Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Sucesos aleatorios

Experiencias aleatorias. Sucesos

Una experiencia aleatoria o experimento aleatorio es todo fenóneno cuyo resultado no es predecible.Por ejemplo, no es posible saber el resultado del lanzamiento de una moneda antes de lanzarla, por tanto lanzar una moneda es un experimento aleatorio. Se llama Suceso a todo resultado posible de una experiencia aleatoria o experimento aleatorio. Por ejemplo, que una moneda caiga mostrando una cara es un resultado posible del experimento lanzar una moneda, por tanto "salir cara" es un suceso de la experiencia aleatoria "Lanzar una moneda"
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se denomina Espacio muestral. Por ejemplo el espacio muestral de la experiencia aleatoria "Lanzar una moneda" estará compuesto por los sucesos "salir cara" y "salir cruz"
Entre los sucesos posibles de una experiencia aleatoria se pueden distinguir varios tipos:
- Sucesos elementales: Son aquellos sucesos que solo pueden ocurrir con un resultado del espacio muestral. Por ejemplo en la experiencia aleatoria lanzar un dado, el suceso "sacar 1" solo se puede obtener si se obtiene el resultado 1, es por tanto un suceso elemental. En cambio el suceso "sacar un número par" no es un suceso elemental por que se puede obtener si sale 2, 4 o 6.
- Sucesos compatibles: Son aquellos sucesos que se pueden dar a la vez. Por ejemplo en la experiencia aleatoria lanzar un dado, los sucesos "salir par" y "salir primo" se satisfacen a la vez si se obtiene el resultado 2.
- Sucesos incompatibles: Son aquellos sucesos que no pueden ocurrir a la vez. Ejemplo, en la experiencia aleatoria lanzar un dado, no pueden ocurrir a la vez los sucesos "salir par" y "salir impar". Todos los sucesos elementales son incompatibles entre si.
- Suceso contrario: El suceso contrario a un suceso A es aquel que sucede si no ocurre A. Por ejemplo el suceso contrario a que salga cara en el lanzamiento de una moneda es que salga cruz, El suceso contrario a que salga par en el lanzamiento de un dado es que salga impar, El suceso contrario a que salga Oro en la extracción de una carta en una baraja es que No salga Oros.
- Suceso seguro: Es aquel suceso que ocurre sea cual sea el resultado de la experiencia. Por ejemplo en al lanzar un dado será suceso seguro "obtener un número menor o igual a 6"
Para sistematizar todas estas ideas se puede utilizar el álgebra de conjuntos.
El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos posibles de una experiencia aleatoria. Llamemoslo $\Omega$
Un suceso seria cualquier subconjunto que se pudiera formar con los elementos del espacio muestral. A
Un suceso elemental sería aquel subconjunto del espacio muestal que solo contuviera un único elemento del espacio muestral.
Dos sucesos serian compatibles si su intersección tuviera al menos un elemento
A es compatible con B si $A\cap B\neq \varnothing$
Dos sucesos serian incompatibles si su intersección fuera el conjunto vacío, es decir no contuviera ningun elemento.
El suceso contrario a un suceso A es aquel suceso B, subconjunto del espacio muestral cuyos elementos son todos aquellos que no pertenecen al subconjunto A.
El suceso seguro seria el propio espacio muestral, que es un subconjunto de si mismo.
Analicemos con estas ideas un ejemplo sencillo, la experiencia aleatoria lanzar un dado. Espacio muestral: $\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$
Sucesos elementales: Los elementos individuales del espacio muestral: Obtener 1, Obtener 2,...,Obtener 6
Suceso: Cualquier subconjunto que podamos formar con los elementos del espacio muestral, tengan sentido como grupo o no.
$A\left(par\right)=\left\{2,4,6\right\}$
$B\left(impar\right)=\left\{1,3,5\right\}$
A y B son ejemplos de sucesos incompatibles, no contienen ningún elemento en común,la teoría de conjuntos diria que tienen la intersección vacía.

--Kuhn2012 (discusión) 12:21 11 ene 2013 (UTC)

Frecuencia y probabilidad

El estudio de las experiencias aleatorias comienza con un estudio estadístico. Se repite la experiencia aleatoria un gran número de veces y se analizan los resultados. Tomemos como ejemplo el estudio de la experiencia aleatoria lanzar un dado. Si lo lanzamos un número grande de veces, N, cada resultado posible se obtendrá un número de veces, f_i con i variando de 1 a 6. Al número de veces que se obtiene un resultado después de N repeticiones de una experiencia aleatoria se denomina Frecuencia
Es evidente que la suma de todas las frecuencias debe ser igual al número de veces que se ha realizado la experiencia aleatoria N
Si las distintas frecuencias se dividen por el número total de veces que se ha realizado la experiencia aleatoria fr_i=f_i/N se obtiene lo que se denomina frecuencia relativa.
También resulta evidente que la suma de todas las frecuencia relativa debe ser 1.
Si repetimos un número virtualmente infinito de veces la experiencia aleatoria, las frecuencia relativas tienden a estabilizarse en un valor determinado.
Se denomina Probabilidad de un suceso al valor al que tiende su frecuencia relativa cuando el número de veces(N) que se realiza la experiencia aleatoria tienda a infinito.

Ley de Laplace

La probabilidad de que ocurra un suceso en una experiencia aleatoria es la relación entre el número de casos favorables a tal suceso que contiene el espacio muestral y el número de casos totales que contiene el espacio muestral.
P=número de casos favorables/Número de casos posibles
Un ejemplo simple: La probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda sería 1/2 (un caso favorable/2 casos posibles)
En esta ley se hace la suposición implícita de que todos los sucesos elementales del espacio muestral de la experiencia aleatoria son igualmente probables, lo cual no siempre es cierto, pero como aproximación a la realidad es bastante aceptable.
Para realizar un estudio más exacto de una experiencia aleatoria sin la suposición de que todos sus resultados son igualmente probables seria necesario realizar un estudio estadístico y hacer una estimación de las probabilidades de los sucesos elementales del espacio muestral de dicha experiencia aleatoria. En la mayoría de los casos los resultados obtenidos discrepan de la ley de Laplace en una cantidad insignificante.

Probabilidad condicionada. Sucesos independientes

Dos sucesos se denominan independientes, cuando la probabilidad de que ocurra uno de ellas no afecta a la probabilidad de que ocurra el otro. Ejemplo, el lanzamiento de dos dados, el resultado que se haya obtenido en un dado no afecta al resultado que se obtiene en el otro dado.
Dos sucesos son dependientes cuando la probabilidad de que ocurra uno de ellos depende de que el otro haya ocurrido anteriormente o no.
Analicemos un ejemplo clásico, la experiencia aleatoria extraer dos cartas de una baraja. Para fijar ideas, la baraja es de española de 40 cartas.
Si la primera carta que se extrae se vuelve a poner en la baraja para que este disponible en la segunda extracción, se dice que la experiencia es una extracción con reposición
Si la primera carta que se extrae no se vuelve a poner en la baraja, no estará disponible en la segunda extracción, se dice entonces que la experiencia es una extracción sin reposición
En el caso de que la extracción sea con reposición, la probabilidad de que salga una carta concreta en la segunda extracción es: 1/40, independientemente de la carta que haya salido en la primera extracción. En el caso de que la extracción sea sin reposición, la probabilidad de que salga una carta concreta en la segunda extracción es: 1/39, a menos que ya haya salido la carta en la primera extracción, en cuyo caso la probabilidad es cero (la carta ya no está en la baraja)
Se denomina Probabilidad de un suceso A condicionada a otro suceso B P(A/B) a la probabilidad que tiene un suceso A de ocurrir cuando anteriormente ha ocurrido el suceso B.
En el experimento de la extracción de dos cartas de una baraja española de 40 cartas. Supongamos que sacamos una carta y resulta ser el As de Oros y nos planteamos la pregunta de cual será la probabilidad de obtener otra vez oros.
A= Obtener oros.
B= Obtener el As de oros.
Si la experiencia se realiza sin reposición: La probabilidad de obtener Oros habiendo obtenido el As de oros es: P(A/B)=9/39, la razón es que el As de oros es un resultado posible del suceso obtener oros y ya no está disponible y además hay una carta menos en la baraja.
En este caso se dice que los sucesos A y B son dependientes.
Si la experiencia se realiza con reposición:
La probabilidad de obtener Oros habiendo obtenido el As de oros es: P(A/B)=10/40, la razón es que el As de oros está disponible en la segunda extracción y vuelven a ser cuarenta cartas en la baraja. Se observa que el resultado es independiente de que se haya obtenido anteriormente el As de oros.(La probabilidad de obtener oros en una extracción es según la ley de Laplace 10/40)
En este caso se dice que se los sucesos A y B son independientes.
Vemos que un par de sucesos son independientes cuando: P(A/B)=P(A)
Si dos sucesos son dependientes, ¿Cuál sería la fórmula para calcular la probabilidad de modo general?: P(A/B)
Sabemos, que ha sucedido B, por tanto los casos favorables estarán dentro del conjunto intersección de $A\bigcap B$ , serán aquellas posibilidades comunes a A y B. Los casos totales estarán dentro del suceso B, el que sabemos que ha ocurrido previamente, es decir que $P(A/B)=P(A\bigcap B)/P(B)$

Tablas de contingencia

Las tablas de contingencia son un método útil de determinar probabilidades. Consisten en tablas de doble entrada en cuyas celdas se localizan posibilidades de determinados sucesos. La utilidad radica en que se pueden determinar muchas probabilidades de sucesos relacionados. Pongamos un ejemplo. En una empresa se hace recuento de los empleados bajo dos criterios, su sexo y su actitud hacia el tabaco. Los resultados se resumen en una tabla de doble entrada:

	Fumadores	No fumadores	Totales
Mujeres	123	161	284
Hombres	177	152	329
Totales	300	313	613

Si realizamos la siguiente experiencia aleatoria: Extraemos la ficha al azar de un empleado de esta empresa, ¿Cuál será la probabilidad de que sea Mujer?
Respuesta: Son 284 mujeres entre 613 empleados, por tanto, aplicando la Ley de Laplace: P(mujer)=284/613
¿Cuál es la probabilidad de que extraída la ficha de un empleado al azar, sea hombre y fumador?
Son 177 hombres fumadores de 613 empleados, aplicando la ley de Laplace: P(Hombre y fumador)=177/613 Las tablas de contingencia también permiten calcular probabilidades condicionadas: Se extrae una ficha de empleado al azar, se lee el nombre y resulta ser hombre,¿Cuál es la probabilidad de que se trate de una fumadora?
Son 123 de 284 mujeres, por tanto: P(Fumador/Mujer)=123/284

Pruebas compuestas

Las pruebas compuestas o experimentos compuestos son aquellas experiencias aleatorias que se desarrollan en dos o más etapas. Por ejemplo la experiencia aleatoria ya comentada en el apartado de los sucesos dependientes e independientes, extraer dos cartas de una baraja.
La probabilidad de que ocurra un suceso A y luego otro B sería $P(A\bigcap B)$
Recordando la definición de probabilidad condicionada: $P(B\bigcap A)=P(A)\cdot P(B/A)$
Como la $A\bigcap B=B\bigcap A$ , ocurre que tenemos dos igualdades:
$P(A\bigcap B)=P(A)\cdot P(B/A)$ y $P(A\bigcap B)=P(B)\cdot P(A/B)$
Si los sucesos son independientes ocurre que la fórmula anterior se convierte simplemente en: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
Pongamos un ejemplo con sucesos independientes:
Extraer dos cartas de una baraja con reemplazamiento es un ejemplo de experiencia aleatoria compuesta con sucesos independientes, supongamos que la baraja es de 40 cartas. La probabilidad de obtener Oros y luego Copas es: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ , es decir $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)={\frac {10}{40}}\cdot {\frac {10}{40}}$
Pongamos un ejemplo con sucesos dependientes:
Extaer dos cartas de una baraja sin reemplazamiento es un ejemplo de experiencia aleatoria compuesta con sucesos dependientes. La probabilidad de obtener Oros y luego Copas es: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B/A)={\frac {10}{40}}\cdot {\frac {10}{39}}$
La diferencia es que en la segunda extracción hay una carta menos en la baraja.
La diferencia se nota aun mas si nos planteamos la probabilidad de sacar dos oros consecutivos, en ese caso la probabilidad pasa a ser ${\frac {10}{40}}\cdot {\frac {9}{39}}$ , en este caso hay una posibilidad menos de obtener oros por que ya ha salido oros en la anterior extracción y no se ha devuelto a la baraja y además hay una carta menos en la baraja.

Probabilidad total

Imaginemos un suceso que puede ocurrir en diversas situaciones, situaciones que no pueden darse simultáneamente. Por ejemplo la probabilidad de alguien sufra un accidente montando en bici es diferente si hace buen tiempo que si está lloviendo. Nos interesa saber cual es la probabilidad global de que alguien sufra un accidente montando en bici, independientemente de las circunstancias. A esta probabilidad se le llama probabilidad total.
El teorema de la probabilidad total es un resultado que nos permite calcular la probabilidad total de un suceso cuando conocemos las probabilidades concicionadas de ese suceso en las diversas circunstancias en las que se puede presentar.
Se llama sistema completo de sucesos a un conjunto de sucesos A₁,A₂,A₃,...,A_n de un espacio muestral Ω que cumplan los siguientes requisitos:
- Son incompatibles entre si dos a dos: $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ con $i\neq j$
para todo i,j con valores entre 1 y n
- La unión de todos ellos es el suceso seguro (el espacio muestral completo): $\bigcup _{1}^{n}A_{i}=\Omega$ El teorenma de la probabilidad total dice que: Si tenemos un sistema completo de sucesos A₁,...,A_n tal que la probabilidad de ningnuno de ellos es nula, y tenemos un suceso B del que se conocen todas la probabilidades condicionadas P(B/A_i), entonces la probabilidad total de que el suceso B ocurra es; $P(B)=P(A_{1})\cdot P(B/A_{1})+P(A_{2})\cdot P(B/A_{2})+...+P(A_{n})\cdot P(B/A_{n})$
Analicemos el ejemplo del inicio de la sección: Supongamos que la probabilidad de que alguien sufra un accidente montando en bici cuando hace buen tiempo es del 0,1 y cuando llueve 0,2, si hace buen tiempo con probabilidad del 0,6 y llueve 0,4, podemos calcular la probabilidad de que alguien sufra un accidente montando en bici: $P(accidente)=P(nollueve)P(accidente/nollueve)+P(llueve)P(accidente/llueve)=0,6\cdot 0,1+0,4\cdot 0,2=0,06+0,08=0.14$

Probabilidades "a posteriori". Formula de Bayes

El teorema de Bayes relaciona la probabilidades condicionadas de dos sucesos: P(A/B) con P(B/A). Un ejemplo, una enfermedad tiene una serie de síntomas con ciertas probabilidades, estas son probabilidades condicionadas de tener un determinado síntoma cuando se sufre la enfermedad, nos puede interesar saber la probabilidad de que alguien sufra la enfermedad cuando muestra un determinado síntoma. Mas concreto, A= Gripe, B=Dolor de cabeza, la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se tiene gripe P(B/A), probabilidad de tener gripe cuando se tiene dolor de cabeza P(A/B). El teorema nos permitirá relacionar ambas probabilidades. También se le llama de las probabilidades "A posteriori" por que relaciona un hecho anterior con los hechos que le acompañan después, tener gripe lleva a tener fiebre, dolor de cabeza, etc. Matemáticamente el teorema de Bayes se establece en las mismas condiciones que el teorema de la probabilidad total: Un sistema completo de sucesos A₁,A₂,A₃,...,A_n de un espacio muestral Ω que cumplan los siguientes requisitos:
- Son incompatibles entre si dos a dos: $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ con $i\neq j$ para todo i,j con valores entre 1 y n
- La unión de todos ellos es el suceso seguro (el espacio muestral completo): $\bigcup _{1}^{n}A_{i}=\Omega$

Si tenemos un sistema completo de sucesos A₁,...,A_n tal que la probabilidad de ninguno es nula. B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades P(B/A_i) entonces la probabilidad P(A_i/B) viene dada por:

P(A_{i}/B)={\frac {P(B/A_{i})\cdot P(A_{i})}{P(B)}}