Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 096b

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Lección 096
Mathematik auf Deutsch - 46

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BM2251

Algebra
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Die Algebra (von arabisch: al-ğabr „das Zusammenfügen gebrochener Teile“) ist eines der grundlegenden Teilgebiete der Mathematik; es befasst sich mit den Eigenschaften von Rechenoperationen. Im Volksmund wird Algebra häufig als das Rechnen mit Unbekannten in Gleichungen bezeichnet (zum Beispiel  ); die Unbekannte wird (bzw. die Unbekannten werden) mit Buchstaben dargestellt. Als Begründer der Algebra gilt der Grieche Diophantos von Alexandria, der wahrscheinlich zwischen 100 v. Chr. und 350 n. Chr. lebte.
Sein 13 Bände umfassendes Werk Arithmetica ist das älteste bis heute erhaltene, in dem die algebraische Methode (also das Rechnen mit Buchstaben) verwendet wird.
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Algebra als Teilgebiet der Mathematik: Begriffsbestimmung und Gliederung
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Die Inhalte und Methoden der Algebra haben sich im Laufe der Geschichte so stark erweitert, dass es schwierig geworden ist, den Begriff der Algebra in einer knappen Definition anzugeben. Im Folgenden werden einige Teilgebiete der Algebra und einige an die Algebra angrenzende, andere Teilgebiete erwähnt. Diese sind allerdings keineswegs scharf voneinander abgrenzbar.
  • Die elementare Algebra ist die Algebra im Sinne der Schulmathematik. Sie umfasst die Rechenregeln der natürlichen, ganzen, gebrochenen und reellen Zahlen, den Umgang mit Ausdrücken, die Variablen enthalten, und Wege zur Lösung einfacher algebraischer Gleichungen.
  • Die abstrakte Algebra ist eine Grundlagendisziplin der modernen Mathematik. Sie beschäftigt sich mit speziellen algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen, Körpern und deren Verknüpfung.
  • Die lineare Algebra behandelt das Lösen linearer Gleichungssysteme, die Untersuchung von Vektorräumen und die Bestimmung von Eigenwerten; sie ist Grundlage für die analytische Geometrie.
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Arithmetik
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Die Arithmetik (griechisch ἀριθμητική [τέχνη] arithmetiké [téchne], wörtlich „die Zahlenmäßige [Kunst]“) ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie umfasst das Rechnen mit den Zahlen, vor allem den natürlichen Zahlen. Sie beschäftigt sich mit den Grundrechenarten, also mit der Addition (Zusammenzählen), Subtraktion (Abziehen), Multiplikation (Vervielfachen), Division (Teilen) sowie den zugehörigen Rechengesetzen (mathematische Operatoren bzw. Kalküle). Zur Arithmetik gehört auch die Teilbarkeitslehre mit den Gesetzen der Teilbarkeit ganzer Zahlen sowie der Division mit Rest. Die Arithmetik kann als Teil der Algebra verstanden werden, etwa als „Lehre von den algebraischen Eigenschaften der Zahlen“. Die Arithmetik leitet zur Zahlentheorie über, die sich im weitesten Sinn mit den Eigenschaften der Zahlen beschäftigt. Die Arithmetik ist ein Kalkül.


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Geschichte der Algebra
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Wortgeschichte
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Die erste Darstellung der algebraischen Methode findet sich in der Arithmetica, einem Lehr- und Aufgabenbuch des Diophant von Alexandrien, deren Entstehungszeit auf das 1. Jahrhundert v. Chr., nach anderen Quellen auf das 4. Jahrhundert n. Chr. datiert wird. Eine weitere Darstellung der Algebra ist das Aryabhattiya, ein mathematisches Lehrbuch des indischen Mathematikers Aryabhata aus dem 5. Jahrhundert; die verwendete Methodik wurde Bijaganitam genannt. Ab dem 9. Jahrhundert übernahmen und verfeinerten dann Gelehrte aus dem arabischsprachigen Raum diese Methode, die sie al-ǧabr (von arab.: „das Ergänzen“ / „das Einrichten“) nannten. Der Begriff ist aus dem Titel des Rechenlehrbuchs Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-ʾl-muqābala („Das kurz gefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen“, entstanden um 825) des persischen Mathematikers und Universalgelehrten al-Chwarizmi entnommen, der im 9. Jahrhundert in Bagdad wirkte. Vier Jahrhunderte nach der Publikation des Buches erschien seine lateinische Übersetzung Ludus algebrae almucgrabalaeque. Aus „al-ǧabr“ entwickelte sich das heutige Wort „Algebra“.
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Zeit der Babylonier
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Bereits 2000 Jahre vor unserer Zeitrechnung waren die alten Babylonier in der Lage, Gleichungssysteme der Form
 
die äquivalent zu einer quadratischen Gleichung der Form   sind, zu lösen. Solche Gleichungen können irrationale Zahlen als Lösungen haben. Die Babylonier interessierten sich jedoch nicht für exakte Lösungen, sondern berechneten, meist mit Hilfe linearer Interpolation, ungefähre Lösungen. Auch befassten sich die Babylonier noch nicht mit negativen Zahlen. Eine der bekanntesten Tontafeln der Babylonier ist Plimpton 322, die zwischen 1900 und 1600 v. Chr. erstellt wurde. Sie listet pythagoreische Tripel, was bedeutet, dass die Babylonier bereits 1000 Jahre vor Pythagoras die Bedeutung dieser Zahlen kannten.
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Zeit der Ägypter
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Die babylonische Algebra war weiter fortgeschritten als die ägyptische Algebra der gleichen Zeit. Während die Babylonier sich mit quadratischen Gleichungen befassten, untersuchten die Ägypter hauptsächlich lineare Gleichungen.
Der Papyrus Rhind, eine der wichtigsten Quellen für das heutige Wissen über die Mathematik im Alten Ägypten, wurde um 1650 v. Chr. von Ahmes aus einem älteren Werk übersetzt. In dem Papyrus werden lineare Gleichungen der Form   und  , wobei a, b, und c bekannt sind und x die Unbekannte ist, mit geometrischen Methoden gelöst.
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Zeit der Griechen
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Ebenso wie die Ägypter und Babylonier untersuchten auch die alten Griechen algebraische Gleichungen. Jedoch waren sie nicht nur an praktischen Fragestellungen interessiert, sondern sahen insbesondere in den frühen Phasen geometrische Fragestellungen als zentrales Teilgebiet ihrer Philosophie. Dies war der Beginn der Algebra und der Geometrie und damit der Mathematik als Wissenschaft. Die Terme algebraischer Gleichungen repräsentierten bei den Griechen Seiten, meist Strecken, geometrischer Objekte. Mittels Konstruktionsverfahren mit Zirkel und Lineal bestimmten sie Lösungen bestimmter algebraischer Gleichungen. Da die altgriechische Algebra also durch die Geometrie begründet wurde, spricht man von der geometrischen Algebra. In jüngster Zeit ist diese Interpretation jedoch umstritten. Das Konzept einer geometrischen Algebra der Griechen stammt von Hieronymus Zeuthen und lange Zeit galt als bevorzugte Theorie, dass die Griechen ihre ursprünglichen Algebrakenntnisse von den Babyloniern hatten, nach der Entdeckung der Irrationalität bei den Pythagoräern jedoch in Form geometrischer Sätze kleideten (Bartel Leendert van der Waerden und andere). Kritik daran kam besonders von Philologen und Philosophen (Jacob Klein, Árpád Szabó, Sabetai Unguru mit einer bekannten Kontroverse in den 1970ern, Wilbur Richard Knorr).
Der zweite Band der von Euklid verfassten Elemente enthält eine Reihe von algebraischen Aussagen, die in der Sprache der Geometrie formuliert wurden. Euklid diskutierte in den Elementen unter anderem die Theorie der Flächenanlegung, die auf die Altpythagoreer zurückgeht. Mit dieser Methode kann man aus Sicht der modernen Algebra bestimmte lineare und quadratische Gleichungen mit einer Unbestimmten lösen. Im zehnten Buch der Elemente überlieferte Euklid einen Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2. Irrationale Größenverhältnisse waren auch schon den Pythagoreern (abseits ihres Zahlenbegriffs) bekannt, die auch Euklids Satz schon in allgemeinerer Form bewiesen hatten.
Diophantos von Alexandria, der wahrscheinlich um das Jahr 250 n. Chr. lebte, gilt als der bedeutendste Algebraiker der Antike. Sein erstes und wichtigstes Werk, die Arithmetica, bestand ursprünglich aus dreizehn einzelnen Büchern, von denen aber nur sechs überliefert sind. Mit diesem Werk löste er die Arithmetik und die Algebra, was die Betrachtung positiver, rationaler Lösungen von Problemen angeht, vollständig von der Geometrie ab. Auch unterschied sich die Mathematik von Diophantos von der der Babylonier, denn er war primär an exakten und nicht approximativen Lösungen interessiert.


BM2253

Geschichte der Arithmetik
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Als Wissenschaft wurde die Arithmetik von den Griechen begründet. Aus der vorgriechischen Zeit sind uns z. B. von den Ägyptern und den Babyloniern lediglich empirische Regeln zur Lösung von Aufgaben aus dem praktischen Leben überliefert. Für die Pythagoreer machen die natürlichen Zahlen das Wesen der Dinge aus. In den Büchern VII-X von Euklids Elementen werden die damals bekannten arithmetischen/algebraischen/zahlentheoretischen Ergebnisse erstmals zusammenfassend dargestellt. Vor allem nach dem Fall von Toledo (1085) gelangt die von den Arabern gesammelte griechische Mathematik, bereichert um die von den Indern eingeführte Zahl 0 und das mit dieser Ergänzung voll entwickelte Dezimalsystem, zurück ins Abendland. In der Renaissance findet eine Wiederbelebung der griechischen Mathematik statt.
Auf dieser Basis wird die Arithmetik im 16. und 17. Jahrhundert vor allem durch die Einführung einer zweckmäßigen Zeichensprache für Zahlen und Operationen weiter entwickelt. Damit wird es möglich, Zusammenhänge, die bei verbaler Wiedergabe sehr undurchsichtig wirken, mit einem Blick zu überschauen. François Viète (Vieta, 1540–1603) unterteilt die damals „Logistik“ genannte Rechenkunst in eine "logistica numerosa", in unserem Sinne die Arithmetik, und eine "logistica speciosa", aus der sich die Algebra entwickelt. Er benutzt für Zahlengrößen Buchstaben und als Operationszeichen + für die Addition, - für die Subtraktion und den Bruchstrich für die Division. William Oughtred (1574–1660) benutzt "x" als Zeichen der Multiplikation, das er aber auch mal weg lässt. Der heute übliche Multiplikationspunkt geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) zurück. John Johnson benutzt seit 1663 den heute üblichen Doppelpunkt (:) für die Division. Thomas Harriot (1560–1621) verwendet die heute üblichen Zeichen für „größer als“ (>) und "kleiner als" (<) sowie kleine Buchstaben als Variablen für Zahlen. Robert Recorde (1510–1558) führt das Gleichheitszeichen (=) ein. Von René Descartes (1596–1650) stammt die Schreibweise für Quadrate. Leibniz nimmt mit dem Versuch einer axiomatischen Begründung des Rechnens mit natürlichen Zahlen Gedanken der modernen mathematischen Grundlagenforschung vorweg.
Carl Friedrich Gauß (1777–1855) wird gerne zitiert mit der Aussage: „Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.“ – Diese Wortschöpfung lässt die Liebe zur Zahlentheorie bei C. F. Gauß erkennen und zeigt, wie sehr Mathematiker sich dieser Teildisziplin verschreiben können.


BM2254

Formelsammlung Arithmetik (Teil 1)
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Notation
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  • Buchstaben am Anfang des Alphabets   stehen für beliebige Zahlen.
  • Buchstaben in der Mitte des Alphabets   stehen für natürliche Zahlen.
  • Buchstaben am Ende des Alphabets   stehen für Variablen.
  • Es gilt die Operatorrangfolge (Punktrechnung vor Strichrechnung): Rechenoperationen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) binden stärker als die der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) und Rechenoperationen der dritten Stufe (Wurzelziehen und Potenzieren) stärker als die der zweiten Stufe.
  • Es gilt die Klammerregel: Stehen Operationen in Klammern, so werden diese zuerst ausgeführt. Stehen Operationen der gleichen Stufe ohne Klammern hintereinander, so werden die Operationen von links nach rechts ausgeführt.
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Grundrechenarten
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Rechenoperationen
Addition
    (Summand + Summand = Summe)
Subtraktion
    (Minuend − Subtrahend = Differenz)
Multiplikation
    (Faktor · Faktor = Produkt)
Division
    (Dividend : Divisor = Quotient)
Die Division durch null ist dabei nicht definiert.
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Klammerregeln
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Rechengesetze
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Assoziativgesetze
 
 
Kommutativgesetze
 
 
Distributivgesetze
 
 
Neutralität von   und  
 
 
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Binomische Formeln
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BM2255

Formelsammlung Arithmetik (Teil 2)
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Bruchrechnung
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Definition
    (Zähler : Nenner)
Zähler und Nenner sind ganze Zahlen, wobei der Nenner nicht null sein darf.
Spezialfälle
  • Stammbruch:  
  • Echter Bruch:  
  • Unechter Bruch:  
  • Scheinbruch:   mit einer ganzen Zahl  
  • Kehrbruch:   und   werden vertauscht
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Rechenregeln
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Vorzeichen
 
 
Erweitern und Kürzen
    für  
Addition
 
Subtraktion
 
Multiplikation
 
Division
 
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Prozentrechnung
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Definitionen
    (Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert)
    (Promillesatz = Promillewert : Grundwert)
Prozentsätze häufig benutzter Anteile
Anteil am Grundwert          
Prozentsatz 1 % 2 % 2,5 % 4 % 5 %
Anteil am Grundwert          
Prozentsatz ≈11,11 % 12,5 % ≈14,29 % ≈16,67 % 20 %
------------------------------------------------------------
Anteil am Grundwert          
Prozentsatz 6,25 % ≈6,67 % ≈8,33 % ≈9,09 % 10 %
Anteil am Grundwert          
Prozentsatz 25 % ≈33,33 % 50 % ≈66,67 % 75 %
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Elementare Rechenoperationen
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Potenz
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Definitionen
Natürlicher Exponent:
    (Potenz = Basis hoch Exponent)
Negativer Exponent:
 
Rationaler Exponent:
 
Hierbei ist   eine nichtnegative rationale Zahl und   sind natürliche Zahlen.
Spezialfälle
    für  , (Null hoch null ist nicht definiert)
    für  


BM2256

Formelsammlung Arithmetik (Teil 3)
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Potenzgesetze
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Definition und Rechenregeln können auf reelle Zahlen erweitert werden.
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Wurzel
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Definition
    (n-te Wurzel, a heißt Radikand, n Wurzelexponent)
Hierbei ist   eine nichtnegative reelle Zahl und   eine natürliche Zahl größer als eins
Spezialfälle
    (Quadratwurzel)
    (Kubikwurzel)
Wurzelgesetze
 
 
 
 
 
 
 
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Logarithmus
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Definition
    (Logarithmus der Zahl a zur Basis b)
Hierbei sind   positive reelle Zahlen.
Spezialfälle
    (binärer Logarithmus)
    (natürlicher Logarithmus)
    (dekadischer Logarithmus)
 
 
Logarithmengesetze
 
 
 
 


BM2257

Formelsammlung Arithmetik (Teil 4)
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Elementare Funktionen
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Betrag
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Definition
 
Eigenschaften
 
 
    (Dreiecksungleichung)
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Vorzeichen
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Definition
 
Eigenschaften
    für  
 
 
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Gleichungen
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Äquivalenzumformungen
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Lösen von Gleichungen
 
 
 
    für  
    für  
    für jede bijektive Funktion  
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Lineare Gleichungen
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Allgemeine Form
 
Lösungen
    falls  
keine Lösung falls  
unendlich viele Lösungen falls  
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Ungleichungen
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Äquivalenzumformungen
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Lösen von Ungleichungen
 
 
 
 
 
Die Umformungsregeln gelten analog auch für  .


BM2258

Variable
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Eine Variable ist ein Name für eine Leerstelle in einem logischen oder mathematischen Ausdruck. Der Begriff leitet sich vom lateinischen Adjektiv variabilis (veränderlich) ab. Gleichwertig werden auch die Begriffe Platzhalter oder Veränderliche benutzt. Als „Variable“ dienten früher Wörter oder Symbole, heute verwendet man zur mathematischen Notation in der Regel Buchstaben als Zeichen. Wird anstelle der Variablen ein konkretes Objekt eingesetzt, so ist darauf zu achten, dass überall dort, wo die Variable auftritt, auch dasselbe Objekt benutzt wird.
Ein Formelzeichen steht in der Physik und den Ingenieurwissenschaften für eine nicht notwendig numerisch festgelegte oder für eine zumindest anfangs noch veränderliche physikalische Größe oder Zahl. Die Formelzeichen für Größen sind im Allgemeinen einzelne Buchstaben, bei Bedarf ergänzt durch Indices oder andere modifizierende Zeichen.
Variable, die in einer Gleichung vorkommen, nannte man in den Schulbüchern der Mathematik bis in die 1960er Jahre auch Unbekannte oder Unbestimmte. Beim Zusammentreffen mehrerer Variabler unterscheidet man abhängige und unabhängige Variable, aber nur, wenn ein funktionaler Zusammenhang zwischen den Variablen besteht. Alle unabhängigen Variablen gehören zu einer Definitionsmenge oder einem Definitionsbereich, die davon abhängigen zu einer Wertemenge oder einem Wertebereich.


BM2259

Variable
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Entstehungsgeschichte
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Das Konzept einer Variablen stammt aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra (siehe auch Elementare Algebra). Schon etwa 2000 Jahre v. Chr. benutzten Babylonier und Ägypter Wörter als Wortvariable. Um 250 n. Chr. ist bei Diophantos von Alexandria der Übergang von der Wortalgebra zur Symbolalgebra zu erkennen. Er benutzt bereits Zeichen für die Unbekannte und ihre Potenzen sowie für Rechenoperationen. Diophants Schreibweise wurde von den Indern durch eine leistungsfähigere Zahlenschreibweise und durch Verwendung negativer Zahlen, z. B. von Aryabhata im 5. Jahrhundert n. Chr. oder Brahmagupta im 7. Jahrhundert n. Chr., weiterentwickelt. Bei Rechnungen mit mehreren Unbekannten benutzten sie einen Buchstaben in verschiedenen Farben. Über die Araber gelangte das Wissen der Griechen und Inder ins spätmittelalterliche Abendland. Allerdings war die arabische Algebra wieder eine Wortalgebra. In dem im Jahr 1202 erschienenen Liber Abaci von Leonardo von Pisa werden Buchstaben als Zeichen für beliebige Zahlen benutzt und auch negative Lösungen zugelassen. Jordanus Nemorarius (13. Jahrhundert) löste Gleichungen mit allgemeinen Koeffizienten. In Deutschland schufen zu Beginn des 16. Jahrhunderts z. B. Christoph Rudolff und Michael Stifel die formalen Grundlagen der modernen Algebra. Allgemein gilt François Viète mit seinem im Jahr 1591 erschienenen Buch In artem analyticam isagoge als Wegbereiter und Begründer unserer modernen Symbolalgebra. Bei René Descartes finden wir unsere moderne Symbolschreibweise. Nur für das Gleichheitszeichen benutzt er noch ein anderes Symbol. Er führte die Begriffe Variable, Funktion und rechtwinkliges Koordinatensystem ein. Der Begriff einer Veränderlichen und die Vorstellung einer Veränderlichen ist grundlegend für die Infinitesimalrechnung, die im 17. Jahrhundert sowohl von Isaac Newton als auch von Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelt wurde.


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Arten von Variablen
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Nach der Art der Verwendung einer Variablen lassen sich unterscheiden:
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Unabhängige Variable
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Man spricht gewöhnlich von einer unabhängigen Variablen, falls ihr Wert innerhalb ihres Definitionsbereiches frei gewählt werden kann. In mathematischer Allgemeinheit wird oft das Zeichen   verwendet. Am konkreten Objekt eines Durchmessers   eines gedachten Kreises (oder für dessen Maßzahl zu einer Längen-Maßeinheit) kommt jeder positive reelle Wert in Betracht.
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem wird die unabhängige Variable üblicherweise als Abszisse auf der waagerechten Koordinatenachse aufgetragen.
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Abhängige Variable
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Häufig ist der Wert einer Variablen abhängig von den Werten anderer Variabler. Sie erhält im allgemeinen Fall oft das Zeichen  . Speziell der Umfang   eines Kreises mit dem Durchmesser   ist über die Definition der Kreiszahl   durch die Beziehung
 
gegeben. Sobald der Durchmesser (unabhängige Variable  ) bekannt ist, ist der Umfang eindeutig festgelegt (abhängige Variable  ). Diese Betrachtungsweise ist willkürlich: Man kann genauso gut den Umfang   als unabhängige Variable vorgeben, muss dann aber den Kreisdurchmesser gemäß
 
als abhängige Variable ansehen.
Die Abhängigkeit lässt sich in einem Liniendiagramm veranschaulichen. Im rechtwinkligen Koordinatensystem wird die abhängige Variable üblicherweise als Ordinate auf der senkrechten Achse aufgetragen.
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Parameter
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Ein Parameter oder auch eine Formvariable ist eine an sich unabhängige Variable, die aber zumindest in einer gegebenen Situation eher als eine festgehaltene Größe aufgefasst wird.
Beispiel 1: Der Bremsweg   eines Fahrzeugs ist vor allem von dessen Geschwindigkeit   abhängig:
 
Dabei ist   ein Parameter, dessen Wert bei genauerer Betrachtung von weiteren Parametern wie der Griffigkeit des Straßenbelags und der Profiltiefe der Reifen abhängig ist.
Beispiel 2: Die quadratische Gleichung
 
enthält die drei Variablen   und  . Die Variablen   und   sind hier Formvariablen, die als Platzhalter für konkrete reelle Zahlen stehen. Die Gleichung wird damit zur Bestimmungsgleichung für  , siehe unten.
Beispiel 3: Die Gleichung y = mx + b enthält 4 Variablen : x als unabhängige Variable, m und b als Parameter und y als von diesen 3 Variablen abhängige Variable. In einem x-y-Koordinatensystem erhält man für jedes Parameterpaar (m,b) genau eine Gerade, für festes m eine Schar paralleler Geraden mit der Steigung m, dem y-Achsenabschnitt b, der in diesem Fall Scharparameter ist.
Soll in einem Liniendiagramm der Einfluss eines Parameters veranschaulicht werden, so ist das durch eine Kurvenschar möglich, wobei jede Kurve zu einem anderen Parameterwert gehört.
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Konstanten
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Häufig werden auch konkrete unveränderliche Zahlen, festliegende Größen oder auch durch Messabweichungen unsichere bzw. unrichtige Messwerte mit einem Formelzeichen versehen, das nun statt der numerischen Angabe verwendet werden kann. Das Formelzeichen steht für den in der Regel unbekannten wahren Wert. Beispiele sind die Kreiszahl   = 3,1415... oder die Elementarladung   = 1,602...·10−19 As.

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BM2261

Elementare Anwendungen von Variablen in Beispielen
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Lineare Bestimmungsgleichungen
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Häufig ist eine Gleichung nicht allgemeingültig, aber es gibt gewisse Werte aus dem Definitionsbereich, für die die Gleichung eine wahre Aussage liefert. Dann besteht eine Aufgabe darin, diese Werte zu bestimmen.
Beispiel 1: Bernhard ist heute doppelt so alt wie Anna; zusammen sind sie 24 Jahre alt. Wenn   das Alter von Anna beschreibt, so ist Bernhard   Jahre alt. Zusammen sind sie   Jahre alt. Diese Gleichung mit der Variablen   ermöglicht den Wert von   zu bestimmen, weil   ein Drittel von 24 sein muss. Also sind Anna 8 und Bernhard 16 Jahre alt.
Beispiel 2: Die Gleichung   ist gültig für die beiden Lösungen   und  .
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Funktionale Abhängigkeiten
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Mathematisch angebbare Zusammenhänge, beispielsweise physikalisch-technische Gesetzmäßigkeiten, werden in der Regel durch Gleichungen beschrieben, die einige Größen als Variable enthalten. Dabei ist die Anzahl der Variablen keineswegs auf zwei beschränkt.
Beispielsweise ist der elektrische Gleichstromwiderstand   eines metallischen Drahtes gegeben durch seine Querschnittsfläche  , seine Länge   und eine Materialkonstante   als
 .
Zu den drei unabhängigen Variablen  ,   und   gehört die davon abhängige Variable  .
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Terme mit Variablen als Beweisprinzip
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Betrachtet man etwa für die natürlichen Zahlen (einschließlich der Null) die Folge ihrer Quadrate (0, 1, 4, 9, 16, …), so fällt auf, dass die jeweiligen Abstände zwischen zwei benachbarten Quadraten genau die Folge der ungeraden Zahlen (1, 3, 5, 7, …) ergibt. Für eine endliche Zahl von Folgengliedern lässt sich das einfach nachrechnen; auf diesem Weg erhält man aber keinen Beweis. Unter Zuhilfenahme von Variablen gelingt dieser aber sehr einfach. Ausgangspunkt ist die binomische Formel
 .
Beweis: Das Quadrat der natürlichen Zahl   ist  , das nächste  . Die Differenz zweier benachbarter Quadrate ist also
 .
Zur Folge   der natürlichen Zahlen beschreibt dieses   die Folge der ungeraden Zahlen.


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Bestimmungsgleichungen
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Häufig besteht eine Aufgabenstellung darin, alle Variablenbelegungen zu bestimmen, für die die Gleichung wahr wird. Diesen Vorgang bezeichnet man als Lösen der Gleichung. Zur Unterscheidung von Identitätsgleichungen werden solche Gleichungen als Bestimmungsgleichungen bezeichnet. Die Menge der Variablenbelegungen, für die die Gleichung wahr ist, bezeichnet man als Lösungsmenge der Gleichung. Wenn es sich bei der Lösungsmenge um die leere Menge handelt, so bezeichnet man die Gleichung als unlösbar oder unerfüllbar.
Ob eine Gleichung lösbar ist oder nicht, kann von der betrachteten Grundmenge abhängen, zum Beispiel gilt:
  • die Gleichung   ist unlösbar als Gleichung über den natürlichen oder den rationalen Zahlen und besitzt die Lösungsmenge   als Gleichung über den reellen Zahlen
  • die Gleichung   ist unlösbar als Gleichung über den reellen Zahlen und besitzt die Lösungsmenge   als Gleichung über den komplexen Zahlen
Bei Bestimmungsgleichungen treten mitunter Variablen auf, die nicht gesucht sind, sondern als bekannt vorausgesetzt werden. Solche Variablen werden als Parameter bezeichnet. Beispielsweise lautet die Lösungsformel für die quadratische Gleichung
 
bei gesuchter Unbekannte   und gegebenen Parametern   und  
 .
Setzt man eine der beiden Lösungen   in die Gleichung ein, so verwandelt sich die Gleichung in eine Identität, wird also für eine beliebige Wahl von   und   zur wahren Aussage. Für   sind hier die Lösungen reell, ansonsten komplex.


BM2263

Identitätsgleichungen
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Gleichungen können allgemeingültig sein, also durch Einsetzen aller Variablenwerte aus einer gegebenen Grundmenge oder zumindest aus einer vorher definierten Teilmenge davon wahr sein. Die Allgemeingültigkeit kann entweder mit anderen Axiomen bewiesen werden oder selber als Axiom vorausgesetzt werden.
Beispiele sind:
  • der Satz des Pythagoras:   ist wahr für rechtwinklige Dreiecke, falls   die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite (Hypotenuse) und   die Katheten bezeichnen
  • das Assoziativgesetz:   ist wahr für alle natürlichen Zahlen   und allgemein für beliebige Elemente   einer Gruppe (als Axiom)
  • die erste binomische Formel:   ist wahr für alle reellen Zahlen  
In diesem Zusammenhang spricht man auch von einem mathematischen Satz oder Gesetz. Zur Unterscheidung von nicht allgemeingültigen Gleichungen wird bei Identitäten statt des Gleichheitszeichens auch das Kongruenzzeichen („≡“) verwendet.


BM2264

Definitionsgleichungen
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Gleichungen können auch verwendet werden, um ein neues Symbol zu definieren. In diesem Fall wird das zu definierende Symbol links geschrieben, und das Gleichheitszeichen oft durch das Definitionszeichen („ := “) ersetzt oder über das Gleichheitszeichen „def“ geschrieben.
Zum Beispiel wird die Ableitung einer Funktion   an einer Stelle   durch
 
definiert. Im Gegensatz zu Identitäten sind Definitionen keine Aussagen; sie sind also weder wahr noch falsch, sondern nur mehr oder weniger zweckmäßig.


BM2265

Bruchgleichungen
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Enthält eine Gleichung einen Bruchterm, bei dem die Unbekannte zumindest im Nenner vorkommt, spricht man von einer Bruchgleichung, zum Beispiel
 .
Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner, im Beispiel  , lassen sich Bruchgleichungen auf algebraische Gleichungen zurückführen. Eine solche Multiplikation ist im Regelfall keine Äquivalenzumformung und es muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden, im Beispiel ist   nicht im Definitionsbereich der Bruchgleichung enthalten.


BM2266

Gleichungsketten
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Befinden sich in einer Zeile mehrere Gleichheitszeichen, so spricht man von einer Gleichungskette. In einer Gleichungskette sollen alle durch Gleichheitszeichen getrennten Ausdrücke vom Wert her gleich sein. Dabei ist jeder dieser Ausdrücke separat zu betrachten. Beispielsweise ist die Gleichungskette
 
falsch, weil sie in Einzelgleichungen zerlegt zu falschen Aussagen führt. Wahr ist dagegen zum Beispiel
 .
Gleichungsketten sind insbesondere wegen der Transitivität der Gleichheitsrelation sinnvoll interpretierbar.
Gleichungsketten treten oft auch gemeinsam mit Ungleichungen in Abschätzungen auf, so gilt beispielsweise für  
 .


BM2267

Identitätsgleichung
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Eine Identitätsgleichung, oft kurz Identität genannt, ist ein als Gleichung geschriebener mathematischer Sachverhalt, der die Gleichheit von Ausdrücken, Formeln oder Funktionen auf gewissen Definitionsbereichen zum Inhalt hat.
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Erläuterung
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Identitätsgleichungen enthalten Variablen. Es geht aber nicht darum, diese zu bestimmen, sondern es wird behauptet, dass beide Seiten der Gleichung, die sich durch Einsetzen von beliebigen Elementen des vereinbarten Definitionsbereichs an Stelle der Variablen ergeben, zum selben Wert führen.
Als Beispiel wird die binomische Formel
    für alle  
betrachtet. Diese Identität besagt, dass, ganz gleich welche reellen Zahlen man für   oder   einsetzt, der Wert der linken Seite, das Quadrat der Summe aus den für   und   eingesetzten Zahlen, gleich dem Wert der rechten Seite, der Summe der einzelnen Quadrate plus dem Doppelten des Produktes aus den für   und   eingesetzten Zahlen, ist.
Der verwendete Definitionsbereich   ist hier üblich, weil er oft dem Kenntnisstand des Anwenders dieser Formel entspricht. Stellt man sich ein Schulniveau vor, auf dem der Schüler erst die rationalen Zahlen, das heißt die Brüche, aber noch nicht die reellen Zahlen kennengelernt hat, so wird man obige Identität mit dem kleineren Definitionsbereich   an Stelle von   angeben. Hat man schließlich die komplexen Zahlen kennengelernt, so wird man den größeren Definitionsbereich   verwenden.


BM2268

Bruchgleichung
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Unter einer Bruchgleichung versteht man in der (Schul-)Algebra eine Bestimmungsgleichung mit mindestens einem Bruchterm, der die Unbekannte im Nenner enthält.
Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner kann man eine Bruchgleichung auf einen einfacheren Gleichungstyp zurückführen.
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Beispiel
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Als Grundmenge wird die Menge der rationalen Zahlen vorausgesetzt, d. h. es werden rationale Zahlen gesucht, die diese Gleichung erfüllen.
Zunächst muss der Hauptnenner der drei Nenner bestimmt werden, da die Gleichung mit diesem multipliziert werden soll. Man zerlegt daher die Nenner in Faktoren:
    | Anwendung der binomischen Formel  
    | Ausklammern
 
In dieser Form ist der maximal zulässige Definitionsbereich   der Gleichung erkennbar. Er ist gleich der Menge der rationalen Zahlen mit Ausnahme derjenigen Zahlen, für die beim Einsetzen in die Gleichung mindestens ein Nenner gleich 0 wird. Wegen des Faktors   ist die Zahl 0 „verboten“, wegen des Faktors   die Zahl   und wegen des Faktors   die Zahl  .
 
Außerdem sieht man nun, dass die Gleichung (und damit jeder Summand der Gleichung) mit dem Hauptnenner
 
zu multiplizieren ist.
   
Hinter dieser Multiplikation steckt die Absicht, in den Zählern und Nennern der Bruchterme die gemeinsamen Faktoren herauszukürzen und so die Bruchterme zu beseitigen.
 
Diese Gleichung lässt sich nunmehr durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen gleichartiger Terme weiter vereinfachen:
 
 
 
Die quadratischen Summanden   fallen heraus, wenn man sie von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert.
 
Beidseitige Subtraktion der Zahl 6 führt zu:
 .
Anschließende beidseitige Division durch −6 ergibt die Lösung.
 .
An dieser Stelle muss sicherheitshalber noch überprüft werden, ob die berechnete Zahl Element des Definitionsbereichs (siehe oben) ist. Dies trifft zu, und man erhält als Lösungsmenge:
 


BM2269

Freie Variable und gebundene Variable
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In der Mathematik und Logik bezeichnet man eine Variable als in einer mathematischen Formel frei vorkommend, wenn sie in dieser Formel an mindestens einer Stelle nicht im Bereich eines Operators auftritt. Sind hingegen alle Vorkommen der Variable innerhalb der Formel an Operatoren gebunden, bezeichnet man die Variable als in dieser Formel gebunden. Eine Formel ohne freie Variablen wird geschlossene Formel, eine Formel mit mindestens einer freien Variablen wird offene Formel genannt.
Ein und dieselbe Variable kann in einer Formel sowohl freie als auch gebundene Vorkommen haben. Die Kenntnis von freien und gebundenen Variablen wird zum Beispiel für die Bereinigung von Formeln benötigt.
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Freie Variablen sind Leerstellen / Platzhalter in einem sprachlichen Ausdruck, die durch Elemente der Grundmenge ersetzt werden können. Im Gegensatz dazu können gebundene Variablen nicht durch Elemente der Grundmenge ersetzt werden.


BM2270

Lineare Gleichungssysteme
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Ein Gleichungssystem - also eine Menge von Gleichungen - heißt lineares Gleichungssystem, wenn alle Gleichungen linear sind. Beispielsweise ist
 
ein lineares Gleichungssystem bestehend aus zwei Gleichungen und drei Unbekannten   und  .
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Lineares Gleichungssystem
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Ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) ist in der linearen Algebra eine Menge linearer Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten (Variable), die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.
Ein entsprechendes System für drei Unbekannte   sieht beispielsweise wie folgt aus:
 
Für   sind alle drei Gleichungen erfüllt, es handelt sich um eine Lösung des Systems. Eine Lösung muss also im Unterschied zur Lösung einer einzigen Gleichung (bestehend aus einer einzigen Zahl) hier aus einem n-Tupel, in diesem Fall einem Zahlentripel bestehen. Dieses wird auch als Lösungsvektor bezeichnet.
Allgemein lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit   Gleichungen und   Unbekannten immer in die folgende Form bringen:
 
Lineare Gleichungssysteme werden, wenn alle   gleich 0 sind, homogen genannt, andernfalls inhomogen. Homogene Gleichungssysteme besitzen stets mindestens die sogenannte triviale Lösung, bei der alle Variablen gleich 0 sind. Bei inhomogenen Gleichungssystemen kann dagegen der Fall eintreten, dass überhaupt keine Lösung existiert.

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BM2271

 
Die Graphen der Fragestellung, die sich im Punkt A(46;16) schneiden.
Lineare Gleichungssysteme
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Beispiel
Lineare Gleichungssysteme entstehen vielfach als Modelle von praktischen Aufgabenstellungen. Ein typisches Beispiel aus der Schulmathematik lautet wie folgt:
Ein Vater und ein Sohn sind zusammen 62 Jahre alt. Vor sechs Jahren war der Vater viermal so alt wie damals der Sohn. Wie alt ist jeder?
Es lässt sich auch durch das folgende lineare Gleichungssystem beschreiben:
 
Die Variable   repräsentiert hier das Alter des Vaters und die Variable   das des Sohnes. Das Gleichungssystem wird in einem ersten Schritt üblicherweise in eine Standardform gebracht, bei der auf der linken Seite nur Terme mit Variablen und auf der rechten Seite die reinen Zahlen stehen. Im vorliegenden Beispiel wird dazu die zweite Gleichung ausmultipliziert und umgestellt.
 
Um dieses Gleichungssystem zu lösen, kann auf eine Vielzahl von Lösungsverfahren zurückgegriffen werden. Beispielhaft wird hier das Additionsverfahren verwendet. Um zunächst die Variable   zu eliminieren, wird die erste Gleichung von der zweiten subtrahiert.
 
Die entstandene Gleichung wird nach der Variablen   aufgelöst, indem beide Seiten durch   geteilt werden. Das ergibt das Alter   des Sohnes, der 16 Jahre alt ist. Dieser Wert für   wird wieder in die erste Gleichung eingesetzt.
 
Durch die Auflösung der Gleichung nach der Variablen   lässt sich das Alter des Vaters berechnen, der 46 Jahre alt ist.


BM2272

Formen von linearen Gleichungssystemen
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Lineare Gleichungssysteme können in Formen vorliegen, in denen sie leicht gelöst werden können. Vielfach werden beliebige Gleichungssysteme mittels eines Algorithmus in eine entsprechende Gestalt gebracht, um anschließend eine Lösung zu finden.
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Quadratisch
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Von einem quadratischen Gleichungssystem ist die Rede, wenn die Zahl der Unbekannten gleich der Zahl der Gleichungen ist. Ein Gleichungssystem dieser Form kann, wenn die Zeilen oder Spalten linear unabhängig sind, eindeutig gelöst werden (Lösungsverfahren werden weiter unten besprochen).
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Stufenform, Treppenform
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In der Stufenform (auch Zeilenstufenform, Zeilennormalform, Stufengestalt, Staffelgestalt, Treppenform, Treppenstufenform oder Treppennormalform) verringert sich in jeder Zeile die Zahl der Unbekannten um mindestens eine, die dann auch in den darauffolgenden Zeilen nicht mehr vorkommt. Durch die Anwendung des gaußschen Eliminationsverfahrens kann ein beliebiges Gleichungssystem in diese Form gebracht werden.
Beispiel (die Koeffizienten von ausgelassenen Elementen sind  ):
 
Lineare Gleichungssysteme in Stufenform können durch Rückwärtseinsetzen (Rücksubstitution) gelöst werden. Beginnend mit der letzten Zeile wird damit die Unbekannte berechnet und das gewonnene Ergebnis jeweils in die darüberliegende Zeile eingesetzt, um die nächste Unbekannte zu berechnen.
Lösung des obigen Beispiels:
1. Auflösen der zweiten Zeile nach  
2.  
3. Einsetzen von   in die erste Zeile:
4.  
5. Auflösen der ersten Zeile nach  
6.  
7. Mit   sind alle Vektoren der Form   Lösungen des Gleichungssystems.
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Dreiecksform
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Die Dreiecksform ist ein Sonderfall der Stufenform, bei der jede Zeile genau eine Unbekannte weniger als die vorhergehende hat. Das bedeutet, dass alle Koeffizienten   der Hauptdiagonale von   verschieden sind. Die Dreiecksform entsteht bei Anwendung des gaußschen Eliminationsverfahrens, wenn das Gleichungssystem genau eine Lösung hat.
Beispiel (die Koeffizienten von ausgelassenen Elementen sind  ):
 
Wie lineare Gleichungssysteme in Stufenform können auch solche in Dreiecksform durch Rückwärtseinsetzen gelöst werden.
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Reduzierte Stufenform
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Auch die reduzierte Stufenform (auch normierte Zeilenstufenform) ist ein Sonderfall der Stufenform. Bei ihr treten die jeweils ersten Unbekannten jeder Zeile nur ein einziges Mal auf und haben den Koeffizienten   Die reduzierte Stufenform eines linearen Gleichungssystems ist eindeutig: Es gibt also für jedes lineare Gleichungssystem genau eine reduzierte Stufenform. Durch die Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus kann ein beliebiges lineares Gleichungssystem in diese Form gebracht werden.
Beispiel (die Koeffizienten von ausgelassenen Elementen sind  ):
 
Die Lösung des linearen Gleichungssystems kann nun direkt abgelesen werden: Sofern   gesetzt und das Gleichungssystem rekursiv gelöst wird, ergeben sich alle Vektoren der Form   als Lösungen.
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Lösungsverfahren
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Die Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen werden in iterative und direkte Verfahren unterteilt. Beispiele für direkte Verfahren sind das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren für einfache Gleichungssysteme sowie das auf dem Additionsverfahren basierende gaußsche Eliminationsverfahren, das ein Gleichungssystem auf Stufenform bringt.


BM2273

Einsetzungsverfahren
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Das Einsetzungsverfahren dient zur Lösung von Gleichungssystemen. Die Idee bei diesem Verfahren ist, eine der Gleichungen nach einer Variablen aufzulösen und diese Variable dann in die anderen Gleichungen einzusetzen. Dadurch wird eine Variable eliminiert.
Dieses Verfahren lässt sich auch bei größeren oder nichtlinearen Gleichungssystemen anwenden, es wird dann aber schnell unübersichtlich. Wenn man allerdings nach dem folgenden Algorithmus vorgeht, kann man auch bei großen Gleichungssystemen den Überblick behalten:
Es existieren n Gleichungen mit n Variablen.
  • Schritt 1: Auflösen der ersten Gleichung (einer beliebigen Gleichung) zur letzten Variablen.
  • Schritt 2: Einsetzen dieser Gleichung in alle anderen Gleichungen.
Es entsteht ein Gleichungssystem mit n-1 Variablen.
Die Schritte 1 und 2 werden so lange ausgeführt, bis nur noch eine Gleichung mit einer Variablen übrigbleibt.
Nun setzt man von unten alle Variablen ein.
Hinweis: da beim Einsetzen sehr unübersichtliche Ausdrücke entstehen, ist es zweckmäßig zwischendurch Vereinfachungen zu machen. Wenn man Konstanten zusammenfassen kann, sollte man dies tun. Brüche mit Konstanten sollten notfalls zu einer neuen Konstante zusammengefasst werden. (a +b +c)/(e+f) = h, wobei a,b,c,e,f,h alle konstant sind!
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Beispiel mit zwei Variablen ==
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Bei einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen geht man so vor:
  • Schritt 1: Auflösung einer Gleichung nach einer Variablen
  • Schritt 2: Einsetzen dieser Variablen in die andere Gleichung
  • Schritt 3: Auflösen der im Schritt 2 erhaltenen Gleichung nach der enthaltenen Variable
  • Schritt 4: Einsetzen der Lösung in die nach Schritt 1 umgeformten Gleichung
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Zahlenbeispiel
Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:
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Schritt 1:
Eine der beiden Gleichungen muss nach   oder   aufgelöst werden. In diesem Beispiel wird die 2. Gleichung nach   aufgelöst.
 
Schritt 2:
Danach können wir in der ersten Gleichung das   durch den Term   ersetzen und bekommen dann:
 
Schritt 3:
Diese Gleichung können wir nun nach   auflösen.
 
Schritt 4:
Die Lösung   wird in die umgestellte Gleichung (II) eingesetzt:
 
Nun können wir noch die Probe machen:
 
Die Lösungsmenge ist somit:  .


BM2274

Gleichsetzungsverfahren
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Das Gleichsetzungsverfahren kann zum Lösen von Gleichungssystemen genutzt werden. Es ist bei einfachen Gleichungssystemen relativ einfach anzuwenden.
Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Gleichungen so umgestellt, dass ihre linken Seiten identisch sind und nur eine Variable enthalten, die auf den rechten Seiten nicht vorhanden ist. Anschließend werden die beiden rechten Seiten gleichgesetzt, damit die neu entstehende Gleichung von einer Variablen weniger abhängt.
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Beispiel
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Umstellen
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Die Gleichungen stellt man jetzt nach einer Variablen um, hier nach  . So erhält man folgende Gleichungen:
 
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Gleichsetzen
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Da die linken Seiten identisch sind, muss dies auch für die rechten Seiten gelten. Man setzt daher diese nun gleich und erhält eine Gleichung, die nur noch die Unbekannte   enthält:
 
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Lösen der entstandenen Gleichung
Bestimmen der y-Werte
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Man erhält hier zwei Lösungen für  , was darauf hinweist, dass auch das System zwei Lösungspaare   haben kann.
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Bestimmen der x-Werte
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Die Lösungen für   setzt man in eine der beiden Ausgangsgleichungen (oder deren umgestellte Variante) ein und berechnet aus dieser das zugehörige  .
 
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Zusammenfassung
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Somit hat das Gleichungssystem zwei Lösungen  :
 


BM2275

 
Veranschaulichung des Additionsverfahrens: Aus   und   folgt das Gleichungssystem  . Wenn nämlich beide Waagen im Vorfeld im Gleichgewicht waren, dann ist auch die Waage, wenn man die jeweiligen Seiten zusammenlegt.
Additionsverfahren
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Das Additionsverfahren ist ein Verfahren, das zur Lösung von Gleichungssystemen genutzt werden kann. Der wahrscheinlich bekannteste Lösungsansatz zur Lösung von Gleichungssystemen, das Gaußsche Eliminationsverfahren, bedient sich des Additionsverfahrens, es ist aber auch allgemein bei der Lösung von Gleichungssystemen von Bedeutung.
Beim Additionsverfahren werden Gleichungen addiert. Dies geschieht in der Regel so, dass eine oder mehrere Variablen (Unbekannte) in den Gleichungen eliminiert werden.
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Rechtfertigung (Anschaulich)
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Als Beispiel soll folgendes lineare Gleichungssystem gelöst werden:
 
Man kann sich beide Gleichungen als ausgeglichene Waagen vorstellen.
Waage 1 hat in der linken Schale   und in der rechten   liegen.
Waage 2 hat in der linken Schale   und in der rechten   liegen.
Legt man die Inhalte der linken Schalen zusammen, müssen diese also so viel wiegen wie die rechten Schalen zusammen.
Als Formel erhält man:
 
Sortiert man die linke Seite der Gleichung nach den Unbekannten, hebt sich   weg und man erhält eine Lösung für  
 
Auch das vorherige Vervielfachen einer Gleichung ändert nichts am Gleichgewicht der jeweiligen Waage.
Ein Mehrfachadditionsverfahren wie   oder ein Subtraktionsverfahren wie   ist also lediglich eine abkürzende Schreibweise für eine Äquivalenzumformung mit anschließendem Additionsverfahren.
Für   wird die zweite Gleichung zunächst verdreifacht und dann beide Gleichungen addiert (ein ausführliches Beispiel dazu steht unten).
Für   wird die zweite Gleichung zunächst auf beiden Seiten mit   multipliziert und dann beide Gleichungen addiert.
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Beispiel
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Mit Hilfe des Additionsverfahrens soll das folgende Gleichungssystem gelöst werden:
 
Dazu muss eine der beiden Gleichungen so Äquivalenzumformung|umgeformt werden, dass bei einer Addition der beiden Gleichungen eine Variable verschwindet. In diesem Beispiel multiplizieren wir dazu Gleichung (2) auf beiden Seiten mit  .
 
Dadurch erhalten wir ein gleichwertiges Gleichungssystem, in dem der Term   vorkommt.
 
Nun werden beide Gleichungen des Systems addiert und somit in einer Gleichung zusammengefasst:
 
Anschließend löst man nach der verbliebenen Variablen   auf:
 
Damit ist der Wert der ersten Variable bekannt. Diesen Wert ( ) setzen wir in Gleichung (1) ein, um den Wert der zweiten Variable zu berechnen.
 
Dadurch erhalten wir den Wert für die zweite Variable. Die Lösung des Gleichungssystem gibt man als Lösungsmenge an, also  .


BM2276

Umformung von Gleichungen
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Gleichungen können durch Äquivalenzumformungen gelöst werden. Das sind Umformungen, die den Wahrheitswert der Gleichung und damit ihre Lösungsmenge unverändert lassen. Dabei sind eine Reihe von Aktionen erlaubt, sofern sie auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens gleich ausgeführt werden. Das Ziel ist dabei, die Gleichung so weit zu vereinfachen, dass die Lösungen direkt abgelesen werden können oder die Gleichung zumindest auf eine Standardform gebracht wird, aus der die Lösungen mit einer Formel oder einem numerischen Verfahren bestimmt werden können. Beispielsweise kann jede Gleichung so umgeformt werden, dass auf einer Seite eine Null steht, sodass anschließend ein Verfahren zum Bestimmen von Nullstellen angewendet werden kann, womit dann auch die Ausgangsgleichung gelöst würde.
Umformungen kann man sich gut am Modell einer Waage vorstellen, die sich im Gleichgewicht befindet, und auf der die Größen einer Gleichung durch Gewichte repräsentiert werden (das Modell hat natürlich Grenzen und versagt z. B. bei negativen Zahlen). Äquivalenz-Umformungen entsprechen solchen Operationen, die die Waage nicht aus dem Gleichgewicht bringen. Das Bild zeigt am Beispiel der Gleichung
 ,
wie durch Äquivalenzumformungen die Gleichung in eine Form gebracht wird, in der schließlich   (die Unbekannte) auf einer Seite isoliert dasteht, wodurch die Lösung direkt ablesbar ist.
 
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Erlaubte und eingeschränkt erlaubte Umformungen
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Erlaubte Äquivalenzumformungen sind beispielsweise:
  • Addition desselben Ausdrucks auf beiden Seiten
    („ “ oder „ “ oder „ “ …).
  • Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten
    („ “ oder „ “ oder „ “ …).
  • Multiplikation mit demselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten
    („ “ oder „ “ …).
    Anmerkung: Eine Multiplikation mit null ist nicht umkehrbar und damit keine Äquivalenzumformung. Dabei ist zu beachten, dass bei Multiplikation mit einem Ausdruck, der eine Variable enthält, dieser Ausdruck null sein kann. Ein solcher Fall muss getrennt behandelt werden.
  • Division durch denselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten
    („ “ oder „ “ …).
    Anmerkung: Eine Division durch null ist nicht möglich. Wie bei der Multiplikation ist zu beachten, dass bei Division durch einen Ausdruck, der eine Variable enthält, dieser Ausdruck null sein kann. Ein solcher Fall muss getrennt behandelt werden.
  • Termumformungen auf einer Seite oder beiden Seiten
  • Vertauschen beider Seiten.
Eingeschränkt möglich sind darüber hinaus:
  • Potenzieren beider Seiten mit demselben positiven ganzzahligen Exponenten.
    Das ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Exponent ungerade ist. Bei anderen Exponenten - wie beim Quadrieren - erhält man sogenannte Scheinlösungen, die durch eine Probe ausgeschlossen werden müssen.
    Zum Beispiel ist die Gleichung   nicht äquivalent zur Gleichung  , denn die letztere Gleichung hat auch   als Lösung.
  • Potenzieren beider Seiten mit demselben nicht-ganzzahligen Exponenten, z. B. Bilden der Quadratwurzel beider Seiten.
    Das gibt nur dann reelle Lösungen, wenn die Seiten der Gleichung nicht negativ sind. Dann handelt es sich zwar um eine Äquivalenzumformung, es ist jedoch zu beachten, dass   nur für   gilt; für negatives   gilt dagegen  . Beide Fälle lassen sich für beliebiges reelles   mit der Betragsfunktion zu   zusammenfassen.
    Zum Beispiel ist die Gleichung   mit einem Ausdruck   äquivalent zu   mit den Lösungen   und  .
  • Potenzieren beider Seiten mit demselben negativen Exponenten, z. B. Bilden des Kehrwerts beider Seiten.
    Das geht nur, wenn die Seiten der Gleichung nicht den Wert null haben. Bei Verwendung anderer Exponenten als −1 treten dieselben Hindernisse wie bei positiven Exponenten auf.
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Irreversible Umformungen
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Es ist möglich, Gleichungen mathematisch korrekt so umzuformen, dass nach der Umformung nicht mehr eindeutig auf die Ausgangsgleichung geschlossen werden kann. Solche Umformungen sind keine Äquivalenzumformungen; man nennt sie irreversibel.
Multiplikation mit 0
Multipliziert man eine beliebige Gleichung mit  , so ist diese Multiplikation irreversibel.
 
Von der Gleichung   lässt sich nicht mehr auf die Gleichung   schließen.
Quadrieren
Quadriert man eine Gleichung, lässt sich auch durch das Ziehen der Wurzel nicht auf die vorige Gleichung schließen.
 
Die obere Gleichung hat nur die Lösung  , während die untere Gleichung eine weitere Lösung, nämlich   besitzt.
Aus diesem Grund ist es wichtig, bei Gleichungen, in denen man die Wurzel zieht, den Teil, der vorher quadratisch war, in Betragstriche zu setzen, sodass auch wirklich zwei mögliche Lösungen betrachtet werden können.
 
Lösungen sind dann   und  . Wegen der Betragstriche handelt es sich um eine Äquivalenzumformung.


BM2277

Bruchgleichungen
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Wenn eine Gleichung einen oder mehrere Bruchterme enthält und die Unbekannte zumindest im Nenner eines Bruchterms vorkommt, handelt es sich um eine Bruchgleichung. Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner kann man solche Bruchgleichungen auf einfachere Gleichungstypen zurückführen.
Beispiel
 
Bei Bruchgleichungen muss sicherheitshalber noch überprüft werden, ob die berechnete Zahl Element des Definitionsbereichs ist, also vor allem keine Division durch Null vorkommt.


BM2278

Wurzelgleichungen
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Tritt die Variable   unter einer Wurzel auf, spricht man von einer Wurzelgleichung. Solche Gleichungen löst man, indem man eine Wurzel isoliert (allein auf eine Seite bringt) und dann mit dem Wurzelexponenten potenziert.

Das wiederholt man, bis alle Wurzeln eliminiert sind. Die entstehende Gleichung löst man wie oben. Schließlich muss man noch beachten, dass durch das Potenzieren möglicherweise Scheinlösungen hinzugekommen sind, die nicht Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind, weil Potenzieren keine Äquivalenzumformung darstellt. Deshalb ist hier eine Probe unverzichtbar.

Beispiel
 


BM2279

Gaußsches Eliminationsverfahren
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Das gaußsche Eliminationsverfahren oder einfach Gauß-Verfahren (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein Algorithmus aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und der Numerik. Es ist ein wichtiges Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen und beruht darauf, dass elementare Umformungen zwar das Gleichungssystem ändern, aber die Lösung erhalten. Dies erlaubt es, jedes eindeutig lösbare Gleichungssystem auf Stufenform zu bringen, an der die Lösung durch sukzessive Elimination der Unbekannten leicht ermittelt oder die Lösungsmenge abgelesen werden kann.
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Erklärung
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Ein lineares Gleichungssystem   mit drei Gleichungen und drei Unbekannten   und rechter Seite   hat die Form:
 
Der Algorithmus zur Berechnung der Variablen  ,   und   lässt sich in zwei Etappen einteilen:
1. Vorwärtselimination,
2. Rückwärtseinsetzen (Rücksubstitution).
Im ersten Schritt wird das Gleichungssystem auf Stufenform gebracht. Stufenform heißt, dass pro Zeile mindestens eine Variable weniger auftritt, also mindestens eine Variable eliminiert wird. Im obigen Gleichungssystem würde man  ,   und   eliminieren, in der dritten Zeile ist dann nur noch die Variable  :
 
Zum Erreichen der Stufenform werden elementare Zeilenumformungen benutzt, mit Hilfe derer das Gleichungssystem in ein neues transformiert wird, welches aber dieselbe Lösungsmenge besitzt. Ausreichend sind zwei Arten von elementaren Zeilenumformungen:
1. Eine Zeile oder das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren.
2. Zwei Zeilen vertauschen.
Das Verfahren besteht dann darin, angefangen in der ersten Spalte mit Umformungen der ersten Art durch geschicktes Dazuaddieren der ersten Zeile alle Einträge bis auf den ersten zu Null zu machen. Dies wird dann in der so modifizierten zweiten Spalte fortgesetzt, wobei diesmal Vielfache der zweiten Zeile zu den folgenden Zeilen addiert werden und so weiter. Dieser Schritt funktioniert nur, wenn das Diagonalelement der aktuellen Spalte nicht Null ist. In so einem Fall ist die zweite Art der Zeilenumformung nötig, da durch eine Zeilenvertauschung ein Nichtnulleintrag auf der Diagonale erzeugt werden kann. Mit Hilfe dieser beiden Arten von Umformungen ist es möglich, jedes lineare Gleichungssystem auf Stufenform zu bringen.
Eine weitere Art der elementaren Umformung ist das Vertauschen von Spalten. Diese wird zur Durchführung des Algorithmus nicht benötigt, aber manchmal in Computerprogrammen aus Stabilitätsgründen eingesetzt. Dabei wird die Position der Variablen im Gleichungssystem geändert. Beim Rechnen per Kopf ist manchmal noch die Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl nützlich, etwa um komplizierte Brüche zu vermeiden. Dies verursacht zusätzlichen Rechenaufwand und ist deswegen in Computerprogrammen keine Option und ändert ferner die Determinante der Koeffizientenmatrix, was theoretische Nachteile mit sich bringt.


BM2280

Gaußsches Eliminationsverfahren
Beispiel
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1.  , hier:  ,  ,   und  
2.  
3.  
Zur besseren Übersichtlichkeit werden die Koeffizienten   des linearen Gleichungssystems in die mit   erweiterte Koeffizientenmatrix geschrieben:
 
Jetzt wird so umgeformt, dass   und   Null werden, indem man geeignete Vielfache der ersten Gleichung zur zweiten und dritten Gleichung addiert. Den entsprechenden Multiplikator erhält man, indem man das zu eliminierende Element (als erstes  ) durch das Pivotelement   teilt (hier:   und  ). Da die beiden Elemente   und   Null werden sollen, werden die beiden Multiplikatoren jeweils mit   multipliziert.
Zur zweiten Zeile wird also das  -fache und zur dritten Zeile das  -fache der ersten Zeile addiert. Damit   Null wird, wird ein Vielfaches der zweiten Zeile zur dritten Zeile addiert, in diesem Fall das  -fache:
??? en:WP Gaussian elimination die Beispiele nutzen
Falls die Zahl, durch die zur Berechnung des Multiplikators dividiert wird (hier für die ersten beiden Zeilen die Zahl  , beim dritten Mal die Zahl  ), Null ist, wird diese Zeile mit einer weiter unten liegenden vertauscht. Die letzte Zeile bedeutet
 .
Diese Gleichung ist einfach lösbar und liefert  . Damit ergibt sich für die zweite Zeile
 , mit   also  
und weiter  . Damit sind alle Variablen berechnet:
 ,   und  .

BM2281 - BM2290 editar

BM2281

Terme sind Zeichen bzw. gewisse Zusammensetzungen von Zeichen.
Beispiele:
  • 4
  • b
  •  
  • 5,3
  • x
  •  
  •  
  •  
  •  
Für die Variablen in Termen können Elemente (z. B. Zahlen, Größen) aus dem festgelegten Variablen-Grundbreich eingesetzt werden.
Dann kann der Wert des Terms berechnet werden.
Beispiele für Variablen-Grundbereiche:
  • Die Menge aller natürlichen Zahlen  
  • Die Menge aller ganzen Zahlen  
  • Die Menge aller gegrochenen (rationalen) Zahlen  
  • Die Menge aller rationalen Zahlen  
  • Die Menge aller Primzahlen
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Bei praktischen Problemen ergibt sich der Variablen-Grundbereich meist aus der Aufgabenstellungen.
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  • Gleichungen erhält man, indem man zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbindet.
  • Eine Gleichung mit Variablen in einem gegebenen Grundbereich lösen heißt, alle Zahlen des gegebenen Grundbereichs zu ermitteln, die die Gleichung nach dem Einsetzen zu einer wahren Aussage machen.


BM2282

Nenne Beispiele für die
1.) Kommutativität der Addition
2.) Assoziativität der Addition
3.) Kommutativität der Multiplikation
4.) Assoziativität der Multiplikation
5.) das Distributivgesetz
Lösung BM2282
1.) Kommutativität der Addition:
 
 
---
2.) Assoziativität der Addition:
 
 
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3.) Kommutativität der Multiplikation:
 
 
---
4.) Assoziativität der Multiplikation:
 
 
---
5.) das Distributivgesetz:
 
 


BM2283

Vielfache
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Die Produkte  ;  ;   nennt man Vielfache von  .
Dabei heißen  ;  ;   Koeffizienten von a.
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Mehrere Vielfache der gleichen Variablen können addiert werden, z. B.
 .
Vielfache können auch subtrahiert werden:
 .
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Warum können Vielfache der gleichen Variablen addiert oder subtrahiert werden.
Warum?
Lösung BM2283
Wegen des Distributivgesetzes können Vielfache der gleichen Variablen addiert oder subtrahiert werden.
---
 
---
 


BM2284

Rechne! Vereinfache!
---
 
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1. Schritt: Die Glieder mit gleichen Variablen addieren. Dazu markieren wir die Glieder mit verschiedenen Variablen unterschiedlich. Hier haben wir mit unterschiedlicher Farbe markiert. Beim handschriftlichen Rechnen oder an der Tafel werden die unterschiedlichen Glieder mit unterschielichen Unterstreichungen markiert (z. B. einfach unterstrichen, doppelt unterstrichen, mit einfacher oder doppelter Wellenlinie unterstrichen, mit gezackter Linie unterstrichen).
 
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2. Schitt: Wir vertauschen das zweite und dritte Glied der Summe gegeneinander, d. h. wir ordnen die Glieder.
 
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3. Schritt: Wir fassen die Glieder mit den gleichen Variablen zusammen:
 
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Kurzschreibweise:
 
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  ist eine Summe, auch wenn ein Minuszeichen dabei ist.
  könnten wir auch als als   schreiben.
Deshalb ist   oder   eine Summe.
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Es ist zu beachten, dass   auch eine negative Zahl sein kann.
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Berechne den Wert von   für   und  
1. Lösung BM2284
 
 
 
---
 
oder mit der vereinfachten Form des Terms:
 
 
---
Das kann nicht sein!
 
Das müsste aber jedes mal das Gleiche ergeben.
Wo war unser Rechenfehler?
2. Lösung BM2284
  sondern  
Also rechnen wir noch mal:
 
oder mit der vereinfachten Form des Terms:
 
 
---
 
Jetzt stimmt das Ergebnis.


BM2285

Ordne und fasse zusammen!
 
Lösung BM2285
 
 
 


BM2286

Schreibe   so auf, dass als Operationszeichen nur Pluszeichen auftreten!
Vereinfache!
Lösung BM2286
 
 
 
 


BM2287

Wenn man zwei oder mehr Summen addieren soll, so schließt man die zu den einzelnen Summen gehörigen Glieder in Klammern ein.
---
Addiere zur Zahl   die Summe   sowie die Differenz  !
Lösung BM2287
 


BM2288

Zunächst werden die Operationen innerhalb der Klammern ausgeführt. Treten Variablen auf, so ist das nicht immer möglich.
So können wir zum Beispiel die Summe aus   und   nicht ohne weiteres vereinfachen.
Um derartige Aufgaben zu lösen, wenden wir innerhalb der Klammer das Kommutativgesetz der Addition und anschließen das Assoziativgesetz der Addition an.
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Vereinfache  !
1. Lösung BM2288
 
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Das Ergebnis ist also:
 .
Wir sagen dafür, dass die Klammer aufgelöst wird.
---
Wir kommen zu demselben Ergebnis, wenn wir in der Summe   zuerst die Klammer weglassen und dann die Summen ordnen sowie zusammenfassen:
 
---
In der Summe   kann die Klammer entfallen.
 
---
Vereinfache!
---
1.)  
2.)  
2. Lösung BM2288
1.)  
2.)  


BM2289

Auch bei der Subtraktion einer Summe werden die zur Summe gehörigen Glieder durch Klammern zusammengefasst.
Wir gelangen dabei zu Termen der Form:
 
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In der Summe   konnte die Klammer entfallen
---
SATZ: In der Differenz   kann die Klammer entfallen, wenn man von allen Summanden innderhalb der Klammern die entgegengesetzten Zahlen ermitteln und diese zu   addiert.
 
---
 
---
Berechne!
1.)  
2.)  
3.)  
4.)  
Lösung BM2289
1.)
 
oder
 
---
2.)
 
---
3.)
 
---
4.)
 


BM2290

 
Wir subtrahieren von   die Summe   von  , indem wir die zu   entgegengesetzte Zahl zu   addieren.
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Die entgegengesetzte Zahl von   ist  .
Die entgegengesetzte Zahl von   ist  .
Die entgegengesetzte Zahl von   ist  .
Die entgegengesetzte Zahl von   ist  .
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Die entgegengesetzte Zahl zu   ist  .
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Da für alle Zahlen gilt, dass die Summe aus einer Zahl und der zu ihr entgegengesetzten zahl Null ergibt, können wir schreiben:
 
 
 
 
 
---
Für die entgegengesetzte Zahl wollen wir   einsetzten.
 
 
 
 
 
---
 
Auf Grund der Assoziativität gilt  .
Die Klammer kann in diesem Fall auch ganz entfallen:  .
Das können wir umstellen zu  .
Wir erinnern und, dass   für die entgegengesetzte Zahl steht. Also setzen wir für   die entgegengesetzte Zahl von   ein:
 
 
Wenn wir auf beiden Seiten   addieren, dann erhalten wir:
 
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Kurz: Wenn vor einem geklammerten Term ein negatives Vorzeichen steht, dann dreht sich für alle Glieder innerhalb der Klammer (in unserem Fall Summanden) das Vorzeichen um.
 

BM2291 - BM2300 editar

BM2291

Auf Grund des Assoziativgesetzes dürfen in Summen in beliebiger Weise Klammern gesetzt werden, wenn vor der Klammer ein Pluszeichen steht.
Die Klammern dürfen auch ganz weggelassen werden.
Gelegentlich werden die Klammern auch nur gesetzt, um hervorzuheben, dass einige Teilausdrücke zusammengehören.
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Ist in eier Summe eine Klammer zu setzen, vor der ein Minuszeichen stehen soll, so verfahren wir folgendermaßen: Wir setzen die Plus- bzw. Minuszeichen, die von der Klammer erfasst werden, jeweils durch die entgegengesetzten Zeichen.
Kurz: Wenn wir vor eine Klammer ein Minuszeichen setzen, dann müssen wir für alle Glieder innerhalb der Klammer das Vorzeichen umdrehen. (Also das was wir in den vorhergehenden Übungen gelernt haben, nur in die andere Richtung. Dort hatten die die Klammer mit einem Minus davor aufgelöst, hier setzen wir die Klammer und schreiben ein Minuszeichen davor.
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1.) Fasse in der Summe   die ersten drei und die letzten drei Summanden jeweils durch Klammern zusammen! Vor beiden Klammern soll ein Pluszeichen stehen.
2.) Fasse in der Summe   die letzten beiden Glieder durch eine Klammer zusammen, wobei vor der Klammer das Minuszeichen stehen soll.
3.) Fasse in der Summe   die letzten beiden Glieder durch eine Klammer zusammen, wobei vor der Klammer das Pluszeichen stehen soll!
Lösung BM2291
1.)
 
Zur Verdeutlichung schreiben wir mal vor alle Zahlen innerhalb der Klammern des Vorzeichen.
 
---
2.)
 
Zur Verdeutlichung nochmals in kleineren Schritten:
 
---
3.)
 
Einfach eine Klammer hinter dem Minus zu setzen, ohne die eben erläuterte Regel zu beachten, würde zu einem Fehler führen:
  denn   und das ist NICHT gleich  .
Wenn wir also hinter dem Operationszeichen „Minus“ eine öffnende Klammer setzen, dann müssen wir sofort alle Einzelterme in dieser Klammer (also bis zur schließenden Klammer) mit dem Vorzeichen „umdrehen“.
 .
Nun war aber die Aufgabe, dass vor der Klammer ein Pluszeichen stehen soll.
Dazu ist es am Einfachsten, wenn wir das Minuszeichen im gegebenen Term nicht als Operationszeichen, sondern als Vorzeichen betrachten:
 .
Nun können wir auch hemmungslos klammern, ohne irgendwelche Vorzeichen umdrehen zu müssen:
 .


BM2292

Mehrfache Klammern
Geschachtelte Klammern
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1.) Löse in   die Klammer auf und vereinfache!
2.) Löse in   die Klammer auf und vereinfache!
Lösung BM2292
1.)
 
Version 1: Klammern von innen nach außen auflösen. Wir lösen zuerst die runden Klammern auf und danach erst die eckigen. Das ist weniger fehleranfällig, als die 2. Version, die weiter unten folgt.
 
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Version 2: Klammern von außen nach innen auflösen. Wir lösen zuerst die eckigen Klammern auf und danach erst die runden.
 
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2.)
 
Klammern von innen nach außen auflösen:
 


BM2293

Löse die Klammern auf und Vereinfache!
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1.)  
2.)  
3.)  
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4.)  
5.)  
6.)  
Lösung BM2293
1.)
 
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2.)
 
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3.)
 
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4.)
 
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5.)
 
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6.)
 
 


BM2294

Zeige, dass für alle rationalen Zahlen gilt:
1.)