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Ábaco Oriental/Métodos Tradicionales/Ejemplos de División Tradicional

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En este capítulo se ofrecen una serie de ejemplos de división tradicional (TD) usando la disposición tradicional de la división (TDA) en la forma de tablas de procedimiento. También hay disponible una versión gráfica de estos ejercicios (como ficheros PDF externos) ilustrando su ejecución en diversos formatos de ábacos, pero de momento sólo están disponibles en inglés.

Divisores de un dígito

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Como ya se ha mencionado, el número 123456789 se ha utilizado para demostrar la multiplicación y la división en muchos libros antiguos sobre el ábaco; algunos, como el Panzhu Suanfa[1], comienzan con la multiplicación tradicional (vea el capítulo correspondiente en este libro) de dicho número por un dígito y posteriormente usan la división para devolver el ábaco a su estado original; otros, como el Jinkoki [2], lo hacen al revés, comenzando con la división y terminando el ejercicio con la multiplicación. Nosotros veremos aquí la división de 123456789 por los ocho divisores de un dígito 2, 3,...9.

El número 123456789 es divisible entre 3, 9 y 13717421, por lo que las divisiones entre 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9 tienen resultados con expansión decimal finita (2 y 5 son divisores de la base decimal o radix 10). Sólo la división por 7 conduce a un resultado con un número infinito de decimales, por lo que aquí lo interumpiremos y daremos un resto.

Desafortunadamente, este ejercicio no usa todas las reglas de división, pero es un buen comienzo y permite practicar sin una hoja de ejercicios.

123456789 dividido por 9

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123456789 dividido por 9
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM Divisor 9 en M
123456789   9 Columna A: Usar regla 1/9>1+1
133456789   9 Cambiar 1 en A en 1 y sumar 1 a B
136456789   9 Columna B: Usar regla 3/9>3+3 Cambiar 3 en B en 3 y sumar 3 a C
136T56789   9 Columna C: Usar regla 6/9>6+6 Cambiar 6 en C en 6 y sumar 6 a D
136056789   9 (Igual que arriba)
137156789   9 Revisar al alza
137166789   9 Columna D: Usar regla 1/9>1+1 Cambiar 1 en D en 1 y sumar 1 a E
137162789   9 Columna E: Usar regla 6/9>6+6 Cambiar 6 en E en 6 y sumar 6 a F
137173789   9 Revisar al alza
137173089   9 Columna F: Usar regla 3/9>3+3 Cambiar 3 en F en 3 y sumar 3 a G
137174189   9 Revisar al alza
137174199   9 Columna G: Usar regla 1/9>1+1 Cambiar 1 en G en 1 y sumar 1 a H
137174209   9 Revisar al alza
137174210   9 Revisar al alza. Done! 123456789/9=13717421
 
División tradicional (帰除法) de 123456789 por 9 (en inglés).

123456789 dividido por 8

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123456789 dividido por 8
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM
123456789   8 Dividendo en A-I, divisor 8 en M
143456789   8 Columna A: regla 1/8>1+2, Cambiar 1 en A en 1, sumar 2 a B
153456789   8 Columna B: regla 4/8>5+0, Cambiar 4 en B en 5, sumar 0 a C
153T56789   8 Columna C: regla 3/8>3+6, Cambiar 3 en C en 3, sumar 6 a D
153056789   8 (igual que arriba)
154256789   8 Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 8 de D
154296789   8 Columna D: regla 2/8>2+4, Cambiar 2 en D en 2, sumar 4 a E
154316789   8 Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 8 de E
154318789   8 Columna E: regla 1/8>1+2, Cambiar 1 en E en 1, sumar 2 a F
154320789   8 Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 8 de F
154320849   8 Columna G: regla 7/8>8+6, Cambiar 7 en G en 8, sumar 6 a H
154320969   8 Revisar al alza G, sumar 1 a G, restar 8 de H
154320973   8 Columna H: regla 6/8>7+4, Cambiar 6 en H en 7, sumar 4 a I
154320985   8 Revisar al alza H, sumar 1 a H, restar 8 de I
1543209862  8 Columna I: regla 5/8>6+2, Cambiar 5 en I en 6, sumar 2 a J
15432098624 8 Columna J: regla 2/8>2+4, Cambiar 2 en J en 2, sumar 4 a K
15432098625 8 Columna K: regla 4/8>5+0, Cambiar 4 en K en 5, sumar 0 a L.

¡Hecho! 123456789/9=15432098.625

 
División tradicional (帰除法) de 123456789 por 8 (en inglés).

123456789 dividido por 7

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123456789 dividido por 7
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM
123456789   7 Dividendo en A-I, divisor 7 en M
153456789   7 Columna A: regla 1/7>1+3, Cambiar 1 en A en 1, sumar 3 a B
174456789   7 Columna B: regla 5/7>7+1, Cambiar 5 en B en 7, sumar 1 a C
175956789   7 Columna C: regla 4/7>5+5, Cambiar 4 en C en 5, sumar 5 a D
176256789   7 Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 7 de D
176256789   7 Columna D: regla 2/7>2+6, Cambiar 2 en D en 2, sumar 6 a E
176346789   7 Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 7 de E
176351789   7 Columna E: regla 4/7>5+5, Cambiar 4 en E en 5, sumar 5 a F
176364789   7 Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 7 de F
176365289   7 Columna F: regla 4/7>5+5, Cambiar 4 en F en 5, sumar 5 a G
176366589   7 Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 7 de G
176366799   7 Columna G: regla 5/7>7+1, Cambiar 5 en G en 7, sumar 1 a H
176366829   7 Revisar al alza G, sumar 1 a G, restar 7 de H
176366825   7 Columna H: regla 2/7>2+6, Cambiar 2 en H en 2, sumar 6 a I
176366841   7 Revisar al alza H dos veces, sumar 2 a H, restar 14 de I.
¡Paramos aquí! 123456789/9=17636684, resto = 1
 
División tradicional (帰除法) de 123456789 por 7 (en inglés).

123456789 dividido por 6

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123456789 dividido por 6
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM Dividendo en A-I, divisor 6 en M
123456789   6
163456789   6 Columna A: regla 1/6>1+4, Cambiar 1 en A en 1, sumar 4 a B
203456789   6 Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 6 de B
205456789   6 Columna C: regla 3/6>5+0, Cambiar 3 en C en 5, sumar 0 a D
205696789   6 Columna D: regla 4/6>6+4, Cambiar 4 en D en 6, sumar 4 a E
205736789   6 Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 6 de E
205756789   6 Columna E: regla 3/6>5+0, Cambiar 3 en E en 5, sumar 0 a F
205760789   6 Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 6 de F
205761189   6 Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 6 de G
205761129   6 Columna G: regla 1/6>1+4, Cambiar 1 en G en 1, sumar 4 a H
205761309   6 Revisar al alza G twice, sumar 2 a G, restar 12 de H
205761313   6 Revisar al alza H, sumar 1 a H, restar 6 de I
205761315   6 Columna I: regla 3/6>5+0, Cambiar 3 en I en 5, sumar 0 a J.
¡Hecho! 123456789/6=20576131.5
 
División tradicional (帰除法) de 123456789 por 6 (en inglés).

123456789 dividido por 5

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123456789 dividido por 5
Abacus Comment
ABCDEFGHIJKLM
123456789   5 Dividendo en A-I, divisor 5 en M
223456789   5 Columna A: regla 1/5>2+0, Cambiar 1 en A en 2, sumar 0 a B
243456789   5 Columna B: regla 2/5>4+0, Cambiar 2 en B en 4, sumar 0 a C
246456789   5 Columna C: regla 3/5>6+0, Cambiar 3 en C en 6, sumar 0 a D
246856789   5 Columna D: regla 4/5>8+0, Cambiar 4 en D en 8, sumar 0 a E
246906789   5 Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 5 de E
246911789   5 Revisar al alza E, sumar 1 a E, restar 5 de F
246912789   5 Columna F: regla 1/5>2+0, Cambiar 1 en F en 2, sumar 0 a G
246913289   5 Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 5 de G
246913489   5 Columna G: regla 2/5>4+0, Cambiar 2 en G en 4, sumar 0 a H
246913539   5 Revisar al alza G, sumar 1 a G, restar 5 de H
246913569   5 Columna H: regla 3/5>6+0, Cambiar 3 en H en 6, sumar 0 a I
246913574   5 Revisar al alza H, sumar 1 a H, restar 5 de I
246913578   5 Columna I: regla 4/5>8+0, Cambiar 4 en I en 8, sumar 0 a J.
¡Hecho! 123456789/5=24691357.8
 
División tradicional (帰除法) de 123456789 por 5 (en inglés).

123456789 dividido por 4

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123456789 dividido por 4
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM Dividendo en A-I, divisor 4 en M
123456789   4
243456789   4 Columna A: regla 1/4>2+2, Cambiar 1 en A en 2, sumar 2 a B
303456789   4 Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 4 de B
307656789   4 Columna C: regla 3/4>7+2, Cambiar 3 en C en 7, sumar 2 a D
308256789   4 Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 4 de D
308556789   4 Columna D: regla 2/4>5+0, Cambiar 2 en D en 5, sumar 0 a E
308616789   4 Revisar al alza D, sumar 1 a D, restar 4 de E
308628789   4 Columna E: regla 1/4>2+2, Cambiar 1 en E en 2, sumar 2 a F
308640789   4 Revisar al alza E dos veces, sumar 2 a E, restar 8 de F
308641389   4 Revisar al alza F, sumar 1 a F, restar 4 de G
3086417T9   4 Columna G: regla 3/4>7+2, Cambiar 3 en G en 7, sumar 2 a H
308641929   4 Revisar al alza G dos veces, sumar 2 a G, restar 8 de H
308641959   4 Columna H: regla 2/4>5+0, Cambiar 2 en H en 5, sumar 0 a I
308641971   4 Revisar al alza H dos veces, sumar 2 a H, restar 8 de I
3086419722  4 Columna I: regla 1/4>2+2, Cambiar 1 en I en 2, sumar 2 a J
3086419725  4 Columna J: regla 2/4>5+0, Cambiar 2 en J en 5, sumar 0 a K.
¡Hecho! 123456789/4=30864197.25
 
División tradicional (帰除法) de 123456789 por 4 (en inglés).

123456789 dividido por 3

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123456789 dividido por 3
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM Dividendo en A-I, divisor 3 en M
123456789   3
333456789   3 Columna A: regla 1/3>3+1, Cambiar 1 en A a 3, sumar 1 a B
403456789   3 Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 3 de B
410456789   3 Revisar al alza B, sumar 1 a B, restar 3 de C
411156789   3 Revisar al alza C, sumar 1 a C, restar 3 de D
411366789   3 Columna D: regla 1/3>3+1, Cambiar 1 en D a 3, sumar 1 a E
411506789   3 Revisar al alza D dos veces, sumar 2 a D, restar 6 de E
411520789   3 Revisar al alza E dos veces, sumar 2 a E, restar 6 de F
411522189   3 Revisar al alza F dos veces, sumar 2 a F, restar 6 de G
411522399   3 Columna G: regla 1/3>3+1, Cambiar 1 en G a 3, sumar 1 a H
411522609   3 Revisar al alza G tres veces, sumar 3 a G, restar 9 de H
411522630   3 Revisar al alza H tres veces, sumar 3 a H, restar 9 de I.
¡Hecho! 123456789/3=41152263
 
División tradicional (帰除法) de 123456789 por 3 (en ingles).

123456789 divided by 2

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123456789 dividido por 2
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM Dividendo en A-I, divisor 2 en M
123456789   2
523456789   2 Columna A: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en A a 5, sumar 0 a B
603456789   2 Revisar al alza A, sumar 1 a A, restar 2 de B
611456789   2 Revisar al alza B, sumar 1 a B, restar 2 de C
615456789   2 Columna C: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en C a 5, sumar 0 a D
617056789   2 Revisar al alza C dos veces, sumar 2 a C, restar 4 de D
617216789   2 Revisar al alza D dos veces, sumar 2 a D, restar 4 de E
617256789   2 Columna E: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en E a 5, sumar 0 a F
617280789   2 Revisar al alza E tres veces, sumar 3 a E, restar 6 de F
617283189   2 Revisar al alza F tres veces, sumar 3 a F, restar 6 de G
617283589   2 Columna G: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en G a 5, sumar 0 a H
617283909   2 Revisar al alza G four times, sumar 4 a G, restar 8 de H
617283941   2 Revisar al alza H four times, sumar 4 a H, restar 8 de I
617283945   2 Columna I: regla 1/2>5+0, Cambiar 1 en I a 5, sumar 0 a J.
¡Hecho! 123456789/2=61728394.5
 
División tradicional (帰除法) de 123456789 por 2

Divisores de varios dígitos (división larga)

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División de 998001 por 999

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División de 998001 por 999
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM Dividendo en A-F, divisor in K-M
998001    999
988001    999 Regla: 9/9>9+9
-8 Restar 81 de BC
9T8001    999
 -1
9T7001    999
 -8 Restar 81 de CD
999001    999
  -1
998901    999
997901    999 Regla: 9/9>9+9
 -8 Restar 81 de CD
999901    999
  -1
999801    999
  -8 Restar 81 de DE
998T01    999
   -1
998991    999
998791    999 Regla: 8/9>8+8
  -7 Restar 72 de DE
998T91    999
   -2
998T71    999
   -7 Restar 72 de EF
9989T1    999
    -2
998999    999
    -9 Revisar al alza (de izquierda a derecha para ahorrar desplazamientos)
998990    999
   -9
998900    999
  -9
998000    999
 +1
999000    999 ¡Hecho! 998001/999 = 999
  • División de 998001 por 999
  •  
    Con un ábaco 5+2
  •  
    Con un ábaco 5+1
  •  
    Con un ábaco 5+3

División de 888122 por 989

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División de 888122 por989
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM Dividendo 888122 en A-F, divisor 989 en K-M
888122    989
868122    989 A: Regla: 8/9>8+8 cambiar 8 en A a 8 y sumar 8 a B
804122    989 Restar A×L=8×8=64 de BC
896922    989 Restar A×M=8×9=72 de CD
895922    989 B: Regla: 9/9>9+9 cambiar 9 en B a 9 y sumar 9 a C
898722    989 Restar B×L=9×8=72 de CD
897912    989 Restar B×M=9×9=81 de DE
897612    989 C: Regla: 7/9>7+7 cambiar 7 en B a 7 y sumar 7 a D
897052    989 Restar C×L=7×8=56 de DE
897989    989 Restar C×M=7×9=63 de EF
898000    989 Revisar al alza: sumar 1 a C y restar 989 de DEF.
Resto nulo 888122/989 = 898. ¡Hecho!
 
División tradicional (帰除法) de 888122 por 989

División de 888122 por 898

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División de 888122 por 898
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM Dividendo 888122 en A-F, divisor 898 en K-M
888122    898
968122    898 A: Regla: 8/8>9+8, cambiar 8 en A a 9 y sumar 8 a B
987122    898 Restar A×L=9×9=81 de BC
979922    898 Restar A×M=9×8=72 de CD
985922    898 B: Regla: 7/8>8+6, cambiar 7 en B a 8 y sumar 6 a C
988722    898 Restar B×L=8×9=72 de CD
988082    898 Restar B×M=8×8=64 de DE
989882    898 C: Regla: 8/8>9+8, cambiar 8 en C a 9 y sumar 8 a D
989072    898 Restar C×L=9×9=81 de DE
989000    898 Restar C×M=9×8=72 de EF. Remainder en DEF is zero, so that 888122/898 = 989. ¡Hecho!
 
División tradicional (帰除法) de 888122 por 898

División de 412 por 896

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En este caso extendemos la división hasta el final del ábaco, utilizando para los últimos dígitos la técnica presentada en el capítulo sobre Operaciones Abreviadas.

División de 412 por 896
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM
896 412 Esta vez el divisor va a la izquierda y el dividendo a la derecha.
896 512 Columna E: regla 4/8>5+0, cambiar 4 en E a 5, sumar 0 a F
896 492 no se puede restar E×B=5×9=45 de FG, revisar a la baja E: restar 1 de E, sumar 8 a F
896 456 restar E×B=4×9=36 de FG
896 4536 restar E×C=4×6=24 de GH
896 4656 Columna F: regla 5/8>6+2, cambiar 5 en F a 6, sumar 2 a G
896 4602 restar F×B=6×9=54 de GH
896 4582 no se puede restar F×C=6×6=36 de HI, revisar a la baja F: restar 1 de F, sumar 8 a G
896 4591 y sumar 9 a H para devolver el exceso 89 restardo de GH
896 4588 Continuar normalmente y restar F×C=3×6=30 de HI
896 45916 Columna G: regla 8/8>9+8, cambiar 8 en G a 9, sumar 8 a H
896 45979 restar G×B=9×9=81 de HI
896 459736 restar G×C=9×6=54 de IJ
896 459896 Columna H: regla 7/8>8+6, cambiar 7 en H a 8, sumar 6 a I
896 459824 restar H×B=8×9=72 de IJ
896 4598192 restar H×C=8×6=48 de JK
896 4598112 Columna I: regla 1/8>1+2, cambiar 1 en I a 1, sumar 2 a J
896 4598103 restar I×B=1×9=9 de JK
896 45981024 restar I×C=1×6=6 de KL
896 45982128 revisar al alza I: sumar 1 a I, restar 896 de JKL
896 45982148 Columna J: regla 1/8>1+2, cambiar 1 en J a 1, sumar 2 a K
896 45982139 restar J×B=1×9=9 de KL
896 459821384 restar J×C=1×6=6 de LM
896 459821344 Columna K: regla 3/8>3+6, cambiar 3 en K a 3, sumar 6 a L
896 459821317 restar K×B=3×9=27 de LM
896 459821315 restar K×C=3×6=18 de M …a partir de ahora esto es aproximado
896 459821425 revisar al alza K: sumar 1 a K, restar 896 de LM…
896 459821429 Columna L: regla 2/8>2+4, cambiar 2 en L a 2, sumar 4 a M
896 459821427 restar L×B=2×9=18 de M…
896 459821428 Columna M: regla 7/8>8+6, cambiar 7 en M a 8, sumar 4 a … ¡Hecho! 412/896=0.459821428


 
División tradicional (帰除法) de 412 by por 896

Referencias

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  1. ↑ Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573] (en Chin). Pánzhū Suànfǎ (盤珠算法). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙). 
  2. ↑ Yoshida, Mitsuyoshi (吉田光由) (1634) (en Japonés). Jinkoki (塵劫記). https://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/3508170/7. 

Recursos externos

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Soroban Trainer mostrando un ábaco tipo 5+2 usando la cuenta superior suspendida.

Puede practicar la división tradicional en línea con Soroban Trainer usando este fichero: kijoho-1digit.sbk que debe descargar a su computadora y luego enviarlo a Soroban Trainer (es un archivo de texto que puede inspeccionar con cualquier editor de texto y que puede descargar de manera segura a su computadora).

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