Álgebra Abstracta/Subgrupos

Introducción

En un capítulo anterior, vimos grupos que vivían dentro de otro grupo. El grupo de los múltiplos de un número entero está contenido en el grupo de los Enteros. El grupo de las raíces $n$--ésimas de la unidad está contenido en el grupo multiplicativo de los Complejos.

Algunas veces se dice, de manera muy simple, que un subgrupo es un grupo que vive dentro de otra estructura. Como todas la cosas simples, hay algo de verdad en lo anterior; pero debe manejarse con cuidado. Por ejemplo el conjunto $\{1,-1\}$ es un subconjunto de los Enteros que es un grupo respecto a la multiplicación, está contenido en los Enteros, pero no está relacionado con el grupo aditivo de los Enteros porque se trata de operaciones distintas.

En forma general, cuando tenemos una estructura algebraica, un subconjunto del conjunto base de la estructura define una subestructura del mismo tipo cuando es cerrado respecto a los parámetros de la estructura.

Definiciones

Definición. (Subgrupo) Sea <G,*,e, x -->x^-1>un grupo. Un subconjunto no vacío H de G determina (o define) un subgrupo de G, ssi,

(i)(Cerrado respecto a la operación.)

Para todo a, b en G, a,b en H ==> ab en H.

(ii) (Cerrado respecto al neutro).

El neutro es un elemento de H.

(iii)(Cerrado respecto inversos.)

Para todo a en G, a en H ==> a^-1 en H.

Notación: H < G.

La definición corresponde a la definición general de subestructura . La riqueza de la estructura de grupo nos permite, sin embargo, reducir las condiciones.

Proposición 1. (Caracterización de Subgrupos)
Un subconjunto no vacío H de G define un subgrupo de G, ssi, para todo a, b en G se cumple que a, b en H implica que $\scriptstyle ab^{-1}$ también está en H. </math>

Demostración:

Claramente las condiciones son necesarias. Si $a$ y $b$ están en $H$, $b^{-1}$ está en $H$(parte (iii) de la definición). Luego $ab^{-1}$ está en $H$ (parte (i) de la definición).

Veamos, ahora, que las condiciones son suficientes. Como $H$ no es vacío, hay al menos un elemento de $G$ en $H$, digamos $c$. Por la condición, tenemos para todo $a,b$ en $H$ que:
• $e=cc^{-1}$ está en $H$,
• $b^{-1}=eb^{-1}$ está en $H$.
• $ab=a(b^{-1})^{-1}$ está en $H$.
Luego $H<G.$

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Ejemplos de Subgrupos

Cada grupo $G$ es siempre un subgrupo de sí mismo. Igualmente, $\{e\}$ es un subgrupo de cualquier grupo. Algunas veces, diremos que el subgrupo determinado por el elemento neutro es el subgrupo nulo o subgrupo trivial. Decimos que un subgrupo es propio cuando es diferente de $G$ y del subgrupo trivial.

Subgrupos Aditivos de los Enteros

Sea m un entero y sea H= mZ</math> el conjunto formado por todos los múltiplos enteros de $m$.

Claramente, H no es vacío. Sean a = mx, b = nx y múltiplos enteros de m. Entonces, a-b = mx - my = m(x-y). Lo que prueba que a-b es un múltiplo de m. Luego mZ es un subgrupo de los Enteros.

• Los únicos subgrupos de los Enteros son los mZ.

Sea H un subgrupo de los Enteros. Si $H=\{0\}$ entonces $H=0\mathbb {Z}$. Supongamos que H contiene un elemento no nulo, digamos c. Como c en H implica (-c) en H, sin perdida de generalidad, podemos suponer que c es positivo. Sea m el menor entero positivo contenido en H y sea z cualquier elemento de H. Por división por m, tenemos que

$\scriptstyle z=qm+r,\quad {\text{ con }}0\leq r<m.$

Como H es un grupo y z y m están en H, tenemos que también están en H, qm y z. Por lo que r=z-qm también está en H. Si r fuera positivo sería menor que el menor entero positivo en H, lo que es imposible, luego, r=0. En consecuencia, z es un múltiplo de m. Lo que prueba la afirmación.

Subgrupos Cíclicos

Proposición 2. (Subgrupo Cíclico) Sea G un grupo y a un elemento de G. Sea $H=\{a^{n}:n\in \mathbb {Z} \}$. Entonces, H es un subgrupo de G, llamado subgrupo cíclico de G generado por a y denotado por $\langle a\rangle .$

Demostración: H es claramente no vacío, ya que contiene a $a=a^{1}.$ Además, tenemos que $a^{r}(a^{s})^{-1}=a^{r-s}.$ Lo que prueba que H < G.

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• Los subgrupos $m\mathbb {Z}$ de los Enteros son subgrupos cíclicos.
• El orden del subgrupo $\langle a\rangle$ es igual al orden de $a$, $o(a)$.

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Subgrupos del Grupo Simétrico S₃

Sea $G={\textsf {S}}_{3}=\langle a,b\,|\,a^{3}=b^{2}=e,ba=a^{2}b\rangle$.

La relación "ba = a²b" nos dice que la operación no es conmutativa, por lo que S₃ no puede ser un grupo cíclico. Sigue directo de la definición que o(a)=3 y o(b) = 2. Como (ab)² = abab = aa²bb = e y (a²b)² = a²ba²b =a²abb = e, tenemos que o(ab) = o(a²b)=2. Por su parte, si x = a², x² = a y x³ = e, luego o(a²)=3. Tenemos, entonces los siguientes subgrupos cíclicos:

${\begin{array}{l}<a>=\{e,a,a^{2}\},\qquad <b>=\{e,b\},\\<ab>=\{e,ab\},\qquad <a^{2}b>=\{e,a^{2}b\}.\end{array}}$

No hay otros subgrupos aparte de {e} y S₃.

En efecto, sea H un grupo que contiene a $a$. Entonces, el subgrupo generado por a contiene todas las potencias de a. Si contiene algún elemento adicional debe ser de la forma $aⁱb$, que multiplicado por a^3-i produce b. Como H contiene a los dos generadores del grupo, debe ser igual a todo el grupo.

Razonando de igual manera, con otras posibilidades, se concluye que los únicos subgrupos posibles, son los subgrupos indicados arriba.

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Diagramas de Subgrupos

El diagrama de subgrupos es la presentación gráfica de las relaciones de inclusión entre un grupo y sus subgrupos. También se llama en la literatura, diagrama de Hasse. La figura siguiente ilustra el diagrama de subgrupos del grupo de Klein y del grupo simétrico. S₃

Grupo de Klein	Grupo Simétrico S3

Ejercicios

1. Hallar todos los subgrupos posibles de los grupos C₄ y C₆. Dibujar los diagrams de subgrupos de esos grupos.
2. Sea U($\mathbb {C}$) el subconjunto formado por todos los complejos cuyo módulo es igual a 1. (Si z = a + bi, su modulo es $\mid z\mid ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$). U_n($\mathbb {C}$ es el grupo de la raíces {i}n{/i}-ésimas de la unidad.
   1. Probar que U($\mathbb {C}$) es un subgrupo multiplicativo de los Complejos.
   2. Probar que para todo n, U_n($\mathbb {C}$) es un subgrupo de U($\mathbb {C}$).
   3. Probar que U₂($\mathbb {C}$) = $\{1,-1\}$ es un subgrupo de U₄($\mathbb {C}$).
   4. Probar que U₃($\mathbb {C}$) es un subgrupo de U₆($\mathbb {C}$).
   5. ¿Cómo podríamos generalizar los resultados anteriores?
3. Sea G un grupo y a un elemento de G. Sea H el conjunto formado por todos los g en G que permutan (respecto a la operación) con a, o sea tales que ga = ag. Probar que H es un subgrupo de G.
4. Sea G un grupo finito. Sean a y b elementos de G. Probar las siguientes relaciones acerca de sus ordenes.
   1. $o(a^{-1})=o(a)$.
   2. $o(bab^{-1})=o(a)$.
   3. Si $ab=ba$ entonces $o(ab)={\text{mcm}}\{o(a),o(b)\}$.
   4. Si ${\text{mcd}}\{o(a),o(b)\}=1$ y $ab=ba$ entonces $o(ab)=o(a)o(b)$.

   
   

5. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes determinan subgrupos aditivos de los Complejos?
   1. Los Enteros.
   2. Los Racionales de la forma $m/2^{n}$, $n\geq 0$, $m$ y $n$ enteros.
   3. $\{a+b{\sqrt {-5}}:a{\text{ y }}b{\text{ racionales}}.\}$
   4. Los números puramente imaginarios. (múltiplos de $i$).
6. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes determinan subgrupos multiplicativos de los Complejos no nulos?
   1. Los Enteros no nulos.
   2. Los Racionales de la forma $m/2^{n}$, $n\geq 0$, $m\neq 0$, $m$ y $n$ enteros.
   3. $\{a+b{\sqrt {-5}}:a{\text{ y }}b{\text{ racionales, pero no ambos nulos}}.\}$
   4. Los números puramente imaginarios y no nulos. (múltiplos de $i$).
7. ¿Cuáles de los conjuntos de matrices son subgrupo del grupo lineal, $GL_{n}(\mathbb {R} )$?
   1. Las matrices $n\times n$ cuyo determinante es igual a 5.
   2. Las matrices diagonales de $GL_{n}(\mathbb {R} )$.
   3. Las matrices triangulares superiores que no tienen ceros en la diagonal.
   4. Las matrices cuyos determinantes son 1 o $-1$.

   
   

8. Para cada uno de los grupos siguientes, producir una lista completa de sus subgrupos.
   1. Los Enteros con la adición.
   2. Los Enteros Pares con la adición.

Propiedades de los Subgrupos.

La siguiente proposición afirma que la relación $H<K$ entre subgrupos es transitiva. Proposición 3. (Transitividad de la relación de ser subgrupo) Sean $H_{1}$, $H_{2}$ y $H_{3}$ subgrupos de un grupo $G$. Si $H_{1}$ es subgrupo de $H_{2}$ y $H_{2}$ es subgrupo de $H_{3}$ entonces $H_{1}$ es subgrupo de $H_{3}$

Demostración: Ejercicio.

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Proposición 4. Intersección de Subgrupos La intersección de dos subgrupos es un subgrupo.

Demostración: Sean K, K' subgrupos de un grupo G y sea H la intersección de K con K'. Como el elemento neutro esta en K y K', dicho elemento está en su parte común H. Luego, H no es vacío. Sean x, y elementos de H. Entonces, x, y pertenecen tanto a K como a K'. Como K (resp. K') es un subgrupo de G, tenemos que $xy^{-1}$ esta en K (resp. en K'). Por lo tanto, $xy^{-1}$ está en la parte común H. Luego H < G.

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El Centro de un Grupo

Definición. (Centro de un Grupo) Sea $G$ un grupo. Llamamos centro del grupo al subconjunto denotado por $Z(G)$ y formado por todos los elementos de $G$ que conmutan con cualquier otro elemento de $G$.

$\scriptstyle Z(G):=\{a\in G:{\text{ Para todo }}g\in G,\quad ga=ag\}.$

Proposición 5. El centro de un grupo es un subgrupo abeliano del grupo.

Demostración: Como el elemento neutro conmuta con todos los elementos del grupo, el neutro $e$ está en $\scriptstyle Z(G).$ Sean $a$, $b$ elementos del centro. Entonces, para todo $g$ de $G,$ tenemos que $\scriptstyle g(ab)=(ga)b=(ag)b=a(gb)=a(bg)=(ab)g,$

por lo que $\scriptstyle ab$ está en $\scriptstyle Z(G)$. Notemos, además, que

${\begin{array}{rcl}ga=ag&\implies &(ga)^{-1}=(ag)^{-1}\implies a^{-1}g^{-1}=g^{-1}a^{-1}\\&\implies &ga^{-1}=a^{-1}g.\end{array}}$

Es decir que $a$ en $\scriptstyle Z(G)$ implica que $a^{-1}$ está en $Z(G)$. Por lo tanto, $Z(G)<G.$

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El tamaño relativo del centro indica cuan abeliano es un grupo. Claramente, si $G$ es abeliano, entonces $Z(G)=G$. Cuando $Z(G)=\{e\}$, el único elemento que conmuta con todos los otros es el neutro $e$.

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Ejemplo. (Centro del grupo simétrico S₃).

El grupo S₃ está caracterizado por tener dos generadores a, b tales que a³ = b² = e, bab = a². Como las potencias de a conmutan entre si, veamos que pasa con b. La tercera condición implica que ba =a²b, es decir que b no conmuta con a. Por su parte, ba² = baa = a²ba= a²⁺² b = ab. Por lo tanto, Z(S₃) = {e}.

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Ejemplo (Centro del grupo lineal $GL_{2}(\mathbb {R} )$).

Supongamos que $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ fuera un elemento del centro de G. Sea $U={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$. Entonces, $AU={\begin{bmatrix}a&a+b\\c&c+d\end{bmatrix}}$ y $UA={\begin{bmatrix}a+c&b+d\\c&d\end{bmatrix}}.$ Si A está en el centro de G, AU = UA, comparando las entradas de cada uno de esos productos, tenemos que

• (1,1) ==> a = a+c,
• (1,2) ==> a+b = b + d,
• (2,1) ==> c = c y
• (2,2) ==> c+d = d.

Luego, c = 0, a=d. Tomando $V={\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}$ y computando AV = VA se concluye que b=0. Por lo que las únicas matrices en el centro del grupo lineal son las matrices escalares, los dos numeros de la diagonal son iguales y no nulos (el determinante no puede ser cero), y los números fuera de la diagonal son nulos. Es fácil probar que esas matrices (matrices escalares) conmutan con todas las otras matrices y por lo tanto forman el centro de G

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Ejercicios

1. Probar la proposición sobre la transitividad de la relación "ser subgrupo".
2. Probar la siguiente generalización de teorema de intersección de dos subgrupos.
   

   Sea $(H_{i})_{i\in I}$ una familia de subgrupos de un grupo G. La intersección H de los subgrupos de la familia es también un subgrupo de G</math>.

   1. ¿Cuál es la intersección de todos los subgrupos de un grupo?
   2. ¿Es igual la intersección anterior a la intersección de todos los subgrupos propios?
3. (Subgrupos de los Enteros) Sabemos que cada subgrupo no nulo de los Enteros es cíclico y tiene un generador positivo. Hallar un generador positivo de cada uno de los siguientes subgrupos de $\mathbb {Z}$.
   1. $2\mathbb {Z} \cap 3\mathbb {Z}$.
   2. $2\mathbb {Z} \cap 4\mathbb {Z}$.
   3. $2\mathbb {Z} \cap 3\mathbb {Z} \cap 5\mathbb {Z}$.
   4. ¿Qué podemos decir del subgrupo $m\mathbb {Z} \cap n\mathbb {Z}$?
4. En $\mathbb {Z} _{30}$, hallar la intersección de los subgrupos cíclicos $<[2]>$ y $<[3]>$.
5. Hallar el centro del producto $C_{3}\times C_{128}$. (Sug. La respuesta es fácil.)
6. Hallar el centro del producto $C_{2}\times {\textsf {S}}_{3}$.
7. Probar que las permutaciones en ${\textsf {S}}_{4}$ (permutaciones de $\{1,2,3,4\}$) que fijan al 4 forman un subgrupo isomorfo a ${\textsf {S}}_{3}$. Generalizar el resultado anterior para S_n.

Los Homomorfismos y los Subgrupos

En esta sección, veremos como un homomorfismo entre dos grupos relaciona a los subgrupos de uno de ellos con los subgrupos del otro.

Proposición 6. (Homomorfismos y Subgrupos) Sea $f:G\rightarrow G'$ un homomorfismo de grupos.

1. Si H es un subgrupo de G, su imagen, f(H) es un subgrupo de G'.
2. Si H' es un subgrupo de G', su preimagen (o imagen inversa), $f^{-1}(H')$ es un subgrupo de G.

Demostración:

1. La imagen directa de $H$ contiene al menos a $f(e)$ por lo que no es vacía. Sean $x'$ $y'$ elementos de $f(H)$. Por definición de imagen directa, hay elementos $x$ y $y$ en $H$ tales que $x'=f(x)$ y $y'=f(y).$ Entonces, $(x')^{-1}{y'}=f(x)^{-1}f(y)=f(x^{-1})f(y)=f(x^{-1}y).$ Como $H$ es un subgrupo, $x^{-1}y$ está en $H$, de donde $(x')^{-1}y'$ está en $f(H)$ lo que prueba que $f(H)$ es un subgrupo de $G'.$
2. Notemos que como cada subgrupo contiene al neutro, $f^{*}(H')$ no es vacío ya que contiene a $e$, ya que $f(e)$ está en $H'.$ Sean $x$, $y$ elementos de $f^{*}(H')$ o sea tales que $f(x)$ y $f(y)$ están en $H'$. Por lo tanto, $f(x^{-1}y)=f(x)^{-1}f(y)$ también está en $H'$; lo que prueba que $x^{-1}y$ está en $H$, de donde el resultado.

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Definición. (Núcleo de un homomorfismo)) Llamamos núcleo de un homomorfismo $f:G\rightarrow G'$ al subgrupo $f^{-1}(e')$ de $G$

Simbolizamos ese subgrupo por $\ker(f)$. (ker, del alemán kernel). Con ayuda de la noción de núcleo, podemos caracterizar a los monomorfismos (homomorfismos inyectivos).

Proposición 7. (Caracterización de Monomorfismo) Un homomorfismo es un monomorfismo (o sea inyectivo), ssi, el núcleo es el subgrupo trivial $\{e\}.$

Demostración: ($\Leftarrow )$) Supongamos que $f(x)=f(y)$ Se tiene entonces que $e'=f(x)f(y)^{-1}=f(xy^{-1}),$

Por lo que $xy^{-1}$ pertenece al núcleo. Como el núcleo solo contiene al $e$, tenemos que $xy^{-1}=e$, de donde $x=y$; es decir que $f$ es inyectiva.

($\Rightarrow$) Sea $f(x)=e'$.Entonces, $f(x)=f(e)$ lo que implica, ya que $f$ es inyectiva, que $x=e$. Es decir que $\ker(f)=\{e\}$

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Corolario 7.1. Los isomorfismos tienen núcleos triviales .

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Sigue de las proposiciones anteriores que cuando $f$ es un homomorfismo de $G$ en $G'$ entonces $f(G)$ es un subgrupo de $G'$. Además que el homomorfismo establece una correspondencia biunívoca entre los subgrupos de $G$ que contienen al núcleo y los subgrupos de $f(G)$, En particular, cuando se trate de un isomorfismo habrá una correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos de subgrupos.

Teorema de Cayley

Arthur Cayley, mencionado antes como el creador de la noción abstracta de grupos, probó que todo grupo finito puede presentarse como un subgrupo de permutaciones, más precisamente, es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutaciones. La idea del isomorfismos es asociar con cada elemento del grupo una permutación de los elementos del grupo. Para simplicidad de la nomenclatura, acordamos lo siguiente,

Definición. Llamamos grupo de permutaciones a cualquier subgrupo de un grupo simétrico S_n.

Consideremos un grupo finito G y un elemento cualquiera g de G. Sea L_g la función de G en G tal que L_g(x) = gx (es decir la multiplicación de g por la izquierda ).

Lema. $L_{g}$ es una permutación del conjunto G.

Demostración: Si $L_{g}(x)=L_{g}(y)\Rightarrow gx=gy$, de donde por la propiedad cancelativa, obtenemos que $x=y$; o sea que la función L_g es inyectiva. Probaremos ahora que es suprayectiva. Sea y un elemento cualquiera de G, entonces $L_{g}(g^{-1}y)=gg^{-1}y=y$, lo que prueba que la función es suprayectiva, es decir que se trata de una función biyectiva, o sea de una permutación o elemento de ${\textsf {S}}_{G}$. Mostremos ahora que la correspondencia $\phi :g\mapsto L_{g}$ es un homomorfismo de grupos. En efecto, $L_{gh}(x)=gh(x)=g(h(x))=L_{g}(L_{h}(x))=(L_{g}\circ L_{h})(x).$

Es decir que $L_{gh}=L_{g}\circ L_{h}.$ Por lo tanto,

$\phi (gh)=L_{gh}=L_{g}\circ L_{h}=\phi (g)\circ \phi (h).$




Lo que prueba que la correspondencia $\phi$ es un homomorfismo. La inyectividad de la correspondencia sigue de la propiedad cancelativa. Luego, G es isomorfo a $\phi (G)$.

Hemos probado el siguiente teorema.

Teorema de Cayley Todo grupo finito es isomorfo a un grupo de permutaciones.

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Ejercicios

1. Sea $f:\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} _{12}$ el supramorfismo canónico que asigna a cada entero x su clase $[x]$.
   1. Evaluar f(256), f(-256), f(1000).
   2. Sea $H=256\mathbb {Z}$. Sabemos que f(H) es un subgrupo de $\mathbb {Z} _{12}$ Determinarlo.
   3. Sean $H'$, $K'$ los subgrupos de $\mathbb {Z} _{12}$ generados por $[3]{\text{ y }}[4]$ respectivamente. Describir los subgrupos $f{-1}(H')$ y $f^{-1}(K')$ de los Enteros.
   4. Describir el núcleo de f.
2. Sea $f:C_{9,a}\longrightarrow C_{24,b}$ un homomorfismo de grupos tal que $f(a)=b^{8}$. Probar que f es un homomorfismo. Hallar la imagen de f, $f(C_{9,a})$ y el núcleo de f.
3. Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos, donde H es un grupo abeliano. Sea $z=xyx^{-1}y^{-1}$ (conmutador de x, y). Probar que z está en el núcleo del homomorfismo.

Subgrupos Conjugados

La conjugación (definición a continuación) provee a un grupo no abeliano con una familia no trivial de automorfismos.

Definición. (Conjugación) Sea $G$ un grupo y g un elemento cualquiera de $G$. Llamamos conjugación por $g$ a la función de $G$ en si mismo, denotada por $c_{g}$, tal que

$c_{g}(x):=x^{g}=gxg^{-1}.$

Decimos que dos elementos $x$, $y$ son conjugados entre si (notación: $x\sim _{c}y$), cuando hay un $g$ tal que $c_{g}(y)=x$.

Decimos que los subconjuntos $A$ y $B$ son conjugados, ssi, hay un $g$ tal que $c_{g}(A)=B$. En particular, dos subgrupos son conjugados, cuando lo son como subconjuntos.

Proposición 8. (Conjugación es un Automorfismo) Sea $G$ un grupo, $c_{g}$ es un automorfismo de $G$, o sea un isomorfismo de $G$ en si mismo.

Demostración: Tenemos que $c_{g}(xy)=gxyg^{-1}=gxg^{-1}gyg^{-1}=c_{g}(x)c_{g}(y)$, lo que prueba que se trata de un endomorfismo. Notemos, además, que $c_{g}(x)=c_{g}(y)\iff gxg^{-1}=gyg^{-1}\iff x=y.$ Por lo que $c_{g}$ es una función inyectiva, o sea que se trata de un monomorfismo. Además, como $c_{g}(g^{-1}xg)=g(g^{-1}xg)g^{-1}=x$, tenemos que $c_{g}$ es un supramorfismo. En consecuencia, $c_{g}$ es un automorfismo del grupo $G$.

Corolario 8.1. Las conjugaciones determinan un subgrupo del grupo de automorfismo, llamado el grupo de automorfismos interiores.

Demostración: Observemos que $(c_{g}c_{h})(x)=c_{g}(hxh^{-1})=ghxh^{-1}g^{-1}=(gh)x(gh)^{-1}$. Es decir que la composición de conjugaciones es una conjugación. Como, claramente $(c_{g})^{-1}=c_{g^{-1}}$, se tiene el resultado.

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Observaciones.

• Notemos que en un grupo abeliano, la conjugación por cualquier elemento es la función identidad.
• Notemos (de la demostración anterior) que la función c:G --> Aut(G) tal que c(g) = c_g es un homomorfismo de grupos, que puede verificarse es un monomorfismo.
• (Geometría) Una rotación del plano por un cierto ángulo $\alpha$ alrededor del punto P es conjugada de rotación por el mismo ángulo alrededor del origen. El elemento que produce la conjugación es la traslación que envía el origen en el punto P. Este tipo de conjugación es muy importante en la geometría, pues permite transportar situaciones alrededor de un punto P al origen.
• Notemos que $ga=ag\iff gag^{-1}=a$ Es decir que cuando $a$ es un elemento del centro, todos sus conjugados son igual a él mismo. Luego, para todo $g$, $Z(G)^{g}$ (conjunto de conjugados por $g$ de elementos del centro) es igual a $Z(G)$.
• Sea H un subgrupo de un grupo G. Para todo g en G, $H^{g}:=c_{g}(H)$ es un subgrupo que es conjugado a H.

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Clases de Conjugación

Sean $x,y$, escribimos $x\sim _{c}y$ para indicar que x es conjugado con y. Es fácil ver que $\sim _{c}$ es una relación de equivalencia en G, cuyas clases de equivalencia llamaremos clases de conjugación.

En un grupo abeliano, las clases de equivalencia consisten de un único elemento.

Ejemplo (Las Clases de Conjugación de S₃).

Sea ${\textsf {S}}_{3}=<a,b:a^{3}=b^{2}=e,bab=a^{2}b>$. Se verifica, por computación directa, que las clases de conjugación son

$\{e\},\quad \{a,a^{2}\},\{b,ab,a^{2}b\}.$

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Ejemplo.

Sea $G={\textsf {S}}_{3}=\langle a,b:a^{3}=b^{2}=e,ba=a^{2}b\rangle$ y sea $H=\{e,b\}$.

Buscaremos subgrupos de S₃ que sean conjugados con H.

• $H^{e}=H.$
• $H^{a}=\{aea^{-1},aba^{-1}\}=\{e,a^{2}b\}.$
• $H^{a^{2}}=\{a^{2}ea^{-2},a^{2}ba^{-2}\}=\{e,ab\}$.

Como esos son todos los subgrupos de orden 3 se tiene el resultado.

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Subgrupos Geométricos

<<<EN PREPARACIÖN>>> Sea ${\mathcal {P}}$ el plano cartesiano que identificamos con $\mathbb {R} ^{2}$, el conjunto formado por todos los pares ordenados del plano. El plano ${\mathcal {P}}=\mathbb {R} ^{2}$ está provisto de una estructura de producto de grupos, $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$, la suma componente por componente, o sea, tal que

$(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2}):=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}).$

Además, hay una multiplicación por escalar, que asocia a cada número real $t$ (escalar) y a cada par $(x_{1},x_{2})$ (vector), el vector $t(x_{1},x_{2}):=(tx_{1},tx_{2})$. En este contexto, usualmente, se dice que los puntos son vectores y los números reales, $escalares$. Se define el largo del vector $A$ como

$\|(a_{1},a_{2})\|:={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}$.

y la distancia entre puntos como el largo de la diferencia $P-Q$ o sea $d(P,Q):=\|P-Q\|.$

Denotaremos por ${\text{Biy}}({\mathcal {P}})$ al grupo formado por todas las biyecciones del plano en si mismo, la operación siendo la composición de funciones. (Es decir, el grupo simétrico del plano). Llamaremos transformaciones (del plano) a los elementos de ese grupo

• Una congruencia del plano es una transformación que preserva distancia entre puntos. Es decir que $f$ es una congruencia, ssi, para todo par de puntos $P$, $Q$ se cumple que

  $d(f(P),f(Q))=d(P,Q).$

  
  

• Una traslación por un vector $A$, es una función del plano en si mismo denotada por $t_{A}$ y tal que $t_{A}(P):=A+P$.
• Una rotación $\rho$ alrededor de un punto $C$ es una congruencia del plano que deja fijo solamente al punto $C$. Es decir que, $\rho (P)=P$ implica que $P=C$.
• Una reflexión alrededor de una línea $\ell$ es una función del plano en si mismo que envía cada punto $P$ en un punto $Q$ ubicado en la línea perpendicular a $\ell$ y que pasa por $P$ de modo que el punto medio entre $P$ y $Q$ esté en la línea $\ell$.

Mostraremos que el conjunto de todas las congruencias determina un subgrupo de Biy($P$, llamado el grupo euclídeo del plano, al que simbolizaremos por ${\textsf {Cong}}(\mathbb {R} ^{2})$.

Claramente, la identidad es una congruencia, por lo que el conjunto de las congruencias no es vacío.

Sean $f,g$ congruencias del plano.
• $d((f\circ g)(P),(f\circ g)(Q))=d(f(g(P)),f(g(Q)))=d(g(P),g(Q))=d(P,Q).$ Lo que prueba que la composición de dos congruencias es una congruencia.
• $d(f^{-1}(P),f^{-1}(Q)=d(f(f^{-1}(P)),f(f^{-1}(Q))=d(P,Q).$ Lo que prueba que la inversa de una congruencia es una congruencia.

Transformaciones Lineales

Una transformación lineal es una transformación que envía el punto (x,y) en (x', y') donde

${\begin{array}{rcl}x'&=&ax+by\\y'&=&cx+dy\end{array}}$

La definición es equivalente a la ecuación matricial,

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\quad {\text{ con }}\quad ad-bc\neq 0.$

La condición implica que la matriz tiene determinante no nulo, o sea que es invertible. La matriz se llama la matriz asociada a la transformación lineal. Cada matriz define por la ecuación anterior una transformación lineal. Por lo que el conjunto de las transformaciones lineales (biyectivas) es precisamente el grupo lineal $GL_{2}(\mathbb {R} ^{2})$.

Una rotación alrededor del origen es una transformación lineal cuya matriz tiene la forma

${\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}\quad {con}\quad a=\cos(\theta ),b={\textrm {sen}}(\theta )$

donde $\theta$ es el ángulo de la rotación.

Ejercicios

Probar las afirmaciones siguientes.

1. (Propiedades de las Traslaciones)
   1. Las traslaciones son congruencias.
   2. Dados puntos P y Q del plano, hay una única traslación que envía P en Q.
   3. El conjunto ${\mathcal {T}}$ formado por todas las traslaciones determina un subgrupo abeliano del grupo euclídeo. (Sug. Evaluar $t_{A}\circ t_{B}$.)
2. El conjunto de congruencias que fijan el punto P (f(P)=P), ${\textsf {Cong}}(\mathbb {R} ^{2})_{P}$, es un subgrupo del grupo de las congruencias.
3. Sea f una congruencia que fija el origen. Probar que f preserva largos. ($f(\|P\|)=\|P\|.$)
4. Sea f una congruencia que fija el origen y sea $t:P\mapsto A+P$ la traslación que envía el origen en A. Entonces, $g=t\circ ft^{-1}$ es una congruencia que fija el origen.
5. Sean $f,g$ transformaciones lineales con matrices asociadas $A$ y $B$. La composición $f\circ g$ es lineal com matriz asociada igual al producto $AB$ de las matrices.
6. (Propiedades de las Rotaciones) Las rotaciones son congruencias. Las rotaciones alrededor del origen determinan un subgrupo de las congruencias.
7. Sea ${\rm {{Rot}_{C}}}$ el conjunto formado por todas las rotaciones alrededor del punto $C$. Probar que ese conjunto determina un grupo contenido en el grupo euclídeo.
8. Sea $\rho$ una rotación alrededor del origen $O$ del plano y sea $C$ un punto cualquiera. Entonces, $t_{C}\rho (t_{C})^{-1}$ es una rotación alrededor de $C$. La correspondencia define un isomorfismo entre esos grupos de rotaciones.

Ejercicios del Capítulo

1. Determinar cuáles de los siguientes enunciados son válidos y cuáles son falsos
   1. En cada subgrupo, la operación es asociativa.
   2. En cada subgrupo, la operación es conmutativa.
   3. Cada grupo es un subgrupo de si mismo.
   4. Todo grupo tiene subgrupos propios.
   5. Los subgrupos cíclicos son siempre subgrupos propios.
   6. $\mathbb {Z} _{6}$ es un subgrupo cíclico de $\mathbb {Z}$.
2. Probar que en un grupo abeliano G, $\{x\in G:x^{2}=e\}<G$.
3. ¿Será valido el resultado del ejercicio anterior, si reemplazamos 2 por un n cualquiera?
4. Un subconjunto finito cerrado respecto a la operación de un grupo es un subgrupo.
5. ¿Cierto o falso? Un grupo cuyos subgrupos propios son todos abelianos es abeliano.
6. Sea $G=GL_{2}(\mathbb {Z} _{5})$, matrices invertibles 2 x 2 con entradas en $\mathbb {Z} _{5}$. Por lo que los posibles valores de los determinantes de esas matrices son [1], [2], [3] y [4]. Se sabe que el orden de G es 480 y se quiere conocer el orden de $SL_{2}(\mathbb {Z} _{5})$, las matrices invertibles 2 x 2 cuyo determinante es [1].
   1. Sea $M_{x}={\begin{bmatrix}x&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad x=1,2,3,4$. Probar que $det(M_{x})=[x]$.
   2. Sea A en G, probar que $\det(M_{x}A)=[x]\det(A)$.

   Usar lo anterior para responder la interrogante.

   
   

7. Sea G un grupo y a un elemento de G. El conjunto $\{x\in G:xa=ax\}$ es un subgrupo.
8. (Generalización del ejercicio anterior) Sea G un grupo y S un subconjunto de G. El conjunto $\{x\in G:xs=as,{\text{ para todo }}s\in S\}$ es un subgrupo. (Hay una demostración fácil usando el resultado anterior y un teorema del texto.)
9. Sea G un conjunto y definamos $x\sim y$, ssi, $ab^{-1}\in H$. Probar que se trata de una relación de equivalencia.
10. Para cada uno de los grupos siguientes, producir una lista completa de sus subgrupos.
    1. Los Enteros con la adición.
    2. Los Enteros Pares con la adición.
11. Sea ${\mathcal {F}}$ el conjunto de funciones desde un conjunto no vacío $X$ en los Reales. Si $f$ y $g$ son elementos de ${\mathcal {F}}$, se define suma y producto tales que $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ y $(fg)(x)=f(x)g(x)$
    1. Probar que $<{\mathcal {F}},+>$ es un grupo abeliano, mientras que $<{\mathcal {F}},\cdot >$ es solamente un monoide abeliano.
    2. Suponer que $X=\mathbb {R}$. Una función es par (resp.impar), ssi, para todo $x$, $f(-x)=f(x)$ (resp. $(f(-x)=-f(x)$). Probar que las funciones pares (resp, impares) determinan un subgrupo aditivo de ${\mathcal {F}}$
    3. ¿Qué pasa con respecto a la multiplicación?
12. (Cálculo) Sea $F=F(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ el grupo aditivo formado por todas las funciones de $\mathbb {R}$ en $\mathbb {R}$. Sea ${\mathcal {C}}$ el subconjunto de $F$ formado por las funciones continuas y sea ${\mathcal {D}}$ el subconjunto de ${\mathcal {C}}$ formado por las funciones derivables. Probar que ${\mathcal {D}}$ es subgrupo de <>math>\mathcal C</math>, que a su vez es subgrupo de $F$.
13. (Semigrupos y Monoides) Definir las nociones de subsemigrupo y submonoide. Enuciar teoremas semejantes a los de subgrupos y probarlos. Aplicar sus definiciones al monoide M cuya tabla de operaciones se indica. ${\begin{array}{c|cccc}&a&b&c\\\hline a&a&b&c\\b&b&b&c\\c&c&c&c\end{array}}$
    Sean H = {a,b} y K = {b,c}.
    1. Cuál es el neutro de M?
    2. Verificar que H y K con la operación restringida son monoides.
    3. Su definición de submonoide debe servir para verificar que H es un submonoide de M, pero que K no lo es.