Álgebra Abstracta/Funciones

IntroducciónEditar

En este apéndice, revisamos la noción de función y varias nociones asociadas. No todos los resultados son usados en el texto y están aquí para completitud de la exposición. Ver la sección de Comentarios para algunas observaciones sobre la terminología.

Las DefinicionesEditar

Definición. (Función) Llamamos función del conjunto   en el conjunto   a la asignación a cada elemento de   de un único elemento de  . La asignación puede ser una regla, una fórmula, una expresión verbal o cualquier cosa que nos permita dado un elemento de  , identificar el correspondiente elemento de  .


Notación y nomenclatura.

  1. Una función de   en   se simboliza por  . Llamamos dominio o conjunto de partida de la función al conjunto  , mientras que el conjunto   es el codominio o conjunto de llegada de  . La flecha representa la regla de la función, o sea lo que asigna a cada elemento de   un elemento de  .
  2. Supongamos que   es una función del conjunto   en el conjunto  . Sea   un elemento del conjunto   y sea   el elemento de   asignado por   a  . Nos referimos a esa situación por cualesquiera de las expresiones siguientes.
    1. El valor de   en   es  .
    2.   envía   en  .
    3. La imagen por   de   es  .
    4.   asigna a  , el elemento  .
    5.  .
  3. Supongamos que   es una función de   en  . Podemos simbolizar la regla de asignación por  . Cuando queramos mencionar el nombre de la función, lo hacemos de una de las dos maneras siguientes:
     

    La expresión   se lee como "la función   del conjunto   en el conjunto   tal que asigna a cada   de   el elemento   de  ". Ejemplo:  .

  4. Llamamos la imagen de   al subconjunto de   denotado por   y definido como el conjunto formado por todos elementos de   que son imagen de algún elemento de  .
     
  5. Simbolizamos por   al conjunto formado por todas las funciones de   en  . En algunos textos, se escribe  , para denotar a  .
  6. (Igualdad de Funciones.) Decimos que dos funciones,   y  , en  , son iguales, y escribimos  , ssi,   y   asigna el mismo elemento de   a cada uno de los elementos de  . Simbólicamente,  .

Ejemplos.

  1. (La función identidad) En cada conjunto   hay al menos una función del conjunto en si mismo, la función identidad que asigna a cada elemento de   el mismo elemento, a la que simbolizaremos por   o   o simplemente   (cuando el conjunto es claro del contexto). Es decir tal que
     
  2. Sea   un subconjunto de  . La relación de inclusión define una función   tal que  . Simbolizamos a esa función por
     

La clasificación de las funcionesEditar

Sea   una función. Dado un elemento   de   consideramos la ecuación

 

Las soluciones de esa ecuación son todos los elementos de   cuyas imágenes son iguales al elemento   de  . Dependiendo del conjunto solución para esas ecuaciones, tenemos la siguiente clasificación para las funciones.

Definición. (Suprayectividad, Inyectividad, Biyectividad) Sea  .

  1. Decimos que   es suprayectiva o que es una suprayección, si, para todo   en  , la ecuación   tiene al menos una solución.
     

    Algunos textos, llaman epiyectivas a estas funciones.

  2. Decimos que   es inyectiva o que es una inyección, ssi, para todo   en  , la ecuación   tiene a lo más una solución, o sea que si tiene solución, dicha solución es única. Por lo que cuando dos elementos de   tengan la misma imagen por  , serán iguales.
     

  3. Decimos que   es biyectiva o que es una biyección, si, para todo   en  , la ecuación   tiene exactamente una solución. Claramente esto pasa cuando la función es inyectiva y suprayectiva a la vez.


Ejemplos.

  1. La identidad es una biyección en cualquier conjunto.
  2. La función definida por la inclusión de un subconjunto es inyectiva, por lo que decimos que se trata de la inyección canónica. Tal función no es suprayectiva, a menos que el subconjunto coincida con el conjunto.
  3. La función de   en   que asigna a cada número real el cuadrado de dicho número no es ni inyectiva ni suprayectiva, ya que la ecuación   tiene dos soluciones y la ecuación   no tiene solución.
  4. La función de   en   (reales positivos junto con el cero) en si mismo que asigna a cada número real su cuadrado es suprayectiva, pero no inyectiva. Ya que,   tiene como soluciones a  .
  5. Sea   un conjunto y   una relación de equivalencia en  . Simbolizaremos por   al conjunto cociente de   respecto a esa relación. La correspondencia que asigna a cada   en   su clase de equivalencia en   es una suprayección.
  6. Sean   y   dos conjuntos cualesquiera. La función de   en   (resp. en  ) que asigna a cada par   su primera (resp. su segunda) coordenada es una función suprayectiva, llamada la primera (resp. la segunda) proyección.

La Composición de FuncionesEditar

Definición. (Composición de Funciones) Sean   y  . Llamamos composición de   con   a la función de   en   simbolizada por   y definida por

 


Observación. Algunas veces tendremos la situación indicada en los diagramas siguientes:

 

Cuando, en tales diagramas, haya dos "caminos" de un conjunto a otro que representan iguales funciones (por composicion), decimos que el diagrama correspondiente es conmutativo. En el ejemplo anterior, tenemos un triángulo y un cuadrado conmutativo, lo que quiere decir que   y   respectivamente.

Proposición. La composición, cuando está definida, es asociativa.

    Demostración:
     


Proposición. Sea   una función entonces:

  1.  .
  2.  .

    Demostración: Trivial.


La siguiente proposición nos informa acerca de la relación entre la composición de funciones y la "yectividad" de las mismas.

Proposición. La composición de dos funciones inyectivas (resp. suprayectivas, biyectivas) es inyectiva (resp. suprayectiva, biyectiva).

    Demostración: Sean  ,   y  .
    Caso Suprayectivo. Supongamos que   y   fueran suprayectivas. Debemos probar que para cualquier   en  , hay un   en   tal que  . Como   es suprayectiva debe haber al menos un   en   tal que  . Por su parte, como   es suprayectiva, se debe tener que hay un   tal que  . Luego,
     

    Lo que prueba que la composición es suprayectiva.

    Caso Inyectivo. Supongamos que   y   son inyectivas. Sean   y   elementos de   que tienen la misma imagen por  . Entonces,

     

    Lo que implica que la composición es inyectiva.

    Caso Biyectivo. Sigue de los casos anteriores.


La Función InversaEditar

Definición. (Inversa de una Función) Sea   una función. Decimos que una función   es una inversa de  , si,

 


Proposición. Cuando   tiene inversa, tiene exactamente una única inversa.

    Demostración: Sea   y sean   y   inversas de  . Entonces,
     


Nomenclatura. Cuando exista inversa, por la proposición anterior, dicha inversa será única. Por lo que podremos hablar de LA inversa de  , a la que simbolizaremos por  .


Proposición. Cuando la inversa de una función existe, es invertible, y su inversa es la función original.

    Demostración: Directo de la definición, ya que
     


Proposición. La composición de dos funciones invertibles es una función invertible, cuya inversa es la composición de las inversas de las funciones originales, pero en orden inverso.

 

    Demostración: Sean   y   invertibles. Entonces,
     

    Análogamente, se verifica que:

     

    Por lo tanto,   es una inversa de  . Por la unicidad de tales inversas, tenemos el resultado.


Proposición. (Criterio para Invertibilidad) Una función es invertible, si, es biyectiva.

    Demostración: Sea  .
    ( ) Sea   la inversa de . Sea   en  , como   se tiene que  , lo que prueba que   es suprayectiva. Supongamos que  . Tenemos que
     

    Lo que prueba que   es inyectiva. Como   es suprayectiva e inyectiva es biyectiva.

    ( ) Supongamos que   es biyectiva, entonces para cada   en   hay un único elemento   tal que . Por lo tanto, la asignación   tal que   define una función   tal que  . Sea   en  , entonces   es un elemento   de   tal que  , por inyectividad,  ; o sea que  . Lo que prueba que   es una inversa de  .


Proposición. (Propiedades de Cancelación)

  1. Las funciones inyectivas son cancelables por la izquierda. Es decir, cuando   es inyectiva se cumple que:
     
  2. Las funciones suprayectivas son cancelables por la izquierda. Es decir, cuando   es suprayectiva se cumple que:
     
  3. Las funciones biyectivas son cancelables por derecha e izquierda y coinciden con las funciones invertibles.

    Demostración: Ejercicio.


Extensión al Conjunto PotenciaEditar

Sea   un conjunto. Simbolizaremos por   al conjunto potencia de  , es decir al conjunto formado por todos los subconjuntos de  .

Definición. (Imágenes Directas e Inversas) Sea   una función.

  1. Llamamos imagen directa de   a la función   definida para cada   en   por
     

  2. Llamamos imagen inversa de   a la función   definida por
     


Observación. Cuando   es una función de   en  , algunas veces, se escribe   en lugar de   y   en lugar de  . Nosotros usaremos nuestro convenio en el apéndice (pero no en el texto), excepto que la imagen directa de  , que coincide con la imagen de   se denotará usualmente por  .


Proposición. (Propiedades de la Imagen Directa) Sea  . Entonces, cuando  ,   son subconjuntos de   se cumple que:

  1.  , ssi,  .
  2.  .
  3. Si   entonces  .
  4.  .
  5.  .

    Demostración: Ejercicio.



Proposición. Sean   y  . Entonces

  1.  .
  2.  .

    Demostración: Sea  . Entonces,  , ssi, hay un   en   tal que  , ssi,  , ssi,  


Proposición. (Propiedades de la Imagen Inversa Sea  . Entonces, cuando  ,   son subconjuntos de   se cumple que:

  1.  .
  2. Si   entonces  .
  3.  .
  4.  .
  5.  , cuando  .

    Demostración: Ejercicio.


Proposición. (Relaciones entre Imágenes Directas e Inversas) Sea  . Entonces:

  1.  .
  2.  .

    Demostración:
  1. Sea  . Entonces, hay un   en   tal que  . Por lo tanto, concluimos que: (i)   está en  ; y (ii) que:  , o sea,   está en  . Luego,   pertenece a  . Lo que prueba que,  . Veamos ahora la inclusión inversa. Sea  . Por lo tanto,   y hay un   tal que  . Por definición entonces,  . Lo que prueba que  
  2. Sea  , entonces,  . De donde,   está en la imagen inversa de  .


Proposición. Sean   y  . Entonces

  1.  .
  2.  .

    Demostración:
  1. Sea  . Entonces,  , ssi, hay un   en   tal que  , ssi,  , ssi,  .


Proposición. Sean   y  . Entonces

  1.  .
  2.  .

    Demostración:
  1. Sea  . Entonces,  , ssi,  , ssi,  , ssi,  , ssi,  .


Descomposición Canónica de una FunciónEditar

Proposición. Sea   una función. La relación definida   definida por   es una relación de equivalencia.

    Demostración: Ejercicio.


Teorema (Descomposición canónica de una función) Sea   una función. Entonces, podemos factorizar   como:

 

donde   es la suprayección canónica que envía cada elemento en su clase de equivalencia;   asigna   el elemento   en   y es una biyección de   en la imagen directa de   por  ,  ; y,   es la inyección canónica definida por la inclusión.

    Demostración: Por la proposición anterior   es una relación de equivalencia; por lo que su conjunto cociente está definido. Realmente lo único que necesitamos verificar es que   está bien definida y que es una biyección. Notemos que por definición de  , si   está en   entonces,  ; lo que muestra que   está bien definida. Es claro además que   es suprayectiva. Si  , se tendrá que   de donde  , probando la inyectividad faltante.


ComentariosEditar

Terminología. La noción de función es básica en las matemáticas. Funciones aparecen en cualquier área de las matemáticas. No hay, sin embargo, un consenso universal acerca de como referirse a ellas.

Los siguientes nombres han sido usados para denotar funciones:

  • Aplicación.
  • Mapeo.
  • Transformación.
  • Operador.

El uso de esos términos obedece a tradiciones (operadores, por ejemplo, para funciones entre espacios de funciones). Siguiendo el peso tradicional, nosotros usamos transformaciones para ciertas funciones en contextos geométricos.

La terminología de "aplicación" y "mapeo" responden más a consideraciones que llamaría folclóricas, es decir, son usadas en ciertos países y en otros no. Algunos autores e instructores usas esa terminología con fines didácticos, usan funciones para contextos numéricos y aplicaciones o mapeos para funciones entre conjuntos que no son numéricos. Es decir el nombre usado depende de la naturaleza de los objetos considerados. En Álgebra Abstracta, el énfasis es en las propiedades de las operaciones abstrayendo (es decir ignorando) la naturaleza de los elementos donde se trabaja. Principalmente, por esa razón hemos usado función en forma uniforme.