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Geometría

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La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio,​ incluyendo: puntos, rectas, curvas, planos, polígonos, poliedros, etc.).

Contenidos

Capítulo 1. Punto, línea, plano Capítulo 1A. Longitud, área y volumen Capítulo 1. Actividades Capítulo 2. Ángulos Capítulo 2. Actividades Capítulo 3. Triángulos Capítulo 3. Actividades Capítulo 4. Polígonos Capítulo 4. Actividades Capítulo 5. Polígonos regulares Capítulo 5. Actividades Capítulo 6. Cuadriláteros Capítulo 6. Actividades Capítulo 7. Circunferencia y círculo Capítulo 7. Actividades Capítulo 8. Cuerpos geométricos: Poliedros

Capítulo 8. Actividades Capítulo 9. Poliedros: Tetraedro regular y hexaedro regular o cubo Capítulo 9. Actividades Capítulo 10. Poliedros: Prismas Capítulo 10. Actividades Capítulo 11. Poliedros: Pirámides Capítulo 11. Actividades Capítulo 12. Cuerpos geométricos: Cilindro, cono y esfera Capítulo 12. Actividades Capítulo 13. Construcciones: Regla y compás Capítulo 13. Actividades Versión para imprimir

Fuentes

• Wikipedia
• Vikidia
• Wikijunior: Geometry for Elementary School/Construction
• Simple.wikipedia

Capítulo 1. Punto, línea, plano

Veremos aquí el punto, las líneas recta y curva, un segmento y cómo pueden ser las líneas rectas. El plano y sus posiciones

Punto

Un punto es una posición en el espacio. Imaginemos tocar un pedazo de papel con un lápiz afilado, sin hacer ningún movimiento lateral. Sabemos dónde está el punto, pero no tiene tamaño por así decirlo.

En geometría un punto no tiene tamaño, pero tiene una posición. Esto significa que no tiene volumen, área o longitud. Por lo general representamos un punto con una pequeña cruz o un pequeño punto (una forma pequeña y redonda). En la geometría, los puntos siempre se nombran con mayúsculas (A, B, C ... X, Y, Z). (fg.1)

También se puede definir al punto como el lugar donde se cortan o cruzan varias rectas. (fg.2)

Punto:

(fg.1) (fg.1)   (fg.2) (fg.2)

Algunos postulados y teoremas relacionados con el punto

• Por un punto pasan infinitas rectas y planos. (fg.1)
• Dos puntos determinan una recta y solo una. (fg.2
• Una recta contiene infinitos puntos. (fg.3)
• Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas. (fg.4), (fg.5)
• El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos
• Tres puntos no alineados determinan un plano y solo uno.

Postulados y teoremas relacionados con el punto:

fg.1 fg.1   fg.2 fg.2   fg.3 fg.3   fg.4 fg.4   fg.5 fg.5

Línea

Una línea es una sucesión continua e indefinida de puntos. Una línea tiene longitud, pero no anchura.

Líneas rectas y curvas

Una línea puede ser recta o curva.

Línea curva

Una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos. Una línea recta está trazada por un punto que se mueve en una dirección que no cambia. La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.

Una línea curva es una sucesión de puntos que cambian constantemente de dirección. El borde de un círculo no es recto. Es un ejemplo de curva.

Segmentos de una recta

Un segmento de recta es una parte de una recta. Aquí tienes ejemplos de segmentos de recta:

---

_____   __

Trazado de un segmento de recta "AB" sobre la recta "a".

Semirrecta

Dos semirrectas

Se llama semirrecta​ cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al ser cortada en cualquiera de sus puntos.

¿Cómo se nombran las rectas?

Recta ${\overleftrightarrow {AB}}$ o ${\overleftrightarrow {BA}}$.

Las rectas pueden obtener sus nombres de dos puntos cualesquiera de la recta. Por ejemplo, si una recta contiene dos puntos diferentes, llamados $A$ y $B$, entonces la recta puede llamarse ${\overleftrightarrow {AB}}$, o ${\overleftrightarrow {BA}}$.

A veces, las líneas se nombran con un solo símbolo. Puede utilizarse una letra como $\ell$.

¿Cómo pueden ser dos rectas?

Dos rectas pueden ser

• Paralelas: Varias rectas son paralelas si están en el mismo plano y nunca se tocan.(fg.1)
• Concurrentes: Dos o más rectas son concurrentes si se tocan en un punto. (fg.2)
• Coincidentes: Dos rectas son coincidentes si están formadas por los mismos puntos.
• Perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si forman cuatro ángulos rectos donde se tocan. (fg.3)

Dos rectas pueden ser

fg.1 fg.1   fg.2 fg.2   fg.3 fg.3

Medimos rectas

Una regla de 35 centímetros

Para medir líneas rectas utilizamos la regla graduada

La regla graduada

Divisiones de la regla en centímetros y milímetros

Una regla es un instrumento de medida. Las reglas miden la longitud. La longitud es lo largo o corto que es algo. La mayoría de las reglas tienen números (paralelos al borde de medición) y pequeñas líneas (perpendiculares al borde de medición). Las reglas también pueden utilizarse para trazar líneas.

Las reglas tienen muchas formas diferentes. Pueden ser de plástico, madera, metal u otros materiales. También las hay de distintas longitudes. Por ejemplo, hay reglas de 1 metro, de 30 centímetros, de 20 centímetros y de 15 centímetros.

fg.6

Para medir una longitud con la regla colocamos un extremo en el 0 y la medida la obtendremos en el otro extremo (fg.6)

Plano

Representación gráfica de un plano $\alpha$(alfa).

Un plano es la representación de una superficie ideal, perfectamente lisa, de tamaño infinito y de dos dimensiones (ancho y largo; carece de altura) Es una idea de la mente que no existe en la realidad. Frecuentemente se le relaciona con objetos, como el piso de una habitación, el techo de una vivienda, la pizarra escolar, entre muchos otros.

En geometría, un plano está formado por infinitas de líneas (o puntos). Todas las figuras planas (como el cuadrado, el rectángulo, el círculo, el rombo, el hexágono) forman parte de un plano.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas.

Dos planos en el espacio pueden estar en diferentes posiciones uno con respecto a otro:

• Paralelos: cuando no se cortan nunca. (fg.1)
• Perpendiculares: cuando se cortan formando ángulos rectos.(fg.2)

Dos planos pueden ser

(fg.1) (fg.1)   (fg.2) (fg.2)

Dos semiplanos

Semiplano

Un semiplano es una de las dos partes de un plano en que este es dividido por una recta.

Referencias

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Ejercicios

1 Cuál de las siguientes opciones tiene un punto

	Longitud
	Posición
	Volumen
	Área

2 Señala cual de las respuestas es verdadera:

	Por un punto pasa una sola recta.
	Por un punto no pasa ninguna recta
	Por un punto pasan infinitas rectas.

3 Señala cuál de las respuestas es verdadera:

	Una recta contiene infinitos puntos.
	Una recta no contiene ningún punto.
	Una recta contiene pocos puntos.

4 La línea recta es:

	La distancia más larga entre dos puntos.
	La distancia más corta entre dos puntos.
	La distancia que hay desde tu casa al colegio.

5 Dos líneas rectas son paralelas si:

	Están en el mismo plano y nunca se tocan
	Están en el mismo plano y se tocan en un punto
	No están en el mismo plano y nunca se tocan

6 Dos líneas rectas son perpendiculares si:

	Forman cuatro ángulos obtusos donde se tocan.
	Forman cuatro ángulos agudos donde se tocan.
	Forman cuatro ángulos rectos donde se tocan.

7 La regla mide:

	La temperatura de una cosa
	La longitud de una cosa
	La forma que tiene la cosa

8 Un plano contiene

	Infinitos puntos y rectas
	Ningún punto ni recta
	Unos pocos puntos y rectas

Capítulo 1. Actividades

1. Traza una línea recta con la regla y una circunferencia con el compás.
2. Marca dos puntos en un plano y traza la única línea que puede pasar por dos puntos.
3. Traza una línea recta con la regla y en ella marca un segmento en rojo y nómbralo.
4. En una recta señala dos semirrectas
5. En un cuaderno rayado o de cuadro trazar dos líneas paralelas
6. En un cuaderno rayado o de cuadro trazar dos líneas perpendiculares
7. Con una regla graduada medir el segmento de la actividad 3

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Capítulo 1A. Longitud, área y volumen

Longitud

La longitud es la distancia que hay entre dos puntos.

Unidades de longitud

1. Milimetro (mm) 0,001 m
2. Centimetro (cm) 0,01 m
3. Decimetro (dm) 0,1 m
4. Metro (m) 1 m
5. Decametro (dam) 10 m
6. Hectometro (hm) 100 m
7. Kilometro (km) 1000 m

fg.1

Para medir una longitud con la regla colocamos un extremo en el 0 y la medida la obtendremos en el otro extremo (fg.1)

Área

El área es la medida de una "superficie" que está en un plano.

El área de cuadrado es aquí de 4 unidades.

Unidad de área

Al dar la medida de una superficie hay que especificar la unidad de medida en la que la medimos. Un área de 6 ... ¿pero 6 qué?

• Una longitud se expresa en una unidad de longitud: el metro (m), el centímetro (cm) o el milímetro (mm) etc.
• A una unidad de longitud corresponde una unidad de superficie, la unidad al cuadrado: el metro cuadrado (m²), el centímetro cuadrado (cm²), el milímetro cuadrado (mm²)

Una unidad al cuadrado es el área de un cuadrado cuyo lado tiene una longitud de 1 unidad.

Calcular el área de una figura

Área de una figura de 4 x 7 unidades = 28 unidades

El cálculo del área se realiza mediante la comparación del área de los cuadrados que forman la figura:

Si cortamos una figura en varias piezas, la superficie total es la suma de las áreas de cada pieza;

El área de un cuadrado de una unidad de lado es un cuadrado unidad.

Cuadrado y rectángulo

El rectángulo es un cuadrilátero que tiene cuatro ángulos rectos.

Imagina un rectángulo cuyos lados tienen de longitud 4 unidades y 7 unidades. (La unidad puede ser metro, centímetro ...) trazamos líneas paralelas para dividir el rectángulo en cuadrados de una unidad. Nos queda una especie de cuadrícula. Esto es posible porque los lados del rectángulo tienen números enteros como unidades de longitud. Esto da un conjunto de 4 columnas y 7 líneas. Por definición de la multiplicación, tenemos 4  ×  7  =  28 cuadrados en el rectángulo.

Por lo tanto, el área del rectángulo es de 28 unidades cuadradas. El razonamiento sigue siendo válido reemplazando 4 y 7 por cualesquiera enteros. En general:

El área del rectángulo es el producto de las longitudes.

• Si el rectángulo tiene un lado de 3 cm y otro de 6 cm entonces el área A del rectángulo es igual a 6 × 3 = 18 cm² .
• Se debe tener cuidado para expresar las longitudes en la misma unidad.

Volumen

El volumen es el espacio ocupado por un cuerpo. La unidad de medida de volumen es el metro cúbico (m³), y también el centímetro cúbico (cm³) y el milímetro cúbico (mm³).

Para hallar el volumen de un cubo, formado por seis caras iguales, de multiplica el largo, por el ancho y por el alto. En este caso el volumen sería:

• $4cm*4cm*4cm$ = $64cm^{3}$

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Capítulo 2. Ángulos

Veremos aquí el ángulo, las clases de ángulos, su medida y su clasificación

Ángulo

Partes del ángulo.

Un ángulo es la parte del plano limitada por dos semirrectas que tienen un punto común. Las semirrectas son los lados del ángulo y el punto común de las semirrectas se denomina vértice.

Amplitud de un ángulo

Se llama amplitud de un ángulo a la medida de este.

Unidades de amplitud

La unidad utilizada para la medida de los ángulos del plano es el grado sexagesimal. Un grado es la 1/360 parte de un círculo.

La parte roja corresponde a un ángulo de 1 grado sexagesimal

Para medir ángulos se utiliza este instrumento llamado transportador de ángulos.

• Grado sexagesimal (º): al ángulo completo de la circunferencia se le da una amplitud de 360º y por lo tanto el grado sexagesimal es la 1/360 parte del ángulo completo. Los submúltiplos son: el minuto sexagesimal ('), igual a la 1/60 parte del grado sexagesimal y el segundo sexagesimal ('' igual a la 1/60 parte del minuto sexagesimal.

Hay otros sistemas de unidades, pero este es el más utilizado.

Medir un ángulo

La recta QR sobre el lado del ángulo. El vértice sobre el punto Q

Para medir un ángulo con un transportador, se coloca este sobre el ángulo de forma que la recta QR coincida con uno de los lados del ángulo y el punto Q quede sobre su vértice. El otro lado del ángulo marcará la medida de este en la escala del transportador.

Clasificación de los ángulos por su amplitud

• Agudo: es el ángulo formado por dos semirrectas, de amplitud menor de 90°.
• Recto: el ángulo formado por dos semirrectas perpendiculares y con una medida de 90°.
• Obtuso: el ángulo mayor de 90° y menor de 180°
• Llano: el ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Su valor es 180°.
• Completo: es el ángulo que corresponde a la abertura de circunferencia. Su valor es 360°.

• 
  Ángulo agudo
• 
  Ángulo recto
• 
  Ángulo obtuso
• 
  Ángulo llano
• 
  Ángulo completo

Ángulos convexo y cóncavo

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):

Tipo	Descripción
Ángulo convexo	Es el que mide más de 0° y menos de 180°sexagesimales
Ángulo cóncavo	Es el que mide más de de 180° y menos de 360° sexagesimales

Ángulos relacionados

Denominación según su posición:

• Los ángulos consecutivos son los que comparten un lado y el vértice.
• Los ángulos adyacentes son los que tienen un vértice y un lado común, y los otros lados en línea recta

(Los ángulos adyacentes son todos suplementarios)

• Los ángulos opuestos por el vértice son los que tienen el mismo vértive y los lados son prolongación de los lados del otro.

(Los ángulos opuestos por el vértice son siempre iguales)

En el ejemplo de la fg.3 son opuestos por el vértice los ángulos a y c, y también b y d

• 
  Ángulos consecutivos
• 
  Ángulos adyacentes
• 
  Ángulos opuestos por el vértice (fg. 3)

Denominación según la suma de su amplitud:

• Los ángulos complementarios son aquellos cuya suma es de 90°, o también, su suma vale un ángulo recto
• Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es de 180°, o también, su suma vale dos ángulos rectos.

• 
  Ángulos complementarios
• 
  Ángulos suplementarios

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz de un ángulo es el punto con origen en el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos de igual medida.

Referencias

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Ejercicios

1 Un ángulo es:

	una línea formada por dos partes
	la parte de plano limitada por dos semirrectas
	una línea curva

2 Completa con la respuesta verdadera: las semirrectas son los .......... del ángulo

	vértices
	los puntos
	lados

3 La unidad utilizada para la medida de los ángulos del plano es

	el grado sexagesimal
	el grado centígrado
	el grado delgado

4 Para medir la amplitud de un ángulo se emplea

	el termómetro
	el transportador
	la regla

5 El ángulo formado por dos semirrectas perpendiculares y con una medida de 90° es:

	un ángulo recto
	un ángulo muerto
	un ángulo agudo

6 Un ángulo es convexo si:

	mide más de 180° y menos de 360°sexagesimales.
	mide menos de 0° y más de 180°sexagesimales
	mide más de 0° y menos de 180°sexagesimales

7 Los ángulos consecutivos son:

	aquellos cuyos lados son las semirrectas opuestas de los lados del otro
	los que comparten un lado y el vértice.
	los que son consecuencia del otro

8 ángulos suplementarios son aquellos:

	cuya suma es de 180°.
	cuya suma es de 90°.
	cuya suma es 0°.

9 Un ángulo obtuso mide:

	menos de 90°
	más de 90°
	90°

10 Un ángulo agudo mide:

	90°
	más de 90°
	menos de 90°

Capítulo 2. Actividades

1. Traza un ángulo y señalar sus elementos
2. Traza un ángulo obtuso y mide su amplitud en grados sexagesimales con un transportador
3. Escribe debajo de cada ángulo su clasificación por su amplitud

• 
• 
• 
• 
• 

4. Dibuja un ángulo convexo y otro cóncavo

5. Escribe cómo son estos ángulos según su posición:

• 
• 
• 

.....................................................................................................................................................

Capítulo 3. Triángulos

Un triángulo

Un triángulo es una forma geométrica (polígono) que posee tres lados y tres ángulos. Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres lados y tres vértices entre otros elementos.

Elementos

Triángulo: $ABC$ de lados $a,b,c$ y de ángulos interiores $\alpha ,\beta ,\gamma .$ (alfa, beta y gamma)

Vértices

Los 3 vértices

Los vértices son cada uno de los puntos que determinan un triángulo, los puntos donde se cortan dos lados. Tal como los vértices de un polígono, suelen ser denotados por letras latinas mayúsculas: $A,B,C,\dots$.

Un triángulo se nombra designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, por cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro.

Lados

Los 3 lados

Cada par de vértices determina un segmento, que se conoce como lado del triángulo. No importa el orden de los vértices para nombrar un lado de modo que AB y BA nombran a un mismo lado.

Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC.

Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: $a$ para BC, $b$ para AC, $c$ para AB.

La suma de los lados de un triángulo se conoce como perímetro, denotado por p ; cumple la ecuación:

$p=AB+BC+CA$

Ángulos

Notación para los ángulos interiores de un triángulo con letras griegas

Cada par de lados con origen común al vértice de un triángulo y que contienen dos de esos lados concurrentes se llama ángulo del triángulo u -ocasionalmente- ángulo interior.

La notación general para el ángulo entre dos lados es con una letra minúscula (del alfabeto español o del alfabeto griego) colocada entre los lados que forman el ángulo y cerca del vértice.

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º

Altura

Se llama altura de un triángulo al segmento de recta perpendicular que une un vértice del triángulo con el lado opuesto de este o su prolongación. El lado opuesto se llama base del triángulo. Se suele escribir como h

Clasificación de los triángulos

Los triángulos pueden clasificarse de dos formas:

Por la amplitud de sus ángulos

• Acutángulo: sus tres ángulos son menores a 90°.
• Rectángulo: uno de sus ángulos es de 90°.
• Obtusángulo: tiene un ángulo mayor a 90°.

Por la longitud de sus lados

• Equilátero: todos sus lados son iguales.
• Isósceles: tiene dos lados iguales, y uno distinto.
• Escaleno: todos sus lados son diferentes entre ellos.

Los triángulos también pueden ser

• Semejantes: son los que tienen la misma forma pero distinta extensión.
• Simétricos: son los que tienen la misma forma pero colocadas en distinto sentido

• 
  Triángulos semejantes
• 
  Triángulos simétricos

Área del triángulo

Área del triángulo

El área del triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura.

La formula se escribe así: $A={\frac {b\times h}{2}}$ (base por altura dividido por dos)

ejercicio

Hallar el área de un triángulo

---

Hallar el área de un triángulo que mide 4 cm de base y 5 cm de altura

Solución:

---

Aplicando la fórmula $A={\frac {b\times h}{2}}$ (base por altura dividido por dos)
$A={\frac {4\times 5}{2}}$

$A={\frac {20}{2}}$

$A=10cm^{2}$

El triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo de 90 grados. Los otros dos ángulos siempre suman 90 grados, pero pueden ser de distinto tamaño. El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa; es el lado más largo del triángulo rectángulo. Los otros dos lados son los catetos del triángulo.

Los lados o ángulos que faltan en un triángulo rectángulo pueden hallarse utilizando el teorema de Pitágoras. En cualquier triángulo todos los ángulos suman 180 grados.

Teorema de Pitágoras

En este caso
Υ²+β²= ᾳ². El cuadrado rojo tiene 16 cuadrados de área, el amarillo 9 y el correspondiente a la hipotenusa 25, que es la suma 16 + 9

El teorema de Pitágoras es una afirmación sobre los lados de un triángulo rectángulo.

Afirmación de la teoría

El teorema de Pitágoras dice que el área de un cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos.

En la imagen de la derecha, el área del cuadrado rojo sumada al área del cuadrado amarillo es igual al área del cuadrado de la hipotenusa. Debe su nombre al matemático griego Pitágoras:

Si las longitudes de los catetos son a y b, y la longitud de la hipotenusa es c, entonces se cumple que $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Aplicación de la teoría

ejercicio

Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo

---

Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden: 3 cm en cateto menor y 4 cm el cateto mayor.

Solución:

---

Aplicando la fórmula: hipotenusa c² = cateto a² + cateto b²
$c^{2}$ = $3^{2}$ + $4^{2}$;
$c^{2}$ = $9+16=25cm^{2}$;

$c$ =${\sqrt {25}}$ = $5cm$

Referencias

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Ejercicios

1 Un triángulo es una forma geométrica (polígono) que posee:

	Tres puntos e infinitas rectas
	Tres lados y tres ángulos
	Tres ángulos rectos

2 Señala cual de las respuestas es verdadera

	Un triángulo tiene tres ángulos obtusos
	Un triángulo tiene tres ángulos curvos
	Un triángulo tiene tres ángulos interiores

3 Señala cuál de las respuestas es verdadera:

	La suma de los lados de un triángulo se conoce como perímetro
	La suma de los lados de un triángulo se conoce como lado
	La suma de los lados de un triángulo se conoce como vértice

4 Señala cuál de las respuestas es verdadera:

	La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 90º
	La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º
	La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 0º

5 Señala cuál de las respuestas es verdadera:

	Se llama altura de un triángulo al segmento de recta perpendicular que une un vértice del triángulo con el lado opuesto de este o su prolongación.
	Se llama altura de un triángulo al segmento de recta paralela que une un vértice del triángulo con el lado opuesto de este o su prolongación.
	Se llama altura de un triángulo al segmento de recta perpendicular que une un lado del triángulo con el lado opuesto de este o su prolongación.

6 Señala cuál de las respuestas es verdadera:

	Un triángulo rectángulo: es el que tiene uno de sus ángulos mayor de 90°.
	Un triángulo rectángulo: es el que tiene uno de sus ángulos de menor de 90°.
	Un triángulo rectángulo: es el que tiene uno de sus ángulos de 90°.

7 Señala cuál de las respuestas es verdadera:

	Un triángulo equilátero es el que tiene todos sus lados desiguales.
	Un triángulo equilátero es el que tiene todos sus lados iguales.
	Un triángulo equilátero es el que tiene dos de sus lados iguales.

8 Señala cuál de las respuestas es verdadera:

	El área del triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura.
	El área del triángulo es igual al doble del producto de su base por su altura.
	El área del triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su vértice.

9 Señala cuál de las respuestas es verdadera:

	El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa
	El lado opuesto al ángulo recto es el cateto
	El lado opuesto al ángulo recto es el paleto

10 Señala cuál de las respuestas es verdadera:

	El teorema de Pitágoras dice que el área de un cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos.
	El teorema de Pitágoras dice que el área de un cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los triángulos de los catetos.
	El teorema de Pitágoras dice que el área de un cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los vértices de los cuadrados de los catetos.

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Capítulo 3. Actividades

• Completa la imagen con los elementos del triángulo $ABC$ de lados $a,b,c$ y de ángulos interiores $\alpha ,\beta ,\gamma .$ (alfa, beta y gamma)
• Aplica la fórmula $p=AB+BC+CA$ para hallar el perímetro del triángulo anterior. Tienes que medir los lados con una regla.
  
  
• Mide la amplitud de los ángulos del triángulo anterior con el transportador. Comprueba que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º.
  
  
• Traza la altura de los triángulos
  

• Clasifica los triángulos según sus lados y según sus ángulos
  

• Dibuja un triángulo simétrico al de la imagen

• Hallar el área de un triángulo que mide 45 cm de base y 67 cm de altura.

• En el siguiente triángulo rectángulo escribe cómo se llaman sus lados

• Hallar la medida de la hipotenusa en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 cm el más corto y 8 cm el más largo.

• Dibuja un triángulo cuyos lados miden 8 cm el más largo y 6 cm y 5 cm los otros lados (consulta el capítulo Construcciones: Regla y compás)

• Sigue la cenefa

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Capítulo 4. Polígonos

Distintos polígonos

Un polígono es una figura plana compuesta por segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano.

Los polígonos se nombran mediante letras mayúsculas situadas en los vértices del mismo.

Un polígono es regular si todos sus lados miden lo mismo, y es irregular si sus lados miden diferente.

El polígono tiene tantos ángulos como lados.

Línea poligonal

Se denomina línea poligonal o línea quebrada al conjunto de segmentos, $s_{1},\dots ,s_{n}$, unidos sucesivamente por sus extremos donde el extremo de cada uno es origen del siguiente, tal que dos segmentos sucesivos no están alineados, en tal caso se considera ambos como un único segmento.

Ejemplo de una línea poligonal de seis segmentos:

Propiedades

• Interior de un polígono es el conjunto de todos los puntos que están en el interior de la región que delimita dicho polígono.
• Exterior de un polígono es el conjunto de los puntos que no están en la línea poligonal (frontera) ni en el interior.

Clasificación de los polígonos

Según el carácter entrante o saliente de los ángulos del polígono

• Polígonos convexos: cuando tienen todos sus ángulos interiores convexos es decir menores de 180º
• Polígonos cóncavos: cuando al menos un ángulo es cóncavo, es decir, un ángulo al menos es mayor de 180º

• 
  Polígono convexo. Todos sus ángulos interiores son convexos, es decir menores de 180º
• 
  Polígono cóncavo. Tiene 4 ángulos interiores (en rojo) cóncavos, o mayores de 180º

Según la regularidad de sus elementos

• Polígonos regulares: son aquellos que tienen sus lados y ángulos iguales.
• Polígonos irregulares: Son aquellos que no tienen todos sus lados y ángulos iguales.

• 
  Polígono regular
• 
  Polígono irregular

Elementos de un polígono

• Lados: son los segmentos que limitan al polígono.
• Vértices: son los puntos en los que se unen los segmentos que limitan al polígono.
• Lados consecutivos: tienen un extremo común.
• Ángulos internos: se forman por los lados consecutivos.
• Ángulos externos: son los formados por un lado y la prolongación de lado adyacente.
• Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos del polígono.

Polígonos según el número de lados

Aquí hay una lista con los nombres de algunos polígonos según el número de lados:

Clasificación de polígonos según el número de lados
Nombre	nº lados	Imagen
triángulo	3
cuadrilátero	4
pentágono	5
hexágono	6
heptágono	7
octágono	8
eneágono	9
decágono	10

Polígonos irregulares

Son polígonos irregulares los que no tienen iguales los lados y los ángulos iguales

Área de los polígonos irregulares

El área de los polígonos irregulares se obtiene dividiendo el polígono en otras figuras cuya área sepamos hallar y sumando después los resultados de obtenidos.

ejercicio

Área de un polígono irregular

---

Obtener el área de un hexágono irregular dividiendo el polígono en tres triángulos y sumando los resultados.

Solución:

---

• Triángulo 1: base = 4 cm, altura = 5 cm

$A={\frac {4\times 5}{2}}$; $A={\frac {20}{2}}$; $A=10\ cm^{2}$

• Triángulo 2: base = 4 cm, altura = 5 cm

$A={\frac {4\times 5}{2}}$; $A={\frac {20}{2}}$; $A=10\ cm^{2}$

• Triángulo 3: base = 6 cm, altura = 3 cm

$A={\frac {6\times 3}{2}}$; $A={\frac {18}{2}}$; $A=9\ cm^{2}$

$A=(10+10+9)$; $A=29\ cm^{2}$

Referencias

.....................................................................................................................................................

Ejercicios

1 Un polígono es una figura plana compuesta por

	segmentos curvos
	segmentos rectos
	segmentos poligonales

2 Un polígono es regular si

	todos sus lados miden regular
	todos sus lados miden distinto
	todos sus lados miden lo mismo

3 Interior de un polígono es el conjunto de todos los puntos

	que están en el interior de la región que delimita dicho polígono.
	que están en el exterior de la región que delimita dicho polígono.
	que están en el posterior de la región que delimita dicho polígono.

4 Polígonos convexos: cuando tienen todos sus ángulos interiores convexos es decir

	mayores de 180º
	menores de 180º
	iguales a 180º

5 Polígonos regulares: son aquellos que tienen sus

	lados y ángulos iguales.
	lados y ángulos desiguales.
	lados y ángulos agudos

6 Señala cuál de las respuestas es verdadera:

	Diagonales son los segmentos que unen dos áreas no consecutivas del polígono.
	Diagonales son los segmentos que unen dos lados no consecutivos del polígono.
	Diagonales son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos del polígono.

7 Señala cuál de las respuestas es verdadera:

	Un pentágono tiene seis lados
	Un pentágono tiene cinco lados
	Un pentágono tiene 2 lados

8 Señala cuál de las respuestas es verdadera:

	Un octógono tiene seis lados
	Un octógono tiene ocho lados
	Un octógono tiene siete lados

9 Señala cuál de las respuestas es verdadera:

	Un decágono tiene diez lados
	Un decágono tiene seis lados
	Un decágono tiene once lados

10 Señala cuál de las respuestas es verdadera:

	Un hexágono tiene seis lados
	Un hexágono tiene siete lados
	Un hexágono tiene ocho lados

Capítulo 4. Actividades

• Traza una línea poligonal formada por los segmentos de las longitudes siguientes: 4 cm, 8 cm, 5 cm, 6 cm, 3 cm y 7 cm.
  
  
• Traza dos polígonos: uno convexo de 7 lados y uno cóncavo de 9 lados. Explica porqué lo es cada uno.
  
  
• Traza un hexaedro regular (puedes consultar el capítulo Capítulo 13. Construcciones: Regla y compás
  
  
• Escribe los elementos del polígono de abajo
  
  

• Obtén el área del pentágono irregular dividiendo el polígono en tres triángulos y sumando los resultados.
  
  

• Dibuja un hexágono simétrico al de la imagen
  
  

................................................................................................................................................

Capítulo 5. Polígonos regulares

Un polígono regular es un polígono cuyos lados y ángulos interiores son iguales entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se denominan triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el adjetivo regular (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc).

Galería de polígonos regulares

Triángulo equilátero (3)	Cuadrado (4)	Pentágono (5)	Hexágono (6)

Heptágono (7)	Octágono (8)	Eneágono (9)	Decágono (10)

Undecágono (11)	Dodecágono (12)	Tridecágono (13)	Tetradecágono (14)

Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.

Elementos de un polígono regular

Elementos de un polígono regular

• Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono. Son todos iguales
• Vértice, V: punto común de cualquiera de los dos lados consecutivos.
• Centro, C: el punto interior equidistante de todos los vértices y de los lados.
• Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, desde el centro del polígono.
• Diagonal, d: segmento que une dos vértices no continuos.
• Perímetro, P: es la suma de la longitud de todos sus lados
• Ángulos interiores, los ángulos formados por dos lados de un polígono que comparten un vértice común, están contenidos dentro del polígono. En un polígono regular todos los ángulos interiores son iguales.

Área de un polígono regular

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

$A={\frac {P\cdot a}{2}}$

Perímetro de un polígono regular

El perímetro de un polígono regular es la suma de la longitud de sus lados.

Perímetro de un polígono regular = Nº de lados x medida del lado

Ejemplo

ejercicio

Área de un polígono regular

---

Obtener el área (aproximada) de un hexágono regular de lado igual a 6 cm y de apotema igual a 5 cm.

Solución:

---

Aplicando la fórmula $A={\frac {P\cdot a}{2}}$ tenemos:

$P={6\cdot 6}=36\ cm$

$A={\frac {36\cdot 5}{2}}$

$A={\frac {180}{2}}$

$A=60\ cm^{2}$

....................................................................................................................................................

Ejercicios

1 polígono regular es un polígono cuyos

	lados y ángulos interiores son distintos entre sí.
	lados y ángulos interiores son iguales entre sí.
	lados y ángulos interiores son parecidos entre sí.

2 El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

	perímetro por apotema
	perímetro por apotema multiplicado entre dos
	perímetro por apotema dividido entre dos

3 El perímetro de un polígono regular es

	la suma de la longitud de sus lados
	la suma de la longitud de sus ángulos
	la suma de la longitud de sus vértices

4 la diagonal de un polígono regular es el segmento que une

	dos vértices continuos
	dos vértices no continuos
	dos vértices seguidos

5 La apotema de un polígono regular es el

	segmento paralelo a un lado, desde el centro del polígono.
	segmento oblicuo a un lado, desde el centro del polígono.
	segmento perpendicular a un lado, desde el centro del polígono.

6 El lado de un polígono regular es

	cada uno de los segmentos que forman el polígono.
	cada uno de los ángulos que forman el polígono.
	cada uno de los puntos que forman el polígono.

7 El polígono regular de tres lados se llama

	triángulo escaleno
	triángulo rectángulo
	triángulo equilátero

8 El polígono regular de cuatro lados se llama

	rectángulo
	cuadrado
	cuadrángulo

9 El polígono regular llamado tetradecágono tiene

	11 lados
	14 lados
	10 lados

.....................................................................................................................................................

Capítulo 5. Actividades

• Completa la tabla

Figura	Nº de lados	Nº de vértices	Nombre

• Señala en la imagen los elementos de un polígono regular

Elementos de un polígono regular

1. Lado, L
2. Vértice, V
3. Centro, C
4. Apotema, a
5. Diagonal, d
6. Radio de la circunferencia circunscrita r

• Hallar el área de un heptágono regular cuyo lado mide 12 cm y su apotema 12, 4 cm

.....................................................................................................................................................

Capítulo 6. Cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono con cuatro aristas (o lados) y cuatro vértices.

Clasificación

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados, sus longitudes y sus ángulos interiores:

• Paralelogramos: sus lados opuestos son paralelos.
  • Cuadrado: todos sus lados son iguales, todos sus ángulos interiores son rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre sí.
  • Rombo: todos sus lados son iguales, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus diagonales son distintas y perpendiculares entre sí.
  • Rectángulo: sus lados opuestos son iguales dos a dos y los paralelos, todos sus ángulos interiores son rectos, sus dos diagonales son iguales pero no son perpendiculares entre sí
  • Romboide: sus lados opuestos son iguales dos a dos, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus dos diagonales son de distinta longitud y no son perpendiculares entre sí.
• Trapecio: Se llama trapecio a un cuadrilátero que tiene dos lados no consecutivos paralelos llamados bases del trapecio, y el segmento perpendicular entre las dos bases es llamada la altura del trapecio
• Trapezoide: Un trapezoide es un cuadrilátero convexo sin lados paralelos.

• Cuadriláteros paralelogramos
• 
  Cuadrado
• 
  Rombo
• 
  Rectángulo
• 
  Romboide

• Cuadriláteros no paralelogramos
• 
  Trapecio
• 
  Trapezoide

Cuadriláteros paralelogramos

Cuadrado

Un cuadrado y sus diagonales

El cuadrado es un polígono regular. Tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos son rectos.

• Las diagonales del cuadrado son perpendiculares entre si e iguales y son bisectrices de los ángulos.
• Área del cuadrado : el área del cuadrado es igual al lado del cuadrado multiplicado por si mismo. La formula del área del cuadrado es:

$l*l$ (lado por lado)

• Perímetro del cuadrado : el perímetro del cuadrado es igual al lado del cuadrado multiplicado por 4 (cuatro). La fórmula del perímetro del cuadrado es:

$l*4$ (lado por 4 cuatro) o

$l+l+l+l$ (lado más lado más lado más lado)

ejercicio

Perímetro y el área de un cuadrado

---

Obtener el perímetro y el área de un cuadrado de 7 cm de lado.

Solución:

---

Perímetro

$P=l\cdot {4}$

$P=7\cdot {4}={28}\ cm$

Área

$A=l\cdot {l}$ (lado por lado)

$A=7\cdot {7}=49\ cm^{2}$

Rectángulo

Rectángulo ABCD. d es una de sus dos diagonales.

un rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. Los lados opuestos tienen la misma longitud. Un rectángulo cuyos cuatro lados tienen la misma longitud es un cuadrado.

• El perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados:

$P=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)\,$

• El área de un rectángulo es igual al producto de dos de sus lados contiguos:

$A=b\cdot a$

ejercicio

Perímetro y el área de un rectángulo

---

Obtener el perímetro y el área de un rectángulo de 7 cm de lado b y 5 cm de lado a.

Solución:

---

Perímetro

$P=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)\,$

$P=2\cdot (5+7)$

$P=2\cdot {12}$; $P=24\ cm$

Área

$A=b\cdot a$

$A=7\cdot {5}=35\ cm^{2}$

Rombo

Diagonal mayor D₁, diagonal menor D₂ . Los lados a iguales y los ángulos distintos pero iguales dos a dos (los opuestos)

El rombo es un paralelogramo cuyos cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos iguales dos a dos

• El área del rombo es igual al semiproducto de sus diagonales (diagonal mayor y diagonal menor):

$A={\cfrac {D_{1}\cdot D_{2}}{2}}$

ejercicio

Perímetro y área de un rombo

---

Obtener el perímetro y el área de un rombo cuyos lados miden 5 cm, la diagonal mayor mide 8 cm y la diagonal menor mide 6 cm.

Solución:

---

Aplicando la fórmula:
Área
$A={\cfrac {D_{1}\cdot D_{2}}{2}}$;
$A={\cfrac {8\cdot 6}{2}}$;
$A={\cfrac {48}{2}}$;
$A=24\ cm^{2}$

Perímetro

$P=5\cdot {4}=20\ cm$

Romboide

Se denomina romboide al cuadrilátero, caso particular de paralelogramo que tiene dos lados alternos iguales y los otros dos lados distintos de los anteriores, pero también iguales entre sí.

Considerando el romboide de lados a y b, y de altura h respecto al lado a, llamado base, se pueden determinar las siguientes medidas:

• El perímetro de un romboide es:

$P=2\,(a+b)$

Que es la suma de las medidas de todos los lados.

• El área se obtiene multiplicando la longitud de un lado, $a$, por la distancia al lado opuesto, $h$:

$S=a\cdot h$

ejercicio

Perímetro y el área de un romboide

---

Obtener el perímetro y el área de un romboide de 6 cm de base, 4 cm el otro lado y 3 cm de altura.

Solución:

---

Aplicando la fórmula:

Perímetro
$P=2\,(a+b)$
$P=2\cdot {10}=20\ cm$
Área
$A=b\cdot h$

$A=6\cdot {3}=18\ cm^{2}$

Cuadriláteros no paralelogramos

Trapecio

Trapecio

Un trapecio es un cuadrilátero que tiene solamente un par de lados paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio.

• El área A de un trapecio de bases a y c y de altura h es igual a la semisuma de las bases por la altura:

$A={\frac {a+c}{2}}\cdot {h}$.

ejercicio

Area de un trapecio

---

Obtener el área de un trapecio cuyas bases miden 6 cm una y 4 cm la otra. La altura mide 3 cm.

Solución:

---

• Aplicando la fórmula:
  

$A={\frac {b+a}{2}}\cdot {h}$

$A={\frac {6+4}{2}}\cdot {3}$

$A={\frac {10}{2}}\cdot {3}$

$A=5\cdot {3}=15\ cm^{2}$

Trapezoide

Trapezoide

• Un trapezoide es un cuadrilátero sin lados paralelos.

• Para hallar el área de un trapezoide se descompone en dos triángulos, se calcula las respectivas áreas y su suma da el área buscada.

ejercicio

Área de un trapezoide

---

Obtener el área de un trapezoide dividiéndolo en dos triángulos y sumando los resultados.

Solución:

---

• Triángulo 1: base = 8 cm, altura = 3 cm

$A={\frac {8\times 3}{2}}$; $A={\frac {24}{2}}$; $A=12\ cm^{2}$

• Triángulo 2: base = 10 cm, altura = 4 cm

$A={\frac {10\times 4}{2}}$; $A={\frac {40}{2}}$; $A=20\ cm^{2}$

$A=(12+20)$; $A=32\ cm^{2}$

Referencias

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Ejercicios

1 Un cuadrilátero es un polígono con

	cuatro aristas (o lados) y cuatro diagonales.
	cuatro aristas (o lados) y cuatro vértices.
	cuatro ángulos (o lados) y cuatro vértices.

2 Los cuadriláteros paralelogramos son

	los que tiene sus lados opuestos oblicuos
	los que tiene sus lados opuestos perpendiculares
	los que tiene sus lados opuestos paralelos

3 El área del cuadrado es igual

	al lado del cuadrado multiplicado por si mismo
	al lado del triángulo multiplicado por si mismo
	al lado del cuadrado dividido por si mismo

4 El perímetro del cuadrado es igual

	al lado del cuadrado multiplicado por 2
	al lado del cuadrado multiplicado por 4
	al lado del cuadrado dividido por 4

5 El rombo es un paralelogramo cuyos cuatro lados son iguales y

	sus tres ángulos iguales
	sus cuatro ángulos iguales
	sus cuatro ángulos iguales dos a dos

6 Un trapecio es un cuadrilátero que tiene solamente

	un par de lados paralelos
	un par de lados perpendiculares
	un par de lados oblicuos

7 Un trapezoide es un cuadrilátero

	sin lados regulares
	con lados paralelos
	sin lados paralelos

8 El perímetro de un rectángulo es igual

	a la suma de todos sus vértices
	a la suma de todos sus lados
	a la suma de todos sus ángulos

.....................................................................................................................................................

Capítulo 6. Actividades

• Escribe los nombres que faltan

• Cuadriláteros ................
• 
• 
• 
• 

• Cuadriláteros .................
• 
• 

• Obtener el perímetro y el área de un cuadrado de 19,5 cm de lado
  
  
• Obtener el perímetro y el área de un rectángulo de 17 cm de lado mayor y 9,5 cm de lado menor.
  
  
• Obtener el perímetro y el área de un rombo cuyos lados miden 14,5 cm, la diagonal mayor mide 25 cm y la diagonal menor mide 16 cm.
  
  
• Obtener el perímetro y el área de un romboide de 16 cm de base, 9 cm el otro lado y 8 cm de altura.
  
  
• Obtener el área de un trapecio cuyas bases miden 18 cm una y 14 cm la otra. La altura mide 23 cm.
  
  
• Obtener el área de un trapezoide dividiéndolo en dos triángulos y sumando los resultados.

.....................................................................................................................................................

Capítulo 7. Circunferencia y círculo

Circunferencia

Circunferencia con centro en el punto M y radio r

La circunferencia es una línea curva plana y cerrada tal que todos sus puntos están a igual distancia del centro.

Hay que distinguirla del círculo, cuyo lugar geométrico queda determinado por una circunferencia, y la región del plano que encierra esta.

Partes

Elementos relevantes de la circunferencia:

• El centro es el punto equidistante a todos los puntos de una circunferencia. Señalado con el nombre $C$ en la figura.
• Un radio es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio también es la longitud de los segmentos del mismo nombre. Señalado con el nombre $r$ en la figura.
• Un diámetro es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por su centro. El diámetro también es la longitud de los segmento del mismo nombre. Señalado con el nombre $d$ en la figura.
• El perímetro es el contorno de la circunferencia y su longitud. Señalado con el nombre $L$ en la figura.

  

• Una cuerda es cualquier segmento que une dos puntos de una circunferencia. El diámetro es una cuerda de máxima longitud. Segmento verde en la figura.
• Un arco es cualquier porción de circunferencia delimitada por dos puntos sobre esta. Línea curva azul en la figura.
• Una semicircunferencia es cualquier arco delimitado por los extremos de un diámetro.

Perímetro

La longitud de una circunferencia en función del radio $r$ o del diámetro $d=2\cdot r$ es:

$\ell =2\pi \cdot r=$ $\pi \cdot d$

donde $\pi =3,14159\dots$ es el número pi.

ejercicio

Longitud de una circunferencia

---

Obtener la longitud de una circunferencia que tiene un radio de 15 cm

Solución:

---

Longitud

$\ell =2\pi \cdot r=$ $\pi \cdot d$;

$\ell =6,28\cdot r$;

$\ell =6,28\cdot 15$;

$\ell =94,20cm$;

Posiciones relativas respecto a la circunferencia

Los puntos

Posiciones de los puntos respecto de la circunferencia:

• Un punto exterior es el que está a una distancia mayor al radio de la circunferencia respecto la posición de su centro. (punto E)
• Un punto interior es el que está a una distancia menor al radio de la circunferencia respecto la posición de su centro. (punto I)

Las rectas

Posiciones de las rectas respecto de la circunferencia:

• Una recta exterior es cualquier recta que no tiene puntos en común con la circunferencia. (recta a)
• Una recta tangente es cualquier recta que toca la circunferencia en un único punto. (recta c)
• Una recta secante es cualquier recta que corta la circunferencia en dos puntos. (recta b)

Se llama punto de tangencia cada uno de los puntos que comparte la circunferencia con los diferentes elementos tangentes, es decir, el punto donde se produce la tangencia. (Puntos A y B).

En todo punto de la circunferencia se pueden hacer tangencias.

Posiciones entre circunferencias

• Una circunferencia es exterior a otra, si todos sus puntos son exteriores a esta otra. Véase la figura 1 y 8.
• Una circunferencia es interior a otra, si todos sus puntos son interiores a esta otra. Véase la figura 5.

• Una circunferencia es tangente exterior a otra, si tienen un único punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. Véase la figura 2.
• Una circunferencia circundante es tangente exterior a otra, si tienen un único punto común. Véase la figura 7. (la circunferencia roja es tangente exterior a la azul)
• Una circunferencia es tangente interior a otra, si tienen un único punto común y todos los demás puntos de una son interiores a la otra. Véase la figura 4 (la circunferencia roja es tangente interior a la azul)
• Una circunferencia es secante a otra, si se cortan en dos puntos distintos. Véase la figura 3.
• Son coincidentes las circunferencias que tienen el mismo centro y el mismo radio, es decir, que todos los puntos de una son los de la otra y viceversa. Véase la figura 6.

Circunferencia inscrita y circunscrita

• Una circunferencia está inscrita en un polígono cuando sea tangente a todos los lados de dicho polígono, se dice que este polígono está circunscrito a la circunferencia.(fg.1)
• Una circunferencia está circunscrita a un polígono cuando todos los vértices de dicho polígono están sobre esta, se dice que este polígono está inscrito en la circunferencia.(fg.2)

• 
  Circunferencia inscrita en un cuadrado (fg.1)
• 
  Circunferencia circunscrita a un polígono (fg.2)

Círculo

Un círculo morado

El círculo es una región del plano delimitada por una circunferencia y, por tanto, tiene asociada un área.

Perímetro

El perímetro de un círculo es el de su circunferencia y en función del radio $r$ o del diámetro $d=2\cdot r$ tiene el valor:

$\ell =2\cdot \pi \cdot r=$ $\pi \cdot d.$

donde $\pi =3,14159\dots$ es el número π, de la circunferencia.

Área

El área de un círculo de radio $r$ o diámetro $d=2\cdot r$, tendrá un valor:

A = $\pi \cdot r^{2}$

ejercicio

Área de un círculo

---

Obtener el área de un círculo que tiene un radio de 15 cm

Solución:

---

Área

A = $\pi \cdot r^{2}$

A = $\pi \cdot 15^{2}$

A = $\pi \cdot 225$

A = $706,5cm^{2}$

Regiones circulares

Elementos relacionados con partes de las regiones del círculo, (figura 1):

• El semicírculo es cualquier parte del círculo delimitada por un diámetro y el arco o semicircunferencia que determina este diámetro sobre su circunferencia.
  (Véase la figura 2).
• El segmento circular es cualquier parte del círculo delimitada por una cuerda y uno de los arcos que determina esta cuerda sobre su circunferencia. (Véase la figura 3).
• El sector circular es cualquier parte del círculo delimitada por dos radios y el arco que determinan estos lados sobre su circunferencia, por tanto, queda unívocamente determinada por un ángulo central. (Véase figura 4).
• La corona circular es la región del plano delimitada entre dos circunferencias concéntricas, exterior a la de radio menor e interior a la de radio mayor. (Véase figura 6).
• El trapecio circular es cualquier parte de la corona circular delimitada por un ángulo central. (Véase figura 5).

Área del sector circular

Para hallar el área de un sector circular se divide el área del círculo por 360 para hallar el área que corresponde a un grado y luego se multiplica por el número de grados del sector circular.

ejercicio

Área de un sector circular

---

Obtener el área de un sector circular de un círculo que tiene un radio de 15 cm

Solución:

---

Área del círculo

A = $\pi \cdot r^{2}$

A = $\pi \cdot 15^{2}$

A = $\pi \cdot 225$

A = $706,5cm^{2}$

Área del sector circular $A={\cfrac {706,5}{360}}\cdot {90}$ $A=1,96\cdot {90}=176,4cm^{2}$

Referencias

.....................................................................................................................................................

Ejercicios

1 La circunferencia es una línea ................... tal que todos sus puntos están a igual distancia del centro.

	curva plana y abierta
	curva plana y cerrada
	recta plana y cerrada

2 Un radio es cualquier segmento que une el .................... con un punto cualquiera de la misma.

	vértice de la circunferencia
	lado de la circunferencia
	centro de la circunferencia

3 Una cuerda es cualquier segmento que une

	dos puntos de una circunferencia.
	tres puntos de una circunferencia.
	dos puntos de un círculo.

4 Una semicircunferencia es cualquier arco delimitado por

	los extremos de un radio
	los extremos de un diámetro
	los extremos de una circunferencia

5 La longitud de una circunferencia en función del radio es:

	$\ell =\pi \cdot r$
	$\ell =2\pi \cdot r^{2}$
	$\ell =2\pi \cdot r$

6 Una recta exterior a una circunferencia es cualquier recta

	que no tiene puntos en común con la circunferencia
	que tiene un punto en común con la circunferencia
	que tiene dos puntos en común con la circunferencia

7 Una recta tangente es cualquier recta que toca la circunferencia

	en tres puntos
	en dos puntos
	en un único punto

8 El círculo es una región del plano delimitada por una circunferencia y tiene asociada

	un vértice
	un área
	un longitud

9 El área de un círculo de radio r , tendrá un valor de

	A = $\pi \cdot r$
	A = $\pi \cdot r^{2}$
	A = $\pi \cdot 2r$

10 El semicírculo es la mitad

	de la circunferencia
	del círculo
	del radio

....................................................................................................................................................

Capítulo 7. Actividades

• Escribe el nombre de los elementos de una circunferencia en la imagen

• El centro: $C$
• Un radio: $r$
• Un diámetro: $d$
• El perímetro: $L$
• Una cuerda: $c$
• Un arco: $a$
• Una semicircunferencia: $s$

• Obtener la longitud de una circunferencia que tiene un radio de 35 cm

• Dibuja con un compás las siguientes circunferencias

• Una circunferencia exterior a otra

• Una circunferencia interior a otra

• Una circunferencia tangente exterior a otra

• Una circunferencia es tangente interior a otra

• Una circunferencia secante a otra, si se cortan en dos puntos distinto

• Dibuja:

• Una circunferencia inscrita en un polígono

• Una circunferencia circunscrita a un polígono

• Obtener el área de un círculo que tiene un radio de 25 cm

• Dibuja con un compás las siguientes figuras

• Un semicírculo

• Un segmento circular

• Un sector circular

• Una corona circular

• Un trapecio circular

• Obtener el área de un sector circular de un círculo que tiene un radio de 35 cm

.....................................................................................................................................................

Capítulo 8. Cuerpos geométricos: Poliedros

Un poliedro formado por caras que son diferentes polígonos

Un poliedro es una forma geométrica. Es un cuerpo con caras planas y bordes rectos. Por lo general, se nombra por el número de caras o aristas.

Elementos de un poliedro

Vértice, arista y cara en un poliedro

Los elementos más importantes de un poliedro son:

• Caras: son los polígonos que forman el poliedro.
• Aristas: son los segmentos donde se cortan las caras. Podemos decir que son los lados de los polígonos que lo forman.
• Vértices: son los puntos donde se cortan las aristas.

Existe una relación entre las caras, vértices y aristas de un poliedro:

Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2

Esta relación se conoce como fórmula de Euler

• Plano de simetría. Un plano de simetría en un poliedro es el plano que lo divide en dos partes iguales y una será la imagen de la otra en un espejo.

• Diferentes planos de simetría en un cubo
• 
• 
• 
• 

Área y volumen

relación entre las unidades de longitud, área y volumen

• El área o superficie de un poliedro es la suma de las áreas de sus lados y bases.
• El volumen es el espacio que ocupa.

Clasificación según el número de caras

Por lo general, los poliedros se nombran por el número de caras que tienen.

Nombre	Número de caras	Figura posible
Tetraedro	4
Pentaedro	5
Hexaedro	6
Heptaedro	7
Octaedro u octoedro	8
Eneaedro o nonaedro	9
Decaedro	10
Endecaedro o undecaedro	11
Dodecaedro	12
..............

Poliedros regulares

Un poliedro regular es un cuerpo geométrico en el que sus caras son todas polígonos regulares iguales, y todos sus ángulos son también iguales. Son poliedros regulares el tetraedro regular, hexaedro regular o cubo, octaedro regular, dodecaedro (doce caras) e icosaedro (veinte caras)

Nombre	Tetraedro	Cubo o hexaedro regular	Octaedro	Dodecaedro	Icosaedro
Imagen
Caras	Triángulos equiláteros	Cuadrados	Triángulos equiláteros	Pentágonos regulares	Triángulos equiláteros

Poliedro irregular porque tiene caras desiguales

Poliedros irregulares

Los poliedros irregulares son aquellos que tienen desigualdades entre sus caras, aristas y/o vértices.

Desarrollo del cubo

Desarrollo de un poliedro

El desarrollo de un poliedro es la figura geométrica que obtenemos al representar las caras del poliedro en un plano

Referencias

.....................................................................................................................................................

Ejercicios

1 Un poliedro es un cuerpo con

	caras curvas y bordes rectos
	caras planas y bordes rectos
	caras planas y bordes curvos

2 Las aristas de un polígono son los

	segmentos donde se cortan sus ángulos
	segmentos donde se cortan sus vértices
	segmentos donde se cortan sus caras

3 Existe una relación entre las caras, vértices y aristas de un poliedro:

	Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2
	Nº de aristas + Nº de vértices = Nº de caras + 2
	Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas - 2

4 Un plano de simetría en un poliedro es

	el segmento que lo divide en dos partes iguales
	el plano que lo divide en dos partes iguales
	el plano que lo divide una parte igual

5 El área o superficie de un poliedro es

	la suma de las áreas de sus ángulos y bases
	la suma de las áreas de sus lados y vértices
	la suma de las áreas de sus lados y bases

6 Un pentaedro es un poliedro de

	cinco caras
	cuatro caras
	una cara

7 Un hexaedro es un poliedro de

	siete caras
	doce caras
	seis caras

8 El decaedro es un poliedro de

	doce caras
	siete caras
	diez caras

9 Un poliedro regular es un cuerpo geométrico en el que sus caras son todas

	polígonos regulares desiguales
	polígonos regulares iguales
	polígonos regulares cuadrados

10 Los poliedros irregulares son aquellos que tienen

	igualdades entre sus puntos
	desigualdades entre sus caras
	desigualdades entre sus puntos

....................................................................................................................................................

Capítulo 8. Actividades

• Nombra los elementos de un poliedro en la imagen de la derecha

• Caras: $c$
• Aristas: $a$
• Vértices: $v$
• Plano de simetría $ps$

• Comprueba que se cumple la relación entre las caras, vértices y aristas de un poliedro en el poliedro de la actividad anterior:

Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2

• Completa la tabla de los poliedros regulares

Nombre
Imagen
Caras

• Recorta, pega y forma un tetraedro con la figura de su desarrollo

.....................................................................................................................................................

Capítulo 9. Poliedros: Tetraedro regular y hexaedro regular o cubo

Tetraedro regular

Un tetraedro regular

Es un poliedro formado por cuatro caras que son triángulos equiláteros, y cuatro vértices en cada uno de los cuales se unen tres caras.

El tetraedro tiene cuatro caras, seis aristas y cuatro vértices. En cada uno de sus vértices concurren tres caras.

Área

El área o superficie de las cuatro caras se llama área total y se halla calculando el área de una cara que es el área de un triángulo y multiplicando por 4.

Área de un tetraedro regular

Área de una cara:	Área total
$A={\frac {(b*h)}{2}}$	$A={\frac {(b*h)}{2}}*4$

ejercicio

Área de un tetraedro

---

Hallar el área de un tetraedro cuyas caras miden 8 cm de base y 7 de altura

Solución:

---

Área

$A={\frac {(b*h)}{2}}*4$
$A={\frac {(8*7)}{2}}*4$
$A={\frac {56}{2}}*4$

$A=28\cdot {4}=112\ cm^{2}$

Volumen

Para calcular el volumen de un tetraedro debemos conocer antes la medida de su altura.

Altura: la línea perpendicular trazada desde un vértice al centro de la base opuesta

El volumen de un tetraedro regular es igual a un tercio de la superficie de su base por la altura del tetraedro.

$A={\frac {1}{3}}A_{b}*h$

Para ello, calculamos la superficie de la base que es un triángulo usando la fórmula siguiente:

$A_{b}={\frac {(b*h)}{2}}$, después, multiplicamos el resultado por la altura del tetraedro $h$ y luego dividimos entre 3 el resultado, y ese el el volumen del tetraedro

ejercicio

Volumen de un tetraedro

---

Hallar el volumen de un tetraedro cuyas caras miden 8 cm de base y 7 de altura y la altura del tetraedro es de 6 cm.

Solución:

---

Volumen

• Primero hallamos el área de la base

$A_{b}={\frac {(b*h)}{2}}$
$A_{b}={\frac {(8*7)}{2}}$
$A_{b}={\frac {56}{2}}=28\ cm^{2}$

• Finalmente multiplicamos el área de la base por la altura del tetraedro y dividimos el resultado por 3
  

$V=28\cdot {h}$;
$V=28\cdot {6}=168$;

$V={\frac {168}{3}}=56\ cm^{3}$

Hexaedro regular o cubo

Un cubo tiene 6 lados de igual longitud y anchura.

Un cubo es un poliedro regular cuyas 6 caras son cuadrados, tiene todos los ángulos rectos y en cada vértice concurren tres aristas.

Un cubo es una de las formas matemáticas más simples en el espacio. Algo que tiene la forma de un cubo a veces se denomina cúbico.

Diferencia entre un cubo y un cuadrado

La diferencia básica entre un cubo y un cuadrado es que un cubo es una figura 3D (que tiene 3 dimensiones), es decir, longitud, anchura y altura, mientras que un cuadrado tiene solo 2 dimensiones, es decir, longitud y anchura.

La forma bidimensional (2D) (como un círculo, un cuadrado, un triángulo, etc.) de la que está hecho un cubo es un cuadrado.

• Los lados (caras) de un cubo son cuadrados. Los bordes (aristas) son líneas rectas. Las esquinas (vértices) están en ángulo recto.

Un cubo tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras, como en el tipo más común de dados.

Área

El área lateral:

$A_{L}=4\cdot A_{c}=4d^{2}$

ejercicio

Area lateral de un hexaedro regular

---

Obtener el área lateral de un hexaedro regular cuya arista mide 10 cm

Solución:

---

• Aplicando la fórmula:
  

$A_{L}=4\cdot A_{c}=4d^{2}$

$A_{L}=4\cdot A_{c}=4\cdot 10^{2}=4\cdot 100=400\ cm^{2}$

El área total A_T (que es 6 veces el área de una de sus caras A_c) puede ser calculada mediante la fórmula:

$A_{T}=6\ d^{2}$

ejercicio

Area total de un hexaedro regular

---

Obtener el área total de un hexaedro regular cuya arista mide 10 cm

Solución:

---

• Aplicando la fórmula:
  

$A_{T}=6\cdot 10^{2}=6\cdot 100=600\ cm^{2}$

Volumen

Volumen

El volumen de un cubo es la longitud de cualquiera de sus aristas (todas tienen la misma longitud, por lo que no importa qué arista se use) elevada al cubo.

Esto significa que hay que multiplicar el número por sí mismo, y luego de nuevo por sí mismo.

Si el borde o arista se denomina $d$ (ver imagen), la ecuación sería esta:

$V=d*d*d$

o también $V=d^{3}$.

Referencias

.....................................................................................................................................................

Ejercicios

1 Un tetraedro regular es un poliedro formado

	por cuatro caras que son triángulos isósceles
	por cuatro caras que son triángulos equiláteros
	por cuatro caras que son triángulos rectángulos

2 El tetraedro tiene

	cuatro caras, seis aristas y seis vértices.
	cuatro caras, cuatro aristas y cuatro vértices.
	cuatro caras, seis aristas y cuatro vértices.

3 El área área total de un tetraedro se halla

	calculando el área de una cara que es el área de un triángulo y multiplicando por 4
	calculando el área de una cara que es el área de un cuadrado y multiplicando por 4
	calculando el área de una cara que es el área de un triángulo y multiplicando por 8

4 La altura de un tetraedro es la línea perpendicular trazada desde

	un lado al centro de la base opuesta
	un vértice al centro de la base opuesta
	un vértice al lado de la base opuesta

5 El volumen de un tetraedro regular es igual

	a un medio de la superficie de su base por la altura
	a un tercio de la superficie de su lado por la altura
	a un tercio de la superficie de su base por la altura

6 Un cubo es un poliedro regular cuyas

	6 caras son cuadrados
	4 caras son cuadrados
	6 caras son triángulos

7 El volumen de un cubo es

	la longitud de cualquiera de sus bases elevada al cubo.
	la longitud de cualquiera de sus caras elevada al cubo.
	la longitud de cualquiera de sus aristas elevada al cubo.

.....................................................................................................................................................

Capítulo 9. Actividades

• Hallar el área de un tetraedro cuyas caras miden 28 cm de base y 17 de altura

• Hallar el volumen de un tetraedro cuyas caras miden 28 cm de base y 17 de altura y la altura del tetraedro es de 16 cm

• Obtener el área lateral de un hexaedro regular cuya arista mide 10 cm

• Obtener el área total de un hexaedro regular cuya arista mide 75 cm

• Obtener el volumen de un hexaedro regular cuya arista mide 50 cm

• Obtener la figura de un hexaedro regular con la imagen de su desarrollo

.....................................................................................................................................................

Capítulo 10. Poliedros: Prismas

Un prisma es un poliedro irregular que consta de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que son paralelogramos.

Los prismas se nombran por la forma de su base, por lo que un prisma de base pentagonal se llama prisma pentagonal.

Prismas

Forma de la base	Triángulo	Cuadrilátero	Pentágono	Hexágono	Heptágono	Octógono	.........
Imagen							............
Nombre	Prisma triangular	Prisma cuadrangular	Prisma pentagonal	Prisma hexágonal	Prisma heptagonal	Prisma octogonal	..........

Prisma regular (sus bases son pentágonos regulares)

Prisma regular

Un prisma regular es aquel cuyas bases son un polígono regular.

Prisma oblicuo y prisma recto

Prisma recto (A) y prisma oblicuo (B)

Un prisma oblicuo es un prisma en el que las aristas y caras de unión son no perpendiculares a las caras de la base.

Un prisma recto es un prisma en el que las aristas y caras de unión son perpendiculares a las caras de la base. Esto se aplica si y sólo si todas las caras de unión son rectangulares.

Elementos de un prisma

Desarrollo de un prisma pentagonal. El prisma pentagonal recto está compuesto por 5 caras laterales rectangulares y 2 caras pentagonales (bases).

Cada prisma consta de los siguientes elementos:

• Bases: son las dos caras iguales y paralelas del prisma, una en la que se apoya y la otra su opuesta.
• Caras laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las bases. La suma de sus áreas es la superficie lateral del prisma.
• Aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales.
• Vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas.
• Altura: es la distancia entre las bases.
• Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos del prisma. Se pueden trazar las diagonales de una cara o entre dos caras.

Superficie

El área de un prisma recto es:

$A=2A_{b}+P_{b}h$

donde $A_{b}$ es el área de la base, $h$ la altura, y$P_{b}$ el perímetro de la base.

ejercicio

Area total de un prisma hexagonal regular

---

Obtener el área total de un prisma hexagonal regular cuya altura mide 10 cm, 8 de lado de la base y 7 de apotema del exágono de la base

Solución:

---

• Aplicando la fórmula:
  

$A=2A_{b}+P_{b}h,$

Hallamos primero el área de la base

$A_{b}={\frac {P\cdot a}{2}}$

$A_{b}={\frac {48\cdot 7}{2}}$

$A_{b}={\frac {336}{2}}=168cm^{2}$

Sustituimos en la fórmula cada término por su valor

$A=2\cdot 168+48\cdot 10$

$A=336+480=816cm^{2}$

Volumen

El volumen de un prisma es el producto del área de la base por la distancia o altura entre las dos bases. Su valor se expresa como:

$V=A_{b}\cdot h$

ejercicio

Volume de un prisma hexagonal regular

---

Obtener el volumen de un prisma hexagonal regular cuya altura mide 10 cm, 8 de lado de la base y 7 de apotema del hexágono de la base

Solución:

---

• Aplicando la fórmula:
  

$V=A_{b}\cdot h$

El área de la base ya la tenemos del ejemplo anterior: $168cm^{2}$

$V=168\cdot 10=1.680cm^{3}$

Referencias

.....................................................................................................................................................

Ejercicios

1 Un prisma es un poliedro irregular que consta de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que son

	triángulos
	paralelogramos
	vértices

2 Los prismas se nombran por la forma de su

	cara
	línea
	base

3 Un prisma de base pentagonal se llama

	prisma pentagonal
	prisma básico
	cuadrado pentagonal

4 Un prisma regular es aquel cuyas bases son

	un polígono irregular
	un polígono regular
	un polígono básico

5 Un prisma recto es un prisma en el que las aristas y las caras ..................... a la base

	son paralelas
	son oblicuas
	son perpendiculares

6 La altura de un prisma es la distancia

	entre las bases.
	entre las caras.
	entre los lados.

7 La superficie lateral del prisma es

	la suma de las áreas de sus aristas
	la suma de las áreas de sus vértices
	la suma de las áreas de sus caras

8 La fórmula del volumen de un prisma es

	$V=A_{b}\cdot r$
	$V=A_{b}\cdot d$
	$V=A_{b}\cdot h$

....................................................................................................................................................

Capítulo 10. Actividades

• Rellena la tabla de los prismas

Prismas

Forma de la base							.........
Imagen							............
Nombre							..........

• Señala los elementos de un prisma

• Bases: $b$
• Caras laterales: $c$
• Aristas: $a$
• Vértices: $v$
• Altura: $h$
• Una diagonal: $d$

• Obtener el área total de un hexaedro regular cuya altura mide 40 cm, 32 de lado de la base y 28 de apotema del hexágono de la base

• Obtener un prisma hexagonal regular recortando su desarrollo

.....................................................................................................................................................

Capítulo 11. Poliedros: Pirámides

Pirámide

Una pirámide es un poliedro irregular que tiene por lados triángulos que se unen en un punto en la parte superior, llamado "vértice". El otro lado es la base, que tiene forma de polígono de cualquier número de lados.

Las pirámides se nombran según el polígono de sus bases

Pirámides
Triangular	Cuadrada	Pentagonal	Hexagonal	Heptagonal	Octogonal	Eneagonal	Decagonal...

Elementos

Pirámide y sus elementos

De acuerdo con las denominaciones de la imagen del artículo:

• [B] Base: es el polígono que forma la pirámide y sobre la que se asienta.
• [C] Centro de la base: centro del polígono que forma la base.
• [v_i] Vértices de la base: los vértices del polígono que forma la base.
• [A] Vértice de la pirámide: también denominado ápice o cúspide, es el punto donde se encuentran los triángulos que forman los lados.
• [h] Altura: es el segmento perpendicular a la base trazado desde el vértice de la pirámide. También lo es su medida.
• [P] Apotema de la pirámide: es un segmento tendido perpendicularmente desde el vértice de la pirámide a un lado de la base. En una pirámide regular podemos decir que la apotema es la altura de cualquier triángulo de los que forman la pirámide.
• Arista lateral: es el segmento que une cada vértice de la base con el ápice de la pirámide.
• Cara lateral: cada uno de los triángulos que forman la pirámide.

Tipos de pirámides

Según la posición de la cúspide sobre la base

• Una pirámide recta es un tipo de pirámide en el que la altura coincide con el centro de la base.
• Una pirámide oblicua es una pirámide que no es recta, es decir la altura no coincide con el centro de la base

• 
  Pirámide recta (la altura coincide con el centro)
• 
  Pirámide oblicua (la altura no coincide con el centro)

Según la forma de sus caras

• Una pirámide regular es una pirámide recta y que tiene por base un polígono regular.
• Una pirámide irregular es la tiene por base un polígono irregular.

• 
  Pirámide regular (es recta y la base es un cuadrado)
• 
  Pirámide irregular (no es recta y la base es un romboide)

Área y volumen de una pirámide regular

El área lateral de una pirámide es la medida de la superficie de los triángulos que forman sus caras.

Para hallar el área lateral de una pirámide se multiplica el perímetro del polígono de la base por la mitad de la altura de los triángulos de sus caras.

Área lateral: Pb x h/2 Área total: Al + Ab Volumen: Ab x h/3

Donde P_b es el perímetro de la base, h es la altura de los triángulos, A_l es el área lateral y A_b es el área de la base.

ejercicio

Área y el volumen de una pirámide

---

Hallar el área y el volumen de una pirámide cuadrangular cuyas caras miden 10 cm de lado de la base y 13 cm de altura y la altura de la pirámide mide 12 cm

Solución:

---

Área lateral

$A_{l}={\frac {P_{b}\cdot h_{c}}{2}}$
$A_{l}={\frac {40\cdot 13}{2}}$
$A_{l}={\frac {520}{2}}$

$A_{l}=260\ cm^{2}$

Área total

$A_{t}=A_{l}+A_{b}$
$A_{t}=260+A_{b}$
$A_{t}=260+l^{2}$
$A_{t}=260+100$

$A_{t}=360\ cm^{2}$

Volumen

$V={\frac {A_{b}\cdot h_{p}}{3}}$
$V={\frac {100\cdot 12}{3}}$
$V={\frac {1200}{3}}=400\ cm^{3}$

$V=400\ cm^{3}$

Referencias

.....................................................................................................................................................

Ejercicios

1 Una pirámide es un poliedro irregular que tiene por lados

	puntas
	triángulos
	paralelogramos

2 Las pirámides se nombran según el ............... de su base

	arista
	vértice
	polígono

3 La base de una pirámide es el ...........que forma la pirámide y sobre la que se asienta

	polígono
	vértice
	cuadrado

4 Una pirámide recta es un tipo de pirámide en el que la altura coincide con

	el lado de la base.
	el centro de la base.
	el punto de la base.

5 Una pirámide regular es una pirámide recta y que tiene por base un

	polígono irregular
	polígono abierto
	polígono regular

6 El área lateral de una pirámide es la medida de la superficie de los ............... que forman sus caras

	triángulos
	lados
	ángulos

.....................................................................................................................................................

Capítulo 11. Actividades

• Completa la tabla

Pirámides
Tri...

• Señala los elementos de una pirámide

• [B] Base
• [C] Centro de la base
• [vi] Vértices de la base
• [A] Vértice de la pirámide
• [h] Altura
• [P] Apotema de la pirámide
• [a] Arista lateral
• [cl] Cara lateral

• Hallar el área y el volumen de una pirámide cuadrangular cuyas caras miden 100 cm de lado de la base y 130 cm de altura y la altura de la pirámide mide 120 cm

• Dibuja la estrella simétrica

.................................................................................................................................................

Capítulo 12. Cuerpos geométricos: Cilindro, cono y esfera

Cuerpos redondos

Los cuerpos redondos son los que están limitados por alguna cara curva. Los cuerpos redondos son tres: el cilindro, el cono y la esfera.

El cilindro

Cuerpo geométrico sólido cuyos extremos o bases son circulares y tiene una cara curva.

Características del cilindro

• Es un cuerpo de revolución ya que se origina al hacer girar una figura plana (rectángulo) alrededor de un eje.
• Tiene volumen y área superficial.
• Tiene 3 caras, 2 son planas y la otra es curva.
• Tiene 2 aristas y no tiene ningún vértice.

Elementos de un cilindro

Altura h y radio r

• La altura es la perpendicular desde el centro de la base superior al centro de la base inferior (h).
• El radio del cilindro es el radio del círculo de la base.
• Las aristas son las circunferencias que se forman en la unión de los círculos de las bases y la cara plana.
• Las bases son los círculos que cierran el cilindro por arriba y por abajo.
• El perímetro es la longitud de una base

El área

La superficie de un cilindro de radio $r$ es la suma del área de las bases y del área de la superficie lateral. Si las bases son circulares, su área es:

$A_{b}=2\pi r^{2}$

El área lateral está formada por un rectángulo de altura $h$ y de base el perímetro del círculo $L=2\pi r$, por lo que su área es

$A_{l}=2\pi rh$

Por lo tanto, el área total de la superficie cilíndrica es: $A=A_{b}+A_{l}$

$A=2\pi r(r+h)$

El volumen

El volumen de un cilindro es el producto del área de la base $A_{b}$ por la altura del cilindro $h$

El volumen de un cilindro es:

$V=\pi r^{2}h$

siendo la altura del cilindro la distancia entre las bases.

ejercicio

Área y volumen de un cilindro

---

Hallar el área y el volumen de un cilindro cuyo radio de la base mide 5 cm y la altura es de 10 cm

Solución:

---

Área lateral

$A_{l}=2\pi \ r\ h$

$A_{l}=2\pi \ ({5}\cdot {10})$

$A_{l}=6,28\cdot {50}$

$A_{l}=314\ cm^{2}$

Área total

$A_{t}=A_{b}+A_{l}$

$A_{t}=2\pi \ r\ (r+h)$

$A_{t}=6,28\cdot {5}\ (5+10)$

$A_{t}=6,28\cdot {5}\cdot 15$

$A_{t}=471\ cm^{2}$

Volumen

$V=\pi r^{2}h$

$V={3,14}\cdot {5^{2}}\cdot 10$

$V={3,14}\cdot {25}\cdot 10$

$V=785\ cm^{3}$

El cono

Un cono es un cuerpo limitado por una superficie cónica que termina, por una parte, en su vértice, y por otra en una base plana y circular que se llama base

Elementos

Altura (h), radio (r) y generatriz (s) del cono

• Perímetro de la base del cono. Se trata de una curva plana, la circunferencia que forma el contorno del círculo de la base.
• Vértice: es el punto donde termina la superficie cónica , opuesto a la base.
• Base: es el círculo sobre el que se apoya el cono que es también la parte opuesta al vértice.
• Superficie cónica: es la superficie curva que forma el cono.
• Altura: es la perpendicular desde el vértice al centro del círculo de la base.
• Generatriz: es la línea que genera la superficie cónica. Es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la altura (cateto), el radio (cateto) y la propia hipotenusa.

Área de la superficie cónica

El área $A\,$ de la superficie del cono recto es:

$A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^{2}+\pi ra\,\!$

donde r es el radio de la base y a la longitud de la generatriz del cono recto.

La generatriz de un cono recto es la hipotenusa del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;

su longitud es: $a={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\,$.

Volumen de un cono

El volumen $V\,$ de un cono de radio $r\,$ y altura $h\,$ es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:

$V={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}}\,\!$

ejercicio

Área y volumen de un cono

---

Hallar el área y el volumen de un cono cuyo radio de la base mide 5 cm y la generatriz mide 13 cm y la altura 12 cm

Solución:

---

Área

$A=\pi \ r^{2}+\pi ra\,\!$

$A=3,14\cdot {5^{2}}+3,14\cdot {5}\cdot {13}\,\!$

$A=3,14\cdot 25+3,14\cdot 65\,\!$

$A=78,5+204,1\,\!$

$A=282,6\ cm^{2}\,$

Volumen

$V={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}}\,\!$

$V={\frac {3,14\cdot {5^{2}}\cdot 12}{3}}\,\!$

$V={\frac {3,14\cdot {25}\cdot 12}{3}}\,\!$

$V=314\ cm^{3}\,$

La esfera

Una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie esférica

• El radio de la esfera es tanto el segmento que une un punto con el centro como la longitud del segmento.

Volumen

El volumen, $V\,$, de una esfera es

$V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$

Área

El área es 4 veces $\pi \,$ por su radio al cuadrado.

$\ A=4\pi r^{2}$

ejercicio

Área y volumen de una esfera

---

Hallar el área y el volumen de una esfera con cuyo radio mide 5 cm

Solución:

---

Área

$\ A=4\pi r^{2}$

$\ A=4\cdot {3,14}\cdot 5^{2}$

$\ A=4\cdot {3,14}\cdot 25$

$\ A=314\ cm^{2}\,$

Volumen

$V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$

$V={\frac {4\cdot {3,14}\cdot 5^{3}}{3}}$

$V={\frac {12,56\cdot 125}{3}}$

$V={\frac {1.570}{3}}$

$V=523\ cm^{3}$

Referencias

.....................................................................................................................................................

Ejercicios

1 Los cuerpos redondos son los que están limitados por alguna cara

	larga
	curva
	recta

2 Los cuerpos redondos son tres:

	el cilindro, el cono y la pirámide
	el cilindro, el prisma y la esfera
	el cilindro, el cono y la esfera

3 El cilindro es un cuerpo geométrico sólido cuyos extremos o bases

	son circulares y tiene una cara curva
	son cuadradas y tiene una cara curva
	son circulares y tiene una cara triangular

4 Un cono es un cuerpo limitado por una superficie cónica que termina, por una parte, en su vértice, y por otra en una base plana y circular que se llama

	área
	base
	volumen

5 Una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una

	superficie alta
	superficie cuadrada
	superficie esférica

6 El radio de la esfera es el segmento que une un punto

	con el centro de la esfera
	con el diámetro de la esfera
	con el vértice de la esfera

.....................................................................................................................................................

Capítulo 12. Actividades

• Hallar el área y el volumen de un cilindro cuyo radio de la base mide 35 cm y la altura es de 70 cm

• Hallar el área y el volumen de un cono cuyo radio de la base mide 50 cm y la generatriz mide 130 cm y la altura 120 cm

• Hallar el área y el volumen de una esfera con cuyo radio mide 35 cm

• Sigue la cenefa

.....................................................................................................................................................

Capítulo 13. Construcciones: Regla y compás

En esta sección aprenderemos a construir líneas y figuras con regla y compás.

Esta es una imagen de un compás y una regla.

Cómo dibujar una línea

Usando una regla podemos dibujar un segmento de recta

Utilizaremos la notación${\overline {AB}}$ para el segmento de recta que empieza en A y acaba en B. Obsérvese que no nos importa la dirección del segmento y, por tanto, ${\overline {AB}}$ es lo mismo que ${\overline {BA}}$.

Segmento de línea ${\overline {AB}}$

Segmento de línea ${\overline {BA}}$

Cómo dibujar un círculo

• Usando el compás

Usamos la notación $\circ A,{\overline {AB}}$ para la circunferencia cuyo centro es el punto A y su longitud de radio es igual a la del segmento ${\overline {AB}}$.

La notación centro-radio se eligió por su idoneidad para construir círculos con regla y compás.

Cómo trazar líneas paralelas a otra

• Utilizamos la regla y la escuadra.
• Situamos la regla de forma vertical al papel y situamos al lado de ella la escuadra (fig.1)
• Trazamos una recta siguiendo la escuadra y sin mover la regla (recta a)
• Desplazamos la escuadra hacia abajo y vamos trazando las líneas que queramos (figs. 2, 3 y 4)

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  fig. 1
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  fig. 2
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  fig. 3
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  fig. 4

Cómo trazar líneas perpendiculares a otra

• Utilizamos la regla y la escuadra.
• Situamos la regla de forma horizontal al papel y trazamos la línea $m$ (fig.1)
• Situamos al lado de ella la escuadra (fig.1)
• Trazamos una recta siguiendo la escuadra y sin mover la regla (recta a)
• Desplazamos la escuadra hacia la derecha y vamos trazando las líneas que queramos (figs. 2 y 3 )

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  fig. 1
• 
  fig. 2
• 
  fig. 3

Cómo trazar una línea perpendicular a otra utilizando el compás

1. Trazamos un recta horizontal y en ella marcamos dos puntos $A$ y $B$ distantes lo que queramos. Serán los centros de las circunferencias que trazaremos´.
2. Con centro en $A$ y con una abertura del compás mayor que la mitad del segmento marcado en la recta se traza una circunferencia que vaya de arriba a abajo del segmento (en color azul en la imagen).
3. Con centro en $B$ se traza otra circunferencia como anteriormente.
4. Estas circunferencias determinan al cortarse los puntos $M$ y $N$
5. Unimos con una recta estos puntos y ya tenemos la mediatriz del segmento perpendicular a la recta.

• 
  Tramos un segmento y el arco de circunferencia
• 
  Estos arcos determinan al cortarse los puntos de la mediatriz
• 
  Unimos con una recta estos puntos

Cómo dibujar la bisectriz de un ángulo

Dibujar la bisectriz de un ángulo

1. Trazamos el ángulo que queramos
2. Con el compás hacemos centro en el vértice y trazamos una circunferencia que pase aproximadamente por el centro de los lados del ángulo (en azul en la imagen 2)
3. Hacemos centro con el compás en la intersección de la circunferencia azul con uno de los lados y trazamos un arco que corte a la circunferencia azul (arco rojo, fig. 3).
4. Hacemos lo mismo desde la otra intersección del otro lado (el otro arco rojo) y vemos que los arcos rojos se cortan en dos puntos que serán por donde pase la bisectriz

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  Trazamos un ángulo
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  Trazamos la circunferencia
• 
  Trazamos el arco rojo
• 
  Trazamos el otro arco rojo
• 
  Unimos los puntos de corte

Cómo trazar un ángulo recto o una perpendicular en el extremo de un segmento

Trazar un ángulo recto o una perpendicular en el extremo de un segmento

1. Trazamos la recta $h$ con un punto $A$ en un extremo
2. Señalamos un punto $M$ fuera de la recta.
3. Con una abertura de compás igual a la distancia desde el punto al extremos $A$ del segmento trazamos una circunferencia que pase por $A$ ( punto $P$ )
4. La circunferencia cortará a la recta en un punto $B$
5. Se une el punto $M$ con $B$ y se prolonga la recta hasta que corte a la circunferencia en otro punto $P'$.
6. Uniendo este punto $P'$ con el extremo del segmento $A$ tendremos la perpendicular y el ángulo recto.

Construcción de un triángulo conociendo la medida de sus tres lados

1. Trazamos los lados que formarán el triángulo: $a$, $b$ y $c$
2. Trazamos el lado más largo $a$ debajo, como base.
3. Con una abertura de compás igual a la distancia desde un extremo de $b$ a su otro extremo y haciendo centro en un extremo de $a$ (punto verde) trazamos una circunferencia (roja en el ejemplo).
4. Con una abertura de compás igual a la distancia desde un extremo de $c$ al otro extremo y haciendo centro en el otro extremo de $a$ (punto verde) trazamos otra circunferencia (roja en el ejemplo).
5. El punto de cruce de las dos circunferencias será el vértice que faltaba. Con la regla llevaremos los segmentos $b$ y $c$ desde $a$ hasta el punto de cruce y ya está trazado el triángulo.

• 
  Trazamos los lados y la circunferencia (fg.1)
• 
  Trazamos la otra circunferencia (fg.2)
• 
  Unimos con el vértice (fg.3)

Construcción de un hexágono regular

1. Trazamos una línea horizontal y un punto en ella aproximadamente en su centro (fig 1)
2. Haciendo centro en el punto elegido trazamos con el compás una circunferencia tomando como radio la longitud a un extremo de la línea. (fig 1)
3. Haciendo centro en el punto donde se cortan la línea y la circunferencia trazamos una semicircunferencia con radio igual al de la circunferencia primera (semicircunferencia verde) (fig. 1)
4. Hacemos lo mismo pero desde el otro punto de la línea en el cruce con la circunferencia (la otra semicircunferencia verde)
5. Ya tenemos los seis vértices del hexágono. Los unimos con segmentos y ya tenemos el hexágono regular (fig.2, 3 y 4)

• 
  Trazamos la línea, el punto y las circunferencias (fg.1)
• 
  Unimos los vértices (fg.2)
• 
  Unimos los vértices (fg.3)
• 
  El hexágono regular (fg.)

Construcción de un triángulo equilátero

Introducción

Triángulo equilátero

En este capítulo te enseñaremos a dibujar un triángulo equilátero. ¿Qué significa "equilátero"? Significa simplemente que los tres lados del triángulo tienen la misma longitud.

Cualquier triángulo cuyos vértices (puntos) sean A, B y C se escribe así: $\triangle ABC$.

Y si es equilátero, se parecerá al de la imagen.

La construcción

1. Usando tu regla, dibuja un segmento de cualquier longitud que quieras que tengan los lados de tu triángulo.
   Llama un extremo del segmento de línea A y el otro extremo B.
   Ahora tienes un segmento de línea llamado ${\overline {AB}}$.
   Debería parecerse al dibujo siguiente.
   
2. Usando tu compás, dibuja el círculo $\circ A,$ cuyo centro es A y el radio es ${\overline {AB}}$.
   
3. Nuevamente usando tu compás dibuja el círculo $\circ B,{\overline {AB}}$, cuyo el centro es B y el radio es ${\overline {AB}}$.
   
4. ¿Puedes ver cómo los círculos se cruzan (se cruzan entre sí) en dos puntos?
   Los puntos se muestran en rojo en la imagen de abajo.
   
5. Elegimos uno de estos puntos y lo llamamos C.
   Elegimos el punto superior, pero usted puede elegir el punto inferior si lo desea. Si eliges el punto inferior, tu triángulo parecerá al revés, pero seguirá siendo un triángulo equilátero.
   
6. Dibuja un segmento entre A y C y obtener el segmento de línea ${\overline {AC}}$.
   
7. Dibuja un segmento entre B y C y obtener el segmento de línea ${\overline {BC}}$.
   
8. Se completa la construcción de $\triangle ABC$.

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Capítulo 13. Actividades

• Trazar líneas 4 paralelas a otra con regla y escuadra.

• Trazar 4 líneas perpendiculares a otra con regla y escuadra

• Trazar una línea perpendicular a otra utilizando la regla y el compás

• Dibujar la bisectriz de un ángulo con regla y compás

• Trazar un ángulo recto o una perpendicular en el extremo de un segmento con regla y compás

• Construir un triángulo conociendo la medida de sus tres lados

• Construir un hexágono regular con regla y compás

• Construir un triángulo equilátero con regla y compás

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