Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Texto completo



IntroducciónEditar

LOGSE: Ley Orgánica de Ordenación General del Sistema Educativo de España. Aprobación: 3 de octubre de 1990. Fue DEROGADA por la ley Orgánica de Educación (LOE), en el año 2006.

AritméticaEditar

NúmerosEditar

Números RacionalesEditar

Se dan por conocidos los números naturales   . El conjunto de todos ellos se representa con la letra  .

Los enteros ( ) son los naturales y sus opuestos ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

La definición de números racionales es:   tales que  

Es decir, se dice que un número es racional si se puede escribir como la fracción de dos números enteros.

Los números racionales también se pueden detectar por su forma decimal ya que todos tienen una expresión finita o periódica.

  son todos números racionales.

Representación de números racionales sobre la rectaEditar

Aproximación decimal de un número realEditar

Podemos encontrarnos con números reales que tienen infinitas cifras decimales. ¿Cómo trabajamos con este tipo de números? Para esto hacemos una aproximación al orden de unidad que más nos interese. Existen distintos métodos tales como redondeo o truncamiento.

Intervalos y semirectasEditar

Se intentará explicar aquí la nomenclatura que existe para designar algunos tramos de la recta real:

NOMBRE SIMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN
Intervalo abierto
 
 
Números comprendidos entre a y b.
 
Intervalo cerrado
 
 
Números comprendidos entre a y b, ambos incluidos.
 
Intervalo
semiabierto
 
 
Números comprendidos entre a y b, b incluido.
 
 
 
Números comprendidos entre a y b, a incluido.
 
Semirecta
 
 
Números menores que a.
 
 
 
Números menores o iguales que a.
 
 
 
Números mayores que a.
 
 
 
Números mayores o iguales que a.
 


Expresión decimal aproximada. ErroresEditar

La motivación de este apartado no es otro que mostrar lo absurdo que puede ser tener muchas cifras significativas si podemos cometer errores de medida.

Por ejemplo la altura de una montaña no tiene sentido decir que es 1245,782m (7 cifras significativas) si hay un escarabajo paseandose por ahí o bien se produce erosión en la cima esa medida no sirve para nada, mejor sería decir que la montaña mide 1250m (3 cifras significativas) o 1245m (4 cifras significativas) si hay que ser preciso. Los dos últimos serían medidas aproximadas.

Cuando damos una medida aproximada el valor que damos no coincidirá en general con el valor exacto (que desconocemos y que normalmente ni siquiera es constante) esta diferencia entre lo real y el valor que damos es el error absoluto.

El error absoluto es desconocido porque el valor real también lo es, pero podemos acotarlo, esto es asegurar que por debajo de cierto valor seguro que no estará y que por encima de otro tampoco. Por ejemplo yo puedo decir que la montaña mide entre 1250 y 1240 metros esto quiere decir que el error que yo cometería sería inferior a 5 metros.

El problema del error absoluto es que engaña, no es lo mismo si digo que el error de medición de un bonsai que mide 0,4m es de 0,2 metros que si digo que el error de medición de una secuoya (de 20m) es de 0,2m. En el segundo caso casi ni se nota en el primero si. Para eso se tiene el error relativo que es la relación entre error absoluto y el valor real.

Notación científicaEditar

La notación científica es muy útil para expresar números muy grandes o muy pequeños.

Tiene tres partes:

  • Una parte entera de una sola cifra
  • Las otras cifras significativas como la parte decimal
  • Una potencia de base diez que da el orden de magnitud de la cifra

Ejemplo:  

Operaciones con números en notación científicaEditar

ProductosEditar

 

 


Vemos que tanto el primer caso como el segundo son inmediatos esto pasa siempre con los productos, sin embargo habría que prestar atención al segundo ejemplo en el que hay que correr la coma hacia la izquierda y aumentar el exponencial para que la notación siga siendo científica.

CocientesEditar

 

 

Sumas y restasEditar

 

 

 

Fijémonos en el método seguido: primero hemos puesto todas los números con un exponente común, y luego cuando ya lo hemos calculado todo lo hemos dejado en notación científica otra vez.

ÁlgebraEditar

Ecuaciones de segundo gradoEditar

Seguramente ya se ha visto como resolver ecuaciones de segundo grado en cursos anteriores la motivación ahora es recordarlo y ampliarlo si es posible.

La forma general de las ecuaciones de segundo grado es:

  con  

Siendo a, b y c números reales

Y obtenemos la solución mediante:  

Al radicando se le llama discriminante y se le nota  . En función del signo del discriminante se tiene el número de soluciones reales de la ecuación, a saber:

  • Si   hay dos soluciones reales.
  • Si   hay una solución reala.
  • Si   no hay solución real, pero si dos soluciones complejas.

Si la ecuación es incompleta, esto es si b=0 o c=0 no es necesario aplicar la fórmula anterior:

  se despeja  

 

Ecuaciones bicuadradasEditar

Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma  

El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable   entonces la ecuación quedará como una de segundo grado  

La resolvemos, y entonces desechamos las   ya que no dan solución en las   pero las positivas nos daran dos valores de    

EjemplosEditar

 

 

Soluciones:  




 

 

Soluciones:  




 

 

Soluciones:  

Ecuaciones con radicalesEditar

Hay veces que nos encontraremos con ecuaciones que tienen la x dentro de raices cuadradas para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado y buscar la solución aparecen soluciones debidas al proceso (de elevar al cuadrado para eliminar las raíces) estas soluciones son erroneas y hay que rechazarlas. Hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial siempre para detectar las soluciones erroneas.

EjemplosEditar

 

  Se elevan al cuadrado los dos lados del igual

 

Comprobación:  




  Despejamos la primera raíz (Podíamos haber empezado por la segunda)

  Se elevan al cuadrado los dos lados del igual

  Aislamos la raíz

  Se elevan al cuadrado los dos lados del igual

 

Comprobación  

Nociones básicas para la factorización de polinomiosEditar

La motivación de este apartado es la misma que la que se podría encontrar para la factorización de números; factorizar un número cualquiera es muy útil para calcular el mcm y el MCD además de para simplificar fracciónes o sacar factores de un radical. Factorizar polinomios nos servirá para simplificar fracciones algebraicas, hacer el mcm y el MCD de los polinomios, que también los tiene, y si alguno va a la universidad le serán muy útiles (por ejemplo para hacer transformadas). El concepto fundamental para factorizar polinomios es el de polinomio irreducible, esto es en el cuerpo de los números reales, un polinomio sin raíces reales. Se puede comprobar (con ayuda del cálculo diferencial, por ejemplo) que cualquier polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real, por tanto los polinomios irreducibles han de ser de grado par. Aplicando razonamientos sencillos con números complejos se puede deducir, además, que cualquier polinomio de grado par se puede expresar como producto de polinomios de grado dos. Por tanto, los polinomios irreducibles son los de primer grado y los de segundo grado cuyo discriminante es negativo. Tenemos así determinados los equivalentes a los números primos en el caso de los enteros, en el conjunto de los polinomios con coeficientes reales de variable real.

Podemos ver que:  

  es el polinomio factorizado. Un polinomio está factorizado cuando está expresado como productos de polinomios de menor grado posible es decir de la forma   es decir como producto de polinomios de primer grado, y de como máximo de segundo grado cuando no existen soluciones en los reales.

En el ejemplo   y   serían raíces del polinomio.

Factorización de polinomios de segundo gradoEditar

Los polinomios de segundo grado   se pueden factorizar de esta manera (teniendo en cuenta que tendrá como máximo 2 raíces reales):

  • Si el polinomio tiene dos raices   entonces  

Ejemplo

 



  • Si sólo tiene una raíz   entonces  

Ejemplo

 



  • Si no tiene ninguna raíz real, su descomposición constará de dos factores de grado 1 con coeficientes imaginarios.

Ejemplo

 

Factorización de polinomios de grado mayor que dosEditar

Imaginemos que queremos factorizar un polinomio de la forma   Para hacerlo no tenemos la ayuda de una fórmula general como en el caso de los polinomios de 2º grado, para hacerlo no queda más remedio que ir encontrando las raíces una a una:

  • Si un polinomio tiene raíces enteras estas tienen que ser divisores del término independiente.
  • Si   es una raiz del polinomio entonces se divide   por   obtenemos   que es un grado menor y repetimos hasta llegar al grado menor posible (que siempre es 1 o máximo 2).

Para hacerlo más cómodo se emplea la regla de Ruffini.yii

Regla de RuffiniEditar

Seguramente esto ya se ha visto anteriormente, por lo que aquí solamente lo refrescaremos.

Tenemos un polinomio como este   y queremos dividirlo por  

 
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  


El resultado significa que el cociente de la división   y el resto es  

Teorema del restoEditar

Imaginemos que hacemos la división de un polinomio   por   y nos da un resto que llamaremos  , bien pues si hiciesemos   en el polinomio es decir   el resultado sería   es decir   Eoo

Este resultado se puede extender a polinomios de grado cualquiera.

Demostración

 

 

   
 
 

Localización de las raíces enteras de un polinomioEditar

Tenemos un polinomio   con raíces entera y queremos encontrarlas, para hacerlo tenemos que ir probando de dividirlo por  , pero ¿qué valor puede tomar  ? pues tiene que ser un divisor del termino independiente.

Intuitivamente podemos ver que tenemos que conseguir el opuesto del termino idependiente para hacerlo no queda mas remedio que multiplicar algo por a, por eso es necesario que a sea un divisor del termino independiente, ya que el termino independiente tiene que ser multiplo de  .

Procedimiento para la factorización de un polinomioEditar

Para factorizar un polinomio aplicaremos Ruffini sucesivamente hasta que nos quede un polinomio de segundo grado, cuando estemos en este punto aplicaremos la fórmula y obtendremos las dos últimas raíces o si   es negativo sabremos que no lo podemos descomponer más

Ejemplo Tenemos el polinomio siguiente   y queremos descomponerlo

  • Primero sacamos   y   factores comunes:
 
  • Ahora aplicamos Ruffini, los divisores de   son   Empezaremos probando con el  
 

El resto es cero, fantástico, eso quiere decir que hemos encontrado una de las raíces.

 
  • Seguimos aplicando Ruffini, probamos con 1
 

El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:

 

El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:

 

Fantastico, ya hemos encontrado otra raíz con lo cual el polinomio quedará de la siguiente forma:

 
 
  • Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula para resolver polinomios de 2º grado:
 

Vemos que   con lo cual podemos descomponer el polinomio y que sus raíces son 5 y -7. Entonces:

 
 
 
  • Ya hemos descompuesto el polinomio. Ya que todos los factores son de primer grado

Resolución de ecuaciones por factorización de polinomiosEditar

Cuando un polinomio esta factorizado podemos encontrar las raíces facilmente, es decir podemos resolver ecuaciones de grado n.

Ejemplos

Queremos resolver la ecuación   afortunadamente este es el mismo polinomio que en el apartado anterior con lo cual ya sabemos las soluciones, que son          


Ahora queremos resolver  

Sacamos factor común  , aplicamos después Ruffini y encontramos las raíces 2 y -3 finalmente nos queda   la ecuación   no tiene solución, por eso no podemos descomponer más. Las soluciones del polinomio son:       Como podemos ver aunque el polinomio es de grado 7 y debería tener 7 soluciones, dos de ellas no están porque hay una ecuación de segundo grado que no podemos descomponer.


Nota finalEditar

Aunque durante los dos últimos apartados se ha presentado los polinomios como fácilmente factorizables, no es así. Como norma general la raíz de un polinomio es un número no entero, 0,3242 por ejemplo, para encontrar estas raíces tiene que hacerse lo siguiente: Las soluciones racionales de una ecuación polinómica con coeficientes enteros se encuentran entre los números   donde p es uno de los divisores del término independiente y q uno de los divisores del coeficiente director.

Ejemplos

Hallar las raíces de  . Los divisores del termino independiente serán, en este caso, 1, -1, 2, -2, 4, -4 y del coeficiente director 1, -1. Por tanto las posibles raíces son 1, -1, 2, -2, 4, -4 que introduciendolos en el polinomio nos dara que la solución es 2. Hallar las raíces de  . Ahora tenemos como divisores del término independiente 1, -1 y del coeficiente director 1, -1, 2, -2. De lo que tenemos como posibles soluciones 1/2, -1/2, 1, -1 e introduciendolas en el polinomio comprobamos que las soluciones son -1/2 y -1. El número de soluciones que faltan para correponderse con el grado de estas ecuaciones corresponde a soluciones de números complejos.

Aun con esto muchas veces tampoco podremos encontrar las soluciones de un polinomio como   ya que se trata de soluciones irracionales a las que solo nos podemos aproximar, o soluciones de números complejos

Fracciones algebráicasEditar

Una fracción algebraica es un cociente entre dos polinomios de la forma   y funcionan casi igual que las numéricas.

SimplificaciónEditar

Al igual que con las numéricas podemos dividir el denominador y el numerador por el mismo polinomio y de esta manera simplificarla.

 


Ejemplo

 

Fracciones equivalentesEditar

Son aquellas que al simplificarse dan la misma fracción o aquellas que al dividirlas entre si dan como resultado 1


Ejemplo

  y   són equivalentes ya que las dos dan 1 al dividirse entre si o también se puede ver porque al simplificarse las dos dan  

Reducción a común denominadorEditar

Supongamos que queremos sumar

 

Para hacerlo primero debemos reducir a común denominador, para hacerlo multiplicamos el denominador y el numerador de una por el denominador de la otra, esto es:

 

 

 

Suma resta multiplicación y división de fracciones algebraicasEditar

  • Suma (y resta): Ya hemos visto en realidad un ejemplo de suma de polinomios el metodo es

Ejemplo:

 


  • División: Se multiplica la fraccion dividendo por la inversa de la fracción divisor

Ejemplo:

 

Ecuaciones exponenciales y logarítmicasEditar

Ecuaciones exponencialesEditar

Las ecuaciones exponenciales son las que tienen la incógnita en el exponente. Para sacarlo de allí hay que expresar lado y lado del igual con una potencia de la misma base y si esto no se puede hacer entonces se recurre a los logaritmos, aun así hay algunas en las que deberemos usar el ingenio y otras (aunque aquí no veremos ninguna) no se pueden resolver analíticamente.


Ejemplos

  Si factorizamos   nos damos cuenta de que es   y que por lo tanto   La cosa queda como sigue:  



  Ponemos el segundo miembro como potencia de   es decir:  

 



  Al no poder escribir 3 como potencia de 5 debemos coger logaritmos

 


  Hacemos un cambio de variable  

 

Ecuaciones logarítmicasEditar

Son las que tienen la x dentro de un logaritmo. Para resolverlas uno debe coger las propiedades de los logaritmos y utilizarlas para resolver la ecuación, muchas veces (aunque no veremos ninguna) no se pueden resolver analiticamente. Hay que comprobar la ecuación inicial

Ejemplos


 



 


 

 

Nota curiosa: Fijemonos que si la ecuación inicial hubiese sido   las dos soluciones serían correctas.

Sistemas de ecuacionesEditar

Se supone que el alumno ya está familiarizado con los sistemas de ecuaciones, por eso simplemente repasaremos los procedimientos y unos cuantos conceptos.

  • Para que un conjunto de valores sea solución de una ecuación ese conjunto de valores debe cumplirla, por ejemplo para:   una solución podria ser   pero también  
  • Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones en las que siguiendo unos pasos podemos encontrar una solución común
  • Un sistema de ecuaciones con más incognitas que ecuaciones suele tener infinitas soluciones

EjemplosEditar

 

Lo resolveremos mediante substitución, tomamos la primera ecuación despejamos la y:

 

Ahora substituimos y en la segunda ecuación:

 

Resolvemos la ecuación con una incognita, primero elevando al cuadrado los dos miembros

 
 


 

Aplicamos el metodo de reducción sumamos las dos ecuaciones:

 

Por tanto si  

 
 

Resolvemos por igualación

 

Sistemas de tres ecuaciones (método de Gauss)Editar

El método de Gauss consiste en convertir un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas en un sistema con una 1ª ecuación de tres incógnitas, una 2ª ecuación de dos incógnitas y, por último una 3ª ecuación de solo una incógnita. Por lo que se reduce sustancialmte la dificultad del problema.

Ejemplo

 

En un primer paso, la primera ecuación se deja siempre igual, mientras que en las otras ecuaciones eliminamos el término de la x usando el método de la reducción con la primera ecuación.

 

Ahora no cambiaremos ni la 1ª ecuación ni la 2ª ecuación y anularemos el término y de la 3ª ecuación usando la reducción con la 2ª ecuación.

 

Ahora la resolución del sistema se convierte en una trivialidad. De la 3ª ecuación obtenemos z=2, que introducimos en la 2ª ecuación para hallar y=5, y por último introducimos z e y en la 1ª ecuación para hallar x=-1.


Resolución de triángulosEditar

Razones trigonométricas de un ángulo agudoEditar

Si miramos el triángulo de la izquierda podemos describir tres razones que son intrínsecas de los ángulos agudos, ya que las razones sólamente dependen del ángulo   debido al teorema de Thales.

 

 

 

  • Gracias a estas definiciones podemos calcular razones trigonométricas aproximadamente dibujando y midiendo simplemente.
  • Estas razones trigonométricas evidentemente no dependen del triángulo que tracemos sólo dependen del ángulo.

EjemploEditar

Tenemos un triángulo como el de la figura y queremos saber sus razones trigonométricas así que medimos sus tres lados a= 60mm b= 80mm c= 100mm

 
 
 

Relaciones entre las razones trigonométricas del mismo ánguloEditar

Las razones trigonometricas, es decir el sin, cos, tan son dependientes, esto quiere decir que si sabemos una, sabemos las tres. Estas relaciones son las siguientes:

Relaciones trigonométricas fundamentalesEditar

 

 

Nota importante: El cuadrado de estas razones no se expresa   sino así   Es conveniente que se aprendan, hay que tener en cuenta que la mayor parte (seguramente toda) de la literatura matemática usa esa notación.

DemostraciónEditar

 

EjemplosEditar

Se conoce el   y se quiere calcular cuánto valen  

 
 

Se conoce la tangente de un ángulo   y se quiere calcular cuánto valen  

 

Utilización de la calculadora en trigonometríaEditar

Todas las calculadoras científicas del mercado disponen de teclas para las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Sin embargo, es importante tener en cuenta dos factores de interés:

  • En algunos modelos se introduce el valor del ángulo y luego se pulsa la tecla de la razón trigonométrica para obtener su valor, mientras que en otros se hace justamente al revés, primero se pulsa la tecla de la razón deseada, luego se introduce el valor del ángulo y por último la tecla de resultado (generalmente =) nos muestra el resultado en la pantalla.
  • Las calculadoras científicas utilizan tres sistemas de medida angular, los radianes (RAD), los grados sexagesimales (DEG) y los gradianes (GRAD). Es muy importante tener en cuenta este factor, ya que no es lo mismo   que   o  . La conversión entre los sistemas es la siguiente:  

Resolución de triangulos rectángulosEditar

Cuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos todas sus magnitudes desconocidas, es decir la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos, a partir de las conocidas.

Triángulos rectángulosEditar

Si un triángulo es rectángulo en realidad ya sabemos una cosa, que tiene un ángulo de 90º, así que nos hará falta menos información para resolverlo. Podemos resolver un triángulo rectángulo si conocemos:

  • Dos lados
    • Podemos calcular el tercer lado con el Teorema de Pitágoras  
    • Cuando sabemos lo que miden los tres lados es fácil encontrar los ángulos a partir de las razones trigonométricas y de la relación entre los ángulos de un triángulo.

Ejemplo

Tenemos este triángulo y sabemos que  

 

 

 


  • Un ángulo y un lado
    • Los lados se calculan mediante la razón trigonométrica del ángulo que tenemos y con la longitud del lado que tenemos
    • El ángulo que nos falta se calcula recordando que los ángulos de un triángulo suman entre los tres 180º siempre.

Ejemplo

Tenemos este triángulo y conocemos  

 

 

Resolución de triángulos no rectángulos. Estrategia de la alturaEditar

Queremos resolver un triángulo como el de la figura. Sabemos que miden dos de sus lados   y el ángulo  

Para resolverlo lo que hacemos es trazar la siguiente altura h, obtenemos así dos triángulos rectángulos:

Del primer triángulo (el 1) conocemos   obtendremos x e y.

 
 

Para encontrar y aplicamos Pitágoras:

 

Y por fin:

 

Tenemos un triángulo como el siguiente y queremos encontrar que vale h, sabemos que:

 
 
 
 

con lo que tenemos

 

Que resulta:

 
 
 
 

Algunos resultados muy útilesEditar

Esto que viene a continuación uno podria deducirlo. Pero igual que las tablas de multiplicar que se pueden deducir sumando repetidas veces un número es mejor memorizarlo ya que aparecen con frecuencia.

Proyección de un segmento

Cuando proyectamos un segmento sobre una recta la longitud de dicha proyección es la misma que la del segmento multiplicada por el coseno del angulo que formar segmento y recta.

 

Altura de un triangulo

Si cojemos cualquier lado del triángulo (que no sea la base) y lo multiplicamos por el seno del ángulo que forma este con la base obtendremos la altura del triángulo.

 

Area de un triangulo

El area del triangulo es la misma que la mitad del producto de dos de sus lados multiplicado por el seno que forman

 

Razones trigonométricas de ángulos obtusosEditar

Si queremos conocer las razones trigonométricas de un angulo obtuso  , basta fijarse en la figura para ver que son fáciles de obtener, a través de su angulo suplementario  

 

 

La tngente es un poco menos intuitiva, pero también es facil de entender: La tangente de un angulo obtuso es siempre negativa.

 

Resolución de triangulos cualesquieraEditar

Podría parecer que este apartado es inútil debido a que ya se ha aprendido a resolver triangulos cualesquiera con la estrategia de la altura. Sin embargo existen dos teoremas que no agilizarán mucho las cosas sin que tengamos que hacer tantos pasos como con la estratégia de la altura.

Teorema del senoEditar

Intuitivamente uno puede ver que el angulo mayor de un triangulo tiene enfrente el lado mayor, y el angulo menor de un triangulo tiene enfrente el lado menor.

El teorema del seno dice esto precisamente, un poco más formalmente:

Si tenemos un triangulo de lados   y ángulos  

Se cumple que:

 


DemostraciónEditar

Lo demostraremos a partir de la estrategia de la altura.

Dibujamos la altura h desde el vértice C. Los triángulos APC y BCP son rectángulos los dos.

Tenemos que:

 

Para encontrar la igualdad   trazamos h desde el vértice B y procedemos igual que antes.

AplicacionesEditar

Antes de continuar hay que advertir que cuando nuestra incognita sea uno de los angulos y apliquemos el teorema del seno hay dos soluciones debido a que los angulos suplementarios tienen el mismo seno. Tendremos que comprobar si las soluciones son validas.

  • Triangulos cualesquiera con dos ángulos y un lado conocidos

Ejemplo

Tenemos un triangulo como el de la figura, y queremos resolverlo.

Conocemos un lado   y dos ángulos   ¿ cuanto miden los lados a y c.?

Sabiendo que:

 

Aplicando el teorema del seno:

 

con los valores numéricos:

 

tenemos:

 
 
 
 

y tenemos:

 
 
 
 
  • Dos lados y el angulo opuesto de uno de ellos conocido

Ejemplo

Ahora nos encontramos con el siguiente problema:

Conocemos   tenemos que encontrar  

Con el teorema del seno:

 

y los valores:

 

sabiendo:

 

tenemos

 

y por fin:

 

Teorema del cosenoEditar

imagen por hacer Si cogemos un triangulo rectangulo y el angulo de 90° lo disminuimos es intuitivo de que la "hipotenusa" se hará más corta, y si lo hago más grande esta se hará más grande. Pues esto es lo que nos dice el teorema del coseno, en realidad podríamos decir que el teorema del coseno es el teorema de Pitagoras versión 2.0

imagen por hacerTenemos un triangulo cualquiera, se cumple que:

 

 

 

DemostraciónEditar

Dibujamos la altura h, perpendicular a b

 

 

Aplicamos Pitagoras a AHB y BHC

 

 

 

Se puede comprobar que tanto para todos los tipos de triángulos sale la misma fórmula.

AplicacionesEditar

Hay cuatro casos de problemas que se aconsejan resolver por el teorema del coseno

  • Conocemos tres lados y queremos conocer cualquier angulo
  • Conocemos dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos y queremos conocer el otro lado
  • Conocemos dos lados y el angulo que forman y queremos saber el otro lado
  • Conocemos dos lados y el angulo que forman y queremos conocer otro angulo. Para este último caso deberemos aplicar el teorema del coseno primero para saber el lado que nos falta y después el teorema del seno para saber el angulo

Números complejosEditar


Qué son los números complejosEditar

Si intentamos resolver esta ecuación   veremos que no tiene solución en números reales.

Para ello recurrimos a los números imaginarios o números complejos.

(MLV Bs.As. Arg,)Sin embargo para entender mejor el problema y luego la solución, primero debemos recurrir a la ley de los signos en la multiplicación, al multiplicar dos signos negativos o dos positivos, el resultado es un numero positivo siempre, es decir si elevo al cuadrado cualquier numero sea positivo o negativo, el resultado es siempre positivo, por tanto no hay manera de encontrar la raiz de un numero negativo. es alli donde se da la solucion introduciendo el valor imaginario,es decir aislando el termino insoluble y dejandolo tal como esta , pues si bien es cierto i= raiz(-1) este no tiene solucion y tampoco necesitamos que tenga solucion, pues manteniendolo tal como esta como una expresion matematica , nos sirve para dar la solucion y se hace asi: si mantengo este raiz(-1) [sin necesidad de llamarlo i ] puedo operar: por ejemplo Raiz (-9) seria igual a Raiz(9).(-1) y como se puede aplicar propiedad distributiva a la raiz, se tiene :

Raiz(-9) = Raiz(9).Raiz(-1) operando se tiene Raiz(-9) = 3. raiz(-1)

esta es la solucion, pero alguien me dira, pero sigue ahi el problema, que no se sabe cuanto es exactamente Raiz(-9) , yo le respondo que si llamamos "i" a Raiz (-1) , entonces la solucion es 3i y esta solucion pasa la prueba, porque en este caso si elevo al cuadrado esta solucion, "ahora si me da un numero NEGATIVO" pues:

[3.Raiz(-1)] al cuadrado es 3 al cuadrado por [Raiz(-1)] al cuadrado

= 9 por (-1) = -9

como ven, nunca se soluciono en realidad la raiz de un numero negativo, sino que se lo dejo en "durmiendo" para que cuando se aplique lo contrario ( el cuadrado o potencia par ) se elimine la raiz par y quede el MENOS 1 que hace negativo al numero solucion de un cuadrado o potencia par(MLV Bs.As. ARG )


 

 

Operaciones con números complejosEditar

  • Suma
 
  • Resta
 
  • Multiplicación
 
  • División
 
  • Igualdad
 

Números complejos en forma polarEditar

Paso de forma binómica a polarEditar

Dado un complejo en forma binómica  , definimos su modulo r como:


 


y su argumento como


 


La expresión   la llamaremos forma polar del número complejo u.


Paso de forma polar a binómicaEditar

La parte real de un complejo   es

 

y la parte imaginaria es

 

con lo cual su forma binómica será

 

Operaciones con números complejos en forma polarEditar

La raiz de indice n de un numero complejo tiene n soluciones, todas ellas con el mismo modulo, que es la raiz n-esima del modulo de radicando y se obtienen al sumarle a este valor, 360/n sucesivas veces hasta completar una vuelta.

ReferenciasEditar

Lección sobre Números Complejos (Con ejemplos graficos)


Geometría analíticaEditar

DefiniciónEditar

La recta L, determinada por los puntos A y B, es el conjunto de puntos P del plano XOY, tal que AP = kAB (1), o L= {P(x,y}/AP =kAB}.

En efecto, AP= (x-x1, y-y1), AB= (x2-x1,y2-y1), kAB=(k(x2-x1),k(y2-y1)).
Usando la ecuación (1) y comparando los pares ordenados respectivos resulta x-x1=k(x2-x1), y-y1 = k(y2-y1): Eliminando k se obtienen las formas
  • Dos puntos
  • Punto pendiente, definiendo este concepto como la razón la ordenada de AB sobre sobre su abscisa.

Ecuaciones de la rectaEditar

Cuando representamos una ecuación de primer grado en un gráfico de 2 dimensiones (dos ejes: ordenadas y abscisas) se hace una recta.

 

  es la pendiente de la recta, coincide con la tangente del ángulo que forma la recta respecto al eje de abscisas.

  es la ordenada de origen, el punto en el eje de ordenadas en el cual la recta corta. La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada directriz, y a un punto fijo, llamado foco son iguales

Aplicación de los vectores a problemas métricosEditar

Problemas con rectas en paramétricasEditar

Ecuación explicita de la recta. PendienteEditar

La ecuación explicita de la recta se obtiene despejando la "y" en la ecuación general de la recta (ax + by + c = 0):

 

Sustituyendo   y   obtenemos:

 

Donde   es el coeficiente angular de la recta y   es la intersección de la recta con el eje Oy.

Relacion entre las pendientes m1 y m2 de dos rectas r1 r2Editar

Inclinación y pendiente. Dado un segmento cualquiera, la inclinación de ésta es el menor de los ángulos ( )que forma con el semieje positivo X y se mide desde el eje hacia el segmento o la recta L. la inclinación es positiva si el ángulo se mide en el sentido contrario a las agujas del reloj, en caso contrario es negativo.

 

Posición relativa de dos rectas dadas en forma generalEditar

ACLARACION EXAGERADA Si la ecuación general de una recta es Ax + By + C = 0, se observa, que es una expresión de primer grado (o lineal) "toda ecuación de primer grado (en dos variables cuyo exponente es la unidad) tiene como gráfica una recta" determinados los coeficientes A, B y C, tenemos la ecuación de la recta. Lo mismos ocurrirá cuando determinemos las ecuaciones de las cónicas, "una vez encontrada la ecuación general, bastará determinar los coeficientes, para tener la ecuación particular a ese problema". Estos coeficientes se hallan en relación a propiedades y características de la curva, condiciones iniciales y de contorno, más los datos del problema.


DerivadasEditar

Medida del crecimiento de una funciónEditar

El resultado de derivar una función es una segunda función que nos indica el crecimiento de la función original. Esto es, en un punto determinado, la pendiente de la función original. Desde un punto de vista gráfico para facilitar su comprensión, una línea recta dibujada horizontalmente tiene una función, una ecuación, asociada como la siguiente:  , donde n es un número. La derivada de esta función es 0, puesto que n es una constante. En este caso la derivada nos explica que la función ni crece ni decrece.

Ahora imaginemos una recta creciente de función  , donde n (la pendiente) es un número positivo. Si derivamos la función obtendremos de resultado una constante de valor n (la pendiente de la función anterior). Siendo este número positivo sabemos que la función crece.

Conclusión: La derivada de una función nos dice la pendiente de la función.

¿Es esto siempre válido? Con matices. En el caso de las funciones de recta (polinomios de 1r grado) lo es porque independientemente del punto en el que derives el resultado es constante.

¿Y en el caso de curvas (polinomios de grado superior a 1 u otras funciones)? Es válido. PERO: La derivada genérica de la función   nos devolverá una función derivada   que nos dará toda la información del crecimiento de la función original, para cada punto de esta, por lo que para obtener la información de crecimiento en un punto concreto debemos evaluar la función derivada en ese punto. Es decir,   nos dará la tasa de crecimiento de la función   para puntos infinitesimalmente cercanos a 1.

DefiniciónEditar

Sea   una función continua, y   su curva. Sea   la abscisa de un punto regular, es decir donde   no hace un ángulo. En el punto   de   se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es  , el número derivado de   en  .

La función   es la derivada de  .

 

En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir  , se puede saber a qué ritmo crece o decrece la función. El signo de   determina si la función   crece o decrece.

 

En este gráfico se ve que donde   es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto   es positiva, como en el punto   ( ), mientras que donde   es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y   es negativa, como en el punto   ( ). En los puntos   y  , que son máximo y mínimo local, la tangente es horizontal, luego  .

La función derivada se puede calcular sin dibujar la curva de  . En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la tangente, se tiene la fórmula:

 

Interpretación geométricaEditar

Sea   una función cualquiera.

Si trazamos una recta entre dos de sus puntos, podemos hallar la Tasa de Valor Medio como los incrementos en la ordenada respecto de la variable independiente. Es decir, la pendiente de la recta secante a la función por los puntos   es:  , o de forma abreviada,  .

Ahora acerquemos   y   uno al otro. Cuando se confundan en un punto, también lo harán la recta tangente con la secante. De este modo, por la definición de límite, tema de este curso, podemos hallar la función   como sigue:  

Esta es la definición formal de función derivada. Sale directamente de la fórmula de la pendiente, acercando los puntos   y  .

En resumen, la interpretación geométrica de la función derivada es: la función que nos devuelve la pendiente de la función original en cada punto.


Crecimiento de una función en un puntoEditar

Función derivada de otraEditar

Reglas para obtener las derivadas de algunas funcionesEditar

Las reglas básicas que hay que conocer para derivar funciones tan complejas como uno quiera son:

  1.  , siendo c=cte.
  2.  , siendo c=cte. y f(x) cualquier función.
  3.  , siendo n=cte no nula.
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

Y la regla de la cadena:  

Aplicaciones de las derivadasEditar

Dada una función   que es derivada de otra función  

 

  se anula en los puntos donde hay un máximo o un mínimo en la función primitiva, o sea en esos puntos cambia el crecimiento de la función  

La derivada segunda   (derivada de la derivada) se anula en los puntos en los cuales se encuentran puntos de inflexión en la función original,que es donde cambia la curvatura de la función  

EjemplosEditar

Ejemplo #1Editar

Consideremos la siguiente función:

   

Entonces:

   
 

Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero nunca lo alcanza. Si pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la recta tangente a la curva, es a la vez, la recta secante a la misma curva.

Ejemplo #2Editar

Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada de la función.

 
 
 

Sustituir datos:

 

Desarrollar:

 
 
 

Entonces, la derivada de la función   es:

 

Ejemplo #3Editar

Encuentra la derivada de:

 
 

Racionalizando:

 
 
 
 

Calculamos el límite:

 
 
 
 
 

Algunos ejemplos de cómo utilizar este cociente:

Ejemplo #4Editar

Mediante esta diferenciación, se puede calcular la pendiente de una curva. Consideremos que:  

Entonces:

   
 
 

Para cualquier punto x, la pendiente de la función   es  .

Ejemplo #5Editar

Sea   la función  , definida sobre el conjunto de los números reales (denotado por  ). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:

 

Para encontrar el signo de  , se tiene que factorizar:

 

lo anterior que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado.

También se observa su segunda derivada:

 


Dado que   y   entonces   tiene un mínimo local en 1 y su valor es  .

Dado que   y   entonces   tiene un máximo local en -4 y su valor es  .

Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores de   tales que  , los cuales son   y  , tomando en cuenta el teorema del valor medio y que   entonces la derivada es negativa en el intervalo   por lo tanto la función es decreciente en el intervalo  .

Al ser una función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por arriba ni por abajo y como su derivada es una función cuadrática entonces no tiene más de 2 puntos con derivada igual a cero, por tanto la función es creciente en el intervalo   y en el intervalo  .

Véase tambiénEditar

http://ballz.ababa.net/silvana/derivada.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/node1.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/derivada-direccional/node1.html

IntegralesEditar

Área bajo una curvaEditar

El concepto de integral proviene del deseo de conocer el área comprendida entre el eje de coordenadas y una curva, también llamada área bajo la curva. Originalmente para calcular dicha área se propuso dibujar rectángulos de altura y base conocidas para poder así sumar sus áreas. Obviamente el método no es exacto. Para obtener más precisión se han de hacer los rectángulos con una base más pequeña para que la diferencia sea cada vez menor. El único método exacto es crear rectángulos de base infinatamente pequeñas, usando diferenciales, con lo que se obtiene una serie de áreas infinitamente pequeñas. La integral es la suma de dichas áreas aprovechando las bases diferenciales, con lo que se eliminan las inexactitudes.

Relación analítica entre el area y la funciónEditar

Iniciación al cálculo de primitivasEditar

Regla práctica para el cálculo de integralesEditar

Aplicaciones de las integralesEditar

VectoresEditar

Conceptos básicosEditar

Es necesario conocer algunos conceptos: definición de vector fijo. Un vector fijo es un segmento orientado. Es decir, un par ordenado de puntos. El primero se denomina origen y el segundo extremo del vector. Cuando ambos puntos coinciden se denomina vector nulo.

Para describir un vector fijo se nombran su origen y su extremo con una flecha por encima:  

Propiedades de un vector fijo:

MÓDULO: es la distancia entre su origen y su extremo. Se representa  

DIRECCIÓN: es la clase formada por todas las rectas paralelas al vector. Dos vectores tienen la misma dirección cuando son paralelos y diferente cuando no lo son. Un vector nulo no tiene dirección.

SENTIDO: Entre dos vectores fijos con la misma dirección, la recta que une sus dos orígenes divide al plano en dos semiplanos. Si los extremos de ambos vectores están en el mismo semiplano, entonces se dice que los vectores tienen el mismo sentido, mientras que si están en diferente el semiplano tienen sentidos opuestos.

equipolencia Dos vectores fijos se dice que son equipolentes cuando tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido. Dicho de otra forma, dos vectores equipolentes se diferencian sólo en sus puntos de origen y extremo. La equipolencia establece una relación de equivalencia en el conjunto de todos los vectores fijo.

definición de vector libre Un vector libre es cada una de las clases de equivalencia establecidas en el conjunto de los vectores fijo por la anterior relación de equivalencia. Los vectores que forman parte de una misma clase de equivalencia tienen el mismo módulo, dirección y sentido, por lo que un vector libre se puede considerar como un vector sin origen ni extremo. Así pues, mientras que un vector fijo representa un desplazamiento concreto desde un punto del plano a otro, un vector libre representa un desplazamiento genérico en el plano, sin considerar el punto de partida. Por ejemplo: Mientras que un vector fijo sería el desplazamiento de Pamplona a Logroño, el correspondiente vector libre sería un desplazamiento de 85 km en dirección suroeste. Dos segmentos de recta dirigidos (flechas) con longitudes no nulas representan el mismo vector si y sólo si tienen la misma longitud y la misma dirección. Para denotar los vectores libres usaremos letras latinas con una barra encima. Si el punto inicial y terminal del vector son los puntos A y B respectivamente, también podemos escribir

Nombrar vectores y coordenadas de un vectorEditar

Un vector puebe nombrarse con una sola letra, que lo designa que se coloca junto a la flecha que indica el sentido.

Las proyecciones del vector sobre los ejes son las coordenadas del vector, respecto a ese sistema de coordenadas.

En el caso de dos dimensiones, en el plano x-y, las coordenadas del vector   son:   que se representa:  

En un sistema de tres dimensiones de ejes x-y-z las cooredenadas del vector   seran  

¿Cómo hallar el módulo de un vector?Editar

Bien. Ahora, regresemos al pasado y recordemos la fórmula del teorema de Pitágoras.

 , para averiguar el modulo del vector vamos a aplicar la misma fórmula. Nos imaginamos que el modulo del vector es la hipotenusa de un triángulo rectangulo:

  para este vector  

Operaciones con vectoresEditar

1. PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO.

Hacer esta operación no entraña ninguna dificultad, pero tienes que saber algunas cosas del vector resultante. Si K es un número real y   un vector no nulo, el producto   será otro vector con las siguientes características:

  • Su módulo es igual al módulo de   multiplicado por el valor absoluto de K.
  • Su dirección es la misma que la de   .
  • Su sentido es el mismo de   si K es positivo o el contrario si K es negativo.
  • Cuando   es el vector nulo, o K=0, el resultado es el vector nulo:
 

2. SUMAS Y RESTAS DE VECTORES.

Gráficamente pueden sumarse mediante el teorema del paralelogramo. Matemáticamente, se emplea la forma:

 

3. COMBINACION LINEAL DE VECTORES.

Definicion: dados dos vectores, X¯ e Y¯ y dos números A y B, el vector AX¯+BY¯ se dice que es una COMBINACION LINEAL de X¯ e Y¯.

Entonces tu lo haces gráficamente.... dibujas los vectores X¯ e Y¯ y el vector V