Álgebra Abstracta/Texto Completo

Álgebra Abstracta
Primer Curso

Álgebra Abstracta

A. Las Estructuras

1. Introducción

" Faire d'Algèbre, c'est esentiellement calculier ... " Nicolas Bourbaki.

¿Qué es el Álgebra Abstracta?

El Álgebra Abstracta, como indica su nombre, surge como una abstracción de propiedades algebraicas comunes a diferentes sistemas numéricos y a otros objetos de estudio matemático. La preocupación principal es acerca de las propiedades de las operaciones, independientemente (abstracción) de la naturaleza de los operandos. La suma de los números naturales, así como aquella de los Enteros, de los Reales, o de funciones, o de matrices etc. es asociativa. Lo que interesa aquí es estudiar las consecuencias de suponer que la suma en un conjunto cualquiera (de números o no) sea asociativa.

Hay tres fuentes clásicas para el Álgebra Abstracta: la teoría de las ecuaciones polinómicas, la teoría de los números enteros y la Geometría. Cada una de esas áreas se desarrolló inicialmente de manera independiente de las otras. Con el pasar del tiempo, se observaron muchas semejanzas entre los resultados obtenidos, con lo que se inició la abstracción de dichos resultados. Tal desarrollo se produce desde fines del siglo XVIII hasta el inicio del siglo XX, cuando las nociones adquirieron una forma semejante a lo que expondremos en este texto.

Los trabajos de abstracción contribuyeron a identificar la noción de estructura algebraica como central al estudio del Álgebra. Una estructura algebraica es, básicamente, un conjunto provisto de una o más operaciones que poseen algunas propiedades especiales. La ventaja del enfoque abstracto es que permite al estudiar una estructura, estudiar propiedades de los variados ejemplos de tales estructuras (a veces infinitos ejemplos). En segundo lugar, podemos ver de manera más transparente las relaciones y consecuencias de las propiedades de las operaciones.

Como libro texto para un primer curso, suponemos que los lectores son novatos en la materia, lo que no excluye que pueda ser de provecho para lectores con mayor experiencia en el campo. Por lo anterior, hemos enfatizado en ejemplos y colocado una gran cantidad de ejercicios---que son parte integral del texto. Hemos colocado también comentarios que expanden los contenidos o apuntan a referencias tanto a los orígenes como a las aplicaciones.

¿Por qué darle énfasis a las estructuras? Una primera respuesta es comodidad. Antes de su introducción en el álgebra, la situación parecía relativamente simple, estudiar álgebra era aprender a realizar las operaciones algebraicas con los números. Sin embargo, con la aparición de nuevos objetos matemáticos: funciones, vectores, matrices, permutaciones, etc. aparecieron, también, operaciones con ellos. Una alternativa para el estudio era crear una secuencia de cursos más o menos en el siguiente orden: el álgebra de los reales, el álgebra de los complejos, el álgebra de los polinomios, el álgebra de los vectores bidimensionales, el álgebra de los vectores tridimensionales, el álgebra de las matrices, el álgebra de los enteros--modulo, el álgebra de los cuaterniones, el álgebra de los tensores, etc. La invención de nuevos objetos y de sus operaciones, hacían del álgebra un campo en continua expansión y, adonde, era difícil seguirle el rastro a todos los nuevos objetos. Frente a dicha explosión de objetos, se inventó una clasificación que reducía esas álgebras a unas pocas estructuras que servirían para unificar los estudios. Las estructuras básicas con una operación son: semigrupos, monoides y grupos, con dos o más operaciones: anillos, dominios, cuerpos, espacios vectoriales, módulos y álgebras. Estas estructuras, con algunas subestructuras, permiten organizar los estudios por las propiedades básicas comunes, en lugar de mirar a la naturaleza de los elemento .

Por ejemplo, la estructura de cuerpo presupone un conjunto donde están definidas las cuatro operaciones aritméticas poseyendo las propiedades usuales. Ejemplos inmediatos de esa estructura son: los Racionales, los Reales y los Complejos, así como los Enteros módulo un número primo. En este curso, veremos algunos cuerpos adicionales (hay infinitos ejemplos).

Organización del libro

El libro está organizado en cuatro partes. La primera parte, que incluye esta introducción, presenta las generalidades acerca de las operaciones y de los tipos de estructuras algebraicas básicas más importantes.

La segunda parte esta dedicada a la estructura de grupo (un conjunto con una operación con una serie de propiedades). Esta estructura es fundamental tanto para las matemáticas como para muchas otras áreas del conocimiento: física, química, programación, etc. Los ejemplos básicos de grupo que veremos son: los grupos cíclicos (provenientes de la teoría de números), los grupos simétricos (provenientes de la teoría de ecuaciones), y los grupos provenientes de la geometría (grupos diedrales).

La tercera parte está dedicada a las estructuras de anillo y cuerpo, que son abstracciones de las propiedades algebraicas de los Enteros y de los Racionales respectivamente.

Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros (usuales y algebraicos), los polinomios con coeficientes en un cuerpo. Los cuerpos más importantes serán los numéricos (Racionales, Reales, Complejos) y algunos cuerpos finitos.

Finalmente, la cuarta parte son apéndices que contienen resúmenes de las definiciones y propiedades referentes a las funciones, las relaciones, los sistemas numéricos. En estos apéndices, resumimos nociones y resultados que debería conocer un lector de este texto.

Los lectores atentos podrán darse cuenta que, a veces, hay repeticiones de material. Algunas de esas repeticiones son intencionales, a fin de permitir leer capítulos en forma más independientes.

En el texto, en varias ocasiones, mencionamos a las personas que han tenido un rol en el desarrollo de los temas tratados. Esperamos que el lector lea acerca de ellos. El primer sitio adonde buscar lo anterior es el siguiente enlace de la Universidad de San Andrés de Escocia

• «MacTutor History of Mathematics archive» (en inglés).

Aunque, a veces, no lo pueda parecer, éste es un texto elemental. Hay varios textos más avanzados o equivalentes que aparecen en la bibliografía. Otra fuente de consulta son las bibliotecas en línea.

Sugerencias para el estudio

Cada disciplina o area de estudio tiene una manera especial de adquirir conocimientos respecto a la misma. En Álgebra Abstracta, se trata de una teoría de las operaciones, lo que implica que la validez de los resultados se tienen que deducir de las propiedades básicas (axiomas). Los lectores deben adquirir el hábito (si no lo tienen con anterioridad) de preguntar por la validez de los enunciados. La intuición que tenemos de manipulaciones de expresiones algebraicas anteriores es, sin duda, muy útil; pero que puede ser perturbadora. Muchos de los resultado conocidos, son válidos en ciertas situaciones, pero no en todas; por ejemplo. hay importantes multiplicaciones que no son conmutativas. Como consecuencia de lo anterior, una relación algebraica tan simple como $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$, no siempre es válida. Precisamente, los análisis de Álgebra Abstracta nos permitirán identificar que es necesario suponer para que la relación anterior sea válida.

• Las definiciones son importantes. Es necesario memorizarlas, reconocer instancias adonde se aplica la definición y distinguirlas de aquellas adonde no se aplican. La memorización debe ser con entendimiento y cada lectora o lector puede redactarlas a su conveniencia, siempre y cuando no cambien el significado.
• Los enunciados validos pueden clasificarse como axiomas, proposiciones, corolarios y teoremas. Los axiomas son enunciados que aceptamos de partida como válidos. Usualmente en el texto están contenidos en las definiciones. Por ejemplo, cuando estudiamos grupos, suponemos que la operación es asociativa. Al contrario las proposiciones, corolarios y teoremas son enunciados que deben probarse usando los axiomas u otros enunciados probados anteriormente. Las diferencias entre esos enunciados es énfasis: corolarios son consecuencias inmediatas de una proposición, teoremas son proposiciones con resultados muy importantes (es decir que tienen muchas aplicaciones).
  
• En cada proposición (o corolario o teorema) es importante identificar claramente las hipótesis (los supuestos) y la tesis (la conclusión). Antes de leer la demostración, resulta valioso intentar pensar en alguno de los ejemplos principales y ver que significa el teorema para esos ejemplos. Igualmente, tratar de buscar una demostración. Algunas proposiciones tienen pruebas relativamente triviales y pueden probarse sin mucho esfuerzo. Aún para aquellas con mayor dificultad, vale la pena intentar la prueba, para poder apreciar mejor la ingeniosidad de la prueba, o ver claramente los puntos principales de la demostración. Al revés de las definiciones, las demostraciones no necesitan ser memorizadas tal cual se presentan. Más importante son los "trucos" usados, que pueden ser usados en otras demostraciones o ejercicios. Después de aplicar los resultados, vale la pena preguntar si no habría otra manera de hacer lo mismo.
  
• Los ejemplos se presentan para ilustrar propiedades y resultados de proposiciones y, a veces, para motivar o introducir un nuevo concepto. En el último caso, el ejemplo (o ejemplos) será seguido de una definición. Tratar de dar una definición antes de leer aquellas dada en el texto. Hay ejemplos que se repiten a través del libro, por lo que se debe trabajar con ellos.
  
• Las demostraciones constituyen, de cierta manera, el meollo del estudio, ya que las demostraciones nos permiten formar una red lógica de conceptos y resultados, que posibilitarán el entendimiento del material. Demostrar es, simplemente, explicar porque creemos que cierta afirmación es válida, la única restricción es que las explicaciones deben ser enunciados previamente conocidos como válidos. Inicialmente, en el texto, hay demostraciones de muchas de las proposiciones, especialmente explicando la razón de cada paso. Posteriormente, tales justificaciones quedarán al cuidado del lector o lectora. Cuando una demostración sea muy extensa o compleja, recomendamos que la lectora o lector trate de dividirla en partes, y examine cuidadosamente lo hecho.

Algunos convenios

Usamos los convenios siguientes de notación y nomenclatura para los principales sistemas numéricos.

$\mathbb {N}$	El conjunto de los números naturales.
$\mathbb {N} ^{+}$	El conjunto de los naturales positivos.
$\mathbb {Z}$	El conjunto de los enteros.
$\mathbb {Q}$	El conjunto de los racionales.
$\mathbb {R}$	El conjunto de los reales.
$\mathbb {C}$	El conjunto de complejos.
$\mathbb {Z} _{m}$	El conjunto de los enteros módulo $m.$

En el texto, nos referiremos al conjunto de los números naturales, $\mathbb {N}$, como los Naturales; igualmente para los otros conjuntos numéricos.

Las notaciones y nomenclatura acerca de funciones se hallan en el apéndice Las Funciones, mientras que lo referente a relaciones se halla en el apéndice Las Relaciones.

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2. Las Operaciones

Introducción

En este capítulo, iniciaremos nuestros estudios del Álgebra con las abstracciones de las operaciones usuales. Analizaremos, es decir, consideraremos en forma aislada cada una de las propiedades usuales, para ver claramente las consecuencias de las suposiciones de cada una de esas propiedades. Igualmente, para elementos o subconjuntos destacables.

Cuando estudiamos a los números enteros, nos encontramos con las operaciones de suma, resta y multiplicación. Dichas operaciones poseen varias propiedades interesantes. Hay, además, números y subconjuntos destacados respecto a esas operaciones. Igualmente, tenemos operaciones en los Racionales, Reales y Complejos.

Presentaremos nociones que son abstracciones de esas operaciones y de sus propiedades. Al analizar las propiedades de las operaciones y de elementos destacados como el 0, respecto a la suma, o el 1, respecto a la multiplicación, podremos ver las consecuencias lógicas de la existencia de esas propiedades y elementos.

Definiciones y Ejemplos

La noción general de operación que veremos es una simple abstracción de las operaciones usuales en los conjuntos numéricos. Consideremos las operaciones de suma, resta y multiplicación. ¿Qué tienen en común esas operaciones? Las tres operaciones mencionadas hacen esencialmente lo siguiente: asocian a un par ordenado de números, otro número.

La diferencia entre esas operaciones reside en el valor asociado. Por ejemplo, al par (5, 3), la suma asocia el 8, mientras que resta asocia el 2 y la multiplicación el 15. Esa observación es la base para la definición abstracta de operación que daremos a continuación.

Definición. (Operación) Una operación en un conjunto $E$ es una función

${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&E\times E&\longrightarrow &E\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$

Es decir, una operación en un conjunto $E$ es la asignación a cada par ordenado de elementos de E, de un único elemento de E. Cuando $\circledcirc$ es una operación, es costumbre denotar el valor de la función $\circledcirc$ en la pareja (x, y) como $x\circledcirc y$, en lugar de $\circledcirc (x,y)$, como es lo usual para las funciones.

Simbolizamos a las operaciones por símbolos tales como $+,-,\cdot ,\div$, etc. Usamos $\ast$ para indicar una operación cualquiera. Muchas veces, por simplicidad, escribiremos ab o $a\cdot b$ en lugar de a * b.

Ejemplo 1.1.

En el conjunto de los Enteros, $\mathbb {Z}$, tenemos tres operaciones: la suma, la resta y la multiplicación. En el conjunto de los (números) Racionales y los Reales tenemos también operaciones de suma, resta y multiplicación.

Ejemplo 1.2.

Sigue de la definición dada de operación que la resta NO es una operación en el conjunto de los números naturales, ya que no siempre es posible asignar un número natural a la resta de dos números naturales. Por ejemplo, 3 - 5 no es un número natural. Aunque lo anterior es diferente a lo usado cotidianamente, la diferencia permite hacer un trabajo lógicamente más simple

Como no hay división por cero en los Reales, la división tampoco es, de acuerdo a la definición dada una operación en dicho conjunto.

Ejemplo 1.3.

Sea $X$ un conjunto no vacío y consideremos el conjunto $F(X,\mathbb {R} )$ formado por todas las funciones de ese conjunto en los Reales. Para esas funciones se definen una suma, resta y multiplicación de la siguiente manera.

${\begin{matrix}f+g&:&x\mapsto f(x)+g(x),\\f-g&:&x\mapsto f(x)-g(x),\\f\cdot g&:&x\mapsto f(x)\cdot g(x).\end{matrix}}$

Este ejemplo aparece en cursos elementales con la restricción de que se supone que X es un subconjunto de los Reales.

Ejemplo 1.4.

Sea $X$ un conjunto no vacío y sea $F(X,X)$ el conjunto formado por todas las funciones de $X$ en si mismo. La composición de funciones $(f,g)\mapsto f\circ g$ es una operación en $F(X,X)$.

Ejemplo 1.5.

Sea $X$ un conjunto no vacío y sea $\mathbb {P} (X)$, el conjunto formado por todos los subconjuntos de $X$. La (re)unión e intersección de subconjuntos son operaciones en $\mathbb {P} (X).$.

Definición. (Magma) Llamamos magma a un conjunto E provisto de una operación.

Cuando queramos identificar al conjunto y a la operación, describiremos al magma como un pareja formada por el conjunto y la operación, $\langle E,*\rangle$. Por ejemplo, los Enteros con la suma ($\langle {\mathbb {Z} ,+}\rangle$) y los Enteros con la multiplicación ($\langle {\mathbb {Z} ,\cdot }\rangle$), son ejemplos diferentes de magmas.

Propiedades Especiales

Las propiedades familiares de asociatividad, conmutatividad y distributividad de las operaciones numéricas se pueden definir para un operación cualquiera. Sin embargo, notemos de partida, que no siempre las operaciones tienen esas propiedades.

Definición. (Tipos de Operaciones) Decimos que una operación * en un conjunto $E$ es:

1. Asociativa, si, para todo $a,b,c$ en $E$, se cumple que: $a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c.$
2. Conmutativa, si, para todo $a,b$ en $E$, se cumple que: $a\ast b=b\ast a.$
3. Distributiva respecto a otra operación $\oplus$, si, para todo a, b y c en $E$, se cumple que: $a\ast (b\oplus c)=(a\ast b)\oplus (a\ast c),{\text{ y }}(b\oplus c)*a=(b*a)\oplus (c*a).$

Ejemplo 1.6.

La suma y la multiplicación usual en los conjuntos numéricos son operaciones asociativas y conmutativas. Además, la multiplicación es distributiva respecto a la suma.

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Significado de la Conmutatividad. Una operación es conmutativa, cuando el orden en que se realiza la operación no afecta al resultado. La resta, en los Enteros, no es conmutativa ya que, por ejemplo, tenemos que $5-3=2$ y $3-5=-2$, y $2\neq -2$.

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Significado de la Asociatividad. La asociatividad nos sirve, cuando está presente, para evaluar el resultado de aplicar la operación a más de dos elementos. En tal situación, debemos agrupar elementos en grupos de a dos para poder evaluar (eso proviene de que nuestras operaciones son binarias, o sea que asocian a dos elementos un tercer elemento). La asociatividad nos dice que podemos agrupar como queramos para la evaluación, sin cambiar el orden de aparición, y el resultado no cambiará.

La resta no es asociativa, ya que 5 - (3 - 2) = 5 - 1 = 4, mientras que (5 - 3) - 2 = 2 - 2 = 0. Esto nos dice que la expresión 5 - 3 - 2 es ambigua, porque el valor de esa expresión dependerá de como agrupemos los operandos. Al contrario, $5+3+2$ no es ambigua, ya que $5+(3+2)=5+5=10$ y $(5+3)+2=8+2=10$.

En general, cuando una operación * es asociativa, para evaluar una expresión tal como $a*b*c$, lo podremos hacer agrupando como queramos, ya que ambas posibilidades, $a*(b*c)$ y $(a*b)*c$, producirán el mismo valor. Por esa razón, cuando la operación es asociativa, podemos eliminar los paréntesis. Ejemplo 1.7.

Definamos una operación $\oplus$ en los Enteros, por $a\oplus b:=a+b+ab$. Probaremos que $\oplus$ es asociativa y conmutativa.

Resolución. Sean a, b y c números enteros cualesquiera. Tenemos que

${\begin{array}{rcl}a\oplus (b\oplus c)&=&a\oplus (b+c+bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)\\&=&a+b+c+bc+ab+ac+abc.\end{array}}$

Por su parte,

${\begin{array}{rcl}(a\oplus b)\oplus c&=&(a+b+ab)\oplus c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c\\&=&a+b+ab+c+ac+bc+abc.\end{array}}$

Comparando las dos expansiones, concluimos que $a\oplus (b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus c.$ Es decir que la operación $\oplus$ es asociativa.

Veamos ahora la conmutatividad. $a\oplus b=a+b+ab$ y $b\oplus a=b+a+ba.$ Luego, $a\oplus b=b\oplus a$, o sea que la operación $\oplus$ es conmutativa.

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Ejemplo 1.8.
Sea $\mathbb {Z} ^{2}$ el conjunto formado por todos los pares ordenados de números enteros. Definamos una operación $\oplus$ en $\mathbb {Z} ^{2}$ por

$(m,n)\oplus (p,q):=(ac+2bd,ad+bc).$

1. Evaluate $(3,-1)\oplus (5,2)$. $(3,-1)\oplus (5,2)=(3*5+2*(-1)*2,3*2+(-1)*5)=(11,1).$
2. Verificar que $\oplus$ is asociativa. Sean $\alpha =(a_{1},a_{2})$, $\beta =(b_{1},b_{2})$ y $\gamma =(c_{1},c_{2})$ tres elementos cualesquiera de $\mathbb {Z} ^{2}$. ${\begin{array}{rcl}\alpha +(\beta +\gamma )&=&(a_{1},a_{2})+((b_{1},b_{2})+(c_{1},c_{2}))\\&=&(a_{1},a_{2})+(b_{1}c_{1}+2b_{2}c_{2},b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1})\\&=&(a_{1}(b_{1}c_{1}+2b_{2}c_{2})+2a_{2}(b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1}),\\&&\qquad a_{1}(b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1})+a_{2}(b_{1}c_{1}+2b_{2}c_{2}))\\&=&(a_{1}b_{1}c_{1}+2a_{1}b_{2}c_{2}+2a_{2}b_{1}c_{2}+2a_{2}b_{2}c_{1},\\&&\qquad a_{1}b_{1}c_{2}+a_{1}b_{2}c_{1}+2a_{2}b_{1}c_{1}+2a_{2}b_{2}c_{2}).\end{array}}$

   
   

   ${\begin{array}{rcl}(\alpha +\beta )+\gamma &=&((a_{1},a_{2})+(b_{1},b_{2}))+(c_{1},c_{2})\\&=&(a_{1}b_{1}+2a_{2}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})+(c_{1},c_{2})\\&=&((a_{1}b_{1}+2a_{2}b_{2})c_{1}+2(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})c_{2},\\&&\qquad (a_{1}b_{1}+2a_{2}b_{2})c_{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})c_{1})\\&=&(a_{1}b_{1}c_{1}+2a_{2}b_{2}c_{1}+2a_{1}b_{2}c_{2}+2a_{2}b_{1}c_{2},\\&&\qquad a_{1}b_{1}c_{2}+2a_{2}b_{2}c_{2}+a_{1}b_{2}c_{1}+a_{2}b_{1}c_{1})\\\end{array}}$

        Lo que prueba la asociatividad.
   

3. Veamos ahora que $\oplus$ es conmutativa. ${\begin{array}{rcl}\alpha +\beta &:=&(a_{1},a_{2})\oplus (a_{2},b_{2})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})\\\beta +\alpha &:=&(a_{2},b_{2})\oplus (a_{1},b_{1})=(a_{2}+b_{2},a_{1}+b_{1})\end{array}}$

          Como la suma de enteros es conmutativa, los pares ordenados a la derecha son iguales, lo que prueba la conmutatividad.  
   

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Ejercicios

1. Dar tres ejemplos de operaciones asociativas.
2. Dar dos ejemplos de operaciones no asociativas.
3. Definir la operación $\odot$ en los Enteros por $a\odot b:=a+b+1$. Evaluar $3\odot 5$, $2\odot 0$, $-2\odot 1$. ¿Es $\odot$ asociativa? ¿conmutativa?
4. Suponer que la operación $*$ no es asociativa. Entonces, la expresión $a*b*c$ tiene dos interpretaciones posibles. ¿Cuántas interpretaciones posibles tiene la expresión $a*b*c*d$?
5. Suponer que la operación $*$ es asociativa. Verificar que todas las interpretaciones posibles de la expresión $a*b*c*d$ (ver el ejercicio anterior) producen el mismo valor.

Los Elementos Destacados

Algunos elementos de un magma tienen propiedades especiales respecto a la operación. Veremos, en esta sección, las nociones de elementos neutros, invertibles y cancelables, que son abstracciones de ciertas propiedades numéricas.

Elementos Neutros

En muchas situaciones, hallamos elementos de un conjunto que tienen propiedades especiales respecto a una operación. Pensemos, por ejemplo, en el rol del 0 en la suma o en el rol del 1 en la multiplicación.

¿Qué tiene en común esos elementos? Simplemente, que cuando se operan con cualquier otro elemento, siempre producen el otro elemento. Es decir, que para todo número $a$ se cumple que $a+0=0+a=a$ y que $a\cdot 1=1\cdot a=a$ En forma abstracta, llamaremos neutro a un elemento con esa propiedad.

Definición. (Elemento Neutro) Sea E un magma con operación *. Decimos que un elemento $e$ de $E$ es un neutro respecto a la operación *, si, para todo $a\in E$ se cumple que

$a*e=a=e*a.$

Cuando haya un neutro para una operación, diremos que la operación tiene o admite un neutro.

Ejemplo 2.1.

En los conjuntos numéricos, el 0 es un neutro para la suma y el 1 es un neutro para la multiplicación.

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Siempre que tenemos elementos destacados, cabe preguntarse ¿cuántos elementos de ese tipo hay? Los ejemplos del 0 y del 1, nos hacen sospechar que tales elementos son únicos. Lo que probaremos que es válido de forma general, o sea, para una operación cualquiera.

Supongamos entonces que $e$ y $e^{\prime }$ fueran ambos neutros para una misma operación $\ast$. Para obtener una respuesta, calcularemos de dos maneras diferentes a $e*e'$.

Como $e'$ es neutro, tenemos que $e*e'=e$. Pero como $e$ es neutro, tenemos que $e*e'=e'$. Luego $e=e'$.

Hemos así probado, nuestro primer resultado abstracto.

Proposición 1. (Unicidad de Neutros) Cuando una operación tiene un neutro, dicho neutro es único.

A menos que se diga lo contrario, $\mathbf {e}$ será la notación preferida para denotar a un elemento neutro cualquiera.

Ejemplo.

Consideremos la operación $\oplus$ en los Enteros definida por $a\oplus b=a+b+ab$. Vimos en el ejemplo 1.7 que esta operación era asociativa y conmutativa. Aquí, trataremos de determinar si tiene o no un elemento neutro.

Supongamos que tuviera elemento neutro, digamos $e$ Entonces, para cualquier número entero $a$ tendríamos que

${\begin{array}{lrcl}&a\oplus e&=&a\\\implies &a+e+ae&=&a\\\implies &e(1+a)&=&0\\\implies &e&=&0.\end{array}}$

Donde hemos supuesto que $1+a\neq 0$ Verifiquemos

$a\oplus 0=a+0+a0=a.$

Es decir que 0 es efectivamente un neutro para la operación $\oplus$

Los Elementos Invertibles

Cuando trabajamos con la suma de los números enteros, tenemos asociado a cada número $a$ el número $-a$ que es un número con la propiedad de que sumado con el original nos da el neutro. Los recíprocos tienen propiedades análogas respecto a la multiplicación de los números reales, ya que multiplicados con el número original producen el neutro multiplicativo 1. Generalizaremos lo anterior en la siguiente definición.

Definición. (Elemento Invertible) Sea $<E,*>$ un magma con neutro $e$ Decimos que un elemento $a$ de $E$ es invertible (respecto a la operación), ssi, hay un elemento $b$, al que llamamos un inverso de $a$, y que es tal que

$a*b=b*a=e.$

Observación. El neutro es su propio inverso.

Sea * una operación en el conjunto $E$ con neutro $e$. Como $e*e=e$ tenemos que el elemento neutro es invertible y que es su

propio inverso.

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Ejemplo 2.2.

Consideremos la suma en el conjunto de los números naturales positivos. La operación es asociativa y conmutativa, pero no tiene neutro, ya que el 0 no está en ese conjunto.

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Ejemplo 2.3 (Los Enteros).

La Suma en los Enteros tiene neutro 0 y cada elemento $a$ tiene un inverso respecto a la suma, $(-a)$, ya que $a+(-a)=(-a)+a=0$

La Multiplicación tiene neutro 1 y los únicos elementos invertibles son $1$ y $-1$---ya que $1$ es el neutro y $(-1)(-1)=1$ .

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Probaremos, a continuación, que cuando la operación sea asociativa, cada elemento invertible tiene exactamente un inverso.

Proposición 2. (Unicidad de los Inversos) Cuando la operación es asociativa, cada elemento invertible tiene exactamente un inverso.

Demostración Sean $b$ y $b'$ inversos de $a$ Se tiene entonces que $b=b*e=b*(a*b')=(b*a)*b'=e*b'=b'.$Lo que prueba la proposición.

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La proposición tiene la siguiente interesante consecuencia.
Corolario 2.1. Cuando para cierta operación con neutro, hay un elemento que tiene al menos dos inversos diferentes, la operación no puede ser asociativa.

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Como cada elemento invertible tiene un único inverso, hablaremos de el

inverso del elemento. Cuando $a$ tenga inverso, simbolizaremos

dicho inverso por $a^{-1}.$

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La proposición anterior tiene los siguientes importantes corolarios
Corolario 2.2. Sea * una operación asociativa en un conjunto E.

1. Sea $a$ un elemento invertible. Entonces, su inverso también tine inverso, que es el elemento original $a.$ Es decir, $(a^{-1})^{-1}=a.$
2. Sean $a,b$ elementos invertibles, entonces su producto $a*b$ también es invertible y se cumple que $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}.$

   (Notemos el cambio de orden en el lado derecho) Es decir que el inverso de un producto de dos elementos invertibles es invertible y su inverso es el producto de los inversos de los factores pero con el orden cambiado.

Demostración. Sean $a$ y $b$ elementos invertibles.

1. Como $a^{-1}*a=e$ y $a*a^{-1}=e$ vemos que $a$ es un inverso de $a^{-1}$ Por la unicidad de los inversos, $a$ debe ser \textbf{el} inverso de $a^{-1}$.
2. Se tiene que ${\begin{array}{rcl}(a*b)*(b^{-1}*a^{-1})&=&a*(b*b^{-1})*a^{-1}=a*e*a^{-1}a=a*a^{-1}=e\\(b^{-1}*a^{-1})*(a*b)&=&b^{-1}*(a*a^{-1})*b^{-1}=b^{-1}*e*b=b^{-1}*b=e.\end{array}}$

   Por la unicidad de los inversos, tenemos el resultado.

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Interrogante. ¿Por qué fue necesario suponer asociatividad en la proposición anterior?

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Ejemplo 2.4.

Recordemos la operación $\oplus$ definida en los Enteros por $a\oplus ~b=a+ab+ab$ Vimos anteriormente que esa operación es asociativa, conmutativa y tiene neutro 0. Nos preguntamos ahora, ¿cuáles elementos tienen inverso respecto a esa operación?

Resolución. Supongamos que $a$ es un número entero con inverso $x$ respecto a $\oplus$ Entonces,

${\begin{array}{lrcl}&a\oplus x&=&0\\\implies &a+x+ax&=&0\\\implies &x(1+a)&=&-a\end{array}}$

Lo que prueba que $a$ tendrá inverso, ssi, podemos dividir por $1+a$ en los Enteros. Es decir, ssi, $1+a=1$ o $1+a=-1$ Por lo que $a=0$ o $a=-2$ son los únicos posibles elementos invertibles, y sus inversos serían, respectivamente, 0 y $-2$ Como $0$ es el neutro, sabíamos que tenía inverso y que era él mismo. Verifiquemos el caso de $-2,$

$(-2)\oplus (-2)=(-2)+(-2)+(-2)(-2)=0.$

Luego, los únicos elementos invertibles respecto a $\oplus$ son el neutro y $-2$.

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Los Elementos Cancelables

En los números Enteros, la relación $3x=3y$ implica que $x=y$, a pesar de que no hay división por 3 en los enteros. Esa cancelación del 3 se generaliza en la siguiente definición, que habla de cancelación por la izquierda o derecha, ya que las operaciones no son necesariamente conmutativas.

Definición. (Elementos Cancelables) Sea <E, *> un magma. Decimos que un elemento $a$ es cancelable por la izquierda, ssi, para todo x,y en E se cumple que $a*x=a*y\implies x=y.$

Decimos que un elemento a es cancelable por la derecha, ssi, para todo x, y de E, se cumple que

$x*a=y*a\implies x=y.$

Decimos simplemente que un elemento es cancelable, cuando lo sea tanto por la derecha como por la izquierda.

Ejemplo 2.5.

En los Enteros, con respecto a la multiplicación, todos los elementos no nulos son cancelables.

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Probaremos, a continuación, que cuando un elemento es invertible, ese elemento es cancelable. El recíproco de lo anterior no es cierto como lo muestra el ejemplo de la multiplicación en los Enteros.

Proposición 3. (Invertibles son cancelables) Cada elemento invertible respecto a una operación asociativa es cancelable.

Demostración: Sea $a$ un elemento invertible con inverso, digamos, $b.$ Entonces ${\begin{array}{rcl}a*x=a*y&\implies &b*(a*x)=b*(a*y)\implies (b*a)*x=(b*a)*y\\&\implies &e*x=e*y\implies x=y,\quad {\text{y}}\\x*a=y*a&\implies &(x*a)*b=(y*a)*b\implies x*(a*b)=y*(a*b)\\&\implies &x*e=y*e\implies x=y.\end{array}}$

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Ejemplo 2.6.

Volvemos a examinar la operación $\oplus$ del ejemplo 1.8, para determinar elementos cancelables respecto a esa operación.

Resolución: Sean $a$, $x$, $y$ enteros cualesquiera.

${\begin{array}{lrcl}&a\oplus x&=&a\oplus y\\\implies &a+x+ax&=&a+y+ay\\\implies &(1+a)x&=&(1+a)y.\end{array}}$Lo que implica que $x=y$ cuando

$1+a\neq 0$ Es decir que todos los elementos diferentes de $-1$ son cancelables.

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Convenios de notación

Podemos simbolizar una operación de muchas maneras diferentes, pero hay algunas maneras que usamos más frecuentemente. Por ejemplo, las sumas se simbolizan usando $+$ o algo parecido, $\oplus$. Cuando usemos $+$ hablaremos de la notación aditiva. Usaremos preferentemente la notación aditiva cuando la operación sea conmutativa. Por su parte, la multiplicación se denota por $\cdot$ o nada y diremos que estamos usando la notación multiplicativa. Cuando queramos insistir en la abstracción, usaremos la notación $\ast$ La siguiente tabla resume los convenios notacionales acerca de esas notaciones.

Si la operación es	+	$\cdot$	*
la notación es	Aditiva	Multiplicativa	General
el neutro es	0	1	e
el inverso es	-a	$a^{-1}$	$a^{-1}$
	opuesto aditivo	recíproco	inverso

Observaciones.

1. (Terminología) Algunos autores llaman leyes de composición a las operaciones, elementos simetrizables a los invertibles.
2. Nuestra definición de operación es aquella de una operación binaria porque asocia a dos elementos del conjunto un valor. Como esas será, en la práctica, la única forma de operación que usaremos, hemos omitido el apellido. Sin embargo podemos definir operaciones con otra cantidad de argumentos. Véase, por ejemplo, el apéndice sobre la Teoría de Estructuras Algebraicas.
3. Nuestra definición de operación es aquella de una operación interna. Hay otra clase operaciones llamadas externas en un conjunto E, que son funciones $A\times E\rightarrow E$, donde A usualmente tiene también una estructura algebraica. El ejemplo típico de operación externa es el producto de un escalar (número) por una matriz, o de una constante (número) por una función.

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Ejemplo: F(X,X)

Sea X un conjunto no vacío. Simbolizamos por $F(X,X)$ al conjunto formado por todas las funciones del conjunto X en si mismo. La composición de funciones es una operación en ese conjunto.

Este es un ejemplo importante, que reaparecerá varias veces en el futuro. Ilustra un conjunto con una operación donde hay elementos cancelables que no son invertibles o que son cancelables por la izquierda, pero no por la derecha, etc.

• La composición de funciones define una operación asociativa en F(X,X).
• La función identidad $1_{X}$ que envía cada elemento de X en si mismo, es un neutro para la composición.

En F(X,X) tenemos funciones inyectivas, suprayectivas, y biyectivas. Se sabe por resultados generales que:

• Las funciones inyectivas son cancelables por la izquierda.

Recordemos que una función $f:X\rightarrow Y$ es inyectiva, ssi, para todo $x$, $y$,\\ $f(x)=f(y)$ implica que $x=y$. Supongamos que $f,g,h:X\rightarrow X$ son 0funciones tales que $f\circ g=f\circ h$ y que $f$ es inyectiva. Entonces, para todo $x$, $y$ en $X$

$(f\circ g)(x)=(f\circ h)(y)\implies f(g(x))=f(h(x))\implies g(x)=h(x)$.

Por lo que $f=g$ (toman el mismo valor para cualquier elemento de $X$).

• Las funciones suprayectivas son cancelables por la derecha.

Recordemos que una función $f:X\rightarrow Y$ es suprayectiva, ssi, para todo $y$ en$Y$, hay un $x$ en $X$ tal que$f(x)=y$ . Supongamos que $f,g,h:X\rightarrow X$ son funciones tales que $g\circ f=h\circ f$ y que $f$ es suprayectiva. Entonces, para todo $y$ en $X$ hay un $x$ en$X$ tal que $y=f(x)$.

Luego, $g(f(x))=h(f(x))\implies g(y)=h(y)$. Por lo que$g=h.$

• Las funciones biyectivas, por ser inyectivas y suprayectivas son cancelables por izquierda y derecha. De hecho, son invertibles.

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Ejemplo. Los Enteros Módulo m

Sea $m$ un número entero positivo. Llamamos enteros módulo $m$ al conjunto denotado por $\mathbb {Z} _{m}$ y que está formado por los enteros, pero sujeto a la condición $m=0$. Las operaciones de suma, resta y multiplicación son aquellas de los enteros son aquellas de los enteros, pero computadas usando la condición indicada.

Por ejemplo, cuando $m=5$, se tiene que $2+2=4$, $2+3=5=0$, $2+6=5+1=1$, etc. Además, se tiene que $12=7=2$, ya que $12=7+5=7=5+2=2$.

Sea $x$ un entero cualquiera, dividiendo por $m$ se obtiene un cociente $q$ y un residuo $r$, $0\leq r<m$, tal que $x=qm+r.$

Por lo que en $\mathbb {Z} _{m}=r$. Es decir que en $\mathbb {Z} _{m}$ hay solamente tantos elementos como residuos en la división por $m$, o sea $0,1,2,\dots ,m-1$.

Las operaciones de $\mathbb {Z} _{m}$, por ser las operaciones en los enteros, son asociativas, conmutativas, y la multiplicación es distributiva respecto a la suma

Notemos, que $x+(m-x)=m=0$, lo que implica que cada elemento $x$ de $\mathbb {Z} _{m}$ tiene un opuesto aditivo.

En $\mathbb {Z} _{5}$, el elemento 2 tiene inverso multiplicativo 3, ya que $2\cdot 3=6=1$. Como se verá en ejemplos y ejercicios posteriores, no siempre elementos de $\mathbb {Z} _{m}$ tienen recíprocos. Por ejemplo en $Z_{4}$, $2*0=0$, $2*1=2$, $2*2=0$, $2*3=2$, lo que muestra que $2$ no tiene inverso multiplicativo.

Ejercicios

1. Sea $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ el conjunto de números reales de la forma $p+q{\sqrt {5}}$, donde $p$ y $q$ son números racionales. Probar que la suma y el producto de dos números de esa forma son de la misma forma. Probar que $p+q{\sqrt {5}}$. tiene un recíproco de la misma forma, cuando $p$ y $q$ no son ambos nulos.
2. (Enteros módulo $m$)
   1. En $\mathbb {Z} _{6}$, con la multiplicación. ¿Cuáles elementos tienen recíprocos?
   2. En $\mathbb {Z} _{5}$, con la multiplicación ¿cuáles elementos tienen recíprocos?
3. Probar que si para un elemento $x$ de un magma $E$ se cumple que $x^{2}=e$, donde $e$ es un neutro. Entonces, $x$ es invertible.
4. Sea $E$ un magma asociativo con neutro $e$. Suponer además que $x$ y $y$ son elementos invertibles del magma. No suponga conmutatividad. Simplificar las siguientes expresiones.
   1. $(x^{-1}y)^{-1}.$
   2. $(xyx^{-1})^{-1}.$
   3. $(yxy^{-1})^{2}.$.
5. Sea $E$ un magma asociativo, pero no conmutativo. Sean $x$, $y$ y $z$ elementos invertibles de $E$. ¿Cuál es el inverso de $xyz$?

Las Partes Cerradas

Definición. (Cerraduras) Sea E un magma. Decimos que un subconjunto $S$ de $E$ es:

• cerrado respecto a la operación cuando el producto de dos elementos de $S$ está siempre en $S$.
• cerrado respecto a tomar neutro, cuando contiene al neutro.
• cerrado respecto a tomar inversos, cuando para cada $x\in S$, el recíproco de $x$, también está en $S$.

Ejemplo 3.1.

Sea $<\mathbb {R} ,\cdot >$ el magma multiplicativo de los Reales y sea $S$ el conjunto de los reales positivos, ${\mathbb {R} }^{+}$. Los positivos son cerrados respecto a la multiplicación, al neutro y a tomar recíprocos (inversos multiplicativos).

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Operación Restringida.

Cuando un conjunto es cerrado respecto a una operación, dicha operación define por restricción una operación en el conjunto cerrado. Aunque, en rigor, la operación restringida es una operación diferente a la operacíón en todo el conjunto, ya que como función se han cambiado su dominio y codominio, es tradicional usar la misma notación para la operación restringida.

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Ejemplo 3.2.

Sea S el conjunto formado por todos los números complejos de la forma $m+n{\sqrt {-5}}$ donde $m$ y $n$. Sean $z=m+n{\sqrt {-5}}$ y $w=p+q{\sqrt {-5}}$ elementos de S.

1. Probaremos que con respecto a la adición S es cerrado respecto a la operación, al neutro y a los opuestos aditivos.
   1. $z+w=(m+p)+(n+q){\sqrt {-5}}$. Como la suma de enteros es un entero, tenemos que z + w es un elemento de S, lo que prueba la cerradura respecto a la suma,
   2. Como $0=0+0{\sqrt {-5}}$, el neutro es un elemento de S
   3. El opuesto aditivo de Z es $(-m)+(-n){\sqrt {-5}}$, que también es un elemento de S.
2. Probaremos que S es cerrado respecto a la multiplicación y al neutro multiplicativo1; pero, veremos que no es cerrado respecto a tomar recíprocos.
   1. Como $zw=(m+n{\sqrt {-5}})(p+q{\sqrt {-5}}=(mp+5nq)+(mq+np){\sqrt {-5}}$, los productos de elementos en S están en S, o sea que S es cerrado respecto a la multiplicación.
   2. Como $1=1+0{\sqrt {-5}}$, el neutro 1 está en S.
   3. Como $(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})=6$, el recíproco de $1+{\sqrt {-5}}$ es igual a ${\frac {1}{6}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {-5}},$ que no está en S.

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Proposición 4. Cuando la intersección de dos partes cerradas no es vacia, dicha intersección es una parte cerrada.

Demostración: Sean $S$ y $T$ partes cerradas respecto a una operación $*$. Sean $x$, $y$ elementos de $S\cap T$. Como $x,y$ están en $S$, su producto está en $S$. Análogamente, su producto está en $T$. Luego, el producto está en $S\cap T$.

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Tablas de Operaciones

Cuando el conjunto donde actúa una operación es finito y con relativamente pocos elementos, podemos presentar a la operación como una tabla de la operación, que es un arreglo como el siguiente.

${\begin{array}{c|cccc}*&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\end{array}}$

El producto b * c se obtiene en la intersección de la fila que contiene a b con la columna que contiene a c. En esta tabla, b * c = a.

Notemos que la fila y columna de e reproducen la fila y tabla de elementos del conjunto, lo que indica que e es neutro.

Veamos como buscar en la tabla si un elemento tiene inverso, digamos que buscamos el inverso de b. Nos movemos por la fila del b hasta hallar el neutro. Si no hallamos un neutro, eso significa que no hay inverso. En este caso hallamos e (neutro en este caso) en la columna del b, lo que nos dice que b * b = e. Por lo que b^-1 = b.

En general, si hallamos x * y = e ( e neutro), antes de concluir sobre inversos, debemos chequear y * x (a menos que haya conmutatividad u otra situación especial, no hay nada que indique que y * x = x* y = e).

Cuando la tabla, como en este caso, es simétrica respecto a la diagonal principal (desde izquierda arriba a derecha abajo), tenemos que la operación es conmutativa.

Ejemplo 4.1. (Las tablas de $\mathbb {Z} _{6}$).

Sabemos que $\mathbb {Z} _{6}$ tiene solamente seis elementos, a saber

$\mathbb {Z} _{6}=\{0,1,2,3,4,5\}.$

Presentamos las tablas de la operaciones como ejemplos de tablas finitas. Queda de asignación verificar la corrección de las mismas.

${\begin{array}{c|cccccc}+&0&1&2&3&4&5\\\hline 0&0&1&2&3&4&5\\1&1&2&3&4&5&0\\2&2&3&4&5&0&1\\3&3&4&5&0&1&2\\4&4&5&0&1&2&3\\5&5&0&1&2&3&4\end{array}}\qquad \qquad {\begin{array}{c|cccccc}\cdot &0&1&2&3&4&5\\\hline 0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5\\2&0&2&4&0&2&4\\3&0&3&0&4&2&3\\4&0&4&3&2&1&2\\5&0&5&4&3&2&1\end{array}}$

Mirando a la tabla de suma o por simple computación) vemos que 2 + 4 =0, o sea que -2 = 4. ¿Qué otros elementos tienen opuestos aditivos? En la tabla de multiplicación vemos que 5*5 = 1, o sea que 1/5 =5. ¿Qué otros elementos tiene recíproco?

Finalmente, observemos que {1,5} es un subconjunto cerrado para la multiplicación.

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Productos Múltiples, Potencias

Los lectores seguramente han visto anteriormente sumatorias de números,

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+\dots +a_{n}.$

Operaciones Generalizadas. Supongamos que tenemos un magma $<E,*>$ y una sucesión $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ de elementos de E.

Supongamos que queremos hallar el producto de todos ellos. En el texto, hemos aprovechado la experiencia manipulativa de los lectores para no preocuparnos demasiado de ese asunto. La situación es que, por definición, nuestra operación es binaria por lo que no hay como hallar, sin un convenio previo, el producto de una sucesión con más de dos elementos.

Si tuviéramos tres elementos, digamos a, b y c, podríamos formar producto con los tres de una de las siguientes maneras

$a*(b*c),\quad (a*b)*c$

Notemos que los paréntesis se usan para agrupar dos a la vez. Cuando la operación es asociativa, ambas expresiones representan al mismo elemento. Pero, si la operación no fuera asociativa, ¿cuál de las dos sería el producto de esos tres elementos?

Cuando hay cuatro elementos, hay muchas más posibilidades de agrupamientos, dos a la vez.

Definiremos una noción análoga a las sumatorias para un producto de una sucesión cualquiera.

Definición. (Producto Generalizado) Sea <E,*> un magma y sea $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$. Llamamos producto de los elementos de la sucesión (en el orden indicado) al elemento de E, denotado por $\prod _{i=1}^{n}a_{i}$ y definido como

$a_{1}*a_{2}*\dots *a_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}:={\begin{cases}a_{1}&{\text{si }}n=1\\(\prod _{i=1}^{k}a_{i})*a_{k+1}&{\text{si }}n=k+1\end{cases}}$

Es fácil ver, por inducción, de que efectivamente se ha definido un elemento de E.

Sigue de la definición que

• ($n=2$) $a_{1}*a_{2}=(a_{1})*a_{2}=a_{1}*a_{2}.$
• ($n=3$) $a_{1}*a_{2}*a_{3}:=(a_{1}*a_{2})*a_{3}.$
• ($n=4$) $(a_{1}*a_{2}*a_{3})*a_{4}=((a_{1}*a_{2})*a_{3})*a_{4}.$.

Notemos que la definición no requiere que la operación sea asociativa.
Cuando la operación sea asociativa, se puede probar que podemos reagrupar como queramos los elementos de la sucesión. Por ejemplo,

$a_{1}*\dots *a_{5}=a_{1}*(a_{2}*a_{3})*(a_{4}*a_{5})=a_{1}*(a_{2}*a_{3}*a_{4})*a_{5}.$

Cuando la operación sea además conmutativa, el producto multiple es el mismo para cualquier permutación (reordenamiento) de los índices.

Cuando la operación tenga neutro $e$, se acuerda que el producto de una sucesión vacía es igual al elemento neutro.

En notación aditiva, la definición anterior es la usual definición de sumatoria

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}:={\begin{cases}a_{1}&{\text{si }}n=1\\(\sum _{i=1}^{k}a_{i})+a_{k+1}&{\text{si }}n=k+1.\end{cases}}$

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Asociatividad. Cuando la operación es asociativa, se puede probar que independiente de la manera que agrupemos los elementos de la sucesión--siempre y cuando, mantengamos el orden de aparición---el producto siempre es el mismo.

La demostración consiste en considerar particiones de [1,..,n] que preserven el orden y mostrar que el producto de $a_{1},\dots ,a_{n}$ es igual al

producto de los productos parciales.

Por ejemplo, en el caso $n=7$ si tenemos 1,2|3,4,5|6,7. Entonces

deberíamos probar que $\prod _{i=1}^{3}b_{i}=\prod _{i=1}^{7}a_{i}$, donde $b_{1}=a_{1}*a_{2},\quad b_{2}=a_{3}*a_{4}*a_{5},\quad b_{3}=a_{6}*a7.$ Es decir que

$\underbrace {(a_{1}*a_{2})} _{b_{1}}*\underbrace {(a_{3}*a_{4}*a_{5})} _{b_{2}}*\underbrace {(a_{6}*a_{7})} _{b_{3}}=\prod _{i=1}^{7}a_{i}.$

La demostración formal procede por inducción sobre n. Los lectores

experimentados con este tipo de demostraciones puede intentarlo por su cuenta. La demostración formal se puede hallar en las referencias bibliográficas , o .

También en la página Semigrupos, Monoides,... de WikiLibros, donde puede hallarse demostraciones tanto de la asociatividad como de la conmutatividad generalizadas.

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Al igual que hay sumatorias de la forma $\sum _{i=5}^{20}a_{i}$, podemos definir productos multiples de sucesiones de elementos cuyos subíndices sean un subconjunto ordenado finito de $\mathbb {N}$. Dejaremos al cuidado de lectores y lectoras tales generalizaciones.

En cursos primeros de matemáticas, se define la potencia natural de un número $a$ como el producto de $a$ consigo mismo $n$ veces, denotado por $a^{n}$. Usando la definición de producto multiple definiremos $a^{n}$ como el producto de $n$ factores, todos ellos iguales a $a$.

Definición. (Potencia) Sean $*$ una operación en el conjunto $E$, $a$ un elemento de $E$, y $n$ un natural positivo. Definimos $a^{n}$ como el producto $a_{1}*a_{2}*\dots *a_{n}$, cuando $a_{1}=a_{2}=\cdots a_{n}=a$. Cuando la operación tiene neutro $e$, se define, además, $a^{0}:=e$

Observación. Sigue de la definición que $a^{1}=a$, $a^{k+1}=a^{k}*a$. Proposición ## (Propiedades de las Potencias)

Sea $*$ una operación asociativa en $E$, $a$ y $b$ elementos de $E$, $m$ y $n$ naturales positivos.

1. $a^{m+n}=a^{m}*a^{n}$.
2. $a^{mn}=(a^{m})^{n}$.
3. Si $a*b=b*a$, $a*b^{n}=b^{n}*a$.
4. Si $a*b=b*a$, $(a*b)^{m}=a^{m}*b^{m}$.
5. Si la operación tiene neutro $e$, las relaciones anteriores son válidas para naturales cualesquiera. Además se cumple que $e^{n}=e$, para todo natural.

Demostración Aprovechando la observación anterior, usaremos inducción sobre $n$ para las pruebas.

1. ($n=1$) $a^{m+1}=a^{m}*a=a^{m}*a^{1}$. Suponiendo que $a^{m+k}=a^{m}*a^{k}$
   $a^{m+(k+1)}=a^{(m+k)+1}=a^{m+k}*a=(a^{m}*a^{k})*a=a^{m}*(a^{k}*a)=a^{m}*a^{k+1}$.
2. $(a^{m})^{1}=a^{m}=a^{m\cdot 1}$. Suponiendo que $(a^{m})^{k}=a^{mk}$.
   $(a^{m})^{k+1}=(a^{m})^{k}*a^{m}=a^{mk}*a^{m}=a^{mk+m}=a^{m(k+1)}$.
3. $a*b^{1}=a*b=b*a=b^{1}*a$. Suponiendo que $a*b^{k}=b^{k}*a$,
   $a*b^{k+1}=a*(b^{k}*b)=(a*b^{k})*b=(b^{k}*a)*b=b^{k}*(a*b)=b^{k}*(b*a)=(b^{k}*b)*a=b^{k+1}*a$.
4. $(a*b)^{1}=a*b=a^{1}b^{1}$. Suponiendo que $(a*b)^{k}=a^{k}*b^{k}$, $(a*b)^{k+1}=(a*b)^{k}*(a*b)=(a^{k}*b^{k})*(a*b)=a^{k}*(b^{k}*a)*b=a^{k}*(a*b^{k})*b=(a^{k}*a)*(b^{k}*b)=a^{k+1}b^{k+1}$.
5. Ejercicio.

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Ejercicios del Capítulo

1. Completar los espacios en blanco
   1. Una operación en un conjunto E es una función de _________ en _____.
   2. Un elemento neutro de una operación * de un conjunto E es un elemento e tal que para todo x en E se cumple que ______________ y ______________ .
   3. Un elemento x es un inverso de un elemento y, ssi, __________ y ________.
   4. Un conjunto S es cerrado respecto a una operación, cuando para cada par x, y de elementos de S se cumple que __________________
   5. Cuando el orden de los operandos no altera el resultado (producto) de una operación, la operación es ________________.
   6. Cuando la notación es aditiva, el neutro usualmente se simboliza por __.
   7. Cuando la notación es aditiva, llamamos _____________ ______________ al inverso.
2. ¿Cuáles de las siguientes especificaciones determinan una operación en el conjunto de los naturales positivos, $\mathbb {N} ^{+}$? En caso afirmativo, determinar las propiedades de las operaciones y la existencia de neutro y de inversos.
   1. $a\#b:=\max\{x,y\}$.
   2. $a\wedge b:=$ máximo común divisor de a y b.
   3. $a\vee b:=$mínimo común divisor de a y b.
   4. $a\otimes b:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.
3. Construir la tabla de $\mathbb {Z} _{2}$ (enteros módulo 2) y $\mathbb {Z} _{3}$ respecto a la suma.
4. Construir la tabla de $\mathbb {Z} _{5}$ (enteros módulo 5) respecto a la multiplicación. Mirando la tabla determinar el neutro y los elementos que tienen recíproco.
5. Cada una de las siguientes tablas es una tabla de un operación asociativa. Examinando la tabla determinar si hay elementos neutros y cuáles elementos tienen inversos. ${\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&a&b&c\\b&b&b&b&c\\c&c&c&c&c\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&b&c&e\\b&b&c&e&a\\c&c&e&a&b\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\end{array}}$
6. Escribir en forma precisa el procedimiento para determinar en una tabla de una operación
   1. ¿cuál es el elemento neutro?
   2. ¿cuáles elementos tienen inversos?
7. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la adición en los Enteros?
   1. El subconjunto formado solamente por el 0, $\{0\}$.
   2. Los múltiplos de 9.
   3. Los múltiplos de 23.
   4. Generalizar los ejercicios anteriores.
   5. $\{1,0,-1\}$.
   6. Los Enteros positivos.
   7. Los Primos.
8. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la multiplicación en los Enteros?
   1. Los números pares.
   2. Los números impares.
   3. Los múltiplos de 5.
   4. Los Enteros positivos.
   5. Los Enteros negativos.
9. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la adición en los Racionales?
   1. Los Racionales positivos.
   2. Los Racionales negativos.
   3. Los números de la forma $m/2^{n}$, donde m es un entero cualquiera y n es un número natural.
   4. Los números de la forma $m/10^{n}$ donde m es un entero positivo y n es natural.
10. Probar que el conjunto $\{1,-1,i,-i\}$, donde $i^{2}=-1$, es cerrado respecto a la multiplicación en los Complejos. Construya la tabla correspondiente a esa operación,
11. Sea A una parte cerrada respecto a una operación. Explicar por qué cuando operación es asociativa (resp.conmutativa), su restricción a A también lo será.
12. Sea $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ el conjunto formado por todos los números reales de la forma $p+q{\sqrt {5}}$ donde $p$ y $q$ son racionales. Probar que $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ es cerrado respecto a la multiplicación en los Reales.
13. Sea X un conjunto y sea $\mathbb {P} (X)$ el conjunto formado por todos los subconjuntos de X. Investigar si la unión e intersección de subconjuntos son operaciones y sus propiedades.
14. Sea E un magma. Decimos que dos elementos a y b permutan o conmutan entre si, ssi, ab = ba. probar que si la operación es asociativa y a conmuta con b y c, entonces, a conmuta con b * c.
15. ¿Cuántas operaciones diferentes se pueden definir en un conjunto con dos elementos?, ¿cuántas son conmutativas?

3. Las Estructuras Algebraicas

Introducción

Cuando a un conjunto lo proveemos de una o más operaciones, obtenemos una estructura algebraica. En este capítulo, veremos algunas de las estructuras clásicas con una o dos operaciones.

Las estructuras se clasifican por la cantidad de operaciones que aparecen en la estructura, las propiedades de esas operaciones, la existencia de elementos o subconjuntos destacados y las relaciones (de orden u otras) entre los elementos del conjunto base.

Presentaremos diversos tipos de estructuras con ejemplos de cada uno de esos tipos. Resultará importante familiarizarse con esos ejemplos, ya que nos referiremos a la mayoría de ellos en capítulos posteriores.

Estructuras Algebraicas

Una Estructura Algebraica o Sistema Algebraico es un lista de la forma <E, p₁, p₂ , ...> donde E es un conjunto (llamado el conjunto base o portador de la estructura) y p₁, p₂ , ... son los parámetros de la estructura. Dichos parámetros son usualmente operaciones en E, incluyendo operaciones externas (operaciones tales como la multiplicación por constante de una función, o escalar por matriz). También puede haber relaciones entre los elementos de E.

Las operaciones pueden ser de varios tipos. Además de las operaciones vistas en el capítulo anterior, que son operaciones binarias porque tienen dos operandos, hay operaciones unarias, ternarias, etc.

El Álgebra Abstracta es el estudio de las diferentes estructuras---definiciones, propiedades, relaciones entre ellas, etc--- independiente de la naturaleza de los elementos del conjunto base. Como veremos en el texto, varios conjuntos diferentes sirven de conjunto base de una misma estructura. A medida que avancemos en el texto, discutiremos más detalles acerca de las estructuras. Una discusión más detallada puede hallarse en el apéndice sobre la Teoría de Estructuras Algebraicas.

Estructuras con una Operación

Nuestro estudio empezará con estructuras muy simples ya que la lista de parámetros incluye solamente a una operación. Veremos las estructuras de magma, semigrupos, monoides y grupos.

Definición de Magma

La estructura algebraica más simple que consideraremos, magma, fue introducida en el capítulo anterior. Recordaremos a continuación su definición.

Definición. (Magma) Llamamos magma a un par <E,*> donde E es un conjunto no vacío y $*$ es una operación en el conjunto.

Ejemplos.

1. Los Enteros con la suma, $<\mathbb {Z} ,+>$, o con la multiplicación, $<\mathbb {Z} ,\cdot >$.
2. Los Racionales, los Reales, los Complejos con respecto a la suma y también a la multiplicación.
3. Los Enteros con la resta.

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Sea <E,*> un magma. Cuando no haya ambigüedad acerca de la operación de un magma, podremos hablar simplemente del magma E. Otras veces, podremos hablar del magma E con la operación *.

Definiciones de Semigrupo, Monoide y Grupo

Definición. (Semigrupo, Monoide, Grupos)

• Un semigrupo es un magma con operación asociativa.
• Un monoide es un semigrupo con elemento neutro.
• Un grupo es un monoide cuyos elementos son todos invertibles respecto a la operación.

Un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es conmutativo (o abeliano) cuando la operación es conmutativa.

Un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es finito, cuando el conjunto base lo es.

Decimos que un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es aditivo (resp. multiplicativo) cuando la operación se denote como una suma (resp. multiplicación). Usualmente, cuando la operación es conmutativa se denota aditivamente.

Ejemplos.

1. Los Enteros con la resta forman un magma que no es un semigrupo, ya que la resta no es asociativa.
2. Los Naturales positivos con la suma forman un semigrupo (la suma es asociativa) que no es un monoide, ya que el neutro 0 no está en el conjunto.
3. Los Naturales con la suma forman un monoide que no es grupo, ya que los opuestos aditivos de los naturales positivos no están en el conjunto.
4. Los Enteros con la suma forman un grupo abeliano.
5. Los Racionales, Los Reales y los Complejos, con la suma determinan grupos abelianos.
6. Los Racionales, los Reales y los Complejos no nulos, con la multiplicación usual, determinan grupos abelianos.

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Observaciones acerca de las estructuras y de la terminología asociada.

• En rigor, debiéramos decir, por ejemplo, que $<\mathbb {Z} ,+>$ "tiene o posee una estructura de grupo", o que es una "instancia de la estructura de grupo", pero simplemente decimos $<\mathbb {Z} ,+>$ es un grupo o hablamos del grupo (aditivo) de los Enteros.
• En rigor, deberíamos especificar a un monoide como (que tiene) una estructura $<M,*,e>$ para indicar la existencia del neutro e. Igualmente, un grupo debiera especificarse como $<G,*,e,x\mapsto x^{-1}>$ para indicar que hay, además, inversos para cada elemento. Sin embargo, cuando no haya riesgo de confusión mencionamos solamente el conjunto, la operación y el tipo de estructura.
• (Descendientes, Ascendientes, Subyacentes) Observemos que hemos definido a las estructuras magma, semigrupos, monoides y grupos, como que cada una es un caso especial de la anterior. Decimos que una estructura es descendiente de una segunda estructura, cuando sea un caso especial de la otra. En tal situación, decimos que la segunda estructura es un ascendiente de la primera. Por ejemplo, las estructuras de semigrupos, monoides y grupos son descendientes de la estructura de magma. Cuando una estructura es descendiente de otra, podemos ignorar lo que la hace distinta de la segunda, y decimos que tiene una estructura \textit{subyacente} del tipo de la segunda. Por ejemplo, el grupo $<\mathbb {Z} ,+>$, o sea, $<\mathbb {Z} ,+,0,x\mapsto -x>$ tiene una estructura subyacente de monoide $<\mathbb {Z} ,+,0>$ (nos olvidamos de los opuestos aditivos). También tiene una estructura subyacente de semigrupo, $<\mathbb {Z} ,+>$. Cuando una estructura es descendiente de otra, podemos ignorar lo que la hace distinta de la segunda, y decimos que tiene una estructura \textit{subyacente} del tipo de la segunda.
• (Herencia) La razón de llamar descendientes a las estructuras especiales es para señalar que las propiedades de una estructura son heredadas por sus descendientes.
  En Álgebra Abstracta, se prefiere siempre enunciar y probar los enunciados en la estructura más general posible, para que sirva para todos sus descendientes.

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Sigue de la observaciones anteriores que todas las propiedades de magmas probadas en el capítulo anterior son válidas para semigrupos, monoides y grupos.

Propiedades de Monoides

Un monoide puede contener elementos invertibles, aunque no sea un grupo. Por ejemplo, los Enteros no nulos con la multiplicación forman un monoide que no es grupo, ya que los enteros diferentes de 1, -1 no tienen recíprocos. Sin embargo, 1 y -1 tienen inversos que son ellos mismos. Esto implica que el conjunto U = {1,-1} determina con la multiplicación un grupo. La situación es bastante general, como lo muestra la siguiente proposición.

Proposición 1. (Grupo de invertibles de un Monoide) Sea <M,*> un monoide y sea U_M el conjunto formado por todos los elementos de M que son invertibles. Entonces < U_M, *> es un grupo.

Demostración: Como el producto de invertibles es invertible, U_M es cerrado respecto a la operación, por lo que la restricción de la operación a U_M define allí una operación. El neutro siempre es invertible, por lo que el neutro es un elemento de U_M. Finalmente, los inversos de elementos invertibles son invertibles, por lo que cada elemento de U_M tiene inverso en U_M. Es decir que < U_M, *> es efectivamente un grupo.

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Ejemplos.

• Los Reales con la multiplicación forman un monoide cuyo grupo de invertibles esta determinado por los Reales no nulos. Igualmente, para los Racionales y los Complejos.
• Las matrices cuadradas con la multiplicación forman un monoide, cuyo grupo de invertibles, está formado por las matrices invertibles.

Orden de un Elemento

Definición. (Orden de un Elemento) Sea $M$ un monoide (o grupo) con neutro $e$ y $a$ un elemento de $M$, Cuando haya un número natural positivo $n$ tal que $a^{n}=e$, llamaremos orden de $e$ al menor entero positivo con esa propiedad. Cuando el conjunto de potencias de un elemento consista de elementos diferentes entre si, diremos que el elemento tiene orden infinito. Notación: $o(a)$.

Ejemplos.

1. El número imaginario $i$ es tal que $i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1$. Por lo que su orden es 4.
2. En un grupo aditivo, los múltiplos son las potencias. Por lo que un elemento a tiene orden finito n, cuando na = 0. En los Enteros, no hay números n positivos tales que $n\cdot 1$, por lo que el orden de 1 es infinito. En los Enteros módulo m, todos los elementos tienen orden finito respecto a la adición.

Proposición 2. Sea a un elemento de un monomio M con $o(a)=n$, o sea, tal que hay un entero positivo n tal que $a^{n}=e.$ Entonces, a es invertible con inverso $a^{n-1}.$

Demostración: $a*a^{n-1}=a^{n}=e=a^{n-1}*e.$

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Ejemplos.

• En los Enteros $(-1)^{2}=1$ Luego, $-1$ es invertible y su inverso es $(-1)^{2-1}=(-1)^{1}=-1$,
• E los Entremos módulo 5, se tiene que $2^{4}=16=1$. Luego, 2 tiene recíproco allí. Su recíproco es $2^{3}=8=3.$

Ejemplos

El Álgebra Abstracta como su nombre lo indica tiene su origen en la abstracción de propiedades de ejemplos existentes. Esta (relativamente larga sección, quiere mostrar algunos de esos ejemplos). Es importante que los lectores se familiaricen con ellos. Deben procurar, además, identificar las nociones vistas en el capítulo anterior: elementos neutros, invertibles, cancelables, partes cerradas.

Los Sistemas Numéricos

Nuestros sistemas numéricos son los Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos. A ellos siempre agregaremos los Enteros módulo cierto número.

Los principales resultados que el lector deberá examinar cuidadosamente para ver la validez de lo afirmado.

• <X, +> es un grupo abeliano, cuando $X=\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} .$
  Las relaciones de inclusión entre esos conjuntos producen subestructuras. (cuya definición formal veremos posteriormente). Como se trata de la misma operación, el mismo neutro y los mismos opuestos, decimos que los Enteros son un subgrupo aditivo de los Racionales (y de los Reales y de los Complejos). Igualmente, los Racionales son un subgrupo de los Reales y Racionales. Finalmente Los Reales forman un subgrupo de los Complejos.
• <X^*, $\cdot$> es un grupo abeliano cuando $X=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} .$ X^* indica los elementos no nulos de X.
• Los Enteros módulo m son un grupo respecto a la adición. Con respecto a la multiplicación, sus elementos no nulos, en general, forman un monoide.

El Grupo Simétrico

En el capitulo "Las Operaciones" destacamos al ejemplo $F(X,X)$ formado por todas las funciones de $X$ en si mismo. Vimos que dicho conjunto con la composición de funciones tiene una estructura de monoide. Por lo tanto, de acuerdo a la proposición 1, los elementos invertibles de dicho conjunto determinan con la composición un grupo al que llamamos el grupo simétrico de $X$ y que denotamos por ${\textsf {S}}_{X}$. Notemos que los elementos invertibles de $F(X,X)$ son las funciones biyectivas de $X$ en si mismo. Se puede verifica que cuando el conjunto $X$ tiene más de dos elementos, dicho grupo no es conmutativo.

Cuando $X=I_{n}:=\{1,2,\dots ,n\}$ es el conjunto formado por los primeros $n$ números naturales positivos, denotamos a ${\textsf {S}}_{X}$ por ${\textsf {S}}_{n}$ y le llamamos grupo de las permutaciones de n símbolos o grupo simétrico de grado n. Una permutación, en este contexto, es una función biyectiva de cualquier conjunto finito en si mismo.

Grupo de Permutaciones En forma general, llamamos grupo de permutaciones a un grupo G, tal que G es un subconjunto de algún ${\textsf {S}}_{n}$. Históricamente, estos fueron los primeros grupos estudiados.

Representación matricial de permutaciones. Cuando $f$ sea una función de I_n en si mismo, escribiremos la tabla de valores de la función de la siguiente manera

${\begin{pmatrix}1&2&3&...&n\\\sigma (1)&\sigma (2)&\sigma (3)&...&\sigma (n)\end{pmatrix}}$

Por ejemplo, todas las biyecciones de $I_{3}$ en si mismo son:

$\scriptstyle {\begin{matrix}f_{0}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}&f_{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}&f_{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}\\[5mm]f_{3}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}&f_{4}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}&f_{5}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}\end{matrix}}$

Las permutaciones están asociadas, usualmente, con reordenamientos. Mirando a la segunda fila, vemos porque llamamos permutaciones a esas funciones. La siguiente tabla muestra los resultados de la composición de esas funciones, es decir la tabla del grupo.

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La tabla de S_3. ${\begin{array}{c|cccccc}\circ &f_{0}&f_{1}&f_{2}&f_{3}&f_{4}&f_{5}\\\hline f_{0}&f_{0}&f_{1}&f_{2}&f_{3}&f_{4}&f_{5}\\f_{1}&f_{1}&f_{0}&f_{4}&f_{5}&f_{2}&f_{3}\\f_{2}&f_{2}&f_{3}&f_{0}&f_{1}&f_{5}&f_{4}\\f_{3}&f_{3}&f_{2}&f_{5}&f_{4}&f_{0}&f_{1}\\f_{4}&f_{4}&f_{5}&f_{1}&f_{0}&f_{3}&f_{2}\\f_{5}&f_{5}&f_{4}&f_{3}&f_{2}&f_{1}&f_{0}\end{array}}$

Mirando la falta de simetría respecto a la diagonal principal, vemos que la operación no es conmutativa. Claramente, f₀ es la identidad (como función) que es el neutro del grupo.

¿Cómo obtuvimos los resultados? Simplemente por composición de funciones. Veamos el cómputo de $f_{2}\circ f_{3}$

$f_{2}(f_{3}(1))=f_{2}(2)=1,\quad f_{2}(f_{3}(2))=f_{2}(3))=3,\quad f_{2}(f_{3}))=2.$

Luego, el producto es igual a f₁

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¿Cuántos elementos tiene ${\textsf {S}}_{n}$?

Razonando como reordenamiento de I_n, vemos que debemos ubicar los n elementos de ese conjunto en n posiciones. Tenemos n posibilidades para la primera posición, (n-1) para la segunda, (n-2) para la tercera, etc. Luego,

$|S_{n}|=n*(n-1)*\cdots 2*1=n!$

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Las Matrices 2 x 2

Denotamos por $M_{2}(\mathbb {R} )$ al conjunto formado por todas las matrices 2 x 2 con entradas o componentes números reales. Hay operaciones de suma y producto de matrices que recordamos a continuación.

${\begin{array}{lcl}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a+x&b+y\\c+z&d+w\end{bmatrix}}\\[5mm]{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}ax+bz&ay+bw\\cx+dz&cy+dw\end{bmatrix}}\end{array}}$

Dichas operaciones tienen las propiedades que indicaremos a continuación. La verificación de la validez de las mismas queda al cuidado de los lectores.

1. La suma de matrices es asociativa, conmutativa, tiene neutro ${\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}$ y cada matriz A tiene opuesto aditivo -A. Lo que nos dice que las matrices con la suma determinan un grupo abeliano.
2. La multiplicación de matrices es asociativa, pero no conmutativa. Tiene neutro $I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$. Por lo que las matrices con la multiplicación determinan un monoide. Las matrices con la multiplicación no determinan un grupo, porque no todas las matrices no nulas tienen inverso. En, efecto se sabe que únicamente las matrices con determinante no nulo son invertibles. Se sabe que si la matriz $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ tiene determinante (ad- bc) no nulo, su inversa es $A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}$

Las matrices invertibles determinan un grupo ya que el producto de invertibles es invertible con inversa igual al producto de las inversas de los factores, pero con orden invertido.

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1};$

y la inversa de una matriz invertible tiene como inversa a la matriz original.

Dicho grupo se llama grupo lineal (de dimensión 2) sobre los Reales y se denota por $GL_{2}(\mathbb {R} )$.

Ejercicios

1. Verificar la validez de las afirmaciones sobre las propiedades de las operaciones con matrices.
2. Para cada uno de los siguientes conjuntos de matrices, investigar si son cerrados respecto a la multiplicación, si la identidad pertenece al conjunto y si el inverso de cada elemento en el conjunto pertenece al conjunto ${\begin{bmatrix}a&b\\0&d\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R}$ ${\begin{array}{rcl}B&=&\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&d\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \}.\\T&=&\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&(1/a)\end{bmatrix}}:a\in \mathbb {R} \}.\\U&=&\{{\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}:a\in \mathbb {R} \}.\end{array}}$
3. Sea $GL_{2}(\mathbb {Q} )$ el subconjunto formado por todas las matrices invertibles cuyas entradas son todas números racionales. Probar que dicho conjunto con la multiplicación tiene una estructura de grupo.
4. Sea ${\mathcal {C}}$ el conjunto de matrices de la forma ${\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.$ Probar que las matrices no nulas de ${\mathcal {C}}$ forman un grupo con la multiplicación.

Los Enteros módulo m

En esta sección, construiremos de manera formal el conjunto de los Enteros módulo $m$, así como sus operaciones de adición y multiplicación. Esta construcción servirá de modelo más adelante en la construcción de los llamados grupos cocientes.

Definición. (Congruencia módulo m en los Enteros) Sea m un entero positivo. Decimos que dos enteros x, y son congruentes módulo m, ssi, x - y es un múltiplo de'm

Notación: $x\equiv _{m}y\quad$ o $\quad x\equiv y{\pmod {m}}.$

Claramente, esa relación es reflexiva y simétrica. Probaremos la transitividad.

$x\equiv _{m}y,y\equiv _{m}z\implies x-y=sm,y-z=tm,\ s,t\in \mathbb {Z} .$

Luego $x-z=x-y+y-x=sm+tm=(s+t)m$, lo que prueba la transitividad. Nos referiremos a esta relación como la congruencia módulo m.

Supongamos que tenemos una relación de equivalencia en un conjunto $X$. Llamando clase de equivalencia de un elemento $x$ al subconjunto formado por todos los elementos relacionados con $x$ y que denotamos por $x$, se sabe que dichas clases forman una \text it{partición} del conjunto $X$. Es decir que son disjuntas dos a dos y que su (re)unión es todo $X$. Ver los detalles en el apéndice \ref{chRelaciones}.

Las clases de equivalencia con respecto a la relación de congruencia se llaman también clases de congruencia. La clase de congruencia módulo $m$ de un número $x$ está formado por todos aquellos números $y$ tales que $y-x$ es un múltiplo de $m$, o sea tales que $y=x=km$, para algún $m$.

Simbolizaremos por $\mathbf {\mathbb {Z} _{m}}$ al conjunto formado por todas las clases de equivalencia módulo $m$ y diremos que sus elementos son los \textit{enteros módulo $m$}. Cada elemento de una clase es un \textit{representante} de la clase. Simbolizaremos por $\mathbb {Z} _{m}$ el conjunto formado por todas las clases de equivalencia módulo m y diremos que sus elementos son los Enteros módulo m. Cada elemento de una clase es un representante de la clase.

Ejemplo (Enteros módulo 2).

En este caso dos elementos son equivalentes, o lo que es lo mismo definen la misma clase de equivalencia cuando su diferencia es un múltiplo de 2 (o sea un número par). Por lo que la clase del 0, [0] está formado por todos los x tales que x - 0=x es un número par, por lo que la clase del 0 está formada por todos los números enteros pares.

$[x]=\{0,2,-2,4,-4,\dots \}.$

Por su parte, la clase del 1, está formada por enteros cuya diferencia con 1 sea par, o sea los impares.

$[1]=\{1,-1,3,-3,\dots \}.$

Luego, $\mathbb {Z} _{2}=\{[0],[1]\}$ ,

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Ejemplo (Enteros módulo 5).

En este caso, dos números son equivalentes cuando su diferencia es un múltiplo de 5. Construyamos las clases de equivalencia. La clase del 0 está formado por todos aquellos números cuya diferencia con 0 es un múltiplo de 5, o sea todos los múltiplos de 5.

$[0]=\{0,\pm 5,\pm 10,\pm 15,...\}.$

Busquemos ahora la clase de equivalencia del 1. Como $x\equiv _{5}1$ , ssi, $x=1+5s$ , ssi, $x=1+5s$ . La clase del [1] estará formada por todos los enteros que son 1 más que un múltiplo de 5.

$[1]=\{1,6,-4,11,-9,16,-14,....\}$

Análogamente, obtenemos que

$[2]=\{2,7,-3,12,-8,17,-13,...\}$

$[3]=\{3,8,-2,13,-7,18,...\}$

$[4]=\{4,9,-1,14,-6,19,...\}$

Notemos que $[5]=[0]$ , $[6]=[1]$ etc. Es decir que hay solamente cinco clases diferentes.

$\mathbb {Z} _{5}=\{[0],[1],[2],[3],[4]\}.$

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Operaciones en $\mathbb {Z} _{m}$.

Queremos definir operaciones de suma y multiplicación en $\mathbb {Z} _{m}$ por

$[x]+[y]:=[x+y]\qquad [x]\cdot [y]=[x\cdot y].$

Es decir que la suma de la clase de x con la clase de y sea la clase de x+y y análogamente para la multiplicación. Hay, sin embargo, un problema con tal definición. La suma (y, lo mismo, el producto) se obtienen sumado (resp. multiplicando) dos representantes, uno de cada clase; por lo que resulta natural preguntar, ¿qué pasaría si escogiéramos otras representantes? La siguiente proposición no asegurará que no importa los representantes que escojamos, siempre obtendremos el mismo resultado.

Proposición 3. (Compatibilidad con las operaciones) Sean a, b, c, d números enteros tales que $a\equiv _{m}b$ y $c\equiv _{m}d.$ Entonces,}}

1. $a+c\equiv _{m}b+d$.
2. $ac\equiv _{m}bd$

Demostración. Tenemos que $a\equiv b\implies a-b=sm$, para algún $s$. $c\equiv d\implies c-d=tm$, para algún $t$. Luego, como $(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)=sm+tm=(s+t)m$ tenemos que $a+c\equiv _{m}b+d$, lo que prueba la parte a. Para la multiplicación, tenemos que: $ac-bd=ac-bc+bc-bd=(a-b)c+b(c-d)=smc+btm=(sc+bt)m.$

Es decir que $ac\equiv _{m}bd$.

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Corolario. Suponer que $[a]=[b]$ y que $[c]=[d].$ Entonces,

$[a+c]=[b+d]$ y $[ac]=[bd].$

El grupo aditivo de los Enteros módulo m

Veremos que $\mathbb {Z} _{m}$ con suma forman un grupo abeliano.

Necesitamos verificar que la suma es asociativa, conmutativa, con neutro y que cada elemento tiene un opuesto aditivo.

Sean $a,b,c$ números enteros.

${\begin{array}{rcl}[a]+([b]+[c])&=&[a]+[b+c]=[a+b+c]\\([a]+[b])+[c]&=&[a+b]+[c]=[a+b+c]\end{array}}$

Lo que prueba la asociatividad.

$[a]+[b]=[a+b]=[b+a]=[b]+[a]$, lo prueba conmutatividad.

Claramente, $[a]+[0]=[a]$, lo que muestra que la clase del 0 es el elemento neutro.

Finalmente, para cada $a$, tenemos que $[a]+[m-a]=[m]=[0]$, lo que prueba que $[m-a]=-[a].$ Es decir cada elemento tiene un opuesto. Esto concluye la prueba.

El monoide multiplicativo de los Enteros módulo m

Veremos que los Enteros módulo m con la multiplicación forman un monoide. La asociatividad y la conmutatividad se prueban de manera análoga al caso de la suma. Además, $[a][1]=[a\cdot 1]=[a]$, por lo que [1] es un neutro.

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Se puede verificar que cuando m es un número primo, $\mathbb {Z} _{m}^{*}$, los elementos no nulos de $\mathbb {Z} _{m}$, forman un grupo abeliano respecto a la multiplicación. Cuando m es compuesto aparecen unas cosas raras en la multiplicación. Por ejemplo, en $\mathbb {Z} _{6}$, la clase del 2 y la clase del 3 son distintas de la clase del 0, ya que ninguno de ellos es un múltiplo de 6, pero $[2]\cdot [3]=[6]=[0]$. Dos elementos no nulos al multiplicarse producen el elemento nulo.

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Ejercicios

1. Construir las tablas de operaciones (adición y multiplicación) de $\mathbb {Z} _{10}$ Usar la tabla para evaluar las expresiones siguientes.

   a. [7]+ [2]	b. [8]*[5]	c. -([3]*[6])
   d. 1/[3]	e. 1/[5]	f. 1/[7]

2. Hallar los cuadrados y los cubos de todos los elementos de $\mathbb {Z} {10}$.
3. Hallar los recíprocos de todos los elementos no nulos de $\mathbb {Z} _{[}13]$.
4. Resolver la ecuación $x^{2}+[3]x+[15]=0$ en $\mathbb {Z} _{11}$.
5. Resolver en $\mathbb {Z} _{5}$, el sistema de ecuaciones ${\begin{array}{rcrcl}3x&+&2y&=&3\\2x&+&y&=&0\end{array}}$

Estructuras algebraicas con dos operaciones

Las estructuras con dos operaciones, que veremos a continuación, puede que tengan un sabor más familiar. Por ahora, sin embargo, su aparición se debe a que nos proveen de ejemplos de las estructuras con una operación. Las estructuras con dos operaciones se verán detalladamente en capítulos posteriores.

Definición (Anillos, Cuerpos) Un anillo es un trío $<A,+,\cdot >$ tales que

1. $<A,+>$ es un grupo abeliano (grupo aditivo del anillo).
2. $<A,\cdot >$ es un semigrupo (semigrupo multiplicativo del anillo.
3. La multiplicación es distributiva respecto a la adición.

   $a(b+c)=ab+ac\qquad$ y $(b+c)a=ba+ca$,

   
   

Un anillo con identidad es un anillo con un neutro 1 para la multiplicación (llamado identidad del anillo). Un anillo conmutativo con identidad es un anillo con la multiplicación conmutativo y con un neutro 1 (llamado identidad del anillo)

Un cuerpo es un anillo conmutativo con identidad donde cada elemento no nulo tiene recíproco.

Los Enteros son un ejemplo de anillo conmutativo con identidad. Los Racionales, Reales y Complejos serán, por ahora, nuestros ejemplos de cuerpos.

Proposición 4. Cuando p es un número primo, los Enteros módulo p son un cuerpo.

Demostración: Vimos anteriormente que para cualquier $m$ los Enteros módulo m está provisto de operaciones de suma y multiplicación definidas por

$[x]+[y]=[x+y]\quad {\text{ y }}\quad [x]\,[y]=[xy]$.


Es fácil ver que con esas operaciones, $\mathbb {Z} _{m}$ es un anillo conmutativo con identidad. Probaremos que cuando p es un número primo, los elementos no nulos de $\mathbb {Z} _{p}$. El resultado sigue de la identidad de Bezout para los números enteros que establece que el máximo común divisor de dos números se puede expresar como una combinación lineal de los números . Si $[a]$ es un elemento no nulo de $\mathbb {Z} _{p}$, el número a no pude ser n múltiplo de p, por lo que el máximo común divisor de a y p debe ser 1. Luego, por la identidad de Bezout, hay enteros x, y tales que

$ax+py=1$

(*)


Pasando a clases de equivalencias, tenemos que

${\begin{array}{lrcl}&ax+py&=&1\\\implies &[ax+py]&=&[1]\\\implies &[ax]+[py]&=&[1]\\\implies &[a]\,[x]+[p][y]&=&[1]\\\implies &[a]\,[x]&=&1.\end{array}}$

Lo que muestra que $[a]$ tiene a $[x]$ como recíproco. {{QED}

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Matrices con entradas en un anillo

Queremos aumentar nuestro caudal de ejemplos, definiendo matrices con entradas en un anillo con identidad o cuerpo cualquiera. Notemos que las definiciones de suma y multiplicación de matrices con entradas reales lo único que requieren de los Reales es que se pueden sumar y multiplicar. Como esto pasa en cualquier anillo, podemos considerar matrices cuyas entradas pertenecen a un anillo cualquiera.

Sea A un anillo con identidad o un cuerpo. Simbolizaremos por $M_{2}(A)$ el conjunto de todas las matrices 2 x 2 cuyas entradas son elementos de A. Es un ejercicio largo, pero fácil, probar que <math<M_2(A)</math> con esas propiedades determina un anillo con identidad. El anillo no es conmutativo.

Se define el determinante de $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ como es usual, esto es $\det(A)=ad-bc$. Se verifica que

$\det(AB)=\det(A)\det(B).$

Sea K un cuerpo, por $GL_{2}(K)$ simbolizamos al grupo de matrices invertibles con entradas en K. Cuando K sea los enteros módulo p, p primo, $GL_{2}(\mathbb {Z} _{p})$ es un grupo finito, que se prueba que tiene $(p^{2}-1)(p^{2}-p)$ elementos.

Ejercicios

1. Probar que $\mathbb {Z} _{m}$ es un anillo conmutativo con identidad.
2. Probar que cuando m no es un número primo, en $Z_{m}$ hay elementos no nulos $[x],[y]$ tales que $[x][y]=[0]$
3. Probar que las matrices 2 x 2 con coeficientes en un anillo conmutativo con identidad determinan un anillo con identidad, pero que no es conmutativo.
4. Sea $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$. Probar o verificar las siguientes afirmaciones.
   1. Si una de las filas o una de las columnas de la matriz es 0 0 , entonces el determinante es cero.
   2. Si hay un número p tal que c = pa y d = cb entonces el determinante de la matriz es cero.
   3. Si el determinante de A es cero, probar que hay un número p tal que c=pa y d = pb.
5. Usar el ejercicio anterior para hallar la formula para la cantidad de elementos de $GL_{2}(\mathbb {Z} _{p})$, p primo. (Sugerencia. Cualquier par de elementos que no sean ambos nulos sirven para la primera fila. ¿Cuántos pares de elementos hay que no sean ambos nulos? La segunda fila no puede ser un múltiplo de la primera, por lo que hay que tomar un par de elementos que no sea un múltiplo de la primera fila ¿cuántos de esos pares hay?)

Estructuras con una operación externa

Presentaremos, como ilustración, algunas estructuras donde aparece una operación externa.

Definición (Módulo, Espacio vectorial, Álgebra)

• Sea A un anillo con identidad. Llamamos A--módulo a un grupo abeliano <E,+> provisto de una operación externa

  $\bullet :A\times E\longrightarrow E::(\alpha ,x)\mapsto \alpha \bullet x.$

  
  que es compatible con la estructura de grupo abeliano. Es decir que

  1. $(\alpha +\beta )\bullet x=\alpha \bullet x+\beta \bullet x$.
  2. $(\alpha \beta )\bullet x=\alpha \bullet (\beta \bullet x)$
  3. $1\bullet x=x$.
  4. $\alpha \bullet (x+y)=\alpha \bullet x+\alpha \bullet y$.

  Los elementos del anillo se dice que son los escalares y los de E los vectores. La operación externa se llama multiplicación por escalar y usualmente, cuando no hay riesgo de confusión, se omite el símbolo de la operación.

• Un Espacio vectorial sobre un cuerpo K, es un K-módulo (o sea los escalares forman un cuerpo).
• Un Álgebra sobre un anillo (o cuerpo) A es un A-modulo E provisto de una multiplicación tal que $<E,+,\cdot >$ es un anillo y se cumple que $\alpha (a\cdot b)=(\alpha a)\cdot b=a\cdot (\alpha B)$.

Los principales ejemplos que posiblemente el lector debe conocer:

• El álgebra de polinomios, la multiplicación por constantes es la operación externa.
• El álgebra de matrices, la operación externa es la multiplicación por escalar (por constante).
• El plano cartesiano es un espacio vectorial sobre $\mathbb {R}$> los elementos del plano son pares ordenados de números reales, la suma se hace coordenada a coordenada y la multiplicación por escalar, es multiplicar cada coordenada por el escalar.

${\begin{array}{rcl}(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})&:=&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2})\\\alpha (x_{1},x_{2})&:=&(\alpha x_{1},\alpha x_{2})\end{array}}$.

Claramente, las definiciones anteriores se pueden extender a $\mathbb {R} ^{n}$ (Espacio vectorial d dimensión n).

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El álgebra de polinomios tiene un capítulo en este texto. Espacios vectoriales, Algebras son materias de un curso de Álgebra Lineal. Módulos generales se estudian en cursos avanzados de Álgebra Lineal o de Álgebra Conmutativa.

Una introducción a esos temas se puede hallar en Wikipedia:Vector o Espacio Vectorial

Ejercicios del Capítulo

1. (Potencias Naturales en un Semigrupo.) Probar que para todo a, $b$ elementos de $S,$,y $m$, $n$ naturales, se cumple que
   1. $a^{m+n}=a^{m}a^{n}.$
   2. $(a^{m})^{n}=a^{mn}.$
   3. Si $ab=ba$ entonces $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}.$
2. (Potencias en un Monoide.) Si $S$ tiene un neutro $e,$ entonces definimos $a^{0}:=e.$ Probar que con estas definiciones, se continúan cumpliendo las propiedades del ejercicio 1.
3. (Potencias Negativas.) Sea <M,*> un monoide y sea a un elemento invertible de cualquiera de S. Como S es un monoide, aⁿ está definido, según los ejercicios anteriores, para todo $n\geq 0.$ Cuando a es invertible, podemos además definir potencias con exponentes negativos. Supongamos que a' es el inverso de a y n un número entero positivo. Entonces,

   $a^{-n}:=(a')^{n}$

   
   

   1. Probar que a elevado a -1 es igual al inverso de a; lo que prueba que la notación a^-1 no es ambigua.
   2. Probar que para todo m, n enteros se cumplen las relaciones del ejercicio 1.
4. Sea S un semigrupo con neutro $e.$ Sea a un elemento de $S$ tal que $a^{n}=e$ y 12. es el menor entero positivo con esa propiedad. Probar las siguientes afirmaciones.
   1. Hay elementos $b,$ $c$ y $d$ tales que $b^{4}=c^{3}=d^{2}=e.$
   2. Si $m$ es un múltiplo de 12, entonces $a^{m}=e.$
   3. Si el residuo de la división de un entero positivo m por 12 es r, entonces $a^{m}=a^{r}$
   4. Expresar $a^{-1},a^{-2}$ como potencias positivas de a.
5. (Subgrupos del grupo ${\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$).
   Sea $\alpha ={\begin{bmatrix}\cos(120^{\circ })&-\operatorname {sen}(120^{\circ })\\\operatorname {sen}(120^{\circ })&\ \cos(120^{\circ })\end{bmatrix}},$ una rotación por 120 grados, y sea $\beta ={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$, la reflexión entorno al eje X. Probar las afirmaciones siguientes.
   1. $\alpha ^{3}={I},$, $\beta ^{2}={I},$ y $\beta \alpha \beta ^{-1}=\alpha ^{2}.$.
   2. Sea $H=\{{I},\alpha ,\alpha ^{2}\}$. H es un conjunto cerrado respecto a la multiplicación de matrices (construir la tabla de operaciones), y que cada elemento de $H$ es invertible. Es decir que H es un grupo respecto a la multiplicación de matrices.
   3. Sea $G=\{{I},\alpha ,\alpha ^{2},\beta ,\alpha \beta ,\alpha \beta ^{2}\}$. G es un conjunto cerrado respecto a la multiplicación y cada elemento de G tiene inverso en G. Luego G es un grupo respecto a la multiplicación de matrices.

   Comentarios

   La evolución del Álgebra desde el estudio de ecuaciones polinómicas al estudio de las estructuras fue lenta. Primeramente, se estudiaron instancias de forma separada, para posteriormente darse cuenta que eran ejemplos de algo más abstracto.

   La observación de que el Álgebra trata más de las propiedades de las operaciones que de los números en que se opera fue explícitamente observado por la llamada Escuela de Algebristas ingleses, alrededor del 1840.

   Finalmente, en la década de los 40 del siglo XX, Bourbaki (seudónimo de un grupo ilustre de matemáticos) trajo a primer plano del Álgebra la noción que el Álgebra se trataba del estudio de las estructuras.

   Notas