Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 087b

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Lección 087

Mathematik auf Deutsch - 37

BM1801 - BM1810

BM1801

Bild 2

Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem gleichseitigen Achteck?

Lösung BM1801
Bild 2 $\alpha ={\tfrac {360^{\circ }}{8}}=45^{\circ }$ (Zentriwinkel) $180^{\circ }=45^{\circ }+2\beta$ ⇒ $\beta =67{,}5^{\circ }$ (gleichschenkliges Dreieck) $2\cdot 67{,}5^{\circ }=135^{\circ }$ (Innenwinkel) $8\cdot 135^{\circ }=1080^{\circ }$ (Summe der Innenwinkel) --- Die Innenwinkelsumme in einem gleichseitigen Achteck beträgt $135^{\circ }$.

BM1802

Bild 1

Achteck

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Ein Achteck (auch Oktogon oder Oktagon) ist ein Polygon (Vieleck) mit acht Ecken und acht Seiten.

Zu den konvexen Achtecken gehört auch das regelmäßige Achteck, bei dem alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind.

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Geometrische Konstruktionen des Achtecks bei gegebenem Umkreis:

Konstruieren kann man ein regelmäßiges Achteck, indem man bei einem Quadrat die Symmetrieachsen mithilfe der Mittelsenkrechten $M_{S}$ konstruiert und deren Schnittpunkte mit dem Umkreis mit den Ecken des Quadrats verbindet.

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Bild 2

Bild 2: Achteck, konstruiert aus einem Quadrat, Umkreisdurchmesser durch Diagonale $d_{1}$ vorgegeben.

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Bild 3

Eine Alternative zeigt die Animation in Bild 3: Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks bei gegebenem Umkreis.

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Bild 4

Geometrische Konstruktionen des Achtecks bei gegebener Seitenlänge:

Bild 4: Zuerst werden die beiden Endpunkte der Seitenlänge $a$ mit $A$ und $B$ bezeichnet; beide sind Eckpunkte des entstehenden Achtecks. Es folgen ein Kreisbogen mit dem Radius $a$ um den Punkt $B$ und ein zweiter mit gleichem Radius um den Punkt $A$, dabei ergeben sich die beiden Schnittpunkte $I$ und $J$. Es geht weiter mit der Halbgeraden ab $I$ durch $J$ und dem Zeichnen einer Parallelen zu ${\overline {IJ}}$ ab dem Punkt $B$, die den Kreisbogen um $B$ in $K$ schneidet. Nun wird der Punkt $K$ mit $A$ verbunden, dabei entsteht der Schnittpunkt $L$. Anschließend wird die Halbgerade ab $B$ durch $L$ gezogen, dabei schneidet sie die Halbgerade ab $I$ in $M$. Somit ist der Mittelpunkt $M$ des entstehenden Achtecks bestimmt. Die zweite Halbgerade ab $A$ durch $M$ führt zum Zentriwinkel $45^{\circ }$. Nach dem Einzeichnen des Umkreises um $M$ und durch $A$ ergeben sich die Ecken $C,E,F$ und $H$ des Achtecks. Jetzt die zwei noch fehlende Seitenlängen $a$ auf den Umkreis abtragen, sie ergeben die Ecken $D$ und $G$, und abschließend die benachbarten Ecken zu einem fertigen Achteck miteinander verbinden.

BM1803

Bild 1: Verschiedene Auffassungen von Polygonen und polygonalen Flächen

Vieleck

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Vieleck oder auch Polygon (von altgriechisch polygṓnion Vieleck; aus polýs viel und gōnía Winkel) bezeichnet in der elementaren Geometrie eine ebene geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Streckenzug gebildet und/oder begrenzt wird,

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Ein Polygon erhält man, indem in einer Zeichenebene mindestens drei verschiedene (nicht kollineare) Punkte miteinander verbunden werden durch Strecken, Kanten oder Seiten genannt, sodass ein geschlossener Polygonzug mit ebensovielen Ecken entsteht, beispielsweise ein Dreieck oder ein Viereck. Die umschlossene Fläche wird unterschiedlich aufgefasst oft auch als Polygon bezeichnet.

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Klassifikation:

a) Nach Anzahl der Ecken: Dreieck (Trigon), Viereck (Tetragon), Fünfeck (Pentagon), Sechseck (Hexagon), Siebeneck (Heptagon), Achteck (Oktagon, Oktogon), Neuneck (Nonagon), Zehneck (Dekagon) ...

b) Weitere Typen

Bild 2: Klassifikation von Polygonen

• Schneiden (berühren) sich die Kanten nicht nur in den Eckpunkten, bezeichnet man das Polygon als überschlagen. Liegt keine Selbstüberschneidung vor, bezeichnet man das Polygon als einfach.
• Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180°) oder nichtkonvex (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°) sein.
• Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone.
• Polygone können gleichseitig oder gleichwinklig sein. Hat ein Polygon sowohl gleiche Seiten, als auch gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet.
• Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.
• Bei orthogonalen Polygonen treffen alle Kanten im rechten Winkel aufeinander (das heißt, der Innenwinkel beträgt an jeder Kante entweder 90° oder 270°).

BM1804

Bild 1: irreguläres Vieleck (Polygon)

Bild 2: irreguläres Vieleck

Vieleck

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Ein Vieleck oder n-Eck ABC...XYZ ist eine ebene Figur mit den Eckpunkten A, B, C ...

Je drei aufeinadnerfolgende Eckpunkte liegen nicht auf ein und derselben Geraden.

Dem Vieeck gehören alle und nur die Punkte der Strecken ${\overline {AB}}$, ${\overline {BC}}$, ${\overline {CD}}$ ... an.

Diese Strecken heißen die Seiten des Vierecks.

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Dreiecke und Vierecke sind spezielle Vielecke oder n-Ecke. Mit anderen Worten: Die Menge der Dreiecke und Vieecke ist eine (echte) Teilmenge aller Vielecke.

Je zwei Eckpunkte, die nicht Endpunkte ein und derselben Seite sind, bestimmen eine Diagonale des Vielecks.

Vielecke können nach der Anzahl ihrer Eckpunkte bezeichnet werden. Man nennt z. B. ein Vieleck mit sieben Ecken ein Siebeneck.

BM1805

Eigenschaften der Vierecke

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1.) Welche Eigenschaften hat ein Viereck?

1. Lösung BM1805
Bild 1: Viereck Bild 1: Viereck Innenwinkelsumme: $\alpha +\beta +\gamma +\delta =360^{\circ }$

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2.) Welche Eigenschaften hat ein Trapez? Welche Sätze haben wir in den vorherigen Übungen für das Trapez bewiesen?

2. Lösung BM1805
Bild 2: Trapez Bild 2: Trapez (zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel) $\alpha +\delta =\beta +\gamma =180^{\circ }$ $a\parallel c$ SATZ: In jedem Trapez ist die Mittelllinie halb so lang wie die Summe der beiden Grundseiten. SATZ: In jedem gleichschenkligen Trapez sind die Winkel, die ein und derselben Grundseite anliegen, kongruent.

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3.) Welche Eigenschaften hat ein Drachenviereck? Welche Sätze haben wir in den vorherigen Übungen für das Drachenviereck bewiesen?

3. Lösung BM1805
Bild 3: Drachenviereck Bild 3: Drachenviereck (die Verbindungsgerade zweier gegenüberliegender Ecken sind Symmetrieachse dieses Vierecks) $\alpha +\beta +\gamma +\delta =360^{\circ }$ $\beta =\delta$ $a=d$ $b=c$ $e\perp f$ SATZ: SATZ: In jedem Drachenviereck stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.

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4.) Welche Eigenschaften hat ein Parallelogramm? Welche Sätze haben wir in den vorherigen Übungen für das Parallelogramm bewiesen?

4. Lösung BM1805

Bild 4: Parallelogramm Bild 4: Parallelogramm (jeweils zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel) $\alpha +\delta =\beta +\gamma =180^{\circ }$ $a\parallel c$ $b\parallel d$ $a=c$ $b=d$ $\alpha =\gamma$ $\beta =\delta$ SATZ: Wenn ein konvexes Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind in diesem Viereck jeweils die Gegenseiten gleich lang. SATZ: Wenn ein konvexes Viereck ein Parallelogramm ist, dann halbieren die Diagonalen einander. SATZ: Wenn ein konvexes Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind jeweils die Gegenwinkel gleich groß.

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5.) Welche Eigenschaften hat ein Rechteck?

5. Lösung BM1805
Bild 5: Rechteck Bild 5: Rechteck (die Innenwinkel sind alle rechte Winkel) $\alpha +\beta +\gamma +\delta =360^{\circ }$ $a\parallel c$ $b\parallel d$ $a=c$ $b=d$ $e=f$

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6.) Welche Eigenschaften hat eine Raute (= Rhombus)? Welche Sätze haben wir in den vorherigen Übungen für die Raute bewiesen?

6. Lösung BM1805

Bild 6: Raute Bild 6: Raute (vier gleich langen Seiten; gegenüberliegende Seiten sind parallel; gegenüberliegende Winkel sind gleich groß) $\alpha +\delta =\beta +\gamma =180^{\circ }$ $\alpha =\gamma$ $\beta =\delta$ $a=b=c=d$ $a\parallel c$ $b\parallel d$ $e\perp f$ SATZ: Ein beliebiger Rhombus besitzt zwei Spiegelungsachsen, das sind seine beiden Diagonalen. SATZ: Bei einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander und halbieren einander! SATZ: Bei einer Raute wird jeder Winkel durch eine Diagonale halbiert! SATZ: Jede Raute besitzt einen Inkreis, aber nur die rechtwinklige (also das Quadrat) auch einen Umkreis.

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7.) Welche Eigenschaften hat ein Quadrat?

7. Lösung BM1805
Bild 7: Quadrat Bild 7: Quadrat (vier gleich lange Seiten; alle vier Innenwinkle sind rechte Winkel) $\alpha =\beta =\gamma =\delta =90^{\circ }$ $a\parallel c$ $b\parallel d$ $a=b=c=d$ $e\perp f$ $e=f$

BM1806

Klassifikation der Vierecke

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Die ebenen Vierecke werden nach verschiedenen Gesichtspunkten eingeteilt:

1.) nach Eigenschaften des Inneren:

• konvex
• nicht konvex

2.) nach Symmetrie-Eigenschaften:

• eine Diagonale ist Symmetrieachse: Deltoid (Drachenviereck)
• beide Diagonalen sind Symmetrieachsen: Raute (Rhombus)
• die Mittelsenkrechte einer Seite ist eine Symmetrieachse: gleichschenkliges Trapez
• die Mittelsenkrechten zweier Seiten sind Symmetrieachsen: Rechteck
• vier Symmetrieachsen: Quadrat
• zweizählige Symmetrie (punktsymmetrisch): Parallelogramm
• vierzählige Symmetrie: Quadrat

3.) nach der Länge der Seiten:

• zwei Paare gleich langer gegenüberliegender Seiten: Parallelogramm
• zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten: Deltoid (Drachenviereck)
• gleichseitiges Viereck: Raute (Rhombus)
• die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten ist gleich: Tangentenviereck

4.) nach der Größe der Winkel:

• zwei Paare gleich großer gegenüberliegender Winkel: Parallelogramm
• zwei Paare gleich großer benachbarter Winkel: gleichschenkliges Trapez
• gleichwinkeliges Viereck: Rechteck
• die Summe gegenüberliegender Winkel ergibt 180°: Sehnenviereck

5.) nach der Lage der Seiten:

• ein Paar paralleler Seiten: Trapez
• zwei Paar paralleler Seiten: Parallelogramm
• die Seiten berühren denselben Kreis (den Inkreis): Tangentenviereck

6.) nach der Lage der Ecken:

• die Ecken liegen auf einem Kreis (dem Umkreis): Sehnenviereck

Bild 1: Hierarchie der Vierecke

Bild 2: Mengendiagramm ohne Tangentenvierecke

Bild 3: Mengendiagramm ohne Drachenvierecke

BM1807

Flächeninhalt von Rechtecken

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Eine Rechtecksfläche wird gemessen, indem sie mit einer Flächeneinheit vergleichen wird.. Die Zahl, die angibt, wie viel Flächeneinheiten (oder geeignete Bruchteile von ihr) die betreffende Fläche enthält, heißt die Maßzahl (dieser Fläche bei der gegebene Flächeneinheit) oder ihr Inhalt.

Hat eine REchtecksfläche beispielsweise den Inhalt von $50cm^{2}$, so schreiben wir: „$A=50cm^{2}$“. Dabei ist „$50$“ die Maßzahl und „$cm^{2}$“ ist die Maßeinheit.

Eine Antwort wie beispielsweise „Die Fläche ist $50$“ ist falsch, aber sehr beliebt bei Schülern. Denn „Die Fläche ist $50$“ kann bedeuten, dass die Fläche $50cm^{2}$ oder $50m^{2}$ groß ist. Eine von beiden Antworten ist garantiert falsch.

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Bezeichnet man die Länge zweier benachbarten Seiten eines Rechtecks mit $a$ und $b$, so lässt sich der Inhalt der Rechtecksfläche aus den Seitenlängen wie folgt berechnen:

$A=a\cdot b$

BM1808

Bild 1

Bild 2

Flächengleichheit

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Flächengleich heißen zwei Flächen mit folgenden Eigenschaften:

1.) Sie sind kongruent (Bild 1) oder

2.) sie lassen sich durch kongruente Teilflächen zu kongruenten Flächen ergänzen (Bild 2) oder

3.) sie können in paarweise kongruente Teilflächen zerlegt werden (Zerlegungsgleichheit) (Bild 3 - 6).

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Sind zwei Flächen $A_{1}$ und $A_{2}$ flächengleich, so haben sie gleichen Inhalt.

Wir schreiben: „$A_{1}=A_{2}$“

Bild 3: Tangram	Bild 4: Tangram
Bild 5: Tangram	Bild 6: Tangram

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Der Flächeninhalt einer Figur ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Teilfiguren, in die die Fläche zerlegt werden kann.

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Kongruente Figuren haben denselben Flächeninhalt.

BM1809

Bild 1

Bild 2

Flächeninhalt von Parallelogrammen

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Jede Parallelogrammfläche ist flächengleich einer Rechteckfläche, die als Seiten eine Seite und die zugehörige Höhe der Parallelogrammfläche hat.

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Der Abstand zweier ausgewählter paralleler Seiten eines Parallelogramms wird Höhe genannt.

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Bild 3

Beweis:

Wir wählen ein beliebiges Paralleogramm $ABCD$ mit der Grundseite ${\overline {AB}}$ und fällen von $A$ und $B$ die Lote auf die Gerade ${\overline {CD}}$.

Wir bezeichnen die Fußpunkte der Lote mit $F$ bzw. $E$. Nur der Punkt $E$ liege zwischen den Punkten $C$ und $D$. (Bild 3)

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Bild 4

Bild 5

Die Flächen $ABCD$ und $ABEF$ haben die Teilfläche $ABED$ gemeinsam (Bild 4): Die Teilfläche $BCE$ und $ADF$ sind kongruent. Die beiden Flächen $ABCD$ und $ABEF$ sind also flächengleich.

w.z.b.w.

BM1810

$ABCD$ ist ein Parallelogramm.

${\overline {FA}}\perp {\overline {AB}}$

${\overline {EB}}\perp {\overline {AB}}$

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Beweise, dass $\triangle ADF\cong \triangle BCE$

Lösung BM1810

${\overline {AD}}\cong {\overline {BC}}$ (gegenüberliegende Seiten an Parallelogrammen sind gleich lang; Beweis in Übung BM1767 in Lektion 086b) ${\overline {AF}}\cong {\overline {BE}}$ $\sphericalangle ADF\cong \sphericalangle BCE$ (Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen ${\overline {AD}}$ und ${\overline {BC}}$) $\sphericalangle AFD=\sphericalangle BEC=90^{\circ }$ (ein Lot ist rechtwinklig auf der Geraden, auf der es errichtet wird) Wegen der Winkelsummer im Dreieck (180°) ist der 3. Winkel in beiden Dreiecke auch kongruent. --- nach Kongruenzsatz (wsw) gilt: $\triangle ADF\cong \triangle BCE$ w.z.b.w.

BM1811 - BM1820

BM1811

Bild 1

Bild 2

Bild 3: Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt der Länge einer Grundseite $b$ mit der zugehörigen Höhe $h$.

Bezeichnet man die Länge der gewählten Grundseite eines Parallleogramms mit $g$ und die Länge der zugehörigen Höhe mit $h$, so lässt sich der Flächeninhalt des Parallelogramms wie folgt berechnen:

$A=g\cdot h$

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SATZ:

Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Länge einer Seite und der zugehörigen Höhe.

($A=g\cdot h$)

BM1812

Fläche eines Parallelogramms

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Der Schnitt entlang der Höhe eines Parallelogramms muss nicht zwingend als Lot an einem Eckpunkt gedacht werden.

Der senkrechte Schnitt kann auch recht willkürlich irgendwo zwischen den beiden Eckpunkten der Grundlinie erfolgen. Dann vertauscht man die rechte mit der linken Seite und erhält ebenfalls ein Rechteck, dessen Basisseite die Länge ${\overline {AB}}$ hat

${\overline {AB}}={\overline {FA}}+{\overline {FB}}$

Bild 1	Bild 2
Bild 3	Bild 4
Bild 5	Bild 6

BM1813

Bild 1

Bild 2

SATZ: Parallelogramme mit gleich langer Grundlinie und gleich langen Höhen auf diesen Seiten sind flächengleich.

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SATZ: Parallelogrammflächen, die in der Länge einer Seite und der zugehörigen Höhe übereinstimmen sind zerlegungsgleich. (Beweise diesen Satz!)

Lösung BM1813

Bild 1 Bild 2: gleichschenkliges Dreieck $BCE$ Bild 3: gleichschenklige Dreiecke $ADF$ und $BCE$ Beweisidee: Parallelogramm $ABCD$ und $ABEF$ mit $ABCD\cong ABEF$ --- 1. Fall: ${\overline {CD}}$ überlappt sich mit ${\overline {EF}}$ (in Mengenbegriffen ausgedrückt: $ABCD\cap ABEF\neq \emptyset$) $ABED$ ist Teilpolygon von $ABCD$ und $ABEF$ $\triangle ADF\cong \triangle BCE$ $ABCD$ und $ABEF$ sind zerlegungsgleich (Dreieck plus Teilpolygon) --- Bild 4 Bild 5 2. Fall: ${\overline {CD}}$ überlappt sich NICHT mit ${\overline {EF}}$ (in Mengenbegriffen ausgedrückt: $ABCD\cap ABEF=\emptyset$) Auf den Beweis wird hier verzichtet, da einige dazu erforderliche Grundlagen bis jetzt noch nicht erörtert wurden.

BM1814

Viereck (rot); Vierecksfläche (gelb)

Viereck

Vierecksfläche

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Als Viereck weden streng genommen nur die vier Begrenzungslinien bezeichnet. Davon zu unterscheiden ist die eingeschlossene Fläche, die als Vierecksfläche bezeichent wird.

Das gleich trift für andere geometrische Figuren zu:

Dreick - Dreiecksfläche

Rechteck - REchteckfläche

Trapez - Trapezfläche

Kreis - Kreisfläche

usw.

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In den folgenden Übungen, die sich mit der Berechnung des Flächeninhaltes von geometrischen Flächen (Dreieck, Trapez, usw.) befassen, wird diese strenge begriffliche Trennung teilweise aufgeweicht.

Um die Aussagen zu vereinfachen, wollen wir vereinbaren, in den folgenden Übungen an Stelle von „Parallelogrammfläche“, „Dreiecksfläche“ usw. kurz von „Parallelogramm“, „Dreieck“ usw. sprechen.

BM1815

Bild 1

Bild 2

Flächeninhalt von Dreiecken

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SATZ:

Jedes Dreieck ist flächengleich einem Rechteck mit einer Seite und der zugehörigen halben Höhe des Dreiecks als Rechteckseiten

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Beweise diesen Satz!

1. Lösung BM1815
Bild 3 Bild 4 Bild 5 Bild 5 Die folgenden Abbildungen sollten die Beweisführung etwas erleichtern.

2. Lösung BM1815

Bild 6 Bild 7 Beweis: Wir wählen ein beliebiges Dreieck $ABC$ mit der Grundseite ${\overline {AB}}$. Im Mittelpunkt der Seite ${\overline {AC}}$ bestimmen wir den Punkt $S_{1}$. Im Mittelpunkt der Seite ${\overline {BC}}$ bestimmen wir den Punkt $S_{2}$. Wir zeichnen eine Gerade $d$, die durch die Punkte $S_{1}$ und $S_{2}$ geht. Diese Gerade $d$ verläuft parallel zur Grundseite ${\overline {AB}}$. Der Abstand zwischen der Geraden $d$ und der Grundseite ${\overline {AB}}$ entspricht der halben Höhe des Dreiecks. Wir fällen von $A$, $B$ und $C$ die Lote auf $d$. Wir bezeichnen die Fußpunkte der Lote mit $D$, $E$ und $F$ sowie die Schnittpunkte der Parallelen mit dem Dreieck mit $S_{1}$ und $S_{2}$. --- Bild 8 Der Punkt $E$ liegt zwischen den Punkten $S_{1}$ und $S_{2}$, die ihrerseits zwischen den Punkten $D$ und $F$ liegen. Das Dreieck und das Rechteck haben die Teilflächen $ABS_{2}S_{1}$ gemeinsam. Aus $\triangle CS_{1}E\cong \triangle AS_{1}D$ und $\triangle CS_{2}E\cong \triangle BS_{2}F$ ergibt sich dann die Flächengleichheit des Dreiecks $ABC$ und des Rechtecks $ABFD$. w.z.b.w. $A=g\cdot {\tfrac {h}{2}}$

BM1816

SATZ:

Der Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus den Längen einer Seite und der zugehörigen Höhe.

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$A={\tfrac {g\cdot h}{2}}$

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A (Flächeninhalt)

g (Grundseite des Dreiecks)

h (zugehörige Höhe)

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Dreiecke mit gleich langen Grundseiten und gleich langen Höhen auf diesen Seiten sind flächengleich.

BM1817

Zusammenhang zwischen Dreieck und Parallelogramm.

Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt $F$ eines Dreiecks lautet

$F={\frac {a\cdot h}{2}},$

dabei ist $a$ die Grundseite und $h$ die darauf senkrecht stehende Höhe des Dreiecks.

Die Formel liefert die Hälfte des Inhalts eines Parallelogramms, denn jedes Dreieck kann mit einer gedrehten Kopie seiner selbst zu dem entsprechenden Parallelogramm ergänzt werden. Dessen Flächeninhalt lässt sich mittels Scherung auf den eines Rechtecks zurückführen. Ein anderer Ansatz ergibt sich, weil ein Dreieck immer als Spezialfall eines Trapez gesehen werden kann, bei dem die zweite Grundseite aus nur einem Punkt besteht.

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Bei rechtwinkligen Dreiecken fällt die Höhe mit einer Seite des Dreiecks zusammen.

Spezialfall: rechtwinkliges Dreieck:

Bei rechtwinkligen Dreiecken muss die Höhe nicht extra berechnet werden. Wenn die Länge der beiden Katheten bekannt ist, ergibt sich $F={\tfrac {a\cdot b}{2}}$.

BM1818

Flächeninhalte von Trapezen

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SATZ: Jedes Trapez ist flächengleich einem Rechteck mit der Mittellinie und der Höhe des Trapezes als Rechteckseiten.

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Wie kann man diesen Satz beweisen?

Bild 1	Bild 2
Bild 3	Bild 4
Bild 5	Bild 6

Lösung BM1818

Bild 7 Bild 8 Beweis: Wir wählen ein beliebiges Trapez $ABCD$ mit den Grundseiten ${\overline {AB}}$ und ${\overline {CD}}$. Die Seite ${\overline {AB}}$ sei länger als die Seite ${\overline {CD}}$. Wir fällen von den Mittelpunkten $E$ bzw. $F$ der Schenkel die Lote auf die Grundseiten bzw. deren Verlängerung und bezeichnen die Fußpunkte mit $G$ und $H$ bzw. $K$ und $L$. --- Bild 9 Die Flächen $ABCD$ und $GKLH$ haben die Teilfläche $GKFCDE$ gemeinsam. Aus $\triangle AGE\cong \triangle DHE$ und $\triangle BKF\cong \triangle CLF$ ergibt sich dann die Flächengleichheit der Trapez- und Rechtecksfläche. w.z.b.w.

BM1819

Bezeichnet man die Länge der Mittellinie im Trapez mit $m$ und die der Höhe mit $h$, so lässt sich der Inhalt der Trapezfläche nach dem vorhergehenden Satz wie folgt berechnen:

$A=m\cdot h$

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Da die Länge der Mittellinie in einem Trapez gleich der halben Stumme aus den Längen der Grundseiten ist, ergibt sich für den Inhalt des Trapezes mit den Grundseiten $a$ und $c$ folgende Beziehung:

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1.) $A=m\cdot h$

2.) $A={\tfrac {(a+c)}{2}}\cdot h$

3.) $A={\tfrac {(a+c)\cdot h}{2}}$ (Das ist die übliche Darstellungsform für die Flächengleichung am Trapez.)

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SATZ

Der Flächeninhalt $A$ eines Trapezes ist gleich dem halben Produkt aus der Summe der Längen der Grundseiten und der Länge der Höhe.

$A={\tfrac {(a+c)\cdot h}{2}}$

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Trapeze mit gleich langer Mittellinie und gleich langen Höhen sind flächengleich.

BM1820

Bild 1

Bild 2

Flächeninhalt von Vielecken

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Die Berechnung des Flächeninhalts eines beliebigen Vielecks kann entweder auf die Berechnung der Flächeninhalte von Dreiecken (Dreiecksmethode) oder auf dei Berechnung der Flächeninhalte von Dreiecken und Trapezen (Trapezmethode) zurückgeführt werden.

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Bild 3

Beispiel (Bild 3):

Der Flächeninhalt eines Siebenecks soll nach der Dreiecksmethode ermittelt werden.

Wir zerlegen das Siebeneck durch Diagonalen in die Dreiecke 1 bis 5, berechnen deren Flächeninhalte und bilden die Summe.

Ist $A$ der Flächeninhalt des Siebenecks sind $A_{1}$ bis $A_{5}$ die Flächeninhalte der Dreiecke 1 bis 5, so gilt:

$A=A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}+A_{5}$.

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Bild 4

Beispiel (Bild 4):

Der Flächeninhalt des Siebenecks soll nach der Trapezmethode ermittelt werden.

Wir zerlegen das Siebeneck durch eine geeignete Diagonale in zwei Teilflächen. Von den Eckpunkten des Siebenecks, die nicht Endpunkte der Diagonalen sind, fällen wir die Lote auf die Diagonale. Wir erhalten vier (rechtwinklige) Dreiecke und drei Trapeze. Ist $A$ der Flächeninhalt des Siebenecks und sind $A_{1}$ bis $A_{7}$ die Flächeninhalte 1 bis 7, so gilt:

$A=A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}+A_{5}+A_{6}+A_{7}$.

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In der Praxis wird die Trapezmethode häufig bevorzugt, da hiebei weniger Einzelmessungen erforderlich sind als bei der Dreiecksmethode.

BM1821 - BM1830

BM1821

Wie viele Punkte können ein Kreis und eine Gerade gemeinsam haben?

Welche unterschielichen Lagemöglichkeiten zwischen einem Kreis und einer Geraden gibt es?

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Bild 1: Kreis mit Tangente, Sekante und Passante

Bild 2: Tangente an einer Kurve

Tangente

Kreistangente

Sekante

Passante

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Tangente:

Eine Tangente (von lateinisch: tangere ‚berühren‘) ist in der Geometrie eine Gerade, die eine gegebene Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Beispielsweise ist die Schiene für das Rad eine Tangente, da der Auflagepunkt des Rades ein Berührungspunkt der beiden geometrischen Objekte, Gerade und Kreis, ist. Tangente und Kurve haben im Berührungspunkt die gleiche Richtung.

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Besonders einfach sind die Verhältnisse beim Kreis: Alle Geraden können bezüglich eines Kreises unterschieden werden in Sekanten, Tangenten und Passanten – je nachdem, ob sie mit dem Kreis zwei Punkte, einen oder gar keinen Punkt gemeinsam haben. Die Kreistangente trifft den Kreis also in genau einem Punkt. Sie steht dort senkrecht auf dem zu diesem Punkt gehörenden Berührungsradius.

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Bild 3

Eine Grundeigenschaft der Tangente ist es, dass sie orthogonal (im rechten Winkel) zu ihrem Berührungsradius verläuft, also zur Verbindungslinie zwischen dem Berührungspunkt und dem Kreismittelpunkt. Umgekehrt ist jede Gerade, die im Endpunkt eines Radius senkrecht auf diesem steht, auch eine Tangente des Kreises. Dies hängt damit zusammen, dass die Gerade, zu der der Radius gehört (wie jede Gerade durch den Mittelpunkt) Symmetrieachse des Kreises ist.

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Bild 4: Drei Lagen von Geraden zu einem Kreis: Sekante, Tangente, Passante

Bild 5: Sekante durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen

Sekante:

Das Wort Sekante (lateinisch: secare = „schneiden“) bezeichnet in der ebenen Geometrie eine Gerade, die durch zwei Punkte einer Kurve geht.

In der Elementargeometrie versteht man unter einer Sekante eine Gerade, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet. Eine Gerade, die genau einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam hat, heißt Tangente; eine Gerade, die keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat, heißt Passante. Eine Sekante, die durch den Mittelpunkt des Kreises geht, wird als Zentrale (Durchmesser) bezeichnet.

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Eine Gerade ist genau dann Sekante eines gegebenen Kreises, wenn der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden kleiner ist als der Radius des Kreises. Ist der Abstand gleich dem Radius, so handelt es sich um eine Tangente; ist er größer als der Radius, so handelt es sich um eine Passante.

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Der Abschnitt der Sekante, der innerhalb des Kreises liegt, heißt Sehne. Die längsten Sehnen eines Kreises sind diejenigen, die durch den Kreismittelpunkt gehen. Diese und auch ihre Längen werden als Durchmesser des Kreises bezeichnet.

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Eine Tangenten stellt in gewisser Weise den Grenzfall zwischen Sekanten und Passanten dar.

BM1822

Was zeichnet eine Tangente von anderen Geraden aus?

Lösung BM1822
Die Tangente berührt den Kreis in einem einzigen Punkt.

BM1823

Bild 1

Besitzt eine Gerade mit dem Kreis $k$ genau einen gemeinsamen Punkt $A$, dann heißt die Gerade Tangente. Der Punkt $A$ heißt Berührungspunkt.

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Bild 2

Beweise den folgenden Satz:

Der Radius im Punkt $A$ steht rechtwinklig zur Tangente im Punkt $A$.

(Ein Radius steht im Berührungspunkt senkrecht auf einer Tangente.)

Lösung BM1823

Bild 3 Bild 4 Voraussetzung: Wir haben den Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$. Auf dem Kreis $k$ wählen wir einen Punkt $A$ und verbinden den Punkt $A$ mit dem Punkt $M$. Die Strecke ${\overline {MA}}$ ist der Radius $r$ des Kreises. Der Kreis $k$ und die Gerade $t$ haben den Punkt $A$ gemeinsam. --- Annahme: Wir nehmen an, dass es einen weiteren Punkt $B$ gibt, den der Kreis $k$ und die Gerade $t$ gemeinsam haben. --- Nun betrachten wir das rechtwinklige Dreieck $MAB$. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der rechte Winkel der größte (Winkelsumme: zwei rechte Winkel). Folglich liegt dem rechten Winkel auch die längste Seite gegenüber, das ist ${\overline {MB}}$. ${\overline {MB}}$ ist also größer als ${\overline {MA}}$. ${\overline {MA}}$ ist aber der Keisradius $r$. Das widerspricht aber der Annahme, dass $B$ auf dem Kreis $k$ liegt. --- Mit anderen Worten: Würde $B$ auf $k$ liegen, dann wäre ${\overline {MB}}={\overline {MA}}$, aber nicht ${\overline {MB}}>{\overline {MA}}$ Aus de Annahme, dass $k$ und $t$ den Punkt $B$ gemeinsam haben, haben wir einen Widerspruch hergeleitet. Damit haben wir bewiesen, dass die Tangente den Kreis nur in einem einzigen Punkt ($A$) berührt. --- Damit haben wir aber noch nicht bewiesen, dass die Tangente rechtwinklig auf dem Radius steht. Bei unserem bisherigen Beweis sind wir sogar stillschweigend davon ausgegangen, dass der Winkel zwischen der Tangente und dem Radius $90^{\circ }$ beträgt. Wir setzen den Beweis also fort: Wir definieren im letzten Schritt eine Gerade, die in einem Kreispunkt auf dem zugehörigen Kreisradius senkrecht steht, als Tangente. --- Nun ergibt sich die zusätzlich Frage, ob es im Punkt $A$ neben der rechtwinklig auf dem Radius stehenden Tangent nicht auch weitere Geraden geben kann, die den Kreis tangential im Punkt $A$ berühren, aber nicht rechtwinklig zur Radius stehen. Mit anderen Worten, ab es durch einen Punkt $A$ auf $k$ mehrere Geraden gehen kann, abgesehen von der rechtwinkig zu $r$ stehenden Geraden, die wir als Tangente definiert haben. --- Der Beweis ist nicht vollständig und nicht befriedigend. In den nächsten Übungen gegen wir weiteren Beweisen zu Kreistangenten nach.

BM1824

SATZ über die Konstruktion von Tangenten:

Wenn $t$ eine Gerade ist, die durch den Punkt $A$ von $k$ geht und senkrecht auf dem Radius ${\overline {MA}}$ steht, dann ist $t$ eine Tangente von $k$.

---

Beweis:

$t$ sei die Gerade durch $A$, die senkrecht zu $MA$ steht. Wir nehmen an, dass $t$ den Kreis $k$ in einem weiteren Punkt $B$ ($B\neq A$) schneidet.

Wegen ${\overline {MA}}=r={\overline {MB}}$ ist das Dreieck MAB ein gleichschenkliges Dreieck.

Also sind die Basiswinkel kongruent. Da aber der Basiswinkel $MAB$ nach Voraussetzung („ ... und senkrecht auf dem Radius ${\overline {MA}}$ steht ... “) ein rechter Winkel ist, muss auch der Winkel MBA ein rechter Winkel sein. Das ist ein Widerspruch, da die Winkelsumme im Dreieck $180^{\circ }$ ist.

BM1825

Bild 1

SATZ von der Eindeutigkeit von Tangenten:

Wenn $t$ eine Tangent ist, die $k$ in dem Punkt $A$ berührt, dann steht $t$ senkrecht auf dem Radius ${\overline {MA}}$.

---

Beweis:

$t$ sei eine Tangente, die $k$ in dem Punkt $A$ berührt.

$F$ sei der Fußpunkt des Lots von $M$ auf $t$.

a) Falls $F=A$, dann ist damit der Beweis erbracht.

(Es existiert ein Lot von $M$ auf $t$, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf $k$ heiße $F$.)

---

Zur Erinnerung nochmals die Definition der Tangente:

„Tangente eines Kreises ist jede Gerade, die mit dem Kreis genau einen Punkt gemeinsam hat.“

---

Bild 2

Bild 3

Fortsetzung des Beweises:

b) Wir nehmen als zweite Möglichkeit an, dass $F\neq A$ ist.

Dann gibt es zu $A$ und noch einen Punkt $C$ ($A\neq C$) auf $t$, so dass $F$ der Mittelpunkt von ${\overline {AC}}$ ist. (Es existiert genau ein Punkt $C$ für den gilt, dass ${\overline {AF}}={\overline {FC}}$.) Dann ist ${\overline {MF}}$ das Mittellot von $A$ und $C$ und es gilt:

$\sphericalangle MFA=\sphericalangle MFC=90^{\circ }$, woraus folgt:

$\triangle MFA=\triangle MFC$

Somit ist nach der Dreieckskongruenz und aus ${\overline {MA}}={\overline {MC}}=r$

Also liegt $C$ auf $k$. Daher würde $t$ zwei Punkte von $k$ enthalten, was ein Widerspruch zur Definition einer Tangente ist.

---

Hast du das verstanden?

Lösung BM1825
Nein!? Das macht nichts.

BM1826

Tangente am Kreis

---

Wir fassen zusammen

$\ t\cap k=\lbrace A\rbrace \Rightarrow {\overline {MA}}\perp \ t$

Voraussetzung: $\ t\cap k=\lbrace A\rbrace$

Behauptung: $MA\perp \ t$

---

Der Beweis erfolgte in der vorhergehenden Übung durch Widerspruchsbeweis, indem ein Widerspruch zur gegensätzlichen Annahme ($\ MA\not \perp \ t$) gezeigt wurde.

BM1827

Bild 1

Umgekehr gilt auch:

Jeder Punkt von $k$ liegt auf einer eindeutig bestimmten Tangente.

Darsu folgt: Ein Kreis hat unendlich viele Tangenten.

---

Der Radius ist die kürzeste Verbindung von $M$ zum Berührungspunkt einer Tangente.

---

Eine Tangente enthält keinen Punkt aus dem Inneren des Kreises. (Denn das wäre dann eine Sekante. Und eine Sekante berührt den Kreis schon in zwei Punkten.)

---

Kann eine Sekante den Kreis in drei Punkten berühren?

1. Lösung BM1827
NEIN ! --- Und ein Tangente? Kann eine Tangente den Kreis in drei Punkten berühren?

2. Lösung BM1827
NEIN ! --- Wie heißt eine Gerade, die einen Kreis in drei Punkten berührt?

3. Lösung BM1827
Bild 3 Solch eine Gerade gibt es nicht. Das ist unmöglich. Nur eine gebogene Kurve kann einen Kreis in drei Punkten berühren, aber nicht eine Gerade. Nicht einmal eine gebogene Kurve kann einen Kreis drei mal berühren. Warum das?

BM1828

Bild 1

Wir haben bisher bewiesen, dass es durch einen Punkt $A$ auf $k$ nur eine einzige Tangente geben kann (im rechten Winkel zum Radius).

Trotzdem stellt sich immer noch die Frage, ob es durch $A$ nicht weitere Geraden geben kann, die zwar keine Tangenten sind aber trotzdem den Kreis nur in $A$ berühren, die also nicht Sekanten sind, die den Kreis in zwei Punkten berühren.

---

Was sagst du dazu?

Lösung BM1828

Bild 2 Das haben wir doch gerade weiter oben in der Übung BM1825 bewiesen mit dem SATZ von der Eindeutigkeit von Tangenten: Wenn $t$ eine Tangent ist, die $k$ in dem Punkt $A$ berührt, dann steht $t$ senkrecht auf dem Radius ${\overline {MA}}$. Daraus folgt doch zwingend, dass es in EINEM Punkt des Kreises nur EINE EINZIGE Tangente geben kann und nicht zwei oder drei. Wir haben bewiesen, dass die Tangente senkrecht auf dem Radius steht und es gibt nur ein einziges „senkrecht“ gibt. Noch mal zur Erinnerung: Als Tangente werden Geraden bezeichnen, die den Kreis nur in einem einzigen Punkt berühren. Die Definition lautet nicht, dass Tangenten senkrecht auf dem Radius stehen. Das ist erst ein bewiesene Folgerung daraus. --- Noch mal zum Mitschreiben: Eine Gerade, die einen Kreis in einem einzigen Punkt berührt, steht senkrecht auf dem Radius in diesem Punkt. In genau diesem Punkt gibt es nur eine einzige Möglichkeit, wie diese Gerade liegen kann, um genau und ausschließlich durch diesen einen (und nicht durch zwei) Punkte zu gehen. --- Bild 3 Bild 4 Der Radius (Speiche) steht senkrecht auf der Tangente (Schiene). Wenn die Schiene nach rechts ansteigen würde und man das Rad NICHT dreht, dann kann das Rad die Schiene nicht am gleichen Punkt berühren, wie bei einer horizontalen Schiene. Das gilt auch, wenn die Schiene nach links ansteigen würde. Je weiter sich die ansteigende Schiene der Horizontalen annähert, desto näher rückt der Auflagepunkt des Kreises (des Rades) an den Auflagepunkt in der Hoizontalen.

BM1829

Eine Gerade, die mit einem Kreis genau einen Punkt gemeinsam hat, ist Lot zum Kreisradius durch diesen Punkt.

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Stimmt das?

Lösung BM1829
Ja. Darüber haben wir doch die ganze Zeit gesprochen.

BM1830

Wie heißen Geraden, die einen Kreis

a) 1x berühren

b) 2x berühren

c) gar nicht berühren?

1. Lösung BM1830
a) 1x berühren: Tangente b) 2x berühren: Sekante (Sehne) c) gar nicht berühren: Passante --- In welchem Verhältnis stehen Durchmesser und Sekante zueinander? (Beide haben zwei Schnittpunkte mit dem Kreis)

2. Lösung BM1830
Der Durchmesser ist eine Sekante, die durch den Mittelpunkt geht.

BM1831 - BM1840

BM1831

Fünfeck

Viereck

Dreieck

Zweieck

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Kann es eine Fläche geben, die nur von zwei Geraden und zwei Ecken begrenzt wird?

Lösung BM1831

Kugelzweieck Zweiecke für einen Globus von Martin Waldseemüller (um 1470–1522) Zweieck --- Ein Kugelzweieck, auch sphärisches Zweieck, Kugelzweiseit, Zwickel oder nur Zweieck genannt, ist in der sphärischen Geometrie (Kugelgeometrie) eine Punktmenge auf einer Kugel, die von zwei Großkreisen] begrenzt wird. Auf der Erdkugel bildet zum Beispiel die von zwei Meridianen eingeschlossene Fläche ein Kugelzweieck, wobei Nord- und Südpol der Erde die Ecken sind. Das von einem Kugelzweieck eingeschlossene Volumen ist ein Kugelkeil. Die beiden Ecken eines beliebigen Kugelzweiecks liegen auf der Kugeloberfläche genau gegenüber. Die Seitenlängen betragen jeweils 180° bzw. den halben Umfang eines Großkreises. Die beiden Innenwinkel sind gleich groß.

BM1832

Eineck

---

Kann es eine Fläche geben, die nur von einer Geraden und einer Ecke begrenzt wird?

Lösung BM1832

Eineck (Ein Scherzartikel aus der Stupidedia) Eineck --- Als Eineck wird ein zweidimensionales Gebilde bezeichnet, welches nur eine Ecke hat. Damit unterscheidet es sich von anderen geometrischen Objekten wie Dreiecken (mit 3 Ecken), oder Kreisen (keine Ecke). --- Vorkommen in der Natur: Durch seine geringen Ausmaße ist das Eineck relativ einfach auf Gegenstände anzuwenden und wird daher in vielerlei Bereichen verwendet und angetroffen. So benutzen Profiradfahrer der Tour Dè France traditionell eineckige Sturzhelme, um den Widerstand beim Aufprall so gering wie möglich zu halten. In der Natur findet man dreidimensionale eineckige Körper in Form von Regentropfen, da nur durch diese Gestalt ein derart geringer Luftwiderstand (CW-Wert) erreicht wird, dass die Wassertropfen beim Fall durch die Atmosphäre nicht verbrennen. Weitere Einecke wurden 1948 von Ureinwohnern der Marshallinseln im Bikini-Atoll beschrieben. So hatten alle dort angetroffenen Fische eine Körpergestalt in der Form zweier gleichseitig zusammengefügter Einecke angenommen, was auf biologische Experimente der USA zurückgeführt werden konnte. Leider hatten diese neuartigen Züchtungen nahezu alle vorher heimisch gewordenen Arten verdrängt. --- Eineckiger Kreis: Eine Sondergattung des Einecks bildet der eineckige Kreis (eineckiger Kreis). Die bekannteste Form des eineckigen Kreises ist das Hütchen aus dem Brettspiel "Fang den Hut". Hier handelt es sich in der Tat um einen kreisrunden Kreis mit genau einer Ecke. Auf diese Weise sind sogar zweieckige Kreise vorstellbar: Etwa, wenn man zwei Hütchen mit der Kreisfläche aneinander klebt oder wenn man die richtige Bojenart aus dem Meer zieht. Eineckige Kreise sind somit allerdings nur teilweise zweidimensional. Die Ecke des Kreises befindet sich in einer anderen Dimension, an der Unterfläche der Oberfläche. --- (Fuente/Quelle: Stupipedia:Eineck) (Fuente/Veröffentlicht unter der Lizenz: GNU Free Documentation License 1.2.)

BM1833

Es gibt ein Dreieck, bei dem alle drei Winkel jeweils 90° groß sind.

Wie geht das?

Lösung BM1833

rechtwinkliges Kugeldreieck (jede der drei Ecken ist 90° groß) Kugeldreieck Kugeldreieck --- Ein Kugeldreieck oder sphärisches Dreieck ist in der sphärischen Geometrie (Kugelgeometrie) ein Teil einer Kugeloberfläche, der von drei Großkreisbögen[1] begrenzt wird. Als Ecken des Kugeldreiecks werden die Punkte bezeichnet, in denen je zwei dieser Großkreise einander schneiden. --- Ähnlich wie bei Dreiecken in der ebenen Geometrie spricht man von den Seiten und Winkeln eines Dreiecks. Allerdings versteht man unter der Länge einer Seite nicht die Länge des Kreisbogens, sondern den zugehörigen Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel). Im Bogenmaß ist der Wert dieses Winkels genau die Länge des Kreisbogens geteilt durch den Radius der Kugel: ${\text{Winkel}}={\frac {\text{Kreisbogen}}{\text{Radius}}}$

BM1834

Schrägspiegelung

Schrägspiegelung

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Die Schrägspiegelung ist der Achsenspiegelung sehr ähnlich. Der Unterschied zur Achsenspiegelung besteht darin, dass bei der Schrägspiegelung ein Punkt nicht unbedingt rechtwinklig, sondern in einer (z. B. durch einen Winkel) vorgegebenen Richtung an der Achse gespiegelt wird. Dies führt im Allgemeinen dazu, dass geometrische Figuren nach der Spiegelung verzerrt wirken.

Die Fixpunkte der Schrägspiegelung liegen, genau wie bei der Achsenspiegelung, auf der Spiegelachse, welche somit eine - und zwar die einzige - Fixpunktgerade ist. Weiters sind alle zum gegebenen Richtungsvektor parallelen Geraden Fixgerade.

Schrägspieglungen sind geraden- und flächentreu, aber (bei einem Winkel ≠ 90°) weder winkel- noch längentreu, abero flächentreu, aber i. A. keine Kongruenzabbildungen. Die Bilder von Kreisen, Rechtecken und Quadraten unter einer Schrägspiegelung sind im Allgemeinen nicht wieder Kreise, Rechtecke und Quadrate, sondern Ellipsen und Parallelogramme.

Auch die gewöhnlichen Achsenspiegelungen gehören als Sonderfall (Winkel 90°) zu den Schrägspiegelungen.

Schrägspiegelungen gibt es auch im dreidimensionalen Raum und in höherdimensionalen Räumen.

BM1835

Bild 1

Kannst du das Muster erkennen?

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Was muss im 6. Kästchen stehen, wenn es nicht die „6“ ist?

(Versuche um die Ecke zu denken!)

Lösung BM1835
Bild 2 Das ist die Beschriftung einer Gangschaltung. Im 6. Kästchen steht „R“ für Rückwärtsgang (engl: reverse).

BM1836

Division mit Rest - bei Natürliche Zahlen

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Wenn zwei natürliche Zahlen, der Dividend $a$ und der Divisor $b$ (ungleich 0), mit Rest dividiert werden sollen, wenn also

$a:b$

berechnet werden soll, so wird gefragt, wie man die Zahl $a$ als Vielfaches von $b$ und einem „kleinen Rest“ darstellen kann:

$a=b\cdot c+r$

Hier ist $c$ der so genannte Ganzzahlquotient und $r$ der Rest.

Entscheidende Nebenbedingung ist, dass $r$ eine Zahl in $\{0,1,\dotsc ,b-1\}$ ist. Hierdurch wird $r$ eindeutig bestimmt.

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1. Beispiel:

$a:b$

$14:4$

$14:4=3$ (Rest 2)

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$a=b\cdot c+r$

$14=4\cdot 3+3$

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2. Beispiel:

$a:b$

$7:2$

$7:2=3$ (Rest 1)

---

$a=b\cdot c+r$

$7=2\cdot 3+1$

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Der Rest ist also die Differenz zwischen dem Dividenden und dem größten Vielfachen des Divisors, das höchstens so groß ist wie der Dividend. Ein Rest ungleich 0 ergibt sich folglich genau dann, wenn der Dividend kein Vielfaches des Divisors ist. Man sagt auch: Der Dividend ist nicht durch den Divisor teilbar, weshalb ein Rest übrigbleibt.

Liegt der Divisor fest, so spricht man beispielsweise auch vom Neunerrest einer Zahl, also dem Rest, der sich bei Division dieser Zahl durch neun ergibt.

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Beispiele:

• 7 : 3 = 2, Rest 1, da 7 = 3 × 2 + 1 („drei passt zweimal in sieben und es bleibt eins übrig“ – der Rest ist also eins)
• 2 : 3 = 0, Rest 2, da 2 = 3 × 0 + 2
• 3 : 3 = 1, Rest 0, da 3 = 3 × 1 + 0

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Bestimmung des Restes für spezielle Teiler:

Häufig kann man den Rest an der Dezimaldarstellung ablesen:

• Bei Division durch 2: Der Rest ist 1, wenn die letzte Ziffer ungerade ist, bzw. 0, wenn die letzte Ziffer gerade ist.
• Bei Division durch 3: Der Rest ist gleich dem Rest, den die iterierte Quersumme bei Division durch 3 lässt.
• Bei Division durch 5: Der Rest ist gleich dem Rest, den die letzte Ziffer bei Division durch 5 lässt.
• Bei Division durch 9: Der Rest ist gleich dem Rest, den die iterierte Quersumme bei Division durch 9 lässt.
• Bei Division durch 10: Der Rest ist die letzte Ziffer.

Ähnliche, wenn auch etwas kompliziertere Regeln existieren für etliche weitere Teiler.

BM1837

Modulo

Symbol: „%“ (das Prozentzeichen) oder „mod“

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Modulo berechnet den Rest $c$ der Division $a$ geteilt durch $b$.

$a:b=c$ (Rest r)

$a\%b=r$

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1. Beispiel:

$14:4$

$14:4=3$ (Rest 2)

$14\%4=2$

---

2. Beispiel:

$7:2$

$7:2=3$ (Rest 1)

$7\%2=1$

---

In Programmiersprachen wird bei der Division im ganzzahligen Bereich, die Nachkommastelle einfach weggeschnitten und fällt unter den Tisch.

3.) Beispiel:

$15:4$

$15:4=3$

$15\%4=3$

---

Modulo (%) gibt uns also den Rest an, der bei der (ganzzahligen) Division weggefallen ist.

_--

Praktische Anwendung kann die Modulo-Operation bei Rechnungen mit Uhrzeiten und Winkel finden.

Nach 3,5 Tagen haben wir die gleiche Uhrzeit wie nach einem halben Tag.

Nach 210 Minuten steht der Minutenzeiger auf der gleichen Minute wie nach 30 Minuten.

BM1838

Für die gegenseitige Lage von Punkten und Geraden einer Ebene gilt:

Entweder:

Der Punkt A liegt auf der Geraden a (oder a geht durch A).

oder

A liegt nicht auf a (oder a geht nicht durch A)

---

Durch zwei verschiedene Punkte A und B geht genau eine Gerade.

Die Gerade AB geht sowohl durch A als auch durch B. (Verbindungsgerade)

Der Punkt A liegt sowohl auf a als auch auf b. (Schnittpunkt zweier Geraden)

---

Für die gegenseitige Lage von zwei Geraden einer Ebene gilt:

a schneidet b: a und b sind verschiedene Geraden, die genau einen Punkt gemeinsam haben (den Schnittpunkt).

a ist parallel b: a und b sind verschiedene Geraden, die keinen Punkt gemeinsam haben (Falls beide geraden aufeinander liegen: a und b fallen zusammen.)

---

Wenn eine Gerade a und ein Punkt A gegeben sind, so gibt es durch diesn Punkt A eine und nur eine Gerade, die zu a parallel ist.

---

Die Richtung einer Geraden:

Richtung a heißt die Richtung aller Geraden, die zu einer gegebenen Geraden a parallel sind.

Jede Gerade legt genau eine Richtung fest.

a und b haben die gleiche Richtung genau dann, wenn sie zueinander parallel sind.

a und b haben verschiedene Richtungen genau dann, wenn sie einander schneiden.

---

Geradenbüschel:

Durch einen Punkt kann man beliebig viele Geraden zeichnen, die in ein und derselben Ebene liegen.

Die Menge aller Geraden, die in ein und derselben Ebene liegen und durch einen gemeinsamen Punkt gehen, heißt Geradenbüschel

---

Orientierte Gerade:

Wenn festgelegt wird, welcher von den verschiedenen Punkten A und B einer gegebenen Geraden AB vor dem anderen liegt, so heißt die Gerade orientiert.

„A liegt vor B“ und „B liegt vor A“ heißen einander entgegengesetzte Orientierungen. Die Orientierung kann durch eine Pfeilspitze veranschaulicht werden.

BM1839

Strahlen

Jeder Punkt A einer Geraden a zerlegt diese Gerade in zwei Strahlen.

Strahlen werden durch kleine lateinische Buchstaben bezeichnet.

Man kann zur Bezeichnung auch den Punkt A und einen weiteren Punkt des Strahls heranziehen.

Den Punkt A eines Strahls AB nennt man seinen Anfangspunkt. Er liegt vor allen anderen Punkten des Strahls. Somit legt legt jeder Strahl einen Richtungssinn fest.

---

Lagemöglichkeiten zweier Strahlen:

1.) verschiedene Richtungen der Strahlen (gemeinsamer oder unterschiedlicher Anfangspunkt)

2.) gleiche Richtung

a) gleicher Richtungssinn (Strahlen verlaufen parallel oder fallen sogar zusammen)

c) entgegengesetzter Richtungssinn (Strahlen verlaufen parallel oder fallen sogar zusammen)

---

Strahlen, die auf parallelen Geraden liegen, nennt man zueinander parallel.

Strahlen, die zueinander parallel sind und nur diese, haben entweder gleichen oder entgegengesetzten Richtungssinn.

---

Halbebenen:

Jede Gerade g einer Ebene zerlegt diese Ebene in zwei Halbebenen. Die Punkte der Geraden g gehören weder zu der einen noch zu der anderen Halbebene.

---

Winkel:

Ein Paar Strahlen a und b, die denselben Anfangspunkt haben, bilden einen Winkel.

Die Strahlen a und b heißen die Schenkel, der gemeinsame Anfangspunkt beider Strahlen heißt der Scheitel des Winkels.

---

gestreckter Winkel:

Bei gestreckten Winkel sind die beiden Schenkel verschiedene Strahlen auf ein und derselben Geraden.

Nullwinkel:

Beim Nullwinkel fallen die beiden Schenkel zusammen.

Jeder Winkel, der nicht Nullwinkel ist, teilt die übrigen Punkte der Ebene in genau zwei Teilmengen ein. Wobei die Punkte, die auf den Schenkel liegen, nicht zu den beiden Teilmengen gehören. Von den beiden Teilmengen sagt man, dass die Punkte der einen Teilmenge innerhalb des Winkels liegen (diese wird durch einen Bogen gekennzeichnet), während die Punkte der anderen Teilmenge außerhalb des Winkels liegen.

---

Die Orientierung eines Winkels kann durch einen Kreisbogen mit Pfeilspitze gekennzeichnet werden.

Erfolgt die Orientierung eines Winkels so, dass der Kreisbogen mit der Pfeilspitze den entgegengesetzten Drehsinn eines Uhrzeigers angibt, so heißt der Winkel positiv orientiert, andernfalls ist er negativ orientiert.

BM1840

Bild 1: Geodreieck

Bild 2: Zeichendreiecke

Bild 3: Zeichendreiecke

Zeichnen mit speziellen Winkeln

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Ein Geodreick ist ein gleichschenkliges Dreieck mit den Winkel:

90°; 45° und 45°

---

Bild 2: Ein weiteres gebräuchliches (weit verbreitetes) Zeichendreieck hat die Winkel:

90°; 60° und 30°

---

Durch die Kombination beider Dreieck kann man auf die Schnelle eine große Anzahl spezieller Winkel zeichnen.

---

Wie viel verschiedene Winkel kann man zeichnen, wenn man von jedem dieser Dreiecke zwei Stück habe?

1. Lösung BM1840

Bild 4 Bild 5 Bild 6 90 + 30 = 120 90 + 60 = 150 90 + 45 = 125 60 + 60 = 120 90 + 30 + 30 = 150 90 + 60 + 60 = 210 (Das ergibt auf der anderen Seite des Winkels 150°.) 90 + 30 + 60 = 180 (Das ginge mit einem Lineal einfacher, dazu brauchen wir nicht drei Dreiecke.) 90 + 45 + 30 = 165 90 + 45 + 60 = 195 (Das ergibt auf der anderen Seite des Winkels 165°.) 90 + 45 + 30 + 30 = 195 90 + 45 + 30 + 60 = 225 (Das ergibt auf der anderen Seite des Winkels 135°.) 90 + 45 + 60 + 60 = 255 (Das ergibt auf der anderen Seite des Winkels 105°.) 90 + 45 + 45 = 180 (Das ginge mit einem Lineal einfacher, dazu brauchen wir nicht drei Dreiecke.) 45 + 30 + 30 = 105° 45 + 30 + 60 = 125 45 + 60 + 60 = 165 --- Man kann also folgende unterschiedliche Winkel zeichnen: 105 120 125 150 165 195 210 225 --- Übrigens kann man die Dreiecke auch mehrmals anlegen. So bräuchte man von jeder Sorte jeweils nur ein Dreieck. --- Was haben wir noch vergessen?

2. Lösung BM1840

Bild 7 Die Subtraktion haben wir noch vergessen. Von allen Winkel, die wir durch Addition erhalten, können wir die diese durch Subtraktion abziehen. --- 90 - 45 = 45 (Das macht natürlich keinen Sinn, denn das können wir auch mit einem Dreieck erreichen.) 90 - 60 = 30 (Das macht auch keinen Sinn, denn das können wir auch mit einem Dreieck erreichen.) 90 - 30 = 60 (Das macht auch keinen Sinn, denn das können wir auch mit einem Dreieck erreichen.) --- Aber jetzt kommen die nützlichen Sachen: 45 - 30 = 15 60 - 45 = 15 --- Wir können also alle 15° einen Winkel zeichnen: 15 30 45 60 75 (60 + 15) 90 105 120 135 150 165 180 (gerade Linie) 195 210 225 240 (225 + 15) 255 270 285 300 315 330 345 360 (Vollkreis oder Nullwinkel)

BM1841 - BM1850

BM1841

senkrecht

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Zwei Geraden heißen zueinander senkrecht genau dann, wenn sie sich unter einem rechten Winkel schneiden.

Jede von zwei senkrecht aufeinander stehenden Geraden heißt eine Senkrechte der anderen.

Durch jeden Punkt einer Geraden gibt es eine und nur eine Gerade der Ebene, die senkrecht auf der gegebenen Geraden steht.

---

Lot

Als Lot von einem Punkt A auf eine Gerade a bezeichnet man diejenige Gerade, die durch A geht und senkrecht auf a steht. (Dabei wird vorausgesetzt, dass A nicht ein Punkt der Geraden a ist.)

Von jedem Punkt gibt es auf jede Gerade, die nicht durch diesen Punkt geht, ein und nur ein Lot.

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Geometrische Abbildungen

Werden den Punkten einer Punktmenge $M_{1}$ durch eine gewisse Vorschrift Punkte einer Punktmenge $M_{2}$ zugeordnet, so sagen wir, dass $M_{1}$ in $M_{2}$ abgebildet wird. Bei geometrischen Abbildungen unterscheiden wir Original und Bild.

---

Eindeutige Abbildung:

Jedem Originalpunkt wird ein und nur ein Bildpunkt zugeordnet. Zu jedem Bildpunkt gehört ein und nur ein Originalpunkt.

(„eineindeutig“ wird auf mit dem Wort „ein und nur ein“ beschrieben)

Jede eineindeutige Abbildung ist auch eindeutig. (eineindeutig: in beide Richtungen; hin und zurück); (eindeutig: in eine Richtung)

„Eineindeutige Abbildungen“ heißen auch „umkehrbar eindeutige Abbildungen“.

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Drehungen um einen Punkt mit dem Drehwinkel von 180° werden Punktspiegelung genannt.

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Jede Spiegelung an einer Geraden ist durch die Angabe zweier Punkte dieser Geraden eindeutig bestimmt.

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Zwei Strecken sind kongruent genau dann, wenn sie gleich lang sind.

Zwei Winkel sind kongruent genau dann, wenn sie gleich groß sind.

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Winkelhalbierende

Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat von den Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand.

Jeder Punkt innerhalb eines Winkels, der von den Schenkeln des Winkels gleichen Abstand hat, liegt auf der Winkelhalbierenden des Winkels.

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Symmetrie:

Figuren heißen symmetrisch##, wenn es eine Bewegung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird. Dabei ist die Identität ausgeschlossen.

axiale Symmetrie:

Eine Figur heißt axialsymmetrisch, wenn es eine Spiegelung an einer Geraden gibt, bei der die Figur auf sich selber abgebildet wird.

Diese Gerade heißt Symmetrieachse oder Spiegelungsachse.

Jede Strecke ist axialsymmetrisch. Symmetrieachse ist die Mittelsenkrechte der Strecke.

Jeder vom Nullwinkel verschiedene Winkel ist axialsymmetrisch. Symmetrieachse ist die Gerade, auf der die Winkelhalbierende des Winkels liegt.

Jede Gerde ist axialsymmetrisch. Symmetrieachsen sind alle Geraden, die senkrecht auf der gegebenen Geraden stehen. Strahlen sind nicht axialsymmetrisch.

---

Radiale Symmetrie:

Bei der radialen Symmetrie ist eine Drehung um einen Punkt diejenige Bewegung, die eine Figur auf sich selbst abbildet. Wenn diese Drehung speziell um einen Drehwinkel von 180° erfolgt, so nennt man die Figur zentralsymmetrisch oder punktsymmetrisch.

Der Kreis ist eine axialsymmetrische Figur. Er hat unbegrenzt viele Symmetrieachsen.

Ein Kreis ist auch eine radialsymmetrische Figur, denn jede Drehung um seinen Mittelpunkt M bildet den Kreis auf sich selber ab.

Der Kreis ist damit auch eine zentralsymmetrische Figur, denn wenn jede Drehung um den Punkt M den Kreis auf sich selber abbildet, so bildet auch die Drehung um 180° den Kreis auf sich selber ab.

BM1842

Nebenwinkel:

Nebenwinkel haben den Scheitel und einen Schenkel gemeinsam. Die beiden anderen Schenkel der Winkel liegen auf einer Geraden

---

Scheitelwinkel:

Scheitelwinkel haben den Scheitel gemeinsam. Die Schenkel bilden paarweise eine Gerade. Scheitelwinkel sind kongruent. Sind zwei Winkel Scheitelwinkel, so ist der eine das Bild des anderen bei einer Drehung um 180°.

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Stufenwinkel:

Stufenwinkel treten auf, wenn zwei Geraden von einer dritten geschnitten werden. Dabei darf die dritte Gerade nicht durch den Schnittpunkt der beiden Geraden (erste und zweite Gerade) gehen.

Sind zwei Winkel Stufenwinkel und sind die geschnittenen Geraden (erste und zweite Gerade) zueinander parallel, so sind die beiden Winkel kongruent.

Sind zwei Winkel Stufenwinkel und sind die beiden Winkel kongruent, so sind die geschnittenen Geraden parallel zueinander.

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Wechselwinkel:

Wechselwinkel treten auf, wenn zwei Geraden von einer dritten geschnitten werden. Dabei darf die dritte Gerade nicht durch den Schnittpunkt der beiden Geraden (erste und zweite Gerade) gehen.

Sind zwei Winkel Wechselwinkel und sind die geschnittenen Geraden (erste und zweite Gerade) zueinander parallel, so sind die beiden Winkel kongruent.

Sind zwei Winkel Wechselwinkel und sind die beiden Winkel kongruent, so sind die geschnittenen Geraden parallel zueinander.

BM1843

Unter einem Dreieck verstehen wir eine Figur, die von drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkten und deren Verbindungsstrecken gebildet wird.

Die Seiten und Winkel eines Dreiecks heißen auch seine Stücke. Bezüglich eines Dreiecks unterscheiden wir:

• Punkte innerhalb des Dreiecks,
• Punkte auf dem Dreieck,
• Punkte außerhalb des Dreiecks.

Die Menge aller Punkte der Ebene, die entweder innerhalb oder auf einem Dreieck liegen, nennt man die dem Dreieck zugehörige Dreiecksfläche. Zuweilen wird auch die Dreiecksfläche kurz als Dreieck bezeichnet.

---

Einteilung der Dreiecke nach der Länge der Seiten:

• unregelmäßig Dreiecke (Die Seiten der Dreiecke sind paarweise verschieden lang.)
• gleichschenklige Dreiecke (Es gibt ein Paar gleich langer Seiten.)
• gleichseitge Dreiecke (Die drei Seiten sind gleich lang.)

---

Die Menge aller gleichseitigen Dreieck ist eine Teilmenge der Menge aller gleichschenkligen Dreiecke, die ihrerseits Teilmenge der Menge aller Dreiecke ist.

Die Menge aller unregelmäßigen Dreiecke ist ebenfalls Teilmenge der Menge aller Dreiecke.

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Einteilung der Dreiecke nach der Größe der Winkel:

spitzwinklige Dreiecke (Alle Winkel des Dreiecks sind spitze Winkel - also kleiner als 90°.)

rechtwinklige Dreiecke (Ein Winkel des Dreiecks ist ein rechter Winkel - also 90°.)

stumpfwinklige Dreiecke (Ein Winkel des Dreiecks ist ein stumpfer Winkel - also größer als 90°.)

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SATZ über die Innenwinkel eines Dreiecks:

In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180°.

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Folgerungen aus dem Satz über die Innenwinkel eines Dreiecks:

• Jedes rechtwinklige Dreieck besitzt genau einen rechten Winkel.
• Jedes stumpfwinklige Dreieck besitzt genau einen stumpfen Winkel.

BM1844

Geometrischer Ort

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In der Elementargeometrie bezeichnet geometrischer Ort (Plural: geometrische Örter) eine Menge von Punkten, die eine bestimmte, gegebene Eigenschaft haben. In der ebenen Geometrie ist dies in der Regel eine Kurve, wofür man auch das Wort Ortskurve oder Ortslinie verwendet. In der Navigation spricht man hingegen von Standlinien.

Ortslinien sind grundlegend für geometrische Konstruktionen seit Euklids Elementen: Ein Punkt wird dadurch bestimmt, dass zwei Ortslinien angegeben werden, deren Schnittpunkt er bildet. Im klassischen Fall, wo nur Zirkel und Lineal zugelassen sind, sind das zwei Geraden, zwei Kreise oder eine Gerade und ein Kreis.

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Beispiele: klassische Ortslinien in der ebenen Geometrie

• Die Ortslinie aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt $M$ einen festen Abstand $r$ haben, ist der Kreis um $M$ mit dem Radius $r$.
• Die Ortslinie aller Punkte, die von einer gegebenen Geraden $g$ einen festen Abstand $d$ haben, ist das Paar von Parallelen zu $g$ im Abstand $d$.
• Die Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten $A$ und $B$ den gleichen Abstand haben, ist die Mittelsenkrechte über der Strecke ${\overline {AB}}$.
• Die Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen sich schneidenden Geraden $g$ und $h$ den gleichen Abstand haben, ist das Paar von Winkelhalbierenden zu $g$ und $h$.
• Die Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen parallelen Geraden $g$ und $h$ den gleichen Abstand haben, ist die Mittelparallele zu $g$ und $h$.
• Die Ortslinie aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt aus in einer bestimmten Richtung liegen, ist die Gerade durch diesen Punkt mit der gegebenen Richtung (z. B. Peilung).

BM1845

Winkel

Grad

Minuten

Sekunden

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Ein Vollkreis hat 360°.

Ein rechter Winkel hat 90°.

Ein gestreckter Winkle hat 180°.

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Ein Grad hat 60 Minuten.

$1^{\circ }=60'$

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Eine Minute hat 60 Sekunden.

$1'=60''$

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1.) Wie viel Sekunden hat ein Grad?

2.) Wie viel Minuten hat ein rechter Winkel?

3.) Wie viel Grad hat eine Minute? (in Dezimalschreibweise!)

4.) Wie viel Minuten hat eine Sekunde? (in Dezimalschreibweise!)

5.) Wie viel Grad hat eine Sekunde? (in Dezimalschreibweise!)

6.) Wie groß sind die drei Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn einer seiner Winkel $53^{\circ }17'53''$ ist?

7.) Wie groß sind die drei Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn einer seiner Winkel 98° 56′ 34,12″ beträgt?

Lösung BM1845

1.) Wie viel Sekunden hat ein Grad? - Ein Grad hat $60\cdot 60=3600$ Sekunden. 2.) Wie viel Minuten hat ein rechter Winkel? - Ein rechter Winkel hat $90\cdot 60=5400$ Minuten. 3.) Wie viel Grad hat eine Minute? (in Dezimalschreibweise!) - Eine Minute hat $0.01{\overline {66}}$ Grad. 4.) Wie viel Minuten hat eine Sekunde? (in Dezimalschreibweise!) - Eine Sekunde hat $0.01{\overline {66}}$ Minuten. 5.) Wie viel Grad hat eine Sekunde? (in Dezimalschreibweise!) - Eine Sekunde hat $0.0002{\overline {77}}$ Grad. 6.) Wie groß sind die drei Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn einer seiner Winkel $53^{\circ }17'53''$ ist? - $53^{\circ }17'53''$; $90^{\circ }$; $36^{\circ }42'7''.$ 7.) Wie groß sind die drei Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn einer seiner Winkel 98° 56′ 34,12″ beträgt? - 40° 31' 17,94; 40° 31' 17,94; 98° 56′ 34,12″.

BM1846

Der Grad (lat. gradus ‚Schritt‘, auch Bogengrad) ist ein Winkelmaß.

Als Einheitenzeichen für den Grad wird ein hochgestellter kleiner Kreis (°) verwendet, der ohne Zwischenraum an die letzte Ziffer des Zahlenwertes angehängt wird.

1 Grad ist definiert als der 360. Teil des Vollwinkels, d. h. 1 Vollwinkel = 360°. Ein Grad entspricht dem „360-sten Teil eines Kreises“.

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Die Angabe der Winkelweite in Grad wird als Gradmaß bezeichnet, um vom Bogenmaß in Radiant abzugrenzen

Der Grad gehört zwar nicht zum Internationalen Einheitensystem (SI), ist zum Gebrauch mit dem SI aber zugelassen. Dadurch ist er eine gesetzliche Maßeinheit.

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Unterteilungen:

Bruchteile von Graden können in mehreren Varianten angegeben werden:

• dezimal: ggg,g…°
• sexagesimal:
  • Grad und Minuten: ggg° mm′
  • Grad, Minuten und Sekunden: ggg° mm′ ss″
• sexagesimal und dezimal kombiniert:
  • Minuten dezimal: ggg° mm,m…′
  • Sekunden dezimal: ggg° mm′ ss,s…″

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Umrechnung von sexagesimaler in dezimale Darstellung:

${\text{Winkel in Grad (dezimal)}}={\frac {{\tfrac {ss}{60}}+mm}{60}}+ggg$

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Besonderheiten der 360°-Teilung:

Die 360 gehört zu den hochzusammengesetzten Zahlen. Damit ermöglicht die Einteilung des Vollwinkels in 360 Grad wegen der vielen Teiler eine Skala in entsprechend viele gleichgroße, ganzzahlige Abschnitte zu unterteilen. Die 24 Teiler der 360 sind: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 24; 30; 36; 40; 45; 60; 72; 90; 120; 180; 360.

BM1847

Winkelminute

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Die Winkelminute oder Bogenminute oder Minute (von lateinisch pars minuta ‚verminderter Teil‘) ist der sechzigste Teil eines Winkelgrads. Sie stellt eine Unterteilung der Maßeinheit Grad zur Angabe der Größe ebener Winkel dar.

Der Vollwinkel wird in 360 Grad unterteilt. Ein Grad wird weiterhin in 60 Winkelminuten unterteilt: 1° = 60′. Eine Winkelminute entspricht somit ${\frac {\;1^{\circ }}{60}}=0{,}01{\overline {6}}{}^{\circ }$

Eine Winkelminute wiederum besteht aus 60 Winkelsekunden: 1′ = 60″; somit gilt: 1° = 3600″. Als Dezimalminute bezeichnet man eine Angabe der Minuten mit Dezimalstellen statt Winkelsekunden.

Zu beachten ist, dass (entsprechend dieser Definition) eine Größenangabe in Bogenminuten trotz des gleichen Präfixes „Bogen-“ nichts mit einer Angabe im Bogenmaß zu tun hat.

Die Winkelminute gehört zwar nicht zum Internationalen Einheitensystem (SI), ist zum Gebrauch mit dem SI aber zugelassen. Dadurch ist sie eine gesetzliche Maßeinheit.

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Schreibweise:

Analog zur üblichen Angabe von Uhrzeiten werden Winkel auch in einer Schreibweise, die Grad, Minuten und Sekunden gemeinsam verwendet, angegeben. Der anzugebende Winkel wird dabei als Summe von drei Winkeln dargestellt, wobei die Zahlenwerte vor den Minuten und Sekunden kleiner als 60 sind. Diese Schreibweise wird zum Beispiel bei geographischen Koordinaten für die Angabe von Längengrad und Breitengrad verwendet. 51° 14′ 4,2″ ist die Schreibweise für 51 Grad + 14 Winkelminuten + 4,2 Winkelsekunden.

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Umrechnung:

${\begin{aligned}&{\text{Winkel (in Grad)}}=\\&={\text{Grad}}+{\frac {\text{Winkelminuten}}{60}}+{\frac {\text{Winkelsekunden}}{3600}}\\&={\text{Grad}}+{\frac {{\text{Winkelminute}}+{\frac {\text{Winkelsekunden}}{60}}}{60}}\end{aligned}}$

Letztere Schreibweise wird im folgenden Beispiel benutzt:

51° 14′ 4,2″ (sprich: 51 Grad, 14 Minuten, 4,2 Sekunden) lassen sich wie folgt in Dezimalschreibweise umrechnen:

• zunächst die Sekunden in Minuten: 4,2″ · 1′ / 60″ = 0,07′
• ergibt: 51° 14,07′
• die Minuten in Grad: 14,07′ · 1° / 60′ = 0,2345°
• insgesamt also: 51° + 0,2345° = 51,2345°.

Die Umrechnung von Dezimalgrad in Grad-Minuten-Sekunden erfolgt, indem der Dezimalteil zunächst mit 60 multipliziert wird.

0,2345° · 60′ / 1° = 14,07′

Die daraus resultierende Ganzzahl sind die Winkelminuten. Der verbleibende Dezimalteil wird wieder mit 60 multipliziert.

0,07′ · 60″ / 1′ = 4,2″

Die daraus resultierende Zahl sind die Sekunden.

BM1848

Winkelsekunde

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Eine Winkelsekunde oder Bogensekunde oder Sekunde (von lateinisch pars minuta secunda ‚zweiter verminderter Teil‘) ist eine Maßeinheit des Winkels und bedeutet den 3600. Teil eines Grads. Sie entspricht knapp dem Winkel, unter dem ein fünf Millimeter breites Objekt aus einer Entfernung von einem Kilometer erscheint. Als Symbol werden das Sekundenzeichen ″ verwendet.

Eine Winkelsekunde entspricht somit ${\tfrac {\;1^{\circ }}{3600}}=0,0002{\overline {7}}{}^{\circ }$

60 Winkelsekunden entsprechen einer Winkelminute, 60 Winkelminuten entsprechen einem Grad.

Früher war eine weitere Unterteilung der Sekunde in 60 Tertien üblich; für einige Verfahren in der Navigation wird diese Einteilung auch heute noch verwendet.

Die Winkelsekunde gehört zwar nicht zum Internationalen Einheitensystem (SI), ist zum Gebrauch mit dem SI aber zugelassen. Dadurch ist sie eine gesetzliche Maßeinheit.

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Umrechnung:

${\begin{aligned}{\text{Winkel (in Grad)}}&={\text{Grad}}+{\frac {\text{Winkelminuten}}{60}}+{\frac {\text{Winkelsekunden}}{3600}}\\&={\text{Grad}}+{\frac {{\text{Winkelminuten}}+{\frac {\text{Winkelsekunden}}{60}}}{60}}\end{aligned}}$

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Symbol:

Das Symbol für Winkelsekunden ist das Sekundenzeichen.

Es besteht aus zwei geraden, geneigten Strichen: 1″ = 1 Winkelsekunde und entspricht damit dem Zollzeichen.

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Bezug zum Auge des Menschen:

Das menschliche Auge hat ein Auflösungsvermögen von etwa 1 Winkelminute (entspricht 60″). Es kann also theoretisch zwei Stäbe mit diesem Winkelabstand noch voneinander trennen. De facto mindert die Form der Objekte oder schwacher Kontrast diesen Wert. Der engste Doppelstern (ε im Sternbild Leier), den nur sehr scharfe Augen noch getrennt wahrnehmen können, hat 208″ Winkeldistanz. Andererseits haben unsere Augen die Fähigkeit, auch viel feinere Details noch zu erkennen, wenn sie linienförmig sind und mehrere Sehzellen anregen. So kann man etwa einen Schiffsmast noch am Horizont ausmachen, wenn sich seine sichtbare Breite über 20″ erstreckt.

BM1849

Was bedeutet $A\in {\overline {AB}}\quad$?

1. Lösung BM1849
A liegt auf ${\overline {AB}}$

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Was bedeutet ${\overline {AB}}\subset g\quad$?

2. Lösung BM1849
${\overline {AB}}$ ist Teilmenge von </math>g$.:DieStrecke<math>{\overline {AB}}$ liegt auf der Geraden $g$.

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Was bedeutet $g\cap h={P}\quad$?

3. Lösung BM1849
Der Schnittpunkt von g und h ist P. P ist der Schnittpunkt von g und h

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Was bedeutet $g\parallel h\Leftrightarrow g\cap h=\emptyset \quad {\text{oder}}\quad g=h\quad$?

4. Lösung BM1849
g ist parallel zu h. Die Schnittmenge von g und h ist die leere Menge. (- weil sich g und h nicht schneiden) Oder: Die Geraden g und h fallen zusammen.

BM1850

Bild 1

Eine Geodäte, auch geodätische Linie oder geodätischer Weg genannt, ist die lokal kürzeste Verbindungskurve zweier Punkte.

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Ein Maikäfer will auf einem Marmorblock von Punkt A zu Punkt B krabbeln. Welchen Weg nimmt er? Wie lang ist der Weg?

(Der Block ist 30 cm lang, 20 cm hoch und 20 cm breit.)

1. Lösung BM1850

Bild 2 Die Raumdiagonale (Luftlinie) fällt in diesem Fall aus, da der Weg über die Außenfläche des Marmorblocks führen muss. --- Bild 3 Ein möglicher Weg wäre an der Kante nach unten und dann auf der Unterfläche diagonal über die Fläche. --- Bild 4 Da die untere Fläche auf dem Boden liegt und somit eigentlich nicht möglich ist, könnte man die Diagonale auch das auch auf die obere Fläche des Blocks verlegen. --- Bild 5 Es geht aber noch kürzer: Quer über zwei Flächen hinweg. --- Bild 6 Wenn man die Oberfläche des Quaders (das ist die mathematische Bezeichnung für einen Block) abwickelt, dann kann man die Start- und Zielpunkte mit einer Geraden verbinden und hat damit den kürzesten Weg. --- Bild 7 Allerdings kann man den Quader auch anders abwickeln oder man platziert den Punkt an einer anderen Stelle. Schon erhält man einen ganz anderen Weg, der nicht unbedingt die gleiche Länge haben muss. Das müsste man ausrechnen, welcher Weg der kürzere ist. Dazu bräuchten wir die Wurzelrechnung, die wir noch nicht durchgenommen haben. Die Weglänge von A nach B berechnen wir folgendermaßen: $x={\sqrt {20^{2}+50^{2}}}$ $x={\sqrt {400+2500}}$ $x={\sqrt {2900}}$ $x=53,8$ --- Die Weglänge von A' nach B berechnen wir so: $x={\sqrt {40^{2}+30^{2}}}$ $x={\sqrt {1600+900}}$ $x={\sqrt {2500}}$ $x=50$ --- Der Weg von A' aus ist also etwas kürzer. --- Noch interessanter ist die Berechnung des Punktes, an der der kürzeste Weg von einer Fläche auf die andere übergeht. Aber das lassen wir jetzt weg, da uns noch die Wurzelrechnung und der Satz des Pathagoras fehlt. Auf Oberflächen von komplizierteren Körpern oder von Gebirgslandschaften werden solche Aufgaben des kürzesten Weges interessant. --- Für die praktische Anwendung sollten beispielsweise Roboterarme sich auf dem kürzesten Weg bewegen, wenn die eine Arbeit am Fließband Millionen Mal ausführen müssen.

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Bild 8

Weil es so viel Spaß macht gleich noch eine ähnlich gelagerte Aufgabe:

Eine Spinne in einem Raum soll den kürzesten Weg von C nach D nehmen. Wo führt er lang?

2. Lösung BM1850

Bild 9 Auch hier ist der geradlinige Weg, der einem vielleicht zuerst in den Kopf kommt, nicht der kürzeste Weg. --- Bild 10 So sähe der geradlinige Weg auf dem abgewickelten Quader aus. --- Bild 11 Das ist der kürzeste Weg. Auf dem abgewickelten Quader gibt er eine gerade Linie. Andere Möglichkeiten, so wie in der 1. Lösung gibt es hier nicht, da die Punkte auf der Fläche liegen und nicht auf der Kante oder einer Ecke. --- Bild 12 Das ist derselbe Weg in der räumlichen Darstellung.

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