Álgebra Abstracta/Estructuras Algebraicas


Introducción

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En el capítulo Las Estructuras Algebraicas se presentó la noción intuitiva de \textit{estructura algebraica} como consistente de un conjunto con una o varias operaciones. Varias veces, en le texto, se hizo referencias a una teoría más general de estructuras (ver las definiciones de subgrupo y de homomorfismo de grupos).

Presentaremos, en este apéndice, un tratamiento más cuidadoso de la noción de estructura, pero limitados a lo necesario para el texto.

La teoría de las estructuras tiene también otros nombres: por ejemplo, álgebra universal. La reciente teoría de categorías también contribuye al estudio de las estructuras. Finalmente, la teorías, más recientes, de programación de computadoras, con sus nociones de clases, superclases, descendientes, etc. tiene conexiones con las estructuras algebraicas. Una teoría general debiera incluir todos esos aspectos, pero excede los alcances de nuestro libro.

Las Operaciones

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La noción básica es veremos es aquella de operación  --aria

Definición. (Operación) Una operación  --aria,   en un conjunto   es una función

 

Donde, cuando,  ,   es el producto cartesiano de   consigo mismo   veces, o sea el conjunto formado por todas las  --uplas ordenadas de elementos de  . Por su parte,   será el conjunto  .

Una operación es una operación  --aria para un cierto  . El número   se llama la aridad de la operación.


Ejemplos.

  • Una operación 1--aria es simplemente una función de   en si mismo.
  • Una operación binaria es una operación 2--aria.
  • Una operación 0--aria se interpretará como la selección de un elemento de  . Usualmente denotaremos la operación por el nombre del elemento seleccionado, a veces con un subrayado,  .


Definición. (Conjunto cerrado respecto a una Operación) Sea   una operación  --aria en  . Un subconjunto   es cerrado respecto a dicha operación, ssi, para todo   se cumple que

 

Cuando un subconjunto   de   es cerrado respecto a una operación  -=aria  , tenemos asociada una operación   en   tal que para todo   en   se cumple que

 

Decimos que esa operación en   es la restricción de (la operación global)   a  . Usualmente, denotamos la restricción por el mismo símbolo que la operación (global). Notemos que la operación y su restricción tienen igual aridad.

Notemos, también, que un subconjunto   es cerrado respecto a una operación  --aria  , cuando  .


Definición. (Función compatible con operaciones) Sea   una operación en un conjunto   y   una operación de igual aridad en  . Decimos que una función   es compatible con la pareja  , ssi,   permuta con las operaciones, es decir que el siguiente diagrama de funciones es conmutativo.

 

Es decir que  .


Notemos que si   y   son  --arias entonces la conmutatividad del diagrama de compatibilidad es la siguiente

 

Es decir que  .

Estructuras Algebraicas

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Definición. (Estructura Algebraica) Una estructura algebraica es una pareja   donde   es un conjunto, llamado el conjunto portador o base de la estructura y   es una lista   donde los   son operaciones. Nos referiremos a   como la lista de parámetros de la estructura. Llamaremos tipo de la estructura a la lista de aridades correspondientes a las operaciones en la lista  .

Cuando la lista sea clara del contexto, podremos referirnos a la estructura por el nombre del conjunto base.

Cuando en una estructura, suponemos propiedades especiales de las operaciones de la lista, llamamos axiomas de la estructura a dichas propiedades.


Ejemplos.

  1. Un magma es una estructura   donde   es una operación binaria en  . El tipo del magma es  .
  2. Un semigrupo es una estructura   donde   es una operación binaria en  , tal que (axioma) la operación es asociativa. El tipo de un semigrupo es  .
  3. Un monoide es una estructura  , donde   es una operación binaria y   es una operación 0-aria tales que se tiene los siguientes axiomas:
    • [M-1] * es una operación asociativa.
    • {M-2]   en   es un neutro para la operación  .

    El tipo de la estructura monoide es  .

  4. Un grupo es una estructura  , donde   es una operación binaria,   es una operación 0-aria y \textsf{inv} es una operación 1--aria tales que se tiene los siguientes axiomas:
    • [G-1]* es una operación asociativa.
    • [G-2]   en   es un neutro para la operación  .
    • [G-3] Para todo   en  ,   es un inverso de   respecto a la operación  .

    El tipo de la estructura grupo es  .

Cuando la estructura tiene un nombre podemos referirnos al tipo por el nombre de la estructura.


Definición. (Estructuras comparables y homólogas) Decimos que las estructuras   y   son comparables, ssi, hay una biyección de   en   tal que cuando a   en   le corresponde (por la biyección)   en  , entonces   y   tienen la misma aridad.

Decimos que las estructuras son homólogas, cuando sean comparables y las operaciones correspondientes satisfagan los mismo axiomas.


Luego, dos estructuras son comparables, cuando, después de una permutación de la lista de parámetros de una de ellas, tienen el mismo tipo. En el futuro, cuando digamos que dos o más estructuras tienen el mismo tipo, supondremos que las operaciones de una se han permutado de manera que ambas tienen el mismo tipo; es decir que operaciones situadas en la misma posición en la lista de parámetros tienen igual aridad.

Morfismos de Estructuras

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Definición. (Morfismo) Sean   y   dos estructuras comparables de tipo  . Llamamos morfismo (o  --morfismo) de   en   a una función   compatible con las parejas de operaciones correspondientes.


Se tiene claramente que la composición de morfismos es un morfismo. Cuando el morfismo sea inyectivo (resp, suprayectivo, biyectivo), podremos hablar de monomorfismo, (resp. supramorfismo, isomorfismo).

Denotamos por   el conjunto de morfismos de tipo   de   en  . Cuando  , la composición provee a   de una estructura de monoide, con neutro la identidad.   es el grupo de los isomorfismos de la estructura.

Subestructura

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Sea   una estructura de tipo  . Sea   un subconjunto no vacío cerrado respecto a cada una de las operaciones en  . Por lo que tenemos definida una estructura   donde   está formada por las restricciones de las operaciones en  .

Definición. (Subestructura) Decimos que   determina una subestructura de tipo   de  , ssi, la estructura restringida   es homóloga a la estructura de  . Notación:  


Con las notaciones anteriores, la inclusión ( ) de   en   es compatible con las operación restringida y la operación en  .

Ejemplo.

Consideremos el monoide  . (Enteros módulo 10). Sea  . Veamos la multiplicación en  

 

Vemos de la tabla que   es cerrado respecto a la operación, además tiene un neutro  . Por lo que   es un monomio, que como estructura es comparable con la estructura de  . Sin embargo,   no es un submonoide, ya el conjunto base de una subestructura debe ser cerrado respecto a todas las operaciones, lo que en nuestro caso no se cumple, ya que   no es cerrado respecto a la operación  --aria que define al neutro 1 de  .


Observación. Dada una familia de subconjuntos bases de subestructuras de una estructura   que contienen a un subconjunto  , se puede proveer a la intersección de todos los subconjuntos de la familia de una subestructura de  . Tal subestructura será la \textit{estructura generada} por  .


Observación. Cuando   es una subestructura de  , la función definida por la inclusión es un morfismo de las estructuras.


Superestructuras, Descendientes, Herencias

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Definición. (Superestructura, descendiente) Sea   y   dos estructuras tales que   o,   y el conjunto de axiomas de   está contenido en el conjunto de axiomas de  . En tal situación decimos que   es una subyacente o superesrtructura[1] de   o que   es un descendiente de  . Denotamos dichas relaciones como   o  .


Cuando  , cada propiedad (en particular, los axiomas) de   son válidos para  . Decimos que   hereda las propiedades de  . Las relaciones de super y descendencia son transitivas.

Ejemplos.

La estructura de magma es una super estructura de la estructura de semigrupo. Tenemos, las siguientes relaciones

 

Estructura Subyacente Cuando   es una estructura, obtenemos estructuras subyacentes si nos olvidamos de una o varias operaciones, o de algunos axiomas. Esta es la terminología preferida de los algebristas.


Ejemplo.

Sea   el monoide aditivo de los naturales. A partir de esa estructura podemos obtener tres estructuras subyacentes (o super estructuras):

  1.   que es una estructura subyacente de semigrupo.
  2.   que es una estructura sin nombre especia y que especifica que  >
  3.   (la lista de operadores es vacía; solamente afirmamos que   es un conjunto.


Observación. Sea  ,  ,   estructuras tales que   y  . Entonces,  . Una subestructura de un descendiente de un tercera estructura, es también un descendiente de esa estructura. Por abuso de lenguaje, decimos que   es una subestructura del tipo de   de  .


Comentarios

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La exposición anterior pretendía mostrar que los asuntos de estructuras aunque simples no son triviales y que se debe ser cuidadosos con sus usos.

La noción de estructura puede expandirse a considerar lista de parámetros no homogéneas. Es decir que además de operaciones, incluyan relaciones (por ejemplo, para un cuerpo ordenado), predicados e inclusive otras estructuras.

Ejemplo.

La Estructura de Anillo puede considerarse como una descendiente de la estructura de grupo abeliano, por lo que podría representarse como

 

Pero, también podríamos escribir

 

para destacar que se trata de un grupo abeliano (que aparecerá invariablemente) pero que la multiplicación puede tener diferentes propiedades, dando origen a descendientes tales como dominios, anillos con división, cuerpos, etc. También podríamos poner

 

Dejaremos el tema aquí, porque creemos haber cumplido con lo anunciado en la introducción.

A quien pudiera interesarle el tema, le recomendamos que inicie una búsqueda en la WEB de los temas "Álgebra Universal", "Estructuras Algebraicas" (a veces, aparece como sinónimo de "Álgebra Abstracta").


  1. Terminología usada en programación con objetos