Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Funciones no elementales

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Dada una función real de variable real. función no elemental:

se dice que la función f es no elemental si no cumple las condiciones de función elemental. Existen un número inlimitado de funciones no elementales, presentaremos unos ejemplos de funciones de este tipo.

Funciones de partes de xEditar

Dada la función id(x) que asocia a y el mismo valor de x, definida así:

 

con la representadión grafica de la derecha.

 

La función id(x) esta definida para todo x real, es continua u derivable, y creciento en todo su entorno de definición.

Es función impar:

 

Es función idempotente:

 

Función signoEditar

La función signo es una función no elemental definida para todo x real:

 

Asigna a y el volor 1 si x es positivo, 0 si x es 0 y -1 si x es negativo:

 

La función sgn(x) esta derinida para todo x real, es discontinua para x= 0, para los valores distintos de cero es continua y derivable, y estacionaria (no es creciente ni decreciente).

Es función impar:

 

Ademas:

 

Es función idempotente:

 

Función valor absolutoEditar

La función valor absoluto asocia a y el valor de x sin signo:

 

La función esta definida paro todo x real, es continua y no deribable para x= 0.

 

La función abs nunca toma valores negativos, es decreciente para x negativo y es creciente para x positivo, para x= 0 la función tambien vale cero (y= 0).

Es función par:

 

Es función idempotente:

 

podemos ver que:

 

Escalón de HeavisideEditar

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo, incluido el cero:

 

Esta función queda definida de esta forma:

 

Función rampaEditar

La función rampa definida para valores reales:

 

Que se puede especificar de esta forma:

 

Esta función es continua, y no es derivable para x = 0.

Es función idempotente:

 

Puede verse que:

 

Función entero de xEditar

Esta función asocia a y el mismo valor de x cuando x en un número entero, si x es positivo y se obtiene eliminando la parte decimas, si x tiene valor negativo y es el valor de x sin parte decimal menos una unidad.

 

La función entero asocia a y el maximo número entero menor o igual a x, esto es, de todos los números enteros menores o iguales que x, el mayor de ellos:

 

Representada en la figura de la derecha.

La función E(x) esta definida paro todo x real, es discontinua para x número entero, y para los valores en los que es continua es estacionaria.

Función mantisa de xEditar

La función mantisa o parte decimal de x, es una función que asocia a y el valor que falta desde el número entero inferior a x

 

Ver la figura de la derecha, si x es un número entero M(x) es cero, si x en un número positivo M(x) es la parte decimal de x, cuando x tiene valor negativo entonces M(x) es lo que le falta hasta en número entero inferior a x. M(x) nunca toma valores negativos.

La función M(x) esta definida para todo x real, es discontinua para x número entero y para los valores en los que es continua es creciente.

Puede verse que:

 

Ver la figura de la derecha.

Función parte entera de xEditar

La función parte entera de x es el resultado de eliminar la parte decimal del número, de forma que se conserva el signo y la parte entera. Es una funcion definida para todo número real:

 

La función parte entera se define como:

 

para x menor que cero: es el minimo entero mayor o igual que x y para x mayor o igual que cero: es el maximo entero menor o igual que x.

Esta función es impar:

 

Función parte decimal de xEditar

La función parte decimal de x es el resultado de eliminar la parte entera del número, de forma que se conserva el signo y la parte decimal. Es una funcion definida para todo número real:

 

Para x negativo frac int(x) es no positivo, para x positivo frac int(x) es no negativo.

Esta función es impar:

 

Puede verse que:

 

Función redondeo de xEditar

La funcion redondeo de x esta definida para todo número real:

 

Esta función asocia a todo x número real el número entero más proximo, en caso de enteros igualmente proximos se tomara el de menor valor absoluto. La función parte entera se define como:

 

Esta función es impar:

 

Función fracción de redondeo de xEditar

La funcion fracción de redondeo de x esta definida para todo número real:

 

Esta función asocia a todo x número real el número fraccionario más proximo a un número entero.

Esta función es impar:

 

se puede ver que:

 

Función sueloEditar

Esta función es equivalente a la funcios parte entera:  :

 

La función suelo asocia a y el maximo número entero menor o igual a x:

 

Función fracción de sueloEditar

La función fracción de suelo es equivalente a mantisa o parte decimal, asocia a y el valor que falta desde el número entero inferior a x

 

Puede verse que:

 

Ver la figura de la derecha.

Función techoEditar

La función techo asocia a y el valor entero de x por esceso, compararla con la función suelo:

 

El valor de la función techo es el minimo valor entero mayor o igual que x:

 

Función fracción de techoEditar

La función fracción de techo asocia a y el valor que falta desde el número entero superios a x

 

Puede verse que:

 

Ver la figura de la derecha.

Funciones escalonadasEditar

Función rectangularEditar

La función rectangular (también llamada función ventana unitaria o pulso unitario) se define como:

 

Función escalonadaEditar

Una función es escalonada si toma valores constantes en distintos intervalos, por ejemplo podemos ver la función y= s(x) de la figura:

 

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