Ábaco Oriental/Técnicas Avanzadas/Métodos Especiales de Multiplicación

Introducción

Como se expresó en el capítulo dedicado a la multiplicación tradicional, el número de formas posibles de realizar una multiplicación en el ábaco puede ser muy elevado, aunque sólo una pequeña fracción de ellas puedan ser fácilmente desarrolladas por un operador humano y podamos considerarlas prácticas. No obstante, el número de estas formas prácticas de efectuar la multiplicación sigue siendo importante y de ellas sólo hemos tratado dos en este libro: la multiplicación moderna y la tradicional.

Los métodos de multiplicación usados en el ábaco pueden ser de dos categorías:

• Métodos Genéricos: permiten multiplicar dos números cualesquiera dados. Ejemplos: los dos vistos hasta ahora.
• Métodos Especiales: sólo son aplicables bajo determinadas condiciones; por ejemplo, cuando el multiplicador es próximo a la unidad, o acaba en uno, etc.

En lo que sigue introduciremos algunos de estos métodos adicionales, pero estarémos lejos de agotar el tema. El lector puede acudir a las lecturas adicionales para descubrir nuevas variantes.

Multiplicación multifactorial

Se presentan a continuación dos métodos generales (pueden usarse en todos los casos) para multiplicar números procesando las cifras del multiplicando de izquierda a derecha; lo cual es particularmente útil cuando se han de multiplicar varios factores (multifactorial) o cuando se busca un valor aproximado del producto (Véase el capítulo sobre operaciones abreviadas). Ejemplo: 37×47×65

Método 1

Nota:

Procure siempre dejar suficiente espacio entre multiplicando y multiplicador; especialmente si va a multiplicar varios factores como es aquí el caso.

37×47×65, multiplicación multifactorial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
47           37	Multiplicador en A-E, multiplicando en NO
+12	Sumar 3×4 en LM
+21	Borrar 3 (N), sumar 3×7 en MN
47         1417
+28	Sumar 7×4 en MN
+49	Borrar 7 (O), sumar 7×7 en NO
47         1739	Resultado en LO
65         1739	Ahora multiplicamos por 65 en HI
+06	Sumar 1×6 en JK
+05	Borrar 1 (L), sumar 1×5 en KL
65        65739
+42	Sumar 7×6 en KL
+35	Borrar 7 (M), sumar 7×5 en LM
65       110539
+18	Sumar 3×6 en LM
+15	Borrar 3 (M), sumar 3×5 en MN
65       112459
+54	Sumar 9×6 en MN
+45	Borrar 9 (O), sumar 9×5 en NO
65       113035	Resultado en I-O

Método 2

En lugar de ir borrando las cifras del multiplicando para añadir el ultimo producto parcial que le corresponde, como hemos hecho arriba, podemos disminuir el multiplicador en una unidad y limitarnos a sumar sin borrar nada; por ejemplo: 37×47

37×47, multiplicación multifactorial (otra forma)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
46           37	Multiplicador menos 1 en A-E, multiplicando en NO
+12	Sumar 3×4 en LM
+18	Sumar 3×6 en MN
46         1417
+28	Sumar 7×4 en MN
+42	Sumar 7×6 en NO
46         1739	Resultado en LO

Multiplicador terminado en 1

Si uno de los factores acaba en uno podemos ahorrar algún trabajo empleando el método 1 de multiplicación multifactorial explicado arriba. Por ejemplo, 481×76; procederíamos del siguiente modo omitiendo el 1 final de 481:

481×76, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
48     76	Multiplicador, omitido el 1, en AB; multiplicando en HI
+28	Sumar 7×4 en EF
+56	Sumar 7×8 en FG
48  33676
+24	Sumar 6×4 en FG
+48	Sumar 6×8 en GH
48  36556	Resultado en E-I

Es decir:

• No borramos los dígitos del multiplicando
• No olvidamos que el multiplicador tiene un dígito más de los inscritos en el ábaco a la hora de decidir dónde sumar los productos parciales

Multiplicador que comienza con 1

Del mismo modo, podemos ahorrar cierto trabajo cuando el multiplicador empieza por 1 si usamos la multiplicación tradicional y no borramos los dígitos del multiplicando. Por ejemplo, 175×73:

175×73

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
75  73	No necesitamos el 1 en A
+15	Sumar 3×5 en HI
+21	Sumar 3×7 en GH
75  7525
+35	Sumar 7×5 en GH
+49	Sumar 7×7 en FG
75 12775	Resultado en E-I

a

Multiplicador ligeramente mayor que la unidad

Aclaremos antes de empezar que por multiplicador ligeramente mayor que la unidad queremos decir que uno de los factores a multiplicar, el que señalamos como multiplicador, es de la forma: $(1+x)\cdot 10^{k}$, con $x$ una cantidad pequeña positiva $0<x\ll 1$ y $k$ cualquier entero. Es decir, que en el ejemplo que sigue, 1.03 podría ser igualmente 103, 10300 o 0.00000103 ya que el término $10^{k}$ afecta sólo a la posición del punto decimal en el resultado y no a la secuencia de dígitos que se obtiene en la multiplicación.

Dicho lo anterior, consideremos la multiplicación: 7×1.03; podríamos realizarla usando el método moderno en la forma:

7×1.03, multiplicación moderna

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
103    7	Multiplicador en A-C, multiplicando en H
+07	Sumar 7×1 en IJ
+21	Sumar 7×3 en KL y borrar H
721	Resultado en J-L

Como vemos, realizar esta multiplicación en el ábaco consiste en sumar los dos productos parciales 7×1=7 y 7×3=21 en determinados lugares del ábaco. No sería muy diferente usando la multiplicación tradicional:

7×1.03, multiplicación tradicional

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
103    7	Multiplicador en A-C, multiplicando en H
+21	Sumar 7×3 en JK y borrar H
+07	Sumar 7×1 en HI
721	Resultado en I-K

Reparemos en que en ambos casos tenemos que inscribir un 7 en el ábaco como resultado de sumar el primer producto parcial y que también tenemos que borrar un 7 correspondiente al multiplicando. Claramente ahorraremos cierto tiempo y trabajo si evitamos esto; lo único que tenemos que hacer es considerar que el 7 ya inscrito (multiplicando) se transforma en el 7 (producto parcial) y lo que nos falta por hacer es simplemente añadir el otro producto parcial en el lugar correcto:

7×1.03, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
103    7	Multiplicador en A-C, multiplicando en H
+21	Sumar 7×3 en JK y borrar H
721	Resultado en H-J

Nótese que no se opera con el 1 del multiplicador, por lo que es habitual no inscribirlo en el ábaco para sólo tener a la vista los dígitos con los que tenemos que operar; es decir repitiendo el proceso anterior:

7×1.03, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
003    7	Multiplicador en A-C, multiplicando en H
+21	Sumar 7×3 en JK
721	Resultado en H-J

Podríamos haber inscrito el 3 en la columna A (como también podríamos prescindir de inscribirlo), pero es recomendable, al menos al principio, ponerlo en la manera indicada en la columna C ya que esa posición nos guiará acerca de en qué columna tenemos que añadir los productos parciales. Esto será mas claro en los casos que veremos a continuación.

El término $x$ del multiplicador $1+x$ no tiene que ser de un sólo dígito; por ejemplo 7×1.137 ($x=0.137$):

7×1.137, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
137   7	Multiplicador en A-D, multiplicando en H
+07	Sumar 7×1 en HI
+21	Sumar 7×3 en IJ
+49	Sumar 7×7 en JK
7959	Resultado en H-K

Nota

Como puede verse, los productos parciales se suman, respecto del multiplicando, una posición a la izquierda comparado con la multiplicación tradicional y dos comparado con la moderna. ¡Téngalo en cuenta a la hora de determinar la varilla o columna unidad!

Extendamos ahora este procedimiento a multiplicando de varios dígitos; por ejemplo:123×1.075=132.225, donde procederemos dígito a dígito del multiplicando y de derecha a izquierda:

123×1.075, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
75   123	Multiplicador en A-D, multiplicando en H
+21	Sumar 3x7 en KL
+15	Sumar 3x5 en LM
75   123225
+14	Sumar 2x7 en JK
+10	Sumar 2x5 en KL
75   124725
+07	Sumar 1x7 en IJ
+05	Sumar 1x5 en JK
75   132225	Resultado en H-M

Pero no nos engañemos, este no es un método general de multiplicación y podemos encontrarnos con dificultades; por ejemplo:394×1.075=423.550, en este caso se puede resolver fácilmente usando un ábaco tradicional 5+2 gracias a sus cuentas adicionales que nos permitirán hacer frente al desbordamiento:

394×1.075, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
75   394	Multiplicador en A-D, multiplicando en H
+28	Sumar 4x7 en KL
+20	Sumar 4x5 en LM
75   394300
+63	Sumar 9x7 en JK
+45	Sumar 9x5 en KL
75   391050	¡Desbordamiento!
+63	Sumar 3x7 en IJ
+45	Sumar 3x5 en JK
75   313550	¡Desbordamiento!
75   423550	Resultado normalizado en H-M

pero este problema sería especialmente difícil en un ábaco moderno 4+1. Más aún, si $x$ es grande, digamos de aproximadamente 0.2, las cosas son complicadas con cualquier tipo de ábaco; por lo que este método de multiplicación es limitado. No obstante supone una considerable simplificación en algunos casos y resulta especialmente indicado para tratar operaciones con pequeños porcentajes.

Multiplicador ligeramente menor que la unidad

Al igual que en la sección anterior y por idéntico motivo, como multiplicador ligeramente menor que la unidad queremos decir que es de la forma: $(1-x)\cdot 10^{k}$, con $x$ una cantidad pequeña positiva $0<x\ll 1$ y $k$ cualquier entero.

Consideremos ahora la multiplicación: $7\times 0.97$; podríamos realizarla usando el método moderno o tradicional, pero es más sencillo considerar $7\times 0.97=7\times (1-0.03)=7-7\times 0.03$, de modo que al 7 ya puesto en el ábaco sólo tendremos que restarle el producto $7\times 0.03$ en el lugar adecuado:

7×0.97, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
3   7	Multiplicador en A-C, multiplicando en H
-21	Restar 3×7 de EF
3   679	Resultado en D-F

Nota:

En este tipo de multiplicación no perdamos de vista que la cantidad anotada en el ábaco como multiplicador (el 3 en C en el caso anterior) es una cantidad negativa. Esto es lo que justifica que restemos productos parciales en lugar de sumarlos.

Compárese el trabajo realizado con el necesario para realizar la multiplicación moderna o tradicional de 7×0.97. Otro ejemplo con multiplicando de varias cifras $999\times 999=1000\times 999\times (0.999)=1000\times 999\times (1-0.001)=998001$:

999×999, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
1   999	Multiplicador en A-C, multiplicando en H-J
-09	Restar 9×1 de LM
-09	Restar 9×1 de KL
-09	Restar 9×1 de JK
1   998001	Resultado en H-M

Obsérvese cómo hemos trabajado las cifras del multiplicando de derecha a izquierda.

Del mismo modo que la multiplicación del apartado anterior, el término $x$ no está limitado a una cifra; por ejemplo: $7\times 0.987=7\times (1-0.013)=6.909$:

7×0.987, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
13   7	Multiplicador en A-D, multiplicando en H
-07	Restar 7×1 de IJ
-21	Restar 7×3 de JK
13   6909	Resultado en H-K

En este caso tras restar 7×1 de IJ tenemos que memorizar la cifra 7 para continuar.

En el siguiente ejemplo, tanto multiplicando como multiplicador tienen más de un dígito:

37×0.987, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
13  37	Multiplicador en A-D, multiplicando en H
-09	Restar 7×1 de IJ
-09	Restar 7×3 de JK
13  36909
-03	Restar 3×1 de IJ
-09	Restar 3×3 de JK
13  36519	Resultado en G-K

Obsérvese cómo hemos trabajado las cifras del multiplicando de derecha a izquierda y las del multiplicador de izquierda a derecha.

Multiplicación redondeando el multiplicador a potencia de 10

El método anterior puede generalizarse en cierta forma cuando el multiplicador puede redondearse a una potencia de 10. Por ejemplo, $37\times 27997$ que puede escribirse: $37\times (28000-3)=37\times 28000-37\times 3$ y podemos hacer las dos multiplicaciones y restarlas en la misma operación:

37×27997, multiplicación especial

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
28  3  37	Multiplicador en A-E, multiplicando en HI
+14	Sumar 7×2 en JK
+56	Sumar 7×8 en KL
-21	Restar 7×3 de NO
28  3  37195979
28  3  3 195979	Borrar 7 en I
+06	Sumar 3×2 en IJ
+24	Sumar 3×8 en JK
-09	Restar 3×3 de MN
28  3  31035889
28  3   1035889	Borrar 3 en H, resultado en I-O

Nota:

28 en AB es positivo, 3 en E es negativo.

Como puede verse, el proceso indicado es mucho más breve que la multiplicación directa de $37\times 27997$.

Elevación al cuadrado

La potenciación es un ejercicio reiterado de multiplicación por el mismo factor. Así, por ejemplo, $347^{4}=347\times 347\times 347\times 347$, lo que significa que, desde el punto de vista del cálculo manual, se trata de una operación tediosa incluso con pequeños valores del exponente. En lo que sigue nos limitaremos a la elevación al cuadrado, operación que puede simplificarse algo con ayuda del binomio de Newton:

$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b=2$$

Probablemente encontrará esto útil si se decide a extraer raíces cúbicas con el método de Newton.

Caso de numero de dos cifras

Ejemplo: $48^{2}=3204$

$48=40+8$ por lo que tomaremos $a=40=4\cdot 10$ y $b=8$; por lo que $48^{2}=16\cdot 10^{2}+2\cdot 32\cdot 10+64$, lo cual puede llevarse al ábaco de dos formas distintas: trabajando de derecha a izquierda o de izquierda a derecha

Cuadrado de 48, de derecha a izquierda

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
48
+64	Sumar 8^2=64 en HI
+32	Sumar 8x4=32 en GH
+32	Sumar 8x4=32 en GH una segunda vez
+16	Sumar 4^2=16 en FG
48   2304	resultado en F-I

Nota:

No es necesario introducir la base 48 en el ábaco.

Cuadrado de 48, de izquierda a derecha

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
48
+16	Sumar 4^2=16 en FG
+32	Sumar 8x4=32 en GH
+32	Sumar 8x4=32 en GH una segunda vez
+64	Sumar 8^2=64 en HI
48   2304	resultado en F-I

Caso de numero de tres o más cifras

Ejemplo: $438^{2}=191844$

En este caso, para trabajar de derecha izquierda tomaremos: $a=430=43\cdot 10$ y $b=8$; lo cual exigirá la evaluación de $43^{2}$ por el procedimiento anterior

Caption text

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
438
+64	Sumar 8^2=64 en JK
+24	Sumar 3x8=24 en IJ
+24	Sumar 3x8=24 en IJ una segunda vez
+32	Sumar 4^8=32 en HI
+32	Sumar 4^8=32 en HI una segunda vez
438    6944	Ahora sumamos a^2=43^2 a partir de I
+09	Sumar 3^2=09 en HI
+12	Sumar 4x3=12 en GH
+12	Sumar 4x3=12 en GH una segunda vez
+16	Sumar 4^2=16 en FG
438  191844	Resultado en F-K

y para trabajar de izquierda a derecha: $a=400=4\cdot 10^{2}$ y $b=38$; lo cual exigirá la evaluación de $38^{2}$ por el procedimiento del apartado anterior

438^2=191844, de izquierda a derecha

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
438
+16	Sumar 4^2=16 en FG
+12	Sumar 4x3=12 en GH
+12	Sumar 4x3=12 en GH una segunda vez
+32	Sumar 4^8=32 en HI
+32	Sumar 4^8=32 en HI una segunda vez
438  1904	Ahora sumamos b^2=38^2 a partir de I
+09	Sumar 3^2=09 en HI
+24	Sumar 3x8=24 en IJ
+24	Sumar 3x8=24 en IJ una segunda vez
+64	Sumar 8^2=64 en JK
438  191844	Resultado en F-K

De la misma forma podemos trabajar con números con un número mayor de cifras; por ejemplo cinco, lo que exigiría calcular:

el cuadrado de un número de cuatro cifras,

lo que exigiría a su vez calcular el cuadrado de un número de tres cifras,

lo que exigiría a su vez calcular el cuadrado de un número de dos cifras,

...

Estos cuadrados deberá empezar a calcularlos dos columnas a la derecha del cuadrado anterior si trabaja de izquierda a derecha, a la izquierda si trabaja de derecha a izquierda.

Valores aproximados

Hemos visto en los ejemplos anteriores que podemos elevar un número al cuadrado trabajando en cualquiera de las dos direcciones: de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. En principio, ambas formas de trabajo son equivalentes e inicialmente deberíamos practicar las dos aunque al final nos acabemos decantando por la que nos resulte más fácil. Hay sin embargo una situación en la que la simetría de ambos procedimientos se rompe y sólo podremos seguir un camino: cuando deseemos conocer sólo una aproximación al cuadrado y queramos abreviar la operación, tendremos que trabajar de izquierda a derecha.

Un ejemplo de la situación descrita podría ser el siguiente. Deseamos calcular la raíz quinta de 2500 siguiendo el método de Newton. Imaginemos que ya hemos obtenido una aproximación de dos cifras (4.8) a dicha raíz y queremos mejorarla con una nueva iteración siguiendo $x_{k+1}=\left(4x_{k}+{A}/{x_{k}^{4}}\right)/5$ con $A=2500$ y $x_{k}=4.8$. Pero $x_{k}^{4}$ tiene 7 cifras ($5308416$) y no las necesitamos todas dado que si nuestra raíz actual tiene dos dígitos significativos no podemos esperar mas de cuatro en la nueva aproximación, por lo que conocer 4-5 cifras de $x_{k}^{4}$ es suficiente y deseamos abreviar los cálculos en lo posible. supongamos que ya hemos obtenido $4.8^{2}=2304$ como ya hemos hecho arriba, entonces continuaríamos:

4.8^4, aproximado

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK
2304
+04	Sumar 2^2=04 en FG
+06	Sumar 2x3=06 en GH
+06	Sumar 2x3=06 en GH una segunda vez
+08	Sumar 2x4=08 en IJ
+08	Sumar 2x4=08 en IJ una segunda vez
2304  5216	Ahora sumamos b^2=304^2 a partir de I
+09	Sumar 3^2=09 en HI
+12	Sumar 3x4=12 en JK
+12	Sumar 3x4=12 en JK una segunda vez
2304  53084	y podemos cortar aquí

Con lo que ya tenemos los primeros dígitos de $4.8^{4}$ y podemos ahorrar algún trabajo. Esto sólo podemos lograrlo trabajando de izquierda a derecha.

Otras lecturas

• Kojima, Takashi (1963). Advanced Abacus: Theory and Practice. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN 978-0-8048-0003-7. 
• Murakami, Masaaki (2019). «Multiplication with Excessive multiplicand» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el 1 de Agosto de 2021.
• Murakami, Masaaki (2019). «Six multiplication methods» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el 1 de Agosto de 2021.
• Hosking, Rosalie Joan (2018). «Elementary Soroban Arithmetic Techniques in Edo Period Japan» (PDF). Mathematical Association of America. Archivado desde el original, el 4 de Marzo de 2021.

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Ábaco Oriental▶[+6] Índice, Introducción, Página de edición, Enlaces, Texto completo

La humanidad ha utilizado ábacos, de un tipo u otro, desde los albores de la civilización para satisfacer sus necesidades de cálculo y contabilidad. La versión moderna del ábaco oriental, originario de China, todavía se utiliza hoy en día en todo el mundo para ayudar a los niños a mejorar su comprensión y habilidades numéricas. La Aritmética con Cuentas (珠算; léase zhūsuàn en chino, shuzan en japonés), o arte del uso del ábaco oriental, ha sido inscrito en 2013 en la Lista Representativa del Patrimonio Cultural Inmaterial de la Humanidad de la UNESCO.▶

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