Álgebra Abstracta/Los Anillos

Introducción

En este capítulo, iniciamos el estudio de las estructuras algebraicas llamadas anillos que están caracterizadas por tener dos operaciones (binarias), que usualmente llamamos adición y multiplicación. Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros, los Racionales y los Reales con la suma y multiplicación usual. También determinan un anillo el conjunto de las matrices $2\times 2$ con entradas que son números reales.

Se puede decir que las estructuras que estudiaremos analizan y generalizan las propiedades algebraicas de los ejemplos indicados

Las Definiciones

Un anillo es básicamente un grupo abeliano (escrito aditivamente) con una multiplicación distributiva con respecto a la adición.

Definición. (Anillo) Un Anillo es una estructura $\langle A,+,\cdot \rangle$ tal que:

1. $\langle A,+\rangle$ es un grupo abeliano. Es decir que la operación $+$ es asociativa, con neutro 0, y donde cada elemento $x$ tiene un opuesto aditivo $-x.$ Decimos que ese grupo es el grupo aditivo del anillo.
2. $\langle A,\cdot \rangle$ es un semigrupo, o sea que la multiplicación es asociativa. Decimos que ese semigrupo es el semigrupo multiplicativo del anillo.
3. La multiplicación $\cdot$ es distributiva respecto a la adición $+.$: para todo $x,y,z$ en $A$ se cumple que $x(y+z)=xy+xz,\quad {\text{ y }}\quad (y+z)x=yx+zx.$

Las propiedades adicionales que supongamos para la multiplicación producen varios tipos diferentes de anillos. Daremos, a continuación, un listado de algunos de esos tipos. La lista es larga, pero las nociones indicadas son más o menos obvias.

Definición. (Tipos de Anillos)

• Un anillo con identidad es un anillo donde hay un neutro respecto a la multiplicación, al que usualmente simbolizaremos por $1$ o ${\textsf {I}}.$ Para evitar trivialidades, supondremos que $1\neq 0.$
• Un anillo conmutativo es un anillo donde la multiplicación es conmutativa.
• Un anillo integro o dominio de integridad es un anillo conmutativo con identidad donde el producto de dos de sus elementos es cero, solamente cuando uno de los factores es cero; o, equivalentemente, el producto de elementos no nulos es un elemento no nulo.
• Un anillo con división es un anillo con identidad tal que cada elemento no nulo tiene un inverso respecto a la multiplicación. Es decir cuando el semigrupo multiplicativo sea un grupo.
• Un cuerpo es un anillo conmutativo con división.

Al igual que con las estructuras con una operación, tendremos subestructuras asociadas a cada tipo de anillo, que denotaremos colocando sub delante del nombre. Como siempre, una subestructura de una estructura de cierto tipo se refiere a un subconjunto que posee una estructura del mismo tipo con respecto a las operaciones restringidas al subconjunto. Para ilustración, daremos la definición de subanillo.

Definición. (Subanillo, Superanillo) Sea $A$ un anillo. Decimos que un subconjunto $B$ de $A$ determina o es un subanillo de $A$, ssi, $B$ con las operaciones de $A$ restringidas a $B$ es un anillo. En tal caso, también, diremos que $A$ es un superanillo de $B.$ Notación: $B<A.$

Cuando $A$ tenga una identidad, $B$ será un subanillo, cuando la identidad sea un elemento de $B.$

Sigue de la definición que un subanillo $B$ de un anillo $A$ determina con la suma un subgrupo del grupo aditivo de $A$ y con la multiplicación determina un subsemigrupo de $\langle A,\cdot \rangle .$

Combinando los criterios para subgrupos y subsemigrupos, tenemos la siguiente proposición.

Proposición 1. (Criterio de Subanillo) Sea $A$ un anillo. Un subconjunto no vacío $B$ es un subanillo de $A$, ssi,

1. Para todo $x$, $y$ en $B$, $x-y$ es un elemento de $B$, y
2. Para todo $x$, $y$ en $B$, $xy$ es un elemento de $B.$
3. Si $A$ tiene una identidad 1, 1 está en $B$.

Ejemplos de Anillos y Subanillos

El listado de anillos y subanillos es bastante extenso, por lo que nos limitaremos a dar algunos de los ejemplos más relevantes para nuestros propósitos. Es importante que el lector verifique cuidadosamente que se verifican las propiedades indicadas.

Ejemplo.

Sea $A$ un anillo. Entonces, $A$ mismo y $\{0\}$ siempre son subanillos de $A.$

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Ejemplos (Anillos Numéricos).

Los Enteros con la suma y multiplicación usual, $\langle \mathbb {Z} ,+,\cdot \rangle$, determinan un anillo conmutativo con identidad donde el producto de elementos no nulos siempre es un elemento no nulo, por lo que se trata de un dominio de integridad.

Por su parte, los Racionales, los Reales y los Complejos son cuerpos respecto a la suma y multiplicación usual, ya que la multiplicación es conmutativa y cada elemento no nulo tiene un recíproco.

Los Enteros son un subanillo (con identidad) de los Racionales que, a su vez, es un subcuerpo de los Reales y de los Complejos. Los Reales son un subcuerpo de los Complejos.

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Ejemplo (Anillo Trivial).

Sea $A=\{e\}.$ Si definimos $e+e:=e$ y $e\cdot e=e$ vemos que $A$ tiene dos operaciones que trivialmente definen una estructura de anillo en $A.$ En dicho anillo, el neutro multiplicativo y el aditivo coinciden. Llamamos a este anillo el anillo trivial, y será el único anillo adonde es permitido que coincidan los neutros de las operaciones.

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Ejemplo (Los Subanillos de $\mathbb {Z}$).

Sabemos que los únicos subgrupos aditivos de $\mathbb {Z}$ están formados por los múltiplos enteros de un entero, $\langle m\rangle =m\mathbb {Z}$. Como 1 esta en $m\mathbb {Z}$, ssi, $m=\pm 1$, el único subanillo (con identidad) es $\mathbb {Z}$ mismo.

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Ejemplo (Subanillos de los Complejos).

Veremos una familia de subanillos de $\mathbb {C}$. Suponer que $m$ es un entero positivo y que ${\sqrt {-m}}$ es un número complejo cuyo cuadrado es $-m.$ Sea

$\mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]:=\{m+n{\sqrt {-m}}:m{\text{ y }}n{\text{ números enteros}}\}.$

Verificaremos que $\mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]$ con la suma y la multiplicación de los Complejos es un subanillo de los complejos.

Sea $\theta =i{\sqrt {m}}={\sqrt {-m}}$, luego $\theta ^{2}=-m.$ y sean $\alpha =a+b\theta$ y $\beta =c+d\theta$ dos elementos de $\mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}].$ Entonces,

${\begin{array}{rcl}\alpha -\beta &=&(a+b\theta )+(c+d\theta )=(a-c)+(b-d)\theta \in \mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]\\\alpha \beta &=&(a+b\theta )(c+d\theta )=ac+ad\theta +bc\theta +bd\theta ^{2}\\&=&(ac-mbd)+(ad+bc)\theta \in \mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]\end{array}}$

Luego, $\mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]$ es un subanillo de los complejos. Como $\mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]$ está contenido en los Complejos no puede contener elementos no nulos cuyo producto sea cero, además como la multiplicación es conmutativa, vemos que se trata de un dominio de integridad.

Estos anillos proporcionarán ejemplos muy importantes, especialmente cuando hagamos consideraciones aritméticas---por ejemplo, la teoría de la divisibilidad, en los capítulos siguientes.

Introduciremos, para usos futuros, la noción de norma de un elemento $z$ de este anillo, que será el número real definido por

$N(z):=z\,{\bar {z}},$

donde ${\bar {z}}$ es el conjugado de $z.$

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Ejemplo (Enteros de Gauss).

Se llama Enteros de Gauss al subanillo $\mathbb {Z} [i]$ de los Complejos. Aunque este subanillo es un caso particular de los ejemplos anteriores con $m=1$, es lo suficientemente importante para tener un nombre propio, además de honrar a su genial inventor.

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Ejemplo (Los Anillos de Funciones).

Sea $X$ un conjunto no vacío y sea $A$ unanillo. Sea $F=F(X,A)$, el conjunto formado por todas las funciones de $X$ en $A.$ Podemos definir una suma y una multiplicación en $F$, punto a punto, es decir que para $f$ y $g$ en $F$ ponemos que

$(f+g)(x):=f(x)+g(x)\quad {\text{ y }}\quad (fg)(x)=f(x)g(x).$

Se verifica fácilmente que se obtiene una estructura de anillo en $F.$ Cuando $A$ sea conmutativo, el anillo $F$ también lo será. Ver los ejercicios.

(Cálculo) Cuando $X\subset \mathbb {R}$ y $A=\mathbb {R}$, algunos subanillos de ese $F(X,\mathbb {R} )$ quedan determinados por los subconjuntos formados por

• las funciones constantes,
• las funciones polinómicas,
• las funciones continuas,
• las funciones derivables,

Un aspecto interesante de este ejemplo es que cuando $X$ tiene más de un elemento, entonces aparecen divisores de cero, es decir elementos no nulos cuyo producto es nulo.

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Ejemplo (Sucesiones).

Las sucesiones con valores reales son las funciones $s:\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {R}$, por lo que este ejemplo es un caso particular del ejemplo anterior, ya que el conjunto de las sucesiones es ${F}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )$.

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Ejemplo (Polinomios).

Sea $A$ un anillo con identidad. Un polinomio con coeficientes en $A$ es una expresión de la forma

$a_{0}+a_{1}X+a_{2}X+\cdots +a_{n}X^{n}$

donde los $a_{i}$'s son elementos de $A$, $X$ es un elemento, llamado la indeterminada, que suponemos que es un elemento de un superanillo de $A$ que conmuta con todos los elementos de $A.$ Simbolizaremos por $A[X]$ al conjunto formado por todos los polinomios con coeficientes en $A.$

Supondremos conocidos del lector las operaciones con polinomios, así como la terminología asociada con los mismos: términos, coeficientes, grado, etc. Una presentación más formal de los polinomios se halla en el capítulo de los polinomios.

$A[X]$, con las operaciones usuales de suma y multiplicación, es un anillo con identidad que es conmutativo cuando $A$ lo sea. Se verifica que cuando $A$ es un dominio de integridad (o un cuerpo), el anillo $A[X]$ es también un dominio.

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Ejemplo (Matrices.

Las matrices $2\times 2$ con coeficientes reales determinan un anillo con identidad que no es conmutativo, al que simbolizaremos por ${\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} ).$ Notemos que

${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.$

Es decir que, en un anillo de las matrices, hay elementos no nulos cuyo producto es nulo.

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Las matrices nos proporcionan el primer ejemplo de un anillo no conmutativo. Otro ejemplo importante de anillo no conmutativo se verá a continuación.

Ejemplo (Los Cuaterniones).

Este ejemplo muestra la existencia de un anillo con división que no es cuerpo, es decir donde la multiplicación no es conmutativa.

Sea $\mathbb {H} =\{a+bi+cj+dk:a,b,c,d\quad {\text{ números reales.}}\}$ Se supone los siguientes convenios para la multiplicación.

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1,\quad ij=-ji=k,\quad jk=-kj=i,\quad ki=-ik=j.$

Suponiendo las propiedades usuales para anillos y que $i$, $j$ y $k$ permutan con los Reales, tenemos, por ejemplo, que

${\begin{array}{ll}&(2+3i+j-6k)(4+3i-5j+k)\\=&2(4+3i-5j+k)-3i(4+3i-5j+k)\\&\qquad \quad +j(4+3i-5j+k)-6k(4+3i-5j+k)\\=&8+6i-10j+2k+12i+9i^{2}-15ij\\&\quad \quad -3ik+4j+3ji-5j^{2}+jk-24k+18ki-30kj+k^{2}\\=&8+6i-10j+2k+12i-9-15k\\&\quad \quad -3j+4j-3k+5-24k+18j+30i-1\\=&(8-9+5-1)+(6+12+1+30)i\\&\qquad \quad +(-10-3+4+18)j+(2+15+3-24)k\\=&3+49i+9j-4k\end{array}}$

Queda de ejercicio, verificar que la multiplicación es asociativa, distributiva y que cada elemento no nulo tiene un recíproco. Claramente, la multiplicación no es conmutativa, por lo que $\mathbb {H}$ es un anillo con división que no es un cuerpo, llamado los cuaterniones. Los Cuaterniones fueron inventados en el siglo XIX---1843, por el matemático irlandés, William Hamilton, para aplicarlos a problemas de Mecánica tridimensional. Posteriormente, Frobenius probó que solamente hay dos anillos con división que tiene dimensión finita sobre los Reales: los Complejos y los Cuaterniones. Además, de las aplicaciones originales, los cuaterniones tienen interesantes aplicaciones en varias otras áreas: Física y gráficas de computadoras.

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Ejemplo (Los Enteros módulo $\mathbf {m}$).

$\langle \mathbb {Z} _{m},+,*\rangle$, tiene la estructura de un anillo conmutativo con identidad.

Recordemos que cuando $x$ es un entero, $[x]$ es la clase de $x$, o sea el conjunto de enteros cuya diferencia con $x$ es un múltiplo de $m$. La suma y la multiplicación están definidas por

$[x]+[y]:=[x+y]\quad {\text{y}}\quad [x]\cdot [y]:=[xy].$

Se verifica que con esas operaciones $\mathbb {Z} _{m}$ tiene una estructura de anillo (ver ejercicios).

Estos anillos tienen muchas aplicaciones y sirven, también, para ilustrar varios aspectos de la teoría de los anillos. Ver los ejercicios.

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Ejemplo. (Producto de Anillos).

Sean $A=A_{1}\times A_{2}$ donde $A_{1}$ y $A_{2}$ son anillos. Dotamos a $A$ con una estructura de anillo, definiendo la adición y multiplicación componente a componente. Es decir que:

${\begin{array}{rcl}(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})&:=&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2})\\(x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})&:=&(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}).\end{array}}$

Decimos que el anillo $A$ es el producto directo de los anillos $A_{1}$ y $A_{2}$.

Cuando $A_{1}$ y $A_{2}$ son conmutativos, podemos hablar de la suma directa de $A_{1}$ con $A_{2}$ y denotar al producto por $A_{1}\oplus A_{2}$.

Las propiedades del producto directo $A$ dependen naturalmente de las propiedades de sus factores. Por ejemplo, cuando ambos factores tienen identidad, digamos $1_{1}$ y $1_{2}$ respectivamente, entonces.

$(a,b)(1_{1},1_{2})=(a\cdot 1_{1},b\cdot 1_{2}=(a,b).$

Análogamente, se verifica que $(1_{1},1_{2})(a,b)=(a,b)$; es decir que $A$ tiene como identidad a $(1_{1},1_{2})$.

Notemos, además, que $(a,0)(0,b)=(0,0)$; por lo que productos no triviales tienen divisores de cero.

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La Sustracción

En cualquier anillo, siempre, tendremos asociada con la adición, la operación de sustracción, definida como es usual.

Definición. (Sustracción) Sea $A$ un anillo, llamamos substracción o resta a la operación definida por

$a-b:=a+(-b).$

Las Propiedades Básicas

La siguiente proposición resume las propiedades básicas de las operaciones en un anillo. El lector reconocerá las propiedades básicas de las operaciones algebraicas estudiadas en los primeros cursos de Álgebra.

Proposición 2. Sea $A$ un anillo. Sean $a$, $b$ y $x$ elementos de $A.$ Entonces,

1. (Propiedad del cero) Si $a+x=a$ entonces $x=0.$
2. (Propiedad de los opuestos aditivos)
   1. Si $a+x=0$ entonces $x=-a.$
   2. $-(-a)=a.$
   3. $-(a+b)=(-a)+(-b).$
3. (Leyes de Signos)
   1. $a\cdot 0=0\cdot a=0.$
   2. $a(-b)=(-a)b=-(ab).$
   3. $(-a)(-b)=ab.$
4. (Propiedad de la resta) $a-b=x\iff a=b+x.$

Demostración: Probaremos algunas de las propiedades y dejaremos el resto para verificación por parte del lector. Observemos que las partes a) y b) siguen de que $\langle A,+\rangle$ es un grupo abeliano.
Perte c)(i) Como $0=0+0$ se tiene que $a(0+0)=a0.$ Esto implica que $a0+a0=a0.$ Restando $a0$ de ambos lados de la última igualdad se tiene el resultado, o invocando la parte a) de esta proposición.
Parte c)(ii) Observemos que $ab+a(-b)=a(b+(-b))=a0=0.$ Es decir que $a(-b)$ es un elemento que sumado a $ab$ produce 0. Por b.(ii), se concluye que se trata del opuesto aditivo de $ab.$ Es decir que $a(-b)=-(ab).$
Parte c)(iii) Usando la parte (ii) se tiene $(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab)).$ El resultado sigue de b.(ii).

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Elementos destacados

Ejemplo.

Consideremos el anillo de los Enteros módulo 8. Observemos que

$[4]\cdot [2]=[0]=[4]\cdot [4].$

Es decir que hay elementos no nulos cuyo producto es $[0]$, el neutro aditivo del anillo. Además, tenemos que $[4]\cdot [2]=[4]\cdot [4]$, pero $[2]\neq [4]$, es decir que no podemos cancelar a $[4]$ en ambos lados de la igualdad anterior.

Por otra parte, tenemos que $[3]\cdot [5]=[1]$ y que $[7]*[7]=1$, es decir que los elementos $[3]$, $[5]$ y $[7]$ son invertibles en $\mathbb {Z} _{8}$,

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Los elementos del ejemplo anterior representan dos clases importantes de elementos de un anillo: los divisores de cero y las unidades. Nociones que definiremos a continuación.

Definición. (Divisor de Cero, Unidad) Sea $A$ un anillo cualquiera (no necesariamente conmutativo) con identidad $1.$

• Decimos que un elemento $a$ de un anillo $A$ es un divisor de cero, ssi, hay un elemento $b$ no nulo en $A$, tal que $ab=0$ o $ba=0.$
• Decimos que un elemento $a$ de un anillo $A$ es una unidad, ssi, hay un elemento $b$ tal que $ab=ba=1.$ Simbolizaremos por $A^{*}$ o $U(A)$ al conjunto formado por todas las unidades del anillo $A.$
• Decimos que un elemento $a$ de un anillo conmutativo $A$ es cancelable, ssi, para todo $x$, $y$ del anillo se cumple que $ax=ay\implies x=y.$

Los anillos $\mathbb {Z} _{m}$ contienen divisores de cero cuando $m$ es un número entero compuesto. El anillo de matrices $2\times 2$, que no es un anillo conmutativo, siempre contiene divisores de cero, como vimos en un ejemplo anterior.

Las Unidades

Observemos que las unidades de un anillo son precisamente los elementos invertibles del anillo. En particular, la identidad 1 es un unidad. Otro elemento que siempre es una unidad es $-1$, ya que $(-1)(-1)=1.$ Hay anillos, por ejemplo los Enteros, donde las únicas unidades son 1 y $-1.$ Otros anillos, tienen elementos adicionales que son unidades. Se verifica que en los Enteros de Gauss $i$ y $-i$ son unidades, ya que $i(-i)=1.$ Finalmente, en anillos como los cuerpos, todos los elementos no nulos son unidades. Un anillo no conmutativo puede contener unidades; por ejemplo, las matrices invertibles en el anillo de matrices $2\times 2.$

Con la noción de divisores de cero, se tiene que un anillo conmutativo con identidad es un dominio de integridad, ssi, no contiene divisores de cero, o sea, ssi, $ab=0\implies a=0{\text{ o }}b=0.$ Veremos, a continuación, que un dominio de integridad se puede también caracterizar porque todos sus elementos no nulos son cancelables.

Proposición 3. Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad. Entonces, los elementos no nulos de $A$ son cancelables, ssi, $A$ es un dominio de integridad.

Demostración: ($\Rightarrow$) Sean $a$, $b$ elementos de $A$ tales que $ab=0.$ Supongamos que $a\neq 0$, como $a\cdot 0=0$, se tiene que $ab=a0$. Por la cancelación, concluimos que $b=0.$ Es decir, $A$ es un dominio de integridad.
($\Leftarrow$) Supongamos que $A$ fuera un dominio de integridad. Sean $a$, $b$ y $c$ elementos tales que $a\neq 0.$ Entonces, $ab=ac\implies a(b-c)=0\implies b-c=0\implies b=c.$ Lo que muestra que $a$ es cancelable.

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Corolario. Los cuerpos son dominios de integridad.

Demostración: Sean $a$, $b$ elementos del cuerpo tales que $a\neq 0.$ Entonces,

$ab=0\implies a^{-1}ab=0\implies b=0.$

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Corolario En un cuerpo, todos los elementos no nulos son cancelables.

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El mundo finito tiene algunas simplificaciones interesantes.

Proposición 4. Un dominio de integridad finito $D$ es un cuerpo.

Demostración: Sea $a$ un elemento no nulo de $D.$ Probaremos que $a$ es invertible. Como $a$ es cancelable, tenemos que $ax=ay\implies x=y$ para todo $x$, $y$ en $D.$ Luego, la función $f:x\mapsto ax$ de $D$ en si mismo es inyectiva. Como la cantidad de elementos de la imagen es igual a aquella del conjunto $D$, $|f(D)|=|D|,$ tenemos que es $f$ es suprayectiva. Por lo que hay un $x$ tal que $f(x)=1$, o sea tal que $ax=1$, es decir que $a$ es invertible.

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Corolario 4.1. Sea $\mathbb {Z} _{p}$ tal que $p$ es primo. Entonces $\mathbb {Z} _{p}$ es un cuerpo.

Demostración: Sean $a$, $x$ y $y$ enteros tales que $a$ no es divisible por $p$. Supongamos que $[a][x]=[a][y]$. Se tiene que ${\begin{array}{rcl}[a][x]=[a][y]&\implies &[a][x]-[a][y]=[0]\implies [a][x-y]=[0]\\&\implies &[a(x-y)]=[0]\implies p|a(x-y).\end{array}}$

Como $p\nmid a$, tenemos que $p|x-y$, lo que implica que $[x]=[y].$ Sigue de la proposición 3, $\mathbb {Z} _{p}$ es un dominio de integridad; por lo que al ser finito, es un cuerpo.

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Otro resultado muy interesante, debido a Joseph Wedderburn (1882--1948), que sólo mencionaremos aquí, establece que un anillo con división finito es un cuerpo, o sea que necesariamente se tiene que la multiplicación es conmutativa.

Ejercicios

1. Probar cada una de las siguientes identidades en un anillo cualquiera.
   1. $a(b-c)=ab-ac.$
   2. $(a+b)(c+d)=ab+ac+bc+bd.$
   3. $-(a+b)=-a-b.$
   4. $-(a-b)=-a+b.$
2. Probar cada una de las siguientes identidades en un anillo conmutativo.
   1. $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.$
   2. $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.$
   3. $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).$
   4. $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}),$

   ¿Es necesario suponer la conmutatividad?

3. Completar las demostraciones del texto.
4. Verificar que:
   1. $3\mathbb {Z}$, los múltiplos enteros de 3, determinan un anillo sin divisores de cero, pero que no es un dominio de integridad porque no contiene la identidad.
   2. $\mathbb {Z} _{4}$, los enteros modulo 4, determinan un anillo conmutativo con identidad que no es un dominio de integridad porque tiene divisores de cero
   3. El subconjunto $\{[0],[2],[4],[6]\}$ de $\mathbb {Z} _{8}$ es cerrado respecto a resta y productos, pero no es unsubanillo, porque no contiene al $[1]$.
5. Probar que en un anillo conmutativo, un elemento es cancelable, ssi, no es un divisor de cero.
6. Hallar todos los divisores de cero y las unidades de $\mathbb {Z} _{7}$, $\mathbb {Z} _{10}$ y $\mathbb {Z} _{12}.$
7. Verificar cuidadosamente cada una de las propiedades de anillo para $\mathbb {Z} _{m}.$
8. Verificar que cuando $m$ es un número entero compuesto, entonces $\mathbb {Z} _{m}$ contiene divisores de cero.
9. Probar que, $[a]$ es una unidad de $\mathbb {Z} _{m}$, ssi, el máximo común divisor de $a$ y $m$ es 1.
10. Verificar que cuando $p$ es un número primo, se cumple que $\mathbb {Z} _{p}$ es un dominio de integridad. Luego, por una proposición del texto es un cuerpo.
11. Probar que un subanillo de un cuerpo es siempre un dominio de integridad.
12. (Unidades en un Anillo). Sea $A$ un anillo (no necesariamente conmutativo) con identidad. Sea $A^{*}$ el subconjunto de $A$ formado por las unidades de $A.$ Probar las siguientes afirmaciones.
    1. $A^{*}$ es cerrado respecto a la multiplicación.
    2. $A^{*}$ es cerrado respecto a tomar inversos.
    3. $A^{*}$ es cerrado respecto a tomar opuestos aditivos.
    4. Si $u$ es una unidad, entonces para todo $m$ en $\mathbb {Z}$, $u^{m}$ es una unidad.

    Las dos primeras propiedades muestran que $\langle A^{*},\cdot \rangle$ es un subgrupo del semigrupo multiplicativo del anillo $A.$

13. Sea $A$ un anillo con identidad. Probar que la relación $x\sim y$, ssi, hay una unidad $u$ tal que $x=uy$, es una relación de equivalencia en $A.$
14. Probar las afirmaciones siguientes. ($N(Z)=z\,{\overline {z}}$)
    1. La norma $N:\mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]\longrightarrow \mathbb {Z}$ es una función cuyos valores son todos positivos o cero que satisfacen la siguiente relación de función multiplicativa: $N(zw)=N(z)N(w)$
    2. Si $u$ es una unidad de $\mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]$ entonces $N(u)=1.$
15. Usando propiedades de los Complejos probar que las unidades de $\mathbb {Z} [i]$ son exactamente $1$, $-1$, $i$ y $-i.$ (Sugerencia. Suponer que $z=a+bi$ es una unidad, hallar su recíproco, e investigar condiciones sobre $a$ y $b$ para que el recíproco esté en $\mathbb {Z} [i].$ Otra alternativa, usar que la norma de una unidad es $1$.)
16. Sea $m$ un entero positivo que no es un cuadrado perfecto y sea $A=\{a+b{\sqrt {m}}:a,b\in \mathbb {Z} \}.$Para $z=a+b{\sqrt {m}}$ definir una norma $N(z):=a^{2}-mb^{2}.$
    1. Probar que $A$ es un subanillo de los Reales que es un dominio de integridad, pero que no es un cuerpo.
    2. Probar que la norma es multiplicativa, $N(zz')=N(z)N(z').$
    3. Probar que las unidades tienen norma igual a 1 o $-1.$
17. Sea $A=\{a+b{\sqrt {2}}:a,b\in \mathbb {Z} \}\subset \mathbb {R} .$
    1. Probar que $A$ es un subanillo de $\mathbb {R} .$ (Ver ejercicio anterior.)
    2. Probar que $({\sqrt {2}}-1)$ y $({\sqrt {2}}+1)$ son unidades de $A.$
    3. Probar que $17-12{\sqrt {2}}$ es una unidad de $A.$
    4. Hallar todas las unidades de $A$, ¿Cuántas unidades hay?
18. Todos los subgrupos de $\mathbb {Z}$ son subanillos de $Z.$ Hallar un subgrupo de $\mathbb {Q}$ que no sea un subanillo de $\mathbb {Q} .$
19. (Múltiplos enteros de un elemento) Sea $a$ un elemento de una anillo $A.$ Para todo entero $m$, $ma$ denota a un múltiplo entero de $a.$ Probar que para todo par de números enteros $m$ y $n$ y para todo par $a$, $b$ de elementos de un anillo se cumple lo siguiente.
    1. $(m+n)\cdot a=m\cdot a+n\cdot a.$
    2. $(mn)\cdot a=m\cdot (n\cdot a).$
    3. $1\cdot a=a.$
    4. $m\cdot (a+b)=m\cdot a+m\cdot b.$
    5. $(m\cdot a)b=m\cdot (ab)=a(m\cdot b).$

    (Sugerencia: múltiplo es potencia, pero en notación aditiva.) (Colocamos $n\cdot x$ en este ejercicio para distinguir "múltiplo" de producto en el anillo.)

20. Sea $A$ un anillo y $a$ un elemento del anillo. Probar que el conjunto de todos los múltiplos enteros de $a$, $\mathbb {Z} \cdot a$ es un subgrupo del grupo aditivo del anillo $A$, pero que, en general, no es cerrado respecto a la multiplicación. ¿Cuándo podremos estar seguros de que ese conjunto será cerrado respecto a la multiplicación?
21. (Teorema del Binomio) Sea $A$ un anillo cualquiera con identidad. Sean $a$ y $b$ elementos que conmutan entre si, o sea que $ab=ba$. Probar que $(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{n-i}b^{i},$

    donde ${\binom {n}{i}}={\dfrac {n!}{i!(n-i)!}}$ (coeficiente binomial).

22. (Anillo de Funciones) Verificar que $F(X,A)$ con la suma y multiplicación punto a punto tiene una estructura de anillo. Ver ejemplo del texto.
23. Sea $X=\{a,b\}$ y sea $A$ un anillo. Sean $f,g:X\longrightarrow A$ tales que $f(a)=g(b)=0$ y $f(b)=g(a)=1.$ Probar que $f$ y $g$ no son la función nula (que es aquella que envía todos los elementos de $X$ en 0), pero su producto sí lo es. Es decir que el anillo $F(X,A)$ es un anillo con divisores de cero.
24. Clasificar cada una de las afirmaciones siguientes como ciertas o falsas. Explicar la respuesta.
    1. Un subanillo de un anillo conmutativo es conmutativo.
    2. Un subanillo de un dominio de integridad es un dominio de integridad.
    3. Un subanillo con identidad de un dominio de integridad es un dominio de integridad.
    4. En un dominio de integridad, cualquier elemento no nulo tiene inverso multiplicativo.
    5. Un anillo que contiene a otro anillo conmutativo es conmutativo.

    
    

25. Sea ${\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} )$ el conjunto de matrices $2\times 2$ con coeficientes reales con la suma y multiplicación usuales. Verificar que ${\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} )$ con las operaciones usuales posee la estructura de un anillo con identidad que no es conmutativo y que tiene divisores de cero.
26. Sea ${\mathcal {C}}$ el subconjunto formado por todas las matrices de la forma ${\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.$

    Probar que ${\mathcal {C}}$ con las operaciones usuales es un cuerpo.

27. Sea $A={\textsf {M}}_{2}(\mathbb {Z} )$ el conjunto de todas las matrices $2\times 2$ con entradas que son números enteros. $A$ es un anillo con identidad, no conmutativo y con divisores de cero y que es un subanillo con identidad de ${\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} ).$
28. Completar el ejemplo de los Cuaterniones, probando que efectivamente se trata de un anillo con división,
29. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son subanillos del anillo de matrices ${\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} )$?
    1. Las matrices de la forma ${\begin{bmatrix}x&y\\0&0\end{bmatrix}}.$
    2. Las matrices de la forma ${\begin{bmatrix}0&y\\0&0\end{bmatrix}}.$
    3. Las matrices de la forma ${\begin{bmatrix}x&y\\0&z\end{bmatrix}}.$
30. Considerar el anillo de matrices ${\textsf {M}}_{2}(\mathbb {Z} _{2})$.
    1. Hallar la cantidad de elementos del anillo.
    2. Hallar las unidades del anillo.
31. ¿Cierto o falso?
    1. Cada cuerpo es también un anillo.
    2. Cada anillo tiene una identidad.
    3. Cada anillo con identidad tiene al menos dos unidades.
    4. Cada anillo con identidad tiene a lo más dos unidades.
    5. Un subconjunto de un cuerpo puede ser un subanillo, sin que tenga que ser un subcuerpo.
    6. La multiplicación de un dominio tiene que ser conmutativa.
    7. Cuando $m$ no es primo, $\mathbb {Z} _{m}$ tiene divisores de 0.
    8. Cada cuerpo es un dominio entero.
    9. $\mathbb {Z}$ es isomórfico a $\mathbb {Z} _{m}$ como anillos.
    10. El producto directo de dos dominios es un dominio/
    11. Si $m$ es primo, $\mathbb {Z} _{m}$ es un subdominio de $\mathbb {Z} _{m}$.

Los Homomorfismos de Anillos

Definición. (Homomorfismo de Anillos) Sean $A$ y $A'$ anillos. Una función $f:A\longrightarrow A'$ es un homomorfismo de anillos, si, para todo $x$, $y$ en $A$ se cumple que

$f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad {\text{y}}\qquad f(xy)=f(x)f(y).$

Un homomorfismo de anillos con identidad debe, además, preservar la identidad, es decir que $f(1)=1'.$

Los homomorfismos de dominios, anillos con división y cuerpos son homomorfismos de anillos con identidad.

Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo.

Observemos que sigue, directamente, de la definición de homomorfismo de anillos, que un homomorfismo de anillos es un homomorfismo tanto de los grupos aditivos como de los semigrupos multiplicativos de los anillos.

Las terminologías de monomorfismo, supramorfismo, endomorfismo y automorfismos tienen igual significado que para los grupos.

Ejemplo.

Sean $A$, $B$ anillos cualesquiera, sea $f:A\longrightarrow B$ tal que para todo $a$ en $A$, $f(a)=0.$ Entonces, $f$ es trivialmente un homomorfismo de anillos. Aunque ambos anillos tengan identidad, el anterior homomorfismo no es un homomorfismo de anillos con identidad.

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Ejemplo.

Sea $A=\mathbb {Z}$---el anillo de los Enteros---y $A'=\mathbb {Z} _{m}$, los enteros módulo $m$ Sea $f:\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} _{m}$ tal que $f(z)=[z]$, donde $[z]$ es la clase de congruencia de $z$ módulo $m$, o sea $z+m\mathbb {Z} .$ Como se cumple que

$[z+w]=[z]+[w]\quad {\text{ y }}\quad [zw]=[z][w],$

tenemos que $f$ es un homomorfismo suprayectivo (de anillos), que diremos que se trata del supramorfismo canónico.

Notemos que aunque $\mathbb {Z}$ es un dominio de integridad, cuando $m$ es un número compuesto, su imagen homomórfica, $\mathbb {Z} _{m}$, no lo es.

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Ejemplo.

Sea $f:\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C}$ la asignación a cada número complejo $z=a+bi$ de su conjugado ${\overline {z}}=a-bi.$ Sigue de las propiedades de los conjugados que esa función es un homomorfismo. Como es un homomorfismo biyectivo se trata de un automorfismo del cuerpo $\mathbb {C} .$

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Ejemplo.

Sea $f:\mathbb {C} \longrightarrow {\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} )$ tal que $f(a+bi)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.$ Se puede verificar que $f$ es un homomorfismo inyectivo de anillos con identidad. La verificación queda de ejercicio. ¿Cuál es la imagen de $f$? Dicha imagen es un subcuerpo de ${\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} ).$

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Ejemplo.

Sea $A$ un anillo y $B$ un subanillo de $A.$ Sea $i:B\longrightarrow A$ tal que $i(x)=x.$ Claramente, $i$ es un homomorfismo inyectivo de anillos, que llamamos el monomorfismo inducido por la inclusión.

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Proposición 5. (Propiedades de los Homomorfismos)
Sea $f:A\longrightarrow A'$ un homomorfismo de anillos. Entonces,

1. $f(0)=0'$ y $f(-x)=-f(x).$
2. Si $A'$ tiene identidad y hay al menos un $x$ tal que $f(x)\neq 0'$, entonces $f(1)=1'$.
3. Si $f$ es un homomorfismo de anillos con identidad, entonces si $x$ es invertible en $A$, su imagen es invertible en $A'$ y se cumple que $f(x^{-1})=f(x)^{-1}$.

Demostración: Todo sigue de propiedades anteriores de homomorfismos de grupos, semigrupos o monoides. El lector o lectora puede tratar de probarlos directamente de las definiciones de anillo.

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La siguiente proposición es la extensión natural de la proposición acerca de subgrupos y homomorfismos a subanillos y homomorfismos de anillos.

Proposición 6. (Subanillos y Homomorfismos)
Sea $f:A\rightarrow A'$ un homomorfismo de anillos.

1. Para todo subanillo $B$ de $A$, $f(B)$ (la imagen directa por $f$ de $B$ es un subanillo de $A'.$
2. Para todo subanillo $B'$ de $A'$, $f^{-1}(B')$ (la imagen inversa por $f$ de $B'$ es un subanillo de $A.$

Demostración:

1. Sea $B<A$, entonces $f(B)=\{x'\in A':x'=f(x),\quad {\text{para algún }}x\in B.$. Sean $x'$ y $y'$ elementos de $f(B).$ Por la definición de $f(B)$, hay elementos $x$, $y$ tales que $f(x)=x'$ y $f(y)=y'.$ Luego, $x'-y'=f(x)-f(y)=f(x-y)\implies x'-y'{\text{ está en }}\quad f(B).$

   Tenemos, también, que

   $x'y'=f(x)f(y)=f(xy)\implies x'y'\in f(B).$

   Luego, $f(B)<A'.$

2. Sea $B'$ un subanillo de $A'$ y sea $B=f^{-1}(B')=\{x\in A:f(x)\in B'\}.$ Si $x$, $y$ están en $B$ se tiene que $f(x-y)=f(x)-f(y)\in B'\quad {\text{y que }}f(xy)=f(x)f(y)\in B'.$ Por el criterio de subgrupos, tenemos que $B=f^{-1}(B')<A.$

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Al igual que el caso de los homomorfismos de grupos, $\ker(f)$ denota el núcleo del homomorfismos, o sea la imagen inversa de {0'}.

Ejercicios

1. Probar que $2\mathbb {Z}$ y $5\mathbb {Z}$ son isomorfos como grupos aditivos, pero no lo son como anillos.
2. Probar que $\mathbb {R}$ y $\mathbb {C}$ no son isomorfos como cuerpos.
3. Probar que la composición de homomorfismos de anillos es un homomorfismo de anillos.
4. Hallar todos los homomorfismos de anillos entre los anillos indicados a continuación.
   1. De los Enteros en si mismo.
   2. De $\mathbb {Z}$ en $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$.
   3. De $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ en $\mathbb {Z}$.
5. Sea $f:A\longrightarrow B$ un homomorfismo suprayectivo de anillos cualquiera. Probar o dar un contraejemplo de cada una de las siguientes afirmaciones.
   1. Si $A$ es conmutativo entonces $B$ es conmutativo.
   2. Si $B$ es conmutativo entonces $A$ es conmutativo.
   3. Si $A$ tiene identidad entonces $B$ tiene identidad.
   4. Si $B$ tiene identidad entonces $A$ tiene identidad.
   5. Si $u$ es una unidad entonces $f(u)$ es una unidad.
   6. Si $f(u)$ es una unidad entonces $u$ es una unidad.
   7. Si $z$ es un divisor de cero entonces $f(z)$ es un divisor de $z$.
   8. Si $f(z)$ es un divisor de cero entonces $z$ es un divisor de cero.
   9. Si $A$ es un dominio de integridad entonces $B$ es un dominio de integridad.
   10. Si $B$ es un dominio de integridad entonces $A$ es un dominio de integridad.
6. Hallar las tablas de suma y producto del anillo $2\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$. ¿Es isomorfo al anillo $\mathbb {Z} _{4}$? Explicar su respuesta.
7. Sea $f:A\longrightarrow B$ un homomorfismo de anillos con identidad. Probar que las imágenes de unidades de $A$ son unidades en $B$.
8. Sea $N$ el conjunto de matrices de la forma ${\begin{bmatrix}a&3b\\b&a\end{bmatrix}}$ con $a$ y $b$ enteros. Sea $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]=\{a+b{\sqrt {3}}:a,b{\text{ enteros}}\}$. Probar que $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ y $N$ son anillos isomorfos usando la función:$a+b{\sqrt {3}}\mapsto {\begin{bmatrix}a&3b\\b&a\end{bmatrix}}$

La Característica de un Anillo

Ejemplo.

Sea $A=\mathbb {Z} _{6}$ entonces para cada elemento $x$ de $A$ se cumple que $6\cdot x=0$. Es decir que hay un entero positivo $n$ (= 6) tal que el múltiplo $n\cdot x=0$.

Sea $A$ un anillo cualquiera con identidad y supongamos que hay un entero positivo tal que $n\cdot 1=0$. Entonces, para todo $a$ de $A$ se cumple que

$n\cdot a=n\cdot (1*a)=(n\cdot 1)*a=0*a=0.$

Observemos, que en el anillo de los enteros, para todo $n$ positivo se cumple que $n\cdot 1\neq 0$.

---

El entero $n$ del ejemplo anterior es lo suficientemente importante como para merecer un nombre especial.

Definición. (Característica de un Anillo) Sea $A$ un anillo no trivial con identidad ${\textsf {I}}.$ Llamaremos característica de $A$ al menor entero positivo $n$ tal que $n\cdot 1=0.$ Cuando tal $n$ no exista, diremos que la característica es 0. Notación: ${\text{char}}(A).$

Ejemplo.

Cualquier anillo o cuerpo que contiene a los Enteros tiene característica 0. Por ejemplo, los Racionales, los Reales y los Complejos. Por su parte, el anillo $\mathbb {Z} _{m}$ tienen característica $m>0$.

---

Sea $A$ un anillo con identidad $1_{A}$. Definamos una función $\theta :\mathbb {Z} \longrightarrow A$ tal que $\theta (n)=n\cdot 1_{A}$. Sigue de las propiedades de los múltiplos que

${\begin{array}{rcl}\theta (m+n)&=&(m+n)\cdot 1_{A}=m\cdot 1_{A}+n\cdot 1_{A}=\theta (m)+\theta (n),\quad {\text{y}}\\\theta (mn)&=&(mn)\cdot 1_{A}=(m\cdot 1_{A})*(n\cdot 1_{A})=\theta (m)*\theta (n).\end{array}}$

Luego, $\theta$ es un homomorfismo de anillos; por lo que la imagen $B=\theta (\mathbb {Z} )$ es un subanillo de $A$.

Como $\theta$ es un homomorfismo de anillos es, también, un homomorfismo de los grupos aditivos subyacentes. Luego, el núcleo $K$ de $\theta$ es un subgrupo aditivo de $\mathbb {Z}$. Como todos esos subgrupos son cíclicos, tenemos que $K=\langle d\rangle$ para algún $d\geq 0$. Analizaremos, a continuación, las diferentes situaciones que se producen dependiendo del valor de $d$.

• (Caso 1) $d=0.$ Es decir que el único múltiplo entero de $1$ que es igual al neutro aditivo del anillo es $0\cdot I.$ Por lo que $\ker(\theta )=\{0\}$, luego $\theta$ es inyectivo y su imagen es isomorfa a $\mathbb {Z} .$
• (Caso 2) $d=1.$ Es decir, $I=1\cdot I=0$, lo que nos dice que para todo entero $m$ $a=mI=m\cdot 0=0.$ Luego, $\ker(\theta )=\mathbb {Z}$ y su imagen es el anillo trivial $\{0\}.$ \\
• (Caso 3) $d>0$, entonces $d$ es el menor entero positivo tal que $d\cdot I=0.$ \noindent\emph{(Caso 3)} $d>0$, entonces $d$ es el menor entero positivo tal que $d\cdot I=0.$ Se cumple que $K=\langle d\rangle$ y que su imagen es isomorfa a $\mathbb {Z} _{d}=\mathbb {Z} /\langle d\rangle .$ como grupos. Sea ${\overline {\theta }}$ la función biyectiva de $\mathbb {Z} _{d}$ sobre $B$ produciendo el isomorfismo de grupos. Es decir la correspondencia $x+K\mapsto \theta (x)$. Entonces, ${\overline {\theta }}(xy+K)=\theta (xy)=\theta (x)\theta (y)={\bar {\theta }}(x+K){\bar {\theta }}(y+K).$

  Lo que prueba que $B$ es isomorfo como anillo a $\mathbb {Z} _{d}$.

  Definición. (Anillo Primo) Llamamos anillo primo de un anillo con identidad $A$ al menor subanillo contenido en $A$.

  Llamamos cuerpo primo de un anillo con identidad $A$ al menos subcuerpo contenido en $A$.

  
  La siguiente proposición resume la discusión anterior, respecto a los cuerpos.

  Proposición 7. Sea $k$ un cuerpo cualquiera. Cuando $k$ tiene característica 0, su cuerpo primo son los Racionales, $\mathbb {Q} .$ Cuando la característica es positiva, se trata de un número primo $p$, en cuyo caso el cuerpo primo es $\mathbb {Z} _{p}=\mathbb {Z} /\langle p\rangle$ .

  Convenio notacional. Denotaremos a un cuerpo finito con $q$ elementos por $\mathbb {F} _{q}.$ Si $p$ es primo, $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} _{p}.$

  
  

  Teorema del Binomio en característica prima

  Sea $A$ un anillo conmutativo de característica $p$, donde $p$ es un número primo. Entonces, para todo $a$ de $A$, $pa=p(1a)=(p1)a=0a=0.$ Consideremos ahora a $(x+y)^{p}.$ Sabemos, por el teorema del binomio que

  $(x+y)^{p}=\sum _{i=0}^{p}{\binom {p}{i}}x^{p-i}y^{i},$

  (*)

  
  donde ${\binom {p}{i}}={\dfrac {p!}{i!(p-i)!}}.$

  Para simplificar la expresión anterior, necesitaremos el siguiente resultado.

  Proposición 8. Sea $p$ un número primo. Entonces, para todo $i$ tal que $0<i<p$ se cumple que $p|{\binom {p}{i}}.$
  Demostración: Observemos que si $0<i<p$, entonces $0<p-i<p.$ Luego, en la fracción que define a ${\binom {p}{i}}$, todos los factores en el denominador son numeros enteros positivos menores que $p$, por lo que no dividen a $p$, luego, $p$ es un factor del número entero ${\binom {p}{i}}$ cuando $0<i<p.$

  ---

  Volvamos ahora a la evaluación de $(x+y)^{p}$ en un anillo conmutativo de característica $p$, con $p$ primo. Sigue de la proposición anterior que los términos en la sumatoria de (*) donde $1<i<p$ tienen un factor $p$, por lo que son nulos en $A.$ Es decir que tenemos la siguiente proposición.

  Proposición 9. Sea $A$ un anillo conmutativo de característica $p$, $p$ primo. Entonces, para todo $x$, $y$ en $A$ se cumple que

  $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}.$

  Ejercicios

  1. Hallar la característica de cada uno de los siguientes anillos. $2\mathbb {Z} ,\quad \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ,\quad \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{5},\quad \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{9},\quad \mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{9}$.
  2. Probar que el cuerpo primo de un cuerpo de característica cero es el cuerpo de los Racionales.
  3. Probar que el cuerpo primo de un cuerpo de característica $p>0$ es el cuerpo de $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ donde $p$ es primo.
  4. La característica de un dominio es 0 o un número primo.
  5. Sea $k$ un cuerpo finito de característica $p>0$, por ejemplo $\mathbb {F} =\mathbb {Z} /pZ$. Probar que la función $x\mapsto x^{p}$ es un automorfismo de $k$. Cuando $k=\mathbb {F} _{p}$, dicha función es la identidad (ver teorema "pequeño" de Fermat).
  6. Sea $f:A\longrightarrow B$ un homomorfismo suprayectivo de anillos cualquiera. Probar o dar un contraejemplo de cada una de las siguientes afirmaciones.
     1. Si la característica de $A$ es cero entonces, la característica de $B$ es cero.
     2. Si la característica de $B$ es cero entonces, la característica de $A$ es cero.
  7. Sea $f:A\longrightarrow B$ un homomorfismo de anillo con identidad. ¿Qué relación, si alguna, hay entre la característica de $A$ con la característica de $B$.

  Ejercicios del Capítulo

  1. Probar las siguientes identidades.
     1. $a(b_{1}+b_{2}+\dots +b_{n})=ab_{1}+ab_{2}+\dots +ab_{n}$.
     2. $\displaystyle (\sum _{i=1}^{m}a_{i})(\sum _{j=1}^{n}b_{j})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{i}b_{j}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}a_{i}b_{j}$.
  2. Sean $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ elementos de un dominio de integridad. Probar que, si $a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=0$, entonces al menos uno de los $a_{i}$'s es nulo.
  3. Sea $B$ un subanillo de un anillo $A$ y sea $b$ un elemento cualquiera de $B$. Probar lo siguiente.
     1. Cualquier múltiplo entero de $b$ es un elemento de $B$.
     2. Cualquier potencia entera positiva de $b$ es un elemento de $B$,
  4. Cada subanillo $B$ con identidad de los números complejos contiene a los números enteros.
  5. Sea $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{m+n{\sqrt {2}}:m,n{\text{ enteros}}\}$. Probar que $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]$ es un subanillo con identidad de $\mathbb {C}$ contenido en cualquier subanillo con identidad de $\mathbb {C}$ que contenga a ${\sqrt {2}}$.
  6. Sea $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]=\{p+q{\sqrt {2}}:p,q{\text{ son números racionales}}\}$. Probar que
     1. $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$ es el subcuerpo de los Complejos más pequeño que contiene a ${\sqrt {2}}$.
     2. Cada elemento de $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$ es igual a un elemento de $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]$ (ver ejercicio anterior) multiplicado por el recíproco de un entero.
     3. La ecuación $x^{2}=3$ no tiene solución en $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$.
  7. Sea $m$ un entero que no es un cuadrado perfecto y sea $\mathbb {Q} [{\sqrt {m}}]=\{m+n{\sqrt {m}}:m,n\in \mathbb {Q} \}$. Probar que $\mathbb {Q} [{\sqrt {m}}]$ es el subcuerpo de $\mathbb {C}$ más pequeño (respecto a la inclusión) que contiene a ${\sqrt {m}}$. Observar que si $m>0$, se trata de un subcuerpo de $\mathbb {R}$.
  8. Sea $B=\{m+n{\sqrt[{3}]{2}}:m,n{\text{ enteros}}\}$. Probar que $B$ no es un subanillo de $\mathbb {C}$. ¿Cuál sería el menor subanillo con identidad de $\mathbb {C}$ que contuviera a ${\sqrt[{3}]{2}}$ y estuviera contenido en cualquier subanillo con identidad de $\mathbb {C}$ que contenga a ${\sqrt[{3}]{2}}$?
  9. (Enteros de Einsenstein) Sea $\omega$ el número complejo definido por $\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})(=e^{2\pi i/3})$.
     1. Probar que $\omega ^{3}=1$ y que $1+\omega +\omega ^{2}=0$.
     2. Sea $K=\{a+b\omega :a,b\in \mathbb {Q} \}$. Probar que $K$ es el menor subcuerpo de los complejos que contiene a $\omega$.
     3. Probar que la ecuación $x^{2}+x+1=0$ tiene solución en $K$.
  10. (*) Los ejercicios anteriores muestran que hay varios cuerpos $K$ tales que $\mathbb {Q} \varsubsetneq K\varsubsetneq \mathbb {C}$.
      1. ¿Habrá un cuerpo $K$ tal que $\mathbb {R} \varsubsetneq K\varsubsetneq \mathbb {C}$?
      2. ¿Habrá un cuerpo $K$ tal que $\mathbb {C} \varsubsetneq K$?
  11. Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad y $\{s_{1},\dots ,s_{r}\}$ un subconjunto de $A$. Sea $B$ el subconjunto de $A$ formado por todos las expresiones que son sumas de expresiones de la forma $ms_{1}^{i_{1}}s_{2}^{i_{2}}\dots s_{r}^{i_{r}},\quad i_{1},\dots ,i_{r}\geq 0,m{\text{ entero}}.$

      Probar que $B$ es un subanillo con unidad de $B$ que, además, está contenido en cualquier subanillo con identidad que contenga a $S$.

  12. Probar que los divisores de cero de $\mathbb {Z} _{m}$ son los elementos $[x]$ tales que ${\text{mcd}}(x,m)>1$.
  13. Probar que cuando la característica de un dominio de integridad es positiva, es un número primo.
  14. Probar que las relaciones "ser subanillo de", "ser subdominio de" y "ser subcuerpo de" son relaciones transitivas.
  15. Sea $A$ el anillo de las sucesiones reales, o sea de las funciones de $\mathbb {N} _{0}$ en $\mathbb {R}$. Sea $B$ el conjunto formado por las sucesiones que tienen una cantidad finita de términos no nulos.
      1. Sea $s$ en $B$. Probar que hay un $n$ tal que $m>n$ implica que $s_{n}=0$.
      2. ¿Es $B$ un subanillo de $A$?
  16. Probar que la intersección de una familia de subanillos de un anillo $A$ es un subanillo de $A$.
  17. Sea $A$ un anillo y $a$ un elemento del anillo. Sea $S(a)=\{x\in A:ax=a\}$. Probar que $S(a)$ es un subanillo de $A$.
  18. Sea $A$ un anillo con identidad. Sea $Z=\{n\cdot 1:n\in \mathbb {Z} \}$ el conjunto de múltiplos enteros de 1.
      1. Probar que $Z$ es un subanillo de $A$.
      2. Probar que si $A$ es un dominio, entonces $Z$ es un subdominio de $A$ contenido en cualquier otro subdominio.
  19. (Elementos Nilpotentes) Sea $A$ un anillo. Un elemento $x$ de $A$ es nilpotente, ssi, hay un natural $n$ tal que $x^{n}=0$.
      1. Probar que un elemento nilpotente es un divisor de cero.
      2. Probar que una unidad no puede ser nilpotente.
      3. Hallar los elementos nulos no nilpotentes de $\mathbb {Z} _{9}$, $\mathbb {Z} _{11}$ y $\mathbb {Z} _{18}$.
      4. Sean $x$, $y$ elementos que son nilpotentes y que conmutan entre si. Probar que $(x+y)$ y $xy$ son nilpotentes.
      5. Probar que ${\begin{bmatrix}0&a\\0&0\end{bmatrix}}$ es nilpotente.
  20. (Elementos Idempotentes) Un elemento $e$ es un anillo es idempotente, ssi, $e^{2}=e$.
      1. El elemento nulo y la identidad (cuando existe) son siempre nilpotentes).
      2. En un dominio de integridad, los únicos elementos nilpotentes son el elemento nulo y la identidad.
      3. Sean $e_{1}$ y $e_{2}$ idempotentes tales que $e_{1}+e_{2}=1$. Entonces, $e_{1}e_{2}+e_{2}e_{1}=0$.
  21. Probar que el conjunto de elementos idempotentes de un anillo conmutativo con identidad es cerrado respecto a la multiplicación.
  22. Hallar los idempotentes de $\mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{12}$.
  23. Probar que la intersección de subdominios de un dominio $D$ es un dominio.
  24. Probar que la intersección de subcuerpos de un cuerpo $k$ es un subcuerpo.
  25. La característica de un dominio es 0 o un número primo.
  26. (Teorema de Wilson) Sea $p$ un primo impar.
      1. Probar que $1$ y $p-1$ son los únicos elementos idempotentes de $\mathbb {Z} _{p}$. (Sug. Analizar la ecuación $x^{2}=x$ en el cuerpo $\mathbb {Z} _{p}$).
      2. Probar que $(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}$.
      3. Sea $n>2$ un entero tal que $(n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}$. Probar que $n$ es primo.
  27. Sea $m$ un entero positivo que no es un cuadrado perfecto y sea $A=\{a+b{\sqrt {m}}:a,b\in \mathbb {Z} \}$. Para $z=a+b{\sqrt {m}}$ definir una norma $N(z):=a^{2}-mb^{2}$.
      1. Probar que $A$ es un subanillo de los Reales que es un dominio de integridad, pero que no es un cuerpo.
      2. Probar que la norma es multiplicativa, $N(zz')=N(z)N(z')$.
      3. Probar que las unidades tienen norma igual a 1 o $-1$.
  28. Sea $A=\{a+b{\sqrt {2}}:a,b\in \mathbb {Z} \}\subset \mathbb {R}$.
      1. Probar que $A$ es un subanillo de $\mathbb {R}$. (Ver ejercicio anterior.)
      2. Probar que $({\sqrt {2}}-1)$ y $({\sqrt {2}}+1)$ son unidades de $A$.
      3. Probar que $17-12{\sqrt {2}}$ es una unidad de $A$.
      4. Hallar todas las unidades de $A$, ¿Cuántas unidades hay?
  29. Sea $A$ un anillo cualquiera y $a$ un elemento del anillo. Probar que el conjunto de todos los múltiplos enteros de $a$, $\mathbb {Z} \cdot a$ es un subgrupo del grupo aditivo del anillo $A$, pero que, en general, puede que no sea cerrado respecto a la multiplicación. ¿Cuándo podremos estar seguros de que ese conjunto será cerrado respecto a la multiplicación?
  30. Sea $A$ un anillo con identidad. Por $Z(A)$ denotaremos el conjunto de elementos de $A$ que permutan con todos los elementos de $A$, al que llamamos el \textbf{centro} del anillo. ¿Es $Z(A)$ un subanillo de $A$?
  31. Hallar el centro del anillo de matrices ${\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} )$. Sugerencia. Buscar condiciones para las entradas de una matriz $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ para que permute con la matriz ${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$.
  32. Sea $A$ un anillo con identidad. Probar que los múltiplos de la identidad pertenecen al centro de anillo.
  33. Sea $A$ un anillo con división> Probar que $A$ tiene un cuerpo primo que está contenido en el centro del anillo.
  34. Sea $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}$ un grupo finito y $k$ un cuerpo. Simbolizamos por $k[G]$ el conjunto formado por todas las expresiones de la forma $a_{1}g_{1}+a_{2}g_{2}+\dots +a_{n}g_{n},$

      donde $a_{1}$, $a_{2}$, \dots, $a_{n}$ son elementos de $k$. Se define una suma y multiplicación en $k[G]$ por

      ${\begin{array}{rcl}\sum _{i=1}^{n}a_{i}g_{i}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}g_{i}&:=&\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})g_{i}\\(\sum _{i=1}^{n}a_{i}g_{i})(\sum _{j=1}^{n}b_{j}g_{j})&:=&\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}b_{j}g_{i}g_{j}\end{array}}$

      Probar que $k[G]$ es un anillo con identidad $e$. El anillo es conmutativo, ssi, $G$ lo es.

  35. Sea ${\mathcal {M}}={\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} )$ el conjunto formado por todas las matrices $2\times 2$ con entradas reales. Definimos una multiplicación $\odot$ en ${\mathcal {M}}$ por $A\odot B=AB-BA.$
      1. Probar que se cumple que $A\odot A=0$ y que $B\odot A=-A\odot B$.
      2. Probar que $\odot$ es distributiva respecto a la suma usual de matrices.
      3. Probar que $\odot$ no es asociativa.

      Este ejemplo muestra que podemos tener multiplicaciones que no sean asociativas. Estas estructuras son importantes en áreas más avanzadas de las matemáticas. Los lectores que conocen acerca del cálculo vectorial, pueden ver que el producto cruz del cálculo vectorial es una multiplicación no conmutativa.

  36. Sea $F$ el anillo $F(X,\mathbb {Z} _{2})$ y sea $\mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}$. Sea $A\subset X$ y definamos $\chi _{A}(x):={\begin{cases}1,&{\text{cuando }}x\in A,\\0,&{\text{En caso contrario}}.\end{cases}}$
      1. Probar que si $A$ y $B$ son subconjuntos de $X$, $\chi _{A}=\chi _{B}$, ssi, $A=B$.
      2. Expresar $\chi _{E\setminus A}$ en términos de $\chi _{A}$.
      3. Expresar $\chi _{A\setminus B}$ en términos de $\chi _{A}$, $\chi _{B}$ cuando $A\subset B$.
      4. Expresar $\chi _{A\cup B}$ y $\chi _{A\cap B}$, en términos de $\chi _{A}$ y $\chi _{B}$.
      5. Sea $A\triangle B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$ (diferencia simétrica). Expresar $\chi _{A\triangle B}$ en términos de $\chi _{A}$ y $\chi _{B}$.
  37. Sea $\mathbb {P} (X)$ el conjunto de partes (subconjuntos) de $X$ y sea $\chi :\mathbb {P} (X)\longrightarrow F(X,\mathbb {Z} _{2})$ la función tal que $\chi (A)=\chi _{A}$ (Ver ejercicio anterior). Probar que $\chi$ es una biyección. Concluir que hay una estructura de anillo en $<\mathbb {P} (X),\triangle ,\cap >$ isomorfa a $F(X,\mathbb {Z} _{2})$.
  38. (Anillo de los Endomorfismos de un Grupo) Sea $G$ un grupo abeliano y sea ${\text{End}}(G)$ el conjunto formado por todos los endomorfismos del grupo. Definamos operaciones de suma y multiplicación por
      1. la suma (punto a punto): $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$.
      2. la multiplicación es la composición de funciones: $(fg)(x)=(f\circ g)(x)$.

      Probar que esas operaciones proven a ${\text{End}}(G)$ con una estructura de anillo con identidad. Describir a las unidades.

  39. (Extensión del Teorema de Cayley a los Anillos) Sea $\langle A,+,\cdot \rangle$ un anillo con identidad y sea $E$ el conjunto formado por todos los endomorfismos del grupo abeliano $\langle A,+\rangle$. Definir sumas y productos en $E$ como en el ejercicio anterior. Para cada $a$ de $A$ sea $L_{a}$ la multiplicación por la izquierda de $A$. Probar que
      1. $L_{a}$ es un elemento de $E$;
      2. La correspondencia $a\mapsto L_{a}$ es un homomorfismo inyectivo de anillos.
  40. Sea $A$ un anillo y sea $B=A\times \mathbb {Z}$ . Definir una suma en $B$ por componentes y una multiplicación por $(a_{1},n_{1})(a_{2},n_{2}):=(a_{1}a_{2}+n_{1}\cdot a_{2}+n_{2}\cdot a_{1},n_{1}n_{2}).$

      Probar que

      1. B es un anillo con identidad (aunque $A$ no lo tenga) con igual característica que $A$.
      2. Definir $f:A\longrightarrow B$ tal que $f(a)=(a,0)$. Probar que $f$ es un monomorfismo de anillos.

      Es decir que un anillo sin identidad puede identificarse con un subanillo (sin identidad) de un anillo con identidad.

      
      

  41. (Anillo de Boole) Un anillo de Boole es un anillo conmutativo con identidad tal que para todo $a$ de $A$ se cumple que $a^{2}=a$. Suponer que $A$ es un anillo de Boole.
      1. Probar que $2=1+1=0$. (Sugerencia. Usar que $(1+1)^{2}=1+1$.) Es decir que anillos de Boole tiene característica 2.
      2. Probar que para todo $a$ de $A$ se cumple que $-a=a$. Definir: $a\oplus b:=a+b+ab$ y $a'=1+a$.
      3. Probar que la operación $\oplus$ es asociativa, conmutativa, con neutro $0$.
      4. Probar que $a\oplus a=a$.
      5. Probar que $(a')'=a$.
      6. Probar las siguientes relaciones. ${\begin{matrix}(i)&a\oplus bc=(a\oplus b)(a\oplus c).\qquad &(i')&(b\oplus c)=ab\oplus ac\\(ii)&(a\oplus b)'=a'b'&(ii')&ab)'=a'\oplus b'\end{matrix}}$
      7. Sea $X$ un conjunto no vacío. Sea $\mathbb {P} (X)$ el conjunto potencia de $X$, o sea el conjunto formado por todos los subconjuntos de $X$. Sean $A$ y $B$ subconjuntos de $X$. Definir $A+B:=A\setminus B\cup B\setminus A{\text{ y }}A\cdot B:=A\cap B.$ Probar que $\langle \mathbb {P} (X),+,\cdot \rangle$ es un anillo de Boole (ver el ejercicio anterior). Interpretar $A\oplus B$, $A'$ y las relaciones correspondientes del ejercicio anterior, en términos de subconjuntos de $X$.
      8. Sea $B$ un anillo con identidad tal que $x^{2}=x$ para todo elemento $x$ del anillo. Probar que es conmutativo, o sea que es un anillo de Boole.

      Comentarios

      La noción de Anillo. Los anillos aparecieron como abstracción de propiedades comunes a los (anillos de) polinomios y de los (anillos) de enteros algebraicos. Un entero algebraico es una solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros y coeficiente líder igual a 1.

      Aunque anillos estaban implícitos en los trabajos de Richard Dedekind, no aparecieron en forma explícita hasta los trabajos de David Hilbert. Solamente a comienzo del siglo veinte, Emmy Noether produjo una situación muy cerca de la moderna.

      Anillos no asociativos. No hay un nombre especial estándar para un grupo abeliano $A$ con una multiplicación distributiva, pero no necesariamente asociativa. Nosotros llamamos anilloide a esa estructura. Ejemplos importantes de esas estructuras son las llamada Álgebras de Lie (en honor a Sophus Lie) que aparecen de manera natural al considerar espacios tangentes a grupos de Lie (grupos provisto de una estructura para la que hace sentido hablar de funciones diferenciables, en particular, la operación del grupo).

      El ejemplo prototipo lo constituyen las matrices cuadradas de cualquier dimensión. La suma es la suma usual de matrices, y el producto de Lie, denotado tradicionalmente por $[A,B]$, está definido como

      $[A,B]:=AB-BA,$ donde los productos de la derecha son los productos usuales de matrices.

      Anillos Unitarios. Se llama anillo unitario a un anillo con identidad. Hay dos versiones de anillos en la literatura matemática. Algunos autores exigen que los anillos sean unitarios, es decir que parte de la definición es que haya identidad. Esto simplifica la vida en algunos aspectos y los complica en otros. Por ejemplo, $2\mathbb {Z}$ no será más un subanillo de los Enteros, ya que no tiene identidad.

      La diferencia es realmente no esencial, ya , pues puede probarse que cualquier anillo $A$ (sin identidad) se puede encajar en un anillo con identidad $B$. Es decir que dado un anillo sin identidad $A$ se puede hallar un anillo con identidad $B$ y un monomorfismo $\varphi :A\longrightarrow B$ que permite la identificación de $A$ con su imagen como subanillo (en nuestro sentido) de $B$. La demostración de lo anterior y otros detalles se pueden hallar en {Jaconson1}.

      Terminología

      La terminología acerca de los anillos no está totalmente estandarizada.

      • Dominios (de Integridad), Anillos integros. Tradicionalmente, los dominios se han supuesto conmutativos. Sin embargo, hay quienes no requieren conmutatividad (dominios de Malcev). Hay quienes prefieren llamar anillos integros a los anillos sin divisores de ceros y decir que un domino es un anillo integro conmutativo. Otras personas suponen que anillos integros y dominios (de integridad) son ambos conmutativos. Nuestros dominios son integros (sin divisores de cero) y conmutativos.
      • Cuerpos, Campos. Lo que llamamos "cuerpo" arriba fueron originalmente ``korps para los matematicos alemanes que introdujeron la noción. La idea es que se trata de algo completo (tienen las cuatro operaciones aritméticaa). En inglés se traduce ``korps por field, que puede traducirse como "campo", pero no necesariamente. N. Bourbaki llama "corps" a los anillos con división (en ingles "skew-fiëlds") y cuerpos conmutativos, a lo que aquí hemos llamado cuerpo. Hemos evitado el uso de campos, que aunque no trae mayores problemas en Älgebra, si presenta problemas en áreas como geometría diferencial donde tenemos cuerpos (reales, complejos, cuaterniornes) y campos (vectoriales, tensoriales, etc.). Notemos que en ese contexto usualmente se habla del cuerpo de los cuaterniones aunque realmente su multiplicación no es conmutativa.

      Notas