculo más rápido.
2/2>7+6 |
1/1>7+3 |
Pruébelas en algún momento durante su práctica.
Referencias
editar- ↑ Chéng Dàwèi (程大位) (1993) [1592] (en Chino). Suànfǎ Tǒngzōng (算法統宗). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙).
- ↑ Chen Yifu (2013) (en Francés). L’étude des Différents Modes de Déplacement des Boules du Boulier et de l’Invention de la Méthode de Multiplication Kongpan Qianchengfa et son Lien avec le Calcul Mental. Université Paris-Diderot (Paris 7). http://www.theses.fr/2013PA070061.
Cómo Tratar con el Desbordamiento
editarEste capítulo es para el lector que desee practicar la división tradicional TD en disposición tradicional TDA, así como el resto de técnicas superiores que se basan en ella, usando un antiguo soroban 5+1 o incluso un ábaco moderno 4+1. Si dispone de un ábaco tradicional 5+2 (o 5+3, si es lo suficientemente afortunado), todo es mucho más sencillo y no necesitará nada de lo que sigue.
Introducción
editarExcluyendo los métodos especiales de división de los que trataremos en la sección de Métodos Avanzados, hay dos formas básicas de disponer la división sobre el ábaco. Ya las hemos mencionado en la Guia a la División Tradicional:
- Disposición Moderna (MDA), como la descrita por Kojima[1],
MDA 25÷5=5 Ábaco Comentario ABCDEF 5 25 El dividendo empieza en E 5 5 Trás la división, el cociente empieza en D
- Disposición Tradicional (TDA), la usada en libros antiguos como el Jinkoki (塵劫記)[2], o el Panzhu Suanfa (盤珠算法)[3]
TDA 25÷5=5 Ábaco Comentario ABCDEF 5 25 El dividendo empieza en E 5 5 Trás la división, el cociente empieza en E
MDA parece una disposición perfecta para cualquier método de división; no sólo para el moderno y el tradicional, sino también para cualquiera de la asombrosa variedad de métodos que uno puede imaginar después de leer una página como: La guía definitiva de matemáticas superiores sobre la división larga de enteros [4] o los esbozados en el capítulo: División Moderna, y simplemente usando las cuentas de un ábaco 4+1 (moderno). Por el contrario, TDA es una disposición problemática con cualquier método de división, ya que con frecuencia tiene lugar una colisión entre cociente y dividendo/resto al requerir ambos el uso simultáneo de la misma columna. Por ejemplo, en el caso de la división moderna nos veríamos obligados a posponer la entrada en el ábaco del dígito del cociente provisional hasta que quedase libre la columna correspondiente durante la sustracción del producto de dicho cociente por el divisor. En cuanto a la división tradicional, la aplicación de las reglas de división supone sustituir el primer dígito del dividendo por el cociente provisional y sumar el resto (de la regla) a la columna siguiente; si dicha suma alcanza un valor superior a 9 (hasta 18) tenemos un 1 que desborda dicha columna y que deberíamos sumar como un acarreo a la columna de la izquierda pero que, como dicha columna está ocupada por el cociente, se produce la colisión y el 1 desbordado no tiene adonde ir. Es decir, se necesitan técnicas o ábacos especiales para hacer frente a esta colisión.
Y sin embargo, TDA se ha utilizado durante siglos junto con el método tradicional de división, mientras que MDA parece haber sido relegada al olvido hasta los tiempos modernos y la adopción del ábaco 4+1; y ello a pesar de que MDA es la primera idea que se nos ocurriría si intentásemos adaptar el antiguo método de división de Sunzhi (utilizado con las varillas de cálculo) a una sola fila de dígitos en lugar de las tres habituales. Se desconocen las razones por las que esto ha sido así, y posiblemente seguirán siendo un misterio para siempre dado que ningún autor clásico se tomó la molestia de contárnoslas. No obstante, debemos reconocerle ciertas ventajas a la disposición tradicional TDA:
- Utiliza una varilla menos menos.
- El resultado no se desplaza demasiado hacia la izquierda como con MDA; lo cual es de interés en el caso de operaciones encadenadas. Esto, junto con el punto anterior, hace que TDA sea más adecuado para ábacos de pequeño número de columnas, como el tradicional suanpan/soroban de 13 varillas.
- Ahorra algunos movimientos de cuentas; por ejemplo, en la operación 6231÷93 = 67 usando la división tradicional, se pueden contar 14 movimientos usando TDA frente a los 24 requeridos si usamosMDA.
- Los desplazamientos de la mano son más cortos.
- Es menos propenso a errores ya que es necesario saltan menos columas.
¿Son suficientes estas razones para justificar el uso histórico de TDA? Parece necesario aceptarlo.
En cuanto a la forma de hacer frente a la colisión o desbordamiento, esto no es un problema con un ábaco tradicional 5+2 o 5+3; como ya se explicó, las cuentas superiores adicionales se pueden usar para almacenar valores tan altos como 20 en cada columna del ábaco. El problema surge cuando pensamos que los ábacos de tipo 5+1 fueron populares en Japón durante el período Edo y fueron usados con la división tradicional, pero parece que ningún texto japonés antiguo explica cómo tratar con el desbordamiento. La cuestión que trata de resolver este capítulo es esta: ¿Qué se puede hacer con un ábaco 5+1 tradicional o con el moderno 4+1?.
En lo que sigue, se ofrecen tres soluciones a esta cuestión aunque la primera de ellas no es nada recomendable para una práctica habitual.
Usaremos un ejercicio clásico 998001÷999 = 999 como ejemplo para ilustrar las tres alternativas mencionadas. Este ejercicio se llama en chino: Regreso del ganso solitario (孤雁歸隊 Gūyàn guīduì). Si plantea esta división en el ábaco, por ejemplo:
Ábaco |
---|
ABCDEFGHIJK |
999 998001 |
y si es lo suficientemente imaginativo, sin duda identificará la cuenta solitaria colocada en K con un ganso solitario que acaba de dejar su bandada en FGH (puede ver el lugar que ocupaba en la parte inferior de la columna H). Para hacerlo volver a su lugar sólo tenemos que completar la división y obtener 999.
Primera forma: Fuerza bruta
editarEn principio, podríamos sumar el "1 desbordado" en cualquier columna no utilizada, por ejemplo, la de más a la derecha del ábaco; pero esto podría resultar molesto e inconveniente porque tanto la mano como la atención tendrían que ir saltando de un lugar a otro en el ábaco con el riesgo de terminar trabajando en la columna equivocada. Aquí, sin más miramientos, sumaremos el 1 desbordado a la columna del dígito del cociente intermedio recién ingresado. Quizás el lector se sienta aterrado al oír esto y no le faltarán razones para ello, ya que crearemos una entidad híbrida, en parte cociente y en parte dividendo difícil de entender conceptualmente, pero si podemos mantener el valor del cociente intermedio en la memoria por un momento podremos operar como de costumbre y cualquier anomalía desaparecerá del ábaco en segundos. Veámoslo con el ejemplo 998001÷999 = 999 en un ábaco 4+1:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJK | |
999 998001 | Regla: 9/9>9+9, ¡recuerde el cociente 9! |
999 998001 | cambie el 9 en F por 9 |
+9 | sume 9 a G |
999 1088001 | el acarreo corre hacia la izquierda, no se asuste |
-81 | reste 9*9=81 de GH |
999 1007001 | |
-81 | reste 9*9=81 de HI, fin de la anomalía |
999 998901 | Regla: 9/9>9+9, ¡recuerde el cociente 9! |
999 1007901 | el acarreo corre hacia la izquierda, no se asuste |
-81 | reste 9*9=81 de HI, fin de la anomalía |
999 999801 | |
-81 | reste 9*9=81 de IJ |
999 998991 | Regla: 8/9>8+8, ¡recuerde el cociente 8! |
999 999791 | |
-72 | reste 8*9=72 de IJ |
999 999071 | |
-72 | reste 8*9=72 de JK, fin de la anomalía |
999 998999 | revisión al alza |
999 999 | ¡Hecho! |
En un ábaco 5+1, las cosas son más fáciles. Podemos usar la quinta cuenta para evitar que el acarreo corra hacia la izquierda:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJK | |
... | |
999 998901 | Regla: 9/9>9+9, ¡recuerde el cociente 9! |
999 9T7901 | |
-81 | reste 9*9= 81 de HI |
999 999801 | |
... | ...etc. |
Como vemos, es posible hacer las cosas así, pero no parece un método muy atractivo ya que necesitamos memorización y mucha atención para no cometer errores. Por tanto, no se debe intentar este método excepto como ejercicio de concentración. Si hemos traído este método aquí, es principalmente como introducción al siguiente método.
Segunda forma: Cuentas inferiores suspendidas
editarSi usamos un 5+1, en lugar de empujar la cuenta completamente hacia arriba, sumando efectivamente el 1 desbordado al dígito del cociente provisional como en el caso anterior, parece más razonable empujarlo sólo hasta la mitad, dejando una cuenta inferior suspendida como se ilustra en la parte superior de la imagen a la derecha. Esta cuenta suspendida representará el desbordamiento a la vez que respeta la integridad del dígito del cociente.
Este parece un método perfecto para tratar con el desbordamiento, tanto en la división como en la multiplicación, todo permanece bajo nuestros ojos y nada tiene que ser memorizado. De hecho, cuando se utilizan cuentas inferiores suspendidas no hay necesidad de cuentas superiores adicionales, y el ábaco 5+1 resulta tan potente como los instrumentos 5+2 o 5+3. Esto podría ayudar a explicar por qué el ábaco 5+1 fue tan popular en el pasado y por qué la quinta cuenta inferior sobrevivió durante tanto tiempo. Nótese en la mitad inferior de la figura que, con alguna complicación, este método también se puede extender al ábaco 4+1. A partir de aquí, usaremos dígitos subrayados para representar el desbordamiento de acuerdo con la figura. El subrayado nos recuerda cómo se ve la cuenta suspendida en el ábaco real.
Ábaco 5+1
editarRepitamos el ejercicio anterior con esta técnica. El divisor ya no está representado y también se introducen algunos detalles más para ilustrar adicionalmente cómo se puede usar la quinta cuenta inferior en la resta para simplificar algo la operación (como de costumbre, T es 10 inferior: 1 cuenta superior + 5 cuentas inferiores activadas)
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEF | |
998001 | |
988001 | Regla: 9/9>9+9 |
-8 | restar 81 de BC |
9T8001 | |
-1 | |
9T7001 | |
-8 | restar 81 de CD |
999001 | |
-1 | |
998901 | |
997901 | Regla: 9/9>9+9 |
-8 | restar 81 de CD |
999901 | |
-1 | |
999801 | |
-8 | restar 81 de DE |
998T01 | |
-1 | |
998991 | |
998791 | Regla: 8/9>8+8 |
-7 | restar 72 de DE |
998T91 | |
-2 | |
998T71 | |
-7 | restar 72 de EF |
9989T1 | |
-2 | |
998999 | Revisar al alza |
-9 | (de izquierda a derecha para ahorrar desplazamiento de mano) |
998990 | |
-9 | |
998900 | |
-9 | |
998000 | |
+1 | |
999000 | ¡Hecho! |
Consulte también el capítulo de ejemplos de divisiones para ver ilustrada esta división en ábacos de tipo 5+1, 5+2 y 5+3.
Ábaco 4+1
editarY ahora en un ábaco 4+1. Necesitamos usar el grupo suspendido de cuatro cuentas inferiores como código para 9:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEF | |
998001 | |
988001 | Regla: 9/9>9+9 |
-81 | restar 81 de BC |
987001 | |
-81 | restar 81 de CD |
998901 | |
997901 | Regla: 9/9>9+9 |
-81 | restar 81 de CD |
999801 | |
-81 | restar 81 de DE |
998991 | |
998791 | Regla: 8/9>8+8 |
-72 | restar 72 de DE |
998071 | |
-72 | restar 72 de EF |
998999 | Revisar al alza |
999000 | D¡Hecho! |
Si ha intentado este caso, probablemente haya notado que el grupo de cuatro cuentas suspendidas se comporta de la misma manera que la cuenta superior suspendida que se usa en el ábaco 5+2; es decir, con "aritmética inversa", si mueve la cuenta suspendida hacia la barra del ábaco, ¡estará restando en lugar de sumando!
Tercera forma: Memorización
editarSe ha dicho anteriormente que usar cuentas inferiores suspendidas parece un método perfecto, ...pero de hecho es algo molesto debido a su inherente lentitud. Siempre es difícil suspender una cuenta, especialmente las pequeñas del ábaco moderno con poco espacio libre en las varillas, y esto a pesar del truco simple de pellizcar la cuenta con dos dedos y luego retirar la mano como si se arrancara una flor. Es cierto que con un ábaco 5+1 no se necesitan cuentas superiores adicionales, pero sin duda, si tiene muchas multiplicaciones o divisiones por hacer, preferirá la velocidad que proporcionan las cuentas adicionales; ya que pocas veces se necesita una suspender una cuenta en el 5+2, y nunca en el 5+3.
En lugar de mover/suspender físicamente la cuenta de desbordamiento, basta pensar que la cuenta ya ha sido suspendida en la columna del cociente, o empujada sobre una varilla imaginaria que sobrevuela alrededor de su ábaco, o simplemente recordar que el “estado de desbordamiento” se ha establecido en ON y que debe ponerse nuevamente en OFF tan pronto como sea posible. Esta última forma es similar al concepto de poner banderas (flags) ON/OFF en la programación de calculadoras electrónicas antiguas. Obviamente, no mover una cuenta es más rápido que mover una cuenta, por lo que nada puede ser más rápido que esta alternativa. Sin embargo, necesitaremos algo de práctica para acostumbrarnos a este método y debemos prepararnos para cometer algunos errores más debido a la memorización; pero memorizar un dígito, como en el método de fuerza bruta, es peor que simplemente memorizar una condición de alerta como se requiere aquí.
No es necesario un nuevo ejemplo para ilustrar esta técnica; los anteriores se pueden seguir bajo esta nueva perspectiva simplemente interpretando los subrayados como: OverflowFlag: ON.
Conclusión
editarHemos visto aquí tres técnicas para tratar con el desbordamiento en ábacos 4+1 y 5+1 que empujan la cuenta desbordada hacia arriba en la columna del cociente intermedio:
- Completamente, sumándose efectivamente como un acarreo al cociente
- Sólo hasta mitad de camino, dejando una cuenta inferior suspendida
- Nada en absoluto (salvo en nuestra mente)
Estos métodos nos brindan la posibilidad de utilizar técnicas y disposiciones tradicionales en cualquier tipo de ábaco, simplemente adaptando la mecánica a la presencia/ausencia de cuentas adicionales. Encontrará esto ventajoso si finalmente termina convencido por las técnicas tradicionales.
Se ha mencionado que ningún texto japonés antiguo explica cómo tratar con el desbordamiento con un ábaco 5+1. Lo más probable es que el método utilizado haya sido uno de los dos últimos presentados aquí. Considere que el segundo método se puede demostrar a otros en solo segundos, y que una vez visto, no se olvida ni requiere más explicaciones; Es tan obvio que no hay mucha necesidad de escribir textos extensos para transmitir ese conocimiento.
Referencias
editar- ↑ Kojima Takashi (1954). The Japanese Abacus: its Use and Theory. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN 978-0-8048-0278-9. https://archive.org/details/japaneseabacus00taka.
- ↑ Yoshida, Mitsuyoshi (吉田光由) (1634) (en Japonés). Jinkoki (塵劫記). https://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/3508170/7.
- ↑ Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573] (en Chino). Pánzhū Suànfǎ (盤珠算法). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙).
- ↑ «The Definitive Higher Math Guide on Integer Long Division (and Its Variants)». Math Vault. Archivado desde el original, el May 14, 2021.
Ejemplos de División Tradicional
editarEn este capítulo se ofrecen una serie de ejemplos de división tradicional (TD) usando la disposición tradicional de la división (TDA) en la forma de tablas de procedimiento. También hay disponible una versión gráfica de estos ejercicios (como ficheros PDF externos) ilustrando su ejecución en diversos formatos de ábacos, pero de momento sólo están disponibles en inglés.
Divisores de un dígito
editarComo ya se ha mencionado, el número 123456789 se ha utilizado para demostrar la multiplicación y la división en muchos libros antiguos sobre el ábaco; algunos, como el Panzhu Suanfa[1], comienzan con la multiplicación tradicional (vea el capítulo correspondiente en este libro) de dicho número por un dígito y posteriormente usan la división para devolver el ábaco a su estado original; otros, como el Jinkoki [2], lo hacen al revés, comenzando con la división y terminando el ejercicio con la multiplicación. Nosotros veremos aquí la división de 123456789 por los ocho divisores de un dígito 2, 3,...9.
El número 123456789 es divisible entre 3, 9 y 13717421, por lo que las divisiones entre 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9 tienen resultados con expansión decimal finita (2 y 5 son divisores de la base decimal o radix 10). Sólo la división por 7 conduce a un resultado con un número infinito de decimales, por lo que aquí lo interumpiremos y daremos un resto.
Desafortunadamente, este ejercicio no usa todas las reglas de división, pero es un buen comienzo y permite practicar sin una hoja de ejercicios.
123456789 dividido por 9
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | Divisor 9 en M |
123456789 9 | Columna A: Usar regla 1/9>1+1 |
133456789 9 | Cambiar 1 en A en 1 y sumar 1 a B |
136456789 9 | Columna B: Usar regla 3/9>3+3 Cambiar 3 en B en 3 y sumar 3 a C |
136T56789 9 | Columna C: Usar regla 6/9>6+6 Cambiar 6 en C en 6 y sumar 6 a D |
136056789 9 | (Igual que arriba) |
137156789 9 | Revisar al alza |
137166789 9 | Columna D: Usar regla 1/9>1+1 Cambiar 1 en D en 1 y sumar 1 a E |
137162789 9 | Columna E: Usar regla 6/9>6+6 Cambiar 6 en E en 6 y sumar 6 a F |
137173789 9 | Revisar al alza |
137173089 9 | Columna F: Usar regla 3/9>3+3 Cambiar 3 en F en 3 y sumar 3 a G |
137174189 9 | Revisar al alza |
137174199 9 | Columna G: Usar regla 1/9>1+1 Cambiar 1 en G en 1 y sumar 1 a H |
137174209 9 | Revisar al alza |
137174210 9 | Revisar al alza. Done! 123456789/9=13717421 |
123456789 dividido por 8
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | |
123456789 8 | Dividendo en A-I, divisor 8 en M |
143456789 8 | Columna A: regla 1/8>1+2, Cambiar 1 en A en 1, sumar 2 a B |
153456789 8 | Columna B: regla 4/8>5+0, Cambiar 4 en B en 5, sumar 0 a C |
153T56789 8 | Columna C: regla 3/8>3+6, Cambiar 3 en C en 3, sumar 6 a D |
153056789 8 | (igual que arriba) |
154256789 8 | Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 8 de D |
154296789 8 | Columna D: regla 2/8>2+4, Cambiar 2 en D en 2, sumar 4 a E |
154316789 8 | Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 8 de E |
154318789 8 | Columna E: regla 1/8>1+2, Cambiar 1 en E en 1, sumar 2 a F |
154320789 8 | Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 8 de F |
154320849 8 | Columna G: regla 7/8>8+6, Cambiar 7 en G en 8, sumar 6 a H |
154320969 8 | Revisar al alza G, sumar 1 a G, restar 8 de H |
154320973 8 | Columna H: regla 6/8>7+4, Cambiar 6 en H en 7, sumar 4 a I |
154320985 8 | Revisar al alza H, sumar 1 a H, restar 8 de I |
1543209862 8 | Columna I: regla 5/8>6+2, Cambiar 5 en I en 6, sumar 2 a J |
15432098624 8 | Columna J: regla 2/8>2+4, Cambiar 2 en J en 2, sumar 4 a K |
15432098625 8 | Columna K: regla 4/8>5+0, Cambiar 4 en K en 5, sumar 0 a L.
¡Hecho! 123456789/9=15432098.625 |
123456789 dividido por 7
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | |
123456789 7 | Dividendo en A-I, divisor 7 en M |
153456789 7 | Columna A: regla 1/7>1+3, Cambiar 1 en A en 1, sumar 3 a B |
174456789 7 | Columna B: regla 5/7>7+1, Cambiar 5 en B en 7, sumar 1 a C |
175956789 7 | Columna C: regla 4/7>5+5, Cambiar 4 en C en 5, sumar 5 a D |
176256789 7 | Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 7 de D |
176256789 7 | Columna D: regla 2/7>2+6, Cambiar 2 en D en 2, sumar 6 a E |
176346789 7 | Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 7 de E |
176351789 7 | Columna E: regla 4/7>5+5, Cambiar 4 en E en 5, sumar 5 a F |
176364789 7 | Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 7 de F |
176365289 7 | Columna F: regla 4/7>5+5, Cambiar 4 en F en 5, sumar 5 a G |
176366589 7 | Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 7 de G |
176366799 7 | Columna G: regla 5/7>7+1, Cambiar 5 en G en 7, sumar 1 a H |
176366829 7 | Revisar al alza G, sumar 1 a G, restar 7 de H |
176366825 7 | Columna H: regla 2/7>2+6, Cambiar 2 en H en 2, sumar 6 a I |
176366841 7 | Revisar al alza H dos veces, sumar 2 a H, restar 14 de I. ¡Paramos aquí! 123456789/9=17636684, resto = 1 |
123456789 dividido por 6
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | Dividendo en A-I, divisor 6 en M |
123456789 6 | |
163456789 6 | Columna A: regla 1/6>1+4, Cambiar 1 en A en 1, sumar 4 a B |
203456789 6 | Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 6 de B |
205456789 6 | Columna C: regla 3/6>5+0, Cambiar 3 en C en 5, sumar 0 a D |
205696789 6 | Columna D: regla 4/6>6+4, Cambiar 4 en D en 6, sumar 4 a E |
205736789 6 | Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 6 de E |
205756789 6 | Columna E: regla 3/6>5+0, Cambiar 3 en E en 5, sumar 0 a F |
205760789 6 | Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 6 de F |
205761189 6 | Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 6 de G |
205761129 6 | Columna G: regla 1/6>1+4, Cambiar 1 en G en 1, sumar 4 a H |
205761309 6 | Revisar al alza G twice, sumar 2 a G, restar 12 de H |
205761313 6 | Revisar al alza H, sumar 1 a H, restar 6 de I |
205761315 6 | Columna I: regla 3/6>5+0, Cambiar 3 en I en 5, sumar 0 a J. ¡Hecho! 123456789/6=20576131.5 |
123456789 dividido por 5
editarAbacus | Comment |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | |
123456789 5 | Dividendo en A-I, divisor 5 en M |
223456789 5 | Columna A: regla 1/5>2+0, Cambiar 1 en A en 2, sumar 0 a B |
243456789 5 | Columna B: regla 2/5>4+0, Cambiar 2 en B en 4, sumar 0 a C |
246456789 5 | Columna C: regla 3/5>6+0, Cambiar 3 en C en 6, sumar 0 a D |
246856789 5 | Columna D: regla 4/5>8+0, Cambiar 4 en D en 8, sumar 0 a E |
246906789 5 | Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 5 de E |
246911789 5 | Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 5 de F |
246912789 5 | Columna F: regla 1/5>2+0, Cambiar 1 en F en 2, sumar 0 a G |
246913289 5 | Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 5 de G |
246913489 5 | Columna G: regla 2/5>4+0, Cambiar 2 en G en 4, sumar 0 a H |
246913539 5 | Revisar al alza G, sumar 1 a G, restar 5 de H |
246913569 5 | Columna H: regla 3/5>6+0, Cambiar 3 en H en 6, sumar 0 a I |
246913574 5 | Revisar al alza H, sumar 1 a H, restar 5 de I |
246913578 5 | Columna I: regla 4/5>8+0, Cambiar 4 en I en 8, sumar 0 a J. ¡Hecho! 123456789/5=24691357.8 |
123456789 dividido por 4
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | Dividendo en A-I, divisor 4 en M |
123456789 4 | |
243456789 4 | Columna A: regla 1/4>2+2, Cambiar 1 en A en 2, sumar 2 a B |
303456789 4 | Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 4 de B |
307656789 4 | Columna C: regla 3/4>7+2, Cambiar 3 en C en 7, sumar 2 a D |
308256789 4 | Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 4 de D |
308556789 4 | Columna D: regla 2/4>5+0, Cambiar 2 en D en 5, sumar 0 a E |
308616789 4 | Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 4 de E |
308628789 4 | Columna E: regla 1/4>2+2, Cambiar 1 en E en 2, sumar 2 a F |
308640789 4 | Revisar al alza E dos veces, sumar 2 a E, restar 8 de F |
308641389 4 | Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 4 de G |
3086417T9 4 | Columna G: regla 3/4>7+2, Cambiar 3 en G en 7, sumar 2 a H |
308641929 4 | Revisar al alza G dos veces, sumar 2 a G, restar 8 de H |
308641959 4 | Columna H: regla 2/4>5+0, Cambiar 2 en H en 5, sumar 0 a I |
308641971 4 | Revisar al alza H dos veces, sumar 2 a H, restar 8 de I |
3086419722 4 | Columna I: regla 1/4>2+2, Cambiar 1 en I en 2, sumar 2 a J |
3086419725 4 | Columna J: regla 2/4>5+0, Cambiar 2 en J en 5, sumar 0 a K. ¡Hecho! 123456789/4=30864197.25 |
123456789 dividido por 3
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | Dividendo en A-I, divisor 3 en M |
123456789 3 | |
333456789 3 | Columna A: regla 1/3>3+1, Cambiar 1 en A a 3, sumar 1 a B |
403456789 3 | Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 3 de B |
410456789 3 | Revisar al alza B, sumar 1 a B, restar 3 de C |
411156789 3 | Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 3 de D |
411366789 3 | Columna D: regla 1/3>3+1, Cambiar 1 en D a 3, sumar 1 a E |
411506789 3 | Revisar al alza D dos veces, sumar 2 a D, restar 6 de E |
411520789 3 | Revisar al alza E dos veces, sumar 2 a E, restar 6 de F |
411522189 3 | Revisar al alza F dos veces, sumar 2 a F, restar 6 de G |
411522399 3 | Columna G: regla 1/3>3+1, Cambiar 1 en G a 3, sumar 1 a H |
411522609 3 | Revisar al alza G tres veces, sumar 3 a G, restar 9 de H |
411522630 3 | Revisar al alza H tres veces, sumar 3 a H, restar 9 de I. ¡Hecho! 123456789/3=41152263 |
123456789 divided by 2
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | Dividendo en A-I, divisor 2 en M |
123456789 2 | |
523456789 2 | Columna A: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en A a 5, sumar 0 a B |
603456789 2 | Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 2 de B |
611456789 2 | Revisar al alza B, sumar 1 a B, restar 2 de C |
615456789 2 | Columna C: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en C a 5, sumar 0 a D |
617056789 2 | Revisar al alza C dos veces, sumar 2 a C, restar 4 de D |
617216789 2 | Revisar al alza D dos veces, sumar 2 a D, restar 4 de E |
617256789 2 | Columna E: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en E a 5, sumar 0 a F |
617280789 2 | Revisar al alza E tres veces, sumar 3 a E, restar 6 de F |
617283189 2 | Revisar al alza F tres veces, sumar 3 a F, restar 6 de G |
617283589 2 | Columna G: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en G a 5, sumar 0 a H |
617283909 2 | Revisar al alza G four times, sumar 4 a G, restar 8 de H |
617283941 2 | Revisar al alza H four times, sumar 4 a H, restar 8 de I |
617283945 2 | Columna I: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en I a 5, sumar 0 a J. ¡Hecho! 123456789/2=61728394.5 |
Divisores de varios dígitos (división larga)
editarDivisión de 998001 por 999
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | Dividendo en A-F, divisor in K-M |
998001 999 | |
988001 999 | Regla: 9/9>9+9 |
-8 | Restar 81 de BC |
9T8001 999 | |
-1 | |
9T7001 999 | |
-8 | Restar 81 de CD |
999001 999 | |
-1 | |
998901 999 | |
997901 999 | Regla: 9/9>9+9 |
-8 | Restar 81 de CD |
999901 999 | |
-1 | |
999801 999 | |
-8 | Restar 81 de DE |
998T01 999 | |
-1 | |
998991 999 | |
998791 999 | Regla: 8/9>8+8 |
-7 | Restar 72 de DE |
998T91 999 | |
-2 | |
998T71 999 | |
-7 | Restar 72 de EF |
9989T1 999 | |
-2 | |
998999 999 | |
-9 | Revisar al alza (de izquierda a derecha para ahorrar desplazamientos) |
998990 999 | |
-9 | |
998900 999 | |
-9 | |
998000 999 | |
+1 | |
999000 999 | ¡Hecho! 998001/999 = 999 |
-
Con un ábaco 5+2
-
Con un ábaco 5+1
-
Con un ábaco 5+3
División de 888122 por 989
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | Dividendo 888122 en A-F, divisor 989 en K-M |
888122 989 | |
868122 989 | A: Regla: 8/9>8+8 cambiar 8 en A a 8 y sumar 8 a B |
804122 989 | Restar A×L=8×8=64 de BC |
896922 989 | Restar A×M=8×9=72 de CD |
895922 989 | B: Regla: 9/9>9+9 cambiar 9 en B a 9 y sumar 9 a C |
898722 989 | Restar B×L=9×8=72 de CD |
897912 989 | Restar B×M=9×9=81 de DE |
897612 989 | C: Regla: 7/9>7+7 cambiar 7 en B a 7 y sumar 7 a D |
897052 989 | Restar C×L=7×8=56 de DE |
897989 989 | Restar C×M=7×9=63 de EF |
898000 989 | Revisar al alza: sumar 1 a C y restar 989 de DEF. Resto nulo 888122/989 = 898. ¡Hecho! |
División de 888122 por 898
editarÁbaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | Dividendo 888122 en A-F, divisor 898 en K-M |
888122 898 | |
968122 898 | A: Regla: 8/8>9+8, cambiar 8 en A a 9 y sumar 8 a B |
987122 898 | Restar A×L=9×9=81 de BC |
979922 898 | Restar A×M=9×8=72 de CD |
985922 898 | B: Regla: 7/8>8+6, cambiar 7 en B a 8 y sumar 6 a C |
988722 898 | Restar B×L=8×9=72 de CD |
988082 898 | Restar B×M=8×8=64 de DE |
989882 898 | C: Regla: 8/8>9+8, cambiar 8 en C a 9 y sumar 8 a D |
989072 898 | Restar C×L=9×9=81 de DE |
989000 898 | Restar C×M=9×8=72 de EF. Remainder en DEF is zero, so that 888122/898 = 989. ¡Hecho! |
División de 412 por 896
editarEn este caso extendemos la división hasta el final del ábaco, utilizando para los últimos dígitos la técnica presentada en el capítulo sobre Operaciones Abreviadas.
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | |
896 412 | Esta vez el divisor va a la izquierda y el dividendo a la derecha. |
896 512 | Columna E: regla 4/8>5+0, cambiar 4 en E a 5, sumar 0 a F |
896 492 | no se puede restar E×B=5×9=45 de FG, revisar a la baja E: restar 1 de E, sumar 8 a F |
896 456 | restar E×B=4×9=36 de FG |
896 4536 | restar E×C=4×6=24 de GH |
896 4656 | Columna F: regla 5/8>6+2, cambiar 5 en F a 6, sumar 2 a G |
896 4602 | restar F×B=6×9=54 de GH |
896 4582 | no se puede restar F×C=6×6=36 de HI, revisar a la baja F: restar 1 de F, sumar 8 a G |
896 4591 | y sumar 9 a H para devolver el exceso 89 restardo de GH |
896 4588 | Continuar normalmente y restar F×C=3×6=30 de HI |
896 45916 | Columna G: regla 8/8>9+8, cambiar 8 en G a 9, sumar 8 a H |
896 45979 | restar G×B=9×9=81 de HI |
896 459736 | restar G×C=9×6=54 de IJ |
896 459896 | Columna H: regla 7/8>8+6, cambiar 7 en H a 8, sumar 6 a I |
896 459824 | restar H×B=8×9=72 de IJ |
896 4598192 | restar H×C=8×6=48 de JK |
896 4598112 | Columna I: regla 1/8>1+2, cambiar 1 en I a 1, sumar 2 a J |
896 4598103 | restar I×B=1×9=9 de JK |
896 45981024 | restar I×C=1×6=6 de KL |
896 45982128 | revisar al alza I: sumar 1 a I, restar 896 de JKL |
896 45982148 | Columna J: regla 1/8>1+2, cambiar 1 en J a 1, sumar 2 a K |
896 45982139 | restar J×B=1×9=9 de KL |
896 459821384 | restar J×C=1×6=6 de LM |
896 459821344 | Columna K: regla 3/8>3+6, cambiar 3 en K a 3, sumar 6 a L |
896 459821317 | restar K×B=3×9=27 de LM |
896 459821315 | restar K×C=3×6=18 de M …a partir de ahora esto es aproximado |
896 459821425 | revisar al alza K: sumar 1 a K, restar 896 de LM… |
896 459821429 | Columna L: regla 2/8>2+4, cambiar 2 en L a 2, sumar 4 a M |
896 459821427 | restar L×B=2×9=18 de M… |
896 459821428 | Columna M: regla 7/8>8+6, cambiar 7 en M a 8, sumar 4 a … ¡Hecho! 412/896=0.459821428 |
Referencias
editar- ↑ Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573] (en Chin). Pánzhū Suànfǎ (盤珠算法). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙).
- ↑ Yoshida, Mitsuyoshi (吉田光由) (1634) (en Japonés). Jinkoki (塵劫記). https://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/3508170/7.
Recursos externos
editarPuede practicar la división tradicional en línea con Soroban Trainer usando este fichero: kijoho-1digit.sbk que debe descargar a su computadora y luego enviarlo a Soroban Trainer (es un archivo de texto que puede inspeccionar con cualquier editor de texto y que puede descargar de manera segura a su computadora).
- Sobre Soroban Trainer
-
- Puede ejecutarlo directamente desde GitHub en su navegador
- o puede descargarlo a su computadora desde su repositorio en GitHub.
Tablas de División Específicas
editarFundamento
editarSupongamos que tenemos que realizar una gran cantidad de divisiones entre 36525, que podría ser el caso si hacemos cálculos de calendarios. Entonces, podríamos simplificar la tarea creando una tabla de división específica para este divisor siguiendo lo que se indica en el capítulo: Guía a la División Tradicional. Comenzaremos calculando las siguientes tres divisiones euclidianas:
100000÷36525 | 200000÷36525 | 300000÷36525 | |||
---|---|---|---|---|---|
Cociente | Resto | Cociente | Resto | Cociente | Resto |
2 | 26950 | 5 | 17375 | 8 | 07800 |
Que se pueden resumir en la siguiente tabla de división especializada:
36525 |
---|
1/36525>2+26950 |
2/36525>5+17375 |
3/36525>8+07800 |
tabla que también podemos obtener con sólo la primera división, ya que tenemos: por lo que sumando este resultado a sí mismo: pero el resto es mayor que el divisor, por lo que procede revisar el cociente al alza con lo que hemos obtenido la segunda regla: 2/36525>5+17375. Si ahora sumamos de nuevo el resultado de la primera división tendremos: donde, nuevamente, el resto supera al divisor y necesitamos revisar al alza con lo que ya disponemos de la tercera regla.
Ahora podemos usar esta tabla para hacer divisiones con este divisor sin usar la tabla de multiplicar. Por ejemplo: ¿Cuántos siglos julianos de 36 525 días caben en 1 000 000 de días? Procedemos de forma idéntica a la división tradicional por divisores de un solo dígito:
Ábaco | Comentario |
---|---|
ABCDEFGHIJKLM | |
36525 1000000 | Regla: 1/36525>2+26950 sobre la columna G |
36525 2000000 | cambiar 1 en G a 2 |
+26950 | sumar 26950 a H-L |