Álgebra Abstracta/Grupos

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Álgebra Abstracta


IntroducciónEditar

Los grupos representan, entre las estructuras algebraicas con una operación, aquellas con mayores propiedades algebraicas, ya que en un grupo la operación es asociativa, admite neutro y cada elemento es invertible respecto a la operación.

Dicha estructura aparecerá frecuentemente en todo nuestro trabajo posterior. Por esa razón, habrá varios capítulos dedicados al tema.

En los capítulos anteriores, los grupos fueron presentados conjuntamente con los semigrupos y monoides. Por comodidad para el lector, aquí revisaremos la mayoría de los temas referentes a grupos, aunque algunas veces referiremos al lector a los capítulos anteriores.

Definiciones y EjemplosEditar

Definición. (Grupo) Un Grupo es una estructura algebraica   tal que:

(i) G es un conjunto,
(ii) * es una operación asociativa en G;
(iii) e es un elemento neutro para la operación *;
(iv)   es una función de   en   que asigna a cada elemento   un elemento   que es un inverso de   respecto a la operación.


Cuando no haya riego de confusión acerca de los parámetros [1] de la estructura, podemos hablar del grupo <G,*> o del grupo G con la operación * o, simplemente del grupo G.

Nomenclatura.

  • Decimos que un grupo es abeliano[2] o conmutativo cuando la operación es conmutativa.
  • Llamamos orden del grupo a la cantidad de elementos del conjunto y lo simbolizamos por  
  • Decimos que el grupo G es finito cuando su orden lo sea. En caso contrario, es un grupo infinito.

Ejemplos de Grupos NuméricosEditar

Empezaremos nuestros ejemplo con grupos de origen numérico.

  1. Los Enteros con la Adición.
    Se trata del grupo   que es infinito y abeliano. Este grupo nos servirá de motivación e ilustración para muchas nociones que veremos más adelante.

    Otros ejemplos numéricos posibles son:

  2. Los grupos aditivos de los Racionales, los Reales y los Complejos.
  3. Los grupos multiplicativos de   (Racionales, Reales, Complejos no nulos).
  4. El grupo aditivo de los Enteros módulo m, donde m es un entero cualquiera.
  5. El grupo multiplicativo de los Enteros módulo p, cuando p es un entero primo.
Todos esos grupos son abelianos. Los dos últimos son finitos.


Ejemplos de Grupos no conmutativos.

  1. El Grupo Simétrico, Sn. Este grupo está formado por todas las biyecciones del conjunto
    In = {1, 2, ... , n} en si mismo. La operación es la composición de funciones. Cuando n >2, el grupo no es conmutativo.
  2. (Grupo Lineal de dimensión 2),  ) El grupo determinado por las matrices 2 x 2 invertibles.
    Para detalles sobre estos dos grupos, mirar en el capítulo Semigrupos, Monoides y Grupos.

Ejemplos de Grupos definidos por TablasEditar

Podemos usar tablas de operaciones para visualizar o definir operaciones en conjuntos donde la cantidad de elementos es pequeña.

Ejemplo.

Consideremos el subconjunto   de los complejos, donde i2 = -1. Veamos la tabla de multiplicación de ese conjunto.

 

Mirando a la tabla, vemos que 1 es un neutro y que cada elemento de U tiene recíproco (o sea inverso multiplicativo) en U. Como la multiplicación es asociativa, tenemos que efectivamente se trata de un grupo. La simetría respecto a la diagonal principal refleja que el grupo es abeliano.

Notemos que cada elemento de U aparece una sola vez en cada fila y en cada columna del interior de la tabla. Tales arreglos de símbolos se llaman cuadrados latinos. Las tablas anteriores se denominan tablas de Cayley (en honor a Arthur Cayley (1821-1895), quien las introdujo junto con una noción (abstracta) de grupo).

Grupos definidos por tablas.

Las tablas siguientes definen operaciones que proveen al conjunto subyacente con una estructura de grupo.

 

Un examen de las tablas muestra que las operaciones son conmutativas. En cada caso, mirando a la primera fila y primera columna, (fila y columna de encabezados o datos) vemos que   es un neutro para la operación. En cada caso se puede buscar los inversos de cada elemento, ubicando al elemento en la columna de datos, luego nos movemos por la fila donde estaba ese elemento hasta ubicar el neutro. Subiendo hasta la fila de datos, hallamos el inverso.

  • En   tenemos que  
  • En el grupo de Klein [3] tenemos que cada elemento es su propio inverso.

Lo único que no se puede apreciar directamente de una tabla es si la operación es asociativa o no. Esto se deberá hacer por un examen exhaustivo de casos (bastante largo y aburrido) o por otro medio. Creyendo que las operaciones indicadas son asociativas (verificar unos tres casos) las tablas anteriores son tablas de grupos.

El grupo U, visto arriba, y el grupo de Klein son diferentes. La diferencia esencial no es que haya letras diferentes para los elementos, sino en sus propiedades algebraicas. Esto se puede apreciar porque la ecuación   tiene dos soluciones en el primero (1*1 = 1 y (-1)*(-1)=1), mientras que tiene cuatro en el segundo. Sin embargo, mirando con cuidado, debería apreciarse que U y   son esencialmente el mismo grupo. Esto implica, que a pesar del nombre de sus elementos los grupos   y de Klein son diferentes grupos.

Moraleja: lo importante no es como se denotan o que son los elementos del conjunto del grupo, sino las propiedades de las operaciones del mismo.

El grupo C2,a es representativo de todos los grupos con 2 elementos. Cualquier grupo con dos elementos tendrá un neutro, al que podemos llamar   y un elemento diferente del neutro, que podemos llamar   La primera columna y la primera fila de la tabla quedan determinada por las propiedades del neutro. Solamente nos falta ver que pasa con   Hay solamente dos posibilidades   Observemos que si   multiplicando por el inverso de a en ambos lados obtendríamos que a = e, lo que es imposible. Luego,   lo que nos dice que  


Propiedades BásicasEditar

En esta sección, G es un grupo con neutro e y para cada x, x' denota un inverso de x. Algunas propiedades son generales de operaciones, neutros e inversos, pero las repetiremos aquí, tanto por completitud como por lo que la estructura de grupo agrega.

Propiedades del NeutroEditar

  • El neutro es único.
Si e y e' son neutros entonces e * e'= e (ya que e' es neutro) y, también, e * e' = e' (ya que e es neutro). Luego, e' = e.

Recordemos que, por definición, e es un neutro de una operación * en un conjunto E, ssi, para todo a en E se cumple que a*e=a y e*a=a. En un grupo, veremos que basta que un elemento e cumpla con una de las ecuaciones anteriores para un solo elemento, para ser neutro.

  • Si, para algún a en G, se tiene que a * x = a (o que x * a = a) entonces x = e.
Sea a' un inverso de a. Entonces,
 
Análogamente para el otro caso.
  • (Corolario). Si x * x = x entonces x = e.
Esta aparentemente inocente propiedad puede servir para probar que un elemento de un grupo es el neutro.

Propiedades de los InversosEditar

  • Cada elemento tiene un único inverso.
Suponer que y, y' son inversos de x Entonces,
 

Como hay un único inverso, podemos hablar de el inverso de x, al que denotaremos usualmente por  

Por definición, un elemento y es un inverso de x, ssi, x * y = e y y * x = e. Veremos, que en un grupo, con solamente una de esas ecuaciones se tiene que y es el inverso de x.

  • Si a * x = e (o x * a = e) entonces x = a-1.
a * x = e ==> a-1*(a * x) = a-1* e ==> (a-1 * a)* x = a-1 ==> x = a-1.
Análogamente el otro caso.
Luego, para mostrar que b es un inverso de a, basta con verificar que a * b = e (o que b*a = e).
  • El inverso del inverso de un elemento, es el mismo elemento. (a-1)-1=a.
Como a * a-1 = e, el resultado sigue de lo dicho arriba.
  • El inverso de un producto es igual al producto de los inversos, pero con el orden invertido. (a*b)-1 = b-1*a-1.
(a*b) * (b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1 = a*a-1 = e, se tiene el resultado.

Propiedades CancelativasEditar

Proposición 1. (Leyes de Cancelación) Sea G un grupo. Para todo a, b,c en G se cumple que:

(a) (Cancelación por la izquierda) a*b = a*c ==> b = c.
(b) (Cancelación por la derecha) b*a = c * a ==> b = c.

Demostración: Basta en (a) premultiplicar por a-1 o en (b) posmultiplicar por a-1.

Ecuaciones en un grupoEditar

Proposición 2. Sea   un grupo. Para todo a, b en G se cumple que

  1. La ecuación a * x = b tiene solución única (x = a-1*b).
  2. La ecuación x * a = b tiene solución única (x = b * a-1).

    Demostración:  

    Análogamente el otro caso.


Convenio.

Para simplificar la escritura y la lectura, de ahora en adelante, a menos que se indique lo contrario, el producto se denotará como la multiplicación usual por " " o, como es costumbre, simplemente estará implícito entre los operandos.

Propiedades HeredadasEditar

Sea   un grupo. Si ignoramos o nos olvidamos del elemento neutro y de la existencia de inversos, obtenemos una estructura <G,*> de semigrupo, a la que llamamos el semigrupo subyacente del grupo G. Igualmente, si solo nos olvidamos de los inversos, obtenemos un monoide subyacente.

Como consecuencia de lo anterior, los grupos heredan todas las propiedades de los semigrupos, monoides y, por supuesto, de los magmas.


EjerciciosEditar

  1. Explicar de manera cuidadosa por qué los Racionales con la suma determinan un grupo y por qué los Racionales no nulos con la multiplicación determinan un grupo.
  2. Probar que en un grupo, un elemento que es inverso por la izquierda de otro elemento, también es inverso por la derecha de ese elemento. Es decir, que es un inverso del elemento. (Un elemento x'es inverso por la izquierda (resp. derecha) de x, ssi, x'* x = e (resp. x * x'= e).
  3. Resolver la ecuación   en un grupo abeliano. ¿Cómo cambia la respuesta, si no suponemos conmutatividad?
  4. Sea G un grupo y Z(G) el subconjunto de G formado por todos aquellos elementos que conmutan con todos los elementos del grupo.
     


    Probar que Z(G) es una parte cerrada de G que contiene al neutro y a los inversos de sus elementos.

  5. Sea G un grupo y   elementos del grupo. Probar que:
     


  6. Sea G un grupo y a un elemento de G. Sea   (resp.  ) la función de G en si mismo tal que   (resp.  ). Probar que   (multiplicación por la izquierda de a) y   (multiplicación por la derecha de a) son biyectivas. ¿Dónde en una tabla de operaciones de un grupo se puede ver los valores de   (resp. de  )?.
  7. Sea S un semigrupo donde las funciones   y   definidas como en el ejercicio anterior son biyectivas. Probar que   es un grupo. ¿Es realmente necesario suponer que ambas funciones son biyectivas? (ver el próximo ejercicio.)
  8. Sea   un semigrupo que tiene un neutro por la izquierda e inversos por la izquierda para todos sus elementos. Es decir que:
    1. hay un elemento   tal que para todo   en   se cumple que   y
    2. para cada   de   hay un   tal que  

    Probar que   es un grupo. (Sug. Probar primero que   evaluando adecuadamente  )

  9. Construir la tabla de la multiplicación de los enteros no nulos módulo 5 y módulo 6. Verificar que en el primer caso tenemos un grupo, pero no en el segundo caso.(Buscar los recíprocos de cada elemento).
  10. Sea G un grupo y sea a un elemento de G. Probar que el conjunto formado por todas las potencias naturales de a es una parte cerrada de G respecto a la operación.

Potencias en un GrupoEditar

Sea G un grupo con neutro e. Sea a un elemento de G. Para todo número natural n, la enésima potencia de a es, intuitivamente, el producto de a consigo mismo n veces. Formalmente, se define la potencia n--ésima recursivamente por:

 

Notemos que   etc.

Proposición. (Propiedades de Potencias)
Sean a, b elementos del grupo y m, n naturales (o cero).

  1.  
  2.  
  3. si   entonces  
Demostración de (a): (Por inducción sobre n.) Sea m un natural cualquiera
(n=0)  
Supongamos el resultado válido cuando   Entonces,
 
El resto se prueba de manera semejante.

Podemos extender la definición de potencias para exponente nulo o negativo, agregando que

 

Es fácil verificar que las propiedades anteriores, también son válidas para exponentes negativos. Por ejemplo, si m es negativo y n positivo, se tiene que

 

Notación aditivaEditar

Cuando la operación se escribe aditivamente, la operación de un elemento consigo mismo n veces, es un múltiplo del elemento.

 

Con esa notación, tenemos que las propiedades básica de los múltiplos enteros son:

(a)  
(b)  
(c) si   entonces  
(d)  

Orden de un ElementoEditar

El orden de un elemento de un monoide fue definido el capítulo Estructuras. Recordemos el orden finito de un elemento es el menor entero positivo   tal que   Aquí revisaremos la noción aplicada, principalmente, a elementos de un grupo. Sea   un elemento de un monoide con neutro   la definición de potencia con exponente natural   hace sentido en un monoide, ya que no necesitamos de la existencia de inversos para probar las propiedades básicas. Consideremos la sucesión     en  

 

Cuando todos los elementos de la sucesión son diferentes entre sí, decimos que el orden de   es infinito y escribimos  

Supongamos, ahora, que en la sucesión apareciera un término que fuera igual a un término anterior. Digamos que   con   ¿Qué podemos concluir? Simplemente que a partir de el término  --ésimo tendremos una porción de la sucesión que se repetirá indefinidamente. Por ejemplo con   se tiene la sucesión

 

Por ejemplo, en   con la mutgiplicación, tenemos que para las potencias naturales de 2, la sucesión (escribimos   en lugar de  ).

 

Recordemos que   con la multiplicación no es un grupo. ¿Qué pasa cuándo estamos trabajando con un grupo y se tiene que    ? Si   multiplicando por el inverso de   se tiene que   o sea que   Es decir, que tenemos un entero positivo   tal que   De acuerdo a la definición citada de orden, esto significa que   tiene orden finito.

Proposición 3. (Orden de un elemento en un grupo  ) Sea   un grupo con neutro   Entonces, para todo   en   se cumple que una, y solo una, de las alternativas siguientes:

  1. hay un entero positivo   tal que   Entonces, decimos que   tiene orden finito que es igual al menor entero positivo con esa propiedad.
  2. para todo par de enteros positivos o cero,       implica que   Decimos que   tiene orden infinito.

Luego, en un grupo cada elemento o tiene orden finito o tiene orden infinito.

Corolario 3.1. Sea   un grupo finito con orden   Cada elemento   de   tiene orden finito y  

    Demostración: Consideremos la sucesión finita   que tiene   términos. Como solamente hay   elementos en   dos de esos términos deben coincidir. De donde sigue la finitud del orden de   y la relación indicada.



Ejemplos.

  1. En el grupo aditivo de los Enteros módulo 6, tenemos que (recordemos que potencias son los múltiplos)  
  2. En el grupo de los Enteros, todos los elementos no nulos tienen orden infinito.
  3. En el grupo multiplicativo de los Complejos, el imaginario   tiene orden 4.

Notemos que cuando   entonces para cualquier múltiplo de   digamos   se cumple que   La siguiente proposición, nos da un recíproco de ese resultado.

Proposición 4. Sea   un elemento de un grupo   Sea   un entero positivo tal que   Entonces el orden de   es un divisor de  

    Demostración: Sea   Por definición,   es el menor entero positivo con esa propiedad. Dividiendo   por  , obtenemos un cociente   y un residuo   tales que
     
    (*


    Entonces,   Como  , concluimos que  . Es decir, por (*), que   es un múltiplo de  


Grupos CíclicosEditar

Definición. (Grupo Cíclico) Llamamos grupo cíclico a un grupo cuyos elementos son todos potencias enteras de uno de sus elementos. Dicho elemento se dice que es un generador del grupo.


Escribiremos  , cuando G sea un grupo cíclico con generador a.

Las potencias de un elemento de un grupo tienen las propiedades usuales de las potencias. Ver los ejercicios. En particular se tiene que

 
  • Los grupos cíclicos son grupos abelianos.    (aras = ar+s = as+r = asar.)
  • El inverso de ar es a-r.    (ara-r = ar+(-r) = a0 =e.)

Notemos que cuando la notación es aditiva, en lugar de potencias tenemos múltiplos. Es decir, que en este caso un grupo es cíclico si todos su elementos son múltiplos de uno de ellos.

Ejemplo. (Los Enteros son un grupo cíclico.) Como para todo número entero m se cumple que   vemos todos los enteros son múltiplos del número 1, Es decir que Los Enteros son un grupo cíclico con generador 1. Observemos que -1 también es un generador de   por lo que un grupo cíclico puede tener más de un generador.

Ejemplo (Los Números Pares con la Suma).

Los números pares son los números enteros que son múltiplos de 2. Denotamos al conjunto de pares por   Como la suma de números pares es un número par, la suma define una operación en el conjunto de los pares. La operación es asociativa, con neutro 0 (que es un número par). Cada número par, 2x, tiene como opuesto aditivo a 2(-x) que también es par. Este grupo es cíclico generado por 2,  

Ejemplo. (Múltiplos de un número fijo).

Este ejemplo generaliza al ejemplo anterior. Consideremos el conjunto   formado por todos los múltiplos enteros de un número entero fijo m.

 

.

La suma de mx con my es igual a m(x+y), o sea un múltiplo de m. Tenemos que el neutro 0 (= m*0 ) es un múltiplo de m. El opuesto aditivo de mx es m(-x). Luego,   es un grupo cíclico con generador m.

Como este grupo es un grupo respecto a las mismas operaciones del grupo   se dice que es un subgrupo de los Enteros con la suma.


Ejemplo (Raíces n-ésimas de la unidad).

Llamamos raíz n-ésima de la unidad a cualquier número complejo   tal que   Consideremos el caso   y sea

 
  • Recordando la relación de Moivre que establece que   tenemos que
     

    Es decir que   es una 12--ésima raíz de la unidad.

  • Usando Moivre, tenemos que  
  • Cualquier potencia entera de \theta es también una raíz 12--ésima
     
  • Hay solamente   raíces diferentes de la unidad:  

Sea   un entero cualquiera, la división por  , nos produce   y   tales que  , con  

Luego   Lo que prueba que hay   raíces de la unidad:  

Simbolizaremos por   al conjunto formado por todas las raíces enésimas de la unidad.   es un grupo cíclico con   elementos.

Observemos que   es nuestro viejo conocido  


(Existencia de Grupos Cíclicos). El ejemplo de las raíces de la unidad muestra que para todo número entero positivo  , hay un grupo cíclico con exactamente   elementos,  

EjerciciosEditar

  1. Sean   una raíz sexta de la unidad. Sean   y   Hallar los ordenes de   .
  2. (Orden de un producto) Sean     elementos de un grupo abeliano <G>. Si   y   probar que   ¿Qué pasaría si no requiriéramos que operación fuera conmutativa?
  3. En las matrices siguientes, supondremos que las entradas están tomadas de   Hallar el orden de cada una en el grupo lineal  
     


Grupos definidos por GeneradoresEditar

Un grupo puede definirse mediante generadores sujeto a restricciones (relaciones entre los generadores), lo que se representa como

 

que leemos como que "G es el grupo generado por a,b,c, que satisfacen las restricciones r_1(a,b,...), r_2 (a,b,.. ) ..."

Formalmente, lo anterior significa que el conjunto G consiste de productos formales de expresiones formadas por potencias de los generadores.

 


Podemos considerar a los generadores como las letras de un alfabeto. Poniendo esas letras juntas formamos palabras. Una potencia de una letra significa que la letra está repetida tantas veces como el exponente. Cuando el exponente es nulo, se considera que es la palabra vacía (sin letras). La operación es la concatenación de palabras, esto es pegarlas juntas, que es claramente asociativa y tiene como neutro a la palabra vacía (sin letras). El largo de una palabra es la cantidad de letras de la palabra. En los lenguajes de programación, se denomina cadenas a la concatenación de letras (llamadas caracteres en ese contexto).

Ejemplo (Grupo Cíclico Finito).

Sea   donde n es un natural positivo. Los elementos de Cn,a son palabras consistentes solamente de aes, es decir potencias de a. Por lo que se trata de un grupo cíclico. La restricción consiste en que consideramos que cuando haya n de esas letras, la palabra será (por la restricción) considerada como igual a la palabra vacía. (Podemos decir que si hay n letras aes juntas, las podemos borrar.) Suponemos, además, que el número n es el menor entero positivo con esa propiedad. Lo que implica, de acuerdo a lo visto en el ejemplo de las raíces enésimas de la unidad, que

 


Esencialmente, hay un único grupo cíclico de orden n; la única diferencia entre ellos es como simbolizamos la operación y al generador. Cuando el nombre del generador no sea importante, simplemente escribiremos   para el grupo cíclico de orden  . Mayores detalles para los grupos cíclicos, los veremos en el capítulo [4].


Ejemplo (Grupos Diedrales).

Llamamos grupo diedral de orden 2n,   al grupo denotado por   y definido como

 


Notemos que los elementos de   son productos de expresiones de la forma   con   La tercera restricción nos dice que el grupo no es conmutativo, pero indica que podemos rearreglar las letras de modo que las aes estén delante de las bes.

Supongamos, para concretizar, que n = 3. Entonces.   implica que ba = a2b. Por lo que

  • aba = a a2b = b.
  • aababaab = aa(ba)baab = aaa2bbaab =a4b2aab =aaab = b.

Lueego, los elementos de   son los productos de la forma   con   Es decir que

 


o sea que tiene 2n elementos. Además, como

 


Cada elementos es invertible. Es decir que   es un grupo.

Los grupos diedrales provienen de las simetrías de un polígono regular de   lados. (Congruencias que dejan fijo globalmente al polígono). Mayores detalles en el capítulo sobre Grupos Generados.


EjerciciosEditar

  1. Verificar que las definición de potencia natural y sus propiedades son válidas para cualquier monoide; y que si tomamos a1=a como punto de partida de la definición de potencias (en lugar de a0), las propiedades son válidas para cualquier semigrupo.
  2. Construir las tablas de   para n = 2, 3, 4, 5. En cada caso identificar los inversos de los elementos.
  3. Sea G = C12,a = <a | a12=e>. Probar que G tiene elementos de orden 2, 3, 4 y 6, pero no tiene elemento de orden 5.
  4. Probar las relaciones no probadas de potencias, especialmente con exponentes negativos.
  5. Probar que cuando a conmuta (o permuta) con b (ab=ba) se cumple que:
    1. a conmuta con cualquier potencia natural de b,  
    2. a conmuta con el inverso de b.
    3. el inverso de a conmuta con cualquier potencia entera de b.
  6. Sea  . no Probar que G es el grupo de Klein.
  7. Hallar los ordenes de todos los elementos del grupo diedral  .
  8. Verifica que cuando la operación no es conmutativa, en general no se cumple que  
  9. Sea   Probar que G es un grupo infinito no abeliano con elementos de orden infinito, cuando  

Producto de GruposEditar

Sean <H ,*> y <K, #> grupos. Sea   el producto cartesiano de los conjuntos H y K, es decir el conjunto formado por todos los pares ordenados (x,y) tales que x están H, y está en K. Definimos una operación en G, coordenada a coordenada,

 

Proposición. (Grupo Producto)
Sean H, K y G como arriba. Entonces G es un grupo.

Demostración: Tenemos que

 


Lo que prueba la asociatividad.

Sean eH y eK los neutros de H y K respectivamente. Sea e = (eH, eK). Entonces,   De forma similar se prueba que   Por lo que e es neutro respecto a la operación.

Finalmente,   Análogamente,  


Definición. (Producto de Grupos) Llamamos producto de los grupos H y K al grupo   provisto de la operación por coordenadas.


Cuando la notación es aditiva, podemos llamar suma al producto. El grupo aditivo  .

Consideremos al grupo aditivo de los Reales.   es el producto cartesiano de los Reales consigo mismo.   es un grupo abeliano con operación

 

(Esta es la suma usual de vectores de dimensión 2 o la suma de los complejos.)

En general, cuando se toma el producto de un grupo G consigo mismo, el producto se denota por G2. Si se toma el producto de un grupo G consigo mismo n veces, denotamos al producto resultante por Gn; sus elementos son n--uplas de elementos de G.


EjerciciosEditar

  1. Probar que si H y K son abelianos, entonces también lo es H x K.
  2. Construir la tabla de C2,a x C2,b. Compara la tabla que se obtiene con la tabla del grupo de Klein.
  3. Sean C3,a y C4,b grupos cíclicos de orden 3 y 4, con generadores a y b, respectivamente. Probar que el producto C3,a x C4.b es cíclico con generador (a,b).
  4. Sean C4,a y C2,b grupos cíclicos con generadores a y b respectivamente. Probar que el producto C4,a x C2,b no es cíclico.
  5. Construir las tablas de  

Ejercicios del CapítuloEditar

  1. Sea G un grupo finito. Probar que para cada a en G hay un entero positivo n tal que  
  2. En un grupo G, para elementos g y x definir   (Conjugado de x por g). Probar que se cumplen las siguientes relaciones.
    1. xg y g = (xy)g.
    2. (xg)-1 = (x-1)g.
    3. (xg)n = (xn)g.
  3. Hallar el orden de todos los elementos del grupo simétrico S3. Ver la definición en el capítulo Las Estructuras.
  4. (Grupos de Transformaciones) Sea X un conjunto no vacío. Un grupo de transformaciones de X es un grupo G tal que sus elementos son elementos del grupo   (Funciones biyectivas de X" en si mismo).
    1. Sea x en X y sea   el conjunto formado por todas las transformaciones f de G que fijan el punto x, es decir que f(x) = x. Probar que   es cerrado respecto a la composición, contiene a la identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos, es decir, que se trata de un grupo de transformaciones. Por ejemplo, en el grupo de las congruencias del plano, las rotaciones entorno al origen, son precisamente las congruencias que dejan fijo únicamente al origen.
    2. Dado un subconjunto   de X, el conjunto   denota a las biyecciones de G que dejan fijo globalmente a Y, Es decir,   Probar que   es un grupo de transformaciones. En el grupo de las congruencias, la simetría que voltea el plano alrededor del eje X, deja al eje Y fijo globalmente, aunque todos sus puntos, exceptuando al origen, se mueven a un punto distinto. Esta misma simetría deja fijo al eje de X puntualmente, o sea punto a punto.
  5. Sea   (el grupo multiplicativo de los invertibles en  ). Probar que   Concluir que   no es un grupo cíclico.
  6. Considerar el grupo   Probar que el orden de G es igual a 8 y que, aunque 4 divide a 8 no hay elemento de orden 4 en G. Concluir de lo anterior que G no puede ser cíclico.
  7. Sea G = <a> un grupo cíclico de orden impar. Probar que a aparece en la diagonal principal de la tabla del grupo.
  8. Probar que el grupo multiplicativo   no es cíclico.
  9. Sea   el conjunto formado por todas los complejos cuyo módulo es igual a 1. Probar que   es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1, y a los inversos de cada uno de sus elementos. Por lo que tiene una estructura de grupo. Mostrar que dicho grupo contiene elementos de orden finito de cualquier orden. (Sug: Considerar las raíces n--ésimas de la unidad.)
  10. Sea   Probar que G es finito y cíclico.
  11. ¿Por qué podemos estar seguro que los grupos diedrales no son cíclicos?
  12. Determinar cuáles de los siguientes conjuntos de matrices, respecto a la operación indicada determinan un grupo. Recordar que una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyas únicas entradas no nulas están en la diagonal principal. Una matriz es triangular superior, cuando las entradas debajo de la diagonal principal son nulas. El determinante de una matriz es un número asociado a cada matriz cuadrada y es tal que
    1.  
    2.   donde (  es la matriz identidad, una matriz diagonal con todas la entradas en la diagonal iguales a 1), y
    3. una matriz es invertible, ssi, su determinante es diferente de cero.
    1. Las matrices diagonales con la suma de matrices.
    2. Las matrices diagonales con la ~multiplicación de matrices.
    3. Las matrices diagonales cuyas entradas son todas 1 o   con la multiplicación'on.
    4. Las matrices triangulares superiores con la suma.
    5. Las matrices triangulares superiores con la multiplicación.
    6. Las matrices con determinante positivo con la multiplicación.
    7. Las matrices cuyo determinante es 1 o   con la multiplicación.
  13. Sea   el grupo de las matrices invertibles. Sea   el subconjunto de G formado por todas las matrices cuyo determinante es positivo. Probar que   es cerrado respecto a la multiplicación de matrices (usar una famosa identidad de determinantes), contiene a la matriz identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos. Es decir que se trata de un grupo de transformaciones..
  14. Sea G un grupo y H un conjunto finito de G que es cerrado respecto a la operación. Probar que H es con la misma operación es un grupo.
  15. Sea   el conjunto formado por todos los números reales excepto   Definir * en   por  
    1. Probar que   es un grupo. .
    2. Hallar la solución o soluciones de la ecuación f the equation   en  
  16. Sea   un grupo finito. Probar que cada elemento   de   tiene orden finito.
    (Considerar   donde  ),
  17. Sea T el conjunto de números reales no nulos. Definir  
    1. Muestre que * es asociativa.
    2. Probar que * tiene neutro por la izquierda e inversos por la derecha
    3. ¿Es   un grupo?
  18. Sea   tal que para todo   se cumple que   Probar que   es abeliano. (Sugerencia: considerar   )
  19. Probar que si, en un grupo< se cumple que   entonces,  
  20. Sea   un grupo y suponga que   Pruebe que también  
  21. Sea   Probar las siguientes afirmaciones.
    1.  
    2. Todos los elementos de   son de la forma     y   Concluir que el orden de   es 8.
    3. El orden   es 2, para cualquier valor de  
    4. Determinar todos los subgrupos de   Indicar cuántos de ellos son cíclicos.
  22. Sea   un grupo de orden par. Probar que si un elemento   de   aparece en la diagonal principal de la tabla, lo hace una cantidad par de veces.
  23. Sea   un grupo de orden   con   impar. Probar que   tiene exactamente un elemento de orden 2, Además que el producto de todos los elementos del grupo es precisamente ese elemento de orden 2.

ComentariosEditar

La noción de grupo aparece en matemáticas por tres caminos, aparentemente independientes: la búsqueda de una fórmula para resolver la ecuación de quinto grado, las aritméticas modulares y la geometría.


Resolución de ecuaciones. Los matemáticos de fines del siglo XVIII e inicios del siglo XIX (Lagrange, Ruffini, Cauchy, Abel, Galois) se preocuparon de expresiones algebraicas relacionando las raíces de las ecuaciones y que permanecían invariantes (no cambiaban de valor) cuando se permutaban dichas raíces. Los trabajos de Abel y las geniales construcciones de Galois [5], asociando grupos a ecuaciones, trajeron los grupos a primer plano. Todo el tiempo, esos grupos eran grupos de permutaciones. Alrededor de la mitad del siglo XIX, Arthur Cayley formuló una definición abstracta de grupo, semejante a la usada actualmente.


Aritmética modular. Los enteros módulo un entero positivo hacen sus primeras apariciones con Euler. Su estudio fue continuado por Gauss que analizo ejemplos muy generales de lo que llamaríamos hoy día grupos abelianos.

Geometría Desde los inicios del siglo XIX, los estudios de geometrías proyectivas y no--euclidianas condujo al estudio de las propiedades e invariancia de propiedades con respecto a ciertas transformaciones (preservación de colinealidad, paralelismo, etc.) Tales estudios hicieron aparecer de forma natural grupos en la Geometría. A finales del siglo, Felix Klein definiría a la Geometría como el estudio de los invariantes de un grupo, Erlargen Programm, 1872.


Otras fuentes. Paralelo al desarrollo de los grupos finitos, que expresaban de forma natural las clasificaciones de las simetrías de estructuras cristalinas (usadas hasta hoy por los químicos), se desarrolló el estudio de grupos infinitos, especialmente grupos de matrices. La teoría de esos grupos ayudó, y también se impulsó, por las aplicaciones a las teorías físicas del siglo XX (relatividad, mecánica cuántica, partículas elementales).


Las siguientes páginas de Wikipedia pueden agregar más información acerca de la teoría de grupos y sus aplicaciones.