Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 086b
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- Lección 086
- Mathematik auf Deutsch - 36
BM1751 - BM1760 Editar
BM1751
Bild 1 Bild 2 Bild 3 - Viereck
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- Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie, nämlich ein Vieleck mit vier Ecken und vier Seiten. In der Mathematik definiert man (ebene) Vierecke als Polygone mit vier Ecken, und (daher auch) vier Kanten (oder Seiten).
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- Das regelmäßige (oder reguläre) Viereck ist das Quadrat.
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- Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck konvex (konvexes Viereck) - Bild 2, liegt genau eine Diagonale außerhalb, so hat das Viereck eine konkave Ecke (nicht-konvexes Viereck) - Bild 3.
- Überhaupt ist das Viereck des "erste" Vieleck, das konkav sein kann. Bei einem überschlagenen (auch: verschränkten) Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks
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Bild 4 Bild 5 - Überschlagenes oder verschränktes Trapez:
- Beim überschlagenen oder verschränkten Trapez sind nicht die gleichseitigen Enden der Grundseiten durch die übrigen Seiten verbunden, sondern die gegenüberliegenden. Diese Seiten überkreuzen sich also im Mittelpunkt des Trapezes - Bild 4 und 5. Man kann sich ein überschlagenes Trapez vorstellen als das Viereck, das aus den Grundseiten und den Diagonalen eines konvexen Trapezes gebildet wird. Die beiden Teilflächen sind einander ähnliche Dreiecke. Überschlagene Trapeze werden jedoch normalerweise nicht zu den (normalen oder „echten“) Trapezen gerechnet.
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- Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu den (normalen oder „echten“) Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als zwei Eckpunkte auf einer Geraden liegen.
BM1752
- Spezielle Vierecke
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- Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. Sind je zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel, spricht man vom Parallelogramm. Ein Viereck, welches vier gleich große (Innen-)Winkel (90°, siehe rechter Winkel) hat, ist ein Rechteck. Beim Drachenviereck (Deltoid) stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, und eine Diagonale wird durch die andere halbiert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass es zwei Paare benachbarter Seiten gibt, die jeweils gleich lang sind. Bei vier gleich langen Seiten spricht man von einer Raute (Rhombus). Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und auch vier gleich große (Innen-)Winkel (90°). Bei einem Sehnenviereck sind die vier Seiten Sehnen des Umkreises. Sind die vier Seiten Tangenten eines Inkreises, so spricht man von einem Tangentenviereck.
BM1753
Bild 1 Bild 2 - Verschränktes Viereck
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- Drei Punkte A, B und C, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, können nur auf eine Weise durch drei Strecken miteinander verbunden werden. (Bild 1)
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- Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um vier Punkte A, B, C und D, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, durch vier Strecken miteinander zu vebinden. Wie viel Möglichkeiten gibt es? (Wir fangen immer bei A an!) (Bild 2)
BM1754
Bild 1 - Viereck
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- Definition: Unter einem Viereck versteht man eine Punktmenge mit folgenden Eigenschaften:
- Von den Punkten , , und liegen je drei nicht auf ein und derselben Geraden.
- Der Punktmenge gehören genau die Punkte der Strecken , , und an. Diese Strecken heißen die Seiten des Vierecks.
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- Die Strecken und heißen Diagonalen des Vierecks ABCD.
- Ein Viereck, in dem die beiden Diagonalen innerhalb der Vierecksfläche liegen, heißt konvex.
- Je zwei Seiten eines (konvexen) Vierecks, die keinen gemeinsamen Eckpunkt haben, nennen wir Gegenseiten.
- Je zwei Seiten mit einem gemeinsamen Eckpunkt heißen benachbart.
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Bild 2: Viereck mit den Winkeln Alpha (α), Beta (β), Gamma (γ) und Delta (δ) Bild 3: Außenwinkel am Viereck - Wie bei den Dreiecken unterscheiden wir auch bei den Vierecken Innenwinkel und Außenwinkel. Je zwei Innenwinkel eines Vierecks, deren Scheitel Endpunkte ein und derselben Diagonalen sind, heißen Gegenwinkel.
- Je zwei Innenwinkel eines Vierecks, deren Scheitel Endpunkte ein und derselben Seite sind, heißen benachbart.
- Die Seiten, Diagonalen und Innenwinkel eines Vierecks sowie die Winkel, die von je zwei Seiten und eines Diagonalen mit einem gemeinsamen Eckpunkt bestimmt werden, nennt man die Stücke eines Vierecks.
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- Ein Vieeck hat zwei Diagonalen.
- Eine Diagonale zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke.
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- Ein Vieeck lässt sich aus fünf geeigneten Stücken konstruieren: Für die Konstruktion des ersten Teildreiecks braucht man drei geeignete Stücke. (sss, sws, wsw oder ssw). Für die Konstruktion des zweiten Teildreiecks braucht man dann nur noch zwei geeignete Stücke, denn die Diagonal des Vierecks ist schon durch das erste Teildreieck bekannt.
- Unter den fünf gegebenen Stücken muss also mindesten eine Seite oder Diagonale sein.
BM1755
Bild 1: konkav = nach innen gewölbt Bild 2: konvex = nach außen gewölbt Bild 3: Eselsbrücke: Der Podex ist konvex. (Podex = Po) Bild 4: verschiedene Linsenarten Bild 5: bikonvexe Linse Bild 6: Glaszylinder mit einer konvexen Fläche (links) und einer mit einer konkaven Fläche (rechts) Bild 7: Der Stirnspiegel hat eine konkave Fläche (Konkavität) - er ist ein Hohlspiegel Bild 8: konvexer Spiegel (Konvexspiegel) im Straßenverkehr - konkav
- konvex
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- gerade
- gekrümmt
- Krümmung
- Bogen (Pl. Bögen)
- gebogen
- biegen - bog - hat gebogen
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- Es gibt eine Vielzahl von verschiedenen Linsen. Die wichtigste Unterscheidung ist die zwischen Sammellinsen (konvexen Linsen) und Zerstreuungslinsen (konkaven Linsen)
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- konvex (Synonym: gekrümmt, geschwungen, gewölbt, erhaben)
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- Sammellinsen oder konvexe Linsen sind in der Mitte, im Bereich der Optischen Achse, dicker als am Rand
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- bikonvex
- plankonvex
- konkavkonvex
- konvexkonkav
- Konvexität
- Konvexlinse
- Konvexspiegel
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- konkav (Synonym: vertieft)
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- Zerstreuungslinsen oder konkave Linsen sind am Rand dicker als in der Mitte.
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- bikonkav
- plankonkav
- konkavkonvex
- konvexkonkav
- Konkavität
- Konkavspiegel
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- Eselsbrücke:
- War die Tochter brav, bleibt der Bauch konkav. (nicht schwanger)
- Hatte die Tochter Sex, so wird der Bauch konvex. (schwanger)
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Bild 9: verschiedene Linsenarten - Benenne die verschiedenen Linsenarte in Bild 9!
Lösung BM1755 - 1.) bikonvex
- 2.) bikokav
- 3.) konvexkonkav
- 4.) plankonkav
- 5.) plankonvex
- 6.) konvexkonkav
- 7.) konvexkonkav
BM1756
Bild 1: - Innenwinkel im Viereck
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- SATZ:
- Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck beträgt 360 Grad.
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- Beweise diesen Satz!
Lösung BM1756
BM1757
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Bild 1
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Bild 2
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Bild 3
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Bild 4
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Bild 5
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Bild 6
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Bild 7
- Trapeze
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- Definition:
- Jedes konvexe Viereck mit einem Paar zueinander paralleler Geraden heißt Trapez.
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- Besitzt ein Trapez genau ein Paar zueinander paralleler Gegenseiten, so heißen sie seine Grundseiten.
- Die beiden anderen (nicht parallelen) Gegenseiten werden Schenkel des Trapezes genannt.
- Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der Schenkel heißen Mittellinie im Trapez.
- Das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Grundseite nennt man Höhe im Trapez.
- Das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Grundseite oder deren Verlängerung nennt man Höhe im Trapez. Ihre Länge ist gleich dem Abstand diese Eckpunktes von der gegenüberliegenden Seite.
BM1758
Bild 1: Aus den gegebenen Seiten a, b, c und d soll ein Trapez konstruiert werden. - Gegeben sind die 4 Seiten eines Trapezes.
- Gegeben sind die vier Seitenlängen eines Trapezes.
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- a = 7 cm
- b = 4,5 cm
- c = 2,5 cm
- d = 3 cm
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- Wie kann man das Trapez konstruieren?
- (Beginne mit der Seite a!)
3. Lösung BM1758
BM1759
Bild 1 - Gegeben sind 3 Seiten a, b und c. Daraus soll ein Dreieck konstruiert werden.
- Ist das in jedem Fall möglich? In welchen Fällen ist es nicht möglich aus drei gegebenen Seiten ein Dreieck zu konstruieren?
1. Lösung BM1759 Bild 2 - Man kann nich in jedem Fall aus drei gegebenen Seiten a, b und c ein Dreieck konstruieren.
- Wir erinnern uns an die Dreiecksungleichung. - (s. Übung BM1680 in Lektion 084b)
- In Worten: Der Abstand von A nach B ist stets höchstens so groß wie der Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es populär auszudrücken: „Der direkte Weg ist immer der kürzeste.“
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- Wenn also für drei gegebene Seiten a, b und c gilt, dass größer ist als , dann kann man mit diesen Seiten kein Dreieck konstruieren.
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- Und wie ist es, wenn man die drei gegebenen Seiten beliebig anordnen darf?
BM1760
- In einem Trapez beträgt die Winkelsumme so wie in jedem anderen Viereck 360°.
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Bild 1 - SATZ:
- Die Innenwinkel eines Trapezes, die ein und demselben Schenkel anliegen, betragen zusammen 180°.
- (Als Schenkel werden die nicht parallelen Seiten bezeichnet.)
- Wie könnte man das beweisen?
BM1761 - BM1770 Editar
BM1761
Bild 1 - SATZ:
- In jedem Trapez ist die Mittellinie parallel zu den Grundseiten.
- (Die Verbindungsstrecke der Mitten der Schenkel heißt Mittellinie m.)
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- Beweis:
- und seien die Mittelpunkte der Schenkel und in einem beliebigen Trapez .
- Wir errichten in und die Senkrechte auf der Geraden und bezeichne ihre Schnittpunkte mit den Geraden und entsprechend Bild 1 mit , , bzw. .
- 1.) Die Dreiecke und sind nach dem Kongruenzsatz (wsw) kongruent. Daraus folgt: .
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- „sind nach dem Kongruenzsatz (wsw) kongruent“
- Welche Seiten und Winkel sind gemeint?
1. Lösung BM1761 - 1. Winkel: (Scheitelwinkel)
- 2. Seite: (E ist der Mittelpunkt des Schenkels)
- 3. Winkel: (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen)
- Für die Dreiecke auf der rechten Seite des Trapezes gilt das Gesagte anlalog.
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- 2.) Bei der Spiegelung an ist also das Bild von . Und ist das Bild von . Demnach sind die Winkel und kongruent. Da sie außerdem als entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Parallelen zusammen 180° betragen, ist jeder von ihnen ein rechter.
- 3.) Aus der Kongruenz der Stufenwinkel und an den geschnittenen Geraden und folgt der Parallelität der Geraden und . Entsprechend ergibt sich die Parallelität der Geraden und .
- w.z.b.w.
BM1762
- SATZ:
- In jedem Trapez ist die Mittelllinie halb so lang wie die Summe der beiden Grundseiten.
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- Wie geht der Beweis?
BM1763
- Gleichschenkliges und symmetrisches Trapez
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- Sind in einem Trapez die Schenkel gleich lang, so heißt es gleichschenklig. Gleichschenklige Trapeze sind achsensymmetrisch.
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- In Lehrbüchern finden sich mehrere Varianten zur Charakterisierung eines gleichschenkligen Trapezes, insbesondere:
- 1.) Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Seiten, die nicht Grundseiten sind, gleich lang sind.
- 2.) Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Innenwinkel an einer der parallelen Seiten gleich groß sind.
- 3.) Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn es eine zu einer Seite senkrechte Symmetrieachse besitzt.
- Die erste Charakterisierung schließt formal auch Parallelogramme mit ein, die aber manchmal – wenn auch nicht ausdrücklich – ausgeschlossen werden. Die letzten beiden Charakterisierungen sind gleichwertig und in diesem Fall wird das gleichschenklige Trapez wegen der Achsensymmetrie auch symmetrisches Trapez genannt. Daher sind die Innenwinkel an beiden parallelen Seiten jeweils gleich groß. Die beiden Diagonalen sind im symmetrischen Trapez gleich lang.
- Die Eckpunkte eines symmetrischen Trapezes liegen auf einem Kreis k, dem Umkreis des Trapezes. Das Trapez ist somit ein Sehnenviereck dieses Kreises. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten des Trapezes.
BM1764
Bild 1 Bild 2 Bild 3 - Gleichschenklige Trapeze
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- Gleichschenklig heißt ein Trapez mit genau einem Paar paralleler Gegenseiten, dessen Schenkel gleich lang sind. (Bild 1)
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- Die Diagonalen des gleichschenkligen Trapezes sind gleich lang. Sie schneiden einander auf der Symmetrieachse. (Bild 2)
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- SATZ:
- In jedem gleichschenkligen Trapez sind die Winkel, die ein und derselben Grundseite anliegen, kongruent.
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- Beweis:
- Wir wählen ein beliebiges gleichschenkliges Trapez , dessen Grundseite größer als die Grundseite sei. Die Fußpunkte der Lote von und auf die Seite bezeichnen wir mit bzw. . (Bild 3)
- Dann sind die Dreiecke und nach dem Kongruenzsatz (ssw) kongruent. Damit ergibt sich die Kongruenz der Winkel und .
- Die Kongruenz der Winkel und folgt aus der Kongruenz der Winkel und .
- w.z.b.w.
BM1765
Bild 1 Bild 2 - Parallelogramm
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- Ein Parallelogramm (von griech. paralleló-grammos „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.
- Parallelogramme sind spezielle Trapeze.
- Rechteck und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.
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- Eigenschaften:
- Ein nicht ausgeartetes Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
- Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
- Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
- Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
- Die Diagonalen halbieren einander.
- Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).
- Für jedes Parallelogramm gilt:
- Jede Diagonale teilt es in zwei gleichsinnig kongruente Dreiecke.
- Das Zentrum der Symmetrie ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
- Alle Parallelogramme, die mindestens eine Symmetrieachse besitzen, sind entweder Rechtecke oder Rauten.
BM1766
- Parallelogramm
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- DEFINITION: Jedes Viereck mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten heißt Parallelogramm.
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- Demnach ist das Parallelogramm ein Trapez, aber nicht umgekehrt jedes Trapes ein Parallleogramm.
- Stelle diese Beziehung in einem Mengendiagramm dar!
Lösung BM1766
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Bild 2: Höhe auf a Bild 3: Höhe auf a Bild 4: Höhe auf b Bild 5: Höhe auf b - Höhe im Paralleogramm:
- Das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite oder deren Verlängerung heißt eine zu dieser Seite gehörende Höhe im Parallelogramm.
- Ihr Länge ist gleich dem Abstand des Eckpunktes von der gegenüberliegenden Seite.
BM1767
Bild 1 - SATZ:
- Wenn ein konvexes Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind in diesem Viereck jeweils die Gegenseiten gleich lang.
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- Beweise diesen Satz!
- Auch die Umkehrung des obigen Satzes (Wenn ein konvexes Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind in diesem Viereck jeweils die Gegenseiten gleich lang.) gilt.
- Formuliere sie!
3. Lösung BM1767 - Wenn in einem konvexen Viereck jeweils die Gegenseiten gleich lang sind, dann ist es ein Parallelogramm.
BM1768
- Der Schnittpunkt der Diagonalen eines Parallelogramms heißt der Mittelpunkt des Parallelogramms.
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Bild 1 - SATZ: Wenn ein konvexes Viereck ein Parallelogramm ist, dann halbieren die Diagonalen einander.
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- Wer will sich an dem Beweis versuchen?
3. Lösung BM1768 Die Dreiecke und sind kongruent, weil ...
- 1.) (haben wir gerade weiter oben bewiesen: gegenüberliebende Seiten im Parallelogramm sind gleich lang.
- 2.) (Scheitelwinkel)
- 3.) (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen)
- 4.) (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen)
- Also sind die Dreiecke und wegen des Kongruenzsatzes (wsw) kongruent.
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- Wir wiederholen hier noch mal den weiteren Beweis aus der 1. Übung:
- Folglich sind einerseits die Strecken und und andererseits die Strecken und kongruent und damit gleich lang.
- Dies war gerade die Behauptung.
BM1769
Bild 1: links oben - Diagonalen eines Parallelogramms (grün); rechts unten - Diagonalen eines Vierecks - Beweise den folgenden Satz!
- Wenn in einem konvexen Viereck die Diagonalen einander halbieren, dann ist es ein Parallelogramm.
BM1770
Bild 1 - SATZ:
- Wenn ein konvexes Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind jeweils die Gegenwinkel gleich groß.
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- und
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- Auch die Umkehrung gilt:
- Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn die Gegenwinkel gleich groß sind.
BM1771 - BM1780 Editar
BM1771
Bild 1 - Für die Innenwinkel im Parallelogramm gilt, wie bereits bewiesen, und .
- Beweise, dass für die Innenwinkel im Parallelogramm außerdem gilt
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Lösung BM1771
BM1772
Bild 1: Raute = Rhombus Bild 2: Karomuster Bild 3: Handtasche mit Karomuster - Raute
- Raute = Rhombus (Plural: Rhomben)
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- Eine Raute ist ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten. Gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß.
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- Neben „Raute“ werden auch die Ausdrücke „Rhombus“ (Plural: Rhomben) und „Karo“ verwendet (z. B. „Karomuster“ für ein Webmuster bei Textilien).
- Die Raute ist eine Spezialform des Parallelogramms. Ein Spezialfall der Raute wiederum ist das Quadrat,
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- Eine Raute ist ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten (gleichseitiges Viereck). Alternativ lässt sie sich auch als orthodiagonales Parallelogramm definieren.
- Weitere Eigenschaften der Raute, von denen wir in den folgenden Übungen einige beweisen werden, sind:
- 1.) Die Raute ist konvex.
- 2.) Gegenüberliegende Seiten sind parallel.
- 3.) Die beiden Diagonalen sind Symmetrieachsen.
- 4.) Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander.
- 5.) Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß, benachbarte Winkel supplementär (d. h., ihre Summe ist 180°).
- 6.) Jeder Winkel wird durch eine Diagonale halbiert.
- 7.) Jede Raute besitzt einen Inkreis, aber nur die rechtwinkelige (also das Quadrat) auch einen Umkreis.
BM1773
- Beweise folgende Aussage:
- Ein beliebiger Rhombus besitzt zwei Spiegelungsachsen, das sind seine beiden Diagonalen.
BM1774
- Beweise, dass bei einer Raute die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und einander halbieren!
BM1775
- Beweise, dass in einer Raute jeder Winkel durch eine Diagonale halbiert wird!
Lösung BM1775
BM1776
- Nach welcher Formel berechnet man den Umfang U einer Raute mit der Kantenlänge a?
BM1777
Bild 1 Bild 2 - Jede Raute besitzt einen Inkreis, aber nur die rechtwinkelige (also das Quadrat) auch einen Umkreis.
- Der Mittelpunkt des Inkreises bzw. des Umkreises liegt im Schnittpunkt der Diagonalen.
- Bild 1: Raute mit Inkreis (grün). Die Raute hat keinen Umkreis (rot). Der dargestellt rote Kreis berührt die Raute nur an zwei statt an allen vier Eckpunkten, ist folglich also kein Umkreis.
- Bild 2: Quadrat mit Innenkreis (grün) und Umkreis (rot).
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- In der ebenen Geometrie ist ein Umkreis ein Kreis, der durch alle Eckpunkte eines Polygons (Vielecks) geht. Nicht für jedes Polygon existiert ein solcher Umkreis.
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- Der Inkreis eines Polygons (Vielecks) ist der Kreis, der alle Seiten des Polygons in ihrem Inneren berührt (das heißt, er berührt die Strecken zwischen den Eckpunkten und nicht ihre Verlängerungen).
BM1778
Rechteck mit Länge a, Breite b und Diagonale d - Rechteck
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- In der Geometrie ist ein Rechteck (ein Orthogon) ein ebenes Viereck, dessen Innenwinkel alle rechte Winkel sind. Es ist ein Spezialfall des Parallelogramms (gleichwinkeliges Parallelogramm) und damit auch des Trapezes. Ein Sonderfall des Rechtecks ist das Quadrat, bei dem alle Seiten gleich lang sind (gleichseitiges Rechteck).
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- Eigenschaften:
- Für jedes Rechteck gilt:
- 1.) Die Winkelsumme beträgt 360°.
- 2.) Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel.
- 3.) Die beiden Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander.
- 4.) Es besitzt einen Umkreis und ist daher ein Sehnenviereck. Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
- 5.) Es ist achsensymmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) der Rechtecksseiten. Die beiden Symmetrieachsen stehen also senkrecht aufeinander.
- 6.) Es ist punktsymmetrisch (zweizählig symmetrisch) bezüglich des Diagonalenschnittpunkts.
- (Es wird davon ausgegangen, dass alle Seiten länger als 0 sind.)
BM1779
- Rechteck
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- Definition: Jedes Parallelogramm mit einem rechten Winkel heißt Rechteck.
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- SATZ: Wenn ein Parallelogramm ein Rechteck ist, dann sind die Gegenseiten gleich lang.
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- Beweise den Satz!
1. Lösung BM1779 - In Übung BM1767 hatten wir bereits folgenden Satz bewiesen: Wenn ein konvexes Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind in diesem Viereck jeweils die Gegenseiten gleich lang.
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- Das hilft Dir vielleicht weiter den Beweis selbständig zu führen.
3. Lösung BM1779
BM1780
- SATZ: Wenn ein Parallelogramm ein Rechteck ist, dann sind die beiden Diagonalen gleich lang und halbieren einander.
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- Beweise den Satz!
Lösung BM1780 - Abgucken zählt nicht!
BM1781 - BM1790 Editar
BM1781
Bild 1 Bild 2 - Quadrat
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- Jedes Parallelogramm mit einem rechten Winkel und einem Paar gleich langer benachbarte Seiten heißt Quadrat.
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- Jedes Quadrat ist also sowohl ein Rechteck als auch eine Raute.
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- In der Geometrie ist ein Quadrat ein spezielles Polygon, nämlich ein ebenes, konvexes und regelmäßiges Viereck. Das Quadrat ist ein Sonderfall des Parallelogramms, des Trapezes, des Rechtecks und der Raute. Für die Konstruktion eines Quadrats genügt eine Angabe, z. B. der Länge der Seite oder der Diagonale.
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- Eigenschaften:
- Für das Quadrat gilt:
- Die vier Seiten sind gleich lang – es ist gleichseitig.
- Die vier (Innen-)Winkel sind gleich – es ist gleichwinklig (alle Winkel 90°).
- Es hat vier Symmetrieachsen: die beiden Seitensymmetralen (Mittelsenkrechten) und die beiden Diagonalen.
- Es ist 4-zählig drehsymmetrisch und daher auch punktsymmetrisch.
- Die beiden Diagonalen sind gleich lang, halbieren einander und stehen aufeinander senkrecht.
- Der Schnittpunkt der Diagonalen ist Umkreis- und Inkreismittelpunkt – das Quadrat ist sowohl Sehnen- als auch Tangentenviereck.
- Der Flächeninhalt des Umkreises ist doppelt so groß wie der des Inkreises.
BM1782
- Gegeben ist die Diagonale eines Quadrates.
- Wie konstruiert man damit das Quadrat?
BM1783
Bild 1: Drachenviereck; ist die Symmetrieachse Bild 2: Kinderdrachen Bild 3: Kinderdrachen Bild 4: Drachen (oder Drache) (Mythologie) Bild 4: Drachen (oder Drache) (Mythologie) - Drachenviereck
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- Jedes konvexe Viereck, bei dem die Verbindungsgerade zweier gegenüberliegender Ecken Symmetrieachse dieses Viereck ist, heißt Drachenviereck.
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- Ein Viereck heißt Drachenviereck, wenn es symmetrisch zu einer Diagonalen ist.
- Ein Viereck heißt Drachenviereck, wenn es symmetrisch zu mindestens einer Diagonalen ist.
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- Spiegelt man ein beliebiges Dreieck an einer Dreiecksseite, so entsteht ein Drachenviereck
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- Wie viel Stücke benötigt man zur Konstruktion eines Drachenvierecks?
Lösung BM1783 - 3 voneinander unabhängige Stücke: z. B.
- zwei unterschiedliche lange Seiten und eine Diagonale
- zwei Diagonalen und eine Seite
- zwei Seiten und ein Winkel (Man benötigt zwei Seiten und einen Winkel.)
- 3 voneinander unabhängige Stücke: z. B.
BM1784
Bild 1: Drachenviereck - Wenn ein Drachenviereck vier gleich lange Seiten hat, ist es eine Raute.
- Wenn ein Drachenviereck vier rechte Winkel und außerdem vier gleich langen Seiten hat, ist es ein Quadrat.
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- Rauten und Quadrate sind Teilmengen von Drachenvierecken.
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- Begründe, warum Rauten und Quadrate spezielle Drachenvierecke sind!
BM1785
Bild 1: Drachenviereck (Deltoid, konvex) Bild 2: Pfeilviereck (Deltoid, konkav) - Drachenviereck
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- Ein Drachenviereck (auch: Deltoid) ist ein ebenes Viereck,
- bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist,
- oder (äquivalent)
- das zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten und besitzt.
- Oft wird nur die konvexe Form des Deltoids als Drachenviereck bezeichnet und die nicht-konvexe Form als Pfeilviereck. (Die Bezeichnung „Drachenviereck“ verweist auf die Form vieler Flugdrachen.)
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Bild 3: Raute = Rhombus - Ein spezielles Drachenviereck ist der Rhombus (auch die Raute): Es ist ein gleichseitiges Drachenviereck .
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Bild 4: gerader Drachen (= Drachenviereck) Bild 5: schiefer Drachen (NICHT: schiefes Drachenviereck) - Eine Verallgemeinerung des Drachenvierecks ist der schiefe (schräge) Drachen, bei dem nur verlangt wird, dass eine Diagonale durch die andere halbiert wird. Das Deltoid ist dann ein gerader Drachen.
BM1786
Bild 1: Drachenviereck Bild 2: Drachenviereck (kongruente Teildreiecke zu beiden Seiten der Symmetrieachse); Def.: Ein Drachenviereck ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist. - Eigenschaften des Drachenvierecks:
- Für jedes Deltoid gilt mit den Bezeichnungen aus der Grafik:
- Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander (sie sind orthogonal: Das Deltoid ist ein orthodiagonales Viereck).
- Die Diagonale , die die Symmetrieachse ist, halbiert die andere Diagonale .
- Die einander gegenüberliegenden Winkel in den Eckpunkten und sind gleich groß.
- Die Diagonale durch die Eckpunkte und halbiert in diesen die Winkel.
- Für jedes konvexe Deltoid gilt:
- Es hat einen Inkreis und ist daher ein Tangentenviereck.
- Es ist ein Sehnenviereck, wenn die beiden gleichen Eckwinkel (in und ) rechte Winkel sind.
- Die Diagonale ist Symmetrieachse und halbiert die Diagonale . Sie teilt das Viereck in zwei kongruente spiegelsymmetrische Dreiecke ( und ).
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- Die Diagonale teilt das Viereck in zwei gleichschenklige Dreiecke ( und ). Die Innenwinkel bei und bei sind gleich groß.
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- Die Winkel bei und bei werden von der Diagonale halbiert.
BM1787
Bild 1: Inkreis und Umkreis am Drachenviereck - Inkreis und Umkreis am Drachenviereck
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Bild 2: Konstuktion der Winkelhalbierenden am Winkel ABC - Um den Mittelpunkt für den Inkreis eines Drachenvierecks zu konstruieren, müssen die Winkelhalbierenden des Drachenvierecks konstruiert werden.
- Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises.
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Bild 3: Winkelhalbierende der Winkel ABC und ADC - Da die eine Diagonale - als Symmetrieachse des Drachenvierecks - bereits die Winkelhalbierende für zwei gegenüberliegende Winkel darstellt, muss nur noch für einen dritten Winkel eine Winkelhalbierende konstruiert werden (rot). Die blaue Winkelhalbierende hätte man auch weglassen können.
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Bild 4: Inkreis - Der Mittelpunkt des Inkreises liegt auf der Symmetrieachse.
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Bild 7: Umkreis (ungültig!) - Am Drachenviereck lässt sich nur im Ausnahmefall ein Umkreis konstruieren.
- Um den Umkreis zu erhalten, müssen die Mittelsenkrechten des Drachenvierecks konstruiert werden. Nur wenn sich diese in einem Punkt schneiden hat man den Mittelpunkt für einen Umkreis.
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Bild 8: Umkreis (rechte Winkel ABC und ADC) Bild 9: Umkreis (rechtwinklige Teildreiecke - rot, grün) Bild 10: Inkreis und Umkreis am konvexen und konkaven Drachenviereck - Wenn die beiden Winkel, welche nicht an der Symmetrieachse liegen, jeweils rechte Winkel sind, dann gibt es einen Umkreis.
- In Bild 1 sind das der Winkel rechts und links im Bild.
- Das rechte halbe Drachenviereck - auf der rechten Seite der Symmetrieachse - ist also ein rechtwinkliges Dreieck. Das linke halbe Drachenviereck - auf der linken Seite der Symmetrieachse - ist ebenfalls ein rechtwinkliges Dreieck.
- Ansonsten hat das Drachenviereck keinen Umkreis. Ein Umkreis ist also nur ein Spezialfall. Im Allgemeinen hat das Drachenviereck keine Umkreis. Dagegen hat es immer einen Inkreis.
- Der Mittelpunkt eines Umkreises muss auf der Symmetrieachse liegen.
BM1788
- SATZ: In jedem Drachenviereck stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.
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- Beweise diesen Satz!
BM1789
Lösung BM1789
BM1790
BM1791 - BM1800 Editar
BM1791
Bild 1 - Die kürzere Diagonale teilt das Drachenviereck in zwei gleichschenklige Dreiecke.
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- Stimmt das?
BM1792
Raute Bild 2: Quadrat Bild 3: Drachenviereck - Die Raute ist allgemeiner ein Drachenviereck mit paarweise parallelen Seiten. Eine Raute mit einem rechten Winkel ist schon ein Quadrat. Um eine Raute zu konstruieren, sind zwei Bestimmungsstücke (z. B. die Seitenlänge und ein Winkel) notwendig.
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Bild 4 - Kombinationen mehrerer Rauten:
- Bild 4: sechszackiger Rautenstern
- Zum Stern („Rautenstern“) schließen sich nur Rhomben, deren Zentriwinkel (also der Winkel in der Spitze, in der man sie aneinanderlegt) gleich mit einer natürlichen Zahl ist. Sie bilden dann einen -zackigen Stern.
BM1793
- Rechtwinkliges Trapez
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- Ein Trapez heißt rechtwinklig (oder auch orthogonal), wenn es mindestens einen rechten Innenwinkel besitzt. Da in einem Trapez alle Winkel an einer der parallelen Grundseiten anliegen, muss ein rechtwinkliges Trapez immer mindestens zwei rechte Winkel besitzen, die nebeneinander liegen. Ein Rechteck ist der Spezialfall eines rechtwinkligen Trapezes; es besitzt sogar vier rechte Innenwinkel.
BM1794
Ein Tangentenviereck ABCD mit Inkreis k - Tangentenviereck
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- Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreises sind. Diesen Kreis nennt man den Inkreis des Tangentenvierecks.
- Die (hier grün dargestellten) Senkrechten vom Inkreismittelpunkt (M) auf die vier Seiten zerlegen das Tangentenviereck in vier Drachenvierecke (mit grau gezeichneten Symmetrieachsen).
- In einem Tangentenviereck ist die Summe zweier gegenüberliegender Seiten (z. B. a und c) gleich der Summe der anderen beiden Seiten (b und d). Es gilt also
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- Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Inkreis.
- Die Seiten sind Tangenten. So entsteht der Name.
BM1795
Ein Sehnenviereck ABCD mit Umkreis k - Sehnenviereck
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- Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen, dem Umkreis des Vierecks. Folglich sind alle Seiten des Sehnenvierecks Sehnen des Umkreises. Üblicherweise meint man mit Sehnenviereck ein nicht überschlagenes Sehnenviereck, dieses ist notwendigerweise konvex.
BM1796
BM1797
BM1798
- Beweise den folgenden Satz:
- Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks fällt mit dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zusammen
Lösung BM1798 - Alle Punkte der Mittelsenkrechten zu der Strecke sind von und gleich weit entfernt (gleichschenkliges Dreieck).
- Analog haben die Punkte der Mittelsenkrechten jeweils den gleichen Abstand von und .
- Der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten (auf und auf ) hat folglich von allen drei Eckpunkten des Dreiecks ( , und ) den gleichen Abstand.
- ;
- Folglich muss dieser Punkt auch auf der dritten Mittelsenkrechten liegen.
- Zeichnet man um einen Kreis, der durch eine Ecke des Dreiecks geht, so müssen auch die anderen Ecken auf diesem Kreis liegen.
- w.z.b.w.
BM1799
Bild 1 Bild 2 Bild 3 Bild 4 Bild 5 Bild 6 - Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem Sechseck?
- Die Abb. 1 - 6 geben dir einen Hinweis.
BM1800
1. Lösung BM1800
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