Álgebra Abstracta/Homomorfismos

Introducción

Hemos visto en el capítulo anterior tres grupos de orden 4: C_4,a, el grupo de Klein y el grupo de las raíces cuartas de la unidad, U₄ = U₄($\mathbb {C}$). ¿Son esos grupos distintos? La respuesta sería aparentemente afirmativa, si nos fijáramos solamente en sus elementos. Sin embargo, en Álgebra Abstracta estamos más interesados en las propiedades de las operaciones que de la manera como simbolizamos a los elementos. Observemos que tanto C_4,a como U₄ son grupos cíclicos con generadores a e i respectivamente y que tenemos el siguiente pareo.

${\begin{array}{lcl}C_{4}&&U_{4}\\\hline a&\leftrightarrow &i\\a^{2}&\leftrightarrow &i^{2}=-1\\a^{3}&\leftrightarrow &i^{3}=-i\\a^{4}=e&\leftrightarrow &i^{4}=1\end{array}}$

El pareo hace que el algebra de ambos grupos luzca bastante similar. La manera de comparar dos grupos será la noción de homomorfismo, la cual formalizará la noción de semejanza de dos grupos.

En este capítulo, veremos como usar funciones especiales (isomorfismos) entre grupos para realizar comparaciones que nos permitan detectar o verificar isomorfías (iguales formascomo las indicadas arriba. De forma más general, estudiaremos homomorfismos que serán funciones que preservan los parámetros de la estructura de grupo.

Definiciones

Definición. (Homomorfismo de Grupos) Sean $<G,*,e,x>\mapsto x^{-1}>$ y $<G',*',e',x\mapsto x'>$ grupos.
Un homomorfismo del grupo G en el grupo G' es una función $f:G\rightarrow G'$ tal que

1. $f$ permuta con las operaciones: $f(x*y)=f(x)*'f(y).$
2. $f$ envía neutro en neutro: $f(e)=e'$
3. $f$ envía inversos en inversos: $f(x^{-1})=f(x)^{-1}.$

Tipos de Homomorfismos
Un homomorfismo $f:G\rightarrow G'$ es un:

• monomorfismo, cuando $f$ es inyectiva.
• supramorfismo, cuando $f$ es suprayectiva.
• isomorfismo, uando $f$ es biyectiva.
• endomorfismo, cuando es un homomorfismo de $G$ en sí mismo.
• automorfismo, cuando es un isomorfismo de $G$ en sí mismo.

Cuando haya un isomorfismo de un grupo G en un grupo G', decimos que los grupos son isomorfos y escribimos $G\cong G'$.

Decimos que un grupo H es una imagen homomórfica de un grupo G, cuando haya un supramorfismo de G en H.

Ejemplo Clásico de Homomorfismo.

El prototipo de homomorfismo (de hecho es un isomorfismo) es el logaritmo que transporta la estructura multiplicativa de los Reales positivos en la estructura aditiva de los Reales. $\ln :<\mathbb {R} ^{+},\cdot >\rightarrow <\mathbb {R} ,+>$ ya que

1. $\ln(x\cdot y)=\ln(x)+\ln(y)$,
2. $\ln(1)=0$, y
3. $\ln(1/x)=-\ln(x)$.

Además, se trata de un isomorfismo, ya que el logaritmo es una

función biyectiva, ya que tiene a la función exponencial como inversa.

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Ejemplo. (Homomorfismo trivial).

Sean G y H grupos cualesquiera. La función que asigna a cada x de G el elemento neutro de H es un homomorfismo que llamaremos el homomorfismo trivial

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Ejemplo. (Los grupos U₄ y C₄ son isomorfos).

Sea f la función que envía $a^{k}$ en $i^{k}$. Como todos los elementos de ambos grupos son potencias de sus generadores

tenemos que

${\begin{array}{ll}(i)&f(a^{m}a^{n})=f(a^{m+n})=i^{m+n}=i^{m}i^{n}=f(a^{m})f(a^{n}).\\(ii)&f(e)=f(a^{4})=i^{4}=1.\\(iii)&f(a^{-1})=i^{-1}=f(a)^{-1}\end{array}}$

Claramente, f es biyectiva, por lo que los grupos son

isomorfos.

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Endomorfismo aditivo de $\mathbb {Z}$.

Sea $f:<\mathbb {Z} ,+>\rightarrow <\mathbb {Z} ,_{>}$ tal que $f(x)=5x.$ Es fácil ver que se trata de un endomorfismo de grupos, ya que ${\begin{array}{ll}(i)&f(x+y)=5(x+y)=5x+5y=f(x)=f(y)\\(ii)&f(0)=0;{\text{ y}}\\(iii)&f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x).\end{array}}$

Luego, tenemos un endomorfismo (porque va de un grupo en sí mismo) que es inyectivo, pero no suprayectivo.

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Propiedades de los Homomorfismos

La definición dada de homomorfismo arriba, es la definición general de homomorfismo de estructuras. En el caso de los homomorfismos de grupos, tenemos que la primera condición implica a las otras dos.

Proposición 1. (Caracterización de Homomorfismos de Grupoa). Sean $G$ y $G'$ grupos. Una función

$f:G\rightarrow G'$ es un homomorfismo, ssi, para todo x, y de G se cumple que $f(x*y)=f(x)*'f(y).$

Demostración: La condición es claramente necesaria. Veamos que es suficiente. Observemos que $f(e)=f(e*e)=f(e)*'f(e)$, lo que implica que $f(e)=e'.$ Por su parte $e'=f(e)=f(x*x^{-1})=f(x)*'f(x^{-1})$; de donde $f(x^{-1})=f(x)^{-1}.$ :Lo que prueba la proposición.

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Ejemplo.

La función $\nu :\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} _{m}$ que asocia a cada entero $z$ su clase de congruencia módulo m es un supramorfismo, ya que es suprayectiva y

$\nu (x+y)=[x+y]=[x]+[y]=\nu (x)+\nu (y)$

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Ejemplo (Determinante de Matrices).

La función determinante (de matrices) tiene la siguiente propiedad

$\det(AB)=\det(A)\det(B).$

Por lo que define un homomorfismo del grupo de matrices invertibles GL₂$(\mathbb {R} )$ en el grupo multiplicativo de los Reales. Por la proposición, tenemos que el determinante de la matriz identidad es 1 y el determinante de la inversa de una matriz es el recíproco del determinante de la matriz.

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Ejemplo (Grupo Producto).

Sean G, H, K grupos tales que $G=H\times K$. Sea $pr_{H}:G\longrightarrow H$ tal que $pr_{H}(h,k)=h$ (proyección en la primera coordenada). $pr_{H}$ es un supramorfismo, ya que

$pr_{H}((h_{1},k_{1})(h_{2}k_{2}))=pr_{H}(h_{1}h_{2},k_{1}k_{2})=h_{1}h_{2}=pr_{H}(h_{1},k_{1})pr_{H}(h_{2},k_{2}).$

Resultado análogo para la segunda proyección.

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Proposición 2. (Composición de Homomorfismos) La composición de dos homomorfismos es un homomorfismo.

Demostración: Sean $f:G_{1}\longrightarrow G_{2}$ y $g:G_{2}\longrightarrow G_{3}$ homomorfismos. Entonces. ${\begin{array}{rcl}(g\circ f)(xy)&=&g(f(xy))=g(f(x)f(y))=g(f(x))g(f(y))\\&=&(g\circ f)(x)(g\circ f)(y).\end{array}}$

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Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos y sea x un elemento de $g$. Probaremos que para todo $n$ natural, $f(x^{n})=f(x)^{n}$. Si $n=0$, $f(x^{n})=f(x^{0})=f(e)=e'=f(x)^{0}$. Suponiendo el resultado para valores menores de n, tenemos $f(x^{n})=f(x^{n-1}x)=f(x^{n-1})f(x)=(f(x))^{n-1}f(x)=f(x)^{n}.$

Proposición 3. (Homomorfismos y Potencias) Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos y sea x un elemento de G. Entonces, para todo entero n se cumple que $f(x^{n})=f(x)^{n}.$

Demostración: La discusión previa al enunciado prueba el resultado para valores no negativos de n. Sea n > 0, entonces

$f(x^{-n})=f((x^{-1})^{n})=f(x^{-1})^{n}=(f(x)^{-1})^{n}=f(x)^{-n},$

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Corolario 3.1. Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos y sea x un elemento de G. Entonces, el orden de f(x) divide al orden de x.

Demostración: Sea n=o(x). Entonces, xⁿ = e , lo que implica que $f(x)^{n})=f(x^{n})=f(e)=e'$. Por lo que n es un múltiplo de o(f(x)).

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Ejercicios

1. ¿Cuáles de las funciones siguientes son homomorfismos de grupos? $\mathbb {R}$ es el grupo aditivo de los Reales y $\mathbb {R} ^{*}$ el grupo multiplicativo de los Reales no nulos.
   1. $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ::t\mapsto 3t$.
   2. $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ::t\mapsto 3t+2$.
   3. $f:\mathbb {R} ^{*}\longrightarrow \mathbb {R} ^{*}::t\mapsto 3t$.
   4. $f:\mathbb {R} ^{*}\longrightarrow \mathbb {R} ^{*}::t\mapsto t^{2}$.
   5. $f:\mathbb {R} ^{*}\longrightarrow \mathbb {R} ^{*}::t\mapsto |t|$.
2. Sea $G=H\times K$. Sea $\iota _{H}:H\longrightarrow G$ tal que $\iota _{H}(h)=(h,e_{K})$. Probar que $\iota _{H}$ es un monomorfismo de grupos. Definir un $\iota _{K}$ y enunciar y probar un resultado análogo.

Isomorfismos de Grupos

Recordemos que un isomorfismo de grupos es un homomorfismo biyectivo y que $G\cong G'$ significa que los grupos son isomorfos, es decir que hay un isomorfismo de G en G'. Notemos que la relación de isomorfismo entre grupos es reflexiva, simétrica y transitiva.

• Si $f:G\longrightarrow H$ un isomorfismo y $g:H\longrightarrow G$ es la inversa de f como función tenemos que
  para todo x' = f(x), y' = f(y) que g(x'y') = g(f(x)f(y)) = g(f(xy))= xy = g(x') g(y'). Es decir que la función inversa de un isomorfismo es también un isomorfismo.
• Si tenemos isomorfismos $f:G\longrightarrow H$ y $g:H\longrightarrow K$, entonces su composición es un homomorfismo biyectivo, por lo que es un isomorfismo.

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Al pasar, hemos probado la siguiente proposición.

Proposición 4. (Propiedades de Isomorfismos)

1. La función inversa de un isomorfismo es un isomorfismo.
2. La composición de isomorfismos es un isomorfismo.

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Observaciones. El logaritmo fue el primer ejemplo conocido de un isomorfismo de grupos. Permite transportar problemas de una estructura en la otra. Multiplicar es más difícil que sumar, por lo que para multiplicar dos números, sumamos sus logaritmos y, luego, usando, la inversa (que es la exponencial) obtenemos el resultado de la multiplicación.

Esto podrá parecer muy complicado al lector acostumbrado a las calculadoras electrónicas, pero cuando estas no existían, los cómputos de productos se realizaban obteniendo valores de logaritmos y de antilogaritmos (la función inversa) desde libros con tablas de valores de dichas funciones.

La Clasificación de Grupos El objetivo central de la teoría de grupos es la clasificación de los mismos. Esto es determinar todos los posibles tipos de grupos no isomorfos entre si.

Desde el punto de vista de la teoría de grupos, dos grupos isomorfos son esencialmente el mismo grupo, la única diferencia reside en el nombre usado para los elementos del grupo, como lo discutido al inicio del capítulo. Por lo que, a veces, diremos que grupos con una cierta propiedad son únicos, significando que cualquier par de grupos con la propiedad son isomorfos. Esto significa que para probar que dos grupos no son isomorfos basta con verificar que hay una propiedad de uno de ellos que no tiene el otro.

Por ejemplo, grupos con un solo elemento son todos isomorfos entre si, por lo que decimos que hay un único grupo con un elemento.

Clasificación de los grupos de orden 2.

Hay un único grupo de orden 2, excepto por isomorfismos.

Vimos este resultado, anteriormente, analizando las posibilidades para el producto del elemento diferente del neutro. Aquí, veremos el mismo resultado pero usando isomorfismos. Sean G={e,a} y H = {e',a'} donde los elementos neutros son e y e' respectivamente. Sea g la función de G en H tal que g(e)=e' y g(a) = a'. Entonces,

${\begin{array}{l}g(e*e)=g(e)=e'=ee'=g(e)g(e)\\g(e*a)=g(a)=e'g(a)=g(e)g(a)\\g(a*e)=g(a)=g(a)e'=g(a)g(e)\\g(a*a)=g(e)=e'=bb=g(a)g(a).\end{array}}$

Lo que prueba que g es un isomorfismo.

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Los isomorfismos preservan la estructura interna de un grupo. En particular, preservan ordenes de elementos. En efecto, sean $f:G\longrightarrow H$ un isomorfismo y x un elemento de G, entonces tenemos, por un corolario anterior, que $o(f(x)|o(x)$. como $x=f^{-1}(f(x))$ y $f^{-1}$ es un homomorfismo, tenemos que $o(x)|o(f(x))$. de donde, la igualdad. Aplicaremos esta observación más adelante.

Dos grupos de orden 4 que no son isomorfos.

Los grupos cíclicos de orden 4, C₄ y K (grupo de Klein), vistos a propósito de las tablas de grupo en el capítulo anterior, no son isomorfos. En efecto, en C₄ hay, por definición de grupo cíclico un elemento de orden 4, mientas que en el grupo de Klein todos los elementos diferentes del neutro tienen orden 2. Por lo tanto, los grupos no pueden ser isomorfos.

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Isomorfismo de Grupos Cíclicos

Nuestra próxima proposición formaliza algo que podíamos haber intuido.

Proposición 5. (Isomorfismo de Cíclicos) Dos grupos cíclicos de igual orden son isomorfos.

Demostración: Sean G=C__n,a y H = C__n,b. Definamos f:G en H por f(a^k) = b^k. Se tiene entonces que $f(a^{j}a^{k})=f(a^{j+k})=b^{j+k}=b^{j}b^{k}=f(a^{j})f(b^{k})=f(a^{j})f(a^{k}).$ Lo que prueba que

f es un homomorfismo. Además, claramente, f es suprayectiva. Supongamos que $f(a^{k})=f(a^{j})$. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que $j\leq k$, por lo que tenemos que $0 \le j \le k <n$. Se tiene que $f(a^{k})=f(a^{j})\implies b^{k}=b^{j}\implies b^{k-j}=e'$. Si $k\neq j$, $k-j$ sería un número positivo menor que $n$. Lo que es imposible, ya que porque por las hipótesis $n$ es el menor entero positivo con la propiedad de que $a^{n}=e'.$. Luego $k=j$, o sea que $f$ es inyectiva. Lo que concluye la

prueba.

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Isomorfismo de Grupos Simétricos

Recordemos que el grupo simétrico, ${\textsf {S}}_{X}$, es el grupo formado por todas las biyecciones del conjunto $X$ en sí mismo. Probaremos que cuando dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son isomorfos. por lo que el grupo simétrico dependerá solamente de la cardinalidad del conjunto, pero no necesariamente del conjunto específico.

Recordemos que dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos (o igual cardinal) cuando, y solo cuando, hay una biyección de un en el otro. Sean X, Y conjuntos con el mismo cardinal y sea $f:X\longrightarrow Y$ la función biyectiva que establece la igualdad de cardinales. Definamos $S_{f}:S_{X}\rightarrow S_{Y}$ tal que para todo $\sigma$ en $S_{X}$, asociamos la función $S_{f}(\sigma )=f\circ \sigma \circ f^{-1}$ de Y en sí mismo.

Como $S_{f}(\sigma )$ es una composición de biyecciones, se trata de una biyección de Y en Y, o sea de un elemento de $S_{Y}$. Veamos, ahora, que $S_{f}$ es un

homomorfismo.

$S_{f}(\sigma )S_{f}(\tau )=f\sigma f^{-1}\circ f\tau )f^{-1}=f(\sigma \tau )f^{-1}=S_{f}(\sigma \tau ).$

Claramente, la asignación para cada $\eta$ de $S_{Y}$ de $f^{-1}\eta f$ de $S_{X}$ es una función inversa de

$S_{f}$ por lo que $S_{f}$ es una biyección, lo que prueba que se trata de un isomorfismo de grupos.

Proposición 6. (Isomorfismo de Grupos Simétricos) Cuando $X$ y $Y$ son conjuntos con igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son congruentes. $S_{X}\cong S_{Y}$.

Corolario 6.1. El grupo simétrico de cualquier conjunto con $n$ elementos es isomorfo a $S_{n}$ el grupo simétrico de $I_{n}=\{1,2,\dots ,n\}$.

El Grupo de Automorfismos de un Grupo

Recordemos que un automorfismo de un grupo es un isomorfismo del grupo en sí mismo.

Sea G un grupo, por Aut(G) denotaremos al conjunto formado por todos los automorfismos del grupo. Como la composición de automorfismo es un automorfismo, lo mismo que la identidad y el inverso de un automorfismo, tenemos que Aut(G) con la composición de funciones forman un grupo, contenido en ${\textsf {S}}_{G}$.

Automorfismos de $C_{n}=c_{n,a}$.

Sea $f:C_{n}\longrightarrow C_{n}$ un automorfismo de grupos. Entonces como $a$ es un generador del grupo, su imagen <math<f(a)</math>debe ser un generador del grupo.

• (n=5) Es fácil ver por inspección, que los generadores de $C_{5}$ son $a^{i}$ para $i=1,2,3,4$. Luego, hay cuatro automorfismos, definidos tales que $f_{i}(a)=a^{i}$ para $i=1,2,3,4$. Observemos que $f_{1}(a)=a$ implica que $f_{1}(a^{j})=f_{1}(a)^{j}=a^{j}$, es decir que $f_{1}=id$, la función identidad, y, por lo tanto, el neutro del grupo de automorfismos. Por simple computación, obtenemos la siguiente tabla para ${\rm {{Aut}(C_{5}).}}$

  ${\begin{array}{c|cccc}&f_{1}&f_{2}&f_{3}&f_{4}\\\hline f_{1}&f_{1}&f_{2}&f_{3}&f_{4}\\f_{2}&f_{2}&f_{4}&f_{1}&f_{3}\\f_{3}&f_{3}&f_{1}&f_{4}&f_{2}\\f_{4}&f_{4}&f_{3}&f_{2}&f_{1}\end{array}}$

  
  Lo que prueba que ${\rm {{Aut}(C_{5})\cong C_{4}.}}$

• (n=6) En $C_{6}$ hay solo dos generadores, $a$ y <math?a^5</math>.. Por lo que hay solamente dos automorfismos: $id:a\mapsto a$ y $\sigma :a\mapsto a^{5}$. Por lo que ${\rm {{Aut}(C_{6})\cong C_{2}.}}$

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Ejercicios del Capítulo

1. Sea P el subconjunto de $\mathbb {Z}$ formado por todos los enteros pares. Probar que la función $x\mapsto 2x$ es un homomorfismo de grupos desde $\mathbb {Z}$ en P ¿Es un isomorfismo?
2. Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos. Probar las siguientes afirmaciones.
   1. Para todo a de G y n entero se cumple que $f(a)^{n}=f(a^{n})$.
   2. Para todo a, b en G, si a conmuta con b en G, lo mismo pasa con sus imágenes en H.
   3. Si a es conjugado con b en G, entonces f(a) es conjugado con f(b) en H.
   4. Si hay un a en G tal que aⁿ=e para algún n natural, hay un elemento de H con la misma propiedad.
3. Sea $H$ una imagen homomórfica de $G$. Probar las afirmaciones siguientes.
   1. Si G es abeliano, H también lo es.
   2. Si G es cíclico, H también lo es.
4. Sea $f:G\longrightarrow H$ un isomorfismo. Probar que para cada n natural, la cantidad de elementos que satisfacen la ecuación $x^{n}=e$ en G, es la misma que los elementos que satisfacen la ecuación en H.
5. Sea $f:G\longrightarrow H$ un isomorfismo. Probar que la inversa de $f$, $f^{-1}:H\longrightarrow G$ es un isomorfismo.
6. Probar las siguientes afirmaciones.
   1. La composición de monomorfismos es un monomorfismo.
   2. La composición de supramorfismos es un supramorfismo.
   3. La composición de isomorfismos es un isomorfismo.
7. ¿Pueden haber dos grupos finitos con diferente orden que sean isomorfos?
8. Sea $G=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\setminus \{(0,0)\}$ (pares ordenados de números racionales que no tienen ambas componentes nulas). Definamos, una nueva operación $\otimes$ en G por $(a,b)\otimes (c,d):=(ac-5bd,ad+bc).$ Sea f la función de G en el grupo multiplicativo de los complejos, $\mathbb {C} ^{*}$ tal que $f(a,b)=a+ib{\sqrt {5}}$, donde $i^{2}=-1$. Probar que G es un grupo abeliano y que f es un monomorfismo de grupos.
9. Sean $G=H\times K$ un producto de grupos . Sean $pr_{1}:G\longrightarrow H$ y $pr_{2}:G\longrightarrow K$ tales que pr₁(h,k) = h y pr₂(h,k) = k. Probar que las proyecciones pr₁ y pr₂ son supramorfismos.
10. Sean $f:K\longrightarrow G$ y $g:K\longrightarrow H$ homomorfismos de grupos. Sea $\varphi :K\longrightarrow G\times H$ tal que $\varphi (x)=(f(x),g(x))$. Probar que $\varphi$ es un homomorfismo de grupos.
11. Sean G, H y K grupos. Probar que
    1. $G\times H\cong H\times G$.
    2. $G\times (H\times K)\cong (G\times H)\times K$.
    3. $G\times \epsilon \cong G$, donde $\epsilon$ es el grupo trivial con un elemento.
12. Sea <G,*> un grupo. Probar que la operación (considerada como función) de $G\times G$ en G es un homomorfismo de grupos, ssi, G es abeliano.
13. Probar que $\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ es isomorfo al grupo de Klein (comparar las tablas de operaciones), por lo que no puede ser isomorfo a $\mathbb {Z} _{4}$.
14. Probar que dos grupos con tres elementos son siempre isomorfos.
15. (Endomorfismos del grupo aditivo de los Racionales) \quad
    1. Sea $f:\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$ tal que f(q) = aq, donde a es un número racional fijo. Probar que f es un endomorfismo del grupo aditivo de los racionales, que es un automorfismo cuando $a\neq 0$.
    2. Sea $\varphi :\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$ un endomorfismo del grupo aditivo de los Raciones. Probar que $\varphi (q)=aq$, donde $a=\varphi (1)$.
16. Sea G un grupo de orden par. Probar que siempre G contiene un elemento de orden 2.
17. Hallar los homomorfismos de $\mathbb {Z} _{8}$ en sí mismo. ¿Cuántos de ellos son isomorfismos?
18. Hallar, si existe, un homomorfismo no trivial entre los grupos. indicados. Si no existe, explicar por qué no existe.

    a.	$\mathbb {Z} _{2}\longrightarrow \mathbb {Z} _{4}$.	b.	$\mathbb {Z} _{2}\longrightarrow \mathbb {Z} _{5}.$
    c.	$\mathbb {Z} _{12}\longrightarrow \mathbb {Z} _{4}$.	d.	$\mathbb {Z} _{12}\longrightarrow \mathbb {Z} _{5}$.
    e.	$\mathbb {Z} \longrightarrow S_{3}$.	f.	$\mathbb {Z} \longrightarrow D_{8}$.
    g.	$Z\times Z\longrightarrow 2\mathbb {Z}$.	h.	$2\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .$
    i.	$S_{3}\longrightarrow S_{4}$.	j.	$C_{25}\longrightarrow C_{30}$.

19. (Homomorfismos de Semigrupos y Monoides) Definir homomorfismos para semigrupos y monoides.