Wikichicos/Geometría/Capítulo 7. Circunferencia y círculo

Circunferencia

Circunferencia con centro en el punto M y radio r

La circunferencia es una línea curva plana y cerrada tal que todos sus puntos están a igual distancia del centro.

Hay que distinguirla del círculo, cuyo lugar geométrico queda determinado por una circunferencia, y la región del plano que encierra esta.

Partes

Elementos relevantes de la circunferencia:

• El centro es el punto equidistante a todos los puntos de una circunferencia. Señalado con el nombre $C$ en la figura.
• Un radio es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio también es la longitud de los segmentos del mismo nombre. Señalado con el nombre $r$ en la figura.
• Un diámetro es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por su centro. El diámetro también es la longitud de los segmento del mismo nombre. Señalado con el nombre $d$ en la figura.
• El perímetro es el contorno de la circunferencia y su longitud. Señalado con el nombre $L$ en la figura.

  

• Una cuerda es cualquier segmento que une dos puntos de una circunferencia. El diámetro es una cuerda de máxima longitud. Segmento verde en la figura.
• Un arco es cualquier porción de circunferencia delimitada por dos puntos sobre esta. Línea curva azul en la figura.
• Una semicircunferencia es cualquier arco delimitado por los extremos de un diámetro.

Perímetro

La longitud de una circunferencia en función del radio $r$ o del diámetro $d=2\cdot r$ es:

$\ell =2\pi \cdot r=$ $\pi \cdot d$

donde $\pi =3,14159\dots$ es el número pi.

ejercicio

Longitud de una circunferencia

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Obtener la longitud de una circunferencia que tiene un radio de 15 cm

Solución:

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Longitud

$\ell =2\pi \cdot r=$ $\pi \cdot d$;

$\ell =6,28\cdot r$;

$\ell =6,28\cdot 15$;

$\ell =94,20cm$;

Posiciones relativas respecto a la circunferencia

Los puntos

Posiciones de los puntos respecto de la circunferencia:

• Un punto exterior es el que está a una distancia mayor al radio de la circunferencia respecto la posición de su centro. (punto E)
• Un punto interior es el que está a una distancia menor al radio de la circunferencia respecto la posición de su centro. (punto I)

Las rectas

Posiciones de las rectas respecto de la circunferencia:

• Una recta exterior es cualquier recta que no tiene puntos en común con la circunferencia. (recta a)
• Una recta tangente es cualquier recta que toca la circunferencia en un único punto. (recta c)
• Una recta secante es cualquier recta que corta la circunferencia en dos puntos. (recta b)

Se llama punto de tangencia cada uno de los puntos que comparte la circunferencia con los diferentes elementos tangentes, es decir, el punto donde se produce la tangencia. (Puntos A y B).

En todo punto de la circunferencia se pueden hacer tangencias.

Posiciones entre circunferencias

• Una circunferencia es exterior a otra, si todos sus puntos son exteriores a esta otra. Véase la figura 1 y 8.
• Una circunferencia es interior a otra, si todos sus puntos son interiores a esta otra. Véase la figura 5.

• Una circunferencia es tangente exterior a otra, si tienen un único punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. Véase la figura 2.
• Una circunferencia circundante es tangente exterior a otra, si tienen un único punto común. Véase la figura 7. (la circunferencia roja es tangente exterior a la azul)
• Una circunferencia es tangente interior a otra, si tienen un único punto común y todos los demás puntos de una son interiores a la otra. Véase la figura 4 (la circunferencia roja es tangente interior a la azul)
• Una circunferencia es secante a otra, si se cortan en dos puntos distintos. Véase la figura 3.
• Son coincidentes las circunferencias que tienen el mismo centro y el mismo radio, es decir, que todos los puntos de una son los de la otra y viceversa. Véase la figura 6.

Circunferencia inscrita y circunscrita

• Una circunferencia está inscrita en un polígono cuando sea tangente a todos los lados de dicho polígono, se dice que este polígono está circunscrito a la circunferencia.(fg.1)
• Una circunferencia está circunscrita a un polígono cuando todos los vértices de dicho polígono están sobre esta, se dice que este polígono está inscrito en la circunferencia.(fg.2)

• 
  Circunferencia inscrita en un cuadrado (fg.1)
• 
  Circunferencia circunscrita a un polígono (fg.2)

Círculo

Un círculo morado

El círculo es una región del plano delimitada por una circunferencia y, por tanto, tiene asociada un área.

Perímetro

El perímetro de un círculo es el de su circunferencia y en función del radio $r$ o del diámetro $d=2\cdot r$ tiene el valor:

$\ell =2\cdot \pi \cdot r=$ $\pi \cdot d.$

donde $\pi =3,14159\dots$ es el número π, de la circunferencia.

Área

El área de un círculo de radio $r$ o diámetro $d=2\cdot r$, tendrá un valor:

A = $\pi \cdot r^{2}$

ejercicio

Área de un círculo

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Obtener el área de un círculo que tiene un radio de 15 cm

Solución:

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Área

A = $\pi \cdot r^{2}$

A = $\pi \cdot 15^{2}$

A = $\pi \cdot 225$

A = $706,5cm^{2}$

Regiones circulares

Elementos relacionados con partes de las regiones del círculo, (figura 1):

• El semicírculo es cualquier parte del círculo delimitada por un diámetro y el arco o semicircunferencia que determina este diámetro sobre su circunferencia.
  (Véase la figura 2).
• El segmento circular es cualquier parte del círculo delimitada por una cuerda y uno de los arcos que determina esta cuerda sobre su circunferencia. (Véase la figura 3).
• El sector circular es cualquier parte del círculo delimitada por dos radios y el arco que determinan estos lados sobre su circunferencia, por tanto, queda unívocamente determinada por un ángulo central. (Véase figura 4).
• La corona circular es la región del plano delimitada entre dos circunferencias concéntricas, exterior a la de radio menor e interior a la de radio mayor. (Véase figura 6).
• El trapecio circular es cualquier parte de la corona circular delimitada por un ángulo central. (Véase figura 5).

Área del sector circular

Para hallar el área de un sector circular se divide el área del círculo por 360 para hallar el área que corresponde a un grado y luego se multiplica por el número de grados del sector circular.

ejercicio

Área de un sector circular

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Obtener el área de un sector circular de un círculo que tiene un radio de 15 cm

Solución:

---

Área del círculo

A = $\pi \cdot r^{2}$

A = $\pi \cdot 15^{2}$

A = $\pi \cdot 225$

A = $706,5cm^{2}$

Área del sector circular $A={\cfrac {706,5}{360}}\cdot {90}$ $A=1,96\cdot {90}=176,4cm^{2}$

Referencias

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Ejercicios

1 La circunferencia es una línea ................... tal que todos sus puntos están a igual distancia del centro.

	curva plana y abierta
	curva plana y cerrada
	recta plana y cerrada

2 Un radio es cualquier segmento que une el .................... con un punto cualquiera de la misma.

	vértice de la circunferencia
	lado de la circunferencia
	centro de la circunferencia

3 Una cuerda es cualquier segmento que une

	dos puntos de una circunferencia.
	tres puntos de una circunferencia.
	dos puntos de un círculo.

4 Una semicircunferencia es cualquier arco delimitado por

	los extremos de un radio
	los extremos de un diámetro
	los extremos de una circunferencia

5 La longitud de una circunferencia en función del radio es:

	$\ell =\pi \cdot r$
	$\ell =2\pi \cdot r^{2}$
	$\ell =2\pi \cdot r$

6 Una recta exterior a una circunferencia es cualquier recta

	que no tiene puntos en común con la circunferencia
	que tiene un punto en común con la circunferencia
	que tiene dos puntos en común con la circunferencia

7 Una recta tangente es cualquier recta que toca la circunferencia

	en tres puntos
	en dos puntos
	en un único punto

8 El círculo es una región del plano delimitada por una circunferencia y tiene asociada

	un vértice
	un área
	un longitud

9 El área de un círculo de radio r , tendrá un valor de

	A = $\pi \cdot r$
	A = $\pi \cdot r^{2}$
	A = $\pi \cdot 2r$

10 El semicírculo es la mitad

	de la circunferencia
	del círculo
	del radio

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