Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 100b

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Lección 100

Mathematik auf Deutsch - 50

BM2451 - BM2460

Wiederholung

BM2451

Eine Gleichung kann man mit einer Wippe oder eine Waage vergleichen.

Gleichung

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Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichen]]s („=“) symbolisiert wird. Formal hat eine Gleichung die Gestalt

$T_{1}=T_{2}$,

wobei der Term $T_{1}$ die linke Seite und der Term $T_{2}$ die rechte Seite der Gleichung genannt wird. Gleichungen sind entweder wahr beziehungsweise erfüllt (beispielsweise $1=1$) oder falsch (beispielsweise $1=2$). Wenn zumindest einer der Terme $T_{1},T_{2}$ von Variablen abhängig ist, liegt nur eine Aussageform vor; ob die Gleichung wahr oder falsch ist, hängt dann von den konkreten eingesetzten Werten ab. Die Werte der Variablen, für die die Gleichung erfüllt ist, heißen Lösungen der Gleichung. Sind zwei oder mehr Gleichungen angegeben, spricht man auch von einem Gleichungssystem, eine Lösung desselben muss alle Gleichungen simultan erfüllen.

BM2452

mathematische Ausdruck

Term

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In der Mathematik ist ein Term ein sinnvoller Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann. Terme sind die syntaktisch korrekt gebildeten Wörter oder Wortgruppen in der formalen Sprache der Mathematik.

In der Praxis wird der Begriff häufig benutzt, um über einzelne Bestandteile einer Formel oder eines größeren Terms zu reden. So kann man bspw. für die lineare Funktion $f(x)=mx+b$ von einem linearen Term $mx$ und einem konstanten Term $b$ reden.

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Umgangssprachliche Erklärung eines Terms

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Der Begriff „Term“ wird umgangssprachlich für alles verwendet, das eine Bedeutung trägt. Im engeren Sinn sind mathematische Gebilde gemeint, die man prinzipiell ausrechnen kann, zumindest wenn man den darin enthaltenen Variablen Werte zugewiesen hat. So ist zum Beispiel $(x+y)^{2}$ ein Term, denn weist man den darin enthaltenen Variablen $x$ und $y$ einen Wert zu, so erhält auch der Term einen Wert.

Grob kann man sagen, dass ein Term eine Seite einer Gleichung oder Relation, z. B. einer Ungleichung, ist. Die Gleichung oder Relation selbst ist kein Term, sie besteht aus Termen.

Mit Termen können üblicherweise folgende Operationen ausgeführt werden:

• ausrechnen (dazu rechnet man erst die „inneren“ Funktionen aus und dann die äußeren): $(2+3)^{2}=5^{2}=25$
• nach bestimmten Rechenregeln umformen: $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ durch Anwendung des Distributivgesetzes und einiger anderer „erlaubter“ Regeln.
• miteinander vergleichen, falls Relationen für die passenden Typen definiert sind: $2xy\leq x^{2}+y^{2}$
• ineinander einsetzen (oft wird ein Term anstelle einer Variable eines anderen Terms eingesetzt). Eine spezielle Form der Einsetzung ist die Substitution, bei der ein Term mit Variablen durch einen anderen Term mit Variablen (meist eine einzelne Variable) ersetzt wird: $(x+y)^{2}$ entsteht aus $z^{2}$ durch Ersetzung von $z$ durch $x+y$.

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Jede Variable ist ein Term.

Jedes Konstantensymbol ist ein Term.

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Beispiele:

${\tfrac {xy}{4}}$ ist ein Term, denn

• $x$ und $y$ sind Terme (als Variablen),
• $4$ ist ein Term (als Konstante),
• $xy$ ist ein Term („multipliziere($x$,$y$)“),
• ${\tfrac {xy}{4}}$ ist ein Term (Das Divisionssymbol ist der Bruchstrich($-$) gleich wie $xy:4$, „dividiere(multipliziere($x$,$y$);$4$)“)

13 + 2·a -7·b

4,5 - 4x/2 + 2·y

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Unter einem Term verstehen die Mathematiker einen sinnvollen Ausdruck, der Ziffern, Variable, Rechenzeichen und Klammern enthält.

4x : 0 ist beispielsweise kein sinnvoller Ausdruck

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Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, aus Rechenzeichen wie z.B. plus (+), minus (-), mal (·), geteilt (: oder /), ... und aus Variablen besteht. Ein Term enthält kein Gleich- oder Ungleichheitszeichen, d.h. er steht links oder rechts von einem solchen Zeichen.

BM2453

Ausdrücke und Gleichungen

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Ausdrücke können umgeformt werden

21 + 3x -7x + 2

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Ausdrücke können ausgewertet werden.

Einen Ausdruck auswerten bedeutet eine gegebene Zahl anstelle einer Variablen einzusetzen.

Wenn man zum Beispiel 3x+4 auswerten soll für x=2, muss man nur den Ausdruck noch einmal hinschreiben und jedes x durch eine 2 ersetzen. Damit erhält man dann 3(2)+4. Diesen Ausdruck kann man noch vereinfachen:

3(2)+4 = 3×2 + 4

= 6 + 6

= 12

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Ausdrücke haben keine wahre Lösung.

In den Ausdruck 3x + 4 kann ich x = 2 einsetzten und erhalte 12.

Man kann aber auch 5 einsetzen und erhält ... (na was?)

Man kann nicht davon sprechen, dass ein Ausdruck eine falsche oder wahre Lösung hat. Nur Gleichungen haben eine Lösung.

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Gleichungen

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• Gleichungen haben ein Gleichheitszeichen. (Ausdrücke haben kein Gleichheitszeichen, man kann sie sich wie eine halbe Wippe vorstellen, die nur eine Seite hat.)
• Gleichungen haben eine oder mehrere Lösungen.

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Häufig besteht eine Aufgabenstellung darin, alle Variablenbelegungen zu bestimmen, für die die Gleichung wahr wird. Diesen Vorgang bezeichnet man als Lösen der Gleichung.

Solche Gleichungen weden als Bestimmungsgleichungen bezeichnet.

Die Menge der Variablenbelegungen, für die die Gleichung wahr ist, bezeichnet man als Lösungsmenge der Gleichung. Wenn es sich bei der Lösungsmenge um die leere Menge handelt, so bezeichnet man die Gleichung als unlösbar oder unerfüllbar.

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Bei Bestimmungsgleichungen treten mitunter Variablen auf, die nicht gesucht sind, sondern als bekannt vorausgesetzt werden. Solche Variablen werden als Parameter bezeichnet.

Beispiel: :$x^{2}+px+q\;=\;0$

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Anzahl der Lösungen einer Gleichung

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x¹ + 4 = 5 (hat eine Lösung) x + 4 = 5

x² + 4 = 5 (hat zwei Lösungen)

x³ + 4 = 5 (hat drei Lösungen)

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Exponent 1: x¹; eine Gleichung ersten Grades

Exponent 3: x²; eine Gleichung zweiten Grades

Exponent 4: x³; eine Gleichung dritten Grades

Exponent 5: x⁴; eine Gleichung vierten Grades

BM2454

Termumformung

Lange, komplizierte Terme können oft vereinfacht werden, indem man auf sie Rechenregeln anwendet, die den Wert des Terms unverändert lassen, beispielsweise das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz oder Distributivgesetz:

$(x+y)(x-y)$    Ausmultiplizieren

$=x^{2}-xy+yx-y^{2}$     Kommutativgesetz anwenden

$=x^{2}-y^{2}$

Mit einer Termumformung werden folgende Ziele verfolgt:

• Vereinfachung von Termen
• Aufpumpen von Termen zur Erzeugung gewünschter Strukturen wie zum Beispiel bei der quadratischen Ergänzung
• Herauspräparieren gewünschter Teilterme

$(u+v)^{3}=u^{3}+v^{3}+3uv(u+v)$

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Äquivalenzumformung

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In der Mathematik bezeichnet Äquivalenzumformung (lateinisch aequus = gleich; valere = wert sein) eine Umformung einer Gleichung bzw. Ungleichung, die den Wahrheitswert unverändert lässt (logische Äquivalenz). Die umgeformte logische Aussage ist also für dieselbe Variablenbelegung wahr wie die ursprüngliche Aussage. Äquivalenzumformungen können durch Anwendung der inversen Operation wieder ohne Probleme rückgängig gemacht werden. Äquivalenzumformungen sind die wichtigste Methode zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen.

BM2455

Äquivalenzumformungen von Gleichungen

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Eine Äquivalenzumformung ist beispielsweise die Addition oder Subtraktion eines Terms auf beiden Seiten. Subtrahiert man von der Gleichung

$x+5=7\;$

die Zahl 5 (indem man die Zahl auf beiden Seiten subtrahiert), erhält man die Gleichung

$x=2\!$.

Die Multiplikation oder Division eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung, solange dieser ungleich 0 ist, ist ebenfalls eine Äquivalenzumformung.

Zu beachten ist, dass die Multiplikation mit Null oder Division durch Null oft versteckt auftritt; so ist beispielsweise die Multiplikation mit $x-1$ keine Äquivalenzumformung, da dieser Multiplikator im Falle $x=1$ eben Null sein kann. Allerdings kann man durch Fallunterscheidung sicherstellen, dass eine Multiplikation oder Division mit Null nicht stattfindet: Fälle, in denen ein Multiplikator oder Divisor Null ist, sind gesondert zu untersuchen; ansonsten sind die umgeformten Aussagen nur unter einer entsprechenden Zusatzvoraussetzung (also nicht allgemein) zueinander äquivalent.

Ebenfalls keine Äquivalenzumformung ist im Allgemeinen das Quadrieren, so hat beispielsweise die Gleichung $x=2$ eine reelle Lösung, die quadrierte Gleichung $x^{2}=4$ hingegen zwei reelle Lösungen (nämlich +2 und -2). (Es sei aber angemerkt: Durch einschränkende Bedingungen an $x$ kann man auch das Quadrieren zu einer Äquivalenzumformung machen. Setzt man bspw. $x\leq 0$ voraus, so sind die Gleichungen $x^{2}=4$ und $x=-2$ gleichwertig!)

BM2456

Notation für Äquivalenzumformungen

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Äquivalenzumformungen werden meist mit einem Äquivalenzpfeil ( ⇔ ) bezeichnet. Angewendet auf obiges Beispiel also:

$x+5=7\Leftrightarrow x=2\!$

Darstellung der Umformungsoperation: Insbesondere in der Schulmathematik wird bei Äquivalenzumformungen oft mit einem senkrechten Strich hinter der (Un-)Gleichung dargestellt, welche Operation als nächste auf beide Seiten der (Un-)Gleichung angewendet werden soll. Die obigen Beispiele schreiben sich dann in der Form

$x+5=7\;\;\;\;\;\;\;\;|-5$

$x=2\;$

bzw.

$x>y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\cdot (-5)$

$-5x<-5y\;$.

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In einigen Ländern wird die Äquivalenzumformung notiert, indem auf beiden Seitender Gleichung die gleichen Terme dadrunter geschrieben werden.

${\begin{aligned}x+5\quad =&\quad 7\\-5\quad \quad &\quad -5\\x\quad =&\quad 2\\\end{aligned}}$

BM2457

Multiplikation mit Null

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Multipliziert man eine beliebige Gleichung mit $0$, so ist diese Multiplikation irreversibel.

${\begin{aligned}5x+3&=8\quad |\cdot 0\\0&=0\end{aligned}}$

Von der Gleichung $0=0$ lässt sich nicht mehr auf die Gleichung $5x+3=8$ schließen.

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Aufgabe: Löse die Gleichung x - 4 = 5

Dazu muss die Gleichung so umgestellt werden, dass die Variable (hier x) isoliert auf einer Seite steht.

Entscheident für die Umformung ist die Seite mit der Variablen (hier als x-4).

Um die 4 loszuwerden muss man die entgegengesetzte Rechenoperation durchführen. Also muss auf beiden Seiten plus 4 gerechnet werden.

${\begin{aligned}x-4\quad =&\quad 5\\+4\quad \quad &\quad +4\\x-4+4\quad =&\quad 5+4\\x+0\quad =&\quad 9\\x\quad =&\quad 9\\\end{aligned}}$

Wir haben also auf beiden Seiten plus 4 gerechnet, weil die Addition die inverse Operation der Subtraktion ist (-4).

Eine inverse Operation macht die ursprüngliche Operation rückgängig.

Die Addition ist die inverse Operation der Subtraktion.

Und umgekehrt ist die Subtraktion die inverse Operation der Addition.

Die Multiplikation und die Divison sind jeweils die inverse Operation der anderen Operation.

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Ein beliebter Anfängerfehler ist es, das was auf der einen Seite abgezogen wird auf der anderen Seite zu addieren.

${\begin{aligned}x+1\quad =&\quad 5\\-1\quad \quad &\quad +1\\x\quad =&\quad 6\\\end{aligned}}$

Das ist natürlich FALSCH. Das ist sogar ein doppelter Fehler.

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Bei einer Gleichung muss wie bei einer ausbalancierten Wippe (oder Waage) immer auf beiden Seiten die gleiche Operation gemacht werden (addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren).

BM2458

Gesucht ist die Lösung der Gleichung x - 4 = 10

Wir müssen umformen. Die Seite auf der die Variable steht gibt uns vor, wie wir umformen müssen.

Das Ziel ist aus der -4 ein Null zu machen. Also auf beiden Seiten +4 rechnen.

${\begin{aligned}x-4&=10\quad \quad |+4\\x-4+4&=10+4\\x+0&=14\\x&=14\end{aligned}}$

Wir erinnern uns:

$a-0=a$

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Nicht vergessen:

Eine Multiplikation mit Null auf beiden Seiten ist zwar eine gültige Umformung, aber sie macht alle Zahlen „kaputt“ und führt nicht zum Ziel eine Lösung für $x$ zu finden.

Beispiel:

${\begin{aligned}x-4&=10\quad \quad |\cdot 0\\(x-4)\cdot 0&=10\cdot 0\\0&=0\end{aligned}}$

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Eine Division mit Null geht nicht!

${\begin{aligned}x-4&=10\quad \quad |:0\\(x-4):0&=10:0\end{aligned}}$

Die Division durch Null ist nicht definiert.

BM2459

Gegeben ist 15 = 3x - 12

Man darf die Gleichung umdrehen, damit $x$ auf der linken Seite steht. Man muss das aber nicht machen.

3x - 12 = 15

Wir erinnern uns:

$a=b\Leftrightarrow b=a$

$15=3x-12\Leftrightarrow 3x-12=15$

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3x - 12 = 15

Mittels der Addition wollen wir aus -12 eine NULL machen

${\begin{aligned}3x-12&=15\quad \quad |+12\\3x-12+12&=15+12\\3x+0&=27\\3x&=27\end{aligned}}$

Danach wollen wir mittels Divison (oder Multiplikation) den Faktor 3 vor dem x beseitigen. Aus diesem Faktor wird aber keine Null, sodern eine Eins.

${\begin{aligned}3x&=27\quad \quad |:3\\3x:3&=27:3\\{\frac {3\cdot x}{3}}&={\frac {27}{3}}\\1\cdot x&=9\\x&=9\end{aligned}}$

Als letzten Schritt immer ein Rechenprobe machen. Dazu wird das gefundene Ergebnis in die Ausgangsgleichung eingesetzt.

15 = 3x - 12

x = 9

$15=3\cdot x-12$

$15=3\cdot 9-12$

$15=(3\cdot 9)-12$

$15=27-12$

$15=15$

BM2460

7 = d + 12

Üblicherweise wird die Variable (die Unbekannte) als x bezeichnet, aber in dieser Gleichung ist eben d unsere Unbekannte.

Um die Variable zu isolieren muss man die 12 mittels der Gegenoperation loswerden. Die inverse Operation der Addition (+) ist die Subtraktion (-). Eine inverse Operation macht die urspüngliche Operation rückgängig. Das Ziel ist wie immer für die +12 eine Null zu erhalten.

${\begin{aligned}7&=d+12\\d+12&=7\quad \quad |-12\\d+0&=7-12\\d&=-5\end{aligned}}$

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mathematische Ausdrücke können nicht gelöst werden:

$-7+x$

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Nur Gleichungen können gelöst werden:

$-7+x=-4$

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Ausnahme: Ungleichungen sind genau genommen mathematische Ausdrücke, die gelöst werden können.

$-7+x<-4$

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Die Seite der Gleichung, die die Variable enthält, bestimmt den jeweiligen nächsten Schritt der Umformung.

${\begin{aligned}-7+x&=-4\quad \quad |+7\\-7+7+x&=-4+7\\0+x&=3\\x&=3\end{aligned}}$

Man könnte diese Umformung auch anders angehen: Man betrachtet die -7 und subtrahiert davon eine -7.

${\begin{aligned}-7+x&=-4\quad \quad |-(-7)\\-7-(-7)+x&=-4-(-7)\\0+x&=-4+7\\x&=3\end{aligned}}$

Natürlich ist das Ergebnis das Gleiche, weil:

$-(-7)=+7$

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Bitte nicht verwechseln:

a) $-7+x=-4$

b) $-7x=-4$

BM2461 - BM2470

BM2461

${\frac {1}{2}}=-{\frac {3}{4}}+x$

Zuerst müssen wir die Variable isolieren. Also stellen wir uns die Frage: Steht noch irgendwas anderes auf der Seite der Gleichung mit der Variablen das wir loswerden müssen?

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}&=-{\frac {3}{4}}+x\\-{\frac {3}{4}}+x&={\frac {1}{2}}\quad \quad |+{\frac {3}{4}}\\x&={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{4}}\\x&={\frac {2}{4}}+{\frac {3}{4}}\\x&={\frac {5}{4}}\end{aligned}}$

Am Ende muss die Variable ganz allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

BM2462

Neutrales Element

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In den reellen Zahlen ist $0$ (Null) das neutrale Element der Addition und $1$ (Eins) das neutrale Element der Multiplikation, denn $0+x=x+0=x$ und $1\cdot x=x\cdot 1=x$ für jede reelle Zahl $x$.

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Neutrales Element der Addition: Null

a + 0 = a

Weil man zu einer beliebigen Zahl die Zahl 0 addieren kann, ohne daß sich die Zahl a verändert, nennt man die Zahl 0 das neutrale Element der Addition.

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Neutrales Element der Multiplikation: Eins

a • 1 = a

Weil man eine beliebige Zahl mit der Zahl 1 multiplizeiren kann, ohne daß sich die Zahl a verändert, nennt man die Zahl 1 das neutrale Element der Multiplikation.

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Das inverse Element:

Das additiv Inverse einer Zahl $a$ ist die Zahl, die zu $a$ addiert 0 ergibt, also ihr Entgegengesetztes oder auch ihre Gegenzahl $-a$.

$a+(-a)=a-a=0$

Zum Beispiel ist $-7$ das Entgegengesetzte von $7$, denn $7+(-7)=(-7)+7=0$. Aus demselben Grund ist das Entgegengesetzte von $-7$ wiederum 7, also ist $-(-7)=7$. Das gilt allgemein für alle Zahlen.

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Das multiplikativ Inverse einer Zahl a ist die Zahl, die mit a multipliziert 1 ergibt. Es ist also der Kehrwert von a.

Zum Beispiel ist der Kehrwert von 7 die rationale Zahl 1/7. In den ganzen Zahlen hat 7 jedoch kein multiplikativ Inverses.

BM2463

Die Division ist die inverse Operation der Multiplikation.

Die Division ist die entgegengesetzte Operation zur Multiplikation.

3x = 15 // -3 auf beiden Seiten ist zwar erlaub, aber es bringt nichts.

${\begin{aligned}3x&=15\quad \quad |:3\\{\frac {3}{3}}x&={\frac {15}{3}}\\1\cdot x&=5\\x&=5\end{aligned}}$

Wir wollen vor der Variablen eine Eins (keine Null). Diese Eins kann dann einfach weggelassen werden, denn:

$a\cdot 1=a$

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Eine Null als Faktor vor einer Variablen wäre Mist, denn:

$0\cdot a=0$

So kann man keine Lösung für die Variable finden.

BM2464

${\begin{aligned}-4x&=28\quad \quad |+4\\x&=32\end{aligned}}$

Das war natürlich falsch! Denn mit einer Addition kann man keine Multiplikation loswerden.

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So ist es richtig: Der Faktor vor der Variablen ist -4. Deshalb muss durch -4 dividiert werden.

${\begin{aligned}-4x&=28\quad \quad |:(-4)\\{\frac {-4\cdot x}{-4}}&={\frac {28}{-4}}\\1\cdot x&=-{\frac {28}{4}}\\x&=-7\end{aligned}}$

So hat man vor der Variablen den Faktor 1 bekommen, den man dann einfach wegfallen lassen kann, denn:

${\frac {a}{a}}=1$

und

$b\cdot 1=b$

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Nächste Aufgabe:

$-26=-13y$

Und bitte nicht die Probe mit dem Ergebnis vergessen!

BM2465

${\frac {1}{3}}x=7$

Brüche sind Divisonen: Mal ein Drittel ist das Gleiche wie durch drei.

${\frac {x}{3}}=7$

Als Zwischenschritt können wir auch folgendes schreiben oder uns denken:

${\frac {1\cdot x}{3\cdot 1}}=7$

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Die vorliegende Division (durch 3) wird mit einer Multiplikation (mal 3) aufgehoben.

Die Divison wird mit einer Multiplikation aufgelöste:

${\begin{aligned}{\frac {x}{3}}&=7\quad \quad |\cdot 3\\{\frac {x\cdot 3}{3}}&=7\cdot 3\\x&=21\end{aligned}}$

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Nochmals die gleiche Aufgabe. Diesmal gehen wird das Problem aber anders an: Wir werden $\textstyle {\frac {1}{3}}$ als Faktor betrachten und deshalb durch diesen Faktor dividieren. Das Endergebnis sollte das gleiche sein, wenn wir nicht falsch rechnen.

${\begin{aligned}\textstyle {\frac {1}{3}}x&=7\quad \quad |:(\textstyle {\frac {1}{3}})\\{\frac {{\frac {1}{3}}x}{\frac {1}{3}}}&={\frac {7}{\frac {1}{3}}}\\{\frac {1\cdot x}{1}}&={\frac {7\cdot 1}{1}}\\x&=7\end{aligned}}$

Ja, das Endergebnis ist das gleich wie oben.

Die obere Variante scheint aber der einfachere Rechenweg zu sein, da wir so das Dividieren von Brüchen vermeiden.

Wie erinnern uns:

$\textstyle {\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}$

Oder in Worten: Man dividiert Brüche, indem man mit dem Inversen des Nenners multipliziert.

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Als ersten Sonderfall haben wir nur im Nenner einen Bruch:

$\textstyle {\frac {e}{\frac {f}{g}}}=e\cdot {\frac {g}{f}}={\frac {e\cdot g}{f}}$

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Als zweiten Sonderfall haben wir nur im Zähler einen Bruch:

$\textstyle {\frac {\frac {h}{i}}{j}}={\frac {\frac {h}{i}}{\frac {j}{1}}}={\frac {h}{i}}\cdot {\frac {1}{j}}={\frac {h\cdot 1}{i\cdot j}}={\frac {h}{i\cdot j}}$

BM2466

${\frac {4}{3}}x=8$

Zuerste muss der Faktor $\textstyle {\frac {4}{3}}$ weg.

Dazu dividieren wir mit $\textstyle {\frac {4}{3}}$

${\begin{aligned}{\frac {4}{3}}x&=8\quad \quad |:{\frac {4}{3}}\\{\frac {4}{3}}x:{\frac {4}{3}}&=8:{\frac {4}{3}}\\{\frac {4\cdot 3}{3\cdot 4}}x&={\frac {8\cdot 3}{4}}\\x&=6\end{aligned}}$

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Oder ein anderer Rechenweg: wir multiplizieren mit 3 und danach dividieren wir mit 4.

${\begin{aligned}{\frac {4}{3}}x&=8\quad \quad |\cdot 3\\{\frac {4\cdot 3}{3}}x&=8\cdot 3\quad \quad |:4\\{\frac {4\cdot 3}{3\cdot 4}}x&={\frac {8\cdot 3}{4}}\\x&=6\end{aligned}}$

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Kürzer geht das alles, indem man einfach mit dem Reziproken von $\textstyle {\frac {4}{3}}$ multipliziert.

${\begin{aligned}{\frac {4}{3}}x&=8\quad \quad |\cdot {\frac {3}{4}}\\{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot x&={\frac {8\cdot 3}{4}}\\x&=6\end{aligned}}$

Das Ergebnis ist natürlich das gleiche.

BM2467

${\begin{aligned}-3&=-{\frac {9}{5}}x\quad \quad |\cdot 5\\-3\cdot 5&=-{\frac {9\cdot 5}{5}}x\\-15&=-9x\quad \quad |:(-9)\\{\frac {-15}{-9}}&=x\\{\frac {3\cdot 5}{3\cdot 3}}&=x\\{\frac {5}{3}}&=x\end{aligned}}$

BM2468

Lineare Gleichung

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Eine lineare Gleichung ist eine mathematische Bestimmungsgleichung, in der jede Unbekannte nur in der ersten Potenz steht, also nicht beispielsweise quadriert vorkommt.

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Quadratische Gleichung

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x²

x • x

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form

$ax^{2}+bx+c=0\quad$ mit $a\neq 0$ schreiben lässt. Hierbei sind $a,b,c$ Koeffizienten; $x$ ist die Unbekannte.

Ist $b=0$, spricht man von einer reinquadratischen Gleichung.

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Kubische Gleichung

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Kubische Gleichungen sind Gleichungen dritten Grades, also in der Form

$A\cdot x^{3}+B\cdot x^{2}+C\cdot x+D=0\quad {\text{mit}}\quad A\neq 0$.

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Lineare Gleichung: $x^{1}$ (eine Lösung)

Quadratische Gleichung: $x^{2}$ (zwei Lösungen)

Kubische Gleichung: $x^{3}$ (drei Lösungen)

BM2469

Lineare Gleichungen haben die allgemeine Form

$a\cdot x+b=0$,

wobei $x$ die Unbekannte ist und $a$ und $b$ Konstanten sind.

Die Konstanten $a$ und $b$ hängen nicht von $x$ ab.

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Lineare Gleichungen haben eine Lösung.

Das stimmt nicht ganz. Lineare Gleichungen haben im Regelfall eine Lösung.

Oder noch genauer: Lineare Gleichungen haben eine, keine oder unendlich viele Lösungen. Es gibt also drei mögliche Ergebnisse.

Wenn es keine Lösung gibt, dann ist die Lösungsmenge eine leere Menge.

Die lineare Gleichung

$0\cdot x=7$

besitzt bspw. keine Lösung, während die lineare Gleichung

$0\cdot x=0$

für jedes $x$ erfüllt wird - also unendlich viele Lösungen besitzt.

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In den folgenden Übungen wollen wir versuchen die gegebene Gleichung erst mal in die allgemeine Form

$a\cdot x+b=0$ umformen.

Die Unbekannte $x$ ist in der ersten Potenz (also $x^{1}$ oder einfach $x$), sonst ist es keine lineare Gleichung.

BM2470

Finde die Lösung für $4x-7$!

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$4x-7$ ist keine lineare Gleichung, weil es überhaupt keine Gleichung ist, denn es gibt kein Gleichheitszeichen. $4x-7$ ist nur ein Term oder ein mathematischer Ausdruck.

$4x^{0}-7=0$ ist keine lineare Gleichung, weil $4x^{0}-7=0$ das Gleich ist wie $4\cdot 1-7=0$. Ohne Unbekannt (in der ersten Potenz) ist es KEINE lineare Gleichung. Der Exponent muss 1 sein, nicht Null.

Wir erinnern uns:

$a^{0}=1$;

$a^{1}=a$;

$a^{2}=a\cdot a$

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$4x-7=0$

Das ist eine lineare Gleichung in der allgemeinen Form

$a\cdot x+b=0$,

wobei $a=4$ ist und $b=-7$

Man kann $4x-7=0$ auch als $4x+(-7)=0$ betrachten.

Finde die Lösung!

Lösung BM2470
${\begin{aligned}4x-7&=0\quad \quad |+7|:4\\x&={\frac {7}{4}}\end{aligned}}$

BM2471 - BM2480

BM2471

Stelle $-2x=7$ so um, dass es der allgemeinen Form $ax+b=0$ entspricht!

(Achtung: Es gibt zwei mögliche Lösungen. Siehe: Lösung BM2471-1)

Lösung BM2471-1
1. Möglichkeit: ${\begin{aligned}-2x&=7\quad \quad |-7\\-2x-7&=0\end{aligned}}$ --- 2. Möglichkeit ${\begin{aligned}-2x&=7\quad \quad |+2x\\0&=7+2x\end{aligned}}$ --- Die 1. Version kann mittels Multiplikation beider Seiten mit -1 in die zweite Version überführt werden: ${\begin{aligned}-2x-7&=0\quad \quad |\cdot (-1)\\(-2x-7)\cdot (-1)&=0\cdot (-1)+2x+7&=02x+7&=0\end{aligned}}$

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Löse die Gleichung $-2x=7$!

Lösung BM2471-2
${\begin{aligned}-2x&=7\quad \quad |:(-2)\\x&=-{\frac {7}{2}}\end{aligned}}$

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Löse die Gleichungen und gib a und b an, entsprechend der allgemeinen Formel $ax+b=0$!

$3x-4=0$

$\textstyle -{\frac {2\cdot x}{5}}=3$

$11x=0$

BM2472

Algorithmus

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Ein Algorithmus ist eine eindeutige Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems oder einer Klasse von Problemen.

Algorithmen bestehen aus endlich vielen, wohldefinierten Einzelschritten.

Rechenvorschriften sind eine Untergruppe der Algorithmen. Sie beschreiben Handlungsanweisungen in der Mathematik bezüglich Zahlen.

Andere Algorithmen-Untergruppen sind z. B. (Koch-)Rezepte, Gesetze, Verordnungen, Regeln, Verträge.

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Lösungsschritte zum Lösen einer linearen Gleichung:

1.) Beide Seiten der Gleichung unabhängig voneinander vereinfachen. Das erfolgt mit den drei folgenden Schritten:

1a) Ausmultiplizieren (bis alle Klammer verschwunen sind

1b) Ähnliche Terme zusammenfassen

1c) Brüche beseitigen (Brüche auslösen)

2.) Falls auf beiden Seiten der Gleichung eine Unbekannte steht, dann die „kleinere“ Variable mittels Addition oder Subtraktion „beseitigen“.

3.) Auf der Seite mit der Unbekannten die Konstanten mittels Addition oder Subtraktion „beseitigen“.

4.) Den Faktor (Koeffizient) vor der Variable mittels Division wegmachen.

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Beispiel:

$2(-3x+4)=2x$

Schritt 1a: Ausmultiplizieren

$-6x+8=2x$

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Schritt 1b entfällt.

Schritt 1c entfällt

Schritt 2: die „kleinere“ Variable „beseitigen“ -6x ist kleiner als 2x (Das Vorzeichen wird mit berücksichtigt. Entscheidend ist also die Position auf dem Zahlenstrahl und nicht nur der absolute Betrag.)

${\begin{aligned}-6x+8&=2x\quad \quad |+6x\\-6x+8+6x&=2x+6x\\8&=8x\end{aligned}}$

3.) Auf der Seite mit der Unbekannten die Konstanten mittels Addition oder Subtraktion „beseitigen“: entfällt

4.) Den Faktor (Koeffizient) vor der Variable mittels Division wegmachen.

${\begin{aligned}8&=8x\quad \quad |:8\\{\frac {8}{8}}&={\frac {8\cdot x}{8}}\\1&=x\end{aligned}}$

---

$2x+7=0$

In dieser Gleichung ist „7“ die Konstante und „2x“ die Variable

---

$11x+3=2x+4$

Variable + Konstante = Variable + Konstante // die kleinere Variable muss von der rechten auf die linke Gleichungsseite gebracht werden:

Variable + Konstante = Konstante // die Konstante auf der Seite der Variablen muss von der linken auf die rechte Gleichungsseite gebracht werden:

Variable = Konstante

BM2473

$9x-8=0$

a = 9; b = -8

1.) Beide Seiten der Gleichung unabhängig voneinander vereinfachen.

2.) Falls auf beiden Seiten der Gleichung eine Unbekannte steht, dann die „kleinere“ Variable mittels Addition oder Subtraktion „beseitigen“.

Schritte 1 und 2 entfallen.

3.) Auf der Seite mit der Unbekannten die Konstanten mittels Addition oder Subtraktion „beseitigen“

${\begin{aligned}9x-8&=0\quad \quad |+8\\9x-8+8&=8\\9x&=8\end{aligned}}$

4.) Den Faktor (Koeffizient) vor der Variable mittels Division wegmachen.

${\begin{aligned}9x&=8\quad \quad |:9\\x&={\frac {8}{9}}\end{aligned}}$

BM2474

$21+3x+8x+7=0$

Schritt 1b) Ähnliche Terme zusammenfassen

${\begin{aligned}21+3x+8x+7&=0\quad \quad |{\text{umstellen}}\\3x+8x+7+21&=0\quad \quad |{\text{zusammenfassen}}\\11x+28&=0\end{aligned}}$

Wie lautet die Lösung?

Lösung BM2474 - 1
${\begin{aligned}21+3x+8x+7&=0\quad \quad |{\text{umstellen}}\\11x+28&=0\quad \quad |-28|:11\\x&=-{\frac {28}{11}}\end{aligned}}$

---

$3(2x+5)=21$

Wie lautet das Ergebnis?

Rechenprobe nicht vergessen!

Lösung BM2474 - 2
x = 1

---

$2x-3(x+2)=9$

Wie lautet das Ergebnis?

Rechenprobe nicht vergessen!

Lösung BM2474 - 3
x = -15 Die Lösung kann man auch mit Hilfe von www.wolframalpha.com finden.

---

$5x+7=2x+8$

Wie lautet das Ergebnis?

Rechenprobe nicht vergessen!

Lösung BM2474 - 4
$x={\frac {1}{3}}$

BM2475

$8=5+3x$

Wie lautet das Ergebnis?

Rechenprobe nicht vergessen!

Lösung BM2474 - 1
x = 1

---

$-13x+2=22-3x$

Wie lautet das Ergebnis?

Rechenprobe nicht vergessen!

Lösung BM2474 - 2
x = -2

---

$6+2(x-7)=10-3(x-3)$

Wie lautet das Ergebnis?

Rechenprobe nicht vergessen!

Lösung BM2474 - 3
$x={\frac {27}{5}}$

---

$-(x+4)+(3x+1)=-2(x+1)$

Wie lautet das Ergebnis?

Rechenprobe nicht vergessen!

Lösung BM2474 - 4
$x={\frac {1}{4}}$

BM2476

Lineare Gleichungen mit Brüchen lösen

---

Algorithmus:

1.) alle Terme als Brüche schreiben

2.) das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) finden (für beiden Seiten zusammen)

3.) jeden Term mit dem kgV multiplizieren

4.) Gleichung vereinfachen

---

Beispiel:

${\begin{aligned}-{\frac {3}{8}}x+{\frac {1}{4}}&={\frac {1}{8}}\quad \quad |1.)\quad {\text{als Bruch schreiben}}\\{\frac {-3x}{8}}x+{\frac {1}{4}}&={\frac {1}{8}}\quad \quad |2.)\quad {\text{kgV ist 8}}\\{\frac {-3x}{8}}+{\frac {1}{4}}&={\frac {1}{8}}\quad \quad |3.)\quad \cdot 8\\8({\frac {-3x}{8}}+{\frac {1}{4}})&=8({\frac {1}{8}})\quad \quad |4.)\quad {\text{vereinfachen}}\\{\frac {8\cdot (-3x)}{8}}+{\frac {8}{4}}&={\frac {8}{8}}\\-3x+2&=1\quad \quad |\quad {\text{Den Rest bitte selbstaendig loesen!}}\end{aligned}}$

Lösung BM2476
${\begin{aligned}-{\frac {3}{8}}x+{\frac {1}{4}}&={\frac {1}{8}}\quad \quad |{\text{ohne Brueche}}\\-3x+2&=1\quad \quad |-2\\-3x&=-1\quad \quad |:(-3)\\x&={\frac {-1}{-3}}\quad \quad |:(-3)\\x&={\frac {1}{3}}\end{aligned}}$

Alternativer Lösungsweg BM2476

${\begin{aligned}-{\frac {3}{8}}x+{\frac {1}{4}}&={\frac {1}{8}}\quad \quad |-{\frac {1}{4}}\\{\frac {-3x}{8}}&={\frac {1}{8}}-{\frac {1}{4}}\\{\frac {-3x}{8}}&={\frac {1}{8}}-{\frac {2}{8}}\\{\frac {-3x}{8}}&={\frac {1-2}{8}}\\{\frac {-3x}{8}}&=-{\frac {1}{8}}\quad \quad |\cdot 8\\-3x&=-{\frac {8}{8}}\\-3x&=-1\quad \quad |:(-3)\\x&={\frac {-1}{-3}}\quad \quad |:(-3)\\x&={\frac {1}{3}}\end{aligned}}$

BM2477

Löse!

${\frac {1}{3}}x+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{6}}-x$

Lösung BM2477

${\begin{aligned}{\frac {1}{3}}x+{\frac {1}{4}}&={\frac {1}{6}}-x\quad \quad |{\text{alles als Bruch schreiben}}\\&\quad \quad {\text{kgV bestimmen; kgV ist 12}}\\{\frac {x}{3}}+{\frac {1}{4}}&={\frac {1}{6}}-{\frac {x}{1}}\quad \quad |\quad \cdot 12\\{\frac {12x}{3}}+{\frac {12}{4}}&={\frac {12}{6}}-{\frac {12x}{1}}\quad \quad |\quad {\text{kuerzen}}\\4x+3&=2-12x\quad \quad |\quad +12x\\16x+3&=2\quad \quad |\quad +12x\\16x+3&=2\quad \quad |\quad -3\\16x&=-1\quad \quad |\quad :16\\x&=-{\frac {1}{16}}\end{aligned}}$

BM2478

Lineare Gleichungen mit Dezimalzahlen lösen

„Kommazahlen“ kann man als Brüche mit dem Nenner 10; 100 oder 1000 (usw.) betrachten. Es sind also Brüche, deren Nenner ein Vielfaches von 10 ist.

$17,65$ ist das Gleich wie $\textstyle {\frac {1765}{100}}$

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Algorithmus:

1.) Finde den Term mit den meisten Nachkommastellen!

2.) Verschiebe das Komma dieser Zahl um so viele Stellen nach rechts bis die Zahl ohne Nachkommaselle ist. Dazu wird die gesamte Gleichung auf beiden Seiten mit einem Vielfachen von Zehn multipliziert. Dadurch werden natürlich auch alle anderen Zahln - ob mit oder ohne Nachkommastelle - vergrößert.

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Beispiel:

$-95x-0,05=10,5x+1,05$

Lsöung:

1.) Finde den Term mit den meisten Nachkommastellen!

Das ist $0,05$ mit 2 Nachkommastellen. Ebenso hat $1,05$ zwei Nachkommastellen.

2.) Multipliziere die ganze Gleichung mit $100$, so dass sich das Komma bei allen Zahlen um zwei Stellen nach rechts verschiebt und somit nur noch ganze Zahlen in der Gleichung sind.

Wir erinnern uns, dass $95$ das Gleiche ist, wie $00095,000$.

${\begin{aligned}-95x-0,05&=10,5x+1,05\quad \quad |\cdot 100\\100(-95x-0,05)&=100(10,5x+1,05)\quad \quad |{\text{ausmultiplizieren}}\\-9500x-5&=1050x+105\end{aligned}}$

Den Rest bitte selbständig lösen!

Lösung BM2478
${\begin{aligned}-95x-0,05&=10,5x+1,05\quad \quad |{\text{Kommas beseitigen}}\\-9500x-5&=1050x+105\quad \quad |+9500x\\-5&=10550x+105\quad \quad |-105\\-110&=10550x\quad \quad |:10550\\-{\frac {110}{10550}}&=10550x\quad \quad |{\text{kuerzen}}\\-{\frac {11}{1055}}&=x\quad \quad |{\text{Seiten vertauschen}}\\x&=-{\frac {11}{1055}}\\x&=0.01042654...\end{aligned}}$

BM2479

Löse!

$0,04x-0,03=0,02x+1$

Lösung BM2479
${\begin{aligned}0,04x-0,03&=0,02x+1\quad \quad |\cdot 100\\4x-3&=2x+100\quad \quad |-2x\\2x-3&=100\quad \quad |+3\\2x&=103\quad \quad |:2\\x&={\frac {103}{2}}\\x&=51{,}5\end{aligned}}$

BM2480

Lineare Gleichungen, die keine Lösung haben. (Gleichungen, die Null Lösungen haben.)

Lineare Gleichungen mit unendlich vielen Lösungen.

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${\begin{aligned}8x&=0\quad \quad |:8\\x&={\frac {0}{8}}\\x&=0\end{aligned}}$

Diese Lösung ist eindeutig. Man kann für diese Gleichung nicht sagen, dass die Gleichung Null Lösungen hat.

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Wir erinnern uns:

${\begin{aligned}0\cdot a&=0\quad \quad |:a\\0&={\frac {0}{a}}\end{aligned}}$

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${\begin{aligned}4(x+2)-2(2x+3)&=10\quad \quad |{\text{ausmultiplizieren}}\\(4x+8)-(4x+6)&=10\\4x+8-4x-6&=10\\8-6&=10\\2&=10\end{aligned}}$

Das kann nicht wahr sein. Das kann nicht stimmen, denn 2 ≠ 10.

Die Gleichung ist als falsch.

Die Gleichung hat KEINE Lösung.

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${\begin{aligned}2x-(x+5)&=x-5\quad \quad |{\text{ausmultiplizieren}}\\2x-x-5&=x-5\\x-5&=x-5\quad \quad |-x\\-5&=-5\end{aligned}}$

Das ist immer wahr.

Das ist für alle x wahr.

Das ist sowohl für x=1 oder x=105 wahr und für alle anderen Werte von x.

Diese Gleichung hat UNENDLICH VIELE Lösungen.

BM2481 - BM2490

BM2481

Rechne!

${\frac {x}{5}}=x-24$

Lösung BM2481-1
${\begin{aligned}\quad \quad &|\quad \cdot 5\\\quad \quad &|\quad -x\\\quad \quad &|\quad +120\\\quad \quad &|\quad :4\\\quad x=30\end{aligned}}$

---

$5x=24+2x$

Lösung BM2481-2
${\begin{aligned}\quad \quad &|\quad -2x\\\quad \quad &|\quad :3\\\quad x=8\end{aligned}}$

---

${\frac {2x-2}{5}}=4$

Lösung BM2481-3
${\begin{aligned}\quad \quad &|\quad \cdot 5\\\quad \quad &|\quad +2\\\quad \quad &|\quad :2\\\quad x=11\end{aligned}}$

BM2482

Textaufgabe:

Die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen ist minus 123. Wie lauten diese drei Zahlen?

(Montag, Dienstag und Mittwoch sind drei aufeinanderfolgende Wochentage.)

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1. Zahl + 2. Zahl + 3. Zahl = -123

Aufeinanderfolgend Zahlen unterscheiden sich durch „+1“ zur vorhergehenden Zahl.

${\begin{aligned}(x)+(x+1)+(x+2)&=-123\\x+x+1+x+2&=-123\\3x+3&=-123\quad \quad |\quad -3\\3x&=-126\quad \quad |\quad :3\\x&=-{\frac {126}{3}}x&=-42\end{aligned}}$

x = - 42

Das ist aber noch nicht die Antwort auf die Frage: „Wie lauten diese drei Zahlen?“

1. Zahl + 2. Zahl + 3. Zahl = -123

x + (x+1) + (x+2) = -123

-42 + (-42+1) + (-42+2) = -123

Antwort: „Die drei Zahlen lauten -42; -41 und - 40.“

BM2483

Taste oben rechts: Minus als Vorzeichen; Taste unten rechts (zweite Taste von unten): Minus als Rechenzeichen

Vorzeichen und Rechenzeichen

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Eine Zahl, die größer als Null ist wie beispielsweise 3, nennt man positiv; ist sie kleiner als Null wie beispielsweise −3, nennt man sie negativ. Positive Zahlen tragen ein Pluszeichen (+) und negative Zahlen ein Minuszeichen (−) als Vorzeichen. Das Pluszeichen wird beim Notieren der Zahl normalerweise weggelassen. Die Zahl Null ist weder positiv noch negativ.

Diese Unterscheidung gilt nicht nur für ganze Zahlen, sondern auch für anderen Zahlenbereiche, wie die reellen oder rationalen Zahlen, nicht jedoch für komplexe Zahlen.

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Darstellung: Positive Zahlen werden ohne Vorzeichen oder mit einem Pluszeichen, negative Zahlen mit einem Minuszeichen gekennzeichnet. Das Vorzeichen wird ohne Leerraum direkt an die erste Ziffer angeschlossen.

Auf der Zahlengeraden ist der Bereich der positiven Zahlen spiegelsymmetrisch zum Bereich der negativen Zahlen. Der Abstand einer Zahl a zur 0 ist gleich dem Abstand der 0 zur Zahl −a und wird Betrag der Zahl genannt.

Das Vorzeichen weist eine Zahl als positiv oder negativ aus.

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Gegenzahl: Die Zahl −a heißt Gegenzahl zu a; a ist umgekehrt Gegenzahl zu −a. 0 ist seine eigene Gegenzahl.

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Betrag: Der Betrag einer Zahl ist gleich dem Abstand der Zahl zur Zahl 0. Der Betrag einer Zahl a ist gleich dem Betrag ihrer Gegenzahl −a.

Minus mal Minus gleich Plus:

Wenn man zwei negative oder zwei positive Zahlen miteinander multipliziert, erhält man stets eine positive Zahl. Multipliziert man hingegen eine positive mit einer negativen Zahl, so ist das Ergebnis stets negativ.

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negative Zahlen

-42 (sprich: „minus 42“)

x - 42 (sprich: „x minus 42“)

x + (-42) (sprich: „x plus KLammer auf minus 42 Klammer zu“)

Bei -42 (sprich: „minus 42“) ist das „-“ ein Vorzeichen.

Bei x - 42 (sprich: „x minus 42“) ist das Minuszeichen ein Rechenzeichen.

Ein Vorzeichen, wie zum Beispiel bei der Zahl „+42“ oder „-13“, beschreibt, ob eine Zahl positiv oder negativ ist.

BM2484

Bild 1, Aufgabe: Minus-Taste. Finde die Taste für das Vorzeichen! Finde die Taste für das Rechenzeichen.

Bild 2, Aufgabe: Finde die beiden Tasten für das Minuszeichen! Welche Taste ist das Rechenzeichen?

Bild 3, Aufgabe: Finde die beiden Tasten für das Minuszeichen!

Das Minuszeichen als Rechenzeichen

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Rechenzeichen:

Das Minuszeichen als Rechenzeichen steht zwischen zwei Zahlen. Ein Rechenzeichen ist ein Operationszeichen, das die Art der Rechenoperation (Minusrechnung bei Minuszeichen) von zwei Zahlen vorschreibt. Wir sprechen von einem binären Rechenzeichen.

Vorzeichen:

Man kann auch davon sprechen, dass ein Vorzeichen die Eigenschaft der Zahl bestimmt.

Das Minuszeichen als Vorzeichen modifiziert die eine Zahl vor der es steht. Das Minuszeichen ist in diesem Fall ein unärer Operator. Das unäre Minus ist in der Mathematik ein einstelliger Operator, der das Negative einer Zahl zurückliefert.

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Es ist also notwendig zu unterscheiden, ob es sich beim Minuszeichen nun um ein Vorzeichen oder ein Rechenzeichen handelt. Das Gleiche gilt für das Pluszeichen, das aber als Vorzeichen meistens weggelassen wird.

Beim eigentlichen Rechnen macht es praktisch aber keinen großen Unterschied, ob das Minuszeichen ein Vorzeichen oder ein Rechenzeichen ist.

Trotzdem haben viele Taschenrechner noch eine separate Tasten für das Minus als Vorzeichen. (siehe Bild oben)

Das unäre Minus wird üblicherweise mit dem gleichen Zeichen wie das binäre Minus der Subtraktion geschrieben.

Lediglich in Programmiersprachen ist die Unterscheidung zwischen unärem und binärem Minus wichtig, da das unäre Minus eine höhere Bindungsstärke (Operatorpriorität) besitzt.

Diese unterschiedliche Bindungsstärke gilt jedoch nicht in der Mathematik, weswegen dort das unäre Minus meist geklammert werden muss.

Beispiel:

$-x^{n}\,$ bedeutet $-\left(x^{n}\right)$. Meint man $(-x)^{n}\,$, muss dies explizit geklammert werden.

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Zur besseren Lesbarkeit dürfen in Rechenausdrücken keine zwei Plus- oder Minuszeichen hintereinander kommen. Es werden entsprechend Klammern gesetzt.

Beispiel:

6 − (−2) − (+3)

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Bild 5: „Plus-Minus-Taste“ (+/-)

Die „Plus-Minus-Taste“ auf dem Taschenrechner kehrt das Vorzeichen der angezeigten Zahl um. Man git als zuerst die Zahl ein (z. B. 23), die eine positive Zahl ist (das Plus-Vorzeichen wird nicht angezeigt). Dann wird die „Plus-Minus-Taste“ gedrückt, was das positive Vorzeichen in ein negatives Vorzeichen umwandelt und somit aus der „+23“ eine „-23“ macht.

Bei einigen Taschenrechnermodellen muss das Vorzeichen vor der Eingabe der Zahl gedrückt werden.

Beispiel für das Rechnen mit dem Taschenrechner mit der „Plus-Minus-Taste“:

327,4 - (45 * 0,34 * 46,39)

Zuerst rechnet man 45 * 0,34 * 46,39 = 709,767

Bei diesem Zwischenergebnis drehen wir das Vorzeichen mit der „Plus-Minus-Taste“ um und erhalten „-709,767“.

Damit rechnen wir gleich weiter: -709,767 + 327,4 = -382,367. Ein alternativer Rechenweg wäre das Zwischenergebnis „709,767“ kurzzeitig im Speicher des Taschenrechners abzulegen.

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In einigen Sprachen z. B. Englisch wird sprachlich zwischen dem Minus als Vorzeichen und dem Minus als Rechenzeichen unterschieden. In der deutschen Sprache gibt es diese sprachliche Unterscheidung nicht. Notfalls muss zur Klarheit die Klammern mit vorgelesen werden.

3 - (-2) = +5 (sprich: drei minus minus zwei ist gleich plus fünf; ODER: drei minus, Klammer auf, minus zwei, Klammer zu, ist gleich plus fünf)

BM2485

Nochmals die Textaufgabe der Übung BM2482, diesmal aber in abgewandelter Form:

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Die Summe dreier aufeinanderfolgender gerader Zahlen ist minus 123. Wie lauten diese drei Zahlen?

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Lösung:

Das Doppelte einer jeden ganzen Zahl (2x) ist immer eine gerade Zahl,

denn 2x ist immer durch 2 teilbar (Definition der geraden Zahl: sie ist ohne Rest durch 2 teilbar. Hier eine schönere Definition: Eine ganze Zahl heißt gerade, wenn sie ohne Rest durch zwei teilbar ist.)

$\textstyle {\frac {2x}{2}}=x$

Man muss im Antwortsatz nur aufpassen, dass dann die gesuchte Zahl nicht x ist, sondern 2x.

Die nachfolgende Zahl nach der geraden Zahl „2x“ ist um „+2“ größer, also „2x + 2“.

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1. gerade Zahl + 2. gerade Zahl + 3. gerade Zahl = -123

${\begin{aligned}(2x)+(2x+2)+(2x+4)&=-123\\2x+2x+2+2x+4&=-123\\6x+6&=-123\quad \quad |\quad -6\\6x&=-129\quad \quad |\quad :6\\x&=-{\frac {129}{6}}\quad \quad |\quad {\text{mit 3 kuerzen}}\\x&=-{\frac {43}{2}}\quad \quad |\quad {\text{mit 3 kuerzen}}\end{aligned}}$

x = -43/2 = -21,5 (Das ist keine ganze Zahl. Das Doppelte dieser (-43) Zahl ist auch keine gerade Zahl. Also ist die Lösungsmenge die leere Menge. Es gibt keine Lösung für diese Aufgabe. Die Summe dreier aufeinanderfolgender gerader Zahlen kann nicht -123 sein. Niemals!)

Lösung: { }

BM2486

Hier noch eine weitere Variation der Textaufgabe der Übung BM2482m:

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Die Summe dreier aufeinanderfolgender ungerader Zahlen ist minus 123. Wie lauten diese drei Zahlen?

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Lösung:

Jede ungerade Zahl kann man als „2x + 1“ schreiben, also als den Nachfolger (+1) einer geraden Zahl (2x).

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1. ungerade Zahl + 2. ungerade Zahl + 3. ungerade Zahl = -123

${\begin{aligned}(2x+1)+(2x+1+2)+(2x+1+4)&=-123\\2x+1+2x+1+2+2x+1+4&=-123\\6x+9&=-123\quad \quad |\quad -9\\6x&=-132\quad \quad |\quad :6\\x&=-{\frac {132}{6}}\quad \quad |\quad {\text{mit 3 kuerzen}}\\x&=-22\end{aligned}}$

x = -22

Die erste ungerade Zahl ist also $2\cdot (-22)+1$ also -43

Die drei aufeinanderfolgenden ungerader Zahlen, die die Summe -123 ergeben sind: -43; -41 und -39

Probe:

$(-43)+(-41)+(-39)=-123$

BM2487

Welche Zahlen lassen sich als Summe von drei aufeinander folgenden Zahlen darstellen?

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Beispiel:

${\begin{aligned}1+2+3&=6\\2+3+4&=9\\3+4+5&=12\\4+5+6&=15\\5+6+7&=18\end{aligned}}$

Ein Muster ist zu erkennen und gibt Anlass zu einer ersten Vermutung: Die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen ist durch 3 teilbar. (9; 12; 15; 18 das ist die Dreierreihe.

Auch für größere Zahlen scheint das zu stimmen:

${\begin{aligned}155+156+157&=468\quad \quad |\quad (468:3=156)\\2079+2080+2081&=6240\quad \quad |\quad (6240:3=2080)\\337+338+339&=1014\quad \quad |\quad (1014:3=338)\end{aligned}}$

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Das Ergebnis dieser Summen dreier aufeinanderfolgender Zahlen ist durch 3 teilbar. Das sieht man daran, dass bei der Division durch 3 nur der Rest Null bleibt.

Bei dieser Division durch 3 kommt übrigens jeweils die mittlere Zahl raus. Das ist ganz normal, denn so wird der Mittelwert von mehreren Zahlen ermittelt:

(a + b + c) : (Anzahl der Werte) = Mittelwert (arithmetisches Mittel)

---

Dieses Wissen könnte man auch nutzen, um die Textaufgabe mittels eines ganz anderen Rechenweges zu lösen:

Die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen ist minus 123. Wie lauten diese drei Zahlen?

Lösung:

Wir dividieren -123 durch 3 und erhalten so den Mittelwert, der identisch ist mit der mittleren Zahl.

${\frac {-123}{3}}=-41$

Die drei Zahlen lauten also -42; - 41 und - 40.

Für mathematische Probleme gibt es oft ganz verschiedene Rechenweg, die alle zum gleichen Ergebnis führen.

„Viele Wege führ'n nach Rom.“

BM2488

Zurück zur Frage, ob die Vermutung stimmt, dass die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen durch 3 teilbar ist.

Wir wollen nochmals drei aufeinanderfolgende Zahlen darstellen:

$(x)+(x+1)+(x+2)$

Man könnte drei aufeinanderfolgende Zahlen aber auch darstellen, indem man die mittlere Zahl als x bezeichnet:

$(a-1)+(a)+(a+1)$

Das können wir umstellen und vereinfachen:

$a-1+a+a+1=3a$

Die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen ist also immer das Dreifache der mittleren Zahl.

Und das Dreifache einer Zahl ist immer durch 3 teilbar.

$\textstyle {\frac {3a}{3}}=a$ (ohne Rest; Rest gleich Null)

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Natürlich kann man das auch mit der obigen Darstellung errechnen:

$(x)+(x+1)+(x+2)=3x+3=3(x+1)$

Auch hier haben wir den Faktor 3, der den Ausdruck „3(x+1)“ automatisch durch drei teilbar macht.

$\textstyle {\frac {3(x+1}{3}}=(x+1)$

BM2489

Textaufgabe:

Nachdem er 20 kg abgenommen hatte, wog er noch 55 kg mehr, als $\textstyle {\frac {1}{4}}$ seines ursprünglichen Gewichts. Finde das ursprüngliche Gewicht!

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Überführung der Textaufgabe in eine Gleichung:

„Nachdem er 20 kg abgenommen hatte, wog er ...“

$g-20=...$

(hierbei ist g das ursprüngliche Gewicht)

(Variablen in Gleichungen bestehen lediglich aus einem einzigen Buchstaben. Nur in Computerprogrammen werden ganze Worte als Variablen verwendet.)

Nach dem Abnehmen wiegt er noch einen Bruchteil des Gewichts ($\textstyle {\frac {1}{4}}$)

$\textstyle ...={\frac {1}{4}}g+55$

„ ... wog er noch 55 kg mehr, als ... “

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Die gesamt Gleichung lautet also:

$\textstyle g-20={\frac {1}{4}}g+55$

Da die Gleichung einen Bruch enthält, müssen wir das kgV finden (das ist 4) und damit die gesamt Gleichung multiplizieren.

${\begin{aligned}g-20&={\frac {1}{4}}g+55\quad \quad |\quad \cdot 4\\4g-80&=g+220\quad \quad |\quad -g\\3g-80&=220\quad \quad |\quad +80\\3g&=300\quad \quad |\quad :3\\g&=100\end{aligned}}$

Antwort: Das ursprüngliche Gewicht betrug 100 kg.

BM2490

Kapitänssyndrom

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Unter Kapitänssyndrom oder Kapitänssymptomatik versteht man das Phänomen, dass viele Lernende in der Mathematik versuchen, Sachaufgaben – sogenannte Kapitänsaufgaben – zu lösen, die sachlich nicht erschlossen sind, d. h. die anhand des angegebenen Sachverhaltes gar nicht lösbar sind. Dabei werden Zahlen aus dem Aufgabentext unabhängig vom Kontext mit Operationszeichen verknüpft und das Rechenergebnis als Lösung angegeben.

Der Name Kapitänssyndrom bezieht sich auf eine Aufgabenstellung einer Untersuchung über dieses Phänomen.

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Forschungsergebnisse:

Eine Arbeitsgruppe über Elementarunterricht an einem Forschungsinstitut von Grenoble untersuchte Kinder aus der zweiten und dritten Klasse. Sie forderte die Kinder auf, folgende Frage zu beantworten: „Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?“ 76 der befragten 97 Schüler beantworteten die Frage, indem sie die angegebenen Zahlen der Aufgabenstellung in irgendeiner Weise miteinander kombinierten und eine Lösung auf die Frage angaben, obwohl es gar keine gibt. Dieses Verhalten zeigte sich in mehreren ähnlich aufgebauten Fragestellungen.

Dabei wurde auch beobachtet, dass Kinder sogar Rechenoperationen durchführten, wenn die Lösung bereits in der Frage ersichtlich war, wie etwa bei der Frage „Ein 27 Jahre alter Hirte hat 25 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Hirte?“. Je älter die Kinder sind, desto häufiger führen sie Rechenoperationen zu Kapitänsaufgaben durch.

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Hintergrund:

Anlass der Grenobler Untersuchung war ein Brief von 1841 des französischen Autors Gustave Flaubert an seine Schwester Caroline, in dem er die Frage stellt:

Ein von Boston kommendes mit Baumwolle beladenes Schiff von 200

Registertonnen segelt nach LeHavre, auf der Back befindet sich

ein Schiffsjunge, zwölf Passagiere sind an Bord,

der Wind steht Ostnordost

die Schiffsuhr zeigt viertel nach drei am Nachmittag und es ist Mai...

Wie alt ist der Kapitän?

BM2491 - BM2500

BM2491

Prozentrechnung

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Prozent wird in deutschen Texten, besonders im Finanz- und Bankbvereich auch als v. H. geschrieben.

v. H. bedeutes „von Hundert“

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1% bedeutet $\textstyle {\frac {1}{100}}$ oder auch 0,01

Das Prozent-Symbol lässt sich durch $\textstyle {\frac {1}{100}}$ oder 0,01 ersetzen.

27 % bedeutet also $\textstyle {\frac {27}{100}}$ und das ist $0,27$.

Das Prozent wurde also in einen Bruch umgewandelt.

Oder:

$\textstyle 27\%=27\cdot 0,01=0,27$.

Die Multiplikation mit 0,01 ist äquivalent zur der Division durch 100.

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6,9 % von unserem Grundwert sind

$\textstyle 6,9\%={\frac {6,9}{100}}={\frac {69}{1000}}$

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0,02 % von 1 sind

$\textstyle 0,02\%={\frac {0,02}{100}}={\frac {2}{10.000}}={\frac {1}{5000}}$

oder

$\textstyle 0,02\%=0,02\cdot 0,01=0,0002$

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329 %

$\textstyle 329\%={\frac {329}{100}}=3,29$

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100 %

$\textstyle 100\%={\frac {100}{100}}=1$

BM2492

Prozentrechnung in die andere Richtung

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Wie viel Prozent sind 0,397?

Wir wollen also eine Dezimalzahl in einen Prozentsatz umwandeln. Das geht genau anders rum.

$\textstyle 0,397=0,397\cdot 100\%=39,7\%$

Wenn 1 unseren 100 % entspricht, dann entspricht 0,397 genau 39,7 %

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Wie viel Prozent sind 25,1?

$\textstyle 25,1=25,1\cdot 100\%=2510\%$

BM2493

Änderung des Prozentsatzes p %

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Zunahme des Prozentsatzes

bzw. Abnahme des Prozentsatzes

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Aufgabe:

Der Ankaufpreis für Messing-Schrott ist von 2,95 USD/kg auf 2,15 USD/kg gefallen. Um wie viel Prozent ist der Ankaufpreis gefallen?

(USD = US-Dollar)

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Algorithmus:

1.) Differenz finden (neu - alt). NEU minus ALT, nie umgekehrt.

2.) Quotient bilden: $\textstyle {\frac {\text{Differenz}}{\text{ALT}}}$

3.) in % umrechnen

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Lösung: Dazu errechen wir erst mal die Differenz in USD.

NEU minus ALT

1.) $\textstyle 2,15-2,95=-0,80$

Das Minuszeichen bei „-0,80“ zeigt uns an, dass der Preis gefallen ist.

Deshalb rechnen wir „NEU minus ALT“ und nicht „ALT minus NEU“. Das würde uns zwar auch die Differenz geben, aber mit umgekehrtem Vorzeichen. Uns interessiert aber, wie sich NEU im Vergleich zu Vorher (also zu ALT) verändert hat.

Unser ALT ist 100 %, das ist unser Ausgangspunkt. Wir sollen nun die Änderung in Prozent finden, bezogen auf den Ausgangswert.

2.) Quotient bilden: $\textstyle {\frac {\text{Differenz}}{\text{ALT}}}$

$\textstyle {\frac {-0,80}{2,95}}=-0,271$

3.) in % umrechnen

$-0,271\cdot 100\%=-27,1$

Antwort: Der Preis ist um 27,1 % gefallen.

BM2494

Das Kleid wurde von 200 EUR auf 100 EUR runtergesetzt.

1.) Differenz: 100 EUR

2.) 100 : 200 = 0,5

3.) 0,5 * 100 % = 50 %

Der Preis wurde um 50 % runtergesetzt.

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Der Aktienkurs ist von 10 auf 9 Euro je Aktie gefallen.

Er ist also um 1 Euro gefallen.

1 Euro ist der zehnte Teil von 10, also 10 % von 10.

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Die Passagierzahlen stiegen von 60.000 auf 80.000 Passagiere.

1.) Differenz: +20.000

2.) Diff./ALT = 20.000/60.000 = 0,333

3.) 0,333 * 100 % = 33,3 %

Die Passagierzahlen sind um 33 % gestiegen.

BM2495

Eine Steigerung von 10 auf 11 ist eine Steigerung um 10 %.

Umgekehrt ist aber eine Senkung von 11 auf 10 NICHT eine Senkung um 10 %.

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Wie viel Prozent ist eine Senkung von 11 auf 10?

1.) Differenz: NEU - ALT

10 - 11 = - 1

2.) Diff./ALT = -1 / 11 = - 0,09090

3.) - 0,09090 * 100 % = 9,09 %

Eine Senkung von 11 auf 10 ist eine Senkung um 9,09 %.

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Eine Senkung von 10 auf 9 ist eine Senkung um 10 %.

Umgekehrt ist aber eine Steigerung von 9 auf 10 NICHT eine Steigerung um 10 %.

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Wie viel Prozent ist eine Steigerung von 9 auf 10?

1.) Differenz: NEU - ALT

10 - 9 = 1

2.) Diff./ALT = 1 / 9 = 0,1111

3.) 0,1111 * 100 % = 11,11 %

Eine Steigerung von 9 auf 10 ist eine Steigerung um 11,11 %.

BM2496

Das Bundesland B hat 215.000 Einwohner. In der Landeshauptstadt S wohnen 13 % der Einwohner. Wie viel Einwohner hat die Landeshauptstadt?

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215.000 ≙ 100 %

x ≙ 13 %

13 % sind $\textstyle {\frac {13}{100}}$ also 0,13.

Eine Prozentangabe ist die Angabe eines Bruchteils.

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Zwischenüberlegung:

$\textstyle 50\%={\frac {50}{100}}={\frac {1}{2}}=0,5$

50 % der Einwohner von 215.000 sind

$\textstyle 215.000\cdot 50\%=215.000\cdot {\frac {50}{100}}=215.000\cdot {\frac {1}{2}}=107.500$

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$\textstyle 13\%von215.000=215.000\cdot {\frac {13}{100}}=27.950$

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Ein anderes Bundesland, das Bundesland A, ist wesentlich größer. In der Landeshauptstadt L dieses Bundeslandes wohnen 215.000 Einwohner. Das sind 13 % des Bundeslandes. Wie viel Einwohner hat das Bundesland?

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Die 215.000 Einwohner stellen einen Bruchteil der Einwohner des Bundeslandes dar. Sei stellen genau den „dreizehn hundertsten“ Teil oder den 0,13 (sprich: Null Komma eind dritten) Teil dar.

$\textstyle 13\%={\frac {13}{100}}=0,13$

$\textstyle 215.000=0,13\cdot x\quad \quad |\quad :0,13$

$\textstyle x={\frac {215.000}{0,13}}=1.653.846,153$

Das Bundesland hat 1.653.846 Einwohner, da es keine halben Menschen gibt.

BM2497

Entfernung, Geschwindigkeit, Zeit

$\textstyle v={\frac {s}{t}}$

$\textstyle {\text{Geschwindigkeit}}={\frac {\text{Strecke}}{\text{Zeit}}}$

Beispiel:

$\textstyle 50{\frac {km}{h}}={\frac {100km}{2h}}$

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s = Strecke; vom lat. lat. spatium (Raum, Ausdehnung, Entfernung)

t = Zeit; vom lat. tempus; eng. time (Zeit)

v = Geschwindigkeit; vom lat. velocitas; eng. velocity (Geschwindigkeit)

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$\textstyle v={\frac {s}{t}}\quad \quad |\quad \cdot t$

$\textstyle s=v\cdot t\quad \quad |\quad :v$

$\textstyle t={\frac {s}{v}}$

BM2498

Aufgabe:

Eine Joggerin läuft eine Weile lang mit einer Geschwindigkeit von 7 km/h und dann während der zweiten Wegstrecke mit einer Geschwindigkeit von 10 km/h. Insgesamt läuft sie in 1,1 Stunde eine Strecke von 8 km.

Wie lange lief sie 7 km/h bzw. 10 km/h und welche Strecken legte sie jeweils dabei zurück?

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Lösung:

s = v * t

Bild 1

Aufgaben Geschwindigkeit

Weg-Zeit-Aufgaben

Bewegungsaufgaben

Für Aufgaben zur Geschwindigkeitsberechnung empfiehlt sich die tabellarische Darstellung, ebenso wie für viele andere Arten von Textaufgaben.

Zuerst beschriften wir die Spalten mit v, s und t und die Zeilen mit den Teilstrecken und mit der Gesamtstrecke. Es kann sinnvoll sein die Einheiten dazu zu schreiben, um sie später nicht durcheinander zu hauen. Auch sind manchmal unterschiedliche Einheiten gegeben. Einheiten werden üblicherweise in der Physik in eckigen Klammern geschrieben.

Beispiel: [km] (lies: in Kilometern)

Dann tragen wir in die entsprechenden Kästchen die aus der Aufgabenstellung zu entnehmenden Werte ein. Für den oder die gesuchten Werte können wir ein Fragezeichen eintragen oder ein x (für Unbekannte).

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Bild 2

Für die 3. Zeile (rot markiert) kann man mit Hilfe der Formel $s=v\cdot t$ das $v$ errechnen, da die beiden anderen Werte gegeben sind.

${\begin{aligned}\textstyle v&={\frac {s}{t}}\\v&={\frac {8}{1,1}}\\v&=7,{\overline {27}}\end{aligned}}$

Zwei Werte in einer Zeile ermöglichen die Berechnung des dritten Wertes.

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Bild 3

In der letzten Spalte wissen wir, dass die Gesamtzeit 1,1 Stunden beträgt. Folglich muss die Summe beider Teilezeiten gleich 1,1 sein. Wir müssen nicht immer mit der Variablen x arbeiten. Man kann auch andere Variablen nehmen, die den gesuchten Wert besser repräsentieren.

Also muss $t_{1}+t_{2}=1,1$ sein.

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Bild 4

Da wir aber das Ganze auf eine einzige Variable reduzieren wollen, anstatt mit zwei verschiedenen Variablen ($t_{1}$ und $t_{2}$) zu arbeiten, müssen wir die Variable $t_{2}$ verschwinden lassen und mit Hilfe der Variablen $t_{1}$ ausdrücken.

${\begin{aligned}t_{1}+t_{2}&=1,1\quad \quad |\quad -t_{1}\\t_{2}&=1,1-t_{1}\end{aligned}}$

Wir können also in die Tabelle für das $t_{2}$ auch den Term $1,1-t_{1}$ einsetzen.

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Bild 5

Nun haben wir in der ersten Zeile zwei Werte gegeben (zwei ausgefüllte Kästchen für v und t), auch wenn der eine Wert nur als Variable ($t_{1}$) ausgedrückt ist.

Mit Hife dieser beiden Werte können wir den dritten Wert in dieser Zeile berechnen,

${\begin{aligned}s&=v\cdot t\\s&=7\cdot t_{1}\end{aligned}}$

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Bild 6

Für die 2. Zeile gilt das Gleiche, was wir soeben für die 1. Zeile gesagt haben.

${\begin{aligned}s&=v\cdot t\\s&=10\cdot (1,1-t_{1})\end{aligned}}$

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Wenn man jetzt die 1. Spalte senkrecht addiert, dann kommt man auf eine lineare Gleichung, die die Lösung enthält.

$(7\cdot t_{1})+(10*(1,1-t_{1}))=8$

Warum können wir die 1. Spalte senkrecht addieren? Weil die Summe der Teilstrecken die Gesamtstrecke ergibt.

---

Diese lineare Gleichung bitte selbständig lösen:

$(7\cdot t_{1})+(10*(1,1-t_{1}))=8$

Lösung BM2498
${\begin{aligned}(7\cdot t_{1})+(10*(1,1-t_{1}))&=8\quad \quad |\quad {\text{ausmultiplizieren}}\\7t_{1}+11-10t_{1}&=8\quad \quad |\quad t_{1}{\text{zusammenfassen}}\\-3t_{1}+11&=8\quad \quad |\quad -11\\-3t_{1}&=-3\quad \quad |\quad :3\\t_{1}&=1\end{aligned}}$

Formuliere den Antwortsatz!

Antwortsatz BM2498

Ein beliebter Fehler ist zu antworten: „t1 = 1“. Das ist aber keine verständliche Antwort. Jemand anders hat vielleicht mit der Variablen z gerechnet oder nicht in der 1. sondern in der 2. Zeile seine Variable t geschrieben und in der ersten Zeile „1,1-t“. Übrigens könnte man sich das kompliziertere t1 sparen und nur t für die unbekannte Variable schreiben, da wir ja nur mit einer Variablen rechnen. Antwort: Die Joggerin läuft die erste Teilstrecke eine Stunde lang und die zweite Teilstrecke 0,1 Stunden lang. 1,1 h - 1 h = 0,1 h

Rechne 0,1 Stunden in Minuten um!

0,1 Stunden in Minuten umrechnen BM2498

1 h = 60 min Für „1 h“ oder auch ohne die Eins, für „h“ dürfen wir „60 min“ schreiben. Wir schreiben also statt „0,1 h“ ganz einfach „0,1 * 60 min“. Wo kommt das Malzeichen her? Es ist immer da, wir schreiben es nur meist nicht mit. Aber zwischen Zahlen MUSS eine Malzeichen geschreiben werden. „1 h“ ist das Gleich wie „1 * h“. „60 min“ ist das Gleiche wie „60 * min“. --- 0,1 * 60 min = 6 min Also lautet die Antwort 0,1 Stunden sind 6 Minuten. Darauf wären wir auch gekommen, wenn wir 1 Std. durch 10 geteilt hätten. --- Schwieriger sind schon aufgaben wie: Wie viel Minuten sind 0,69 Stunden?

Berechne noch schnell, welche Teilstrecken die Joggerin in den beiden Laufabschnitten zurücklegt!

Strecke berechnen BM2498
1. Teilstrecke 1 Stunde, 7km/h 1 * 7 = 7 $\textstyle 1h\cdot 7{\frac {km}{h}}=7{\frac {h\cdot km}{h}}=7km$ --- 2. Teilstrecke Mit den 6 Minuten können wir nicht rechnen, wenn wir km/h ausrechen wollen. 0,1 Stunde, 10 km/h 0,1 h * 10 km/h = 1 km

komplette Antwort BM2498
Die Joggerin lief die 1. Teilstrecke eine Stunde lang mit 7 km/h und legte dabei 7 km zurück. Die 2. Teilstrecke lief sie 6 Minuten lang mit 10 km/h und legte dabei 1 km zurück. --- Übrigens sind 0,69 Stunden = 0,69 * 60 min = 41,4 Minuten Und wie viel Sekunden sind die 0,4 Minuten von den 41,4 Minuten? 0,4 min = 0,4 * 60 s = 24 s Also: 0,69 Stunden sind 41 Minuten und 24 Sekunden.

Probe:

Die errechneten Zahlen setzt man in die Tabelle ein und überprüft, ob die Summen in den Spalten stimmen und die Multiplikationen in den Reihen.

Probe BM2498
Bild 7 1. Zeile von rechts nach links: 1 * 7 = 7 2. Zeile von rechts nach links: 0,1 * 10 = 1 2. Zeile von rechts nach links: 1,1 * 7,27 = 7,997 (wegen der Rundung, stimmt aber trotzdem) 1. Spalte von oben nach unten: 7 + 1 = 8 2. Spalte: 7 + 10 ≠ 7,27 (ist ok, denn bei Geschwindigkeiten funktioniert die Summe NICHT) 3. Spalte 1 h + 0,1 h = 1,1 h

BM2499

Bei Geschwindigkeitaufgaben sind solche Tabellen universell einsetzbar.

Berechne selbständig die obige Aufgabe nochmals, aber mit 2 Stunden statt 1,1 Stunde.

Also:

Eine Joggerin läuft eine Weile lang mit einer Geschwindigkeit von 7 km/h und dann während der zweiten Wegstrecke mit einer Geschwindigkeit von 10 km/h. Insgesamt läuft sie in 2 Stunde eine Strecke von 8 km.

Wie lange lief sie 7 km/h bzw. 10 km/h und welche Strecken legte sie jeweils dabei zurück?

BM2500

Aufgabe:

55 Leute machen eine Zugfahrt. Eine einfache Fahrkarte kostet 84 GBP (britische Pfund). Eine ermäßigte Fahrkarte kostet halb so viel.

Wenn 15 Leute der Gruppe eine ermäßigte Fahrkarte nutzen, wie viel kosten dann alle Fahrkarten zusammen für die ganze Gruppe?

Hinweis für die Lösung BM2500
Lege, so wie in den vorhergehenden Weg-Zeit-Aufgaben, eine Tabelle an! Überlege Dir für die Einteilung der Tabelle welche Formel verwendet werden könnte!

Gleichung für die Lösung BM2500
$\textstyle Person\cdot {\frac {Preis}{Person}}=Preis$

Lösungsweg BM2500

$\textstyle Person\cdot {\frac {Preis}{Person}}=Preis$ Bild 1 Bild 1: Diese drei Zahlen (15; 55 und 84) können wir der Aufgabenstellung entnehmen. Die Zahl 42 ergibt sich auch aus der Aufgabenstellung: „Eine ermäßigte Fahrkarte kostet halb so viel wie eine normale Fahrkarte.“ 84 : 2 = 42 (rot) --- Bild 2 Bild 2: 55 - 15 = 40 (rot; 1. Spalte) 40 * 84 = 3360 (grün; 1. Zeile) 15 * 42 = 630 (blau; 2. Zeile) --- Bild 3 3360 + 630 = 3990 (rot; 3. Spalte)

Antwortsatz BM2500
Alle Fahrkarten zusammen kosten für die ganze Gruppe 3990 britische Pfund.

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