Álgebra Abstracta/Divisibilidad

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Álgebra Abstracta


IntroducciónEditar

En este capítulo, estudiaremos abstracciones de la teoría de la divisibilidad de los Enteros. Aunque muchas de las nociones relevantes pueden extenderse a anillos cualesquiera, la extensión natural es a dominios de integridad (o sea anillos conmutativos con unidad y sin divisores de cero). En este capítulo, y en los siguientes, dominio será sinónimo de dominio de integridad.

Los Enteros están contenidos en los Racionales, que son un cuerpo formado por las fracciones de números enteros. En total analogía, veremos que cada dominio tiene asociado un cuerpo de fracciones de elementos del dominio.

Convenio. Todos nuestros anillos serán conmutativos con identidad, a menos se diga explícitamente lo contrario.


La DivisibilidadEditar

En primer lugar, extenderemos la divisibilidad y nociones asociadas de los Enteros a anillos conmutativos generales.

Definición. (Divisores, Unidades, Asociados) Sea   un anillo conmutativo con identidad.

  • Decimos que un elemento no nulo   divide a   ssi, hay un elemento   tal que   Simbólicamente  
  • Decimos que un elemento   de   es una unidad, ssi,   es un divisor de la identidad.
  • Decimos que los elementos   y   son asociados, ssi, hay una unidad   tal que  


Observaciones.

  1. Cuando   divide a   podemos también decir alguna de las siguientes expresiones.
    •   es un factor de  
    •   des un divisor de  
    •   es un múltiplo de  
    •   es divisible por  
  2. Las unidades ya habían sido definidas anteriormente como los elementos invertibles del dominio. Claramente, ambas nociones coinciden.
  3. Un divisor de cero es cualquier elemento no nulo que divide (en el sentido de la definición) al 0, o que es un factor no nulo del 0.

La siguiente proposición resume las principales propiedades de la divisibilidad.

Proposición 1. Sea   un anillo conmutativo con identidad. Para todo       en   se cumple que

  1. Cualquier elemento   es divisible por 1,  
  2. Cualquier elemento es divisible por sí mismo,  
  3. Cero es divisible por cualquier elemento,  
  4. La relación de divisibilidad es transitiva. Es decir, si   y   entonces  
  5. Si   y   entonces  
  6. Si   entonces  
    Demostración: Ejercicio.


UnidadesEditar

Como observamos anteriormente, la noción de unidad en un anillo es lo mismo que invertible respecto a la multiplicación, pero la tradición es usar el nombre unidad en el contexto de divisibilidad.

Observemos que cuando   es una unidad, como     es un divisor de cualquier elemento del anillo. Claramente, en cualquier anillo,   y   son divisores de 1 y son, por lo tanto, unidades. El siguiente ejemplo muestra que, en general, puede haber otras unidades en un anillo. Además, en cualquier cuerpo, cualquier elemento no nulo es una unidad.

Ejemplo (Enteros de Gauss).

Sea   Sabemos de ejemplos anteriores que   es un anillo respecto a las operaciones usuales. Además, como es un subconjunto de   es un dominio de integridad.

Además de   y   también son unidades   y   ya que   Se puede verificar que esas son las únicas unidades de ese anillo.


Simbolizamos el conjunto de las unidades de un anillo por   o   Como las unidades son los elementos invertibles,   es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1 y es cerrado respecto a tomar inversos. Es decir que   tiene una estructura de grupo, que es un subgrupo del semigrupo multiplicativo del anillo.

AsociadosEditar

Sea   un asociado de   , digamos que   donde   es una unidad. Sea   tal que   Entonces,

 

lo que prueba que   está asociado con   Es decir que la relación "estar asociado con" es una relación simétrica. De hecho, puede probarse que es una relación de equivalencia.

La siguiente proposición es básica para entender el rol de las unidades en la divisibilidad y las nociones asociadas con ella.

Proposición 2. Sea   un anillo conmutativo con Identidad. Sean   y   elementos de   tales que  

  1. Cualquier asociado de   divide a  
  2. Cualquier asociado de   es divisible por  

    Demostración: Supongamos que   es tal   Sea   con   unidad. Entonces,   lo que prueba que   divide a   Sea   con   unidad. Entonces,   lo que prueba que   divide a  


Los resultados de la proposición muestran los roles de las unidades en un anillo, y los problemas que ocasionan. Supongamos que queremos definir máximo común divisor (MCD) de dos elementos de un anillo. Nos gustaría tener una definición que leyera como sigue:

    Sean   y   dos elementos de un anillo   (conmutativo con identidad). Un elemento   es un MCD de   y   ssi,
    1.   es un divisor común de   y   y
    2.   es divisible por cualquier otro divisor común.

Esta definición tiene dos variaciones con respecto a la definición usual para los enteros. En la definición para números enteros se pide que el MCD sea un número positivo. Como en general, no tenemos orden, no podemos hablar de elementos positivos. Sigue de la definición, que si hay un MCD de dos números, por la proposición anterior, cualquier asociado con él, también será un MCD. Por eso es que hablamos de un MCD y no de el MCD.

Ejemplo.

En los Enteros, de acuerdo a la definición anterior de   se tiene que 4 y 6 tiene como MCD a 2 y a   (el asociado a 2).


La consecuencia de lo anterior es que cualquier definición que use divisibilidad, por ejemplo, elemento primo, no determinará un único elemento, sino que al elemento y a todos sus asociados. Por lo que algunas veces hablaremos de unicidad, excepto por asociados o modulo asociados.

En el caso de los Enteros como   y   son los únicos asociados con   podemos, usando el orden, escoger el positivo.

Algunos elementos importantes en un anillo conmutativo son los elementos irreducibles y los elementos primos, que definiremos a continuación. En el anillo de los Enteros, los números primos tienen dos propiedades básicas:

  • (Irreducibilidad). Cada número primo es divisible solamente por si mismo (o un asociado) o por una unidad.
  • (Primacidad) Cuando un número primo divide al producto de dos números, divide al menos a uno de ellos.

Generalizaremos esas dos nociones para anillos conmutativos cualesquiera como nociones separadas, ya que en general no coincidirán.


Definición. (Elementos Irreducibles, Primos) Sea   un anillo conmutativo con identidad.

  1. Un elemento   de   es irreducible (en  ), ssi,   no es nulo ni es una unidad y   implica que   o   es una unidad.
  2. Un elemento   de   es primo (en  ), ssi, no es nulo, no es una unidad y cuando   entonces   o  


Claramente, los asociados de irreducibles son irreducibles y los asociados de elementos primos son primos. La definición dice que un irreducible solamente tiene como factores a un asociado con él o a una unidad.

Observaciones.

  1. En el anillo de los números enteros, los números primos son irreducibles y primos de acuerdo a las definiciones anteriores.
  2. En un cuerpo, no hay elementos irreducibles ni primos, ya que todos los elementos no nulos son unidades. Desde el punto de vista de la divisibilidad, los cuerpos son triviales.
  3. Puede haber dominios donde haya elementos irreducibles que no son primos. Ver ejemplo más adelante.

La Aritmética en un DominioEditar

La divisibilidad puede definirse sobre cualquier anillo con identidad, tomando precauciones acerca del lado adonde estamos multiplicando. Para los efectos de nuestro estudio, sin embargo, las propiedades más interesantes se presentan cuando trabajamos sobre un dominio de integridad. La divisibilidad en un dominio tiene las siguientes propiedades adicionales.

Proposición 3. Sea   un dominio, entonces

  1. Si   y   entonces   y   son asociados.
  2. Si   hay un único elemento   tal que   Escribiremos que  

    Demostración:
  1. Como   hay un   tal que   Análogamente,   implica que hay un   tal que   Luego, como   se tiene que   cancelando   se tiene que   por lo que   y   son unidades. De donde el resultado.
  2. Si   por cancelación  



Proposición 4. (Primos son Irreducibles) Si   es un elemento primo de un dominio     es irreducible.

    Demostración: Sea   un elemento primo de   Supongamos que   Luego, por definición de elemento primos se tiene que   o   Luego para   o   digamos   se cumple que   y que   Por lo que, por la proposición anterior, se tiene que   y   son asociados. Luego hay una unidad   tal que   Como   por cancelación se tiene que   o sea que   es una unidad.


Ejemplo (Un dominio donde hay un irreducible que no es primo).

Sea   Sabemos que   es un dominio, ya que es un subanillo de  

Primeramente, determinaremos las unidades de   Para   en   recordemos que llamamos norma de   al número denotado por   y definido como   donde   es el conjugado de   como número complejo. Observemos que, en este caso, para cada   en   se cumple que   Por lo que la norma de un elemento de   es un número entero. Se cumple, además, que

 

Supongamos que   fuera una unidad de   Se tendría, entonces, que hay un   tal que   Por lo que   Como los valores de la norma son enteros positivos o cero, tenemos que la norma de una unidad debe ser igual a 1. Luego, cuando   es una unidad, tenemos que   por lo que se cumplirá que   y   Luego,   y   son las únicas unidades de  

Probaremos ahora que   es irreducible. Suponiendo que   tomando conjugados tenemos que   Multiplicando las relaciones anteriores, obtenemos que

 

Luego   es igual a 1 o 3 o 9. Como es imposible   con   entero y   implica que   la alternativa   es imposible. Luego   o   Claramente,   implica   lo que dice que   es un unidad. Si     no es unidad, pero entonces   por que   una unidad. En consecuencia, 3 es irreducible.

Observemos ahora que   Como, obviamente   no divide a   o a su conjugado,   no puede ser primo.


Máximo Común Divisor y Mínimo Común MúltiploEditar

Las definiciones de los conceptos son totalmente análogas a los correspondientes conceptos para con los números enteros, excepto que no hay unicidad.

Definición. (MCD, MCM) Sea   un dominio y sean     elementos de   y al menos uno de ellos no es nulo.

  1. Un elemento   es un mcd (máximo común divisor) de   y   ssi, es un divisor común de   y   y es divisible por cualquier otro factor común. Notación  
  2. Un elemento   es un mcm (mínimo común múltiplo) de   y   ssi, es un múltiplo común de   y   y divide a cualquier otro múltiplo común. Notación  


Observaciones.

  1. Cuando existen, dos mcd (resp. mcm) son asociados. Por lo que, cuando existen mcds, hay tantos mcd (resp. mcm) como unidades.
  2. Es posible tener dominios donde haya mcd, pero no mcm.

Se tiene la siguiente proposición.

Proposición 5. Sea   un dominio y sean     elementos no nulos de  

  1. Si   y   tienen mcd y mcm, entonces, excepto por un asociado, se cumple que  
  2. Si existe   entonces  

    Demostración: Ejercicio.

    EjerciciosEditar

  1. Probar la proposición 1.
  2. Sean   elementos de un anillo   Sea   tal que   y   Probar que para todo     en    
  3. Sean     una familia de elementos de un anillo   y   un divisor común de los elementos de la familia. Probar que   divide cualquier combinación lineal de los  's con coeficientes en   o sea que   es un divisor de
     
    para todo  's en  
  4. Probar que si   y   son elementos de un dominio de integridad y   entonces  
  5. Probar la proposición 5.
  6. Sea   donde   es un entero positivo. Probar que si   es una unidad, entonces su conjugado   también lo es.
  7. Sea   el dominio de los Enteros de Gauss.
    1. Probar que   es un factor de   de   y de  
    2. Hallar otros tres factores de 2 en  
  8. Sea   un entero primo y sea   Probar que   es un dominio de integridad. Hallar las unidades y primos de   Probar que cada primo en   es irreducible.
  9. Sea   Sea   Construir la tabla de la adición y multiplicación de   Hallar ideales de  
  10. Sea   y sea   Verificar que;
    1.   ssi,   y  
    2.   es una unidad, ssi,  
    3.   y   son unidades de  
    4.   es una unidad.
    5.   es asociado de  
    6.   (¿Qué pasa con la factorización única?)
  11. Sea   y sea  
    1. Si     están en    
    2. La ecuación   no tiene soluciones enteras.
    3. No hay elemento   de   tal que  
    4. Un entero no nulo   divide a   ssi,   divide a   y a  

Ideales PrincipalesEditar

En el capítulo anterior vimos dos tipos especiales de ideales: primos y maximales. Recordemos que ideal es maximal, cuando no hay otro idel propio diferente de el que lo contenga. Caracterizamos a los ideales maximales I de A, como aquellos idelaes cuyo anillo cociente es un cuerpo. Un ideal J es primo cuando su anillo cociente es un dominio, o equivalentemente, cuando para todo x, y se cumple que xy en J implica que x está en J o y está en J. posteriores:ideales primos e ideales maximales.

A continuación, veremos una relación entre elementos primos e ideales principales (o sea generados por un elemento) primos.

Proposición 8. Sea   un anillo conmutativo con identidad y sea   un ideal principal no nulo, digamos que     El ideal   es un ideal primo en   ssi,   es un elemento primo de  

    Demostración: ( ) Supongamos que   es un ideal primo. Si   se tiene que   por ser un múltiplo de   es un elemento de   Por ser primo el ideal, tenemos que   o   están en   Es decir que al menos uno de ellos es un múltiplo de   o sea que   divide a uno de ellos. Pero eso, es precisamente la definición de elemento primo. ( ) Sea   primo y sean   en   Eso implica que   por lo que   o   Es decir que   está en   o   está en   Lo que prueba que   es un ideal primo.


Ejemplo.
Los ideales   de   con   primo, son ideales primos.



La Estructura de los ZmEditar

Convenio. Con el fin de simplificar la notación, de ahora en adelante, usaremos los representantes canónicos para denotar los elementos del anillo  . Así,   en   denotará la clase de   ( ) .

Los anillos   proveen interesantes ejemplos de anillos. Sabemos que si   es primo,   es un cuerpo y que, en caso contrario, contiene divisores de 0.

Sabemos, también, que cuando   con   entonces

 

Por inducción, cuando   entonces

 

Las Unidades de   Recordemos que vimos anteriormente que un elemento   es invertible, ssi,   El cardinal de   es   donde   es la función de Euler. Vimos también que, con   como en la discusión anterior que

 

La discusión anterior reduce el problema de la estructura de   a considerar el caso donde   es una potencia de un primo.

Ejemplo.

Sea   donde   es un número primo. Consideremos el anillo cociente  

Observemos que   implica que   Por lo que las unidades de   corresponden a números que no son divisibles por   Luego, un elemento   de   es un divisor de cero, ssi,   Luego, los divisores de cero en   son:

 

Luego, hay   divisores de cero. El resto, son unidades, por lo que  

Sea   un ideal propio de   Como   no puede contener unidades, los elementos de   serán múltiplos de   Observemos que si   se tiene que   es maximal, ya que fuera de   todos los elementos son unidades. Además, ese razonamiento muestra, junto con la observación anterior, que   es el único ideal maximal de   Sea   un ideal propiamente contenido en   Sea     tal que   es minimal respecto a que   está contenido en   Si   o   , se tiene que   es una unidad, por lo que   y   coincidiría con   Luego,   Es decir que, tenemos una cadena de ideales,

 

Proposición 9. Sea     y   es un entero primo. Si     es un cuerpo. Las unidades de   forman un grupo de orden   y los divisores de cero forman un ideal de cardinalidad   que está generado por   Dicho ideal es maximal y es el único ideal maximal. Todos los otros ideales son de la forma    

    Demostración: Ejercicio


EjerciciosEditar

  1. Hallar los ideales maximales y primos de  
  2. Hallar los ideales maximales y primos de  
  3. Hallar un ideal primo de   que no sea maximal.
  4. Hallar un ideal primo de   que no sea maximal.
  5. Hallar un ideal propio de   que no sea primo.
  6. ¿Cierto o falso?
    1. Cada ideal primo de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal maximal.
    2. Cada ideal maximal de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal primo.
    3. La intersección de dos ideales primos es un ideal primo.
  7. Sea   un entero primo y sea  
    1. Probar que   es un subanillo de   pero no es un subcuerpo de  
    2. Hallar las unidades de  
    3. Probar que todos los ideales de   son principales y de la forma    
    4. Describir  
  8. Dar un ejemplo de un anillo donde hay un ideal primo que no es maximal.
  9. Probar la proposición 9. .
  10. Probar que cada elemento de   que no es unidad es nilpotente (tiene una potencia igual a cero).
  11. Verificar que   es un cuerpo.
  12. Verificar que   no es un cuerpo.
  13. ¿Cuáles son todos los ideales de     cualquiera? (Sug. Probar que si   es un ideal   entonces   es un ideal de   que contiene a  ) Aplicar lo anterior para hallar todos los ideales de   Buscar los ideales primos y maximales entre ellos.
  14. Probar que cada ideal primo de un anillo finito (conmutativo con identidad) es maximal.
  15. Probar que un ideal   en un anillo   es maximal, ssi,   es simple (no tiene ideales propios).
  16. Sean     ideales de un anillo   y sea   un ideal primo de   Probar que   implica que   o  

El Cuerpo de Fracciones de un DominioEditar

Recordemos que los números racionales se construyen a partir de los enteros, como un conjunto de fracciones de números enteros.

Como veremos en esta sección, hay una construcción análoga de un cuerpo a partir de cualquier dominio. Es decir que dado un dominio   es posible hallar un cuerpo   que estará formado por las fracciones de elementos de   que se llamará, por lo tanto, el cuerpo de fracciones de   Recordemos para efectos posteriores que los anillos sin divisores de cero tienen todos sus elementos cancelables. Técnicamente, el problema es cómo inventar fracciones cuando no hay división.

El problema es como inventar fracciones cuando no hay división.

Sea   , el conjunto formado por todas las posibles parejas ordenadas de elementos de   donde el segundo elemento no puede ser nulo. Intuitivamente, podemos imaginar a cada una de esas parejas como representando una fracción.

Introduciremos una relación   en   que resultará ser de equivalencia.

    Sean     elementos de  
     


Lema A.

La relación   es una relación de equivalencia en  

    Demostración:
  1. Reflexividad. Como   se tiene que  
  2. Simetría. Supongamos que   de donde   Es decir,  
  3. Transitividad. Supongamos que   y   Entonces, se cumple que
     

    Multiplicando término a término de las ecuaciones anteriores, obtenemos:

     

    Es decir,   de donde cancelando   en ambos lados, obtendremos que   Lo que es equivalente a afirmar que

     


La proposición anterior implica que   divide   en una colección de clases disjuntas: las clases de equivalencia de  

Notación. Sea   el conjunto formado por todas las clases de equivalencia de  

Simbolizaremos por   la clase de equivalencia de   o sea al conjunto formado por todos los elementos de   equivalentes con   Recordemos que las clases de equivalencias son disjuntas entre sí y que su reunión es todo el conjunto  

Los resultados del siguiente lema se usarán sistemáticamente más adelante, en especial la parte a.

Lema B. Sean   elementos de   tales que   Entonces,  

    Demostración:
  1.  
  2.  
  3.  


Introduciremos operaciones en   mediante las siguientes definiciones.

 
 

Lema C.
Las operaciones anteriores están bien definidas, o sea, no dependen de los representantes escogidos.

    Demostración: Supongamos que   y que   Debemos verificar que   y que   Es decir que, para la adición, se cumple que   Como
     
    obtenemos el resultado deseado.

    Análogamente, para la multiplicación, deberemos probar que   Como   se tiene el resultado.



Proposición 10. (Estructura de Cuerpo de  )
  tiene una estructura de cuerpo.

    Demostración: (  es un grupo abeliano.) Sigue inmediato de la definición que la adición es conmutativa en   Como   se concluye que   es un neutro respecto a la adición. Como   concluimos que cada elemento tiene opuesto aditivo. Finalmente probaremos que la operación es asociativa. Sean     y   elementos de   Entonces,
     
    Lo que prueba la asociatividad.
  •   es un semigrupo con identidad, cuyos elementos no nulos son todos invertibles. Iniciaremos la demostración con la prueba de la asociatividad. Usaremos la notación empleada en la demostración de la asociatividad de la suma.
     

    lo que prueba la asociatividad.

    La conmutatividad sigue directamente de la definición.

    Como   concluimos que   es una identidad.

    Como   ssi,   Sigue que cuando   se tiene que   y por lo tanto, que   es un elemento de   Además se cumple que

     

    Es decir que cada elemento no nulo tiene inverso multiplicativo.

    (Distributividad.) Notación como en las pruebas de asociatividad.

     
    lo que prueba la distributividad.


Veremos, ahora, que hay un subanillo de   que es isomorfo a   Identificando   con ese subanillo de   consideraremos a   un subconjunto de  

Sea   tal que envía cada elemento   de   en el elemento   de   Tenemos, en primer lugar que, cuando   se cumple que   o sea que   Es decir que se trata de una función inyectiva.

Además, tenemos que

 

Lo que prueba que   es un homomorfismo inyectivo de   cuya imagen (que será un subanillo de   es, por lo tanto, isomorfa a   como anillos con identidad, ya que   Identificaremos a   con su imagen, es decir con las fracciones con ``denominador 1.

La identificación anterior nos permitirá escribir los elementos de   de manera más simple. Como, de lo anterior, resulta que   y como   tenemos que

 

Los elementos de   se identifican con las fracciones de denominador 1.

Definición. (Cuerpo de Fracciones) Llamaremos cuerpo de fracciones de un dominio   al cuerpo   construido arriba. El elemento   se escribirá siempre como una fracción

 

Los elementos de   son las fracciones con denominador 1, que se escriben usualmente sin usar fracciones.


El cuerpo de fracciones de un dominio tiene la siguiente propiedad universal.

Proposición 11. (Propiedad Universal del cuerpo de Fracciones) Sea   un dominio de integridad y sea   su cuerpo de fracciones. Sea   un cuerpo cualquiera y sea   un homomorfismo inyectivo de anillos con identidad. Entonces, hay un único homomorfismo de cuerpos   que coincide con   para los elementos de   Es decir, que hace conmutativo el siguiente diagrama.

 

    Demostración: Recordemos que en un cuerpo, la fracción   está definida como   Sean     elementos de   Si queremos que se cumpla la conmutatividad del diagrama debemos tener que
     

    Usando la última relación,   como definición para   donde la primer fracción es en   y la segunda en   se ve la unicidad si esa función está bien definida y es un homomorfismo de cuerpos.

    Sea   entonces   por lo que   Por lo tanto,  ; lo que implica que   está bien definida, su valor no depende del representante usado de una fracción. El resto de la demostración queda de ejercicio.


Corolario 11.1. Sea   un dominio y   su cuerpo de fracciones. Sea   un cuerpo cualquiera que contiene a   entonces   es isomorfo a un subcuerpo de   que contiene a  

    Demostración: Aplicar la proposición a la inclusión canónica  


En la situación del corolario, es usual identificar el cuerpo de fracciones con el subcuerpo isomorfo.

Cualquier cuerpo   de característica cero tiene un anillo primo isomorfo a los Enteros, por lo que contienen un subcuerpo identificable con los racionales,   que es obviamente el cuerpo primo del cuerpo.


EjerciciosEditar

  1. Completar la demostración de la proposición 11.
  2. Probar que el cuerpo de fracciones de   es   Determinar cuáles de los siguientes números están en   En caso afirmativo expresarlos en la forma     y   racionales.
     
  3. Sea     entero que no es un cuadrado perfecto. Probar que   es un dominio y describir a su cuerpo de fracciones.
  4. Probar que los Racionales son el cuerpo de fracciones de los Enteros.
  5. Probar que no hay un número racional   tal que   (Suponer que lo hay, y usar que 2 es primo en el anillo  )
  6. ¿Cuál es el cuerpo de fracciones de un cuerpo?

Ejercicios del CapítuloEditar

  1. Sean     elementos de un dominio. Probar que   ssi,   y   son asociados.
  2. Probar que la relación de "ser asociado con" es una relación de equivalencia.
  3. Sea   el dominio de los enteros de Gauss y sea   la norma de  .
    1. Probar que 5 no es irreducible en   Sugerencia   por lo que no puede ser un elemento primo de  
    2. Probar que 3 es irreducible en  
    3. Probar que un número entero primo   que puede escribirse como la suma de dos cuadrados, digamos   no puede ser irreducible en  
    4. Sea   un elemento primo de   Probar que su conjugado también es primo.
  4. Sea   probar que   no está en   Sea   Probar que   es un dominio de integridad, que cada elemento de   puede escribirse de una única manera como
     

    Hallar una descripción el cuerpo de fracciones de  

  5. Sea   un monoide cancelativo, es decir que   Imitar la construcción del cuerpo de fracciones, para construir un grupo   que contiene una copia de   y donde cada elemento de   es invertible. (Por ejemplo, si el monomio es   el grupo será  )

ComentariosEditar

Como hemos mencionado antes, los intentos de prueba del Último teorema de Fermat, condujeron a la creación de nuevas matemáticas. Varios matemáticos intentaron conseguir una solución en dominios de números complejos que incluían radicales. Parecía que la divisibilidad en esos dominios era semejante a aquella de los Enteros. Muchas pruebas erróneas tuvieron origen en esta creencia que siempre la semejanza era perfecta. Al descubrir situaciones donde irreducibles no eran primos llevo a profundizar el estudio de esos dominios, lo que nosotros haremos en el capítulo sobre Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Contenidos/Tipos de Dominio|Tipos de dominios]].