Matemáticas/Los números/Texto completo

La noción de número es una de las más fundamentales en matemáticas. Su origen se remonta a la antigüedad y a través de los siglos ha pasado por un proceso de extensión y de generalización de los números reales...

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Números naturalesEditar

Los números naturales son cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjuntos[1] así como también en operaciones elementales de cálculo.

El cero: 0, no suele considerarse número natural:

 

 

dado que no suele empezarse a contar desde cero, pero en ocasiones se puede incluir entre los naturales:

 

 

Números primosEditar

Los números enteros son los que pueden representar canticades enterras, positivas o negativas pero sin parte decimal:

 

 

Números racionalesEditar

Los números racionales son los que pueden expresar cantidades inferiores a la unidad, los números racionales incluyen a los enteros.

Números racionales no negativosEditar

Así si la unidad la dividimos en dos partes iguales tendremos:

 

que se numerarían así:

 

si la unicad la dividimos en tres partes iguales, tendremos:

 

que se numerarían así:

 

Números racionales con valor negativosEditar

Así si la unidad la dividimos en dos partes iguales tendremos:

 

que se numerarían así:

 

si la unicad la dividimos en tres partes iguales, tendremos:

 

que se numerarían así:

 

ReferenciasEditar

  1. Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álgebra». En Carmona Rodríguez, Manuel; Díaz Fernández, Francisco Javier. Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada. p. 13. ISBN 9788421659854. 

Se llaman números naturales a aquellos números que se pueden obtener al sumar el número 1 a sí mismo la cantidad de veces que se quiera. Así, tendríamos que el dos es un número natural pues 2=1+1, tres también lo es pues 3=1+1+1=2+1, cuatro también 4=1+1+1+1=3+1=2+2, y así sucesivamente.  

El conjunto que se va formando no tiene un último elemento, es decir, es infinito. Es fácil demostrarlo: Supongamos que n es el último número natural que podemos tener. Siempre se le puede sumar 1 a cualquier número natural y obtendremos un natural, por lo tanto (n+1) existe y es un número natural. Entonces n no era el último, (n+1) debe serlo. Entonces razonamos de igual forma para (n+1)y así sucesivamente. Esta argumentación no tiene fin: entonces no existe un último número natural, con lo cual el conjunto es infinito.

SubdivisiónEditar

Los Números Naturales se pueden separar en el 1, los números primos y los números compuestos.

Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los opuestos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0.  

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).


En la matemática moderna el conjunto de los números enteros al abarcar todos los enteros tanto negativos como positivos, representándolos en una recta numérica "llega" hasta el infinito hacia ambos lados, en rigor no existe un comienzo ni un final. La situación no cambiaría en el caso de usar el cero como "origen" para su localización.


Los números enteros se pueden subdividir en dos categorías, los Pares y los Impares.

Números ParesEditar

Los números enteros se pueden subdividir en dos categorías, una de ellas, la de los números pares está formada por los números enteros múltiplos de 2, es decir, un número entero m es número par si y solo si existe otro número entero n tal que: m = 2 x n. La cifra final de los números pares puede ser: 0, 2, 4, 6 u 8.

Números ImparesEditar

Los números enteros se pueden subdividir en dos categorías, una de ellas, la de los números impares está formada por los números enteros que no son múltiplos de 2, es decir, un número entero m es número impar si y solo si existe otro número entero n tal que: m = 1 + 2 x n.

Los números impares siempre terminan con un dígito 1,3,5,7, o 9. Así que 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 son números impares. Los números negativos son los números situados supuestamente a la izquierda de la recta numérica. Llevan el signo de la resta ( ).

Valor opuestoEditar

El valor opuesto de un número negativo es el contrario a este. Se representa con las letras   Por ejemplo:

 

Ante operacionesEditar

Ante la sumaEditar

  • Para sumar números negativos debes de hacer como si sumaras números naturales, pero al final colocando el signo de -. Debe colocarse siempre paréntesis entre estos, aunque el resultado no tenga esa necesidad:  
  • Para sumar negativos con positivos debes (simpre que vaya delante debes hacer como que restas y lo más posible es que de negativo):  y siempre que vaya detrás debes hacer como que restas el positivo:  

Ante la restaEditar

  • Para restar números negativos con estos o con positivos (si hay dos factores), debes convertir la resta en suma y el segundo factor en su opuesto:  .

Ante la multiplicación y divisiónEditar

  • Para multiplicar o dividir números negativos lo hacemos usando la Regla de los signos. Esta es:

Símbolos:  : Multiplicación o división
 : Positivo (número)  : Negativo (número)

  Ejemplo: 

  Ejemplo: 

  Ejemplo: 

  Ejemplo: 

Propiedad distributiva o sacar factor comúnEditar

  • Para hacer la propiedad distributiva o querer sacar factor común debes hacerlo igual que con números naturales: 

Ante potenciasEditar

Al elevar un número negativo a un determinado exponente, usamos la Regla de signos para ver si el resultado es negativo o positivo. Si es par el exponente, el número va a ser postivo. Si es impar: al contrario. Ejemplos:

  •  
  •  

Se denominan números decimales aquellos que poseen una parte decimal, en oposición a los números enteros que carecen de ella. Como  

OperacionesEditar

 

SumaEditar

  85=45 + 40=9645

RestaEditar

 

MultiplicaciónEditar

  o también  

DivisiónEditar

 

OtrasEditar

PotenciaciónEditar

  Los números romanos son los números que usaban los romanos, pero utilizaban letras. Eran 7 letras:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Reglas de los números romanosEditar

Los romanos usaban unas normas para sumar, restar y multiplicar.

Regla de la sumaEditar

Si a una letra le pones otra de igual o menor valor a la derecha ,se suma al número mayor ese número:

 


de la restaEditar

Si a una letra le pones otra de menor valor a la izquierda , se resta al menor ese número:

 

Regla de la repeticiónEditar

Las letras   y   se pueden repetir hasta 3 veces como máximo. Las letras   y   no se pueden repetir.

Regla de la multiplicaciónEditar

Si a una letra le pones una linea encima, esta multiplica su valor por 1000. Así hacían los romanos para escribir números iguales o mayores a 4000, ya que   no podía repetirse más de tres veces.

Más cosasEditar

En los números romanos no habían decimales ni negativos. Solo se podían escribir números como el  . Sin embargo, se podría escribir números mayores a  , poniendo rayas por encima que querían decir que se multiplicaban por  .

En sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional.

 
Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos.

Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero).

El conjunto de los números racionales se denota por  , que significa «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto denúmeros fraccionarios.

Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales.

HistoriaEditar

En el Antiguo Egipto ya se calculaba utilizando aquéllas cuyos denominadores son enteros positivos, como: cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas, de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como fracción egipcia. Además, se puede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia.

El jeroglífico de una boca abierta (

D21

) denotaba la barra de fracción (/), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción.

|} Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.

Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.

En el siglo XIII Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.

Construcción de los números racionalesEditar

  • Consideremos las parejas de números enteros   donde  .
  •   denota a  . A   se le llama numerador y a   se le llama denominador
  • Al conjunto de estos números se le denota por  . Es decir  

Definición de suma y multiplicación en QEditar

  • Se define la suma  
  • Se define la multiplicación  

Relaciones de equivalencia y orden en QEditar

 
Fracción aparente que es equivalente a dos.
  • Se define la equivalencia   cuando  
  • Los racionales positivos son todos los   tales que  
  • Los racionales negativos son todos los   tales que  
  • Se define el orden   cuando  

NotaciónEditar

  • Los números de tipo   son denotados por  
  • Las sumas de tipo   son denotadas por  
  •   denota a  
  • Todo número   se denota simplemente por  .

Unicidad de un racionalEditar

Un número racional sólo puede provenir de una única fracción irreducible.

Propiedades de los números racionalesEditar

El conjunto de los números racionales con la suma y multiplicación definida de esta manera forman un Cuerpo.

Propiedades de la suma y multiplicaciónEditar

  • La suma en Q es conmutativa, esto es:  
  • La suma en Q es asociativa, esto es:  
  • La multiplicación en Q es asociativa, esto es:  
  • La multiplicación en Q es distributiva, esto es:  

Existencia de neutros e inversosEditar

  • Para cualquier número racional:   se cumple que   entonces   es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por  .
  • Para cualquier número racional:   se cumple que   entonces   es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por  .
  • Cada número racional:   tiene un inverso aditivo   tal que  
  • Cada número racional:   con excepción de   tiene un inverso multiplicativo   tal que  

Equivalencias notables en QEditar

  •   si   y  
  •  
  •  
  •  , a y b ≠ 0
  •  , a y b ≠ 0.

Los números enteros en QEditar

  • Si   es un número entero entonces existe el número   que equivale a   y mantiene todas sus propiedades de entero. Es decir, se define  

Otras notaciones de números en QEditar

Fracciones mixtasEditar

Cada número racional   se puede expresar de forma única como   donde

  • A es un entero no negativo, es decir  
  •   es un racional irreducible no negativo menor que uno. Se expresa como  
  •   es una unidad. Es decir  

La notación es muy sencilla, las reglas son

  •   denota a  
  •   denota a  

Por ejemplo  

El conjunto de los números decimales en QEditar

  • Un número decimal es un número racional de la forma  
  •   denota al conjunto de los números de este tipo. Es decir  
  • Expresión Racional de un número decimal: el número   en base   con un punto a   lugares del extremo derecho, por ejemplo   se denota como  

Representación decimal de los números racionalesEditar

Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos:

  • Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:
 
  • Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:
 
  • Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:
 

En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo:

 

Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera: Léase el artículo entero en Wikipedia:Número Periódico


  • Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. Ejemplo:  
  • Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo:  
  • Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre   y  , donde   es el número escrito sin la coma, y   es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número   entonces   y  , por lo que el número buscado será  .
  •  
  •  
  •  


 

ReferenciasEditar

  • Cárdenas; Raggi (1990). Álgebra Superior. México D.F. : Trillas. ISBN 968-24-3783-0. 

Véase tambiénEditar

Números
Complejos  
Reales  
Racionales  
Enteros  
Naturales  
Uno
Primos
Compuestos
Cero
Negativos
Fraccionarios
Irracionales
Imaginarios

Son los números que no se pueden expresar mediante el cociente de dos números enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido.

Entre los números irracionales destacan los llamados números trascendentes. Se define un número trascendente como aquél que no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros o racionales. Por tanto, podríamos clasificar los números reales en dos tipos: algebraicos y trascendentes.

En general, si tenemos dos cuerpos   y   de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que   es trascendente sobre   si no existe ningún polinomio   del que   es raíz ( ).

Los números imaginarios son aquellos de acuerdo a la lógica convencional, no pueden existir. Sin embargo, pueden ser el resultado de operaciones matemáticas comunes. La forma clásica de obtener un número imaginario/complejo es al obtener la raíz cuadrada de un número negativo.

 

Esto es debido a que, de acuerdo a lo que sabemos, los números reales elevados al cuadrado (es decir, multiplicados por sí mismos), ya sean positivos o negativos, darán como resultado un número positivo, tal como el caso de dos números positivos:

 

Y con el caso de dos números negativos, porque de acuerdo a las leyes de los signos, un número negativo multiplicado por un número negativo (en este caso, multiplicado por sí mismo) dará como resultado un número positivo, de forma que

 

Entonces, de acuerdo a esto, no existe realmente un número tal que, multiplicado por sí mismo de como resultado un número negativo. Sin embargo podemos decir que i, la letra que representa a los números imaginarios, es igual a

 

Y dada esta igualdad, sería correcto afirmar que

 

Esto porque i equivale a la raíz cuadrada de -1, entonces, desarrollando la ecuación anterior, tenemos que

 

Y como ya lo sabemos, la raíz cuadrada es la operación inversa al exponente cuadrado, entonces, sabiendo que un número multiplicado por sí mismo equivale a elevarlo al cuadrado, podemos expresar esto como

 

Por lo tanto, también podemos decir que

 

 

Un número complejo es una expresión de la forma binómica  , donde a y b son números reales, siendo b el coeficiente de la parte imaginaria (i). Un ejemplo de número imaginario es 4 + 2i.

Los números complejos constituyen una extensión de los números reales, los empezó a usar Girolamo Cardano. Se les considera también como un par ordenado de números reales.

ConjugadoEditar

El conjugado de un número complejo es el mismo número, pero con la parte imaginaria cambiada de signo:

 

En nuestro caso, el conjugado de   es  . El término real no cambia de signo.

Clasificación de los números complejos: Real Complejo rectangular Complejo polar se realizan operaciones en: sume de números complejos,resta de números complejos, multiplicación o producto de números complejos y division de numero complejos

Es fácil de entender que todo número racional tiene una representación en forma de número decimal exacto o periódico. Dado que pueden construirse otros números en representación decimal con infinitas cifras decimales y sin periodo, éstos no son racionales. Se les denomina IRRACIONALES.

El conjunto de racionales e irracionales se denomina conjunto de NÚMEROS REALES. Se denota con la letra  .

Los números tienen gran variedad de tipos, (poligonales, repdigit, mixtos, etc...) Aquí hay varios y diversos tipos

Números cíclicosEditar

Se le denomina a un número "cíclico" un número en el que al multiplicarse por dígitos del 1 al 7 (en el caso de 142857) su producto sea sus cifras en orden desordenado o inverso. El más conocido y popular es el  :

 

 

 

 

 (857 y 142 inversos en posición)

 (repdigit)


También tiene estas propiedades:

 

 

 

 

...  

 


Además, la sucesión de 142857, ya sea en decimales o en naturales se desarrollará siempre que dividas entre 7 la unidad seguida de ceros  

Números repdigitEditar

Los números repdigit son una clase de números que todas sus cifras son iguales.

Los más famosos son:   Pero no tienen por qué ser estos: 

Números poligonalesEditar

Un número poligonal es aquel que con cada unidad que vale se puede formar un polígono y recomponerlo. También puede ser una potencia (en el caso de los cuadrados):

Primeros 10 números triangulares, formados en forma de triángulo equilátero: 

Primeros 10 números cuadrados, cuadrados perfectos o números elevados al cuadrado: 

Primeros 10 números pentagonales, recomponiendo un pentágono regular: 


Números de la sucesión de FibonacciEditar

La sucesión de Fibonacci trata de que una serie de números se componen de modo que la suma de los dos anteriores forma al nuevo número Aquí están los primeros 15 números de la sucesión de Fibonacci (1 repetido dos veces para formar al 2): (se repite dos veces)  También están los números de Tribonacci, Tetranacci, Pentanacci. Esta sucesión fue inventada por el matemático Leonardo de Pisa (conocido antiguamente como Fibonacci)