Matemáticas/Aritmética/Radicación

Índice de la sección
«Aritmética»

• Introducción
• Definición de Número
• Definición de Cifra
• Definición de Dígito
• Definiciones Cortas
• Más definiciones
• Lectura de números
• Clasificación de los números
• Los números
• Introducción a las operaciones básicas
• Adición
• Adición de fracciones
• Resta
• Resta de fracciones
• Multiplicación
• Multiplicación de fracciones
• División
• Propiedades de la División
• División de fracciones
• Comparación de fracciones
• Potenciación
• Radicación
• Logaritmación
• Operaciones con números complejos
• Operaciones combinadas
• Bases Numéricas
• Números Primos
• Comprobaciones de las operaciones
• Tablas

La radicación es el proceso opuesto a la potenciación. Es decir, matemáticamente:

$B^{C}=A\quad \longleftrightarrow \quad {\sqrt[{C}]{A}}=B$

En el proceso de radicación, buscamos un B que satisfaga la condición anterior.

Los elementos y características de este proceso están explicados en Función raíz (Wikipedia).

Método de resolución para raíces cuadradas

El método más difundido para su resolución, es el siguiente:

Tomemos como ejemplo, el radicando 65536.

El primer paso es la separación en grupos de dos del radicando, así: ${\sqrt {6.55.36}}$ Ahora se busca un número que multiplicado por sí mismo sea lo más próximo (por defecto) al primer grupo de números, comenzando por la izquierda. Si el número no es un entero, los grupos se realizarán a partir de la coma decimal, hacia ambos lados. Si el número posee una cantidad impar de cifras decimales, se agrega un cero a la derecha, por ejemplo en el caso 123,456 la separación sería 1.23,45.60. Al llegar a la parte decimal, se pondría también en ese mismo paso la coma en el resultado.

En este caso es el 2, pues $2^{2}=4<6$. Este número se resta del grupo de dígitos del radicando, y a la diferencia se le concatena el siguiente grupo. Es decir,

 √6.55.36  | 2
 -4
___
  2 55

El 2 ya es parte del resultado. Una vez tenemos esto, el siguiente paso será iterado tantas veces como sea necesario hasta terminar la resolución de la raíz. La parte que tenemos de resultado se multiplica por dos, y al resultado se le añade un número que multiplicado por sí mismo sea lo más próximo posible (por defecto) al número con el que estamos trabajando (255). Esto es, buscamos un $4X\times X\leq 255$. En el ejemplo, el X buscado es 5, pues $45\times 5=225\leq 255$ (y $46\times 6=276>255$). El 5 es el siguiente dígito del resultado. Ahora, se resta el resultado (45x5) a la parte "activa" del radicando. En el ejemplo,

 √6.55.36  | 25
 -4        | 45x5=225
___
  2 55
- 2 25
_________
    30 36

Los pasos sucesivos son iteraciones del anterior, como se ha comentado. Por tanto, se busaría un $50X\times X\leq 3036$. Ese número es el 6, pues $506\times 6=3036\leq 3036$. El resultado final es:

 √6.55.36  | 256
 -4        | 45x5=225
___        | 506x6 = 3036
  2 55
- 2 25
______
    30 36
  - 30 36
_________
        0

Y con eso demostramos que ${\sqrt {65536}}=256$. Por tanto, también es cierto que $256^{2}=65536$

En caso de querer hallar números después de haberse terminado las cifras significativas del radicando, se bajarán grupos de dos ceros por cada dígito que se necesite de aproximación.

Método de resolución para raíces cúbicas

Cálculo manual de la Raíz cúbica

Al igual que con las raíces cuadradas. existe también una operación que, aunque muy poco utilizada por haber métodos más sencillos para resolverlas, sirve para hallar el resultado de la raíz cúbica de un número dado, la operación es la siguiente:

 3√————————|
     1331  |11
    -1     |——————————————
    ——     |300·1²·3= 900
     0331  | 30·1·3²= 270
     -331  |      3³=  27
     ————  |         ————
      000  |         1197
           |se pasa de 331
           |
           |300·1²·2= 600
           | 30·1·2²= 120
           |      2³=   8
           |         ————
           |          728  
           |se pasa de 331
           |
           |300·1²·1= 300
           | 30·1·1²=  30
           |      1³=   1
           |          ———
           |          331
           |es igual o menor <=
           |a 331
  

Explicación de la operación:

1. Se separan los dígitos de 3 en 3 de derecha a izquierda a la derecha de la coma si no tiene decimales y si los tiene además las cifras decimales se separan de 3 en 3 de izquierda a derecha.
2. Se busca un número cuyo cubo sea igual o menor (si es menor siempre la cifra más alta posible sin llegar a pasarse) a la primera cifra o conjunto de cifras que se encuentran primero (a la izquierda).
3. A la primera cifra o conjunto de cifras se le resta ese número cuyo cubo es igual o menor al primer conjunto de cifras, y se pone ese resultado bajándose al lado el siguiente grupo de tres cifras.
4. Se le restan las cifras que tenemos al resultado de sumar 300 multiplicado por las últimas cifras que hemos obtenido de la raíz al cuadrado,(si solo tenemos una cifra como en el ejemplo solo una) multiplicado por el número adecuado que será la siguiente cifra de la raíz, sumado a 30 multiplicado por las últimas cifras obtenidas de la raíz multiplicado por el cuadrado de la que será la siguiente cifra de la raíz, sumado al cubo de la que será la siguiente cifra de la raíz. Como en el ejemplo hay que aventurar la cifra que es adecuada y si se pasa el resultado del número que nos hace falta hay que cambiar a la cifra adecuada. La cifra adecuada lógicamente es de una cifra siempre.
5. Una vez obtenido el número que es igual o menor (si es menor también la cifra más alta posible sin llegar a pasarse) se lo restamos.
6. Repetimos estos pasos hasta que se nos acaben los grupos de tres. Si la raíz cúbica no es exacta se puede poner una coma y tres grupos de ceros para seguir haciendo las operaciones y obtener cifras decimales para la raíz, que a partir de que alcancemos la coma habiendo terminado de operar los números enteros también tendremos que añadirle una coma.

Raíz cúbica entera.Método de extracción de un número superior a 1000 y dos decimales.

Pasos a seguir;

1. Para extraer la raíz cúbica entera de un número entero mayor que 1000, se divide dicho número en grupos de a tres cifras, empezando por la derecha;se extrae la raíz cúbica entera del primer grupo de la izquierda, y se tiene la primera cifra de la raíz ; se eleva esta cifra al cubo, y este cubo se resta del primer grupo de la izquierda.
2. A la derecha del resto, se baja el grupo siguiente : se separan con un punto las dos primeras cifras de la derecha,y el número que queda a la izquierda se divide por el triplo del cuadrado de la primera cifra de la raíz.
3. El cociente hallado será la segunda cifra de la raíz, o un número mayor que ella.
4. Para comprobar si dicho cociente es la segunda cifra de la raíz, se eleva al cubo el número formado por la primera cifra de la raíz y dicho cociente ; y si este cubo puede restarse el número formado por los dos primeros grupos de la izquierda del número propuesto, el cociente hallado es la segunda cifra de la raíz ; más si dicho cubo es mayor que el número formado por las dos primeras secciones, el cociente hallado es mayor que la segunda cifra de la raíz,en cual caso dicho cociente se desminuye en una unidad, y la nueva cifra se comprueba del mismo modo.
5. Halladas la primera y segunda cifras de la raíz,se resta su cubo del número formado por las dos primeras secciones de la izquierda del número propuesto.
6. A la derecha del resto, se baja el grupo siguiente ; se separan, con un punto, las dos primeras cifras de la derecha, y el número que queda a la izquierda se divide por el triplo del cuadrado de las dos primeras cifras de la raíz.
7. El cociente hallado será, lo que se comprueba como anteriormente.
8. Y así continuamos hasta haber bajado todas las secciones,haber hallado la última cifra de la raíz y el residuo correspondiente, si la raíz es inexacta.

Raíz cúbica de un quebrado común

Para extraer la raíz cúbica de un quebrado o fracción común, se debe observar, primero, si el numerador y denominador tienen raíz cúbica exacta, en cuyo caso se extraen la raíz del numerador y la del denominador, y se divide la primera por la segunda. Si ambos términos no tienen raíz cúbica exacta, se reduce el quebrado a fracción decimal y se extrae la raíz del número decimal equivalente.

Radicales

Nomenclatura: ${\sqrt[{n}]{a}}$ es el radical ${\mathit {a}}\,\!$ es el radicando y ${\mathit {n}}\,\!$ es el índice de la raíz.

Ya se ha visto que ${\sqrt[{n}]{a}}=b\iff a=b^{n}$

• Si $a\geq 0,{\sqrt[{n}]{a}}$ existe para cualquier ${\mathit {a}}\,\!$ y cualquier ${\mathit {n}}\,\!$
• Si $a<0,{\sqrt[{n}]{a}}$ existe sólo para valores impares de ${\mathit {n}}\,\!$

Forma exponencial de los radicales

${\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}$ ya que ${\big (}a^{\frac {1}{n}}{\big )}^{n}=a$

${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}$ ya que ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}={\big (}a^{m}{\big )}^{\frac {1}{n}}=a^{m\cdot {\frac {1}{n}}}=a^{\frac {m}{n}}$

Propiedades de los radicales

${\sqrt[{np}]{a^{p}}}={\sqrt[{n}]{a}}$

ya que ${\sqrt[{np}]{a^{p}}}=a^{\frac {p}{np}}=a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Aplicaciones

• Simplificar radicales ${\sqrt[{4}]{25}}={\sqrt[{4}]{5^{2}}}={\sqrt {5}}$
• Pasar radicales a índice común. ¿Qué es más grande, ${\sqrt[{3}]{534}}$ ó ${\sqrt {78}}$?

${\sqrt[{3}]{534}}={\sqrt[{6}]{534^{2}}}={\sqrt[{6}]{285\,156}}$, ${\sqrt[{6}]{78^{3}}}={\sqrt[{6}]{474\,552}}$ Por lo tanto ${\sqrt[{3}]{534}}<{\sqrt {78}}$

${\sqrt[{n}]{a\cdot b}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}$

ya que ${\sqrt[{n}]{a\cdot b}}=(a\cdot b)^{\frac {1}{n}}=a^{\frac {1}{n}}\cdot b^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}$

Aplicaciones

• Sacar fuera de la raíz los factores que nos convengan. ${\sqrt {50}}={\sqrt {25\cdot 2}}=$

$={\sqrt {5^{2}\cdot 2}}={\sqrt {5^{2}}}\cdot {\sqrt {2}}=5\cdot {\sqrt {2}}$

• Agrupar radicales ${\sqrt {23}}\cdot {\sqrt {10}}={\sqrt {230}}$

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

ya que ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}^{\frac {1}{n}}={\frac {a^{\frac {1}{n}}}{b^{\frac {1}{n}}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

Aplicaciones

• Gracias a estas tres propiedades podemos juntar castillos de fracciones en un solo radical:

${\frac {{\sqrt {5}}\cdot {\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{6}]{40}}}={\frac {{\sqrt[{6}]{5^{3}}}\cdot {\sqrt[{6}]{4^{2}}}}{\sqrt[{6}]{5\cdot 2^{3}}}}={\sqrt[{6}]{\frac {5^{3}\cdot 2^{4}}{5\cdot 2^{3}}}}={\sqrt[{6}]{2\cdot 5^{2}}}={\sqrt[{6}]{50}}$

${\Big (}{\sqrt[{n}]{a}}{\Big )}^{p}={\sqrt[{n}]{a^{p}}}$

ya que ${\Big (}{\sqrt[{n}]{a}}{\Big )}^{p}={\Big (}a^{\frac {1}{n}}{\Big )}^{p}=(a^{{\frac {1}{n}}\cdot p})={\Big (}a^{p}{\Big )}^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{p}}}$

${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}$

ya que ${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\Big (}a^{\frac {1}{n}}{\Big )}^{\frac {1}{m}}=a^{{\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{m}}}=a^{\frac {1}{n\cdot m}}={\sqrt[{mn}]{a}}$

No se pueden sumar radicales distintos, sólo los semejantes (aquellos que tras simplificarlos tienen el mismo radicando y el mismo índice)

Es decir, yo no puedo sumar ${\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}$ ni tampoco ${\sqrt[{3}]{5}}+{\sqrt {5}}$

En cambio sí que puedo sumar $3{\sqrt {7}}+6{\sqrt {7}}-{\sqrt {7}}=8{\sqrt {7}}$

Hay veces que no es evidente:

${\sqrt {8}}-{\sqrt {50}}+{\sqrt {98}}={\sqrt {2^{3}}}-{\sqrt {2\cdot 5^{2}}}+{\sqrt {2\cdot 7^{2}}}=$

$=2{\sqrt {2}}-5{\sqrt {2}}+7{\sqrt {2}}=4{\sqrt {2}}$

A veces (muchas) nos interesará 'quitar' las raíces del denominador. Esto se hace multiplicando numerador y denominador por la expresión adecuada (este proceso se denomina racionalizar)

${\frac {1}{\sqrt[{3}]{49}}}={\frac {1}{\sqrt[{3}]{7^{2}}}}={\frac {\sqrt[{3}]{7}}{{\sqrt[{3}]{7^{2}}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}}}={\frac {\sqrt[{3}]{7}}{7}}$

${\frac {1}{7-{\sqrt {5}}}}={\frac {7+{\sqrt {5}}}{{\big (}7+{\sqrt {5}}{\big )}{\big (}7-{\sqrt {5}}{\big )}}}={\frac {7+{\sqrt {5}}}{7^{2}-{\big (}{\sqrt {5}}{\big )}^{2}}}={\frac {7+{\sqrt {5}}}{44}}$