Ábaco Oriental/Métodos del Ábaco Moderno/Multiplicación Moderna

Debería lograr algunas habilidades básicas de suma y resta antes de intentar la multiplicación.

Introducción

El concepto básico de multiplicación de números naturales es el de una suma repetida.

$a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}$

Por ejemplo, para multiplicar 47 por 23 solo es necesario sumar 23 47 veces o sumar 47 23 veces; lo podemos hacer con nuestro ábaco:

Multiplicación como suma repetida
Ábaco	Comentario
ABCDEFHIJ
. . .	Marcas de unidad
+1 +47	Sumar 1 a C y 47 a IJ
1 47
+1 +47	Sumar 1 a C y 47 a IJ
2 94
+1 +47	Sumar 1 a C y 47 a IJ
3 141
...	Continuar del mismo modo 19 veces...!
22 1034
+1 +47	Sumar 1 a C y 47 a IJ
23 1081	Fin. 23×47=1081
. . .	Marcas de unidad

Donde repetimos 23 veces la suma de 47 a las columnas IJ mientras sumamos 1 a C para tener un "contador" a nuestra disposición. ¡Pero esto es tremendamente lento! Una forma más eficiente de hacer lo mismo puede ser la siguiente:

Las calculadoras mecánicas del pasado empleaban el procedimiento de la izquierda para multiplicar

Una forma más conveniente
Ábaco	Comentario
ABCDEFHIJ
. . .	Marcas unidad
+1 +47	Sumar 1 a C y 47 a IJ
1 47
+1 +47	Sumar 1 a C y 47 a IJ
2 94
+1 +47	Sumar 1 a C y 47 a IJ
3 141
+1 +47	Sumar 1 a B y 47 a HI
13 511
+1 +47	Sumar 1 a B y 47 a HI
23 1081	Fin. 23×47=1081
. . .	Marcas unidad

Donde esta vez, después de agregar 47 tres veces a IJ (y 1 a C), nos hemos desplazado una columna a la izquierda y hemos comenzado a agregar 47 a las columnas HI (y 1 a B). Sumar 47 en HI equivale a sumar 470 = 10 × 47 a HIJ (10 a BC) reduciendo drásticamente el número de operaciones a realizar, porque después de hacerlo solo dos veces llegamos a 23 en el contador BC y 1081 en GHIJ, el resultado final. Esta forma de multiplicar fue la habitual en las calculadoras mecánicas que aparecieron a finales del siglo XIX y que se siguieron utilizando hasta la década de los 70. Pero esto sigue siendo excesivamente lento.

Piense que el ábaco tal como lo conocemos ahora permite sumar muy rápido, pero que antes de su invención se usaban varillas de cálculo que son extraordinariamente lentas de manejar. Por lo tanto, no es sorprendente que los matemáticos chinos, buscando abreviar los cálculos, finalmente inventaran la tabla de multiplicar decimal, tal como la conocemos nosotros, unos siglos antes de nuestra era.

La tabla de multiplicar

Tiras de bambú conteniendo la tabla de multiplicar decimal más antigua conocida, datada por radiocarbono en el 305±30 antes de nuestra era

Esta es la tabla de multiplicar decimal como la aprendemos en la escuela:

Tabla de multiplicar decimal
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Pero viviendo en la era de las computadoras, lo más probable es que pronto comencemos a usar una calculadora electrónica y en la edad adulta hagamos pocas multiplicaciones a mano. A menudo, muchos de nosotros, incluso los matemáticos, no tenemos la tabla de multiplicar "fresca" en la memoria y esto puede ser una mala noticia para quien se inicia: si se quiere multiplicar (y dividir) de manera eficiente con un ábaco, es necesario "refrescar" la tabla de multiplicar en la memoria y esto puede requerir un cierto tiempo de práctica.

Usando la tabla de multiplicar podemos resolver el problema de multiplicación $47\times 23$ en la forma:

$47\times 23=(40+7)\times (20+3)=$

$=40\times 20+40\times 3+7\times 20+7\times 3=$

$=(4\times 2)\times 100+(4\times 3)\times 10+(7\times 2)\times 10+(7\times 3)$

es decir, solo tenemos que recuperar los productos parciales: $(4\times 2)=8,(4\times 3)=12,(7\times 2)=14,(7\times 3)=21$ de la tabla de multiplicar y sumarlos en los lugares correctos, como hacemos con papel y lápiz

   47
  ×23
-----
   21
  12   (×10)
  14   (×10)
+ 8    (×100)
-----
 1081

Esto es absolutamente paralelo al método de multiplicación que vamos a seguir con el ábaco.

El método de multiplicación moderno

Cuando multiplicamos dos números $a$ y $b$ , llamamos a ambos números factores y producto al resultado $a\times b$ , pero también es común llamar multiplicando a uno de los factores y multiplicador al otro. Sin embargo, a la hora de multiplicar con el ábaco:

Multiplicando: Es el factor que vamos a manipular sobre el ábaco y que nos guiará para obtener los productos parciales de forma ordenada y alinearlos correctamente para su suma en las posiciones correctas.
Multiplicador: Es el factor que no vamos a manipular sobre el ábaco. de hecho no es obligatorio ni siquiera ingresarlo (pero es conveniente). Por lo general, será el factor con menos dígitos de los dos.

Disposición de multiplicación

Hay dos formas de introducir ambos factores en el ábaco que pueden considerarse prácticamente equivalentes; Cada uno de ellos tiene sus propias ventajas y desventajas. Lo mismo puede decirse de la división que estudiaremos en el próximo capítulo. Siéntase libre de experimentar con ambos arreglos.

Disposición china tradicional

El multiplicando se pone a la izquierda en el ábaco y el multiplicador lo suficientemente alejado del mismo. Al menos tantas columnas como dígitos tenga el multiplicador más dos, o mejor tres, deben dejarse libres a la derecha del multiplicando.

Ejemplo

Disposición china tradicional
multiplicando: 345, multiplicador: 67
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M

3	4	5									6	7

o en forma de tabla:

Disposición china tradicional
multiplicando: 345, multiplicador: 67
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
345 67

Disposición tradicional japonesa

Esta es la forma inversa. El multiplicador se sitúa a la izquierda y el multiplicando a la derecha, dejando al menos dos columnas vacías en el medio. Necesitamos tener al menos tantas columnas libres a la derecha del multiplicador como el número de dígitos del multiplicador más uno.

Disposición tradicional japonesa
multiplicando: 345, multiplicador: 67
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M

6	7			3	4	5

o en forma de tabla:

Traditional Japanese arrangement
multiplicand: 345, multiplier: 67
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
67 345

Esta es la forma que ha sido más popular en Japón.^[1] y terminó siendo importada también a China. También es la disposición que usaremos en este capítulo.

Multiplicación de 1 dígito × 1 dígito

Por supuesto, esto es tan trivial que no necesitamos un ábaco, pero sirve para introducir el resto de ejemplos. Supongamos que tenemos que multiplicar $7\times 8$ , tomemos 7 como multiplicador, 8 como multiplicando y adoptemos disposición japonesa que acabamos de explicar; es decir, partimos de:

**7×8=56**
A	B	C	D	E	F	G

7			8

y procedamos del siguiente modo:

7×8=56
Ábaco	Comentario
ABCDEFG
7 8	Planteando el problema
+56	Multiplicar D×A y sumarlo a EF
7 856
7 856	Borrar D
7 56	Resultado: 7×8=56 en EF

**Resultado final**
A	B	C	D	E	F	G

7				5	6

Sí, tiene razón; es usted quien hizo la multiplicación, no el ábaco. En el siguiente ejemplo sin embargo, el ábaco comienza a mostrar su utilidad.

Multiplicación de 1 dígito × 2 dígitos

Multipliquemos: $7\times 83$ , el multiplicando será 83.

**7×83**
A	B	C	D	E	F	G	H

7			8	3

7×83
Ábaco	Comentario
ABCDEFGH
7 83	Planteo
+21	Multiplicar E × A y sumarlo a FG
7 8321
7 8321	Borrar E
7 8 21
+56	Multiplicar D × A y sumarlo a EF
7 8581
7 8581	Borrar D
7 581	Resultado: 7×83=581

**7×83 Resultado**
A	B	C	D	E	F	G	H

7				5	8	1

Al menos, el ábaco ha servido para sumar los dos productos parciales enFG y EF.

Multiplicación de 2 dígitos × 2 dígitos

Ahora multipliquemos $79\times 83$ .

**79×83**
A	B	C	D	E	F	G	H	I

7	9			8	3

Caption text
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
79 83	Planteo
+21	Multiplicar F×A y sumarlo a GH
+27	Multiplicar F×B y sumarlo a HI
79 83237
79 83237	Borrar F
79 8 237
+56	Multiplicar E×A y sumarlo a FG
+72	Multiplicar E×B y sumarlo a GH
79 86557
79 86557	Borrar E
79 6557	Resultado: 79×83=6557 en FGHI

**79×83 Resultado**
A	B	C	D	E	F	G	H	I

7	9				6	5	5	7

Multiplicación de varios dígitos

Generalizando lo visto en los ejemplos anteriores:

Para cada dígito del multiplicando, comenzando por la derecha

Multiplicar el dígito actual del multiplicando por los dígitos del multiplicador (de izquierda a derecha), sumando el primer producto parcial a las dos columnas a la derecha del dígito actual del multiplicando, y el resto de los productos desplazandonos sucesivamente una columna a la derecha cada vez.
Borrar el dígito multiplicando actual.

Veámoslo con el siguiente ejemplo: $799\times 835=667165$ :

**799×835**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

7	9	9			8	3	5

799×835
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKL
799 835	Planteamiento
+35	Multiplicar H×A y sumarlo a IJ
+45	Multiplicar H×B y sumarlo a JK
+45	Multiplicar H×C y sumarlo a KL
799 8353995
799 8353995	Borrar H
799 83 3995
+21	Multiplicar G×A y sumarlo a HI
+27	Multiplicar G×B y sumarlo a IJ
+27	Multiplicar G×C y sumarlo a JK
799 8327965
799 8327965	Borrar G
799 8 27965
+56	Multiplicar F×A y sumarlo a GH
+72	Multiplicar F×B y sumarlo a HI
+72	Multiplicar F×C y sumarlo a IJ
799 8667165
799 8667165	Borrar F
799 667165	Resultado: 799×835=667165

**799×835 Resultado**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

7	9	9				6	5	7	1	6	5

Ceros embebidos

Sea particularmente cuidadoso cuando alguno de los factores tiene ceros internos; por ejemplo:

**3075×2707**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M	N	O

3	0	7	5			2	7	0	7

3075×2707
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
3075 2707	Planteamiento
+21	Multiplicar JxA, y sumarlo a KL
+49	Multiplicar JxC, y sumarlo a MN!
+35	Multiplicar JxD, y sumarlo a NO
3075 270721525
3075 270721525	Borrar J
3075 27 21525
+21	Multiplicar HxA, y sumarlo a IJ
+49	Multiplicar HxC, y sumarlo a KL!
+35	Multiplicar HxD, y sumarlo a LM
3075 272174025
3075 272174025	Borrar H
3075 2 2174025
+06	Multiplicar GxA, y sumarlo a HI
+14	Multiplicar GxC, y sumarlo a JK!
+10	Multiplicar GxD, y sumarlo a KL
3075 2 8324025
3075 2 8324025	Borrar G
3075 8324025	Resultado: 3075×2707=8324025

**3075×2707 Resultado**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M	N	O

3	0	7	5					8	3	2	4	0	2	5

La columna de la unidad y los decimales

Por favor, revise todos los ejemplos vistos hasta ahora y compruebe que, en todos los casos:

La columna de las unidades del producto se ubica $n+1$ columnas a la derecha de la columna de la unidades del multiplicando; donde $n$ es el número de dígitos del multiplicador.

Esta es una regla general para la multiplicación de números naturales siguiendo el método moderno de multiplicación que estamos estudiando. Es conveniente tener en cuenta esta regla ya que el producto podría tener ceros al final, como en el caso $32\times 1625=52000$ ; lo que podría confundirle. Por ejemplo:

**32×1625**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

3	2			1	6	2	5u

En el diagrama anterior, la barra unitaria del multiplicando es la columna H (señalada con un punto blanco en la barra). Después de la multiplicación, el ábaco muestra:

**32×1625 Resultado: 52000**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

3	2					5	2	0	0	0u

Necesita saber que la barra unitaria del resultado es $n+1=2+1=3$ varillas a la derecha de H (es decir, en J) para leer correctamente el resultado 52000.

Podemos extender esta regla a números decimales :

La columna de las unidades del producto se encuentra $n+1$ columnas a la derecha de la columna de las unidades del multiplicando; donde $n$ es el número de dígitos del multiplicador a la izquierda de su punto decimal (¡que podría ser negativo!).

La siguiente tabla muestra los valores $n$ para algunos multiplicadores:


Multiplicadores	n
32.7	2
3.27	1
0.327	0
0.00327	-2

Multipliquemos $0.0032\times 16.25$ ; La varilla de las unidades es F.

**0.0032×16.25**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

3	2			1	6	2	5

y para el multiplicador $0.0032$ , tenemos $n=-2$

**0.0032×16.25 Resultado: 0.052**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

3	2			0	0	5	2

de modo que la barra unitaria del producto es $n+1=-2+1=-1$ barras a la derecha de F, es decir, una barra a su izquierda ( E ) y el resultado debe leerse como $0.052$ .

Referencias

↑ The Japanese Abacus: its Use and Theory. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. 1954. ISBN 978-0-8048-0278-9. https://archive.org/details/japaneseabacus00taka.

Recursos externos

Hojas de ejercicios

Uitti, Stephen. «Soroban Sheets (Multiplication)». Soroban.
«The generator». Practicing the soroban.

Otras lecturas

«Multiplication». The Japanese Abacus: its Use and Theory. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. 1954. ISBN 978-0-8048-0278-9. https://archive.org/details/japaneseabacus00taka/page/52/mode/2up.
Heffelfinger, Totton (2004). «Multiplication». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el June 29, 2021.

Ábaco Oriental

▶[+6] Índice, Introducción, Página de edición, Enlaces, Texto completo

La humanidad ha utilizado ábacos, de un tipo u otro, desde los albores de la civilización para satisfacer sus necesidades de cálculo y contabilidad. La versión moderna del ábaco oriental, originario de China, todavía se utiliza hoy en día en todo el mundo para ayudar a los niños a mejorar su comprensión y habilidades numéricas. La Aritmética con Cuentas (珠算; léase zhūsuàn en chino, shuzan en japonés), o arte del uso del ábaco oriental, ha sido inscrito en 2013 en la Lista Representativa del Patrimonio Cultural Inmaterial de la Humanidad de la UNESCO.▶

{{Ábaco Oriental}}/◇

[1] The Japanese Abacus: its Use and Theory. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. 1954. ISBN 978-0-8048-0278-9. https://archive.org/details/japaneseabacus00taka.

[1]

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81