Álgebra Abstracta/Los Anillos

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Álgebra Abstracta


Introducción

En este capítulo, iniciamos el estudio de las estructuras algebraicas llamadas anillos que están caracterizadas por tener dos operaciones (binarias), que usualmente llamamos adición y multiplicación. Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros, los Racionales y los Reales con la suma y multiplicación usual. También determinan un anillo el conjunto de las matrices   con entradas que son números reales.

Se puede decir que las estructuras que estudiaremos analizan y generalizan las propiedades algebraicas de los ejemplos indicados

Las Definiciones

Un anillo es básicamente un grupo abeliano (escrito aditivamente) con una multiplicación distributiva con respecto a la adición.

Definición. (Anillo) Un Anillo es una estructura   tal que:

  1.   es un grupo abeliano. Es decir que la operación   es asociativa, con neutro 0, y donde cada elemento   tiene un opuesto aditivo   Decimos que ese grupo es el grupo aditivo del anillo.
  2.   es un semigrupo, o sea que la multiplicación es asociativa. Decimos que ese semigrupo es el semigrupo multiplicativo del anillo.
  3. La multiplicación   es distributiva respecto a la adición  : para todo   en   se cumple que
     

Las propiedades adicionales que supongamos para la multiplicación producen varios tipos diferentes de anillos. Daremos, a continuación, un listado de algunos de esos tipos. La lista es larga, pero las nociones indicadas son más o menos obvias.

Definición. (Tipos de Anillos)

  • Un anillo con identidad es un anillo donde hay un neutro respecto a la multiplicación, al que usualmente simbolizaremos por   o   Para evitar trivialidades, supondremos que  
  • Un anillo conmutativo es un anillo donde la multiplicación es conmutativa.
  • Un anillo integro o dominio de integridad es un anillo conmutativo con identidad donde el producto de dos de sus elementos es cero, solamente cuando uno de los factores es cero; o, equivalentemente, el producto de elementos no nulos es un elemento no nulo.
  • Un anillo con división es un anillo con identidad tal que cada elemento no nulo tiene un inverso respecto a la multiplicación. Es decir cuando el semigrupo multiplicativo sea un grupo.
  • Un cuerpo es un anillo conmutativo con división.[1]


Al igual que con las estructuras con una operación, tendremos subestructuras asociadas a cada tipo de anillo, que denotaremos colocando sub delante del nombre. Como siempre, una subestructura de una estructura de cierto tipo se refiere a un subconjunto que posee una estructura del mismo tipo con respecto a las operaciones restringidas al subconjunto. Para ilustración, daremos la definición de subanillo.

Definición. (Subanillo, Superanillo) Sea   un anillo. Decimos que un subconjunto   de   determina o es un subanillo de  , ssi,   con las operaciones de   restringidas a   es un anillo. En tal caso, también, diremos que   es un superanillo de   Notación:  

Cuando   tenga una identidad,   será un subanillo, cuando la identidad sea un elemento de  


Sigue de la definición que un subanillo   de un anillo   determina con la suma un subgrupo del grupo aditivo de   y con la multiplicación determina un subsemigrupo de  


Combinando los criterios para subgrupos y subsemigrupos, tenemos la siguiente proposición.

Proposición 1. (Criterio de Subanillo) Sea   un anillo. Un subconjunto no vacío   es un subanillo de  , ssi,

  1. Para todo  ,   en  ,   es un elemento de  , y
  2. Para todo  ,   en  ,   es un elemento de  
  3. Si   tiene una identidad 1, 1 está en  .

Ejemplos de Anillos y Subanillos

El listado de anillos y subanillos es bastante extenso, por lo que nos limitaremos a dar algunos de los ejemplos más relevantes para nuestros propósitos. Es importante que el lector verifique cuidadosamente que se verifican las propiedades indicadas.

Ejemplo.

Sea   un anillo. Entonces,   mismo y   siempre son subanillos de  


Ejemplos (Anillos Numéricos).

Los Enteros con la suma y multiplicación usual,  , determinan un anillo conmutativo con identidad donde el producto de elementos no nulos siempre es un elemento no nulo, por lo que se trata de un dominio de integridad.

Por su parte, los Racionales, los Reales y los Complejos son cuerpos respecto a la suma y multiplicación usual, ya que la multiplicación es conmutativa y cada elemento no nulo tiene un recíproco.

Los Enteros son un subanillo (con identidad) de los Racionales que, a su vez, es un subcuerpo de los Reales y de los Complejos. Los Reales son un subcuerpo de los Complejos.


Ejemplo (Anillo Trivial).

Sea   Si definimos   y   vemos que   tiene dos operaciones que trivialmente definen una estructura de anillo en   En dicho anillo, el neutro multiplicativo y el aditivo coinciden. Llamamos a este anillo el anillo trivial, y será el único anillo adonde es permitido que coincidan los neutros de las operaciones.


Ejemplo (Los Subanillos de  ).

Sabemos que los únicos subgrupos aditivos de   están formados por los múltiplos enteros de un entero,  . Como 1 esta en  , ssi,  , el único subanillo (con identidad) es   mismo.


Ejemplo (Subanillos de los Complejos).

Veremos una familia de subanillos de  . Suponer que   es un entero positivo y que   es un número complejo cuyo cuadrado es   Sea

 

Verificaremos que   con la suma y la multiplicación de los Complejos es un subanillo de los complejos.

Sea  , luego   y sean   y   dos elementos de   Entonces,

 

Luego,   es un subanillo de los complejos. Como   está contenido en los Complejos no puede contener elementos no nulos cuyo producto sea cero, además como la multiplicación es conmutativa, vemos que se trata de un dominio de integridad.

Estos anillos proporcionarán ejemplos muy importantes, especialmente cuando hagamos consideraciones aritméticas---por ejemplo, la teoría de la divisibilidad, en los capítulos siguientes.

Introduciremos, para usos futuros, la noción de norma de un elemento   de este anillo, que será el número real definido por

 

donde   es el conjugado de  



Ejemplo (Enteros de Gauss).

Se llama Enteros de Gauss al subanillo   de los Complejos. Aunque este subanillo es un caso particular de los ejemplos anteriores con  , es lo suficientemente importante para tener un nombre propio, además de honrar a su genial inventor.


Ejemplo (Los Anillos de Funciones).

Sea   un conjunto no vacío y   un anillo. Sea  , el conjunto formado por todas las funciones de   en   Podemos definir una suma y una multiplicación en  , punto a punto, es decir que para   y   en   ponemos que

 

Se verifica fácilmente que se obtiene una estructura de anillo en   Cuando   sea conmutativo, el anillo   también lo será. Ver los ejercicios.

(Cálculo) Cuando  , algunos subanillos de ese anillo quedan determinados por los conjuntos formados por

  • las funciones constantes,
  • las funciones polinómicas,
  • las funciones continuas,
  • las funciones derivables,

Un aspecto interesante de este ejemplo es que cuando   tiene más de un elemento, entonces aparecen divisores de cero, es decir elementos no nulos cuyo producto es nulo.


Ejemplo (Sucesiones).

Las sucesiones con valores reales son las funciones  , por lo que este ejemplo es un caso particular del ejemplo anterior, ya que el conjunto de las sucesiones es  .


Ejemplo (Polinomios).

Sea   un anillo con identidad. Un polinomio con coeficientes en   es una expresión de la forma

 

donde los  's son elementos de  ,   es un elemento, llamado la indeterminada, que suponemos que es un elemento de un superanillo de   que conmuta con todos los elementos de   Simbolizaremos por   al conjunto formado por todos los polinomios con coeficientes en  

Supondremos conocidos del lector las operaciones con polinomios, así como la terminología asociada con los mismos: términos, coeficientes, grado, etc. Una presentación formal de los polinomios se halla en el capítulo de los polinomios.

 , con las operaciones usuales de suma y multiplicación, es un anillo con identidad que es conmutativo cuando   lo es. Se verifica que cuando   es un dominio de integridad (o un cuerpo), el anillo   es también un dominio.



Ejemplo (Matrices.

Las matrices   con coeficientes reales determinan un anillo con identidad que no es conmutativo, al que simbolizaremos por   Notemos que

 

Es decir que, en un anillo de las matrices, hay elementos no nulos cuyo producto es nulo.


Las matrices nos proporcionan el primer ejemplo de un anillo no conmutativo. Otro ejemplo importante de anillo no conmutativo sre verá a continuación.


Ejemplo (Los Cuaterniones).

Este ejemplo muestra la existencia de un anillo con división que no es cuerpo, es decir donde la multiplicación no es conmutativa.

Sea   Se supone los siguientes convenios para la multiplicación.

 

Suponiendo las propiedades usuales para anillos y que  ,   y   permutan con los Reales, tenemos, por ejemplo, que

 

Queda de ejercicio, verificar que la multiplicación es asociativa, distributiva y que cada elemento no nulo tiene un recíproco. Claramente, la multiplicación no es conmutativa, por lo que   es un anillo con división que no es un cuerpo, llamado los cuaterniones. Los Cuaterniones fueron inventados en el siglo XIX---1843, por el matemático irlandés, William Hamilton, para aplicarlos a problemas de Mecánica tridimensional. Posteriormente, Frobenius probó que solamente hay dos anillos con división que tiene dimensión finita sobre los Reales: los Complejos y los Cuaterniones. Además, de las aplicaciones originales, los cuaterniones tienen interesantes aplicaciones en varias otras áreas: Física y gráficas de computadoras.


Ejemplo (Los Enteros módulo  ).

 , tiene la estructura de un anillo conmutativo con identidad.

Recordemos que cuando   es un entero,   es la clase de  , o sea el conjunto de enteros cuya diferencia con   es un múltiplo de  . La suma y la multiplicación están definidas por

 

Se verifica que con esas operaciones   tiene una estructura de anillo (ver ejercicios).

Estos anillos tienen muchas aplicaciones y sirven, también, para ilustrar varios aspectos de la teoría de los anillos. Ver los ejercicios.


Ejemplo. (Producto de Anillos).

Sean   donde   y   son anillos. Dotamos a   con una estructura de anillo, definiendo la adición y multiplicación componente a componente. Es decir que:

 

Decimos que el anillo   es el producto directo de los anillos   y  .

Cuando   y   son conmutativos, podemos hablar de la suma directa de   con   y denotar al producto por  .

Las propiedades del producto directo   dependen naturalmente de las propiedades de sus factores. Por ejemplo, cuando ambos factores tienen identidad, digamos   y   respectivamente, entonces.

 

Análogamente, se verifica que  ; es decir que   tiene como identidad a  .

Notemos, además, que  ; por lo que productos no triviales tienen divisores de cero.


La Sustracción

En cualquier anillo, siempre, tendremos asociada con la adición, la operación de sustracción, definida como es usual.

Definición. (Sustracción) Sea   un anillo, llamamos substracción o resta a la operación definida por

 


Las Propiedades Básicas

La siguiente proposición resume las propiedades básicas de las operaciones en un anillo. El lector reconocerá las propiedades básicas de las operaciones algebraicas estudiadas en los primeros cursos de Álgebra.

Proposición 2. Sea   un anillo. Sean  ,   y   elementos de   Entonces,

  1. (Propiedad del cero) Si   entonces  
  2. (Propiedad de los opuestos aditivos)
    1. Si   entonces  
    2.  
    3.  
  3. (Leyes de Signos)
    1.  
    2.  
    3.  
  4. (Propiedad de la resta)  

    Demostración: Probaremos algunas de las propiedades y dejaremos el resto para verificación por parte del lector. Observemos que las partes a) y b) siguen de que   es un grupo abeliano.
    Perte c)(i) Como   se tiene que   Esto implica que   Restando   de ambos lados de la última igualdad se tiene el resultado, o invocando la parte a) de esta proposición.
    Parte c)(ii) Observemos que   Es decir que   es un elemento que sumado a   produce 0. Por b.(ii), se concluye que se trata del opuesto aditivo de   Es decir que  
    Parte c)(iii) Usando la parte (ii) se tiene   El resultado sigue de b.(ii).


Elementos destacados

Ejemplo.

Consideremos el anillo de los Enteros módulo 8. Observemos que

 

Es decir que hay elementos no nulos cuyo producto es  , el neutro aditivo del anillo. Además, tenemos que  , pero  , es decir que no podemos cancelar a   en ambos lados de la igualdad anterior.

Por otra parte, tenemos que   y que  , es decir que los elementos  ,   y   son invertibles en  ,


Los elementos del ejemplo anterior representan dos clases importantes de elementos de un anillo: los divisores de cero y las unidades. Nociones que definiremos a continuación.

Definición. (Divisor de Cero, Unidad) Sea   un anillo cualquiera (no necesariamente conmutativo) con identidad  

  • Decimos que un elemento   de un anillo   es un divisor de cero, ssi, hay un elemento   no nulo en  , tal que   o  
  • Decimos que un elemento   de un anillo   es una unidad, ssi, hay un elemento   tal que   Simbolizaremos por   o   al conjunto formado por todas las unidades del anillo  
  • Decimos que un elemento   de un anillo conmutativo   es cancelable, ssi, para todo  ,   del anillo se cumple que
     


Los anillos   contienen divisores de cero cuando   es un número entero compuesto. El anillo de matrices  , que no es un anillo conmutativo, siempre contiene divisores de cero, como vimos en un ejemplo anterior.

Las Unidades

Observemos que las unidades de un anillo son precisamente los elementos invertibles del anillo. En particular, la identidad 1 es un unidad. Otro elemento que siempre es una unidad es  , ya que   Hay anillos, por ejemplo los Enteros, donde las únicas unidades son 1 y   Otros anillos, tienen elementos adicionales que son unidades. Se verifica que en los Enteros de Gauss   y   son unidades, ya que   Finalmente, en anillos como los cuerpos, todos los elementos no nulos son unidades. Un anillo no conmutativo puede contener unidades; por ejemplo, las matrices invertibles en el anillo de matrices  


Con la noción de divisores de cero, se tiene que un anillo conmutativo con identidad es un dominio de integridad, ssi, no contiene divisores de cero, o sea, ssi,   Veremos, a continuación, que un dominio de integridad se puede también caracterizar porque todos sus elementos no nulos son cancelables.

Proposición 3. Sea   un anillo conmutativo con identidad. Entonces, los elementos no nulos de   son cancelables, ssi,   es un dominio de integridad.

    Demostración: ( ) Sean  ,   elementos de   tales que   Supongamos que  , como  , se tiene que  . Por la cancelación, concluimos que   Es decir,   es un dominio de integridad.
    ( ) Supongamos que   fuera un dominio de integridad. Sean  ,   y   elementos tales que   Entonces,
     
    Lo que muestra que   es cancelable.

Corolario. Los cuerpos son dominios de integridad.

    Demostración: Sean  ,   elementos del cuerpo tales que   Entonces,
     



Corolario En un cuerpo, todos los elementos no nulos son cancelables.


El mundo finito tiene algunas simplificaciones interesantes.

Proposición 4. Un dominio de integridad finito   es un cuerpo.

    Demostración: Sea   un elemento no nulo de   Probaremos que   es invertible. Como   es cancelable, tenemos que   para todo  ,   en   Luego, la función   de   en si mismo es inyectiva. Como la cantidad de elementos de la imagen es igual a aquella del conjunto  ,   tenemos que es   es suprayectiva. Por lo que hay un   tal que  , o sea tal que  , es decir que   es invertible.


Corolario 4.1. Sea   tal que   es primo. Entonces   es un cuerpo.

    Demostración: Sean  ,   y   enteros tales que   no es divisible por  . Supongamos que  . Se tiene que
     

    Como  , tenemos que  , lo que implica que   Sigue de la proposición 3,   es un dominio de integridad; por lo que al ser finito, es un cuerpo.


Otro resultado muy interesante, debido a Joseph Wedderburn (1882--1948), que sólo mencionaremos aquí, establece que un anillo con división finito es un cuerpo, o sea que necesariamente se tiene que la multiplicación es conmutativa.

Ejercicios

  1. Probar cada una de las siguientes identidades en un anillo cualquiera.
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  
  2. Probar cada una de las siguientes identidades en un anillo conmutativo.
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  

    ¿Es necesario suponer la conmutatividad?

  3. Completar las demostraciones del texto.
  4. Verificar que:
    1.  , los múltiplos enteros de 3, determinan un anillo sin divisores de cero, pero que no es un dominio de integridad porque no contiene la identidad.
    2.  , los enteros modulo 4, determinan un anillo conmutativo con identidad que no es un dominio de integridad porque tiene divisores de cero
    3. El subconjunto   de   es cerrado respecto a resta y productos, pero no es unsubanillo, porque no contiene al  .
  5. Probar que en un anillo conmutativo, un elemento es cancelable, ssi, no es un divisor de cero.
  6. Hallar todos los divisores de cero y las unidades de  ,   y  
  7. Verificar cuidadosamente cada una de las propiedades de anillo para  
  8. Verificar que cuando   es un número entero compuesto, entonces   contiene divisores de cero.
  9. Probar que,   es una unidad de  , ssi, el máximo común divisor de   y   es 1.
  10. Verificar que cuando   es un número primo, se cumple que   es un dominio de integridad. Luego, por una proposición del texto es un cuerpo.
  11. Probar que un subanillo de un cuerpo es siempre un dominio de integridad.
  12. (Unidades en un Anillo). Sea   un anillo (no necesariamente conmutativo) con identidad. Sea   el subconjunto de   formado por las unidades de   Probar las siguientes afirmaciones.
    1.   es cerrado respecto a la multiplicación.
    2.   es cerrado respecto a tomar inversos.
    3.   es cerrado respecto a tomar opuestos aditivos.
    4. Si   es una unidad, entonces para todo   en  ,   es una unidad.

    Las dos primeras propiedades muestran que   es un subgrupo del semigrupo multiplicativo del anillo  

  13. Sea   un anillo con identidad. Probar que la relación  , ssi, hay una unidad   tal que  , es una relación de equivalencia en  
  14. Probar las afirmaciones siguientes. ( )
    1. La norma   es una función cuyos valores son todos positivos o cero que satisfacen la siguiente relación de función multiplicativa:
       
    2. Si   es una unidad de   entonces  
  15. Usando propiedades de los Complejos probar que las unidades de   son exactamente  ,  ,   y   (Sugerencia. Suponer que   es una unidad, hallar su recíproco, e investigar condiciones sobre   y   para que el recíproco esté en   Otra alternativa, usar que la norma de una unidad es  .)
  16. Sea   un entero positivo que no es un cuadrado perfecto y sea  Para   definir una norma  
    1. Probar que   es un subanillo de los Reales que es un dominio de integridad, pero que no es un cuerpo.
    2. Probar que la norma es multiplicativa,  
    3. Probar que las unidades tienen norma igual a 1 o  
  17. Sea  
    1. Probar que   es un subanillo de   (Ver ejercicio anterior.)
    2. Probar que   y   son unidades de  
    3. Probar que   es una unidad de  
    4. Hallar todas las unidades de  , ¿Cuántas unidades hay?
  18. Todos los subgrupos de   son subanillos de   Hallar un subgrupo de   que no sea un subanillo de  
  19. (Múltiplos enteros de un elemento) Sea   un elemento de una anillo   Para todo entero  ,   denota a un múltiplo entero de   Probar que para todo par de números enteros   y   y para todo par  ,   de elementos de un anillo se cumple lo siguiente.
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  
    5.  

    (Sugerencia: múltiplo es potencia, pero en notación aditiva.) (Colocamos   en este ejercicio para distinguir "múltiplo" de producto en el anillo.)

  20. Sea   un anillo y   un elemento del anillo. Probar que el conjunto de todos los múltiplos enteros de  ,   es un subgrupo del grupo aditivo del anillo  , pero que, en general, no es cerrado respecto a la multiplicación. ¿Cuándo podremos estar seguros de que ese conjunto será cerrado respecto a la multiplicación?
  21. (Teorema del Binomio) Sea   un anillo cualquiera con identidad. Sean   y   elementos que conmutan entre si, o sea que  . Probar que
     

    donde   (coeficiente binomial).

  22. (Anillo de Funciones) Verificar que   con la suma y multiplicación punto a punto tiene una estructura de anillo. Ver ejemplo del texto.
  23. Sea   y sea   un anillo. Sean   tales que   y   Probar que   y   no son la función nula (que es aquella que envía todos los elementos de   en 0), pero su producto sí lo es. Es decir que el anillo   es un anillo con divisores de cero.
  24. Clasificar cada una de las afirmaciones siguientes como ciertas o falsas. Explicar la respuesta.
    1. Un subanillo de un anillo conmutativo es conmutativo.
    2. Un subanillo de un dominio de integridad es un dominio de integridad.
    3. Un subanillo con identidad de un dominio de integridad es un dominio de integridad.
    4. En un dominio de integridad, cualquier elemento no nulo tiene inverso multiplicativo.
    5. Un anillo que contiene a otro anillo conmutativo es conmutativo.


  25. Sea   el conjunto de matrices   con coeficientes reales con la suma y multiplicación usuales. Verificar que   con las operaciones usuales posee la estructura de un anillo con identidad que no es conmutativo y que tiene divisores de cero.
  26. Sea   el subconjunto formado por todas las matrices de la forma
     

    Probar que   con las operaciones usuales es un cuerpo.

  27. Sea   el conjunto de todas las matrices   con entradas que son números enteros.   es un anillo con identidad, no conmutativo y con divisores de cero y que es un subanillo con identidad de  
  28. Completar el ejemplo de los Cuaterniones, probando que efectivamente se trata de un anillo con división,
  29. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son subanillos del anillo de matrices  ?
    1. Las matrices de la forma  
    2. Las matrices de la forma  
    3. Las matrices de la forma  
  30. Considerar el anillo de matrices  .
    1. Hallar la cantidad de elementos del anillo.
    2. Hallar las unidades del anillo.
  31. ¿Cierto o falso?
    1. Cada cuerpo es también un anillo.
    2. Cada anillo tiene una identidad.
    3. Cada anillo con identidad tiene al menos dos unidades.
    4. Cada anillo con identidad tiene a lo más dos unidades.
    5. Un subconjunto de un cuerpo puede ser un subanillo, sin que tenga que ser un subcuerpo.
    6. La multiplicación de un dominio tiene que ser conmutativa.
    7. Cuando   no es primo,   tiene divisores de 0.
    8. Cada cuerpo es un dominio entero.
    9.   es isomórfico a   como anillos.
    10. El producto directo de dos dominios es un dominio/
    11. Si   es primo,   es un subdominio de  .

Los Homomorfismos de Anillos

Definición. (Homomorfismo de Anillos) Sean   y   anillos. Una función   es un homomorfismo de anillos, si, para todo  ,   en   se cumple que

 

Un homomorfismo de anillos con identidad debe, además, preservar la identidad, es decir que  

Los homomorfismos de dominios, anillos con división y cuerpos son homomorfismos de anillos con identidad.

Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo.


Observemos que sigue, directamente, de la definición de homomorfismo de anillos, que un homomorfismo de anillos es un homomorfismo tanto de los grupos aditivos como de los semigrupos multiplicativos de los anillos.

Las terminologías de monomorfismo, supramorfismo, endomorfismo y automorfismos tienen igual significado que para los grupos.


Ejemplo.

Sean  ,   anillos cualesquiera, sea   tal que para todo   en  ,   Entonces,   es trivialmente un homomorfismo de anillos. Aunque ambos anillos tengan identidad, el anterior homomorfismo no es un homomorfismo de anillos con identidad.


Ejemplo.

Sea  ---el anillo de los Enteros---y  , los enteros módulo   Sea   tal que  , donde   es la clase de congruencia de   módulo  , o sea   Como se cumple que

 

tenemos que   es un homomorfismo suprayectivo (de anillos), que diremos que se trata del supramorfismo canónico.

Notemos que aunque   es un dominio de integridad, cuando   es un número compuesto, su imagen homomórfica,  , no lo es.


Ejemplo.

Sea   la asignación a cada número complejo   de su conjugado   Sigue de las propiedades de los conjugados que esa función es un homomorfismo. Como es un homomorfismo biyectivo se trata de un automorfismo del cuerpo  


Ejemplo.

Sea   tal que   Se puede verificar que   es un homomorfismo inyectivo de anillos con identidad. La verificación queda de ejercicio. ¿Cuál es la imagen de  ? Dicha imagen es un subcuerpo de  


Ejemplo.

Sea   un anillo y   un subanillo de   Sea   tal que   Claramente,   es un homomorfismo inyectivo de anillos, que llamamos el monomorfismo inducido por la inclusión.


Proposición 5. (Propiedades de los Homomorfismos)
Sea   un homomorfismo de anillos. Entonces,

  1.   y  
  2. Si   tiene identidad y hay al menos un   tal que  , entonces  .
  3. Si   es un homomorfismo de anillos con identidad, entonces si   es invertible en  , su imagen es invertible en   y se cumple que  .

    Demostración: Todo sigue de propiedades anteriores de homomorfismos de grupos, semigrupos o monoides. El lector o lectora puede tratar de probarlos directamente de las definiciones de anillo.


La siguiente proposición es la extensión natural de la proposición acerca de subgrupos y homomorfismos a subanillos y homomorfismos de anillos.

Proposición 6. (Subanillos y Homomorfismos)
Sea   un homomorfismo de anillos.

  1. Para todo subanillo   de  ,   (la imagen directa por   de   es un subanillo de  
  2. Para todo subanillo   de  ,   (la imagen inversa por   de   es un subanillo de  
    Demostración:
  1. Sea  , entonces  . Sean   y   elementos de   Por la definición de  , hay elementos  ,   tales que   y   Luego,
     

    Tenemos, también, que

     

    Luego,  

  2. Sea   un subanillo de   y sea   Si  ,   están en   se tiene que
     
    Por el criterio de subgrupos, tenemos que  


Al igual que el caso de los homomorfismos de grupos,   denota el núcleo del homomorfismos, o sea la imagen inversa de {0'}.

Ejercicios

  1. Probar que   y   son isomorfos como grupos aditivos, pero no lo son como anillos.
  2. Probar que   y   no son isomorfos como cuerpos.
  3. Probar que la composición de homomorfismos de anillos es un homomorfismo de anillos.
  4. Hallar todos los homomorfismos de anillos entre los anillos indicados a continuación.
    1. De los Enteros en si mismo.
    2. De   en  .
    3. De   en  .
  5. Sea   un homomorfismo suprayectivo de anillos cualquiera. Probar o dar un contraejemplo de cada una de las siguientes afirmaciones.
    1. Si   es conmutativo entonces   es conmutativo.
    2. Si   es conmutativo entonces   es conmutativo.
    3. Si   tiene identidad entonces   tiene identidad.
    4. Si   tiene identidad entonces   tiene identidad.
    5. Si   es una unidad entonces   es una unidad.
    6. Si   es una unidad entonces   es una unidad.
    7. Si   es un divisor de cero entonces   es un divisor de  .
    8. Si   es un divisor de cero entonces   es un divisor de cero.
    9. Si   es un dominio de integridad entonces   es un dominio de integridad.
    10. Si   es un dominio de integridad entonces   es un dominio de integridad.
  6. Hallar las tablas de suma y producto del anillo  . ¿Es isomorfo al anillo  ? Explicar su respuesta.
  7. Sea   un homomorfismo de anillos con identidad. Probar que las imágenes de unidades de   son unidades en  .
  8. Sea   el conjunto de matrices de la forma   con   y   enteros. Sea  . Probar que   y   son anillos isomorfos usando la función: 

La Característica de un Anillo

Ejemplo.

Sea   entonces para cada elemento   de   se cumple que  . Es decir que hay un entero positivo   (= 6) tal que el múltiplo  .

Sea   un anillo cualquiera con identidad y supongamos que hay un entero positivo tal que  . Entonces, para todo   de   se cumple que

 

Observemos, que en el anillo de los enteros, para todo   positivo se cumple que  .


El entero   del ejemplo anterior es lo suficientemente importante como para merecer un nombre especial.

Definición. (Característica de un Anillo) Sea   un anillo no trivial con identidad   Llamaremos característica de   al menor entero positivo   tal que   Cuando tal   no exista, diremos que la característica es 0. Notación:  


Ejemplo.

Cualquier anillo o cuerpo que contiene a los Enteros tiene característica 0. Por ejemplo, los Racionales, los Reales y los Complejos. Por su parte, el anillo   tienen característica  .


Sea   un anillo con identidad  . Definamos una función   tal que  . Sigue de las propiedades de los múltiplos que

 

Luego,   es un homomorfismo de anillos; por lo que la imagen   es un subanillo de  .

Como   es un homomorfismo de anillos es, también, un homomorfismo de los grupos aditivos subyacentes. Luego, el núcleo   de   es un subgrupo aditivo de  . Como todos esos subgrupos son cíclicos, tenemos que   para algún  . Analizaremos, a continuación, las diferentes situaciones que se producen dependiendo del valor de  .

  • (Caso 1)   Es decir que el único múltiplo entero de   que es igual al neutro aditivo del anillo es   Por lo que  , luego   es inyectivo y su imagen es isomorfa a  
  • (Caso 2)   Es decir,  , lo que nos dice que para todo entero     Luego,   y su imagen es el anillo trivial   \\
  • (Caso 3)  , entonces   es el menor entero positivo tal que   \noindent\emph{(Caso 3)}  , entonces   es el menor entero positivo tal que   Se cumple que   y que su imagen es isomorfa a   como grupos. Sea   la función biyectiva de   sobre   produciendo el isomorfismo de grupos. Es decir la correspondencia  . Entonces,
     

    Lo que prueba que   es isomorfo como anillo a  .

    Definición. (Anillo Primo) Llamamos anillo primo de un anillo con identidad   al menor subanillo contenido en  .

    Llamamos cuerpo primo de un anillo con identidad   al menos subcuerpo contenido en  .


    La siguiente proposición resume la discusión anterior, respecto a los cuerpos.

    Proposición 7. Sea   un cuerpo cualquiera. Cuando   tiene característica 0, su cuerpo primo son los Racionales,   Cuando la característica es positiva, se trata de un número primo  , en cuyo caso el cuerpo primo es   .

    Convenio notacional. Denotaremos a un cuerpo finito con   elementos por   Si   es primo,  


    Teorema del Binomio en característica prima

    Sea   un anillo conmutativo de característica  , donde   es un número primo. Entonces, para todo   de  ,   Consideremos ahora a   Sabemos, por el teorema del binomio que

      (*


    donde  

    Para simplificar la expresión anterior, necesitaremos el siguiente resultado.

    Proposición 8. Sea   un número primo. Entonces, para todo   tal que   se cumple que
     

      Demostración: Observemos que si  , entonces   Luego, en la fracción que define a  , todos los factores en el denominador son numeros enteros positivos menores que  , por lo que no dividen a  , luego,   es un factor del número entero   cuando  

    Volvamos ahora a la evaluación de   en un anillo conmutativo de característica  , con   primo. Sigue de la proposición anterior que los términos en la sumatoria de (*) donde   tienen un factor  , por lo que son nulos en   Es decir que tenemos la siguiente proposición.

    Proposición 9. Sea   un anillo conmutativo de característica  ,   primo. Entonces, para todo  ,   en   se cumple que

     

    Ejercicios

    1. Hallar la característica de cada uno de los siguientes anillos.  .
    2. Probar que el cuerpo primo de un cuerpo de característica cero es el cuerpo de los Racionales.
    3. Probar que el cuerpo primo de un cuerpo de característica   es el cuerpo de   donde   es primo.
    4. La característica de un dominio es 0 o un número primo.
    5. Sea   un cuerpo finito de característica  , por ejemplo  . Probar que la función   es un automorfismo de  . Cuando  , dicha función es la identidad (ver teorema "pequeño" de Fermat).
    6. Sea   un homomorfismo suprayectivo de anillos cualquiera. Probar o dar un contraejemplo de cada una de las siguientes afirmaciones.
      1. Si la característica de   es cero entonces, la característica de   es cero.
      2. Si la característica de   es cero entonces, la característica de   es cero.
    7. Sea   un homomorfismo de anillo con identidad. ¿Qué relación, si alguna, hay entre la característica de   con la característica de  .

    Ejercicios del Capítulo

    1. Probar las siguientes identidades.
      1.  .
      2.  .
    2. Sean   elementos de un dominio de integridad. Probar que, si  , entonces al menos uno de los  's es nulo.
    3. Sea   un subanillo de un anillo   y sea   un elemento cualquiera de  . Probar lo siguiente.
      1. Cualquier múltiplo entero de   es un elemento de  .
      2. Cualquier potencia entera positiva de   es un elemento de  ,
    4. Cada subanillo   con identidad de los números complejos contiene a los números enteros.
    5. Sea  . Probar que   es un subanillo con identidad de   contenido en cualquier subanillo con identidad de   que contenga a  .
    6. Sea  . Probar que
      1.   es el subcuerpo de los Complejos más pequeño que contiene a  .
      2. Cada elemento de   es igual a un elemento de   (ver ejercicio anterior) multiplicado por el recíproco de un entero.
      3. La ecuación   no tiene solución en  .
    7. Sea   un entero que no es un cuadrado perfecto y sea  . Probar que   es el subcuerpo de   más pequeño (respecto a la inclusión) que contiene a  . Observar que si  , se trata de un subcuerpo de  .
    8. Sea  . Probar que   no es un subanillo de  . ¿Cuál sería el menor subanillo con identidad de   que contuviera a   y estuviera contenido en cualquier subanillo con identidad de   que contenga a  ?
    9. (Enteros de Einsenstein) Sea   el número complejo definido por  .
      1. Probar que   y que  .
      2. Sea  . Probar que   es el menor subcuerpo de los complejos que contiene a  .
      3. Probar que la ecuación   tiene solución en  .
    10. (*) Los ejercicios anteriores muestran que hay varios cuerpos   tales que  .
      1. ¿Habrá un cuerpo   tal que  ?
      2. ¿Habrá un cuerpo   tal que  ?
    11. Sea   un anillo conmutativo con identidad y   un subconjunto de  . Sea   el subconjunto de   formado por todos las expresiones que son sumas de expresiones de la forma
       

      Probar que   es un subanillo con unidad de   que, además, está contenido en cualquier subanillo con identidad que contenga a  .

    12. Probar que los divisores de cero de   son los elementos   tales que  .
    13. Probar que cuando la característica de un dominio de integridad es positiva, es un número primo.
    14. Probar que las relaciones "ser subanillo de", "ser subdominio de" y "ser subcuerpo de" son relaciones transitivas.
    15. Sea   el anillo de las sucesiones reales, o sea de las funciones de   en  . Sea   el conjunto formado por las sucesiones que tienen una cantidad finita de términos no nulos.
      1. Sea   en  . Probar que hay un   tal que   implica que  .
      2. ¿Es   un subanillo de  ?
    16. Probar que la intersección de una familia de subanillos de un anillo   es un subanillo de  .
    17. Sea   un anillo y   un elemento del anillo. Sea  . Probar que   es un subanillo de  .
    18. Sea   un anillo con identidad. Sea   el conjunto de múltiplos enteros de 1.
      1. Probar que   es un subanillo de  .
      2. Probar que si   es un dominio, entonces   es un subdominio de   contenido en cualquier otro subdominio.
    19. (Elementos Nilpotentes) Sea   un anillo. Un elemento   de   es nilpotente, ssi, hay un natural   tal que  .
      1. Probar que un elemento nilpotente es un divisor de cero.
      2. Probar que una unidad no puede ser nilpotente.
      3. Hallar los elementos nulos no nilpotentes de  ,   y  .
      4. Sean  ,   elementos que son nilpotentes y que conmutan entre si. Probar que   y   son nilpotentes.
      5. Probar que   es nilpotente.
    20. (Elementos Idempotentes) Un elemento   es un anillo es idempotente, ssi,  .
      1. El elemento nulo y la identidad (cuando existe) son siempre nilpotentes).
      2. En un dominio de integridad, los únicos elementos nilpotentes son el elemento nulo y la identidad.
      3. Sean   y   idempotentes tales que  . Entonces,  .
    21. Probar que el conjunto de elementos idempotentes de un anillo conmutativo con identidad es cerrado respecto a la multiplicación.
    22. Hallar los idempotentes de  .
    23. Probar que la intersección de subdominios de un dominio