Wikichicos/Geometría/Capítulo 9. Poliedros: Tetraedro regular y hexaedro regular o cubo

Tetraedro regular

Un tetraedro regular

Es un poliedro formado por cuatro caras que son triángulos equiláteros, y cuatro vértices en cada uno de los cuales se unen tres caras.

El tetraedro tiene cuatro caras, seis aristas y cuatro vértices. En cada uno de sus vértices concurren tres caras.

Área

El área o superficie de las cuatro caras se llama área total y se halla calculando el área de una cara que es el área de un triángulo y multiplicando por 4.

Área de un tetraedro regular

Área de una cara:	Área total
$A={\frac {(b*h)}{2}}$	$A={\frac {(b*h)}{2}}*4$

ejercicio

Área de un tetraedro

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Hallar el área de un tetraedro cuyas caras miden 8 cm de base y 7 de altura

Solución:

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Área

$A={\frac {(b*h)}{2}}*4$
$A={\frac {(8*7)}{2}}*4$
$A={\frac {56}{2}}*4$

$A=28\cdot {4}=112\ cm^{2}$

Volumen

Para calcular el volumen de un tetraedro debemos conocer antes la medida de su altura.

Altura: la línea perpendicular trazada desde un vértice al centro de la base opuesta

El volumen de un tetraedro regular es igual a un tercio de la superficie de su base por la altura del tetraedro.

$A={\frac {1}{3}}A_{b}*h$

Para ello, calculamos la superficie de la base que es un triángulo usando la fórmula siguiente:

$A_{b}={\frac {(b*h)}{2}}$, después, multiplicamos el resultado por la altura del tetraedro $h$ y luego dividimos entre 3 el resultado, y ese el el volumen del tetraedro

ejercicio

Volumen de un tetraedro

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Hallar el volumen de un tetraedro cuyas caras miden 8 cm de base y 7 de altura y la altura del tetraedro es de 6 cm.

Solución:

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Volumen

• Primero hallamos el área de la base

$A_{b}={\frac {(b*h)}{2}}$
$A_{b}={\frac {(8*7)}{2}}$
$A_{b}={\frac {56}{2}}=28\ cm^{2}$

• Finalmente multiplicamos el área de la base por la altura del tetraedro y dividimos el resultado por 3
  

$V=28\cdot {h}$;
$V=28\cdot {6}=168$;

$V={\frac {168}{3}}=56\ cm^{3}$

Hexaedro regular o cubo

Un cubo tiene 6 lados de igual longitud y anchura.

Un cubo es un poliedro regular cuyas 6 caras son cuadrados, tiene todos los ángulos rectos y en cada vértice concurren tres aristas.

Un cubo es una de las formas matemáticas más simples en el espacio. Algo que tiene la forma de un cubo a veces se denomina cúbico.

Diferencia entre un cubo y un cuadrado

La diferencia básica entre un cubo y un cuadrado es que un cubo es una figura 3D (que tiene 3 dimensiones), es decir, longitud, anchura y altura, mientras que un cuadrado tiene solo 2 dimensiones, es decir, longitud y anchura.

La forma bidimensional (2D) (como un círculo, un cuadrado, un triángulo, etc.) de la que está hecho un cubo es un cuadrado.

• Los lados (caras) de un cubo son cuadrados. Los bordes (aristas) son líneas rectas. Las esquinas (vértices) están en ángulo recto.

Un cubo tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras, como en el tipo más común de dados.

Área

El área lateral:

$A_{L}=4\cdot A_{c}=4d^{2}$

ejercicio

Area lateral de un hexaedro regular

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Obtener el área lateral de un hexaedro regular cuya arista mide 10 cm

Solución:

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• Aplicando la fórmula:
  

$A_{L}=4\cdot A_{c}=4d^{2}$

$A_{L}=4\cdot A_{c}=4\cdot 10^{2}=4\cdot 100=400\ cm^{2}$

El área total A_T (que es 6 veces el área de una de sus caras A_c) puede ser calculada mediante la fórmula:

$A_{T}=6\ d^{2}$

ejercicio

Area total de un hexaedro regular

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Obtener el área total de un hexaedro regular cuya arista mide 10 cm

Solución:

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• Aplicando la fórmula:
  

$A_{T}=6\cdot 10^{2}=6\cdot 100=600\ cm^{2}$

Volumen

Volumen

El volumen de un cubo es la longitud de cualquiera de sus aristas (todas tienen la misma longitud, por lo que no importa qué arista se use) elevada al cubo.

Esto significa que hay que multiplicar el número por sí mismo, y luego de nuevo por sí mismo.

Si el borde o arista se denomina $d$ (ver imagen), la ecuación sería esta:

$V=d*d*d$

o también $V=d^{3}$.

Referencias

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Ejercicios

1 Un tetraedro regular es un poliedro formado

	por cuatro caras que son triángulos isósceles
	por cuatro caras que son triángulos equiláteros
	por cuatro caras que son triángulos rectángulos

2 El tetraedro tiene

	cuatro caras, seis aristas y seis vértices.
	cuatro caras, cuatro aristas y cuatro vértices.
	cuatro caras, seis aristas y cuatro vértices.

3 El área área total de un tetraedro se halla

	calculando el área de una cara que es el área de un triángulo y multiplicando por 4
	calculando el área de una cara que es el área de un cuadrado y multiplicando por 4
	calculando el área de una cara que es el área de un triángulo y multiplicando por 8

4 La altura de un tetraedro es la línea perpendicular trazada desde

	un lado al centro de la base opuesta
	un vértice al centro de la base opuesta
	un vértice al lado de la base opuesta

5 El volumen de un tetraedro regular es igual

	a un medio de la superficie de su base por la altura
	a un tercio de la superficie de su lado por la altura
	a un tercio de la superficie de su base por la altura

6 Un cubo es un poliedro regular cuyas

	6 caras son cuadrados
	4 caras son cuadrados
	6 caras son triángulos

7 El volumen de un cubo es

	la longitud de cualquiera de sus bases elevada al cubo.
	la longitud de cualquiera de sus caras elevada al cubo.
	la longitud de cualquiera de sus aristas elevada al cubo.

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