Wikichicos/Geometría/Capítulo 12. Cuerpos geométricos: Cilindro, cono y esfera

Cuerpos redondos

Los cuerpos redondos son los que están limitados por alguna cara curva. Los cuerpos redondos son tres: el cilindro, el cono y la esfera.

El cilindro

Cuerpo geométrico sólido cuyos extremos o bases son circulares y tiene una cara curva.

Características del cilindro

• Es un cuerpo de revolución ya que se origina al hacer girar una figura plana (rectángulo) alrededor de un eje.
• Tiene volumen y área superficial.
• Tiene 3 caras, 2 son planas y la otra es curva.
• Tiene 2 aristas y no tiene ningún vértice.

Elementos de un cilindro

Altura h y radio r

• La altura es la perpendicular desde el centro de la base superior al centro de la base inferior (h).
• El radio del cilindro es el radio del círculo de la base.
• Las aristas son las circunferencias que se forman en la unión de los círculos de las bases y la cara plana.
• Las bases son los círculos que cierran el cilindro por arriba y por abajo.
• El perímetro es la longitud de una base

El área

La superficie de un cilindro de radio $r$ es la suma del área de las bases y del área de la superficie lateral. Si las bases son circulares, su área es:

$A_{b}=2\pi r^{2}$

El área lateral está formada por un rectángulo de altura $h$ y de base el perímetro del círculo $L=2\pi r$, por lo que su área es

$A_{l}=2\pi rh$

Por lo tanto, el área total de la superficie cilíndrica es: $A=A_{b}+A_{l}$

$A=2\pi r(r+h)$

El volumen

El volumen de un cilindro es el producto del área de la base $A_{b}$ por la altura del cilindro $h$

El volumen de un cilindro es:

$V=\pi r^{2}h$

siendo la altura del cilindro la distancia entre las bases.

ejercicio

Área y volumen de un cilindro

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Hallar el área y el volumen de un cilindro cuyo radio de la base mide 5 cm y la altura es de 10 cm

Solución:

---

Área lateral

$A_{l}=2\pi \ r\ h$

$A_{l}=2\pi \ ({5}\cdot {10})$

$A_{l}=6,28\cdot {50}$

$A_{l}=314\ cm^{2}$

Área total

$A_{t}=A_{b}+A_{l}$

$A_{t}=2\pi \ r\ (r+h)$

$A_{t}=6,28\cdot {5}\ (5+10)$

$A_{t}=6,28\cdot {5}\cdot 15$

$A_{t}=471\ cm^{2}$

Volumen

$V=\pi r^{2}h$

$V={3,14}\cdot {5^{2}}\cdot 10$

$V={3,14}\cdot {25}\cdot 10$

$V=785\ cm^{3}$

El cono

Un cono es un cuerpo limitado por una superficie cónica que termina, por una parte, en su vértice, y por otra en una base plana y circular que se llama base

Elementos

Altura (h), radio (r) y generatriz (s) del cono

• Perímetro de la base del cono. Se trata de una curva plana, la circunferencia que forma el contorno del círculo de la base.
• Vértice: es el punto donde termina la superficie cónica , opuesto a la base.
• Base: es el círculo sobre el que se apoya el cono que es también la parte opuesta al vértice.
• Superficie cónica: es la superficie curva que forma el cono.
• Altura: es la perpendicular desde el vértice al centro del círculo de la base.
• Generatriz: es la línea que genera la superficie cónica. Es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la altura (cateto), el radio (cateto) y la propia hipotenusa.

Área de la superficie cónica

El área $A\,$ de la superficie del cono recto es:

$A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^{2}+\pi ra\,\!$

donde r es el radio de la base y a la longitud de la generatriz del cono recto.

La generatriz de un cono recto es la hipotenusa del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;

su longitud es: $a={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\,$.

Volumen de un cono

El volumen $V\,$ de un cono de radio $r\,$ y altura $h\,$ es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:

$V={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}}\,\!$

ejercicio

Área y volumen de un cono

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Hallar el área y el volumen de un cono cuyo radio de la base mide 5 cm y la generatriz mide 13 cm y la altura 12 cm

Solución:

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Área

$A=\pi \ r^{2}+\pi ra\,\!$

$A=3,14\cdot {5^{2}}+3,14\cdot {5}\cdot {13}\,\!$

$A=3,14\cdot 25+3,14\cdot 65\,\!$

$A=78,5+204,1\,\!$

$A=282,6\ cm^{2}\,$

Volumen

$V={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}}\,\!$

$V={\frac {3,14\cdot {5^{2}}\cdot 12}{3}}\,\!$

$V={\frac {3,14\cdot {25}\cdot 12}{3}}\,\!$

$V=314\ cm^{3}\,$

La esfera

Una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie esférica

• El radio de la esfera es tanto el segmento que une un punto con el centro como la longitud del segmento.

Volumen

El volumen, $V\,$, de una esfera es

$V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$

Área

El área es 4 veces $\pi \,$ por su radio al cuadrado.

$\ A=4\pi r^{2}$

ejercicio

Área y volumen de una esfera

---

Hallar el área y el volumen de una esfera con cuyo radio mide 5 cm

Solución:

---

Área

$\ A=4\pi r^{2}$

$\ A=4\cdot {3,14}\cdot 5^{2}$

$\ A=4\cdot {3,14}\cdot 25$

$\ A=314\ cm^{2}\,$

Volumen

$V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$

$V={\frac {4\cdot {3,14}\cdot 5^{3}}{3}}$

$V={\frac {12,56\cdot 125}{3}}$

$V={\frac {1.570}{3}}$

$V=523\ cm^{3}$

Referencias

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Ejercicios

1 Los cuerpos redondos son los que están limitados por alguna cara

	larga
	curva
	recta

2 Los cuerpos redondos son tres:

	el cilindro, el cono y la pirámide
	el cilindro, el prisma y la esfera
	el cilindro, el cono y la esfera

3 El cilindro es un cuerpo geométrico sólido cuyos extremos o bases

	son circulares y tiene una cara curva
	son cuadradas y tiene una cara curva
	son circulares y tiene una cara triangular

4 Un cono es un cuerpo limitado por una superficie cónica que termina, por una parte, en su vértice, y por otra en una base plana y circular que se llama

	área
	base
	volumen

5 Una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una

	superficie alta
	superficie cuadrada
	superficie esférica

6 El radio de la esfera es el segmento que une un punto

	con el centro de la esfera
	con el diámetro de la esfera
	con el vértice de la esfera

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