Álgebra Abstracta/Subgrupos

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Álgebra Abstracta



IntroducciónEditar

En un capítulo anterior, vimos grupos que vivían dentro de otro grupo. El grupo de los múltiplos de un número entero está contenido en el grupo de los Enteros. El grupo de las raíces  --ésimas de la unidad está contenido en el grupo multiplicativo de los Complejos.

Algunas veces se dice, de manera muy simple, que un subgrupo es un grupo que vive dentro de otra estructura. Como todas la cosas simples, hay algo de verdad en lo anterior; pero debe manejarse con cuidado. Por ejemplo el conjunto   es un subconjunto de los Enteros que es un grupo respecto a la multiplicación, está contenido en los Enteros, pero no está relacionado con el grupo aditivo de los Enteros porque se trata de operaciones distintas.

En forma general, cuando tenemos una estructura algebraica, un subconjunto del conjunto base de la estructura define una subestructura del mismo tipo cuando es cerrado respecto a los parámetros [1] de la estructura.

DefinicionesEditar

Definición. (Subgrupo) Sea <G,*,e, x -->x-1>un grupo. Un subconjunto no vacío H de G determina (o define) un subgrupo de G, ssi,

(i)(Cerrado respecto a la operación.)
Para todo a, b en G, a,b en H ==> ab en H.
(ii) (Cerrado respecto al neutro).
El neutro es un elemento de H.
(iii)(Cerrado respecto inversos.)
Para todo a en G, a en H ==> a-1 en H.
Notación: H < G.

La definición corresponde a la definición general de subestructura [2]. La riqueza de la estructura de grupo nos permite, sin embargo, reducir las condiciones.

Proposición 1. (Caracterización de Subgrupos)
Un subconjunto no vacío H de G define un subgrupo de G, ssi, para todo a, b en G se cumple que a, b en H implica que   también está en H. </math>

    Demostración:
    Claramente las condiciones son necesarias. Si   y   están en  ,   está en  (parte (iii) de la definición). Luego   está en   (parte (i) de la definición).
    Veamos, ahora, que las condiciones son suficientes. Como   no es vacío, hay al menos un elemento de   en  , digamos  . Por la condición, tenemos para todo   en   que:
    •   está en  ,
    •   está en  .
    •   está en  .
    Luego  


Ejemplos de SubgruposEditar

Cada grupo   es siempre un subgrupo de sí mismo. Igualmente,   es un subgrupo de cualquier grupo. Algunas veces, diremos que el subgrupo determinado por el elemento neutro es el subgrupo nulo o subgrupo trivial. Decimos que un subgrupo es propio cuando es diferente de   y del subgrupo trivial.

Subgrupos Aditivos de los EnterosEditar

Sea m un entero y sea H= mZ</math> el conjunto formado por todos los múltiplos enteros de  .

Claramente, H no es vacío. Sean a = mx, b = nx y múltiplos enteros de m. Entonces, a-b = mx - my = m(x-y). Lo que prueba que a-b es un múltiplo de m. Luego mZ es un subgrupo de los Enteros.

  • Los únicos subgrupos de los Enteros son los mZ.

Sea H un subgrupo de los Enteros. Si   entonces  . Supongamos que H contiene un elemento no nulo, digamos c. Como c en H implica (-c) en H, sin perdida de generalidad, podemos suponer que c es positivo. Sea m el menor entero positivo contenido en H y sea z cualquier elemento de H. Por división por m, tenemos que

 

Como H es un grupo y z y m están en H, tenemos que también están en H, qm y z. Por lo que r=z-qm también está en H. Si r fuera positivo sería menor que el menor entero positivo en H, lo que es imposible, luego, r=0. En consecuencia, z es un múltiplo de m. Lo que prueba la afirmación.

Subgrupos CíclicosEditar

Proposición 2. (Subgrupo Cíclico) Sea G un grupo y a un elemento de G. Sea  . Entonces, H es un subgrupo de G, llamado subgrupo cíclico de G generado por a y denotado por  

    Demostración: H es claramente no vacío, ya que contiene a   Además, tenemos que   Lo que prueba que H < G.


  • Los subgrupos   de los Enteros son subgrupos cíclicos.
  • El orden del subgrupo   es igual al orden de  ,  .

Subgrupos del Grupo Simétrico S3Editar

Sea  .

La relación "ba = a2b" nos dice que la operación no es conmutativa, por lo que S3 no puede ser un grupo cíclico. Sigue directo de la definición que o(a)=3 y o(b) = 2. Como (ab)2 = abab = aa2bb = e y (a2b)2 = a2ba2b =a2abb = e, tenemos que o(ab) = o(a2b)=2. Por su parte, si x = a2, x2 = a y x3 = e, luego o(a2)=3. Tenemos, entonces los siguientes subgrupos cíclicos:

 

No hay otros subgrupos aparte de {e} y S3.

En efecto, sea H un grupo que contiene a  . Entonces, el subgrupo generado por a contiene todas las potencias de a. Si contiene algún elemento adicional debe ser de la forma  , que multiplicado por a3-i produce b. Como H contiene a los dos generadores del grupo, debe ser igual a todo el grupo.

Razonando de igual manera, con otras posibilidades, se concluye que los únicos subgrupos posibles, son los subgrupos indicados arriba.


Diagramas de SubgruposEditar

El diagrama de subgrupos es la presentación gráfica de las relaciones de inclusión entre un grupo y sus subgrupos. También se llama en la literatura, diagrama de Hasse. La figura siguiente ilustra el diagrama de subgrupos del grupo de Klein y del grupo simétrico. S3

Grupo de Klein Grupo Simétrico S3

EjerciciosEditar

  1. Hallar todos los subgrupos posibles de los grupos C4 y C6. Dibujar los diagrams de subgrupos de esos grupos.
  2. Sea U( ) el subconjunto formado por todos los complejos cuyo módulo es igual a 1. (Si z = a + bi, su modulo es  ). Un(  es el grupo de la raíces {i}n{/i}-ésimas de la unidad.
    1. Probar que U( ) es un subgrupo multiplicativo de los Complejos.
    2. Probar que para todo n, Un( ) es un subgrupo de U( ).
    3. Probar que U2( ) =   es un subgrupo de U4( ).
    4. Probar que U3( ) es un subgrupo de U6( ).
    5. ¿Cómo podríamos generalizar los resultados anteriores?
  3. Sea G un grupo y a un elemento de G. Sea H el conjunto formado por todos los g en G que permutan (respecto a la operación) con a, o sea tales que ga = ag. Probar que H es un subgrupo de G.
  4. Sea G un grupo finito. Sean a y b elementos de G. Probar las siguientes relaciones acerca de sus ordenes.
    1.  .
    2.  .
    3. Si   entonces  .
    4. Si   y   entonces  .


  5. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes determinan subgrupos aditivos de los Complejos?
    1. Los Enteros.
    2. Los Racionales de la forma  ,  ,   y   enteros.
    3.  
    4. Los números puramente imaginarios. (múltiplos de  ).
  6. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes determinan subgrupos multiplicativos de los Complejos no nulos?
    1. Los Enteros no nulos.
    2. Los Racionales de la forma  ,  ,  ,   y   enteros.
    3.  
    4. Los números puramente imaginarios y no nulos. (múltiplos de  ).
  7. ¿Cuáles de los conjuntos de matrices son subgrupo del grupo lineal,  ?[3]
    1. Las matrices   cuyo determinante es igual a 5.
    2. Las matrices diagonales de  .
    3. Las matrices triangulares superiores que no tienen ceros en la diagonal.
    4. Las matrices cuyos determinantes son 1 o  .


  8. Para cada uno de los grupos siguientes, producir una lista completa de sus subgrupos.
    1. Los Enteros con la adición.
    2. Los Enteros Pares con la adición.

Propiedades de los Subgrupos.Editar

La siguiente proposición afirma que la relación   entre subgrupos es transitiva. Proposición 3. (Transitividad de la relación de ser subgrupo) Sean  ,   y   subgrupos de un grupo  . Si   es subgrupo de   y   es subgrupo de   entonces   es subgrupo de  

    Demostración: Ejercicio.


Proposición 4. Intersección de Subgrupos La intersección de dos subgrupos es un subgrupo.

    Demostración: Sean K, K' subgrupos de un grupo G y sea H la intersección de K con K'. Como el elemento neutro esta en K y K', dicho elemento está en su parte común H. Luego, H no es vacío. Sean x, y elementos de H. Entonces, x, y pertenecen tanto a K como a K'. Como K (resp. K') es un subgrupo de G, tenemos que   esta en K (resp. en K'). Por lo tanto,   está en la parte común H. Luego H < G.


El Centro de un GrupoEditar

Definición. (Centro de un Grupo) Sea   un grupo. Llamamos centro del grupo al subconjunto denotado por   y formado por todos los elementos de   que conmutan con cualquier otro elemento de  .

 


Proposición 5. El centro de un grupo es un subgrupo abeliano del grupo.

    Demostración: Como el elemento neutro conmuta con todos los elementos del grupo, el neutro   está en   Sean  ,   elementos del centro. Entonces, para todo   de   tenemos que
     

    por lo que   está en  . Notemos, además, que

     

    Es decir que   en   implica que   está en  . Por lo tanto,  


El tamaño relativo del centro indica cuan abeliano es un grupo. Claramente, si   es abeliano, entonces  . Cuando  , el único elemento que conmuta con todos los otros es el neutro  .


Ejemplo. (Centro del grupo simétrico S3).

El grupo S3 está caracterizado por tener dos generadores a, b tales que a3 = b2 = e, bab = a2. Como las potencias de a conmutan entre si, veamos que pasa con b. La tercera condición implica que ba =a2b, es decir que b no conmuta con a. Por su parte, ba2 = baa = a2ba= a2+2 b = ab. Por lo tanto, Z(S3) = {e}.


Ejemplo (Centro del grupo lineal  ).

Supongamos que   fuera un elemento del centro de G. Sea  . Entonces,   y   Si A está en el centro de G, AU = UA, comparando las entradas de cada uno de esos productos, tenemos que

  • (1,1) ==> a = a+c,
  • (1,2) ==> a+b = b + d,
  • (2,1) ==> c = c y
  • (2,2) ==> c+d = d.

Luego, c = 0, a=d. Tomando   y computando AV = VA se concluye que b=0. Por lo que las únicas matrices en el centro del grupo lineal son las matrices escalares, los dos numeros de la diagonal son iguales y no nulos (el determinante no puede ser cero), y los números fuera de la diagonal son nulos. Es fácil probar que esas matrices (matrices escalares) conmutan con todas las otras matrices y por lo tanto forman el centro de G


EjerciciosEditar

  1. Probar la proposición sobre la transitividad de la relación "ser subgrupo".
  2. Probar la siguiente generalización de teorema de intersección de dos subgrupos.
    Sea   una familia de subgrupos de un grupo G. La intersección H de los subgrupos de la familia es también un subgrupo de G</math>.
    1. ¿Cuál es la intersección de todos los subgrupos de un grupo?
    2. ¿Es igual la intersección anterior a la intersección de todos los subgrupos propios?
  3. (Subgrupos de los Enteros) Sabemos que cada subgrupo no nulo de los Enteros es cíclico y tiene un generador positivo. Hallar un generador positivo de cada uno de los siguientes subgrupos de  .
    1.  .
    2.  .
    3.  .
    4. ¿Qué podemos decir del subgrupo  ?
  4. En  , hallar la intersección de los subgrupos cíclicos   y  .
  5. Hallar el centro del producto  . (Sug. La respuesta es fácil.)
  6. Hallar el centro del producto  .
  7. Probar que las permutaciones en   (permutaciones de  ) que fijan al 4 forman un subgrupo isomorfo a  . Generalizar el resultado anterior para Sn.

Los Homomorfismos y los SubgruposEditar

En esta sección, veremos como un homomorfismo entre dos grupos relaciona a los subgrupos de uno de ellos con los subgrupos del otro.

Proposición 6. (Homomorfismos y Subgrupos) Sea   un homomorfismo de grupos.

  1. Si H es un subgrupo de G, su imagen, f(H) es un subgrupo de G'.
  2. Si H' es un subgrupo de G', su preimagen (o imagen inversa),   es un subgrupo de G.

    Demostración:
  1. La imagen directa de   contiene al menos a   por lo que no es vacía. Sean     elementos de  . Por definición de imagen directa, hay elementos   y   en   tales que   y   Entonces,   Como   es un subgrupo,   está en  , de donde   está en   lo que prueba que   es un subgrupo de  
  2. Notemos que como cada subgrupo contiene al neutro,   no es vacío ya que contiene a  , ya que   está en   Sean  ,   elementos de   o sea tales que   y   están en  . Por lo tanto,   también está en  ; lo que prueba que   está en  , de donde el resultado.


Definición. (Núcleo de un homomorfismo)) Llamamos núcleo de un homomorfismo   al subgrupo   de  

Simbolizamos ese subgrupo por  . (ker, del alemán kernel). Con ayuda de la noción de núcleo, podemos caracterizar a los monomorfismos (homomorfismos inyectivos).

Proposición 7. (Caracterización de Monomorfismo) Un homomorfismo es un monomorfismo (o sea inyectivo), ssi, el núcleo es el subgrupo trivial  

    Demostración: ( ) Supongamos que   Se tiene entonces que
     

    Por lo que   pertenece al núcleo. Como el núcleo solo contiene al  , tenemos que  , de donde  ; es decir que   es inyectiva.

    ( ) Sea  .Entonces,   lo que implica, ya que   es inyectiva, que  . Es decir que  


Corolario 7.1. Los isomorfismos tienen núcleos triviales .


Sigue de las proposiciones anteriores que cuando   es un homomorfismo de   en   entonces   es un subgrupo de  . Además que el homomorfismo establece una correspondencia biunívoca entre los subgrupos de   que contienen al núcleo y los subgrupos de  , En particular, cuando se trate de un isomorfismo habrá una correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos de subgrupos.

Teorema de CayleyEditar

Arthur Cayley, mencionado antes como el creador de la noción abstracta de grupos, probó que todo grupo finito puede presentarse como un subgrupo de permutaciones, más precisamente, es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutaciones. La idea del isomorfismos es asociar con cada elemento del grupo una permutación de los elementos del grupo. Para simplicidad de la nomenclatura, acordamos lo siguiente,

Definición. Llamamos grupo de permutaciones a cualquier subgrupo de un grupo simétrico Sn.


Consideremos un grupo finito G y un elemento cualquiera g de G. Sea Lg la función de G en G tal que Lg(x) = gx (es decir la multiplicación de g por la izquierda ).

Lema.   es una permutación del conjunto G.

    Demostración: Si  , de donde por la propiedad cancelativa, obtenemos que  ; o sea que la función Lg es inyectiva. Probaremos ahora que es suprayectiva. Sea y un elemento cualquiera de G, entonces  , lo que prueba que la función es suprayectiva, es decir que se trata de una función biyectiva, o sea de una permutación o elemento de  . Mostremos ahora que la correspondencia   es un homomorfismo de grupos. En efecto,
     
    Es decir que   Por lo tanto,
     


    Lo que prueba que la correspondencia   es un homomorfismo. La inyectividad de la correspondencia sigue de la propiedad cancelativa. Luego, G es isomorfo a  .

    Hemos probado el siguiente teorema.

    Teorema de Cayley Todo grupo finito es isomorfo a un grupo de permutaciones.


    EjerciciosEditar

  1. Sea   el supramorfismo canónico que asigna a cada entero x su clase  .
    1. Evaluar f(256), f(-256), f(1000).
    2. Sea  . Sabemos que f(H) es un subgrupo de   Determinarlo.
    3. Sean  ,   los subgrupos de   generados por   respectivamente. Describir los subgrupos   y   de los Enteros.
    4. Describir el núcleo de f.
  2. Sea   un homomorfismo de grupos tal que  . Probar que f es un homomorfismo. Hallar la imagen de f,   y el núcleo de f.
  3. Sea   un homomorfismo de grupos, donde H es un grupo abeliano. Sea   (conmutador de x, y). Probar que z está en el núcleo del homomorfismo.

Subgrupos ConjugadosEditar

La conjugación (definición a continuación) provee a un grupo no abeliano con una familia no trivial de automorfismos.

Definición. (Conjugación) Sea   un grupo y g un elemento cualquiera de  . Llamamos conjugación por   a la función de   en si mismo, denotada por  , tal que

 

Decimos que dos elementos  ,   son conjugados entre si (notación:  ), cuando hay un   tal que  .

Decimos que los subconjuntos   y   son conjugados, ssi, hay un   tal que  . En particular, dos subgrupos son conjugados, cuando lo son como subconjuntos.


Proposición 8. (Conjugación es un Automorfismo) Sea   un grupo,   es un automorfismo de  , o sea un isomorfismo de   en si mismo.

    Demostración: Tenemos que  , lo que prueba que se trata de un endomorfismo. Notemos, además, que
     
    Por lo que   es una función inyectiva, o sea que se trata de un monomorfismo. Además, como  , tenemos que   es un supramorfismo. En consecuencia,   es un automorfismo del grupo  .

Corolario 8.1. Las conjugaciones determinan un subgrupo del grupo de automorfismo, llamado el grupo de automorfismos interiores.

    Demostración: Observemos que  . Es decir que la composición de conjugaciones es una conjugación. Como, claramente  , se tiene el resultado.


Observaciones.

  • Notemos que en un grupo abeliano, la conjugación por cualquier elemento es la función identidad.
  • Notemos (de la demostración anterior) que la función c:G --> Aut(G) tal que c(g) = cg es un homomorfismo de grupos, que puede verificarse es un monomorfismo.
  • (Geometría) Una rotación del plano por un cierto ángulo   alrededor del punto P es conjugada de rotación por el mismo ángulo alrededor del origen. El elemento que produce la conjugación es la traslación que envía el origen en el punto P. Este tipo de conjugación es muy importante en la geometría, pues permite transportar situaciones alrededor de un punto P al origen.
  • Notemos que   Es decir que cuando   es un elemento del centro, todos sus conjugados son igual a él mismo. Luego, para todo  ,   (conjunto de conjugados por   de elementos del centro) es igual a  .
  • Sea H un subgrupo de un grupo G. Para todo g en G,   es un subgrupo que es conjugado a H.

Clases de ConjugaciónEditar

Sean  , escribimos   para indicar que x es conjugado con y. Es fácil ver que   es una relación de equivalencia en G, cuyas clases de equivalencia llamaremos clases de conjugación.

En un grupo abeliano, las clases de equivalencia consisten de un único elemento.

Ejemplo (Las Clases de Conjugación de S3).

Sea  . Se verifica, por computación directa, que las clases de conjugación son

 



Ejemplo.

Sea   y sea  .

Buscaremos subgrupos de S3 que sean conjugados con H.

  •  
  •  
  •  .

Como esos son todos los subgrupos de orden 3 se tiene el resultado.


Subgrupos GeométricosEditar

<<<EN PREPARACIÖN>>> Sea   el plano cartesiano que identificamos con  , el conjunto formado por todos los pares ordenados del plano. El plano   está provisto de una estructura de producto de grupos,  , la suma componente por componente, o sea, tal que

 


Además, hay una multiplicación por escalar, que asocia a cada número real   (escalar) y a cada par   (vector), el vector  . En este contexto, usualmente, se dice que los puntos son vectores y los números reales,  . Se define el largo del vector   como

 .


y la distancia entre puntos como el largo de la diferencia   o sea  

Denotaremos por   al grupo formado por todas las biyecciones del plano en si mismo, la operación siendo la composición de funciones. (Es decir, el grupo simétrico del plano). Llamaremos transformaciones (del plano) a los elementos de ese grupo

  • Una congruencia del plano es una transformación que preserva distancia entre puntos. Es decir que   es una congruencia, ssi, para todo par de puntos  ,   se cumple que
     


  • Una traslación por un vector  , es una función del plano en si mismo denotada por   y tal que  .
  • Una rotación   alrededor de un punto   es una congruencia del plano que deja fijo solamente al punto  . Es decir que,   implica que  .
  • Una reflexión alrededor de una línea   es una función del plano en si mismo que envía cada punto   en un punto   ubicado en la línea perpendicular a   y que pasa por   de modo que el punto medio entre   y   esté en la línea  .

Mostraremos que el conjunto de todas las congruencias determina un subgrupo de Biy( , llamado el grupo euclídeo del plano, al que simbolizaremos por  .

Claramente, la identidad es una congruencia, por lo que el conjunto de las congruencias no es vacío.

    Sean   congruencias del plano.
  •   Lo que prueba que la composición de dos congruencias es una congruencia.
  •   Lo que prueba que la inversa de una congruencia es una congruencia.

Transformaciones LinealesEditar

Una transformación lineal es una transformación que envía el punto (x,y) en (x', y') donde

 

La definición es equivalente a la ecuación matricial,

 

La condición implica que la matriz tiene determinante no nulo, o sea que es invertible. La matriz se llama la matriz asociada a la transformación lineal. Cada matriz define por la ecuación anterior una transformación lineal. Por lo que el conjunto de las transformaciones lineales (biyectivas) es precisamente el grupo lineal  .

Una rotación alrededor del origen es una transformación lineal cuya matriz tiene la forma

 

donde   es el ángulo de la rotación.

EjerciciosEditar

Probar las afirmaciones siguientes.

  1. (Propiedades de las Traslaciones)
    1. Las traslaciones son congruencias.
    2. Dados puntos P y Q del plano, hay una única traslación que envía P en Q.
    3. El conjunto   formado por todas las traslaciones determina un subgrupo abeliano del grupo euclídeo. (Sug. Evaluar  .)
  2. El conjunto de congruencias que fijan el punto P (f(P)=P),  , es un subgrupo del grupo de las congruencias.
  3. Sea f una congruencia que fija el origen. Probar que f preserva largos. ( )
  4. Sea f una congruencia que fija el origen y sea   la traslación que envía el origen en A. Entonces,   es una congruencia que fija el origen.
  5. Sean   transformaciones lineales con matrices asociadas   y  . La composición   es lineal com matriz asociada igual al producto   de las matrices.
  6. (Propiedades de las Rotaciones) Las rotaciones son congruencias. Las rotaciones alrededor del origen determinan un subgrupo de las congruencias.
  7. Sea   el conjunto formado por todas las rotaciones alrededor del punto  . Probar que ese conjunto determina un grupo contenido en el grupo euclídeo.
  8. Sea   una rotación alrededor del origen   del plano y sea   un punto cualquiera. Entonces,   es una rotación alrededor de  . La correspondencia define un isomorfismo entre esos grupos de rotaciones.

Ejercicios del CapítuloEditar

  1. Determinar cuáles de los siguientes enunciados son válidos y cuáles son falsos
    1. En cada subgrupo, la operación es asociativa.
    2. En cada subgrupo, la operación es conmutativa.
    3. Cada grupo es un subgrupo de si mismo.
    4. Todo grupo tiene subgrupos propios.
    5. Los subgrupos cíclicos son siempre subgrupos propios.
    6.   es un subgrupo cíclico de  .
  2. Probar que en un grupo abeliano G,  .
  3. ¿Será valido el resultado del ejercicio anterior, si reemplazamos 2 por un n cualquiera?
  4. Un subconjunto finito cerrado respecto a la operación de un grupo es un subgrupo.
  5. ¿Cierto o falso? Un grupo cuyos subgrupos propios son todos abelianos es abeliano.
  6. Sea  , matrices invertibles 2 x 2 con entradas en  . Por lo que los posibles valores de los determinantes de esas matrices son [1], [2], [3] y [4]. Se sabe que el orden de G es 480 y se quiere conocer el orden de  , las matrices invertibles 2 x 2 cuyo determinante es [1].
    1. Sea  . Probar que  .
    2. Sea A en G, probar que  .

    Usar lo anterior para responder la interrogante.


  7. Sea G un grupo y a un elemento de G. El conjunto   es un subgrupo.
  8. (Generalización del ejercicio anterior) Sea G un grupo y S un subconjunto de G. El conjunto   es un subgrupo. (Hay una demostración fácil usando el resultado anterior y un teorema del texto.)
  9. Sea G un conjunto y definamos  , ssi,  . Probar que se trata de una relación de equivalencia.
  10. Para cada uno de los grupos siguientes, producir una lista completa de sus subgrupos.
    1. Los Enteros con la adición.
    2. Los Enteros Pares con la adición.
  11. Sea   el conjunto de funciones desde un conjunto no vacío   en los Reales. Si   y   son elementos de  , se define suma y producto tales que   y  
    1. Probar que   es un grupo abeliano, mientras que   es solamente un monoide abeliano.
    2. Suponer que  . Una función es par (resp.impar), ssi, para todo  ,   (resp.  ). Probar que las funciones pares (resp, impares) determinan un subgrupo aditivo de  
    3. ¿Qué pasa con respecto a la multiplicación?
  12. (Cálculo) Sea   el grupo aditivo formado por todas las funciones de   en  . Sea   el subconjunto de   formado por las funciones continuas y sea   el subconjunto de   formado por las funciones derivables. Probar que   es subgrupo de <>math>\mathcal C</math>, que a su vez es subgrupo de  .
  13. (Semigrupos y Monoides) Definir las nociones de subsemigrupo y submonoide. Enuciar teoremas semejantes a los de subgrupos y probarlos. Aplicar sus definiciones al monoide M cuya tabla de operaciones se indica.
     
      Sean H = {a,b} y K = {b,c}.
    1. Cuál es el neutro de M?
    2. Verificar que H y K con la operación restringida son monoides.
    3. Su definición de submonoide debe servir para verificar que H es un submonoide de M, pero que K no lo es.
  1. Por parámetros u operaciones de una estructura, nos referimos a todos los componentes de la misma diferentes del conjunto base.
  2. Véase el apéndice Teoría de Estructuras Algebraicas.
  3. Si no tiene mucha familiaridad con matrices, poner n=2.