Matemáticas/Álgebra/Productos Notables

Términos semejantes de polinomios

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Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: –2a2b y 5a2b son semejantes.
Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal.
Por ejemplo:

–2a2b + 5a2b = 3a2b

10x2z3 – 22x2z3 = – 12x2z3

Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar:

La operación 12a2b + 13ab2 no se puede reducir más, debido a que los términos no son semejantes.

Eliminación de Paréntesis

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Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas:

(1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

(2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

Ejemplo:

2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) =

Aplicando las reglas anteriores, tenemos:

2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes:

-3ab + 2a

Producto de expresiones algebraicas

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Producto de monomios

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Se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”.

Ejemplo: 2x2y3 z · 4x4y2 = 8x6y5z

Producto de monomio por polinomio

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Se aplica la propiedad distributiva, esto es: “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”.

Ejemplo:

2ab (3a - ab2 + 4b2c2) = 2ab . 3a - 2ab . ab2 + 2ab . 4b2c2 = 6a2b – 2a2b3 + 8ab3c2

Producto de binomio por binomio

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Se multiplican todos los términos del primer binomio con los términos del segundo binomio.

Ejemplo:

(2a - 3b2c) (4a2 + 5ab3) = 2a . 4a2 + 2a . 5ab3 – 3b2c . 4a2 – 3b2c . 5ab3 = 8a3 + 10 a2b3 – 12 a2b2c – 15 ab5c

Producto de polinomio por polinomio

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Al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo.

(2x – 3y + 4z2). (5x + 2xy + 4xz2) = 2x . 5x + 2x . 2xy + 2x . 4xz2 – 3y . 5x – 3y . 2xy – 3y . 4xz2 + 4z2 . 5x + 4z2 . 2xy + 4z2 . 4xz2 = 10x2 + 4x2y + 8x2z2 – 15xy – 6xy2 – 12xyz2 + 20xz2 + 8xyz2 + 16xz4

Productos notables

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Son productos que, dada la frecuencia con que aparecen, es necesario memorizarlos para poder realizarlos más rápidamente.

GRUPO I: Equivalencias fundamentales

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Axioma de la distribución de la multiplicación respecto a la suma:

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a(b + c + d) = ab + ac + ad

Reglas de Stevin (Binomios con un término en común):

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(x + a) (x + b) = x2 +(a + b)x + ab

(x + a) (x + b) (x + c) = x3 +(a + b + c) x2 +(ab + bc + ac)x + abc

Cuadrado de binomio:

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(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 – 2ab + b2

Identidades de Legendre:

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(a + b)2 + (a + b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 - (a + b)2 = 4ab

(a + b)4 - (a + b)4 = 8ab (a2 + b2)

Diferencia de cuadrados:

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(a + b) (a – b) = a2 - b2

Cubo de binomio:

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(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Disposición práctica de Cauchy:

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Se usa en casos donde conoces la suma y el producto de a y b.

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)

(a + b)3 = a3 - b3 - 3ab (a - b)

Suma y diferencia de cubos:

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(a+b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3

(a+b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

Suma y diferencia de quintas potencias:

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(a - 1)(a4 + a3 + a2 + a + 1) = a5 - 1

(a + b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4) = a5 - b5

Desarrollo productos notables

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Factorización

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Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes:

Factor común

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Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1. Ejemplo:

15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3

Aquí el factor común es: 5xy2z2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la forma:

15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 (3xz – y + 2x3y2z), lo que corresponde a su factorización.

Diferencia de cuadrados

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Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las bases.

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Ejemplo: 25a2 – 16b4

Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b2 :

Por lo tanto: (5a)2 – (4b2)2 = (5a + 4b2) (5a — 4b2)

Factorización de trinomio cuadrático perfecto

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Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Ejemplo: 16x2 – 24xy + 9y2

En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x2 = (4x)2 y 9y2 = (3y)2, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio:

(4x - 3y)2, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la expresión dada.

Factorización de trinomio cuadrático no perfecto

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En este caso hay dos subcasos:

Caso en que el coeficiente cuadrático es 1

Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común”:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x2 + px + q

Ejemplo: x2 – 10x + 24

El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números tales que a + b = –10 y ab = 24. Estos números son: –4 y –6, por lo tanto:

x2 – 10x + 24 = (x – 4)(x – 6)

Caso en que el coeficiente cuadrático es diferente de 1

Ejemplo: 2x2 + 7x – 15

Para poder factorizar trinomios de este tipo, multiplicaremos y dividiremos (para que la expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático:


El numerador se puede factorizar de la forma (2x + a)(2x + b), donde a y b son números tales que a + b = 7 y ab = –30. Estos números son: 10 y -3:

Diferencia de cubos

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a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

Ejemplo:

125z3 – 64y6

La expresión 125z3 es el cubo de 5z y 64y6 es el cubo de 4y2, por lo tanto:

125z3 – 64y6 = (5z)3 – (4y2)3

Ocupando que a = 5z y b = 4y2 en la expresión dada, tenemos que:

(5z)3 – (4y2)3 = (5z – 4y2)(25z2 + 20y2z + 16y4)