Podemos encontrarnos con números reales que tienen infinitas cifras decimales. ¿Cómo trabajamos con este tipo de números? Para esto hacemos una aproximación al orden de unidad que más nos interese. Existen distintos métodos tales como redondeo o truncamiento.
La motivación de este apartado no es otro que mostrar lo absurdo que puede ser tener muchas cifras significativas si podemos cometer errores de medida.
Por ejemplo la altura de una montaña no tiene sentido decir que es 1245,782m (7 cifras significativas) si hay un escarabajo paseandose por ahí o bien se produce erosión en la cima esa medida no sirve para nada, mejor sería decir que la montaña mide 1250m (3 cifras significativas) o 1245m (4 cifras significativas) si hay que ser preciso. Los dos últimos serían medidas aproximadas.
Cuando damos una medida aproximada el valor que damos no coincidirá en general con el valor exacto (que desconocemos y que normalmente ni siquiera es constante) esta diferencia entre lo real y el valor que damos es el error absoluto.
El error absoluto es desconocido porque el valor real también lo es, pero podemos acotarlo, esto es asegurar que por debajo de cierto valor seguro que no estará y que por encima de otro tampoco. Por ejemplo yo puedo decir que la montaña mide entre 1250 y 1240 metros esto quiere decir que el error que yo cometería sería inferior a 5 metros.
El problema del error absoluto es que engaña, no es lo mismo si digo que el error de medición de un bonsai que mide 0,4m es de 0,2 metros que si digo que el error de medición de una secuoya (de 20m) es de 0,2m. En el segundo caso casi ni se nota en el primero si. Para eso se tiene el error relativo que es la relación entre error absoluto y el valor real.
Vemos que tanto el primer caso como el segundo son inmediatos esto pasa siempre con los productos, sin embargo habría que prestar atención al segundo ejemplo en el que hay que correr la coma hacia la izquierda y aumentar el exponencial para que la notación siga siendo científica.
Fijémonos en el método seguido: primero hemos puesto todas los números con un exponente común, y luego cuando ya lo hemos calculado todo lo hemos dejado en notación científica otra vez.
Seguramente ya se ha visto como resolver ecuaciones de segundo grado en cursos anteriores la motivación ahora es recordarlo y ampliarlo si es posible.
La forma general de las ecuaciones de segundo grado es:
con
Siendo a, b y c números reales
Y obtenemos la solución mediante:
Al radicando se le llama discriminante y se le nota . En función del signo del discriminante se tiene el número de soluciones reales de la ecuación, a saber:
Si hay dos soluciones reales.
Si hay una solución reala.
Si no hay solución real, pero si dos soluciones complejas.
Si la ecuación es incompleta, esto es si b=0 o c=0 no es necesario aplicar la fórmula anterior:
Hay veces que nos encontraremos con ecuaciones que tienen la x dentro de raices cuadradas para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.
Al elevar al cuadrado y buscar la solución aparecen soluciones debidas al proceso (de elevar al cuadrado para eliminar las raíces) estas soluciones son erroneas y hay que rechazarlas. Hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial siempre para detectar las soluciones erroneas.
La motivación de este apartado es la misma que la que se podría encontrar para la factorización de números; factorizar un número cualquiera es muy útil para calcular el mcm y el MCD además de para simplificar fracciónes o sacar factores de un radical. Factorizar polinomios nos servirá para simplificar fracciones algebraicas, hacer el mcm y el MCD de los polinomios, que también los tiene, y si alguno va a la universidad le serán muy útiles (por ejemplo para hacer transformadas). El concepto fundamental para factorizar polinomios es el de polinomio irreducible, esto es en el cuerpo de los números reales, un polinomio sin raíces reales. Se puede comprobar (con ayuda del cálculo diferencial, por ejemplo) que cualquier polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real, por tanto los polinomios irreducibles han de ser de grado par. Aplicando razonamientos sencillos con números complejos se puede deducir, además, que cualquier polinomio de grado par se puede expresar como producto de polinomios de grado dos. Por tanto, los polinomios irreducibles son los de primer grado y los de segundo grado cuyo discriminante es negativo. Tenemos así determinados los equivalentes a los números primos en el caso de los enteros, en el conjunto de los polinomios con coeficientes reales de variable real.
Podemos ver que:
es el polinomio factorizado. Un polinomio está factorizado cuando está expresado como productos de polinomios de menor grado posible es decir de la forma es decir como producto de polinomios de primer grado, y de como máximo de segundo grado cuando no existen soluciones en los reales.
Imaginemos que queremos factorizar un polinomio de la forma
Para hacerlo no tenemos la ayuda de una fórmula general como en el caso de los polinomios de 2º grado, para hacerlo no queda más remedio que ir encontrando las raíces una a una:
Si un polinomio tiene raíces enteras estas tienen que ser divisores del término independiente.
Si es una raiz del polinomio entonces se divide por obtenemos que es un grado menor y repetimos hasta llegar al grado menor posible (que siempre es 1 o máximo 2).
Para hacerlo más cómodo se emplea la regla de Ruffini.yii
Imaginemos que hacemos la división de un polinomio por y nos da un resto que llamaremos , bien pues si hiciesemos en el polinomio es decir el resultado sería es decir Eoo
Este resultado se puede extender a polinomios de grado cualquiera.
Demostración
Localización de las raíces enteras de un polinomio
Tenemos un polinomio con raíces entera y queremos encontrarlas, para hacerlo tenemos que ir probando de dividirlo por , pero ¿qué valor puede tomar ? pues tiene que ser un divisor del termino independiente.
Intuitivamente podemos ver que tenemos que conseguir el opuesto del termino idependiente para hacerlo no queda mas remedio que multiplicar algo por a, por eso es necesario que a sea un divisor del termino independiente, ya que el termino independiente tiene que ser multiplo de .
Procedimiento para la factorización de un polinomio
Para factorizar un polinomio aplicaremos Ruffini sucesivamente hasta que nos quede un polinomio de segundo grado, cuando estemos en este punto aplicaremos la fórmula y obtendremos las dos últimas raíces o si es negativo sabremos que no lo podemos descomponer más
Ejemplo
Tenemos el polinomio siguiente y queremos descomponerlo
Primero sacamos y factores comunes:
Ahora aplicamos Ruffini, los divisores de son Empezaremos probando con el
El resto es cero, fantástico, eso quiere decir que hemos encontrado una de las raíces.
Seguimos aplicando Ruffini, probamos con 1
El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:
El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:
Fantastico, ya hemos encontrado otra raíz con lo cual el polinomio quedará de la siguiente forma:
Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula para resolver polinomios de 2º grado:
Vemos que con lo cual podemos descomponer el polinomio y que sus raíces son 5 y -7. Entonces:
Ya hemos descompuesto el polinomio. Ya que todos los factores son de primer grado
Resolución de ecuaciones por factorización de polinomios
Cuando un polinomio esta factorizado podemos encontrar las raíces facilmente, es decir podemos resolver ecuaciones de grado n.
Ejemplos
Queremos resolver la ecuación afortunadamente este es el mismo polinomio que en el apartado anterior con lo cual ya sabemos las soluciones, que son
Ahora queremos resolver
Sacamos factor común , aplicamos después Ruffini y encontramos las raíces 2 y -3 finalmente nos queda la ecuación no tiene solución, por eso no podemos descomponer más. Las soluciones del polinomio son: Como podemos ver aunque el polinomio es de grado 7 y debería tener 7 soluciones, dos de ellas no están porque hay una ecuación de segundo grado que no podemos descomponer.
Aunque durante los dos últimos apartados se ha presentado los polinomios como fácilmente factorizables, no es así. Como norma general la raíz de un polinomio es un número no entero, 0,3242 por ejemplo, para encontrar estas raíces tiene que hacerse lo siguiente:
Las soluciones racionales de una ecuación polinómica con coeficientes enteros se encuentran entre los números donde p es uno de los divisores del término independiente y q uno de los divisores del coeficiente director.
Ejemplos
Hallar las raíces de .
Los divisores del termino independiente serán, en este caso, 1, -1, 2, -2, 4, -4 y del coeficiente director 1, -1. Por tanto las posibles raíces son 1, -1, 2, -2, 4, -4 que introduciendolos en el polinomio nos dara que la solución es 2.
Hallar las raíces de .
Ahora tenemos como divisores del término independiente 1, -1 y del coeficiente director 1, -1, 2, -2. De lo que tenemos como posibles soluciones 1/2, -1/2, 1, -1 e introduciendolas en el polinomio comprobamos que las soluciones son -1/2 y -1.
El número de soluciones que faltan para correponderse con el grado de estas ecuaciones corresponde a soluciones de números complejos.
Aun con esto muchas veces tampoco podremos encontrar las soluciones de un polinomio como ya que se trata de soluciones irracionales a las que solo nos podemos aproximar, o soluciones de números complejos
Para hacerlo primero debemos reducir a común denominador, para hacerlo multiplicamos el denominador y el numerador de una por el denominador de la otra, esto es:
Suma resta multiplicación y división de fracciones algebraicas
Las ecuaciones exponenciales son las que tienen la incógnita en el exponente. Para sacarlo de allí hay que expresar lado y lado del igual con una potencia de la misma base y si esto no se puede hacer entonces se recurre a los logaritmos, aun así hay algunas en las que deberemos usar el ingenio y otras (aunque aquí no veremos ninguna) no se pueden resolver analíticamente.
Ejemplos
Si factorizamos nos damos cuenta de que es y que por lo tanto
La cosa queda como sigue:
Ponemos el segundo miembro como potencia de es decir:
Al no poder escribir 3 como potencia de 5 debemos coger logaritmos
Son las que tienen la x dentro de un logaritmo. Para resolverlas uno debe coger las propiedades de los logaritmos y utilizarlas para resolver la ecuación, muchas veces (aunque no veremos ninguna) no se pueden resolver analiticamente. Hay que comprobar la ecuación inicial
Ejemplos
Nota curiosa: Fijemonos que si la ecuación inicial hubiese sido las dos soluciones serían correctas.
Se supone que el alumno ya está familiarizado con los sistemas de ecuaciones, por eso simplemente repasaremos los procedimientos y unos cuantos conceptos.
Para que un conjunto de valores sea solución de una ecuación ese conjunto de valores debe cumplirla, por ejemplo para: una solución podria ser pero también
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones en las que siguiendo unos pasos podemos encontrar una solución común
Un sistema de ecuaciones con más incognitas que ecuaciones suele tener infinitas soluciones
El método de Gauss consiste en convertir un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas en un sistema con una 1ª ecuación de tres incógnitas, una 2ª ecuación de dos incógnitas y, por último una 3ª ecuación de solo una incógnita. Por lo que se reduce sustancialmte la dificultad del problema.
Ejemplo
En un primer paso, la primera ecuación se deja siempre igual, mientras que en las otras ecuaciones eliminamos el término de la x usando el método de la reducción con la primera ecuación.
Ahora no cambiaremos ni la 1ª ecuación ni la 2ª ecuación y anularemos el término y de la 3ª ecuación usando la reducción con la 2ª ecuación.
Ahora la resolución del sistema se convierte en una trivialidad. De la 3ª ecuación obtenemos z=2, que introducimos en la 2ª ecuación para hallar y=5, y por último introducimos z e y en la 1ª ecuación para hallar x=-1.
Si miramos el triángulo de la izquierda podemos describir tres razones que son intrínsecas de los ángulos agudos, ya que las razones sólamente dependen del ángulo debido al teorema de Thales.
Gracias a estas definiciones podemos calcular razones trigonométricas aproximadamente dibujando y midiendo simplemente.
Estas razones trigonométricas evidentemente no dependen del triángulo que tracemos sólo dependen del ángulo.
Las razones trigonometricas, es decir el sin, cos, tan son dependientes, esto quiere decir que si sabemos una, sabemos las tres. Estas relaciones son las siguientes:
Nota importante: El cuadrado de estas razones no se expresa sino así Es conveniente que se aprendan, hay que tener en cuenta que la mayor parte (seguramente toda) de la literatura matemática usa esa notación.
Todas las calculadoras científicas del mercado disponen de teclas para las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Sin embargo, es importante tener en cuenta dos factores de interés:
En algunos modelos se introduce el valor del ángulo y luego se pulsa la tecla de la razón trigonométrica para obtener su valor, mientras que en otros se hace justamente al revés, primero se pulsa la tecla de la razón deseada, luego se introduce el valor del ángulo y por último la tecla de resultado (generalmente =) nos muestra el resultado en la pantalla.
Las calculadoras científicas utilizan tres sistemas de medida angular, los radianes (RAD), los grados sexagesimales (DEG) y los gradianes (GRAD). Es muy importante tener en cuenta este factor, ya que no es lo mismo que o . La conversión entre los sistemas es la siguiente:
Cuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos todas sus magnitudes desconocidas, es decir la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos, a partir de las conocidas.
Si un triángulo es rectángulo en realidad ya sabemos una cosa, que tiene un ángulo de 90º, así que nos hará falta menos información para resolverlo. Podemos resolver un triángulo rectángulo si conocemos:
Dos lados
Podemos calcular el tercer lado con el Teorema de Pitágoras
Cuando sabemos lo que miden los tres lados es fácil encontrar los ángulos a partir de las razones trigonométricas y de la relación entre los ángulos de un triángulo.
Ejemplo
Tenemos este triángulo y sabemos que
Un ángulo y un lado
Los lados se calculan mediante la razón trigonométrica del ángulo que tenemos y con la longitud del lado que tenemos
El ángulo que nos falta se calcula recordando que los ángulos de un triángulo suman entre los tres 180º siempre.
Ejemplo
Tenemos este triángulo y conocemos
Resolución de triángulos no rectángulos. Estrategia de la altura
Esto que viene a continuación uno podria deducirlo. Pero igual que las tablas de multiplicar que se pueden deducir sumando repetidas veces un número es mejor memorizarlo ya que aparecen con frecuencia.
Proyección de un segmento
Cuando proyectamos un segmento sobre una recta la longitud de dicha proyección es la misma que la del segmento multiplicada por el coseno del angulo que formar segmento y recta.
Altura de un triangulo
Si cojemos cualquier lado del triángulo (que no sea la base) y lo multiplicamos por el seno del ángulo que forma este con la base obtendremos la altura del triángulo.
Area de un triangulo
El area del triangulo es la misma que la mitad del producto de dos de sus lados multiplicado por el seno que forman
Si queremos conocer las razones trigonométricas de un angulo obtuso , basta fijarse en la figura para ver que son fáciles de obtener, a través de su angulo suplementario
La tngente es un poco menos intuitiva, pero también es facil de entender:
La tangente de un angulo obtuso es siempre negativa.
Podría parecer que este apartado es inútil debido a que ya se ha aprendido a resolver triangulos cualesquiera con la estrategia de la altura. Sin embargo existen dos teoremas que no agilizarán mucho las cosas sin que tengamos que hacer tantos pasos como con la estratégia de la altura.
Intuitivamente uno puede ver que el angulo mayor de un triangulo tiene enfrente el lado mayor, y el angulo menor de un triangulo tiene enfrente el lado menor.
El teorema del seno dice esto precisamente, un poco más formalmente:
Antes de continuar hay que advertir que cuando nuestra incognita sea uno de los angulos y apliquemos el teorema del seno hay dos soluciones debido a que los angulos suplementarios tienen el mismo seno. Tendremos que comprobar si las soluciones son validas.
Triangulos cualesquiera con dos ángulos y un lado conocidos
Ejemplo
Tenemos un triangulo como el de la figura, y queremos resolverlo.
Conocemos un lado y dos ángulos ¿ cuanto miden los lados a y c.?
Sabiendo que:
Aplicando el teorema del seno:
con los valores numéricos:
tenemos:
y tenemos:
Dos lados y el angulo opuesto de uno de ellos conocido
imagen por hacer
Si cogemos un triangulo rectángulo y conservando la longitud de los catetos, el angulo de 90° lo disminuimos es intuitivo de que la "hipotenusa" se hará más corta, y si lo hago más grande esta se hará más grande. Pues esto es lo que nos dice el teorema del coseno, en realidad podríamos decir que el teorema del coseno es el teorema de Pitágoras versión 2.0
Hay cuatro casos de problemas que se aconsejan resolver por el teorema del coseno
Conocemos tres lados y queremos conocer cualquier angulo
Conocemos dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos y queremos conocer el otro lado
Conocemos dos lados y el angulo que forman y queremos saber el otro lado
Conocemos dos lados y el angulo que forman y queremos conocer otro angulo. Para este último caso deberemos aplicar el teorema del coseno primero para saber el lado que nos falta y después el teorema del seno para saber el angulo
Si intentamos resolver esta ecuación veremos que no tiene solución en números reales.
Para ello recurrimos a los números imaginarios o números complejos.
Sin embargo para entender mejor el problema y luego la solución, primero debemos recurrir a la ley de los signos en la multiplicación, al multiplicar dos signos negativos o dos positivos, el resultado es un numero positivo siempre, es decir
si elevo al cuadrado cualquier numero sea positivo o negativo, el resultado es siempre positivo, por tanto no hay manera de encontrar la raíz de un numero negativo. es allí donde se da la solución introduciendo el valor imaginario,es decir aislando el termino insoluble y dejándolo tal como esta , pues si bien es cierto este no tiene solución y tampoco necesitamos que tenga solución, pues manteniéndolo tal como esta como una expresión matemática , nos sirve para dar la solución y se hace así: si mantengo este [sin necesidad de llamarlo i ] puedo operar: por ejemplo sería igual a .(-1) y como se puede aplicar propiedad distributiva a la raíz, se tiene: = . operando se tiene = 3.
esta es la solución, pero alguien me dirá, pero sigue ahí el problema, que no se sabe cuanto es exactamente , yo le respondo que si llamamos "i" a , entonces la solucion es 3i, y ésta solución pasa la prueba, porque en este caso si elevo al cuadrado esta solución, "ahora si me da un numero NEGATIVO" pues: es por = 9 por (-1) = -9
como ven, nunca se solucionó en realidad la raíz de un numero negativo, sino que se lo dejo en "durmiendo" para que cuando se aplique lo contrario ( el cuadrado o potencia par ) se elimine la raiz par y quede el MENOS 1 que hace negativo al numero solucion de un cuadrado o potencia par.
La raiz de indice n de un numero complejo tiene n soluciones, todas ellas con el mismo modulo, que es la raiz n-esima del modulo de radicando y se obtienen al sumarle a este valor, 360/n sucesivas veces hasta completar una vuelta.
Cuando representamos una ecuación de primer grado en un gráfico de 2 dimensiones (dos ejes: ordenadas y abscisas) se hace una recta.
es la pendiente de la recta, coincide con la tangente del ángulo que forma la recta respecto al eje de abscisas.
es la ordenada de origen, el punto en el eje de ordenadas en el cual la recta corta.
La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada directriz, y a un punto fijo, llamado foco son iguales
Inclinación y pendiente.
Dado un segmento cualquiera, la inclinación de ésta es el menor de los ángulos ()que forma con el semieje positivo X y se mide desde el eje hacia el segmento o la recta L. la inclinación es positiva si el ángulo se mide en el sentido contrario a las agujas del reloj, en caso contrario es negativo.
Posición relativa de dos rectas dadas en forma general
ACLARACION EXAGERADA
Si la ecuación general de una recta es Ax + By + C = 0, se observa, que es una expresión de primer grado (o lineal) "toda ecuación de primer grado (en dos variables cuyo exponente es la unidad) tiene como gráfica una recta" determinados los coeficientes A, B y C, tenemos la ecuación de la recta. Lo mismos ocurrirá cuando determinemos las ecuaciones de las cónicas, "una vez encontrada la ecuación general, bastará determinar los coeficientes, para tener la ecuación particular a ese problema".
Estos coeficientes se hallan en relación a propiedades y características de la curva, condiciones iniciales y de contorno, más los datos del problema.
El resultado de derivar una función es una segunda función que nos indica el crecimiento de la función original. Esto es, en un punto determinado, la pendiente de la función original. Desde un punto de vista gráfico para facilitar su comprensión, una línea recta dibujada horizontalmente tiene una función, una ecuación, asociada como la siguiente: , donde n es un número.
La derivada de esta función es 0, puesto que n es una constante. En este caso la derivada nos explica que la función ni crece ni decrece.
Ahora imaginemos una recta creciente de función , donde n (la pendiente) es un número positivo. Si derivamos la función obtendremos de resultado una constante de valor n (la pendiente de la función anterior). Siendo este número positivo sabemos que la función crece.
Conclusión: La derivada de una función nos dice la pendiente de la función.
¿Es esto siempre válido? Con matices. En el caso de las funciones de recta (polinomios de 1r grado) lo es porque independientemente del punto en el que derives el resultado es constante.
¿Y en el caso de curvas (polinomios de grado superior a 1 u otras funciones)? Es válido. PERO: La derivada genérica de la función nos devolverá una función derivada que nos dará toda la información del crecimiento de la función original, para cada punto de esta, por lo que para obtener la información de crecimiento en un punto concreto debemos evaluar la función derivada en ese punto. Es decir, nos dará la tasa de crecimiento de la función para puntos infinitesimalmente cercanos a 1.
Sea una función continua, y su curva.
Sea la abscisa de un punto regular, es decir donde no hace un ángulo.
En el punto de se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es , el número derivado de en .
La función es la derivada de .
En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir , se puede saber a qué ritmo crece o decrece la función. El signo de determina si la función crece o decrece.
En este gráfico se ve que donde es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto es positiva, como en el punto (), mientras que donde es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y es negativa, como en el punto (). En los puntos y , que son máximo y mínimo local, la tangente es horizontal, luego .
La función derivada se puede calcular sin dibujar la curva de . En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la tangente, se tiene la fórmula:
Si trazamos una recta entre dos de sus puntos, podemos hallar la Tasa de Valor Medio como los incrementos en la ordenada respecto de la variable independiente. Es decir, la pendiente de la recta secante a la función por los puntos es:, o de forma abreviada, .
Ahora acerquemos y uno al otro. Cuando se confundan en un punto, también lo harán la recta tangente con la secante. De este modo, por la definición de límite, tema de este curso, podemos hallar la función como sigue:
Esta es la definición formal de función derivada. Sale directamente de la fórmula de la pendiente, acercando los puntos y .
En resumen, la interpretación geométrica de la función derivada es: la función que nos devuelve la pendiente de la función original en cada punto.
se anula en los puntos donde hay un máximo o un mínimo en la función primitiva, o sea en esos puntos cambia el crecimiento de la función
La derivada segunda (derivada de la derivada) se anula en los puntos en los cuales se encuentran puntos de inflexión en la función original,que es donde cambia la curvatura de la función
Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero nunca lo alcanza. Si pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la recta tangente a la curva, es a la vez, la recta secante a la misma curva.
Dado que y entonces tiene un mínimo local en 1 y su valor es .
Dado que y entonces tiene un máximo local en -4 y su valor es .
Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores de tales que , los cuales son y , tomando en cuenta el teorema del valor medio y que entonces la derivada es negativa en el intervalo por lo tanto la función es decreciente en el intervalo .
Al ser una función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por arriba ni por abajo y como su derivada es una función cuadrática entonces no tiene más de 2 puntos con derivada igual a cero, por tanto la función es creciente
![{\displaystyle [a,b]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08268f073d76e500a09a309a45bcc9f19e599db4)
![{\displaystyle (a,b]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971a5742ccdd3be8c11ceb4ad00e495da0fb261b)
![{\displaystyle (-\infty ,a]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b996c00936430b9a3171b447986950df638d231)
![{\displaystyle D[f(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a62e6fa818dc5f18ae0a8d668e9fec645aaa09)
![{\displaystyle D[f(1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de92295bcd4c5a0e7f5668ebee6c3a2a83e3409)
![{\displaystyle D[c]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/574214906d11ac571491ec635218958eaa7c703f)
![{\displaystyle D[c\cdot f(x)]=c\cdot D[f(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3898c88d789d9179b58141ff643121fcc88db5d)
![{\displaystyle D[x^{n}]=n\cdot x^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e859b593713b3206fcf95bda059cf2652845ad1)
![{\displaystyle D[\sin(x)]=\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ff6e0e29fe433176cb295b2c16c005ea73f9f6)
![{\displaystyle D[\cos(x)]=-\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41fd759f457270434f23655e9e698537844f9043)
![{\displaystyle D[\tan(x)]=1/\cos ^{2}(x)=1+\tan ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c575f7c5c67dd51b328dbabd5c524cf3850f29)
![{\displaystyle D[\ln(x)]=1/x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650436fcac5841d0a53daea749e54433a3d2896c)
![{\displaystyle D[e^{x}]=e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae8145c82845e8fdf34cb8d5e7cddfead7a6eab)
![{\displaystyle D[f(g(x))]=g'(x)\cdot f'(g(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd40d03a387df9a54c164d4121c08e195e876806)
![{\displaystyle [-4,1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699798f05200fee2074341f31b8336136ffa2a85)