Álgebra Abstracta/Teoremas de Homomorfismos

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Álgebra Abstracta



IntroducciónEditar

En este capítulo, veremos el teorema fundamental de homomorfismos, usualmente atribuido a Emmy Noether (1882-1935), que relaciona de una manera brillante los grupos cocientes con las imágenes homomórficas de un grupo. Aplicaremos dichos resultados para obtener unos resultados clásicos de la teoría de números.

Teorema Fundamental de HomomorfismosEditar

Recordemos que cuando un homomorfismo   es un supramorfismo, entonces decimos que   es una imagen homomórfica de   . El teorema fundamental establece una correspondencia biyectiva entre las imágenes homomórficas de   y los subgrupos normales de   .

Teorema de Fundamental de Homomorfismos (Teorema de Noether) [1]

Sea   un homomorfismo de grupos y sea   el núcleo de   . Entonces,  

El isomorfismo está dado por la correspondencia   que a cada   de   asocia el elemento   de   .

    Demostración: Primeramente, estableceremos que   es una función bien definida, es decir que su valor es independiente del representante de la clase usado para computar su valor. Sea   en   . Entonces, hay un   en   tal que   . Luego,
     


    Lo que prueba que   está bien definida. Probaremos, ahora que se trata de un homomorfismo.

     


    Claramente,   es suprayectiva, por lo que basta verificar que es inyectiva, para concluir que se trata de un isomorfismo. Si   se tiene que   por lo que   está en   de donde   el neutro de   lo que prueba la inyectividad de   .



Corolario.

Sea f:G --> H un homomorfismo de grupos y sea G un grupo finito. Entonces,

|G| = |f(G)| |ker(f)|.
Demostración: Se tiene del isomorfismo anteriormente establecido que |f(G)|= |G/K|, donde K = ker(f). De donde, por el teorema de Lagrange obtendremos que |G| = |G/K||K|, lo que al sustituir en la relación anterior nos da el resultado deseado.


Notemos que el orden de la imagen de un homomorfismo es un divisor del orden del grupo.

Cómputo de HomomorfismosEditar

Ejemplo.

Hallar todos los homomorfismos posibles desde   en   .

Resolución: Sea   un homomorfismo. Entonces,   implica que   o   . En el segundo caso, se trata de   el neutro en   . En el primer caso, se trata de un monomorfismo que envía el   en un elemento de orden 5 en   . ¿Cuáles son los elementos de orden 5 en   ? La respuesta es 2, 4, 6, y 8. Por lo tanto, tenemos homomorfismos dados por   donde a = 2, 4, 6 u 8.


Ejemplo.


Hallar todos los homomorfismos posibles desde   en   .

Resolución Sea   el homomorfismo que envía el generador   de   en el generador   de  . Entonces, $\ker(f) \vartriangleleft \textsf{C}_{12}</math> implica que   es un divisor de 12, o sea 1, 2, 3, 4, 6 o 12. Por el teorema acerca del orden de subgrupos de un grupo cíclico, tenemos que   debe ser un divisor de 9. Lo que elimina a todos los valores de  , excepto posiblemente   o  .

  •   corresponde al homomorfismo trivial   (el neutro de  ).
  •   implica que  . La clase de   tiene entonces orden 3, por lo que su imagen por   debe tener orden 3. Sigue de la proposición mencionada que los únicos elementos de   con orden 3, son   y  . Luego, los homomorfismos no triviales son tales que
    •  , o sea que  , donde   es el residuo de la división de   por 3, y
    •  , o sea que  , donde   es el residuo de la división de   por 3.

EjerciciosEditar

  1. (Homomorfismos y ordenes) Sea   un homomorfismo de grupos. Si   entonces   .
  2. Sea   el grupo lineal (las matrices   invertibles sobre los Reales). El subgrupo   de   formado por las matrices de determinante 1 es un subgrupo normal de   . Describir a su grupo cociente.
  3. Sea   un grupo. Para cada elemento   de   definamos la función   (conjugación por   ) de   en sí mismo, por:   .
    1. Probar que c_g es un isomorfismo de grupos.
    2. Si H es un subgrupo de G, entonces c_g(H) será también un subgrupo de G, llamado el conjugado de   por c_g. Probar que   es normal en   ssi, coincide con todos sus conjugados.
  4. ¿Qué relación hay entre el diagrama de los subgrupos de un grupo y el correspondiente diagrama para un grupo cociente del mismo?
  5. (Isomorfismo de Productos)
    1. Sean   y   numeros enteros positivos relativamente primos entre si. Probar que el grupo   es isomorfo a   .
    2. Sean   enteros positivos relativamente primos entre sí. Entonces,
       


      donde   .

  6. ¿Cuáles son todos los homomorfismos posibles de   en   y viceversa?
  7. Listar todos los posibles homomorfismos de   en   cuando r y s son iguales respectivamente a
    (a) 4, 2.   (b) 6, 2.   (c) 6, 3.   (d) 9, 3.
  8. Listar todos los posibles homomorfismos de   en  
    (a) r = 1, s = n.   (b) r = 2, s = 3,4,5,n.   (c) r = 4, s = 5,n.    (d) r = 4, s = 6,9,n,2n.
  9. Sea   tal que   .
    1. Probar que f es un homomorfismo de grupos.
    2. Probar que   donde   es el conjunto de todos los complejos cuyo módulo es igual a 1. Geométricamente,   es la circunferencia unitaria del plano complejo.
    3. Hallar el núcleo   de   . (Se trata de un grupo muy conocido).
    4. Aplicar el teorema de Noether, para concluir que  
  10. (Segundo Teorema de Isomorfismo) Sea   un grupo y     subgrupos normales de   tales que   . Probar las siguientes afirmaciones.
    1.   implica   .
    2.   .
    3. La función   tal que   es un supramorfismo de grupos.
    4. El núcleo de   consiste de todos las clase   tales que   está en   o sea   .
    5.   (Segundo Teorema).
  11. (Tercer Teorema de Isomorfismo) Sea   un grupo y     subgrupos de   tales que   es normal en   . Probar las siguientes afirmaciones.
    1.   es un subgrupo de   .
    2.   es un subgrupo normal de   .
    3.   es un subgrupo de   .
    4.   es un subgrupo normal de   .
    5. Sea   la asignación a cada   de   de   es un supramorfismo de grupos.
    6. El kernel de   es   .
    7.   (Tercer Teorema).

AplicacionesEditar

Teorema Chino de los ResiduosEditar

Como una primera aplicación del teorema de Noether, probaremos el siguiente resultado.

Proposición 1. Si   y   son enteros relativamente primos entre si, se cumple que  

    Demostración: Sea   tal que   Como
     

    tenemos que   es un homomorfismo de grupos.

    Computemos ahora el núcleo de   Si   entonces   es divisible tanto por   como por   por ser   y   relativamente primos, tenemos que es divisible por   por lo que pertenece a   Observemos, además, que cualquier elemento de  es divisible tanto por   como por   por lo que su imagen por  será precisamente   Es decir que el núcleo de  es  

    Luego, por el teorema de Noether,   Es decir,   Pero, como   concluimos que   por lo que  


La proposición anterior tiene el siguiente corolario, que aparece en la literatura matemática como el teorema Chino de los Residuos.

Corolario 1.1. Sean     ... ,   numeros enteros relativamente primos entre si. Sea  igual al producto de esos números. Entonces,

 

por un isomorfismo   tal que

 

    Demostración: Inducción sobre  


Hay un teorema de igual nombre en teoría de números que enunciamos a continuación.

Corolario (Teorema Chino de los Residuos para los Números Enteros) Sean     \dots,   números enteros relativamente primos entre si y sea  el producto de esos números. El sistema de congruencias

 

tiene una solución entera. Dos de esas soluciones son congruentes módulo  

    Demostración: Sea   el isomorfismo del corolario anterior. La solución a la congruencia es cualquier  tal que
     


La función   de EulerEditar

Recordemos que   es la cantidad de enteros positivos menores o iguales que   que son relativamente primos con   Sabemos que las clases de congruencia de esos números determinan al grupo multiplicativo   En esta sección, probaremos un resultado que permitirá computar   para cualquier valor entero de   Necesitaremos el resultado de la siguiente proposición.

Proposición 2. Sean   y   dos enteros positivos relativamente primos. Entonces,

 


    Demostración: Consideremos el grupo   y sean   y   los subgrupos definidos por
      y
      Probaremos que   Se tiene que   y   son normales en   porque   es un grupo abeliano. Si   y   tenemos que   es divisible por   y   lo que implica, por ser   y   relativamente primos, que   es divisible por   o sea que   Es decir que   Para probar lo anunciado, solamente nos falta probar que   está generado por   y   Como   y   son relativamente primos, hay enteros     tales que
     

    Sean   y   Observemos que   está en   y que   está en   Además,

     

    Lo que prueba que   Por la proposición sobre el producto de subgrupos normales, tenemos que  

    Probaremos ahora que   y que   lo que concluirá la demostración de la proposición.

    Observemos que si   es relativamente primo con   se cumple que   es relativamente primo con   Por lo que la correspondencia   induce una función   Claramente, esta función es un homomorfismo. Si   en   es tal que   se debe cumplir que   y   Sigue del teorema Chino de los Residuos, que hay un único elemento con esa propiedad, 1. Por lo que   es un monomorfismo. Para probar que   es suprayectiva, para cada   en   debemos poder hallar un entero   en   tal que   Es decir un entero   tal que   y   Nuevamente, por el teorema Chino de los Residuos, tal   existe, Luego   es un isomorfismo de   en  

    De manera análoga, se verifica que   Luego,

     




Contando los elementos en la relación de la proposición anterior, tenemos el siguiente resultado.

Proposición 3. Sean m</math> y   enteros positivos relativamente primos. Entonces, se cumple que {Eqn|  }}

Una función de los Enteros en los Enteros con la propiedad anterior, se dice que es  

Veremos como la proposición anterior, junto con la fórmula para potencias de primos

 

permite computar   para todo número natural  

Proposición 4. Sea n</math> un número entero positivo mayor que 1. Si la descomposición en factores primos de  es

 

entonces,

 
    Demostración: Aplicar la proposición anterior e inducción.



Ejemplo.

Hallar  

Como    


EjemploEditar

  1. Hallar enteros   tales que
     

Los Grupos SimplesEditar

Los grupos simples son una familia muy importante de grupos.

Definición. (Grupo Simple) Decimos que un grupo es simple cuando no contiene subgrupos propios no nulos que sean normales.


Sigue del teorema de Noether que cuando   es simple y   es un homomorfismo, entonces   es el homomorfismo trivial   o   es un isomorfismo sobre su imagen.

Sea   cualquier grupo finito abeliano. Recordemos que cualquier subgrupo de   es normal en   Sea   un elemento no nulo de   y sea   Si   entonces el grupo es cíclico y tiene subgrupos para cada divisor positivo de   por lo que será simple, ssi,   es primo. Si   entonces   es un subgrupo propio de   y, por lo tanto, normal en  

Proposición 5. Los grupos finitos abelianos simples son los cíclicos de orden primo.


Sea G un grupo finito cualquiera. Cuando G no sea simple, deberá tener un subgrupo normal propio. Seleccionemos un subgrupo N normal maximal. Es decir tal que no haya un subgrupo normal H distinto de N y G, que contenga a N. En tal situación, tenemos el siguiente lema.

Lema. Sea   un grupo finito cualquiera y sea   un subgrupo normal maximal de   Entonces,   es simple.

    Demostración: Sea   el supramorfismo canónico,   Supongamos que   no fuera simple. Entonces, habría un subgrupo normal propio de   digamos   Sea   la imagen inversa de   es decir que
     

    Sabemos que   es un subgrupo de   Probaremos que contiene propiamente a   que está contenido propiamente en   y que es normal en G, lo que contradice la maximalidad de  

    Como   es un subgrupo propio de   se tiene que   es decir que hay un   en   que es diferente de   o sea tal que   es diferente de   lo que implica que   es un elemento de   que no está en   Análogamente, como   hay un   que no está en   por lo que   no está en   Luego,   es un subgrupo propio de   que contiene propiamente a   Veamos. ahora, por qué es normal en   Sea   un elemento cualquiera de   y   un elemento de   Entonces,   como   es normal en   tenemos que   es un elemento de   lo que implica que   esta en   o sea que  


Series de ComposiciónEditar

Sea   un grupo finito cualquiera. Veremos, ahora, como generar una cadena finita de subgrupos de  

  (**


tal que cada   es un subgrupo normal maximal de    

Sea   un subgrupo normal maximal de   Si   es simple,   En caso contrario, seleccionar un   que sea normal y maximal. Repitamos el proceso anterior, usando como grupo inicial a   obteniendo un subgrupo   que sea normal maximal en   Repetir el proceso hasta que el subgrupo maximal normal sea   Como cada subgrupo obtenido está propiamente contenido en el subgrupo anterior, el proceso anterior tiene una cantidad finita de pasos.

En la cadena (**) de subgrupos, se tiene que   es simple. La sucesión

 


se llama una serie de composición para   Se puede probar que, seleccionando cualquier subgrupo maximal inicial como   (pueden haber varios) que la serie de composición es esencialmente la misma, excepto por una permutación de los grupos cocientes que allí aparecen (teorema de Jordan-Holder). Es decir que la serie solamente depende del grupo G, por lo que grupos isomórficos tienen esencialmente la misma serie. En ese sentido, los grupos simples son los bloques básicos para los grupos finitos generales.

Una de las tareas importantes realizadas por los matemáticos en el siglo XX, fue la construcción de un catálogo de los grupos finitos simples. La tarea envolvió a matemáticos de diferentes países y épocas. Finalmente, en 1982 se estimó que se había completado el catálogo. La demostración de los elementos del catálogo así como de su completitud ocupa varios miles de páginas, distribuidas en centenares de artículos. Una tarea, todavía en proceso (2011), es la reescritura unificada de tal demostración.


Hay otros tipos de series, por ejemplo requiriendo que los cocientes sean abelianos (no necesariamente simples), que caracterizan a familias de grupos.

Ejercicios del CapítuloEditar

  1. Sea   un grupo y sea   el subgrupo de los conmutadores, que es el subgrupo generado por los conmutadores de   o sea, los elementos de la forma   Probar o hacer lo indicado.
    1.   es un grupo abeliano.
    2. Si   y   es abeliano, entonces   contiene a  
    3. Hallar el grupo de conmutadores de     y  
  2. Sea   un grupo cuyos únicos subgrupos son los triviales:   y   Probar que   es finito y su orden es un número primo.
  3. Un grupo que contiene un subgrupo de orden 2 no es simple.
  4. Sea   todas las matrices invertibles con entradas que son elementos de   Hallar todas las matrices de ese conjunto y verificar que determinan un grupo. Hallar un grupo conocido isomorfo a ese grupo.
  5. Sean       y   subgrupos normales de un grupo   Probar las siguientes afirmaciones.
    1. Si   y   entonces  
  6. Sea   un grupo de orden   con   impar. Probar que   tiene exactamente un elemento de orden 2, Además que el producto de todos los elementos del grupo es precisamente ese elemento de orden 2.
  7. La siguiente afirmación es una proposición de la teoría de números enteros que se pueden probar aplicando la teoría de grupos a los grupos   para un   adecuado. (Wilson) Si   es un primo,  }.
  8. Sea   un grupo y sea   el subgrupo de los conmutadores, que es el subgrupo generado por los conmutadores de   o sea, los elementos de la forma   Probar o hacer lo indicado.
    1.   es un grupo abeliano.
    2. Si   y   es abeliano, entonces   contiene a  
    3. Hallar el grupo de conmutadores de     y  


  • Sea   un grupo de orden   donde   es un primo impar. Probar que   es el grupo cíclico   o el grupo dihedral  
  • Clasificar cada una de las siguientes afirmaciones como válidas o falsas. Cuando sea válida dar una explicación o demostración de su validez. En caso contrario, proveer un contraejemplo.
    1. Todo grupo   contiene un subgrupo propio cíclico.
    2. Cuando el conjunto de generadores de un grupo es finito, entonces el grupo es finito.
    3. Si el orden de   es   para todo divisor   de   hay un elemento de   de orden  
    4. Si el orden de   es   para todo divisor primo   de   hay un elemento de   de orden  
    5. En un grupo   de orden   todos los elementos no nulo tienen orden  
    6. Hay grupos de orden   donde para todo   en   se cumple que   para un entero positivo  
    7. La imagen homomórfica de un grupo cíclico es un grupo cíclico.
    8. La imagen homomórfica de un grupo infinito es siempre un grupo infinito.
    9. Un subgrupo   es normal, ssi, coincide con todos sus conjugados.
    10. Un grupo de orden 121 contiene un elemento de orden 11.
    11. Un grupo de orden 100 tiene un subgrupo de orden 4, pero no un subgrupo de orden 8.
    12. Un subgrupo de orden 256 contiene un subgrupo de orden 16.
  • (Variación del Teorema de Noether) Sea   un homomorfismo de grupos. Sean     la suprayección canónica,   tal que   y   la función definida por la inclusión.   se puede factorizar como  
    1. Verificar que   se puede factorizar como   Comparar esa factorización con la factorización de funciones del apéndice Las Funciones.
    2. Probar que las funciones en la factorización son homomorfismos de grupos.
  • Sea   un monoide. Sea   un submonoide de   (o sea un subconjunto cerrado de   que contiene al neutro).
    1. Definir clases laterales   e   Probar que la relación   ssi,   es un relación de equivalencia en   Denotaremos por   al conjunto formado por todas las clases de equivalencia.
    2. Suponer que   es tal que para todo   en     Probar que   es una operación bien definida en   que provee a   con una estructura de monoide tal que la función   de   en   es un homomorfismo suprayectivo de monoides.
    3. Enunciar un teorema análogo al teorema de Noether para los homomorfismo de monoides.
  • ComentariosEditar

    Teoremas de Isomorfismos. El teorema de Noether es llamado el primer teorema de isomorfismos porque hay al menos otros dos. No parece haber acuerdo acerca de cuál de ellos es el segundo y cuál es el tercero. Ver enunciados de esos teoremas en los ejercicios de la sección Teorema Fundamental de Homomorfismos Ver también Wikipedia:Teoremas de Isomorfía

    NotasEditar

    1. Algunas veces, en la literatura matemática, se llama al teorema, "el primer teorema de homomorfismos". Ver los comentarios.