Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Resolución de triángulos

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

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Si miramos el triángulo de la izquierda podemos describir tres razones que son intrínsecas de los ángulos agudos, ya que las razones sólamente dependen del ángulo   debido al teorema de Thales.

 

 

 

  • Gracias a estas definiciones podemos calcular razones trigonométricas aproximadamente dibujando y midiendo simplemente.
  • Estas razones trigonométricas evidentemente no dependen del triángulo que tracemos sólo dependen del ángulo.

Ejemplo

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Tenemos un triángulo como el de la figura y queremos saber sus razones trigonométricas así que medimos sus tres lados a= 60mm b= 80mm c= 100mm

 
 
 

Relaciones entre las razones trigonométricas del mismo ángulo

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Las razones trigonometricas, es decir el sin, cos, tan son dependientes, esto quiere decir que si sabemos una, sabemos las tres. Estas relaciones son las siguientes:

Relaciones trigonométricas fundamentales

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Nota importante: El cuadrado de estas razones no se expresa   sino así   Es conveniente que se aprendan, hay que tener en cuenta que la mayor parte (seguramente toda) de la literatura matemática usa esa notación.

Demostración

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Ejemplos

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Se conoce el   y se quiere calcular cuánto valen  

 
 

Se conoce la tangente de un ángulo   y se quiere calcular cuánto valen  

 

Utilización de la calculadora en trigonometría

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Todas las calculadoras científicas del mercado disponen de teclas para las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Sin embargo, es importante tener en cuenta dos factores de interés:

  • En algunos modelos se introduce el valor del ángulo y luego se pulsa la tecla de la razón trigonométrica para obtener su valor, mientras que en otros se hace justamente al revés, primero se pulsa la tecla de la razón deseada, luego se introduce el valor del ángulo y por último la tecla de resultado (generalmente =) nos muestra el resultado en la pantalla.
  • Las calculadoras científicas utilizan tres sistemas de medida angular, los radianes (RAD), los grados sexagesimales (DEG) y los gradianes (GRAD). Es muy importante tener en cuenta este factor, ya que no es lo mismo   que   o  . La conversión entre los sistemas es la siguiente:  

Resolución de triangulos rectángulos

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Cuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos todas sus magnitudes desconocidas, es decir la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos, a partir de las conocidas.

Triángulos rectángulos

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Si un triángulo es rectángulo en realidad ya sabemos una cosa, que tiene un ángulo de 90º, así que nos hará falta menos información para resolverlo. Podemos resolver un triángulo rectángulo si conocemos:

  • Dos lados
    • Podemos calcular el tercer lado con el Teorema de Pitágoras  
    • Cuando sabemos lo que miden los tres lados es fácil encontrar los ángulos a partir de las razones trigonométricas y de la relación entre los ángulos de un triángulo.

Ejemplo

 

Tenemos este triángulo y sabemos que  

 

 

 


  • Un ángulo y un lado
    • Los lados se calculan mediante la razón trigonométrica del ángulo que tenemos y con la longitud del lado que tenemos
    • El ángulo que nos falta se calcula recordando que los ángulos de un triángulo suman entre los tres 180º siempre.

Ejemplo

 

Tenemos este triángulo y conocemos  

 

 

Resolución de triángulos no rectángulos. Estrategia de la altura

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Queremos resolver un triángulo como el de la figura. Sabemos que miden dos de sus lados   y el ángulo  

Para resolverlo lo que hacemos es trazar la siguiente altura h, obtenemos así dos triángulos rectángulos:

Del primer triángulo (el 1) conocemos   obtendremos x e y.

 
 

Para encontrar y aplicamos Pitágoras:

 

Y por fin:

 
 

Tenemos un triángulo como el siguiente y queremos encontrar que vale h, sabemos que:

 
 
 
 

con lo que tenemos

 

Que resulta:

 
 
 
 

Algunos resultados muy útiles

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Esto que viene a continuación uno podria deducirlo. Pero igual que las tablas de multiplicar que se pueden deducir sumando repetidas veces un número es mejor memorizarlo ya que aparecen con frecuencia.

Proyección de un segmento

 

Cuando proyectamos un segmento sobre una recta la longitud de dicha proyección es la misma que la del segmento multiplicada por el coseno del angulo que formar segmento y recta.

 

Altura de un triangulo

 

Si cojemos cualquier lado del triángulo (que no sea la base) y lo multiplicamos por el seno del ángulo que forma este con la base obtendremos la altura del triángulo.

 

Area de un triangulo

 

El area del triangulo es la misma que la mitad del producto de dos de sus lados multiplicado por el seno que forman

 

Razones trigonométricas de ángulos obtusos

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Si queremos conocer las razones trigonométricas de un angulo obtuso  , basta fijarse en la figura para ver que son fáciles de obtener, a través de su angulo suplementario  

 

 

La tngente es un poco menos intuitiva, pero también es facil de entender: La tangente de un angulo obtuso es siempre negativa.

 

Resolución de triangulos cualesquiera

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Podría parecer que este apartado es inútil debido a que ya se ha aprendido a resolver triangulos cualesquiera con la estrategia de la altura. Sin embargo existen dos teoremas que no agilizarán mucho las cosas sin que tengamos que hacer tantos pasos como con la estratégia de la altura.

Teorema del seno

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Intuitivamente uno puede ver que el angulo mayor de un triangulo tiene enfrente el lado mayor, y el angulo menor de un triangulo tiene enfrente el lado menor.

El teorema del seno dice esto precisamente, un poco más formalmente:

Si tenemos un triangulo de lados   y ángulos  

Se cumple que:

 


Demostración

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Lo demostraremos a partir de la estrategia de la altura.

Dibujamos la altura h desde el vértice C. Los triángulos APC y BCP son rectángulos los dos.

Tenemos que:

 

Para encontrar la igualdad   trazamos h desde el vértice B y procedemos igual que antes.

Aplicaciones

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Antes de continuar hay que advertir que cuando nuestra incognita sea uno de los angulos y apliquemos el teorema del seno hay dos soluciones debido a que los angulos suplementarios tienen el mismo seno. Tendremos que comprobar si las soluciones son validas.

  • Triangulos cualesquiera con dos ángulos y un lado conocidos

Ejemplo

 

Tenemos un triangulo como el de la figura, y queremos resolverlo.

Conocemos un lado   y dos ángulos   ¿ cuanto miden los lados a y c.?

Sabiendo que:

 

Aplicando el teorema del seno:

 

con los valores numéricos:

 

tenemos:

 
 
 
 

y tenemos:

 
 
 
 
  • Dos lados y el angulo opuesto de uno de ellos conocido

Ejemplo

 

Ahora nos encontramos con el siguiente problema:

Conocemos   tenemos que encontrar  

Con el teorema del seno:

 

y los valores:

 

sabiendo:

 

tenemos

 

y por fin:

 

Teorema del coseno

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imagen por hacer Si cogemos un triangulo rectángulo y conservando la longitud de los catetos, el angulo de 90° lo disminuimos es intuitivo de que la "hipotenusa" se hará más corta, y si lo hago más grande esta se hará más grande. Pues esto es lo que nos dice el teorema del coseno, en realidad podríamos decir que el teorema del coseno es el teorema de Pitágoras versión 2.0

 

Tenemos un triangulo cualquiera, se cumple que:

 

 

 

Demostración

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Dibujamos la altura h, perpendicular a b

 

 

Aplicamos Pitagoras a AHB y BHC

 

 

 

Se puede comprobar que tanto para todos los tipos de triángulos sale la misma fórmula.

Aplicaciones

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Hay cuatro casos de problemas que se aconsejan resolver por el teorema del coseno

  • Conocemos tres lados y queremos conocer cualquier angulo
  • Conocemos dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos y queremos conocer el otro lado
  • Conocemos dos lados y el angulo que forman y queremos saber el otro lado
  • Conocemos dos lados y el angulo que forman y queremos conocer otro angulo. Para este último caso deberemos aplicar el teorema del coseno primero para saber el lado que nos falta y después el teorema del seno para saber el angulo