Sección 1: Introducción

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las principales ramas de la matemática, junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números.

La palabra «álgebra» es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة) (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» جبر (yabr) , proviene del árabe y significa "reducción".

El Álgebra elemental

Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde sólo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque:

Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.
Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.
Permite la formulación de relaciones Funcionales.

Sección 2:Historia del Álgebra

El desarrollo histórico del álgebra sugiere que actualmente ésta se concibe como la rama de las matemáticas que trata la simbolización de relaciones numéricas generales y de estructuras matemáticas así como de la operación sobre esas estructuras. Los temas típicos incluyen:

Propiedades de los números reales y complejos
El planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado en una incógnita
La simplificación de expresiones polinómicas y racionales
La representación simbólica de funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, junto con sus gráficas
Sucesiones y series

El contenido del álgebra escolar ha cambiado poco. Al comienzo de este siglo los cursos iniciales de álgebra cubrían temas como:

Simplificación de expresiones
Planteo y resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas
Uso de tales técnicas para hallar respuesta a problemas
Práctica con razones, proporciones, potencias y raíces.

En las siguientes décadas se incluyeron aspectos prácticos y el uso de los métodos gráficos. Al comienzo de los años 60 se vio una brecha muy grande entre el álgebra escolar y las necesidades de ella en campos como la física nuclear, la exploración espacial, las comunicaciones y la tecnología computacional. Se crean entonces las nuevas matemáticas. Se incluyen las desigualdades y se hace énfasis en conceptos unificadores como conjunto y función a fin de enseñarlos de manera que su estructura y carácter deductivo fuera evidente.

Se mantiene el carácter estructural que era evidente a comienzos del siglo. Ejemplos de aspectos estructurales del álgebra superior tradicional incluyen: simplificación y factorización de expresiones; resolución de ecuaciones haciendo operaciones en ambos lados y manipulación de parámetros de ecuaciones funcionales tales como $y=v+(x-h)^{3}$ , para manejar familias de funciones.

El capítulo introductorio de la mayor parte de los textos enfatiza la aritmética. Las representaciones algebraicas se tratan como enunciados generalizados de las operaciones aritméticas; es decir que se trabaja en términos procedimentales en donde los valores numéricos se sustituyen por expresiones algebraicas para obtener resultados específicos. Sin embargo, una vez que se ha completado esta introducción, relativamente suave, las representaciones algebraicas empiezan a tratarse como objetos matemáticos sobre los cuales se ejecutan ciertas operaciones estructurales tales como combinar términos; factorizar o restar un término en ambos lados de una ecuación.

En este texto se hace una distinción entre los términos procedimental y estructural. Procedimental, se refiere a las operaciones aritméticas que se hacen sobre números para obtener números. Estructural se refiere a un conjunto de operaciones que se hacen, no sobre números, sino sobre expresiones algebraicas.

Sección 3: Monomios

Un monomio es una expresión algebraica compuesta únicamente por un sólo término. La unión de varios monomios se denomina polinomio.

El grado de un monomio es la suma de los exponentes que forman dicho término. En el monomio $x^{5}$ , el grado de este monomio es 5, y en el monomio $x^{4}y^{2}z$ , el grado del monomio es 7 ( $4+2+1=7$ ).

Definición más formal

Llamamos monomios a una expresión de la forma $ax_{}^{n}$
donde $a$ es un número real que denominamos coeficiente,
$n$ es un número natural que denominamos Grado del monomio,
y $x$ la denominamos indeterminada o variable las variables también se denominan ""Parte Literal""

Definición avanzada

Antiguamente se tomaba por monomio lo que hoy es un término, ciertamente, pero hoy la definición correcta de monomio es la mencionada a continuación.
En términos precisos, un monomio es una aplicación

\mu :S\rightarrow \mathbb {N}

(1)

(donde $S$ es un conjunto cualquiera) y tal que el conjunto $\{s\in S\mid \mu (s)\neq 0\}$ es finito. Así, en términos intuitivos, un monomio es el producto de un número finito de variables elevadas a alguna potencia entera positiva. Cuando un monomio se multiplica por coeficientes en algún anillo (como puede ser $\mathbb {Z}$ ), entonces el resultado es un término.
Por supuesto, la definición formal no es del todo sencilla y puede parecer artificial, pero resulta indispensable a la hora de estudiar conceptos algebraicos más abstractos.

Operaciones con monomios

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones con letras que intervienen son la multiplicación y las potencias de exponente natural.

Se pueden operar con los monomios, siempre que en la suma y la resta tengan las mismas variables, si no, formarían polinomios

Adición de monomios

Si nos dan dos monomios, $x^{3}$ y $3x^{3}$ su suma sería: $3x^{3}+x^{3}=4x^{3}$

Ya que $3x^{3}$ es lo mismo que $x^{3}+x^{3}+x^{3}$ o también, $3x^{3}$ En cambio,si nos dan $x^{4}+x^{3}$ la suma quedaría: $x^{4}+x^{3}=x^{4}+x^{3}$

ya que sus términos son de distinto grado, aun teniendo la misma variable (x). También, se puede dar el caso de que se den los monomios $xy$ y $3x^{2}$ En tal caso, la suma daría un polinomio $xy+3x^{2}$

Sustracción de monomios

Para restar monomios, se suma el minuendo con el sustraendo cambiado de signo y se da el mismo proceso de la suma.Por ejemplo: Sean los monomios $x^{3}$ y $3x^{3}$ su resta sería: $x^{3}-(+3x^{3})=x^{3}+(-3x^{3})=-2x^{3}$

Multiplicación de monomios

Para multiplicar monomios, se suman los exponentes de cada variable, se multiplican los números, y se juntan todas las variables.

Ejemplo:

$5x^{3}.3y^{2}x=15x^{4}y^{2}$
$4z^{2}.2z^{3}y=8z^{5}y$
$1w^{4}.1y^{4}=1w^{4}y^{4}$

Para más información, véase el artículo «Monomio» en Wikipedia.

División de monomios

Para dividir monomios, se resta los exponentes de cada variable, se dividen los números, y se agrupan todas las variables o incógnitas.
Ejemplo:
$8x^{4}y/2x^{2}=4x^{2}y$
$4z^{2}/2z^{3}=2/z$ ^–1
$1w^{4}/1y^{4}=1w^{4}/y^{4}$

Potencia de monomios

Para realizar la potencia de monomios, se multiplica el coeficiente tantas veces como indica la potencia y se multiplica los exponentes por la potencia. Ejemplo: ( $5x^{3})^{2}=25x$ ^{3×2 $=25x^{6}$}

Referencias

Matemática 8 - 3° Ciclo EEB - En Alianza Fundación - pág 16 al 19p

Sección 4: Polinomios

En matemáticas, un polinomio (del gr, «poli»-muchos y «νόμος»- división, y el lat. «binomius»)es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como exponentes enteros positivos. En otras palabras, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son muy utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

En áreas de las matemáticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica.

Para más información, véase el artículo «Polinomios» en Wikipedia.

Operaciones con polinomios

Términos semejantes

Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Ejemplos: -1/2a y a; 3ab y -2ab.

Reducción de términos semejantes

Se agrupan los términos semejantes; en paréntesis se colocan los coeficientes con los signos y se resuelven, luego se escribe el resultado acompañado de su parte literal. Por ejemplo: $x^{3}$ + $4x^{3}$ - $2x^{3}$ = (1 + 4 - 2) $x^{3}=3x^{3}$ otro tipo de ejemplo sería 7x + 3y - 4x - 6y = (7 - 4)x + (3 - 6)y = 3x - 3y

otro ejemplo:

3) 4/5 x^2 y+1/6 x-1/5 x^2 y+2X/6

Matemática 8° Grado - Editorial en Alianza Fundación - pág 22 ejemplo 3 por libardo fernandez

Sección 5: Ecuaciones

La palabra ecuación proviene del latín ‘equi’ y ‘ecu’ (del lat. "aequus", que significa "igual") y aporta la idea de igualdad.
Las ecuaciones son expresiones matemáticas que en esencia manejan dos elementos o miembros separados por un signo de igualdad o signo de igual " $=$ ".
Ecuación significa en estricto sentido igualdad, por lo que tanto el elemento que aparece a la izquierda como el que aparece a la derecha del signo de igual tienen el mismo valor.
Por ejemplo, la ecuación $y=4x$ , significa que el valor de " $y$ " se puede definir como cuatro veces el valor de " $x$ " y por el contrario " $x$ " tiene como valor la cuarta parte de " $y$ ".
Por lo que la ecuación $y=4x$ se puede escribir también como $x=y/4$ y la ecuación se mantiene.
Otra forma de expresar la misma ecuación pudiera ser $y-4x=0$ , es decir que si al valor de " $y$ " le restamos el mismo valor de " $y$ " pero en términos de " $x$ " obtenemos un valor nulo o cero.
Lo que importa de la definición de la ecuación es precisamente que siempre debe conservarse la igualdad del elemento izquierdo con respecto al derecho.

En matemáticas también existen inecuaciones o desigualdades, pero ese es otro tema.

Las ecuaciones son operaciones con incógnitas que tienen resultados al efectuar ciertas operaciones. Se distinguen:

Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de segundo grado (ver libro de ecuaciones cuadráticas)
1. Ecuaciones de segundo grado incompletas
2. Ecuación de segundo grado (forma ax²+bx+c=0, a>0)
3. Ecuaciones reducibles a segundo grado
4. Ecuaciones con radicales
Ecuaciones de tercer grado
Ecuaciones de cuarto grado
Sistemas de ecuaciones
1. Sistema de ecuaciones lineales
  1. Metodos de resolución
2. Sistema de ecuaciones de segundo grado
Ecuaciones logarítmicas
1. Sistema de ecuaciones logarítmicas
Ecuaciones exponenciales
1. Sistema de ecuaciones exponenciales

Sección 6: Inecuaciones

Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de orden (<, >, ≤ o ≥). Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce como intervalo. Una de las obligaciones de las (inecuaciones) es la de cumplir una desigualdad.

Sección 7: Clasificación de los sistemas de ecuaciones

{\mbox{Sistemas}}{\begin{cases}{\mbox{Compatibles →(con soluciones)}}{\begin{cases}{\mbox{Determinados →(solución única)}}\\\\{\mbox{Indeterminados →(infinitas soluciones)}}\end{cases}}\\\\{\mbox{Incompatibles →( sin soluciones)}}\end{cases}}

Sección 8: Reglas de las derivadas

Reglas de derivación

Regla de derivación general:

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

Derivada de una suma:

${\frac {d}{dx}}(x^{a}+x^{b})=ax^{a-1}+bx^{b-1}$

Derivada de un producto:

${\frac {d}{dx}}(uv)=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}$

Derivada de un cociente:

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}$

Derivada de una constante

${\frac {d}{dx}}(a)=0$

Regla de la cadena:

${\frac {d}{dx}}f(u)={\frac {df}{du}}{\frac {du}{dx}}$

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