Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Funciones no elementales
Dada una función real de variable real. función no elemental:
se dice que la función f es no elemental si no cumple las condiciones de función elemental. Existen un número inlimitado de funciones no elementales, presentaremos unos ejemplos de funciones de este tipo.
Funciones de partes de x
editarDada la función id(x) que asocia a y el mismo valor de x, definida así:
con la representadión grafica de la derecha.
La función id(x) esta definida para todo x real, es continua u derivable, y creciento en todo su entorno de definición.
Es función impar:
Es función idempotente:
Función signo
editarLa función signo es una función no elemental definida para todo x real:
Asigna a y el volor 1 si x es positivo, 0 si x es 0 y -1 si x es negativo:
La función sgn(x) esta derinida para todo x real, es discontinua para x= 0, para los valores distintos de cero es continua y derivable, y estacionaria (no es creciente ni decreciente).
Es función impar:
Ademas:
Es función idempotente:
Función valor absoluto
editarLa función valor absoluto asocia a y el valor de x sin signo:
La función esta definida paro todo x real, es continua y no deribable para x= 0.
La función abs nunca toma valores negativos, es decreciente para x negativo y es creciente para x positivo, para x= 0 la función tambien vale cero (y= 0).
Es función par:
Es función idempotente:
podemos ver que:
Escalón de Heaviside
editarLa función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo, incluido el cero:
Esta función queda definida de esta forma:
Función rampa
editarLa función rampa definida para valores reales:
Que se puede especificar de esta forma:
Esta función es continua, y no es derivable para x = 0.
Es función idempotente:
Puede verse que:
Función entero de x
editarEsta función asocia a y el mismo valor de x cuando x en un número entero, si x es positivo y se obtiene eliminando la parte decimas, si x tiene valor negativo y es el valor de x sin parte decimal menos una unidad.
La función entero asocia a y el maximo número entero menor o igual a x, esto es, de todos los números enteros menores o iguales que x, el mayor de ellos:
Representada en la figura de la derecha.
La función E(x) esta definida paro todo x real, es discontinua para x número entero, y para los valores en los que es continua es estacionaria.
Función mantisa de x
editarLa función mantisa o parte decimal de x, es una función que asocia a y el valor que falta desde el número entero inferior a x
Ver la figura de la derecha, si x es un número entero M(x) es cero, si x en un número positivo M(x) es la parte decimal de x, cuando x tiene valor negativo entonces M(x) es lo que le falta hasta en número entero inferior a x. M(x) nunca toma valores negativos.
La función M(x) esta definida para todo x real, es discontinua para x número entero y para los valores en los que es continua es creciente.
Puede verse que:
Ver la figura de la derecha.
Función parte entera de x
editarLa función parte entera de x es el resultado de eliminar la parte decimal del número, de forma que se conserva el signo y la parte entera. Es una funcion definida para todo número real:
La función parte entera se define como:
para x menor que cero: es el minimo entero mayor o igual que x y para x mayor o igual que cero: es el maximo entero menor o igual que x.
Esta función es impar:
Función parte decimal de x
editarLa función parte decimal de x es el resultado de eliminar la parte entera del número, de forma que se conserva el signo y la parte decimal. Es una funcion definida para todo número real:
Para x negativo frac int(x) es no positivo, para x positivo frac int(x) es no negativo.
Esta función es impar:
Puede verse que:
Función redondeo de x
editarLa funcion redondeo de x esta definida para todo número real:
Esta función asocia a todo x número real el número entero más proximo, en caso de enteros igualmente proximos se tomara el de menor valor absoluto. La función parte entera se define como:
Esta función es impar:
Función fracción de redondeo de x
editarLa funcion fracción de redondeo de x esta definida para todo número real:
Esta función asocia a todo x número real el número fraccionario más proximo a un número entero.
Esta función es impar:
se puede ver que:
Función suelo
editarEsta función es equivalente a la funcios parte entera: :
La función suelo asocia a y el maximo número entero menor o igual a x:
Función fracción de suelo
editarLa función fracción de suelo es equivalente a mantisa o parte decimal, asocia a y el valor que falta desde el número entero inferior a x
Puede verse que:
Ver la figura de la derecha.
Función techo
editarLa función techo asocia a y el valor entero de x por esceso, compararla con la función suelo:
El valor de la función techo es el minimo valor entero mayor o igual que x:
Función fracción de techo
editarLa función fracción de techo asocia a y el valor que falta desde el número entero superios a x
Puede verse que:
Ver la figura de la derecha.
Funciones escalonadas
editarFunción rectangular
editarLa función rectangular (también llamada función ventana unitaria o pulso unitario) se define como:
Función escalonada
editarUna función es escalonada si toma valores constantes en distintos intervalos, por ejemplo podemos ver la función y= s(x) de la figura: