Álgebra Abstracta/Grupos Generados

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Álgebra Abstracta



IntroducciónEditar

En este capítulo, generalizamos la noción de grupo cíclico, para considerar grupos generados por un subconjunto arbitrario. Aprovecharemos el capítulo para explorar más cuidadosamente los grupos diedrales y expandir nuestro conocimiento de los grupos simétricos. Veremos también como extender las operaciones entre elementos de un grupo a subconjuntos del grupo. Aprovecharemos lo anterior para ver un criterio para determinar si un grupo es producto de dos de sus subgrupos.

Sea   un grupo y sea   ¿Qué quiere decir que   genera a   ? Simplemente que cada elemento de   es un producto de potencias enteras de elementos de   Por ejemplo,   Inclusive, podríamos considerar conjuntos   infinitos y formar productos, como arriba, de subconjuntos finitos de   La manera matemática de hacer lo anterior será expuesta a continuación.

Subgrupos Generados por SubconjuntosEditar

Sean   un grupo,   un subconjunto no vacío de   y   un subgrupo de   Cuando x, y son elementos de   tenemos que tanto   como   y   son elementos de   Las relaciones anteriores se extienden a productos cualesquiera.

Lema 1. Sean   un grupo,   un subconjunto no vacío de   y   un subgrupo de   Sean   elementos de   tales que   está en   o su inverso está en   . Entonces,   está en  

    Demostración: (Inducción sobre   .) Si   , el resultado es trivial.
    Supongamos el resultado válido para productos de   elementos con la propiedad indicada y consideremos ahora un producto de   elementos:   . Por la hipótesis de inducción, el producto   de los primeros   elementos es un elemento de   Como el producto total es igual a   , se concluye que el producto está en   El resultado sigue por inducción.


Lema 2. Sean   un grupo,   un subconjunto no vacío de   Sea   el conjunto formado por todos los productos de la forma

 

donde cada factor o su inverso están en   Entonces,   es un subgrupo de   que es un subgrupo de cualquier subgrupo   que contenga a  

(Convenio. Diremos que un producto con k=0 factores es el elemento neutro del grupo.)

    Demostración: Sean   ,   elementos de   Claramente,   no es vacío ya que contiene todos los elementos de   (productos de largo 1). Igualmente, es fácil ver que   es un producto de la forma indicada para estar en   . Finalmente, como
     
    tenemos que   es un subgrupo de   El resto sigue del lema anterior.


Definición. (Subgrupo Generado) Sean   un grupo y   un subconjunto de   Decimos que un subgrupo   de   está generado por   cuando   . En tal caso, decimos que   es un conjunto de generadores de  

  • En particular, un grupo es un grupo generado por un subconjunto   cuando lo sea como subgrupo de si mismo.
  • Notemos que cuando   contiene un solo elemento,   es el grupo cíclico generado por ese único elemento.
  • Cuando la notación es aditiva,   está formado por todas las sumas cuyos sumandos son elementos de   u opuestos aditivos de elementos de  
  • Decimos que el grupo   está finitamente generado, cuando   sea un conjunto finito.
  • De acuerdo al convenio indicado, el subgrupo generado por el conjunto vacío es el subgrupo trivial {e}.

Ejemplos.

  • Los grupos cíclicos son grupos generados por un elemento.
  • El conjunto de generadores no es único.
    Por ejemplo, el grupo cíclico   es generado por   pero también por   ya que  

La siguiente proposición establece una caracterización de   en términos de subgrupos de  

Proposición 1. (Intersección de Subgrupos) Sean   un grupo y   un subconjunto de   Sea   la intersección de todos los subgrupos de   que contienen a   Entonces,   .

    Demostración: Realmente lo único que hay que probar es que   es un subgrupo de   Notemos que   no es vacío, ya que el elemento neutro es elemento de cualquier subgrupo y, en particular, de aquellos que contienen a   Sean x, y elementos de   Entonces, dichos elementos estarán en cualquier subgrupo   que contenga a   (Lema 1). Para cada uno de esos subgrupos   , tendremos que   está en   por lo que   estará en la intersección   de esos subgrupos. Lo que prueba que   es un subgrupo. Por el lema 2,   es un subgrupo de   Pero como,   es la intersección de todos los subgrupos que contienen a     está contenido en   Luego,   .


El siguiente ejemplo muestra como usamos lo anterior para asegurar la existencia de un subgrupo, aunque no tengamos una idea precisa de cuales son sus elementos.

Ejemplo.(Subgrupo de los Conmutadores).

Sea   un grupo. Llamamos conmutador de los elementos   al elemento denotado por   y definido por   .
Llamamos subgrupo de los conmutadores o grupo derivado de   al subgrupo generado por todos los conmutadores de   Lo simbolizamos por   .


El grupo DiedralEditar

Llamamos grupo diedral de orden   al grupo denotado por   y definido como

 

Esto es,   tiene dos generadores llamados   y   , sujetos a las restricciones indicadas.

Observemos que   genera un subgrupo cíclico de orden   y   un subgrupo cíclico de orden 2. Luego,   es el inverso de   mientras que   es su propio inverso. Al ser generado por   los elementos   son productos de   . Por la observación anterior, esto se reduce a productos de potencias naturales de   y   .

 

donde los   son positivos o cero. Observando que la tercera restricción,   implica que   vemos que cada vez que haya una   delante de una   , podremos aplicar la relación anterior y la   pasa para detrás de   Así, que   consiste de los productos

 

Luego,   tiene   elementos diferentes.

Por ejemplo, supongamos que tenemos en   (  ) los elementos   ,   y   Entonces, tenemos las siguientes simplificaciones.

 

De acuerdo a lo anterior, tenemos que,

 

Aplicando lo dicho arriba, tenemos la siguiente tabla para  

 

Generadores del Grupo LinealEditar

En cursos básicos (también en curso de ÁLgebra Lineal) se estudia un procedimiento muy eficaz para la resolución de sistemas numéricos de ecuaciones lineales: el procidiemiento de Gauss-Joradan. Dicho procedimiento consiste de manipulaciones de las filas del sistema que permite (cuando hay solución única) diagonalizar el sistema.

Dichos procedimientos son equivalengtes a multiplicaciones por la izquierda con matrices especiales, llamadas matrices elementales . El procedimiento implica que cualquier matriz invertible, multiplicada de una secuencia de matgrices elementales produce la identidad. Como los inversos de matrices elementales son también elmentales, lo anterior implica que cualquier matriz invertible es igual a un producto de matrices elementales. Es decir que el grupo lineal está generado por las matrices elementales.


Los Generadores del Grupo SimétricoEditar

En el capítulo anterior, vimos que cada permutación era un producto de ciclos, lo que el lenguaje de esta capítulo dice que los grupos simétricos son generados por ciclos. Veremos, a continuación, otros posibles conjuntos de generadores. Introduciremos la noción de signo de una permutación que ilustrará la eficiencia de disponer de buenos conjuntos de generadores y que nos servirá para introducir un importante subgrupo de   el grupo alternante.

Descomposición en transposicionesEditar

Sabemos que cada permutación puede expresarse como producto de ciclos disjuntos. Veremos, a continuación, como expresar un ciclo como producto de transposiciones y, posteriormente, como producto de una familia especial de transposiciones.

Proposición 2. Cada ciclo de largo   es un producto de   transposiciones.

 

    Demostración: Si   el resultado es trivial. Supongamos el resultado cierto para todos los ciclos de largo inferior o igual a     Sea   y sea   Entonces, For     Also,   and   Luego,   es un ciclo de largo   Por inducción,
     

    Multiplicando en la derecha por   obtenemos el resultado.


Corolario 1.1. El grupo simétrico   es generado por sus transposiciones.


La cantidad de generadores de un grupo simétrico puede reducirse aún más si consideramos una familia especial de transposiciones.

Definición. (Transposición Simple) Llamamos transposiciones simples de   a las transposiciones    


Una noción que está asociada con las transposiciones es la noción de inversión.

Definición. (Inversión) Sea   en   Una inversión de   es un par     tal que   Simbolizaremos al conjunto formado por todas las inversiones de   por   y por   a la cantidad de inversiones de  


Ejemplo.

Sea  

Se tiene las siguientes inversiones: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (3,4), por lo que  


Ejemplo (Bubble Sort).

En muchas situaciones, necesitamos ordenar (respecto a algún criterio) una lista desordenada de objetos. En computación, hay un algoritmo llamado ordenamiento por la burbuja (en inglés, bubble sort) que se basa en el resultado anunciado. El algoritmo es fácil de recordar:

Suponer dada una lista  

  1. Recorra la lista, cuando haya una inversión,   intercambie los objetos correspondientes.
  2. Si no se hallan inversiones, la lista está ordenada.
  3. Volver al inicio de la lista y efectuar el paso 1.


Ejemplo.

Ordenar la lista 632145 en orden ascendente.

A continuación, indicamos los pasos

 

Si pensamos la lista original como una permutación de 123456, tenemos que multiplicando por las transposiciones realizadas, obtendremos la identidad.

 

Luego, como las transposiciones son sus propios inversos, tenemos que

 

Notemos que aparecieron las   transposiciones simples.



Lema A Sea   en     ssi,   Si   entonces hay un   tal que    

    Demostración: Cuando   se tiene que no hay inversiones de donde se tiene el resultado. Supongamos que   Si   para todo   se tiene que   implica que   Luego,   implica que   Si   para   Entonces   implica que   Por inducción, concluimos que   Luego, hay   tales que   Sea   el menor de tales enteros. Entonces, el par   es una inversión. Lo que prueba que   Si   se tiene que   ; por lo que tenemos la segunda afirmación.


Lema B. Sea   una transposición simple y sea   en   Entonces,

 

    Demostración: Supongamos que   Entonces,   Por lo que el par   es una inversión de   Sea   una inversión de   y consideremos el par   Se debe tener que   ya que la única inversión de   es   que como no es una inversión de   no se puede tener que     Entonces   es una inversión de   que no es igual a   Por lo tanto, la correspondencia que a cada par   de   le asocia el par   de   es una función   que probaremos que es biyectiva. En efecto, dicha función tiene inversa dada por   por el mismo argumento usado arriba. Luego,   Suponer, ahora, que   Entonces,   Luego,  por el resultado anterior. Despejando   se obtiene lo anunciado.


Usaremos los lemas anteriores para probar la siguiente proposición.

Proposición 3. Sea   en   Entonces

  1.   es un producto de   transposiciones simples.
  2.   es la menor cantidad de transposiciones simples necesarias para escribir   como un producto de transposiciones simples.
    Demostración: Usaremos inducción sobre   para probar a). Si   se tiene que   que se puede considerar como el producto de un conjunto vacío de transposiciones. Cuando   no es la identidad, por el lema A, hay un entero   tal que   Por lo que   Por inducción,   puede escribirse como el producto de   transposiciones simples. Luego,   es el producto de   transposiciones simples. Lo que prueba la parte a). Para probar la minimalidad de   supongamos que   es la cantidad menor necesaria de transposiciones. Sigue de lo anterior que   Por inducción, sobre   probaremos que   Si   el resultado sigue de la primera parte. Supongamos que   Entonces, podremos hallar una transposición elemental tal que   Por lo que   por inducción y por el lema B, se tendrá que   de donde el resultado.


El Signo de una PermutaciónEditar

Sea   Para cada   en   definamos

 

Notemos, que   difiere de   a lo más por el signo. Definamos   por

 

Por lo tanto,  

Ejemplo (  ).

 

Sea   Entonces,

 

Luego,  


Ejemplo (  ).

Sea   la transposición   Probaremos, formalmente que   Organizaremos los factores de   como en el ejemplo anterior. Primero aquellos donde   luego aquellos con   etc.

 

Sean

 

Veamos, el efecto de   en     y  

 

Luego,   Por lo que,   \end{ejemplo}

Claramente, cada inversión produce un cambio de signo, por lo que   De forma más general, cuando   es una función cualquiera, tenemos que

 

Lema C.

  1. La función signo   es un homomorfismo suprayectivo de grupos, cuando  
  2.  
  3. Si   entonces   Es decir que la función signo   es constante en las clases de conjugación de  
    Demostración:
  1.   Es decir que   Lo que prueba el resultado. Como vimos en el ejemplo, cuando     lo que prueba la suprayectividad.
  2. Como     se tiene el resultado.
  3.  


Proposición 4.

  1. Las transposiciones tienen signo  
  2. Cuando   es un   --ciclo,   su signo es  

    Demostración: Todas las transposiciones son conjugadas de   Los   --ciclos son productos de   transposiciones. <


Nomenclatura. Diremos que una permutación es par cuando su signo sea igual a 1; en caso contrario diremos que es una permutación impar.


El Grupo AlternanteEditar

Definición. (Grupo Alternante) Llamamos grupo alternante de grado   al núcleo del homomorfismo signo. Es decir al subgrupo de   formado por todas las permutaciones pares. Notación:  


Observaciones.

  1. El grupo   es un subgrupo de índice 2 en  
  2.    
  3. Como los 3--ciclos son permutaciones pares todos ellos están contenidos en    

La siguiente proposición es un recíproco parcial de la última observación.

Proposición 5. Cada permutación   de   es un producto de 3-ciclos, cuando   Es decir que los 3--ciclos generan al grupo    

    Demostración: Como cada permutación es el producto de una cantidad pares de transposiciones, bastara probar que el producto de dos transposiciones es siempre un 3--ciclo o un producto de 3--ciclos.
    • Transposiciones disjuntas.  
    • Transposiciones no disjuntas,  


EjerciciosEditar

  1. Hallar la descomposición en ciclos disjuntos de cada uno de los elementos de   Determinar además   para cada uno de ellos.
  2. Expresar como producto de ciclos disjuntos a
     
    .

    Hallar          

  3. Verificar las relaciones siguientes.
    1.  
    2.  
    3.  

    Conjeturar un resultado que establezca una relación entre transposiciones y transposiciones simples, probando de esta manera que las transposiciones simples generan al grupo simétrico.

  4. Escribir cada una de las permutaciones siguientes como un producto de transposiciones simples. \smallskip\setcounter{ejt}{0} \begin{tabular}{lp{1.8in}ll} \nejt &   &% \nejt &   \\ \nejt &   &% \nejt &   \\ \end{tabular}
  5. Sea   igual al producto de cinco transposiciones simples disjuntas. Hallar  
  6. Sea   y sea   Hallar  
  7. Probar que el orden de   es divisible por 8, pero no hay elemento de orden 8 en ese grupo.
  8. Listar todos los ordenes posibles para los elementos de   y hallar elementos de cada uno de ese orden.
  9. Probar que   no tiene un elemento de orden 13, pero sí tiene un elemento de orden 60.
  10. Sea   un número primo menor que   Hallar la cantidad de subgrupos de orden   de  
  11. Probar las siguientes afirmaciones:
    1. La cantidad de   --ciclos en     es  
    2. La cantidad de   --ciclos en     es  

    Generalizar para   --ciclos.

  12. Sea   un grupo con generadores     tales que
    •  
    •  , cuando  
    •  

    Entonces,  

Los Grupos de SimetríasEditar

En esta sección, veremos algunos grupos que se presentan de forma natural cuando consideramos simetrías de figuras planas. Primeramente, precisaremos la nomenclatura que usa alremos. Nuestro universo es el plano, al que siempre consideraremos como el plano cartesiano  .

Llamamos transformación del plano a cualquier función del plano en si mismo. Las transformaciones biyectivas son los elementos del grupo simétrico del plano. Estamos interesados en una familia de transformaciones especiales: Las congruencias, que son aquellas transformaciones biyectivas que preservan la distancia entre puntos. Es decir, que la distancia entre las imágenes de un par de puntos es igual a la distancia entre los puntos. Es fácil ver que todas las congruencias determinan un grupo de transformaciones del plano, llamado el grupo euclídeo} del plano y que denotaremos como  .

En efecto, si   y   son congruencias, se tiene que

  •   y
  •  

Lo que prueba que efectivamente   es un grupo de transformaciones.

En textos de Geometría se prueba que las traslaciones, rotaciones y reflexiones son congruencias. Además, se verifica que las reflexiones generan el grupo Euclídeo. De hecho que cada congruencia es el producto de a lo más tres reflexiones. Ver [1] o [2]

Nomenclatura. Para las transformaciones de un conjunto cualquiera, tenemos la siguiente nomenclatura con respecto a su acción.

Sea   una transformación de un conjunto  

  • Decimos que un punto   de   es fijo por   o que   fija a   ssi,  
  • Decimos que un subconjunto   es fijo puntualmente por   o que   fija puntualmente a   ssi, cada punto de   es fijo por  
  • Decimos que un subconjunto   es fijo (globalmente) por   o que   fija puntualmente a   ssi,  

Una rotación siempre deja a su centro fijo. Una reflexión (del plano) entorno al eje   deja fijo puntualmente el eje   y globalmente, pero no puntualmente, al eje  

Las SimetríasEditar

Llamamos figura (plana) a un subconjunto cualquiera del plano. Algunos \newline ejemplos de figuras son las líneas, los cuadrados, las circunferencias, los sectores circulares, etc.

Decimos que una congruencia   es una simetría de una figura </math> F</math> cuando la congruencia fija globalmente a la figura, o sea es tal que  

Las simetrías de una figura forman un grupo, subgrupo del grupo Euclídeo, ya que (como es fácil verificar) la identidad es una simetría (de cualquier figura), la composición de dos simetrías de   y la inversa de una simetrías de   son simetrías. Usaremos la notación   para las simetrías de  

Las Simetrías del CuadradoEditar

Supongamos que tenemos un cuadrado hecho de un material rígido, donde por material rígido queremos decir que lo podemos manipular sin que se deforme. Supongamos, además, que:

  • los vértices están identificados como   B,   y   en ambas caras del cuadrado;
  • el cuadrado está sobre una superficie fija y hemos marcado los bordes del cuadrado sobre esa superficie y copiado las etiquetas de los vértices;
  • el cuadrado está sujeto a la superficie por un alfiler colocado en su centro, de manera que pueda rotar libremente alrededor del alfiler.

Observemos que si rotamos por un cuarto de vuelta, el cuadrado quedará coincidiendo con su imagen en la superficie y que si no fuera por las etiquetas de los vértices, no nos daríamos cuenta del cambio. Esto es lo que quiere decir dejar fija globalmente a la figura. Llamemos   a la rotación por un cuarto de vuelta.

Si volvemos a rotar por   nuevamente llevaremos al cuadrado a coincidir con su imagen en la superficie. Simbolizaremos por   la doble rotación, por   la triple rotación, etc. Notemos que si efectuamos   (cuatro cuartos de vuelta), volveremos a la posición original, por lo que si no hubiéramos visto el cambio, diríamos que nada ha pasado, que todo se encuentra idénticamente igual a la posición original. Por esa razón escribiremos que   donde   significa que las etiquetas en el cuadrado y en la superficie coinciden. Es decir que se trata de la identidad que fija todos los puntos de la figura.

En lenguaje de la teoría de grupos,   tiene orden 4.

Es fácil ver que todas las posibles rotaciones distintas, que llevan al cuadrado sobre su imagen, son       y   y que aplicando consecutivamente dos de esas rotaciones, obtenemos una rotación de ese conjunto. Es decir que tenemos una operación en el conjunto de las rotaciones que corresponde a la composición de transformaciones (como funciones).

Como   tenemos que las rotaciones determinan un grupo cíclico.

¿Habrá otros movimientos del cuadrado que lo lleven a cubrir su imagen en la superficie?
La respuesta es afirmativa, pero tendremos que sacar el alfiler que lo sujetaba a la superficie.

Sea   la reflexión entorno a la diagonal   Es decir que envía   en     en   y los puntos   y   quedan fijos. Notemos que   Análogamente, tenemos la reflexión   entorno a   que envía   en   y   en   Hay dos reflexiones adicionales (    ) que introduciremos más tarde. La figura muestra las simetrías que son reflexiones del cuadrado, identificadas por su eje. Introduciremos, a continuación, una notación que nos servirá para identificar las simetrías del cuadrado con permutaciones de los vértices.

Observemos que las simetrías quedan totalmente identificadas cuando damos sus efectos en los vértices. Por ejemplo la rotación   es tal que

 

Por lo que podemos identificar a las simetrías del cuadrado con permutaciones del conjunto de vértices. Usando esta identificación, tenemos que

 

De la misma manera, tenemos que las reflexiones introducidas tendrán como permutaciones a

 

Notemos que escribiendo las simetrías anteriores como ciclos, tenemos que

 

Usando la identificación resulta fácil computar los efectos de aplicar simetrías en forma consecutiva. Por ejemplo,

 

Es decir que se intercambian   con   y   con   Geométricamente, esta es la reflexión   entorno a la línea que pasa por los puntos medios de los segmentos   y   Tendremos otra reflexión,   entorno a un línea que pasa por los puntos medios de   y   es decir que

 

Computemos  

 

.

Observemos que   implica que  

Sea   el grupo generado por   y   Como tenemos las relaciones   y   vemos que coincide con el grupo diedral   poniendo   y  


Interrogante ¿Habrá otras simetrías del cuadrado?

Suponer que   es una simetría del cuadrado diferente de la identidad.

Cuando un vértice queda fijo por   el vértice opuesto también queda fijo, porque en caso contrario su imagen sería adyacente al vértice fijo y no permanecerían invariantes las distancias entre los vértices. Es decir que   es   o   Este razonamiento prueba también que no hay 3--ciclos que puedan ser simetrías del cuadrado.

Cuando un conjunto de dos vértices queda globalmente fijo, pero no puntualmente fijo, hay una transposición de los dos vértices. Cuando los vértices son adyacentes, sus opuestos deben intercambiarse (  ). Si los vértices son opuestos, el otro par de vértices puede quedar fijo puntualmente o intercambiarse. Por lo que   es una de las siguientes simetrías.

 

es decir     y  

Si una simetría diferente de la identidad deja fijo globalmente tres vértices, el cuarto vértice quedaría fijo; lo que vimos anteriormente que es imposible.

Finalmente consideremos el caso donde la simetría   no tiene subconjuntos con dos elementos fijo globalmente. Por lo que se representa por un 4--ciclo.

Entonces,   Si   entonces   ya que en caso contrario no se preservaría distancias. Luego, la imagen de   es un vértice adyacente. El mismo razonamiento aplica a los otros vértices, por lo que concluimos que

  o  

Como conclusión final tenemos la siguiente proposición.

Proposición 6. El grupo diedral   contiene a todas las simetrías del cuadrado.

Representación Matricial de D8Editar

Supongamos que estamos trabajando en el plano cartesiano   Supongamos, además, que nuestro cuadrado tiene como vértices a       y  

Sean   y  

  1. Las matrices   y   definen transformaciones (biyectivas) del plano, ya que sus determinantes no son nulos.
  2. Sea   Entonces,  
  3. Sea   Entonces,
     

    Es decir que   es una congruencia del plano.

  4. Se tiene que   De manera análoga a lo hecho con   se verifica que   define una congruencia del plano.
  5. Por la parte b) se tiene que
     

    Por lo tanto,   es una simetría del cuadrado.

  6. Es fácil ver que       y  
  7. Observando los resultados anteriores tenemos que
     

    por lo que   tiene orden 4.

    Por su parte   tiene orden 2. Finalmente, tenemos que:

     

Es decir que   generan un subgrupo de matrices isomorfo a  

EjerciciosEditar

  1. Construir el grupo de simetrías de un triángulo equilátero y verificar que es isomorfo a  
  2. Sea   un grupo de transformaciones de un conjunto   ( o sea , un subgrupo del grupo simétrico de  
    1. Las transformaciones que fijan un punto   determinan un subgrupo de  
    2. Sea   las trasformaciones que fijan globalmente un subconjunto   de   Probar que   es un subgrupo de   que contiene como subgrupo a las transformaciones que fijan   puntualmente.
    3. Sea   un punto fijo de   Entonces,   es un punto fijo de  

  3. Sean   y   Sea   el polígono regular con   vértices   \ldots     ubicados en la circunferencia unitaria del plano cartesiano de modo que   Probar las siguientes afirmaciones.
    1.  
    2.   y   son congruencias del plano.
    3.   es una rotación por un ángulo que mide   radianes.
    4.   es una reflexión entorno al eje  
    5. El orden de   es   y el orden de   es 2.
    6. El grupo de matrices generados por   y   es isomorfo al grupo diedral  
  4. (*) Construir el grupo de simetrías del tetraedro regular.
  5. (*) Construir el grupo de simetrías de un cubo.

Operaciones con SubconjuntosEditar

Introduciremos una notación que nos ayudará en el enunciado de teoremas y que, también, será útil en consideraciones posteriores.

Definición. (Operaciones con Subconjuntos) Sea   un grupo y sean A,   subconjuntos de  

  1. Llamamos (conjunto) producto de   con   al conjunto denotado por   y que está formado por todos los productos   tales que   está en   y   está en B. Cuando   o   consistan solamente de un elemento, escribiremos solamente el elemento; por ejemplo, si   escribiremos   en lugar de   Cuando la notación es aditiva, simbolizamos por   al conjunto formado por todas las sumas de un elemento de   con un elemento de B.
  2.   denotará al conjunto formado por los inversos de los elementos de  
    Notación Aditiva:   (los opuestos aditivos de todos los elementos de  
  3. En forma general,   denotará el conjunto de las potencias enésimas de elementos de   Notación aditiva:   (todos los   múltiplos de elementos de A.).

Observaciones. Sea   un grupo.

  • Decir que   es una parte cerrada de   es equivalente a decir que   es un subconjunto de  
  • Análogamente, decir que   es cerrado respecto a inversos, es equivalente a decir que   es un subconjunto de  
  • Decir que   es un subgrupo de   es equivalente a decir que   no es vacío y que   es un subconjunto de  
  • Decir que   es equivalente a decir que para cada   de   hay un   en   tal que  

Ejemplo.

Sean     y   ¿Qué es   ? Notemos la notación aditiva usada ya que la operación del grupo es suma.

    Resolución. Como   está formado por todos los múltiplos de 2 y   por todos los múltiplos de 3,   estará formado por todos los enteros que son iguales a la suma de un múltiplo de 2 con un múltiplo de 3. Como   Se tiene que  

Advertencia.

Cuando   y   son subgrupos de   el conjunto   no es necesariamente un subgrupo de   ya que si   son elementos de   no necesariamente se tiene que   sea igual a un   de  


Ejemplo.

Sea   Sean   y   Entonces,   Notemos que, en este ejemplo,   y   son subgrupos de   pero que   no lo es (¿por qué no es subgrupo?).

Sea   entonces  


EjerciciosEditar

  1. Sea   Hallar los elementos de los conjuntos indicados, cuando    
    1.  
    2.  
    3.  
  2. Sea   y sean     Hallar los conjuntos indicados.  
  3. Sean   subconjuntos de un grupo cualquiera. Entonces,  

Subgrupo Generado por dos SubgruposEditar

En general, cuando   y   son subgrupos, el producto   no es un subgrupo, por lo que el subgrupo que contenga a dos subgrupos debe definirse otra manera.

Definición. (  ) Sean   y   subgrupos de un grupo   Por   denotaremos al subgrupo generado por la (re)unión de   y  

 


Sea   Claramente,   y   están contenidos en   por lo que   y   son subgrupos de   Sea   cualquier subgrupo de   que contenga a   y a   Entonces, contendrá cualquier producto de elementos de   y   por lo que contendrá a   probando que   es el menor subgrupo que contiene a   y  

Proposición 6. (  ) Sean     subgrupos de   Entonces,   es el menor subgrupo (respecto a la inclusión) que contiene a ambos subgrupos.}}

Ejemplo.

Sea   Sean   y   Entonces,  


Diagrama de Subconjuntos El conjunto de subgrupos es un conjunto parcialmente ordenado por la inclusión. Dados subgrupos     se tiene que

 


Es decir, que dos elementos tienen siempre un mayor elemento menor o igual que ellos y un menor elemento mayor o igual que ellos. Conjuntos parcialmente ordenados con esa propiedad se llaman Retículos.


Producto Directo de SubgruposEditar

Diremos que un grupo   es el producto interno de dos subgrupos   y   cuando   sea isomorfo al product  

Proposición 7. (Producto Interno) Sea   un grupo y sean     subgrupos de     es el producto interno de   y   ssi, se cumple que:

  1.  
  2. Si   está en   y   está en    
  3.   está generado por   y  
    Demostración: (  ) Supongamos que hay un isomorfismo   tal que   Observemos que en     es un subgrupo de   cuya imagen por   es   Por lo que   Análogamente,   Observemos que si   entonces   está en   y   por lo debe ser igual a