Matemáticas/Teoría de grupos/Grupos

Semigrupos, monoides y grupos

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Definición 1.1: Sea   un conjunto. Una aplicación

 



se dice una operación binaria (o ley de composición interna) en  . La imagen de cualquier par   bajo la operación   se representa por  , en lugar de   o de  . Cuando el símbolo que representa la operación es  , entonces la imagen de   bajo la operación   suele representarse también por  .

Una operación binaria   sobre un conjunto   se dice asociativa si

 


para cualesquiera   y   de  . Cuando para cualesquiera   de   se cumple  , se dice que la operación   es conmutativa. Por lo regular usaremos el símbolo   para representar operaciones que sean conmutativas. En general, cuando hagamos uso de los símbolos   o   para representar operaciones diremos que nuestra notación es, respectivamente, multiplicativa o aditiva.


Definición 1.2: Sea   un conjunto y   una operación binaria en  . Se dice que el par   es un semigrupo si la operación   es asociativa. Si, además, existe un elemento   tal que

 


entonces el par   se llama un monoide.

En lo sucesivo, cuando no haya lugar a confusión, nos referiremos a un monoide   simplemente como el monoide  , haciendo mención sólo del conjunto y dejando que la operación se deduzca del contexto.

El elemento   aludido en la definición anterior se dice identidad o elemento neutro del monoide  , y es único, pues si   fuera otro elemento de   con las mismas propiedades, entonces  . Para representar identidades usaremos el símbolo 1 en notación multiplicativa y el símbolo 0 en notación aditiva.

Representaremos por   al cardinal de un monoide  . Si   es el elemento de un monoide   y   es un entero positivo, definimos

 


Cuando nuestra notación sea aditiva escribiremos   en lugar de  .

Sea   un monoide y   elementos de   con  . Se define inductivamente el producto de   como

 


Definimos

 


Con estas definiciones, se cumple el


Teorema 1.3 (Ley asociativa general): Sea   un monoide y     elementos de  . Entonces

 


Demostración: Por inducción sobre  . Para   es evidente. Supuesto cierto para  , vemos que

     
   
   
lo que demuestra el teorema.
 


Se dice que un monoide   es conmutativo si su operación es conmutativa.


Teorema 1.4 (Ley conmutativa general): Sea   un monoide conmutativo y   elementos de  . Sea   una aplicación del conjunto   sobre sí mismo. Entonces

 



Demostración: Por inducción sobre  . Para   es evidente. Supóngase cierto para  . Sea   el entero tal que  . Entonces,

     
   
   

Con el propósito de aplicar el teorema 1.3, definimos la aplicación   por

   
   

Así tenemos que

     
   

donde   por hipótesis de inducción, y así

 



Definición 1.5: Sea   un monoide. Un elemento   de   se dice invertible por la izquierda (resp. invertible por la derecha) si existe un elemento  , llamado inverso izquierdo de   (resp. inverso derecho de  ), tal que   (resp.  ). Se llama invertible a un elemento   que es invertible por ambos lados.

Si un elemento   de un monoide   es invertible, entonces su inverso izquierdo y su inverso derecho coinciden. En efecto, pues si   y   son, respectivamente, el inverso izquierdo y el inverso derecho de  , entonces  .

Definición 1.6: Se llama grupo a un monoide   cuando todos sus elementos son invertibles, es decir, cuando para todo   de   existe   de   tal que

 


El elemento   aludido en la definición anterior se llama inverso de   y es único, pues si   es otro inverso de  , entonces  . En notación multiplicativa y notación aditiva el inverso de   se denota, respectivamente, por   y  .

Se define

 


En notación aditiva se escribe   en lugar de  .

Un grupo   en el que se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en el que   para cualesquiera   y   de  , se dice grupo abeliano.


El teorema siguiente recoge algunos hechos básicos acerca de los grupos

Teorema 1.7: Sea   un grupo y   elementos de  . Se cumplen

(G-1)   implica  
(G-2)   implica  
(G-3)  
(G-4)  
(G-5)  


Demostración: (G-1) Si  , entonces  . (G-2) Si  , entonces al multiplicar ambos lados de la ecuación por   se obtiene  . (G-3)  . (G-4)  , de modo que   es inverso de  , pero éste es único, así es que ha de ser  . (G-5) se sigue de (G-4) usando por inducción matemática.
 


Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.


Teorema 1.8: Un semigrupo   es un grupo si y sólo si

  1. existe una identidad por la izquierda   tal que para todo elemento   de  ,  ;
  2. todo elemento   de   tiene un inverso por la izquierda  .


Demostración: La implicación es obvia. Por la otra parte,   cumple también con (G-1) del teorema 1.7 (pues por hipótesis todo elemento suyo es invertible), así que, de

 


se deduce que  , por lo que   es también inverso de   por la derecha. Además,  , por lo que 1 es también una identidad por la derecha en  , luego   es un grupo.
 


Teorema 1.9: Un semigrupo   es un grupo si y sólo si para cualesquiera   y   de   las ecuaciones

 



tienen soluciones únicas en  .

Demostración: Si   es un grupo, entonces las soluciones de   y   en   son   y  . Recíprocamente, si   es un semigrupo en el que las ecuaciones   y   tienen soluciones únicas, entonces, tomando  , tenemos que existen   y   tales que

 


y si   es un elemento cualquiera de  , entonces también existen   y   de   tales que

 


de modo que

  (1.1


y

  (1.2


Puesto que   es cualquier elemento de  , podemos tomar   en (1.1)

y   en (1.2)
, obteniendo   y  , luego   es la identidad de  . Ahora, si   y   son las soluciones de   y  , entonces   y   son, respectivamente, los inversos derecho e izquierdo de  , y como vimos, debe de ser  . Esto prueba que   es un grupo.