Ábaco Oriental/Técnicas Avanzadas/Operaciones Abreviadas

Introducción

Este capítulo es un tanto especial en el sentido de que su contenido no es específico del ábaco, sino que se trata de un recurso para acortar operaciones aritméticas tanto en el cálculo escrito como con ábaco. Lo incluimos en este libro porque, a lo largo del mismo, hacemos un uso esporádico de estas operaciones abreviadas.

Esta cuestión puede encontrarse en algunos libros de aritmética de la era anterior a la informática. La motivación es la siguiente. Supongamos que medimos el lado de un cuadrado y obtenemos ${\textstyle l=864\,{\text{mm}}}$ y queremos calcular su área ${\textstyle S}$

$$S={l}^{2}=l\cdot l=864\cdot 864=746496\,{\text{mm}}^{2}$$

un resultado con 6 dígitos, pero si hemos medido el lado del cuadrado con una cinta métrica que solo aprecia milímetros, lo que podemos decir es que el valor del lado está entre ${\textstyle 863.5}$ y ${\textstyle 864.5}$, es decir:

$$l=864.0\pm 0.5\,{\text{mm}}$$

De modo que ${\textstyle S}$ será un valor entre ${863.5}^{2}=745632.25$ y ${864.5}^{2}=747360.25$. Esto significa que solo conocemos con certeza los dos primeros dígitos del resultado S (74) y que el tercer dígito probablemente sea un 6; el resto de los dígitos de la multiplicación no tienen sentido (decimos que no son significativos) y no debemos incluirlos en nuestro resultado. Deberíamos escribir:

$$S=746\cdot {10}^{3}\,{\text{mm}}^{2}=7.46\cdot {10}^{5}\,{\text{mm}}^{2}$$

siendo ${\textstyle 746}$ las cifras significativas de nuestro resultado. Entonces, si sólo tres de las seis cifras del producto ${\textstyle 864\cdot 864}$ son significativas, ¿por qué calcular las seis?

Para eso están las operaciones abreviadas.

Cabe decir que el razonamiento anterior se extiende a la división, raíces etc. En líneas generales, un resultado no tiene más cifras significativas que el menor número de ellas entre los operandos; por ejemplo, si dividimos un número con 8 cifras significativas por otro que sólo tiene 2, el resultado tiene sólo 2 dígitos significativos y sería un trabajo estéril obtener 8 dígitos del cociente.

En este capítulo seguiremos los ejemplos que aparecen en Matemáticas de Antonino Goded Mur (en adelante simplemente Matemáticas ), un pequeño manual que formaba parte de la colección: Compendios CHOP, que tan popular fue durante parte del siglo XX en España. Veremos cómo se pueden hacer estas operaciones abreviadas con el ábaco.

Multiplicación

En Matemáticas se propone el siguiente procedimiento para la multiplicación:

Multiplicación

Se escribe el producto del multiplicando por la primera cifra del multiplicador,
se escribe debajo el producto del multiplicando amputado de su última cifra por la segunda del multiplicador,
se escribe debajo el producto del multiplicando amputado de sus dos últimas cifras por la tercera del multiplicador
y así sucesivamente

Proponiendo el ejemplo 6665x1375 y la siguiente forma escrita de realizarlo por comparación a la multiplicación normal:

Ejemplo

6665   x 1375  ———————    33325   46655  19995      6665    ———————  9164375	6665 x 1375   ————   6665   1999    466     33   ————   9163
Operación normal	Operación abreviada

Lo importante a considerar aquí es que, de todos los productos parciales que hemos de sumar para obtener el producto:

Productos parciales de 6665x1375

✕	$6\cdot 10^{3}$	$6\cdot 10^{2}$	$6\cdot 10^{1}$	$5\cdot 10^{0}$
$1\cdot 10^{3}$	$6\cdot 10^{6}$	$6\cdot 10^{5}$	$6\cdot 10^{4}$	$5\cdot 10^{3}$
$3\cdot 10^{2}$	$18\cdot 10^{5}$	$18\cdot 10^{4}$	$18\cdot 10^{3}$	$15\cdot 10^{2}$
$7\cdot 10^{1}$	$42\cdot 10^{4}$	$42\cdot 10^{3}$	$42\cdot 10^{2}$	$35\cdot 10^{1}$
$5\cdot 10^{0}$	$30\cdot 10^{3}$	$30\cdot 10^{2}$	$30\cdot 10^{1}$	$25\cdot 10^{0}$

debemos tomar en consideración aquellos que tienen potencias de 10 elevadas, los situados por encima de la diagonal en gris, retener sólo el primer dígito de los de dicha diagonal y olvidarnos de los que están por debajo. De esta forma, ahorraremos cierto trabajo.

En el ábaco, este problema se puede resolver de varias maneras; por ejemplo, adaptando la multiplicación moderna:

6666x1375 Multiplicación moderna

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
6665  1375	Planteamiento
+330	Sumar 5✕66 a K-M
-5	Borrar J
6665  137 330
+4662	Sumar 7✕666=4662 a J-M
-7	Borrar I
6665  13 4992
+19995	Sumar 3✕6665=19995 a I-M
-3	Borrar H
6665  1 24987
+6665	Sumar 1✕6665=6665 a H-L
-1	Borrar G
6665    91637	Resultado
6665    9164	Resultado redondeado a 4 cifras

e incluso la multiplicación tradicional, borrando primero el dígito del multiplicando y luego sumando los productos parciales desplazados una columna a la izquierda respecto al caso anterior

6666x1375 Multiplicación tradicional

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKL
6665  1375	Planteamiento
-5	Borrar J
+330	Sumar 5✕66 a J-L
6665  137330
-7	Borrar I
+4662	Sumar 7✕666=4662 a I-L
6665  134992
-3	Borrar H
+19995	Sumar 3✕6665=19995 a H-L
6665  124987
-1	Borrar G
+6665	Sumar 1✕6665=6665 a G-K
6665   91637	Resultado
6665   9164	Resultado redondeado a 4 cifras

En todos los casos, tendremos que ser cuidadosos con la posición de la varilla unidad; no olvidemos que $6666\times 1375=9164375$ y que el resultado obtenido en el ábaco: $9164$ es en realidad: $9164\cdot 10^{3}=9.164\cdot 10^{6}$.

También podemos hacer lo mismo usando métodos de multiplicación que comienzen trabajando con las cifras de la izquierda del multiplicando (vease el capítulo Métodos Especiales de Multiplicación); por ejemplo, utilizando la "Multiplicación que comienza con los dígitos más altos del multiplicador y el multiplicando" de Kojima, explicada en su segundo libro., donde dice: "Como la operación comienza multiplicando los primeros dígitos del multiplicador y el multiplicando, es conveniente para las aproximaciones"; es decir, justamente se adapta a nuestro problema. También podemos probar la multiplicación multifactorial o similar; por ejemplo:

6666x1375 Multiplicación comenzando por la izquierda

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
6665     1375	Planteamiento
.        .	Varilla unidad
-1	Borrar J
+6665	Sumar 1✕6665 a G-J
6665  6665375
+18	Sumar 3✕6 a GH
+18	Sumar 3✕6 a HI
+18	Sumar 3✕6 a IJ
-3	Borrar K
+15	Sumar 3✕5 a JK
6665  8664575
666   8664575	Borrar D
+42	Sumar 7✕6 a HI
+42	Sumar 7✕6 a IJ
+42	Sumar 7✕6 a JK
-7	Borrar L
666   91307 5
66    91307 5	Borrar C
+30	Sumar 5✕6 a IJ
+30	Sumar 5✕6 a JK
-5	Borrar M
66    91637	Resultado
.        .	Varilla unidad
9164	Resultado redondeado a 4 cifras

División

En Matemáticas se propone el siguiente procedimiento para la división:

División

El primer dígito del cociente se encuentra como de costumbre,
el resto se divide por el divisor sin su último dígito,
el nuevo resto por el divisor sin sus dos últimos dígitos
y así sucesivamente.

Ejemplo

4567.8     |95.62  743.00    ——————   73.660    47.77    6.7250             .0326	4567.8   |95.62                    743.0   ——————   |95.6             73.8    4       —————  |95        7.3             7     ———   |9     .1                    7    ——                                 8
Operación normal	Operación abreviada

Como puede verse, la secuencia potencialmente infinita de pasos de división larga, en los que en cada uno se obtiene una nueva cifra del cociente, se reemplaza por una secuencia finita de divisiones por un divisor que se reduce en un dígito de cada vez y en la que obtenemos un solo dígito del cociente. Podemos llevar a cabo esta secuencia de divisiones usando el método de dividir que prefiramos; por ejemplo, usando la división tradicional (TD) y la disposición tradicional de la división (TDA):

4567.8/95.62

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
9562 45678
.      .	Columna unidad
-4	Regla: 4/9>4+4
+44
9562 49678
-20	Restar 4x5 de GH
-24	Restar 4x6 de HI
-8	Restar 4x2 de IJ
9562 47430
-7	Regla: 7/9>7+7
+77
9562 47130
-35	Restar 7x5 de HI
-42	Restar 7x6 de IJ
9562 47738
-7	Regla: 7/9>7+7
+77
9562 47708
-35	Restar 7x5 de IJ
9562 47773
-7	Regla: 7/9>7+7
+77
9562 47770
+1	Revisar al alza
-7
9562 47783
.    .	Columna unidad

Raíz cuadrada

Matematicas

Se sigue el método corriente hasta haber rebasado la mitad de las cifras de la raíz, obteniéndose las siguientes dividiendo el resto seguido de los periodos no empleados por el duplo de la raíz hallada, seguida de tantos ceros como periodos se han agregado

Ejemplo ${\sqrt {123456789}}$

Raíz cuadrada de 123456789

__________       \/123456789| 11111            |-------  -1        |                --        |         023      | 21x1     -21      |         ---      |          0245    | 221x1    -221    |          ----    |           02467  | 2221x1     -2221  |           -----  |            024689| 22221x1      -22221|              ------|               02468|	______ \/12345 |111         |---  -1     |                --     |   023   |21x1   -21   |   ---   |    0245 |221x1    -221 |    ---- |     024 |  -->   246789|22200                        ------                   24789 11                    2589          _________  ==>   \/123456789 = 11111
Operación normal	Operación abreviada
${\textstyle {\sqrt {123456789}}=11111.11106\cdots }$

Quizás la forma más sencilla de justificar esta forma de abreviar la raíz cuadrada sea la siguiente:

Si $a$ es un valor aproximado de la raíz de $A$, entonces podemos escribir

$${\sqrt {A}}=a+b=a\left(1+(b/a)\right)$$

donde $b$ es una pequeña corrección a $a$ y el cociente $\left(b/a\right)$ será una cantidad mucho menor que $1$: $\left(b/a\right)\ll 1$. Entonces podemos escribir: $$A=a^{2}\left(1+(b/a)\right)^{2}=a^{2}\left(1+2(b/a)+(b/a)^{2}\right)$$ pero si $\left(b/a\right)\ll 1$, entonces $\left(b/a\right)^{2}\ll \left(b/a\right)$ y despreciando este término podemos escribir:

$$A\approx a^{2}\left(1+2(b/a)\right)$$

o bien

$$A-a^{2}=r=2ab$$

donde $r$ es el residuo que nos queda tras calcular $a$; por lo que tenemos la aproximación utilizada en el método abreviado:

$$b={\frac {r}{2a}}$$

Si consideramos que, por ejemplo, hemos determinado $a$ con cinco cifras, entonces $\left(b/a\right)<10^{-5}$ y $\left(b/a\right)^{2}<10^{-10}$, lo que justifica que al despreciar este último termino podamos calcular $b$ con cinco cifras; es decir que el método abreviado nos permita doblar la precisión de la raíz ya obtenida con una simple división.

Lo anterior también puede justificarse de varias otras formas, por ejemplo, utilizando el desarrollo en serie de Taylor o el método de Newton de resolución de ecuaciones; lo cual es quizás interesante de mencionar por lo que comentaremos después sobre las raíces cúbicas.

A continuación ilustramos el proceso utilizando el método del medio resto (半九九法,hankukuhou en japonés) como se explica en el capítulo: Raíz Cuadrada, que requiere cambiar el resto a su mitad y doble de la raíz a simplemente la raíz en el párrafo de Matemáticas anterior. Tenga en cuenta que la segunda fase, la división, se puede hacer en forma de división abreviada ya que solo tiene sentido obtener un número limitado de cifras de su cociente. Como consecuencia, obtener las últimas cifras de la raíz cuesta cada vez menos trabajo y tiempo por lo que podemos llamar a esta división la fase acelerada de la extracción de raíces.

Ejemplo ${\sqrt {123456789}}$

Raíz cuadrada de 123456789 usando 半九九法 (hankukuhou) y división moderna

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
123456789	Problema planteado como de costumbre
23456789	Restar el cuadrado de 1 del primer grupo
117283945	Dividir el resto por 2 in situ
1 117283945	Anotar 1 como primer dígito de la raíz en A
11 17283945	Nuevo dígito de la raíz 1 en B (revisión al alza)
-1
-5	Restar la mitad del cuadrado de 1 de D
11 12283945
111 2283945	Nuevo dígito de la raíz 1 en C (revising up)
-11
-5	Restar la mitad del cuadrado de 1 de F
111 1233945	Ahora comienza la segunda fase o fase acelerada
+1	Dividir 123 por 111
-111
1111 123945
+1	Dividir 12 into 11
-11
11111 13945	Listo ¡ahora tenemos 5 dígitos de la raíz!

Raíz cúbica

Matemáticas

Se sigue el método corriente hasta rebasar la mitad de las cifras de la raíz, obteniéndose las siguientes dividiendo el resto seguido de los periodos no usados por el triplo del cuadrado de la raíz seguido de tantos ceros como periodos se han agregado.

Ejemplo ${\sqrt[{3}]{1234567890123}}$

3_____________ \/1234567890123|10727               ------	3_____________ \/1234567890123|107       9524      ----     9524890123 |3434700           -------- 2655490      27 2512001
Operación normal	Operación abreviada

Al igual que en el caso de la raíz cuadrada, la aproximación utilizada aquí se puede justificar del siguiente modo:

Si $a$ es un valor aproximado de la raíz cúbica de $A$, entonces podemos escribir

$${\sqrt[{3}]{A}}=a+b=a\left(1+(b/a)\right)$$

donde $b$ es una pequeña corrección a $a$ y el cociente $\left(b/a\right)$ será una cantidad mucho menor que $1$: $\left(b/a\right)\ll 1$. Entonces podemos escribir: $$A=a^{3}\left(1+(b/a)\right)^{3}=a^{3}\left(1+3(b/a)+3(b/a)^{2}+(b/a)^{3}\right)$$ pero si $\left(b/a\right)\ll 1$, entonces $\left(b/a\right)^{3}\ll \left(b/a\right)^{2}\ll \left(b/a\right)$ y despreciando estos dos términos podemos escribir:

$$A\approx a^{3}\left(1+3(b/a)\right)$$

o bien

$$A-a^{3}=r=3a^{2}b$$

donde $r$ es el residuo que nos queda tras calcular $a$; por lo que tenemos la aproximación utilizada en el método abreviado:

$$b={\frac {r}{3a^{2}}}$$

que también nos permite doblar la precisión de la raíz cúbica ya obtenida con una división.

Al igual que en el caso de la raíz cuadrada, esta operación abreviada también se puede justificar de varias maneras, incluyendo el método de Newton que, por cierto y con mucho, es la mejor forma de obtener raíces cúbicas con el ábaco.; si bien no es una técnica tradicional, es mucho más eficiente que cualquier método tradicional y, si lo usamos, podemos decir que en cierto sentido estamos usando un método abreviado desde el principio (véase el capítulo: Método de Newton para Raíces Cuadradas, Cúbicas y Quintas. Pero veamos un ejemplo utilizando un método tradicional: la raíz cúbica de 666. Seguimos aquí el método explicado por Cargill G. Knott (capítulo: Raíces Cúbicas).

Obviamente, la raíz cúbica de 666 está entre 8 y 9 por estar en el rango 512-728.

Raíz cúbica de 666

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
666	Entrar 666 en BCD
+	(Columna unidad)
-512	Restar 83=512 de BCD
154
8154	Entrar 8 en A. Dividir B-F por 8 (A)
8192500	Dividir B-F por 3
8641662	Dividir B por 8 (A)
8781662	Restar B2=49 de CD
8732662	Multiplicar C-F por 3 en C-G
87 9800	Multiplicar C-F por 8 (A) en C-G
87 7840	Restar B3=343 de EFG
87 7497	Raíz: 8.7, Resto: 7.497

Así que hemos obtenido 8.7 como raíz hasta ahora, dejando un resto de 7.497. Para aplicar el atajo necesitamos formar el divisor $3\times 8.7^{2}$; Usaremos el binomio de Newton para formar el cuadrado y lo multiplicaremos por tres sumando el doble del valor obtenido.

Uso del método abreviado

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
87 7497	Elevando al cuadrado 8.7
+49
-112
+64
87 7497  7569	Multiplicarlo por 3
+14
+10
+12
+18
87 7497 22707	Dividir 7.497 por 227.07 (¡La división puede ser abreviada!)
8733----22707	obteniendo sólo dos cifras del cociente

Alternativamente, también se puede dividir dos veces por 8.7 y luego por 3 para obtener el mismo resultado. Compare el resultado 8.733 con ${\sqrt[{3}]{666}}=8,7328917\cdots$

Otras abreviaturas útiles

Lo que sigue es otro tipo de cálculo abreviado o aproximaciones completamente diferentes de lo anterior pero que pueden resultar útiles en la práctica. Todas estas expresiones son consecuencia del teorema de Taylor.

Para $a,b\ll 1$ ${\displaystyle }$

• $(1\pm a)(1\pm b)\approx 1\pm a\pm b$ 
  • ej: $1.005\times 0.996\approx 1.001$
• $(1\pm a)/(1\pm b)\approx 1\pm a\mp b$
• $(1\pm a)^{n}\approx 1+n\cdot a$
  • ej: $1.005^{3}\approx 1.015,\,0.995^{3}\approx 0.985$
• ${\sqrt[{n}]{1\pm a}}\approx 1\pm a/n$
  • ej: ${\sqrt[{3}]{1.006}}\approx 1.002$
• $1/(1\pm a)\approx 1\mp a$
  • ej:$1/1.003\approx 0.997,\,1/0.997\approx 1.003$
• $1/(1\pm a)^{n}\approx 1\mp n\cdot a$
• …

Referencias

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Ábaco Oriental▶[+6] Índice, Introducción, Página de edición, Enlaces, Texto completo

La humanidad ha utilizado ábacos, de un tipo u otro, desde los albores de la civilización para satisfacer sus necesidades de cálculo y contabilidad. La versión moderna del ábaco oriental, originario de China, todavía se utiliza hoy en día en todo el mundo para ayudar a los niños a mejorar su comprensión y habilidades numéricas. La Aritmética con Cuentas (珠算; léase zhūsuàn en chino, shuzan en japonés), o arte del uso del ábaco oriental, ha sido inscrito en 2013 en la Lista Representativa del Patrimonio Cultural Inmaterial de la Humanidad de la UNESCO.▶

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