Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 097b

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Lección 097

Mathematik auf Deutsch - 47

BM2301 - BM2310

BM2301

Division unter Verwendung von Variablen

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${\begin{aligned}4{,}5a:0{,}5b&={\tfrac {4{,}5a}{0{,}5b}}\\&={\tfrac {4{,}5}{0{,}5}}\cdot {\tfrac {a}{b}}\\&=9\cdot {\tfrac {a}{b}}\\&=9{\tfrac {a}{b}}\end{aligned}}$

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Treten in Dividenden und Divisor gleiche Variablen auf, so lässt sich der Quotient weiter vereinfachen:

${\begin{aligned}2{,}1x^{2}:0{,}7x&={\tfrac {2{,}1x^{2}}{0{,}7x}}\\&={\tfrac {2{,}1}{0{,}7}}\cdot {\tfrac {x\cdot x}{x}}\\&=3\cdot x\\&=3x\end{aligned}}$

Man berechnet also einen Quotienten, indem man den Quotienten der Koeffizienten mit dem Quotienten der Variablen multipliziert.

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${\begin{aligned}(-24a^{2}):(-48a^{5})&=+{\tfrac {24a^{2}}{48a^{2}}}\quad \quad (a\neq 0)\\&={\tfrac {24}{48}}\cdot {\tfrac {a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}}\\&={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{a\cdot a\cdot a}}\\&={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{a^{3}}}\\&={\tfrac {1}{2a^{3}}}\end{aligned}}$

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Da ${\tfrac {a}{b}}\cdot c={\tfrac {a}{b\cdot c}}$ bis auf einige Ausnahmefälle NICHT gilt, müssen bei der Verwendung des Doppelpunktes als Divisionszeichen zusätzlich Klammern gesetzt werden.

Es gilt ${\tfrac {a}{b}}\cdot c=(a:b)\cdot c$ und ${\tfrac {a}{b\cdot c}}=a:(b\cdot c)$

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${\tfrac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$

${\tfrac {a^{6}}{a^{2}}}=a^{6-2}=a^{4}$

${\tfrac {a^{3}}{a^{5}}}=a^{3-5}=a^{-2}={\tfrac {1}{a^{2}}}$

BM2302

Rechne!

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a) $m:m$

b) $mn:m$

c) $(-5rs):2s$

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d) $mn:n$

e) $7m:5m$

f) $(-12a^{2}bc):{\tfrac {1}{12}}abc$

Lösung BM2302

a) $m:m=1$ --- b) ${\begin{aligned}mn:m&={\tfrac {mn}{m}}\\&=n\end{aligned}}$ --- c) ${\begin{aligned}(-5rs):2s&=-{\tfrac {5rs}{2s}}\\&=2{,}5r\end{aligned}}$ --- d) ${\begin{aligned}mn:n&=-{\tfrac {mn}{n}}\\&=m\end{aligned}}$ --- e) ${\begin{aligned}7m:5m&={\tfrac {7m}{5m}}\\&={\tfrac {7}{5}}\\&=1{\tfrac {2}{5}}\\&=1{\tfrac {4}{10}}\\&=1{,}4\end{aligned}}$ --- f) ${\begin{aligned}(-12a^{2}bc):{\tfrac {1}{12}}abc&=(-12a^{2}bc):{\tfrac {abc}{12}}\\&=(-12a^{2}bc)\cdot {\tfrac {12}{abc}}\\&=-{\tfrac {12\cdot 12\cdot a^{2}bc}{abc}}\\&=-{\tfrac {144a^{2}}{a}}\\&=-{\tfrac {144a}{1}}\\&=144a\end{aligned}}$

BM2303

Rechne!

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a) $2m:m$

b) $m^{2}:m$

c) $(-mn):n$

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d) $mn:(-n)$

e) $(-5r^{2}s^{2}):(-15r^{2}s)$

f) $(-12a^{2}b^{2}c):(-4ab^{2}c)$

Lösung BM2303

a) ${\begin{aligned}2m:m&={\tfrac {2m}{m}}\\&=2\end{aligned}}$ --- b) ${\begin{aligned}m^{2}:m&={\tfrac {m^{2}}{m}}\\&={\tfrac {m\cdot m}{m}}\\&=m\end{aligned}}$ --- c) ${\begin{aligned}(-mn):n&=-{\tfrac {mn}{n}}\\&=-m\end{aligned}}$ --- d) ${\begin{aligned}mn:(-n)&=-{\tfrac {mn}{n}}\\&=-m\end{aligned}}$ --- e) ${\begin{aligned}(-5r^{2}s^{2}):(-15r^{2}s)&={\tfrac {5r^{2}s^{2}}{15r^{2}s}}\\&={\tfrac {5}{15}}\cdot {\tfrac {r^{2}s^{2}}{r^{2}s}}\\&={\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {s}{1}}\\&={\tfrac {s}{3}}\end{aligned}}$ --- f) ${\begin{aligned}(-12a^{2}b^{2}c):(-4ab^{2}c)&={\tfrac {-12a^{2}b^{2}c}{-4ab^{2}c}}\\&={\tfrac {-12}{-4}}\cdot {\tfrac {a^{2}b^{2}c}{ab^{2}c}}\\&={\tfrac {3}{1}}\cdot {\tfrac {a}{1}}\\&=3a\end{aligned}}$

BM2304

Ausklammern

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$2a{\color {Brown}b}+3{\color {Brown}b}={\color {Brown}(}2a+3{\color {Brown})}{\color {Brown}b}$

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Die Summe $2ab+3b$ kann in ein Produkt verwandelt werden, da beide Summanden den gleichen Faktor $b$ enthalten.

$2ab+3b=b(2a+3)$

Zur Begründung wird das Distributivgesetz benutzt, nach dem gilt:

$b(2a+3)=2ab+3b$.

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Man sagt, dass der gemeinsame Faktor $b$ ausgeklammert wird. Die Glieder in der Klammer ergeben sich, indem die gegebenen Summanden durch den gemeinsamen Faktor, der ausgeklammert werden soll, dividiert werden.

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Wandle die Summe $4x+16xy$ in ein Produkt um!

1. Schritt:

Wir suchen einen gemeinsamen Faktor, der auszuklammern ist. Ein solcher Faktor ist $4x$.

2. Schritt:

Wir dividieren beide Summen durch $4x$ und bilden aus den Quotienten die Summe.

$4x:4x=1$; $16xy:4x=4y$; $1+4y$ (jeweiles $x\neq 0$)

3. Schritt:

Wir bilden aus dem gemeinsamen Faktor $4x$ und der Summe $1+4y$ das Produkt und erhalten $4x(1+4y)$.

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$4x+16xy=4x(1+4y)$

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Wenn wir nur den Faktor $x$ ausklammern, dann erhalten wir:

$4x+16xy=x(4+16y)$

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Wenn wir nur den Faktor $4$ ausklammern, dann erhalten wir:

$4x+16xy=4(x+4xy)$

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Wenn wir nur den Faktor $2$ ausklammern, dann erhalten wir:

$4x+16xy=2(2x+8xy)$

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Man sollte aber immer so viel wie möglich ausklammern:

$4x+16xy=x(4+16y)$

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Forme die Summe $xy-xv-cx+cz$ um!

1. Schritt:

Aus den ersten beiden Gliedern klammern wir den gemeinsamen Faktor $x$ aus.

$x(y-v)-cx+cz$

2. Schritt:

Aus den letzten beiden Gliedern klammern wir den gemeinsamen Faktor $c$ aus.

$x(y-v)+c(-x+z)$

Wenn wir den gemeinsamen Faktor $-c$ ausklammern würden, dann hätten wir:

$x(y-v)-c(x-z)$

Beides ist möglich.

Es gibt mehrere Möglichkeiten für die Umformung.

BM2305

Wandle in Produkte um!

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a) $0{,}7a+0{,}7b$

b) $0{,}7a+5{,}2a$

c) $0{,}67a^{2}+2{,}01a$

d) $5a^{2}b-20a^{2}b$

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e) $6h-18gh-12f$

f) $x^{2}-4x$

g) $z^{2}-z$

h) $1{,}2a+1{,}5a^{2}$

Lösung BM2305
a) $0{,}7a+0{,}7b=0{,}7(a+b)$ b) $0{,}7a+5{,}2a=a(0{,}7+5{,}2)$ c) $0{,}67a^{2}+2{,}01a=a(0{,}67a+2{,}01)$ d) $5a^{2}b-20a^{2}b=5a^{2}b(1-4)$ --- e) $6h-18gh-12f=6(h-3gh-2f)=6h(1-3g)-12f$ (Letzteres ist aber KEIN Produkt.) f) $x^{2}-4x=x(x-4)$ g) $z^{2}-z=z(z-1)$ h) $1{,}2a+1{,}5a^{2}=a(1{,}2+1{,}5a)$

BM2306

Wandle in Produkte um!

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a) $-{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}y$

b) $xz+xw$

c) $2{,}8a^{3}r^{2}-3{,}5a^{2}r$

d) $-65ux+39my$

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e) $-96m^{2}n-24mn^{2}-120m^{2}n^{2}$

f) $y^{2}-0{,}6y$

g) $4x^{2}-6x$

h) $2{,}5a^{2}+12{,}5a$

Lösung BM2306
a) $-{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}y=-{\tfrac {1}{2}}(x-y)$ b) $xz+xw=x(z+w)$ c) $2{,}8a^{3}r^{2}-3{,}5a^{2}r=0{,}7a^{2}r(4ar-5)$ d) $-65ux+39my=13(5ux+3my)$ --- e) $-96m^{2}n-24mn^{2}-120m^{2}n^{2}=$ f) $y^{2}-0{,}6y=y(y-0{,}6)$ g) $4x^{2}-6x=2x(2x-3)$ h) $2{,}5a^{2}+12{,}5a=2{,}5a(a+5)$

BM2307

Klammere so weit wie möglich gemeinsame Faktoren aus!

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a) $0{,}5x+0{,}8y-0{,}2xy+0{,}4y^{2}$

b) $3ab-2bc-cd$

c) $7a^{2}b+2ab+4ab^{2}$

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d) $12xy-9x-15y$

e) $15rs-16t-12r+12st$

f) $22ab-44a-33b+1$

Lösung BM2307

a) ${\displaystyle }$ ${\begin{aligned}0{,}5x+0{,}8y-0{,}2xy+0{,}4y^{2}&=0{,}5x-0{,}2xy+0{,}8y+0{,}4y^{2}\\&=0{,}1x(5-2y)+0{,}4y(2+y)\end{aligned}}$ --- b) ${\displaystyle }$ ${\begin{aligned}3ab-2bc-cd&=3ab-c(2b+d)\\&=b(3a-2c)-cd\end{aligned}}$ --- c) $7a^{2}b+2ab+4ab^{2}=ab(7a+2+4b)$ --- d) $12xy-9x-15y=3(4xy-3x-5y)$ --- e) ${\displaystyle }$ ${\begin{aligned}15rs-16t-12r+12st&=15rs-12r+12st-16t\\&=3r(5s-4)+4t(3s-4)\end{aligned}}$ --- f) $22ab-44a-33b+1=11(2ab-4a-3b+{\tfrac {1}{11}})$ ---

BM2308

Multiplikation unter Verwendung von Variablen

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Multipliziere die Summe von $(3a+2b-5)$ mit $(0{,}1a^{2})$!

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${\begin{aligned}(3a+2b-5)\cdot (0{,}1a^{2})&=3a\cdot (0{,}1a^{2})+2b\cdot (0{,}1a^{2})-5\cdot (0{,}1a^{2})\\&=-0{,}3a^{3}-0{,}2a^{2}b+0{,}5a^{2}\end{aligned}}$

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Einen zweigliedrigen Ausdruck nenne wir ein Binom.

Die Multiplikation zweier Binome ergibt sich aus dem Distributivgesetz und den Kommutativgesetzen.

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SATZ: Für alle rationalen Zahlen $a$, $b$, $c$ und $d$ gilt:

$(a+b)\cdot (c+d)=ac+bc+ad+bd$

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Beweis:

IN dem Produkt $(a+b)\cdot (c+d)$ setzen wir ${\color {Brown}c+d=m}$.

Nach dem Distributivgesetz gilt:

$(a+b)\cdot m=am+bm$.

Für $m$ setzen wir jetzt wieder das Binom $(c+d)$ ein:

$(a+b){\color {Brown}\cdot (c+d)}=a{\color {Brown}(c+d)}+b{\color {Brown}(c+d)}$.

Wir wenden das Kommutativgesetz der Multiplikation und das Distributivgesetz an und erhalten:

$(a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$

Wir wenden schließlich das Kommutativgesetz der Addition an und erhalten:

$(a+b)\cdot (c+d)=ac+bc+ad+bd$

w.z.b.w.

BM2309

SATZ:

Zwei Binome werden miteinander multipliziert, indem jeder Summand des ersten Faktors mit jedem Summanden des zweiten Faktors multipliziert wird und die Produkte addiert (bzw. subtrahiert) werden.

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Binom

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Ein Binom (lat. bi „zwei“; nomen „Name“) ist in der Mathematik ein Polynom mit zwei Gliedern. Genauer:

Ein Binom ist die Summe oder Differenz zweier Monome.

Beispielsweise sind

$a+b,\ x-\pi ,\ x^{2}+y^{2},\ 3ab^{5}-4c^{3},\ {\tfrac {p^{2}}{2}}-q$

Binome.

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Der Term $(a+b)^{2}$ ist kein Binom, sondern das Quadrat eines Binoms.

Die Bezeichnung „Binom“ geht auf Euklid zurück.

Erklärung zur Bezeichnung Binomische Formel: „In Buch X seiner Elemente nennt Euklid eine zweigliedrige Summe $a+b$ ἐκ δύο ὀνομάτων (ek dýo onomáton), aus zwei Namen (bestehend).“

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Beispiel für ein Polynom:

$y=2x^{4}+9x^{3}+x^{2}+7x-3{,}8$

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Rechenregeln

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Für die Multiplikation zweier Binome gelten mittels Assoziativ- und Distributivgesetz die folgenden Regeln:

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

$(a+b)(c-d)=ac-ad+bc-bd$

$(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd$

Verbal formuliert: Multipliziere jeden Term des ersten Binoms (der ersten Klammer) mit jedem Term des zweiten Binoms (der zweiten Klammer).

Folgende Sonderfälle sind als Binomische Formeln bekannt:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

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Der Binomische Lehrsatz liefert eine Darstellung für beliebig hohe Potenzen eines Binoms:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

(Lies: a plus b hoch n ist gleich die Summe über n über k mal a hoch n minus k mal b hoch k von k gleich Null bis k gleich n.)

(k ist die Laufvariable; Null ist der Startwert; n ist der Endwert)

Die Koeffizienten ${\tbinom {n}{k}}$ (lies: n über k) werden Binomialkoeffizienten genannt und können durch diese Formel definiert werden.

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Trinom

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Als Trinom bezeichnet man in der Mathematik die dreigliedrige Entsprechung zu dem bekannteren Binom. Es handelt sich also um ein Polynom, das eine Summe von drei Monomen ist. Auch der Begriff trinomische Formel als Gegenstück zu den binomischen Formeln existiert und wird im Standardfall auf eine Potenz der Art $(a+b+c)^{n}$ bezogen.

Beispiele für Trinome:

$a+b+c$,

$a^{2}+b^{2}-c^{2}$,

$3a^{2}-7ab^{3}+2ab^{4}$

Das Quadrat des Trinoms $a+b+c$ ist:

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

BM2310

Multipliziere die Summen $2a+3b$ und $4x-6y$ miteinander!

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${\begin{aligned}(2a+3b)(4x-6y)&=2a\cdot 4x&+3b\cdot 4x&-2a\cdot 6y&-3b\cdot 6y\\&=8ax&+12bx&-12ay&-18by\end{aligned}}$

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Multipliziere die Summen $2a-3(x+y)$ und $a-x$ miteinander!

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${\begin{aligned}[2a-3(x+y)]{\color {Brown}(a-x)}&={\color {Brown}a}[2a-3(x+y)]{\color {Brown}-x}[2a-3(x+y)]\\&=2a^{2}-3a(x+y)-2ax+3x(x+y)\\&=2a^{2}-3ax-3ay-2ax+3x^{2}+3xy\\&=2a^{2}-5ax-3ay+3x^{2}+3xy\end{aligned}}$

BM2311 - BM2320

BM2311

Rechne! Multipliziere aus!

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a) $(15b+6c)\cdot 4$

b) $({\tfrac {1}{2}}i-{\tfrac {1}{4}}d+0{,}4a)\cdot {\tfrac {3}{5}}p$

c) ${\tfrac {8}{3}}(6a-9y+3z)$

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d) ${\tfrac {15}{4}}x\cdot (12r-8t+4s)$

e) $(-{\tfrac {3}{5}}ab)\cdot (12a-10b-5)$

Lösung BM2311
a) $(15b+6c)\cdot 4=60b+24c$ b) $({\tfrac {1}{2}}i-{\tfrac {1}{4}}d+0{,}4a)\cdot {\tfrac {3}{5}}p={\tfrac {3}{10}}ip-{\tfrac {3}{20}}dp+{\tfrac {6}{25}}ap$ c) ${\tfrac {8}{3}}(6a-9y+3z)=16a-24y+8z$ --- d) ${\tfrac {15}{4}}x\cdot (12r-8t+4s)=45rx-30tx+15sx$ e) $(-{\tfrac {3}{5}}ab)\cdot (12a-10b-5)=-{\tfrac {36}{5}}a^{2}b+6ab^{2}+3ab$

BM2312

Rechne!

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a) $(-3x)(0{,}5r-0{,}6t)$

b) ${\tfrac {7}{8}}h\cdot (2g-2{,}1h^{2}+0{,}5hg)$

c) $3ab(5a-4a+3a)$

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d) $(8a^{3}-4a^{2}b^{2}-3ab^{2}+5b^{2})\cdot (-2a^{2})$

e) $(-7xy)\cdot (-2x+3y-4z)$

Lösung BM2312
a) $(-3x)(0{,}5r-0{,}6t)=-1{,}5rx+1{,}8tx$ b) ${\tfrac {7}{8}}h\cdot (2g-2{,}1h^{2}+0{,}5hg)={\tfrac {7}{4}}gh-{\tfrac {147}{80}}h^{3}+{\tfrac {7}{16}}h^{2}g$ c) $3ab(5a-4a+3a)=15a^{2}b-12a^{2}b+9a^{2}b$ --- d) $(8a^{3}-4a^{2}b^{2}-3ab^{2}+5b^{2})\cdot (-2a^{2})=-16a^{5}+8a^{4}b^{2}+6a^{3}b^{2}-10a^{2}b^{2}$ e) $(-7xy)\cdot (-2x+3y-4z)=14x^{2}y-21xy^{2}+28xyz$

BM2313

Multipliziere aus und fasse, wenn möglich, zusammen!

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a) $(r+s)\cdot (m+n)$

b) $(r-s)\cdot (m-n)$

c) $(5m-3n)\cdot (3m-5n)$

---

d) $(r+s)\cdot (m-n)$

e) $(r-3)\cdot (s+1)$

f) $(5x+3y)\cdot (12x-8y)$

---

g) $(r-s)\cdot (m+n)$

h) $(r-2)\cdot (r-1)$

i) $(6p-8q)\cdot (7q-3p)$

Lösung BM2313

a) $(r+s)\cdot (m+n)=rm+rn+ms+ns$ b) $(r-s)\cdot (m-n)=rm-rn-ms+ns$ c) $(5m-3n)\cdot (3m-5n)=15m^{2}-25mn-9mn+15n^{2}=15m^{2}-34mn+15n^{2}$ --- d) $(r+s)\cdot (m-n)=rm-rn+ms-ns$ e) $(r-3)\cdot (s+1)=rs+r-3s-3$ f) $(5x+3y)\cdot (12x-8y)=60x^{2}-40xy+36xy-24y^{2}=60x^{2}-4xy-24y^{2}$ --- g) $(r-s)\cdot (m+n)=rm+rn-2r+2$ h) $(r-2)\cdot (r-1)=r^{2}-r-2r+2=r^{2}-3r+2$ i) $(6p-8q)\cdot (7q-3p)=42pq-18p^{2}-56q^{2}+24pq=66pq-18p^{2}-56q^{2}$

BM2314

Multipliziere aus und fasse, wenn möglich, zusammen!

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a) $(4x-{\tfrac {1}{2}}y)(4x+{\tfrac {1}{2}}y)$

b) $(x+{\tfrac {1}{3}})(x+{\tfrac {1}{2}})$

c) $(2r-s+{\tfrac {t}{5}})(4s-2t)$

d) $(2ab-3bc-4cd)(a+b)$

---

e) $(3u-{\tfrac {1}{2}}v)(3u-{\tfrac {1}{2}}v)$

f) $(a+0{,}5)(a+0{,}2b+3)$

g) $(5a-4b-3c)(2d-e)$

h) $(-xy+3yz-z)(-x-y)$

Lösung BM2314

a) $(4x-{\tfrac {1}{2}}y)(4x+{\tfrac {1}{2}}y)=16x^{2}+2xy-2xy-{\tfrac {1}{4}}y^{2}=16x^{2}-{\tfrac {1}{4}}y^{2}$ b) $(x+{\tfrac {1}{3}})(x+{\tfrac {1}{2}})=x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1}{3}}x+{\tfrac {1}{6}}=x^{2}+{\tfrac {5}{6}}x+{\tfrac {1}{6}}$ c) $(2r-s+{\tfrac {t}{5}})(4s-2t)=8rs-4s^{2}+{\tfrac {4}{5}}st-4rt+2st-{\tfrac {2}{5}}t^{2}$ d) $(2ab-3bc-4cd)(a+b)=2a^{2}b-3abc-4acd+2ab^{2}-3b^{2}c-4bcd$ --- e) $(3u-{\tfrac {1}{2}}v)(3u-{\tfrac {1}{2}}v)=9u^{2}-{\tfrac {3}{2}}uv-{\tfrac {3}{2}}uv+{\tfrac {1}{4}}v^{2}$ f) ${\begin{aligned}(a+0{,}5)(a+0{,}2b+3)&=a^{2}+0{,}2ab+3a+0{,}5a+0{,}1b+1{,}5\\&=a^{2}+0{,}2ab+3{,}5a+0{,}1b+1{,}5\end{aligned}}$ --- g) $(5a-4b-3c)(2d-e)=10ad-8bd-6cd-5ae+4be+3ce$ h) $(-xy+3yz-z)(-x-y)=x^{2}y^{2}-3xy^{2}z+xyz+xy^{2}-3y^{2}z+yz$

BM2315

Rechne!

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a) $(2x-3y)(xy-1)$

b) $(2x-3y)(-x-1)$

c) $(2x-3y)(2-x+3y)$

---

d) $(xy-1)(-x-1)$

e) $(xy-1)(2-x+3y)$

f) $(-x-1)(2-x+3y)$

Lösung BM2315
a) $(2x-3y)(xy-1)=2x^{2}y-2x-3xy^{2}+3y$ b) $(2x-3y)(-x-1)=-2x^{2}-2x+3xy+3y$ c) ${\begin{aligned}(2x-3y)(2-x+3y)&=4x-2x^{2}+6xy-6y+3xy-9y^{2}\\&=4x-2x^{2}+9xy-6y-9y^{2}\end{aligned}}$ --- d) $(xy-1)(-x-1)=-x^{2}y-xy+x+1$ e) $(xy-1)(2-x+3y)=2xy-x^{2}y+3xy^{2}-2+x-3y$ f) ${\begin{aligned}(-x-1)(2-x+3y)&=-2x+x^{2}-3xy-2+x-3y\\&=-x+x^{2}-3xy-2-3yx\end{aligned}}$

BM2316

Zeige, dass für alle rationale Zahlen gilt:

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a) $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

b) $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

---

c) $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

d) $(-a+b)^{2}=(a-b)^{2}$

Lösung BM2316

a) $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ ${\begin{aligned}(a+b)^{2}&=(a+b)(a+b)\\&=a^{2}+ab+ab+b^{2}\\&=a^{2}+2ab+b^{2}\end{aligned}}$ --- b) $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ ${\begin{aligned}(a+b)(a-b)&=a^{2}-ab+ab-b^{2}\\&=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}$ --- c) $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ ${\begin{aligned}(a-b)^{2}&=(a-b)(a-b)\\&=a^{2}-ab-ab+b^{2}\\&=a^{2}-2ab+b^{2}\end{aligned}}$ --- d) $(-a+b)^{2}=(a-b)^{2}$ ${\begin{aligned}(-a+b)^{2}&=(-a+b)(-a+b)\\&=a^{2}-ab-ab+b^{2}\\&=a^{2}-2ab+b^{2}\\&=(a-b)^{2}\end{aligned}}$

BM2317

Zeige, dass:

---

a) das Quadrat einer ungeraden Zahl eine ungerade Zahl ist.

b) das Produkt aus zwei ungeraden Zahlen eine ungerade Zahl ist.

---

c) das Produkt einer geraden Zahl und einer ungeraden Zahl eine gerade Zahl ist. (Kein Faktor darf Null sein.)

d) die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen immer durch Drei teilbar ist.

Lösung BM2317

a) das Quadrat einer ungeraden Zahl eine ungerade Zahl ist. $(2a+1)^{2}=4a^{2}+4a+1$ $(2a)$ ist immer eine gerade Zahl, weil durch 2 teilbar. $(2a+1)$ ist immer eine ungerade Zahl, weil Nachfolger einer geraden Zahl. $(4a^{2}+4a+1)$: gerade + gerade + UNGERADE Zahl ist immer eine UNGERADE Zahl. w.z.b.w. --- b) das Produkt aus zwei ungeraden Zahlen eine ungerade Zahl ist. $(2a+1)(2b+1)=4ab+2a+2b+1$ $(4ab+2a+2b+1)$: gerade + gerade + gerade + UNGERADE Zahl ist immer eine UNGERADE Zahl. w.z.b.w. --- c) das Produkt einer geraden Zahl und einer ungeraden Zahl eine gerade Zahl ist. $(2a)(2b+1)=4ab+2a$ $(4ab+2a)$: gerade + gerade Zahl ist immer eine GERADE Zahl. w.z.b.w. --- d) die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen immer durch Drei teilbar ist. $(a)+(a+1)+(a+2)=3a+3=3(a+3)=3m$ $3m$: Das Dreifache einer Zahl ist durch 3 teilbar. w.z.b.w.

BM2318

Zeige, dass für den Flächeninhalt $A$ eines Kreisrings mit dem äußeren Durchmesser $d_{1}$ und dem inneren Durchmesser $d_{2}$ die Formel

$A={\tfrac {\pi }{4}}\cdot (d_{1}+d_{2})(d_{1}-d_{2})$

gilt!

Lösung BM2318

Kreisfläche vom großen Kreis $({d_{1}})$ : $A_{g}=\pi r^{2}={\tfrac {\pi }{4}}\cdot {d_{1}}^{2}$. Kreisfläche vom kleinen Kreis $({d_{2}})$ : $A_{k}={\tfrac {\pi }{4}}\cdot {d_{2}}^{2}$. Kreisfläche vom Ring: $A=A_{g}-A_{k}$ $A=({\tfrac {\pi }{4}}\cdot {d_{1}}^{2})-({\tfrac {\pi }{4}}\cdot {d_{2}}^{2})$ $A={\tfrac {\pi }{4}}({d_{1}}^{2}-{d_{2}}^{2})$ (Binomische Formel $(a+b)(a-b)=a^{2}-ab+ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}$ anwenden.) $A={\tfrac {\pi }{4}}({d_{1}}^{2}-d_{1}d_{2}+d_{1}d_{2}-{d_{2}}^{2})$ $A={\tfrac {\pi }{4}}\cdot (d_{1}+d_{2})(d_{1}-d_{2})$

BM2319

Gleichsetzungsverfahren:

---

Löse das folgende Gleichungssystem, bei dem folgende Gleichungen gegeben sind:

I) $5x-2y=1$

II) $6x+6y=18$

---

Vorgehen:

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf!

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf!

Setze danach beide Gleichungsseiten, die NICHT das $x$ enthalten gleich.

Löse nach $y$ auf! Rechne $y$ aus!

Setze den für $y$ ermittelten Wert in die erste Gleichung und rechne dann $x$ aus!

Setze die für $x$ und $y$ ermittelten Werte zur Kontrolle in die zweite Gleichung ein und überprüfe ob die Gleichung mit diesen Werten wahr ist.

Lösung BM2319

I) $5x-2y=1$ Die erste Gleichung nach $x$ umformen: ${\begin{aligned}5x-2y&=1\quad \quad |\quad +2y\\5x&=1+2y\quad \quad |\quad :5\\x&={\tfrac {1+2y}{5}}\\x&={\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2y}{5}}\\x&={\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}y\end{aligned}}$ Wenn wir $y$ hätten, dann hätten wir auch $x$. Haben wir aber nicht. --- II) $6x+6y=18$ Die zweite Gleichung nach derselben Variablen (wie in Schritt Eins) auflösen, also auch nach $x$: ${\begin{aligned}6x+6y&=18\quad \quad |\quad -6y\\6x&=18-6y\quad \quad |\quad :6\\x&={\tfrac {18-6y}{6}}\\x&={\tfrac {18}{6}}+{\tfrac {6y}{6}}\\x&=3-y\end{aligned}}$ Wenn wir $y$ hätten, könnte man $x$ jetzt ausrechnen. --- Die die $x$ in der umgestellten ersten Gleichung und der umgestellten zweiten Gleichung gleich sein müssen, können wir beide Gleichungen gleichsetzen. Dadurch fällt $x$ raus und wir können erste mal in Ruhe $y$ ausrechnen. Und danach können wir mit dem ermittelten $y$ auch das $x$ ausrechnen. Los geht's! I) $5x-2y=1$ I') $x={\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}y$ II) $6x+6y=18$ II') $x=3-y$ Gleichsetzung: ${\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}y=3-y$ Nach $y$ umstellen und ausrechnen: ${\begin{aligned}{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}y&=3-y\quad \quad |\quad +y\\{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}y+y&=3\\{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}y+1y&=3\\{\tfrac {1}{5}}+({\tfrac {2}{5}}+1)y&=3\\{\tfrac {1}{5}}+({\tfrac {2}{5}}+{\tfrac {5}{5}})y&=3\\{\tfrac {1}{5}}+({\tfrac {7}{5}})y&=3\\{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {7}{5}}y&=3\quad \quad |\quad -{\tfrac {1}{5}}\\{\tfrac {7}{5}}y&={\tfrac {15}{5}}-{\tfrac {1}{5}}\\{\tfrac {7}{5}}y&={\tfrac {14}{5}}\quad \quad |\quad :{\tfrac {7}{5}}\\y&={\tfrac {14}{5}}\cdot {\tfrac {5}{7}}\\y&={\tfrac {70}{35}}\\y&=2\end{aligned}}$ Jetzt haben wir schon mal $y$. Nun können wir ganz schnell auch $x$ ausrechnen. --- I) $5x-2y=1$ I') $x={\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}y$ und $y=2$ $x={\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}\cdot 2$ Da ist ein Bruch drin. Dazu haben wir jetzt keine Lust. Wir setzen unser $y=2$ lieber in die zweite Gleichung ein: II) $6x+6y=18$ II') $x=3-y$ und $y=2$ $x=3-2=1$ Lösung: $x=1$ und $y=2$ --- Nun müssen wir die Lösung nur noch überprüfen. Wie machen wir das?

Natürlich hätte man beide Gleichungen zuerst auch nach $y$ auflösen können, um dann das $y$ durch Gleichsetzung zu eliminieren.

Ob man nach $x$ oder $y$ auflöst ist gehüpft wie gesprungen. Manchmal ist die Gleichung aber bereits schön nach einer Variablen aufgelöst oder die Auflösung nach der einen Variablen ist besonders einfach oder kompliziert.

BM2320

Einsetzungsverfahren

oder Einsetzverfahren

oder Substitutionsverfahren

(substituieren = ersetzen)

---

Löse das folgende Gleichungssystem, bei dem folgende Gleichungen gegeben sind:

I) $5x-2y=1$

II) $6x+6y=18$

Wir nehmen die gleichen Gleichungen, die bei der vorherigen Übung mit dem Gleichsetzungsverfahren, um zu zeigen, dass wir auf das gleiche Ergebnis kommen.

---

Vorgehen:

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf!

Setze danach von dieser umgeformten Gleichung diejenige Seite, die kein $x$ enthält, für die Variable $x$ (also an Stelle der Variablen $x$) in die erste Gleichung ein!

Dadurch fällt das $x$ erst mal unter den Tisch und wir haben nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten, dem $y$. Auch wenn das $y$ zwei mal in der Gleichung auftaucht, so sprechen wir von einer Unbekannten, denn es ist ja jedes Mal das gleiche $y$.

1. Lösung BM2320

I) $5x-2y=1$ II) $6x+6y=18$ Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf! ${\begin{aligned}6x+6y&=18\quad \quad |\quad -6y\\6x&=18-6y\quad \quad |\quad :6\\x&={\tfrac {18-6y}{6}}\\x&=3-y\end{aligned}}$ Damit ist Schritt Eins erfüllt. --- Nun kommt der zweite Schritt: Wegen $x=3-y$ können wir in die erste Gleichung $3-y$ an die Stelle von $x$ einsetzen (daher auch der Name: „Einsetzungsverfahren“). Wir setzen das $x$ in I) ein und formen nach $y$ um: I) $5x-2y=1$ $5\cdot (3-y)-2y=1$ Nun haben wir in der Gleichung nur noch eine Unbekannte $(y)$, die wir relativ einfach ausrechnen können. ${\begin{aligned}5\cdot (3-y)-2y&=1\\15-5y-2y&=1\\15-7y&=1\quad \quad |\quad -15\\-7y&=-14\quad \quad |\quad :(-7)\\y&=2\end{aligned}}$ Mit $y=2$ haben wir die erste Lösung. --- Wenn wir $y$ haben, dann haben wir auch $x$ schon fast. II) $6x+6y=18$ II') $x=3-y$ und $y=2$ Also: $x=3-2=1$ Lösung: $x=1$ und $y=2$ --- Bitte die Lösung überprüfen!

Wir hätten auch die erste Gleichung nach $x$ umstellen können und das Ergebnis dann in die zweite Gleichung einsetzen können. Man stellt immer die eine Gleichung nach $x$ um und setzt das Ergebnis in die andere Gleichung für $x$ ein.

---

Man hätte genauso gut die eine Gleichung nach $y$ umstellen können und das Ergebnis in die andere Gleichung einsetzen.

Wie viel verschiedene möglich Lösungswege gibt es? Skizziere sie kurz!

2. Lösung BM2320

Es gibt 4 mögliche Rechenwege: 1.) Erste Gleichung nach $x$ umstellen und das Ergebnis in die zweite Gleichung für $x$ einsetzen. 2.) Erste Gleichung nach $y$ umstellen und das Ergebnis in die zweite Gleichung für $y$ einsetzen. 3.) Zweite Gleichung nach $x$ umstellen und das Ergebnis in die erste Gleichung für $x$ einsetzen. 4.) Zweite Gleichung nach $y$ umstellen und das Ergebnis in die erste Gleichung für $y$ einsetzen.

BM2321 - BM2330

BM2321

Additionsverfahren

---

Löse das folgende Gleichungssystem, bei dem folgende Gleichungen gegeben sind:

I) $5x-2y=1$

II) $6x+6y=18$

Es sind wieder die gleichen Gleichungen, wie in den beiden vorhergehenden Übungen.

So können wir zeigen, dass das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren zum gleichen Ergebnis führen.

---

Vorgehen:

Wir multiplizieren die erste Gleichung auf beiden Seiten mit $3$, damit dadurch ein $3y$ in der Gleichung steht.

Dann addieren die erste mit der zweiten Gleichung, wodurch das $y$ erst mal unter den Tisch fällt.

${\begin{aligned}5x-2y&=1\quad \quad |\quad \cdot 3\\(5x-2y)\cdot 3&=3\\15x-6y&=3\end{aligned}}$

Das Zwischenziel ist erreicht, denn nun steht ein $6y$ in unserer Gleichung.

I) $5x-2y=1$

I') $15x-6y=3$

II) $6x+6y=18$

Warum wollen wir ein $6y$ in unserer modifizierten ersten Gleichung haben?

Weil wir ein $6y$ in der zweiten Gleichung haben.

Genau genommen haben wir in der ersten Gleichung ein $-6y$.

Wenn wir nun die erste und zweite Gleichung miteinander addieren, dann fällt das $6y$ raus, also fällt damit unser $y$ weg.

So haben wir dann eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten, die wir einfach lösen können.

---

Wir rechnen jetzt also beide Gleichungen zusammen. Daher kommt auch der Name dieses „Additionsverfahrens“.

I') + II)

${\begin{aligned}{\text{ I')}}\quad \quad &15x&-&6y&=3\\{\text{ II)}}\quad \quad &6x&+&6y&=18\\{\text{ I') + II)}}\quad \quad &21x&+&0&=21\\{\text{ I') + II)}}\quad \quad &21x&&=21\end{aligned}}$

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Waage; Gleichung

Dürfen wir denn einfach so zwei Gleichungen addieren.

Ja, das dürfen wir.

Wir können uns die Gleichung I') als Waage vorstellen. Links auf der Waagschale liegt $5x-2y$ (also beispielsweise 5 rote Kugeln und 2 grüne Kugeln; das Minuszeichen kann man sich mit dem Waagemodell allerdings nur schwer vorstellen). Rechts auf der Waagschale liegt ein 3-Kilo-Gewicht. Die Waage ist ausbalanciert, also im Gleichgewicht, denn schließlich handelt es sich um ein Gleichung. Wir schwer die roten und grünen Kugeln sind wissen wir noch nicht genau (da sind unsere Unbekannten $x$ und $y$).

Wenn wir jetzt auf jeder Seite der Gleichung das gleiche dazulegen, z. B. eine Banane, dann bleibt die Waage trotzdem im Gleichgewicht und die Gleichung ist weiterhin wahr.

Wir legen nun statt der Banane auf diese Waage $6x+6y=18$ dazu. Auf die linke Seite legen wir $6x+6y$ und auf die rechte Seite legen wir $18$. Da $6x+6y=18$ eine Gleichung ist, haben wir auf die rechte und die linke Seite der Waage das gleiche Gewicht dazu gelegt.

Das Addieren von zwei Gleichungen ist nichts anderes, als auf eine Waage im Gleichgewichtszustand etwas dazu zu legen, was vorher auch schon ausbalanciert war.

---

Als Ergebnis des Additionsverfahrens haben wir also erhalten:

$21x=21$.

Das $x$ können wir im Kopf ausrechnen: $x=1$.

In I) $5x-2y=1$ eingesetzt erhalten wir:

${\begin{aligned}5\cdot 1-2y&=1\\5-2y&=1\quad \quad |\quad -5\\2y&=-4\quad \quad |\quad :2\\y&=-2\end{aligned}}$

---

Komisch:

Mit dem Gleichsetzungsverfahren hatten wir die Lösung $x=1$ und $y=2$.

Mit dem Einsetzungsverfahren ebenso.

Nur mit dem Additionsverfahren haben wir die Lösung $x=1$ und $y=-2$.

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Könnte es sein, dass wir uns beim Einsetzungsverfahren verrechnet haben?

Lösung BM2321

Ja, natürlich. Es hat sich wieder ein Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen. Wir haben in der vorletzen Zeile ein Minuszeichen vergessen. Im Folgenden ist es hier rot markiert: ${\begin{aligned}5\cdot 1-2y&=1\\5-2y&=1\quad \quad |\quad -5\\{\color {red}-}2y&=-4\quad \quad |\quad :(-2)\\y&=2\end{aligned}}$ --- Und schon stimmt die Lösung aller drei Verfahren zur Lösung eines Gleichungssystems überein: Lösung $x=1$ und $y=-2$

BM2322

Wie heißen die drei Verfahren zur Lösung eines Gleichungssystems?

Lösung BM2322
Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Additionsverfahren

BM2323

Welche Vor- und Nachteile haben die drei Verfahren zur Lösung eines Gleichungssystems?

Lösung BM2323

Das Gleichsetzungsverfahren und das Einsetzungsverfahren funktioniert nur in Gleichungssystemen mit höchstens zwei Unbekannten. Oft ist das Gleichsetzungsverfahren am einfachsten, weil dabei nicht so große Gleichungen entstehen. Das Additionsverfahren kann man auch für Gleichungssysteme mit mehr als drei Unbekannten anwenden. Dann muss allerdings stufenweise mehrmals addiert werden, wobei bei jeder Addition eine Variable wegfällt.

BM2324

Um zu kennzeichnen, dass zwei oder mehr Gleichungen zusammengehören und eine Gleichungssystem bilden, werden die einzelnen Gleichungen mit römischen Zahlen nummeriert.

Umgestellt Formen der Gleichung werden mit einem zusätzlichen Hochkomma versehen

Eine ältere, nicht so gebräuchliche Notation zur Kennzeichnung von Gleichungssystemen sind senkrechte Strichte rechts und links neben den Gleichungen des Gleichungssystems, die alle Gleichungen, ähnlich wie Klammern, zusammenfassen.

---

I) $5x-2y=1$

I') $15x-6y=3$

II) $6x+6y=18$

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${\begin{vmatrix}5x-2y&=1\\6x+6y&=18\end{vmatrix}}$

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Löse die Gleichungssysteme:

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I) $2x+y=1$

II) $y=-2x+1$

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Lösung:

I) nach $y$ umstellen:

${\begin{aligned}2x+y&=1\quad \quad |\quad +2x\\y&=1-2x\end{aligned}}$

$y$ von I') und II) gleichsetzen

${\begin{aligned}1-2x&=-2x+1\quad \quad |\quad +2x\\1&=1\end{aligned}}$

Dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, denn egal welchen Wert $x$ hat

$1=1$ stimmt immer.

Bei anderen Gleichungssystemen mit unendlich vielen Lösungen kann auch $0=0$ oder $214=214$ rauskommen.

${\begin{aligned}0&=0\quad \quad |\quad +12\\13&=13\end{aligned}}$

Es gibt also Gleichungssysteme mit einer Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen.

Als dritte Möglichkeit gibt es Gleichungssysteme, die gar keine Lösung haben.

---

Löse die Gleichungssysteme:

---

I) $2x+4y=4$

II) $x+2y=6$

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I) nach $x$ umstellen:

${\begin{aligned}2x+4y&=4\quad \quad |\quad -4y\\2x&=4-4y\quad \quad |\quad :2\\x&={\tfrac {4}{2}}-{\tfrac {4}{2}}yx&=2-2y\end{aligned}}$

$x$ von I') in II) einsetzen:

${\begin{aligned}x+2y&=6\quad \quad |II)\\(2-2y)+2y&=6\\2-2y+2y&=6\\2&=6\end{aligned}}$

Dieses Gleichungssystem hat KEINE Lösung, denn egal welche Zahl man für $x$ oder $y$ einsetzt, das Endergebnis

$2=6$ ist NIE wahr.

Auch alle anderen Ergebnisse, die mit einer falschen Aussage enden, weisen darauf hin, dass das dazugehörige Gleichungssystem KEINE Lösung hat.

${\begin{aligned}2&=6\quad \quad |\quad +3\\5&=9\quad \quad |\quad \cdot 2\\10&=18\end{aligned}}$

Das sind alles mögliche Ergebnisse für Gleichungssystemen, die KEINE Lösung haben.

Gleichungssysteme die zu einem Widerspruch führen (z. B. $1=3$) haben KEINE Lösung.

Wie schreiben: $L=\{\;\}$ (Lies: Die Lösungsmenge ist die leere Menge.)

BM2325

Löse das Gleichungssystem:

---

I) $-{\tfrac {6}{7}}p+2q=-1$

II) $p=3q-{\tfrac {7}{2}}$

1. Lösung BM2325

I) $-{\tfrac {6}{7}}p+2q=-1$ II) $p=3q-{\tfrac {7}{2}}$ I) nach $p$ umstellen: ${\begin{aligned}-{\tfrac {6}{7}}p+2q&=-1\quad \quad |\quad -2q\\-{\tfrac {6}{7}}p&=-1-2q\quad \quad |\quad :(-{\tfrac {6}{7}})\\p&=-(1+2q):(-{\tfrac {6}{7}})\\p&=(1+2q)\cdot {\tfrac {7}{6}}\\p&={\tfrac {7(1+2q)}{6}}\\p&={\tfrac {7+14q}{6}}\\p&={\tfrac {7}{6}}+{\tfrac {14q}{6}}\\p&={\tfrac {7}{6}}+{\tfrac {7}{3}}q\end{aligned}}$ $p$ von I') mit $p$ von II) gleichsetzen: ${\begin{aligned}{\tfrac {7}{6}}+{\tfrac {7}{3}}q&=3q-{\tfrac {7}{2}}\quad \quad |\quad -{\tfrac {7}{6}}\\{\tfrac {7}{3}}q&=3q-{\tfrac {7}{2}}+{\tfrac {7}{6}}\quad \quad |\quad -3q\\{\tfrac {7}{3}}q-3q&=-{\tfrac {7}{2}}+{\tfrac {7}{6}}\\{\tfrac {7}{3}}q-{\tfrac {9}{3}}q&=-{\tfrac {21}{6}}+{\tfrac {7}{6}}\\-{\tfrac {2}{3}}q&=-{\tfrac {14}{6}}\\-{\tfrac {2}{3}}q&=-{\tfrac {7}{3}}\quad \quad |\quad :(-{\tfrac {2}{3}})\\q&={\tfrac {7}{3}}:{\tfrac {2}{3}}\\q&={\tfrac {7\cdot 3}{3\cdot 2}}\\q&={\tfrac {7}{2}}\end{aligned}}$ $q$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}p&=3q-{\tfrac {7}{2}}\\p&=3\cdot {\tfrac {7}{2}}-{\tfrac {7}{2}}\\p&={\tfrac {21}{2}}-{\tfrac {7}{2}}\\p&={\tfrac {14}{2}}\\p&=7\end{aligned}}$ Probe: $q={\tfrac {7}{2}}$ und $p=7$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}-{\tfrac {6}{7}}p+2q&=-1\\-{\tfrac {6}{7}}\cdot {\tfrac {7}{2}}+2\cdot 7&=-1\\-{\tfrac {6}{2}}+14&=-1\\-3+14&=-1\\11&=-1\end{aligned}}$ --- Bedeutet das, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat?

2. Lösung BM2325
Nein, denn dann wäre schon beim Ausrechnen von $p$ und $q$ eine falsche Aussage rausgekommen und nicht erst bei der Probe. Wir haben wohl irgendwo einen Rechenfehler. Aber wo?

3. Lösung BM2325
Die Richtige Lösung muss laut www.wolframalpha.com lauten: $p={\tfrac {20}{3}}$ und $q={\tfrac {61}{18}}$ und $q={\tfrac {7p}{12}}-{\tfrac {1}{2}}$ $p=3q-{\tfrac {7}{2}}$ --- Aber wo lag unser Rechenfehler?

4. Lösung BM2325

Es war ein Vorzeichenfehlr in diesem Abschnitt: $p$ von I') mit $p$ von II) gleichsetzen: ${\begin{aligned}{\tfrac {7}{6}}+{\tfrac {7}{3}}q&=3q-{\tfrac {7}{2}}\quad \quad |\quad -{\tfrac {7}{6}}\\{\tfrac {7}{3}}q&=3q-{\tfrac {7}{2}}+{\tfrac {7}{6}}\end{aligned}}$ Das ist natürlich FALSCH. Es muss lauten: ${\begin{aligned}{\tfrac {7}{6}}+{\tfrac {7}{3}}q&=3q-{\tfrac {7}{2}}\quad \quad |\quad -{\tfrac {7}{6}}\\{\tfrac {7}{3}}q&=3q-{\tfrac {7}{2}}{\color {red}-}{\tfrac {7}{6}}\quad \quad |\quad -3q\\{\tfrac {7}{3}}q-3q&=-{\tfrac {7}{2}}-{\tfrac {7}{6}}\\{\tfrac {7}{3}}q-{\tfrac {9}{3}}q&=-{\tfrac {21}{6}}-{\tfrac {7}{6}}\\-{\tfrac {2}{3}}q&=-{\tfrac {28}{6}}\\-{\tfrac {2}{3}}q&=-{\tfrac {14}{3}}\quad \quad |\quad :(-{\tfrac {2}{3}})\\q&={\tfrac {14}{3}}:{\tfrac {2}{3}}\\q&={\tfrac {14\cdot 3}{3\cdot 2}}\\q&={\tfrac {14}{2}}\\q&=7\end{aligned}}$ Das Ergebnis ist also $q=7$ und nicht $q={\tfrac {7}{2}}$ Nun müssen wir mit dem richtigen Wert für q weiter rechnen: $q$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}p&=3q-{\tfrac {7}{2}}\\p&=3\cdot 7-{\tfrac {7}{2}}\\p&=21-{\tfrac {7}{2}}\\p&={\tfrac {42}{2}}-{\tfrac {7}{2}}\\p&={\tfrac {35}{2}}\end{aligned}}$ Probe: $q=7$ und $p={\tfrac {35}{2}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}-{\tfrac {6}{7}}p+2q&=-1\\-{\tfrac {6}{7}}\cdot {\tfrac {35}{2}}+2\cdot 7&=-1\\-{\tfrac {6}{7}}\cdot {\tfrac {5\cdot 7}{2}}+2\cdot 7&=-1\\-{\tfrac {5\cdot 6}{2}}+2\cdot 7&=-1\\-{\tfrac {30}{2}}+14&=-1\\-15+14&=-1\\-1&=-1\end{aligned}}$ Das sieht doch schon besser aus: Was können wir aus der Probe $-1=-1$ schlussfolgern? --- Dass es unendlich viele Lösungen für unser Gleichungssystem gibt? Können wir schlussfolgern, das es unendlich viele Lösungen für unser Gleichungssystem gibt?

5. Lösung BM2325
Natürllich gibt es NICHT unendlich viele Lösungen für unser Gleichungssystem. Unser Gleichungssystem hat die Lösung $q=7$ und $p={\tfrac {35}{2}}$. Die Probe hat lediglich ergeben, dass die Lösung richtig ist. Denn durch einsetzen der Lösung haben wir eine wahre Aussage erhalten. --- Ist unsere Probe vollständig?

6. Lösung BM2325

Nein, unsere Probe ist noch nicht vollständig, denn wir haben bisher nur gezeigt, dass die gefundene Lösung für die erste Gleichung des Gleichungssystems richtig ist. Wir müssen noch zeigen, das das aus für die zweite Gleichung zutrifft- --- $q=7$ und $p={\tfrac {35}{2}}$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}p&=3q-{\tfrac {7}{2}}\\{\tfrac {35}{2}}&=3\cdot 7-{\tfrac {7}{2}}\\{\tfrac {35}{2}}&=21-{\tfrac {7}{2}}\quad \quad |\quad +{\tfrac {7}{2}}\\{\tfrac {35}{2}}+{\tfrac {7}{2}}&=21\\{\tfrac {42}{2}}&=21\\21&=21\end{aligned}}$ Damit haben wir gezeigt, dass unsere Lösung auch für die zweite Gleichung im Gleichungssystem richtig ist. --- Somit haben wir die Lösung $p={\tfrac {35}{2}}$ und $q=7$ vollständig überprüft. Die Lösungsmenge beträgt $p={\tfrac {35}{2}}$ und $q=7$. $L=\{({\tfrac {35}{2}}|7)\}$ --- Schreibweise (Notation): Mengen werden in geschweiften Klammern geschrieben. Geordnete Zahlenpaare werden in runden Klammern geschrieben, getrennt durch einen senkrechten Strich oder ein Semikolon. Die Reihenfolge der Zahlen ergibt sich aus der alphabetischen Reihenfolge der Variablen.

7. Lösung BM2325
Unser gewählter Lösungsweg ( „I) nach $p$ umstellen.“ ) war übrigens nicht besonders klug gewählt. --- I) $-{\tfrac {6}{7}}p+2q=-1$ II) $p=3q-{\tfrac {7}{2}}$ --- Hier bietet es sich doch geradezu an das $p$ von Gleichung II) direkt für $p$ in Gleichung I) einzusetzen. --- Rechne das mal! Versuch dein Glück!

8. Lösung BM2325

I) $-{\tfrac {6}{7}}p+2q=-1$ II) $p=3q-{\tfrac {7}{2}}$ --- $p$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}-{\tfrac {6}{7}}p+2q=-1\\-{\tfrac {6}{7}}\cdot (3q-{\tfrac {7}{2}})+2q=-1\\(-{\tfrac {6}{7}}\cdot 3q)+({\tfrac {6}{7}}\cdot {\tfrac {7}{2}})+2q=-1\\(-{\tfrac {18}{7}}q)+({\tfrac {6\cdot 7}{7\cdot 2}})+2q=-1\\(-{\tfrac {18}{7}}q)+({\tfrac {6\cdot 7}{7\cdot 2}})+2q=-1\\(-{\tfrac {18}{7}}q)+({\tfrac {6}{2}})+2q=-1\\-{\tfrac {18}{7}}q+3+2q=-1\quad \quad |\quad -3\\-{\tfrac {18}{7}}q+2q=-4\\-{\tfrac {18}{7}}q+{\tfrac {14}{7}}q=-4\\-{\tfrac {4}{7}}q=-4\quad \quad |\quad :{\tfrac {4}{7}}\\-q=-4:{\tfrac {4}{7}}\\-q=-4\cdot {\tfrac {7}{4}}\quad \quad |\quad \cdot (-1)\\q={\tfrac {4\cdot 7}{4}}\\q=7\end{aligned}}$ $q=7$ Stimmt das mit unsere Lösung aus dem ersten Lösungsweg überein? Wir schauen bei der 6. Lösung in der letzten Zeile nach! Ja, es stimmt. Der weitere Lösungsweg unterscheidet sich nicht vom ersten Lösungsweg: $q=7$ in I) oder II) einsetzen und $p$ ausrechnen. Das schenken wir uns hier.

9. Lösung BM2325
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10. Lösung BM2325
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BM2326

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $y=x+2$

II) $y=2x+1$

1. Lösung BM2326

I) $y=x+2$ II) $y=2x+1$ --- $y$ in I) gleichsetzen mit $y$ in II) --- ${\begin{aligned}x+2&=2x+1\quad \quad |\quad -2x\\-x+2&=1\quad \quad |\quad -2\\-x&=-1\\x&=1\end{aligned}}$. $x=1$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}y&=x+2\\y&=1+2\\y&=3\end{aligned}}$. --- Probe: $x=1$ und $y=3$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}y&=x+2\\3&=1+2\\3&=3\end{aligned}}$. $x=1$ und $y=3$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}y&=2x+1\\3&=2\cdot 1+1\\3&=3\end{aligned}}$. Damit haben wir gezeigt, dass unsere Lösung auch für die beide Gleichung des gegebenen Gleichungssystems richtig ist. --- Somit haben wir die Lösung $x=1$ und $y=3$ vollständig überprüft. Die Lösungsmenge beträgt $x=1$ und $y=3$. $L=\{(1|3)\}$ --- Schreibweise (Notation): Mengen werden in geschweiften Klammern geschrieben. Geordnete Zahlenpaare werden in runden Klammern geschrieben, getrennt durch einen senkrechten Strich oder ein Semikolon. Die Reihenfolge der Zahlen ergibt sich aus der alphabetischen Reihenfolge der Variablen.

2. Lösung BM2326
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3. Lösung BM2326
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BM2327

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $3x+4=2y$

II) $4y=2x+10$

1. Lösung BM2327

I) $3x+4=2y$ II) $4y=2x+10$ --- Wir wollen I) und II) nach $y$ umstellen und dann beide $y$ gleich setzen. --- I) nach $y$ umstellen: ${\begin{aligned}3x+4&=2y\quad \quad |\quad :2\\{\tfrac {3}{2}}x+{\tfrac {4}{2}}&=y\\{\tfrac {3}{2}}x+2&=y\\y&={\tfrac {3}{2}}x+2\end{aligned}}$ --- II) nach $y$ umstellen: ${\begin{aligned}4y&=2x+10\quad \quad |\quad :4\\y&={\tfrac {2}{4}}x+{\tfrac {10}{4}}\\y&={\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {5}{2}}\end{aligned}}$ --- Beide $y$ von I') und II') gleich setzen: ${\begin{aligned}y&=y\\{\tfrac {3}{2}}x+2&={\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {5}{2}}\quad \quad |\quad -{\tfrac {1}{2}}x\\{\tfrac {3}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}x+2&={\tfrac {5}{2}}\quad \quad |\quad -2\\{\tfrac {3}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}x&={\tfrac {5}{2}}-2\\{\tfrac {2}{2}}x&={\tfrac {5}{2}}-{\tfrac {4}{2}}\\x&={\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}$ --- $x={\tfrac {1}{2}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}3x+4&=2y\\3\cdot {\tfrac {1}{2}}+4&=2y\\{\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {8}{2}}&=2y\\{\tfrac {11}{2}}&=2y\quad \quad |\quad :2\\{\tfrac {11}{2}}:{\tfrac {2}{1}}&=y\\{\tfrac {11}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}&=y\\{\tfrac {11\cdot 1}{2\cdot 2}}&=y\\{\tfrac {11}{4}}&=y\end{aligned}}$ --- Probe: $x={\tfrac {1}{2}}$ und $y={\tfrac {11}{4}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}3x+4&=2y\\3\cdot {\tfrac {1}{2}}+4&=2\cdot {\tfrac {11}{4}}\\{\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {8}{2}}&={\tfrac {22}{4}}\\{\tfrac {11}{2}}&={\tfrac {11}{2}}\end{aligned}}$ $x={\tfrac {1}{2}}$ und $y={\tfrac {11}{4}}$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}4y&=2x+10\\4\cdot {\tfrac {11}{4}}&=2\cdot {\tfrac {1}{2}}+10\\11&=1+10\\11&=11\end{aligned}}$ Damit haben wir gezeigt, dass unsere Lösung auch für die beide Gleichung des gegebenen Gleichungssystems richtig ist. --- Somit haben wir die Lösung $x={\tfrac {1}{2}}$ und $y={\tfrac {11}{4}}$ vollständig überprüft. Die Lösungsmenge beträgt $x={\tfrac {1}{2}}$ und $y={\tfrac {11}{4}}$. $L=\{({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {11}{4}})\}$ --- Schreibweise (Notation): Mengen werden in geschweiften Klammern geschrieben. Geordnete Zahlenpaare werden in runden Klammern geschrieben, getrennt durch einen senkrechten Strich oder ein Semikolon. Die Reihenfolge der Zahlen ergibt sich aus der alphabetischen Reihenfolge der Variablen.

2. Lösung BM2327
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BM2328

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $y-1=2x+3$

II) $2y-2=5x-1$

1. Lösung BM2328
Wir wollen $y$ gleich setzen. Deshalb stellen wir zuerst mal I) und II) jeweils nach $y$ um.

2. Lösung BM2328

I) nach $y$ auflösen: ${\begin{aligned}y-1&=2x+3\quad \quad |\quad +1\\y&=2x+3+1\\y&=2x+4\end{aligned}}$ --- II) nach $y$ auslösen: ${\begin{aligned}2y-2&=5x-1\quad \quad |\quad +2\\2y&=5x+1\quad \quad |\quad :2\\y&={\tfrac {5}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}$ --- Nun können wir $y$ in I') und II') gleichsetzen und weiter rechnen. Dadurch eliminieren wir zeitweilig das $y$, um das $x$ auszurechnen.

3. Lösung BM2328

${\begin{aligned}y&=y\\2x+4&={\tfrac {5}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}\quad \quad |\quad -4\\2x&={\tfrac {5}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}-4\quad \quad |\quad -{\tfrac {5}{2}}x\\2x-{\tfrac {5}{2}}x&={\tfrac {1}{2}}-4\\{\tfrac {4}{2}}x-{\tfrac {5}{2}}x&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {8}{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}x&=-{\tfrac {7}{2}}\quad \quad |\quad \cdot (-1)\\{\tfrac {1}{2}}x&={\tfrac {7}{2}}\quad \quad |\quad \cdot 2\\{\tfrac {1}{2}}x\cdot 2&={\tfrac {7}{2}}\cdot 2\\x&=7\end{aligned}}$ --- Jetzt könne wir $y$ ausrechnen.

4. Lösung BM2328
Wir setzen $x=7$ in I) ein. Oder noch besser: Wir setzen $x=7$ in I') ein, weil in I') unser $y$ schon isoliert ist. ${\begin{aligned}y&=2x+4\\y&=2\cdot 7+4\\y&=14+4\\y&=18\end{aligned}}$ --- Lösung: $x=7$; $y=18$ --- Nun brauchen wir noch eine Probe.

5. Lösung BM2328

Zuerst setzen wir die Lösung $x=7$ und $y=18$ in I) ein: ${\begin{aligned}y-1&=2x+3\\18-1&=2\cdot 7+3\\17&=14+3\\17&=17\end{aligned}}$ $17=17$ - Also stimmt die Probe für die 1. Gleichung. --- Nun noch die Probe für die 2. Gleichung: ${\begin{aligned}2y-2&=5x-1\\2\cdot 18-2&=5\cdot 7-1\\36-2&=35-1\\34&=31\end{aligned}}$ $34=34$ - Die Probe für die 2. Gleichung stimmt also ebenfalls. --- Damit ist unsere Lösung $x=7$ und $y=18$ korrekt. Die Lösungsmenge beträgt $x=7$ und $y=18$ . $L=\{(7;18)\}$ --- Schreibweise (Notation): Mengen werden in geschweiften Klammern geschrieben. Geordnete Zahlenpaare werden in runden Klammern geschrieben, getrennt durch einen senkrechten Strich oder ein Semikolon. Die Reihenfolge der Zahlen ergibt sich aus der alphabetischen Reihenfolge der Variablen.

6. Lösung BM2328
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BM2329

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $5-4x=y$

II) $7x-3y=51,5$

1. Lösung BM2329
Zur Abwechslung setzen wir mal $y$ aus I) für das $y$ in II) ein.

2. Lösung BM2329

${\begin{aligned}7x-3y&=51,5\\7x-3(5-4x)&=51,5\\7x-15+12x&=51,5\quad \quad |\quad +15\\7x+12x&=51,5+15\\19x&=66,5\quad \quad |\quad :19\\x&=66,5:19\\x&={\tfrac {135}{2}}:{\tfrac {19}{1}}\\x&={\tfrac {135}{2}}\cdot {\tfrac {1}{19}}\\x&={\tfrac {135}{2\cdot 19}}\\x&={\tfrac {3^{3}\cdot 5}{2\cdot 19}}\\x&={\tfrac {135}{38}}\\x&\approx 3{,}55\end{aligned}}$ Das war also nicht sehr clever mit dem Einsetzen von $y$, da wir so einen ziemlich großen und unhandlichen Bruch bekommen haben, den wir leider nicht weiter kürzen können. Mit Hilfe der Zerlegung in Primfaktoren wollen wir einen gemeinsamen Faktor finden. Leider gibt es keinen. Also rechen wir mit $x={\tfrac {135}{38}}$ weiter. --- Wir setzen $x={\tfrac {135}{38}}$ in I) ein, um $y$ auszurechnen: ${\begin{aligned}5-4x&=y\\5-4({\tfrac {135}{38}})&=y\\y&=5-4({\tfrac {135}{38}})\\y&=5-{\tfrac {4\cdot 135}{38}}\\y&=5-{\tfrac {2\cdot 135}{19}}\\y&=5-{\tfrac {270}{19}}\\y&={\tfrac {5\cdot 19}{19}}-{\tfrac {270}{19}}\\y&={\tfrac {95}{19}}-{\tfrac {270}{19}}\\y&={\tfrac {95-270}{19}}\\y&={\tfrac {-175}{19}}\\y&=-{\tfrac {175}{19}}\\y&=-{\tfrac {5^{2}\cdot 7}{19}}\\y&=-{\tfrac {175}{19}}\\y&=\approx 9{,}21\end{aligned}}$ Wir haben also als Lösung: $x={\tfrac {135}{38}}$ und $y={\tfrac {175}{19}}$. -- Na wenn wir uns da mal nicht irgendwo verrechnet haben. Also machen wir die Probe.

3. Lösung BM2329

$x={\tfrac {135}{38}}$ und $y={\tfrac {175}{19}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}5-4x&=y\\5-4({\tfrac {135}{38}})&={\tfrac {175}{19}}\\5-{\tfrac {4\cdot 135}{38}}&={\tfrac {175}{19}}\\5-{\tfrac {2\cdot 135}{19}}&={\tfrac {175}{19}}\\5-{\tfrac {270}{19}}&={\tfrac {175}{19}}\\{\tfrac {5\cdot 19}{19}}-{\tfrac {270}{19}}&={\tfrac {175}{19}}\\{\tfrac {95}{19}}-{\tfrac {270}{19}}&={\tfrac {175}{19}}\\-{\tfrac {175}{19}}&={\tfrac {175}{19}}\end{aligned}}$ Der Zahlenwert stimmt, aber wir haben ein falsches Vorzeichen. Hatten wir irgendwo einen Vorzeichenfahler?

4. Lösung BM2329

Beider 2. Lösung ist uns ein kleiner Fehler unterlaufen: ${\begin{aligned}7x-3y&=51,5\\7x-3(5-4x)&=51,5\\7x-15+12x&=51,5\quad \quad |\quad +15\\7x+12x&=51,5+15\\19x&=66,5\quad \quad |\quad :19\\x&=66,5:19\\x&={\tfrac {135}{2}}:{\tfrac {19}{1}}\end{aligned}}$ Von der vorletzen zur letzten Zeile ist uns ein Fehler unterlaufen, denn ${\tfrac {135}{2}}$ ist nicht ${\tfrac {135}{2}}$ ${\begin{aligned}x&=66,5:19\\x&={\tfrac {66,5\cdot 2}{2}}:{\tfrac {19}{1}}\\x&={\tfrac {133}{2}}:{\tfrac {19}{1}}\end{aligned}}$ Es muss also ${\tfrac {133}{2}}$ statt ${\tfrac {135}{2}}$ heißen. --- Also müssen wir alles noch mal rechnen. Wir rechnen weiter: ${\begin{aligned}x&={\tfrac {133}{2}}:{\tfrac {19}{1}}\\x&={\tfrac {133}{2}}\cdot {\tfrac {1}{19}}\\x&={\tfrac {133}{2\cdot 19}}\\x&={\tfrac {7\cdot 19}{2\cdot 19}}\\x&={\tfrac {7}{2}}\end{aligned}}$ Jetzt ist der Bruch auch nicht mehr so fürchterlich lang, da wir kürzen konnten. Mit $x={\tfrac {7}{2}}$ lösen wir auch das $y$, indem wir $x={\tfrac {7}{2}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}5-4x&=y\\5-4({\tfrac {7}{2}})&=y\\5-{\tfrac {4\cdot 7}{2}}&=y\\5-{\tfrac {2\cdot 7}{1}}&=y\\5-14&=y\\y&=-9\end{aligned}}$ --- Unsere Lösung ist also $x={\tfrac {7}{2}}$ und $y=-9$. --- Hoffentlich ist damit die Probe richtig. Wollen wir hoffen, dass damit die Probe klappt.

5. Lösung BM2329

I) $5-4x=y$ II) $7x-3y=51,5$ $x={\tfrac {7}{2}}$ und $y=-9$ --- Probe mit der 1. Gleichung: ${\begin{aligned}5-4x&=y\\5-{\tfrac {4\cdot 7}{2}}&=-9\\5-{\tfrac {28}{2}}&=-9\\5-14&=-9\\-9&=-9\end{aligned}}$ --- Probe mit der 2. Gleichung ${\begin{aligned}7x-3y&=51,5\\{\tfrac {7\cdot 7}{2}}-3\cdot (-9)&=51,5\\{\tfrac {49}{2}}+27&=51,5\\({\tfrac {48}{2}}+{\tfrac {1}{2}})+27&=51,5\\(24+{\tfrac {1}{2}})+27&=51,5\\(24+0{,}5)+27&=51,5\\24,5+27&=51,5\\51,5&=51,5\end{aligned}}$ --- Die Probe hat mit beiden Gleichungen unseres Gleichungssystems ergeben, dass unsere Lösung richtig ist. --- Die Lösungsmenge beträgt $x={\tfrac {7}{2}}$ und $y=-9$. $L=\{({\tfrac {7}{2}};-9)\}$ --- Schreibweise (Notation): Mengen werden in geschweiften Klammern geschrieben. Geordnete Zahlenpaare werden in runden Klammern geschrieben, getrennt durch einen senkrechten Strich oder ein Semikolon. Die Reihenfolge der Zahlen ergibt sich aus der alphabetischen Reihenfolge der Variablen.

6. Lösung BM2329
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BM2330

Löse das Gleichungssystem!

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I) $2x-4y=-12$

II) $-3x+6y=18$

1. Lösung BM2330
Wir wollen als Lösungsweg beide Gleichungen nach $y$ umstellen und dann gleichsetzen.

2. Lösung BM2330

I) $2x-4y=-12$ nach $y$ umstellen: ${\begin{aligned}2x-4y&=-12\quad \quad |\quad -2x\\-4y&=-2x-12\quad \quad |\quad :(-4)\\y&={\tfrac {-2x}{-4}}-{\tfrac {12}{-4}}\quad \quad |\quad :(-4)\\y&={\tfrac {x}{2}}+3\\y&={\tfrac {1}{2}}x+3\end{aligned}}$ --- II) $-3x+6y=18$ nach $y$ umstellen: ${\begin{aligned}-3x+6y&=18\quad \quad |\quad +3x\\6y&=3x+18\quad \quad |\quad :6\\y&={\tfrac {3}{6}}x+{\tfrac {18}{6}}\\y&={\tfrac {1}{2}}x+3\end{aligned}}$ --- Nun können wir $y$ aus den beiden nach $y$ umgestellen Gleichungen gleichsetzen. ${\begin{aligned}y&=y\\{\tfrac {1}{2}}x+3&={\tfrac {1}{2}}x+3\quad \quad |\quad -3\\{\tfrac {1}{2}}x&={\tfrac {1}{2}}x\quad \quad |\quad :{\tfrac {1}{2}}\\x&=x\end{aligned}}$ $x=x$ - Das ist IMMER wahr. Wir können $x=3$ einsetzen und es ist wahr. Auch für $x=13$ oder $x=101$ ist es wahr. Es ist einfach für jedes $x$ wahr. Es ist für jedem Wert von $x$ wahr. Schlussfolgerung: Es gibt unendlich viele Lösungen für das gegebenen Gleichungssystem. Wir können aus dem Lösung („Es gibt unendlich viele Lösungen“) nicht ableiten, dass wir für $x$ und $y$ beliebige Zahlen einsetzen können, denn durch das Gleichungssystem ist ein Zusammenhang zwischen den Werten für $x$ und $y$ vorgegeben. Wie können also jeden beliebigen Wert für $x$ nehmen, dann geht aber dazu jeweils nur ein konkreter Wert für $y$ dazu. --- $L=\{(x;y)|y={\tfrac {1}{2}}x+3\}$ Lies: Die Lösungsmenge sind alle Zahlenpaare x-y, für die gilt: „$y={\tfrac {1}{2}}x+3$“.

3. Lösung BM2330
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4. Lösung BM2330
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BM2331 - BM2340

BM2331

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $2x+3y=4x-5$

II) $3x-2y=2y+8$

1. Lösung BM2331
Lösungsweg: Wir stellen beide Gleichungen nach $x$ um und setzen sie dann gleich. Wir könnten auch nach $y$ umstellen, aber wir haben uns hier - ohne einen besonderen Grund - für die Umstellung nach $x$ entschieden.

2. Lösung BM2331

I) $2x+3y=4x-5$ II) $3x-2y=2y+8$ --- I) nach $x$ umstellen: ${\begin{aligned}2x+3y&=4x-5\quad \quad |\quad -3y\\2x&=4x-3y-5\quad \quad |\quad -4x\\2x-4x&=-3y-5\\-2x&=-3y-5\\-2x&=-(3y+5)\quad \quad |\quad \cdot (-1)\\2x&=3y+5\quad \quad |\quad :2\\x&={\tfrac {3}{2}}y+{\tfrac {5}{2}}\end{aligned}}$ --- II) nach $x$ umstellen: ${\begin{aligned}3x-2y&=2y+8\quad \quad |\quad +2y\\3x&=2y+2y+8\\3x&=4y+8\quad \quad |\quad :3\\x&={\tfrac {4}{3}}y+{\tfrac {8}{3}}\end{aligned}}$ --- $x$ gleichsetzen: ${\begin{aligned}{\tfrac {3}{2}}y+{\tfrac {5}{2}}&={\tfrac {4}{3}}y+{\tfrac {8}{3}}\quad \quad |\quad -{\tfrac {5}{2}}\\{\tfrac {3}{2}}y&={\tfrac {4}{3}}y+{\tfrac {8}{3}}-{\tfrac {5}{2}}\quad \quad |\quad -{\tfrac {4}{3}}y\\{\tfrac {3}{2}}y-{\tfrac {4}{3}}y&={\tfrac {8}{3}}-{\tfrac {5}{2}}\\({\tfrac {3}{2}}-{\tfrac {4}{3}})y&={\tfrac {8\cdot 2}{3\cdot 2}}-{\tfrac {5\cdot 3}{2\cdot 3}}\\({\tfrac {3}{2}}-{\tfrac {4}{3}})y&={\tfrac {16}{6}}-{\tfrac {15}{6}}\\({\tfrac {3}{2}}-{\tfrac {4}{3}})y&={\tfrac {16-15}{6}}\\({\tfrac {3}{2}}-{\tfrac {4}{3}})y&={\tfrac {1}{6}}\\({\tfrac {9}{6}}-{\tfrac {8}{6}})y&={\tfrac {1}{6}}\\{\tfrac {1}{6}}y&={\tfrac {1}{6}}\quad \quad |\quad :{\tfrac {1}{6}}\\y&=1\end{aligned}}$ --- $y=1$ setzen wir in I) ein und rechnen $x$ aus.

3. Lösung BM2331
Wir setzen $y=1$ in I) ein: ${\begin{aligned}2x+3y&=4x-5\\2x+3&=4x-5\quad \quad |\quad -4x\\-2x+3&=-5\quad \quad |\quad -3\\-2x&=-8\quad \quad |\quad \cdot (-1)\\2x&=8\quad \quad |\quad :2\\x&=4\end{aligned}}$ --- Damit haben wir die Lösung: $x=4$ und $y=1$ Nun müssen wir noch die Probe machen.

4. Lösung BM2331

I) $2x+3y=4x-5$ II) $3x-2y=2y+8$ --- Probe: $x=4$ und $y=1$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}2x+3y&=4x-5\\2\cdot 4+3\cdot 1&=4\cdot 4-5\\8+3&=16-5\\11&=11\end{aligned}}$ Die Lösung $x=4$ und $y=1$ erfüllt die Gleichung I). --- Probe: $x=4$ und $y=1$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}3x-2y&=2y+8\\3\cdot 4-2\cdot 1&=2\cdot 1+8\\12-2&=2+8\\10&=10\end{aligned}}$ Die Lösung $x=4$ und $y=1$ erfüllt die Gleichung II). --- Damit hat die Lösung $x=4$ und $y=1$ die Probe mit beiden Gleichungen des Gleichungssystems bestanden. Lösungsmenge: {(4|1)} $L=\{(4;1)\}$

BM2332

Löse das Gleichungssystem!

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I) $y=2x-9$

II) $y=-4x+3$

1. Lösung BM2332
Lösungsweg: Da die beiden Gleichungen schon nach $y$ aufgelöst sind, setzen wir $y$ gleich. ${\begin{aligned}y&=y\\2x-9&=-4x+3\quad \quad |\quad +9\\2x&=-4x+12\quad \quad |\quad +4x\\6x&=12\quad \quad |\quad :6\\x&=2\end{aligned}}$ --- $x=2$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}y&=2x-9\\y&=2\cdot 2-9\\y&=4-9\\y&=-5\end{aligned}}$ --- Lösung: $x=2$ und $y=-5$ --- Nun steht noch die Probe aus.

2. Lösung BM2332

I) $y=2x-9$ II) $y=-4x+3$ --- Probe: $x=2$ und $y=-5$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}y&=2x-9\\-5&=2\cdot 2-9\\-5&=4-9\\-5&=-5\end{aligned}}$ Die Lösung ist für I) WAHR. --- Probe: $x=2$ und $y=-5$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}y=-4x+3\\-5=-4\cdot 2+3\\-5=-8+3\\-5&=-5\end{aligned}}$ Die Lösung ist für II) WAHR. --- Lösungsmenge: {(2|-5)} $L=\{(2;-5)\}$ Lies: Die Lösungsmenge ist das Zahlenpaare 2 und Minus 5.

BM2333

Löse das Gleichungssystem!

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I) $2x=3y-5$

II) $2x=6y-6$

1. Lösung BM2333
Lösungsweg: Wir setzen spaßenshalber $2x$ von I) und II) gleich. Normalerweise würden wir $x$ gleichsetzen. Da aber die Gleichungen beide nach $2x$ aufgelöst sind, vereinfachen wir uns die Arbeit etwas.

2. Lösung BM2333

I) $2x=3y-5$ II) $2x=6y-6$ --- ${\begin{aligned}3y-5&=6y-6\quad \quad |\quad +5\\3y&=6y-1\quad \quad |\quad -6y\\-3y&=-1\quad \quad |\quad \cdot (-1)\\3y&=1\quad \quad |\quad :3\\y&={\tfrac {1}{3}}\end{aligned}}$ --- Die Lösung $y={\tfrac {1}{3}}$ setzen wir in I) ein: ${\begin{aligned}2x&=3y-5\\2x&=3\cdot {\tfrac {1}{3}}-5\\2x&=\cdot {\tfrac {3\cdot 1}{3}}-5\\2x&=1-5\\2x&=-4\quad \quad |\quad :2\\x&=-{\tfrac {4}{2}}\quad \quad |\quad :2\\x&=-2\end{aligned}}$ --- Nun fehlt nur noch die Probe mit der Lösung $x=-2$ und $y={\tfrac {1}{3}}$.

3. Lösung BM2333

I) $2x=3y-5$ II) $2x=6y-6$ --- Probe: $x=-2$ und $y={\tfrac {1}{3}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}2x&=3y-5\\2\cdot (-2)&=3\cdot {\tfrac {1}{3}}-5\\-4&=1-5\\-4&=-4\end{aligned}}$ WAHR! --- Probe: $x=-2$ und $y={\tfrac {1}{3}}$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}2x&=6y-6\\2\cdot (-2)&=6\cdot {\tfrac {1}{3}}-6\\-4&={\tfrac {6}{3}}-6\\-4&=2-6\\-4&=-4\end{aligned}}$ WAHR! --- Die Lösung $x=-2$ und $y={\tfrac {1}{3}}$ ist für die Gleichungen I) und II) wahr. $L=\{(-2|{\tfrac {1}{3}})\}$

BM2334

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $y={\tfrac {1}{2}}x+3$

II) $y=0,5x+4$

1. Lösung BM2334
Lösungsweg: Es bietet sich an $y$ von beiden Gleichungen gleichzusetzen.

2. Lösung BM2334
I) $y={\tfrac {1}{2}}x+3$ II) $y=0,5x+4$ --- ${\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}x+3&=0,5x+4\quad \quad |\quad -3\\{\tfrac {1}{2}}x&=0,5x+1\quad \quad |\quad -0,5x\\{\tfrac {1}{2}}x-0,5x&=1\\{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}x&=1\\0&=1\end{aligned}}$ --- $0=1$ - Das kann nicht sein. Also gibt es keine Lösung. Punkt. Die Lösungsmenge ist leer. $L=\{\;\}$

3. Lösung BM2334
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BM2335

Löse das Gleichungssystem!

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I) $y=-{\tfrac {1}{4}}x+3$

II) $y=-0,25x+3$

1. Lösung BM2335
Lösungsweg: Es bietet sich an $y$ von beiden Gleichungen gleichzusetzen.

2. Lösung BM2335

I) $y=-{\tfrac {1}{4}}x+3$ II) $y=-0,25x+3$ --- ${\begin{aligned}-{\tfrac {1}{4}}x+3&=-0,25x+3\quad \quad |\quad -3\\-{\tfrac {1}{4}}x&=-0,25x\quad \quad |\quad +0,25x\\-{\tfrac {1}{4}}x+0,25x&=0\\-{\tfrac {1}{4}}x+{\tfrac {0,25\cdot 100}{100}}x&=0\\-{\tfrac {1}{4}}x+{\tfrac {25}{100}}x&=0\\-{\tfrac {1}{4}}x+{\tfrac {1}{4}}x&=0\\{\tfrac {1}{4}}x-{\tfrac {1}{4}}x&=0\\0&=0\end{aligned}}$ $0=0$ Das ist für jedes mögliche $x$ wahr. Es gibt also unendlich viele Lösungen. $L=\{(x|y)|y=-{\tfrac {1}{4}}x+3\}$ Lies: Die Lösungsmenge sind alle Zahlenpaare x-y, für die gilt: „$y=-{\tfrac {1}{4}}x+3$“.

3. Lösung BM2335
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BM2336

Löse das Gleichungssystem!

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I) $2x+3y=14$

II) $x+2y=8$

Lösung BM2336

Wir setzen $x$ gleich nachdem wir I) und II) nach $x$ aufgelöst haben. --- I) nach $x$ auflösen: ${\begin{aligned}2x+3y&=14\quad \quad |\quad -3y\\2x&=14-3y\quad \quad |\quad :2\\x&=7-{\tfrac {3}{2}}y\end{aligned}}$ --- II) nach $x$ auflösen: ${\begin{aligned}x+2y&=8\quad \quad |\quad -2y\\x&=8-2y\end{aligned}}$ --- $x$ von I') und II') gleichsetzen: ${\begin{aligned}7-{\tfrac {3}{2}}y&=8-2y\quad \quad |\quad -7\\-{\tfrac {3}{2}}y&=1-2y\quad \quad |\quad +2y\\2y-{\tfrac {3}{2}}y&=1\\2y-1{,}5y&=1\\0{,}5y&=1\\{\tfrac {1}{2}}y&=1\\{\tfrac {y}{2}}&=1\quad \quad |\quad \cdot 2\\y&=2\end{aligned}}$ --- $y=2$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}2x+3y&=14\\2x+3\cdot 2&=14\\2x+6&=14\quad \quad |\quad -6\\2x&=8\quad \quad |\quad :2\\x&=4\end{aligned}}$ Lösung: $x=4$ und $y=2$ --- 1. Probe: $x=4$ und $y=2$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}2x+3y&=14\\2\cdot 4+3\cdot 2&=14\\8+6&=14\\14&=14\end{aligned}}$ WAHR! --- 2. Probe: $x=4$ und $y=2$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}x+2y&=8\\4+2\cdot 2&=8\\4+4&=8\\8&=8\end{aligned}}$ WAHR! --- $L=\{(4|2)\}$

BM2337

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $2x+y=4$

II) $3x+2y=5$

1. Lösung BM2337

Wir setzen $x$ gleich nachdem wir I) und II) nach $x$ aufgelöst haben. --- I) nach $x$ auflösen: ${\begin{aligned}2x+y&=4\quad \quad |\quad -y\\2x&=4-y\quad \quad |\quad :2\\x&=2-{\tfrac {1}{2}}y\end{aligned}}$ --- II) nach $x$ auflösen: ${\begin{aligned}3x+2y&=5\quad \quad |\quad -2y\\3x&=5-2y\quad \quad |\quad :3\\x&={\tfrac {5}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y\end{aligned}}$ --- $x$ von I') und II') gleichsetzen: ${\begin{aligned}2-{\tfrac {1}{2}}y&={\tfrac {5}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y\quad \quad |\quad +2\\{\tfrac {1}{2}}y&={\tfrac {5}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y+2\quad \quad |\quad +{\tfrac {2}{3}}y\\{\tfrac {1}{2}}y+{\tfrac {2}{3}}y&={\tfrac {5}{3}}+2\\{\tfrac {3}{6}}y+{\tfrac {4}{6}}y&={\tfrac {5}{3}}+{\tfrac {6}{3}}\\{\tfrac {7}{6}}y&={\tfrac {11}{3}}\\{\tfrac {7}{6}}y&={\tfrac {11}{3}}\quad \quad |\quad \cdot 6\\7y&={\tfrac {11\cdot 6}{3}}\quad \quad |\quad \cdot 6\\7y&={\tfrac {11\cdot 2}{1}}\\7y&=22\quad \quad |\quad :7\\y&={\tfrac {22}{7}}\end{aligned}}$ --- $y={\tfrac {22}{7}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}2x+y&=4\\2x+{\tfrac {22}{7}}&=4\quad \quad |\quad -{\tfrac {22}{7}}\\2x&=4-{\tfrac {22}{7}}\\2x&={\tfrac {4\cdot 7}{7}}-{\tfrac {22}{7}}\\2x&={\tfrac {28}{7}}-{\tfrac {22}{7}}\\2x&={\tfrac {6}{7}}\quad \quad |\quad :2\\x&={\tfrac {6}{7\cdot 2}}\\x&={\tfrac {2\cdot 3}{7\cdot 2}}\\x&={\tfrac {3}{7}}\end{aligned}}$ Lösung: $x={\tfrac {3}{7}}$ und $y={\tfrac {22}{7}}$ --- 1. Probe: $x={\tfrac {3}{7}}$ und $y={\tfrac {22}{7}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}2x+y&=4\\2\cdot {\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {22}{7}}&=4\\{\tfrac {6}{7}}+{\tfrac {22}{7}}&=4\\{\tfrac {28}{7}}&=4\\4&=4\end{aligned}}$ WAHR! --- 2. Probe: $x={\tfrac {3}{7}}$ und $y={\tfrac {22}{7}}$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}3x+2y&=5\\3\cdot {\tfrac {3}{7}}+2\cdot {\tfrac {22}{7}}&=5\\{\tfrac {9}{7}}+{\tfrac {44}{7}}&=5\\{\tfrac {53}{7}}&=5\\7{,}5714&=5\end{aligned}}$ FALSCH! --- Wo lag unser Fehler?

2. Lösung BM2337

$x$ von I') und II') gleichsetzen: ${\begin{aligned}2-{\tfrac {1}{2}}y&={\tfrac {5}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y\quad \quad |\quad {\color {red}+}2\\{\color {red}4}{\color {blue}-}{\tfrac {1}{2}}y&={\tfrac {5}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y+2\end{aligned}}$ Da lag der Fehler! Um in der ersten Zeile die Zwei von der linken auf die rechte Gleichungsseite zu bekommen, hätten wir auf beiden Seiten $-2$ rechnen müssen. Wir haben stattdessen $+2$ gerechnet. Dann hätte aber (mit der $+2$) in der nächsten Zeile die Zwei ganz links nicht verschwinden dürfen, sondern wäre zu einer Vier geworden. Das hat das totale Chaos in der weiteren Berechnung ausgelöst. Wenn bei einer Anfängeraufgabe Brüche rauskommen, die sich nicht kürzen lassen, dann ist meist schon der Wurm drin. --- Wir rechnen also noch mal. Diesmal aber richtig!

3. Lösung BM2337

$x$ von I') und II') gleichsetzen: ${\begin{aligned}2-{\tfrac {1}{2}}y&={\tfrac {5}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y\quad \quad |\quad -2\\-{\tfrac {1}{2}}y&={\tfrac {5}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y-2\quad \quad |\quad +{\tfrac {2}{3}}y\\-{\tfrac {1}{2}}y+{\tfrac {2}{3}}y&={\tfrac {5}{3}}-2\\-{\tfrac {3}{6}}y+{\tfrac {4}{6}}y&={\tfrac {5}{3}}-{\tfrac {6}{3}}\\{\tfrac {1}{6}}y&=-{\tfrac {1}{3}}\quad \quad |\quad \cdot 6\\y&=-{\tfrac {6}{3}}\\y&=-2\end{aligned}}$ $y=-2$ --- $y=-2$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}2x+y&=4\\2x-2&=4\quad \quad |\quad +2\\2x&=4+2\\2x&=6\\2x&=6\quad \quad |\quad :2\\x&=3\end{aligned}}$ Lösung: $x=3$ und $y=-2$ --- 1. Probe: $x=3$ und $y=-2$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}2x+y&=4\\2\cdot 3+(-2)&=4\\6-2&=4\\4&=4\end{aligned}}$ WAHR! --- 2. Probe: $x=3$ und $y=-2$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}3x+2y&=5\\3\cdot 3+2\cdot (-2)&=5\\9-4&=5\\5&=5\end{aligned}}$ WAHR! --- $L=\{(3|-2)\}$

4. Lösung BM2337
Wenn bei einer Anfängeraufgabe Brüche rauskommen, die sich nicht kürzen lassen, dann ist meist schon der Wurm drin. Welcher Wurm?

5. Lösung BM2337
der Holzwurm Da ist der Wurm drin. Gemeint ist der Holzwurm.

6. Lösung BM2337
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BM2338

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $9x+6y=15$

II) $3x+2y=5$

1. Lösung BM2338

Lösungsweg: Wir setzen $x$ gleich nachdem wir I) und II) nach $x$ aufgelöst haben. --- I) nach $x$ auflösen: ${\begin{aligned}9x+6y&=15\quad \quad |\quad -6y\\9x&=15-6y\quad \quad |\quad :9\\x&={\tfrac {15}{9}}-{\tfrac {6}{9}}y\\x&={\tfrac {5}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y\end{aligned}}$ --- II) nach $x$ auflösen: ${\begin{aligned}3x+2y&=5\quad \quad |\quad -2y\\3x&=5-2y\quad \quad |\quad :3\\x&={\tfrac {5}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y\end{aligned}}$ --- $x$ von I') und II') gleichsetzen: ${\begin{aligned}{\tfrac {5}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y&={\tfrac {5}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y\quad \quad |\quad -{\tfrac {5}{3}}\\-{\tfrac {2}{3}}y&={\tfrac {5}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y-{\tfrac {5}{3}}\quad \quad |\quad +{\tfrac {2}{3}}y\\{\tfrac {2}{3}}y-{\tfrac {2}{3}}y&={\tfrac {5}{3}}-{\tfrac {5}{3}}\\0&=0\end{aligned}}$ $0=0$ ist IMMER WAHR, egal welchen Wert wir für $y$ einsetzen. Also gibt es unendlich viele Lösungen. --- Probe: Wir setzen für $y$ irgend einen willkürlich ausgewählten Wert ein. z. B. $y=7$. $y=7$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}9x+6y&=15\\9x+6\cdot 7&=15\\9x+42&=15\quad \quad |\quad -42\\9x&=27\quad \quad |\quad :9\\9x&={\tfrac {27}{9}}\quad \quad |\quad :9\\9x&=3\quad \quad |\quad :9\\x&={\tfrac {3}{9}}\\x&={\tfrac {1}{3}}\end{aligned}}$ Für unser frei gewähltes $y=7$ hat unser zugehöriges $x$ den Wert ${\tfrac {1}{3}}$. --- Bei der Probe mit der Gleichung II) muss dann das gleiche als Lösung rauskommen. $y=7$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}3x+2y&=5\\3x+2\cdot 7&=5\\3x+14&=5\quad \quad |\quad -14\\3x&=-9\quad \quad |\quad :3\\x&=-{\tfrac {9}{3}}\\x&=-3\end{aligned}}$ Da stimmt was nicht! Wenn wir in I) und II) $y=7$ eingeben, dann muss als Ergebnis jeweils der gleiche Wert für $x$ rauskommen. --- Wo liegt unser Fehler?

2. Lösung BM2338

In der ersten Probe ist wieder mal ein Vorzeichenfehler aufgetreten. $y=7$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}9x+6y&=15\\9x+6\cdot 7&=15\\9x+42&=15\quad \quad |\quad -42\\9x&={\color {red}+}27\end{aligned}}$ Das Pluszeichen vor der 27 auf der rechten Seite ist natürlich falsch. Also machen wir die Probe nochmals, diesmal aber mit dem richtigen Vorzeichen: $y=7$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}9x+6y&=15\\9x+6\cdot 7&=15\\9x+42&=15\quad \quad |\quad -42\\9x&=-27\quad \quad |\quad :9\\9x&=-{\tfrac {27}{9}}\quad \quad |\quad :9\\9x&=-3\quad \quad |\quad :9\\x&=-{\tfrac {3}{9}}\\x&=-{\tfrac {1}{3}}\end{aligned}}$ Trotzdem haben wir noch ein Problem, denn in der 2. Probe haben wir $x=-3$ erhalten. Da muss also irgendwo noch ein Fehler stecken, denn $-{\tfrac {1}{3}}\neq -3$. Wenigstens die Vorzeichen stimmen jetzt schon mal überein. Aber wo steckt der Fehler? Wir überprüfen noch mal die 2. Probe. $y=7$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}3x+2y&=5\\3x+2\cdot 7&=5\\3x+14&=5\quad \quad |\quad -14\\3x&=-9\quad \quad |\quad :3\\x&=-{\tfrac {9}{3}}\\x&=-3\end{aligned}}$ Haben wir in der 2. Probe irgendwo einen Fehler?

3. Lösung BM2338

Nein, in der 2. Probe ist kein Fehler zu finden. --- Also überprüfen wir nochmals die 1. Probe. $y=7$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}9x+6y&=15\\9x+6\cdot 7&=15\\9x+42&=15\quad \quad |\quad -42\\9x&=-27\quad \quad |\quad :9\\9x&=-{\tfrac {27}{9}}\quad \quad |\quad :9\\9x&=-3\quad \quad |\quad :9\\x&=-{\tfrac {3}{9}}\\x&=-{\tfrac {1}{3}}\end{aligned}}$ Steckt da vielleicht irgendwo noch ein Fehler?

5. Lösung BM2338
Ja, da steckt der Fehler, in der 1. Probe. Wo?

6. Lösung BM2338

$y=7$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}9x+6y&=15\\9x+6\cdot 7&=15\\9x+42&=15\quad \quad |\quad -42\\9x&=-27\quad \quad |\quad :9\\x&=-{\tfrac {27}{9}}\\x&=-3\end{aligned}}$ Da war ja wirklich alles durcheinander in der 1. Probe. Jetzt stimmt es. Sowohl die erste als auch die zweite Probe ergeben nun für $y=7$ eine $x=-3$. Das wurde auch Zeit. Es gibt also unendlich viele Lösungen für das Gleichungssystem. --- $L=\{(x|y)|y=-{\tfrac {3}{2}}x+{\tfrac {5}{2}}\}$ Lies: Die Lösungsmenge sind alle Zahlenpaare x-y, für die gilt: „$y=-{\tfrac {1}{4}}x+3$“.

7. Lösung BM2338
Aber Vorsicht: Wir können nicht gleichzeitig für $x$ auch irgendeinen frei gewählten Wert einsetzen, z. B. $x=3$. Das kann zufallig gut gehen, aber für gewöhnlich ist $x$ dann falsch, denn $x$ hängt von unserem frei gewählten y-Wert ab. Wir können aber ein einen frei gewählten x-Wert nehmen und daraus einen zugehörigen y-Wert bestimmen.

8. Lösung BM2338
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BM2339

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $6x+4y=8$

II) $3x+2y=5$

1. Lösung BM2339

Lösungsweg: Wir setzen $x$ gleich nachdem wir I) und II) nach $x$ aufgelöst haben. --- I) nach $x$ auflösen: ${\begin{aligned}6x+4y&=8\quad \quad |\quad -4y\\6x&=8-4y\quad \quad |\quad :6\\x&={\tfrac {8}{6}}-{\tfrac {4}{6}}y\\x&={\tfrac {4}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y\end{aligned}}$ --- II) nach $x$ auflösen: ${\begin{aligned}3x+2y&=5\quad \quad |\quad -2y\\3x&=8-2y\quad \quad |\quad :3\\x&={\tfrac {8}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y\end{aligned}}$ --- $x$ von I') und II') gleichsetzen: ${\begin{aligned}{\tfrac {4}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y&={\tfrac {8}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y\quad \quad |\quad -{\tfrac {4}{3}}\\-{\tfrac {2}{3}}y&={\tfrac {8}{3}}-{\tfrac {2}{3}}y-{\tfrac {4}{3}}\quad \quad |\quad +{\tfrac {2}{3}}y\\-{\tfrac {2}{3}}y+{\tfrac {2}{3}}y&={\tfrac {8}{3}}-{\tfrac {4}{3}}\\0&={\tfrac {4}{3}}\end{aligned}}$ --- $0={\tfrac {4}{3}}$ Das kann nicht sein. Diese Aussage ist FALSCH. Das bedeutet, dass dieses Gleichungssystem KEIN Lösung hat. $L=\{\;\}$ --- Probe: Dafür gibt es keine Probe, denn jede Zahl, die wir einsetzen würde zu einen FALSCHEN Ergebnis führen. Es gibt keine Lösung, weshalb wir KEINE Zahlen einsetzen können, die beide Gleichungen des gegebenen Gleichungssystem WAHR machen.

2. Lösung BM2339
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BM2340

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $3y=-6x+51$

II) $3x=-y+17$

1. Lösung BM2340
Zur Abwechslung lösen wir beide Gleichungen mal nach $y$ auf.

2. Lösung BM2340

I) nach $y$ auflösen: ${\begin{aligned}3y&=-6x+51\quad \quad |\quad :3\\y&=-{\tfrac {6}{3}}x+{\tfrac {51}{3}}\\y&=-2x+{\tfrac {51}{3}}\end{aligned}}$ --- II) nach $y$ auflösen: ${\begin{aligned}3x&=-y+17\\-y+17&=3x\quad \quad |\quad -17\\-y&=3x-17\quad \quad |\quad \cdot (-1)\\y&=-3x+17\end{aligned}}$ --- $y$ von I') und II') gleichsetzen: ${\begin{aligned}y&=y\\-2x+{\tfrac {51}{3}}&=-3x+17\quad \quad |\quad -{\tfrac {51}{3}}\\-2x&=-3x+17-{\tfrac {51}{3}}\quad \quad |\quad +3x\\x&=17-{\tfrac {51}{3}}\\x&={\tfrac {17\cdot 3}{3}}-{\tfrac {51}{3}}\\x&={\tfrac {51}{3}}-{\tfrac {51}{3}}\\x&=0\end{aligned}}$ --- $x=0$ in I) gleichsetzen: ${\begin{aligned}3y&=-6x+51\\3y&=-6\cdot 0+51\\3y&=51\quad \quad |\quad :3\\y&={\tfrac {51}{3}}\\y&=17\end{aligned}}$ --- Probe: 1. Probe mit $x=0$ und $y=17$ ${\begin{aligned}3y&=-6x+51\\3\cdot 17&=-6\cdot 0+51\\51&=0+51\\51&=51\end{aligned}}$ WAHR! --- 2. Probe mit $x=0$ und $y=17$ ${\begin{aligned}3x&=-y+17\\3\cdot 0&=-17+17\\0&=0\end{aligned}}$ WAHR! --- $L=\{(0;17)\}$

3. Lösung BM2340
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4. Lösung BM2340
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BM2341 - BM2350

BM2341

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $4b-7=a$

II) $-12b-23a=31$

1. Lösung BM2341

Lösungsweg: Wir setzen $a$ gleich nachdem wir II) nach $a$ umgestellt haben. --- II) nach $a$ auflösen: ${\begin{aligned}-12b-23a&=31\quad \quad |\quad +12b\\-23a&=12b+31\quad \quad |\quad :(-23)\\a&=-{\tfrac {12}{23}}b-{\tfrac {31}{23}}\end{aligned}}$ --- $a$ von I) und II') gleichsetzen: ${\begin{aligned}4b-7&=-{\tfrac {12}{23}}b-{\tfrac {31}{23}}\quad \quad |\quad +7\\4b&=-{\tfrac {12}{23}}b-{\tfrac {31}{23}}+7\quad \quad |\quad +{\tfrac {12}{23}}b\\4b+{\tfrac {12}{23}}b&=-{\tfrac {31}{23}}+7\quad \quad |\quad \cdot 23\\(23\cdot 4b)+12b&=-31+(23\cdot 7)\\92b+12b&=-31+161\\104b&=130\quad \quad |\quad :104\\b&={\tfrac {130}{104}}\\b&={\tfrac {65}{52}}\\b&={\tfrac {5\cdot 13}{2^{2}\cdot 13}}\\b&={\tfrac {5}{4}}\end{aligned}}$ --- $b={\tfrac {5}{4}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}4b-7&=a\\4\cdot {\tfrac {5}{4}}-7&=a\\5-7&=a\\-2&=a\\a&=-2\end{aligned}}$ --- 1. Probe $a=-2$ und $b={\tfrac {5}{4}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}4b-7&=a\\4\cdot {\tfrac {5}{4}}-7&=-2\\5-7&=-2\\-2&=-2\end{aligned}}$ WAHR! --- 2. Probe $a=-2$ und $b={\tfrac {5}{4}}$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}-12b-23a&=31\\-12\cdot {\tfrac {5}{4}}-23\cdot (-2)&=31\\-{\tfrac {3\cdot 4\cdot 5}{4}}+46&=31\\-{\tfrac {3\cdot 5}{1}}+46&=31\\-15+46&=31\\31&=31\end{aligned}}$ WAHR! --- $L=\{(-2;{\tfrac {5}{4}})\}$

2. Lösung BM2341

Alternativer Lösungsweg: $a$ aus Gleichung I) in $a$ aus Gleichung II) EISETZEN. Denn der Lösungsweg, den wir in der ersten Lösung gewählt hatten („Wir setzen $a$ gleich nachdem wir II) nach $a$ umgestellt haben.“) war nicht besonders clever, denn da I) bereits nach $a$ umgestellt ist bietet sich das EINSETZEN förmlich (geradezu) an. --- I) $4b-7=a$ II) $-12b-23a=31$ --- Wie würde man das rechnen?

3. Lösung BM2341

I) $4b-7=a$ II) $-12b-23a=31$ --- $a$ aus Gleichung I) in $a$ aus Gleichung II) einsetzen. ${\begin{aligned}-12b-23a=31\\-12b-23(4b-7)=31\\-12b-(92b-161)=31\\-12b-92b+161=31\quad \quad |\quad -161\\-104b=-130\quad \quad |\quad :(-104)\\b={\tfrac {130}{104}}\\b={\tfrac {2\cdot 5\cdot 13}{2^{3}\cdot 13}}\\b={\tfrac {5}{2^{2}}}\\b={\tfrac {5}{4}}\\b&=1{,}25\end{aligned}}$ Das stimmt schon mal mit dem Ergebnis von der 1. Lösung oben überein. Der Rest ist dann wie beider 1. Lösung: $b=1{,}25$ in I) oder in II) einsetzen, $a$ zu erhalten. Das sparen wir uns hier.

4. Lösung BM2341
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5. Lösung BM2341
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BM2342

Textaufgabe

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12 blaue Brockel und 10 rote Riebalen kosten 38 Euro.

2 blaue Brockel und 15 rote Riebalen kosten 19,40 Euro.

Wie viel kostet ein Brockel und wie viel kostet ein Riebal.

(Anmerkung: Brockel und Riebal sind frei erfundene Phantasienamen.)

1. Lösung BM2342
Lösungsweg: Das ist eine Textaufgabe, die mit Hilfe eines Gleichungssystems gelöst werden kann.

2. Lösung BM2342
Die blauen Brockel wollen wir mit der Variablen $b$ bezeichnen und die roten Riebalen mit der Variablen $r$ Stelle das Gleichungssystem auf!

3. Lösung BM2342
12 blaue Brockel und 10 rote Riebalen kosten 38 Euro. 2 blaue Brockel und 15 rote Riebalen kosten 19,40 Euro. --- I) $12b+10r=38$ II) $2b+15r=19,4$ --- Löse das Gleichungssystem und vergiss nicht den Antwortsatz!

4. Lösung BM2342
Lösungsweg: Wir stellen I) und II) nach $r$ um und setzen $r$ dann gleich.

5. Lösung BM2342

I) $12b+10r=38$ II) $2b+15r=19,4$ --- I) nach $r$ umstellen: ${\begin{aligned}12b+10r&=38\quad \quad |\quad -12b\\10r&=38-12b\quad \quad |\quad :10\\r&={\tfrac {38}{10}}-{\tfrac {12}{10}}b\\r&={\tfrac {19}{5}}-{\tfrac {6}{5}}b\end{aligned}}$ --- II) nach $r$ umstellen: ${\begin{aligned}2b+15r&=19,4\quad \quad |\quad -2b\\15r&=19,4-2b\quad \quad |\quad :15\\r&={\tfrac {19,4}{15}}-{\tfrac {2}{15}}b\\r&={\tfrac {194}{150}}-{\tfrac {2}{15}}b\\r&={\tfrac {97}{75}}-{\tfrac {2}{15}}b\end{aligned}}$ --- $r$ gleichsetzen: ${\begin{aligned}r&=r\\{\tfrac {19}{5}}-{\tfrac {6}{5}}b&={\tfrac {97}{75}}-{\tfrac {2}{15}}b\quad \quad |\quad -{\tfrac {19}{5}}\\-{\tfrac {6}{5}}b&={\tfrac {97}{75}}-{\tfrac {2}{15}}b-{\tfrac {19}{5}}\quad \quad |\quad +{\tfrac {2}{15}}b\\-{\tfrac {6}{5}}b+{\tfrac {2}{15}}b&={\tfrac {97}{75}}-{\tfrac {19}{5}}\\-{\tfrac {18}{15}}b+{\tfrac {2}{15}}b&={\tfrac {97}{75}}-{\tfrac {19\cdot 15}{5\cdot 15}}\\-{\tfrac {16}{15}}b&=-{\tfrac {188}{75}}\quad \quad |\quad \cdot (-1)\\{\tfrac {16}{15}}b&={\tfrac {188}{75}}\quad \quad |\quad \cdot {\tfrac {15}{16}}\\{\tfrac {16\cdot 15}{15\cdot 16}}b&={\tfrac {188\cdot 15}{75\cdot 16}}\\{\tfrac {1\cdot 1}{1\cdot 1}}b&={\tfrac {2820}{1200}}\\b&={\tfrac {2820}{1200}}\\b&={\tfrac {2^{2}\cdot 3\cdot 5\cdot 47}{2^{4}\cdot 3\cdot 5^{2}}}\\b&={\tfrac {2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 47}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \cdot 3\cdot 5^{2}}}\\b&={\tfrac {3\cdot 5\cdot 47}{2\cdot 2\cdot \cdot 3\cdot 5^{2}}}\\b&={\tfrac {3\cdot 5\cdot 47}{2^{2}\cdot 3\cdot 5^{2}}}\\b&={\tfrac {5\cdot 47}{2^{2}\cdot 5^{2}}}\\b&={\tfrac {5\cdot 47}{2^{2}\cdot 5\cdot 5}}\\b&={\tfrac {47}{2^{2}\cdot 5}}\\b&={\tfrac {47}{20}}\\b=2{,}35\end{aligned}}$ --- $b={\tfrac {47}{20}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}12b+10r&=38\\12\cdot {\tfrac {47}{20}}+10r&=38\\{\tfrac {12\cdot 47}{20}}+10r&=38\\{\tfrac {6\cdot 47}{10}}+10r&=38\\{\tfrac {3\cdot 47}{5}}+10r&=38\\{\tfrac {141}{5}}+10r&=38\quad \quad |\quad -{\tfrac {5}{141}}\\10r&=38-{\tfrac {141}{5}}\quad \quad |\quad :10\\r&={\tfrac {38}{10}}-{\tfrac {141}{5\cdot 10}}\\r&={\tfrac {38}{10}}-{\tfrac {141}{50}}\\r&={\tfrac {190}{50}}-{\tfrac {141}{50}}\\r&={\tfrac {49}{50}}\\r&=0,98\end{aligned}}$ --- $b=2{,}35$ und $r=0{,}98$ --- I) $12b+10r=38$ II) $2b+15r=19,4$ --- 1. Probe: $b=2{,}35$ und $r=0{,}98$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}12b+10r&=38\\12\cdot 2{,}35+10\cdot 0{,}98&=38\\28{,}2+9{,}8&=38\\38&=38\end{aligned}}$ WAHR! --- 2. Probe: $b=2{,}35$ und $r=0{,}98$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}2b+15r&=19,4\\2\cdot 2{,}35+15\cdot 0{,}98&=19,4\\4{,}7+14{,}7&=19,4\\19,4&=19,4\end{aligned}}$ WAHR! --- Lösung: $b=2{,}35$ und $r=0{,}98$ --- Nun fehlt nur noch der Antwortsatz.

6. Lösung BM2342
Ein Brockel kostet $2{,}35$ Euro und ein Riebal $0{,}98$

BM2343

Textaufgabe

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Bei einer Expedition soll eine Tagesetappe von 212 km zurückgelegt werden.

Der Geländewagen mit den Expeditionsteilnehmern fährt 10.30 Uhr vom Startpunkt los und hat eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 52 km/h. Einige Stunden vorher soll schon der Begleit-Lkw mit dem Expeditionsgepäck vorgeschickt werden. Er hat eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 28 km/h.

Wann muss der Lkw losfahren, damit er 20 min vor dem Geländewagen am Zielort eintrifft?

1. Lösung BM2343
Lösung: Zuerst denken wir uns mal Variablen für die gegebenen Werte aus: Strecke: 212 km a (Gelängewagen); 52 km/h; 10.30 Uhr b (Lkw); 28 km/h; x Uhr --- Wagen a fährt 212 km mit 52 km/h. Wie lange braucht er für die Strecke? Wagen b fährt 212 km mit 28 km/h. Wie lange braucht er für die Strecke?

2. Lösung BM2343

v= s/t (Geschwindigkeit = Strecke durch Zeit) --- Wagen a fährt 212 km mit 52 km/h. Wie lange braucht er für die Strecke? $v={\tfrac {s}{t}}$ $52{\tfrac {\text{km}}{\text{h}}}={\tfrac {212\;{\text{km}}}{\text{t}}}\quad |\quad \cdot t\quad |\quad :52{\tfrac {\text{km}}{\text{h}}}$ $t={\tfrac {212}{52}}{\tfrac {{\text{km}}\cdot {\text{h}}}{\text{km}}}$ $t\approx 4{,}08\;{\text{h}}$ --- Wagen b fährt 212 km mit 28 km/h. Wie lange braucht er für die Strecke? $28{\tfrac {\text{km}}{\text{h}}}={\tfrac {212\;{\text{km}}}{\text{t}}}\quad |\quad \cdot t\quad |\quad :28{\tfrac {\text{km}}{\text{h}}}$ $t={\tfrac {212}{28}}{\tfrac {{\text{km}}\cdot {\text{h}}}{\text{km}}}$ $t\approx 7{,}57\;{\text{h}}$ --- $7{,}57\;{\text{h}}-4{,}08\;{\text{h}}=3{,}49\;{\text{h}}$ Der Lkw braucht also knapp $3{\tfrac {1}{2}}$ Stunden länger für die Fahrt. Wenn er zur gleichen Zeit wie der Geländewagen ankommen soll, dann muss er 3 Stunden und 30 Minuten eher losfahren. Er soll aber sogar noch 20 Minuten eher da sein. Wie rechnen 20 Minuten in Stunden um. Da drei mal 20 Minuten eine Stunde sind, sind also 20 Minuten eine Drittel Stunde. $20\;{\text{min}}={\tfrac {1}{3}}\;{\text{h}}=0{,}33{\overline {3}}\;{\text{h}}$. --- Wir wollen uns trotzdem noch mal die Formel für die Umrechnung von Bruchteilen von Stunden zu Minuten herleiten, denn das brauchen wir etwas später gleich: $60\;{\text{min}}=1\;{\text{h}}$ Wir ersetzen das $h$ in der Gleichung durch $60\;{\text{min}}$ und erhalten $60\;{\text{min}}=1\cdot (60\;{\text{min}})$. Das war noch nicht besonders nützlich. Aber gleich kommt es: $2,7\;{\text{h}}$ sind wie viel Minuten? Wir ersetzen das $h$ in der Gleichung durch $60\;{\text{min}}$ und erhalten $2,7\cdot (60\;{\text{min}})$. Das brauchen wir nur ausrechnen und schon haben wir Stunden in Minuten umgerechnet: $2,7\cdot (60\;{\text{min}})=162\;{\text{min}}$. Andersrum geht es genau so: Wie viel Stunden sind $273$ min? Dazu ersetzen wir $min$ durch ${\tfrac {1}{60}}\;{\text{h}}$ $273\;{\text{min}}=273\cdot ({\tfrac {1}{60}}\;{\text{h}})={\tfrac {273}{60}}\;{\text{h}}=5{,}55\;{\text{h}}$. Wenn man das erste einmal wiederholt hat, dann weiß man: Stunde mal 60 ist gleich Minuten. Und: Minuten durch Stunden ist gleich Stunden. Aber in 3 Jahren hat man das wieder etwas vergessen und muss sich die Formel erst wieder herleiten: Wir ersetzen die Maßeinheit (in unseren Fall Stunden) durch die neue Maßeinheit (in unserem Fall Minute) zusammen mit der Umrechnungszahl. --- Weiter mit der Lösung:

3. Lösung BM2343
Wie gesagt soll der Lkw $3{,}49\;{\text{h}}$ vorher abfahren und zusätzlich noch 20 Minuten eher. Also $3{,}49\;{\text{h}}+0{,}333\;{\text{h}}=3{,}823\;{\text{h}}$. Wann also soll der Lkw abfahren, wenn der Gekändewagen 10:30 Uhr abfährt? Wie viel Minuten sind $3{,}823$ Stunden?

4. Lösung BM2343
$3{,}823\;{\text{h}}=3{,}823\cdot 60\;{\text{min}}=229{,}38\;{\text{min}}\approx 229\;{\text{min}}$. Wie viel volle Stunden sind das und wie viel restliche Minuten? 3 Stunden sind 180 Minuten (3 * 60 = 180). Bleiben $229\;{\text{min}}-180\;{\text{min}}=49\;{\text{min}}$. Der Lkw muss also 3 h und 49 min vor dem Geländewagen abfahren. Also um wie viel Uhr genau?

5. Lösung BM2343

Der Geländewagen fährt 10.30 Uhr ab. 3:49 h vorher ist wann? 3 Std vorher ist 7.30 Uhr. 3 Std 30 min vorher ist 7.00 Uhr Und noch 19 Minuten eher ist es 6.41 Uhr. --- Der Lkw muss 6.41 Uhr abfahren. --- Und weil es so viel Spaß macht wollen wir die Startzeit noch genauer auf die Sekunde berechnen. Weiter oben hatten wir gerundet: $3{,}823\;{\text{h}}=3{,}823\cdot 60\;{\text{min}}=229{,}38\;{\text{min}}\approx 229\;{\text{min}}$. Wir haben als durch Abrunden $0{,}38\;{\text{min}}$ unter den Tisch fallen lassen. Wie viel Sekunden sind das?

6. Lösung BM2343
$0{,}38\;{\text{min}}$ sind wie viel Sekunden? Die Umrechnung von Minuten in Sekunden erfolgt nach dem gleichen Prinzip wie die Umrechnung von Stunden in Minuten und mit dem gleichen Zahlenwert (mal 60) $1\;{\text{h}}=60\;{\text{min}}$ $1\;{\text{min}}=60\;{\text{sec}}$

7. Lösung BM2343

$0{,}38\;{\text{min}}$ sind wie viel Sekunden? $0{,}38\;{\text{min}}=0{,}38\cdot 60\;{\text{sec}}=22{,}8\;{\text{sec}}\approx 23\;{\text{sec}}$ --- Eine weitere Umrechnung für $0{,}8\;{\text{sec}}$ gibt es nicht, denn das sind Zehntelsekunden. Man kann sie deshalb ohne Umrechnung hinter dem Komma schreiben, denn nun befinden wir uns im Dezimalsystem und nicht mehr im Sexagesimalsystem (Sechziger-Stellenwert-System). --- Beliebt ist auch die Umrechnung der Windgeschwindigkeit von m/s im km/h. Der Wind weht mit 45 m/s. Wie viel km/h sind das?

8. Lösung BM2343

Der Wind weht mit 45 m/s. Wie viel km/h sind das? $1000\;{\text{m}}=1\;{\text{km}}$; also: $1\;{\text{m}}={\tfrac {1}{1000}}\;{\text{km}}$ und $1\;{\text{h}}=60\;{\text{min}}$; also: $1\;{\text{min}}={\tfrac {1}{60}}\;{\text{h}}$ $1\;{\text{min}}=60\;{\text{s}}$; also: $1\;{\text{s}}={\tfrac {1}{60}}\;{\text{min}}$ daraus folgt: $1h=60\;{\text{min}}=60\cdot 60\;{\text{s}}=3600\;{\text{s}}$; also: $1\;{\text{s}}={\tfrac {1}{60\cdot 60}}\;{\text{h}}={\tfrac {1}{3600}}\;{\text{h}}$ --- Na? Klingelt's? Der Wind weht mit 45 m/s. Wie viel km/h sind das?

9. Lösung BM2343
Der Wind weht mit 45 m/s. Wie viel km/h sind das? --- Du brauchst natürlich nicht alle Umrechnungszahlen, sondern nur diese: $1\;{\text{s}}={\tfrac {1}{3600}}\;{\text{h}}$ $1\;{\text{m}}={\tfrac {1}{1000}}\;{\text{km}}$ --- Und wie lautet nun das Ergebnis?

10. Lösung BM2343

Der Wind weht mit 45 m/s. Wie viel km/h sind das? --- $1\;{\text{m}}={\tfrac {1}{1000}}\;{\text{km}}$ $1\;{\text{s}}={\tfrac {1}{3600}}\;{\text{h}}$ --- ${\begin{aligned}45{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}&=45\left({\frac {{\tfrac {1}{1000}}\;{\text{km}}}{{\tfrac {1}{3600}}\;{\text{h}}}}\right)\\&=45\left({\frac {\tfrac {1}{1000}}{\tfrac {1}{3600}}}\right){\tfrac {\text{km}}{\text{h}}}\\&=45({\tfrac {1}{1000}}\cdot {\tfrac {3600}{1}}){\tfrac {\text{km}}{\text{h}}}\\&=45({\tfrac {3600}{1000}}){\tfrac {\text{km}}{\text{h}}}\\&=45\cdot 3{,}6{\tfrac {\text{km}}{\text{h}}}\\45{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}&=162{\tfrac {\text{km}}{\text{h}}}\end{aligned}}$

BM2344

Textaufgabe

---

Ein Motorrad und ein Pkw fahren die gleiche Strecke mit einer Stunde Zeitunterschied ab. Zuerst fährt der Pkw los. Am Ziel kommt aber zuerst das Motorrad an und erst anderthalb Stunden später der Pkw. Der Pkw fährt mit einer Geschwindigkeit von 105 km/h und das Motorrad mit 136 km/h. Wie lang ist die zurückgelegte Strecke?

1. Lösung BM2344
Lösung: Zuerst denken wir uns mal Variablen für die gegebenen Werte aus: Strecke [km]: $x$ Motorrad a: 105 km/h; Zeit $t_{a}$ Pkw b: 136 km/h; Zeit $t_{b}$ --- ${\text{v}}={\tfrac {\text{s}}{\text{t}}}$ Geschwindigkeit ist gleich Strecke durch Zeit. --- Damit stellen wir jetzt zwei Gleichungen auf und lösen dann das Gleichungssystem. Los geht's!

2. Lösung BM2344

${\text{v}}={\tfrac {\text{s}}{\text{t}}}$ --- Motorrad a: 105 km/h; Zeit $t_{a}$ I) $105{\tfrac {\text{km}}{\text{h}}}={\tfrac {x\;{\text{km}}}{t_{a}\;{\text{h}}}}$ Pkw b: 136 km/h; Zeit $t_{b}$ II) $136{\tfrac {\text{km}}{\text{h}}}={\tfrac {x\;{\text{km}}}{t_{b}\;{\text{h}}}}$ --- Der Pkw fährt 1 Std. eher ab und kommt zusätzlich anderthalb Stunden später an. Er ist also 2,5 h länger unterwegs. $t_{a}=t_{b}+2{,}5$ III) $t_{a}-t_{b}=2{,}5$ Stunden Wie geht es weiter? --- Komisch, jetzt haben wir drei Gleichungen. Vielleicht ist ja eine davon nicht erforderlich?

3. Lösung BM2344
Doch, wir brauchen drei Gleichungen, denn wir haben ja auch drei Ungekannte: $t_{a}$, $t_{b}$ und $t_{x}$. --- Wir stellen I) und II) nach $x$ um und setzen $x$ gleich. So eliminieren wir erste mal unser $x$. Na dann, nur zu!

4. Lösung BM2344

I) ${\begin{aligned}105{\tfrac {\text{km}}{\text{h}}}&={\tfrac {x}{t_{a}\;{\text{h}}}}\quad \quad |\quad \cdot t_{b}\;{\text{h}}\\x&=105{\tfrac {\text{km}}{\text{h}}}\cdot t_{a}\;{\text{h}}\\x&=105\cdot t_{a}{\tfrac {{\text{km}}\cdot {\text{h}}}{\text{h}}}\\x&=105\cdot t_{a}\;{\text{km}}\end{aligned}}$ Oder ohne Maßeinheit: I') $x=105t_{a}$ --- II) $136={\tfrac {x}{t_{b}}}$ II') $x=136t_{b}$ --- $x$ aus I') und II') gleichsetzen: ${\begin{aligned}x&=x\\105\cdot t_{a}&=136t_{b}\end{aligned}}$ --- Nun haben wir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten: $t_{a}$ und $t_{b}$ III) $t_{a}-t_{b}=2{,}5$ IV) $105\cdot t_{a}=136t_{b}$ --- Das betrachten wir wieder als Gleichungssystem. Wie man das löst wissen wir ja schon. --- Lösungsweg: Wir lösen beide Gleichungen nach $t_{a}$ auf und setzen dann $t_{a}$ gleich. Bitte selbständig weiterrechnen!

5. Lösung BM2344
III) nach $t_{a}$ umstellen: ${\begin{aligned}t_{a}-t_{b}&=2,5\quad \quad |\quad +t_{b}\\t_{a}&=2,5+t_{b}\end{aligned}}$ --- IV) nach $t_{a}$ umstellen: ${\begin{aligned}105\cdot t_{a}&=136t_{b}\quad \quad |\quad :105\\t_{a}&={\tfrac {136t_{b}}{105}}\\t_{a}&={\tfrac {136}{105}}t_{b}\end{aligned}}$ --- $t_{a}$ gleichsetzen! Rechne alleine weiter!

6. Lösung BM2344

$t_{a}$ gleichsetzen! ${\begin{aligned}t_{a}&=t_{a}\\2{,}5+t_{b}&={\tfrac {136}{105}}t_{b}\quad \quad |\quad -2{,}5\\t_{b}&={\tfrac {136}{105}}t_{b}-2{,}5\quad \quad |\quad -{\tfrac {136}{105}}t_{b}\\t_{b}-{\tfrac {136}{105}}t_{b}&=-2{,}5\\1t_{b}-{\tfrac {136}{105}}t_{b}&=-2{,}5\\{\tfrac {105}{105}}t_{b}-{\tfrac {136}{105}}t_{b}&=-2{,}5\\({\tfrac {105}{105}}-{\tfrac {136}{105}})t_{b}&=-2{,}5\\-{\tfrac {31}{105}}t_{b}&=-2{,}5\quad \quad |\quad \cdot (-1)\\{\tfrac {31}{105}}t_{b}&=2{,}5\quad \quad |\quad \cdot {\tfrac {105}{31}}\\t_{b}&={\tfrac {2,5\cdot 105}{31}}\\t_{b}&={\tfrac {262{,}5}{31}}\\t_{b}&\approx 8{,}468\end{aligned}}$ $t_{b}=8{,}468$ Stunden Der Pkw braucht also für die Strecke von x km Länge eine Zeit von 8,468 Stunden. Da wir wissen, dass er mit 105 km/h fährt. Können wir die Strecke ganz einfach ausrechnen.

7. Lösung BM2344
$v={\tfrac {s}{t}}$ $s=v\cdot t$ $s=105\cdot 8{,}468$ $s=889,14$ km --- Frage Wie lang ist die zurückgelegte Strecke? Antwort: Die zurückgelegte Strecke ist ca 889 km lang. --- Führe die Probe durch!

8. Lösung BM2344

Die zurückgelegte Strecke ist 889,14 km lang. Wir kontrollieren also, ob das Motorrad die gleiche Strecke mit einer Geschwindigkeit von 136 km/h in einer 2,5 Stunden kürzeren Zeit zurücklegt. $8{,}468-2{,}5=5{,}968$ Stunden. $v={\tfrac {s}{t}}$ $s=889,14$ km $t=5{,}968$ h $v={\tfrac {889{,}14}{5{,}968}}$ km/h $v=148{,}98$ km/h --- Hm? Eigentlich hätten wir auf eine Geschwindigkeit von 136 km/h kommen sollen, denn mit dieser Geschwindigkeit fährt das Motorrad die Strecke ab. --- Wo liegt der Fehler? Nur aus seinen Fehlern lernt man.

9. Lösung BM2344

Wir könnten uns überall verrechnet haben. Wir machen erst mal eine Überschlagsrechnung mit einem ungefähren Ergebnis, um zu sehen ob wir total falsch liegen oder in der Nähe des richtigen Ergebnisses. v = s/t also s = v*t (s ist unsere gesuchte Strecke x) PKW: 8,5 * 105 = 892,4 km Motorrad: 6 * 136 = 816 km Wir liegen also gar nicht so sehr daneben mit unseren Strecken. --- Der Pkw fährt eine Stunde früher ab und kommt 1,5 Stunden später an, er hat also eine 2,5 Stunden längere Fahrzeit. Bei den Einheiten können wir uns auch nicht geirrte haben, denn wir haben durchgehend mit km und Stunden gerechnet, nie mit Minuten oder Meter. --- Wir gehen bitte noch mal alle Rechnungen durch.

10. Lösung BM2344
Die Berechnungen stimmen alle. Vielleicht haben wir einen Fehler in unseren Schlussfolgerungen?

11. Lösung BM2344

v = s/t s = v * t x entspricht s y entspricht t x = v * y y-2,5 ist die Zeit für das Motorrad. --- Wir setzen ein Gleichungssystem an: I) x = 105y II) x = 136 (y - 2,5) --- 105y = 136(y-2,5) y = 10,9677 Das Auto fährt 11 Stunden x = 105 * 10,9677 = 1151,6 Die Strecke ist 1151,6 km. --- Probe: Pkw: 105 km/h * 11 h = 1155 km Motorrad: 136 km/h * 8,5 h = 1156 km 1155 km = 1156 km Antwort: Die Strecke beträgt 1155,6 km.

12. Lösung BM2344

Noch mal langsam und zum Mitschreiben: $v={\tfrac {s}{t}}$ $s=v\cdot t$ --- $s$ (die gesucht Strecke in Kilometern) $v_{a}=105$ km/h (Geschw. d. Pkw's) $v_{b}=136$ km/h (Geschw. d. Lkw's) $t_{a}$ (Fahrtdauer d. Pkw's in Std.) $t_{b}$ (Fahrtdauer d. Lkw's in Std.) --- Wir setzen ein Gleichungssystem an: I) $s=105\cdot t_{a}$ II) $s=136\cdot t_{b}$ III) $t_{a}=t_{b}+2{,}5$ --- Für das $t_{a}$ in I) setzen wir $t_{b}+2{,}5$ aus III) ein und erhalten I'): I') $s=105\cdot (t_{b}+2{,}5)$. --- Wir setzen das $s$ von I') und II) gleich. $105\cdot (t_{b}+2{,}5)=136\cdot t_{b}$. Das stellen wir nach $t_{b}um$, mit folgenden Schritten: ${\begin{aligned}s&=s\\105\cdot (t_{b}+2{,}5)=136\cdot t_{b}\\105t_{b}+262,5=136\cdot t_{b}\quad \quad |\quad -105t_{b}\\262,5=136t_{b}-105t_{b}\\262,5=31t_{b}\quad \quad |\quad :31\\t_{b}={\tfrac {262,5}{31}}\\t_{b}=8,4677\end{aligned}}$ Die Fahrzeit für das Motorrad beträgt ca. 8,5 Std. Das Stimmt mit unserer Berechnung aus der 10. Lösung überein. --- Aber wo war unser Fehler in der ursprünglichen (ersten) Berechnung?

13. Lösung BM2344
In der ursprünglichen Berechnung hatten wir die Fahrzeit für das Auto (anstatt für das Motorrad) mit 8,5 Std. berechnet. Wir haben also irgendwo etwas mit den 2,5 Stunden verhauen. Haben wir sie falsch eingetragen oder addiert statt subtrahiert? Aber wo genau?

14. Lösung BM2344

Der Fehler steckt bei der 6. Lösung ganz unten: Dort stand: „$t_{b}=8{,}468$ Stunden“ „Der Pkw braucht also für die Strecke von x km Länge eine Zeit von 8,468 Stunden. Da wir wissen, dass er mit 105 km/h fährt. Können wir die Strecke ganz einfach ausrechnen.“ --- Das ist falsch, denn $t_{b}$ ist nicht die Geschwindigkeit des Pkw's, wie im nächsten Satz behauptet wird, sondern die Geschwindigkeit des Motorrades. In der Folge haben wir dann als Folgefehler $8,5-2,5$ statt $8,5+2,5$ Stunden gerechnet. --- Immer diese Flüchtigkeitsfehler.

BM2345

Textaufgabe

---

Zwei Radfahrer fahren eine 50 km lange Strecke ${\overline {AB}}$ in entgegengesetzter Richtung. Der erste Radfahrer fährt von $A$ nach $B$. Der zweite Radfahrer fährt 7,2 Minuten später los, von $B$ nach $A$. Nach 2 Stunden 3 Minuten und 25 Sekunden treffen sie sich bei ihrer Fahrt in entgegengesetzte Richtungen. Wo liegt ihr Begegnungspunkt auf der Strecke ${\overline {AB}}$?

1. Lösung BM2345

So kann das nichts werden. Uns fehlen noch zusätzliche Informationen. Wenn wir nicht die Geschwindigkeit haben oder die Zeit, die sie für die Gesamtstrecke benötigen, dann haben wir zu viele Unbekannte. Der 1. Radler könnte 3 km/h fahren und der 2. Radfahrer 20 km. Der 1. Radler könnte auch 20 km/h fahren und der 2. Radfahrer 21 km. Wir wollen es trotzdem mal versuchen und schauen, ob wir auch ohne die Geschwindigkeitsangabe auskommen. --- v = s/t 1. Radfahrer: Er legt die Strecke ${\overline {AX}}=s_{a}$ mit einer Geschwindigkeit von $v_{a}$ km/h in $t_{a}$ Stunden zurück. --- 2. Radfahrer: Er legt die Strecke ${\overline {BX}}=s_{b}$ mit einer Geschwindigkeit von $v_{b}$ km/h in $t_{b}$ Stunden zurück. --- Weiterhin wissen wir, dass beide Teilstrecken zusammen die Gesamtstrecke ergeben: ${\overline {AX}}+{\overline {BX}}=50$ oder anders ausgedrückt $s_{a}+s_{b}=50$ Kilometer. --- Und zum Schluss wissen wir noch wie lange die Fahrten dauern: für den 1. Radfahrer: 2 Stunden 3 Minuten und 25 Sekunden und für den 2. Radfahrer: 2 Stunden 3 Minuten und 25 Sekunden PLUS 7,2 Minuten. Das wollen wir zu aller Anfang in Stunden umrechnen, um später nicht über Sekunden und Minuten zu stolpern. Rechne die Zeiten für den 1. und 2. Radfahrer in Stunden um!

2. Lösung BM2345

1. Radfahrer: 2 Stunden 3 Minuten und 25 Sekunden Überschlag: das müsste ein ganz klein wenig mehr als eine Stunde sein. Sechs Minuten sind eine Zehntel Stunden, denn 6 mal 10 ist gleich 60 2 Std 6 Min wären 2,1 Stunden also sind 2 Std 3 Min über den Daumen 2,05 Stunden. --- Wir rechnen aber erst mal die Sekunden in Minuten um: Überschlag: 25 s sind ungefähr 0,5 min Und schon wissen wir, ob wir 25 mal 60 nehmen müssen oder durch 60 teilen müssen. $25\cdot 60=1500$ $25:60=0{,}41{\overline {6}}$ Ohne dass wir uns wieder die Umrechnungsformel ins Gedächtnis rufen müssen oder mühevoll herleiten müssen, sieht schon ein Blinder mit dem Krückstock, dass es das „mal $60$“ sein muss, denn das kommt doch unserem Überschlag viel näher: $25\;{\text{s}}\approx 0{,}4\;{\text{min}}$ --- $0{,}4\;{\text{min}}+3\;{\text{min}}=3{,}4\;{\text{min}}$ Jetzt rechnen wir die Minuten in Stunden um: $3{,}4\;{\text{min}}:60=0{,}05{\overline {6}}\;{\text{h}}$ --- $2\;{\text{h}}+0{,}05{\overline {6}}\;{\text{h}}\approx 2{,}05\;{\text{h}}$ --- Jetzt die Umrechnung für den 2. Radfahrer: 2 Stunden 3 Minuten und 25 Sekunden PLUS 7,2 Minuten sind also: 2 Stunden 10,2 Minuten und 25 Sekunden. Wir rechnen dieses mal gleich alles auf einmal in einer Gleichung aus (das Prinzip ist das gleiche): $((25:60)+10,2):60+2$ Als Überschlag sollte etwas mehr als 2,05 Stunden rauskommen, sagen wir 2,17 Stunden: ${\begin{aligned}((25:60)+10,2):60+2&=({\tfrac {25}{60}}+10,2):60+2\\&=({\tfrac {5}{12}}+10,2):60+2\\&\approx (0,41667+10,2):60+2\\&\approx (10,61667):60+2\\&\approx 0,1769+2\\&\approx 2,1769\end{aligned}}$ --- 1. Radfahrer: $t_{a}=2{,}05$ Stunden 2. Radfahrer: $t_{b}=2{,}18$ Stunden --- Die anderen Werte übernehme wir noch mal von oben: v = s/t 1. Radfahrer: Er legt die Strecke ${\overline {AX}}=s_{a}$ mit einer Geschwindigkeit von $v_{a}$ km/h in $t_{a}$ Stunden zurück. 2. Radfahrer: Er legt die Strecke ${\overline {BX}}=s_{b}$ mit einer Geschwindigkeit von $v_{b}$ km/h in $t_{b}$ Stunden zurück. $s_{a}+s_{b}=50$ --- Gesucht ist $s_{a}$ und $s_{b}$. Stelle damit ein Gleichungssystem auf!

3. Lösung BM2345
$v={\tfrac {s}{t}}$ $s=v\cdot t$ --- I) $s_{a}=v_{a}\cdot 2{,}05$ (1. Radfahrer) II) $s_{b}=v_{b}\cdot 2{,}18$ (2. Radfahrer) III) $s_{a}+s_{b}=50$ III') $s_{a}=50-s_{b}$ --- Wir haben also die 3 Gleichungen I), II) und III') Allerdings haben wir gleichzeitit 4 Unbekannte: $s_{a}$ $s_{b}$ $v_{a}$ $v_{b}$ --- Das kann nicht gut gehen. Dieses Gleichungssystem lässt sich NICHT lösen.

4. Lösung BM2345

Wir wollen also zusätzlich annehmen, dass der 2. Radfahrer 10 % schneller fährt, als der 1. Radfahrer. --- $v_{b}=v_{a}+10\%$ $v_{b}=1v_{a}+0{,}1v_{a}$ $v_{b}=1{,}1v_{a}$ Nun haben wir 4 Unbekannte und 4 Gleichungen: $s_{a}$ $s_{b}$ $v_{a}$ $v_{b}$ --- I) $s_{a}=v_{a}\cdot 2{,}05$ (1. Radfahrer) II) $s_{b}=v_{b}\cdot 2{,}18$ (2. Radfahrer) III') $s_{a}=50-s_{b}$ IV) $v_{b}=1,1v_{a}$ --- Wir können wir das lösen?

5. Lösung BM2345

I) $s_{a}=v_{a}\cdot 2{,}05$ (1. Radfahrer) II) $s_{b}=v_{b}\cdot 2{,}18$ (2. Radfahrer) III') $s_{a}=50-s_{b}$ IV) $v_{b}=1{,}1v_{a}$ --- $s_{a}$ von III') in I) einsetzen: I') $50-s_{b}=v_{a}\cdot 2{,}05$ --- $v_{b}$ von IV) in II) einsetzen: II') $s_{b}=(1{,}1v_{a})\cdot 2{,}18$ --- $s_{b}$ von II') in I') einsetzen: $50-((1{,}1v_{a})\cdot 2{,}18)=v_{a}\cdot 2{,}05$ --- Das muss jetzt nur noch nach $v_{a}$ aufgelöst werden. Viel Spaß dabei!

6. Lösung BM2345

${\begin{aligned}50-((1,1v_{a})\cdot 2{,}18)&=v_{a}\cdot 2{,}05\\50-2{,}398v_{a}&=2{,}05v_{a}\quad \quad |\quad +2{,}398v_{a}\\50&=2{,}05v_{a}+2{,}398v_{a}\\50&=4{,}448v_{a}\quad \quad |\quad :4{,}448\\v_{a}&={\tfrac {50}{4{,}448}}\\v_{a}&\approx 11{,}241\end{aligned}}$ Das 1. Fahrrad fährt mit einer Geschw. von $11{,}2$ km/h. --- Nun können wir die Geschwindigkeit des 2. Fahrrades ausrechnen: IV) $v_{b}=1{,}1v_{a}$ Wir setzen $v_{a}=11{,}2$ ein: ${\begin{aligned}v_{b}&=1{,}1v_{a}\\v_{b}&=1{,}1\cdot 11{,}2\\v_{b}&=12{,}32\end{aligned}}$ Das 2. Fahrrad fährt mit einer Geschw. von $12{,}32$ km/h. --- Jetzt wollen wir die zurückgelegten Strecken ausrechnen.

8. Lösung BM2345

Das 1. Fahrrad fährt mit 11,2 km/h 2 Stunden 3 Minuten und 25 Sekunden lang. Wir müssen die Zeit in Stunden mit Dezimalstellen umrechnen: $25\cdot {\tfrac {1}{60}}=0{,}417$ Minuten $3{,}417\cdot {\tfrac {1}{60}}=0{,}057$ Stunden Also beträgt die Fahrzeit bis zum Begegnungspunkt: 2,057 Stunden. Nun können wir die zurückgelegte Strecke bis zum Begegnungspunkt berechnen: $v={\tfrac {s}{t}}$ $s=v\cdot t$ $s=11,2\cdot 2,057$ $s=23,0384$ km Der Begegnungspunkt liegt also $23,038$ km vom Punkt A entfernt. --- Das 2. Fahrrad fährt mit 12,32 km/h 7,5 Minuten später los, also fährt er 2 Stunden 3 Minuten und 25 Sekunden MINUS 7,5 Minuten. Also 2 Stunden Minus 4,5 Minuten. Das ist 1 Stunde und 55,5 Minuten. Wir rechnen die Zeit in Stunden um: $55{,}5\cdot {\tfrac {1}{60}}=0{,}925$ Stunden. Also beträgt für den 2. Radfahrer die Fahrzeit bis zum Begegnungspunkt: 1,925 Stunden. Nun können wir die zurückgelegte Strecke von Punkt B bis zum Begegnungspunkt berechnen: $s=v\cdot t$ $s=12,32\cdot 1,925$ $s=23,716$ km Der Begegnungspunkt liegt also $23,716$ km vom Punkt B entfernt. --- Nun fehlt noch die Probe. (Man kann ja nie wissen.)

9. Lösung BM2345

Der erste Radfahrer fährt $23,038$ km vom Punkt A bis zum Begegnungspunkt. Der erste Radfahrer fährt $23,716$ km vom Punkt B bis zum Begegnungspunkt. $23,038+23,716=46,754$ km. Die Strecke von A bis zum Begegnungspunkt und weiter bis B ist laut der Probe 46,754 km lang. Das kann NICHT stimmen, denn die Strecke ist mit 50 km gegeben. --- Wo liegt der Fehler. (Für einen Rundungsfehler ist der Fehler zu groß, da wir bis auf den Meter genau gerechnet haben und auch bis auf die zehn Sekunden genau.)

10. Lösung BM2345
Wir haben eine Streckendiskrepanz von über 3 km. Für diese Strecke braucht der 1. Radfahrer mit einer Geschw. von $11{,}2$ km/h. v = s/t t = s/v t = 4/11,2 t = 0,357 Stunden 1 Stunden = 60 Minuten 0,1 Stunden = 6 Minuten 0,3 Stunden = 18 Minuten Wir haben also eine Zeitdiskrepanz von 18 Minuten. Das kann kein Rundungsfehler sein. --- Wo liegt der Fehler?

11. Lösung BM2345

Im letzten Abschnitt von "1. Lösung BM2345" hat sich ein Fehler eingeschlichen. Dort steht: Und zum Schluss wissen wir noch wie lange die Fahrten dauern: für den 1. Radfahrer: 2 Stunden 3 Minuten und 25 Sekunden und für den 2. Radfahrer: 2 Stunden 3 Minuten und 25 Sekunden PLUS 7,2 Minuten. Das wollen wir zu aller Anfang in Stunden umrechnen, um später nicht über Sekunden und Minuten zu stolpern. Rechne die Zeiten für den 1. und 2. Radfahrer in Stunden um! --- PLUS 7,2 Minuten ist FALSCH. Es muss lauten: MINUS 7,2 Minuten. Denn „der zweite Radfahrer fährt 7,2 Minuten später los“. Er hat also weniger Zeit bis zum Begegnungspunkt als der 1. Radfahrer. Außerdem ist uns in der 8. Lösung noch ein Fehler unterlaufen. Dort hatten wir geschrieben: „Das 2. Fahrrad fährt mit 12,32 km/h 7,5 Minuten später los.“ Es muss aber „7,2 Minuten“ lauten. Aber dieser Fehler hatte das falsche Ergebnis nur minimal verfälscht. --- Also müssen wir alles noch mal rechnen. Los gehts!

13. Lösung BM2345

$t_{a}=2{,}05$ h (Die Geschwindigkeit für den 1. Radfahrer hatten wir schon richtig ermittelt. - s. 2. Lösung) --- Jetzt die Umrechnung für den 2. Radfahrer: 2 Stunden 3 Minuten und 25 Sekunden Minus 7,2 Minuten sind also: $7,2:60=0,12$ Stunden $2,05-0,12=1,93$ Stunden $t_{b}=1{,}93$ h --- 1. Radfahrer: Er legt die Strecke ${\overline {AX}}=s_{a}$ mit einer Geschwindigkeit von $v_{a}$ km/h in $t_{a}$ Stunden zurück. 2. Radfahrer: Er legt die Strecke ${\overline {BX}}=s_{b}$ mit einer Geschwindigkeit von $v_{b}$ km/h in $t_{b}$ Stunden zurück. $s_{a}+s_{b}=50$ --- Gesucht ist $s_{a}$ und $s_{b}$. Stelle damit ein Gleichungssystem auf! --- Wir wollen zusätzlich annehmen, dass der 2. Radfahrer 10 % schneller fährt, als der 1. Radfahrer. --- $v_{b}=v_{a}+10\%$ $v_{b}=1v_{a}+0{,}1v_{a}$ $v_{b}=1{,}1v_{a}$ Nun haben wir 4 Unbekannte und 4 Gleichungen: $s_{a}$ $s_{b}$ $v_{a}$ $v_{b}$ --- I) $s_{a}=v_{a}\cdot 2{,}05$ (1. Radfahrer) II) $s_{b}=v_{b}\cdot 1{,}93$ (2. Radfahrer) III') $s_{a}=50-s_{b}$ IV) $v_{b}=1,1v_{a}$ --- $s_{a}$ von III') in I) einsetzen: I') $50-s_{b}=v_{a}\cdot 2{,}05$ --- $v_{b}$ von IV) in II) einsetzen: II') $s_{b}=(1{,}1v_{a})\cdot 1{,}93$ --- $s_{b}$ von II') in I') einsetzen: $50-((1{,}1v_{a})\cdot 1{,}93)=v_{a}\cdot 2{,}05$ --- Das muss jetzt nur noch nach $v_{a}$ aufgelöst werden. --- ${\begin{aligned}50-((1,1v_{a})\cdot 1{,}93)&=v_{a}\cdot 2{,}05\\50-2{,}123v_{a}&=2{,}05v_{a}\quad \quad |\quad +2{,}123v_{a}\\50&=2{,}05v_{a}+2{,}123v_{a}\\50&=4{,}173v_{a}\quad \quad |\quad :4{,}173\\v_{a}&={\tfrac {50}{4{,}173}}\\v_{a}&\approx 11{,}98178\end{aligned}}$ Das 1. Fahrrad fährt mit einer Geschw. von $11{,}98$ km/h. --- Nun können wir die Geschwindigkeit des 2. Fahrrades ausrechnen: IV) $v_{b}=1{,}1v_{a}$ Wir setzen $v_{a}=11{,}98$ ein: ${\begin{aligned}v_{b}&=1{,}1v_{a}\\v_{b}&=1{,}1\cdot 11{,}98\\v_{b}&=13{,}178\end{aligned}}$ Das 2. Fahrrad fährt mit einer Geschw. von $13{,}178$ km/h. --- Jetzt wollen wir die zurückgelegten Strecken ausrechnen. Das 1. Fahrrad fährt mit 11,98 km/h 2 Stunden 3 Minuten und 25 Sekunden lang. Wir müssen die Zeit in Stunden mit Dezimalstellen umrechnen: Das hatten wir oben schon gemacht: $t_{a}=2{,}05$ h Also beträgt die Fahrzeit bis zum Begegnungspunkt: 2,05 Stunden. Nun können wir die zurückgelegte Strecke bis zum Begegnungspunkt berechnen: $v={\tfrac {s}{t}}$ $s=v\cdot t$ $s=11,98\cdot 2,05$ $s=24,559$ km Der Begegnungspunkt liegt also $24,559$ km vom Punkt A entfernt. --- Das 2. Fahrrad fährt mit 13,178 km/h 7,5 Minuten später los, es fährt insgesamt 1,93 Stunden, das hatten wir oben schon mal ausgerechnet. $t_{b}=1{,}93$ h Also beträgt für den 2. Radfahrer die Fahrzeit bis zum Begegnungspunkt: 1,93 Stunden. Nun können wir die zurückgelegte Strecke von Punkt B bis zum Begegnungspunkt berechnen: $s=v\cdot t$ $s=13,178\cdot 1,93$ $s=25,43354$ km Der Begegnungspunkt liegt also $25,43354$ km vom Punkt B entfernt. --- Probe: $24,559+25,43354=49,99254$ Das passt doch. Jetzt haben wir nur noch einen Rundungsfehler von 7,5 Metern. Diese Genauigkeit soll uns reichen. --- $s_{a}=24,559$ km $s_{b}=25,43354$ km

14. Lösung BM2345
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BM2346

Textaufgabe

---

Ein Personenzug fährt 8.23 Uhr auf einer eingleisigen Strecke in A-Hausen los, Richtung B-Hausen. Seine geplante Ankunftszeit in B-Hausen ist 9.46 Uhr.

Um 8.47 Uhr fährt ein Güterzug auf der gleichen eingleisigen Strecke in B-Hausen los, Richtung A-Hausen. Seine geplante Ankunftszeit in A-Hausen ist 11.01 Uhr.

Um wie viel Uhr würden die Züge zusammenstoßen, wenn nicht irgendwelche Sicherungseinrichtungen den Zugunfall verhindern würden?

1. Lösung BM2346

1. Zug (rot) Er fährt die Strecke $s$ in 83 Minuten. (Nebenrechnung: 8.23 Uhr bis 9.46 Uhr; $37+46=83$ Minuten. $83:60=1,383$ Stunden.) $v={\tfrac {s}{t}}$ I) $v_{a}={\tfrac {s}{1,383}}$ --- 2. Zug (blau) Er fährt die Strecke $s$ in 134 Minuten. (Nebenrechnung: 8.47 Uhr bis 11.01 Uhr; $13+120+1=134$ Minuten. $134:60=2,233$ Stunden.) $v={\tfrac {s}{t}}$ I) $v_{b}={\tfrac {s}{2,233}}$ --- I) $v_{a}={\tfrac {s}{1,383}}$ II) $v_{b}={\tfrac {s}{2,233}}$ --- Zwei Gleichungen, aber drei Variablen. Damit können wir noch nicht viel anfangen. --- Welche Information wird uns noch mit der Aufgabenstellung gegeben?

2. Lösung BM2346

In dem Moment, wo es knallt ist die Summe der beiden zurückgelegten Strecken gleich der Gesamtstrecke. III) $s_{a}+s_{b}=s$ Leider sind damit damit zwei neue Variablen dazu gekommen. Wenn wenigstens die Fahrzeiten bis zum Zusammenstoß identisch wären - sind sie aber nicht. --- Die Aufgabenstellung ist wohl nicht eindeutig. Die Strecke könnte 10 km lang sein. Sie könnte auch 1000 km lang sein. --- Wir wollen das mal durchrechnen: 1. Fall: $s=10$ 1. Zug: I) $v_{a}={\tfrac {s}{1,383}}$ $v_{a}={\tfrac {10}{1{,}383}}$ $v_{a}=7{,}23$ km/h 2. Zug: I) $v_{a}={\tfrac {s}{2{,}233}}$ $v_{b}={\tfrac {10}{2{,}233}}$ $v_{b}=4{,}48$ km/h --- 2. Fall: $s=1000$ 1. Zug: I) $v_{a}={\tfrac {s}{1{,}383}}$ $v_{a}={\tfrac {1000}{1{,}383}}$ $v_{a}=723{,}06$ km/h 2. Zug: I) $v_{a}={\tfrac {s}{2{,}233}}$ $v_{b}={\tfrac {1000}{2,233}}$ $v_{b}=447{,}83$ km/h --- Unser Gleichungssystem lässt sich also mit ganz unterschiedlichen Streckenlängen erfüllen. Die Aufgabenstellung führt also nicht zu einer eindeutigen Lösung. Wir brauchen noch irgendeine zusätzlich Angabe. --- Oder?

3. Lösung BM2346
Nicht ganz. Wir wissen zwar nicht wie lang die Strecke ist, aber das ist auch gar nicht gefragt. Vielleicht knallt es ja immer zur gleichen Zeit, egal ob die Strecke 10 oder 1000 Kilometer lang ist. Nur mal angenommen, dass die Züge beide genauso schnell fahren würden, dann würde es immer nach der Hälfte der Zeit knallen - egal ob die Strecke 10 oder 1000 km lang ist. --- Irgendeine Idee?

4. Lösung BM2346

Wir könnten einfach mal annehmen, dass die Strecke 10 km lang ist und den Zeitpunkt des Zusammenpralls ermitteln. Und dann nehmen wir in einem zweiten Fall an, dass die Strecke 1000 km lang ist und ermitteln dafür auch den Zeitpunkt des Zusammenpralls. Dann sind wir klüger. Falls der Zeitpunkt identisch ist können wir ja immer noch nach einem kürzeren Rechenweg suchen. Aber erst mal wollen wir unsere These durch diese Beispielrechnung prüfen, bevor wir uns auf tiefere abstrakte Überlegungen einlassen. --- Also los!

5. Lösung BM2346

1. Fall: Gesamtstrecke 10 km. $s=10$ 1. Zug: I) $v_{a}={\tfrac {s}{1,383}}$ $v_{a}={\tfrac {10}{1{,}383}}$ $v_{a}=7{,}23$ km/h 2. Zug: I) $v_{a}={\tfrac {s}{2{,}233}}$ $v_{b}={\tfrac {10}{2{,}233}}$ $v_{b}=4{,}48$ km/h Der 1. Zug fährt die Strecke $s_{a}$ bis zum potentiellen Unfallpunkt. Der 2. Zug fährt die Strecke $s_{b}$ bis zum potentiellen Unfallpunkt. $s_{a}+s_{b}=10$ km $v_{a}=7{,}23$ km/h $v_{b}=4{,}48$ km/h --- v = s/t $v_{a}={\tfrac {s_{a}}{t_{a}}}$ km/h $v_{b}={\tfrac {s_{b}}{t_{b}}}$ km/h --- So kommen wir nicht weiter, denn wir haben zu viele Unbekannte bei zu wenig Gleichungen. --- Wir verhalten die die Fahrzeiten der beiden Züge zueinander? Wenn es kracht, dann zeigt die Uhr in beiden Zügen die gleiche Zeit. Das ist logisch, denn zu einem Zusammenstoß gehören zwei Züge. Der 1. Zug fährt 8.23 Uhr ab. Der 2. Zug fährt 8.47 Uhr ab. Der 2 Zug ist also 24 Minuten kürzer unterwegs bis zum Unfallzeitpunkt. Oder andersrum: Der 1. Zug ist bis zum Kollisionspunkt 24 Minuten länger unterwegs. Das sind knapp 0,5 Stunden. $24:60=0,4$ Stunden. Der 1. Zug ist 0,4 Stunden länger unterwegs bis zum „Treffpunkt“. Also gilt. $t_{a}+0,4=t_{b}$ --- Dann fassen wir mal zusammen: I) $t_{a}+0,4=t_{b}$ (Der 1. Zug fährt 24 Minuten länger bis zum Krach.) II) $s_{a}+s_{b}=10$ km (Beide Teilstrecke ergeben zusammen die Gesamtstrecke.) III) $7{,}23={\tfrac {s_{a}}{t_{a}}}$ km/h (1. Zug) IV) $4{,}48={\tfrac {s_{b}}{t_{b}}}$ km/h (2. Zug) --- 4 Gleichungen mit folgenen 4 Unbekannten: $t_{a}$ $t_{b}$ $s_{a}$ $s_{b}$ --- Das sollte doch lösbar sein. Na, los - Rechne!

6. Lösung BM2346

I) $t_{a}+0,4=t_{b}$ II) $s_{a}+s_{b}=10$ III) $7{,}23={\tfrac {s_{a}}{t_{a}}}$ IV) $4{,}48={\tfrac {s_{b}}{t_{b}}}$ --- Wir stellen II) nach $s_{b}$ um: II') $s_{b}=10-s_{a}$ Wir setzen in IV) ein. Zum Einen $s_{b}$ aus II') und zum Anderen $t_{b}$ aus I): IV) $4{,}48={\tfrac {s_{b}}{t_{b}}}$ IV') $4{,}48={\tfrac {10-s_{a}}{t_{a}+0,4}}$ III) $7{,}23={\tfrac {s_{a}}{t_{a}}}$ --- Jetzt haben wir endlich ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit nur zwei Variablen. IV') $4{,}48={\tfrac {10-s_{a}}{t_{a}+0,4}}$ III) $7{,}23={\tfrac {s_{a}}{t_{a}}}$ Wer kan das lösen? Freiwilige vor!

7. Lösung BM2346

IV') $4{,}48={\tfrac {10-s_{a}}{t_{a}+0,4}}$ III) $7{,}23={\tfrac {s_{a}}{t_{a}}}$ Lösungsweg: Wir stellen beide Gleichungen nach $s_{a}$ um und setzen dann $s_{a}$ gleich. --- IV') nach $s_{a}$ umstellen: ${\begin{aligned}4{,}48&={\tfrac {10-s_{a}}{t_{a}+0,4}}\quad \quad |\quad \cdot (t_{a}+0,4)\\4{,}48\cdot (t_{a}+0,4)&=10-s_{a}\quad \quad |\quad -10\\(4{,}48t_{a}+1{,}792)-10&=-s_{a}\\4{,}48t_{a}-8{,}208&=-s_{a}\quad \quad |\quad \cdot (-1)\\-(4{,}48t_{a}-8{,}208)&=s_{a}\\s_{a}&=8{,}208-4{,}48t_{a}\end{aligned}}$ III) nach $s_{a}$ umstellen: ${\begin{aligned}7{,}23&={\tfrac {s_{a}}{t_{a}}}\quad \quad |\quad \cdot t_{a}\\s_{a}&=7{,}23t_{a}\end{aligned}}$ $s_{a}$ gleichsetzen: III) und IV'); und $t_{a}$ ausrechnen: ${\begin{aligned}8{,}208-4{,}48t_{a}&=7{,}23t_{a}\quad \quad |\quad +7{,}23t_{a}\\8{,}208+7{,}23t_{a}-4{,}48t_{a}&=0\quad \quad |\quad -8{,}208\\2{,}75t_{a}&=-8{,}208\quad \quad |\quad :2{,}75\\t_{a}&=-(8{,}208:2{,}75)\\t_{a}&=-2{,}9847\end{aligned}}$ $t_{a}=-2{,}9847$ Stunden. Eine negative Zeit. Das ist übel. Jedenfalls in der realen Welt. Vielleicht sind wir in eine Zeitschleife geraten oder es hat sich irgendwo ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Such' ihn!

8. Lösung BM2346

In der 6. und 7. Lösung sind keine Rechenfehler zu finden. Aber irgendwo muss ja der Fehler stecken. Wir versuchen nochmals unser Glück. IV') $4{,}48={\tfrac {10-s_{a}}{t_{a}+0{,}4}}$ III) $7{,}23={\tfrac {s_{a}}{t_{a}}}$ Dieses mal stellen wir beide Gleichungen nach $t_{a}$ um und setzen dann gleich. [www.wolframalpha.com www.wolframalpha.com] hat uns schon verraten, dass dann $s_{a}=5{,}52$ Kilometer rauskommen müsste. Das wollen wir mal überprüfen. Eigentlich müsste zu einer negativen Zeit auch eine negative Strecke gehören, was es in der realen Welt auch nicht gibt. IV') nach $t_{a}$ umstellen: ${\begin{aligned}4{,}48&={\tfrac {10-s_{a}}{t_{a}+0{,}4}}\quad \quad |\quad \cdot (t_{a}+0{,}4)\\4{,}48\cdot (t_{a}+0,4)&=10-s_{a}\quad \quad |\quad :4{,}48\\t_{a}+0{,}4&={\tfrac {10-s_{a}}{4{,}48}}\quad \quad |\quad -0{,}4\\t_{a}&={\tfrac {10-s_{a}}{4{,}48}}-0{,}4\end{aligned}}$ III) nach $t_{a}$ umstellen: ${\begin{aligned}7{,}23&={\tfrac {s_{a}}{t_{a}}}\quad \quad |\quad \cdot {\tfrac {t_{a}}{7{,}23}}\\t_{a}&={\tfrac {s_{a}}{7{,}23}}\end{aligned}}$ $t_{a}$ gleichsetzen: III) und IV'); und $s_{a}$ ausrechnen: ${\begin{aligned}{\tfrac {10-s_{a}}{4{,}48}}-0{,}4&={\tfrac {s_{a}}{7{,}23}}\quad \quad |\quad \cdot 7{,}23\\7{,}23({\tfrac {10-s_{a}}{4{,}48}}-0{,}4)&=s_{a}\quad \quad |\quad \cdot 7{,}23\\{\tfrac {7{,}23\cdot (10-s_{a})}{4{,}48}}-(7{,}23\cdot 0{,}4)&=s_{a}\\1{,}6138\cdot (10-s_{a})-(7{,}23\cdot 0{,}4)&=s_{a}\\1{,}6138\cdot (10-s_{a})-2{,}892&=s_{a}\\16{,}138-1{,}6138s_{a}-2{,}892&=s_{a}\\13{,}246-1{,}6138s_{a}&=s_{a}\quad \quad |\quad +1{,}6138s_{a}\\13{,}246&=2{,}6138s_{a}\quad \quad |\quad :2{,}6138\\{\tfrac {13{,}246}{2{,}6138}}&=s_{a}s_{a}&=5{,}0677\end{aligned}}$ $s_{a}=5{,}0677$ Kilometer. Eine ganz schöne Abweichung von dem, was uns wolfram.com ausgerechnet hatte: $s_{a}=5{,}52$. Wenigstens ist das Ergebnis nicht negativ. Bis rum Kollisionspunkt müsste dann der 2. Zug $10-5{,}0677=4{,}9323$ Kilometer zurücklegen. Da er mit einer Geschwindigkeit von $7{,}23$ km/h fährt, braucht er für diese Strecke wie viel Zeit? v = s/t t = s/v $t_{b}={\tfrac {4{,}9323}{7{,}23}}=0{,}6822$ Stunden. Das sind wie viel Minuten? $0{,}6822\cdot 60=40{,}93$ Minuten. Und wie weit fährt der 1. Zug in $40{,}93$ Minuten? Oder damit wir es schneller ausrechnen können: Wie weit fährt der 1. Zug in $0{,}6822$ Stunden? Der 1. Zug fährt mit $4{,}48$ km/h. v = s/t s = v * t $s_{a}=4{,}48\cdot 0{,}6822=3{,}056256$ Kilometer. Es hätten aber $5{,}0677$ Kilometer sein sollen. Schließlich müssen die Züge an der gleiche Stelle sein, wenn sie zusammenkrachen sollen. Heute stimmt aber auch gar nichts. --- Also noch mal: Zwei Züge fahren die 10 km lange Strecke ${\overline {AB}}$ in entgegengesetzter Richtung. Der 1. Zug fährt 8.23 Uhr ab und kommt 9.46 Uhr an (falls es keinen Crash gibt). Der 2. Zug fährt 8.47 Uhr ab und kommt 11.01 Uhr an. An welchem Punkt der Strecke begegnen sich die Züge? Das muss doch zu lösen sein. Erst mal sollte man die Geschwindigkeit des 1. und 2. Zuges ausrechnen:

9. Lösung BM2346

1. Zug: Er fährt die 10-km-Strecke $s$ in 83 Minuten. (Nebenrechnung: 8.23 Uhr bis 9.46 Uhr; $37+46=83$ Minuten. $83:60=1,383$ Stunden.) $v={\tfrac {s}{t}}$ $v_{a}={\tfrac {10}{1,383}}$ $v_{a}=7,23$ km/h --- 2. Zug: Er fährt die 10-km-Strecke $s$ in 134 Minuten. (Nebenrechnung: 8.47 Uhr bis 11.01 Uhr; $13+120+1=134$ Minuten. $134:60=2,233$ Stunden.) $v={\tfrac {s}{t}}$ $v_{b}={\tfrac {10}{2,233}}$ $v_{b}=4,48$ km/h --- Der 1. Zug fährt 24 Minuten eher los. Das sind 0,4 Stunden. $24:60=0,4$ Stunden. In dieser Zeit legt er welche Strecke zurück? $v=s:t$ $s=v\cdot t$ $s_{a1}=7,23\cdot 0,4=2,892$ km. Wenn der 2. Zug losfährt hat der 1. Zug schon $2,892$ Kilometer zurückgelegt. Die Züge haben also bei der Abfahrt des 2. Zuges nur noch einen Abstand von $7,108$ km voneinander. $10-2,892=7,108$ km. Kleiner Tipp: Wenn zwei Fahrzeuge (hier Züge) in entgegengesetzter Richtung aufeinander zukommen, dann kann man deren Geschwindigkeiten addieren. (Das gilt leider auch bei Unfällen.) Wir addieren die Geschwindigkeiten beider Züge: $7,23+4,48=11,71$ km/h. Ein Super-Doppelzug mit $11,71$ km/h braucht für die $7,108$ km wie lange? $v=s:t$ $t=s:v$ $t=7,108:11,71=0,607$ Stunden. Wie viel Minuten sind das? $0,607\cdot 60=36,42$ Minuten. Wir wollen noch die Sekunden ausrechnen: $0,42\cdot 60=25,2$ Sekunden. Der Zusammenprall (oder die Begegnung) findet 36 Minuten und 25 Sekunden nach der Abfahrt des 2. Zuges statt. 8.47 Uhr + 36 Minuten. Also um 9:23:25 Uhr. --- Probe: Das schenken wir uns jetzt mal ausnahmsweise. --- Nun wollen wir den Unfallzeitpunkt für eine 1000 km lange Strecke ausrechnen: Also: Zwei Züge fahren eine 1000 km lange Strecke ${\overline {AB}}$ in entgegengesetzter Richtung. Der 1. Zug fährt 8.23 Uhr ab und kommt 9.46 Uhr an (falls es keinen Crash gibt). Der 2. Zug fährt 8.47 Uhr ab und kommt 11.01 Uhr an. Zu welcher Uhrzeit begegnen sich die Züge?

10. Lösung BM2346

Wir können einige Zahlen aus der 11. Lösung abschreiben: 1. Zug: Er fährt die 1000-km-Strecke $s$ in 83 Minuten. $v_{a}={\tfrac {1000}{1,383}}$ $v_{a}=723,06$ km/h --- 2. Zug: Er fährt die 1000-km-Strecke $s$ in 134 Minuten. $v_{b}={\tfrac {1000}{2,233}}$ $v_{b}=447,83$ km/h --- Der 1. Zug fährt 24 Minuten eher los. Das sind 0,4 Stunden. In dieser Zeit legt er welche Strecke zurück? $s_{a1}=723,06\cdot 0,4=289,224$ km. Wenn der 2. Zug losfährt hat der 1. Zug schon $289,224$ Kilometer zurückgelegt. Die Züge haben also bei der Abfahrt des 2. Zuges nur noch einen Abstand von $710,776$ km voneinander. $1000-289,224=710,776$ km. Kleiner Tipp: Wenn zwei Fahrzeuge (hier Züge) in entgegengesetzter Richtung aufeinander zukommen, dann kann man deren Geschwindigkeiten addieren. Wir addieren die Geschwindigkeiten beider Züge: $723+448=1171$ km/h. Ein Super-Doppelzug mit $1171$ km/h braucht für die $710$ km wie lange? $t=710:1171=0,60$ Stunden. --- Das ist das gleiche Ergebnis, wie für die 10 km lange Strecke. Der Unfallzeitpunkt ist also der gleiche. Egal, ob die Strecke 10 oder 1000 km lang ist. --- Alternativ rechnet man Der 1. Zug hat nach der Zeit $t$ die Strecke $s_{a}$ zurückgelegt. Der 2. Zug hat nach der Zeit $t$ die Strecke $s_{b}$ zurückgelegt. Da er die Strecke $s$ in entgegengesetzter Richtung abfährt ist er dann an der Position $s-v_{b}\cdot t$ Zum Unfallzeitpunkt sind beide Züge an der gleichen Position und es gilt $v_{a}\cdot t=1000-v_{b}\cdot t$ Bevor wir die Zahlenwert für $v_{a}$ und $v_{b}$ einsetzen, wollen wir nach $t$ umstellen.

11. Lösung BM2346

${\begin{aligned}v_{a}\cdot t&=1000-v_{b}\cdot t\quad \quad |\quad +v_{b}\cdot t\\v_{a}\cdot t+v_{b}\cdot t&=1000\\(v_{a}+v_{b})t&=1000\quad \quad |\quad :(v_{a}+v_{b})\\t&={\tfrac {1000}{v_{a}+v_{b}}}\end{aligned}}$ Jetzt setzen wir die Geschwindigkeiten $v_{a}=723$ km/h und $v_{b}=448$ km/h ein: ${\begin{aligned}t&={\tfrac {1000}{v_{a}+v_{b}}}\\t&={\tfrac {1000}{723+448}}\\t&={\tfrac {1000}{1171}}\\t&=0,85\end{aligned}}$ Nicht vergessen $t=0,85$ Stunden ist die Zeit ab Abfahrt des 2. Zuges. Das ist aber ein ganz anderes Ergebnis, als wir mit dem vorherigen Lösungsweg rausbekommen haben. Da waren es $t=0,60$ Stunden. Es ist zum Mäusemelken. --- Wir brechen hier ab und wenden uns einer neuen Aufgabe zu.

BM2347

Fluglotse

Flugzeuge auf dem Radarbildschirm

Textaufgabe

---

Ein Flugzeug im Endanflug soll einen Abstand von 10 NM (Nautische Meilen) zum vorhergehenden Flugzeug einhalten.

Das vorhergehende Flugzeug fliegt mit 80 kt (80 Knoten = 80 NM/h). Das nachfolgende Flugzeug fliegt mit 120 Knoten.

Nach wie viel Nautischen Meilen wird der minimale Sicherheitsabstand von 5 NM unterschritten?

---

Wofür braucht man so was?

Der Fluglotse am Flughafen reiht die die Flugzeuge im langen Endanflug (final) hintereinander auf der Verlängerungslinie der Landebahn auf. Laut internationaler Luftfahrtordnung müssen Flugzeuge einen Mindestabstand von 5 NM einhalten. Diese Staffelung ist u. a. wegen der Gefahr durch Wirbelschleppen erforderlich (Wirbelschleppenstaffelung).

An stark frequentierten Flughäfen, die in Stoßzeiten an ihre Kapazitätsgrenze kommen, müssen die Flugzeuge im Landeanflug so eng wie möglich gestaffelt werden, ohne jedoch den Mindestabstand zu unterschreiten. Große Probleme gibt es dabei, wenn zwischen den üblicherweise landenden großen Verkehrsmaschinen ein Kleinflugzeug landen soll. Große Flugzeuge müssen bei der Landung eine wesentlich größere Landegeschwindigkeit einhalten, als Kleinflugzeuge. Bei einer Unterschreitung der Mindestgeschwindigkeit würde das Flugzeug abstürzen. Andereseits kann ein Kleinflugzeug nicht mit so einer „hohen“ Geschwindigkeit landen, wie die großen Maschinen als Landegeschwindigkeit haben.

Während der Fluglotse zwischen großen Flugzeuge, die alle mit der fast gleichen Geschwindigkeit anfliegen, nur den Sicherheitsabstand von 5 NM einhalten muss, muss er bei Auffädeln auf die Endanfluglinie hinter Kleinflugzeugen einen viel größeren Abstand lassen, denn dieser verringert sich innerhalb kürzester Zeit so stark, dass der Sicherheitsabstand unterschritten wird. Dann muss der Fluglotse das nachfolgende große Flugzeug auffordern den Anflug abzubrechen und durchzustarten. Das bringt dann zusätzlich Probleme und Zeitverzögerungen, denn dass Flugzeug muss dann irgendwo anders dazwischen geschoben werden und bringt alle Zeitpläne durcheinander. Außerdem verursacht ein Durchstarten schnell mal 10.000 bis 20.000 Euro zusätzliche Treibstoffkosten.

Deshalb sollte der Fluglotse eine Tabelle bei sich haben, oder sogar im Kopf haben, welche zusätzlichen Abstände hinter Kleinflugzeugen eingehalten werden müssen.

Das eben wollen wir für eine Tabellenspalte berechnen.

Deshalb die Frage:

Nach wie viel Nautischen Meilen wird der minimale Sicherheitsabstand von 5 NM unterschritten?

Noch mal die Aufgabenstellung:

Ein Flugzeug im Endanflug soll einen Abstand von 10 NM (Nautische Meilen) zum vorhergehenden Flugzeug einhalten.

Das vorhergehende Flugzeug fliegt mit 80 kt (80 Knoten = 80 NM/h). Das nachfolgende Flugzeug fliegt mit 120 Knoten.

1. Lösung BM2347

Die Frage ist also: Wie lange dauert es, bis sich der Abstand zwischen dem kleinen Flugzeug und dem großen Flugzeug von 10 NM auf 5 NM verringert hat. Vorneweg fliegt das kleine Flugzeug (Cessna 172) mit 80 kt. Dahinter fliegt das große Flugzeug (Boeing 747, auch Jumbo-Jet) mit 120 kt. --- Die Differenz zwischen beiden Geschwindigkeiten beträgt $40$ kt. $120-80=40$ kt. Das große Flugzeug nähert sich also dem kleinen von hinten mit einer Annäherungsgeschwindigkeit von 40 kt. Wie lange dauert es, bis bei einer Geschwindigkeit von 40 kt 5 NM überwunden werden? $10-5=5$ NM

2. Lösung BM2347
v = s/t t = s/v $t={\tfrac {5}{40}}{\tfrac {\text{NM}}{\text{kt}}}={\tfrac {1}{8}}{\tfrac {\text{NM}}{\text{NM/h}}}=0{,}125{\tfrac {{\text{NM}}\cdot \;{\text{h}}}{\text{NM}}}=0{,}125\;{\text{h}}$ $0{,}125\;{\text{h}}$ sind wie viel Minuten?

3. Lösung BM2347
$0{,}125\;{\text{h}}$ sind wie 7 Minuten und 30 Sekunden. $0{,}125\cdot 60=7{,}7$ Minuten --- Das große Flugzeug nähert sich dem kleinen Flugzeug also in 7,5 Minuten von 10 auf 5 NM an. --- Und nach wie viel Nautischen Meilen wird der minimale Sicherheitsabstand von 5 NM unterschritten?

4. Lösung BM2347

Und nach wie viel Nautischen Meilen wird der minimale Sicherheitsabstand von 5 NM unterschritten? --- Wie viel Nautische fliegt das große Flugzeug in 7,5 Minuten bzw. $0{,}125$ Stunden? v = s/t s = v * t $s=120\cdot 0{,}125\cdot \;{\text{kt}}\cdot \;{\text{h}}=15{\tfrac {{\text{NM}}\;\cdot \;{\text{h}}}{\text{h}}}=15\;\;{\text{h}}$ Bis zur Annäherung an den minimalen Sicherheitsabstand legt das große Flugzeug 15 NM zurück. --- Und nach wie viel Nautischen Meilen wird der minimale Sicherheitsabstand von 5 NM unterschritten? Diese Frage kann sich auch auf das kleine Flugzeug beziehen, denn das legt in dieser Zeit, wegen der geringeren Geschwindigkeit, eine kürzere Strecke zurück. $s=80\cdot 0{,}125\cdot \;{\text{kt}}\cdot \;{\text{h}}=10{\tfrac {{\text{NM}}\;\cdot \;{\text{h}}}{\text{h}}}=10\;\;{\text{h}}$ Bis zur Annäherung an den minimalen Sicherheitsabstand legt das kleine Flugzeug 10 NM zurück.

5. Lösung BM2347

Praktische Anwendung: Nach wie viel Nautischen Meilen wird der minimale Sicherheitsabstand von 5 NM unterschritten? Das kleine Flugzeug sollte also nicht mehr allzu weit von der Landebahn sein, wenn das große Flugzeug 10 NM hinter ihm ist. --- Bis zur Annäherung an den minimalen Sicherheitsabstand legt das kleine Flugzeug 10 NM zurück. Das kleine Flugzeug sollte also maximal noch 10 NM von der Landeschwelle entfernt sein, wenn das große Flugzeug 10 NM hinter ihm aufgereiht wird. Sonst ist schon in diesem Moment abzusehen, dass ein Durchstarten erforderlich ist. --- Der Controller lässt das große Flugzeug sonst lieber noch etwas weiter vom Flugplatz wegfliegen, damit es nicht durchstarten muss. Auch werden oft die Piloten von Kleinflugzeugen über Funk aufgefordert vis zum letzten Moment möglichst schnell zu fliegen. --- Diese Aufgabenstellung ist nur eine ideale Rechnung. In Wirklichkeit kommen noch weitere Faktoren hinzu: Die Geschwindigkeit wird bei großen Flugzeugen im Landeanflug auf den letzten 10 NM stufenweise, in 2-4 Schritten, von 180 auf 120 kt reduziert. Auch ist die Zeit entscheidend, die ein Flugzeug benötigt, bis es nach dem Aufsetzen und Ausrollen über den Rollweg die Landebahn wirklich verlassen hat, denn erst dann darf der Fluglotse dem nachfolgenden Flugzeug die Landeerlaubnis erteilen. Das Erteilen der Landeerlaubnis muss bis zu einem gewissen Abstand bis zur Landeschwelle erfolgen. In der Realität kennt der Fluglotse zwar seine Zahlen, muss aber wegen der vielen weiteren Faktoren doch nach Erfahrungswerten und Daumenregeln arbeiten.

6. Lösung BM2347
Bild 1 Bild 2 Bild 3 Bild 4 Bild 5 Fluglosenarbeitsplatz

BM2348

Stromzähler (kWh = Kilowattstunde)

Textaufgabe

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Ein Stromanbieter bietet zwei unterschiedliche Tarife an:

1. Tarif: Spar-Haushalt und

2.Tarif: Familienhauhalt.

Der Tarif für den Spar-Haushalt hat einen jährlichen Grundpreis von 300 Euro und 52 cent/kWh.

Der Tarif für den Familien-Haushalt hat einen jährlichen Grundpreis von 700 Euro und 14 cent/kWh.

Ab welchem jährlichen Kilowattverbrauch ist ein Wechsel vom Spartarif zum Familientarif günstiger.

1. Lösung BM2348
Erst mal ordnen wir passende Variablen zu: 1. Tarif: Grundpreis $g_{1}=300$ Euro. Strompreis $s_{1}=0,52$ Euro/kWh Kilowattstunde $k$ kWh --- 2. Tarif: Grundpreis $g_{2}=700$ Euro. Strompreis $s_{2}=0,14$ Euro/kWh Kilowattstunde $k$ kWh --- und wie weiter?

2. Lösung BM2348
An welchem Punkt sind die Anzahl der Kilowattstunden $k$ identisch? Egal, ob man den 1. Tarif oder den 2. Tarif hat.

3. Lösung BM2348
Preis $p$ 1. Tarif: $p=300+k\cdot 0,52$ 2. Tarif: $p=700+k\cdot 0,14$ --- Das können wir gleichsetzen und die Anzahl der kWh $k$ ausrechnen.

4. Lösung BM2348

${\begin{aligned}k&=k\\300+k\cdot 0,52&=700+k\cdot 0,14\quad \quad |\quad -300\quad |\quad -(k\cdot 0,14)\\(k\cdot 0,52)-(k\cdot 0,14)&=700-300\\0,52k-0,14k&=700-300\\0,38k&=400\quad \quad |\quad :0,38\\k&={\tfrac {400}{0,38}}\\k&={\tfrac {400\cdot 100}{0,38\cdot 100}}\\k&={\tfrac {40000}{38}}\\k&\approx {\tfrac {40000}{40}}\\k&\approx {\tfrac {4\cdot 10000}{4\cdot 10}}\\k&\approx {\tfrac {10000}{10}}\\k&\approx 1000\\k&={\tfrac {400}{0,38}}\\k&=1052,63\end{aligned}}$ Bei einem Jahresverbrauch von $1052,63$ kWh nehmen sich also beide Tarife nichts. --- Frage: Ab welchem jährlichen Kilowattverbrauch ist ein Wechsel vom Spartarif zum Familientarif günstiger. Antwort: Ab einem jährlichen kWh-Verbrauch von $1052,63$ kWh ist ein Wechsel vom Spartarif zum Familientarif günstiger. --- Wirklich? Wie können wir das prüfen? Führe eine Probe durch!

5. Lösung BM2348

Wir setzen einfach einen Verbrauch etwas oberhalb und unterhalb des Grenzverbrauches an. Denn es könnte ja theoretisch sein, dass der Familientarif unterhalb des Grenzverbrauches günstiger ist und nicht oberhalb, wie des der Name des Tarifes suggeriert. (So soll es doch im Supermarkt tatsächlich einige Waren geben, die entgegen den üblichen Gepflogenheiten als Großpackung teurer sind, als in der Einzelpackung.) --- Grenzverbrauch: $1052,63$ kWh --- Hoher Verbrauch: $1200$ kWh Spar-Haushalt-Tarif: $300+1200\cdot 0,52=924$ EUR Familientarif: $700+1200\cdot 0,14=868$ EUR --- Niedriger Verbrauch: $900$ kWh Spar-Haushalt-Tarif: $300+900\cdot 0,52=768$ EUR Familientarif: $700+900\cdot 0,14=826$ EUR --- Und? Wie interpretieren wir diese Zahl?

6. Lösung BM2348

Grenzverbrauch: $1052,63$ kWh --- Hoher Verbrauch: $1200$ kWh Spar-Haushalt-Tarif: $300+1200\cdot 0,52=924$ EUR Familientarif: $700+1200\cdot 0,14=868$ EUR --- Niedriger Verbrauch: $900$ kWh Spar-Haushalt-Tarif: $300+900\cdot 0,52=768$ EUR Familientarif: $700+900\cdot 0,14=826$ EUR --- Bei einem höheren Verbrauch als der Grenzwert von $1052,63$ kWh ist der Familientarif günstiger. In unserem Beispiel 868 EUR statt 826 EUR. Und: Bei einem geringeren Verbrauch als der Grenzwert von $1052,63$ kWh ist der Spar-Haushalt-Tarif günstiger. In unserem Beispiel 768 EUR statt 924 EUR.

7. Lösung BM2348
LEER

BM2349

Eine einfache Kaffeemaschine für Pads (Kaffeepadmaschine) kostet 71,99 EUR. 80 Pads kosten 25,45 EUR.

Ein Kaffeevollautomat kostet 270,89 EUR. 1 kg Kaffeebohnen kostet 19,90 EUR. Daraus erhält man 140 Tassen Kaffee.

Ab wie viel Tassen täglichem Verbrauch ist ein Kaffeevollautomat günstiger, als eine Kaffeepadmaschine?

Dabei lassen wir andere Variablen außer Acht, z. B. dass der Kaffee aus dem Kaffeevollautomaten besser schmeckt, oder dass die Lebensdauer der Maschinen oder der Energieverbrauch unterschiedlich ist.

Nur für den Fall, dass es für die Berechnung benötigt werden sein sollte: Wir gehen von einer Lebensdauer bei der Kaffeemaschinen von 4 Jahren aus und setzen 200 Arbeitstage im Jahr an. Und die Küche ist rot mit weißen Arbeitsflächen.

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Übrigens werden wie die Gleichungssysteme in späteren Lektionen nochmals durchnehmen. Dann auch mit drei Unbekannten und drei Gleichungen.

Der vollständige Name für die in dieser Lektion behandelten Gleichungssysteme heißt:

Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Lösung BM2349

Eine einfache Kaffeemaschine für Pads (Kaffeepadmaschine) kostet 71,99 EUR. 80 Pads kosten 25,45 EUR. Ein Kaffeevollautomat kostet 270,89 EUR. 1 kg Kaffeebohnen kostet 19,90 EUR. Daraus erhält man 140 Tassen Kaffee. Wir gehen von einer Lebensdauer bei der Kaffeemaschinen von 4 Jahren aus und setzen 200 Arbeitstage im Jahr an. --- Bei einer bestimmten Anzahl $x$ von Tassen/Kaffeepads sind die Gesamtkosten $g$ (in Euro) für die Kaffeezubereitung mit Kaffeepadmaschine und Kaffeevollautomaten identisch. Werden mehr Tassen/Kaffeepads getrunken, dann ist ein Kaffeevollautomat kostengünstiger. Kaffeepadmaschine (Jahreskosten): $25{,}45:80=0{,}32$ Euro/Kaffeetassee $g_{1}=(x\cdot 0{,}32)+(71{,}99:4)$ $g_{1}=0{,}32x+18{,}00$ --- Kaffeevollautomat (Jahreskosten): $19{,}3290:140=0{,}14$ Euro/Kaffeetassee $g_{2}=(x\cdot 0{,}14)+(270{,}89:4)$ $g_{2}=0{,}14x+67{,}72$ --- Nun setzen wir $g_{1}$ und $g_{2}$ gleich: ${\begin{aligned}g_{1}&=g_{2}\\0{,}32x+18{,}00&=0{,}14x+67{,}72\quad \quad |\quad -0{,}14x\quad |\quad -18{,}00\\0{,}32x-0{,}14x&=67{,}72-18{,}00\\0{,}32x-0{,}14x&=67{,}72-18{,}00\\0{,}18x&=49{,}72\quad \quad |\quad :0{,}18\\x&={\tfrac {49{,}72}{0{,}18}}\\x&=276{,}22\end{aligned}}$ Bei $x=276{,}22$ (Anzahl der Tassen/Kaffeepads) sind die Kosten gleich. Bei einen Kaffeeverbrauch von 276 Tassen oder weniger ist eine Kaffeepadmaschine kostengünstiger. Bei einen Kaffeeverbrauch von 277 Tassen oder mehr ist ein Kaffeevollautomat günstiger. Außerdem schmeckt Kaffee aus frisch gemahlenen Kaffeebohnen besser.

BM2350

Mächtigkeit einer Menge:

$|L|=0$

$|L|=1$

$|L|>1$

Mächtigkeit einer endlichen Mengen

Bei einer endlichen Menge $X$ bezeichnet die Mächtigkeit die Anzahl der Elemente von $X$. Man notiert die Mächtigkeit von $X$ durch $|X|$ oder alternativ mit voranstehendem Doppelkreuz: $\#X$.

Beispiele:

$A=\{1,3,7,21\}\Rightarrow |A|=4$

$B=\{{\mbox{Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder}}\}\Rightarrow |B|=4$

$C=\{{\mbox{rot, gelb, blau, orange, violett, schwarz}}\}\Rightarrow |C|=6$

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