Seguramente ya se ha visto como resolver ecuaciones de segundo grado en cursos anteriores la motivación ahora es recordarlo y ampliarlo si es posible.
La forma general de las ecuaciones de segundo grado es:
con
Siendo a, b y c números reales
Y obtenemos la solución mediante:
Al radicando se le llama discriminante y se le nota . En función del signo del discriminante se tiene el número de soluciones reales de la ecuación, a saber:
Si hay dos soluciones reales.
Si hay una solución reala.
Si no hay solución real, pero si dos soluciones complejas.
Si la ecuación es incompleta, esto es si b=0 o c=0 no es necesario aplicar la fórmula anterior:
Hay veces que nos encontraremos con ecuaciones que tienen la x dentro de raices cuadradas para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.
Al elevar al cuadrado y buscar la solución aparecen soluciones debidas al proceso (de elevar al cuadrado para eliminar las raíces) estas soluciones son erroneas y hay que rechazarlas. Hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial siempre para detectar las soluciones erroneas.
La motivación de este apartado es la misma que la que se podría encontrar para la factorización de números; factorizar un número cualquiera es muy útil para calcular el mcm y el MCD además de para simplificar fracciónes o sacar factores de un radical. Factorizar polinomios nos servirá para simplificar fracciones algebraicas, hacer el mcm y el MCD de los polinomios, que también los tiene, y si alguno va a la universidad le serán muy útiles (por ejemplo para hacer transformadas). El concepto fundamental para factorizar polinomios es el de polinomio irreducible, esto es en el cuerpo de los números reales, un polinomio sin raíces reales. Se puede comprobar (con ayuda del cálculo diferencial, por ejemplo) que cualquier polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real, por tanto los polinomios irreducibles han de ser de grado par. Aplicando razonamientos sencillos con números complejos se puede deducir, además, que cualquier polinomio de grado par se puede expresar como producto de polinomios de grado dos. Por tanto, los polinomios irreducibles son los de primer grado y los de segundo grado cuyo discriminante es negativo. Tenemos así determinados los equivalentes a los números primos en el caso de los enteros, en el conjunto de los polinomios con coeficientes reales de variable real.
Podemos ver que:
es el polinomio factorizado. Un polinomio está factorizado cuando está expresado como productos de polinomios de menor grado posible es decir de la forma es decir como producto de polinomios de primer grado, y de como máximo de segundo grado cuando no existen soluciones en los reales.
Imaginemos que queremos factorizar un polinomio de la forma
Para hacerlo no tenemos la ayuda de una fórmula general como en el caso de los polinomios de 2º grado, para hacerlo no queda más remedio que ir encontrando las raíces una a una:
Si un polinomio tiene raíces enteras estas tienen que ser divisores del término independiente.
Si es una raiz del polinomio entonces se divide por obtenemos que es un grado menor y repetimos hasta llegar al grado menor posible (que siempre es 1 o máximo 2).
Para hacerlo más cómodo se emplea la regla de Ruffini.yii
Imaginemos que hacemos la división de un polinomio por y nos da un resto que llamaremos , bien pues si hiciesemos en el polinomio es decir el resultado sería es decir Eoo
Este resultado se puede extender a polinomios de grado cualquiera.
Demostración
Localización de las raíces enteras de un polinomio
Tenemos un polinomio con raíces entera y queremos encontrarlas, para hacerlo tenemos que ir probando de dividirlo por , pero ¿qué valor puede tomar ? pues tiene que ser un divisor del termino independiente.
Intuitivamente podemos ver que tenemos que conseguir el opuesto del termino idependiente para hacerlo no queda mas remedio que multiplicar algo por a, por eso es necesario que a sea un divisor del termino independiente, ya que el termino independiente tiene que ser multiplo de .
Procedimiento para la factorización de un polinomio
Para factorizar un polinomio aplicaremos Ruffini sucesivamente hasta que nos quede un polinomio de segundo grado, cuando estemos en este punto aplicaremos la fórmula y obtendremos las dos últimas raíces o si es negativo sabremos que no lo podemos descomponer más
Ejemplo
Tenemos el polinomio siguiente y queremos descomponerlo
Primero sacamos y factores comunes:
Ahora aplicamos Ruffini, los divisores de son Empezaremos probando con el
El resto es cero, fantástico, eso quiere decir que hemos encontrado una de las raíces.
Seguimos aplicando Ruffini, probamos con 1
El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:
El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:
Fantastico, ya hemos encontrado otra raíz con lo cual el polinomio quedará de la siguiente forma:
Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula para resolver polinomios de 2º grado:
Vemos que con lo cual podemos descomponer el polinomio y que sus raíces son 5 y -7. Entonces:
Ya hemos descompuesto el polinomio. Ya que todos los factores son de primer grado
Resolución de ecuaciones por factorización de polinomios
Cuando un polinomio esta factorizado podemos encontrar las raíces facilmente, es decir podemos resolver ecuaciones de grado n.
Ejemplos
Queremos resolver la ecuación afortunadamente este es el mismo polinomio que en el apartado anterior con lo cual ya sabemos las soluciones, que son
Ahora queremos resolver
Sacamos factor común , aplicamos después Ruffini y encontramos las raíces 2 y -3 finalmente nos queda la ecuación no tiene solución, por eso no podemos descomponer más. Las soluciones del polinomio son: Como podemos ver aunque el polinomio es de grado 7 y debería tener 7 soluciones, dos de ellas no están porque hay una ecuación de segundo grado que no podemos descomponer.
Aunque durante los dos últimos apartados se ha presentado los polinomios como fácilmente factorizables, no es así. Como norma general la raíz de un polinomio es un número no entero, 0,3242 por ejemplo, para encontrar estas raíces tiene que hacerse lo siguiente:
Las soluciones racionales de una ecuación polinómica con coeficientes enteros se encuentran entre los números donde p es uno de los divisores del término independiente y q uno de los divisores del coeficiente director.
Ejemplos
Hallar las raíces de .
Los divisores del termino independiente serán, en este caso, 1, -1, 2, -2, 4, -4 y del coeficiente director 1, -1. Por tanto las posibles raíces son 1, -1, 2, -2, 4, -4 que introduciendolos en el polinomio nos dara que la solución es 2.
Hallar las raíces de .
Ahora tenemos como divisores del término independiente 1, -1 y del coeficiente director 1, -1, 2, -2. De lo que tenemos como posibles soluciones 1/2, -1/2, 1, -1 e introduciendolas en el polinomio comprobamos que las soluciones son -1/2 y -1.
El número de soluciones que faltan para correponderse con el grado de estas ecuaciones corresponde a soluciones de números complejos.
Aun con esto muchas veces tampoco podremos encontrar las soluciones de un polinomio como ya que se trata de soluciones irracionales a las que solo nos podemos aproximar, o soluciones de números complejos
Para hacerlo primero debemos reducir a común denominador, para hacerlo multiplicamos el denominador y el numerador de una por el denominador de la otra, esto es:
Suma resta multiplicación y división de fracciones algebraicas
Las ecuaciones exponenciales son las que tienen la incógnita en el exponente. Para sacarlo de allí hay que expresar lado y lado del igual con una potencia de la misma base y si esto no se puede hacer entonces se recurre a los logaritmos, aun así hay algunas en las que deberemos usar el ingenio y otras (aunque aquí no veremos ninguna) no se pueden resolver analíticamente.
Ejemplos
Si factorizamos nos damos cuenta de que es y que por lo tanto
La cosa queda como sigue:
Ponemos el segundo miembro como potencia de es decir:
Al no poder escribir 3 como potencia de 5 debemos coger logaritmos
Son las que tienen la x dentro de un logaritmo. Para resolverlas uno debe coger las propiedades de los logaritmos y utilizarlas para resolver la ecuación, muchas veces (aunque no veremos ninguna) no se pueden resolver analiticamente. Hay que comprobar la ecuación inicial
Ejemplos
Nota curiosa: Fijemonos que si la ecuación inicial hubiese sido las dos soluciones serían correctas.
Se supone que el alumno ya está familiarizado con los sistemas de ecuaciones, por eso simplemente repasaremos los procedimientos y unos cuantos conceptos.
Para que un conjunto de valores sea solución de una ecuación ese conjunto de valores debe cumplirla, por ejemplo para: una solución podria ser pero también
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones en las que siguiendo unos pasos podemos encontrar una solución común
Un sistema de ecuaciones con más incognitas que ecuaciones suele tener infinitas soluciones
El método de Gauss consiste en convertir un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas en un sistema con una 1ª ecuación de tres incógnitas, una 2ª ecuación de dos incógnitas y, por último una 3ª ecuación de solo una incógnita. Por lo que se reduce sustancialmte la dificultad del problema.
Ejemplo
En un primer paso, la primera ecuación se deja siempre igual, mientras que en las otras ecuaciones eliminamos el término de la x usando el método de la reducción con la primera ecuación.
Ahora no cambiaremos ni la 1ª ecuación ni la 2ª ecuación y anularemos el término y de la 3ª ecuación usando la reducción con la 2ª ecuación.
Ahora la resolución del sistema se convierte en una trivialidad. De la 3ª ecuación obtenemos z=2, que introducimos en la 2ª ecuación para hallar y=5, y por último introducimos z e y en la 1ª ecuación para hallar x=-1.
