Álgebra Abstracta/Los Ideales


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Álgebra Abstracta


Ideales y Anillos CocientesEditar

Nos interesa construir anillos cocientes de un anillo, por lo que necesitaremos relaciones de equivalencia que sean congruencias (es decir compatibles con las operaciones).

¿Cuándo una relación de equivalencia   en un anillo cualquiera   define una congruencia en  ? Es decir, cuándo para       se cumple que   implica que

  1.  
  2.   y
  3.  

Notemos que cuando suponemos conmutativo al anillo, las condiciones (ii) y (iii) son equivalentes.
Sabemos del estudio de los grupos que las congruencias de un grupo son equivalentes a las relaciones de equivalencia definidas por subgrupos normales. En el caso de los anillos, cada subgrupo del grupo aditivo es un subgrupo normal ya que la suma es conmutativa. Por lo que si tenemos un subgrupo   del grupo aditivo, la relación de equivalencia   ssi,   está en   es una congruencia respecto a la suma, o sea que cumple la primera condición.

Sea   un subanillo de   y consideremos la relación de equivalencia   tal que

 

Por lo observado arriba, esta relación satisface la condición (i) para ser congruencia. La condición (ii) es equivalente, por lo tanto, a pedir que para todo   en   se cumpla para   que

  (*


Análoga equivalencia para (iii), pero con la multiplicación del elemento del anillo por la derecha.

  (**


Notemos que si pedimos, para todo  , que

  (***


por la condición (i) tenemos que se cumplen (ii) y (iii).

Vemos entonces que una condición necesaria para que la relación indicada sea una congruencia en el anillo es que el subgrupo aditivo   sea cerrado respecto a la multiplicación (por derecha e izquierda) por elementos cualesquiera de  ---y no únicamente por aquellos de  

Dicha condición no se cumple, en general, para subanillos. Consideremos, por ejemplo, el subanillo   de   allí, la multiplicación de un racional por un entero no es necesariamente un entero.

Veremos, ahora, que la condición (***) para un subgrupo aditivo   de   es suficiente para proveer al grupo cociente   con una estructura de anillo. Sea   la clase de equivalencia de   respecto a la relación de equivalencia   Probaremos que tomando cualquier elemento   y multiplicándolo por uno cualquiera   el resultado siempre está en la clase de   lo que probará que tenemos una multiplicación bien definida en   Sean   y   donde   y   son elementos de   Entonces,

 

Como se cumple la condición (*), tenemos que   es un elemento de   al igual que  . Lo que prueba la afirmación.

Proposición 1. (Anillos Cocientes) Sea   un anillo con identidad y sea   un subgrupo aditivo de   tal que   Entonces, la definición

 

provee a   con una estructura de anillo con identidad que llamaremos anillo cociente de   por  

    Demostración: Por la discusión anterior a la definición, vemos que la multiplicación está bien definida, por lo que solamente es necesario verificar la asociatividad y la distributividad. Sean     y   elementos de   Tenemos que
     

    Como en cualquier anillo, se cumple que   concluimos que   Es decir que la multiplicación cociente es asociativa.

    Análogamente, tenemos que

    { |- | [a]([b] + [c]) || = || [a][b+c] = [a(b+c)] = [ab + ac] |- | [a][b] + [a][c] || = || [ab] + [ac] = [ab + ac]. |}

    Lo que prueba la distributividad por la izquierda. Dejamos al cuidado del lector la demostración de la distributividad por la derecha, de la conmutatividad de la multiplicación y que   es la identidad en  

Se verifica fácilmente que cuando el anillo es conmutativo, su cociente tambien lo es.

Los subgrupos aditivos con las propiedades indicadas merecen, por lo tanto, un nombre especial.

Definición. (Ideales) Sea   un anillo. Sea   un subconjunto no vacío de   Decimos que   es un ideal izquierdo (resp. ideal derecho) del anillo   ssi, para todo     en   y para todo     en   se cumple que:     (resp,  ) son elementos de  

Un subgrupo es un ideal bilateral o simplemente ideal, ssi, es ideal izquierdo y derecho. Notación:  


Sigue de la primera condición que los ideales son subgrupos del grupo aditivo del anillo. Cuando el anillo es conmutativo, los ideales izquierdos y derechos son bilaterales. Por lo que basta con que   en   impliquen que   y   estén en   para que   sea un ideal.

Observación. Hay ejemplos de anillos que tienen ideales laterales (izquierdos o derechos), pero no tienen ideales bilaterales.


Ejemplos (Ejemplos de Ideales).

  1. En cualquier anillo   los subgrupos   y   son ideales (ideales triviales). Llamamos ideal propio a un ideal diferente de los triviales.
  2. Todos los subgrupos de   son ideales (bilaterales) en   En efecto, recordemos que cada subgrupo de   consiste de los múltiplos de un entero fijo   Como, al multiplicar cualquier entero por un múltiplo de   obtenemos otro múltiplo de   tenemos que se cumple la propiedad de ser ideal.
  3. Sea   un anillo cualquiera con identidad y sea   un elemento de   Entonces, llamamos ideal principal izquierdo generado por   al conjunto de todos los productos obtenidos al multiplicar un elemento del anillo por  
     

    Análogamente, tenemos un ideal principal derecho generado por  

     

    Naturalmente, si   es conmutativo   y hablamos de ideal principal generado por  .

    Veamos que efectivamente   es un ideal izquierdo. Como     es un elemento de   por lo que se trata de un subconjunto no vacío. Además,   lo que prueba que   es un subgrupo aditivo del grupo aditivo de   Como   se tiene que   es un ideal izquierdo.

    Queda de ejercicio, la verificación de que   es un ideal derecho.


Sea   un ideal (izquierdo, derecho o bilateral) del anillo   Si la identidad o una unidad está en   entonces   En efecto, sea   una unidad tal que   Entonces, como un elemento y su recíproco siempre permutan.tenemos además que   Sea   un ideal izquierdo (resp. derecho) que contiene a   Entonces.   (resp.uv) está en   o sea que 1 está en   Como para todo   en   se cumple que   se tiene que cualquier elemento del anillo está en   es decir que  

Proposición 2. Cuando un ideal contiene a una unidad, en particular a la identidad, el ideal es igual a todo el anillo.

Usando la nomenclatura de ideales, podemos reescribir la proposición 1 de la siguiente manera.

Proposición 3. Sea   un ideal de un anillo   entonces   tiene una estructura de anillo con las operaciones definidas por

 

Decimos que   es al anillo cociente de   por el ideal   y podemos leer   como "  módulo  ".

Cuando el anillo   es conmutativo con identidad 1 y   un ideal de   se verifica que   es conmutativo con identidad  

Ejemplo.

El ideal   de   define al anillo cociente   al que llamamos el anillo de los enteros módulo   Notemos que cuando   es un entero compuesto, aunque el anillo   es un dominio de integridad, su anillo cociente   tiene divisores de cero, ya que si   con   entonces  


Ideales en CuerposEditar

Supongamos que   fuera un cuerpo e   un ideal de   Entonces, si   tendremos un elemento no nulo   en   Por definición de ideal,   estará entonces en   o sea que   será un elemento de   Pero, por la última proposición, el ideal coincidirá con todo el anillo, o sea el cuerpo   en este caso. Es decir que en cuerpo, solamente hay ideales triviales.

Proposición 4. Los cuerpos no contienen ideales propios no nulos.

Nomenclatura. Los anillos que no tienen ideales propios, en particular los cuerpos, se llaman anillos simples.

EjerciciosEditar

  1. Hallar todos los ideales de   Sea   describir a  
  2. Sea   el anillo de las funciones de los Reales en si mimo. Para cada   en   sea   la función evaluación en   que asocia a cada   en   el número real  
    1. Verificar que   es un homomorfismo de anillos.
    2. Usar el resultado anterior para explicar por qué el conjunto de todas las funciones tales que   es un ideal de  
    3. Probar que el conjunto   formado por todas las funciones cuyo valor es nulo sobre el intervalo   es un ideal de  


  3. Sea   un anillo conmutativo y   un elemento del anillo. El anulador de   es   Probar que   es un ideal de  
  4. Sea   un subconjunto de un anillo conmutativo   Una combinación (lineal) de elementos de   con coeficientes en   es un elemento de la forma
     

    donde los  's son elementos del anillo y los   son elementos de   Probar que cualquier ideal que contenga a   contiene a cualquier combinación lineal de elementos de  

  5. Sea   un producto directo de anillos, donde   (resp.  ) se identifica con los elementos de   cuya segunda componente (resp. primera componente) es nula. Probar que   y   son ideales de   ¿Que podemos decir de los anillos cocientes   y  ?
  6. (Enteros de Einsenstein) Sea   donde   Sea   ¿Es   un ideal de  ?
  7. Sea   el anillo de las sucesiones reales, o sea de las funciones de   en   Sea   el conjunto firmado por las sucesiones que tienen una cantidad finita de términos no nulos.
    1. Sea   en   Probar que hay un   tal que   implica que  
    2. ¿Es   un subanillo de  ? ¿un ideal?
  8. Sea   un anillo conmutativo con unidad y sea   un elemento idempotente de   ( ) que no es un divisor de cero. Probar lo siguiente:
    1.   es también un idempotente.
    2. Sean   y   Entonces,   y   son ideales,
    3.  
  9. Sea   un anillo. Un elemento   de   es nilpotente, ssi, hay un natural   tal que   Un ideal   de   es un ideal nilpotente, ssi, cada elemento de   es nilpotente.
    1. Probar que unidades no pueden ser nilpotentes.
    2. Hallar los elementos nulos no nilpotentes y los ideales nilpotentes de     y  
    3. Sean     elementos que son nilpotentes y que conmutan entre si. Probar que   y   son nilpotentes.
    4. Hallar los elementos nilpotentes de   y  
    5. Probar que   es nilpotente.
  10. Sea   un anillo conmutativo con unidad. Probar que todos los elementos nilpotentes del anillo (ver ejercicio anterior para las definiciones) forman un ideal   de   (nilradical de A). Probar que   no tiene elementos nilpotentes no nulos.
  11. Sea   un entero primo y sea  
    1. Probar que   es un subanillo de   pero no es un subcuerpo de  
    2. Hallar las unidades de  
    3. Probar que todos los ideales de   son principales y de la forma  ,  
    4. Describir  .
  12. Dar un ejemplo de lo indicado a continuación, o decir porque es imposible.
    1. Hay cocientes de dominios de integridad que son cuerpos.
    2. Hay cocientes de dominios de integridad que no son dominios de integridad.
    3. Hay anillos con divisores de 0 que tienen cocientes que son dominios de integridad.
    4. Hay subanillos de   que no son ideales.
  13. Probar que el cociente de un anillo con identidad por un ideal propio es un anillo con identidad.
  14. ¿Cierto o falso?
    1. Un anillo puede no tener ideales.
    2. Un anillo con identidad no tiene ideales.
    3. Las unidades de un anillo determinan un ideal.
    4. Los Racionales determinan un ideal de los Reales.
    5. Cada ideal de un anillo es un subanillo del anillo.
    6. Cada subanillo de un anillo es un ideal del anillo.
    7. Un ideal de un subanillo es un ideal del anillo.
    8. Un ideal de un anillo es un ideal de cada subanillo.
    9. La intersección de dos ideales puede ser vacía.
    10. Un cuerpo tiene exactamente dos ideales propios.
    11. El anillo cociente de un anillo conmutativo es conmutativo.
    12. El anillo cociente de un anillo con identidad es un anillo con identidad.
    13. El anillo cociente de un domino de integridad es un dominio de integridad.
    14. Un anillo cociente nunca es el anillo trivial.
    15. El ideal principal izquierdo   es igual al ideal derecho  
    16. Los ideales principales son siempre bilaterales.

Homomorfismos e IdealesEditar

En esta sección, veremos las relaciones entre homomorfismos de anillos e ideales del dominio y codominio del homomorfismos. Los resultados son totalmente análogos a los resultados de homomorfismos de grupos y subgrupos normales vistos en el capítulo Grupos Cocientes.

Proposición 5. (Núcleos son Ideales) Sea   un homomorfismo de anillos. Entonces, el núcleo de   (el conjunto formado por todos los elementos   de   tales que  ) es un ideal de  

    Demostración: Sea   el núcleo de   Sabemos que   es un subgrupo del grupo aditivo de   Sea   en   y   en   entonces

     ,

     

    Lo que prueba que   es un ideal de  .

Teorema de Homomorfismo Sea   un homomorfismo de anillos. Sea   el núcleo de   Sean   el supramorfismo canónico,   y   tal que   Se cumple que   es un monomorfismo de anillos. Es decir que   como anillos. El siguiente diagrama de homomorfismos es conmutativo.

 

    Demostración: La prueba es totalmente análoga a la prueba del teorema de Noether en el capítulo Teoremas de Homomorfismos. Lo único nuevo es que   es un homomorfismo de anillos. Sigue de la proposición mencionada que   es un homomorfismo de grupos. Veamos que es un homomorfismo para la multiplicación.
     

(La siguiente proposición es análoga a la proposición sobre imágenes de subgrupos.)

Proposición 6. (Homomorfismo e Ideales) Sea   un homomorfismo de anillos.

  1. Sea   un ideal de   entonces   es un ideal de  
  2. Sea   un ideal de   entonces   es un ideal de   que contiene al núcleo de  

    Demostración: Sigue de la teoría de grupos que   es un subgrupo aditivo de   y que   es un subgrupo aditivo de   Por lo que bastará con verificar las cerraduras respecto a la multiplicación.
  1. Sea   en   entonces para todo   en   se cumple que
     

    Por lo que  

  2. Sea   un elemento de   Entonces, para todo   en   tenemos que
     

    Luego,  

Corolario 6.1. Sea   un homomorfismo suprayectivo. La imagen de un ideal principal de   es un ideal principal de  


Ejemplo.

Sea   la inclusión canónica   que es un homomorfismos de anillos.   es un ideal de  , pero su imagen (o sea el mismo conjunto) no es un ideal de   Esto muestra que las restricciones de la parte (a) de la proposición son necesarias.


Ejemplo.

Sea   el supramorfismo canónico,  

Sigue del corolario, ya que   es suprayectiva, que la imagen de cada ideal de   es un ideal principal de   Usando este resultado, podemos listar a los ideales de  

  1. los ideales triviales:    
  2.  ;
  3.   ya que   y  
  4.  

Por lo que   tiene dos ideales no triviales   y  


EjerciciosEditar

  1. ¿Cierto o falso? Justificar la respuesta o dar contraejemplos.
    1. Un homomorfismo de anillos   envía subanillos de   en subanillos de  
    2. Un homomorfismo de anillos   envía ideales de   en ideales de  
    3. Un homomorfismo de anillos es inyectivo, ssi, su núcleo es  
    4. Los anillos   y   son isomorfos.
    5. La imagen homomórfica de un anillo conmutativo es conmutativo.
    6. La preimagen (imagen inversa) de un anillo conmutativo es conmutativo.
  2. Sea   el anillo de las funciones de los Reales en si mimo. Para cada   en   sea   la función evaluación en   que asocia a cada   en   el número real  
    1. Verificar que   es un homomorfismo de anillos.
    2. Usar el resultado anterior para explicar por qué el conjunto de todas las funciones tales que   es un ideal de  
    3. Probar que el conjunto   formado pro todas las funciones cuyo valor es nulo sobre el intervalo   es un ideal de  
  3. Sea   un homomorfismo suprayectivo de anillos. Probar que la imagen de un ideal principal es un ideal principal.
  4. Sean   y   enteros tales que   la función   de   en   es un supramorfismo de anillos con identidad. Hallar el núcleo del homomorfismo.
  5. Sean     ideales de un anillo conmutativo tal que   Probar que la función de   en   definida por   es un homomorfismo de anillos.   denota la clase de   en  
  6. Sean   y   enteros relativamente primos. Probar que
     
  7. Sea   un homomorfismo de anillos. Sea   un ideal de   y   un ideal de   tales que   Probar que la función   es un homomorfismo de anillos de   en  
  8. Sean     ideales de un anillo conmutativo tal que   Probar que la función de   en   definida por   es un homomorfismo de anillos.   denota la clase de   en   ( ).

Ideales generado por una parte SEditar

En nuestro estudio de los grupos, vimos que teníamos grupos y subgrupos generados por un subconjunto del grupo. Estudiaremos la situación análogas para ideales y subconjuntos de un anillo conmutativo con identidad, que será el caso más relevante para nuestro estudio. Dejamos para ejercicios el caso de subanillos generados cuando el anillo no sea conmutativo.

Sean   un anillo (conmutativo y con identidad) y   un subconjunto de   Supongamos que   y que   denota a un ideal que contienen a   Cualquier producto de un elemento de   por un elemento de   debe ser elemento de   en particular, sus opuestos aditivos. Además, por ser   un subgrupo aditivo, la suma de esos productos deberá estar en   Tales consideraciones sugieren la siguiente proposición.

Proposición 7. (Ideal generado por una parte  ) Sean   un anillo (conmutativo con identidad) y   un subconjunto de   Sea   el subconjunto de   formado por todos los elementos de la forma

  (*


donde los  's son elementos cualesquiera de   y los  's son elementos de  . Entonces,   es un ideal que está contenido en cualquier ideal que contenga a  

    Demostración: Sean   y   elementos de   Entonces,
     

    Lo que prueba que   es un ideal. El resto sigue de la discusión anterior.

Nomenclatura y Notación.

Sean     e   como en la proposición. Decimos que   es el ideal generado por   y lo simbolizamos por  


Llamamos combinación lineal (con coeficientes en  ) de los elementos de   a cualquier elemento de la forma de la relación (*). Con esta nomenclatura, el ideal generado por   consiste de todas las combinaciones lineales (con coeficientes en el anillo) de los elementos de  

Al igual que el caso de subgrupos generados, podemos caracterizar al ideal generado por una intersección de ideales.

Proposición 8. (Intersección de Ideales) La intersección de una familia de ideales es un ideal. En particular, la intersección de ideales que contienen a un subconjunto   es un ideal que es igual al ideal generado por  

    Demostración: Sea   una familia de ideales de un anillo   y sea   la intersección de todos esos ideales. El cero está en todos los ideales, por lo tanto, en   Sean     elementos de   Como   es la parte común a todos los ideales
     's, tenemos que   y   están en cada   Por ser   ideal, tenemos que   y   (para cada   de  ) están en   Es decir que   y   están en cada uno de los  's, por lo que están en la parte común a todos, es decir en   Lo que prueba que   es un ideal de   En particular, la familia de ideales que contienen a   tienen como intersección a un ideal   que contiene a   y por ser la intersección está contenido en cualquier ideal con esa propiedad. Como   es uno de esos ideales, contiene a   pero cada elemento de   está contenido en cualquier ideal que contenga a  
    Luego  

Ideales finitamente generadosEditar

Decimos que un ideal es finitamente generado, ssi, hay un conjunto finito que lo genera. Cuando el conjunto de generadores tiene solamente un elemento, decimos que el ideal es principal.


En el anillo   de los Enteros, todos los ideales son principales, ya que todos son de la forma  , para algún entero  

Ejemplo (Identidad de Bezout de los Enteros) .

Sea   Sean   y   dos números enteros positivos. Consideremos el ideal generado por   y   Como los ideales de   son principales, hay un entero positivo   tal que   . Luego   debe ser una combinación lineal de   y   Es decir que habrá enteros   tales que

 

Como   y   están en   se tiene   es un divisor de   y   La relación anterior implica, además, que cualquier divisor común de   y   será un divisor de   es decir que   es el máximo común divisor de   y   Tenemos entonces que

Identidad de Bezout.
Si   entonces hay enteros     tal que  



EjerciciosEditar

  1. Sea   un anillo conmutativo con identidad y sean     ideales de   Probar que
    1.   es un ideal de  
    2. Sea   el ideal generado por todos los productos   tales que   está   y   está en   Probar que   Buscar ejemplo donde  
    3. Sea   es un ideal de  
    4. El cociente   Probar que   es un ideal.

    ¿Cuándo se usa la hipótesis de conmutatividad?

  2. El ideal generado por   es un ideal generado por un número positivo   que es igual al mínimo común múltiplo de   y  
  3. Sea   el ideal generado por 6 en   Hallar todos los ideales   que contienen a  
  4. Probar que si   entonces  
  5. (Subanillo Generado) Sea   un subconjunto de un anillo   (que no suponemos ni conmutativo ni con identidad. Sea   un subanillo que contiene a  
    1. Cualquier múltiplo entero de un elemento de   es un elemento de  
    2. Cualquier producto de elementos de   está en  
    3. La suma de elementos de la formas indicadas arriba es un elemento de  
    4. Sea   el subconjunto de   formado por todos los elementos de   de la forma
       

      donde los  's son enteros cualesquiera y los  's son enteros positivos o nulos. Probar que   es un subanillo de   que contiene a   y que está contenido en cualquier otro subanillo que contenga a  

  6. (Ideal Generado) Sea   un subconjunto de un anillo   (que no suponemos ni conmutativo ni con identidad. Sea   el subconjunto de   formado por todos los elementos de   de la forma
     

    donde los  's son enteros y los  's y los  s son elementos de   Probar que   es un ideal de   que contiene a   y que está contenido en cualquier otro ideal que contenga a  

  7. ¿Cómo modificar los ejercicios anteriores (subanillos e ideales generados), así como la proposición 7, para incluir la posibilidad de que el conjunto de generadores sea infinito? ¿Qué pasa cuando el conjunto de generadores es vacío?
  8. Sean     subanillos de un anillo   Probar que   es isomorfo a la suma directa de   ssi,
    1.   y   son ideales de  
    2.   y
    3.   está generado por   y  

Ideales Primos y MaximalesEditar

Antes de entrar en la materia estableceremos el siguiente convenio que usaremos en el resto del texto

CONVENIO
ANILLOS CONMUTATIVOS CON IDENTIDAD

De ahora en adelante, supondremos que nuestros anillos son conmutativos con identidad, a menos que se indique algo distinto.



Hay dos tipos de ideales que serán importantes en nuestros estudios posteriores:ideales primos e ideales maximales.

Definición. (Ideal Maximal) Sea   un anillo conmutativo con identidad. Un ideal   de   es maximal, ssi,   y cualquier otro ideal que lo contenga es igual a él o es todo el anillo. Es decir, ssi, para todo ideal  :

 


En palabras, un ideal maximal es un ideal que no está contenido en otro ideal propio diferente de el.

Ejemplo.

Los ideales   de los Enteros, con   primo, son ideales maximales.

Sea   un ideal que contiene al ideal   Como todos los ideales de   son principales, hay un número entero positivo   tal que   Como   implica que   es un múltiplo de   se tiene que   es divisible por   Lo que implica que   o   es decir que   o   lo que prueba que   es un ideal maximal.


Criterio para que un Anillo Cociente sea un CuerpoEditar

Sea   un anillo conmutativo con identidad y sea   un ideal de   tal que   es un cuerpo. Sea   un elemento no nulo de   (que debe existir ya que   es un cuerpo), entonces hay un   en   tal que   En termino del ideal   lo anterior dice que para cada   que no está en   podemos hallar un   en   tal que   es un elemento de  

Sea   un ideal que contiene a un   que no está en   y al ideal   Observemos que   contiene propiamente a   Sigue de las consideraciones anteriores que hay un elemento   tal que   Como   es un elemento de   tenemos que   es un elemento de   luego   será también un elemento de   Lo que prueba que   y que, en consecuencia,   debe ser un ideal maximal.

Supongamos ahora que   es un ideal maximal del anillo   Probaremos que   es un cuerpo. Como   hay un elemento no nulo   en   lo que implica que   no está en   Sea   el ideal generado por   Cada elemento de   es de la forma   con   en   y   en   Claramente,   contiene propiamente a   por lo que es igual a   En particular, esto dice que podemos hallar   en   y   en   tales que   Pasando al cociente, tenemos que   lo que muestra que   es invertible en   por lo que   es un cuerpo.

Hemos probado, así, la siguiente proposición.

Proposición 9. Sea   un anillo conmutativo con identidad y sea   un ideal de     es un cuerpo, ssi,   es un ideal maximal de  

Ejemplo.

Sea   un número entero primo, como   es un ideal maximal en   tenemos que   es un cuerpo.


Ejemplo.

En un cuerpo   el ideal   es maximal.


Ejemplo.

En un ejemplo anterior, vimos que   tiene dos ideales no triviales,   y   Claramente esos ideales son maximales, ya ninguno de ellos contiene al otro, En consecuencia,   y   son cuerpos.


Criterio para que un Anillo Cociente sea un DominioEditar

Sea   un anillo conmutativo con identidad y sea   un ideal propio de   Supongamos que   fuera un dominio de integridad. Sean     elementos del anillo tales que   está en   Pasando al cociente, tendremos entonces que   Como   es un dominio de integridad, se tiene que   o   Es decir que,   está en   o   está en  

En forma recíproca, sea   un ideal tal que   en   implica que   está en   o   está en   Sean     elementos de   tales que   Entonces,   está en   Por la hipótesis, se tiene que   está en   o   está en   Pasando al cociente, esto significa que   o   Es decir que   es un dominio.

Los ideales con la propiedad anterior merecen un nombre especial.

Definición. (Ideal Primo) Sea   un anillo conmutativo con identidad. Decimos que un ideal   de   es un ideal primo, ssi, cuando el producto de dos elementos está en el ideal, al menos uno de los factores debe estar también en el ideal. Es decir, ssi, para todo     se cumple que

 


La discusión anterior a la definición se resume en la siguiente proposición.

Proposición 10. Sea   un anillo conmutativo con identidad y   un ideal de   Entonces,   es un dominio, ssi,   es un ideal primo.

Corolario 10.1. Los Ideales Maximales son Ideales Primos.

    Demostración: Si   es un ideal maximal, tenemos que   es un cuerpo. Como los cuerpos son dominios de integridad, tenemos que   es un dominio de integridad. Por la proposición,   es un ideal primo.


Ejemplo. (Ideal primo que no es maximal).

En cualquier dominio de integridad, el ideal   es un ideal primo. En efecto, si   esta en   entonces   lo que implica que   o   o sea que   o   están en   Este ideal no es maximal, a menos que el dominio sea un cuerpo. Es decir que puede que haya ideales primos que no sean maximales, por ejemplo en  


Observación. Sea   un número primo, el ideal   de   es un ideal primo, ya que vimos que   es un cuerpo.


Ejercicios del CapítuloEditar

A. Hacer lo indicado}

  1. ¿Cuáles son todos los ideales del anillo de las matrices   con coeficientes reales? (Sugerencia, pruebe la siguiente identidad matricial. Luego invente otra identidad, que junto con la primera permita deducir que la identidad es un elemento de cualquier ideal no nulo. Luego, los ideales no nulos serán todos iguales a \ldots ).
     
  2. Sea   un anillo con identidad, pero no necesariamente conmutativo. Probar que si los únicos radicales izquierdos de   son los triviales,   y todo   entonces   es un anillo con división.
  3. Sea   el anillo de matrices   con entradas en el cuerpo   Probar que el conjunto de matrices de la forma   es un idea l izquierdo (cerrado con respecto a la multiplicación por la izquierda), pero no es un ideal derecho.
  4. (Cálculo) Sea   el anillo de las funciones continuas del intervalo cerrado   en los Reales. Probar que si   es un ideal maximal de   hay un número     tal que  
  5. Sea   el anillo de las funciones de   en  
    1. Hallar tres unidades del anillo  
    2. ¿Hay elementos nilpotentes en  ?
    3. ¿Hay elementos idempotentes en  ?
    4. Sean   y   las funciones tales que para dodo   en   se cumple que   y   Describir al subanillo generado por ambas funciones. ¿Es un ideal?
  6. Sea   un entero primo y sea  
    1. Probar que   es un subanillo de   pero no es un subcuerpo de  
    2. Hallar las unidades de  
    3. Probar que todos los ideales de   son principales y de la forma  ,  
    4. Describir  .
  7. Dar un ejemplo de un anillo donde hay un ideal primo que no es maximal.
  8. ¿Cuáles son todos los ideales de     cualquiera? (Sug. Probar que si   es un ideal   entonces   es un ideal de   que contiene a  ) Aplicar lo anterior para hallar todos los ideales de   Buscar los ideales primos y maximales entre ellos.
  9. Sea   una cadena de ideales (quizás infinita). Sea   la reunión de todos esos ideales. Probar que   es un ideal. (La reunión está formada por todos los elementos que están en alguno de los ideales de la cadena.)
  10. Sea   un anillo con la propiedad de que cada ideal es finitamente generado. Probar que cualquier cadena ascendente de ideales   se estabiliza, es decir que existe un   tal que   implica que  
  11. Sea   un número entero y sea  ,   Mostrar que la cadena de ideales
     

    no se estabiliza, o sea que es infinita.

  12. Sea   un ideal de un anillo conmutativo con identidad. Llamamos radical de   al conjunto denotado por   y definido como el conjunto de todos los elementos de   que tiene un potencia entera positiva en  
     

    Probar que:

    1.   es un ideal que contiene a  
    2.  
    3.  
    4. Cuando   es un ideal maximal (propio no contenido en otros ideal propio) entonces  
  13. Sean   un anillo y   un subconjunto no vacío de   Simbolicemos por   al conjunto de elementos   de   tales que   para todo   en   Probar que:
    1.   es un ideal izquierdo de  
    2. Si   es un ideal izquierdo de   entonces   es un ideal (bilateral) de  
  14. (Relación entre divisibilidad e ideales en los Enteros.) Sean   y   enteros no nulos. Decimos que   es un factor de   cuando hay un entero   tal que   Probar las afirmaciones siguientes, cuando   y   son enteros.
    1. Un entero   es un factor de un entero   ssi,