Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 099b

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Lección 099

Mathematik auf Deutsch - 49

BM2401 - BM2410

BM2401

Ähnlichkeitssätze

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Die Ähnlichkeitssätze sind Sätze, die hinreichende Bedingungen stellen, dass zwei Dreiecke ähnlich sind. Viele Aussagen der Geometrie lassen sich mit Hilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken beweisen.

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Die vier Ähnlichkeitssätze für Dreiecke:

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Die vier Ähnlichkeitssätze für Dreiecke lauten:

• Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei (und somit in drei) Winkeln übereinstimmen. (W:W:W-Satz)

• Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. (S:S:S-Satz)

• Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen. (S:W:S-Satz)

• Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und im gegenüberliegenden Winkel der größeren Seite übereinstimmen. (S:S:W-Satz)

• 
  W:W:W-Satz
  drei Winkel stimmen überein
• 
  S:S:S-Satz
  Seitenverhältnisse a : a' = b : b' = c : c'
• 
  S:W:S-Satz
  a : a' = b : b',
  die eingeschlossenen Winkel (γ, γ') stimmen überein
• 
  S:S:W-Satz
  a : a' = b : b',
  die den größeren Seiten gegenüberliegenden Winkel (β, β') stimmen überein

BM2402

Strahlensatz

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Der Strahlensatz (man spricht auch vom ersten, zweiten und dritten Strahlensatz) oder Vierstreckensatz gehört zu den wichtigsten Aussagen der Elementargeometrie. Er befasst sich mit Streckenverhältnissen und ermöglicht es bei vielen geometrischen Überlegungen, unbekannte Streckenlängen auszurechnen.

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Formulierung der Strahlensätze:

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Wenn zwei bzw. drei durch einen Punkt (Scheitel) verlaufende Geraden von zwei Parallelen geschnitten werden, die nicht durch den Scheitel gehen, dann gelten die folgenden Aussagen:

1.) Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden so zueinander wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden, also zum Beispiel $|ZA|:|ZB|=|ZA^{\prime }|:|ZB^{\prime }|$ oder $|ZA|:|ZA^{\prime }|=|ZB|:|ZB^{\prime }|$.

2.) Es verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die ihnen entsprechenden, vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf jeweils derselben Geraden, z. B. $|AB|:|A^{\prime }B^{\prime }|=|ZA|:|ZA^{\prime }|$ oder $|A^{\prime }B^{\prime }|:|AB|=|ZB^{\prime }|:|ZB|$.

3.) Es stehen je zwei Abschnitte auf den Parallelen, die einander entsprechen, in gleichem Verhältnis zueinander, z. B. $|BC|:|B^{\prime }C^{\prime }|=|CA|:|C^{\prime }A^{\prime }|$ oder $|BC|:|AC|=|B^{\prime }C^{\prime }|:|A^{\prime }C^{\prime }|$. Dieser Strahlensatz setzt im Gegensatz zu den ersten beiden Strahlensätzen mindestens drei Geraden voraus.

Bild 1:Die beiden Skizzen berücksichtigen, dass der Kreuzungspunkt Z außerhalb oder innerhalb der beiden parallelen Geraden liegen kann. Im ersten Fall spricht man gelegentlich von einer „V-Figur“ (linke Skizze), im zweiten von einer „X-Figur“ (rechte Skizze).

Bild 2: Skizze nach Satz 3

Bild 3: Zum Überprüfen von Verhältnis­gleichungen. Die Längenangaben bei den Pfeilen zählen ab Z.

Der erste Strahlensatz bezieht sich also auf die Verhältnisse von Strahlenabschnitten, der zweite auf die Verhältnisse von Strahlen- und Parallelenabschnitten und der dritte auf die Verhältnisse von Parallelenabschnitten.

Bemerkung (Umkehrung des Strahlensatzes):

Ist Eigenschaft 1 erfüllt, so kann man auf parallele Geraden schließen. Ist dagegen Eigenschaft 2 gegeben, so ist ein entsprechender Schluss auf Parallelität nicht möglich.

Der Name Strahlensatz erklärt sich aus der Tatsache, dass man oft nur den Spezialfall betrachtet, in dem die beiden Parallelen auf derselben Seite des Scheitels liegen („V-Figur“). Denn dann benötigt man zur Formulierung keine zwei sich in einem Scheitel schneidenden Geraden, sondern lediglich zwei Strahlen mit gemeinsamem Ursprung.

BM2403

Anwendungen der Strahlensätze

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In der Verhältnisgleichung des Strahlensatz bestimmen drei (bekannte) Größen die (möglicherweise unbekannte) vierte Größe. Dies lässt sich in der Vermessung von unzugänglichen, nicht direkt messbaren Strecken verwenden, indem man die nicht direkt messbare Strecke als (unbekannte) vierte Größe in einer Strahlensatzkonfigurationen wählt. Einfache Messgeräte, die auf diesem Prinzip beruhen, sind der Jakobsstab und das Försterdreieck. Auch der Daumensprung zum Schätzen von Entfernungen beruht auf diesem Prinzip.

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Jakobsstab des 17. Jahrhunderts

Jakobstab, der Strahlensatz besagt: ${\tfrac {h-h_{a}}{b/2}}={\tfrac {s}{a}}$

Ein Jakobsstab (lateinisch baculus Jacobi), auch Gradstock oder Kreuzstab, ist ein früheres astronomisches Instrument zur Winkelmessung und zur mittelbaren Streckenmessung. Es wurde vor allem in der Seefahrt, aber auch in der Landvermessung und Astronomie verwendet. Der Jakobsstab war in der Nautik der Vorläufer des Sextanten.

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Schematische Darstellung der Höhenbestimmung mittels Försterdreieck

Försterdreieck:

Das Försterdreieck ist ein einfaches Hilfsmittel zur Höhenbestimmung von senkrecht stehenden Objekten wie Bäumen, Türmen oder Masten.

Der Standort wird so gewählt, dass der Beobachter über die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks die Objektspitze anpeilen kann, wenn das Dreieck so gehalten wird, dass eine Kathete genau waagerecht und die andere genau senkrecht steht (siehe Bild). Danach wird die Entfernung zum Objekt gemessen (etwa mit Maßband oder durch Abschreiten). Aus der Entfernung und den beiden Katheten des Dreiecks kann mithilfe des Strahlensatzes dann die Höhe des Objekts berechnet werden:

${\text{Hoehe}}={\text{Entfernung}}\cdot {\frac {\text{senkrechte Kathete}}{\text{waagerechte Kathete}}}+{\text{Augenhoehe}}$

Für ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck (beide Katheten sind gleich lang) hat der Bruch den Wert Eins, und dann gilt einfach:

${\text{Hoehe}}={\text{Entfernung}}+{\text{Augenhoehe}}$

BM2404

Anwendungen der Strahlensätze (Vermessungen): Höhe der Cheops-Pyramide

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Skizze 1: Maßstab und Pyramide

Skizze 2: Strahlensatz

Ein einfaches Beispiel für die Anwendung des Strahlensatzes soll auf den antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet zurückgehen. Dieser habe mit Hilfe eines Stabes durch Messung der Schattenlänge die Höhe der ägyptischen Cheopspyramide ermittelt. In anderen Sprachen wird der Strahlensatz daher oft auch als Satz des Thales bezeichnet. (Der Satz des Thales ist nicht zu verwechseln mit dem im deutschen Sprachraum als Satz des Thales bezeichneten Spezialfall des Kreiswinkelsatzes.)

Die folgende Beispielrechnung ermittelt die Höhe der Cheopspyramide mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes, sie entspricht jedoch vermutlich nicht der exakten Berechnung des Thales selbst

Von Thales selbst sind keine Werke erhalten geblieben. Es gibt jedoch mehrere historische Quellen, die die Berechnung der Pyramidenhöhe durch Thales erwähnen. Alle diese Quellen sind aber mehrere Jahrhunderte nach dem Tode Thales verfasst worden und leicht unterschiedlich in ihrer Beschreibung, so dass sich letztendlich nicht mit Bestimmtheit sagen lässt, inwieweit Thales den Strahlensatz selbst oder einen Spezialfall von ihm als geometrischen Lehrsatz kannte oder ob er lediglich eine physikalische Beobachtung anwandte. So steht bei Diogenes Laertius: "Hieronymus sagt, dass es Thales sogar gelang die Höhe der Pyramiden zu bestimmen, indem er den Schatten der Pyramide genau in dem Augenblick vermass, in dem sein eigene Schattenlänge seiner Körpergröße entsprach." Eine ähnliche Formulierung findet man bei Plinius: "Thales entdeckte, wie man die Höhe von Pyramiden und anderen Objekten bestimmt, nämlich indem man den Schatten des Objektes genau zu dem Zeitpunkt misst, an dem Höhe und Schatten gleich lang sind." Bei Plutarch jedoch findet sich eine Beschreibung, die eventuell eine Kenntnis des Strahlensatzes vermuten lässt: "… ohne Schwierigkeiten und Zuhilfenahme eines Instrumentes, stellte er lediglich einen Stock am Ende des Pyramidenschatten auf und erhielt so zwei durch die Sonnenstrahlen erzeugte Dreiecke … dann zeigte er, dass die Höhe des Stocks und die Höhe der Pyramide im selben Verhältnis stehen, wie die Schattenlänge des Stockes und die Schattenlänge der Pyramide"

Zunächst bestimmt man die Seitenlänge der Pyramide und anschließend die Länge des Schattens eben jener. Anschließend steckt man einen Stab senkrecht in den Boden und vermisst dessen Höhe und dessen Schattenlänge. Man erhält dann die folgenden Werte:

• Höhe des Stabes: $A=1{,}63\,\mathrm {m}$
• Schattenlänge des Stabes: $B=2{,}00\,\mathrm {m}$
• Direkt messbare Schattenlänge der Pyramide: $65\,\mathrm {m}$
• Seitenlänge der Pyramide: $230\,\mathrm {m}$
• Gesamte Schattenlänge der Pyramide: $C=65\,\mathrm {m} +{\tfrac {1}{2}}\cdot 230\,\mathrm {m}$
• Gesuchte Höhe der Pyramide: $D$

Mit Hilfe des Strahlensatzes (Skizze 2) stellt man die folgende Gleichung auf:

${\frac {D}{A}}={\frac {C}{B}}$

Die Länge der Seite $C$ des Dreiecks setzt sich dabei aus der halben Seitenlänge und der Länge des Schattens der Pyramide zusammen. Umgestellt nach D erhielt man:

${\begin{aligned}D&={\frac {A\cdot C}{B}}\\D&={\frac {1{,}63\,\mathrm {m} \cdot \left(65\,\mathrm {m} +{\frac {1}{2}}\cdot 230\,\mathrm {m} \right)}{2{,}00\,\mathrm {m} }}\\D&={\frac {1{,}63\,\mathrm {m} \cdot 180\,\mathrm {m} }{2{,}00\,\mathrm {m} }}={\underline {146{,}7\,\mathrm {m} }}\end{aligned}}$

BM2405

Anwendungen der Strahlensätze (Vermessungen): Flussbreite

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Flussbreite $|AB|={\frac {|AE|\cdot |CD|}{|CE|}}$

Auch in der Landvermessung kann der Strahlensatz verwendet werden, um die Länge schwer zugänglicher Strecken wie zum Beispiel die Entfernung gegenüberliegender Ufer von Gewässern zu bestimmen. Die Breite eines Flusses (siehe Grafik rechts) kann man wie folgt bestimmen. Zunächst markiert man die Endpunkte A und B der zu bestimmenden Strecke, dann konstruiert man eine zu AB rechtwinklige AC. Eine solche Konstruktion kann man zum Beispiel mit Hilfe eines Drehkreuzes, Winkelspiegels oder Doppelpentagonprisma durchführen. Auf AC wählt man einen (beliebigen) Punkt E von dem man aus den Punkt B am anderen Ufer anpeilt und die Strecke EB dann über E hinaus in die entgegengesetzte Richtung verlängert. Dann konstruiert man im Punkt C eine zu AC rechtwinklige Strecke, die die Verlängerung von EB im Punkt D schneidet. Da die Strecken AE, CE und CD alle auf derselben Uferseite liegen, lassen sie sich einfach vermessen und der zweite Strahlensatz liefert dann die gesuchte Flussbreite:

$|AB|={\frac {|AE|\cdot |CD|}{|CE|}}$

BM2406

Anwendungen der Strahlensätze: Teilung einer Strecke

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Teilung einer Strecke im Verhältnis 5:3

Der erste Strahlensatz ermöglicht, mit einem einfachen Verfahren - ohne Berechnungen oder Messungen - eine Strecke in einem (ganzzahligen) Verhältnis $m:n$ ($n,m\in \mathbb {N}$) zu teilen. Zu einer gegebenen Strecke AB zeichnet man einen Strahl mit Startpunkt in A ein. Dann trägt man auf dem Strahl beginnend an A m+n gleich lange und aufeinander folgende Strecken ab. Den Endpunkt der m+n-ten Strecke verbindet man mit B und zeichnet dann die Parallele zu dieser Strecke durch den Endpunkt der m-ten Strecke. Diese Parallele teilt die Strecke AB im gewünschten Verhältnis $m:n$.

BM2407

Beweis der Strahlensätze

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Die in Satz 1 aufgestellten Streckenverhältnisse lassen sich für flächengleiche Dreiecke in der Strahlensatzfigur herleiten. Die Sätze 2 und 3 sowie die Umkehrung von Satz 1 ergeben sich dann durch die Anwendung von Satz 1 bzw. der schon bewiesenen Sätze.

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Beweis von Satz 1

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Bild 1: Skizze zum Beweis von Satz 1

Die Lote von A' bzw. B' auf die Gerade $AB$ haben die gleiche Länge, da $AB$ parallel zu $A'B'$ ist. Diese Lote sind Höhen der Dreiecke ABB' bzw. ABA', welche die zugehörige Grundseite $[AB]$ gemeinsam haben. Für die Flächen gilt daher $|\triangle ABB'|=|\triangle ABA'|$ und weiter $|\triangle ABB'|+|\triangle ZAB|=|\triangle ABA'|+|\triangle ZAB|$ oder flächenvereint $|\triangle ZB'A|=|\triangle ZA'B|$.

Somit gilt dann auch:

${\frac {|\triangle ZAB|}{|\triangle ABB'|}}={\frac {|\triangle ZAB|}{|\triangle ABA'|}}$ und ${\frac {|\triangle ZAB|}{|\triangle ZAB'|}}={\frac {|\triangle ZAB|}{|\triangle ZBA'|}}$

Das Anwenden der Standardformel zur Flächenberechnung

von Dreiecken (${\tfrac {g\cdot h}{2}}$) liefert dann

${\frac {|ZB|\cdot |AF|}{|BB'|\cdot |AF|}}={\frac {|ZA|\cdot |EB|}{|AA'|\cdot |EB|}}$ und ${\frac {|ZB|\cdot |AF|}{|ZB'|\cdot |AF|}}={\frac {|ZA|\cdot |EB|}{|ZA'|\cdot |EB|}}$

Kürzen liefert ${\tfrac {|ZB|}{|BB'|}}={\tfrac {|ZA|}{|AA'|}}$ und ${\tfrac {|ZB|}{|ZB'|}}={\tfrac {|ZA|}{|ZA'|}}$.

Löst man beides nach ${\tfrac {|ZB|}{|ZA|}}$ auf und setzt die rechten Seiten gleich, ergibt sich

${\frac {|ZB'|}{|ZA'|}}={\frac {|BB'|}{|AA'|}}$

oder umgeformt für die Streckenverhältnisse auf je einem Strahl:

${\frac {|ZB'|}{|BB'|}}={\frac {|ZA'|}{|AA'|}}$.

Beweis von Satz 1 – Beweis nach Archimedes:

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Außer dem oben angegebenen Beweis, der auf eine Darstellung aus Euklids Elementen zurückgeht, waren in der griechischen Antike schon kürzere und elegantere Beweise möglich. Es reicht, die Gleichheit für einen Fall der möglichen Verhältnisse zu zeigen. Die anderen ergeben sich daraus unmittelbar. Euklid selbst beweist auch nur einen Fall.

Hier wird der Beweis nicht zitiert, sondern lediglich gemäß der Archimedischen Methodenlehre ausgeführt:

Mit den üblichen Seiten- und Winkelbezeichnungen für die Dreiecke ABZ und A'B'Z entsprechend der Skizze oben (Bild 1) wird gezeigt, dass a:a' = b:b' gilt.

Die Winkel $\alpha$ und $\alpha$' sowie $\beta$ und $\beta$' sind als Stufenwinkel gleich.

Bezeichne die Höhen, die durch das Lot von Z auf die Geraden gegeben sind, mit h und h' und deren Fußpunkte mit H und H'.

Da $\alpha$ gleich $\alpha$' haben 'ferne' Kathete und Hypotenuse in den beiden rechtwinkligen Dreiecken AHZ und A'H'Z dasselbe Verhältnis zueinander. (In 'moderner' Formulierung: $\sin(\alpha )$ gleich Gegenkathete von $\alpha$ zu Hypotenuse)

Also h:b = h':b' und daher h:h' = b:b'.

Aus $\beta$ gleich $\beta$' folgt durch entsprechende Betrachtung der Dreiecke HBZ und H'B'Z die Gleichung h:a = h':a' bzw. h:h' = a:a'.

Und schließlich a:a' = b:b'. Was zu beweisen war.

BM2408

Beweis von Strahlensatz 2

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Skizze zum Beweis von Satz 2

Konstruiere eine zusätzliche Parallele zu $ZB'$ durch A. Diese Parallele schneidet $A'B'$ in G. Somit gilt nach Konstruktion $|AB|=|B'G|$ und wegen Satz 1 gilt für die Strahlen durch A' außerdem

${\frac {|ZA|}{|ZA'|}}={\frac {|B'G|}{|A'B'|}}$ worin sich $|B'G|$ durch $|AB|$ ersetzen lässt: ${\frac {|ZA|}{|ZA'|}}={\frac {|AB|}{|A'B'|}}$

BM2409

Beweis von Strahlensatz 3

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Aufgrund von Satz 2 gilt:

${\frac {|BC|}{|B'C'|}}={\frac {|ZC|}{|ZC'|}}={\frac {|CA|}{|C'A'|}}$

Also hat man ${\tfrac {|BC|}{|B'C'|}}={\tfrac {|CA|}{|C'A'|}}$ oder umgestellt auch ${\tfrac {|BC|}{|CA|}}={\tfrac {|B'C'|}{|C'A'|}}$.

BM2410

Beweis der Strahlensätze

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Umkehrung von Satz 1

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Skizze zur Umkehrung von Satz 1

Angenommen $AB$ und $A'B'$ wären nicht parallel. Dann gibt es eine Parallele zu $AB$, die durch den Punkt $B'$ geht und den Strahl $ZA$ in $A'_{0}\neq A'$ (*) schneidet. Da nach Voraussetzung ${\tfrac {|ZA'|}{|ZA|}}={\tfrac {|ZB'|}{|ZB|}}$ gilt, ergibt sich

$|ZA'|={\frac {|ZB'|\cdot |ZA|}{|ZB|}}$

Andererseits gilt nach dem ersten Strahlensatz auch

$|ZA'_{0}|={\frac {|ZB'|\cdot |ZA|}{|ZB|}}$.

Dies bedeutet, dass $A'$ und $A'_{0}$ beide auf dem Strahl $ZA$ liegen und den gleichen Abstand von $Z$ haben. Damit sind die beiden Punkte jedoch identisch, also $A'=A'_{0}$. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass es sich nach Bedingung (*) um 2 verschiedene Punkte handeln soll. Also führt die Annahme der Nichtparallelität zu einem Widerspruch und kann daher nicht richtig sein; oder anders ausgedrückt: Es muss $AB\parallel A'B'$ gelten.

BM2411 - BM2420

BM2411

Der erste Teil des Strahlensatzes

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Bild 1

Bild 1 zeigt ein Strahlenbüschel mit dem Scheitelpunkt $S$.

Seine Strahlen $(s_{1}$ bis $s_{4})$ werden von einer Parallelenschar $g_{1}$ bis $g_{3}$ geschnitten.

Dadurch entstehen Strahlenabschnitte.

Auf $s_{1}$ zum Beispiel sind dies die Strecken ${\overline {SA}}$, ${\overline {SB}}$, ${\overline {SC}}$, ${\overline {AB}}$, ${\overline {AC}}$ und ${\overline {BC}}$.

Der zu ${\overline {AC}}$ gleichliegende Strahlenabschnitt auf $s_{2}$ ist ${\overline {DF}}$.

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Nenne zu den Strahlenabschnitten auf $s_{1}$ jeweils die gleichliegenden Strahlenabschnitte auf $s_{2}$!

Lösung BM2411
Bild 1 ${\overline {SA}}$ - ${\overline {SD}}$ ${\overline {SB}}$ - ${\overline {SE}}$ ${\overline {SC}}$ - ${\overline {SF}}$ ${\overline {AB}}$ - ${\overline {DE}}$ ${\overline {AC}}$ - ${\overline {DF}}$ ${\overline {BC}}$ - ${\overline {EF}}$

BM2412

Bild 1

Betrachten wir zwei beliebige Abschnitte $a_{1}$ und $a_{2}$ auf einem Strahl und die gleichliegenden Abschnitte $b_{1}$ und $b_{2}$ irgendeines anderen Strahls, so zeigt sich:

Wenn $a_{1}$ kürzer als $a_{2}$ ist, so ist $b_{1}$ kürzer als $b_{2}$.

Wir können sogar vermuten:

Die Abschnitte auf dem einem Strahl sind proportional den zugehörigen Abschnitten auf dem anderen.

SATZ (Strahlensatz, erster Teil): Werden die Strahlen eines Büschels von einer Parallelenschar geschnitten, so gilt für je zwei Strahlen: Die Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten sich zueinander wie die gleichliegenden Abschnitte auf dem anderen.

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Beweis:

Es genügt, den Beweis dieses Satzes für den Fall von zwei Strahlen und zwei Parallelen (Bild 2) zu führen. Der Satz besagt, dass folgende Verhältnisgleichungen (Proportionen) gelten:

Bild 2

Bild 3

(1) ${\frac {\overline {SA}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {SC}}{\overline {CD}}}$

(2) ${\frac {\overline {SB}}{\overline {SA}}}={\frac {\overline {SD}}{\overline {SC}}}$

(3) ${\frac {\overline {SB}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {SD}}{\overline {CD}}}$

Beweis für (1)

Wir verbinden $A$ mit $D$ und $B$ mit $C$ (Bild 3) und betrachten die Flächeninhalte einiger Dreiecke:

Für $\triangle SAC$ gilt:

$A_{1}={\frac {{\overline {SA}}\cdot h_{1}}{2}}={\frac {{\overline {SC}}\cdot h_{2}}{2}}$, also

${\overline {SA}}\cdot h_{1}={\overline {SC}}\cdot h_{2}$.

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Für $\triangle ABC$ gilt:

$A_{2}={\frac {{\overline {AB}}\cdot h_{1}}{2}}$

---

Für $\triangle DCA$ gilt:

$A_{3}={\frac {{\overline {CD}}\cdot h_{2}}{2}}$

---

Wir erinnern uns: Der Flächeninhalt eines Dreiecks errechnet sich aus einer seiner Seiten mal der halben dazugehörigen Höhe (zu dieser Seite).

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Bild 2

Bild 3

Da $\triangle ABC$ und $\triangle DCA$ die Seite ${\overline {AC}}$ und deren Höhe gemeinsam haben, sind ihre Flächen gleich:

$A_{2}=A_{3}$.

Warum ist $A_{2}=A_{3}$? Erklär' das mal etwas ausführlicher!

1. Lösung BM2412

Bild 4 Dass bei den beiden Dreiecken $\triangle ABC$ und $\triangle DCA$ die Seite ${\overline {AC}}$ eine gemeinsame Seite ist, ist offensichtlich und bedarf keiner näheren Erläuterung. Der Trick ist, dass wir zur Flächenberechnung dieser beiden Dreiecke die Seite ${\overline {AC}}$ mal der halben dazugehörigen Höhe (zu dieser Seite) nehmen. Wir brauchen also eine Höhe $h_{3}$, die senkrecht auf ${\overline {AC}}$ steht (Bild 4). $A_{2}={\overline {AC}}\cdot {\frac {h_{3}}{2}}=A_{3}$ Also ist $A_{2}=A_{3}$. Alles klar? Oder gibt es noch Fragen?

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Das heißt:

${\frac {{\overline {AB}}\cdot h_{1}}{2}}={\frac {{\overline {CD}}\cdot h_{2}}{2}}$, also:

${\overline {AB}}\cdot h_{1}={\overline {CD}}\cdot h_{2}$.

Demzufolge ist:

${\frac {{\overline {SA}}\cdot h_{1}}{{\overline {AB}}\cdot h_{1}}}={\frac {{\overline {SC}}\cdot h_{2}}{{\overline {CD}}\cdot h_{2}}}$

Hm? Verstehst du das? Kannst du das ausführlicher begründen, so dass es alle verstehen?

Warum ist :${\frac {{\overline {SA}}\cdot h_{1}}{{\overline {AB}}\cdot h_{1}}}={\frac {{\overline {SC}}\cdot h_{2}}{{\overline {CD}}\cdot h_{2}}}$ ?

2. Lösung BM2412

Weiter oben hatten wir schon gezeigt, dass ${\overline {SA}}\cdot h_{1}={\overline {SC}}\cdot h_{2}$ ist. („Für $\triangle SAC$ gilt: ...“) Und eben hatten wir gezeigt, dass ${\overline {AB}}\cdot h_{1}={\overline {CD}}\cdot h_{2}$ ist. Und wenn wir die eine Gleichung durch die andere Gleichung dividieren (das darf man mit Gleichungen machen), dann kommen wir eben auf: ${\frac {{\overline {SA}}\cdot h_{1}}{{\overline {AB}}\cdot h_{1}}}={\frac {{\overline {SC}}\cdot h_{2}}{{\overline {CD}}\cdot h_{2}}}$ --- Hier noch ein weiteres Beispiel was passiert, wenn man zwei Gleichungen miteinander dividiert. (1) $2+4=6$ und (2) $1+3=3$ ${\frac {2+4}{1+3}}={\frac {6}{3}}$ Auch hier bleibt die Gleichung richtig, also wahr. --- Oder ganz allgemein: Aus :(1) $a=b$ und (2) $c=d$ folgt ${\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}$

Also noch mal: Demzufolge ist:

${\frac {{\overline {SA}}\cdot h_{1}}{{\overline {AB}}\cdot h_{1}}}={\frac {{\overline {SC}}\cdot h_{2}}{{\overline {CD}}\cdot h_{2}}}$

oder

${\frac {\overline {SA}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {SC}}{\overline {CD}}}$.

w.z.b.w.

Der letzte Schritt sollte wohl lieber etwas ausführlicher erklärt werden. Kannst du das?

BM2413

Bild 1

Ähnlich kann man auch (2) und (3) beweisen.

(1) ${\frac {\overline {SA}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {SC}}{\overline {CD}}}$

(1) haben wir gerade bewiesen)

(2) ${\frac {\overline {SB}}{\overline {SA}}}={\frac {\overline {SD}}{\overline {SC}}}$

(3) ${\frac {\overline {SB}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {SD}}{\overline {CD}}}$

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Man kann diese Beziehung auch unmittelbar aus (1) folgern; das sei hier nur für (2) durchgeführt:

${\frac {\overline {SB}}{\overline {SA}}}={\frac {{\overline {SA}}+{\overline {AB}}}{\overline {SA}}}$

Warum? Kannst du das näher erklären?

1. Lösung BM2413

Wir nehmen von (2) die linke Gleichungsseite ${\tfrac {\overline {SB}}{\overline {SA}}}$ und setzen sie mit dem identischen Bruch auf der rechten Gleichungsseite gleich. ${\begin{aligned}{\tfrac {\overline {SB}}{\overline {SA}}}&={\tfrac {\overline {SB}}{\overline {SA}}}\\&={\tfrac {{\overline {SA}}+{\overline {AB}}}{\overline {SA}}}\end{aligned}}$ Nun ersetzen wir den Zähler auf der rechten Gleichungsseite. Wie wir aus Bild 1 leicht entnehmen können, entspricht die Strecke ${\overline {SB}}$ der Summe der Teilstrecken ${\overline {SA}}+{\overline {AB}}$.

Also weiter mit dem Beweis für (2):

${\begin{aligned}{\frac {\overline {SB}}{\overline {SA}}}&={\frac {{\overline {SA}}+{\overline {AB}}}{\overline {SA}}}\\&={\frac {\overline {SA}}{\overline {SA}}}+{\frac {\overline {AB}}{\overline {SA}}}\\&=1+{\frac {\overline {AB}}{\overline {SA}}}\end{aligned}}$

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Den gleichen Zauber machen wir mit der rechten Gleichungsseite von (2):

${\begin{aligned}{\frac {\overline {SD}}{\overline {SC}}}&={\frac {{\overline {SC}}+{\overline {CD}}}{\overline {SC}}}\\&={\frac {\overline {SC}}{\overline {SC}}}+{\frac {\overline {CD}}{\overline {SC}}}\\&=1+{\frac {\overline {CD}}{\overline {SC}}}\end{aligned}}$

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Wegen (1)

${\frac {\overline {SA}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {SC}}{\overline {CD}}}$ ist ${\frac {\overline {AB}}{\overline {SA}}}={\frac {\overline {CD}}{\overline {SC}}}$ und damit ${\frac {\overline {SB}}{\overline {SA}}}={\frac {\overline {SD}}{\overline {SC}}}$

w.z.b.w.

Die letzte Zeile sollte etwas ausführlicher erklärt werden. Kannst du das?

2. Lösung BM2413

In den Zeilen nach der 1. Lösung hatten wir gezeigt: (a) ${\frac {\overline {SB}}{\overline {SA}}}=1+{\frac {\overline {AB}}{\overline {SA}}}$ (b) ${\frac {\overline {SD}}{\overline {SC}}}=1+{\frac {\overline {CD}}{\overline {SC}}}$ --- Wegen (1) ist schon bewiesen ${\frac {\overline {SA}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {SC}}{\overline {CD}}}$ Das können wir umstellen zu ${\frac {\overline {AB}}{\overline {SA}}}={\frac {\overline {CD}}{\overline {SC}}}$ und auf beiden Seiten mit Eins addieren: ${\frac {\overline {AB}}{\overline {SA}}}+1={\frac {\overline {CD}}{\overline {SC}}}+1$ Das können wir substituieren durch (a) und (b) ${\frac {\overline {SB}}{\overline {SA}}}={\frac {\overline {SD}}{\overline {SC}}}$ Und genau das steht am Ende der Zeile, die wir detaillierter erläutern sollen.

BM2414

Vervielfachen einer Strecke

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Wenn wir das Doppelte oder Dreifache oder allgemein das n-fache (n eine natürliche Zahl größer 1) einer Strecke ${\overline {AB}}$ konstruieren sollen, so sprechen wir vom „Vervielfachen der Strecke ${\overline {AB}}$“. Hierzu verlängern wir die Strecke ${\overline {AB}}$ über $A$ oder $B$ hinaus und tragen auf dieser Verlängerung die Strecke ${\overline {AB}}$ mit dem Zirkel (n-1)mal ab.

Wir wollen aber auch dann vom „Vervielfachen einer Strecke“ sprechen, wenn $k$ keine natürliche Zahl, sondern eine beliebige positive (rationale oder irrationale) Zahl ist.

Für $k={\tfrac {1}{3}}$ würde das z. B. bedeuten, dass wir den dritten Teil konstruieren.

Für $k={\tfrac {5}{3}}$ würde es bedeuten, dass wir zunächst den dritten Teil von ${\overline {AB}}$ konstruieren und diesen dann verfünffachen. In dieser Weise kann man bei jedem rationalen $k$ vorgehen. Dadurch ergibt sich für $k<1$ eine kürzere Strecke, für $k>1$ eine längere Strecke.

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Konstruktionsbeschreibung:

Bild 1: Gegeben ist die Strecke ${\overline {AB}}$.

Bild 2: Wir zeichnen von einem Endpunkt von ${\overline {AB}}$ einen Strahl $s$ (rot).

Bild 3: Auf dem Strahl $s$ legen wir eine beliebige Strecke fest. (schwarzer Punkt)

Bild 4: Nun tragen wir auf $s$ diese beliebig gewählte Strecke drei mal ab. (drei schwarze Punkte))

Bild 5: Den Endpunkt der so erhaltenen Streckenfolge verbinden wir mit dem anderen Endpunkt von ${\overline {AB}}$ (grün).

Bild 6: Zu dieser Verbindungsstrecke zeichnen wir weitere Parallelen, die durch die schwarzen Punkte gehen.

Bild 7: Die Parallelen zu dieser Verbindungsstrecke teilen ${\overline {AB}}$ in drei kongruente Teile.

Bild 8: So haben wir ${\tfrac {1}{3}}$ der gegebenen Strecke ${\overline {AB}}$ konstruiert.

BM2415

Bild 1

Der zweite Teil des Strahlensatzes

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So, wie durch die Parallelen Strahlenabschnitte entstehen, so entstehen durch die Strahlen Parallelabschnitte, z. B. ${\overline {AE}}$ und ${\overline {GL}}$ im Bild 1. Ein Strahlenabschnitt und ein Parallelenabschnitt heißen zusammengehörig, wenn der Strahlenabschnitt vom Scheitelpunkt bis zu einem Endpunkt des Parallelenabschnitts reicht. Im Bild 1 gehören z. B. ${\overline {SA}}$ und ${\overline {AE}}$ zueinander, auch ${\overline {SD}}$ und ${\overline {DM}}$, nicht aber ${\overline {CD}}$ und ${\overline {DM}}$.

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Betrachten wir in Bild 1 zwei beliebige Strahlen und die zwischen ihnen liegenden Parallelenabschnitte, so stellen wir fest: Die Parallelenabschnitte sind um so länger, je weiter sie vom Scheitelpunkt $S$ des Strahlenbüschels entfernt sind, je länger also die zugehörigen Abschnitte auf demselben Strahl sind. Es gilt sogar: Die Parallelenabschnitte sind proportional den zugehörigen Abschnitten auf demselben Strahl.

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Satz: (Strahlensatz, zweiter Teil):

Werden die Strahlen eines Büschels von einer Parallelenschar geschnitten, so verhalten sich je zwei Parallelenabschnitte, die zwischen gleichen Strahlen liegen, zueinander wie die zugehörigen Strahlenabschnitte ein und desselben Strahls.

BM2416

Bild 1

Für die Figuren in Bild 1 gilt:

${\frac {\overline {BD}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {SB}}{\overline {SA}}}$

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${\frac {\overline {BD}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {SD}}{\overline {SC}}}$; ${\frac {\overline {SA}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {SB}}{\overline {BD}}}$

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Beweis für ${\frac {\overline {BD}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {SB}}{\overline {SA}}}$:

Wir ziehen durch $A$ die Parallele zu ${\overline {CD}}$, die ${\overline {BD}}$ in $E$ schneidet. Dann ist ${\overline {AC}}={\overline {ED}}$, da ${\overline {AC}}$ und ${\overline {ED}}$ Gegenseiten im Parallelogramm $AECD$ sind. Nunmehr wird das Strahlenbüschel mit dem Scheitelpunkt $B$ von den Parallelen ${\overline {AE}}$ und ${\overline {SD}}$ geschnitten. Nach dem ersten Teil des Strahlensatzes gilt demnach:

${\frac {\overline {BD}}{\overline {ED}}}={\frac {\overline {BS}}{\overline {AS}}}$,

also auch

${\frac {\overline {BD}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {SB}}{\overline {SA}}}$.

w.z.b.w.

Warum folgt aus

${\frac {\overline {BD}}{\overline {ED}}}={\frac {\overline {BS}}{\overline {AS}}}$ also auch ${\frac {\overline {BD}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {SB}}{\overline {SA}}}$?

Lösung BM2416
Weil die Strecken ${\overline {ED}}$ und ${\overline {AC}}$ gleich lang sind (jeweils auf der linken Gleichungsseite im Nenner), denn sie sind gegenüberliegende Seiten in einem Parallelogramm. Die übrigen drei Strecken sind in beiden Gleichungen identisch, es wurde höchstens mal die Reihenfolge der Anfangs- und Endpunkte der Strecke umgedreht.

BM2417

Bild 2

Im Bild 1 werden zwei zueinander schneidende Geraden so von zwei Parallelen geschnitten, dass der Scheitelpunkt $S$ des Geradenbüschels zwischen den Parallelen liegt. Es entstehen so die Geradenbüschel ${\overline {SA}}$ und ${\overline {SC}}$, die zum Parallelenabschnitt ${\overline {AC}}$ gehören sowie die Geradenabschnitte ${\overline {SB}}$ und ${\overline {SD}}$, die zum Parallelenabschnitt ${\overline {BD}}$ gehören. Auch hier gilt die Proportion:

${\overline {AC}}:{\overline {BD}}={\overline {SA}}:{\overline {SB}}(={\overline {SC}}:{\overline {SD}})$

---

Allgemien: Wenn zwei Geraden eines Geradenbüschels von zwei Parallelen geschnitten werden, so bilden die Parallelenabschnitte das gleiche Verhältnis wie die zugehörigen Geradenabschnitte derselben Geraden.

Das folgt aus dem zweiten Teil des Strahlensatzes, wenn man $\triangle ABD$ (Bild 1) um 180° mit $S$ als Zentrum dreht.

Ein dem ersten Teil des Strahlensatzes entsprechender Sachverhalt für Geradenbüschel lässt sich hier auch ablesen.

BM2418

Erläutere den 1. und 2. Strahlensatz anhand der Abb. 1-5!

Bild 1

Bild 2

Bild 3

Bild 4

Bild 5

BM2419

Bild 1

Eine gegebene Strecke ${\overline {AC}}$ soll im Verhältnis $1:2$ geteilt werden.

1.) Benutze den 1. Strahlensatz dafür!

2.) Benutze den 2. Strahlensatz dafür!

1. Lösung BM2419

So eine ähnliche Aufgabenstellung hatten wir bereits weiter oben in Übung BM2414. Wenn wir eine Strecke im Verhältnis $1:2$ teilen sollen, dann müssen wir die Strecke in drei gleiche Teile zerlegen. Bild 1: Von Punkt $A$ aus wird eine zweite Gerade an die Gerade ${\overline {AC}}$ gezeichnet. Bild 2: An dieser zweiten Geraden werden drei Abschnitte gleicher Länge abgetragen, wobei die Länge der Abschnitte willkürlich ist. Bild 3: Vom Ende der dritten Strecke ziehen wir eine Gerade zu Punkt $B$ ($f$ - blau). Bild 4: Parallel zu $f$ zeichnen wir eine Gerade $e$ durch den Endpunkt der ersten abgetragenen Strecke. Bild 5: Die Gerade $e$ unterteilt die dreigeteilte Gerade im Verhältnis 1:2 (Abschnitt $a$ und $b$) Bild 6: Wegen Satz 1 des Strahlensatzes unterteilt $e$ deshalb auch die Strecke ${\overline {AC}}$ im Verhältnis 1:2 (Abschnitt $c$ und $d$) Bild 7: So haben wir mit Hilfe des ersten Strahlensatzes die Strecke ${\overline {AC}}$ im Verhältnis 1:2 geteilt.

2. Lösung BM2419
Bild 1 Bild 2 Bild 3

???

${\displaystyle }$

111111111111111

{,}

{ \color{Brown} b }

${\tfrac {}{}}$

${\displaystyle }$

$\cdot$

${\displaystyle }$

${\overline {}}$

„“

≠ ungleich

≈ ungefähr

Proportionalität: $s\sim t$

Lösung ???
???

${\begin{aligned}6x-5y&=-6x\quad \quad |\quad +2y\\&=-6x\\&={\tfrac {-6x}{-5}}\\&={\tfrac {-6}{-5}}x\\&={\tfrac {6}{5}}x\end{aligned}}$

 \quad \quad  | \quad + 2y \\

BM2441 - BM2450

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