Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 098b

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Lección 098

Mathematik auf Deutsch - 48

BM2351 - BM2360

BM2351

Ähnlichkeit

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In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zueinander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung (auch diese Abbildung wird häufig als Ähnlichkeit bezeichnet) ineinander überführt werden können. Das heißt, es gibt eine geometrische Abbildung, die sich aus zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen (also Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen) zusammensetzen lässt und die eine Figur auf die andere abbildet. Ähnlichkeit erweitert somit die Kongruenz (Deckungsgleichheit) von Figuren um die Möglichkeit der Streckung.

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Eigenschaften:

Alle hier gleichfarbigen Figuren sind zueinander ähnlich.

Winkel und Streckenverhältnisse stimmen in ähnlichen Figuren überein; somit sind alle Kreise sowie jeweils alle regelmäßigen Vielecke gleicher Eckenzahl, wie gleichseitige Dreiecke und Quadrate, zueinander ähnlich.

Es gilt, dass kongruente Figuren stets ähnlich sind. Das Umgekehrte ist hingegen falsch: Ähnliche Figuren sind nicht notwendigerweise kongruent, da sie verschieden groß sein können.

Als mathematisches Zeichen für geometrische Ähnlichkeit wird $\sim$ (die Tilde) verwendet, z.B: $\!\ \Delta ABC\sim \Delta A'B'C'$ bedeutet, dass die Dreiecke $\Delta ABC$ und $\Delta A'B'C'$ ähnlich sind. Will man dagegen Kongruenz ausdrücken, so kann stattdessen $\simeq$ oder $\cong$ (eine „Mischung“ mit dem Gleichheitszeichen) verwendet werden.

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Ähnlichkeit bei Dreiecken:

Dreiecke spielen hier eine zentrale Rolle, da sich sehr viele Figuren auf solche zurückführen lassen. Es gilt:

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn

• sie in zwei (und somit in allen drei) Winkeln übereinstimmen; oder
• sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen; oder
• sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen; oder
• sie im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen.

Diese Sätze werden Ähnlichkeitssätze genannt.

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Strahlensätze:

Die Strahlensätze machen über die Verhältnisse der Dreiecksseiten bestimmter ähnlicher Dreiecke wichtige Aussagen.

Ähnlichkeit bei den Strahlensätzen

Ähnlichkeit bei den Strahlensätzen

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Ausschnitt aus der Mandelbrot-Menge

Ähnlichkeit in der fraktalen Geometrie

Skaleninvariante Ähnlichkeit in gebrochenen, „fraktalen“ Dimensionen ist Gegenstand der fraktalen Geometrie.

Die Ähnlichkeit ist dabei das Ergebnis der Rekursion nichtlinearer Algorithmen. Ein bekanntes Beispiel ist die Mandelbrot-Menge, deren Grenzlinie an jeder Stelle Ähnlichkeit mit den angrenzenden Abschnitten in allen Größenordnungen aufweist.

BM2352

Verhältnis

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In der Mathematik und in den Naturwissenschaften bezeichnet der Quotient ein Verhältnis von zwei Größen zueinander, also das Ergebnis einer Division. Der Quotient von zwei ganzen Zahlen (Dividend und Divisor) ist immer eine rationale Zahl und kann als Bruch geschrieben werden (z. B. ${\tfrac {2}{3}}=2\div 3=2/3=2:3$ für zwei Drittel).

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Ein Quotient dient oftmals der Einordnung eines Wertes in einen Gesamtmaßstab, so z. B. der Intelligenzquotient, der die mit einem Intelligenztest ermittelte Zahl für eine Person mit der ihrer Altersgruppe entsprechenden „durchschnittlichen Intelligenz“ in Beziehung setzt. Der Intelligenzquotient 100 steht dabei für den Durchschnitt.

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Dimensionslose Verhältnisse werden häufig in Prozent angegeben, indem man das Verhältnis mit dem Faktor „100 %“ multipliziert, wobei $100\;\%=1$ ist, sodass sich der Wert des Verhältnisses durch den Faktor nicht verändert, z. B. ⅕ = ⅕ · 100 % = 20 %.

BM2353

Maßstab

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Als Maßstab bezeichnet man in der Technik, Fotografie, Kartografie und Modellbau das Verhältnis zwischen der abgebildeten Größe (zum Beispiel Streckenlänge) und der entsprechenden Größe in der Wirklichkeit.

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Vergrößerungen:

In manchen Bereichen (Maschinenbau, Elektronik, Makrofotografie) werden nicht nur Verkleinerungen, sondern auch Vergrößerungen durch die Angabe eines Maßstabs definiert. Hier bedeutet zum Beispiel ein Maßstab von 2:1, dass die Konstruktionszeichnung oder das Makrofoto zweimal so groß ist wie die Wirklichkeit.

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Maßstabstreue und Maßstabsfaktor

Maßstabstreu oder maßstäblich ist eine Abbildung oder ein Modell, wenn in der Darstellung jede beliebige Strecke zur entsprechenden Länge im Original dasselbe Verhältnis ergibt. Die Toleranz bei Grafiken entspricht dabei der üblichen Zeichengenauigkeit von 0,2 mm. Unmaßstäblich ist zum Beispiel ein Foto oder eine Handskizze. Maßstäblich bezeichnet im technischen Sprachgebrauch meist eine weniger exakte Darstellung als eine, die „maßstabsgerecht“ ist.

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Architektur:

In der Architektur werden Pläne in einem Maßstabsbereich von 1:10 (Details) bis 1:1000 (Übersichten, Außenplanungen, Lagepläne) eingesetzt. Manche Details werden aber auch im Maßstab 1:1 bis 1:5 oder in äußerst seltenen Fällen sogar gegenüber der Realität vergrößert gezeichnet.

BM2354

Abbildungsmaßstab

Der Abbildungsmaßstab (Formelzeichen $\beta$) ist definiert als das Verhältnis zwischen der Bildgröße der optischen Abbildung (y', Bild) eines Gegenstandes und dessen realer Objektgröße (y, Gegenstand). Alternativ kann der Abbildungsmaßstab auch über das Verhältnis von Bildweite a' zur Objektweite a bestimmt werden:

$\beta ={\frac {y'}{y}}={\frac {a'}{a}}$.

Für y=1 oder für y'=1 ist es oft üblich, den Betrag des Abbildungsmaßstabs als das Verhältnis 1:y beziehungsweise y':1 anzugeben.

• Ein Abbildungsmaßstab mit dem Betrag 1 sagt aus, dass der Gegenstand und seine Abbildung gleich groß sind.
• Ein Abbildungsmaßstab mit dem Betrag 0,5 sagt aus, dass der Gegenstand doppelt so groß ist wie seine Abbildung.
• Ein Abbildungsmaßstab mit dem Betrag 2 sagt aus, dass die Abbildung doppelt so groß ist wie der Gegenstand.

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Fotografie:

In der Fotografie bezeichnet man als Abbildungsmaßstab den Betrag des Verhältnisses der Abbildungsgröße eines Objektes auf der Bildebene zur Größe des Originalobjektes selbst. Der Abbildungsmaßstab nimmt mit kleiner werdendem Abstand zum Objekt und mit Verlängerung der Objektivbrennweite zu.

BM2355

Maßstab (in der Kartografie)

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Der Maßstab oder Kartenmaßstab ist das Verkleinerungsverhältnis von Karten, Plänen, Reliefmodellen, Geländeprofilen und Globen. Er ist definiert als das Verhältnis einer Länge auf der Karte (Kartenstrecke) zu ihrer Entsprechung in der Natur (Naturstrecke).

Die konkrete Darstellung in numerischer oder grafischer Form wird als Maßstabsangabe bezeichnet.

Der Maßstab wird üblicherweise als Proportion 1 : Maßstabszahl angegeben, damit ist dieses Verkleinerungsverhältnis der Kehrwert der Maßstabszahl (und umgekehrt).

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Berechnung des Maßstabs:

Der Maßstab wird üblicherweise in der Form 1 : Maßstabszahl angegeben. Die Werte berechnen sich wie folgt:

${\text{Massstab}}={\frac {\text{Kartenstrecke}}{\text{Naturstrecke}}}$

${\text{Massstabszahl}}={\frac {\text{Naturstrecke}}{\text{Kartenstrecke}}}$

Für ein korrektes Resultat müssen natürlich beide Längen in derselben Maßeinheit stehen. Ist zum Beispiel im Maßstab 1:50.000 (sprich: eins zu fünfzigtausend) die Kartenstrecke 1 cm lang, dann ist die Naturstrecke 50.000 cm, also 0,5 km lang.

Da sich der Maßstab üblicherweise und sofern nicht anders angegeben auf das lineare Verkleinerungsverhältnis bezieht, muss bei Flächenvergleichen die Maßstabszahl quadriert werden. Die Abbildung eines Quadratkilometers im Maßstab 1:50.000 nimmt im Maßstab 1:100.000 also nur noch einen Viertel der Papierfläche ein.

Beispiele

Maßstab	Kartenstrecke	Naturstrecke	Typische Anwendung
1:1.000	1 cm	10 m	Gebäude- oder Katasterplan
1:5.000	1 cm	50 m	Grundkarte
1:25.000	1 cm	250 m	Wanderkarte
1:50.000	1 cm	500 m	Radwanderkarte (Überland) – Taktische Karte
1:100.000	1 cm	1 km	Autokarte – Taktische Karte
1:200.000	1 cm	2 km	Russische Operationskarte
1:250.000	1 cm	2,5 km	Operationskarte
1:500.000	1 cm	5 km	Generalstabskarte – Taktical Pilot Chart
1:1.000.000	1 cm	10 km	Weltkartenwerk – Operational Navigation Chart
1:80.000.000	1 cm	800 km	Weltkarte (ganze Welt)

Trekking- und Wanderkarten werden auch in Maßstäben erstellt, die die Abbildung des zusammenhängenden Trekkingraumes wie einem Nationalparks darstellen. So wird der Nationalpark Oulanka mit der Bärenrunde im Maßstab 1:40.000. Gängiger Maßstab in den USA ist der Maßstab 1:63.000.

BM2356

Große und kleine Maßstäbe

Europakarte kleiner Kartenmaßstab

Lageplan eines Flughafens

Je nach dem Inhaltsreichtum und dem Detaillierungsgrad der Karten werden große Maßstäbe, mittlere Maßstäbe und kleine Maßstäbe unterschieden. Die Adjektive „groß“ und „klein“ beziehen sich auf die Größe eines Objektes auf der Karte und nicht auf die Maßstabszahl. Diese Begriffe werden gerne verwechselt, wenn der Unterschied von Maßstab und Maßstabszahl nicht beachtet wird. Bei einer Karte in großem Maßstab ist die Maßstabszahl daher klein und umgekehrt. Eine Karte 1:25.000 ist zum Beispiel großmaßstäbiger (der Inhalt also größer bzw. detaillierter dargestellt) als eine Karte 1:100.000. (Man kann den Maßstab für diesen Zweck auch als Bruch interpretieren: 1/25.000 ist größer als 1/100.000.)

Was als großer oder kleiner Maßstab bezeichnet wird, ist relativ und hängt weitgehend vom Fachgebiet oder Staat ab. Beispielsweise gilt für die Ingenieurgeologie eine Karte 1:200.000 schon als kleinmaßstäbig, für einen Geographen hingegen erst eine Übersichtskarte ab etwa 1:2.000.000. In einem großen Staat wie Russland kann 1:200.000 noch als großer Maßstab gelten, während in einem kleinen Staat wie der Schweiz dies bereits als kleiner Maßstab gewertet wird.

Alle Maßstäbe lassen sich in Maßstabsbereiche gruppieren, die sich durch gleichwertige oder sehr ähnliche Feinheitsgrade der Zeichnung und des Inhalts auszeichnen. Beispiel: Große Maßstäbe wie 1:20.000, 1:25.000 und 1:30.000 lassen einen vergleichbaren Detaillierungsgrad zu. Kartenbehörden geben daher ihre Kartenwerke in Maßstabsreihen heraus, deren Folgemaßstäbe in einem einfachen Verhältnis zueinander stehen und damit leicht vergleichbar sind. In vielen Staaten reicht die Reihe vom Maßstabsbereich um 1:5000 bis zu 1:1.000.000 als kleinstem Maßstab.

Kartengrundlagen sind im Originalmaßstab (auch Ausgangsmaßstab oder Aufnahmemaßstab) gehalten. Dieser kann größer oder gleich dem Arbeitsmaßstab (auch Bearbeitungsmaßstab) sein. Dieser wiederum kann größer oder gleich dem Endmaßstab sein, in dem das kartografische Dokument schließlich erscheint.

Der Maßstab, der zur wahrnehmbaren Darstellung eines Objektes mindestens nötig ist, wird Schwellenmaßstab genannt.

BM2357

Längenmaßstab

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Normalerweise beziehen sich Maßstäbe auf Strecken, sind also Längenmaßstäbe. Jedoch kann die sphärische Erdoberfläche auf ebenen Karten nicht absolut längentreu abgebildet werden, weil eine zweidimensional gekrümmte Fläche nicht streng auf die Kartenebene abwickelbar ist (siehe Kartennetzentwurf). Längentreue Karten mit konstantem Längenmaßstab über die ganze Kartenfläche sind nicht möglich. Ein bestimmter Längenmaßstab lässt sich nur in bestimmten Bereichen oder Richtungen erreichen. Im großmaßstäblichen Bereich ist dieser Umstand für den praktischen Gebrauch kaum von Belang. Gerade bei kleinmaßstäblichen Karten und in Atlanten gilt der angegebene Längenmaßstab jedoch nur für das Kartenzentrum und allenfalls für bestimmte längentreu abgebildete Netzlinien (zum Beispiel den Äquator oder einen Meridian). Auf Weltkarten findet man deshalb oft eine Präzisierung wie Äquatormaßstab oder Maßstab im Kartenzentrum.

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Höhenmaßstab

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Der Höhenmaßstab (auch Vertikalmaßstab) ist ein Spezialfall des Längenmaßstabes, da er sich ebenfalls auf eine Strecke bezieht. Bei Reliefmodellen oder Geländeprofilen kann die Höhe in einem anderen Maßstab als horizontale Längen dargestellt werden. Das Verhältnis der beiden Maßstäbe wird als Überhöhungsfaktor bezeichnet, der Effekt als Überhöhung.

In Profilen kommen fünf- oder zehnfache Überhöhungen vor. In der Didaktik werden Überhöhungen von den meisten modernen Autoren und Reliefherstellern zumindest im großmaßstäblichen Bereich abgelehnt. Bei mittel- oder kleinmaßstäblichen Reliefmodellen, bei denen die Ausprägungen der Gebirge nur noch wenige Millimeter oder Zentimeter ausmachen würden, kann eine Überhöhung zwecks Verdeutlichung durchaus ihren Sinn haben. Mehr als zweifache Überhöhung wird jedoch auch dort meist als unnatürlich empfunden.

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Globusmaßstab:

Da der Globus das einzige kartografische Dokument ist, das die Erde verzerrungsfrei verkleinert wiedergibt, ist für den Maßstab eines Globus auch der Begriff Globusmaßstab bekannt.

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Variabler Maßstab:

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Bei Stadtplänen kann es sinnvoll sein, das touristisch interessante Stadtzentrum in einem größeren Maßstab abzubilden als die mit wenig Sehenswürdigkeiten ausgestatteten Außenquartiere. Dabei kann beispielsweise ein gleitender Maßstab erzeugt werden. Dadurch werden im Stadtzentrum für das Suchgitter weite, außerhalb sich verengende Maschen gebildet. In extremen Fällen und besonders bei stark gekrümmten Gitterlinien bekommt man das Gefühl, durch eine Lupe zu blicken.

BM2358

Maßstabsangaben

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Die Maßstabsangabe (auch Maßstabsform) ist die konkrete Beschriftung der verschiedenen Maßstabsarten auf einem kartografischen Dokument.

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Heute übliche Kombination von numerischen und grafischen Maßstabsangaben (Karte des US Geological Survey (USGS))

Maßstabsangabe als numerischer Maßstab:

Der Maßstab wird heutzutage als Proportion oder seltener als Bruch ausgedrückt. Die uns heute vertraute numerische Angabe kam erst zu Beginn des 19. Jahrhunderts in Gebrauch und hat sich seit dem Beginn des 20. Jahrhunderts weltweit durchgesetzt. Numerische Maßstäbe sind nebst dem Kartentitel das wesentlichste Merkmal einer Karte und werden deshalb meist prominent platziert, sei es unmittelbar an den Kartentitel anschließend, sei es in großer Schrift bei der Legende oder gut sichtbar am Kartenrand.

In der Kartografie werden meist runde Maßstäbe genutzt, da es sich damit besser rechnen lässt. Manchmal werden Karten zum Beispiel aus Platzgründen auf dem Kartenblatt oder bei nichtmetrischen Maßsystemen in unrunden Maßstäben publiziert (Beispiele: Stadtplan von Zürich 1:12.600; topografische Karte von Großbritannien 1:63.360 entsprechend 6 Zoll zu 1 Meile).

Bei Überhöhungen von Reliefmodellen und Profilen kann die Maßstabsangabe auf zwei Arten erfolgen:

• Angabe des Längen- und des Höhenmaßstabs: „Längenmaßstab 1:5000, Höhenmaßstab 1:2500“
• Angabe des Längenmaßstabes und des Überhöhungsfaktors: „Maßstab 1:5000, zweifach überhöht“

Flächenmaßstäbe werden zum Beispiel in der Form „1 Quadratzentimeter entspricht 6000 Quadratkilometer“ angegeben. Bei Globen wird oft einfach der Durchmesser angegeben.

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Maßstabsangabe als grafischer Maßstab:

Oft wird zusätzlich zum numerischen Maßstab ein grafischer Maßstab, eine so genannte Maßstabsleiste, auf dem Kartenrand angegeben. Bei alten Karten können bis zu zwanzig Maßstabsleisten für unterschiedliche Maßsysteme vorhanden sein, zum Beispiel solche für deutsche, geografische und nautische Meilen, für Stunden oder Leugen.

Bei winkeltreuen Weltkarten, bei denen sich der Maßstab gesetzmäßig zum Beispiel vom Äquator zu den Polen vergrößert, können auch Maßstabsdiagramme zu finden sein. Diese sind nichts anderes als pyramidenförmig angeordnete Maßstabsleisten, die allerdings im Unterschied zu den Maßstabsleisten auf alten Karten alle in derselben Einheit beziffert sind.

Als Variante der grafischen Maßstäbe findet man in Atlanten gelegentlich auch Quadrate mit Flächenangaben oder am Kartenrand ein Vergleichskärtchen eines bekannten Landes (zum Beispiel Umriss der Schweiz auf einer Asienkarte gleichen Maßstabs).

BM2359

Maßstabsleiste mit numerischem Maßstab und Umrechnungshilfe am Rand einer Karte.

Zwei Maßstabsleiste in unterschiedlichen Einheiten (Seemeile und Yard)

Maßstabsleiste für eine Weltkarte in der Mercator-Projektion

Maßstabsleiste

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Die Maßstabsleiste ist eine Kennzeichnung oder Skala am Rand einer Karte, eines Planes oder einer Abbildung, auf der der Maßstab eingezeichnet und mit den wirklichen Distanzen beschriftet ist. Die Maßstabsleiste erleichtert das Messen auf der Karte und ihre Länge sollte daher auf mindestens 0,5 mm genau sein.

Ein weiterer Vorteil der Maßstabsleiste ist, dass eine damit versehene Karte oder Abbildung auch bei Änderungen ihrer Größe brauchbar bleibt. Denn oft werden Karten oder Skizzen verkleinert, ohne dass die Maßstabsbezeichnung entsprechend korrigiert wird.

Maßstabsleisten waren vor der Mitte des 19. Jahrhunderts meist die einzige Maßstabsangabe auf Karten. In Extremfällen wurden bis zu zwanzig verschiedene Maßstabsleisten für unterschiedliche Längenmaße angegeben.

BM2360

Streckenverhältnisse

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Auf Landkarten finden wir eine Maßstabsangabe, z. B. 1:20.000. Dieses Zahlenverhältnis gibt an, dass sich die Länge einer jeden Strecke auf der Landkarte zur Länge der betreffenden Originalstrecke wie

1 zu 25.000 verhält, d. h. die Länge einer Kartenstrecke beträgt ${\tfrac {1}{25.000}}$ der Länge der zugehörigen Originalstrecke.

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Wir betrachten nun zwei Strecken $s_{1}$ und $s_{2}$.

Sie mögen bei gleicher Längeneinheit die Maßzahlen $z_{1}$ und $z_{2}$ haben.

Der Quotient $z_{1}:z_{2}={\tfrac {z_{1}}{z_{2}}}$ heißt Streckenverhältnis von $s_{1}$ und $s_{2}$. Man schreibt auch:

${\tfrac {s_{1}}{s_{2}}}={\tfrac {z_{1}}{z_{2}}}$ bzw. $s_{1}:s_{2}={\tfrac {z_{1}}{z_{2}}}$

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Bild 1

Beim Messen einer jeden Strecke $s$ wird das Streckenverhältnis zwischen $s$ und der benutzten Einheitsstrecke $e$ ermittelt. So besagt beispielsweise das Messergebnis 5,3 3cm:

Wenn die Einheitsstrecke $e_{1}$ die Länge 1 cm hat, so ist ${\tfrac {s}{e_{1}}}=5{,}3$.

Hat die Einheitsstrecke $e_{2}$ die Länge $1\;{\text{mm}}={\tfrac {1}{10}}\;{\text{cm}}$, so ist ${\tfrac {s}{e_{2}}}=53$.

Da Maßzahlen von Strecken sowohl rational als auch irrational sein können, sind auch Streckenverhältnisse rational oder irrationale Zahlen.

Die beiden Rechtecke in Bild 1 haben den gleichen Flächeninhalt. Es gilt also:

$a\cdot b=c\cdot b$

Bei beiderseitiger Division durch $(b\cdot c)$ folgt daraus ${\tfrac {a}{c}}={\tfrac {b}{d}}$.

BM2361 - BM2370

BM2361

Bild 1

Bild 2

Für die Dreiecke $ABC$ und $DEF$ in Bild 1 und 2 gilt $a:d=h_{d}:h_{a}$

1.) Folgere daraus eine Aussage über den Flächeninhalt!

2.) Betrachte die Strecken $b$, $h_{b}$, $e$, $h_{e}$ und gib eine gültige Verhältnisgleichung an!

1. Lösung BM2361

Wenn für die beiden Dreiecke $a:d=h_{d}:h_{a}$ gilt, dann sind die beiden Dreiecke flächengleich. --- Beweis: ${\begin{aligned}a:d&=h_{d}:h_{a}\quad \quad |\quad \cdot h_{a}\quad |\quad \cdot d\\a\cdot h_{a}&=h_{d}\cdot d\quad \quad |\quad :2\\{\tfrac {a\cdot h_{a}}{2}}&={\tfrac {d\cdot h_{d}}{2}}\end{aligned}}$ Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich aus dem halben Produkt aus der Länge einer Seite und der zugehörigen Dreieckshöhe auf dieser Seite. Genau das haben wir nach der Äquivalenzumformung der Gleichung mit der Gleichung in der letzen Zeile bewiesen.

2. Lösung BM2361
Da wir nun schon aus der 1. Lösung wissen, dass die beiden Dreiecke flächengleich sind, gilt auch für die Seiten $b$ und $e$ das Verhältnis zu ihren dazugehörigen Höhen - so wie es für die Seiten $a$ und $d$ in der 1. Lösung gilt. --- Aus $a:d=h_{d}:h_{a}$ können wir folgern: $b:e=h_{e}:h_{b}$

BM2362

Ein DIN A4 Blatt (A4-Format) hat die Maße 210 × 297 mm.

Wenn man einen 3 × 5 m großen Raum auf einem A4-Blatt zeichnen will, welchen Maßstab könnte man wählen, wenn man einen runden Maßstab möchte?

Welchen Maßstab sollte man wählen, wenn der Raum möglichst groß auf dem Blatt dargestellt werden soll und auch ein schiefer Maßstab erlaubt ist?

1 cm auf dem Papier entspricht bei den beiden gewählten Maßstäben wie viel Meter im Zimmer?

1 m im Zimmer entspricht bei den beiden gewählten Maßstäben wie viel Zentimeter auf dem Papier?

1. Lösung BM2362

Zuerst überlegen wir uns, bei welchen Maßstäben 1 cm wie viel Meter entspricht. 1:1; $1\;{\text{cm}}\;{\widehat {=}}\;1\;{\text{cm}}$ Lies: Im Maßstab 1:1 entspricht ein Zentimeter auf der Zeichnung einem Zentimeter in der Realität. --- 1:10; $1\;{\text{cm}}\;{\widehat {=}}\;10\;{\text{cm}}$ 1:100; $1\;{\text{cm}}\;{\widehat {=}}\;100\;{\text{cm}}\;(=1\;{\text{m}})$ 1:1000; $1\;{\text{cm}}\;{\widehat {=}}\;1000\;{\text{cm}}\;(=10\;{\text{m}})$ --- Nun machen wir uns Gedanken über einen möglichst großen, blattfüllenden Maßstab.

2. Lösung BM2362

Das Blatt ist 297 mm hoch (Hochformat), also 29,7 cm. Darauf soll das 5 m lange Zimmer dargestellt werden. Im Maßstab 1:100 entsprechen 5 cm auf der Zeichnung genau 5 m im Zimmer. Wir könnten uns langsam an die richtige Lösung - einen akzeptablen Maßstab - rantasten: Im Maßstab 1:10 entsprechen 10 cm auf der Zeichnung genau 1 m im Zimmer. Im Maßstab 1:10 entsprechen 50 cm auf der Zeichnung genau 5 m im Zimmer. Das passt nicht auf's Blatt. Der Maßstab ist also zu groß. Der Maßstab 1:10 ist größer als 1:100. Die Zahl 1/10 ist größer als 1/100. Also probieren wir weiter: Im Maßstab 1:20 entsprechen 10 cm auf der Zeichnung genau 200 cm oder 2 m im Zimmer. Jetzt multiplizieren wir alles mit 2,5 um auf 5 m zu kommen. Im Maßstab 1:20 entsprechen 25 cm auf der Zeichnung genau 500 cm oder 5 m im Zimmer. Damit haben wir die Lösung: Im Maßstab 1:20 kann man das Zimmer ziemlich blattfüllend auf das Blatt bringen. Wir kontrollieren noch die Breite des Zimmers: Im Maßstab 1:20 entsprechen 10 cm auf der Zeichnung genau 200 cm oder 2 m im Zimmer. Jetzt multiplizieren wir alles mit 1,5 um auf 3 m zu kommen. Im Maßstab 1:20 entsprechen 15 cm auf der Zeichnung genau 300 cm oder 3 m im Zimmer. Das passt also auch auf's Papier. --- Anstatt sich langsam ranzutasten könnten wir auch eine Verhältnisgleichung aufstellen: ${\begin{aligned}29\;{\text{cm}}\;:500\;{\text{cm}}\;&=1:x\quad \quad |\quad \cdot x\\{\tfrac {29\;{\text{cm}}\;\cdot \;{\text{x}}}{500\;{\text{cm}}}}&=1\quad \quad |\quad \cdot \;500\;{\text{cm}}\\29\;{\text{cm}}\;\cdot x&=500\;{\text{cm}}\quad \quad |\quad :29\;{\text{cm}}\\x&={\tfrac {500\;{\text{cm}}}{29\;{\text{cm}}}}\\x&=17{,}24\end{aligned}}$ --- Im Maßstab 1:17,24 würde die Zeichnung des Zimmers noch auf das Papierblatt passen. Das wollen wir aber doch noch ein bisschen runden. Auf 1:18 oder 1:17?

3. Lösung BM2362

Im Maßstab 1:17,24 würde die Zeichnung des Zimmers noch auf das Papierblatt passen. Das wollen wir aber doch noch ein bisschen runden. Auf 1:18 oder 1:17? --- 1:17 geht in Richtung 1:10, dass würde also nicht passen. 1:18 geht in Richtung 1:100, dass würde passen. --- Einigen wir uns aus 1:15, das ist wenigstens nicht ganz krumm. --- 1 cm auf dem Papier entspricht bei dem gewählten Maßstab 1:15 wie viel Meter im Zimmer?

4. Lösung BM2362

1 cm auf dem Papier entspricht bei einem Maßstab von 1:15 wie viel Meter im Zimmer? $1\;{\text{cm}}\;{\widehat {=}}\;15\;{\text{cm}}$ $1\;{\text{cm}}\;{\widehat {=}}\;0{,}15\;{\text{m}}$ --- 1 cm auf dem Papier entspricht bei einem Maßstab von 1:20 wie viel Meter im Zimmer? $1\;{\text{cm}}\;{\widehat {=}}\;20\;{\text{cm}}$ $1\;{\text{cm}}\;{\widehat {=}}\;0{,}20\;{\text{m}}$ --- 1 m im Zimmer entspricht bei den beiden gewählten Maßstäben wie viel Zentimeter auf dem Papier?

5. Lösung BM2362

1 m im Zimmer entspricht bei den beiden gewählten Maßstäben wie viel Zentimeter auf dem Papier? --- Bei einem Maßstab von 1:15 entspricht 1 cm auf dem Papier genau 15 cm im Zimmer. Ober anders rum: Bei einem Maßstab von 1:15 entsprechen 15 cm im Zimmer genau 1 cm auf dem Papier. Das Zimmer ist 500 cm lang. ${\begin{aligned}500:15&={\tfrac {500}{15}}\\&={\tfrac {5\cdot 100}{3\cdot 5}}\\&={\tfrac {100}{3}}\\&=33{\tfrac {1}{3}}\end{aligned}}$ 33 1/3. Wie können wir diese Zahl interpretieren? Diese Zahl hilft uns nicht weiter. Denn wir wollen stattdessen wissen, in welcher Länge 1 m des Zimmers (also 100 cm) auf der Zeichnung dargestellt wird. ${\begin{aligned}100:15&={\tfrac {100}{15}}\\&={\tfrac {2\cdot 2\cdot 5\cdot 5}{3\cdot 5}}\\&={\tfrac {2\cdot 2\cdot 5}{3}}\\&={\tfrac {20}{3}}\\&={\tfrac {18+2}{3}}\\&={\tfrac {18}{3}}+{\tfrac {2}{3}}\\&=6+{\tfrac {2}{3}}\\&=6{,}{\overline {6}}\end{aligned}}$ 6,66 Wie können wir diese Zahl interpretieren? Ein Meter im Zimmer entsprechen 6,66 cm auf dem Papier. --- Bei einem Maßstab von 1:20 entspricht 1 cm auf dem Papier genau 20 cm im Zimmer. Ober anders rum: Bei einem Maßstab von 1:20 entsprechen 20 cm im Zimmer genau 1 cm auf dem Papier. Das wollen wir mit einer Verhältnisgleichung ausrechnen. Papier : Zimmer x : 100 = 1 : 20 x = 100 : 20 x = 5 Ein Meter im Zimmer entsprechen 5 cm auf dem Papier.

BM2363

Ein Hausgrundriss (12 × 9 m) soll auf einem Blatt im A3-Format (297 × 420 mm) gezeichnet werden.

Welchen Maßstab könnte man wählen, wenn man einen runden Maßstab möchte?

Welchen Maßstab sollte man wählen, wenn das Haus möglichst groß auf dem Blatt dargestellt werden soll und auch ein schiefer Maßstab erlaubt ist?

1 cm auf dem Papier entspricht bei den beiden gewählten Maßstäben wie viel Meter im Haus?

1 m im Zimmer entspricht bei den gewählten Maßstäben wie viel Zentimeter auf dem Papier?

1. Lösung BM2363
12 m sollen auf 420 mm dargestellt werden. Zuerst müssen wir eine einheitliche Maßeinheit wählen. Dazu bietet sich der Zentimeter an. 1200 cm sollen auf 42 cm dargestellt werden. --- 1:10? 1:5? 1 : x = 42 : 1200 x = 1200 : 42 x = 28,57 Der Maßstab sollte also 1:28,57 sein. Runden wir nun aus 1:28 oder auf 1:29?

2. Lösung BM2363
Der Maßstab sollte also 1:28,57 sein. Runden wir nun aus 1:28 oder auf 1:29? --- 1:1 würde garantiert nicht auf das Papier passen, denn dann müsste das Blatt 12 m groß sein. Also runden wir 1:28,57 nicht auf 1:28, sondern auf 1:29 oder noch besser auf 1:30. --- 1 cm auf dem Papier entspricht bei den beiden gewählten Maßstäben wie viel Meter im Haus?

3. Lösung BM2363

1 cm auf dem Papier entspricht bei einem Maßstab von 1:30 wie viel Meter im Haus? --- 1 cm ≙ 30 cm 1 cm ≙ 0,30 m 1 cm auf dem Papier entspricht bei einem Maßstab von 1:30 genau 0,30 m im Haus? --- 1 m im Zimmer entspricht bei einem Maßstab von 1:30 wie viel Zentimeter auf dem Papier? --- 30 cm ≙ 1 cm 100 cm ≙ x cm 1 m ≙ x cm $30:1=100:x$ $x=100:30$ $x=10:3$ $x=3{,}{\overline {3}}$ 1 m im Zimmer entspricht bei einem Maßstab von 1:30 genau 3 cm auf dem Papier? --- Führe die Probe aus!

4. Lösung BM2363

1 cm auf dem Papier entspricht bei einem Maßstab von 1:30 genau 0,30 m im Haus? 1 m im Zimmer entspricht bei einem Maßstab von 1:30 genau 3 cm auf dem Papier? --- Führe die Probe aus! --- Ein Hausgrundriss (12 × 9 m) soll auf einem Blatt im A3-Format (297 × 420 mm) gezeichnet werden. Das Papier ist 42 cm groß. 42 * 0,30 = 12,6 Auf dem Blatt kann also ein 12,6 m langes Haus gezeichnet werden. Probe bestanden. --- Wirklich?

5. Lösung BM2363
Probe bestanden. --- Wirklich? --- Es könnte ja sein, dass die Hauslänge von 12 m zwar passt, aber die Hausbreite von 9 m bei einem Maßstab von 1:30 nicht auf das Blatt passt. Also müssen wir auch eine Probe für die Breite ausführen. Los geht's!

6. Lösung BM2363
Wir müssen eine Probe für die Breite ausführen. --- Ein Hausgrundriss (12 × 9 m) soll auf einem Blatt im A3-Format (297 × 420 mm) gezeichnet werden. Das Papier ist 29,7 cm breit. 29,7 * 0,30 = 8,91 Auf dem Blatt kann also ein 8,91nbsp;m breites Haus gezeichnet werden. Probe bestanden.

BM2364

Die Umrisse von Deutschland sollen auf einem Blatt im A5-Format (das ist ein halb zusammengefaltetes A4-Format) gezeichnet werden.

Die größte West-Ost-Ausdehnung von Deutschland beträgt 632 km, die längste Ausdehnung von Norden nach Süden 876 km.

Welchen Maßstab könnte man wählen, wenn man einen runden Maßstab möchte?

Welchen Maßstab sollte man wählen, wenn Deutschland möglichst groß auf dem Blatt dargestellt werden soll und auch ein schiefer Maßstab erlaubt ist?

1 cm auf dem Papier entspricht bei den beiden gewählten Maßstäben wie viel Kilometern in der Natur?

100 km in der Natur entsprechen bei den beiden gewählten Maßstäben wie viel Zentimeter auf dem Papier?

1. Lösung BM2364
Zuerst müssen wir die Größe eines A5-Blattes berechnen.

2. Lösung BM2364

Ein Blatt im A4-Format hat die Maße 210 × 297 mm. (Querformat: B = 297 mm; H = 210 mm) Wenn wir dieses Blatt halbieren, dann wechseln Höhe und Breite ihren Platz: Ein Blatt im A5-Format hat also die Maße: H = 297 : 2 mm; B = 210 mm H = 148,5 mm; B = 210 mm Offiziell sind es: 148 × 210  mm Oder in Zentimeter: A5: H = 14,8 cm; B = 21 cm --- Nun zur eigentlichen Fragestellung: Die größte West-Ost-Ausdehnung von Deutschland beträgt 632 km, die längste Ausdehnung von Norden nach Süden 876 km. Welchen Maßstab könnte man wählen, wenn man einen runden Maßstab möchte?

3. Lösung BM2364

Zuerst sollten wir alles auf ein einheitliches Längenmaß bringen. Wir wollen Meter als Maßeinheit nehmen. 1 cm = 0,01 m 1 km = 1000 m Nord-Süd-Ausdehnung: 876 km oder 876.000 m oder 8,76 * 105 --- Papier zu realer Welt Papier : Welt 1 cm Papier ≙ x cm Welt 1 cm : x cm Für 1 cm Papier schreiben wir 0,01 m Für x cm Papier schreiben wir 876.000 m 1 : x = 0,01 : 876.000 x = 876.000 : 0,01 x = 87.600.000 Der Maßstab sollte also 1:87.600.000 sein. --- Da sollten wir ganz schnell mal eine Probe machen, um sicher zu gehen, dass wir uns nicht total in der Größenordung verhauen haben.

4. Lösung BM2364

Probe: Maßstab 1:87.600.000 Um besser rechnen zu können nehmen wir 1:100.000.000 Maßstab 1:100 Mill. A5: Höhe 14,8 cm 14,8 cm auf dem Papier entsprechen 14,8 * 100.000.000 = 1.480.000.000 1.480.000.000 cm = 14.800.000 m 14.800.000 m = 14.800 km --- Hm? Es könnte ein Land von 14.000 km Länge dargestellt werden. Uns würden aber 1.000 km reichen. Wo lag unser Fehler! Oder haben wir hier nur einen Denkfehler gehabt?

5. Lösung BM2364

Bevor wir den Fehler suchen, wollen wir noch mal einen ganz anderen Ansatz pprobieren: 1 km = 1.000 m 1 m = 100 cm 1.000 m = 100.000 cm --- 1 km = 100.000 cm 1 cm = 1/100.000 km --- Bei einem Maßstab 1:100.000 gilt: 1 cm auf der Karte = 100.000 cm in der Natur oder 1 km --- Alles mal 1.000 nehmen (also drei Nullen hinten dranhängen): Bei einem Maßstab 1:100.000.000 gilt: 1 cm auf der Karte = 100.000.000 cm in der Natur oder 1000 km --- Alles mal 100 nehmen (also drei Nullen hinten dranhängen): Bei einem Maßstab 1:10.000.000 gilt: 1 cm auf der Karte = 10.000.000 cm in der Natur oder 100 km --- A5: Höhe 14,8 cm Nord-Süd-Ausdehnung von Deutschland: 876 km 14,8 * 100 = 1.480 Der Maßstab 1:10 Mill. liegt also ungefähr in der richtigen Größenordnung. 1:5 Mill. würde wahrscheinlich nicht mehr passen. Vielleicht geht auch noch 1:8 Mill. --- Nun zur Fehlersuche: Bei der 3. Lösung BM2364 hatten wir den Maßstab 1:87.600.000 ausgerechnet. Wenn die richtige Lösung aber ca. 1:8 Mill. ist, dann ist die genau Lösung wahrscheinlich 1:8,7 Mill. statt 1:87 Mill. Wir sind also oben in unserer Rechnung irgendwo um eine Zehnerstelle verrutscht. Aber wo?

6. Lösung BM2364

Bei c) hatten wir gerechnet: 1 : x = 0,01 : 876.000 x = 876.000 : 0,01 x = 87.600.000 --- Das wollen wir noch mal überprüfen: ${\begin{aligned}1:x&=0,01:876.000\\{\tfrac {1}{x}}&={\tfrac {0,01}{876.000}}\quad \quad |\quad \cdot x\\1&={\tfrac {0,01\cdot x}{876.000}}\quad \quad |\quad \cdot {\tfrac {876.000}{0,01}}\\x&={\tfrac {876.000}{0,01}}x&={\frac {876.000}{\tfrac {1}{100}}}x&={\frac {876.000\cdot 100}{1}}x&=87.600.000\end{aligned}}$ Unsere Rechnung bei c) war also formal korrekt. Aber wo steckt der Fehler?

7. Lösung BM2364

Vielleicht ist ja der Ansatz 1 : x = 0,01 : 876.000 falsch? --- Wie wäre es stattdessen für die rechte Gleichungsseite mit Blatthöhe : Nord-Südausdehung (beides in Zentimetern): 1 : x = 14,8 : 876.000 x = 876.000 : 14,8 x = 59.189 Also rund 1:60.000 1 cm ≙ 60.000 cm 1 cm ≙ 600 m So passt Deutschland aber auch auf Kein A5-Blatt. Also wieder falsch. --- Jetzt holen wir uns erst mal Rat im Internet: https://rechneronline.de/massstab/ verrät uns, dass wenn wir für die Entfernung auf der Karte 14,8 cm ensetzen und für die echte Entfernung 876 km einsetzen, dass dass der Kartenmaßstab 1:5918919 ist, also rund 1:6 Mill. --- Probe: 876 km = 876.000 m 876.000 : 6 Mill. = 0,146 Passt! Wir haben 876 km durch den Kartenmaßstab 6 Mill. geteilt und 14,6 cm als Blatthöhe erhalten. (Natürlich waren die Eingaben alle in Metern.) --- Also, wo lag unser Fehler!

8. Lösung BM2364

Eselsbrücke: Wir starten beim Maßstab 1:100.000, denn bei diesem Maßstab entspricht nämlich ein Zentimeter auf der Karte, genau einem Kilometer in der Wirklichkeit. 1 m = 100 cm 1 km = 1000 m 1000 * 100 = 100.000 100.000 cm = 1 km Vom Maßstab 1:100.000 ausgehend prüfen wir, ob wir unseren Maßstab vergrößern (Richtung 1:1) oder verkleinern (Richtung 1:1 Mill.) müssen. --- Im Maßstab 1:100.000 bringen wir auf unserm 14,8 cm hohen Blatt genau 14,8 km aus der Natur unter. Im Maßstab 1:1.000.000 bringen wir auf unserm 14,8 cm hohen Blatt genau 148 km aus der Natur unter. Im Maßstab 1:5.000.000 bringen wir auf unserm 14,8 cm hohen Blatt genau 740 km aus der Natur unter. Im Maßstab 1:6.000.000 bringen wir auf unserm 14,8 cm hohen Blatt genau 888 km aus der Natur unter. --- Daraus wollen wir jetzt rückwärts unsere Formel entwickeln. Los!

9. Lösung BM2364

Wenn wir von 1:100.000 ausgehen, dann lautet die Formel: 14,8 * x = 876 x = 6 also 600.000 x = 876 : 14,8 x = 59 oder gerundet x = 60 60 * 100.000 = 6 Mill. Also Maßstab 1:6 Mill. --- Oder wenn wir die 100.000 gleich mit einbauen wollen dann: x = (876 : 14,8) * 100.000 x = 6.918.918 Also Maßstab 1:6.918.918 --- Daraus können wir ganz allgemein die Formel ableiten: x : 100.000 = Natur [km] : Karte [cm] oder wir rechnen erste die Natur von Kilometer in Zentimeter um (indem wir mit 100.000 multiplizieren): x = Natur [cm] : Karte [cm] --- Das heißt unsere ersten Rechenansätze waren alle prinzipiell falsch.

BM2365

Auf einer alten preußischen Landkarte ist der Abstand zwischen zwei Orten 22,9 cm. Diese beiden Orte liegen 14,7 km auseinander (von Kirchturm zu Kirchturm gemessen).

Welchen Maßstab hat diese Karte.

Lösung BM2365
22,9 cm ≙ 14,7 km 1 cm ≙ x km Der Maßstab ist dann x * 100.000 --- ${\begin{aligned}1:x&=22,9:14,7\\x&=14,7:22,9\\x&=0,641921\end{aligned}}$ $0,641921\cdot 100.000=641.921$ Der Maßstab dieser Karte ist 1:641.921.

BM2366

Globus

Welchen Maßstab hat ein Globus von einem Meter Durchmesser?

Die Erde hat am Äquator einen Erdumfang von 40.075 km. (Die Länge des Äquators beträgt 40.075 km.)

1. Lösung BM2366
Erdumfang von 40.075 km Wenn wir die Erde gedanklich am Globus aufschneiden, so erhalten wir als Schnittfläche einen Kreis, dessen Mittelpunkt im Erdmittelpunkt liegt. Welchen Durchmesser hat ein Kreis mit dem Umfang 40.075 km?

2. Lösung BM2366

A = pi * r2 (Aber die Fläche wollen wir jetzt nicht berechnen. Radius r; Fläche A.) U = d * pi (Umfang U, Durchmesser d; pi = 3,141) d = U/pi --- Durchmesser der Erde: d = 40.075 km : 3,141592 d = 12.756 km Der Erddurchmesser ist 12.756 km. (Laut Geologen offiziell 12.742 km, aber für unsere weitere Rechnung bleiben bei unserer eigenen errechneten Zahl.) Der Durchmesser des Globus ist 1 m. --- Welchen Maßstab hat dieser Globus?

3. Lösung BM2366
Der Durchmesser des Globus ist 1 m oder 100 cm. x = 12.756 : 100 x = 127,56 127,56 * 100.000 = 12.756.000 --- Der Globus hat den Maßstab 1:12.756.000

BM2367

Welchen Maßstab hat ein Globus von 33 cm Durchmesser?

1. Lösung BM2367

Wie wir aus der vorhergehenden Übung wissen, ist der Erddurchmesser 12.756 km. Der Globus hat einen Durchmesser von 33 cm. --- Wir rechen den Erddurchmesser in Zentimeter um: 12.756 km * 100.000 = 12.756.000 cm x = 12.756.000 : 33 = 386.545 (Natur : Karte) Maßstab 1:386.545 --- Komisch, das kann nicht sein. Der 1-Meter-Globus hat den Maßstab 1:12.756.000. Der 33-Zentimeter-Globus hat den Maßstab 1:386.545. --- Kann das sein? Müssten sich die Globusdurchmesser und die Maßstäbe nicht genau anders rum verhalten? Denn schließlich hat ein 12.756-Kilometer-Globus den Maßstab 1:1. --- Oder wie ist das?

2. Lösung BM2367

In der Wikipedia lesen wir im Artikel üben den Globus: Der Globusmaßstab ist der Maßstab eines Globus. Globen mit einem Durchmesser von 26 cm haben einen Maßstab von 1:50 Millionen. Bei einem Durchmesser von 51 cm beträgt der Maßstab 1:25 Millionen. Der weltweit größte drehbare Globus ist Eartha. Er hat einen Durchmesser von 12,52 Metern, ein Gewicht von 2721 kg und einen Globusmaßstab von 1:1 Mio. --- In den Weiten des Internets gibt es eine Zusammenstellung, die den Globusdurchmesser und seinen Kartenmaßstab gegenüberstellt: 11 cm Globusdurchmesser; Maßstab 1:116.000.000 16 cm Globusdurchmesser; Maßstab 1:80.000.000 25 cm Globusdurchmesser; Maßstab 1:51.000.000 30 cm Globusdurchmesser; Maßstab 1:42.500.000 37 cm Globusdurchmesser; Maßstab 1:35.000.000 40 cm Globusdurchmesser; Maßstab 1:31.000.000 50 cm Globusdurchmesser; Maßstab 1:25.500.000 75 cm Globusdurchmesser; Maßstab 1:17.000.000 128 cm Globusdurchmesser; Maßstab 1:10.000.000 Also stimmt unser Verdacht: Der 1-Meter-Globus hat den Maßstab 1:12.756.000. Der 33-Zentimeter-Globus hat den Maßstab 1:386.545. Das kann nicht sein. Auf den ersten Blick liegt der Fehler bei: "Der 33-Zentimeter-Globus hat den Maßstab 1:386.545." --- Wo haben wir den Fehler genau gemacht?

3. Lösung BM2367

Bei der Lösung a) haben wir gerechnet: 12.756 km * 100.000 = 12.756.000 cm Das ist falsch. 12.756 * 1.000 wären 12.756.000 aber 12.756 km * 100.000 = 1.275.600.000 cm ist richtig. Damit rechnen wir jetzt weiter: x = 1.275.600.000 : 33 = 38.654.545 (Natur : Karte) Maßstab 1:38.654.545 gerundet: Maßstab 1:38 Mill. Das ist eher wahrscheinlich. --- Ein Globus von 33 cm Durchmesser hat einen Maßstab von 1:38 Mill.

BM2368

Welchen Maßstab hat ein Globus von 14,3 cm Durchmesser?

Lösung BM2368
12.756 km * 100.000 = 1.275.600.000 cm Erddruchmesser Damit rechnen wir jetzt: x = 1.275.600.000 : 14,3 = 89.202.797 (Natur : Karte) Maßstab 1:89.202.797 --- Ein Globus von 14,3 cm Durchmesser hat einen Maßstab von rund 1:90 Mill.

BM2369

Auf einer amerikanischen Karte entspricht 1 Zoll (engl.: inch [kurz: in.]; $1\;{\text{in}}=2{,}54\;{\text{cm}}$) genau 20 NM $(1\;{\text{NM}}=1852{,}0\;{\text{m}})$.

Welchen Maßstab hat diese Karte?

1. Lösung BM2369
Am besten wir rechnen erst mal Zoll und Nautische Meilen auf die einheitliche Längeneinheit Zentimeter um.

2. Lösung BM2369
1 Zoll = 2,54 cm (Da gibt es nicht viel zu rechnen.) 1 NM = 1.852 m = 185.200 cm --- Welchen Maßstab hat eine Karte, bei der 2,54 cm auf der Karte 185.200 cm in der Realität entsprechen?

3. Lösung BM2369
x = 185.200 : 2,54 x = 72.913 --- Der Maßstab dieser Karte ist 1:72.913. --- Angloamerikanische Karten ergeben leider im metrischen Bereich keinen runden Maßstab.

BM2370

Auf einer britischen Straßenkarte entspricht 1 cm genau 50 sm (statute mile; Landmeile) $(1\;{\text{sm}}=1609{,}344\;{\text{m}})$.

Welchen Maßstab hat diese Karte?

1. Lösung BM2370
Am besten wir rechnen erst mal die Landmeile in Zentimeter um.

2. Lösung BM2370
1 sm = 1.609,344 m 1 sm = 160.934,4 cm --- Nun brauchen wir nur noch den Maßstab

3. Lösung BM2370
1 cm ≙ 50 sm 1 cm ≙ 50 * 160.934,4 cm 1 cm ≙ 8.046.720 cm Der Maßstab ist also 1:8.046.720 oder gerundet 1:8 Mill.

BM2371 - BM2380

BM2371

Wir müssen 9 km gehen.

Wie viel Zentimeter sind das auf einer Wanderkarte im Maßstab 1:25.000?

Wie viel Zentimeter sind das auf einer Wanderkarte im Maßstab 1:40.000?

Wie viel Zentimeter sind das auf einer Straßenkarte im Maßstab 1:160.000?

1. Lösung BM2371
1:25.000 1 cm ≙ 25.000 cm 1 cm ≙ 250 m 1 cm ≙ 0,250 km 4 cm ≙ 1 km ---- 1 cm : 25.00 cm = x [Karten-]cm : (9) [Natur-]cm 1 : 25.000 = x : 900.000 x = 900.000 : 25.000 x = 900 : 25 x = 36 Auf einer Wanderkarte im Maßstab 1:25.000 entsprechen 36 cm einer realen Strecke von 9 km. --- Und im Maßstab 1:40.000?

2. Lösung BM2371
x = 900.000 : 40.000 x = 900 : 40 x = 90 : 4 x = 22,5 Auf einer Wanderkarte im Maßstab 1:40.000 entsprechen 22,5 cm einer realen Strecke von 9 km. --- Und im Maßstab 1:160.000?

3. Lösung BM2371
x = 900.000 : 160.000 x = 900 : 160 x = 90 : 16 x = 5,625 Auf einer Wanderkarte im Maßstab 1:160.000 entsprechen 5,6 cm einer realen Strecke von 9 km.

BM2372

Maßstäbe bei Modelleisenbahnen

---

Größenvergleich einer Modelleisenbahn Diesellokomotive im Maßstab 1:87 mit einer Euromünze

1.)

Die Nenngröße H0 (gesprochen: Nenngröße Ha-Null bzw. Nenngröße Halb Null).

Die Nenngröße H0 ist heute die am weitesten verbreitete Nenngröße. In Deutschland hat sie einen Marktanteil von etwa 70 %.

Der Maßstab beträgt 1:87.

Frage: Eine Figur eines Menschen ("Bahnhofsvorsteher") ist 2 cm groß. Wir groß ist dieser Mensch in Wirklichkeit?

1. Lösung BM2372
1:87 2 cm : x cm 1 : 87 = 2 : x x = 2 : 87 x = 0,0229885 --- Was sagt uns diese Zahl? Wir erwarten, dass der durch die Figur dargestellt Mensch eine Größe von irgendwo 1,50 m bis 2 m hat.

2. Lösung BM2372
Die Zahl x = 0,0229885 sagt uns gar nichts, denn uns ist gleich am Anfang ein Rchenfehler unterlaufen. 1 : 87 = 2 : x x = 2 : 87 (Das ist FALSCH!) ${\begin{aligned}1:87&=2:x\\{\tfrac {1}{87}}&={\tfrac {2}{x}}\quad \quad |\quad \cdot x\\x\cdot {\tfrac {1}{87}}&=2\quad \quad |\quad \cdot 87\\x&=2\cdot 87\\x&=174\end{aligned}}$ x = 174 Was sagt uns diese Zahl?

3. Lösung BM2372
x = 174 Das ist die Größe des Menschen in Zentimeter. --- Eine 2 cm große Figur eines Menschen im Maßstab 1:87 stellt eine 1,74 cm große Person dar.

BM2373

Modell einer E 94 als Bundesbahn BR 194 in Nenngröße TT

ICE3 - Baureihe 407

Die Nenngröße TT ist eine genormte Baugröße für Modelleisenbahnen.

Der Maßstab beträgt 1:120, was sich aus dem Verhältnis ten feet to the inch (10 Fuß : 1 inch) herleitet und einem üblichen Ingenieursmaßstab im angelsächsischen Raum entspricht.

TT ist die Abkürzung des englischen Table Top, was Tischfläche bedeutet, sinngemäß aber meint: passt auf einen Tisch. Der Platzbedarf der Anlagen ist geringer als bei der Nenngröße H0 im Maßstab 1:87; andererseits sind mehr Details möglich als bei der nächstkleineren Nenngröße N im Maßstab 1:160. TT wird deshalb auch als Spur der Mitte bezeichnet.

Frage: Der ICE-3-Hochgeschwindigkeitszug der DB-Baureihe 407 hat eine Gesamtlänge von 200,72 m. Wie lang wäre solch ein Hochgeschwindigkeitszug auf der TT-Modellbahnanlage?

1. Lösung BM2373
1:120 x : 200,72 m --- 1 : 120 = x : 200,72 m 1 : 120 = x : 20072 cm ${\begin{aligned}{\tfrac {1}{120}}&={\tfrac {x}{20.072}}\quad \quad |\quad \cdot 20.072\\{\tfrac {20.072}{120}}&=x\\x&=167\end{aligned}}$ x = 167 Was sagt uns diese Zahl?

2. Lösung BM2373
x = 167 Ein Zug der Länge 200,72 m hat auf einer TT-Modellbahnanlage im Maßstab 1:120 eine Länge von 167 cm. --- Im angelsächsischen Raum ist "10 Fuß : 1 inch" ein üblicher Ingenieursmaßstab. Welcher Maßstab ist das im metrischen System?

3. Lösung BM2373
10 Fuß : 1 inch --- Wir rechnen erst mal alles auf Zentimeter um.

4. Lösung BM2373
inch (Zoll); in feet (Fuß); ft 1 inch = 2,54 cm 1 ft = 0,3048 m 10 ft = 3,048 m 10 ft = 304,8 cm --- Nun wollen wir den Maßstab ausrechnen.

5. Lösung BM2373
10 Fuß : 1 inch 304,8 : 2,54 --- 1 : x = 304,8 : 2,54 ${\begin{aligned}{\tfrac {1}{x}}&={\tfrac {304,8}{2,54}}\quad \quad |\quad \cdot x\\1&={\tfrac {304,8}{2,54}}\cdot x\quad \quad |\quad \cdot {\tfrac {2,54}{304,8}}\\{\tfrac {2,54}{304,8}}&=x\\x&=0,008333\end{aligned}}$ x = 0,008333 Was sagt uns diese Zahl?

6. Lösung BM2373
Der Maßstab ist 1:0,008333 Wie das?

7. Lösung BM2373
Wir hatten beim Ansatz 10 Fuß : 1 inch Welt : Papier Deshalb haben wir jetzt auch den Maßstab 1:0,008333 --- Also alles noch einmal rechnen mit der üblichen Beziehung Papier : Realität 1 inch : 10 Fuß

8. Lösung BM2373
1 : x = 2,54 : 304,8 x = 304,8 : 2,54 x = 120 Also: Maßstab 1:120 --- Wir hätten übrigens auch den Kehrwert von 0,008333 berechnen können, um auf die umgekehrt Reihenfolge der Zahlen bei der Maßstabsangabe zu kommen. ${\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{0,008333}}\\x&=120\end{aligned}}$

BM2374

Modell in der Spurweite N der US-amerikanischen Diesellokomotive des Typs EMD SD 9

Modellbahnanlage

Die Nenngröße N ist eine in den Normen Europäischer Modellbahnen (NEM) und den Normen der National Model Railroad Association (NMRA) genormte Baugröße für Modelleisenbahnen.

Der Maßstab beträgt üblicherweise 1:160. Die Nenngröße befindet sich somit zwischen der Nenngröße Z mit einem Maßstab von 1:220 und der Nenngröße TT mit einem Maßstab von 1:120. Sie ist nur etwa halb so groß wie die derzeit verbreitetste Nenngröße H0 mit dem Maßstab von 1:87.

Frage a) Eine Modellbahnanlage hat ein Gleisoval, bei dem die geraden Strecken jeweils 2 Meter lang sind und die beiden Enden jeweils aus einem Halbkreis mit einem Durchmesser von 1,70 cm betragen. Die Gleislänge dieses Ovals beträgt wie viel Meter in der realen Welt?

Frage b) Abweichend von der internationalen Norm beträgt der Maßstab der Nenngröße N in Großbritannien 1:148 und in Japan 1:150. Um wie viel Prozent weicht dieser Maßstab vom üblichen Maßstab 1:160 ab?

1. Lösung BM2374 a)
Maßstab 1:160 Gleisstrecke auf der Modellbahnanlage: 2 m + 2 m + (2 * Halbkreis); also: 4 m + Vollkreis mit Durchmesser 1,70 m Wie war noch mal die Gleichung mit d und U?

2. Lösung BM2374 a)
U = d * pi U = 1,7 * 3,141 = 5,34 m Gleisstrecke auf der Modellbahnanlage: s = 4 + 5,34 = 9,34 m 9,34 m auf der Modellbahnanlage im Maßstab 1:160 sind wie viel Meter in der realen Welt?

3. Lösung BM2374 a)
1 cm Modell : 160 cm Welt = 9,34 m Modell : x m Welt Ist der Ansatz richtig?

4. Lösung BM2374 a)
Nicht ganz. Wir müssen alle Werte in der gleichen Längeneinheit haben. Also: 1 cm Modell : 160 cm Welt = 934 cm Modell : x cm Welt x = 934 * 160 * cm x = 149.440 cm Was sagt uns diese Zahl?

5. Lösung BM2374 a)
x = 149.440 cm x = 1494,40 m x = 1,49440 km Antwort: Das Gleisoval entspricht einer Strecke von 1,4944 km in der realen Welt. --- Ist die Antwort richtig?

6. Lösung BM2374 a)
Ja, fast. Aber die Frage war nicht, wie viel Kilometer oder Millimeter sondern Meter. Bitte immer genau auf die gestellt Frage antworten. Also: Antwort: Das Gleisoval entspricht einer Strecke von 1494,40 m in der realen Welt.

1. Lösung BM2374 b)
Nenngröße N normalerweise: 1:160 in Großbritannien 1:148 in Japan 1:150 Um wie viel Prozent weicht dieser Maßstab vom üblichen Maßstab 1:160 ab? --- Um wie viel Prozent weicht der britische Maßstab 1:148 vom üblichen Maßstab 1:160 ab?

2. Lösung BM2374 b)
Um wie viel Prozent ist 148 kleiner als 160? Was setzen wir hier für unsere 100 % an?

3. Lösung BM2374 b)
Um wie viel Prozent ist 148 kleiner als 160? 100 % ≙ 160 x % ≙ 148 --. x : 148 = 100 : 160 x = (100 : 160) * 148 x = (10 : 16) * 148 x = 1480 : 16 x = 92,5 Antwort: Der Maßstab 1:148 ist um 92,9 % kleiner, als der Maßstab 1:160. --- Wirklich?

4. Lösung BM2374 b)
Nein. 100 - 92,5 = 8,5 Der Unterschied zwischen 148 und 160 beträgt 8,5 Prozent. Antwort: Der Maßstab 1:148 ist um 8,5 % kleiner, als der Maßstab 1:160. --- Wirklich?

5. Lösung BM2374 b)
Nein. 100 - 92,5 = 7,5 (NICHT 7,5 wie bei b4 falsch gerechnet wurde.) Der Unterschied zwischen 148 und 160 beträgt 7,5 Prozent. Antwort: Der Maßstab 1:148 ist um 7,5 % kleiner, als der Maßstab 1:160. --- Wirklich?

6. Lösung BM2374 b)
Ja! --- Nenngröße N normalerweise: 1:160 in Großbritannien 1:148 in Japan 1:150 Um wie viel Prozent weicht dieser Maßstab vom üblichen Maßstab 1:160 ab? --- Um wie viel Prozent weicht der japanisch Maßstab 1:150 vom üblichen Maßstab 1:160 ab?

7. Lösung BM2374 b)
Um wie viel Prozent ist 148 kleiner als 160? 100 % ≙ 160 x % ≙ 150 --. x : 150 = 100 : 160 x = (100 * 150) : 160 x = (15000) : 150 x = 1500 : 15 // Mit Fünf kürzen x = 300 : 3 x = 100 --- Kann das sein?

8. Lösung BM2374 b)
Nein, das kann nicht sein. Denn: 100 % ≙ 160, dann kann nicht 150 auch 100 Prozent entsprechen. --- Wo war unser Fehler?

9. Lösung BM2374 b)
x : 150 = 100 : 160 x = (100 * 150) : 160 x = (15000) : 150 (DA haben wir uns verschrieben.) Es muss lauten: x = (15000) : 160 x = 1500 : 16 x = 93,75 --- 100 % - 93,75 % = 6,25 % Antwort: Der Maßstab 1:150 ist um 6,25 % kleiner, als der Maßstab 1:160. --- Wirklich?

10. Lösung BM2374 b)
Ist der Maßstab 1:150 ist um 6,25 % KLEINER ODER GRÖßER, als der Maßstab 1:160?

11. Lösung BM2374 b)

Der Maßstab darf nicht mit der Maßstabszahl verwechselt werden. Die Maßstabszahlen sind hier 160 bzw. 150. Der Maßstab ist 1/160 (ein Hundertsechzigstel) bzw. 1/150 (ein Hundertfünfzigstel). Welche Zahl ist größer? 1/160 oder 1/150? Oder ein einfacheres Beispiel: Welche Zahl ist größer? 1/2 oder 1/4? --- Also ist 1/150 größer, als 1/160. Der Maßstab 1:150 ist also größer als der Maßstab 1:160 Wenn wir den Maßstab 1:160 als 100 Prozent ansetzen, dass ist der Maßstab 1:150 um 6,25 % GRÖßER, als der Maßstab 1:160. Unsere ursprüngliche Antwort war also falsch. --- Und wir ist es mit der Antwort bei b5)? Der Maßstab 1:148 ist um 7,5 % kleiner, als der Maßstab 1:160.

12. Lösung BM2374 b)

Das ist auch falsch gewesen. 148 ist zwar kleiner als 160, aber das sind nur die Maßstabszahlen. Aber der Maßstab 1:148 ist größer, als der Maßstab 1:160. Also lautet die richtige Antwort: Der Maßstab 1:148 ist um 7,5 % GRÖSSER, als der Maßstab 1:160. --- Eselsbrücke: Bei einem GRÖßEREN Maßstab ist auf der Zeichnung alles viel GRÖßER und man kann alles auf der Zeichnung oder dem Maßstabsmodell viel besser erkennen. Am besten kann man es bei einem Maßstab von 1:1 erkennen.

BM2375

Ein Vergleich: Die BR 103 der DB in Spur H0 und Spur Z

Die Nenngröße Z ist eine genormte Baugröße für Modelleisenbahnen. Sie wurde 1972 von Märklin als Antwort auf die Zuwendung anderer Hersteller zur Nenngröße N auf den Markt gebracht und war bis 2007, als die Nenngröße T auf den Markt kam, die kleinste industriell in Serie hergestellte Nenngröße für Modelleisenbahnen.

Der Maßstab beträgt 1:220. Der sehr kleine Maßstab ermöglicht bereits auf kleinstem Raum (z. B. Koffer oder Schreibtischschubladen) voll funktionsfähige Modelleisenbahnanlagen.

Durch die geringen Abmessungen und das geringe Lokomotivgewicht entstehen auch recht eigene Probleme mit den filigranen Mechaniken, insbesondere mit Staub, der die Stromübertragung zwischen Schiene und Rad behindern kann. Eine sorgfältige und fachgerechte Wartung lässt aber einen problemlosen Betrieb zu.

Frage a) Die DB-Baureihe 103 hat eine Länge über Puffer von 19.500 mm. Wie groß ist sie in der Nenngröße Z und wie groß in der Nenngröße H0?

Frage b) Die Höchstgeschwindigkeit der DB-Baureihe 103 beträgt 200 km/h. Wenn sich die Elektrolokomotiv mit einer maßstabsgerechten Geschwindigkeit auf der Modellbahnanlage bewegen würde, wie viel m/s würde sie dann zurücklegen?

Lösung BM2375
Länge im Original: 19.500 mm Nenngröße Z: Maßstab 1:220 Nenngröße H0: Maßstab 1:87 --- Nenngröße Z: 1 : 220 = x : 19.500 x = 19.500 : 220 x = 88,64 Eine 19,5 m lange Lok hat als Modell im Maßstab 1:220 eine Länge von 8,86 cm. --- Nenngröße H0: 1 : 87 = x : 19.500 x = 19.500 : 87 x = 224,1 Eine 19,5 m lange Lokomotive hat als Modell im Maßstab 1:12087 eine Länge von 22,4 cm.

BM2376

Modellautomobil

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Ein Automodell oder Modellauto ist die maßstäblich verkleinerte Nachbildung eines Automobils. Dies können Pkw, Lieferwagen, Busse, Lkw mit verschiedenen Aufbauten sowie Baufahrzeuge und landwirtschaftliche Fahrzeuge sein.

Der Zusammenbau solcher Modelle wird im Rahmen des Modellbaus verbreitet als Hobby betrieben. Für jeden Bereich gibt es aber auch fertige Modelle zu kaufen. Der Automodellbau gliedert sich in mehrere Bereiche.

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Mercedes-Benz S 350

1.)

Der klassische Maßstab für „große“ Modelle ist 1:18. Die Modelle werden vor allem in Europa und Nordamerika gesammelt, wo auch die Schwerpunkte des Modellangebotes liegen.

Ein Mercedes-Benz der S-Klasse (Baureihe 222) hat eine Länge von 5116–6499 mm.

Wie lang wäre das entsprechende Automodell?

Lösung BM2376
Maßstab 1:18 Länge im Original: 5116 bis 6499 mm --- 1 : 18 = x : 5116 x = 5116 : 18 x = 284,22 mm --- 1 : 18 = x : 6499 x = 6499 : 18 x = 361,05 mm --- Ein Auto mit einer Orignallänge von 5116 bis 6499 mm hat als Modell im Maßstab 1:18 die Länge 28,4 bis 36,1 cm.

BM2377

Der Sammlermaßstab 1:24 hat seinen Ursprung in den USA und wird auch heute noch vorwiegend dort gesammelt. Etwa seit dem Jahr 2003 ist auch in Deutschland eine erhebliche Steigerung der Nachfrage an Modellen in 1:24 zu verspüren - hauptsächlich bedingt durch den momentanen Trend zu Tuning-Modellen (z. B. von Jada), die hauptsächlich in 1:24 angeboten werden. Bei 1:24-Modellen sind in der Regel die Türen und die Motorhaube zu öffnen.

Ein Automodell ist 17,5 cm lang. Wie lang ist das Auto in der realen Welt?

Lösung BM2377
Maßstab 1:24 Länge des Modells: 17,5 cm --- 1 : 24 = 17,5 : x x = 17,5 * 24 x = 420 --- Ein Modellauto mit der Länge 17,5 cm im Maßstab 1:24 hat im Original eine Länge von 4,20 m.

BM2378

1:43 ist der Maßstab mit der größten Auswahl an Modellen und auch der insgesamt größten Sammlergemeinde. Er gilt als der (sogenannte) internationale Sammlermaßstab und wird eigentlich fast überall auf der Welt hergestellt und gesammelt. Insbesondere japanische Vorbilder sind oft nur in 1:43 zu bekommen.

Inzwischen gibt es ein sehr großes und oft in direkter Zusammenarbeit mit den Vorbildherstellern entwickeltes Sortiment. Die Modelle sind dabei wesentlich detaillierter, aber auch teurer als die früheren Spielzeugmodelle.

Auf Modellautos kann man noch kleine Details bis 0,2 mm erkennen. Wie viel Zentimeter sind das am Originalauto?

Lösung BM2378
Maßstab 1:43 Details am Modell: 0,2 mm --- 1 : 42 = 0,2 : x x = 0,2 * 42 x = 8,4 0,2 mm große Details am Modellauto entsprechen 8,4 mm am Original.

BM2379

Die im Allgemeinen oft als „Matchboxautos“ bezeichneten Automodelle im Maßstab 1:64 erfreuen sich besonders bei Kindern großer Beliebtheit. Deswegen entspringen diese, meist aus Metall- und Plastikteilen gefertigten, Modelle oft der Fantasie beziehungsweise orientieren sich frei an realen Vorbildern. Natürlich gibt es ebenso sich eng am Vorbild orientierende Modelle.

Ein Porsche Panamera ist 1931 mm breit. Wir breit ist das dazugehörige Modellauto?

Lösung BM2379
Maßstab 1:64 Breite des Originals: 1931 mm --- 1 : 64 = x : 1931 x = 1931 : 64 x = 30,17 --- Das Modellauto ist 3,0 cm breit.

BM2380

Wiking-Modell VW 1303 in 1:87; Größe des Modells: 47,5 mm

Modelle im Maßstab 1:87 dienten ursprünglich als Ausstattung für Modelleisenbahnen der Nenngröße H0, haben sich aber vor allem im deutschsprachigen Raum zu einem eigenen Sammelgebiet entwickelt. Die Modelle bestehen meist ganz aus Kunststoff.

Ein VW 1303 hat im Maßstab 1:87 die Größe 47,5 mm. Wie groß ist das Originalauto?

Lösung BM2380
Maßstab 1:87 Länge des Modells: 47,5 mm --- 1 : 87 = 47,5 : x x = 47,5 * 87 x = 4132,5 --- Das Auto ist im Original 4,13 m lang.

BM2381 - BM2390

BM2381

Wasserball

Auf einem aufgeblasenen Wasserball, der als Globus bedruckt ist, beträgt der Abstand zwischen den Galapagosinseln und der peruanische Küste 54 mm. In der Wirklichkeit liegen Galapagosinseln am Äquator 973 km westlich der ecuadorianischen Küste in Südamerika. Welchen Durchmesser hat der Wasserball. Wie groß ist der Abstand zwischen Berlin und Madrid (in Zentimetern), wenn man ihn auf diesem Wasserball misst?

1. Lösung BM2381
54 mm auf dem Modell (hier ein Wasserball) entsprechen 973 km in der realen Welt. Gesucht ist der Maßstab, also 1:x. --- 1 : x = 54 : 973 VORSICHT, das geht schief, denn die Maßeinheiten müssen identisch sein. Wir rechnen also erst mal 54 mm in Kilometer um.

2. Lösung BM2381
54 mm = 5,4 cm = 0,054 m = 0,000054 km --- 1 : x = 0,000054 : 973 x = 973 : 0,000054 x = 18018518,52 --- Was sagt uns diese Zahl?

3. Lösung BM2381
x = 18018518,52 bedeutet, dass der Maßstab 1:18.018.518 ist. Gerundet: 1:18 Mill. denn schließlich kann man ja auf einem Wasserball gar nicht so genau messen.

BM2382

Strahlenbüschel	Der Kopf einer Zahnbürste besteht aus vielen Büscheln von Nylonborsten
Grasbüschel	Schlehenbusch

Büschel - (Eine relativ kleine Menge von - meist dünnen - länglichen Gegenständen)

• Strahlenbüschel - (Ein Strahlenbüschel sind mehrere Strahlen, die von einem Punkt aus starten und in verschiedene Richtungen gehen, meist in ungefähr die gleiche Richtung. Die Strahlen eines Strahlenbüschels sind NICHT parallel zueinander.
• Geradenbüschel - (Geradenbüschel gehen in beide Richtungen unendlich weiter. Irgendwo kreuzen sich die Geraden vielleicht, da sie nicht parallel zueinander liegen müssen. Es ist aber nicht gesagt, das sie sich alle in einem einzinge Punkt kreuzen müssen.)
• Haarbüschel („Er hat mir ein Haarbüschel ausgerissen.“)
• Grasbüschel („Er hat ein Grasbüschel zusammen mit den Wurzeln herausgerissen, um sich die Wurzeln näher anzusehen“)

---

Busch (Pl. Büsche) = Strauch (Pl. Sträucher)

BM2383

Bild 1

Die Verhältnisse, die bei einer Maßstabsberechnung auftreten, kann man auch grafisch darstellen.

Dazu zeichnen wir drei Strahlen, die von einem gemeinsamen Ursprungspunkt Z ausgehen.

Dieses Strahlenbüschel wird von zwei Parallelen geschnitten.

---

Bild 2

Die vier Strecken (hier unterschiedlich farbig markiert) verhalten sich folgendermaßen:

${\overline {AC}}:{\overline {CB}}={\overline {A'C'}}:{\overline {C'B'}}$

oder:

Für die Längen der Strecken gilt: hellrot zu hellblau wie dunkelrot zu dunkelblau.

Das ist eine grafische (geometrische) Analogie zu unserer Verhältnisgleichung bei der Maßstabsrechnung.

---

Bild 3

1 : 4 (hellrot : dunkelrot)

2 : 8 (hellgrün : dunkelgrün))

3 : 12 (hellblau : dunkelblau)

---

1 : 4 = 2 : 8

Im Maßstab 1:4 entsprechen 2 Längeneinheiten am Modell genau 8 Längeneinheiten in der realen Welt.

Wobei die Längeneinheiten beide die gleiche Maßeinheit haben müssen.

oder:

1 : 4 = 3 : 12

Im Maßstab 1:4 entsprechen 3 Längeneinheiten am Modell genau 12 Längeneinheiten in der realen Welt.

Auf der rechten Seite sind die STrecken zwecks besserer Vergleichbarkeit der Längen nochmals direkt nebeneinander gezeichnet.

---

Bild 4

Auch wenn man die Strahlen des Strahlenbüschels über ihren zentralen Ursprungsort hinaus verlänger, bleibt des gleiche Verhältnis bestehen. Allerdings sprechen wir dann nicht mehr von Strahlen, sondern von einem Geradenbündel, das sich in einem gemeinsamen Punkt schneidet.

a : b = c : d (Egal ob auf der gleichen Seite oder auf verschiedenen Seiten des Schnittpunktes Z.)

a : b = e : f

---

Bild 5

Hier nochmals die gleiche Situation.

Wir können die rechte Seite (a:b) als den Maßstab auffassen.

Auf der linken Seite können dann verschiedene Messungen vorgenommen werden.

Hier wurden als Beispiel nur zwei Verhältnisse auf der linken Seite eingezeichnet.

Denkbar sind natürlich links wesentlich mehr Messungen (senkrechte Linien).

${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}$

Wenn in einer Verhältnisgleichung drei Werte gegeben sind, dann kann der dritte - unbekannte Wert - ausgerechnet werden.

Da ein einer Maßstabsangabe immer eine Eins steht, gibt es also drei Mögliche Varianten der Aufgabenstellung:

1 : x = c : d

1 : a = x : d

1 : a = c : x

Stelle diese drei möglichen Verhältnisgleichungen nach x um!

Gib an, wofür die drei Variablen jeweils stehen!

Lösung BM2383
1 : x = c : d 1 : Maßstabszahl = Länge am Modell : Länge in der Welt x = d : c Maßstabszahl = Weltlänge : Modelllänge --- 1 : a = x : d 1 : Maßstabszahl = Länge am Modell : Länge in der Welt x = d : a Modelllänge = Weltlänge : Maßstabszahl --- 1 : a = c : x 1 : Maßstabszahl = Länge am Modell : Länge in der Welt x = c * a Weltlänge = Modelllänge * Maßstabszahl

BM2384

Der Maßstab wird gewöhnlich mit einer Eins im Verhältnis zu einer Maßstabszahl angegeben.

Die Maßstabszahl ist größer oder gleich Eins.

Beispiele:

1:24

1:4

1:3 Mill.

1:1

---

Übrigens kann man auch Maßstabsberechnungen ohne diese Eins anstellen.

---

An einem Modell wurde der Reifendurchmesser mit 24 mm gemessen, was am Original 87 cm entspricht.

Der Abstand zwischen linken und rechtem Reifen wurde am Modell mit 10,7 cm gemessen. Welchem Abstand entspricht das im Original?

Lösung BM2384

a : b = c : d = e : f Das a:b am Anfang der Gleichung lassen wir weg. Es würde der uns geläufigen Maßstabsangabe mit einer Eins entsprechen, beispielsweise 1:120. --- c : d = e : f erste Modelllänge : erste Originallänge = zweite Modelllänge : zweite Originallänge ModellReifendurchmesser : OriginalReifendurchmesser = ModellAbstand : OriginalAbstand f = d : c * e OriginalAbstand = OriginalReifendurchmesser : ModellReifendurchmesser * ModellAbstand ACHTUNG: Alle Längenmaßeinheiten auf Zentimeter umrechnen (vereinheitlichen). 24 mm = 2,4 cm f = 87 : 2,4 * 10,7 f = 387,9 Der Abstand zwischen dem linken und dem rechten Reifen ist im Original 3,879 m. --- Die geometrische Analogie ist im Bild nochmals dargestellt.

BM2385

Eselsbrücke:

${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}$

Eine Verhältnisgleichung kann man auf beiden Seiten gleichzeitig „vom Kopf auf die Füße stellen“.

${\tfrac {b}{a}}={\tfrac {d}{c}}$

---

Beweis:

${\begin{aligned}{\tfrac {a}{b}}&={\tfrac {c}{d}}\quad \quad |\quad \cdot {\tfrac {b}{a}}\\{\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {b}{a}}&={\tfrac {c}{d}}\cdot {\tfrac {b}{a}}\\1&={\tfrac {c}{d}}\cdot {\tfrac {b}{a}}\quad \quad |\quad \cdot {\tfrac {d}{c}}\\{\tfrac {d}{c}}&={\tfrac {c}{d}}\cdot {\tfrac {d}{c}}\cdot {\tfrac {b}{a}}\\{\tfrac {d}{c}}&={\tfrac {b}{a}}\end{aligned}}$

---

Das bietet sich besonders an, wenn x unter dem Bruchstrich steht.

${\tfrac {a}{x}}={\tfrac {c}{d}}$

Den Bruch auf beiden Seiten ein mal im Kopf auf beiden Seiten „wenden“.

${\tfrac {x}{a}}={\tfrac {d}{c}}$

Jetzt muss man nur noch mal a nehmen und ist fertig.

$x={\tfrac {d}{c}}\cdot a$

Das geht mit etwas Übung alle im Kopf.

Ohne Übung ist es allerdings eine große Fehlerquelle für Flüchtigkeitsfehler.

Ohne Bruchstriche geschrieben ist das Kopfrechnen etwas schwerer:

a : b = c : x

b : a = x : c

b : a * c = x

---

Geometrisch kann man sich das wieder gut an einer Abbildung veranschaulichen:

a : b = c : d

oder

b : a = d : c

Das ist einfach nur eine gespiegelte Abbildung.

Das eigentliche Verhältnis wird dadurch nicht verändert.

BM2386

Bild 1

Hier haben wir eine Abwandlung der grafischen Darstellung einer Verhältnisgleichung.

Die beiden parallelen Gerden verlaufen jetzt rechtwinklig zum mittleren Strahl und nicht mehr rechtwinklig zum unteren Strahl

In Wirklichkeit ist es völlig egal, in welchem Winkel die Parallelen zu den Strahlen verlaufen.

Wichtig ist einzig und allein, dass die das Strahlenbüschel schneidenden Geraden zueinander parallel verlaufen.

BM2387

Bild 1

Bild 2

Eine Verhältnisgleichung kann nicht nur wie in Abb. 1, sondern auch wie in Abb. 2 dargestellt werden.

---

a : b = c : d

c : d = e : f

a : b = e : f

BM2388

In Knauers Großem Weltatlas sind alle Landeskarten so weit wie möglich seitenfüllend vergrößert. Daraus ergeben sich sehr viel schiefe Maßstäbe. Berechne zu den folgenden Maßstäben

a) wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind!

b) wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind!

c) wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind!

d) wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind!

1.) 1 : 65.000.000

1. Lösung BM2388

Eselsbrücke: Streiche vom Kartenmaßstab die letzen zwei Nullen weg. So erhält man die Entfernung in Metern, die einem Zentimeter auf der Karte entspricht. --- a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! 1 : 65.000.000 1 cm : 65.000.000 cm 1 cm ≙ 650.000 m 1 cm ≙ 650 km --- 1 : 65.000.000 = 1 KartenZentimeter : x WeltZentimeter x = 65.000.000 cm x = 650.000 m x = 650 km a) Ein Zentimeter auf der Karte entspricht 650 km in der Wirklichkeit. --- b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! 1 NM = 1852 m 1 m = 1/1852 NM = (1/1852) NM ≠ 1/(1852 NM) --- 1 NM = 1,852 km 1 km = 1/1,852 NM = (1/1,852) NM ≠ 1/(1,852 NM) --- 1 cm ≙ 650 km 10 cm ≙ 6500 km Für km setzen wir 1/1,852 NM ein. 10 cm = 6500 (1/1,852) NM 10 cm = 3510 NM b) Zehn Zentimeter auf der Karte entsprechen 3510 NM in der Wirklichkeit. Das hatten wir jetzt über das Zwischenergebnis aus a) berechnet. Das können wir sicherlich auch direkt berechnen. Im Ergebnis bei a) könnte ja schon ein Fehler stecken, der sich dann nur fortsetzen würde. b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! 1 : 65.000.000 = 1 KartenZentimeter : x WeltZentimeter x WeltZentimeter = 65.000.000 cm x = 65.000.000 cm (das hatten wir schon mal bei a) Aber jetzt versuchen wir Zentimeter direkt in Zentimeter umzurechnen. Aber der Weg führt wieder am bequemsten erst über Meter oder Kilometer und dann zu Nautischen Meilen. Dieser Lösungsweg unterscheidet sich also nicht wirklich von unserem ersten Lösungsweg. --- c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! Kartenmaßstab: 1 : 65.000.000 x = 65.000.000 cm x = 650.000 m x = 650 km 1 cm : 650 km = x cm : 100 km Jetzt müssen wir höllisch mit den Maßeinheiten aufpassen. Wir verzichten darauf alles in Zentimeter umzurechnen, damit wir nicht so viel Nullen haben. Dafür müssen wir aber die Maßeinheiten in der Rechnung mitschreiben und hoffen, dass sie sich kürzen lassen. ${\begin{aligned}{\tfrac {1\;{\text{cm}}}{650\;{\text{km}}}}&={\tfrac {x\;{\text{cm}}}{100\;{\text{km}}}}\quad \quad |\quad \cdot 100\;{\text{km}}\\x\;{\text{cm}}&={\tfrac {1\;{\text{cm}}\cdot 100\;{\text{km}}}{650\;{\text{km}}}}\\x\;{\text{cm}}&={\tfrac {100\;{\text{cm}}\cdot \;{\text{km}}}{650\;{\text{km}}}}\\x\;{\text{cm}}&={\tfrac {100}{650}}\cdot {\tfrac {{\text{cm}}\cdot \;{\text{km}}}{\text{km}}}\\x\;{\text{cm}}&=0,1538\cdot {\tfrac {{\text{cm}}\cdot 1}{1}}\\x\;{\text{cm}}&=0,1538\cdot \;{\text{cm}}\\x\;{\text{cm}}&=0,1538\;{\text{cm}}\end{aligned}}$ Was sagt uns diese Zahl? c) 0,15 cm auf der Karte entsprechen 100 km in der realen Welt. --- d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 1852 km 1000 NM = 1.852.000 m 1000 NM = 185.200.000 cm Kartenmaßstab: 1 : 65.000.000 1 : 65.000.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 65.000.000 x = 2,85 2,85 cm auf der Karte entsprechen 1000 NM in der realen Welt.

2.) 1 : 200.000.000

2. Lösung BM2388

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 200.000.000 1 cm ≙ 200.000.000 cm 1 cm ≙ 2.000.000 m a) 1 cm ≙ 2.000 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 2.000/1,852 NM b) 10 cm ≙ 10.799 NM --- 1 cm : 2.000 km = x cm : 100 km x = 100 : 2.000 x = 0,05 c) 0,05 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 200.000.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 200.000.000 x = 0,93 d) 0,93 cm ≙ 1000 NM

3.) 1 : 85.000.000

3. Lösung BM2388

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 85.000.000 1 cm ≙ 85.000.000 cm 1 cm ≙ 840.000 m a) 1 cm ≙ 850 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 850/1,852 NM b) 10 cm ≙ 4.589,6 NM --- 1 cm : 850 km = x cm : 100 km x = 100 : 850 x = 0,12 c) 0,12 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 85.000.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 85.000.000 x = 2,18 d) 2,18 cm ≙ 1000 NM

4.) 1 : 58.000.000

4. Lösung BM2388

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 58.000.000 1 cm ≙ 58.000.000 cm 1 cm ≙ 580.000 m a) 1 cm ≙ 580 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 580/1,852 NM b) 10 cm ≙ 3.131,7 NM --- 1 cm : 580 km = x cm : 100 km x = 100 : 580 x = 0,17 c) 0,17 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 58.000.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 58.000.000 x = 3,19 d) 3,19 cm ≙ 1000 NM

5.) 1 : 110.000.000

5. Lösung BM2388

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 110.000.000 1 cm ≙ 110.000.000 cm 1 cm ≙ 1.100.000 m a) 1 cm ≙ 1.100 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 1.100/1,852 NM b) 10 cm ≙ 5.939,5 NM --- 1 cm : 1.100 km = x cm : 100 km x = 100 : 1.100 x = 0,09 c) 0,09 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 110.000.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 110.000.000 x = 1,68 d) 1,68 cm ≙ 1000 NM

6.) 1 : 55.000.000

6. Lösung BM2388

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 55.000.000 1 cm ≙ 55.000.000 cm 1 cm ≙ 550.000 m a) 1 cm ≙ 550 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 550/1,852 NM b) 10 cm ≙ 2.969,7 NM --- 1 cm : 550 km = x cm : 100 km x = 100 : 550 x = 0,18 c) 0,18 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 55.000.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 55.000.000 x = 3,37 d) 3,37 cm ≙ 1000 NM

7.) 1 : 10.000.000

7. Lösung BM2388

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 10.000.000 1 cm ≙ 10.000.000 cm 1 cm ≙ 100.000 m a) 1 cm ≙ 100 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 100/1,852 NM b) 10 cm ≙ 539,9 NM --- 1 cm : 100 km = x cm : 100 km x = 100 : 100 x = 1 c) 1 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 10.000.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 10.000.000 x = 18,52 d) 18,52 cm ≙ 1000 NM

8.) 1 : 2.500.000

8. Lösung BM2388

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 2.500.000 1 cm ≙ 2.500.000 cm 1 cm ≙ 25.000 m a) 1 cm ≙ 25 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 25/1,852 NM b) 10 cm ≙ 135 NM --- 1 cm : 25 km = x cm : 100 km x = 100 : 25 x = 4 c) 4 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 2.500.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 2.500.000 x = 74,08 d) 74,08 cm ≙ 1000 NM

BM2389

In Knauers Großem Weltatlas sind alle Landeskarten so weit wie möglich seitenfüllend vergrößert. Daraus ergeben sich sehr viel schiefe Maßstäbe. Berechne zu den folgenden Maßstäben

a) wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind!

b) wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind!

c) wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind!

d) wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind!

1.) 1 : 1.000.000

1. Lösung BM2389

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 1.000.000 1 cm ≙ 1.000.000 cm 1 cm ≙ 10.000 m a) 1 cm ≙ 10 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 10/1,852 NM b) 10 cm ≙ 54 NM --- 1 cm : 10 km = x cm : 100 km x = 100 : 10 x = 10 c) 10 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 1.000.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 1.000.000 x = 185,2 d) 185,2 cm ≙ 1000 NM

2.) 1 : 250.000

2. Lösung BM2389

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 250.000 1 cm ≙ 250.000 cm 1 cm ≙ 2.500 m a) 1 cm ≙ 2,5 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 2,5/1,852 NM b) 10 cm ≙ 13,5 NM --- 1 cm : 2,5 km = x cm : 100 km x = 100 : 2,5 x = 40 c) 40 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 250.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 250.000 x = 740,8 d) 740,8 cm ≙ 1000 NM

3.) 1 : 15.000.000

3. Lösung BM2389

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 15.000.000 1 cm ≙ 15.000.000 cm 1 cm ≙ 150.000 m a) 1 cm ≙ 150 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 150/1,852 NM b) 10 cm ≙ 810 NM --- 1 cm : 150 km = x cm : 100 km x = 100 : 150 x = 0,67 c) 0,67 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 15.000.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 15.000.000 x = 12,3 d) 12,3 cm ≙ 1000 NM

4.) 1 : 500.000

4. Lösung BM2389

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 500.000 1 cm ≙ 500.000 cm 1 cm ≙ 5.000 m a) 1 cm ≙ 5 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 5/1,852 NM b) 10 cm ≙ 27 NM --- 1 cm : 5 km = x cm : 100 km x = 100 : 5 x = 20 c) 20 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 500.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 500.000 x = 370,4 d) 370,4 cm ≙ 1000 NM

5.) 1 : 300.000

5. Lösung BM2389

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 300.000 1 cm ≙ 300.000 cm 1 cm ≙ 3.000 m a) 1 cm ≙ 3 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 3/1,852 NM b) 10 cm ≙ 16,2 NM --- 1 cm : 3 km = x cm : 100 km x = 100 : 3 x = 33,3 c) 33,3 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 300.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 300.000 x = 617,33 d) 617,33 cm ≙ 1000 NM

6.) 1 : 2.600.000

6. Lösung BM2389

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 2.600.000 1 cm ≙ 2.600.000 cm 1 cm ≙ 26.000 m a) 1 cm ≙ 26 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 26/1,852 NM b) 10 cm ≙ 140,4 NM --- 1 cm : 26 km = x cm : 100 km x = 100 : 26 x = 3,85 c) 3,85 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 2.600.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 2.600.000 x = 71,23 d) 71,23 cm ≙ 1000 NM

7.) 1 : 186.000

7. Lösung BM2389

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 186.000 1 cm ≙ 186.000 cm 1 cm ≙ 1.860 m a) 1 cm ≙ 1,86 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 1,86/1,852 NM b) 10 cm ≙ 10 NM --- 1 cm : 1,86 km = x cm : 100 km x = 100 : 1,86 x = 53,76 c) 53,76 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 186.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 186.000 x = 995,7 d) 995,7 cm ≙ 1000 NM

8.) 1 : 40.000.000

8. Lösung BM2389

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 40.000.000 1 cm ≙ 40.000.000 cm 1 cm ≙ 400.000 m a) 1 cm ≙ 400 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 400/1,852 NM b) 10 cm ≙ 2.159,8 NM --- 1 cm : 400 km = x cm : 100 km x = 100 : 400 x = 0,25 c) 0,25 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 40.000.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 40.000.000 x = 4,63 d) 4,63 cm ≙ 1000 NM

BM2390

In Knauers Großem Weltatlas sind alle Landeskarten so weit wie möglich seitenfüllend vergrößert. Daraus ergeben sich sehr viel schiefe Maßstäbe. Berechne zu den folgenden Maßstäben

a) wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind!

b) wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind!

c) wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind!

d) wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind!

1.) 1 : 48.300

1. Lösung BM2390

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 48.300 1 cm ≙ 48.300 cm 1 cm ≙ 483 m a) 1 cm ≙ 0,483 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 0,483/1,852 NM b) 10 cm ≙ 2,6 NM --- 1 cm : 0,483 km = x cm : 100 km x = 100 : 0,483 x = 207 c) 207 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 48.300 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 48.300 x = 3834,4 d) 3834,4 cm ≙ 1000 NM

2.) 1 : 12.900.000

2. Lösung BM2390

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 12.900.000 1 cm ≙ 12.900.000 cm 1 cm ≙ 129.000 m a) 1 cm ≙ 129 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 129/1,852 NM b) 10 cm ≙ 696,5 NM --- 1 cm : 129 km = x cm : 100 km x = 100 : 129 x = 0,77 c) 0,77 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 12.900.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 12.900.000 x = 1,44 d) 1,44 cm ≙ 1000 NM

3.) 1 : 100.000

3. Lösung BM2390

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 100.000 1 cm ≙ 100.000 cm 1 cm ≙ 1.000 m a) 1 cm ≙ 1 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 1/1,852 NM b) 10 cm ≙ 5,4 NM --- 1 cm : 1 km = x cm : 100 km x = 100 : 1 x = 100 c) 100 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 100.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 100.000 x = 1852 d) 1852 cm ≙ 1000 NM

4.) 1 : 5.100.000

4. Lösung BM2390

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 5.100.000 1 cm ≙ 5.100.000 cm 1 cm ≙ 51.000 m a) 1 cm ≙ 51 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 51/1,852 NM b) 10 cm ≙ 275,4 NM --- 1 cm : 51 km = x cm : 100 km x = 100 : 51 x = 1,97 c) 1,97 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 5.100.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 5.100.000 x = 36,3 d) 36,3 cm ≙ 1000 NM

5.) 1 : 5.245.000

5. Lösung BM2390

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 5.245.000 1 cm ≙ 5.245.000 cm 1 cm ≙ 52.450 m a) 1 cm ≙ 52,450 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 52,45/1,852 NM b) 10 cm ≙ 283,2 NM --- 1 cm : 52,45 km = x cm : 100 km x = 100 : 52,45 x = 1,9 c) 1,9 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 5.245.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 5.245.000 x = 35,3 d) 35,3 cm ≙ 1000 NM

6.) 1 : 5.000

6. Lösung BM2390

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 5.000 1 cm ≙ 5.000 cm 1 cm ≙ 50 m a) 1 cm ≙ 0,05 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 0,05/1,852 NM b) 10 cm ≙ 0,2699 NM --- 1 cm : 0,05 km = x cm : 100 km x = 100 : 0,05 x = 2.000 c) 2.000 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 5.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 5.000 x = 37040 d) 37040 cm ≙ 1000 NM

7.) 1 : 750.000

7. Lösung BM2390

a) Berechne wie viel Kilometer 1 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! b) Berechne wie viel Nautische Meilen 10 cm auf der Karte in der Wirklichkeit sind! c) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 100 km in der realen Welt sind! d) Berechne wie viel Zentimeter auf der Karte 1000 NM in der realen Welt sind! 1 : 750.000 1 cm ≙ 750.000 cm 1 cm ≙ 7.500 m a) 1 cm ≙ 7,5 km --- 1 km = 1/1,852 NM 10 cm = 10 * 7,5/1,852 NM b) 10 cm ≙ 40,5 NM --- 1 cm : 7,5 km = x cm : 100 km x = 100 : 7,5 x = 13,33 c) 13,33 cm ≙ 100 km --- 1 NM = 1,852 km 1000 NM = 185.200.000 cm 1 : 750.000 = x : 185.200.000 x = 185.200.000 : 750.000 x = 246,9 d) 246,9 cm ≙ 1000 NM

BM2391 - BM2400

BM2391

Eine Bauzeichnung liegt im Maßstab 1:50 vor. Einige Ausschnitt davon sollen Zeichnung im Maßstab 1:15 erstellt werden.

1.) Ein Zentimeter auf der 1:50-Karte entspricht dann wie viel Zentimeter auf der 1:15 Karte?

1. Lösung BM2391

1:50 1:15 --- Ein Zentimeter auf der 1:50-Karte sind wie viel Zentimeter in der Realität? 1 : 50 = 1 : 50 Dazu brauchen wir eigentlich keinen Ansatz, denn der Maßstab 1:50 verrät uns direkt, dass ein Zentimeter auf der Kare genau 50 cm in der Realität entsprechen. Das Gleiche gilt für die 1:15-Karte. Ein Zentimeter auf der 1:50-Karte entspricht dann wie viel Zentimeter auf der 1:15 Karte? Die Frage ist etwas unverständlich formuliert. Wie ist sie genau gemeint? Wie könnte man sie besser formulieren? Es ist nicht explizit gesagt, worauf sich "Zentimeter" genau bezieht - auf die Karte oder auf die reale Welt. "Ein Zentimeter auf der 1:50-Karte" bezieht sich offensichtlich auf die verkleinerte Karte. "wie viel Zentimeter auf der 1:15 Karte" könnte sich entweder auf die Karte oder auf die reale Welt beziehen. Wenn es sich auf die Karte bezieht, dann ist ein Zentimeter auf der einen Karte auch einen Zentimeter auf der anderen Karte lang. Die Frage ergibt aber keinen Sinn. Wenn sich dagegen der "Zentimeter" auf die reale Welt bezieht, dann macht die Frage auch nicht wirklich Sinn. Wie könnte man denn eine sinnvolle Frage stellen? 1.) Auf der 1:50-Karte wurde eine Entfernung zwischen zwei Punkten mit 12 cm gemessen. Wie viel Zentimeter beträgt die Entfernung zwischen den beiden Punkten auf der 1:15-Karte? 2.) Oder noch allgemeiner: Auf der 1:a-Karte wurde eine Entfernung zwischen zwei Punkten mit d cm gemessen. Wie viel Zentimeter beträgt die Entfernung zwischen den beiden Punkten auf der 1:b-Karte? Jetzt können wir auch unsere Eingangsfrage umformulieren. Statt "Ein Zentimeter auf der 1:50-Karte entspricht dann wie viel Zentimeter auf der 1:15 Karte?" fragen wir: 3.) Ein Kilometer auf der 1:50-Karte entspricht dann wie viel Kilometern auf der 1:15 Karte? (Und schon ist klar, dass jeweils die Entfernungen in der realen Welt gemeint sind.) --- Also los geht's: 1.) Auf der 1:50-Karte wurde eine Entfernung zwischen zwei Punkten mit 12 cm gemessen. Wie viel Zentimeter beträgt die Entfernung zwischen den beiden Punkten auf der 1:15-Karte?

2. Lösung BM2391

1.) Auf der 1:50-Karte wurde eine Entfernung zwischen zwei Punkten mit 12 cm gemessen. Wie viel Zentimeter beträgt die Entfernung zwischen den beiden Punkten auf der 1:15-Karte? Maßstab 1:50 1 : 50 = 12 : x x = 12 * 50 x = 600 cm Auf der 1:50-Karte entspricht ein Abstand von 12 cm in der Realität 6 m. --- 1:15 1 : 15 = x : 600 x = 600 : 15 x = 40 cm Auf der 1:15-Karte entspricht das 40 cm. --- 12 cm auf der 1:50-Karte entsprechen 40 cm auf der 1:15-Karte. --- Nächste Frage: 2.) Auf einer einer Karte im Maßstab 1:a wurde eine Entfernung zwischen zwei Punkten mit d cm gemessen. Wie viel Zentimeter beträgt die Entfernung zwischen den beiden Punkten auf einer Karte im Maßstab 1:b?

3. Lösung BM2391

2.) Auf einer einer Karte im Maßstab 1:a wurde eine Entfernung zwischen zwei Punkten mit d cm gemessen. Wie viel Zentimeter beträgt die Entfernung zwischen den beiden Punkten auf einer Karte im Maßstab 1:b? Maßstab 1:a 1 : a = d : x x = d * a Auf der 1:a-Karte entspricht ein Abstand von 12 cm in der Realität (d*a) cm. --- 1:b 1 : b = x : (12 * a) x = (12 * a) : b Auf der 1:15-Karte entspricht das (d * a) : b cm. oder $x=d\cdot {\tfrac {a}{b}}$ --- Weiter: 3.) Ein Kilometer auf der 1:50-Karte entspricht dann wie viel Kilometern auf der 1:15 Karte?

4. Lösung BM2391

3.) Ein Kilometer auf der 1:50-Karte entspricht dann wie viel Kilometern auf der 1:15 Karte? $x=d\cdot {\tfrac {a}{b}}$ $x=1\;{\text{cm}}\cdot {\tfrac {50}{15}}$ $x=1\;{\text{cm}}\cdot 3{,}333$ $x=3{,}333\;{\text{cm}}$ 1 cm auf der 1:50-Karte entspricht 3,33 cm auf der 1:15-Karte. Aber was das wirklich die Frage? --- Also noch mal etwas anders gerechnet: 1 km in der realen Welt entspricht wie viel Zentimeter auf der 1:50 Karte? (1 km in Zentimeter umgerechnet sind 100.000 cm.) 1 : 50 = x : 100.000 x = 100.000 : 50 x = 2.000 cm 1 km in der realen Welt entspricht wie 2.000 cm auf der 1:50 Karte? Damit rechnen wir jetzt auf der 1:15-Karte: 2.000 cm auf der 1:15 Karte entsprechen wie viel Zentimeter in der realen Welt? 1 : 15 = 2000 : x x = 2.000 * 15 x = 30.000 cm x = 300 m x = 0,3 km Was sagt uns diese Zahl? --- 2.000 cm auf der 1:50 Karte entsprechen 1 km 2.000 cm auf der 1:15 Karte entsprechen 300 m --- Irgendwie macht die Frage in der hier gestellten Form keinen Sinn: 3.) Ein Kilometer auf der 1:50-Karte entspricht dann wie viel Kilometern auf der 1:15 Karte? (Und schon ist klar, dass jeweils die Entfernungen in der realen Welt gemeint sind.) --- Wir brechen an dieser Stelle lieber ab.

BM2392

Zehn Meter auf einer 1:15-Karte entsprechen wie viel Meter auf einer 1:50 Karte?

1. Lösung BM2392
Das ist die gleiche blödsinnige Frage, wie in der vorherigen Übung: 3.) Ein Kilometer auf der 1:50-Karte entspricht dann wie viel Kilometern auf der 1:15 Karte? --- Wir nehmen lieber eine etwas abgeänderte Fragestellung: Zehn Zentimeter auf einer 1:15-Karte entsprechen wie viel Zentimeter auf einer 1:50 Karte?

2. Lösung BM2392

Unter der 3. Lösung der Übung BM2391 hatten wir so eine ähnliche Fragestellung, aber in die andere Richtung: Dort waren wir zu folgender Lösung gekommen: Eine Strecke von $d\;{\text{cm}}$ auf der 1:50-Karte entspricht auf der 1:15-Karte (d * a) : b cm. oder $x=d\cdot {\tfrac {a}{b}}$ Nun sollen wir aber die Kartenstrecke d cm von der 1:15-Karte auf die 1:50-Karte umrechnen und bekommen die genaue Kartenstrecke schon vorgegeben: 1 : 15 = 10 : x x = 10 * 15 x = 150 cm x = 1,5 m Diese 1,5 m wollen wir nun auf eine 1:50-Karte übertragen und wissen wie viel Zentimeter das dann auf einer 1:50-Karte sind. 1 : 50 = y : 150 y = 150 : 50 y = 3 --- Eine Strecke von 10 cm auf der 1:15-Karte entspricht einer Strecke von 3 cm auf der 1:50-Karte. --- Dann ist wohl die Frage von der 4. Lösung BM2391 doch nicht so blödsinnig, denn sie ist analog zu verstehen. Wir sollten es also doch noch mal versuchen: 3.) Ein Kilometer auf der 1:50-Karte entspricht dann wie viel Kilometern auf der 1:15 Karte? Oder besser: Ein Zentimeter auf der 1:50-Karte entspricht dann wie viel Zentimeter auf der 1:15 Karte?

3. Lösung BM2392
Ein Zentimeter auf der 1:50-Karte entspricht dann wie viel Zentimeter auf der 1:15 Karte? --- 1 : 50 1 cm auf der 1:50-Karte entspricht 50 cm in der realen Welt. Jetzt rechnen wir auf die 1:15-Karte um: 1 : 15 = x : 50 x = 50 : 15 x = 3,33 cm --- Ein Zentimeter auf der 1:50-Karte entspricht 3,33 cm Zentimeter auf der 1:15 Karte?

BM2393

Für den amerikanischen Markt soll eine Karte im Maßstab 1:50 auf einen neuen Maßstab gebracht werden, bei dem 1 inch (= Zoll) 10 feet (Fuß) entspricht). Welcher Maßstab wäre das im metrischen System? Zehn Zentimeter auf dieser „amerikanischen“ Zeichnung entsprächen dann wie viel Fuß? Ein Zentimeter auf dieser „amerikanischen“ Zeichnung wären dann wie viel Meter?

1. Lösung BM2393
metrischer Maßstab 1:50 --- „amerikanischer“ Maßstab 1 in ≙ 10 ft 2,54 cm ≙ 3,048 m 2,54 cm ≙ 304,8 cm 1 : x = 2,54 : 304,8 x = 304,8 : 2,54 x = 120 Maßstab der amerikanischen Karte im metrischen System 1:120 --- Zehn Zentimeter auf dieser „amerikanischen“ Zeichnung entsprächen dann wie viel Fuß?

2. Lösung BM2393

Zehn Zentimeter auf dieser „amerikanischen“ Zeichnung entsprächen dann wie viel Fuß? --- Maßstab der amerikanischen Karte im metrischen System 1:120 1 : 120 = 10 : x x = 10 * 120 x = 1.200 cm (das müssen wir noch in Fuß umrechnen) --- 1 ft = 0,3048 cm 1 ft : 0,3048 cm = x ft : 1.200 cm x = 1.200 : 0,3048 x = 3937 ft (Probe: Überschlag 1.200 cm sind 12 m. 3 Füße sind ca 1 m, also sind 12 m ca. 12*3=36 ft. Das passt nicht zu unseren 3937 ft.) Wo ist der Fehler?

3. Lösung BM2393

Wo ist der Fehler? --- 1 ft : 0,3048 cm = x ft : 1.200 cm Das geht so NICHT. Deshalb ist die nächste Zeile dann auch FALSCH: x = 1.200 : 0,3048 --- Sondern so geht das: 1 ft = 0,3048 cm // auf beiden Seiten durch 0,3048 teilen 1 cm = (1 ft) : 0,3048 Das setzen wir jetzt in die nächste Zeile ein - für „cm“. x = 1.200 cm x = 1.200 * cm x = 1.200 * (1 ft) : 0,3048 x = 1.200 : 0,3048 x = 3937 ft Komisch, das hatten wir doch schon mal. Das war doch falsch. Wo ist der Fehler?

4. Lösung BM2393

Wir haben Äpfel mit Birnen verglichen. --- 1 ft = 0,3048 cm (Das ist FALSCH.) Es muss richtig lauten: 1 ft = 0,3048 m oder auch 1 ft = 30,48 cm Jetzt führen wir mit dieser korrekten Zahl noch mal unsere Rechnung durch: 1 ft : 30,48 cm = x ft : 1.200 cm x = 1.200 : 30,48 x = 3937 ft x = 39,37 ft Das entspricht auch eher unserem Ergebnis von 36 ft bei der Überschlagsrechnung. Das falsche Ergebnis x = 3937 ft hatte die richtigen Ziffern, aber einen Kommafehler um zwei Stellen, da wir die Umrechnungszahl für Meter statt für zentimeter genommen hatten. Der Unterschied zwischen meter und zentimeter hat den Faktor 100, also genau zwei Kommastellen. --- Mit x = 39,37 ft müssen wir jetzt noch unsere weitere Rechnung durchführen. Wir weit waren wir bisher gekommen? Zehn Zentimeter auf dieser „amerikanischen“ Zeichnung entsprächen dann wie viel Fuß? --- Maßstab der amerikanischen Karte im metrischen System 1:120 1 : 120 = 10 : x x = 10 * 120 x = 1.200 cm (das müssen wir noch in Fuß umrechnen) Das haben wir nun getan: x = 39,37 ft --- Zehn Zentimeter auf einer „amerikanischen“ Zeichnung entsprechen 39,37 ft. --- Für den amerikanischen Markt soll eine Karte im Maßstab 1:50 auf einen neuen Maßstab gebracht werden, bei dem 1 inch (= Zoll) 10 feet (Fuß) entspricht). Zehn Zentimeter auf einer „amerikanischen“ Zeichnung entsprechen 39,37 ft. --- Und im Anschluss hatten wir noch die Frage: Ein Zentimeter auf dieser „amerikanischen“ Zeichnung wären dann wie viel Meter? --- Freiwillige vor!

5. Lösung BM2393
Zehn Zentimeter auf einer „amerikanischen“ Zeichnung entsprechen 39,37 ft. Ein Zentimeter auf einer „amerikanischen“ Zeichnung sind 3,937 ft. 39,37 : 10 = 3,937 Das war einfach. Alles was man kann ist einfach.

BM2394

Nicht nur bei Maßstabsberechnungen arbeiten wir mit Verhältnisgleichungen.

---

100 g kosten 89,12 Euro

Wie viel kosten 4,5 g?

1. Lösung BM2394
100 g kosten 89,12 Euro $100:89,12=4,5:x$ $x={\tfrac {4,5\cdot 89,12}{100}}$ $x=4,01$ Wenn 100g 89,12EUR kosten, dann kosten 4,5g 4,01EUR. --- Probe: Wie machen nur einen Überschlag als Probe. 100 g kosten 89,12 Euro also 10 g kosten 8,91 Euro 5 g kosten ca. 4,50 Euro Passt also ungefähr.

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218 kg kosten 1578,34 Euro.

Wir viel kosten 374 Kilogramm und 2345 Gramm?

2. Lösung BM2394

374 Kilogramm + 2345 Gramm = 376,345 kg 218 kg kosten 1578,34 Euro. $218:1578,34=376,345:x$ $x={\tfrac {376,345\cdot 1578,34}{218}}$ $x=2724,77$ Wenn 374g 1578,34EUR kosten, dann kosten 374 Kilogramm und 2345 Gramm 2724,77EUR. --- Probe: Überschlagsrechnung 374 kg ist grob gerechnet etwas weniger als das Doppelte von 218 kg. Dann sollte der Preis grob gerechnet etwas weniger als das Doppelte von 1578,34 Euro sein. 1.500 * 2 = 3.000 Unser Ergebnis von 2724,77 EUR liegt ungefähr in der Größenordnung von 3.000 Euro. Das Ergebnis könnte also stimmen.

---

218 kg haben 1578,34 Euro gekostet. Allerdings war das eine Sonderaktion, bei der 20% Rabatt gewährt wurden.

Wir viel kosten 374 Kilogramm und 2345 Gramm? Dieses mal war es keine Sonderaktion, aber es wurden 3% Barzahlungsrabatt gewährt.

3. Lösung BM2394
218 kg kosten 1578,34 Euro. 20 % Was müssen wir hier als 100 % ansetzen? Die 1578,34 Euro Rabattaktion oder den höheren Originalpreis?

4. Lösung BM2394
Wir müssen vom Originalpreis 20 % abziehen, um zum Rabattpreis zu kommen. Also ist der Originalpreis 100 % gleichzusetzen. Und wie hoch ist nun der Originalpreis gewesen?

5. Lösung BM2394

x - 20 % = 1578,34 Euro x : 100 = 1578,34 : 80 (Der Rabattpreis ist 100% - 20%, also 80% vom Originalpreis.) x = (1578,34 * 100) : 80 x = 1972,92 EUR --- Jetzt müssen wir noch eine weitere Zwischenrechnung ausführen, bevor wir loslegen können: Wir viel kosten 374 Kilogramm und 2345 Gramm? Dieses mal war es keine Sonderaktion, aber es wurden 3% Barzahlungsrabatt gewährt. Wir müssen wir die 3 % berechnen?

6. Lösung BM2394

Die 3 % können wir jetzt noch gar nicht berechnen. Zuerst müssen wir unsere Hauptrechnung ausführen und erst zum Schluss noch die 3 % beachten. --- 218 kg haben 1578,34 Euro gekostet. Allerdings war das eine Sonderaktion, bei der 20% Rabatt gewährt wurden. (Wir hatten in einer Zwischenrechnung ermittelt, dass der Originalpreis 1972,92 EUR war.) Wir viel kosten 374 Kilogramm und 2345 Gramm? Dieses mal war es keine Sonderaktion, aber es wurden 3% Barzahlungsrabatt gewährt. --- Wie müssen wir rechnen?

7. Lösung BM2394
218 : 1972,92 = 376,345 : x x = (376,345 * 1972,92) : 218 x = 3405,96 EUR --- Allerdings bekommen wir darauf noch einen 3-prozentigen Barzahlungsrabatt.

8. Lösung BM2394
3405,96 EUR - 3 % = x x = 3405,96 * 0,97 x = 3303,78 EUR (Erklärung: mal 1,0 entspricht 100%; mal 0,1 entspricht 10%; mal 0,97 entspricht 97%; also 100% minus 3%.) --- Oder ein andere Rechenweg: x = 3405,96 - (3405,96 : 100 * 3) x = 3405,96 - 102,18 x = 3303,78 EUR Natürlich kommen wir auf das gleiche Ergebnis. Bitte den Antwortsatz nicht vergessen. Bitte NIE den Antwortsatz vergessen.

9. Lösung BM2394
374 Kilogramm und 2345 Gramm kosten mit einem 3%-igen Barzahlungsrabatt 3303,78 EUR, wenn 218 kg bei einer 20% Rabattaktion 1578,34 Euro gekostet haben.

BM2395

13 Kisten wiegen a Kilogramm.

Wie viel wiegen 17 Kisten?

Lösung BM2395
13 : a = 17 : x x = 17a : 13

BM2396

Proportionalitätskette

---

Beweise, dass wenn

a:b = d:e

und b:c = e:f gilt,

dass dann auch

a:c = d:f gilt!

Lösung BM2396

${\begin{aligned}a:b&=d:e\quad \quad |\quad \cdot b\cdot e\\a\cdot e&=b\cdot d\end{aligned}}$ --- und: ${\begin{aligned}b:c&=e:f\quad \quad |\quad \cdot c\cdot f\\b\cdot f&=c\cdot e\end{aligned}}$ --- Wegen: I) $a\cdot e=b\cdot d$ und wegen: $b\cdot f=c\cdot e$ oder mit vertauschten Seiten: II) $c\cdot e=b\cdot f$ --- Wir dividieren I) $a\cdot e=b\cdot d$ auf beiden Seiten durch die gleiche Zahl. Wir könnten I) durch $c\cdot e$ dividieren, auf beiden Seiten. Wir könnten auch I) auch auf einer Seite durch $c\cdot e$ dividieren und auf der anderen Seite durch $b\cdot f$. Denn schließlich stellen $c\cdot e$ und $b\cdot f$ den gleichen Wert dar. Das sagt uns die Gleichung II). --- Also los: I) durch II) ${\begin{aligned}a\cdot e&=b\cdot d\quad \quad |\quad :(c\cdot e=b\cdot f)\\{\tfrac {a\cdot e}{c\cdot e}}&={\tfrac {b\cdot d}{b\cdot f}}\\{\tfrac {a}{c}}&={\tfrac {d}{f}}\end{aligned}}$ w.z.b.w. --- Wir können das Ende des Beweises auch leicht modifizieren: ${\begin{aligned}a\cdot e&=b\cdot d\quad \quad |\quad :(c\cdot e)\\{\tfrac {a\cdot e}{c\cdot e}}&={\tfrac {b\cdot d}{c\cdot e}}\end{aligned}}$ Wegen II) $c\cdot e=b\cdot f$ können wir auf der rechten Gleichungsseite im Nenner für $c\cdot e$ auch $b\cdot f$ einsetzen. ${\begin{aligned}{\tfrac {a\cdot e}{c\cdot e}}&={\tfrac {b\cdot d}{b\cdot f}}\\{\tfrac {a}{c}}&={\tfrac {d}{f}}\end{aligned}}$ w.z.b.w.

BM2397

Eine ausgeklappte Stehleiter ist am Boden 1,30 m breit.

In einer Höhe von 1,25 m über dem Boden ist sie 96 cm breit.

Wie hoch ist die Leiter?

1. Lösung BM2397
Bild 1 a = 1,3 m b = 0,96 m c = 1,25 m h = ?

2. Lösung BM2397

(h - c) : b = h : a (h - c) = d ist die obere Teilhöhe der Leiter. --- ${\begin{aligned}(h-c):b&=h:a\\{\tfrac {h-c}{b}}&={\tfrac {h}{a}}\\{\tfrac {h-1,25}{0,96}}&={\tfrac {h}{1,3}}\quad \quad |\quad \cdot 0,96\cdot 1,3\\1,3{h-1,25}&=0,96h\\1,3h-1,625&=0,96h\quad \quad |\quad +1,625\\1,3h&=0,96h+1,625\quad \quad |\quad -0,96h\\1,3h-0,96h&=1,625\\0,34h&=1,625\quad \quad |\quad :0,34\\h&={\tfrac {1,625}{0,34}}h&=4,78\end{aligned}}$ --- Die Leiter ist insgesamt 4,78 m hoch.

BM2398

Bild 1

Ein Schaf wird mit einem 2,5 m langen Seil an einer Hausecke angegebunden. Das Schaf hat bereits nach einem Tag die Fläche, die es erreichen konnte, bis auf den letzten Grashalm abgefressen. Deshalb verlängert der Bauer das Seil am zweiten Tag um einen Meter.

Hat das Schaf am zweiten Tag mehr oder weniger zu fressen als am ersten Tag?

1. Lösung BM2398
Bild 2

2. Lösung BM2398
Bild 3 Wie berechnet man die Fläche eines Kreises?

3. Lösung BM2398

Wer die Formel für die Berechnung der Kreisfläche auswendig kennt und auch nach mehreren Jahren, in denen er sie nie verwendet hat, sofort parat hat, der kann diesen Abschnitt überspringen. Alle anderen müssen sich die Kreisformel schnell wieder herleiten. --- Bild 1 Bild 2 Bild 1: Der Kreis hat den Druchmesser d. Ein Quadrat mit der Seitenlänge d hat die Fläche $A=d^{2}$. Die Kreisfläche ist offensichtlich kleiner als die Quadratfläche. Bild 2.: Der Radius r ist der halbe Durchmesser d. Oder anders rum formuliert: Der Durchmesser ist der doppelte Radius. Wir zerlegen das den Kreis umschreibende Quadrat in 4 gleichgroße Quadrate. Die Fläche des großen Quadrates können wir berechnen mit $A=4\cdot r^{2}$. Unsere Kreisfläche ist aber kleiner. Unsere Kreisfläche entsprciht überden Daumen gepeilt ungefähr der Fläche von drei kleinen Quadraten. Diese "Drei" ist der Näherungswer für 3,141..., was Pi ist. $A=3\cdot r^{2}$ $A=\pi \cdot r^{2}$ Bild 3 Bild 4 Bild 3: Wenn wir die kleinen Quadrate halbieren (hier durch eine Diagonale), dann sieht man, dass die Fläche von vier halben kleinen Quadraten kleiner ist, als die Kreisfläche. Vier halbe kleine Quadrate entsprechen der Fläche von zwei kleinen Quadraten. Wir können also mit Sicherheit sagen, dass die Kreisfläche irgendwo zwischen der Fläche von zwei oder 4 (s. Bild 1) Quadraten liegt. Und zwischen 4 und 2 liegt die Drei. Bild 4: :$A=3\cdot r^{2}$ oder ganz genau $A=\pi \cdot r^{2}$. --- In den Lehrbüchern wird für die Kreisfläche neben der Formel $A=\pi \cdot r^{2}$ auch die Formel $A={\tfrac {\pi }{4}}\cdot d^{2}$ angegeben. Zeige die Umformungssschritte, die von der ersten zur zweiten Formel führen!

4. Lösung BM2398

$A=\pi \cdot r^{2}$ (Der Radius r ist der halbe Durchmesser d.) $A=\pi \cdot {({\tfrac {d}{2}})}^{2}$ (Den Nenner und Zähler des Bruchs einzeln quadrieren.)) $A=\pi \cdot {\tfrac {d^{2}}{2^{2}}}$ $A=\pi \cdot {\tfrac {d^{2}}{4}}$ $A={\tfrac {\pi }{4}}\cdot d^{2}$ --- So, nun aber zurück zur eigentlichen Hauptaufgabe: Am ersten Tag steht dem Schaf die Fläche eines Kreises mit dem Radius 2,5 m2 zur Verfügung (Aa). Genau genommen sind es nur drei Viertel dieser Kreisfläche. Am zweiten Tag ist der Kreis (Ab) größer, aber leider ist ein Teil des inneren Kreises bereits am ersten Tag abgefressen worden. Es bleibt also nur noch das Gras in einem Kreisring. Wir berechnet man die Fläche von einem Kreisring ganz allgemein? Wir berechnet man die Fläche dieses konkreten Kreisrings (AK)?

5. Lösung BM2398

Die Fläche eines Ringes berechnet man, indem man von der Fläche des großen Kreises (großer Radius) die Fläche des kleinen Kreises (kleiner Radius, also das „ausgestanzte Loch“) abzieht. $A_{K}=A_{b}-A_{a}$ $A_{K}=A_{b}-A_{a}$ Im konkreten Fall rechnen wir: $A_{a}=\pi \cdot r_{a}^{2}$ also: $A_{a}=\pi \cdot 2,5^{2}$ $A_{b}=\pi \cdot r_{b}^{2}$ also: $A_{b}=\pi \cdot 3^{2}$ $A_{K}=\pi \cdot r_{b}^{2}-\pi r_{a}^{2}$ also: $A_{K}=\pi \cdot 3^{2}-\pi \cdot 3^{2}$ --- Nun berechnen wir die Fläche dieses konkreten Kreisrings, wobei wird gleich die Hausecke abziehen (ein Viertel des Kreises bzw. des Kreisrings).

6. Lösung BM2398

$A_{K}={\tfrac {3}{4}}\pi \cdot 3^{2}-{\tfrac {3}{4}}\pi \cdot 3^{2}$ $A_{K}={\tfrac {3}{4}}\pi \cdot (3^{2}-3^{2})$ $A_{K}={\tfrac {3}{4}}\pi \cdot (9-6,25)$ $A_{K}={\tfrac {3}{4}}\pi \cdot 2,75$ $A_{K}=2,0625\pi$ $A_{K}=6,479$ Die Fläche, die durchdie Verlägerung des Seiles von 2,5 m auf 3 m freigegeben wird (ein drei Viertel Kreisring) beträgt 6,479 m2. Dagegen ist die Fläche des Drei-Viertel-Kreises mit dem Radius 2,5 m 14,726 m2 groß. $A_{a}=\pi \cdot 2,5^{2}=14,726$ Das Schaf hat also am zweiten Tag weniger zu fressen. 6,479 < 14,726 --- Zusatzfrage: Wie lang müsste die Leine am 2. Tag mindestens sein, damit das Schaf am zweiten Tag genauso viel Gras zur Verfügung hat wie am 1. Tag?

7. Lösung BM2398
Der Außenring müsste dann die gleiche Fläche haben wie der grüne Innenkreis.

8. Lösung BM2398
Für den Ring nehmen wir als Symbol $A_{R}$ Gesucht ist also $r_{b}$ mit der Bedingung $A_{R}=A_{a}$

9. Lösung BM2398
$A_{R}=A_{a}$ --- Folgende Formeln müssen wir einsetzen: $A_{a}=\pi \cdot r_{a}^{2}$ $A_{R}=A_{b}-A_{a}$ $A_{b}=\pi \cdot r_{b}^{2}$ Nicht vergessen: $r_{a}$ ist bekannt ($r_{a}$ ist gegeben; mit 2,5 m) $r_{b}$ ist gesucht ($r_{b}$ wird gesucht)

10. Lösung BM2398

${\begin{aligned}A_{R}&=A_{a}\\A_{b}-A_{a}&=A_{a}\quad \quad |\quad +A_{a}\\A_{b}&=2\cdot A_{a}\quad \quad |\quad +A_{a}\\\pi \cdot r_{b}^{2}&=2(\pi \cdot r_{a}^{2})\end{aligned}}$ Das müssen wir nach $r_{b}$ umstellen, dann den gegebenen Zahlenwert für $r_{a}$ einsetzen und $r_{b}$ ausrechnen. Also los! (Oft ist es einfacher, wenn man erst mal die allgemeine Formel umstellt und erst zum Schluss die konkreten Zahlenwerte einsetzt.)

11. Lösung BM2398

Wir erinnern uns: Wurzelziehen: ${\sqrt {a^{2}}}=a$ --- ${\begin{aligned}\pi \cdot r_{b}^{2}&=2(\pi \cdot r_{a}^{2})\\\pi \cdot r_{b}^{2}&=2\pi \cdot r_{a}^{2}\quad \quad |\quad :\pi \\r_{b}^{2}&=\pi \cdot r_{a}^{2}\quad \quad |\quad :{\sqrt {}}\\{\sqrt {r_{b}^{2}}}&={\sqrt {\pi \cdot r_{a}^{2}}}\\r_{b}&={\sqrt {\pi }}\cdot {\sqrt {r_{a}^{2}}}\\r_{b}&={\sqrt {\pi }}\cdot r_{a}\end{aligned}}$ Erst jetzt setzen wir die konkreten Zahlenwerte ein.

12. Lösung BM2398
$r_{a}=2,5$ $\pi =3,141$ --- ${\begin{aligned}r_{b}&={\sqrt {\pi }}\cdot r_{a}\\r_{b}&={\sqrt {3,141}}\cdot 2,5\\r_{b}&=1,77245\cdot 2,5\\r_{b}&=4,431125\end{aligned}}$ --- Nun fehlt nur noch der Antwortsatz. Zur Erinnerung: Die Zusatzfrage lautete: Wie lang müsste die Leine am 2. Tag mindestens sein, damit das Schaf am zweiten Tag genauso viel Gras zur Verfügung hat wie am 1. Tag?

13. Lösung BM2398
Als Antwortsatz wirderholen wir den Fragesatz fast wortwörtlich. Wir setzen lediglich den gefunden Zahlenwert ein und wandeln den Fragesatz in einen Aussagesatz um. Dazu muss mist die Reihenfolge der Wörter umgestellt werden. --- Antwort: Die Leine müsste am 2. Tag mindestens 4,43 m lang sein, damit das Schaf am zweiten Tag genauso viel Gras zur Verfügung hat wie am 1. Tag.

BM2399

12 Männer können die Arbeit in 30 Tagen erledigen.

1.) Wie lange würden 3 Männer für die gleiche Arbeit brauchen?

1. Lösung BM2399
12 : 3 = 4 3 * 4 = 12 12 Männer sind 4x so viel wie 3 Männer. Oder anders formuliert: 3 Männer sind nur ein Viertel von 12 Männern. Drei Männer brauchen also 4x so lange wie 12 Männer. 30 Tage mal 4 ist gleich 120 Tage. Antwort: Drei Männer brauchen für diese Arbeit 120 Tage.

12 Männer können die Arbeit in 30 Tagen erledigen.

2.) Wie lange bräuchten 9 Männer für diese Arbeit?

2. Lösung BM2399

12 : 9 = 1,3333 = 1 1/3 9 * 1 1/3 = 12 12 Männer brauchen 1,33 mal so lange wie 12 Männer. 30 Tage mal 1,3333333333 ist gleich 40 Tage. --- Man könnte auch erst auf 1 umrechnen: Wie lange braucht ein Arbeiter, wenn 12 Arbeiter 30 Tage brauchen und dann rechnet man mit dieser Zahl weiter wie lange drei bzw. 9 Arbeiter brauchen würden. --- Rechne nach dieser Methode noch mal die 1. und 2. Aufgabe. Das Ergebnis sollte das gleiche sein. (Hoffentlich!)

3. Lösung BM2399

12 Männer können die Arbeit in 30 Tagen erledigen. 1 Mann ist nur 1/12 der Mannschaft. Er bracuht also 12x länger. 30 * 12 = 360 Ein Mann würde die Arbeit in 360 Tagen erledigen. --- 360 : 3 = 120 3 Männer würden die Arbeit in 120 Tagen erledigen. (Das stimmt mir unserem obigen Ergebnis überein.) --- 360 : 9 = 40. 9 Männer würden die Arbeit in 40 Tagen erledigen. (Das stimmt mir unserem obigen Ergebnis überein.)

BM2400

Eine Wiederholung aus der Lektion 040:

Bilden Sie ein Verhältnis aus den Größen!

---

Beispiel:

6 m und 3 m

⇒ 6 m und 3 m stehen im Verhältnis (wie) 2:1.

---

3 km und 200 m

400 m und 8 km

650 m und 150 m

35 m und 280 m

220 cm und 40 cm

45 cm und 75 cm

20 kg und 400 g

800 g und 12 kg

750 Euro und 60 Euro

3 Euro und 35 Cent

Lösung BM2400

6m und 3 m ⇒ 6 m und 3 m stehen im Verhältnis (wie) 2:1. --- 3 km und 200 m ⇒ 3 km und 200 m stehen im Verhältnis wie 15:1. --- 400 m und 8 km ⇒ 400 m und 8 km stehen im Verhältnis wie 1:20. --- 650 m und 150 m ⇒ 650 m und 150 m stehen im Verhältnis wie 13:3. --- 35 m und 280 m ⇒ 35 m und 280 m stehen im Verhältnis wie 1:8. --- 220 cm und 40 cm ⇒ 220 cm und 40 cm stehen im Verhältnis wie 11:2. --- 45 cm und 75 cm ⇒ 45 cm und 75 cm stehen im Verhältnis wie 9:15. --- 20 kg und 400 g ⇒ 20 kg und 400 g stehen im Verhältnis wie 50:1. --- 800 g und 12 kg ⇒ 800 g und 12 kg stehen im Verhältnis wie 1:15. --- 750 Euro und 60 Euro ⇒ 750 Euro und 60 Euro stehen im Verhältnis wie 25:2. --- 3 Euro und 35 Cent ⇒ 3 Euro und 35 Cent stehen im Verhältnis wie 60:7.

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