Matemáticas/Aritmética/Números imaginarios

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«Aritmética»

Los números imaginarios son aquellos de acuerdo a la lógica convencional, no pueden existir. Sin embargo, pueden ser el resultado de operaciones matemáticas comunes. La forma clásica de obtener un número imaginario/complejo es al obtener la raíz cuadrada de un número negativo.

${\sqrt {-1}}$

Esto es debido a que, de acuerdo a lo que sabemos, los números reales elevados al cuadrado (es decir, multiplicados por sí mismos), ya sean positivos o negativos, darán como resultado un número positivo, tal como el caso de dos números positivos:

$4^{2}=(4)(4)=16$

Y con el caso de dos números negativos, porque de acuerdo a las leyes de los signos, un número negativo multiplicado por un número negativo (en este caso, multiplicado por sí mismo) dará como resultado un número positivo, de forma que

$(-4)^{2}=(-4)(-4)=16$

Entonces, de acuerdo a esto, no existe realmente un número tal que, multiplicado por sí mismo de como resultado un número negativo. Sin embargo podemos decir que i, la letra que representa a los números imaginarios, es igual a

${\sqrt {-1}}=i$

Y dada esta igualdad, sería correcto afirmar que

$i^{2}=(i)(i)=-1$

Esto porque i equivale a la raíz cuadrada de -1, entonces, desarrollando la ecuación anterior, tenemos que

$i^{2}=({\sqrt {-1}})({\sqrt {-1}})$

Y como ya lo sabemos, la raíz cuadrada es la operación inversa al exponente cuadrado, entonces, sabiendo que un número multiplicado por sí mismo equivale a elevarlo al cuadrado, podemos expresar esto como

$i^{2}=({\sqrt {-1}})^{2}=-1$

Por lo tanto, también podemos decir que

$i^{3}=(i)(i)(i)=i^{2}(i)=-1(i)=-i$

$i^{4}=(i)(i)(i)(i)=(i^{2})(i^{2})=(-1)(-1)=1$