Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 084b

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Lección 084

Mathematik auf Deutsch - 34

BM1651 - BM1660

BM1651

Scheitelwinkel

Scheitelwinkel

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Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man das Paar gegenüberliegender Winkel als Scheitelwinkel oder Gegenwinkel.

Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Die Bezeichnung Scheitelwinkel kommt daher, dass die beiden Winkel durch Punktspiegelung am Scheitelpunkt aufeinander abgebildet werden.

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Scheitelwinkel oder Gegenwinkel

Zwei Winkel mit gemeinsamem Scheitel, deren Schenkel jeweils eine Gerade bilden, heißen Scheitelwinkel. jeder der beiden Winkel heißt der Scheitelwinkel des anderen.

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Sind zwei Winkel Scheitelwinkel, so ist der eine das Bild des anderen bei einer Drehung um den gemeinsamen Scheitel mit einem gestreckten Winkel (= 180°) als Drehwinkel

Scheitelwinkel sind kongruent.

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Bild 1

Bild 1: Zwei Geraden schneiden sich.

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Bild 2

Bild 2: Die gegenüberliegenden Winkel dieser sich schneidenden Geraden sind Scheitelwinkel (Alpha und Beta)

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Bild 3

Bild 3: Auch die anderen beiden gegenüberliegenden Winkel sind Scheitelwinkel (hier im Bild: Alpha und Gamma). Alpha ist der Scheitelwinkel von Gamma und umgekehrt. Beta ist der Scheitelwinkel von Delta und umgekehrt.

BM1652

Nebenwinkel (hier: 45° + 135° = 180°)

Nebenwinkel

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Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel.

Nebenwinkel ergänzen sich zu $180^{\circ }$.

Sie sind also Supplementwinkel (= Ergänzungswinkel).

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Zeichne zwei Winkel, deren Winkel einen Schenkel haben und deren andere Schenkel eine Gerade bilden!

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Zwei Winkel, die einen Schenkel gemeinsam haben und deren anderer Schenkel eine Gerade bilden, heißen Nebenwinkel. Jeder der beiden Winkel heißt ein Nebenwinkel des anderen.

Die Summe zweier Nebenwinkel beträgt 180°.

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rechter Winkel

Ein Winkel ist eine rechter Winkel genau dann, wenn er einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.

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Bild 1

Bild 1: Zwei Winkel, die einen Schenkel gemeinsam haben.

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Bild 2

Bild 2: Zwei Winkel, die einen Schenkel gemeinsam haben UND zusätzlich bilden die anderen Schenkel eine Gerade.

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Bild 3

Bild 3: Unter welchem Winkel sich die beiden Geraden schneiden ist unerheblich.

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Bild 4

Bild 4: Ob sich die Geraden schneiden oder nur aneinanderstoßen ist egal.

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Bild 5

Bild 5: Nebenwinkel gibt es bereits, wenn sich die Geraden nicht völlig schneiden.

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Bild 6

Bild 6: Alpha und Beta sind Nebenwinkel. Sie ergeben zusammen 180°.

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Bild 7

Bild 7: Ein Winkel ist eine rechter Winkel genau dann, wenn er einem seiner Nebenwinkel kongruent ist. Wir haben also zwei Nebenwinkel, die beide genauso groß sind. Da die Summe der nebenwinkel 180° ergibt, ist ein rechter Winkel genau halb so groß, also 90°. Der gemeinsame Schenkel der beiden rechten Winkel steht senkrecht (= rechtwinklig) auf der Geraden.

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Bild 8

Zähle alle möglichen Winkelkombinationen in Bild 8 auf! Wer ist alles Scheitelwinkel von wem? Welche Nebenwinkel haben sie?

Lösung BM1652

Alpha und Gamma sind Scheitelwinkel. (= Alpha ist der Scheitelwinkel von Gamma. = Gamma ist der Scheitelwinkel von Alpha.) Beta und Delta sind Scheitelwinkel. (= Beta ist der Scheitelwinkel von Delta. = Delta ist der Scheitelwinkel von Beta.) --- Alpha ist der Nebenwinkel von Beta. Alpha ist der Nebenwinkel von Delta. Beta ist der Nebenwinkel von Alpha. Beta ist der Nebenwinkel von Gamma. Gamma ist der Nebenwinkel von Beta. Gamma ist der Nebenwinkel von Delta. Delta ist der Nebenwinkel von Alpha. Delta ist der Nebenwinkel von Gamma.

BM1653

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  Bild 1
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  Bild 2
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  Bild 3

Bild 1: zwei Parallelen

Bild 2: zwei Parallelen werden geschnitten

Bild 3: zwei Linien (nicht parallel zueinander) werden geschnitten

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Wenn zwei Parallelen von einer dritten Linie geschnitten werden, dann gibt es Stufenwinkel und Wechselwinkel. Natürlich gibt es dann auch Scheitelwinkel und Nebenwinkel.

Wir wollen auch den Fall untersuchen, dass die beiden Parallelen NICHT parallel zueinander verlaufen.

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Bild 4: Stufen- oder F-Winkel

Bild 5: Stufenwinkel

Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen

Schneidet eine Gerade $g$ zwei Geraden $h$ und $h'$, so heißen die Winkel, die auf derselben Seite von $g$ und auf einander entsprechenden Seiten von $h$ bzw. $h'$ liegen, Stufen- oder F-Winkel.

Für den Fall, dass die Geraden $h$ und $h'$ parallel sind, gilt:

Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß.

Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar $h$, $h'$ von einer weiteren Geraden $g$ so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf derselben Seite von $g$ und auf einander entsprechenden Seiten von $h$ und $h'$ gleich groß sind, so sind die Geraden $h$ und $h'$ parallel.

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Bild 6

Die Winkel 7 und 3 sind Stufenwinkel.

Ebenso: 8 und 4

1 und 5

2 und 6.

BM1654

Stufenwinkel

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Bild 1

Schneiden zwei Geraden einander, so entstehen Winkelpaare, die den Scheitel gemeinsam haben (Scheitelwinkel und Nebenwinkel).

Schneidet eine Gerade zwei andere Geraden, so entstehen außerdem Winkelpaare, deren Winkel voneinander verschiedene Scheitel besitzen. Dabei darf die schneidene Gerade nicht durch den Schnittpunkt der geschnittenen Geraden gehen.

(Mit anderen Worten: Die drei Geraden dürfen sich nicht in einem einzigen Punkt schneiden. Schließlich werden sich die beiden "fast" parallel zueinander liegenden Geraden irgendwo schneiden.)

Bild 1: Die Schenkel der Winkel $\alpha$ und $\alpha _{1}$, die auf der schneidenden Geraden $t$ (rot) liegen, sind gleich orientiert. Die Schenkel auf den geschnittenen Geraden (blau und schwarz) liegen auf derselben Seite der Geraden $t$.

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Zwei Winkel an geschnittenen Geraden heißen Stufenwinkel, wenn sie folgende Eigenschaften besitzen:

1.) Sie haben verschiedenen Scheitel.

2.) Die Schenkel auf der schneidenden Geraden sind gleich orientiert.

3.) Die Schenkel auf der geschnittenen Geraden liegen auf derselben Seite der schneidenden Geraden.

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SATZ 1:

Sind zwei Winkel Stufenwinkel und

sind die geschnittenen Geraden zueinander parallel,

so sind die beiden Winkel kongruent.

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In SATZ 1 wird vorausgesetzt, dass zwei Winkel Stufenwinkel und die geschnittenen Geraden zueinander parallel sind. Unter diesen Voraussetzungen wird behauptet, dass die beiden Winkel kongrunent sind.

Wie eine Behauptung aufgestellt, so muss sie auch bewiesen werden.

Zum Beweis werden bereits bekannte Eigenschaften oder Sätze bzw. Definitionen verwendet.

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Beweis von SATZ 1:

Bild 2

$\alpha$ und $\beta$ seien beliebige Stufenwinkel mit den Scheiteln $A$ und $B$. Die geschnittenen Geraden (blau und schwarz) seien zueinander parallel.

Bei der Verschiebung ${\vec {AB}}$ gilt:

1.) Die Gerade $AB$ wird auf sich selber abgebildet.

2.) Die Gerade r ist das Bild der Geraden s.

3.) Der Scheitel B ist das Bild des Scheitels A.

4.) Die Schenkel des Winkels $\beta$ sind die Bilder der Schenkel des Winkels $\alpha$.

Der Winkel $\beta$ ist also das Bild des Winkels $\alpha$.

Also gilt: $\alpha \cong \beta$.

w.z.b.w.

Man geht also bei diesem Beweis davor aus, dass eine Kongruenzabbildung - z. B. Verschiebung - das Bild winkeltreu, flächenträu und längentreu mit dem Original ist. Dann wurde erläutert, dass die einzelnen Elemente des Winkels Bilder des anderen Winkels sind - also die beiden Schenkel und der Scheitelpunkt. Daraus kann man dann schließen, dass auch die beiden Winkel gleich groß sind.

Wir erinnern uns, dass in der vorherigen Lektion in Übung BM1620 stand: "Punktspiegelungen sind geraden-, längen- und winkeltreu, also Kongruenzabbildungen." Das gilt auch für Verschiebungen. Und Abbildungen auf sich selber sind auch so etwas wie Verschiebungen.

Wenn Dir das zu schnell und verwirrend war, dann lies die nächste Übung!

BM1655

Bild 1: Stufenwinkelsatz: $\alpha =\beta$

Stufenwinkelsatz

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Wir wollen nochmals die Gleichheit von Stufenwinkel beweisen.

Der Stufenwinkelsatz ist ein mathematischer Satz. Er besagt: Wenn zwei parallele Geraden a und b von einer dritten Geraden c geschnitten werden, so sind die auftretenden Stufenwinkel gleich groß.

Der Stufenwinkelsatz ist umkehrbar, d. h., es gilt: Werden zwei Geraden a und b von einer dritten Geraden c geschnitten und die Stufenwinkel sind gleich groß, so sind a und b parallel.

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Bild 2: Beweis durch Widerspruch: α und β sind die Stufenwinkel

Beweis:

Bewiesen wird die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes, woraus der Beweis für den Stufenwinkelsatz selbst folgt.

Seien dazu a und b zwei Geraden und schneide die Gerade c die Gerade a im Punkt A und die Gerade b im Punkt C. Weiterhin seien die als Stufenwinkel bezeichneten Winkel α und β gleich groß.

Annahme des Widerspruchsbeweises: a und b sind nicht parallel. Folge:

Es existiert also ein Schnittpunkt B der Geraden a und b, sodass ein Dreieck ABC existiert. Nach dem Nebenwinkelsatz ist der Innenwinkel von C = γ = 180° – β. Dann ist

γ + α = 180° – β + α = 180°, da nach Voraussetzung β = α

Daraus folgt für den Innenwinkel δ am Punkt B des Dreiecks ABC:

δ = 180° – (γ + α) = 180° – 180° = 0°.

Das heißt jedoch, dass gar kein Schnittpunkt von den Geraden a und b existiert; Widerspruch zur Annahme, was zu beweisen war.

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Wahrscheinlich war dieser Beweis noch verwirrender, als in der vorherigen Übung, da wir noch nicht den Beweis durch Widerspruch (= Widerspruchsbeweis) behandelt haben. Das holen wir in der nächsten Übung nach.

BM1656

Widerspruchsbeweis

(Beweis durch Widerspruch)

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Reductio ad absurdum

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Die Reductio ad absurdum (von lat. für Zurückführung auf das widrig Klingende, Ungereimte, Unpassende, Sinnlose) ist eine Schlussfigur und Beweistechnik in der Logik. Bei der Reductio ad absurdum wird eine Aussage widerlegt, indem gezeigt wird, dass aus ihr ein logischer Widerspruch oder ein Widerspruch zu einer bereits anerkannten These folgt.

Als Beweistechnik ist die reductio ad absurdum unter der Bezeichnung „indirekter Beweis“ oder „Widerspruchsbeweis“, „Beweis durch Widerspruch“ bekannt. Dieser indirekte Beweis ist dadurch gekennzeichnet, dass man die zu beweisende Aussage nicht direkt herleitet, sondern dass man ihr kontradiktorisches Gegenteil (d. h. die Annahme, dass die Aussage nicht zutreffe) widerlegt. In der klassischen, zweiwertigen Logik, in der jede Aussage entweder wahr oder falsch ist, ist mit diesem Widerlegen des Gegenteils einer Aussage gezeigt, dass die betroffene Aussage korrekt ist.

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Erläuterung:

Ein einfaches Beispiel: Um zu zeigen, dass nicht alle Menschen Griechen sind, wird zunächst das genaue Gegenteil angenommen, nämlich dass alle Menschen Griechen seien. Aus dieser Annahme folgt zum Beispiel, dass Cicero ein Grieche war. Es ist aber bekannt, dass Cicero kein Grieche war (sondern Römer). Dass Cicero aber zugleich sowohl ein Grieche als auch kein Grieche war, ist ein Widerspruch. Damit wurde die Aussage, dass alle Menschen Griechen sind, auf einen Widerspruch zurückgeführt (reductio ad absurdum) und so gezeigt, dass nicht alle Menschen Griechen sind.

Widerspruch herleiten lässt, gilt: Wenn die Annahme wahr ist, ist auch der Widerspruch wahr. Ein Widerspruch kann aber niemals wahr sein. Die Annahme kann daher nicht wahr sein, muss also falsch sein.

BM1657

Bild 1: Wechsel- oder Z-Winkel

Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen

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Wechselwinkel oder Z-Winkel

Schneidet eine Gerade $g$ zwei Geraden $h$ und $h'$, so heißen die Winkel, die auf unterschiedlichen Seiten von $g$ und entgegengesetzten Seiten von $h$ bzw. $h'$ liegen, Wechsel- oder Z-Winkel. Für den Fall, dass die Geraden $h$ und $h'$ parallel sind, gilt:

Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.

Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar $h$, $h'$ von einer weiteren Geraden $g$ so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf unterschiedlichen Seiten von $g$ und unterschiedlichen Seiten von $h$ bzw. $h'$ gleich groß sind, so sind die Geraden $h$ und $h'$ parallel.

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Die Schenkel der Winkel $\alpha$ und $\beta$, die auf der Geraden $g$ liegen, sind entgegengesetzt orientiert. Die Schenkel auf den geschnittenen Geraden $h$ und $h'$ liegen auf verschiednen Seiten der Geraden $g$.

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Zwei Winkel an geschnittenen Geraden heißen Wechselwinkel, wenn sie folgende Eigenschaften besitzen:

1.) Sie haben verschiedenen Scheitel (=Scheitelpunkte)

2.) Die Schenkel auf der schneidenden Geraden sind entgegengesetzt orientiert.

3.) Die Schenkel auf der geschnittenen Geraden liegen auf verschiedenen Seiten der schneidenden Geraden.

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Bild 2

Bild 3

Bild 4

SATZ:

Sind zwei Winkel Wechselwinkel

und sind die geschnittenen Geraden zueinander parallel,

so sind die beiden Winkel kongruent. (= gleich groß)

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Beweis:

$\alpha$ und $\beta$ seien zwei beleibige Wechselwinkel mit den Scheiteln A und B. Die geschnittene Geraden $a$ und $b$ seien zueinander parallel.

Dann ist $\beta$ das Bild von $\alpha$ bei einer Bewegung, sie sich

1.) aus der Verschiebung ${\vec {AB}}$ und

2.) aus der Drehung um B mit einem gestreckten Winkel als Drehwinkel zusammensetzt.

Also gilt $\alpha \cong \beta$

w.z.b.w.

BM1658

Doppelbruch

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Ein Doppelbruch ist in der Mathematik ein Term, bei dem ein Bruch (Beispiel: ein Fünftel) durch einen weiteren Bruch geteilt wird. Es ist möglich, statt des üblichen Zeichens für Division einen weiteren Bruchstrich zu schreiben, bei dem Zähler und Nenner wiederum Brüche sind. Doppelbrüche lassen sich durch Erweitern mit einem geeigneten Faktor vereinfachen:

${{\frac {a}{b}} \over {c}}={{\frac {a}{b}}\cdot {b} \over {{c}\cdot {b}}}={\frac {a}{{c}\cdot {b}}}$

Hinweis: Dies gilt nur für ${b},{c}\neq 0$, denn durch $0$ darf nicht dividiert werden.

Folgende Regel ist bekannter und einfacher zu verstehen: Doppelbrüche werden vereinfacht, indem man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multipliziert:

${\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}}={{ad} \over {bc}}$

mit $b,c,d\neq 0$.

Im ersten Beispiel ist $c$ ein Bruch mit dem Nenner 1 :

${\frac {\frac {a}{b}}{c}}={\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{1}}}={{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {1}{c}}}={{a} \over {bc}}$

BM1659

Division von Brüchen

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Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.

Beispiel: ${\tfrac {2}{15}}:{\tfrac {14}{27}}={\tfrac {2}{15}}\cdot {\tfrac {27}{14}}={\tfrac {2}{3\cdot 5}}\cdot {\tfrac {3\cdot 9}{2\cdot 7}}={\tfrac {1\cdot 9}{5\cdot 7}}={\tfrac {9}{35}}$.

Dabei dürfen, wie im Beispiel dargestellt, Zwischenergebnisse gekürzt werden (hier beispielsweise die 3 und die 2 im vorletzten Schritt).

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1.)

${\tfrac {a}{b}}:{\tfrac {c}{d}}={\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {d}{c}}={\tfrac {a\cdot d}{b\cdot c}}$

2.)

${\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}}={{ad} \over {bc}}$

3. )

${\tfrac {a}{b}}:c={\tfrac {a}{b}}:{\tfrac {c}{1}}={\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {1}{c}}={\tfrac {a}{b\cdot c}}$

BM1660

Bild 1

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Bild 2

Bild 3

Bild 4

Erkläre anhand der nebenstehenden Abbildungen die Definition des Wechselwinkels!

Lösung BM1660

Bild 1 Bild 1: Die Gerade, die von rechts oben nach links unten verläuft, schneidet zwei Parallelen. Diese Gerade trennt die Fläche in zwei Teile (hier: links oben blau; rechts unten rot). Wechselwinkel liegen auf unterschiedlichen Seiten dieser Geraden, also einer auf der blauen Seite und der andere auf der roten Seite. --- Bild 2 Bild 2: Zuzsätzlich gilt für Wechselwinkel die Bedinung, dass sie auf unterschiedlichen Seiten der beiden parallelen liegen. Also hier im Bild ein mal auf der gelben Seiten und der andere Winkel auf der grünen Seite. --- Bild 3 In diesem Bild sind noch einmal die Bedingungen aus Bild 1 und 2 kombiniert dargestellt, weil sie beide gleichzeitig gelten. --- Bild 4 In Bild 4 sind die beiden Wechselwinkel dargestellt. Die Schenkel auf der schneidenden Geraden sind entgegengesetzt orientiert. Die Schenkel auf der geschnittenen Geraden liegen auf verschiedenen Seiten der schneidenden Geraden.

BM1661 - BM1670

BM1661

Wie viel verschiedene Paare von Wechselwinkeln könnte man hier eintragen?

Lösung BM1661
Vier! Erklärung: An dem Punkt, der den Scheitelpunkt von Winkel Alpha darstellt kann man insgesamt vier Winkel eintragen. Zu diesen vier Winkeln gibt es an der darüber liegenden parallelen Linie, also am Scheitelpunkt von Winkel Beta jeweils einen dazugehörigen Wechselwinkel. Somit gibt es insgesamt vier mögliche Paare von WEchselwinkeln.

BM1662

Bild 1: Nach der amerikanischen Schreibweise werden rechte Winkel mit einem kleinen Quadrat gekennzeichnet, üblicherweise aber nicht mit Farbe ausgefüllt, wie hier im Bild.

Zwei Parallelen, die im rechten Winkel geschnitten werden. Hier sind Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel alle 90°. Das ist einfach.

Aber wofür brauch man den ganzen Quatsch mit Stufenwinkeln, Scheitelwinkeln und Nebenwinkeln?

Für kompliziertere Sachen, wie sie z. B. in Bild 2 bis 6 zu sehen sind.

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  Bild 2
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  Bild 3
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  Bild 4
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  Bild 5

Bild 6

Bild 6: Sogar in Indien lernt man das. Es kann also nicht ganz unnütz sein. Das gehört zu den Grundlagen der Geometrie, auf die später viele geometrische Beweise aufbauen.

BM1663

Bild 1

Erkläre die Winkel in Bild 1!

1. Lösung BM1663
Bild 1 Bild 1: Die Winkel g und f sind Scheitelwinkel. Ebenso c und b. Die Winkel g und c sind Stufenwinkel, ebenso f und b. Die Winkel g unb b sind Wechselwinkel. Ebenso die Winkel f und b.

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Bild 2

Erkläre die Winkel in Bild 2!

2. Lösung BM1663
Bild 2 Scheitelwinkel-Paare sind: ad; eh Stufenwinkel-Paare sind: ea; had Wechselwinkelpaare sind: ed; ha

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Bild 3

Erkläre die Winkel in Bild 1!

3. Lösung BM1663
Bild 3 Scheitelwinkel-Paare sind: g-f; e-h: c-b; a-d Stufenwinkel-Paare sind: e-a; f-b ; g-c ; h-d Wechselwinkelpaare sind: e-d; f-c ; g-b ; h-a Nebenwinkel sind: ef; fh; hg; ge ab; bd; dc; ca

BM1664

Bild 1

Erkläre die Winkel Bild 1!

1. Lösung BM1664
Alpha und Delta-Eins sind entgegengesetzt liegende Winkel. Das hatten wir noch nicht.

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Bild 2

Erkläre die Winkel Bild 2!

2. Lösung BM1664
Alpha 1 und Gamma sind Wechselwinkel.

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Bild 3

Erkläre die Winkel Bild 3!

3. Lösung BM1664

Scheitelwinkel-Paare sind: Alpha und Gamma; Alpha 1 und Gamma 1; Beta und Delta; Beta 1 und Delta 1 Stufenwinkel-Paare sind: Alpha und Alpha 1; Beta und Beta 1; Gamma und Gamma 1; Delta und Delta 1 Wechselwinkelpaare sind: Alpha und Gamma 1; Beta und Delta 1; Gamma und Alpha 1; Delta und Beta 1 Nebenwinkel sind: Alpha und Beta; Beta und Gamma; Gamma und Delta; Delta und Alpha Alpha 1 und Beta1 ; Beta 1 und Gamma1 ; Gamma 1 und Delta1 ; Delta 1 und Alpha 1

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Bild 4

Erkläre die Winkel Bild 4!

4. Lösung BM1664
Alpha und Gamma sind Scheitelwinkel.

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Bild 5

Erkläre die Winkel Bild 5!

5. Lösung BM1664
Alpha und Gamma 1 sind Wechselwinkel.

BM1665

Wie viel mögliche Winkelpaare können aus 8 Winkeln gebildet werden? (Die Reihenfolge kann dabei unberücksichtigt bleiben.) Erkläre zu jedem Winkelpaar in welcher Beziehung sie stehen!

Lösung BM1665

Winkel 1 kann ein Paar mit den übrigen 7 Winkeln bilden. So kommt Winkel 1 auf 7 mögliche Winkelpaare. Winkel 1-1 macht keinen Sinn. 1-2; 1-3; 1-4; 1-5; 1-6; 1-7 und 1-8. Winkel 2 kann auch ein Paar mit den übrigen 7 Winkeln bilden. Allerdings ist der Winkel 2-1 identisch mit dem Winkel 1-2 aus der Zeile davor. Wir lassen dieses Winkelpaar also weg, denn das haben wir schon. Folglich bildet Winkel 2 nur noch 6 Winkelpaare mit den übrigen Winkeln. Auch Winkel 2-2 macht keinen Sinn. 2-3; 2-4; 2-5; 2-6; 2-7 und 2-8 Winkel 3 kann auch ein Paar mit den übrigen 7 Winkeln bilden. Allerdings ist Winkel 3-1 identisch mit 1-3 aus der ersten Zeile. Und Winkel 3-2 ist identisch mit Winkel 3-2 aus der zweiten Zeile. Wir lassen diese Winkelpaare also weg, weil sie schon weiter oben abgedeckt sind. So kommen wir nur noch auf 5 Winkelpaare mit dem Winkel 3. Acuh Winkel 3-3 macht keinen Sinn. 3-4; 3-5; 3-6; 3-7; 3-8 Winkel 4 ergibt nach dem gleichen Schema nur noch 4 mögliche Winkelpaare: 4-5; 4-6; 4-7; 4-8 Winkel 5 ergibt 3 mögliche Winkelpaare. Winkel 6 ergibt 2 mögliche Winkelpaare: 6-7; 6-8 Winkel 7 ergibt nur noch ein mögliches Winkelpaar: 7-8 Winkel 8 haben wir schon in allen oberen Zeilen abgearbeitet. --- Wir haben also insgesamt 7+6+5+4+3+2+1=28 unterschiedliche Winkelpaare. Nun müssen wir nur noch für jedes Winkelpaar die Beziehung bestimmen: Scheitelwinkel, Stufenwinkel; Wechselwinkel, Nebenwinkel und entgegengeetzte Winkel

BM1666

Bild 1

Wie groß sind die Winkel x und y?

1. BM1666

Winkel z ist ein Stufenwinkel zu dem Winkel, der mit 125° angegeben wird. Da beide Winkel identisch sind, ist Winkel $z=125^{\circ }$. Winkel x ist der Nebenwinkel von z. $x+z=180^{\circ }$ also $x=180\circ -z$ also $x=180^{\circ }-125^{\circ }$ also $x=55\circ$. y ist ein Stufenwinkel von dem vorgegebenen 125°-Winkel. Also $y=125^{\circ }$ Zur Kontrolle: $x+y$ müsste 180° ergeben, denn sie sind Nebenwinkel. $55^{\circ }+125^{\circ }=180^{\circ }$ Auch das stimmt.

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Bild 2

Wie nennt man die beiden roten Winkel?

2. Lösung BM1666
Wechselwinkel

BM1667

Bild 1

Winkel mit paarweise rechtwinkligen Schenkeln

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Winkel mit paarweise senkrecht aufeinanderstehenden Schenkeln

Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen, sind gleich groß.

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Bild 2

Das trifft aber nicht zu, falls der Scheitel des einen Winkels im Inneren des anderen Winkels liegt.

Diese beiden Winkel ergänzen sich zu $180^{\circ }$. Vergleiche nebenstehende Abbildung.

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 360°. Wir haben in diesem Viereck zwei rechte Winkel, also 180°. Folglich ergeben die übrigen beiden Winkel (Alpha und Beta) zusammen 180°.

Also: Die Winkel Alpha und Beta ergänzen sich zu $180^{\circ }$.

BM1668

Bild 1

Gegeben sind zwei Winkel Alpha und Beta, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen.

Beweise, dass diese beiden Winkel deshalb gleich groß sein müssen!

Lösung BM1668

Bild 3 Zur einfacheren Erklärung benennen wir einige Winkel in dieser Konstruktion zusätzlich mit Ziffern. Gegeben sind die Winkel Alpha und Beta und die beiden senkrecht aufeinanderstehenden Schenkel sind mit einem rechten Winkel gekennzeichnet. Rechte Winkel (90°) werden nach mathematischer Konvention mit einem Punkt gekennzeichnet. 1.) Winkel 1 ist 90°. Deshalb ist auch Winkel 5 als Nebenwinkel 90°, denn zwei Nebenwinkel (1+5) ergeben zusammen 190°. 2.) Ebenso folgt aus dem rechten Winkel 2, dass sein Nebenwinkel 3 auch ein rechter Winkel ist und wiederum dessen Nebenwinkel 4 auch ein rechter Winkel ist. Das kann man auch kürzer beweisen: Winkel 4 ist als Scheitelwinkel von Winkel 2 gleichgroß und folglich auch 90° groß. 3.) Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180° (Das beweisen wir in einer späteren Übung). Folglich beträgt die Winkelsumme der Winkel a) Alpha + 6 + 5 zusammen 180° b) Beta + 4 + 7 zusammen 180° 4.) Weiterhin sind die Winkel 6 und 7 gleich große, weil sie Scheitelwinkel sind. 5.) Und die Winkel 5 und 4 sind gleich groß, weil es rechte Winkel sind. 6.) Wir haben zwei Dreiecke. Wir wissen, dass die Winkelsumm aller drei Winkel konstant ist. (Dass die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt ist eigentlich für unseren Beweis unerheblich.) Wir wissen, dass jeweils zwei Winkel in diesen Dreieck gleich groß sind. Folglich ist auch der dritte Winkel des einen Dreieck (Winkel Alpha) genaus groß wie der dritte Winkel des anderen Dreiecks (Winkel Beta). 6.) Das kann man auch so ausdrücken: Alpha + c + d = e (umgestellt nach Alpha ergibt das: Alpha = e - c - d) Beta + c + d = e (umgestellt nach Beta ergibt das: Beta = e - c - d) Beta = Alpha = e - c - d w.z.b.w.

BM1669

Nachbarwinkel oder E-Winkel

Entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Parallelen

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Nachbar- oder E-Winkel

Schneidet eine Gerade $g$ zwei weitere parallele Geraden $h$ und $h'$, so bezeichnet man die Winkel, die auf derselben Seite von $g$, aber auf unterschiedlichen Seiten von $h$ und $h'$ liegen, als Nachbar- oder E-Winkel.

Nachbarwinkel ergänzen sich zu $180^{\circ }$.

Aus der Ergänzung der Winkel zu $180^{\circ }$ kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar $h$, $h'$ von einer weiteren Geraden $g$ so geschnitten, dass sich die Schnittwinkel, die auf derselben Seite von $g$, aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von $h$ und $h'$ liegen, zu 180° ergänzen, so sind die Geraden $h$ und $h'$ parallel.

Die Eigenschaft, dass sich Nachbarwinkel zu $180^{\circ }$ ergänzen, folgt direkt aus dem Parallelenaxiom (s. nächste Übung) der euklidischen Geometrie. Die oben genannten Eigenschaften von Stufen- und Wechselwinkeln lassen sich aus der Betrachtung von Neben- und Scheitelwinkeln von Nachbarwinkeln herleiten.

BM1670

Parallelenaxiom

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Das Parallelenaxiom ist ein viel diskutiertes Axiom der euklidischen Geometrie. In einer häufig gebrauchten, auf John Playfair zurückgehenden Formulierung besagt es:

In einer Ebene $\alpha$ gibt es zu jeder Geraden $g$ und jedem Punkt $P$ außerhalb von $g$ genau eine Gerade, die zu $g$ parallel ist und durch den Punkt $P$ geht.

„Parallel“ bedeutet dabei, dass die Geraden in einer Ebene liegen, aber keinen gemeinsamen Punkt haben.

Diese eindeutig bestimmte Gerade heißt die Parallele zu $g$ durch den Punkt $P$.

Schnittpunkt S von h und k, wenn α+β<180°.

In den Elementen des Euklid findet sich dieser Satz als das fünfte Postulat (Parallelenpostulat) in folgender Formulierung: „Gefordert soll sein: … dass, wenn eine gerade Linie [$g$] beim Schnitt mit zwei geraden Linien [$h$ und $k$] bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel [$\alpha$ und $\beta$] zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien [$h$ und $k$] bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen auf der Seite [von $g$], auf der die Winkel [$\alpha$ und $\beta$] liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.“

Dies besagt in moderner Formulierung, dass es zu jeder Geraden $g$ und jedem Punkt $P$ nicht mehr als eine Parallele zu $g$ durch $P$ geben kann. Dass es mindestens eine solche Parallele gibt, lässt sich aber aus den übrigen Postulaten und Axiomen des Euklid beweisen, sodass die eingangs angegebene Formulierung gerechtfertigt ist.

Die Benennung des Parallelenpostulats schwankt in der Literatur. Häufig wird es das Fünfte Postulat von Euklid (Elemente, Buch 1) genannt, manchmal wurde es aber auch 11. Axiom oder 13. Axiom genannt.

BM1671 - BM1680

BM1671

Bild 1

Nachbarwinkel oder E-Winkel

Entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Parallelen

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Die Schenkel der Winkel $\alpha$ und $\beta$, die auf der schneidenden Geraden g liegen, sind entgegengesetzt orientiert. Die Schenkel auf den geschnittenen Geraden liegen auf derselben Seite der Geraden g.

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Zwei Winkel an geschnittenen Geraden heißen entgegengesetzt liegende Winkel (Nebenwinkel), wenn sie folgende Eigenschaften besitzen:

1.) Sie haben verschiedene Scheitel.

2.) Die Schenkel auf der schneidenden Geraden sind entgegengesetzt orientiert.

3.) Die Schenkel auf den geschnittenen Geraden liegen auf derselben Seite der schneidenden Geraden.

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SATZ:

Sind zwei Winkel entgegengesetzt liegende Winkel und

sind die geschnittenen Geraden zueinander parallel,

so betragen die beiden Winkel zusammen 180°.

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Bild 2

Beweis:

$\alpha$ und $\beta$ seien zwei beliebige entgegengesetzt liegende Winkel mit den Scheiteln A und B. Die geschnittenen Geraden a und b seien zueinander parallel.

Bei der Verschiebung ${\vec {AB}}$ ist der Winkel $\gamma$ das Bild des Winkels $\alpha$.

Der Winkel $\gamma$ ist Nebenwinkel des Winkels $\beta$.

Die Summe der Winkel $\gamma$ und $\beta$ beträgt $180^{\circ }$.

Da $\gamma$ und $\alpha$ kongruent und damit gleich groß sind, betragen auch die Winkel $\alpha$ und $\beta$ zusammen $180^{\circ }$.

w.z.b.w.

BM1672

Schneidet eine Gerade zwei andere Geraden, die nicht parallel zueinander liegen, dann haben wir auch solche Winkel, wie bei zwei "Parallelen", die geschnitten werden.

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Bild 1

Bild 1: Stufenwinkel

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Bild 2

Bild 2: Wechselwinkel

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Bild 3

Bild 3: Nebenwinkel (entgegengesetzt liegende Winkel)

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Bild 4

Bild 4: Nebenwinkel (entgegengesetzt liegende Winkel)

BM1673

Umkehrung (Teil 1)

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Bild 3

In dem Satz

„Wenn $\alpha$ ein rechter Winkel ist, dann ist $\alpha$ einem seiner Nebenwinkel kongruent.“

wird vorausgesetzt, dass $\alpha$ ein rechter Winkel ist, und behauptet, dass $\alpha$ einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.

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Wir vertauschen Voraussetzung und Behauptung und erhalten die

Umkehrung des Satzes.

„Wenn $\alpha$ einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, dann ist $\alpha$ ein rechter Winkel.“

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Wir können uns den Zusammenhang zwischen einem Satz und seiner Umkehrung des Satzes wie folgt veranschaulichen:

	Voraussetzung	Behauptung
SATZ	$\alpha$ ein rechter Winkel	$\alpha$ ist einem seiner Nebenwinkel kongruent
Umkehrung	$\alpha$ ist einem seiner Nebenwinkel kongruent	$\alpha$ ein rechter Winkel

BM1673

Bild 1

Umkehrung (Teil 2)

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Die Summe zweier Nebenwinkel beträgt 180°.

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Wir können ihn auch so formulieren:

„Wenn $\alpha$ und $\beta$ Nebenwinkel sind, dann beträgt ihre Summe $180^{\circ }$.“

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Die Umkehrung des Satzes lautet:

„Wenn die Summe der Winkel $\alpha$ und $\beta$ $180^{\circ }$ beträgt, dann sind $\alpha$ und $\beta$ Nebenwinkel.“

	Voraussetzung	Behauptung
SATZ	$\alpha$ und $\beta$ sind Nebenwinkel	$\alpha +\beta =180^{\circ }$
Umkehrung	$\alpha +\beta =180^{\circ }$	$\alpha$ und $\beta$ sind Nebenwinkel

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Bild 2

Die Umkehrung des Satzes ist nicht wahr. Es gibt nämlich Winkel $\alpha$ und $\beta$, deren Summe zwar 180° beträgt, die aber keine Nebenwinkel sind. (Bild 2)

Mit anderen Worten: Es gibt Winkel, für die die Umkehrung nicht zutrifft.

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Die Umkehrung eines Satzes ist also nicht immer auch ein Satz. Deshalb muss stets überprüft werden, ob die Umkehrung eines Satzes gilt.

BM1674

Bild 1: Stufenwinkel

Bild 2: Wechselwinkel

Bild 3: Scheitelwinkel

Es gibt Sätze mit mehreren Voraussetzungen. Zu solchen Sätzen gibt es mehrer Umkehrungen.

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SATZ:

Sind zwei Winkel Stufenwinkel und sind die geschnittenen Geraden zueinander parallel, so sind die beiden Winkel kongruent.

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1. Umkehrung:

Sind zwei Winkel an geschnittenen Parallelen kongruent, so sind die beiden Winkel Stufenwinkel.

(Diese Umkehrung trifft NICHT zu, denn es könnten auch Wechselwinkel oder Scheitelwinkel sein.)

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2. Umkehrung:

Sind zwei Stufenwinkel kongruent, so sind die geschnittenen Geraden zueinander parallel.

(Diese Umkehrung, die für den Nachweis der Parallelität zweier Geraden verwendet werden, lässt sich beweisen. Auf den Beweis verzichten wir an dieser Stelle.)

BM1675

Ergänze die Sätze!

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1.) Schneiden zwei Geraden einander, entstehen ...winkel und ...winkel.

2.) Scheitelwinkel sind ...

3.) Nebenwinkel betragen zusammen ...

4.) Werden zwei Geraden von einer dritten geschnitten, so entstehen ...winkel, ...winkel und entgegengesetzt liegende Winkel.

5.) An geschnittenen Parallelen sind Stufenwinkel und Wechselwinkel ...

6.) Entgegengesetzt liegende Winkel betragen zusammen ...

Lösung BM1675

1.) Schneiden zwei Geraden einander, entstehen Scheitelwinkel und Nebenwinkel. 2.) Scheitelwinkel sind kongruent. 3.) Nebenwinkel betragen zusammen 180°. 4.) Werden zwei Geraden von einer dritten geschnitten, so entstehen Stufenwinkel, Wechselwinkel und entgegengesetzt liegende Winkel. 5.) An geschnittenen Parallelen sind Stufenwinkel und Wechselwinkel kongruent. 6.) Entgegengesetzt liegende Winkel betragen zusammen 180°.

BM1676

Bild 1

Dreieck

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In einem Dreieck $ABC$ seien die Winkel mit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und die Seiten mit $a$, $b$, $c$, wie in Bild 1, bezeichnet.

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Dem Winkel $\alpha$ liegt die Seite $a$ gegenüber.

Der Winkel $\beta$ und die Seite $b$ liegen sich gegenüber.

Der Seite $c$ liegt der Winkel $\gamma$ gegenüber.

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Der Seite $a$ liegen die Winkel $\beta$ und $\gamma$ an.

Am Winkel $\beta$ liegen die Seiten $a$ und $c$ an.

Der gegenüberliegende Winkel von Seite $c$ ist der Winkel $\gamma$.

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Bild 2

Nebenwinkel

Wir in einem Dreieck $ABC$ z. B. die Seite $b$ über den Eckpunkt $A$ hinaus verlängert, so entsteht ein Nebenwinkel $\alpha _{1}$ der Winkels $\alpha$. (Bild 2)

Dieser Nebenwinkel $\alpha$ heißt Außenwinkel des Dreiecks $ABC$.

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Wie viel Außenwinkel kann man an einem Dreick antragen?

Wie viel Innenwinkel hat ein Dreieck?

Lösung BM1676
Bild 3 Wie viel Außenwinkel kann man an einem Dreick antragen? - Sechs. Wie viel Innenwinkel hat ein Dreieck? - Drei.

BM1677

Bild 1

Bild 1: Dreiecke, in denen alle drei Seiten gleich lang sind, nennt man gleichseitige Dreiecke.

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Bild 2

Bild 2: Dreiecke, in denen zwei Seiten gleich lang sind, nennt man gleichschenklige Dreiecke.

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Jedes Dreieck das gleichseitig ist, ist auch gleichschenklig.

Ist die Umkehrung dieses Satzes wahr?

1. Lösung BM1677
Jedes Dreieck das gleichseitig ist, ist auch gleichschenklig. Unkehrung: Jedes Dreieck das ist gleichschenklig, ist auch gleichseitig . Die Umkehrung dieses Satzes ist nicht wahr.

Ergänze den folgenden Satz und zeichne das Mengendiagramm dazu! Beschreibe mit eigenen Worten, wie das Mengendiagramm dazu aussieht!

Die Menge aller gleich... Dreiecke ist die Teilmenge aller gleich... Dreiecke, d. h. jedes gleich... Dreieck ist auch gleich...

2. Lösung BM1677
Bild 3 Die Menge aller gleichseitigen Dreiecke ist die Teilmenge aller gleichschenkligen Dreiecke, d. h. jedes gleichseitige Dreieck ist auch gleichschenklig.

Bild 4

Die Menge aller spitzwinkligen Dreiecke, die Menge aller rechtwinkigen Dreiecke und die Menge aller stumpfwinkligen Dreiecke besitzen kein gemeinsames Element. Solche Menge nennt man disjunkte Mengen. Sie haben keine Schnittmenge. Oder genauer: Die Schnittmengen dieser Mengen sind leer, d. h. sie enthalten keine Element.

BM1678

Einteilung der Dreiecke

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Man kann Dreiecke nach Seiten oder nach Winkeln einteilen.

einteilen; Einteilung

klassifizieren; Klassifizierung

ordnen; Ordnung

unterscheiden; Unterscheidung

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Die Einteilung der Dreiecke nach Seiten erfolgt in: unregelmäßige, gleichschenklige und gleichseitig Dreiecke.

Die Einteilung der Dreiecke nach Winkeln erfolgt in: spitzwinklig, rechtwinklig und stumpfwinklig.

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Einteilung der Dreiecke nach Seiten

In einem unregelmäßigen Dreieck sind die Seiten paarweise verschieden lang.

Ein gleichschenkliges Dreieck hat ein Paar gleich langer Seiten.

In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang.

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In einem spitzwinkligen Dreieck sind alle Winkel spitz. (ODER: Ein spitzwinkliges Dreieck hat nur spitze Winkel.)

In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel 90°. (ODER: In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel ein rechter Winkel. ODER AUCH: Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Winkel.)

In einem stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel stumpf. (Anmerkung: Die anderen beiden Winkel sind spitz, weswegen es aber trotzdem nicht als spitzwinkliges Dreieck bezeichnet wird.)

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  Bild 1
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  Bild 9

Was für Dreiecke sind das? Hinsichtlich der Einteilung nach Seiten und in Bezug auf die Einteilung nach Winkeln.

Lösung BM1678

Bild 1 Bild 1: Einteilung nach Seiten: unregelmäßiges Dreieck Einteilung nach Winkeln: rechtwinkliges Dreieck --- Bild 2 Bild 2: Einteilung nach Seiten: gleichschenkliges Dreieck Einteilung nach Winkeln: spitzwinkliges Dreieck --- Bild 3 Bild 3: Einteilung nach Seiten: gleichschenkliges Dreieck Einteilung nach Winkeln: spitzwinkliges Dreieck --- Bild 4 Bild 4: Einteilung nach Seiten: unregelmäßiges Dreieck Einteilung nach Winkeln: rechtwinkliges Dreieck --- Bild 5 Bild 5: Einteilung nach Seiten: unregelmäßiges Dreieck Einteilung nach Winkeln: spitzwinkliges Dreieck --- Bild 6 Bild 6: Einteilung nach Seiten: gleichseitiges Dreieck Einteilung nach Winkeln: spitzwinkliges Dreieck --- Bild 7 Bild 7: Einteilung nach Seiten: gleichschenkliges Dreieck Einteilung nach Winkeln: rechtwinkliges Dreieck --- Bild 8 Bild 8: Einteilung nach Seiten: gleichschenkliges Dreieck Einteilung nach Winkeln: stumpfwinkliges Dreieck --- Bild 9 Bild 9: Einteilung nach Seiten: unregelmäßiges Dreieck Einteilung nach Winkeln: stumpfwinkliges Dreieck

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In einem stumpfwinkligen Dreieck gibt es auch spitze Winkel. Es hat nur einen stumpfen Winkel.

In einem spitzwinkligen Dreieck gibt es keinen stumpfen Winkel. Die anderen beiden Winkel sind auch spitz. Evtl. ist einer der Winkel ein rechter Winkel.

BM1679

Bild 1

Bild 2

SATZ:

In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180°.

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

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Die Summe der Innenwinkel in einem ebenen Dreieck beträgt immer 180°.

Beweis: Wir zeichnen parallel zu einer Seite eine Gerade durch den gegenüberliegenden Punkt. (Bild 2)

Beweise mit Hilfe von Bild 2, dass die Innenwinkelsumme im Dreieck 180° beträgt!

1. Lösung BM1679
Bild 3 Nun tragen wir noch zwei zusätzliche Winkel ein. (Bild 3) Kannst du jetzt die Aufgabe selbständig lösen und den Innenwinkelsatz vom Dreieck beweisen?

2. Lösung BM1679
Bild 4 Wenn du nun noch diesen letzten Tipp durch Bild 4 hast, dann solltest du wirklich in der Lage sein mit deinen bisher erworbenen Kenntnissen über Winkel an geschnittenen Parallelen den Beweis selbständig zu führen.

3. Lösung BM1679

Bild 4 Gegeben ist ein beliebiges Dreieck ABC. Wir zeichnen parallel zur Seite a eine Gerade g durch den gegenüberliegenden Eckpunkt A. An Punkt A ergeben sich drei Winkel. A ist der Scheitelpunkt von drei Winkeln. Diese drei Winkel bilden zusammen einen „gestreckten Winkel“ - also 180°. $\alpha ^{\prime }+\gamma +\beta ^{\prime }=180^{\circ }$ --- Nun müssen wir noch beweisen, dass $\alpha ^{\prime }$ und $\alpha$ gleich groß sind. Ebenso müssen wir beweisen, dass $\beta ^{\prime }$ und $\beta$ gleich groß sind. Wie würdest du das beweisen?

4. Lösung BM1679
Bild 4 $\alpha ^{\prime }$ und $\alpha$ sind kongruent, weil sie Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind. $\beta ^{\prime }$ und $\beta$ sind kongruent, weil sie Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind. --- $\alpha ^{\prime }=\alpha$ $\beta ^{\prime }=\beta$ $\alpha ^{\prime }+\gamma +\beta ^{\prime }=180^{\circ }$ Daraus folgt, dass $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ w.z.b.w.

BM1680

Dreieck

Dreiecksungleichung

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Die Gesamtlänge zweier Seiten eines Dreiecks ist immer größer als die Länge der dritten Seite. Diese Beziehungen lassen sich in der so genannten Dreiecksungleichung ausdrücken.

Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten a und b stets mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite c. Das heißt formal:

$c\leq a+b$

Man kann auch sagen, der Abstand von A nach B ist stets höchstens so groß wie der Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es populär auszudrücken: „Der direkte Weg ist immer der kürzeste.“

BM1681 - BM1690

BM1681

Hier noch eine leicht abgewandelte Version für den Beweis der Innenwinkelsumme im Dreieck.

Kannst du den Beweis erläutern?

Lösung BM1681

Eine Hilfslinie (gestrichelt) ist die Verlänger und der Seite c. Die andere gestrichelte Hilfslinie ist eine Parallele zur Seite a und verläuft durch A. $\gamma +\beta ^{\prime }+\alpha ^{\prime }=180^{\circ }$ (drei Nebenwinkel; gestreckter Winkel) $\alpha$ und $\alpha ^{\prime }$ sind kongruent, da sie Stufenwinkel an Parallelen sind. ($\alpha ^{\prime }=\alpha$) $\beta$ und $\beta ^{\prime }$ sind kongruent, da sie Wechselwinkel an Parallelen sind. $\beta ^{\prime }=\beta$ $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ w.z.b.w.

BM1682

Beispielhafter, schematischer Aufbau eines Beweises

Beweis

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Mathematische Beweise werden üblicherweise mit „w.z.b.w.“ abgeschlossen - für „was zu beweisen war“.

Auch die lateinische Form „q.e.d.“ wird verwendet - für: quod erat demonstrandum

Ebenso verbreitet ist es einen Beweis mit folgendem Symbol ■ (ein kleines schwarzes Quadrat) abzuschließen.

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Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind.

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Umfangreichere Beweise von mathematischen Sätzen werden in der Regel in mehrere kleine Teilbeweise aufgeteilt, die oft als Satz und Hilfssatz bezeichnet werden.

BM1683

Die Summe der Innenwinkel bei Rechtecken ist 360°.

($4\cdot 90^{\circ }=360^{\circ }$)

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Die Winkelsumme der Innenwinkel in jedem beliebigen Viereck beträgt 360°.

Kannst du das beweisen?

1. Lösung BM1683
Letzter Tipp: Jedes Viereck lässt sich durch eine seiner Diagonalen in zwei Dreiecke zerlegen. Kannst du den Beweis nun?

2. Lösung BM1683
Ein Dreieck hat eine Winkelsumme von 180°. Also haben zwei Dreiecke als Summe der Innenwinkel $2\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }$ . Folglich hat auch ein Viereck eine Winkelsumme von 360°.

BM1684

Begründe, dass ein Dreieck höchstens einen rechten Winkel haben kann.

1. Lösung BM1684

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 360°. Wenn ein rechter Winkel vorhanden ist (90°), dann können die beiden anderen Winkel zusammen nur 90° haben. Wenn aber ein zweiter Winkel auch noch 90° ist, dann müsste der 3. Winkle 0° haben. Dann haben wir aber keine Dreieck, denn ein Dreieck braucht drei Winkel, drei Ecken - wie schon der Name besagt. Die beiden äußeren Seiten an den rechten Winkeln wären parallel, würden sich also nie schneiden und nie ein Dreieck bilden.

Begründe, dass ein Dreieck höchstens einen stumpfen Winkel haben kann.

2. Lösung BM1684

Ein Stumpfer Winkel ist größer als 90°. Wenn wir zwei stumpfe Winkel im Dreieck hätte, dann wäre ihre Summe schon größer als 180° Der 3. Winkel müsste also negativ sein. Die beiden Seiten, die diesen 3. Winkel als Schenkel einschließen müssten, würden sie nie überschneiden. Zwei rechte Winkel gehen schon nicht in einem Dreieck. Zwei stumpfe Winkel gehen sogar noch weniger. --- Bei einem indirekten Beweis nehmen wir erst mal an, dass es vielleicht doch geht. Und dann erhalten wir relativ schnell als Ergebnis, dass als Endergebnis nur Blödsinn rauskommt, wie z.B. ein Dreieck bei dem die 3. Ecke fehlt. Also schlussfolgern wir als letzten Schritt bei einem indirekten Beweis, dass dann wohl unsere anfänglich Annahme falsch war und wohl nur das Gegenteil unserer anfänglichen Annahme wahr sein kann. Das funktioniert aber nur bei mathematischen Beweisen, bei denen es nur 2 Möglichkeiten gibt: wahr oder falsch. Beispiel: Ein Dreieck kann höchstens einen einzigen stumpfen Winkel haben. - Diese Aussage kann nur wahr oder falsch sein. Es gibt keine dritte Möglichkeit. Wenn es - wie bei Alltagsaussagen - eine 3. Möglichkeit gibt, dann funktioniert der indirekte Beweis nicht. Beispiel: Ist er Deutscher oder Franzose? (Er spricht Deutsch als Muttersprache, also ist er Deutscher. - Er könnte aber auch Belgier, Schweizer oder Österreicher sein.)

BM1685

Bild 1

Außenwinkelsatz (Teil 1)

Jedem Innenwinkel eines Dreiecks sind zwei Außenwinkel zugeordnet.

Wenn wir von den drei Außenwinkeln eines Dreiecks sprechen, so sind Außenwinkel gemeint, die zu verschiedenen Innenwinkeln gehören.

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Bild 2

SATZ:

Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

Kannst du diesen Satz beweisen?

Lösung BM1685
1.) $\alpha +\alpha ^{\prime }=180^{\circ }$ (Nebenwinkel) 2.) $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ (Summe der Innenwinkel) 3.) aus 1. und 2. folgt: $\alpha +\alpha ^{\prime }=\alpha +\beta +\gamma$ minus $\alpha$ auf beiden Seiten ergibt: 4.) $\alpha ^{\prime }=\beta +\gamma$ ■

BM1686

Außenwinkelsatz (Teil 2)

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Der Außenwinkelsatz ist ein Lehrsatz der Geometrie, der besagt, dass jeder Außenwinkel eines Dreiecks so groß ist wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen. Er wurde erstmals im 3. Jh. v. Chr. als Satz 32 in Buch 1 der Elemente Euklids bewiesen.

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Formulierung des Satzes

Innenwinkel α, β, γ und Außenwinkel α′, β′, γ′ eines Dreiecks in der euklidischen Ebene

Der Außenwinkelsatz der euklidischen Geometrie besagt, dass der Außenwinkel an einer Ecke eines Dreiecks stets gleich der Summe der Innenwinkel an den beiden anderen Ecken ist; beispielsweise ist in einem Dreieck $ABC$ die Summe der Innenwinkel an den Ecken $A$ und $B$ gleich dem Außenwinkel an der Ecke $C$.

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Beweis des Satzes

Der Außenwinkelsatz ist eine einfache Folgerung aus dem Satz von der Winkelsumme, denn für die mit $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bezeichneten (Innen-)Winkel des $\triangle {ABC}$ gilt $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$, und somit auch $180^{\circ }-\alpha =\beta +\gamma$; wie denn für den Außenwinkel $\alpha '$ an der Ecke $A$ gilt, dass er als Ergänzungswinkel zum Innenwinkel $\alpha$ einen Betrag von $180^{\circ }-\alpha$ hat. Womit man prompt den Außenwinkelsatz erhält:

$\alpha '=\beta +\gamma$.

Analog beweist man $\beta '=\alpha +\gamma$ und $\gamma '=\alpha +\beta$.

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Schwacher Außenwinkelsatz

Der schwache Außenwinkelsatz, auch als Satz vom Außenwinkel bezeichnet, sagt:

Jeder Außenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist stets strikt größer als jeder der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

In Formeln:

$\alpha '>\beta ,\alpha '>\gamma ,\beta '>\alpha ,\beta '>\gamma ,\gamma '>\alpha ,\gamma '>\beta$.

Es folgt, dass jeder Innenwinkel stets strikt kleiner als jeder der beiden nichtanliegenden Außenwinkel ist.

BM1687

SATZ:

In jedem Dreieck beträgt die Summe der Außenwinkel 360°.

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Kannst du den Satz beweisen?

1. Lösung BM1687

1.) $\alpha +\alpha ^{\prime }=180^{\circ }$ (Nebenwinkel) 2.) $\beta +\beta ^{\prime }=180^{\circ }$ (Nebenwinkel) 3.) $\gamma +\gamma ^{\prime }=180^{\circ }$ (Nebenwinkel) 4.) aus 1., 2. und 3. folgt: $(\alpha +\alpha ^{\prime })+(\beta +\beta ^{\prime })+(\gamma +\gamma ^{\prime })=3\cdot 180^{\circ }$ 5.) $(\alpha +\beta +\gamma )=180^{\circ }$ (Summe der Innenwinkel im Dreieck) 6.) wir stellen die Gleichung aus 4. etwas um: $(\alpha +\beta +\gamma )+(\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })=3\cdot 180^{\circ }$ 7.) für $(\alpha +\beta +\gamma )$ in 6. können wir wegen 5. einfach $180^{\circ }$ einsetzen $(180^{\circ })+(\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })=3\cdot 180^{\circ }$ 8.) wir rechnen auf beiden Seiten der Gleichung minus $180^{\circ }$ und erhalten $(\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })=2\cdot 180^{\circ }$ oder $\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime }=360^{\circ }$ ■

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Bild 2

Man kann diesen Beweis auch etwas abwandeln. Kannst du anhand von Bild 2 den Beweis führen, dass die Summe der Außenwinkel im Dreieck 360° beträgt?

2. Lösung BM1687

1.) Wir haben an den drei Ecken des Dreiecks jeweils 4 Winkel, die jeweils 360° ergeben, weil sie einen Vollkreis bilden. $(\alpha +\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})+(\beta +\beta _{1}+\beta _{2}+\beta _{3})+$ $+(\gamma +\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3})=3\cdot 360^{\circ }$ 2.) Die Winkel in jeder Ecke des Dreiecks sind jeweils Scheitelwinkel, also gleich groß. $\alpha =\alpha _{2}$ $\alpha _{1}=\alpha _{3}$ $\beta =\beta _{2}$ usw. usf. 3.) Die Innenwinkel ergeben zusammen 180°. $(\alpha +\beta +\gamma )=180^{\circ }$ 4.) Wir können die Gleichung unter 1. etwas umstellen, indem wir die Reihenfolge der Summanden umstellen: $(\alpha +\beta +\gamma )+(\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})+$ $+(\alpha _{2}+\beta _{2}+\gamma _{2})+(\alpha _{3}+\beta _{3}+\gamma _{3})=3\cdot 360^{\circ }$ Bild 2 5.) Für $(\alpha +\beta +\gamma )$ in der Gleichung unter 4. können wir wegen 3. auch einfach nur 180° eintragen: $(180^{\circ })+(\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})+$ $+(\alpha _{2}+\beta _{2}+\gamma _{2})+(\alpha _{3}+\beta _{3}+\gamma _{3})=3\cdot 360^{\circ }$ 6.) Ebenso können wir für $(\alpha _{2}+\beta _{2}+\gamma _{2})$ auch 180° eintragen, denn $\alpha _{2}$, $\beta _{2}$ und $\gamma _{2}$ sind jeweils die Scheitelwinkel von $\alpha$, $\beta$ bzw. $\gamma$: $(180^{\circ })+(\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})+$ $+180^{\circ }+(\alpha _{3}+\beta _{3}+\gamma _{3})=3\cdot 360^{\circ }$ 7.) Die beiden 180° kann man zusammenfassen: $360^{\circ }+(\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})+(\alpha _{3}+\beta _{3}+\gamma _{3})=3\cdot 360^{\circ }$ 8.) Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten 360° und erhalten: $(\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})+(\alpha _{3}+\beta _{3}+\gamma _{3})=2\cdot 360^{\circ }$ 9.) Da $\alpha _{1}$, $\beta _{1}$ und $\gamma _{1}$ jeweils die Scheitelwinkel von $\alpha _{3}$, $\beta _{3}$ und $\gamma _{3}$ sind und damit gleich groß sind, also: $(\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})=(\alpha _{3}+\beta _{3}+\gamma _{3})$ können wir die Gleichung aus 8. auch schreiben als: $2\cdot (\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})=2\cdot 360^{\circ }$ 10.) Zum Schluss divieren wir auf beiden Seiten durch Zwei und erhalten: $\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1}=\cdot 360^{\circ }$ ■

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Bild 3

Nun wollen wir noch eine 3. Version für den Beweis.

Beweise den Satz mit Hilfe des Satzes aus der vorherigen Übung BM1685! („Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.“)

Hast du eine Idee, wie du diesen Beweis führen könntest?

3. Lösung BM1687

1.) Aus dem bekannten SATZ: „Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.“ folgt: $\alpha _{1}=\beta +\gamma$ $\beta _{1}=\alpha +\gamma$ $\gamma _{1}=\alpha +\beta$ 2.) $\alpha _{1}+\alpha =180^{\circ }$ (Nebenwinkel) $\beta _{1}+\beta =180^{\circ }$ (Nebenwinkel) $\gamma _{1}+\gamma =180^{\circ }$ (Nebenwinkel) 3.) $\alpha +\beta +\gamma =360^{\circ }$ (Winkelsumme im Dreieck) --- Kannst du daraus nun einen Beweis basteln?

4. Lösung BM1687

Bild 3 $(\alpha _{1}+\alpha )+(\beta _{1}+\beta )+(\gamma _{1}+\gamma )=3\cdot 180^{\circ }$ (Nebenwinkel) Wir stellen die Summaden um. Die Klammern sind nur zur Veranschaulichung: $(\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})+(\alpha +\beta +\gamma )=3\cdot 180^{\circ }$ Wegen der Winkelsumme $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ können wir schreiben: $(\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})+(180^{\circ })=3\cdot 180^{\circ }$ Nun ziehen wir noch auf beiden Seiten 180° ab: $(\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})=2\cdot 180^{\circ }$ Jetzt multiplizieren wir noch: $\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1}=360^{\circ }$ ■

BM1688

Bild 1

Winkelhalbierende

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Ein Strahl m heißt Winkelhalbierende des Winkels $(h,k)$, wenn er folgende Eigenschaften besitzt:

1.) Sein Anfangspunkt ist der Scheitel des Winkels.

2.) Er verläuft innerhalb des Winkels.

3.) Winkel $(h,m)$ (hier grün) und $(m,k)$ (hier rot) sind kongruent; also

$\sphericalangle (h,m)\cong \sphericalangle (m,k)$.

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In der ebenen Geometrie ist die Winkelhalbierende eines Winkels die Halbgerade (= Strahl), die durch den Scheitelpunkt des Winkels läuft und das Winkelfeld in zwei deckungsgleiche Teile teilt.

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Bild 2

Bild 3

Konstruktion der Winkelhalbierenden:

Ein Winkel ist durch seine beiden Schenkel (Halbgeraden mit gemeinsamen Anfang im Scheitel des Winkels) gegeben. Dann kann die Winkelhalbierende mit einem Zirkel und einem Lineal (Geodreieck) konstruiert werden: Um den Scheitelpunkt wird ein Kreis mit beliebigem Radius gezeichnet (hier blau). An den Schnittpunkten mit den Schenkeln des Winkels wird der Zirkel erneut angesetzt. Dann zeichnet man jeweils einen Kreis mit gleichem Radius (hier rot). Die Schnittpunkte dieser zwei Kreise liegen auf der Winkelhalbierenden.

Bei dieser Konstruktion wird benutzt, dass die Winkelhalbierende zugleich Mittelsenkrechte (dazu in der nächsten Übung mehr) in dem gleichschenkligen Dreieck ist, das durch den Scheitel und die zwei ersten Hilfspunkte gegeben ist.

BM1689

Bild 2

Mittelsenkrechte (Teil 1)

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Ein Punkt M einer Strecke ${\overline {AB}}$ heißt Mittelpunkt der Strecke, wenn die Beziehung ${\overline {AM}}\cong {\overline {MB}}$

Die Senkrechte im Mittelpunkt einer Strecke ${\overline {AB}}$ auf der Geraden AB heißt MIttelsenkrechte einer Strecke.

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Die Mittelsenkrechte oder das Mittellot ist eine besondere Gerade, die in der ebenen Geometrie untersucht wird.

Definition:

Die Mittelsenkrechte ist die Menge aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten denselben Abstand haben:

$s=\left\{X\mid {\overline {XA}}={\overline {XB}}\right\}$

Lies: s ist gleich: die Menge aller X für die gilt: Strecks XA ist gleich Strecke XB

(Wie erinnern uns bitte: Mengen werden in geschweiften Klammern geschrieben.)

Die Mittelsenkrechte ist also eine Gerade, die orthogonal (das heißt senkrecht) auf der Verbindungsstrecke der zwei Punkte steht und durch deren Mittelpunkt geht.

BM1690

Mittelsenkrechte (Teil 2)

Eine andere Definitionsmöglichkeit für die Mittelsenkrechte lautet:

Die Mittelsenkrechte ist die Menge der Mittelpunkte aller Kreise, die durch zwei gegebene Punkte gehen.

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Kannst du das erklären? Stimmt das? Wie muss man sich das vorstellen? Fertige eine Skizze dazu an!

Lösung BM1690

Hier sind nur einige Kreise mit ihren dazugehörigen Mittelpunkte gezeichnet, für die gilt, dass diese Kreise „durch zwei gegebenen Punkte gehen“. Die Mittelpunkte aller dieser Kreise bilden die Mittelsenkrechte. (Die Menge der Mittelpunkte dieser Kreise bilde die Mittelsenkrechte.) Es gibt unendlich viele solcher Kreise. Hier wurden wegen der Übersichtlichkeit nur einige dieser Kreise gezeichnet. Nach unten müsste man weitere solcher Kreise zeichnen, die mit de Entfernung vom Schnittpunkt mit der Verbindungslinie immer größere Durchmesser annehmen müssen. Nur kleiner als der kleinste eingezeichnete Kreis in der Abbildung dürfen sie nicht sein, denn sonst gegen sie nicht wie verlangt durch die beiden vorgegebenen Punkte.

BM1691 - BM1700

BM1691

Beschreibe die Konstruktion einer Winkelhalbierenden anhand der nebenstehenden Abbildung!

Lösung BM1691

1.) Einen Kreisbogen mit dem Zirkel zeichnen. Mittelpunkt des Kreisbogens ist der Scheitelpunkt des Winkels. (hier: blau) (kurz: Kreisbogen um den Scheitelpunkt zeichnen.) 2.) Die dadurch entstandenen zwei Schnittpunkte mit den Schenkels dienen als Mittelpunkt für zwei weitere Kreise. (hier grün). Diese zwei Kreis müssen den gleichen Radius haben. Ihr Radius darf nicht zu klein sein. Er muss mindestens so groß sein, dass sich die Kreis deutlich überlappen. 3.) die beiden grünen Kreise bilden an genau zwei Stellen Schnittpunkte miteinander. Diese beiden Punkte definieren unsere Mittelsenkrechte. Wir müssen die Punkte miteinander verbinden und diese Gerade noch etwas in beide Richtungen verlängern. (hier: rot)

BM1692

Beschreibe die Konstruktion einer Mittelsenkrechten anhand der nebenstehenden Abbildung!

Lösung BM1692
Man konstruiert eine Mittelsenkrechte zwischen zwei gegebenen Punkten $A$ und $B$, indem man um diese beiden Punkte mit einem Zirkel Kreisbögen zeichnet mit gleichem Radius, der größer als die halbe Strecke zwischen den beiden Punkten sein muss. Die zwei Schnittpunkte dieser beiden Kreislinien bestimmen eine Gerade. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte der Strecke $AB$.

BM1693

Ein gleichschenkliges Dreieck.
Es gilt: $a=b$ und $\alpha =\beta$

Gleichschenklige Dreiecke

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Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem mindestens zwei Seiten gleich lang sind. Diese Seiten werden als Schenkel bezeichnet, die dritte Seite heißt Basis des gleichschenkligen Dreiecks. Die beiden Winkel an der Basis (Basiswinkel) sind gleich groß. Der Punkt, an dem beide Schenkel zusammentreffen, wird Spitze genannt, der dortige Winkel ist der Winkel an der Spitze.

In einem gleichschenkligen Dreieck fallen die Mittelsenkrechte der Basis, die Seitenhalbierende der Basis und die Höhe auf der Basis sowie die Winkelhalbierende des Spitzenwinkels aufeinander.

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Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten. Folglich sind auch die beiden Winkel gleich groß, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen. Zur vollständigen Bestimmung werden zwei Bestimmungsstücke benötigt, davon zumindest eine Seite.

Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Der der Basis gegenüberliegende Eckpunkt heißt Spitze. Die an die Basis anliegenden Winkel heißen Basiswinkel.

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Symmetrieeigenschaften gleichschenkiger Dreiecke:

Jedes gleichschenklige Dreieck ist axialsymmetrisch.

Jedes gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch. Es kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein.

BM1694

Basiswinkelsatz

Der Basiswinkelsatz besagt, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Basiswinkel, also die Winkel, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen, gleich groß sind. Umgekehrt gilt auch: Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, so sind auch die beiden gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

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Gleichschenklige Dreiecke sind achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse stimmt mit der Höhe, der Mittelsenkrechten (Streckensymmetrale) und der Seitenhalbierenden (Schwerlinie) der Basis und mit der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetrale) des Winkels an der Spitze überein.

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Da gleichseitige Dreiecke drei gleich lange Seiten haben, sind diese auch gleichzeitig gleichschenklige Dreiecke. Gleichschenklige Dreiecke schließen alos gleichseitige Dreiecke als einen Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks ein. Das war nicht immer so.

Nach Euklid, also im antiken Griechenland, wurde ein gleichschenkliges Dreieck dadurch definiert, dass es nur zwei gleich lange Seiten besitzt, wohingegen es heute überwiegend als ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten definiert wird.

BM1695

Bile 1: gleichschenkliges Dreieck

Bild 2: mit Winkelhalbierender

Basiswinkelsatz

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In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel (hier: Alpha und Beta) gleichgroß.

Basiswinkelsatz in der Wenn-Dann-Formulierung:

Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind die Basiswinkel gleich groß.

Beweis:

Voraussetzung:$a=b$

Behauptung: $\alpha =\beta$

Beweisidee: Wie zerlegen das Dreieck durch die Winkelhalbierende des Winkels, der nicht Basiswinkel ist, in zwei Teildreiecke und beweisen mit Hilfe der Kongruenzsätze für Dreiecke, dass diese kongruent sind.

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1.) ${\overline {CD}}=w_{\gamma }$ (Winkelhalbierende von Gamma)

2.) $\gamma _{1}=\gamma _{2}={\tfrac {1}{2}}$ (das folgt aus 1.)

3.) $a=b$ (Voraussetzung)

4.) ${\overline {CD}}={\overline {CD}}$ (${\overline {CD}}$ liegt vollständig in beiden Teildreiecken $\triangle ADC$ und $\triangle BDC$)

5.) $\triangle ADC\cong \triangle BDC$ (Dreiecke mit eienr gleichen Seite und gleichen anliegenden Winkeln an dieser Seite sind identisch - dazu später mehr. SWS - Seite-Winkel-Seite sind identisch.)

6.) \alpha = \beta</math>

w.z.b.w.

Die Basiswinkel eines beliebigen gleichschenkligen Dreiecks sind kongruent.

BM1696

Bild 1

Bild 2

Bild 3

Bild 4

Der Basiswinkelsatz

(„Die Basiswinkel eines beliebigen gleichschenkligen Dreiecks sind kongruent.“)

gilt auch für gleichseitige Dreiecke, denn jedes gleichseitige Dreieck ist zugleich auch ein gleichschenkliges Dreieck.

Also:

Die Basiswinkel eines gleichseitigen Dreiecks sind kongruent.

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Da jede Seite eines gleichseitigen Dreiecks Basis eines gleichschenkligen Dreiecks mit den beiden anderen Seiten als Schenkel ist, gibt es in jedem gleichseitigen Dreieck drei Symmetrieachsen (Bild 1-3: rot, grün, blau). Sie schneiden einander in einem Punkt (Bild 4).

BM1697

Die 3 Winkelhalbierenden des gleichseitigen Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

Die 3 Winkelhalbierenden des gleichseitigen Dreiecks schneiden sich in einem einzigen Punkt.

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Beweis:

BM1698

In jedem gleichseitigen Dreieck betragen alle drei Innenwinkel jeweils 60°.

Kannst du das begründen?

Lösung BM1698

Die Winkelsumme beträgt 180°. (genauer: Die Summe der Innenwinkel in jedem beliebigen Dreieck beträgt 180°, also auch in gleichseitigen Dreiecken.) $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ --- In einem gleichseitigen Dreieck sind alle 3 Winkel gleich groß. $\alpha =\beta =\gamma$ --- $3\cdot \alpha =180^{\circ }$ wir dividieren beide Seiten durch 3: ${\tfrac {3\cdot \alpha }{3}}={\tfrac {180^{\circ }}{3}}$ und kürzen die Brüche: $\alpha =60^{\circ }$ --- Wegen $\alpha =\beta =\gamma$ gilt auch: $\beta =60^{\circ }$ $\gamma =60^{\circ }$ --- Wenn man 6 gleichseitige Dreiecke mit den Spitzen zusammenschiebt, dann ergeben sechs Winkel einen Vollkreis (= 360°) $6\cdot \alpha =360^{\circ }$ durch 6 dividieren ergibt: $\alpha =60^{\circ }$

BM1699

Bild 1

Seiten-Winkel-Beziehung im Dreieck

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SATZ:

In jedem Dreieck liegt der größeren von zwei Seiten auch der größere Winkel gegenüber.

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Beispiel:

${\overline {BC}}>{\overline {AC}}$ ⇒ $\alpha >\beta$

Wenn die Strecke ${\overline {BC}}$ größer ist als die Strecke ${\overline {AC}}$, dann folgt daraus, dass der Winkel $\alpha$ (der der Strecke ${\overline {BC}}$ gegenüberliegt) größer ist als der Winkel $\beta$ (der der Strecke ${\overline {AC}}$ gegenüberliegt).

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Auch die Umkehrung diese Satzes gilt:

In jedem Dreieck liegt dem größeren von zwei Winkeln auch die größere Seite gegenüber.

(„Größere Seite“ bedeutet das gleiche wie „längere Seite“.)

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Beweise es!

Lösung BM1699

Beweis: Voraussetzung: ${\overline {BC}}>{\overline {AC}}$ Behauptung: $\alpha >\beta$ --- Bild 2 Bild 2: Untersucht werden die Winkel Alpah und Beta (mit ihren zugehörigen Seiten). Wir markieren den dritten Eckpunkt des Dreicks, Punkt C (hier roter Punkt). --- Bild 3 Bild 3: Um diesen Eckpunkt C zeichnen wir einen Kreisbogen (oder einen ganzen Kreis) mit dem Radius ${\overline {AC}}$ (also die Länge der Seite b). Der Mittelpunkt des Kreises ist Punkt C. --- Bild 4 Bild 4: Der Kreisbogen schneidet die Strecke ${\overline {BC}}$ in einem Punkt (hier: grüner Punkt). Wir verbinden diesen grünen Punkt mit Punkt A. --- Bild 5 Bild 5: Den grünen Punkt bezeichnen wir als Punkt $B'$ und die Verbindunsstrecke ${\overline {AB'}}$ als $c'$. --- Bild 6 Wir haben also ein gleichschenkliges Dreieck $AB'C$ konstruiert, denn der Kreis garantiert uns wegen des konstanten Radiuses für die Strecken ${\overline {AC}}$ und ${\overline {B'C}}$ die gleichen Längen dieser Strecken. Wir markieren die Winkel $\delta _{1}$ und $\delta _{2}$. --- Nach dieser Konstruktion können wir mit dem eigentlichen Beweis beginnen: 1.) $\delta _{1}=\delta _{2}$ (Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck) 2.) Im Dreieck $AB'C$ gilt: ${\overline {AC}}={\overline {B'C}}$ ⇒ $\delta _{1}=\delta _{2}$ 3.) Nun verschieben wir Punkt B' allmählich immer dichter zu Punkt B. Dabei können wir uns überzeugen, dass die Strecke ${\overline {B'C}}$ immer länger wird und zum Schluss der Strecke ${\overline {BC}}$ entspricht. Dadurch wird Seite a länger als Seite b. Gleichzeitig wird der Winkel $\delta _{1}$ immer größer, bis er zum Schluss der Größe von Winkel $\alpha$ entspricht. Obendrein wird Winkel $\delta _{2}$ gleichzeig immer kleiner, wir er zum Schluss der Größe von Winkel $\beta$ entspricht. --- Wir haben also anschaulich gezeigt, dass aus ${\overline {AC}}={\overline {B'C}}$ ⇒ $\delta _{1}=\delta _{2}$ (im gleichschnekligen Dreick) durch Verschiebung eines Eckpunkte in Richtung zum vorgegebenen Dreieck folgt: ${\overline {BC}}>{\overline {AC}}$ ⇒ $\alpha >\beta$ --- Dies war genau genommen kein strenk mathematischer Beweis, sondern mehr eine Veranschaulichung und plausible Erklärung des Satzes über die „Seiten-Winkel-Beziehung im Dreieck“.

BM1700

Begründe die folgende Aussage:

1.) In jedem rechtwinkligen Dreck ist die Seite, die dem rechten Winkle gegenüberliegt, größer, als die beiden anderen Seiten.

1. Lösung BM1700
Bild 1 Jedes Dreieck hat höchstens einen rechten Winkel (s.o.) Der rechte Winkel ist also der größte Winkel in einem rechtwinkligen Dreick. (Wegen der Winkelsumme 180°.) In jedem Dreieck liegt der größeren von zwei Seiten auch der größere Winkel gegenüber. Also liegt der rechte Winkel der größten Seite gegenüber. w.z.b.w.

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2.) In jedem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck beträgt jeder der beiden Basiswinkel 45°.

2. Lösung BM1700

Bild 2 Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°. Im rechtswinkligen Dreieck haben die beiden übrigen Winkel deshalb zusammen 90°. Wenn solch ein Dreieck zusätzlich noch gleichschenklig is, dann sind die die beiden Basiswinkel jeweils gleich groß. Die 90° verteilen sich also gleichmäßig auf die beiden Basiswinkel. ${\tfrac {90^{\circ }}{2}}=45^{\circ }$ Folglich ist jeder Basiswinkel im gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck genau 45° groß.

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